МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА"

Транскрипт

1 ООО «Резольвента», (495) Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА К. Л. Самаров, 009 ООО «Резольвента», 009 ООО «Резольвента», (495)

2 ООО «Резольвента», (495) СОДЕРЖАНИЕ. Понятия генеральной совокупности и орки. 3. Группировка орочных данных. Интервальный вариационный ряд. Дискретный вариационный ряд Вычисление характеристик орки Точечные и интервальные оценки параметров распределения изучаемой случайной величины. Статистика. Доверительный интервал Распределения χ, Стьюдента и Фишера Проверка гипотезы о нормальном распределении изучаемой случайной величины. Критерий согласия χ Пирсона Группировка орочных данных двумерной орки. Корреляционная таблица Вычисление характеристик двумерной орки. Прямая линия регрессии Примеры Статистические таблицы ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.. 7 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. 8 ЛИТЕРАТУРА ООО «Резольвента», (495)

3 ООО «Резольвента», (495) Понятия генеральной совокупности и орки Предположим, что ξ случайная величина, о которой нет полной информации, однако известно некоторое конечное множество принимаемых ею значений. Основная задача математической статистики заключается в том, чтобы на основании этих данных исследовать свойства случайной величины ξ. Определение. Известное множество значений X {,,..., n} =, принимаемых случайной величиной ξ, называется оркой из генеральной совокупности Γ ξ всех значений случайной величины, а количество n элементов орки объемом орки. Для того чтобы получить достоверные сведения об изучаемой случайной величине, значения,,..., n должны быть раны из генеральной совокупности случайным образом, а объем орки должен быть достаточно большим. Выборка, удовлетворяющая таким условиям, называется репрезентативной (представительной). Определение. Функция распределения F ξ изучаемой случайной величины ξ называется теоретической функцией распределения.. Группировка орочных данных. Интервальный вариационный ряд. Дискретный вариационный ряд Изучение свойств случайной величины ξ, начинается с группировки орочных данных. Для проведения группировки орочные данные сначала нужно перенумеровать так, чтобы они оказались расположенными в порядке возрастания. В результате возникает орка X {,,..., n} =, элементы которой удовлетворяют неравенствам... n. Такая орка называется вариационным рядом. После того, как вариационный ряд получен, осуществляется переход к построению групп. С этой целью вводится в рассмотрение произвольный полуинтервал a; b), содержащий все орочные данные,,..., n. Если разделить этот полуинтервал точками a, a,..., a на полуинтервалов ООО «Резольвента», (495)

4 ООО «Резольвента», (495) ) ) ) ) a; a, a; a, a; a3,..., a ; b, имеющих одинаковую длину h (число может быть любым натуральным числом), и воспользоваться обозначениями a0 = b, то полуинтервалы примут вид = a и a ) ) ) ) a 0; a, a ; a, a ; a 3,..., a ; a, и можно ввести следующее определение. Интервальным вариационным рядом называется таблица a 0; a) a ; a)... a ; a )..., элементы,,..., которой, называемые частотами, являются целыми числами, причем число равно количеству орочных данных, попавших в полуинтервал a 0; a ), число равно количеству орочных данных, попавших в полуинтервал a ; a ), и т.д. Операция построения интервального вариационного ряда по орке называется группировкой орочных данных, число является количеством групп орочных данных, а число h называется шагом вариации. Замечание. Частоты,,..., удовлетворяет соотношению Числа = n. W =, =,,..., n называются относительными частотами и удовлетворяют соотношению W =. ООО «Резольвента», (495)

5 ООО «Резольвента», (495) Числа W f = =, =,,..., n h h называются плотностями относительных частот. Подсчитав плотности относительных частот, можно построить гистограмму плотностей относительных частот, являющуюся удобным графическим представлением интервального вариационного ряда. С этой целью сначала на оси абсцисс координатной плоскости изобразим точки с координатами После этого над каждым из отрезков a a a a a 0,,,...,,. a ; a, a ; a, a ; a,..., a ; a 0 3 построим прямоугольник, нижним основанием которого является сам этот отрезок, а высота является соответствующей плотностью относительной частоты. В результате получится гистограмма, состоящая из прямоугольников, общая площадь которых равна. Гистограмма дает представление о плотности распределения измеряемой случайной величины. Дискретным вариационным рядом называется таблица......, в которой число является серединой отрезка a0; a, число является серединой отрезка a; a,, число является серединой отрезка a ; a Поскольку все отрезки a ; a, a ; a, a ; a,..., a ; a 0 3 имеют одну и туже длину h, то и все отрезки ;, ;,..., ; 3. ООО «Резольвента», (495)

6 ООО «Резольвента», (495) имеют ту же длину h (шаг вариации). Другими словами, справедливо соотношение ( ) = + h, =,,...,. Полигоном (многоугольником) орочного распределения называется ломаная линия на координатной плоскости, вершины которой имеют в указанном порядке следующие координаты: ( ; ),( ; ),...,( ; ). Полигоном (многоугольником) относительных частот называется ломаная линия на координатной плоскости, вершины которой имеют в указанном порядке следующие координаты: ( ; W ),( ; W ),...,( ; W ). Полигоны орочного распределения и относительных частот являются удобными графическими представлениями дискретного вариационного ряда. 3. Вычисление характеристик орки Предположим, что орка объема n из генеральной совокупности значений изучаемой случайной величины ξ задана дискретным вариационным рядом X:......, и рассмотрим дискретную случайную величину ξ, закон распределения которой имеет вид ξ :... W W... W, где W, W,, W относительные частоты. ООО «Резольвента», (495)

7 ООО «Резольвента», (495) Функция распределения F( ) дискретной случайной величины ξ называется эмпирической (орочной) функцией распределения изучаемой случайной величины ξ и, в соответствии с определением, введенным в Модуле 7, удовлетворяет условию { } F( ) = P ξ. Модой распределения называется значение случайной величины ξ, обладающее наибольшей относительной плотностью (наибольшей вероятностью). Замечание. У распределения может существовать несколько мод. Квантилью уровня l, где l произвольное число, заключенное в пределах 0 < l <, называется число l, являющееся корнем уравнения F( ) = l. Замечание. Квантили могут определяться неоднозначно. Нижней квартилью, медианой и верхней квартилью называются квантили уровней 0.5, 0,5 и 0.75, соответственно. Математическое ожидание случайной величины ξ называется орочным средним значением и вычисляется по формуле или по эквивалентной формуле Mξ Mξ = n = W. Дисперсия случайной величины ξ называется орочной дисперсией и вычисляется по формуле Dξ = ( Mξ ) или по эквивалентной формуле n ООО «Резольвента», (495)

