ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА"

Транскрипт

1 Алексеева О.А. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методическое пособие Челябинск 04

2 УДК 59. ББК.7 А 47 Алексеева О.А. Теория вероятностей и математическая статистика: учебно-методическое пособие. Челябинск: НОУВПО РБИУ, с. Приведены примеры решения задач раздела «Теория вероятностей» курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Учебно-методическое пособие предназначено для выполнения самостоятельной работы студентами по направлениям Прикладная информатика, Бизнес-информатика, Экономика. Рецензенты: Чеботарев С.С. кандидат физ.-мат. наук, заведующий кафедрой математики и информатики, НОУВПО РБИУ. УДК 59. ББК.7 Алексеева О.А., 04 НОУВПО РБИУ, 04

3 Содержание Введение Определение вероятности Классическое и статистическое определение вероятности Геометрические вероятности Основные теоремы..... Теоремы сложения и умножения вероятностей..... Формулы полной вероятности и Байеса Повторение испытаний Формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях Производящая функция Дискретные случайные величины Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальный закон и закон Пуассона Простейший поток событий Числовые характеристики дискретных случайных величин Теоретические моменты Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Функции и плотности распределения вероятностей случайных величин Функция распределения вероятностей случайной величины Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Числовые характеристики непрерывных случайных величин Равномерное распределение

4 6.5. Нормальное распределение Дополнительные сведения по основным распределения случайной величины: биномиальное, Пуассона, геометрическое, гипергеометрическое, равномерное, показательное, нормальное. Их математические ожидания и дисперсии Распределение функции одного и двух случайных аргументов Функция одного случайного аргумента Функция двух случайных аргументов Система двух случайных величин Закон распределения двумерной случайной величины Условные законы распределения вероятностей составляющих дискретной двумерной случайной величины Отыскание плотностей и условных законов распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины Числовые характеристики непрерывной системы двух случайных величин Задачи... 8 Задачи к теме... 8 Задачи к теме Задачи к теме Задачи к теме Задачи к теме Библиографический список

5 Введение Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для выполнения самостоятельных работ студентами при изучении раздела «Теория вероятностей» курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Предполагается, что использование данного учебно-методического пособия позволит студентам не только понять и уяснить, как решаются вероятностные задачи, но и закрепить эти знания решением задач. Теория вероятностей специальный раздел курса высшей математики, занимающийся изучением математических закономерностей массовых однородных случайных явлений. Методы теории вероятностей широко используются в теории информации, теории массового обслуживания, в теории принятия решений, экономике, в теории надежности, в физике, астрономии и др. дисциплинах. Теория вероятностей лежит в основе математической статистики, которая, в свою очередь, используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, контроле качества продукции и т.д. Математическая статистика наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для осуществления научно обоснованных прогнозов и практических рекомендаций. Учебно-методическое пособие содержит краткие теоретические сведения по всем основным разделам «Теория вероятностей» курса «Теория вероятностей и математическая статистика», примеры решения задач и задания для самостоятельной работы. 5

6 . Определение вероятности.. Классическое и статистическое определение вероятности Цель: уяснить определение основных терминов и основополагающих понятий теории вероятностей, понять разницу между классическим и статистическим определениями вероятности. Краткие теоретические сведения Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерных массовых однородных случайных событий. Событие рассматривается как результат испытания. Исход события заранее неизвестен. Вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события. Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих общую группу. Итак, вероятность события А определяется формулой: m P( A), () n где m число элементарных исходов, благоприятствующих испытанию А; n число всех возможных элементарных исходов испытания. Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же встречаются испытания с бесконечным числом возможных исходов. В таких случаях классическое определение неприменимо. Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно равновозможность элементарных исходов испытания следует из соображений симметрии. Например, предполагается, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного материала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко. Поэтому наряду с классическим определением вероятности используются и другие определения. 6

7 Статистическое определение вероятности. В качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистическую вероятность события. Относительная частота события А определяется равенством: m P ' (A), () n где m число испытаний, в которых событие А наступило; n общее число произведенных испытаний. Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так, в приведенном примере в качестве вероятности события можно принять не только 0,4, но и 0,39; 0,4 и т.д. Для существования статистической вероятности события А требуется: а) возможность производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает; б) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испытаний; Основные свойства вероятности:. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию, т.е. m=n, следовательно, m n P(A). n n (3). Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов не благоприятствует событию, т.е. m=0, следовательно, m 0 P(A) 0. (4) n n 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь общая часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае m 0<m<n, значит, 0 < <, следовательно, n 0 P(A). (5) 7

8 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. Структура занятых в региональном отделении крупного банка имеет следующий вид (табл. ): Таблица Структура Женщины Мужчины Администрация 5 5 Операционисты 35 5 Если один из служащих выбран случайным образом, то какова вероятность, что он: а) мужчина-администратор; б) женщина-операционист; в) мужчина; г) операционист? а) В банке работают 00 человек, N = 00. Из них 5 мужчины-администраторы, М = 5. следовательно, Р(мужчина-администратор) = 5/00 = 0,5. б) 35 служащих в банке женщины-операционисты, следовательно, P(женщина-операционист) = 35/00 = 0,35. в) 40 служащих в банке мужчины, следовательно, Р(мужчина) = 40/00 = 0,40. г) Из общего числа служащих в банке 60 операционисты, следовательно, P(операционист) = 60/00= 0,60.. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу попарных сочетаний элементов устройства сочетаний из 5 элементов по С 5. 5! С5 0.!(5 )! В устройстве три исправных элемента, следовательно, число исходов, благоприятствующих событию равно числу возможных сочетаний из трех неиспорченных элементов С3 3. Искомая вероятность события Р(А)= 3/0 = 0,3. 3. В «секретном» замке на общей оси четыре диска, каждый из которых разделен на пять секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзнач- 8

9 ное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно 5 4 (число поворотов дисков). Замок открывается лишь при составлении определенного числа, т.е. благоприятный исход испытания только один. Поэтому искомая вероятность события равна: Р(А)=/ При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 00 приборов. Каждый десятый прибор неисправный, следовательно, 00/0=0 неисправных приборов. 00-0=80 исправных приборов. Контрольные вопросы.. В чем состоит различие между классическим и статистическим определениями вероятности?. Какие события называются совместными? Несовместными? 3. Каковы условия существования статистической вероятности события А? 4. Почему существует несколько определений вероятности?.. Геометрические вероятности Цель: уяснить тип задач, для решения которых используется определение геометрической вероятности. Краткие теоретические сведения Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности - вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством: Длина l Р. (6) Длина L Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством: Р. Площадь g Площадь G (7) 9

