«Теория вероятностей и математическая статистика»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "«Теория вероятностей и математическая статистика»"

Транскрипт

1 УПРАВЛЕНИЕ АЛТАЙСКОГО КРАЯ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И ДЕЛАМ МОЛОДЕЖИ Краевое государственное общеобразовательное учреждение «Бийский лицей Алтайского края» «Теория вероятностей и математическая статистика» Учебно-методический модуль для учащихся 11 класса физико-математического профиля Разработчик: Марина Викторовна Новицкая, учитель математики Бийск 2007

2 2 Содержание: 1. Пояснительная записка 2. Лекция 1 «Теория вероятностей. Основные понятия и определение вероятности. Элементы комбинаторики». 7. Лекция 2 «Действия над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Случайные величины, основные характеристики» Самостоятельная работа 1 «Определение вероятности. Элементы комбинаторики» Самостоятельная работа 2 «Действия над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей» Самостоятельная работа «Случайная величина. Математическое ожидание и дисперсия» Контрольная работа 2 8. Литература 25

3 Пояснительная записка Тема «Элементы теории вероятности и математической статистики» является принципиально новой для отечественной школы. Ее появление вызвано велением времени, поскольку является следствием многих социально-экономических причин. Изучение теории вероятности и математической статистики на профильном уровне среднего (полного) общего образования предусматривает ознакомление учащихся с основами этой теории с целью формирования вероятностно-статистического мировоззрения, умения понимать вероятностный характер различных процессов окружающего мира. Решение простейших комбинаторных задач методом перебора, с использованием известных формул, вычисление вероятности событий на основе подсчета числа исходов позволяет понять учащимся математическую базу теории вероятности. В результате изучения темы учащийся должен уметь: 1) Группировать данные по определенному признаку; осуществлять целенаправленный и организованный перебор вариантов; 2) Узнавать равновозможные исходы испытаний; оценивать и сравнивать шансы событий в испытаниях с очевидным числом равновозможных исходов; ) Находить вероятности событий, используя известные формулы; 4) Находить среднее значение случайной величины; 5) Использовать приобретенные знания в практической деятельности и повседневной жизни для анализа реальных числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм, графиков; для анализа информации статистического характера. Следует отметить, что теория вероятностей и математическая статистика представляет собой фактически единственный в школьной математике реальный пример математического моделирования, является важным содержательным компонентом системы непрерывного математического образования, помогает развивать способности учащихся, имеющих склонность к математике. Курс «Элементы теории вероятности и математической статистики» нужно вводить еще в среднем звене (5-8 класс). Необходимое изложение учебного материала имеется в учебниках «Математика» 5, 6, 7, 8 классов под редакцией Г.В.Дорофеева. Упомянутые книги написаны живым языком с постоянной опорой на здравый смысл и жизненный опыт учащихся. Школьники учатся оценивать вероятность наступления несложных событий сначала на качественном уровне, а количественный подсчет вероятностей происходит позднее.

4 4 Начинать изложение основ теории вероятностей в старших классах очень сложно. Наработанное к этому возрасту стремление к быстрой формализации знаний, сформированное традиционным курсом математики, желание усвоить на уроке, прежде всего некоторый набор правил, алгоритмов и методов вычисления фактически заменяет формирование вероятностных представлений формальным вычислением формул комбинаторики и вычисления вероятностей классическим способом. Далее предлагаются методические рекомендации по изучению темы «Теория вероятностей и математическая статистика» в 11 классе профильного уровня (физикоматематическое отделение). Основные цели курса познакомить учащихся с основными элементами комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки), теории вероятностей (статистическое и классическое определение вероятности, элементарные действия над событиями), ввести понятие случайной величины, рассмотреть ее основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Формирование у школьников первоначальных вероятностных представления, развитие комбинаторного мышления. Обучение происходит по учебнику «Алгебра и математический анализ 11» под редакцией Виленкина Н.Я. Для реализации поставленных целей, занятия проводятся в форме лекций и обучающих самостоятельных работ. На изучение темы отводится 12 часов. Поурочное планирование темы: 1, 2 урок Лекция 1 «Теория вероятностей. Основные понятия и определение Вероятности. Элементы комбинаторики»,4 урок Самостоятельная работа 1 «Определение вероятности. Элементы комбинаторики» 5,6 урок Лекция 2 «Действия над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Случайные величины» 7,8 урок Самостоятельная работа 2 «Теоремы сложения и умножения вероятностей» 9,10 урок Самостоятельная работа «Случайная величина. Математическое ожидание, дисперсия» 11,12 урок Контрольная работа На лекции 1 вводятся основные понятия теории вероятностей, дается определение вероятности (классическое, геометрическое, статистическое). Происходит знакомство с элементами комбинаторики. В результате учащиеся должны уметь решать

5 5 простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул. В лекции 2 рассматриваются основные действия над событиями: теоремы сложения и умножения вероятностей, условная вероятность. Вводится понятие случайной величины и ее основные характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Учащиеся должны научиться вычислять вероятности событий с использованием предложенных формул, вычислять условную вероятность, анализировать числовые данные, представленные в виде таблиц, а также информацию статистического характера. Все самостоятельные работы обучающего характера. Они нацелены на формирование умений и навыков, связанных с изучением теории вероятности, на развитие у школьников вероятностной интуиции и статистического мышления. У учащихся проходит устранение ощущения, что происходящее на уроке математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью. Выполнение самостоятельных работ происходит в группах (4-5 человек), с последующей защитой и разбором задач у доски. На последнем занятии проводится контрольная работа (4 варианта). Увеличение количества вариантов позволяет осуществить более точный контроль знаний учащихся. Методическая разработка апробирована в учебном году в 11 «А», 11 «Б» классах физико-математического отделения Бийского лицея. Результаты самостоятельных работ и контрольной работы приведены ниже. Самостоятельная работа 1 Количество учащихся,выполнивших работу(%) тройка четверка Оценки учащихся Самостоятельная работа 2 Количество учащихся, выполнивших работу(%) Оценки учащихся тройка четверка пятерка

6 6 Самостоятельная работа Количество учащихся, выполнивших работу (%) Оценки учащихся тройка четверка пятерка Контрольная работа Количество учащихся, выполнивших работу (%) Оценки учащихся тройка четверка пятерка Количество учащихся, выплнивших работу на 4 и 5(%) Качество знаний Самостоятельные работы и контрольная работа Сам.работа 1 Сам.работа 2 Сам.работа Кон.работа Проанализировав результаты самостоятельных работ и контрольной работы, была составлена гистограмма качества знаний. С помощью, которой можно сделать вывод, что тема «Теория вероятностей и математическая статистика» учащимися усвоена хорошо. Набор самостоятельных работ и лекций прилагается.