8 ООО «Резольвента», (495) D ξ = W ( M ξ ). Исправленной орочной дисперсией называется число, обозначае- мое s и определяемое по формуле s n D n = ξ Число σ, равное квадратному корню из орочной дисперсии, называется орочным средним квадратическим отклонением. Моментом порядка p (моментом p - го порядка), где p натуральное число, называется число, определяемое по формуле Mξ p p. = W. Момент p - го порядка, деленный на p -ю степень орочного среднего квадратического отклонения, называется нормированным моментом p - го порядка. Центральным моментом порядка p называется число, определяемое по формуле p ( ξ ξ ) ( ξ ) M M = W M. Центральный момент p - го порядка, деленный на p -ю степень орочного среднего квадратического отклонения, называется нормированным центральным моментом p - го порядка. Асимметрией распределения называется число, определяемое по формуле Замечание. Дисперсия является центральным моментом -го порядка. M µ= ( ξ Mξ ) 3 3 σ. p Эксцессом распределения называется число, определяемое по формуле ООО «Резольвента», (495)

9 ООО «Резольвента», (495) M ε= ( ξ Mξ ) 4 4 σ Замечание. Асимметрия и эксцесс являются центральными нормированными моментами 3-го и 4-го порядков, соответственно. В ряде работ по экономике используется нормированный момент -го порядка, равный орочному среднему значению, деленному на орочное среднее квадратическое отклонение. 4. Точечные и интервальные оценки параметров распределения изучаемой случайной величины. Статистика. Доверительный интервал Предположим, что теоретическое распределение (распределение изучаемой случайной величины ξ ) зависит от числового параметра λ, значение которого неизвестно. Таким параметром может быть, например, математическое ожидание случайной величины ξ. Задача, состоящая в том, чтобы по орочным данным определить неизвестные значения параметров теоретического распределения, называется задачей точечного оценивания параметров, а её решение основано на понятии статистики. Рассмотрим орку,,..., n из генеральной совокупности значений случайной величины ξ, и n независимых случайных величин ξ, ξ,..., ξ n, каждая из которых, во-первых, распределена по тому же закону, как и случайная величина ξ, а, во-вторых, выполняются соотношения Статистикой Λ параметра λ называется произвольная случайная величина ξ (ω) ξ (ω) ξ (ω) =, =,..., n = n. (,,..., ) Λ= Λ ξ ξ ξ n, являющаяся функцией от случайных величин ξ, ξ,..., ξ n.. ООО «Резольвента», (495)

10 ООО «Резольвента», (495) Статистика Λ параметра λ называется несмещенной, если математическое ожидание случайной величины Λ равно λ, т.е. выполнено соотношение ( ξ, ξ,..., ξ n ) λ = M Λ. Статистика Λ параметра λ называется состоятельной, если она сходится по вероятности к параметру λ, т.е. для любого положительного числа ε выполнено соотношение ( ( n ) ) l P Λ ξ,ξ,...,ξ λ > ε = 0. n Статистика Λ параметра λ называется эффективной, если она обладает наименьшей дисперсией. Точечной оценкой λ % параметра λ называется число, полученное в результате подстановки орочных данных в статистику Λ параметра λ, т.е. (,,..., n ) λ % = Λ. Замечание. Среднее орочное значение и исправленная орочная дисперсия являются несмещенными точечными оценками математического ожидания и дисперсии теоретического распределения, соответственно. Выборочная дисперсия является смещенной точечной оценкой дисперсии изучаемой случайной величины. После того, как точечная оценка параметра теоретического распределения получена, возникает задача определения надежности этой оценки. Поставленная задача решается при помощи построения интервальной оценки параметра распределения изучаемой случайной величины. Для построения интервальной оценки параметра зададим достаточно большую вероятность γ, например, γ=0.97, называемую доверительной вероятностью (надежностью), и построим доверительный интервал, т.е. такой интервал, в котором с вероятностью γ находится параметр λ. ООО «Резольвента», (495)

11 ООО «Резольвента», (495) В случае, когда изучаемая случайная величина ξ распределена по нор- мальному закону с известной дисперсией D = σ, доверительный интервал с надежностью γ для оценки её математического ожидания имеет вид σ σ Mξ uα Mξ Mξ uα n < < + n, где число u α определяется по числу -γ α = с помощью таблицы значений функции u α (Таблица 0.), приведенной в пункте 0 Модуля. 5. Распределения χ, Стьюдента и Фишера Введем три важных распределения, близко связанных с нормальным распределением. Пусть ξ0, ξ, ξ,..., ξ n независимые случайные величины, каждая из которых распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и дисперсией. Распределение случайной величины, заданной с помощью формулы n = ξn, χ ξ ξ называется распределением χ (хи квадрат) с n степенями свободы. Плотность распределения χ с n степенями свободы задается функцией f (, n) = где K число, удовлетворяющее условию В математическом анализе интеграл K n Ke при 0, 0 при < 0, = n 0. e d s Γ( s) = e d 0 называется Гамма-функцией, следовательно, ООО «Резольвента», (495)

12 ООО «Резольвента», (495) n n Γ K =. Распределение случайной величины, заданной с помощью формулы t n n ξ =, χ называется распределением Стьюдента (t распределением) с n степенями свободы. Распределение случайной величины, заданной с помощью формулы F 0 n n χn n, n n χn =, называется распределением Фишера ( F распределением) с n и n степенями свободы. Для каждого, из приведенных выше распределений, существуют специальные вероятностные таблицы. В пункте 0 Модуля содержится таблица квантилей распределения χ (Таблица 0.3). 6. Проверка гипотезы о нормальном распределении изучаемой случайной величины. Критерий согласия χ Пирсона Завершающим этапом обработки орочных данных обычно является выдвижение и проверка гипотезы (предположения) о законе распределения изучаемой случайной величины. Выдвижение такой гипотезы происходит на основе построенной гистограммы и полученных оценок основных характеристик распределения. Проверка выдвинутой гипотезы осуществляется с помощью статистических критериев. Для применения статистического критерия задается какое-либо малое значение β вероятности отклонить верную гипотезу. Число β называется уровнем значимости критерия. По уровню значимости с помощью таблиц находится критическая область, при попадании в которую некоторой статистической ООО «Резольвента», (495)

13 ООО «Резольвента», (495) характеристики (статистики), гипотеза принимается. В противном случае гипотеза отвергается. Статистика и таблица для определения критической области зависят от ранного критерия. Одним из наиболее распространенных критериев проверки гипотез о виде закона распределения изучаемой случайной величины является критерий согласия χ Пирсона. Статистикой для этого критерия является выражение χ T ( ) =, T где число групп орочных данных, частоты, полученные при группировке орочных данных, а T - теоретические частоты, которые вычисляются в соответствии с предполагаемым законом распределения. В частности, при проверке гипотезы о нормальном распределении изучаемой случайной величины теоретические частоты для дискретного вариационного ряда вычисляются по формуле T nh X = ϕ, σ X σ X а для интервального вариационного ряда по формуле T a X a X = n Φ Φ σ X σ X, где символами X и σ X обозначены соответственно математическое ожидание и дисперсия нормального закона распределения, а с функциями ϕ( ) = e и Φ ( ) = e π π (см. Таблицы 0. и 0.4) мы уже не один раз встречались. Для определения критической области по заданному уровню значимости β с помощью Таблицы 0 - d 0.3. (Квантили распределения χ ) найдем значение χ кр (квантиль уровня -β ). Число степеней свободы ν = r, где число групп орочных данных, ООО «Резольвента», (495)

14 ООО «Резольвента», (495) а r число неизвестных параметров предполагаемого закона распределения (у нормального распределения таких параметров : математическое ожидание и дисперсия). Гипотеза о законе распределения принимается, если χ < χ. В противном кр случае она отвергается. 7. Группировка орочных данных двумерной орки. Корреляционная таблица В случае, когда изучаются свойства случайного двумерного вектора, орка XY из генеральной совокупности значений является двумерной и представляет собой набор пар значений ( %, y% ) двух количественных характеристик (признаков) X и Y. Действуя по аналогии с тем, как это было сделано в случае одномерной орки, построим групп данных по признаку X и l групп данных по признаку Y. [ a ; a ], [ a ; a ], [ a ; a ],...,[ a ; a ] 0 3 [ b ; b ], [ b ; b ], [ b ; b ],...,[ b ; b ] 0 3 l Двумерным интервальным вариационным рядом называется Таблица b ; b 0 a0; a a; a b ; b bl ; b l l l a ; a l l В этой Таблице символами, =,,..., l, j =,,..., j ООО «Резольвента», (495)

15 ООО «Резольвента», (495) обозначены частоты, показывающие, сколько пар орочных данных ( %, y% ) при группировке попали, соответственно, в прямоугольники [ ] a ; a b ; b. j j Двумерным дискретным вариационным рядом (корреляционной таблицей) называется следующая Таблица. Т а б л и ц а y y y l ООО «Резольвента», (495) l l l В Таблице середины групп (отрезков) орочных данных обозначены символами a + a =, =,,...,. bj + bj y j =, j =,,..., l Справедливы следующие соотношения: ( ) = + h, =,,...,, ( ) y j = y + j hy, j =,,..., l, где через h и h y обозначены шаги вариации по признакам X и Y соответственно. Объем орки n удовлетворяет соотношению: n =., j 8. Вычисление характеристик двумерной орки. Прямая линия регрессии Пусть двумерная орка XY задана корреляционной Таблицей. Рассмотрим следующую Таблицу, которая является расширением Таблицы : j

16 ООО «Резольвента», (495) Т а б л и ц а y y y l l j= l SX j= j l j= l j= j l j= l j= j SY l В последнем столбце SX Таблицы записаны суммы элементов Таблицы, расположенных по строкам,,, соответственно, а в последней строке SY записаны суммы элементов Таблицы, расположенных по столбцам y, y,, y l соответственно. Введем в рассмотрение одномерную орку SX, заданную дискретным вариационным рядом SX : Т а б л и ц а 3... j= l j= l j j j= j=... j= l, j= j и одномерную орку SY, заданную дискретным вариационным рядом SY : Т а б л и ц а 4 y y y l l ООО «Резольвента», (495)

17 ООО «Резольвента», (495) Для контроля правильности вычислений отметим, что сумма элементов, расположенных в нижней строке Таблицы 3, должна совпадать с суммой элементов, расположенных в нижней строке Таблицы 4. Введем следующее обозначение XY l j y j n j= =. Выборочным коэффициентом корреляции называется число, которое определяется по формуле r = XY SX SY σ σ SX SY, SX SY где через SX, SY,σ,σ обозначены средние орочные значения и орочные квадратические отклонения одномерных орок SX и SY соответственно. Замечание. Выборочный коэффициент корреляции оценивает тесноту линейной корреляционной зависимости признаков X и Y измеряемой случайной двумерной величины и по модулю не превосходит. Чем ближе r к, тем сильнее линейная корреляционная зависимость. Прямой линией регрессии называется прямая линия на координатной плоскости X 0Y, имеющая уравнение где y = c + d, σ c = r, σ SX SY σsx SY r σsx SX d =. σ SX Замечание. Прямая линия регрессии наилучшим среди всех прямых образом приближает орочные данные. Приведенные формулы для коэффициен- ООО «Резольвента», (495)

18 ООО «Резольвента», (495) тов уравнения прямой линии регрессии можно получить с помощью метода наименьших квадратов. При решении задач уравнение прямой линии регрессии удобно использовать в следующем виде: Пример. Одномерная орка задана интервальным вариационным рядом: y SY SX = r. σ σ SY SX 9. Примеры Группа [,3 ; 3, ] [ 3, ; 3,9 ] [ 3,9 ; 4,7 ] [ 4,7 ; 5,5 ] [ 5,5 ; 6,3 ] [ 6,3 ; 7, ] Требуется: а) построить гистограмму плотностей относительных частот; б) перейти к дискретному вариационному ряду и построить полигон относительных частот; в) вычислить среднее орочное значение и среднее орочное квадратическое отклонение; г) при уровне значимости β = 0,05проверить гипотезу о нормальном распределении измеряемой случайной величины. Решение. а) Поскольку объем орки n = 00, а шаг вариации h = 0,8, то, воспользовавшись для плотностей относительных частот формулой f = =, n h 80 преобразуем интервальный вариационный ряд к виду Группа [,3 ; 3, ] [ 3, ; 3,9 ] [ 3,9 ; 4,7 ] [ 4,7 ; 5,5 ] [ 5,5 ; 6,3 ] [ 6,3 ; 7, ] f 0,4 0,3 0,38 0,6 0,9 0,06 ООО «Резольвента», (495)

19 ООО «Резольвента», (495) f Гистограмма плотностей относительных частот f : б) Заменяя в первой строке исходного интервального вариационного ряда каждый из отрезков на его середину и разделив все элементы второй строки на объем орки n = 00, получим дискретный вариационный ряд:,7 3,5 4,3 5, 5,9 6,7 W 0, 0,8 0,3 0, 0,5 0,05 Полигон относительных частот W : 0.3 W в) Вычислим сначала среднее орочное значение, воспользовавшись дискретным вариационным рядом: ООО «Резольвента», (495)

20 ООО «Резольвента», (495) X = W =,7 0,+ 3,5 0,8 + 4,3 0,3+ 5, 0,+ 5,9 0,5 + 6,7 0,05 = 4,508. Перейдем к расчету орочной дисперсии: D 6 X W ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (4,508) =,7 0,+ 3,5 0,8 + 4,3 0, , 0,+ 5,9 0,5 + 6,7 0,05 (4,508),6 Теперь найдем орочное среднее квадратическое отклонение: σ = D =,6,08. X X г) Для проверки гипотезы о нормальном распределении изучаемой случайной величины нам потребуется Таблица 0.4. (Значения функции y = ϕ( ) ) и Таблица 0.3. (Квантили распределения χ ). На основе формулы для теоретических частот T nh X 00 0,8 4,508 = ϕ = ϕ σ X σ X,08,08 с помощью таблицы значений функции y = ϕ( ) составим следующую таблицу: 4,508,08 T T ( ),7 0,68 7,5,94 3,5 0,94 9,08 8 0,06 3 4,3 0,9 9,0 30 0,03 4 5, 0,55 5,45 0,78 5 5,9,9,9 5 0,34 6 6,7,03 3,78 5 0,39 Просуммировав последний столбец этой таблицы, определим для рассматриваемой задачи значение χ : T ООО «Резольвента», (495)

21 ООО «Резольвента», (495) T ( ) χ = =,94 + 0,06 + 0,03+ 0,78 + 0,34 + 0,39 = 3,54. T Теперь найдем число степеней свободы в рассматриваемой задаче: ν = r = 6 = 3. Далее с помощью таблицы распределения χ для уровня значимости β = 0,05и 3-х степеней свободы находим критическое значение: χ = 7,8. Поскольку χ = 3,54 < χ = 7,8, то гипотеза о нормальном распределении изучаемой случайной величины принимается. p Пример. Двумерная орка XY задана следующей корреляционной таблицей: y j 5,3 7,4 9,5,6 3,7, , , , , , p Построить уравнение прямой линии регрессии y = c + d. Решение. Найдем сначала объем орки: n = = 00. Теперь вычислим значение выражения XY : 6 5 XY = j yj = 0,0 (6,7 5,3+ 5,7 7, ,5 7, j= + 7 3,5 9,5+ 7 3,5, ,3 7,4+ 4,3 9,5+ 9 4,3, , 9,5+ 6 5,, ,9 9,5+ 7 5,9, ,9 3, ,7,6 + 6,7 3,7) = 0,0 4606,4 46,06. ООО «Резольвента», (495)

22 ООО «Резольвента», (495) Просуммировав в корреляционной таблице частоты по строкам, составим дискретный вариационный ряд для одномерной орки SX : SX :,7 3,5 4,3 5, 5,9 6, Заметим, что дискретный вариационный ряд SX полностью совпадает с дискретным вариационным рядом из примера, все характеристики которого мы уже вычислили при решении примера. Следовательно, SX = 4,508 4,5, D =,6, SX σsx =,08. Просуммировав в корреляционной таблице частоты по столбцам, составим дискретный вариационный ряд для одномерной орки SY : SY : 5,3 7,4 9,5,6 3, Вычислим среднее орочное значение для орки SY : SY = (5, , ,5 36 +, ,7 8) = 0,0 987,8 9, Вычислим орочную дисперсию для орки SY : = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 00 D SY 5,3 6 7,4 8 9,5 36,6 3 3,7 8 ( ) 9,878 0, 97,57 = 4,54. Найдем орочное среднее квадратическое отклонение σ SY : σ = D = 4,54 =,3. SY Теперь найдем орочный коэффициент корреляции r : SY r = XY SX SY 46,06 4,5 9,88 = = 0,65 σ σ,08,3 SX SY. ООО «Резольвента», (495)

23 ООО «Резольвента», (495) Теперь можно составить уравнение прямой линии регрессии. С этой целью подставим в соотношение y SY SX = r σ σ SY полученные в ходе решения примера числовые данные: y 9,88 4,5 = 0,65.,3,08 Следовательно, y =,8 + 4,. Замечание. Вычисления, подобные проведенным при решении примеров и, очень удобно и просто осуществлять, используя, например, программный пакет Ecel. SX ООО «Резольвента», (495)

24 ООО «Резольвента», (495) Статистические таблицы - Т а б л и ц а 0.. Значения функции Лапласа Φ0 ( ) = e π 0 t dt Сотые доли ,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,00 0,060 0,099 0,039 0,079 0,039 0,0359 0, 0,0398 0,0438 0,0478 0,057 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,074 0,0753 0, 0,0793 0,083 0,087 0,090 0,0948 0,0987 0,06 0,064 0,03 0,4 0,3 0,79 0,7 0,55 0,93 0,33 0,368 0,406 0,443 0,480 0,57 0,4 0,554 0,59 0,68 0,664 0,700 0,736 0,77 0,808 0,844 0,879 0,5 0,95 0,950 0,985 0,09 0,054 0,088 0,3 0,57 0,90 0,4 0,6 0,57 0,9 0,34 0,357 0,389 0,4 0,454 0,486 0,57 0,549 0,7 0,580 0,6 0,64 0,673 0,704 0,734 0,764 0,794 0,83 0,85 0,8 0,88 0,90 0,939 0,967 0,995 0,303 0,305 0,3078 0, ,9 0,359 0,386 0,3 0,338 0,364 0,389 0,335 0,3340 0,3365 0,3389,0 0,343 0,3438 0,346 0,3485 0,3508 0,353 0,3554 0,3577 0,3599 0,36, 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,379 0,3749 0,3770 0,3790 0,380 0,3830, 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,395 0,3944 0,396 0,3980 0,3997 0,405,3 0,403 0,4049 0,4066 0,408 0,4099 0,45 0,43 0,447 0,46 0,477,4 0,49 0,407 0,4 0,436 0,45 0,465 0,479 0,49 0,4306 0,439,5 0,433 0,4345 0,4357 0,4370 0,438 0,4394 0,4406 0,448 0,449 0,444,6 0,445 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,455 0,455 0,4535 0,4545,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,458 0,459 0,4599 0,4608 0,466 0,465 0,4633,8 0,464 0,4649 0,4656 0,4664 0,467 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706,9 0,473 0,479 0,476 0,473 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,476 0,4767,0 0,477 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,48 0,487, 0,48 0,486 0,4830 0,4834 0,4838 0,484 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857, 0,486 0,4864 0,4868 0,487 0,4875 0,4878 0,488 0,4884 0,4887 0,4890,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,490 0,4904 0,4906 0,4909 0,49 0,493 0,496,4 0,498 0,490 0,49 0,495 0,497 0,499 0,493 0,493 0,4934 0,4936,5 0,4938 0,4940 0,494 0,4943 0, ,4948 0,4949 0,495 0,495,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,496 0,496 0,4963 0,4964,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,497 0,497 0,4973 0,4974,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,498,9 0,498 0,498 0,498 0,4983 0,4984 0,4984 0, ,4985 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 Т а б л и ц а 0.. Значения функции u α, определяемой равенством α = + π u α - e t dt α 0,00 0,005 0,00 0,05 0,00 0,05 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050 u α 3,090,5758,363,70,0537,9600,8808,89,7507,6954,6449 ООО «Резольвента», (495)

25 ООО «Резольвента», (495) Т а б л и ц а 0.3. Квантили распределения χ с n степенями свободы Уровень квантиля n 0,0 0,05 0,0 0,50 0,90 0,95 0,99 0, , ,058 0,455,7 3,84 6,64 0,00 0,03 0,,39 4,6 5,99 9, 3 0,5 0,35 0,584,37 6,5 7,8,3 4 0,97 0,7,06 3,36 7,78 9,49 3,3 5 0,554,5,6 4,35 9,4, 5, 6 0,87,64,0 5,35 0,6,6 6,8 7,4,7,83 6,35,0 4, 8,5 8,65,73 3,49 7,34 3,4 5,5 0, 9,09 3,33 4,7 8,34 4,7 6,9,7 0,56 3,94 4,87 9,34 6,0 8,3 3, 3,05 4,57 5,58 0,3 7,3 9,7 4,7 3,57 5,3 6,30,3 8,5,0 6, 3 4, 5,89 7,04,3 9,8,4 7,7 4 4,66 6,57 7,79 3,3, 3,7 9, 5 5,3 7,6 8,55 4,3,3 5,0 30,6 6 5,8 7,96 9,3 5,3 3,5 6,3 3,0 7 6,4 8,67 0, 6,3 4,8 7,6 33,4 8 7,0 9,39 0,9 7,3 6,0 8,9 34,8 9 7,63 0,,7 8,3 7, 30, 36, 0 8,6 0,9,4 9,3 8,4 3,4 37,6 8,90,6 3, 0,3 9,6 3,7 38,9 9,54,3 4,0,3 30,8 33,9 40,3 3 0, 3, 4,8,3 3,0 35, 4,6 4 0,9 3,8 5,7 3,3 33, 36,4 43,0 5,5 4,6 6,5 4,3 34,4 37,7 44,3 Т а б л и ц а 0.4. Значения функции ϕ( ) = e π ,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,398 0,3980 0,3977 0,3973 0, 0,3970 0,3965 0,396 0,3956 0,395 0,3945 0,3939 0,393 0,395 0,398 0, 0,390 0,390 0,3894 0,3885 0,3876 0,3867 0,3857 0,3847 0,3836 0,385 0,3 0,384 0,380 0,3790 0,3778 0,3765 0,375 0,3739 0,375 0,37 0,3697 0,4 0,3683 0,3668 0,3653 0,3637 0,36 0,3605 0,3589 0,357 0,3555 0,3538 0,5 0,35 0,3503 0,3485 0,3467 0,3448 0,349 0,340 0,339 0,337 0,335 0,6 0,33 0,33 0,39 0,37 0,35 0,330 0,309 0,387 0,366 0,344 0,7 0,33 0,30 0,3079 0,3056 0,3034 0,30 0,989 0,966 0,943 0,90 0,8 0,897 0,874 0,850 0,87 0,803 0,780 0,756 0,73 0,709 0,685 0,9 0,66 0,637 0,63 0,589 0,565 0,54 0,56 0,49 0,468 0,444 0,40 0,396 0,37 0,347 0,33 0,99 0,75 0,5 0,7 0,03, 0,79 0,55 0,3 0,07 0,083 0,059 0,036 0,0 0,989 0,965, 0,94 0,99 0,895 0,87 0,849 0,86 0,804 0,78 0,758 0,736,3 0,74 0,69 0,669 0,647 0,66 0,604 0,58 0,56 0,539 0,58,4 0,497 0,476 0,456 0,435 0,45 0,394 0,374 0,354 0,334 0,35,5 0,95 0,76 0,57 0,38 0,9 0,00 0,8 0,63 0,45 0,7,6 0,09 0,09 0,074 0,057 0,040 0,03 0,006 0,0989 0,0973 0,957 ООО «Резольвента», (495)

26 ООО «Резольвента», (495) ,7 0,0940 0,095 0,0909 0,0893 0,0878 0,0863 0,0848 0,0833 0,088 0,0804,8 0,0790 0,0775 0,076 0,0748 0,0734 0,07 0,0707 0,0694 0,068 0,0669,9 0,0656 0,0644 0,063 0,060 0,0608 0,0596 0,0584 0,0573 0,056 0,055 0,0540 0,059 0,059 0,0508 0,0498 0,0488 0,0478 0,0468 0,0459 0,0449, 0,0440 0,043 0,04 0,043 0,0404 0,0396 0,0387 0,0379 0,037 0,0363, 0,0355 0,0347 0,0339 0,033 0,035 0,037 0,030 0,0303 0,097 0,090,3 0, ,070 0,064 0,058 0,05 0,046 0,04 0,035 0,09,4 0,04 0,09 0,03 0,008 0,003 0,098 0,094 0,089 0,084 0,080,5 0,075 0,07 0,067 0,063 0,058 0,054 0,05 0,047 0,043 0,039,6 0,036 0,03 0,09 0,06 0,0 0,09 0,06 0,03 0,00 0,007,7 0,004 0,00 0,0099 0,0096 0,0093 0,009 0,0088 0,0086 0,0084 0,008,8 0,0079 0,0077 0,0075 0,0073 0,007 0,0069 0,0067 0,0065 0,0063 0,006,9 0,0060 0,0058 0,0056 0,0055 0,0053 0,005 0,0050 0,0048 0,0047 0, ,0044 0,0043 0,004 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 0,0035 0,0034 3, 0,0033 0,003 0,003 0,0030 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,005 3, 0,004 0,003 0,00 0,00 0,00 0,000 0,000 0,009 0,008 0,008 3,3 0,007 0,007 0,006 0,006 0,005 0,005 0,004 0,004 0,003 0,003 3,4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000 0,000 0,000 0,0009 0,0009 3,5 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0006 3,6 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 3,7 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 3,8 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 3,9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 ООО «Резольвента», (495)

27 ООО «Резольвента», (495) ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ. Что называется генеральной совокупностью и оркой?. Как по орке построить вариационный ряд, интервальный вариационный ряд, дискретный вариационный ряд? 3. Что такое многоугольник орочного распределения? 4. Что такое гистограмма и полигон относительных частот? 5. Какие орочные характеристики Вы знаете? 6. Что называется квантилью орочного распределения? 7. Что называется статистикой параметра случайной величины? 8. Что называется точечной оценкой параметра случайной величины? 9. Что называется интервальной оценкой параметра случайной величины? 0. Какая статистика называется несмещенной?. Какая статистика называется состоятельной?. Какая статистика называется эффективной? 3. Что называется доверительным интервалом? 4. Как построить доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения, если известна дисперсия? 5. В чем состоит критерий согласия χ Пирсона? 6. Какое распределение называется распределением χ? 7. Какое распределение называется распределением Стьюдента? 8. Какое распределение называется распределением Фишера? 9. Что называется двумерной оркой? 0. Что называется корреляционной таблицей?. Что называется коэффициентом корреляции?. В чем состоит корреляционная (регрессионная) зависимость? 3. В чем состоит схема построения уравнения прямой линии регрессии для двумерной орки? ООО «Резольвента», (495)

28 ООО «Резольвента», (495) ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ Выборка из генеральной совокупности значений случайной величины задана дискретным вариационным рядом 0, 0,4 0,7,3,6, Найти:. Моду распределения;. Эмпирическую функцию распределения и построить ее график; 3. Медиану распределения; 4. Нижнюю и верхнюю квартили распределения; 5. Квантиль распределения уровня 0,9; 6. Выборочное среднее значение; 7. Выборочную дисперсию; 8. Исправленную орочную дисперсию; 9. Выборочное среднее квадратическое отклонение; 0. Эксцесс распределения;. Асимметрию распределения.. При уровне значимости β = 0,05проверить гипотезу о нормальном распределении изучаемой случайной величины. Двумерная орка XY задана корреляционной таблицей: y y y 3 y 4 y 5 y ООО «Резольвента», (495)

29 ООО «Резольвента», (495) где, 0,5 ( ), y 0,5 0,9 ( j ) = + = +. j 3. Найти орочный коэффициент корреляции; 4. Построить уравнение прямой линии регрессии вида y = c + d. ООО «Резольвента», (495)

30 ООО «Резольвента», (495) ЛИТЕРАТУРА Основная:. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. М.: Физматлит, Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В., Сиротин А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами: Учебное пособие. М.: Физматлит, Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. М.: ИНФРА-М, Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций./под ред. Свешникова А.А. СПб.: Издательство «Лань», 006. Дополнительная: 5. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. СПб.: Издательство «Лань», Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник. М.: ЮНИТИ-ДАНА, Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник. / Под ред. В.И.Ермакова. М.: ИНФРА-М, Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие. / Под ред. В.И.Ермакова. М.: ИНФРА-М, Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. СПб.: Издательство «Лань», 006. ООО «Резольвента», (495)

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Институт повышения квалификации и переподготовки Факультет переподготовки специалистов образования Кафедра

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Н.О.Фастовец, М.А.Попов Математическая статистика примеры, задачи и типовые задания учебное пособие для нефтегазового образования Москва - - Введение Основное содержание математической статистики составляют

Подробнее

Цели и задачи дисциплины: 2. Место дисциплины в структуре ООП: 3. Требования к результатам освоения дисциплины: ОК-5: ОК-15: ПК-31 ПК-32 знать уметь

Цели и задачи дисциплины: 2. Место дисциплины в структуре ООП: 3. Требования к результатам освоения дисциплины: ОК-5: ОК-15: ПК-31 ПК-32 знать уметь 1. Цели и задачи дисциплины: Целью дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» является успешное освоение студентами материала, закреплѐнного ФГОС высшего профессионального образования

Подробнее

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Институт управления» Экономический факультет Кафедра информационных технологий и прикладной математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Подробнее

Часть 2. Элементы математической статистики

Часть 2. Элементы математической статистики Часть 2. Элементы математической статистики Замечательно, что науке, начинавшейся с рассмотрения азартных игр, суждено было стать важнейшим объектом человеческого знания. Лаплас Вероятность это важнейшее

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г. Тольятти ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербугский

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ 1. ПАСПОРТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

СОДЕРЖАНИЕ 1. ПАСПОРТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 2 СОДЕРЖАНИЕ 1. ПАСПОРТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 3. УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 4. КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ

Подробнее

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения ТЕМА 10. Статистическое оценивание. Цель контента темы 10 изучить практически необходимые методы нахождения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения. Задачи контента темы 10:

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Бакалавр. 4 года. Очная

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Бакалавр. 4 года. Очная МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Теория вероятностей и математическая статистика

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Теория вероятностей и математическая статистика ГОУВПО «Марийский государственный университет» Институт экономики, управления и финансов УТВЕРЖДАЮ Декан факультета/директор института /И.А. Лебедев/ (подпись) (Ф.И.О.) 2011 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Теория

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 3-й семестр 2013 2014, спец. ИУ3, ИУ6 Виды аудиторных занятий и самостоятельной работы Сроки проведения или выполнения, недели Трудоемкость, часы Лекции

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербугский

Подробнее

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ В.Е.Гмурман РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ М.: Высш. школа, 1979, 400 стр. В пособии приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения

Подробнее

Объём учебной дисциплины и виды учебной работы. Лекции Практические занятия. Курсовая работа Контрольная работа

Объём учебной дисциплины и виды учебной работы. Лекции Практические занятия. Курсовая работа Контрольная работа Программа учебной дисциплины составлена на основании учебного плана, утверждённого ректором училища «08» июля 011 года и требований Федерального Государственного образовательного стандарта высшего профессионального

Подробнее

МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ

МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

Программа учебной дисциплины

Программа учебной дисциплины НОУВПО ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ СОЦИАЛЬНОЙ ПСИХОЛОГИИ Программа учебной дисциплины «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» направление подготовки 030300 «Психология» квалификация (степень) форма обучения

Подробнее

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная программа «Теория вероятности и математическая статистика» разработана для специальности 1-21 06 01-01 «Современные иностранные языки» высших учебных заведений. Целью изучения

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Б.И. Положинцев Теория вероятностей и математическая статистика Введение в математическую статистику Санкт-Петербург Издательство СПбГПУ

Подробнее

2. Содержание курса Лекции I семестр. Число часов

2. Содержание курса Лекции I семестр. Число часов 1. Цель и задачи курса Цель курса освоение математического аппарата. Задача курса выработка формального и логического мышления, выработка навыков решения формализованных математических задач.. Содержание

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР К Л Самаров, 009 ООО «Резольвента», 009 ООО «Резольвента»,

Подробнее

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 1.1. Цели освоения дисциплины: научить студентов языку теории вероятностей и статистики; быть поставщиком понятий и результатов, необходимых в других математических

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Кафедра высшей математики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ и контрольные задания по курсу «Прикладная математика» для студентов заочников направлений 8.6 - Агроинженерия 96.6 - Эксплуатация транспортно-технологических

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬ- НЫХ ДАННЫХ НА ЭВМ

ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬ- НЫХ ДАННЫХ НА ЭВМ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬ- НЫХ ДАННЫХ НА ЭВМ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по

Подробнее

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ООО «Резольвента» www.resolventa.ru resolventa@list.ru (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

ОДОБРЕНА предметной (цикловой) комиссией

ОДОБРЕНА предметной (цикловой) комиссией Рабочая программа учебной дисциплины «Теория вероятности и математическая статистика» для специальностей среднего профессионального образования социально-экономического профиля: 080110 Банковское дело.

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ. Кафедра физической химии. А. В. Блохин ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА. Курс лекций.

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ. Кафедра физической химии. А. В. Блохин ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА. Курс лекций. БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра физической химии А. В. Блохин ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Курс лекций В двух частях Часть МИНСК 00 Автор-составитель Блохин А.В., кандидат химических

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Липецкий государственный технический университет» Экономический факультет УТВЕРЖДАЮ Декан ЭФ Московцев В.В. 2011 г. РАБОЧАЯ

Подробнее

Выборки и их характеристики

Выборки и их характеристики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Задача скачана с сайта www.matburo.ru МатБюро - Решение задач по высшей математике

Задача скачана с сайта www.matburo.ru МатБюро - Решение задач по высшей математике Тема: Статистика Задача скачана с сайта MatBuroru ЗАДАНИЕ Имеются данные 6%-ного механического отбора магазинов торговой фирмы по стоимости основных фондов (млрд руб): 4,,9 3,1 3,9 1,7,8 1,8,9 7,1,5 4,7

Подробнее

Контрольная работа 1.

Контрольная работа 1. Контрольная работа...4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку. 4 y y y y y y 4 y y y 4 4 Это уравнение Бернулли. Сделаем замену: y y y 4 4 4 z y ; z y y Тогда

Подробнее

Рабочая программа учебной дисциплины Б2.04 «Теория вероятностей и математическая статистика»

Рабочая программа учебной дисциплины Б2.04 «Теория вероятностей и математическая статистика» 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФГБОУ ВПО «Брянский государственный технический университет» Факультет информационных технологий Кафедра «Высшая математика» УТВЕРЖДАЮ И. о. ректора И.А. Рудаков 013

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Нормальное распределение.

Нормальное распределение. Нормальное распределение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид xa f x e где параметры a и имеют смысл: a M X - математическое ожидание;

Подробнее

Прикладная математика

Прикладная математика Министерство образования и науки Российской Федерации Костромской государственный технологический университет Кафедра высшей математики Е.А. Борисова, Т.В. Пыханова Прикладная математика Учебно-методическое

Подробнее

7. Предельные теоремы в теории вероятностей Классические предельные теоремы в схеме независимых испытаний (локальная и интегральная). 7.2.

7. Предельные теоремы в теории вероятностей Классические предельные теоремы в схеме независимых испытаний (локальная и интегральная). 7.2. Программа вступительных экзаменов в аспирантуру по направлению 01.06.01 математика и механика специальность 01.01.05 теория вероятностей и математическая статистика Раздел 1. Теория вероятностей. 1. Основные

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет имени К.Э. Циолковского

Подробнее

ПРОГРАММА ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДЛЯ СТУДЕНТА ( SYLLABUS) Специальность 5B «Математическое и компьютерное моделирование»

ПРОГРАММА ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДЛЯ СТУДЕНТА ( SYLLABUS) Специальность 5B «Математическое и компьютерное моделирование» Министерство образования и науки Республики Казахстан Карагандинский государственный технический университет «Утверждаю» Председатель Ученого совета, ректор, академик НАН РК Газалиев А.М. 015г. ПРОГРАММА

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ УТВЕРЖДАЮ Декан ФПМК Горцев А.М. "28" августа 2014 г. Рабочая программа

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 59-28-1 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 1 Цели и задачи дисциплины: Цель учебного курса теории вероятностей и математической статистики является ввести студента в круг математических знаний, составляющих

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный гуманитарный университет»

Подробнее

способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально-

способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально- 2 1 Цель и задачи изучения дисциплины Цель: формирование у студентов системы базовых теоретических знаний и практических навыков основ математического аппарата, основных методов количественного измерения

Подробнее

1. Общий анализ временного ряда. Доходы населения

1. Общий анализ временного ряда. Доходы населения 1. Общий анализ временного ряда. 1.1. Проверка гипотезы о случайности временного ряда. График временного ряда изучаемого показателя «Среднедушевые денежные доходы» изображен на рис. «Доходы населения».

Подробнее

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы.

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы. Программа по «Математике» (базовый уровень) РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии Тема 1. Векторы и матрицы. N-мерные векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость

Подробнее

ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ВЫБОРОЧНЫХ ДАННЫХ. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Н.С.

ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ВЫБОРОЧНЫХ ДАННЫХ. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Н.С. Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине ОПД.Ф.9 «Теория вероятности» для специальности «Математика» курс III Экзамен - V семестр семестр

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине ОПД.Ф.9 «Теория вероятности» для специальности «Математика» курс III Экзамен - V семестр семестр МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Математический

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» Кафедра «Математика» Л.Ф. Кочнева, З.С. Липкина,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Подробнее

Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные определения

Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные определения Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные определения В случае, когда число значений признака Х велико или признак является непрерывным, составляют интервальный ряд. Опр. Интервальный

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского ЗАДАЧИ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Составитель: доцент Демиденко

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. 3 Условия реализации рабочей программы учебной дисциплины Требования к минимальному материально-техническому обеспечению 19

СОДЕРЖАНИЕ. 3 Условия реализации рабочей программы учебной дисциплины Требования к минимальному материально-техническому обеспечению 19 3 СОДЕРЖАНИЕ 1 Паспорт рабочей программы учебной дисциплины 1.1 Область применения программы. 1. Место дисциплины в структуре образовательной программы 1.3 Цели и задачи дисциплины требования к результатам

Подробнее

Инструкция по выполнению. индивидуального расчетного задания. по математической статистике

Инструкция по выполнению. индивидуального расчетного задания. по математической статистике Инструкция по выполнению индивидуального расчетного задания по математической статистике Все упоминаемые ниже стандартные функции компьютерных пакетов следует искать в разделе «Статистические». Уровень

Подробнее

Перечень компетенций ОПК-2 - готовностью применять качественные и количественные методы психологопедагогических

Перечень компетенций ОПК-2 - готовностью применять качественные и количественные методы психологопедагогических Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Психологии 2. Направление подготовки 44.03.02 Психолого-педагогическое образование,

Подробнее

Рабочая программа по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика

Рабочая программа по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Алтайский экономико-юридический институт" кафедра общих математических и естественнонаучных дисциплин УТВЕРЖДАЮ Ректор

Подробнее

Методические указания к выполнению курсовой работы

Методические указания к выполнению курсовой работы Методические указания к выполнению курсовой работы "СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ" для студентов специальности 655Д «Роботы и робототехнические системы» Кафедра математики г Описание работы Курсовой проект предполагает

Подробнее

+ z A1A 2. z A1A 4 A 1 A 2 A 1 A = 9

+ z A1A 2. z A1A 4 A 1 A 2 A 1 A = 9 Математика. Задание 1. По координатам вершин пирамиды A 1 A A 3 A 4 найти: 1. Длины рјбер A 1 A и A 1 A 3 ;. Угол между рјбрами A 1 A и A 1 A 3 ; 3. площадь грани A 1 A A 3 ; 4. объјм пирамиды; 5. уравнения

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Дисциплина «Математика»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Дисциплина «Математика» Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Оренбургский Государственный аграрный университет Кафедра «Физика» УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Профессор В.В.Каракулев

Подробнее

Цель работы. Содержание работы. 1. Установление наличия корреляционной зависимости между случайными

Цель работы. Содержание работы. 1. Установление наличия корреляционной зависимости между случайными Цель работы Часто на практике необходимо исследовать, как изменение одной переменной величины X влияет на другую величину Y Например, как количество цемента X влияет на прочность бетона Y Такое влияние

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА для направления «Экономика» «УТВЕРЖДАЮ» Проректор по учебной работе И.В.Щербакова Программа одобрена на заседании Ученого совета

Подробнее

Б а й е с о в с к а я к л а с с и ф и к а ц и я

Б а й е с о в с к а я к л а с с и ф и к а ц и я МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Б.2.1 Математика и статистика. Направление подготовки Реклама и связи с общественностью

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Б.2.1 Математика и статистика. Направление подготовки Реклама и связи с общественностью ГБОУ ВПО «БАШКИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ И УПРАВЛЕНИЯ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН» Кафедра информационных технологий в управлении РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Б.2.1

Подробнее

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Факультет

Подробнее

Исходные данные. Требуется: 1) построить уравнение множественной линейной регрессии; 2) записать модель множественной линейной регрессии;

Исходные данные. Требуется: 1) построить уравнение множественной линейной регрессии; 2) записать модель множественной линейной регрессии; Задача 4 По 0 предприятиям региона имеются данные (табл 4) показателей «Выработка продукции на одного работника» (, тыс руб), «Ввод в действие новых основных фондов» (х 1, % от стоимости фондов на конец

Подробнее

Тема 1. Количественные характеристики случайных событий. Тема 2. Количественные характеристики случайной величины

Тема 1. Количественные характеристики случайных событий. Тема 2. Количественные характеристики случайной величины ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТАМ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ В МЕЖСЕССИОННЫЙ ПЕРИОД ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ 030300.62 ПСИХОЛОГИЯ Тема 1. Количественные

Подробнее

«Менеджмент» Профили подготовки 1. «Маркетинг» 2. «Управление малым бизнесом» Квалификация (степень) выпускника - бакалавр

«Менеджмент» Профили подготовки 1. «Маркетинг» 2. «Управление малым бизнесом» Квалификация (степень) выпускника - бакалавр ЧАСТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «АКАДЕМИЯ СОЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ» ОДОБРЕНО Решением Ученого совета протокол 9 от 26.05.2014 УТВЕРЖДЕНО приказом ректора 08/07 от

Подробнее

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский экономико-правовой институт»

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский экономико-правовой институт» Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский экономико-правовой институт» Кафедра естественнонаучных и математических дисциплин РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И УКАЗАНИЯ Титульный лист методических рекомендаций и указаний, методических рекомендаций, методических указаний Форма Ф СО ПГУ 7.18.3/40 Министерство образования и науки Республики Казахстан Павлодарский государственный

Подробнее

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Институт психологии Кафедра общей психологии РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по дисциплине

Подробнее

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Программа составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта высшего образования (уровень подготовки кадров высшей квалификации) по направлению подготовки 09.06.01 Информатика

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОУ ВПО «МОСКОВСКАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА» Институт экономики Кафедра математики и информатики УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе д.э.н., профессор

Подробнее

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 А.В. Иванов,

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Академия труда и социальных отношений Кафедра высшей и прикладной математики Потемкин Александр Владимирович Эйсымонт Инна Михайловна «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ» проект ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА» Рекомендуется для направления подготовки

Подробнее

Экономический факультет. ФОНД оценочных средств по дисциплине. Квалификация (степень) выпускника. очной, заочной формы обучения

Экономический факультет. ФОНД оценочных средств по дисциплине. Квалификация (степень) выпускника. очной, заочной формы обучения Частное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский институт защиты предпринимателя» (РИЗП) Экономический факультет Приложение 1 к рабочей программе дисциплины «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

Аннотация 1.1. ЦЕЛЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. II. Требования к результатам освоения основной образовательной программы

Аннотация 1.1. ЦЕЛЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. II. Требования к результатам освоения основной образовательной программы Аннотация Рабочая программа составлена на основании федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по курсу «Теория вероятностей и математическая по направлению

Подробнее

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Сибирский математический журнал Январь февраль, 2010. Том 51, 1 УДК 519.233.5+519.654 О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский технологический

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА ФИЛИАЛ В Г. НАХОДКЕ КАФЕДРА ДИЗАЙНА И СЕРВИСА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме

Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Нижегородский Государственный Технический университет имени Р.Е. Алексеева Кафедра ФТОС Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Попов Е.А., Успенская Г.И. Нижний Новгород

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (230701) «Прикладная информатика (по отраслям)»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (230701) «Прикладная информатика (по отраслям)» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Санкт Петербургский государственный университет телекоммуникаций им.

Подробнее

Аннотация рабочей программы дисциплины ЕН.Ф.01 Математика Общая трудоемкость дисциплины 600 часов

Аннотация рабочей программы дисциплины ЕН.Ф.01 Математика Общая трудоемкость дисциплины 600 часов Аннотация рабочей программы дисциплины ЕН.Ф.01 Математика Общая трудоемкость дисциплины 600 часов 1.Цель преподавания учебной дисциплины - Дать представление о математике как особом способе познания мира,

Подробнее

Федеральное агентство по образованию РФ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА В СПОРТЕ

Федеральное агентство по образованию РФ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА В СПОРТЕ Федеральное агентство по образованию РФ Бурятский государственный университет 1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА В СПОРТЕ Улан-Удэ 007г. I. ЭМПИРИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НАБЛЮДЕНИЙ....

Подробнее

Оценивание скорости убывания экспоненциального хвоста распределения

Оценивание скорости убывания экспоненциального хвоста распределения Информационные процессы, Том 9, 3, 2009, стр. 210 215. c 2009 Давиденко. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ Оценивание скорости убывания экспоненциального хвоста распределения М.Г. Давиденко

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Теория вероятностей и математическая статистика» Шифр дисциплины Для направления 080100

Подробнее

Учитель: Я говорю лишь то, что вам самим должно быть ведомо. Давай наставления только тому, кто ищет знаний.

Учитель: Я говорю лишь то, что вам самим должно быть ведомо. Давай наставления только тому, кто ищет знаний. Конфуций говорил: Учитель: Я говорю лишь то, что вам самим должно быть ведомо. Давай наставления только тому, кто ищет знаний. http://www-chemo.univer.kharkov.ua/ 1 Случайные величины и их характеристики.

Подробнее

НОУВПО ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)»

НОУВПО ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)» НОУВПО ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)» направление подготовки профили квалификация (степень) форма обучения

Подробнее

Рекомендовано для использования в учебном процессе

Рекомендовано для использования в учебном процессе Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации»

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Образовательное учреждение профсоюзов высшего и профессионального образования «Академия труда и социальных отношений» Кафедра высшей и прикладной математики РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ»

ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.

Подробнее

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim.

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim. Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

Подробнее