10 Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру ν, которая составляет часть фигуры V: Объем v Р. Объем V (8) РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью Т. Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t (t<t). Найти вероятность того, что сигнализатор срабатывает за время Т, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу. Обозначим моменты поступления сигналов первого и второго устройств соответственно через х и у. В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства: 0 x T, 0 у T. Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат хоу (рис. ). В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату ОТАТ. Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют все возможные значения моментов поступления сигналов. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t, т.е. если y-x<t при y>x и x-y<t при x>y, или, что то же, y < x+t при y>x, (*) y > x-t при y<x. (**) Неравенство (*) выполняется для координат тех точек фигуры G, которые лежат выше прямой у=х и ниже прямой y=x+t; неравенство (**) у Т t у=х+t y=x-t A y=x 0 t T x Рис.. Геометрические вероятности. Задача имеет место для точек, расположенных ниже прямой у=х и выше прямой y=x-t. Все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (*) и (**), принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятствующими срабатыванию сигнализатора моментами времени х и у. Искомая вероятность 0

11 Площадь g Площадь G Т (Т t) T t Р T t.. Два студента условились встретиться в определенном месте между и 3 часами дня. Пришедший первым, ждет второго в течение часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча 4 у В 5 у=х+5 y=x-5 В y=x A x Рис.. Геометрические вероятности. Задача Искомая вероятность Площадь g Площадь G T состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от до 3 часов). Пусть х момент прихода первого студента, у момент прихода второго студента. По условию задачи встреча должна состояться в определенный час, следовательно, 0 х 60 и 0 у 60. Встреча состоится, если х - у < 5 при x>y или y - x < 5 при y > x, т.е. y>x-5 при y<x (*) y<x+5 при y>x (**) Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат xoy (рис. ). В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату ОВАВ. Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют все возможные моменты встречи. Неравенство (*) выполняется для координат тех точек фигуры G, которые лежат ниже прямой y=x и выше прямой у=х-5; неравенство (**) имеет место для точек, расположенных выше прямой у=х и ниже прямой у=х+5. Все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (*) и (**), принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятствующими встрече студентов. 60 (60 5) 60 5 Р Контрольные вопросы.. Что называется геометрической вероятностью?. Зачем были введены геометрические вероятности?

12 . Основные теоремы.. Теоремы сложения и умножения вероятностей Цель: научиться применять теоремы сложения и умножения вероятностей к решению задач. Краткие теоретические сведения. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) (9) Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А +А + + А n ) = P(А ) + P(А ) + +P(А n ) Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) Р(АВ) () Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий: Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) Р(АВ) Р(АС) Р(ВС) + Р(АВС) () Условной вероятностью Р А (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: Р А (В) = Р(В) (3) Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми. Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ) = Р(А) * Р А (В) (4) В частности, для независимых событий Р(АВ) = Р(А) * Р(В), (5) (0)

13 т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляют в предположении, что первое событие уже наступило: Р(А А А 3 А n ) = P(А ) * P А (А ) * P АА (А ) * * P АА Аn- (А n ), (6) где P АА Аn- (А n ) вероятность события А n, вычисленная в предположении, что события А, А,, А n наступили. В частности, вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий: Р(А А А 3 А n ) = P(А ) * P(А ) P(А n ). РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. Компания производит холодильников в год, которые реализуются в различных регионах России. Из них экспортируются в страны СНГ, продаются в регионах Европейской части России, продаются в страны дальнего зарубежья, в Западной Сибири, 5000 в Восточной Сибири, в Дальневосточном районе. Чему равна вероятность того, что определенный холодильник будет: а) произведен на экспорт; б) продан в России? Обозначим события: А «Холодильник будет продан в странах СНГ»; В «Холодильник будет продан в Европейской части России»; С «Холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья»; D «Холодильник будет продан в Западной Сибири»; Е «Холодильник будет продан в Восточной Сибири»; F «Холодильник будет продан в Дальневосточном районе». Соответственно, вероятность того, что холодильник будет продан в странах СНГ: Р(А) = 0000/40000 =0,5; вероятность того, что холодильник будет продан в Европейской части России: Р(В) = 8 000/ = 0,0; вероятность того, что холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья: Р(С) = 7 000/ = 0,75; вероятность того, что холодильник будет продан в Западной Сибири; Р(D) = 6 000/ = 0,5; вероятность того, что холодильник будет продан в Восточной Сибири: Р(Е) = 5 000/ = 0,5; вероятность того, что холодильник будет продан на Дальнем Востоке: P(F) = 4 000/ =0,0. События А, В, С, D, Е, F несовместные. 3 (7)

14 . Событие, состоящее в том, что холодильник произведен на экспорт, означает, что холодильник будет продан или в страны СНГ, или в страны дальнего зарубежья. Отсюда по формуле (.5) находим его вероятность: Р(холодильник произведен на экспорт) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = = 0,5 + 0,75 = 0,45.. Событие, состоящее в том, что холодильник будет продан в России, означает, что холодильник будет продан или в Европейской части России, или в Западной Сибири, или в Восточной Сибири, или на Дальнем Востоке. Отсюда по формуле (.6) находим его вероятность: Р(холодильник будет продан в России) = Р(А +D+E+ F) = Р(В) + P(D) + + Р(Е) + P(F) = 0,0 + 0,5 + +0,5 + 0,0 = 0,575. Этот же результат можно было получить рассуждая по-другому. События «Холодильник произведен на экспорт» и «Холодильник будет продан в России» два взаимно противоположных события, отсюда по формуле (.3): Р(холодильник будет продан в России) = Р(холодильник произведен на экспорт) = 0,45 =0,575.. Доказать, что если событие А влечет за собой событие В, то Р(В) Р(А). Событие В можно представить в виде суммы несовместных событий А и АВ: В А А В. По теореме сложения вероятностей несовместных событий получим: РВ РА А В Р(А) РА В. Так как РА В 0, то Р(В) Р(А). Доказано. 3. Вероятности появления каждого из двух независимых событий А и А соответственно равны р и р. Найти вероятность появления только одного из этих событий. Введем обозначения событий: В - появилось только событие А ; В - появилось только событие А. Появление события В равносильно появлению события А А (поя-. Появление А (появилось второе со- вилось первое событие и не появилось второе), т.е. В = А А события В равносильно появлению события А бытие и не появилось первое), т.е. В = А А. Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий А и А достаточно найти вероятность появления одного, безразлично какого, из событий В и В. События В и В несовместны, поэтому применима теорема сложения: Р(В +В ) = Р(В ) + Р(В ) (*) 4

15 Остается найти вероятности каждого из событий В и В. События А и А независимы, следовательно, независимы события А и А, а также А и А, поэтому применима теорема умножения: Р(В ) = Р( А А ) = Р(А ) * Р( А ) = р q. Р(В ) = Р( А А ) = Р( А ) * Р(А ) = р q. где q =- р и q = - р. вероятность того, что событие не произойдет. Подставив эти вероятности в соотношение (*), найдем искомую вероятность появления только одного из событий А и А : Р(В + В ) = р q + р q.. Ответ: р q + р q. 4. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор. Пусть А событие, состоящее в том, что сработает первый сигнализатор, А событие, состоящее в том, что сработает второй сигнализатор, В событие, состоящее в том, что сработает только первый сигнализатор, В событие, состоящее в том, что сработает только второй. Можно записать: В = А А (сработает только первый сигнализатор) и В = А А (сработает только второй). События В и В несовместны, следовательно: Р(В +В ) = Р(В ) + Р(В ). Найдем вероятность каждого из событий В и В, применив теорему умножения: Р(В ) = Р(А А ) = Р(А ) * Р( А ) = 0,95 * 0, = 0,095 Р(В ) = Р( А А ) = Р( А ) * Р(А ) = 0,05 * 0,9 = 0,045. Найдем искомую вероятность появления только одного события: Р(В +В ) = 0, ,095 = 0,4. Ответ: 0,4. 5. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время t) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что за время t безотказно будут работать: а) только один элемент; б)только два элемента; в)все три элемента. Пусть А событие, состоящее в том, что сработает первый сигнализатор, А событие, состоящее в том, что сработает второй сигнализатор, А 3 событие, состоящее в том, что сработает третий сигнализатор, В событие, состоящее в том, что сработает только первый сигнализатор, В событие, состоящее в том, что сработает только второй и В 3 событие, состоящее в том, что сработает только третий сигнализатор. 5

16 События В, В и В 3 несовместны, следовательно, по теореме сложения: Р(В +В +В 3 ) = Р(В ) + Р(В ) + Р(В 3 ). Найдем вероятности каждого из событий В,В,В 3 : Р(В ) = Р(А А А 3 ) = Р(А ) * Р( А ) * Р( А 3 )= 0,6 * 0,3 * 0, = 0,036; Р(В ) = Р( А А А 3 ) = Р( А ) * Р(А ) * Р( А 3 )= 0,4 * 0,7 * 0, = 0,056; Р(В 3 ) = Р( А А А 3 ) = Р( А ) * Р( А ) * Р(А 3 )= 0,4 * 0,3 * 0,8 = 0,096; Искомая вероятность срабатывания только одного устройства: Р(В +В +В 3 ) = 0, , ,096 = 0,88. Ответ: 0, Консультационная фирма претендует на заказа от крупных корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения консультационной работы в корпорации А равна 0,45. Эксперты также полагают, что если фирма получит заказ у корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится к ним, равна 0,9. Какова вероятность того, что консультационная фирма получит оба заказа? Обозначим события: А «Получение консультационной работы в корпорации А»; В «Получение консультационной работы в корпорации В». События А и В зависимые, так как событие В зависит от того, произойдет или нет событие А. По условию мы имеем Р(А) = 0,45, а также знаем, что Р(В/А) = 0,9. Необходимо найти вероятность того, что оба события (и событие А, и событие В) произойдут, т.е. Р(АВ). Для этого используем правило умножения вероятностей (.0). Отсюда получим Р(АВ) = Р(А)Р( B/А) = 0,45 0,9 = 0, В большой рекламной фирме % работников получают высокую заработную плату. Известно также, что 40% работников фирмы женщины, а 6,4% работников женщины, получающие высокую заработную плату. Можем ли мы утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда? Сформулируем условие этой задачи в терминах теории вероятностей. Для ее решения необходимо ответить на вопрос: «Чему равняется вероятность того, что случайно выбранный работник будет женщиной, имеющей высокую заработную плату?» и сравнить ее с вероятностью того, что наудачу выбранный работник любого пола имеет высокую зарплату. Обозначим события: А «Случайно выбранный работник имеет высокую зарплату»; В «Случайно выбранный работник женщина». События А и В зависимые. По условию 6

17 Р(АВ) = 0,064; Р(В) = 0,40; Р(А) = 0,. Нас интересует вероятность того, что наудачу выбранный работник имеет высокую зарплату при условии, что это женщина, т. е. условная вероятность события А. Тогда, используя теорему умножения вероятностей, получим Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В) = 0,064/0,40 = 0,6. Поскольку Р(А/В) = 0,6 меньше, чем Р(А) = 0,, то мы можем заключить, что женщины, работающие в рекламной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами. 8. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,06. Предполагается, что оба события независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит: а) обе рекламы; б) хотя бы одну рекламу? Обозначим события: А «Потребитель увидит рекламу по телевидению»; В «Потребитель увидит рекламу на стенде»; С «Потребитель увидит хотя бы одну рекламу». Это значит, что потребитель увидит рекламу по телевидению, или на стенде, или по телевидению и на стенде. По условию Р(А) = 0,04; Р(В) = 0,06. События А и. В совместные и независимые. а) Поскольку вероятность искомого события есть вероятность совместного наступления независимых событий А и В (потребитель увидит рекламу и по телевидению и на стенде), т. е. их пересечения, для решения задачи используем правило умножения вероятностей для независимых событий. Отсюда Р(АВ) = Р(А) Р(В) = 0,04 0,06 = 0,004. Вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы, равна 0,004. б) Так как событие С состоит в совместном наступлении событий А и В, искомая вероятность может быть найдена с помощью правила сложения вероятностей. Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,04 + 0,06-0,004 = 0,

18 .. Формулы полной вероятности и Байеса Часто мы начинаем анализ вероятностей, имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т. д., мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей. Последовательность процесса переоценки вероятностей можно схематично изобразить так (рис. 3): Априорные вероятности Новая информация из каких-либо источников Байесовский анализ Апостериорные вероятности Рис. 3. Последовательность процесса переоценки вероятностей Пусть событие А может осуществиться лишь вместе с одним из событий Н, Н, H 3,..., H n, образующих полную группу. Пусть известны вероятности Р(Н ), Р(Н ),..., Р(Н i ),..., Р(Н n ). Так как события Н i образуют полную группу, то (8) а также известны и условные вероятности события А: (9) Так как заранее неизвестно, с каким из событий Н i произойдет событие А, то события Н i, называют гипотезами. Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий Н i с учетом полной информации о событии А. Вероятность события А определяется как (0) Эта вероятность называется полной вероятностью. Если событие А может наступить только вместе с одним из событий Н,Н,Н 3,..., Н n, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, 8

19 то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н, Н,..., Н n на соответствующую условную вероятность события А. Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле или () Это формулы Байеса (по имени английского математика Т.Байеса, опубликовавшего их в 764 г.), выражение в знаменателе формула полной вероятности. Пример. Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые ЧИПы от поставщиков. -й поставляет 65% ЧИПов, -й 35%. Известно, что качество поставляемых ЧИПов разное. На основании предыдущих данных о рейтингах качества составлена табл.. Таблица. Рейтинг качества Поставщик % качественной продукции % брака -й поставщик -й поставщик Предприятие осуществляет гарантийный ремонт компьютеров. Имея данные о числе компьютеров, поступающих на гарантийный ремонт в связи с неисправностью ЧИПов, переоцените вероятности того, что возвращенный для ремонта компьютер укомплектован ЧИПом: а) от -го поставщика; б) от -го поставщика. Решение задач с использованием формул полной вероятности и Байеса удобнее оформлять в виде табл.. Таблица. Решение задачи при помощи формул полной вероятности и Байеса Вероятности априорные Р(Н i ) условные Р(А/Н i ) совместные Р(Н i А) Гипотезы Н i апостериорные Р(Н i /А) Шаг. В колонке перечисляем события, которые задают априорную информацию в контексте решаемой проблемы: Соб. Н ЧИП от -го поставщика; Соб. Н ЧИП от -го поставщика. Это гипотезы и они образуют полную группу независимых и несовместных событий. В колонке записываем вероятности этих событий: Р(Н ) = 0,65, Р(Н ) = 0,35. В колонке 3 определим условные вероятности события А «ЧИП бракованный» для каждой из гипотез. 9

20 Шаг. В колонке 4 находим вероятности для событий «ЧИП от -го поставщика и он бракованный» и «ЧИП от -го поставщика и он бракованный». Они определяются по правилу умножения вероятностей путем перемножения значений колонок и 3. Поскольку сформулированные события являются результатом пересечения двух событий А и Н i, то их вероятности называют совместными: Р(Н i А) = Р(Н i )Р(А/Н i ). () Шаг 3. Суммируем вероятности в колонке 4 для того, чтобы найти вероятность события А. В нашем примере 0,030 вероятность поставки некачественного ЧИПа от -го поставщика, 0,075 вероятность поставки некачественного ЧИПа от -го поставщика. Поскольку, как мы уже сказали выше, ЧИПы поступают только от поставщиков, то сумма вероятностей 0,030 и 0,075 показывает, что 0,0305 есть вероятность бракованного ЧИПа в общей поставке, определяемая с помощью формулы (0) Шаг 4. В колонке 5 вычисляем апостериорные вероятности, используя формулу (): Заметим, что совместные вероятности находятся в строках колонки 4, а вероятность события А как сумма колонки 4 (табл. 3). Таблица 3. Решение задачи Вероятности Гипотезы априорные условные совместные Н i Р(Н i ) Р(А/Н i ) Р(Н i А) ЧИП от -го 0,65 0,0 0,030 0,46 поставщика ЧИП от -го 0,35 0,05 0,075 0,574 поставщика = P(A)=0,0305 =l апостериорные Р(Н i /А) Пример. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году будет равна 0,75, если экономика страны будет на подъеме; и эта же вероятность будет равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в новом году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году. 0

21 Определим события: А «Акции компании поднимутся в цене в будущем году». Событие А может произойти только вместе с одной из гипотез: Н «Экономика страны будет на подъеме»; Н «Экономика страны не будет успешно развиваться». По условию известны вероятности гипотез: Р(Н ) = 0,80; Р(Н ) = 0,0 и условные вероятности события А: Р(А/Н )= 0,75; Р(А/Н )= 0,30. Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна. Рассмотрим событие А это или Н А, или Н А. События Н А и Н А несовместные попарно, так как события Н и Н несовместны. События Н и А, Н и А зависимые. Вышеизложенное позволяет применить для определения искомой вероятности события А формулу полной вероятности Р(А) = Р(Н )Р(А/Н ) + Р(Н )Р(А/Н ) = 0,80 0,75 + 0,0 0,30 = 0,66. Решение оформим в виде табл. 4. Таблица 4. Решение задачи Гипотезы Н i Р(Н i ) Р(А/Н i ) Р(Н i )Р(А/Н i ) Н «подъем экономики» 0,80 0,75 0,60 Н «спад экономики» 0,0 0,30 0,06,00 0,66 Вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году, составляет 0,66. Ответ. 0,66. Пример 3. Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,70, в период умеренного экономического роста он подорожает с вероятностью 0,40 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,0. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста 0,30; умеренного экономического роста 0,50 и низкого роста 0,0. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста? Определим события: А «Доллар дорожает». Оно может произойти только вместе с одной из гипотез: Н «Активный экономический рост»; Н «Умеренный экономический рост»; Н 3 «Низкий экономический рост». По условию известны доопытные (априорные) вероятности гипотез и условные вероятности события А: Р(Н ) = 0,30, Р(Н ) = 0,50, Р(Н 3 ) = 0,0, Р(А/Н ) = 0,70, Р(А/Н ) = = 0,40, Р(А/Н 3 ) = 0,0. Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна. Событие А это или Н А, или Н А, или Н 3 А. События Н А, Н А. и Н 3 А.

22 несовместные попарно, так как события Н, Н и Н 3 несовместны. События Н и А, Н и А, Н 3 и А зависимые. Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность первой гипотезы, т. е. необходимо найти вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает (событие А уже произошло), т.е. Р(Н /А). Используя формулу Байеса () и подставляя заданные значения вероятностей, имеем Мы можем получить тот же результат с помощью табл. 5. Таблица 5. Решение задачи Вероятности Гипотезы априорные условные совместные Н i Р(Н i ) Р(А/Н i ) Р(Н i )Р(А/Н i ) апостериорные Р(H i /A) Н 0,30 0,70 0, 0,467 Н 0,50 0,40 0,0 0,444 Н 3 0,0 0,0 0,04 0,089,00 0,45 Вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает, составляет 0, Повторение испытаний 3.. Формула Бернулли Цель: уяснить понятие независимых испытаний; научиться применять формулу Бернулли. Краткие теоретические сведения Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<р<), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), k k nk равна P n(k) Cn p q, n! (3) k nk или P n(k) p q, k!(n k)! где q = - p.

23 Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, - находят соответственно по формулам: а) Р n (0)+ Р n ()+ + Р n (k-); б) Р n (k+)+ Р n (k+)+ + Р n (n); в) Р n (k)+ Р n (k+)+ + Р n (n); г) Р n (0)+ Р n ()+ + Р n (k); РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t, если: а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0, и устройство отказывает, если работает менее трех элементов. Вероятность отказа любого элемента по условию равна q. Вероятность безотказной работы любого элемента р=- q=0,9. Тогда по формуле Бернулли (Р n (k)= C k np k q n-k ): а) Р 3 (3)= 3! р 3 q (3-3) / 3! (3-3)= 0,79; б) Р 4 (3)= C (4-) 4 p 3 q C 4 4 p 4 q 4-4 = 0,9+0,66=0,95; в) Р 5 (3)= C (5-) 5 p 3 q + C (5-) 5 p 4 q + C 5 5 p 4 q 0 = 0,073+0,33+0,594=0,997; Ответ: а) 0,79; б) 0,95; в)0, Локальная и интегральная теоремы Лапласа Цель: уяснить тип задач, для решения которых используются теоремы Лапласа. Краткие теоретические сведения. Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<p<), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n): (k) Р n (x). n p q k - n p Здесь (x) e, x. π n p q x (4) 3

24 Таблица функций φ(х) для положительных значений х приведена в приложении задачника []; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей (функция φ(х) четная, следовательно, φ(-х)= φ(х)). Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<p<), событие наступит не менее k и не более k раз, приближенно равна Р(k ; k )=Ф(х``) - Ф(х`). (5) здесь (x) e x 0 z dz - функция Лапласа, ' k - n p '' k - n p x ; x. n p q n p q Таблица функций Лапласа для положительных значений х (0 х 5) приведена в приложении задачника []; для значений х >5 полагают Ф(х) =0,5. Для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей, учитывая, что функция Лапласа нечетная (Ф(-х)= - Ф(х)). РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 43 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,5. По условию n=43; k=70; p=0,5; q=0,75. Так как n=43 достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа: x (k) Р n (x), n p q k - n p где (x) e, x. π n p q Найдем значение х: ,5 9,5 x, ,5 0,75 6,75 По таблице найдем φ(,37) = 0,56. Искомая вероятность Р 43 (70) = /675 0,56 = 0,03. Ответ: 0,03.. Вероятность рождения мальчика равна 0,5. Найти вероятность того, что среди 00 новорожденных окажется 50 мальчиков. По условию n=00; k=50; p=0,5; q=0,49. Так как n=00 достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Найдем значение х: 4

25 50 000, x 0,. 000,50,49 4,99 По таблице найдем φ(-0,) = 0,39. Искомая вероятность Р 00 (50) = /5 0,39 = 0,78. Ответ: 0,78 3. Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 50 опытов дадут положительный результат. По условию n= k ; k =50; p=0,9; q=0,; Р(k,n)=0,98. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: или - n p n p q k - n p. Р(k ; k )=Ф(х ) - Ф(х k )=Ф Ф n p q Подставляя данные задачи, получим: n - n 0, n 0,9 0,98 = Ф Ф, n 0,9 0, n 0,9 0, n 0, 50 - n 0,9 0,98 = Ф Ф n 0,90, n 0,90, 0, =Ф n 0,9 0, Очевидно, что число испытаний n>50, поэтому 50 - n 0,9 n 0,90,. n 0, n 0,9 0, 40,8. Поскольку функция Лапласа - возрастающая и Ф(4) 0,5, то можно положить функцию Ф n 0, n 0,9 0, 50 - n 0,9 0,98 = 0,5- Ф, Ф 50 - n 0,9 n 0,90, n 0,90, = -0,48 =0,5. Следовательно, По таблице найдем Ф(,06) = 0,48. Отсюда, учитывая, что функция Лапласа нечетная, получим: 0,9n - 0,68 n -50=0 Решая это квадратное уравнение относительно n, получим n =3,3. Следовательно, искомое число испытаний n 77. Ответ: 77. > 5

26 3.3. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях Цель: уяснить основные определения, связь относительной частоты появления события с функцией Лапласа. Краткие теоретические сведения Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<p<), абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события не превысит положительного числа ε, приближенно равна удвоенной функции Лапласа при х = p m n p ε Φ ε n : p q РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ n. p q (6). Отдел технического контроля проверяет на стандартность 900 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число m стандартных деталей среди проверенных. По условию n= 900; p=0,9; q=0,. Следовательно, 900 = 0,95, или Ф(00ε) = 0,475. 0,9 0, По таблице найдем Ф(,96) = 0,475, значит 00 ε =,96. Отсюда ε 0,0. Таким образом, с вероятностью 0,95 отклонение относительной частоты числа стандартных деталей от вероятности 0,9 удовлетворяет неравенству m m 0,9 0,0, или 0,88 0, Отсюда искомое число m стандартных деталей среди 900 проверенных с вероятностью 0,95, заключено в следующих границах: 79 m 88. Ответ: 79 m 88. 6

27 3.4. Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях Цель: уяснить основные понятия. Краткие теоретические сведения. Число k 0 (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k 0 раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний. Наивероятнейшее число k 0 определяют из двойного неравенства np q k 0 < np+p, (7) причем: а) если число np-q - дробное, то существует одно наивероятнейшее число k 0 ; б) если число np-q - целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k 0 и k 0 +; в) если число np - целое, то наивероятнейшее число k 0 =np. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. Испытывается каждый из 5 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание. По условию, n=5; p=0,9; q=0,. Найдем наивероятнейшее число из двойного неравенства n p q k 0 < n p+p. Подставим данные задачи: 5 0,9 0, k 0 < 5 0,9+0,9, или 3,5 k 0 < 4,4. Так как k 0 - целое число и поскольку между числами 3,4 и 4,4 заключено одно целое число, а именно 4, то искомое наивероятнейшее число k 0 =4. Ответ: Производящая функция Цель: уяснить основные понятия, связанные с испытаниями, в которых вероятности появления события различны. Краткие теоретические сведения Пусть производится n независимых испытаний, причем в первом испытании вероятность появления события А равна р, во втором - р,, в n- м испытании - р n ; вероятности непоявления события А соответственно 7

28 равны q, q, q n ; P n (k) - вероятность появления события А в n испытаниях ровно k раз. Производящей функцией вероятностей P n (k) называют функцию, определяемую равенством φ n (z) = (p z+q ) (p z+q ) (p n z+q n ). (8) Вероятность P n (k) того, что в n независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равна р, во втором - р и т.д., событие А появится ровно k раз равна коэффициенту при z k в разложении производящей функции по степеням z. Например, если n=, φ (z) = (p z+q ) (p z+q ) = p p z² + (p q + p q )z+q q. Здесь коэффициент p p при z² равен вероятности Р () того, что событие А появится ровно два раза в двух испытаниях; коэффициент p q + p q при z равен вероятности Р () того, что событие А появится ровно один раз; коэффициент при z 0, т.е. свободный член q q равен вероятности Р (0) того, что событие А не появится ни одного раза. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. Четыре элемента вычислительного устройства работают независимо. Вероятность отказа первого элемента за время t равна 0,, второго - 0,5, третьего - 0,3, четвертого - 0,4. Найти вероятность того, что за время t откажут: а) 4 элемента; б) 3 элемента; в) элемента; г) один элемент; д) ни один элемент; е) не более двух элементов. По условию р =0,8; р =0,75; р 3 =0,7; р =0,6; q = 0,; q = 0,5; q 3 = 0,3; q 4 = 0,4. Составим производящую функцию: φ (z) = (p z+q )(p z+q )(p 3 z+q 3 )(p 4 z+q 4 ) = = (0,8z+0,)(0,75z+0,5)(0,7z+0,3)(0,6z+0,4) = 0,5z ,43z 3 +0,54z²+0,065z+0,06. Ответ: а) 0,06; б) 0,065; в) 0,54; г) 0,43; д) 0,5; е) 0,99. Контрольные вопросы.. В чем состоит формула Бернулли? Что называется сочетанием?. Чем сочетание отличается от размещения? 3. Чем отличаются локальная и интегральная теоремы Лапласа? В каких случаях они применяются? 4. Что называется наивероятнейшим числом? 5. Какая функция является производящей? 8

29 4. Дискретные случайные величины 4.. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальный закон и закон Пуассона Цель: уяснить основные определения, законы и их применение в теории вероятностей. Краткие теоретические сведения Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа (т.е. между двумя соседними возможными значениями нет возможных значений), которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (в последнем случае множество всех возможных значений называют счетным). Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения х i, а вторая - вероятности р i : Х х х х n где p. i i p p p х n Если множество возможных значений Х бесконечно (счетно), то ряд р + р + сходится и сумма его равна единице. Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы) Р(Х=х i ) = φ(х i ) или с помощью функции распределения. 9 (9) Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки М (х ;р ), М (х ; р ), М n (х n ;р n ), (х i - возможные значения Х, р i соответствующие вероятности) и соединяют их отрезками прямых. Полученная фигура называется многоугольником распределения. Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х числа появления события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р; вероятность

30 возможного значения Х = k (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернулли: Р n (k)= C k n p k q n-k. (30) Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу Р n (k)= λ k е -λ / k! (3) где k число появлений события в n независимых испытаниях, λ = np (среднее число появлений события в n испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения: а) Х б) Х Р 0,3 0, 0, 0,4 P 0, 0,7 0, Построить многоугольник распределения. а) б) 0,7 0,5 0,3 0, 0, 0, x x а) б) Рис. 4. Многоугольники распределения в задаче. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Дискретная случайная величина Х (число отказавших элементов в одном опыте) имеет следующие возможные значения: х =0 (ни один из элементов устройства не отказал), х = (отказал один элемент), х 3 = (отказали два элемента) и х 4 =3 (отказали три элемента). Отказы элементов независимы один от другого, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию, n=3, p=0, (следовательно, q=- 0,=0,9), получим: 30

31 Р 3 (0) = q 3 = 0,79; Р 3 () = С 3 pq² = 0,43; Р 3 () = С 3 p²q = 0,07; Р 3 (3) = р 3 = 0,00; Контроль: 0,7 + 0,43 + 0,07 + 0,00 =. Напишем искомый биномиальный закон распределения Х: Х 0 3 Р 0,79 0,43 0,07 0,00 3. После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает задавать дополнительные вопросы, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный дополнительный вопрос, равна 0,9. Требуется: а) составить закон распределения случайной дискретной величины Х числа дополнительных вопросов, которые преподаватель задаст студенту; б) найти наивероятнейшее число k 0 заданных студенту дополнительных вопросов. а) Дискретная случайная величина Х - число заданных дополнительных вопросов имеет следующие возможные значения: х =, х =, х 3 =3, х k =k, Найдем вероятности этих возможных значений. Величина Х примет возможное значение х = (экзаменатор задаст только один вопрос), если студент не ответит на первый вопрос. Вероятность этого возможного значения равна 0,. Таким образом, Р(Х=) = 0,. Величина Х примет возможное значение х = (экзаменатор задаст два вопроса), если студент ответит на первый вопрос (вероятность этого 0,9) и не ответит на второй (вероятность этого 0,). Таким образом, Р(Х=) = 0,9 0,=0,09. Аналогично найдем Р(Х=3) = 0,9² 0, = 0,08,, Р(Х=k) = 0,9 k - 0,, Напишем искомый закон распределения: Х 3 k Р 0, 0,09 0,08 0,9 k - 0, б) Наивероятнейшее число k 0 заданных вопросов (наивероятнейшее возможное значение Х), т.е. число заданных преподавателем вопросов, которое имеет наибольшую вероятность, как следует из закона распределения, равно единице. 4. Устройство состоит из 000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,00. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента. Указание. Принять е - ² = 0,

32 Р n (k) = λ k e -λ / k! k=3, n=000, λ = n p =0000,00 =. Искомая вероятность Р 000 (3) = 3 0,3534 / 6 =0,8 Ответ: 0, Простейший поток событий Цель: уяснить основные определения простейшего потока событий и его применение в теории вероятностей. Краткие теоретические сведения Поток событий последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Простейший (пуассоновский) поток событий обладает следующими тремя свойствами: стационарностью, «отсутствием последействия» и ординарностью. Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка времени и не зависит от начала его отсчета. Другими словами, вероятность появления k событий за промежуток времени t есть функция, зависящая только от k и t. Свойство «отсутствия последействия» состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, предыстория потока не влияет на вероятности появления событий в ближайшем будущем. Свойство ординарности состоит в том, что появление двух или более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события за малый промежуток времени пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью появления только одного события. Интенсивность потока λ - среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Если постоянная интенсивность потока λ известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона: Р t (k) = (λ t) k e λ t / k! (3) Замечание. Поток, обладающий свойством стационарности, называют стационарным; в противном случае - нестационарным. 3

ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Руководство для решения задач

ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Руководство для решения задач 1 Учебники «Феникса» П. П. Ниворожкина, 3. А. Морозова, П. А. Герасимова., П. В. Житников ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Руководство для решения задач Рекомендовано

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика» Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики УДК 57. Теория вероятностей: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск, 0. 4 с. (Заочная форма обучения/

Подробнее

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ В.Е.Гмурман РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ М.: Высш. школа, 1979, 400 стр. В пособии приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике Кафедра высшей математики Лекции по теории вероятностей и математической статистике Раздел. Теория вероятностей Предмет теории вероятностей изучение специфических закономерностей в массовых однородных

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г. Тольятти ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

I. Определение вероятности и основные правила ее вычисления 1.1 Вероятностный эксперимент. Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента

I. Определение вероятности и основные правила ее вычисления 1.1 Вероятностный эксперимент. Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента I Определение вероятности и основные правила ее вычисления Вероятностный эксперимент Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента зависят в той или иной степени от комплекса условий, при которых

Подробнее

ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ. Схема независимых испытаний Бернулли

ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ. Схема независимых испытаний Бернулли ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ Схема независимых испытаний Бернулли До сих пор мы в основном разбирали задачи нахождения вероятности события в единичном испытании, т.е. когда эксперимент производится один раз. Теперь

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе и экономическому развитию Д.А. Зубцов 29

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов «Страница» с методическими материалами http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Волгоградский филиал РАНХиГС

Подробнее

Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике

Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет С. Г. Валеев С. В. Куркина Тестовые

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственноe образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Л.И. Лазарева,

Подробнее

А. А. Ивашко Теория вероятностей и математическая статистика

А. А. Ивашко Теория вероятностей и математическая статистика Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А. А. Ивашко Теория

Подробнее

Асимптотическая формула Пуассона.