7 ЛЕКЦИЯ 1 7 Теория вероятностей. 1. Основные понятия. Задача любой науки, в том числе экономической, состоит в выявлении и исследовании закономерностей, которым подчиняются реальные процессы. Найденные закономерности, относящиеся к экономике, имеют не только теоретическую ценность, они широко применяются на практике в планировании, управлении и прогнозировании. Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Под случайными явлениями понимаются явления с неопределенным исходом, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий. Математическая статистика раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей. Теория вероятностей позволяет находить вероятности «сложных» событий через вероятности «простых» событий, а математическая статистика по наблюденным значениям оценивает вероятности этих событий, либо осуществляет проверку предположений относительно этих вероятностей. Случайным событием ( возможным событием или событием) называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. Испытание- выполнение определенного комплекта условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной факт. Например: Событие - «появление герба при подбрасывании монеты», «выход бракованного изделия с конвейера». Обозначение событий: A, B, C, Несовместные события наступление одного исключает наступление другого. В противном случае события совместные. Например: Выигрыш по одному билету двух ценных призов (несовместные события), а по двум билетам тех же призов (совместные события). События бывают: достоверными (обязательно произойдет), невозможными (вообще не может произойти), равновозможными (появление герба или решки при подбрасывании монеты), противоположными.

8 2. Определение вероятности. 8 А) Классическое Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Для сравнения нужна определенная мера. Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события. Случай называется благоприятствующим ( благоприятным ) событию А, если появление этого случая влечет за собой появление события А. Вероятностью события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев. P ( A) m n P(A) вероятность события А; m число случаев, благоприятствующих событию А; n общее число случаев. Например: При бросании игральной кости возможны 6 исходов: 1,2,,4,5,6. какова вероятность появления четного числа? Решение: А появление четного числа. n6, m (2,4,6). P ( A) 0, 5 6 Свойства вероятности: 1. 0 P ( A) 1 2. P ( A) 1, если А достоверное событие. P ( A) 0, если А невозможное событие. Б) Статистическое Есть другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частность) появления этого события в n произведенных испытаниях. ~ m P ( A) ω ( A), n ~ ( P A) - статистическая вероятность, ω (A) - относительная частота, m число испытаний, в которых появляется событие А, n общее число испытаний.

9 В) Геометрическое вероятность попадания точки в некоторую область. 9 Дано: область G, g G. Событие А попадание брошенной точки на фигуру g Геометрическая вероятность события А отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области. P ( A) mesg mesg. Элементы комбинаторики. Комбинаторика раздел математики, изучающий методы решения комбинаторных задач задач на подсчет числа различных комбинаций. Правило суммы Если А 1 может быть выбран n 1 способами, А 2 другими n 2 способами, А отличными от первых двух n способами и т.д., А k n k способами, отличными от первых (k-1), то выбор одного из элементов А 1, или А 2, или А, может быть осуществлено n 1 +n 2 +n + способом. Например: В ящике 00 деталей. 1 сорта 150 штук, 2 сорта 120 штук, сорта остальные. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1 или 2 сорта. Решение: n 1 150, n 2 120, n 1 +n Правило произведения Если А 1 может быть выбран n 1 способом, после каждого такого выбора А 2 может быть выбран n 2 способами, после каждого (k-1) выбора элемент А k может быть выбран n k способами, то выбор всех элементов А 1, А 2,, А k в указанном порядке может быть осуществлен n n... n способами. 1 2 k Например: В группе 0 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать?

10 10 Решение: Старосту можно выбрать n 1 0 способами. Заместителя n 2 29 способами. Профорга n 28 способами. n 1 n2 n Ответ: Пусть дано множество из n различных элементов. Из этого множества могут быть образованы подмножества из m элементов. Например, из 5 элементов a, b, c, d, e могут быть отобраны комбинации по два элемента : ab, cd, ed, ba, ce, и т.д. Если комбинации из n элементов по m отличны либо составом элементов, либо их расположением, либо тем и другим, то такие комбинации называют размещениями из n элементов по m. m A n n! ( n m)! n! n Например: Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин. Решение: Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования ( или тем, и другим), т.е. является размещение из 11 элементов по ! 11! A (11 5)! 6! 2. Если комбинации из n элементов по m отличны только составом, то их называют сочетаниями из n элементов по m m C n n!, 0! 1, C 0 1 m!( n m)! n Например: В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия? Решение: Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других Только составом пар участников, т.е. представляет собой сочетание из 16 элемент- ов по 2. C 16! !(16 2)!

11 11. Если комбинации из n элементов отличны только порядком расположения этих элементов, то их называют перестановками. P n n! Например: Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки возможно? Решение: Так как порядок выступления участников отличается только порядком расположения участников, то P 7! Непосредственное вычисление вероятностей. Пример 1: Буквы Т, Е, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках. Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой: а) карточки; б) все 6 карточек. Какова вероятность того, что получится слово: а) «ТОР»; б) «ТЕОРИЯ»? Решение: а)пусть событие А получение слова «ТОР». Различные комбинации трех букв из имеющихся шести представляют размещения, так как могут отличаться как составом входящих букв, так и порядком их следования (или и тем, и другим), т.е. общее число случаев n A 6, из которых благоприятствует событию А m1 случай. Тогда m P ( A). n A Б) Пусть событие В получение слова «ТЕОРИЯ». Различные комбинации из 6 букв из имеющихся шести представляют собой перестановки, так как отличаются только порядком следования букв; т.е. общее число случаев n P 6 6!, из которых благоприятствует событию В m1 случай. Поэтому m P ( B). n P 6! Пример 2: Из 0 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность того, что выбранные наудачу студента разрядники? Решение: Пусть событие А выбранных наудачу студента разрядника. Общее число случаев выбора студентов из 0 равно n C 0, так как комбинации из 0 студентов по

12 12 представляют собой сочетания, ибо отличаются только составом студентов. Точно так же число случаев, благоприятствующих событию А, равно m C 10. Итак, m C P ( A) : 0,0. n C Пример : В партии 100 изделий, из которых 4 бракованные. Партия произвольно разделена на две равные части, которые отправлены двум потребителям. Какова вероятность того, что все бракованные детали достанутся одному потребителю? Решение: Пусть событие А все бракованные изделия достанутся одному потребителю. Общее число способов, какими можно выбрать 50 изделий из 100, равно 50 n C 100. Событию А благоприятствуют случаи, когда из 50 изделий, отправленных одному потребителю, будет либо 46 стандартных из 96 (и все 4 бракованных) изделий, либо 50 стандартных из 96 (и 0 бракованных); их число m C. Поэтому C4 + C96 C m C96 C4 + C96 C4 C96 1+ C96 1 2C P ( A) n C C C 100 Где 100! 96! и 50! 46! !50!50! 2 96!46! ,117 46!50!100! 46!96!

13 ЛЕКЦИЯ Действия над событиями. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий. Разностью двух событий называется событие, которое состоится, если событие А произойдет, а событие В не произойдет. Например: Победитель награждается: призом (событие А), премией (событие В), медалью (событие С). Что представляют события: А) А+В; Б) АВС; В) АВ-С. Решение: а) Победитель награжден или призом, или премией, или тем и другим; б) Победитель награжден и премией, и призом, и медалью; в) Победитель награжден призом и премией без медали. 5. Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий P ( A + B K) P( A) + P( B) P( K ) Следствия: 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1. P ( A) + P( B) P( K) 1 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1 P ( A) + P( A) 1 Например: Вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации сроком до 1 года равна 0,1, а при эксплуатации сроком до -х лет равна 0,6. Найти вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации сроком от 1 года до -х лет.

14 14 Решение: Пусть событие А выход из строя изделия сроком до 1 года. В выход из строя изделия сроком от 1 года до лет. С выход из строя изделия сроком от -х лет. P(A)0,1; P(C)0,6; CA+B; А и В несовместимы; P(C)P(A)+P(B); P(B)P(C)-P(A)0,6-0,10,2. 6. Теорема умножения вероятностей. Пусть произошло событие В. Р(В) вероятность наступления этого события при определенных условиях. При изменении условий меняется и вероятность события В. Если к комплексу условий, при которых изучалось вероятность Р(В), добавить новое условие А, то полученная вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В. P ( B) P( B/ A) A Например: В ящике 5 деталей : стандартные и 2 бракованные. Поочередно извлекают по одной детали (с возвратом и без возврата). Найти вероятность извлечения во второй раз стандартную деталь. Решение: Пусть событие А - извлечение стандартной детали в первый раз; событие В извлечение стандартной детали во второй раз. А) Б) P ( A). Деталь положили в ящик. 5 P ( B). 5 P ( A). Р(В) зависит от того какую деталь вынули раньше, т.е. 5 вынули в первый раз стандартную деталь. бракованную деталь. P A ( B) P A ( B), если 4 2, если вынули в первый раз Как найти P (B)? A n- Общее число равновозможных и несовместных исходов испытания m- Число случаев, благоприятствующих событию А k -Число случаев, благоприятствующих событию В l - Число случаев, благоприятствующих совместному появлению событий А и В

15 P ( A) m n P ( AB) l n 15 Если событие А произошло, то число всех случаев сократиться с n до m, а число случаев благоприятствующих событию В с k до l. P ( B) l A m P( AB) P( A) или P ( A) B P( AB) P( B) Теорема умножения вероятностей Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого, найденную при условии, что первое событие произошло. P( AB) P( A) P ( B) P( B) P ( A) A B Например: Работа устройства прекратилась из-за поломки одного из 5 блоков. Производится последовательная замена каждого блока, пока устройство не заработает. Какова вероятность того, что придется заменить а) 2 блока; б) 4 блока. Решение: А) А i - i блок исправен ( i1,2, 5) B - замена двух блоков. Придется заменить два блока, если первый блок исправен ( 4 шанса из пяти), а второй не исправен ( 1 шанс из оставшихся четырех), т.е. B A 1 A2, по теореме умножения вероятностей P ( B) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) Б) С замена четырех блоков. C A1 A2 A A4 P( C) P( A A2 A A4 ) P( A1 ) PA ( A2 ) PA A ( A ) PA A A ( A4 ) Событие называется В независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет, т.е. P A ( B) P( B) или P A ( B) P( B) Например: В ящике 5 деталей : стандартные и 2 бракованные. Поочередно извлекают по одной детали (с возвратом). PA ( B) P ( B) P( B),т.е. А и В независимые события. A

16 Теорема умножения вероятностей для независимых событий P( AB) P( A) P( B) Например: Вероятность попадания в цель первого стрелка равна 0,8, второго 0,7, третьего 0,9. Каждый делает по одному выстрелу. Какова вероятность, что в мишени пробоины? Решение: A i попадание в цель i-го стрелка ( i1,2,) B в мишени пробоины. B A, P B) P( A ) P( A ) P( A ) 0,8 0,7 0,9 0, A2 A 16 ( 1 2 Вероятность суммы двух или нескольких совместных событий, т.е. вероятность появления хотя бы одного из этих событий P( A+ B) P( A) + P( B) P( AB) или P( A+ B K) 1 P( A B... K ) Например: На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено: а) 2 билета; б) 4 билета? Решение: Пусть событие А i выигрыш по i-му билету (i1,2,,4). А) Вероятность выигрыша хотя бы по одному из двух билетов ( A + A2 ) P( A1 ) + P( A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 ) + P( A2 ) P( A1 ) P ( A2 ) P 1 A 1 Б) Вероятность выигрыша хотя бы по одному из четырех билетов 0, P ( A + A2 + A + A4 ) 1 P( A1 A2 A A4 ) , Случайные величины. Случайная величина переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений. Например: Число родившихся детей в течение суток в г.бийске; количество бракованных изделий в данной партии.

17 Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является закон ее распределения. 17 Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. X : p i 1 x 1 x 2 x n p 1 p 2 p n n i 1 Например: В лотерее разыгрывается : автомобиль стоимостью 5000$, 4 телевизора 250$, 5 видеомагнитофонов 200$. Всего продается 1000 билетов по 7$. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет. Решение: Возможные значения случайной величины Х чистого выигрыша на один билет равны: 0-7-7$ (если билет не выиграл); $ (билет выиграл видеомагнитофон); $ (билет выиграл телевизор); $ (билет выиграл автомобиль). Учитывая, что из 1000 билетов число не выигравших составляет 990, а указанных выигрышей соответственно 5, 4 и 1. Используя классическое определение вероятности, получим: P ( X 7) 0,99 ; P ( X 19) 0, 005; P ( X 24) 0, P ( X 499) 0, Тогда закон распределения имеет вид: Х: x i p i 0,99 0,005 0,004 0,001

18 18 Закон распределения случайной величины дает исчерпывающую информацию о ней, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных со случайной величиной. Но такой закон бывает трудно обозримым, и не всегда удобным для анализа. Например: Даны законы распределения случайных величин X и Y числа очков, выбиваемых 1-м и 2-м стрелками. X: x i p i 0,15 0,11 0,04 0,05 0,04 0,1 0,1 0,04 0,05 0,12 0,2 Y: x i p i 0,01 0,0 0,05 0,09 0,11 0,24 0,21 0,10 0,10 0,04 0,02 Выяснить какой стрелок стреляет лучше, кто в среднем набирает большее количество очков? Математическим ожиданием или среднем значением, М(Х) случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности M ( X ) n x p i 1 i i Например: Вычислить М(Х) и М(Y) в задаче о стрелках. Решение: M ( X ) 0 0, , , , ,2 5, 6 M ( Y ) 0 0, , , , ,02 5,6 Т.е. среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаковое. Например: Вычислить М(Х) для случайной величины Х чистого выигрыша по данным задачи с лотереей. Решение: M ( X ) 7 0, , , ,001 0 Полученный результат означает, что вся выручка от продажи билета лотереи идет на выигрыши.

19 Свойства математического ожидания 1. M ( C) C, Сconst 4. M ( X Y ) M ( X ) M ( Y ) 2. M ( k X ) k M ( X ) 5. M ( X ± C) M ( X ) ± C. M ( X Y ) M ( X ) ± M ( Y ) 19 ± 6. Математическое ожидание отклонения случай- ной величины от ее математического ожидания равно нулю M ( X M ( X )) 0 Только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину. Например, очевидно в задаче о стрелках, лучше стреляет тот, у которого при равенстве среднего значения числа выбитых очков меньше отклонения этого числа относительно среднего значения. В качестве такой характеристики рассматривается дисперсия случайной величины. Дисперсией D(X) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания: D (, где M (X ) X ) n ( x a p i 1 i ) 2 i D( X ) M ( X M ( X )) a или D ( X ) ( x a ) 2 i 1 i 2 p i Часто вместо D(X) используют D (X ). Средним квадратическим отклонением случайной величины σ x называется σ x арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии: D(X ) Например: В задаче о стрелках вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа выбитых очков для каждого стрелка. Решение: M ( X ) M ( Y ) 5,6 D ( X ) (0 5,6) σ x D( x),69 D ( Y ) (0 5,6) σ y D( y) 2, ,15 + (1 5,6) 0,01+ (1 5,6) Вывод: первый стрелок стреляет лучше , (10 5,6) 0, (10 5,6) 2 2 0,2 1,61 0,02 4,17

20 20 Самостоятельная работа 1 «Определение вероятности. Элементы комбинаторики» 1. На вершину горы ведет 7 дорог. А) Сколькими способами турист может подняться на нее и спуститься? Б) Дайте ответ на вопрос, если подъем и спуск осуществляется разными дорогами? 2. Металлург, изучающий сплавы, при проведении экспериментов может использовать температурных режима, 6 различных способов охлаждения и 4 различные присадки меди. Хватит ли трех месяцев для проведения всей работы, если в месяце 25 рабочих дней?. В распоряжении агрохимика есть 6 различных типов удобрений. Он изучает совместное влияние каждой тройки удобрений на опытном участке 1 га. Какова должна быть площадь всего опытного поля, если все возможные эксперименты проводятся одновременно? 4. Сколькими способами 10 человек могут находиться в очереди? 5. Сколько различных слов, каждое из которых содержит 4 буквы можно составить из букв слова выборка : а) если каждая буква написана на карточке в единственном экземпляре; б) карточек с буквами в,ы,б,о,р,к,а неограниченное количество? Словом считается любое сочетание из 4 букв. 6. Карточки с буквами м,а,т,е,м,а,т,и,к,а раскладываются в ряд случайным образом. Какова вероятность появления слова математика? 7. На полку наудачу ставят 4-х томное собрание сочинений. Какова вероятность, что в начале будет стоять первый том, а конце 4-й том? 8. Каждый из трех пассажиров может с равной вероятностью сесть в любой из 10 вагонов поезда. Какова вероятность, что все трое пассажиров попадут : а) в 1-й вагон, б) в один вагон, в) в разные вагоны, г) в первые пять вагонов? 9. Магазин принимает партию из 10 радиоприемников, если при проверке двух из них, выбранных наугад, оба оказываются исправными. Какова вероятность, что магазин примет партию, содержащую 4 неисправных радиоприемника? 10. В лотерее из 15 билетов 5 выигрышных. Иванов купил два билета. Какова вероятность того, что: а) оба билета будут выигрышными; б) ни один не выигрышный; в) среди купленных билетов ровно один выигрышный? 11. Из ящика, содержащего 10 красных шаров и 5 синих шаров, наудачу извлекают три шара. Чему равна вероятность тог, что : а) все шары окажутся красными; б) все шары окажутся синими; в) один синий и два красных шара; г) будет не более двух красных шаров? 12. Чему равна вероятность того, что два лица А и В окажутся рядом, если они рассаживаются рядом с восемью остальными произвольным образом: а) в ряд из 10 мест; б) за круглым столом? Ответы: А 49 N ! ,001 2/21 24/91 2/10 Б 42 Меньше га /12 1/ 6, ,01 /7 2/91 2/9 В 75. 0,72 10/21 45/91 Г Хватит 0,125 67/91

21 21 Самостоятельная работа 2 «Теоремы сложения и умножения вероятностей» 1. Какова вероятность того, что последняя цифра случайно набранного номера равна 5 или кратна? 2. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что двигатель начнет работать при третьем включении зажигания.. В группе из 20 юношей и 15 девушек 10 человек занимаются спортом. Среди спортсменов 4 девушки. Наудачу выбирается один ученик. Какова вероятность, что ученик девушка занимается спортом. 4. Вероятность попадания в мишень при каждом для первого стрелка равна 0,7, для второго 0,8. Оба они, начиная с первого поочередно стреляют, но не делают более, чем два выстрела, причем каждый стрелок стреляет второй раз только при условии, что при первом сделанном им выстреле он промахнулся. Найти вероятность того, что в мишени будет ровно две пробоины. 5. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй 0,9, третий 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а) только второй экзамен; б) только один экзамен; в) три экзамена; г) по крайней мере, два экзамена; д) хотя бы один экзамен. 6. Производится 4 независимых выстрела по цели. Вероятность при каждом выстреле 0,5. Для разрушения цели достаточно хотя бы одного попадания. Какова вероятность того, что цель будет разрушена? 7. Найти вероятность того, что из 10 книг, расположенных в случайном порядке, определенные книги окажутся рядом. 8. Карточки с буквами а,л,г,е,б,р,а раскладываются в ряд случайным образом. Какова вероятность, что получится слово алгебра? 9. Группа, состоящая из 5 юношей и 7 девушек, распределяет по жребию 4 билета в театр. Какова вероятность того, что в числе получивших билеты больше девушек, чем юношей? 10. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка в мишень равна 0,6, второго 0,. В мишени оказалась одна пробоина. Какова вероятность, что она принадлежит первому стрелку? 11. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано выстрела. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Ответы: ,5 0,096 4/5 0,876 А) 0,018 Б) 0,044 В) 0,648 Г) 0,954 Д) 0, /16 1/15 1/ / 0, ,024 0,188 0,452 0,6 M(X)2,1 D(X)0,61 σ ( x) 0, 78

22 22 Самостоятельная работа «Математическое ожидание и дисперсия» 1. Число вызовов, поступающих в пожарные части двух районов в течение недели, имеют соответственно законы распределения: x i p i 0,8 0,15 0,05 x i p i 0,82 0,1 0,08 В каком из районов выше пожарная опасность? Сколько пожаров примерно можно ожидать в каждом из этих районов в год? 2. Число очков, выбиваемых при одном выстреле каждым стрелком, имеет соответственно закон распределения: x i p i 0, 0,2 0, 0,2 x i p i 0,1 0,5 0, 0,1 Найти среднее значения и дисперсии числа очков, выбиваемых первым и вторым стрелком. Какому из стрелков вы отдадите предпочтение?. Число бракованных изделий в каждой партии поставляемых изделий имеет закон распределения: x i p i 0,6 0,25 0,1 0,05 Стоимость восстановления каждого из бракованных изделий может принимать значения 100, 150, 200 руб. соответственно с вероятностями 0,5; 0,; 0,2. Найдите средние потери потребителей одной партии изделий. 4. X: x i 2 4 p i p 1 p 2 M(X),4 D(X)0,84. Найти p 1 и p Каждый поступающий в ВУЗ должен сдать экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена равна 0,9; второго 0,8; третьего 0,7. Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи предыдущего экзамена. Составить закон распределения числа экзаменов, сдававшихся в ВУЗ. Найти M(X), D(X), σ X. 6. В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой 4 белых и 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые. Ответы: M 1 (X)0,25 M 1 8,4 M 1 0,6 P 1 0, ,007 M 2 (X)0,26 M 2 8,4 M 2 15 P 2 0, 0,1 0,18 0,72 N 1 1,0 N 2 1,6 D 1 1,24 D 2 0,64 M 1 M 2 81 M(X)2,62

23 2 Контрольная работа Вариант 1 1. Какова вероятность того, что в числе, случайно выбранном из всех четырехзначных чисел, нет цифры 7? 2. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи разного цвета, чтобы одна не могла взять другую?. На полку наудачу ставят пятитомное собрание сочинений. Какова вероятность, что на первом месте стоит первый том, а на последнем пятый том? карточек с буквами б,и,с,с,е,к,т,р,и,с,а раскладываются в ряд случайным образом. Определите вероятность появления слова биссектриса. 5. В партии 40 деталей. 4 из них оказались бракованными. Какова вероятность, что взятые наугад детали окажутся без дефектов? 6. В урне красных, 2 синих и 4 желтых шара. Какова вероятность, что вынутая наугад пара шаров будет одного цвета? 7. Сколько существует прямоугольных параллелепипедов, измерения которых являются целыми числами от 5 до 14? Сколько из них правильных призм? Вариант 2 1. Какова вероятность того, что в числе, что в числе, случайно выбранном из всех четырехзначных чисел нет цифры 0? 2. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи разного цвета, чтобы одна могла взять другую?. На полку ставят шеститомное собрание сочинений. Какова вероятность, что первый и третий том стоят на своем месте? 4. 8 карточек с буквами а,б,с,ц,и,с,с,а раскладывают в ряд случайным образом. Определить вероятность появления слова абсцисса. 5. На стеллаже стоит 20 учебников, 7 из них в переплете. Наугад выбирают 4 учебника. Какова вероятность того, что все они будут в переплете? 6. В ряд разложено 2 синих, 2 красных и желтых шара. Какова вероятность, что все желтые шары лежат рядом? 7. Сколько существует различных треугольников, длины сторон которых принимают значения 8; 9; 12; 14 см? Сколько среди них равносторонних, равнобедренных, разносторонних? Ответы: Вариант ,648 0,05 16 *10-7 0,7227 5/ Вариант , /0 60 0,0072 1/7 20

24 24 Вариант 1. Нина и Лора пишут диктант. Вероятность того, что Нина допустит в нем ошибку, составляет 70%, вероятность ошибки Лоры - 40%. Найти вероятность того, что а) обе девочки напишут диктант без ошибок; б) ошибается одна девочка. 2. В урне лежат 5 красных, желтых и 2 черных шара. Найти вероятность того, что из урны вынуты три шара разных цветов.. В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Определите сколькими способами можно выбрать букет из трех цветков, в котором была бы хотя бы одна белая роза. 4. Сколькими способами можно рассадить за круглым столом 8 мужчин и 8 женщин, чтобы лица одного пола не сидели бы рядом? 5. Три стрелка стреляют по одной цели по 2 раза каждый. Известно, что вероятность попадания каждого стрелка равна 0,5 и не зависит от результатов других стрелков и предыдущих выстрелов. Можно ли утверждать с вероятностью 0,99, что в цель попадет хотя бы один выстрел? 6. Найти вероятность того, что наугад взятое двузначное число будет кратно 2 или 5 или сколько существует прямоугольных параллелепипедов, измерения которых являются целыми числами от 5 до 14? Сколько из них правильных призм? Вариант 4 1. Нина и Лора пишут диктант. Вероятность того, что Нина допустит в нем ошибку, составляет 70%, вероятность ошибки Лоры - 40%. Найти вероятность того, что а) обе девочки ошибутся; б) не ошибается только одна из них. 2. В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Определите сколькими способами можно выбрать букет из трех цветков, в котором была бы хотя бы одна красная роза.. В урне лежат 7 красных, 2 желтых и черных шара. Найти вероятность того, что из урны вынуты три красных шара. 4. Сколькими способами можно построить в одну шеренгу игроков двух футбольных команд, чтобы игроки одной команды не стояли рядом (в команде 11 человек)? 5. Три стрелка стреляют по одной цели по 2 раза каждый. Известно, что вероятность попадания каждого стрелка равна 0,5 и не зависит от результатов других стрелков и предыдущих выстрелов. Можно ли утверждать с вероятностью 0,5, что каждый стрелок попадет в цель хотя бы один раз? 6. Найти вероятность того, что наугад взятое двузначное число будет кратно или 10 или Сколько существует различных треугольников, длины которых принимают значения 8; 9; 12;14 см? Сколько из них равносторонних, равнобедренных, разносторонних? Ответы: Вариант 1а 1б ,18 0,54 25% ,98475<0,99 /5 220 Вариант 4 1а 1б ,28 0,54 5 7/44 2!11! 0,421875<0,5 2/5 20

25 25 Литература: 1. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварубурд С.И. «Алгебра и математический анализ 11».- М.: Мнемозина, Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. М.: Юнити-Дана, Селютин В.Д. О подготовке учителей к обучению школьников стохастике // Математика в школе Бунимович Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики // Математика в школе Федосеев В.Н. Элементы теории вероятностей для 7-8 классов средней школы // Математика в школе Ткачева М.В. О готовности учащихся к изучению стохастики // Математика в школе Стандарт среднего (полного) общего образования по математике // Математика в школе Саакян С. М., Дудницын Ю.П. Примерное планирование учебного материала по математике в X XI классах // Математика в школе


Основные положения теории вероятностей

Основные положения теории вероятностей Основные положения теории вероятностей Случайным относительно некоторых условий называется событие, которое при осуществлении этих условий может либо произойти, либо не произойти. Теория вероятностей имеет

Подробнее

ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Операции над случайными событиями. Алгебра событий. Понятие совместности событий. Полная группа событий. Зависимость и независимость случайных событий. Условная

Подробнее

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия.

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия. Параграф : Общие понятия Теория вероятностей Случайные события Определение : Теория вероятностей математическая наука, изучающая количественные закономерности в случайных явлениях Теория вероятностей не

Подробнее

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА Кафедра математики и информатики Математика Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Элементы теории вероятностей и математической статистики

Подробнее

Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут. 6 Перестановки

Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут. 6 Перестановки 1 Основные понятия комбинаторики 1 Приложение Определение Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут Пример Вычислить 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= 1 3 4 1 3 4 18

Подробнее

С k n = n! / (k! (n k)!)

С k n = n! / (k! (n k)!) ПРКТИКУМ Основные формулы комбинаторики Виды событий Действия над событиями Классическая вероятность Геометрическая вероятность Основные формулы комбинаторики Комбинаторика изучает количества комбинаций,

Подробнее

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике Кафедра высшей математики Лекции по теории вероятностей и математической статистике Раздел. Теория вероятностей Предмет теории вероятностей изучение специфических закономерностей в массовых однородных

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА задания на контрольную работу для студентов заочной формы обучения Задание. Необходимо решить задачу соответствующую номеру Вашего варианта. В ящике находятся

Подробнее

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ Аксиомы Колмогорова В 1933 г. А. Н. Колмогоров в книге «Основные понятия теории вероятностей» дал аксиоматическое обоснование теории вероятностей. «Это означает, что, после

Подробнее

Практикум по решению задач по теории вероятностей и математической статистике

Практикум по решению задач по теории вероятностей и математической статистике Воробьев В.В. «Лицей» г.калачинска Омской области Практикум по решению задач по теории вероятностей и математической статистике Большую роль при изучении тем по теории вероятностей и статистики играют

Подробнее

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина).

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Достоверное событие. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Невозможное событие. Событие, которое

Подробнее

Краткий конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике

Краткий конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар черный или синий. 2. Три стрелка независимо

Подробнее

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно Теория вероятностей и математическая статистика _рус_3кр_зим_ибрагимова С.А._ССМ(2.4.очное) 1. Метаданные теста Автор теста: Ибрагимова С.А. (для студентов преподавателя Елшибаева) Название курса: Теория

Подробнее

. Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно

. Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно 1.1. Классическое определение вероятности Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может

Подробнее

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание 1.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание 1. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание. Необходимо решить задачу соответствующую номеру Вашего варианта. В ящике находятся катушки четырех цветов: белых 5 красных зеленых синих 0. Какова вероятность того что наудачу

Подробнее

Вариант 1 Выберите один правильный вариант ответа. Возможен только один вариант правильного ответа. 1. Количество способов, которыми можно записать

Вариант 1 Выберите один правильный вариант ответа. Возможен только один вариант правильного ответа. 1. Количество способов, которыми можно записать Вариант Выберите один правильный вариант ответа. Возможен только один вариант правильного ответа.. Количество способов, которыми можно записать трёхзначное число, используя без повторения цифры,,,8,9,

Подробнее

Уважаемые студенты! Внимание!

Уважаемые студенты! Внимание! Уважаемые студенты! Номер Вашего варианта контрольной работы определяется по номеру Вашей зачетной книжки. Откройте Вашу зачетную книжку и посмотрите на две последние цифры в её номере. Обозначим эти две

Подробнее

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения.

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

Подробнее

1. Формула классического определения вероятн

1. Формула классического определения вероятн ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЗАДАЧИ. Оглавление (по темам) 1. Формула классического определения вероятности. Элементы комбинаторики. Геометрическая вероятность 4. Операции над событиями. Теоремы сложения и умножения

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о.

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о. Автор теста: Искакова АМ Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к 4го, ИС 1к 2го, 1к 3го Текст вопроса/варианты ответа 1 2 События А и В называются противоположными,

Подробнее

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна Тема: Теория вероятностей Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А. Дата: 9.0.0. Вероятность случайного события может быть равна. 0.5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Вероятность достоверного события равна.

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1 Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1 1 Из букв слова бизнес наугад выбирается одна буква. Укажите пространство элементарных событий

Подробнее

со стороной 3 см, находящийся внутри ABCD.

со стороной 3 см, находящийся внутри ABCD. Примерные задания для подготовки к зачету по математике по теме «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов специальности 270100 4 семестр 1 часть. Теория вероятностей. 1.Комбинаторика.

Подробнее

Контрольная работа по прикладной математике для студентов 2 курса заочной формы обучения ВИШ направление подготовки

Контрольная работа по прикладной математике для студентов 2 курса заочной формы обучения ВИШ направление подготовки Контрольная работа по прикладной математике для студентов 2 курса заочной формы обучения ВИШ направление подготовки 08.03.01 строительство Вариант 1 1) Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее

Подробнее

ЗАДАНИЯ: 14. По формуле бинома Ньютона распишите: ( х 2-3 у )5

ЗАДАНИЯ: 14. По формуле бинома Ньютона распишите: ( х 2-3 у )5 ЗАДАНИЯ: 1. Записать с помощью фигурных скобок множество натуральных чисел, расположенных на луче между числами 10 и 15. Какие из чисел 0; 10; 11; 12; 15; 50 принадлежат этому множеству? 2. Записать множество

Подробнее

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5 ) Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N ; б) произведение числа очков не превосходит N ; в) произведение числа очков делится на N. Решение:

Подробнее

2. Действия над событиями

2. Действия над событиями Ответы 1.10. 14 17 = 238. 1.11. A 5 12 = 95040. 1.12. A3 7 = 7 3 = 343. 1.13. 6. 1.14. 4536. 1.15. 1120. 1.16. 720. 1.17. 125. 1.18. 165. 1.19. а) 126; б) 15. 1.20. P(4, 5, 6) = 630630. 1.21. а) P 4 =

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий

Подробнее

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события».

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события». Задание Решение задач по теории вероятностей Тема : «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X X X. где каждый

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности, возникающие в случайных испытаниях. Исход испытания - случайный по отношению к испытанию, если в ходе этого

Подробнее

Практикум по теме 1 "Случайные события и операции над ними. Вероятность события"

Практикум по теме 1 Случайные события и операции над ними. Вероятность события Практикум по теме 1 "Случайные события и операции над ними. Вероятность события" Методические указания по выполнению практикума Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы

Подробнее

ЗАДАЧИ. Пример2( 93): Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь друг за другом? Решение: 10!=

ЗАДАЧИ. Пример2( 93): Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь друг за другом? Решение: 10!= ЗАДАЧИ На правила суммы и произведения Пример1(пр.10): На книжной полке стоят 20 книг по алгебре, 12 по теории вероятностей, 7 по мат. анализу и 25 по литературе. Сколькими способами можно выбрать книгу

Подробнее

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1 Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания Приведем основные понятия теории вероятностей необходимые для их выполнения Для решения задач 50 50 необходимо знание темы Случайные

Подробнее

Вероятность. Что это? Теория вероятностей случайного события Как решать задачи: классическая вероятность Вероятностью события

Вероятность. Что это? Теория вероятностей случайного события Как решать задачи: классическая вероятность Вероятностью события Вероятность. Что это? Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов.

Подробнее

Лекция 1. Комбинаторные формулы и определения вероятности ВВЕДЕНИЕ

Лекция 1. Комбинаторные формулы и определения вероятности ВВЕДЕНИЕ Лекция 1. Комбинаторные формулы и определения вероятности ВВЕДЕНИЕ СТОХАСТИКА СЕГОДНЯ. Начиная со второй половины прошлого века наблюдается все более возрастающий интерес к теории вероятностей, математической

Подробнее

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов:

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: Задачник Чудесенко, теория вероятностей, вариант Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а сумма числа очков не превосходит N ; б произведение числа очков не превосходит N ; в

Подробнее

ТЕМА 1. Комбинаторика. Вычисление вероятностей = 4080.

ТЕМА 1. Комбинаторика. Вычисление вероятностей = 4080. ТЕМА 1 Комбинаторика Вычисление вероятностей Задача 1Б В розыгрыше кубка страны по футболу берут участие 17 команд Сколько существует способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали? Поскольку

Подробнее

Вопросы по Теории Вероятностей

Вопросы по Теории Вероятностей Вопросы по Теории Вероятностей 1. Понятия испытания и случайного события. 2. Понятие статистической устойчивости. 3. Относительная частота появления случайного события. Статистическое определение вероятности.

Подробнее

Практическая работа 3 Алгебра событий. Сложение и умножение вероятностей

Практическая работа 3 Алгебра событий. Сложение и умножение вероятностей Практическая работа 3 Алгебра событий. Сложение и умножение вероятностей Цель работы: освоить вычисление вероятностей совместных событий, определение вероятности по формулам суммы и произведения. Оборудование

Подробнее

1) Сколько существует трёхзначных натуральных чисел, у которых только две цифры меньше пяти? 1-й способ решения.

1) Сколько существует трёхзначных натуральных чисел, у которых только две цифры меньше пяти? 1-й способ решения. 1) Сколько существует трёхзначных натуральных чисел, у которых только две цифры меньше пяти? Цифр, меньших 5, всего пять: { 0; 1; 2; 3; 4 } Остальные пять цифр не меньше 5: { ; ; ; ; } 1-й способ решения

Подробнее

Основы теории вероятностей Лекция 2

Основы теории вероятностей Лекция 2 Основы теории вероятностей Лекция 2 Содержание 1. Условная вероятность 2. Вероятность произведения событий 3. Вероятность суммы событий 4. Формула полной вероятности Зависимые и независимые события Определение

Подробнее

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ Предмет теории вероятностей. Понятие случайного события. Пространство элементарных событий. Классическое и геометрическое

Подробнее

появлений события к числу n всех произведенных опытов: A

появлений события к числу n всех произведенных опытов: A Практическая работа 16 Определение вероятности. Геометрическая вероятность. Сложение и умножение вероятностей Цель работы: вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности

Подробнее

ТЕМА III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ...

ТЕМА III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... С О Д Е Р Ж А Н И Е ТЕМА III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... 2 1. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ... 2 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 2 1.2. ДЕЙСТВИЯ НАД СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ... 4 1.3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Подробнее

Задание Из карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 выбирается наугад карточка с числом а, а затем карточка с числом в. Из них составляется дробь а/в.

Задание Из карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 выбирается наугад карточка с числом а, а затем карточка с числом в. Из них составляется дробь а/в. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание 1 1.1 Из карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 выбирается наугад карточка с числом а, а затем карточка с числом в. Из них составляется дробь а/в. Какова вероятность того, что эта

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 Методы определения вероятностей 0 Классическое определение вероятностей Любой из возможных результатов опыта назовем элементарным

Подробнее

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события».

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события». Задание Решение задач по теории вероятностей Тема : «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X, X, X 3., где

Подробнее

Домашнее задание 1 «Теория вероятностей» Задача 1.

Домашнее задание 1 «Теория вероятностей» Задача 1. Домашнее задание 1 «Теория вероятностей» Задача 1. 1.1. Имеются пять билетов стоимостью по одному рублю, три билета по три рубля и два билета по пять рублей. Наугад берутся три билета. Определить вероятность

Подробнее

Тема урока: «Простейшие вероятностные задачи».

Тема урока: «Простейшие вероятностные задачи». Тема урока: «Простейшие вероятностные задачи». 11 класс Учитель математики Переверзьева Н.С. МОУ Лицей 6 Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным

Подробнее

4. Теория вероятностей

4. Теория вероятностей 4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Подробнее

Тема 33 «Вероятности событий»

Тема 33 «Вероятности событий» Тема 33 «Вероятности событий» Все мы довольно часто говорим «это невероятно», «более вероятно, что», «это маловероятно» и т.д., когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 5: ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 5: ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

=n! n!= n - произведение натуральных чисел от 1 до n. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3? 5! =20

=n! n!= n - произведение натуральных чисел от 1 до n. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3? 5! =20 Часть 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1.1. Элементы комбинаторики Комбинаторика раздел математики, изучающий методы решения задач, связанных с выбором и расположением элементов какого-либо множества, в соответствии

Подробнее

Теория Вероятностей и Математическая Статистика. Ю. Л. Калиновский

Теория Вероятностей и Математическая Статистика. Ю. Л. Калиновский Теория Вероятностей и Математическая Статистика Ю. Л. Калиновский Введение Элементы комбинаторики Урновые схемы. События и операции над ними Пространство элементарных исходов. Операции над событиями.

Подробнее

Заказать любой вариант данной работы на

Заказать любой вариант данной работы на Заказать любой вариант данной работы на http://sos6ru Контрольная работа Задача Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле Сделать чертеж области интегрирования d f (, d d f (, d d f (, d d f

Подробнее

Задачи, рассмотренные в данном разделе, обобщают сведения комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Основные формулы комбинаторики.

Задачи, рассмотренные в данном разделе, обобщают сведения комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Основные формулы комбинаторики. Тема 53 «Комбинированные задачи». Задачи, рассмотренные в данном разделе, обобщают сведения комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Основные формулы комбинаторики. Без повторений С повторениями

Подробнее

Тест 02. Б2.Б.1.3 Теория вероятности и математическая статистика шифр и наименование дисциплины по учебному плану направления подготовки

Тест 02. Б2.Б.1.3 Теория вероятности и математическая статистика шифр и наименование дисциплины по учебному плану направления подготовки Тест 01 1. Случайные события и их классификация. 2. Математическое ожидание случайной величины. 3. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность

Подробнее

ПРИМЕРНАЯ ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ. (фрагмент)

ПРИМЕРНАЯ ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ. (фрагмент) ОДОБРЕНО Федеральным учебно-методическим объединением по общему образованию Протокол заседания от 8 апреля 2015 г. 1/15 ПРИМЕРНАЯ ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ (фрагмент)

Подробнее

Задачи на классическое определение вероятности.

Задачи на классическое определение вероятности. Задачи на классическое определение вероятности. (для студентов первого курса факультетов ПЭК(1-4) и МБДА(1-5)) Задача 1. Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 30. Найти вероятность

Подробнее

Предмет теории вероятностей. Историческая справка

Предмет теории вероятностей. Историческая справка Лекция 1. Тема: ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТИ Предмет теории вероятностей. Историческая справка Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей, возникающих при массовых, однородных

Подробнее

Решение типовых задач

Решение типовых задач типовых задач Теоремы сложения и умножения вероятностей 1) В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны последовательно достают два шара. Найти вероятность того, что: а) шары будут одинакового цвета (шары

Подробнее

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей. 1 лекция

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей. 1 лекция Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей 1 лекция Введение. Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Подробнее

Распределение числа успехов (появлений события A) носит название биномиального распределения.

Распределение числа успехов (появлений события A) носит название биномиального распределения. 1.6. Независимые испытания. Формула Бернулли При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно и исход каждого испытания

Подробнее

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Специальность: 230201.65 Информационные системы и технологии Дисциплина: Математика (ТВ и МС) Время выполнения теста: 20 минут Количество заданий:

Подробнее

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4.

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4. Тема 2. Элементы теории вероятностей и математической статистики Раздел. Случайные события Литература. [4], гл. I; [5], гл 4. Основные вопросы.. Испытания и события, виды случайных событий, классическое

Подробнее

Теория вероятностей. Лекция 1 Случайные события Классическая схема

Теория вероятностей. Лекция 1 Случайные события Классическая схема Теория вероятностей Лекция 1 Случайные события Классическая схема 1 Литература Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. М.: Айрис-пресс,

Подробнее

Перейти на страницу с полной версией»

Перейти на страницу с полной версией» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Челябинская государственная академия культуры и искусства» Кафедра информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ ЛЕКЦИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Вероятность события относится к основным понятиям теории вероятностей и выражает меру объективной возможности появления события Для практической деятельности важно

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (95) 509-8-0 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Примеры контрольных и самостоятельных работ по теории вероятностей для учащихся 8 классов. 8 класс

Примеры контрольных и самостоятельных работ по теории вероятностей для учащихся 8 классов. 8 класс 8 класс Данные контрольные и самостоятельные работы рассчитаны для планирования курса теории вероятностей и статистики в количестве 34 часов в год по учебнику [1]. Планирование курса предложено в методическом

Подробнее

Лекция 10. Теоремы сложения и умножения вероятностей Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих

Лекция 10. Теоремы сложения и умножения вероятностей Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих Лекция 10. Теоремы сложения и умножения вероятностей Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р( А+

Подробнее

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины Лекция 4 Тема Введение в случайные величины Содержание темы Случайная величина. Понятия дискретной и непрерывной случайной величины. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения,

Подробнее

Задача Монета брошена три раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб». 2. В коробке семь одинаковых пронумерованных

Задача Монета брошена три раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб». 2. В коробке семь одинаковых пронумерованных Задача.. Монета брошена три раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».. В коробке семь одинаковых пронумерованных кубиков. Наудачу извлекают все кубики по очереди. Найти вероятность

Подробнее

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей -

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - { σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - теорема сложения вероятностей - условная вероятность

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. Контрольная работа 1

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. Контрольная работа 1 КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Контрольная работа 1 Вариант 1 1. Среди 0 поступивших в магазин керамических изделий имеется 4 дефектных. Для проверки качества товаровед наудачу отбирает два изделия. Найти вероятность

Подробнее

Лекция 2 Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция 2 Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ Лекция Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ Алгебра событий Суммой событий и называется событие S = +, которое состоит в наступлении хотя бы одного из них Произведением событий и называется

Подробнее

4. Комбинаторика. . Нетрудно видеть, что при n = m число

4. Комбинаторика. . Нетрудно видеть, что при n = m число 4 Комбинаторика Перестановка это упорядоченный набор чисел 1 обычно трактуемый как биекция на множестве { 1 } которая числу i ставит в соответствие i-й элемент из набора Число при этом называется порядком

Подробнее

Предмет теории вероятностей

Предмет теории вероятностей Предмет теории вероятностей В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Раздел 1. Теория вероятностей

Теория вероятностей и математическая статистика Раздел 1. Теория вероятностей Теория вероятностей и математическая статистика Раздел Теория вероятностей Теория вероятностей это математическая наука, изучающая общие закономерности случайных явлений и дающая методы количественной

Подробнее

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика»

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Вариант N 1 (X \ Z) (Y \ Z) Решить задачи: 2.В партии 1000 деталей, из них 20 дефектных. Какова вероятность того,

Подробнее

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ЧАСТЬ 1

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ЧАСТЬ 1 ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ЧАСТЬ Томск 06 ОДОБРЕНО кафедрой математических методов и информационных

Подробнее

Урок математики в 9 классе. Работа учителя математики МБОУ «Кубянская сош» Атнинского муниципального района РТ Хакимзяновой Н.И.

Урок математики в 9 классе. Работа учителя математики МБОУ «Кубянская сош» Атнинского муниципального района РТ Хакимзяновой Н.И. Урок математики в 9 классе Работа учителя математики МБОУ «Кубянская сош» Атнинского муниципального района РТ Хакимзяновой Н.И. Цели урока: 1. Дать определение вероятности, познакомить с формулой вероятности

Подробнее

Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи Вариант 6

Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи Вариант 6 Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи -0. Вариант 6 Задача. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N; б) произведение

Подробнее

Задачи по теории вероятностей

Задачи по теории вероятностей Задачи по теории вероятностей Н.М. Ефимова, учитель математики МБОУ «Гимназия» Теория вероятностей и математическая статистика занимаются построением и исследованием моделей различных ситуаций, связанных

Подробнее

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ Г. МОСКВЫ ГБОУ СПО КИГМ 23

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ Г. МОСКВЫ ГБОУ СПО КИГМ 23 ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ Г. МОСКВЫ ГБОУ СПО КИГМ 23 АККРЕДИТАЦИОННЫЕ ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ (для проведения внутренней экспертизы) По учебной дисциплине ОП.02 «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

Теория вероятностей. Задача Монета брошена три раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб». 2. В коробке семь одинаковых

Теория вероятностей. Задача Монета брошена три раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб». 2. В коробке семь одинаковых Теория вероятностей. Задача.. Монета брошена три раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».. В коробке семь одинаковых пронумерованных кубиков. Наудачу извлекают все кубики по

Подробнее

Контрольная работа по теории вероятностей и математической статистике для всех специальностей. составитель: Минасян А.Г.

Контрольная работа по теории вероятностей и математической статистике для всех специальностей. составитель: Минасян А.Г. Контрольная работа по теории вероятностей и математической статистике для всех специальностей составитель: Минасян А.Г. Туапсе 2011 Вариант 1 На сборку механизма поступают детали с двух автоматов. Первый

Подробнее

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧНЫ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ Из урны, содержащей 4 белых и 4 черных шара, наугад извлекают

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧНЫ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ Из урны, содержащей 4 белых и 4 черных шара, наугад извлекают ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧНЫ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ 2 1. Из урны, содержащей 4 белых и 4 черных шара, наугад извлекают три шара. Х число вынутых черных шаров. Составьте закон распределения дискретной

Подробнее

ax 2 при 0 < x < 1, f(x) = 0 иначе является плотностью распределения случайной величины Y. Найти вероятность P(Y < 1/2).

ax 2 при 0 < x < 1, f(x) = 0 иначе является плотностью распределения случайной величины Y. Найти вероятность P(Y < 1/2). 1. Числа 1,..., n расположены в случайном порядке. Найти вероятность того, что числа 1, 2 и 3 расположены рядом в указанном порядке. 2. Из десяти команд в финал выходят четыре. Предполагая, что каждая

Подробнее

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Б.Б. Теория вероятностей и математическая статистика Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических

Подробнее

Основные понятия и теоремы теории вероятностей

Основные понятия и теоремы теории вероятностей Основные понятия и теоремы теории вероятностей 1) В урне 10 шаров: 5 черных и 3 красных и белых. Вынули шара, какова вероятность того, что оба шара черные? 1: 10/45; : 10/5; 3: 1/; 4: 1/5; ) В лотерее

Подробнее

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ. 3.1. Случайные события. Каждая наука при изучении явлений материального мира оперирует теми или иными понятиями, среди которых обязательно имеются основополагающие;

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗАНЯТИЕ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Понятие случайной величины одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина,

Подробнее

Обязательный образовательный минимум

Обязательный образовательный минимум Обязательный образовательный минимум Класс 9 Предмет Математика Четверть II 1 Числовая последовательность Числовая последовательность a 1, a 2, a 3,, a n, это упорядоченный набор чисел. a 1 называют первым

Подробнее

ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ. Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ. Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить предмет курса; ввести понятия опыта, случайного явления, случайного события, а также вероятности и частоты события;

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 4: ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 4: ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее