«Теория вероятностей и математическая статистика»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "«Теория вероятностей и математическая статистика»"

Транскрипт

1 УПРАВЛЕНИЕ АЛТАЙСКОГО КРАЯ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И ДЕЛАМ МОЛОДЕЖИ Краевое государственное общеобразовательное учреждение «Бийский лицей Алтайского края» «Теория вероятностей и математическая статистика» Учебно-методический модуль для учащихся 11 класса физико-математического профиля Разработчик: Марина Викторовна Новицкая, учитель математики Бийск 2007

2 2 Содержание: 1. Пояснительная записка 2. Лекция 1 «Теория вероятностей. Основные понятия и определение вероятности. Элементы комбинаторики». 7. Лекция 2 «Действия над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Случайные величины, основные характеристики» Самостоятельная работа 1 «Определение вероятности. Элементы комбинаторики» Самостоятельная работа 2 «Действия над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей» Самостоятельная работа «Случайная величина. Математическое ожидание и дисперсия» Контрольная работа 2 8. Литература 25

3 Пояснительная записка Тема «Элементы теории вероятности и математической статистики» является принципиально новой для отечественной школы. Ее появление вызвано велением времени, поскольку является следствием многих социально-экономических причин. Изучение теории вероятности и математической статистики на профильном уровне среднего (полного) общего образования предусматривает ознакомление учащихся с основами этой теории с целью формирования вероятностно-статистического мировоззрения, умения понимать вероятностный характер различных процессов окружающего мира. Решение простейших комбинаторных задач методом перебора, с использованием известных формул, вычисление вероятности событий на основе подсчета числа исходов позволяет понять учащимся математическую базу теории вероятности. В результате изучения темы учащийся должен уметь: 1) Группировать данные по определенному признаку; осуществлять целенаправленный и организованный перебор вариантов; 2) Узнавать равновозможные исходы испытаний; оценивать и сравнивать шансы событий в испытаниях с очевидным числом равновозможных исходов; ) Находить вероятности событий, используя известные формулы; 4) Находить среднее значение случайной величины; 5) Использовать приобретенные знания в практической деятельности и повседневной жизни для анализа реальных числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм, графиков; для анализа информации статистического характера. Следует отметить, что теория вероятностей и математическая статистика представляет собой фактически единственный в школьной математике реальный пример математического моделирования, является важным содержательным компонентом системы непрерывного математического образования, помогает развивать способности учащихся, имеющих склонность к математике. Курс «Элементы теории вероятности и математической статистики» нужно вводить еще в среднем звене (5-8 класс). Необходимое изложение учебного материала имеется в учебниках «Математика» 5, 6, 7, 8 классов под редакцией Г.В.Дорофеева. Упомянутые книги написаны живым языком с постоянной опорой на здравый смысл и жизненный опыт учащихся. Школьники учатся оценивать вероятность наступления несложных событий сначала на качественном уровне, а количественный подсчет вероятностей происходит позднее.

4 4 Начинать изложение основ теории вероятностей в старших классах очень сложно. Наработанное к этому возрасту стремление к быстрой формализации знаний, сформированное традиционным курсом математики, желание усвоить на уроке, прежде всего некоторый набор правил, алгоритмов и методов вычисления фактически заменяет формирование вероятностных представлений формальным вычислением формул комбинаторики и вычисления вероятностей классическим способом. Далее предлагаются методические рекомендации по изучению темы «Теория вероятностей и математическая статистика» в 11 классе профильного уровня (физикоматематическое отделение). Основные цели курса познакомить учащихся с основными элементами комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки), теории вероятностей (статистическое и классическое определение вероятности, элементарные действия над событиями), ввести понятие случайной величины, рассмотреть ее основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Формирование у школьников первоначальных вероятностных представления, развитие комбинаторного мышления. Обучение происходит по учебнику «Алгебра и математический анализ 11» под редакцией Виленкина Н.Я. Для реализации поставленных целей, занятия проводятся в форме лекций и обучающих самостоятельных работ. На изучение темы отводится 12 часов. Поурочное планирование темы: 1, 2 урок Лекция 1 «Теория вероятностей. Основные понятия и определение Вероятности. Элементы комбинаторики»,4 урок Самостоятельная работа 1 «Определение вероятности. Элементы комбинаторики» 5,6 урок Лекция 2 «Действия над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Случайные величины» 7,8 урок Самостоятельная работа 2 «Теоремы сложения и умножения вероятностей» 9,10 урок Самостоятельная работа «Случайная величина. Математическое ожидание, дисперсия» 11,12 урок Контрольная работа На лекции 1 вводятся основные понятия теории вероятностей, дается определение вероятности (классическое, геометрическое, статистическое). Происходит знакомство с элементами комбинаторики. В результате учащиеся должны уметь решать

5 5 простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул. В лекции 2 рассматриваются основные действия над событиями: теоремы сложения и умножения вероятностей, условная вероятность. Вводится понятие случайной величины и ее основные характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Учащиеся должны научиться вычислять вероятности событий с использованием предложенных формул, вычислять условную вероятность, анализировать числовые данные, представленные в виде таблиц, а также информацию статистического характера. Все самостоятельные работы обучающего характера. Они нацелены на формирование умений и навыков, связанных с изучением теории вероятности, на развитие у школьников вероятностной интуиции и статистического мышления. У учащихся проходит устранение ощущения, что происходящее на уроке математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью. Выполнение самостоятельных работ происходит в группах (4-5 человек), с последующей защитой и разбором задач у доски. На последнем занятии проводится контрольная работа (4 варианта). Увеличение количества вариантов позволяет осуществить более точный контроль знаний учащихся. Методическая разработка апробирована в учебном году в 11 «А», 11 «Б» классах физико-математического отделения Бийского лицея. Результаты самостоятельных работ и контрольной работы приведены ниже. Самостоятельная работа 1 Количество учащихся,выполнивших работу(%) тройка четверка Оценки учащихся Самостоятельная работа 2 Количество учащихся, выполнивших работу(%) Оценки учащихся тройка четверка пятерка

6 6 Самостоятельная работа Количество учащихся, выполнивших работу (%) Оценки учащихся тройка четверка пятерка Контрольная работа Количество учащихся, выполнивших работу (%) Оценки учащихся тройка четверка пятерка Количество учащихся, выплнивших работу на 4 и 5(%) Качество знаний Самостоятельные работы и контрольная работа Сам.работа 1 Сам.работа 2 Сам.работа Кон.работа Проанализировав результаты самостоятельных работ и контрольной работы, была составлена гистограмма качества знаний. С помощью, которой можно сделать вывод, что тема «Теория вероятностей и математическая статистика» учащимися усвоена хорошо. Набор самостоятельных работ и лекций прилагается.