Асимптотическая формула Пуассона. Асимптотическая формула Пуассона. ) Вероятность рождения белого тигра равна.. Найти вероятность того что среди рождённых тигрят окажется от до белых тигрят. Обозначим события: A - среди рождённых тигрят

Подробнее

* **е-mail:

*  **е-mail: Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 7 www.mai.ru/science/trudy/ УДК 59.4.00:5,643,5 Физическая модель и закон распределения отказов элементов и систем электроники Авакян А.А.*, Курганов А.В.** Научно-исследовательский

Подробнее

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Случайные векторы. Закон распределения. Условные распределения случайных величин. Числовые характеристики случайных векторов. Условные математические

Подробнее

Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2

Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1. Классическое определение вероятности. Примеры. 2. Формула Байеса. 3. Каков смысл равенств а) А В С=А; б) АUВUС=А? ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 1. Схема с возвращением и без выборок,

Подробнее

НОУВПО ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)»

НОУВПО ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)» НОУВПО ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)» направление подготовки профили квалификация (степень) форма обучения

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А.И. Луценко ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ для студентов курса специальности «экономическая

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

A.В. Браилов С.А. Зададаев П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 1

A.В. Браилов С.А. Зададаев П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 1 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАКАДЕМИЯ). Кафедра «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная дисциплина «Теория вероятностей математическая статистика» содержат математические основы и математические методы, формирующие у студентов - химиков профессиональную культуру

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 1.1. Цели освоения дисциплины: научить студентов языку теории вероятностей и статистики; быть поставщиком понятий и результатов, необходимых в других математических

Подробнее

Мхитарян В.С. Трошин Л.И. Адамова Е.В. Шевченко Бамбаева Н.Я.

Мхитарян В.С. Трошин Л.И. Адамова Е.В. Шевченко Бамбаева Н.Я. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Московский международный университет эконометрики, информатики, финансов и права

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА Одесская национальная академия связи им. А.С.Попова Кафедра высшей математики Ю.И. Бурименко, О.В. Синявский ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине ОПД.Ф.9 «Теория вероятности» для специальности «Математика» курс III Экзамен - V семестр семестр

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине ОПД.Ф.9 «Теория вероятности» для специальности «Математика» курс III Экзамен - V семестр семестр МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Математический

Подробнее

ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ГОРОДСКОГО ХОЗЯЙСТВА ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (Для студентов заочной формы

Подробнее

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Тема 5 Перевод осуществлен при поддержке IT Akadeemia Содержание лекции 1 Введение 2 3 4 Следующий пункт 1 Введение 2 3 4 Проблема... Проблема... Проблема... ... и решение: Девочка

Подробнее

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 А.В. Иванов,

Подробнее

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ Арифметика понимать особенности десятичной системы счисления; использовать понятия, связанные с делимостью натуральных чисел; выражать

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 3-й семестр 2013 2014, спец. ИУ3, ИУ6 Виды аудиторных занятий и самостоятельной работы Сроки проведения или выполнения, недели Трудоемкость, часы Лекции

Подробнее

2. Содержание курса Лекции I семестр. Число часов

2. Содержание курса Лекции I семестр. Число часов 1. Цель и задачи курса Цель курса освоение математического аппарата. Задача курса выработка формального и логического мышления, выработка навыков решения формализованных математических задач.. Содержание

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный социально-экономический

Подробнее

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Институт повышения квалификации и переподготовки Факультет переподготовки специалистов образования Кафедра

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Теория вероятностей и математическая статистика» Шифр дисциплины Для направления 080100

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 41 ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ СТИЛТЬЕСА Для спектральных разложений случайных функций пользуется интеграл Стилтьеса Поэтому приведем определение и некоторые свойства

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ

Подробнее

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Академия труда и социальных отношений Кафедра высшей и прикладной математики Потемкин Александр Владимирович Эйсымонт Инна Михайловна «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Липецкий государственный технический университет» Экономический факультет УТВЕРЖДАЮ Декан ЭФ Московцев В.В. 2011 г. РАБОЧАЯ

Подробнее

Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности. Формула полной вероятности. ) Качество изготовляемых деталей проверяется двумя контролёрами. Вероятность попадания детали к первому контролёру равна 0 ко второму 04. Вероятность считать деталь качественной

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» Кафедра прикладной математики 115-2012 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к курсовой работе по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты:

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: Содержание программы 1. Числа, корни и степени. Числовые последовательности Натуральные числа. Простые

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И УКАЗАНИЯ Титульный лист методических рекомендаций и указаний, методических рекомендаций, методических указаний Форма Ф СО ПГУ 7.18.3/40 Министерство образования и науки Республики Казахстан Павлодарский государственный

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования и науки Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский Томский политехнический университет О.Л. Крицкий, А.А. Михальчук,

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 Пусть проводится конечное число n последовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие A может либо наступить (такую ситуацию назовём успехом) либо не

Подробнее

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ МЕЖДУ ОТКАЗАМИ

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ МЕЖДУ ОТКАЗАМИ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ МЕЖДУ ОТКАЗАМИ Иваново 011 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановская

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике Министерство образования и науки, молодежи и спорта Донецкий национальный технический университет Улитин Г.М., Гончаров А.Н. КУРС ЛЕКЦИЙ по высшей математике Учебное пособие Донецк 2011 УДК 51 (075.8)

Подробнее

БИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНИВАНИЯ ОПЦИОНОВ. Марк Иоффе

БИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНИВАНИЯ ОПЦИОНОВ. Марк Иоффе БИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНИВАНИЯ ОПЦИОНОВ Марк Иоффе Биномиальная модель оценивания опционов является широко распространенным и с точки зрения прикладной математики достаточно простым и очевидным численным

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный технический университет МАМИ Кафедра Прикладная и вычислительная математика Е.А. Коган ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Подробнее

Лекция Понятие о потоке отказов и восстановлений

Лекция Понятие о потоке отказов и восстановлений Лекция 3 3.1. Понятие о потоке отказов и восстановлений Восстанавливаемым называется объект, для которого восстановление работоспособного состояния после отказа предусмотрено в нормативнотехнической документации.

Подробнее

Коломиец Э.И. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Коломиец Э.И. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНИ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Г.Г. ШВАЧИЧ, А.В. СОБОЛЕНКО, Е.И. ХРИСТЯН ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Часть. Теория вероятностей

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

11.4. Оценка вероятности отказа по биномиальному плану. Точечная оценка. Доверительные интервалы

11.4. Оценка вероятности отказа по биномиальному плану. Точечная оценка. Доверительные интервалы например, к экспоненциальной составляющей функции распределения не добавится нормальная составляющая (рис. 11.3). Таким косвенным подтверждением могут быть результаты длительных испытаний небольших партий

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ РФ ГОУ ВПО «ПОВОЛЖСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ» В.Н. ТАРАСОВ, Н.Ф. БАХАРЕВА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Подробнее

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Сибирский математический журнал Январь февраль, 2010. Том 51, 1 УДК 519.233.5+519.654 О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Конспект лекций В.И. Лотова для студентов физического факультета НГУ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Конспект лекций В.И. Лотова для студентов физического факультета НГУ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Конспект лекций В.И. Лотова для студентов физического факультета НГУ 1 Содержание I. Теория вероятностей 4 1. Вероятностные пространства. Основные формулы

Подробнее

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы.

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы. Программа по «Математике» (базовый уровень) РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии Тема 1. Векторы и матрицы. N-мерные векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Славянский-на-Кубани государственный педагогический институт «Утверждаю»

Подробнее

Учитель: Я говорю лишь то, что вам самим должно быть ведомо. Давай наставления только тому, кто ищет знаний.

Учитель: Я говорю лишь то, что вам самим должно быть ведомо. Давай наставления только тому, кто ищет знаний. Конфуций говорил: Учитель: Я говорю лишь то, что вам самим должно быть ведомо. Давай наставления только тому, кто ищет знаний. http://www-chemo.univer.kharkov.ua/ 1 Случайные величины и их характеристики.

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский гуманитарно-экономический институт Воронежский филиал С.И. Моисеев Теория вероятностей и математическая статистика Методические указания

Подробнее

Цели и задачи дисциплины: 2. Место дисциплины в структуре ООП: 3. Требования к результатам освоения дисциплины: ОК-5: ОК-15: ПК-31 ПК-32 знать уметь

Цели и задачи дисциплины: 2. Место дисциплины в структуре ООП: 3. Требования к результатам освоения дисциплины: ОК-5: ОК-15: ПК-31 ПК-32 знать уметь 1. Цели и задачи дисциплины: Целью дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» является успешное освоение студентами материала, закреплѐнного ФГОС высшего профессионального образования

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Е.Н. Гусева ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Е.Н. Гусева ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Магнитогорский государственный университет» Е.Н. Гусева ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебное пособие 5-е издание, стереотипное

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Казанский государственный университет Р.Ф. Марданов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного университета 2007 УДК 517.9

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский государственный университет экономики и управления «НИНХ» (ФГБОУ ВО «НГУЭУ», НГУЭУ)

Подробнее

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная программа «Теория вероятности и математическая статистика» разработана для специальности 1-21 06 01-01 «Современные иностранные языки» высших учебных заведений. Целью изучения

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

Подробнее

Госкомсвязи РФ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А.БОНЧ-БРУЕВИЧА ФАКУЛЬТЕТ ВЕЧЕРНЕГО И ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

Госкомсвязи РФ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А.БОНЧ-БРУЕВИЧА ФАКУЛЬТЕТ ВЕЧЕРНЕГО И ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ Госкомсвязи РФ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А.БОНЧ-БРУЕВИЧА ФАКУЛЬТЕТ ВЕЧЕРНЕГО И ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ

Подробнее

Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса Арифметика Натуральные числа. Дроби Ученик научится: 1) понимать особенности десятичной

Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса Арифметика Натуральные числа. Дроби Ученик научится: 1) понимать особенности десятичной Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса Арифметика Натуральные числа. Дроби 1) понимать особенности десятичной системы счисления; 2) понимать и использовать термины и символы, связанные

Подробнее

Программа вступительного экзамена по математике

Программа вступительного экзамена по математике Программа вступительного экзамена по математике Программа составлена на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего и среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Институт управления» Экономический факультет Кафедра информационных технологий и прикладной математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Теория вероятностей

Подробнее

ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ

ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì

Подробнее

Выборки и их характеристики

Выборки и их характеристики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет Кафедра теории вероятностей и математической статистики Н. И. Чернова Теория вероятностей

Подробнее

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения ТЕМА 10. Статистическое оценивание. Цель контента темы 10 изучить практически необходимые методы нахождения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения. Задачи контента темы 10:

Подробнее

Контрольная работа 1.

Контрольная работа 1. Контрольная работа...4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку. 4 y y y y y y 4 y y y 4 4 Это уравнение Бернулли. Сделаем замену: y y y 4 4 4 z y ; z y y Тогда

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

А.В. СОЛОПАХО КРАТКИЙ КУРС ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

А.В. СОЛОПАХО КРАТКИЙ КУРС ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ АВ СОЛОПАХО ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА КРАТКИЙ КУРС ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический

Подробнее

Сазонов Д.О. Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы»

Сазонов Д.О.   Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы» Кафедра информатики и методики преподавания математики ВГПУ Сазонов Д.О. E-mail: imul@vspu.ac.ru Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы»..

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ВОСТОЧНОУКРАИНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВЛАДИМИРА ДАЛЯ СЕВЕРОДОНЕЦКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики НАГУЛИН Н.И. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

1. Результаты освоения курса математики в 6 классе (Личностные, метапредметные и предметные результаты освоения содержания курса)

1. Результаты освоения курса математики в 6 классе (Личностные, метапредметные и предметные результаты освоения содержания курса) 1 Пояснительная записка Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования, Примерной программы по учебным

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» Кафедра «Математика» Л.Ф. Кочнева, З.С. Липкина,

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. I. Теория вероятностей

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. I. Теория вероятностей МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.Л. Крицкий, А.А.

Подробнее

Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ

Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ Рациональные числа Ученик научится: В 5-6 КЛАССАХ 1) понимать особенности десятичной системы счисления; 2) владеть понятиями,

Подробнее

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты

Подробнее

Теория ошибок и обработка результатов эксперимента

Теория ошибок и обработка результатов эксперимента Теория ошибок и обработка результатов эксперимента Содержание 1. Классификация и типы ошибок. 2. Прямые и косвенные измерения. 3. Случайные измерения и ошибки. 3.1. Понятие вероятности случайной величины.

Подробнее

Лекция 1: Комплексные числа

Лекция 1: Комплексные числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее