ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА"

Транскрипт

1 Алексеева О.А. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методическое пособие Челябинск 04

2 УДК 59. ББК.7 А 47 Алексеева О.А. Теория вероятностей и математическая статистика: учебно-методическое пособие. Челябинск: НОУВПО РБИУ, с. Приведены примеры решения задач раздела «Теория вероятностей» курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Учебно-методическое пособие предназначено для выполнения самостоятельной работы студентами по направлениям Прикладная информатика, Бизнес-информатика, Экономика. Рецензенты: Чеботарев С.С. кандидат физ.-мат. наук, заведующий кафедрой математики и информатики, НОУВПО РБИУ. УДК 59. ББК.7 Алексеева О.А., 04 НОУВПО РБИУ, 04

3 Содержание Введение Определение вероятности Классическое и статистическое определение вероятности Геометрические вероятности Основные теоремы..... Теоремы сложения и умножения вероятностей..... Формулы полной вероятности и Байеса Повторение испытаний Формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях Производящая функция Дискретные случайные величины Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальный закон и закон Пуассона Простейший поток событий Числовые характеристики дискретных случайных величин Теоретические моменты Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Функции и плотности распределения вероятностей случайных величин Функция распределения вероятностей случайной величины Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Числовые характеристики непрерывных случайных величин Равномерное распределение

4 6.5. Нормальное распределение Дополнительные сведения по основным распределения случайной величины: биномиальное, Пуассона, геометрическое, гипергеометрическое, равномерное, показательное, нормальное. Их математические ожидания и дисперсии Распределение функции одного и двух случайных аргументов Функция одного случайного аргумента Функция двух случайных аргументов Система двух случайных величин Закон распределения двумерной случайной величины Условные законы распределения вероятностей составляющих дискретной двумерной случайной величины Отыскание плотностей и условных законов распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины Числовые характеристики непрерывной системы двух случайных величин Задачи... 8 Задачи к теме... 8 Задачи к теме Задачи к теме Задачи к теме Задачи к теме Библиографический список

5 Введение Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для выполнения самостоятельных работ студентами при изучении раздела «Теория вероятностей» курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Предполагается, что использование данного учебно-методического пособия позволит студентам не только понять и уяснить, как решаются вероятностные задачи, но и закрепить эти знания решением задач. Теория вероятностей специальный раздел курса высшей математики, занимающийся изучением математических закономерностей массовых однородных случайных явлений. Методы теории вероятностей широко используются в теории информации, теории массового обслуживания, в теории принятия решений, экономике, в теории надежности, в физике, астрономии и др. дисциплинах. Теория вероятностей лежит в основе математической статистики, которая, в свою очередь, используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, контроле качества продукции и т.д. Математическая статистика наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для осуществления научно обоснованных прогнозов и практических рекомендаций. Учебно-методическое пособие содержит краткие теоретические сведения по всем основным разделам «Теория вероятностей» курса «Теория вероятностей и математическая статистика», примеры решения задач и задания для самостоятельной работы. 5

6 . Определение вероятности.. Классическое и статистическое определение вероятности Цель: уяснить определение основных терминов и основополагающих понятий теории вероятностей, понять разницу между классическим и статистическим определениями вероятности. Краткие теоретические сведения Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерных массовых однородных случайных событий. Событие рассматривается как результат испытания. Исход события заранее неизвестен. Вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события. Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих общую группу. Итак, вероятность события А определяется формулой: m P( A), () n где m число элементарных исходов, благоприятствующих испытанию А; n число всех возможных элементарных исходов испытания. Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же встречаются испытания с бесконечным числом возможных исходов. В таких случаях классическое определение неприменимо. Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно равновозможность элементарных исходов испытания следует из соображений симметрии. Например, предполагается, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного материала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко. Поэтому наряду с классическим определением вероятности используются и другие определения. 6

7 Статистическое определение вероятности. В качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистическую вероятность события. Относительная частота события А определяется равенством: m P ' (A), () n где m число испытаний, в которых событие А наступило; n общее число произведенных испытаний. Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так, в приведенном примере в качестве вероятности события можно принять не только 0,4, но и 0,39; 0,4 и т.д. Для существования статистической вероятности события А требуется: а) возможность производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает; б) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испытаний; Основные свойства вероятности:. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию, т.е. m=n, следовательно, m n P(A). n n (3). Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов не благоприятствует событию, т.е. m=0, следовательно, m 0 P(A) 0. (4) n n 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь общая часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае m 0<m<n, значит, 0 < <, следовательно, n 0 P(A). (5) 7

8 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. Структура занятых в региональном отделении крупного банка имеет следующий вид (табл. ): Таблица Структура Женщины Мужчины Администрация 5 5 Операционисты 35 5 Если один из служащих выбран случайным образом, то какова вероятность, что он: а) мужчина-администратор; б) женщина-операционист; в) мужчина; г) операционист? а) В банке работают 00 человек, N = 00. Из них 5 мужчины-администраторы, М = 5. следовательно, Р(мужчина-администратор) = 5/00 = 0,5. б) 35 служащих в банке женщины-операционисты, следовательно, P(женщина-операционист) = 35/00 = 0,35. в) 40 служащих в банке мужчины, следовательно, Р(мужчина) = 40/00 = 0,40. г) Из общего числа служащих в банке 60 операционисты, следовательно, P(операционист) = 60/00= 0,60.. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу попарных сочетаний элементов устройства сочетаний из 5 элементов по С 5. 5! С5 0.!(5 )! В устройстве три исправных элемента, следовательно, число исходов, благоприятствующих событию равно числу возможных сочетаний из трех неиспорченных элементов С3 3. Искомая вероятность события Р(А)= 3/0 = 0,3. 3. В «секретном» замке на общей оси четыре диска, каждый из которых разделен на пять секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзнач- 8

9 ное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно 5 4 (число поворотов дисков). Замок открывается лишь при составлении определенного числа, т.е. благоприятный исход испытания только один. Поэтому искомая вероятность события равна: Р(А)=/ При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 00 приборов. Каждый десятый прибор неисправный, следовательно, 00/0=0 неисправных приборов. 00-0=80 исправных приборов. Контрольные вопросы.. В чем состоит различие между классическим и статистическим определениями вероятности?. Какие события называются совместными? Несовместными? 3. Каковы условия существования статистической вероятности события А? 4. Почему существует несколько определений вероятности?.. Геометрические вероятности Цель: уяснить тип задач, для решения которых используется определение геометрической вероятности. Краткие теоретические сведения Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности - вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством: Длина l Р. (6) Длина L Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством: Р. Площадь g Площадь G (7) 9

10 Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру ν, которая составляет часть фигуры V: Объем v Р. Объем V (8) РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью Т. Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t (t<t). Найти вероятность того, что сигнализатор срабатывает за время Т, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу. Обозначим моменты поступления сигналов первого и второго устройств соответственно через х и у. В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства: 0 x T, 0 у T. Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат хоу (рис. ). В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату ОТАТ. Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют все возможные значения моментов поступления сигналов. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t, т.е. если y-x<t при y>x и x-y<t при x>y, или, что то же, y < x+t при y>x, (*) y > x-t при y<x. (**) Неравенство (*) выполняется для координат тех точек фигуры G, которые лежат выше прямой у=х и ниже прямой y=x+t; неравенство (**) у Т t у=х+t y=x-t A y=x 0 t T x Рис.. Геометрические вероятности. Задача имеет место для точек, расположенных ниже прямой у=х и выше прямой y=x-t. Все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (*) и (**), принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятствующими срабатыванию сигнализатора моментами времени х и у. Искомая вероятность 0

11 Площадь g Площадь G Т (Т t) T t Р T t.. Два студента условились встретиться в определенном месте между и 3 часами дня. Пришедший первым, ждет второго в течение часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча 4 у В 5 у=х+5 y=x-5 В y=x A x Рис.. Геометрические вероятности. Задача Искомая вероятность Площадь g Площадь G T состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от до 3 часов). Пусть х момент прихода первого студента, у момент прихода второго студента. По условию задачи встреча должна состояться в определенный час, следовательно, 0 х 60 и 0 у 60. Встреча состоится, если х - у < 5 при x>y или y - x < 5 при y > x, т.е. y>x-5 при y<x (*) y<x+5 при y>x (**) Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат xoy (рис. ). В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату ОВАВ. Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют все возможные моменты встречи. Неравенство (*) выполняется для координат тех точек фигуры G, которые лежат ниже прямой y=x и выше прямой у=х-5; неравенство (**) имеет место для точек, расположенных выше прямой у=х и ниже прямой у=х+5. Все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (*) и (**), принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятствующими встрече студентов. 60 (60 5) 60 5 Р Контрольные вопросы.. Что называется геометрической вероятностью?. Зачем были введены геометрические вероятности?

12 . Основные теоремы.. Теоремы сложения и умножения вероятностей Цель: научиться применять теоремы сложения и умножения вероятностей к решению задач. Краткие теоретические сведения. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) (9) Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А +А + + А n ) = P(А ) + P(А ) + +P(А n ) Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) Р(АВ) () Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий: Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) Р(АВ) Р(АС) Р(ВС) + Р(АВС) () Условной вероятностью Р А (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: Р А (В) = Р(В) (3) Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми. Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ) = Р(А) * Р А (В) (4) В частности, для независимых событий Р(АВ) = Р(А) * Р(В), (5) (0)

13 т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляют в предположении, что первое событие уже наступило: Р(А А А 3 А n ) = P(А ) * P А (А ) * P АА (А ) * * P АА Аn- (А n ), (6) где P АА Аn- (А n ) вероятность события А n, вычисленная в предположении, что события А, А,, А n наступили. В частности, вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий: Р(А А А 3 А n ) = P(А ) * P(А ) P(А n ). РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. Компания производит холодильников в год, которые реализуются в различных регионах России. Из них экспортируются в страны СНГ, продаются в регионах Европейской части России, продаются в страны дальнего зарубежья, в Западной Сибири, 5000 в Восточной Сибири, в Дальневосточном районе. Чему равна вероятность того, что определенный холодильник будет: а) произведен на экспорт; б) продан в России? Обозначим события: А «Холодильник будет продан в странах СНГ»; В «Холодильник будет продан в Европейской части России»; С «Холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья»; D «Холодильник будет продан в Западной Сибири»; Е «Холодильник будет продан в Восточной Сибири»; F «Холодильник будет продан в Дальневосточном районе». Соответственно, вероятность того, что холодильник будет продан в странах СНГ: Р(А) = 0000/40000 =0,5; вероятность того, что холодильник будет продан в Европейской части России: Р(В) = 8 000/ = 0,0; вероятность того, что холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья: Р(С) = 7 000/ = 0,75; вероятность того, что холодильник будет продан в Западной Сибири; Р(D) = 6 000/ = 0,5; вероятность того, что холодильник будет продан в Восточной Сибири: Р(Е) = 5 000/ = 0,5; вероятность того, что холодильник будет продан на Дальнем Востоке: P(F) = 4 000/ =0,0. События А, В, С, D, Е, F несовместные. 3 (7)

14 . Событие, состоящее в том, что холодильник произведен на экспорт, означает, что холодильник будет продан или в страны СНГ, или в страны дальнего зарубежья. Отсюда по формуле (.5) находим его вероятность: Р(холодильник произведен на экспорт) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = = 0,5 + 0,75 = 0,45.. Событие, состоящее в том, что холодильник будет продан в России, означает, что холодильник будет продан или в Европейской части России, или в Западной Сибири, или в Восточной Сибири, или на Дальнем Востоке. Отсюда по формуле (.6) находим его вероятность: Р(холодильник будет продан в России) = Р(А +D+E+ F) = Р(В) + P(D) + + Р(Е) + P(F) = 0,0 + 0,5 + +0,5 + 0,0 = 0,575. Этот же результат можно было получить рассуждая по-другому. События «Холодильник произведен на экспорт» и «Холодильник будет продан в России» два взаимно противоположных события, отсюда по формуле (.3): Р(холодильник будет продан в России) = Р(холодильник произведен на экспорт) = 0,45 =0,575.. Доказать, что если событие А влечет за собой событие В, то Р(В) Р(А). Событие В можно представить в виде суммы несовместных событий А и АВ: В А А В. По теореме сложения вероятностей несовместных событий получим: РВ РА А В Р(А) РА В. Так как РА В 0, то Р(В) Р(А). Доказано. 3. Вероятности появления каждого из двух независимых событий А и А соответственно равны р и р. Найти вероятность появления только одного из этих событий. Введем обозначения событий: В - появилось только событие А ; В - появилось только событие А. Появление события В равносильно появлению события А А (поя-. Появление А (появилось второе со- вилось первое событие и не появилось второе), т.е. В = А А события В равносильно появлению события А бытие и не появилось первое), т.е. В = А А. Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий А и А достаточно найти вероятность появления одного, безразлично какого, из событий В и В. События В и В несовместны, поэтому применима теорема сложения: Р(В +В ) = Р(В ) + Р(В ) (*) 4

15 Остается найти вероятности каждого из событий В и В. События А и А независимы, следовательно, независимы события А и А, а также А и А, поэтому применима теорема умножения: Р(В ) = Р( А А ) = Р(А ) * Р( А ) = р q. Р(В ) = Р( А А ) = Р( А ) * Р(А ) = р q. где q =- р и q = - р. вероятность того, что событие не произойдет. Подставив эти вероятности в соотношение (*), найдем искомую вероятность появления только одного из событий А и А : Р(В + В ) = р q + р q.. Ответ: р q + р q. 4. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор. Пусть А событие, состоящее в том, что сработает первый сигнализатор, А событие, состоящее в том, что сработает второй сигнализатор, В событие, состоящее в том, что сработает только первый сигнализатор, В событие, состоящее в том, что сработает только второй. Можно записать: В = А А (сработает только первый сигнализатор) и В = А А (сработает только второй). События В и В несовместны, следовательно: Р(В +В ) = Р(В ) + Р(В ). Найдем вероятность каждого из событий В и В, применив теорему умножения: Р(В ) = Р(А А ) = Р(А ) * Р( А ) = 0,95 * 0, = 0,095 Р(В ) = Р( А А ) = Р( А ) * Р(А ) = 0,05 * 0,9 = 0,045. Найдем искомую вероятность появления только одного события: Р(В +В ) = 0, ,095 = 0,4. Ответ: 0,4. 5. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время t) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что за время t безотказно будут работать: а) только один элемент; б)только два элемента; в)все три элемента. Пусть А событие, состоящее в том, что сработает первый сигнализатор, А событие, состоящее в том, что сработает второй сигнализатор, А 3 событие, состоящее в том, что сработает третий сигнализатор, В событие, состоящее в том, что сработает только первый сигнализатор, В событие, состоящее в том, что сработает только второй и В 3 событие, состоящее в том, что сработает только третий сигнализатор. 5

16 События В, В и В 3 несовместны, следовательно, по теореме сложения: Р(В +В +В 3 ) = Р(В ) + Р(В ) + Р(В 3 ). Найдем вероятности каждого из событий В,В,В 3 : Р(В ) = Р(А А А 3 ) = Р(А ) * Р( А ) * Р( А 3 )= 0,6 * 0,3 * 0, = 0,036; Р(В ) = Р( А А А 3 ) = Р( А ) * Р(А ) * Р( А 3 )= 0,4 * 0,7 * 0, = 0,056; Р(В 3 ) = Р( А А А 3 ) = Р( А ) * Р( А ) * Р(А 3 )= 0,4 * 0,3 * 0,8 = 0,096; Искомая вероятность срабатывания только одного устройства: Р(В +В +В 3 ) = 0, , ,096 = 0,88. Ответ: 0, Консультационная фирма претендует на заказа от крупных корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения консультационной работы в корпорации А равна 0,45. Эксперты также полагают, что если фирма получит заказ у корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится к ним, равна 0,9. Какова вероятность того, что консультационная фирма получит оба заказа? Обозначим события: А «Получение консультационной работы в корпорации А»; В «Получение консультационной работы в корпорации В». События А и В зависимые, так как событие В зависит от того, произойдет или нет событие А. По условию мы имеем Р(А) = 0,45, а также знаем, что Р(В/А) = 0,9. Необходимо найти вероятность того, что оба события (и событие А, и событие В) произойдут, т.е. Р(АВ). Для этого используем правило умножения вероятностей (.0). Отсюда получим Р(АВ) = Р(А)Р( B/А) = 0,45 0,9 = 0, В большой рекламной фирме % работников получают высокую заработную плату. Известно также, что 40% работников фирмы женщины, а 6,4% работников женщины, получающие высокую заработную плату. Можем ли мы утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда? Сформулируем условие этой задачи в терминах теории вероятностей. Для ее решения необходимо ответить на вопрос: «Чему равняется вероятность того, что случайно выбранный работник будет женщиной, имеющей высокую заработную плату?» и сравнить ее с вероятностью того, что наудачу выбранный работник любого пола имеет высокую зарплату. Обозначим события: А «Случайно выбранный работник имеет высокую зарплату»; В «Случайно выбранный работник женщина». События А и В зависимые. По условию 6

17 Р(АВ) = 0,064; Р(В) = 0,40; Р(А) = 0,. Нас интересует вероятность того, что наудачу выбранный работник имеет высокую зарплату при условии, что это женщина, т. е. условная вероятность события А. Тогда, используя теорему умножения вероятностей, получим Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В) = 0,064/0,40 = 0,6. Поскольку Р(А/В) = 0,6 меньше, чем Р(А) = 0,, то мы можем заключить, что женщины, работающие в рекламной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами. 8. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,06. Предполагается, что оба события независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит: а) обе рекламы; б) хотя бы одну рекламу? Обозначим события: А «Потребитель увидит рекламу по телевидению»; В «Потребитель увидит рекламу на стенде»; С «Потребитель увидит хотя бы одну рекламу». Это значит, что потребитель увидит рекламу по телевидению, или на стенде, или по телевидению и на стенде. По условию Р(А) = 0,04; Р(В) = 0,06. События А и. В совместные и независимые. а) Поскольку вероятность искомого события есть вероятность совместного наступления независимых событий А и В (потребитель увидит рекламу и по телевидению и на стенде), т. е. их пересечения, для решения задачи используем правило умножения вероятностей для независимых событий. Отсюда Р(АВ) = Р(А) Р(В) = 0,04 0,06 = 0,004. Вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы, равна 0,004. б) Так как событие С состоит в совместном наступлении событий А и В, искомая вероятность может быть найдена с помощью правила сложения вероятностей. Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,04 + 0,06-0,004 = 0,

18 .. Формулы полной вероятности и Байеса Часто мы начинаем анализ вероятностей, имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т. д., мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей. Последовательность процесса переоценки вероятностей можно схематично изобразить так (рис. 3): Априорные вероятности Новая информация из каких-либо источников Байесовский анализ Апостериорные вероятности Рис. 3. Последовательность процесса переоценки вероятностей Пусть событие А может осуществиться лишь вместе с одним из событий Н, Н, H 3,..., H n, образующих полную группу. Пусть известны вероятности Р(Н ), Р(Н ),..., Р(Н i ),..., Р(Н n ). Так как события Н i образуют полную группу, то (8) а также известны и условные вероятности события А: (9) Так как заранее неизвестно, с каким из событий Н i произойдет событие А, то события Н i, называют гипотезами. Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий Н i с учетом полной информации о событии А. Вероятность события А определяется как (0) Эта вероятность называется полной вероятностью. Если событие А может наступить только вместе с одним из событий Н,Н,Н 3,..., Н n, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, 8

19 то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н, Н,..., Н n на соответствующую условную вероятность события А. Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле или () Это формулы Байеса (по имени английского математика Т.Байеса, опубликовавшего их в 764 г.), выражение в знаменателе формула полной вероятности. Пример. Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые ЧИПы от поставщиков. -й поставляет 65% ЧИПов, -й 35%. Известно, что качество поставляемых ЧИПов разное. На основании предыдущих данных о рейтингах качества составлена табл.. Таблица. Рейтинг качества Поставщик % качественной продукции % брака -й поставщик -й поставщик Предприятие осуществляет гарантийный ремонт компьютеров. Имея данные о числе компьютеров, поступающих на гарантийный ремонт в связи с неисправностью ЧИПов, переоцените вероятности того, что возвращенный для ремонта компьютер укомплектован ЧИПом: а) от -го поставщика; б) от -го поставщика. Решение задач с использованием формул полной вероятности и Байеса удобнее оформлять в виде табл.. Таблица. Решение задачи при помощи формул полной вероятности и Байеса Вероятности априорные Р(Н i ) условные Р(А/Н i ) совместные Р(Н i А) Гипотезы Н i апостериорные Р(Н i /А) Шаг. В колонке перечисляем события, которые задают априорную информацию в контексте решаемой проблемы: Соб. Н ЧИП от -го поставщика; Соб. Н ЧИП от -го поставщика. Это гипотезы и они образуют полную группу независимых и несовместных событий. В колонке записываем вероятности этих событий: Р(Н ) = 0,65, Р(Н ) = 0,35. В колонке 3 определим условные вероятности события А «ЧИП бракованный» для каждой из гипотез. 9

20 Шаг. В колонке 4 находим вероятности для событий «ЧИП от -го поставщика и он бракованный» и «ЧИП от -го поставщика и он бракованный». Они определяются по правилу умножения вероятностей путем перемножения значений колонок и 3. Поскольку сформулированные события являются результатом пересечения двух событий А и Н i, то их вероятности называют совместными: Р(Н i А) = Р(Н i )Р(А/Н i ). () Шаг 3. Суммируем вероятности в колонке 4 для того, чтобы найти вероятность события А. В нашем примере 0,030 вероятность поставки некачественного ЧИПа от -го поставщика, 0,075 вероятность поставки некачественного ЧИПа от -го поставщика. Поскольку, как мы уже сказали выше, ЧИПы поступают только от поставщиков, то сумма вероятностей 0,030 и 0,075 показывает, что 0,0305 есть вероятность бракованного ЧИПа в общей поставке, определяемая с помощью формулы (0) Шаг 4. В колонке 5 вычисляем апостериорные вероятности, используя формулу (): Заметим, что совместные вероятности находятся в строках колонки 4, а вероятность события А как сумма колонки 4 (табл. 3). Таблица 3. Решение задачи Вероятности Гипотезы априорные условные совместные Н i Р(Н i ) Р(А/Н i ) Р(Н i А) ЧИП от -го 0,65 0,0 0,030 0,46 поставщика ЧИП от -го 0,35 0,05 0,075 0,574 поставщика = P(A)=0,0305 =l апостериорные Р(Н i /А) Пример. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году будет равна 0,75, если экономика страны будет на подъеме; и эта же вероятность будет равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в новом году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году. 0

21 Определим события: А «Акции компании поднимутся в цене в будущем году». Событие А может произойти только вместе с одной из гипотез: Н «Экономика страны будет на подъеме»; Н «Экономика страны не будет успешно развиваться». По условию известны вероятности гипотез: Р(Н ) = 0,80; Р(Н ) = 0,0 и условные вероятности события А: Р(А/Н )= 0,75; Р(А/Н )= 0,30. Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна. Рассмотрим событие А это или Н А, или Н А. События Н А и Н А несовместные попарно, так как события Н и Н несовместны. События Н и А, Н и А зависимые. Вышеизложенное позволяет применить для определения искомой вероятности события А формулу полной вероятности Р(А) = Р(Н )Р(А/Н ) + Р(Н )Р(А/Н ) = 0,80 0,75 + 0,0 0,30 = 0,66. Решение оформим в виде табл. 4. Таблица 4. Решение задачи Гипотезы Н i Р(Н i ) Р(А/Н i ) Р(Н i )Р(А/Н i ) Н «подъем экономики» 0,80 0,75 0,60 Н «спад экономики» 0,0 0,30 0,06,00 0,66 Вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году, составляет 0,66. Ответ. 0,66. Пример 3. Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,70, в период умеренного экономического роста он подорожает с вероятностью 0,40 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,0. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста 0,30; умеренного экономического роста 0,50 и низкого роста 0,0. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста? Определим события: А «Доллар дорожает». Оно может произойти только вместе с одной из гипотез: Н «Активный экономический рост»; Н «Умеренный экономический рост»; Н 3 «Низкий экономический рост». По условию известны доопытные (априорные) вероятности гипотез и условные вероятности события А: Р(Н ) = 0,30, Р(Н ) = 0,50, Р(Н 3 ) = 0,0, Р(А/Н ) = 0,70, Р(А/Н ) = = 0,40, Р(А/Н 3 ) = 0,0. Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна. Событие А это или Н А, или Н А, или Н 3 А. События Н А, Н А. и Н 3 А.

22 несовместные попарно, так как события Н, Н и Н 3 несовместны. События Н и А, Н и А, Н 3 и А зависимые. Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность первой гипотезы, т. е. необходимо найти вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает (событие А уже произошло), т.е. Р(Н /А). Используя формулу Байеса () и подставляя заданные значения вероятностей, имеем Мы можем получить тот же результат с помощью табл. 5. Таблица 5. Решение задачи Вероятности Гипотезы априорные условные совместные Н i Р(Н i ) Р(А/Н i ) Р(Н i )Р(А/Н i ) апостериорные Р(H i /A) Н 0,30 0,70 0, 0,467 Н 0,50 0,40 0,0 0,444 Н 3 0,0 0,0 0,04 0,089,00 0,45 Вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает, составляет 0, Повторение испытаний 3.. Формула Бернулли Цель: уяснить понятие независимых испытаний; научиться применять формулу Бернулли. Краткие теоретические сведения Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<р<), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), k k nk равна P n(k) Cn p q, n! (3) k nk или P n(k) p q, k!(n k)! где q = - p.

23 Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, - находят соответственно по формулам: а) Р n (0)+ Р n ()+ + Р n (k-); б) Р n (k+)+ Р n (k+)+ + Р n (n); в) Р n (k)+ Р n (k+)+ + Р n (n); г) Р n (0)+ Р n ()+ + Р n (k); РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t, если: а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0, и устройство отказывает, если работает менее трех элементов. Вероятность отказа любого элемента по условию равна q. Вероятность безотказной работы любого элемента р=- q=0,9. Тогда по формуле Бернулли (Р n (k)= C k np k q n-k ): а) Р 3 (3)= 3! р 3 q (3-3) / 3! (3-3)= 0,79; б) Р 4 (3)= C (4-) 4 p 3 q C 4 4 p 4 q 4-4 = 0,9+0,66=0,95; в) Р 5 (3)= C (5-) 5 p 3 q + C (5-) 5 p 4 q + C 5 5 p 4 q 0 = 0,073+0,33+0,594=0,997; Ответ: а) 0,79; б) 0,95; в)0, Локальная и интегральная теоремы Лапласа Цель: уяснить тип задач, для решения которых используются теоремы Лапласа. Краткие теоретические сведения. Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<p<), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n): (k) Р n (x). n p q k - n p Здесь (x) e, x. π n p q x (4) 3

24 Таблица функций φ(х) для положительных значений х приведена в приложении задачника []; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей (функция φ(х) четная, следовательно, φ(-х)= φ(х)). Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<p<), событие наступит не менее k и не более k раз, приближенно равна Р(k ; k )=Ф(х``) - Ф(х`). (5) здесь (x) e x 0 z dz - функция Лапласа, ' k - n p '' k - n p x ; x. n p q n p q Таблица функций Лапласа для положительных значений х (0 х 5) приведена в приложении задачника []; для значений х >5 полагают Ф(х) =0,5. Для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей, учитывая, что функция Лапласа нечетная (Ф(-х)= - Ф(х)). РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 43 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,5. По условию n=43; k=70; p=0,5; q=0,75. Так как n=43 достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа: x (k) Р n (x), n p q k - n p где (x) e, x. π n p q Найдем значение х: ,5 9,5 x, ,5 0,75 6,75 По таблице найдем φ(,37) = 0,56. Искомая вероятность Р 43 (70) = /675 0,56 = 0,03. Ответ: 0,03.. Вероятность рождения мальчика равна 0,5. Найти вероятность того, что среди 00 новорожденных окажется 50 мальчиков. По условию n=00; k=50; p=0,5; q=0,49. Так как n=00 достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Найдем значение х: 4

25 50 000, x 0,. 000,50,49 4,99 По таблице найдем φ(-0,) = 0,39. Искомая вероятность Р 00 (50) = /5 0,39 = 0,78. Ответ: 0,78 3. Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 50 опытов дадут положительный результат. По условию n= k ; k =50; p=0,9; q=0,; Р(k,n)=0,98. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: или - n p n p q k - n p. Р(k ; k )=Ф(х ) - Ф(х k )=Ф Ф n p q Подставляя данные задачи, получим: n - n 0, n 0,9 0,98 = Ф Ф, n 0,9 0, n 0,9 0, n 0, 50 - n 0,9 0,98 = Ф Ф n 0,90, n 0,90, 0, =Ф n 0,9 0, Очевидно, что число испытаний n>50, поэтому 50 - n 0,9 n 0,90,. n 0, n 0,9 0, 40,8. Поскольку функция Лапласа - возрастающая и Ф(4) 0,5, то можно положить функцию Ф n 0, n 0,9 0, 50 - n 0,9 0,98 = 0,5- Ф, Ф 50 - n 0,9 n 0,90, n 0,90, = -0,48 =0,5. Следовательно, По таблице найдем Ф(,06) = 0,48. Отсюда, учитывая, что функция Лапласа нечетная, получим: 0,9n - 0,68 n -50=0 Решая это квадратное уравнение относительно n, получим n =3,3. Следовательно, искомое число испытаний n 77. Ответ: 77. > 5

26 3.3. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях Цель: уяснить основные определения, связь относительной частоты появления события с функцией Лапласа. Краткие теоретические сведения Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<p<), абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события не превысит положительного числа ε, приближенно равна удвоенной функции Лапласа при х = p m n p ε Φ ε n : p q РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ n. p q (6). Отдел технического контроля проверяет на стандартность 900 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число m стандартных деталей среди проверенных. По условию n= 900; p=0,9; q=0,. Следовательно, 900 = 0,95, или Ф(00ε) = 0,475. 0,9 0, По таблице найдем Ф(,96) = 0,475, значит 00 ε =,96. Отсюда ε 0,0. Таким образом, с вероятностью 0,95 отклонение относительной частоты числа стандартных деталей от вероятности 0,9 удовлетворяет неравенству m m 0,9 0,0, или 0,88 0, Отсюда искомое число m стандартных деталей среди 900 проверенных с вероятностью 0,95, заключено в следующих границах: 79 m 88. Ответ: 79 m 88. 6

27 3.4. Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях Цель: уяснить основные понятия. Краткие теоретические сведения. Число k 0 (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k 0 раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний. Наивероятнейшее число k 0 определяют из двойного неравенства np q k 0 < np+p, (7) причем: а) если число np-q - дробное, то существует одно наивероятнейшее число k 0 ; б) если число np-q - целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k 0 и k 0 +; в) если число np - целое, то наивероятнейшее число k 0 =np. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. Испытывается каждый из 5 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание. По условию, n=5; p=0,9; q=0,. Найдем наивероятнейшее число из двойного неравенства n p q k 0 < n p+p. Подставим данные задачи: 5 0,9 0, k 0 < 5 0,9+0,9, или 3,5 k 0 < 4,4. Так как k 0 - целое число и поскольку между числами 3,4 и 4,4 заключено одно целое число, а именно 4, то искомое наивероятнейшее число k 0 =4. Ответ: Производящая функция Цель: уяснить основные понятия, связанные с испытаниями, в которых вероятности появления события различны. Краткие теоретические сведения Пусть производится n независимых испытаний, причем в первом испытании вероятность появления события А равна р, во втором - р,, в n- м испытании - р n ; вероятности непоявления события А соответственно 7

28 равны q, q, q n ; P n (k) - вероятность появления события А в n испытаниях ровно k раз. Производящей функцией вероятностей P n (k) называют функцию, определяемую равенством φ n (z) = (p z+q ) (p z+q ) (p n z+q n ). (8) Вероятность P n (k) того, что в n независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равна р, во втором - р и т.д., событие А появится ровно k раз равна коэффициенту при z k в разложении производящей функции по степеням z. Например, если n=, φ (z) = (p z+q ) (p z+q ) = p p z² + (p q + p q )z+q q. Здесь коэффициент p p при z² равен вероятности Р () того, что событие А появится ровно два раза в двух испытаниях; коэффициент p q + p q при z равен вероятности Р () того, что событие А появится ровно один раз; коэффициент при z 0, т.е. свободный член q q равен вероятности Р (0) того, что событие А не появится ни одного раза. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. Четыре элемента вычислительного устройства работают независимо. Вероятность отказа первого элемента за время t равна 0,, второго - 0,5, третьего - 0,3, четвертого - 0,4. Найти вероятность того, что за время t откажут: а) 4 элемента; б) 3 элемента; в) элемента; г) один элемент; д) ни один элемент; е) не более двух элементов. По условию р =0,8; р =0,75; р 3 =0,7; р =0,6; q = 0,; q = 0,5; q 3 = 0,3; q 4 = 0,4. Составим производящую функцию: φ (z) = (p z+q )(p z+q )(p 3 z+q 3 )(p 4 z+q 4 ) = = (0,8z+0,)(0,75z+0,5)(0,7z+0,3)(0,6z+0,4) = 0,5z ,43z 3 +0,54z²+0,065z+0,06. Ответ: а) 0,06; б) 0,065; в) 0,54; г) 0,43; д) 0,5; е) 0,99. Контрольные вопросы.. В чем состоит формула Бернулли? Что называется сочетанием?. Чем сочетание отличается от размещения? 3. Чем отличаются локальная и интегральная теоремы Лапласа? В каких случаях они применяются? 4. Что называется наивероятнейшим числом? 5. Какая функция является производящей? 8

29 4. Дискретные случайные величины 4.. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальный закон и закон Пуассона Цель: уяснить основные определения, законы и их применение в теории вероятностей. Краткие теоретические сведения Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа (т.е. между двумя соседними возможными значениями нет возможных значений), которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (в последнем случае множество всех возможных значений называют счетным). Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения х i, а вторая - вероятности р i : Х х х х n где p. i i p p p х n Если множество возможных значений Х бесконечно (счетно), то ряд р + р + сходится и сумма его равна единице. Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы) Р(Х=х i ) = φ(х i ) или с помощью функции распределения. 9 (9) Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки М (х ;р ), М (х ; р ), М n (х n ;р n ), (х i - возможные значения Х, р i соответствующие вероятности) и соединяют их отрезками прямых. Полученная фигура называется многоугольником распределения. Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х числа появления события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р; вероятность

30 возможного значения Х = k (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернулли: Р n (k)= C k n p k q n-k. (30) Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу Р n (k)= λ k е -λ / k! (3) где k число появлений события в n независимых испытаниях, λ = np (среднее число появлений события в n испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения: а) Х б) Х Р 0,3 0, 0, 0,4 P 0, 0,7 0, Построить многоугольник распределения. а) б) 0,7 0,5 0,3 0, 0, 0, x x а) б) Рис. 4. Многоугольники распределения в задаче. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Дискретная случайная величина Х (число отказавших элементов в одном опыте) имеет следующие возможные значения: х =0 (ни один из элементов устройства не отказал), х = (отказал один элемент), х 3 = (отказали два элемента) и х 4 =3 (отказали три элемента). Отказы элементов независимы один от другого, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию, n=3, p=0, (следовательно, q=- 0,=0,9), получим: 30

31 Р 3 (0) = q 3 = 0,79; Р 3 () = С 3 pq² = 0,43; Р 3 () = С 3 p²q = 0,07; Р 3 (3) = р 3 = 0,00; Контроль: 0,7 + 0,43 + 0,07 + 0,00 =. Напишем искомый биномиальный закон распределения Х: Х 0 3 Р 0,79 0,43 0,07 0,00 3. После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает задавать дополнительные вопросы, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный дополнительный вопрос, равна 0,9. Требуется: а) составить закон распределения случайной дискретной величины Х числа дополнительных вопросов, которые преподаватель задаст студенту; б) найти наивероятнейшее число k 0 заданных студенту дополнительных вопросов. а) Дискретная случайная величина Х - число заданных дополнительных вопросов имеет следующие возможные значения: х =, х =, х 3 =3, х k =k, Найдем вероятности этих возможных значений. Величина Х примет возможное значение х = (экзаменатор задаст только один вопрос), если студент не ответит на первый вопрос. Вероятность этого возможного значения равна 0,. Таким образом, Р(Х=) = 0,. Величина Х примет возможное значение х = (экзаменатор задаст два вопроса), если студент ответит на первый вопрос (вероятность этого 0,9) и не ответит на второй (вероятность этого 0,). Таким образом, Р(Х=) = 0,9 0,=0,09. Аналогично найдем Р(Х=3) = 0,9² 0, = 0,08,, Р(Х=k) = 0,9 k - 0,, Напишем искомый закон распределения: Х 3 k Р 0, 0,09 0,08 0,9 k - 0, б) Наивероятнейшее число k 0 заданных вопросов (наивероятнейшее возможное значение Х), т.е. число заданных преподавателем вопросов, которое имеет наибольшую вероятность, как следует из закона распределения, равно единице. 4. Устройство состоит из 000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,00. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента. Указание. Принять е - ² = 0,

32 Р n (k) = λ k e -λ / k! k=3, n=000, λ = n p =0000,00 =. Искомая вероятность Р 000 (3) = 3 0,3534 / 6 =0,8 Ответ: 0, Простейший поток событий Цель: уяснить основные определения простейшего потока событий и его применение в теории вероятностей. Краткие теоретические сведения Поток событий последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Простейший (пуассоновский) поток событий обладает следующими тремя свойствами: стационарностью, «отсутствием последействия» и ординарностью. Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка времени и не зависит от начала его отсчета. Другими словами, вероятность появления k событий за промежуток времени t есть функция, зависящая только от k и t. Свойство «отсутствия последействия» состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, предыстория потока не влияет на вероятности появления событий в ближайшем будущем. Свойство ординарности состоит в том, что появление двух или более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события за малый промежуток времени пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью появления только одного события. Интенсивность потока λ - среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Если постоянная интенсивность потока λ известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона: Р t (k) = (λ t) k e λ t / k! (3) Замечание. Поток, обладающий свойством стационарности, называют стационарным; в противном случае - нестационарным. 3


ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Комбинаторика, правила произведения и суммы Комбинаторика как наука Комбинаторика это раздел математики, в котором изучаются соединения подмножества элементов, извлекаемые из конечных

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 Методы определения вероятностей 0 Классическое определение вероятностей Любой из возможных результатов опыта назовем элементарным

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 9 Основные законы распределения случайных величин Основные законы распределения дискретных случайных величин Биномиальное распределение

Подробнее

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

Подробнее

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ ЛЕКЦИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Вероятность события относится к основным понятиям теории вероятностей и выражает меру объективной возможности появления события Для практической деятельности важно

Подробнее

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия.

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия. Параграф : Общие понятия Теория вероятностей Случайные события Определение : Теория вероятностей математическая наука, изучающая количественные закономерности в случайных явлениях Теория вероятностей не

Подробнее

Основные положения теории вероятностей

Основные положения теории вероятностей Основные положения теории вероятностей Случайным относительно некоторых условий называется событие, которое при осуществлении этих условий может либо произойти, либо не произойти. Теория вероятностей имеет

Подробнее

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1 Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания Приведем основные понятия теории вероятностей необходимые для их выполнения Для решения задач 50 50 необходимо знание темы Случайные

Подробнее

Предмет теории вероятностей

Предмет теории вероятностей Предмет теории вероятностей В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

4. Теория вероятностей

4. Теория вероятностей 4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 4: ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 4: ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск 018 018 Кафедра высшей

Подробнее

Лекция 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Лекция 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Теоремы сложения и умножения вероятностей Формула полной вероятности Формула Байеса Пусть и B - несовместные события и вероятности

Подробнее

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения.

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

Подробнее

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2 ВАРИАНТ.. Группа состоит из 5 мужчин и 0 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет мужчина. Решение: Для решения задачи будем использовать

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

2) если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P(A 1 + A A k )= P(A 1 )+ P(A 2 )+ + P(A k )=1

2) если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P(A 1 + A A k )= P(A 1 )+ P(A 2 )+ + P(A k )=1 13 Сложение и умножение вероятностей Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В Записывается: События А и В называются равными, если каждое из них является частным

Подробнее

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Ю В Щербакова Данная книга представляет собой полный конспект лекций по курсу «Теория вероятности и математическая статистика» Предназначена

Подробнее

1. Основные понятия теории вероятностей: пространство элементарных событий, алгебра событий, классическая вероятность.

1. Основные понятия теории вероятностей: пространство элементарных событий, алгебра событий, классическая вероятность. билет 1 1. Основные понятия теории вероятностей: пространство элементарных событий, алгебра событий, классическая вероятность. 2. Свойства математического ожидания. Вывести формулу для дисперсии D( ξ )

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

2. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин

2. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет». Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Решение типовых задач

Решение типовых задач типовых задач Теоремы сложения и умножения вероятностей 1) В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны последовательно достают два шара. Найти вероятность того, что: а) шары будут одинакового цвета (шары

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

Подробнее

ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Руководство для решения задач

ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Руководство для решения задач 1 Учебники «Феникса» П. П. Ниворожкина, 3. А. Морозова, П. А. Герасимова., П. В. Житников ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Руководство для решения задач Рекомендовано

Подробнее

Перейти на страницу с полной версией»

Перейти на страницу с полной версией» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Челябинская государственная академия культуры и искусства» Кафедра информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 7: СХЕМА БЕРНУЛЛИ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 7: СХЕМА БЕРНУЛЛИ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

{ определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение

{ определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение { определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение вероятности пример гипергеометрическое распределение пример

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ". Составитель: В.П.Белкин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Составитель: В.П.Белкин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ" Составитель: ВПБелкин Занятие Классическая вероятность Пример Монета брошена два раза Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится "герб" Построить пространство

Подробнее

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна Тема: Теория вероятностей Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А. Дата: 9.0.0. Вероятность случайного события может быть равна. 0.5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Вероятность достоверного события равна.

Подробнее

=n! n!= n - произведение натуральных чисел от 1 до n. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3? 5! =20

=n! n!= n - произведение натуральных чисел от 1 до n. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3? 5! =20 Часть 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1.1. Элементы комбинаторики Комбинаторика раздел математики, изучающий методы решения задач, связанных с выбором и расположением элементов какого-либо множества, в соответствии

Подробнее

Рассмотрим событие: брошенная на отрезок [ 0; 1] точка, попала в промежуток [ 0,4; 0,7].

Рассмотрим событие: брошенная на отрезок [ 0; 1] точка, попала в промежуток [ 0,4; 0,7]. 1.2 Геометрическое определение вероятности. Классическая формула вычисления вероятности p(a) = m оказывается эффективной для решения n целого спектра задач, но с другой стороны, обладает и рядом ограничений.

Подробнее

«Теория вероятностей»

«Теория вероятностей» ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине

Подробнее

. Таким образом, вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. m n. которая носит название формулы полной вероятности.

. Таким образом, вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. m n. которая носит название формулы полной вероятности. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации к решению задач из экзаменационного задания Семь человек вошли в лифт на первом этаже восьмиэтажного дома Считая,

Подробнее

Химия (направление); Фундаментальная и прикладная химия (специальность).

Химия (направление); Фундаментальная и прикладная химия (специальность). 0000.6-Химия (направление); http://kpfu.ru/pdf/portal/oop/4853.pdf 000.65 - Фундаментальная и прикладная химия (специальность). Дисциплина: «Математика» (бакалавриат, специалитет, курс, очное обучение).

Подробнее

Н. Г. ТАКТАРОВ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: КРАТКИЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И РЕШЕНИЯМИ. Текст исправлен и дополнен

Н. Г. ТАКТАРОВ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: КРАТКИЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И РЕШЕНИЯМИ. Текст исправлен и дополнен Н. Г. ТАКТАРОВ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: КРАТКИЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И РЕШЕНИЯМИ Текст исправлен и дополнен АННОТАЦИЯ Книга является учебным пособием в котором кратко просто и доступно

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий

Подробнее

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение ГЛАВА СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Биномиальное распределение Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли Определение Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н. Д. ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

14. Тесты по теории вероятностей. Тест 1

14. Тесты по теории вероятностей. Тест 1 1 Если A B, то чему равно AB? 14 Тесты по теории вероятностей Тест 1 Сформулируйте классическое определение вероятности События A, B, C взаимно независимы P( A) P( B) P( C) 1 Найдите P( A B C) 4 Испытываются

Подробнее

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей. 1 лекция

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей. 1 лекция Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей 1 лекция Введение. Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Подробнее

со стороной 3 см, находящийся внутри ABCD.

со стороной 3 см, находящийся внутри ABCD. Примерные задания для подготовки к зачету по математике по теме «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов специальности 270100 4 семестр 1 часть. Теория вероятностей. 1.Комбинаторика.

Подробнее

Вопросы по Теории Вероятностей

Вопросы по Теории Вероятностей Вопросы по Теории Вероятностей 1. Понятия испытания и случайного события. 2. Понятие статистической устойчивости. 3. Относительная частота появления случайного события. Статистическое определение вероятности.

Подробнее

И ЕГО ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМЫ. Методические указания и примерная программа проведения. лабораторной работы (практического занятия ) в среде MathCad

И ЕГО ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМЫ. Методические указания и примерная программа проведения. лабораторной работы (практического занятия ) в среде MathCad БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ЕГО ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМЫ Методические указания и примерная программа проведения лабораторной работы (практического занятия в среде MathCad по курсу «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ. Лекция 4

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ. Лекция 4 ЧАСТЬ 3 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ Лекция 4 НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ МУАВРА ЛАПЛАСА И ПУАССОНА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие независимого испытания и

Подробнее

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1 Контрольная работа по теории вероятностей Задание Задание Бросают три монеты Какова вероятность того, что выпадет хотя бы один «орел», и при этом первым будет «орел»? Решение При бросании «первой» монеты

Подробнее

Фонд оценочных средств

Фонд оценочных средств ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» ИНСТИТУТ ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМ

Подробнее

ТЕМА 1. Комбинаторика. Вычисление вероятностей = 4080.

ТЕМА 1. Комбинаторика. Вычисление вероятностей = 4080. ТЕМА 1 Комбинаторика Вычисление вероятностей Задача 1Б В розыгрыше кубка страны по футболу берут участие 17 команд Сколько существует способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали? Поскольку

Подробнее

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике Вопросы к зачету Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» 1. Комбинаторика. 2. Вычисление вероятности (классическая модель). 3. Геометрическая вероятность. 4.Основные теоремы теории вероятностей

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2018 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. В вариантах вопросов на экзамене возможны изменения по сравнению с предложенным списком: могут быть изменены численные

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ 1... 13 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... 13 1. Определение теории вероятностей... 13 2. Некоторые примеры... 14 3. Устойчивость частот в массовых статистических

Подробнее

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к самостоятельной подготовке за четвертый семестр по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2016 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. Основы теории множеств, аксиоматические свойства вероятности и следствия из них. 1. Записать свойства ассоциативности

Подробнее

Лекция 12. Понятие о системе случайных величин. Законы распределения системы случайных величин

Лекция 12. Понятие о системе случайных величин. Законы распределения системы случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция Понятие о системе случайных величин Законы распределения системы случайных величин Часто возникают ситуации когда каждому элементарному

Подробнее

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13 ЧАСТЬ 7 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 3 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: доказать неравенство Чебышева; сформулировать и доказать закон больших чисел и

Подробнее

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Подробнее

2. Вероятность Определения и формулы для решения задач

2. Вероятность Определения и формулы для решения задач 2. Вероятность 2.1. Определения и формулы для решения задач Классическое определение вероятности Эксперимент E назовем классическим, если он приводит к множеству событий, удовлетворяющих трем условиям:

Подробнее

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ В.Е.Гмурман РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ М.: Высш. школа, 1979, 400 стр. В пособии приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения

Подробнее

«ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН»

«ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН» Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Институт пути, строительства

Подробнее

Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности. Формула полной вероятности. Пусть имеется группа событий H 1, H 2,..., H n, обладающая следующими свойствами: 1) Все события попарно несовместны: H i H j =; i, j=1,2,...,n; ij 2) Их объединение образует

Подробнее

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины Случайные величины Дискретная и непрерывная случайные величины Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется другое более удобное понятие случайной величины Случайной величиной

Подробнее

Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика» Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

Лекция 7 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. . Производящей функцией для случайной величины X называется функция вида

Лекция 7 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. . Производящей функцией для случайной величины X называется функция вида Лекция 7 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить производящую функцию и вычислить параметры биномиального, пуассоновского, геометрического и гипергеометрического распределений;

Подробнее

Теоретические вопросы.

Теоретические вопросы. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра высшей математики. Дисциплина Математика Специальность 160505. Курс 2. Осенний семестр 2012 года Теоретические вопросы. РАЗДЕЛ

Подробнее

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА Кафедра математики и информатики Математика Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Элементы теории вероятностей и математической статистики

Подробнее

АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 2

АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 2 ЧАСТЬ АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТРАКТОВКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: познакомить с

Подробнее

( A) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. Теория вероятностей

( A) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. Теория вероятностей КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Теория вероятностей Задача В ящике находится 5 кондиционных и бракованных однотипных деталей Какова вероятность того, что среди трех наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?

Подробнее

Схема независимых испытаний. Повторные испытания Бернулли

Схема независимых испытаний. Повторные испытания Бернулли Схема независимых испытаний Повторные испытания Бернулли 1 Схема независимых испытаний Предположим, что производятся независимые испытания, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 5: ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 5: ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

Случайные величины. Дискретные случайные величины

Случайные величины. Дискретные случайные величины Случайные величины 1. Дано: Mξ = 3, Dξ = 1. Найти M(2ξ + 5), D(2ξ + 5). 2. Дано: случайные величины ξ, η независимы, Dξ = 1, Dη = 4. Найти D(ξ η). Дискретные случайные величины 1. В ящике находятся 4 шара

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события».

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события». Задание Решение задач по теории вероятностей Тема : «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X, X, X 3., где

Подробнее

n = 4, k = 3, p = 0,9, q = 0,1

n = 4, k = 3, p = 0,9, q = 0,1 Лекция 4. Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли Если производится несколько испытаний причем вероятность события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний то такие испытания

Подробнее

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» /009г ИУ-5,7 курс, 4 семестр 1. Случайные события. Операции над событиями. Определения случайного

Подробнее

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике Кафедра высшей математики Лекции по теории вероятностей и математической статистике Раздел. Теория вероятностей Предмет теории вероятностей изучение специфических закономерностей в массовых однородных

Подробнее

Элементы теории вероятностей. План.

Элементы теории вероятностей. План. Элементы теории вероятностей. План. 1. События, виды событий. 2. Вероятность события а) Классическая вероятность события. б) Статистическая вероятность события. 3. Алгебра событий а) Сумма событий. Вероятность

Подробнее

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Специальность: 230201.65 Информационные системы и технологии Дисциплина: Математика (ТВ и МС) Время выполнения теста: 20 минут Количество заданий:

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=mreatv МИРЭА. Типовой расчет по теории вероятностей с решением Вариант 1 Часть 1. Случайные события Задача 1.1. В магазине 0 калькуляторов трех разных производителей:

Подробнее

ОБНАРУЖЕНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ В НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ. Практические занятия ЧАСТЬ 1. Примеры вопросов с пояснениями

ОБНАРУЖЕНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ В НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ. Практические занятия ЧАСТЬ 1. Примеры вопросов с пояснениями ОБНАРУЖЕНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ В НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ Практические занятия ЧАСТЬ 1 Этот раздел состоит из простых тестовых вопросов, требующих ответов «ДА» или «НЕТ», в зависимости от того, верное

Подробнее

С k n = n! / (k! (n k)!)

С k n = n! / (k! (n k)!) ПРКТИКУМ Основные формулы комбинаторики Виды событий Действия над событиями Классическая вероятность Геометрическая вероятность Основные формулы комбинаторики Комбинаторика изучает количества комбинаций,

Подробнее

Вариант 3 Задача 1. Решение. В данной задаче независимо производятся три эксперимента, состоящие в работе каждого из трѐх устройств.

Вариант 3 Задача 1. Решение. В данной задаче независимо производятся три эксперимента, состоящие в работе каждого из трѐх устройств. Вариант Задача Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна,9, второе,95, третье,85 Найти вероятность

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Определение вероятности.. 8 1. Классическое и статистическое определения вероятности.. 8 2. Геометрические вероятности... 12 Глава вторая. Основные

Подробнее

Е. В. Морозова. Теория вероятностей

Е. В. Морозова. Теория вероятностей Е. В. Морозова Теория вероятностей 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Л.Г. Ветров, А.Л. Сунчалина, В.И. Тимонин

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Л.Г. Ветров, А.Л. Сунчалина, В.И. Тимонин Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Л.Г. Ветров, А.Л. Сунчалина, В.И. Тимонин Методические указания к выполнению типового расчета по теории вероятностей Москва ИздательствоМГТУ

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену Содержание. Описание экзаменационного билета. Теоретические вопросы

Материалы для подготовки к экзамену Содержание. Описание экзаменационного билета. Теоретические вопросы 70800 «Строительство» семестр Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, семестр. Направление 70800 «Строительство». Дисциплина - «Математика-» Материалы для подготовки к экзамену Содержание Материалы для

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

Пример.2. Электрическая цепь между точками М и N составлена по схеме, приведенной на рисунке. Выход из Л 1 К 1 Л 2 К 2 Л 3

Пример.2. Электрическая цепь между точками М и N составлена по схеме, приведенной на рисунке. Выход из Л 1 К 1 Л 2 К 2 Л 3 Умножение, сложение вероятностей. Формулы полной вероятности Бейеса и Бернулли. Пример.. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что % всей продукции

Подробнее

Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА

Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятия условной вероятности и независимости событий; построить правило умножения

Подробнее

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики УДК 57. Теория вероятностей: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск, 0. 4 с. (Заочная форма обучения/

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности XCQ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности XCQ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности Глава 1. Понятие вероятности 1.1. Виды случайных событий. Дискретное множество элементарных событий. Множество исходов опыта

Подробнее