7 ЛЕКЦИЯ 1 7 Теория вероятностей. 1. Основные понятия. Задача любой науки, в том числе экономической, состоит в выявлении и исследовании закономерностей, которым подчиняются реальные процессы. Найденные закономерности, относящиеся к экономике, имеют не только теоретическую ценность, они широко применяются на практике в планировании, управлении и прогнозировании. Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Под случайными явлениями понимаются явления с неопределенным исходом, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий. Математическая статистика раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей. Теория вероятностей позволяет находить вероятности «сложных» событий через вероятности «простых» событий, а математическая статистика по наблюденным значениям оценивает вероятности этих событий, либо осуществляет проверку предположений относительно этих вероятностей. Случайным событием ( возможным событием или событием) называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. Испытание- выполнение определенного комплекта условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной факт. Например: Событие - «появление герба при подбрасывании монеты», «выход бракованного изделия с конвейера». Обозначение событий: A, B, C, Несовместные события наступление одного исключает наступление другого. В противном случае события совместные. Например: Выигрыш по одному билету двух ценных призов (несовместные события), а по двум билетам тех же призов (совместные события). События бывают: достоверными (обязательно произойдет), невозможными (вообще не может произойти), равновозможными (появление герба или решки при подбрасывании монеты), противоположными.

8 2. Определение вероятности. 8 А) Классическое Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Для сравнения нужна определенная мера. Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события. Случай называется благоприятствующим ( благоприятным ) событию А, если появление этого случая влечет за собой появление события А. Вероятностью события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев. P ( A) m n P(A) вероятность события А; m число случаев, благоприятствующих событию А; n общее число случаев. Например: При бросании игральной кости возможны 6 исходов: 1,2,,4,5,6. какова вероятность появления четного числа? Решение: А появление четного числа. n6, m (2,4,6). P ( A) 0, 5 6 Свойства вероятности: 1. 0 P ( A) 1 2. P ( A) 1, если А достоверное событие. P ( A) 0, если А невозможное событие. Б) Статистическое Есть другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частность) появления этого события в n произведенных испытаниях. ~ m P ( A) ω ( A), n ~ ( P A) - статистическая вероятность, ω (A) - относительная частота, m число испытаний, в которых появляется событие А, n общее число испытаний.

9 В) Геометрическое вероятность попадания точки в некоторую область. 9 Дано: область G, g G. Событие А попадание брошенной точки на фигуру g Геометрическая вероятность события А отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области. P ( A) mesg mesg. Элементы комбинаторики. Комбинаторика раздел математики, изучающий методы решения комбинаторных задач задач на подсчет числа различных комбинаций. Правило суммы Если А 1 может быть выбран n 1 способами, А 2 другими n 2 способами, А отличными от первых двух n способами и т.д., А k n k способами, отличными от первых (k-1), то выбор одного из элементов А 1, или А 2, или А, может быть осуществлено n 1 +n 2 +n + способом. Например: В ящике 00 деталей. 1 сорта 150 штук, 2 сорта 120 штук, сорта остальные. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1 или 2 сорта. Решение: n 1 150, n 2 120, n 1 +n Правило произведения Если А 1 может быть выбран n 1 способом, после каждого такого выбора А 2 может быть выбран n 2 способами, после каждого (k-1) выбора элемент А k может быть выбран n k способами, то выбор всех элементов А 1, А 2,, А k в указанном порядке может быть осуществлен n n... n способами. 1 2 k Например: В группе 0 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать?

10 10 Решение: Старосту можно выбрать n 1 0 способами. Заместителя n 2 29 способами. Профорга n 28 способами. n 1 n2 n Ответ: Пусть дано множество из n различных элементов. Из этого множества могут быть образованы подмножества из m элементов. Например, из 5 элементов a, b, c, d, e могут быть отобраны комбинации по два элемента : ab, cd, ed, ba, ce, и т.д. Если комбинации из n элементов по m отличны либо составом элементов, либо их расположением, либо тем и другим, то такие комбинации называют размещениями из n элементов по m. m A n n! ( n m)! n! n Например: Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин. Решение: Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования ( или тем, и другим), т.е. является размещение из 11 элементов по ! 11! A (11 5)! 6! 2. Если комбинации из n элементов по m отличны только составом, то их называют сочетаниями из n элементов по m m C n n!, 0! 1, C 0 1 m!( n m)! n Например: В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия? Решение: Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других Только составом пар участников, т.е. представляет собой сочетание из 16 элемент- ов по 2. C 16! !(16 2)!

11 11. Если комбинации из n элементов отличны только порядком расположения этих элементов, то их называют перестановками. P n n! Например: Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки возможно? Решение: Так как порядок выступления участников отличается только порядком расположения участников, то P 7! Непосредственное вычисление вероятностей. Пример 1: Буквы Т, Е, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках. Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой: а) карточки; б) все 6 карточек. Какова вероятность того, что получится слово: а) «ТОР»; б) «ТЕОРИЯ»? Решение: а)пусть событие А получение слова «ТОР». Различные комбинации трех букв из имеющихся шести представляют размещения, так как могут отличаться как составом входящих букв, так и порядком их следования (или и тем, и другим), т.е. общее число случаев n A 6, из которых благоприятствует событию А m1 случай. Тогда m P ( A). n A Б) Пусть событие В получение слова «ТЕОРИЯ». Различные комбинации из 6 букв из имеющихся шести представляют собой перестановки, так как отличаются только порядком следования букв; т.е. общее число случаев n P 6 6!, из которых благоприятствует событию В m1 случай. Поэтому m P ( B). n P 6! Пример 2: Из 0 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность того, что выбранные наудачу студента разрядники? Решение: Пусть событие А выбранных наудачу студента разрядника. Общее число случаев выбора студентов из 0 равно n C 0, так как комбинации из 0 студентов по

12 12 представляют собой сочетания, ибо отличаются только составом студентов. Точно так же число случаев, благоприятствующих событию А, равно m C 10. Итак, m C P ( A) : 0,0. n C Пример : В партии 100 изделий, из которых 4 бракованные. Партия произвольно разделена на две равные части, которые отправлены двум потребителям. Какова вероятность того, что все бракованные детали достанутся одному потребителю? Решение: Пусть событие А все бракованные изделия достанутся одному потребителю. Общее число способов, какими можно выбрать 50 изделий из 100, равно 50 n C 100. Событию А благоприятствуют случаи, когда из 50 изделий, отправленных одному потребителю, будет либо 46 стандартных из 96 (и все 4 бракованных) изделий, либо 50 стандартных из 96 (и 0 бракованных); их число m C. Поэтому C4 + C96 C m C96 C4 + C96 C4 C96 1+ C96 1 2C P ( A) n C C C 100 Где 100! 96! и 50! 46! !50!50! 2 96!46! ,117 46!50!100! 46!96!

13 ЛЕКЦИЯ Действия над событиями. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий. Разностью двух событий называется событие, которое состоится, если событие А произойдет, а событие В не произойдет. Например: Победитель награждается: призом (событие А), премией (событие В), медалью (событие С). Что представляют события: А) А+В; Б) АВС; В) АВ-С. Решение: а) Победитель награжден или призом, или премией, или тем и другим; б) Победитель награжден и премией, и призом, и медалью; в) Победитель награжден призом и премией без медали. 5. Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий P ( A + B K) P( A) + P( B) P( K ) Следствия: 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1. P ( A) + P( B) P( K) 1 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1 P ( A) + P( A) 1 Например: Вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации сроком до 1 года равна 0,1, а при эксплуатации сроком до -х лет равна 0,6. Найти вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации сроком от 1 года до -х лет.

14 14 Решение: Пусть событие А выход из строя изделия сроком до 1 года. В выход из строя изделия сроком от 1 года до лет. С выход из строя изделия сроком от -х лет. P(A)0,1; P(C)0,6; CA+B; А и В несовместимы; P(C)P(A)+P(B); P(B)P(C)-P(A)0,6-0,10,2. 6. Теорема умножения вероятностей. Пусть произошло событие В. Р(В) вероятность наступления этого события при определенных условиях. При изменении условий меняется и вероятность события В. Если к комплексу условий, при которых изучалось вероятность Р(В), добавить новое условие А, то полученная вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В. P ( B) P( B/ A) A Например: В ящике 5 деталей : стандартные и 2 бракованные. Поочередно извлекают по одной детали (с возвратом и без возврата). Найти вероятность извлечения во второй раз стандартную деталь. Решение: Пусть событие А - извлечение стандартной детали в первый раз; событие В извлечение стандартной детали во второй раз. А) Б) P ( A). Деталь положили в ящик. 5 P ( B). 5 P ( A). Р(В) зависит от того какую деталь вынули раньше, т.е. 5 вынули в первый раз стандартную деталь. бракованную деталь. P A ( B) P A ( B), если 4 2, если вынули в первый раз Как найти P (B)? A n- Общее число равновозможных и несовместных исходов испытания m- Число случаев, благоприятствующих событию А k -Число случаев, благоприятствующих событию В l - Число случаев, благоприятствующих совместному появлению событий А и В

15 P ( A) m n P ( AB) l n 15 Если событие А произошло, то число всех случаев сократиться с n до m, а число случаев благоприятствующих событию В с k до l. P ( B) l A m P( AB) P( A) или P ( A) B P( AB) P( B) Теорема умножения вероятностей Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого, найденную при условии, что первое событие произошло. P( AB) P( A) P ( B) P( B) P ( A) A B Например: Работа устройства прекратилась из-за поломки одного из 5 блоков. Производится последовательная замена каждого блока, пока устройство не заработает. Какова вероятность того, что придется заменить а) 2 блока; б) 4 блока. Решение: А) А i - i блок исправен ( i1,2, 5) B - замена двух блоков. Придется заменить два блока, если первый блок исправен ( 4 шанса из пяти), а второй не исправен ( 1 шанс из оставшихся четырех), т.е. B A 1 A2, по теореме умножения вероятностей P ( B) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) Б) С замена четырех блоков. C A1 A2 A A4 P( C) P( A A2 A A4 ) P( A1 ) PA ( A2 ) PA A ( A ) PA A A ( A4 ) Событие называется В независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет, т.е. P A ( B) P( B) или P A ( B) P( B) Например: В ящике 5 деталей : стандартные и 2 бракованные. Поочередно извлекают по одной детали (с возвратом). PA ( B) P ( B) P( B),т.е. А и В независимые события. A

16 Теорема умножения вероятностей для независимых событий P( AB) P( A) P( B) Например: Вероятность попадания в цель первого стрелка равна 0,8, второго 0,7, третьего 0,9. Каждый делает по одному выстрелу. Какова вероятность, что в мишени пробоины? Решение: A i попадание в цель i-го стрелка ( i1,2,) B в мишени пробоины. B A, P B) P( A ) P( A ) P( A ) 0,8 0,7 0,9 0, A2 A 16 ( 1 2 Вероятность суммы двух или нескольких совместных событий, т.е. вероятность появления хотя бы одного из этих событий P( A+ B) P( A) + P( B) P( AB) или P( A+ B K) 1 P( A B... K ) Например: На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено: а) 2 билета; б) 4 билета? Решение: Пусть событие А i выигрыш по i-му билету (i1,2,,4). А) Вероятность выигрыша хотя бы по одному из двух билетов ( A + A2 ) P( A1 ) + P( A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 ) + P( A2 ) P( A1 ) P ( A2 ) P 1 A 1 Б) Вероятность выигрыша хотя бы по одному из четырех билетов 0, P ( A + A2 + A + A4 ) 1 P( A1 A2 A A4 ) , Случайные величины. Случайная величина переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений. Например: Число родившихся детей в течение суток в г.бийске; количество бракованных изделий в данной партии.

17 Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является закон ее распределения. 17 Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. X : p i 1 x 1 x 2 x n p 1 p 2 p n n i 1 Например: В лотерее разыгрывается : автомобиль стоимостью 5000$, 4 телевизора 250$, 5 видеомагнитофонов 200$. Всего продается 1000 билетов по 7$. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет. Решение: Возможные значения случайной величины Х чистого выигрыша на один билет равны: 0-7-7$ (если билет не выиграл); $ (билет выиграл видеомагнитофон); $ (билет выиграл телевизор); $ (билет выиграл автомобиль). Учитывая, что из 1000 билетов число не выигравших составляет 990, а указанных выигрышей соответственно 5, 4 и 1. Используя классическое определение вероятности, получим: P ( X 7) 0,99 ; P ( X 19) 0, 005; P ( X 24) 0, P ( X 499) 0, Тогда закон распределения имеет вид: Х: x i p i 0,99 0,005 0,004 0,001

18 18 Закон распределения случайной величины дает исчерпывающую информацию о ней, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных со случайной величиной. Но такой закон бывает трудно обозримым, и не всегда удобным для анализа. Например: Даны законы распределения случайных величин X и Y числа очков, выбиваемых 1-м и 2-м стрелками. X: x i p i 0,15 0,11 0,04 0,05 0,04 0,1 0,1 0,04 0,05 0,12 0,2 Y: x i p i 0,01 0,0 0,05 0,09 0,11 0,24 0,21 0,10 0,10 0,04 0,02 Выяснить какой стрелок стреляет лучше, кто в среднем набирает большее количество очков? Математическим ожиданием или среднем значением, М(Х) случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности M ( X ) n x p i 1 i i Например: Вычислить М(Х) и М(Y) в задаче о стрелках. Решение: M ( X ) 0 0, , , , ,2 5, 6 M ( Y ) 0 0, , , , ,02 5,6 Т.е. среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаковое. Например: Вычислить М(Х) для случайной величины Х чистого выигрыша по данным задачи с лотереей. Решение: M ( X ) 7 0, , , ,001 0 Полученный результат означает, что вся выручка от продажи билета лотереи идет на выигрыши.

19 Свойства математического ожидания 1. M ( C) C, Сconst 4. M ( X Y ) M ( X ) M ( Y ) 2. M ( k X ) k M ( X ) 5. M ( X ± C) M ( X ) ± C. M ( X Y ) M ( X ) ± M ( Y ) 19 ± 6. Математическое ожидание отклонения случай- ной величины от ее математического ожидания равно нулю M ( X M ( X )) 0 Только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину. Например, очевидно в задаче о стрелках, лучше стреляет тот, у которого при равенстве среднего значения числа выбитых очков меньше отклонения этого числа относительно среднего значения. В качестве такой характеристики рассматривается дисперсия случайной величины. Дисперсией D(X) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания: D (, где M (X ) X ) n ( x a p i 1 i ) 2 i D( X ) M ( X M ( X )) a или D ( X ) ( x a ) 2 i 1 i 2 p i Часто вместо D(X) используют D (X ). Средним квадратическим отклонением случайной величины σ x называется σ x арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии: D(X ) Например: В задаче о стрелках вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа выбитых очков для каждого стрелка. Решение: M ( X ) M ( Y ) 5,6 D ( X ) (0 5,6) σ x D( x),69 D ( Y ) (0 5,6) σ y D( y) 2, ,15 + (1 5,6) 0,01+ (1 5,6) Вывод: первый стрелок стреляет лучше , (10 5,6) 0, (10 5,6) 2 2 0,2 1,61 0,02 4,17

20 20 Самостоятельная работа 1 «Определение вероятности. Элементы комбинаторики» 1. На вершину горы ведет 7 дорог. А) Сколькими способами турист может подняться на нее и спуститься? Б) Дайте ответ на вопрос, если подъем и спуск осуществляется разными дорогами? 2. Металлург, изучающий сплавы, при проведении экспериментов может использовать температурных режима, 6 различных способов охлаждения и 4 различные присадки меди. Хватит ли трех месяцев для проведения всей работы, если в месяце 25 рабочих дней?. В распоряжении агрохимика есть 6 различных типов удобрений. Он изучает совместное влияние каждой тройки удобрений на опытном участке 1 га. Какова должна быть площадь всего опытного поля, если все возможные эксперименты проводятся одновременно? 4. Сколькими способами 10 человек могут находиться в очереди? 5. Сколько различных слов, каждое из которых содержит 4 буквы можно составить из букв слова выборка : а) если каждая буква написана на карточке в единственном экземпляре; б) карточек с буквами в,ы,б,о,р,к,а неограниченное количество? Словом считается любое сочетание из 4 букв. 6. Карточки с буквами м,а,т,е,м,а,т,и,к,а раскладываются в ряд случайным образом. Какова вероятность появления слова математика? 7. На полку наудачу ставят 4-х томное собрание сочинений. Какова вероятность, что в начале будет стоять первый том, а конце 4-й том? 8. Каждый из трех пассажиров может с равной вероятностью сесть в любой из 10 вагонов поезда. Какова вероятность, что все трое пассажиров попадут : а) в 1-й вагон, б) в один вагон, в) в разные вагоны, г) в первые пять вагонов? 9. Магазин принимает партию из 10 радиоприемников, если при проверке двух из них, выбранных наугад, оба оказываются исправными. Какова вероятность, что магазин примет партию, содержащую 4 неисправных радиоприемника? 10. В лотерее из 15 билетов 5 выигрышных. Иванов купил два билета. Какова вероятность того, что: а) оба билета будут выигрышными; б) ни один не выигрышный; в) среди купленных билетов ровно один выигрышный? 11. Из ящика, содержащего 10 красных шаров и 5 синих шаров, наудачу извлекают три шара. Чему равна вероятность тог, что : а) все шары окажутся красными; б) все шары окажутся синими; в) один синий и два красных шара; г) будет не более двух красных шаров? 12. Чему равна вероятность того, что два лица А и В окажутся рядом, если они рассаживаются рядом с восемью остальными произвольным образом: а) в ряд из 10 мест; б) за круглым столом? Ответы: А 49 N ! ,001 2/21 24/91 2/10 Б 42 Меньше га /12 1/ 6, ,01 /7 2/91 2/9 В 75. 0,72 10/21 45/91 Г Хватит 0,125 67/91

21 21 Самостоятельная работа 2 «Теоремы сложения и умножения вероятностей» 1. Какова вероятность того, что последняя цифра случайно набранного номера равна 5 или кратна? 2. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что двигатель начнет работать при третьем включении зажигания.. В группе из 20 юношей и 15 девушек 10 человек занимаются спортом. Среди спортсменов 4 девушки. Наудачу выбирается один ученик. Какова вероятность, что ученик девушка занимается спортом. 4. Вероятность попадания в мишень при каждом для первого стрелка равна 0,7, для второго 0,8. Оба они, начиная с первого поочередно стреляют, но не делают более, чем два выстрела, причем каждый стрелок стреляет второй раз только при условии, что при первом сделанном им выстреле он промахнулся. Найти вероятность того, что в мишени будет ровно две пробоины. 5. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй 0,9, третий 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а) только второй экзамен; б) только один экзамен; в) три экзамена; г) по крайней мере, два экзамена; д) хотя бы один экзамен. 6. Производится 4 независимых выстрела по цели. Вероятность при каждом выстреле 0,5. Для разрушения цели достаточно хотя бы одного попадания. Какова вероятность того, что цель будет разрушена? 7. Найти вероятность того, что из 10 книг, расположенных в случайном порядке, определенные книги окажутся рядом. 8. Карточки с буквами а,л,г,е,б,р,а раскладываются в ряд случайным образом. Какова вероятность, что получится слово алгебра? 9. Группа, состоящая из 5 юношей и 7 девушек, распределяет по жребию 4 билета в театр. Какова вероятность того, что в числе получивших билеты больше девушек, чем юношей? 10. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка в мишень равна 0,6, второго 0,. В мишени оказалась одна пробоина. Какова вероятность, что она принадлежит первому стрелку? 11. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано выстрела. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Ответы: ,5 0,096 4/5 0,876 А) 0,018 Б) 0,044 В) 0,648 Г) 0,954 Д) 0, /16 1/15 1/ / 0, ,024 0,188 0,452 0,6 M(X)2,1 D(X)0,61 σ ( x) 0, 78

22 22 Самостоятельная работа «Математическое ожидание и дисперсия» 1. Число вызовов, поступающих в пожарные части двух районов в течение недели, имеют соответственно законы распределения: x i p i 0,8 0,15 0,05 x i p i 0,82 0,1 0,08 В каком из районов выше пожарная опасность? Сколько пожаров примерно можно ожидать в каждом из этих районов в год? 2. Число очков, выбиваемых при одном выстреле каждым стрелком, имеет соответственно закон распределения: x i p i 0, 0,2 0, 0,2 x i p i 0,1 0,5 0, 0,1 Найти среднее значения и дисперсии числа очков, выбиваемых первым и вторым стрелком. Какому из стрелков вы отдадите предпочтение?. Число бракованных изделий в каждой партии поставляемых изделий имеет закон распределения: x i p i 0,6 0,25 0,1 0,05 Стоимость восстановления каждого из бракованных изделий может принимать значения 100, 150, 200 руб. соответственно с вероятностями 0,5; 0,; 0,2. Найдите средние потери потребителей одной партии изделий. 4. X: x i 2 4 p i p 1 p 2 M(X),4 D(X)0,84. Найти p 1 и p Каждый поступающий в ВУЗ должен сдать экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена равна 0,9; второго 0,8; третьего 0,7. Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи предыдущего экзамена. Составить закон распределения числа экзаменов, сдававшихся в ВУЗ. Найти M(X), D(X), σ X. 6. В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой 4 белых и 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые. Ответы: M 1 (X)0,25 M 1 8,4 M 1 0,6 P 1 0, ,007 M 2 (X)0,26 M 2 8,4 M 2 15 P 2 0, 0,1 0,18 0,72 N 1 1,0 N 2 1,6 D 1 1,24 D 2 0,64 M 1 M 2 81 M(X)2,62

23 2 Контрольная работа Вариант 1 1. Какова вероятность того, что в числе, случайно выбранном из всех четырехзначных чисел, нет цифры 7? 2. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи разного цвета, чтобы одна не могла взять другую?. На полку наудачу ставят пятитомное собрание сочинений. Какова вероятность, что на первом месте стоит первый том, а на последнем пятый том? карточек с буквами б,и,с,с,е,к,т,р,и,с,а раскладываются в ряд случайным образом. Определите вероятность появления слова биссектриса. 5. В партии 40 деталей. 4 из них оказались бракованными. Какова вероятность, что взятые наугад детали окажутся без дефектов? 6. В урне красных, 2 синих и 4 желтых шара. Какова вероятность, что вынутая наугад пара шаров будет одного цвета? 7. Сколько существует прямоугольных параллелепипедов, измерения которых являются целыми числами от 5 до 14? Сколько из них правильных призм? Вариант 2 1. Какова вероятность того, что в числе, что в числе, случайно выбранном из всех четырехзначных чисел нет цифры 0? 2. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи разного цвета, чтобы одна могла взять другую?. На полку ставят шеститомное собрание сочинений. Какова вероятность, что первый и третий том стоят на своем месте? 4. 8 карточек с буквами а,б,с,ц,и,с,с,а раскладывают в ряд случайным образом. Определить вероятность появления слова абсцисса. 5. На стеллаже стоит 20 учебников, 7 из них в переплете. Наугад выбирают 4 учебника. Какова вероятность того, что все они будут в переплете? 6. В ряд разложено 2 синих, 2 красных и желтых шара. Какова вероятность, что все желтые шары лежат рядом? 7. Сколько существует различных треугольников, длины сторон которых принимают значения 8; 9; 12; 14 см? Сколько среди них равносторонних, равнобедренных, разносторонних? Ответы: Вариант ,648 0,05 16 *10-7 0,7227 5/ Вариант , /0 60 0,0072 1/7 20

24 24 Вариант 1. Нина и Лора пишут диктант. Вероятность того, что Нина допустит в нем ошибку, составляет 70%, вероятность ошибки Лоры - 40%. Найти вероятность того, что а) обе девочки напишут диктант без ошибок; б) ошибается одна девочка. 2. В урне лежат 5 красных, желтых и 2 черных шара. Найти вероятность того, что из урны вынуты три шара разных цветов.. В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Определите сколькими способами можно выбрать букет из трех цветков, в котором была бы хотя бы одна белая роза. 4. Сколькими способами можно рассадить за круглым столом 8 мужчин и 8 женщин, чтобы лица одного пола не сидели бы рядом? 5. Три стрелка стреляют по одной цели по 2 раза каждый. Известно, что вероятность попадания каждого стрелка равна 0,5 и не зависит от результатов других стрелков и предыдущих выстрелов. Можно ли утверждать с вероятностью 0,99, что в цель попадет хотя бы один выстрел? 6. Найти вероятность того, что наугад взятое двузначное число будет кратно 2 или 5 или сколько существует прямоугольных параллелепипедов, измерения которых являются целыми числами от 5 до 14? Сколько из них правильных призм? Вариант 4 1. Нина и Лора пишут диктант. Вероятность того, что Нина допустит в нем ошибку, составляет 70%, вероятность ошибки Лоры - 40%. Найти вероятность того, что а) обе девочки ошибутся; б) не ошибается только одна из них. 2. В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Определите сколькими способами можно выбрать букет из трех цветков, в котором была бы хотя бы одна красная роза.. В урне лежат 7 красных, 2 желтых и черных шара. Найти вероятность того, что из урны вынуты три красных шара. 4. Сколькими способами можно построить в одну шеренгу игроков двух футбольных команд, чтобы игроки одной команды не стояли рядом (в команде 11 человек)? 5. Три стрелка стреляют по одной цели по 2 раза каждый. Известно, что вероятность попадания каждого стрелка равна 0,5 и не зависит от результатов других стрелков и предыдущих выстрелов. Можно ли утверждать с вероятностью 0,5, что каждый стрелок попадет в цель хотя бы один раз? 6. Найти вероятность того, что наугад взятое двузначное число будет кратно или 10 или Сколько существует различных треугольников, длины которых принимают значения 8; 9; 12;14 см? Сколько из них равносторонних, равнобедренных, разносторонних? Ответы: Вариант 1а 1б ,18 0,54 25% ,98475<0,99 /5 220 Вариант 4 1а 1б ,28 0,54 5 7/44 2!11! 0,421875<0,5 2/5 20

25 25 Литература: 1. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварубурд С.И. «Алгебра и математический анализ 11».- М.: Мнемозина, Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. М.: Юнити-Дана, Селютин В.Д. О подготовке учителей к обучению школьников стохастике // Математика в школе Бунимович Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики // Математика в школе Федосеев В.Н. Элементы теории вероятностей для 7-8 классов средней школы // Математика в школе Ткачева М.В. О готовности учащихся к изучению стохастики // Математика в школе Стандарт среднего (полного) общего образования по математике // Математика в школе Саакян С. М., Дудницын Ю.П. Примерное планирование учебного материала по математике в X XI классах // Математика в школе

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике Кафедра высшей математики Лекции по теории вероятностей и математической статистике Раздел. Теория вероятностей Предмет теории вероятностей изучение специфических закономерностей в массовых однородных

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий

Подробнее

Основы теории вероятностей Лекция 2

Основы теории вероятностей Лекция 2 Основы теории вероятностей Лекция 2 Содержание 1. Условная вероятность 2. Вероятность произведения событий 3. Вероятность суммы событий 4. Формула полной вероятности Зависимые и независимые события Определение

Подробнее

Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике

Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет С. Г. Валеев С. В. Куркина Тестовые

Подробнее

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Тема 5 Перевод осуществлен при поддержке IT Akadeemia Содержание лекции 1 Введение 2 3 4 Следующий пункт 1 Введение 2 3 4 Проблема... Проблема... Проблема... ... и решение: Девочка

Подробнее

A.В. Браилов С.А. Зададаев П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 1

A.В. Браилов С.А. Зададаев П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 1 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАКАДЕМИЯ). Кафедра «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

Методические рекомендации по проведению контрольных работ по дисциплине «Математика» по специальности Физическая культура.

Методические рекомендации по проведению контрольных работ по дисциплине «Математика» по специальности Физическая культура. МИНИСТЕРСТВО СПОРТА РЕСПУБЛИКИ КРЫМ Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Крымское среднее профессиональное училище (техникум) олимпийского резерва» Методические рекомендации

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной математики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

ТЕСТ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ (ТТКУ)

ТЕСТ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ (ТТКУ) 34.6 «Информационные системы и ВАРИАНТ 1 1. Среди купленных семи билетов три билета в партер. Наудачу взято 4 билета. Найти вероятность того что среди них будет три билета в партер.. При первичной поломке

Подробнее

Тема 49 «Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона». Основные формулы комбинаторики.

Тема 49 «Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона». Основные формулы комбинаторики. Тема 49 «Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона». Основные формулы комбинаторики. Без повторений С повторениями A = n! n k! A = n Порядок важен P = A = n! P = A = n Pk, k,, k = (k + k + + k )! k! k! k!

Подробнее

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Методические указания

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

{ξ < 1} независимыми в совокупности.

{ξ < 1} независимыми в совокупности. 1. Электричка состоит из 12 вагонов. Каждый из 7 пассажиров наудачу выбирает любой вагон. Найти вероятности следующих событий: A = {все пассажиры сели в первые три вагона}; B = {все пассажиры сели в разные

Подробнее

Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика» Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

Комплект методических указаний по выполнению практических работ по дисциплине ЕН.02 Теория вероятности и математической статистики

Комплект методических указаний по выполнению практических работ по дисциплине ЕН.02 Теория вероятности и математической статистики Областное государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Иркутский авиационный техникум» УТВЕРЖДАЮ Директор ОГБОУ СПО «ИАТ» В.Г. Семенов Комплект методических

Подробнее

РГР 4 Группа 231 Вариант 7 1) На сборку поступают детали с трјх автоматов. Первый автомат дајт 0.3% брака, второй - 0.2%, третий - 0.4%. Найти вероятн

РГР 4 Группа 231 Вариант 7 1) На сборку поступают детали с трјх автоматов. Первый автомат дајт 0.3% брака, второй - 0.2%, третий - 0.4%. Найти вероятн РГР 4 Группа 231 Вариант 1 1) Студента допустят к экзамену по математике, если он защитит РГР. Вероятность защитить РГР- 0.7,а сдать экзамен- 0.5 (если допустят). Какова вероятность того, что студент не

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

4. Комбинаторика. . Нетрудно видеть, что при n = m число

4. Комбинаторика. . Нетрудно видеть, что при n = m число 4 Комбинаторика Перестановка это упорядоченный набор чисел 1 обычно трактуемый как биекция на множестве { 1 } которая числу i ставит в соответствие i-й элемент из набора Число при этом называется порядком

Подробнее

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики УДК 57. Теория вероятностей: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск, 0. 4 с. (Заочная форма обучения/

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет» ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная академия культуры и искусств» Кафедра информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙCТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра технической механики и материаловедения ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический Университет)

Подробнее

Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности. Формула полной вероятности. ) Качество изготовляемых деталей проверяется двумя контролёрами. Вероятность попадания детали к первому контролёру равна 0 ко второму 04. Вероятность считать деталь качественной

Подробнее

I. Определение вероятности и основные правила ее вычисления 1.1 Вероятностный эксперимент. Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента

I. Определение вероятности и основные правила ее вычисления 1.1 Вероятностный эксперимент. Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента I Определение вероятности и основные правила ее вычисления Вероятностный эксперимент Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента зависят в той или иной степени от комплекса условий, при которых

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов «Страница» с методическими материалами http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Волгоградский филиал РАНХиГС

Подробнее

Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности Классическое определение вероятности 1. Брошены 3 монеты. Найти вероятность того, что 1) A 1-я упала "гербом"вверх, 2) B выпало ровно 2 герба, 3) C выпало не больше 2 гербов. Ответ: P (A) = 1/2, P (B)

Подробнее

А. А. Ивашко Теория вероятностей и математическая статистика

А. А. Ивашко Теория вероятностей и математическая статистика Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А. А. Ивашко Теория

Подробнее

ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ. Схема независимых испытаний Бернулли

ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ. Схема независимых испытаний Бернулли ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ Схема независимых испытаний Бернулли До сих пор мы в основном разбирали задачи нахождения вероятности события в единичном испытании, т.е. когда эксперимент производится один раз. Теперь

Подробнее

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И СОЦИАЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ БГУ Кафедра управления финансами ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методическое

Подробнее

ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ

ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Е. В. Морозова, С. В. Мягкова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Часть I ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Минобрнауки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина» (ФГБОУ ВО «СГУ им. Питирима Сорокина»)

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра высшей математики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования и науки Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский Томский политехнический университет О.Л. Крицкий, А.А. Михальчук,

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Пояснительная записка Статус документа Рабочая программа составлена: - на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования, - примерной программы по математике основного

Подробнее

Реализация рабочей программы осуществляется с использованием учебно- методического комплекта:

Реализация рабочей программы осуществляется с использованием учебно- методического комплекта: Пояснительная записка Рабочая программа по математике 6 класса составлена в соответствии с примерной программой общеобразовательных учреждений по математике в соответствии с федеральным компонентом государственного

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе и экономическому развитию Д.А. Зубцов 29

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный технический университет МАМИ Кафедра Прикладная и вычислительная математика Е.А. Коган ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Подробнее

Рабочая программа по изучению курса математики в 6 классе Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе Примерной программы основного

Рабочая программа по изучению курса математики в 6 классе Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе Примерной программы основного Рабочая программа по изучению курса математики в 6 классе Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе Примерной программы основного общего образования по математике (приказ Министерства

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский гуманитарно-экономический институт Воронежский филиал С.И. Моисеев Теория вероятностей и математическая статистика Методические указания

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Сибирская академия финансов и банковского дела Б.П. Зеленцов ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Практикум 3-е издание, переработанное и дополненное Новосибирск 014 УДК 519. ББК.17 З-487 Рецензенты

Подробнее

ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ»

ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г. Тольятти ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2

Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1. Классическое определение вероятности. Примеры. 2. Формула Байеса. 3. Каков смысл равенств а) А В С=А; б) АUВUС=А? ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 1. Схема с возвращением и без выборок,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» Кафедра прикладной математики 115-2012 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к курсовой работе по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Теория вероятностей

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» Кафедра «Математика» Л.Ф. Кочнева, З.С. Липкина,

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Липецкий государственный технический университет» Экономический факультет УТВЕРЖДАЮ Декан ЭФ Московцев В.В. 2011 г. РАБОЧАЯ

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине ОПД.Ф.9 «Теория вероятности» для специальности «Математика» курс III Экзамен - V семестр семестр

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине ОПД.Ф.9 «Теория вероятности» для специальности «Математика» курс III Экзамен - V семестр семестр МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Математический

Подробнее

Ю. Е. Дудовская, О. В. Якубович, Ю. С. Боярович ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Ю. Е. Дудовская, О. В. Якубович, Ю. С. Боярович ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Ю. Е. Дудовская, О. В. Якубович, Ю. С. Боярович ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

1. Результаты освоения курса математики в 6 классе (Личностные, метапредметные и предметные результаты освоения содержания курса)

1. Результаты освоения курса математики в 6 классе (Личностные, метапредметные и предметные результаты освоения содержания курса) 1 Пояснительная записка Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования, Примерной программы по учебным

Подробнее

Теория вероятностей СГУПС. Учебное пособие для студентов факультета бизнес-информатики. Составил доцент С.А.Аракчеев

Теория вероятностей СГУПС. Учебное пособие для студентов факультета бизнес-информатики. Составил доцент С.А.Аракчеев СГУПС Теория вероятностей Учебное пособие для студентов факультета бизнес-информатики Составил доцент С.А.Аракчеев Новосибирск 00 Часть I. Случайные события Введение Теория вероятностей изучает закономерности

Подробнее

ЧАСТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «АКАДЕМИЯ СОЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ»

ЧАСТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «АКАДЕМИЯ СОЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ» ЧАСТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «АКАДЕМИЯ СОЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ» ОДОБРЕНО решением Ученого совета (протокол 9 от 26.05.20) УТВЕРЖДЕНО приказом ректора 08/07 от

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА Одесская национальная академия связи им. А.С.Попова Кафедра высшей математики Ю.И. Бурименко, О.В. Синявский ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Учебно-методическое пособие для студентов направления «Прикладная информатика» очной формы обучения

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Учебно-методическое пособие для студентов направления «Прикладная информатика» очной формы обучения РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А.И. Луценко ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ для студентов курса специальности «экономическая

Подробнее

Л.С. Барковская, Л.В. Станишевская, Ю.Н. Черторицкий ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Л.С. Барковская, Л.В. Станишевская, Ю.Н. Черторицкий ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ЛС Барковская, ЛВ Станишевская, ЮН Черторицкий ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Практикум Издание третье, переработанное

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» УТВЕРЖДАЮ Директор ИДО А.Ф. Федоров 007 г. ТЕОРИЯ

Подробнее

Е.Н. Гусева ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Е.Н. Гусева ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Магнитогорский государственный университет» Е.Н. Гусева ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебное пособие 5-е издание, стереотипное

Подробнее

Теория вероятностей. Примеры решений типовых задач и задания для студентов

Теория вероятностей. Примеры решений типовых задач и задания для студентов CoolReferat.com Кремер Н.Ш. Теория вероятностей Примеры решений типовых задач и задания для студентов В главе рассматриваются: ГЛАВА Основные понятия и теоремы теории вероятностей классификация событий;

Подробнее

Задачи по теории вероятности

Задачи по теории вероятности Издательство «Легион» Задачи по теории вероятности докладчик: Кулабухов Сергей Юрьевич Задания B10 Спецификация КИМ ЕГЭ 2014 по математике (фрагмент) Кодификатор элементов содержания КИМ ЕГЭ 2014 по математике

Подробнее

ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ГОРОДСКОГО ХОЗЯЙСТВА ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (Для студентов заочной формы

Подробнее

Кафедра «Высшая математика» Случайные величины СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Кафедра «Высшая математика» Случайные величины СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 19.3.2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Вариант 1 1. Дана непрерывная случайная величина Х: 0, х 0 F(х) = сх 3,0 < х 0,5 1, х > 0,5 Найти: а) коэффициент «с»; б) функцию плотности вероятности f(x); в) параметры распределения;

Подробнее

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ МОУ «Ивансолинская основная общеобразовательная школа» «ОДОБРЕНО» Руководитель школьного методического объединения: (Якимов Г.Н.) сентября 011 года «УТВЕРЖДАЮ» Директор школы (Якимова Н.В.) подпись, сентября

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Министерство образования Российской Федерации Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт Сведения об авторе В.П. Лисьев Теория вероятностей

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Архангельский государственный технический университет СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Министерство образования и науки Российской Федерации Архангельский государственный технический университет СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Архангельский государственный технический университет СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Методические указания к выполнению самостоятельной работы Архангельск 2010

Подробнее

Министерство Российской Федерации по связи и информатизации. Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики. Н. И.

Министерство Российской Федерации по связи и информатизации. Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики. Н. И. Министерство Российской Федерации по связи и информатизации Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики Н. И. Чернова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебное пособие Новосибирск 2009 УДК 59.2

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Учебный предмет алгебра и начала анализа. для 11 класса. на учебный год

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Учебный предмет алгебра и начала анализа. для 11 класса. на учебный год Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 134 Красногвардейского района Санкт-Петербурга имени Сергея Дудко РАССМОТРЕНО Руководитель ШМО СОГЛАСОВАНО Заместитель

Подробнее

МОУ Мир вероятностей и статистики Пояснительная записка. Цель курса

МОУ Мир вероятностей и статистики Пояснительная записка. Цель курса МОУ Цнинская средняя общеобразовательная школа 1 Tамбовской области Тамбовского района Программа элективного курса по математике Мир вероятностей и статистики в рамках предпрофильной подготовки учащихся

Подробнее

Основные понятия теории вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Предыдущие заметки (см. оглавление) были посвящены методам сбора данных, способам построения таблиц и диаграмм, а также исследованию описательных статистик. В настоящей

Подробнее

Аннотация к рабочей программе. Математика 8-9 класс. Изучение математики направлено на достижение следующих ЦЕЛЕЙ:

Аннотация к рабочей программе. Математика 8-9 класс. Изучение математики направлено на достижение следующих ЦЕЛЕЙ: Аннотация к рабочей программе. Математика 8-9 класс. Рабочая программа «Математика» для 8-9 классов составлена в соответствии с требованиями федерального компонента государственного образовательного стандарта,

Подробнее

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Случайные векторы. Закон распределения. Условные распределения случайных величин. Числовые характеристики случайных векторов. Условные математические

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложения Список литературы

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложения Список литературы ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.......................................... 5 Глава 1 Задачи Всероссийских олимпиад......................... 7 1.1. Олимпиадные задачи 1999 года.................... 7 1.2. Олимпиадные

Подробнее

Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ

Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ Рациональные числа Ученик научится: В 5-6 КЛАССАХ 1) понимать особенности десятичной системы счисления; 2) владеть понятиями,

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Образовательное учреждение профсоюзов высшего и профессионального образования «Академия труда и социальных отношений» Кафедра высшей и прикладной математики РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная дисциплина «Теория вероятностей математическая статистика» содержат математические основы и математические методы, формирующие у студентов - химиков профессиональную культуру

Подробнее

Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса Арифметика Натуральные числа. Дроби Ученик научится: 1) понимать особенности десятичной

Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса Арифметика Натуральные числа. Дроби Ученик научится: 1) понимать особенности десятичной Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса Арифметика Натуральные числа. Дроби 1) понимать особенности десятичной системы счисления; 2) понимать и использовать термины и символы, связанные

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Кафедра вычислительных методов и программирования А.В. Аксенчик,

Подробнее

I. Пространство элементарных событий. События. Алгебра событий.

I. Пространство элементарных событий. События. Алгебра событий. I. Пространство элементарных событий. События. Алгебра событий. Множество ( w w w ) W= 1, 2,..., всех возможных исходов эксперимента образуют пространство элементарных событий. Примеры: 1. При социологическом

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский государственный университет экономики и управления «НИНХ» (ФГБОУ ВО «НГУЭУ», НГУЭУ)

Подробнее

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Академия труда и социальных отношений Кафедра высшей и прикладной математики Потемкин Александр Владимирович Эйсымонт Инна Михайловна «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Организация-разработчик: Финансово-технологический колледж ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова».

Организация-разработчик: Финансово-технологический колледж ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова». Рабочая программа учебной дисциплины разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта (далее ФГОС) по специальности среднего профессионального образования 270802.51 «Строительство

Подробнее

ДАГЕСТАНСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ ИНСТИТУТ. Учебное пособие для студентов экономических специальностей

ДАГЕСТАНСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ ИНСТИТУТ. Учебное пособие для студентов экономических специальностей ДАГЕСТАНСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ ИНСТИТУТ Кафедра математики и информационных технологий Зайнулабидов Г.М. Учебное пособие для студентов экономических специальностей Махачкала 04 УДК 330.43 (075.0) ББК 65в6я73

Подробнее

Задание 1 (Китаева А.В.)

Задание 1 (Китаева А.В.) Задание 1 (Китаева А.В.) 1. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?.

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 Пусть проводится конечное число n последовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие A может либо наступить (такую ситуацию назовём успехом) либо не

Подробнее

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная программа «Теория вероятности и математическая статистика» разработана для специальности 1-21 06 01-01 «Современные иностранные языки» высших учебных заведений. Целью изучения

Подробнее

Б.1.Б.4 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Б.1.Б.4 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «БАЙКАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА» УТВЕРЖДАЮ Декан факультета «Экономики предприятия и управления бизнесом» д.э.н.,

Подробнее

ФГБ ОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)» Кафедра «Математика» М.В. Ишханян. Комбинаторика и теория вероятностей

ФГБ ОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)» Кафедра «Математика» М.В. Ишханян. Комбинаторика и теория вероятностей ФГБ ОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)» Кафедра «Математика» М.В. Ишханян Комбинаторика и теория вероятностей Методические указания к практическим занятиям Москва 2011

Подробнее

Настоящая рабочая программа по алгебре для средней общеобразовательной школы 8 класс составлена на основе:

Настоящая рабочая программа по алгебре для средней общеобразовательной школы 8 класс составлена на основе: 8 класс Настоящая рабочая программа по алгебре для средней общеобразовательной школы 8 класс составлена на основе: Федерального компонента государственного стандарта начального общего образования, основного

Подробнее

Тема 1. Количественные характеристики случайных событий. Тема 2. Количественные характеристики случайной величины

Тема 1. Количественные характеристики случайных событий. Тема 2. Количественные характеристики случайной величины ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТАМ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ В МЕЖСЕССИОННЫЙ ПЕРИОД ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ 030300.62 ПСИХОЛОГИЯ Тема 1. Количественные

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Ряды. Теория вероятностей.

Дифференциальные уравнения. Ряды. Теория вероятностей. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики Дифференциальные уравнения. Ряды. Теория вероятностей. Варианты

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Методические указания

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Методические указания СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Методические указания Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Методические

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. I. Теория вероятностей

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. I. Теория вероятностей МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.Л. Крицкий, А.А.

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. Настоящая программа по математике для 6 класса составлена на основе следующих документов: Закон об образовании РФ; Федеральный компонент государственного стандарта общего образования.

Подробнее

Пояснительная записка по математике 3 класс «Школа России» Рабочая программа курса «Математика» для 3 класса на учебный год составлена на

Пояснительная записка по математике 3 класс «Школа России» Рабочая программа курса «Математика» для 3 класса на учебный год составлена на Пояснительная записка по математике 3 класс «Школа России» Рабочая программа курса «Математика» для 3 класса на 2015 2016 учебный год составлена на основе стандарта начального общего образования по математике,

Подробнее

Госкомсвязи РФ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А.БОНЧ-БРУЕВИЧА ФАКУЛЬТЕТ ВЕЧЕРНЕГО И ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

Госкомсвязи РФ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А.БОНЧ-БРУЕВИЧА ФАКУЛЬТЕТ ВЕЧЕРНЕГО И ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ Госкомсвязи РФ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А.БОНЧ-БРУЕВИЧА ФАКУЛЬТЕТ ВЕЧЕРНЕГО И ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ

Подробнее