ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Методические указания к типовому расчету Часть Составители: Л. А. Крашенинникова П. К. Маценко В. В. Селиванов Ульяновск УлГТУ 03

2 УДК ББК 3.97 я 7 Т34 Рецензент профессор кафедры «Прикладная математика и информатика» доктор технических наук профессор В. Н. Клячкин Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета Т 34 Теория вероятностей и математическая статистика : методические указания к типовому расчету. Ч. / сост. : Л. А. Крашенинникова, П. К. Маценко, В. В. Селиванов. Ульяновск : УлГТУ, с. Изложена методика выполнения типового расчета по теме «Теория вероятностей и математическая статистика» из «Сборника заданий по специальным курсам высшей математики» В. Ф. Чудесенко. Методические указания составлены в соответствии с программой курсов «Теория вероятностей и математическая статистика» для направлений: 3300 «Прикладная математика», «Экономика», 400 «Управление качеством», 0000 «Приборостроение», 0400 «Радиотехника», 0700 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи», 99 «Конструирование и технология электронных средств», 0700 «Машиностроение», «Электроэнергетика и электротехника». Работа выполнена на кафедре «Высшая математика». УДК ББК 3.97 я 7 Крашенинникова Л. А., Маценко П. К., Селиванов В. В., составление, 03. Оформление. УлГТУ, 03.

3 3 СОДЕРЖАНИЕ Общие указания Классическое определение вероятности Указания к задаче Указания к задачам, Указания к задаче Геометрические вероятности Указания к задаче Указания к задачам, Теоремы сложения и умножения вероятностей Указания к задачам 8, 9, Указания к задаче Формулы полной вероятности и Байеса Указания к задачам, 3, Указания к задаче.... Схема Бернулли Указания к задачам, 7, Указания к задачам 9, Случайная величина Указания к задаче..... Указания к задаче... 3 Библиографический список... Приложение...

4 4 ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ Предлагаемые методические указания служат для выполнения типового расчета по теме «Теория вероятностей и математическая статистика» из сборника типовых расчетов В. Ф. Чудесенко «Сборник заданий по специальным курсам высшей математики». Типовой расчет содержит теоретические вопросы, теоретические упражнения и расчетные задания. Теоретические вопросы, теоретические упражнения являются общими для всех студентов. Расчетные задания каждый студент выполняет в соответствии со своим вариантом. В предлагаемых методических указаниях приводятся лишь краткие теоретические сведения, необходимые для решения задач. Дополнительный теоретический материал можно почерпнуть из учебников [-8] или из конспекта лекций. Методические указания разбиты на разделы, в каждом из которых рассматриваются решения однотипных задач. При выполнении типового расчета следует обосновывать каждый этап решения задачи, решение излагать подробно и аккуратно. Решение задачи должно доводиться до ответа, требуемого условием задачи. Числовой ответ следует выдавать в виде целого числа или десятичной дроби с двумя-тремя значащими цифрами.. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.. Указания к задаче Если некоторый эксперимент опыт имеет n равновозможных исходов, из которых k благоприятствуют появлению события, то вероятность события находится по формуле k.. n При этом исходы эксперимента считаются равновозможными, если они имеют одинаковую возможность появиться в каждом эксперименте. Такие исходы называются случаями. Напоминаем, что исход случай считается благоприятствующим, если событие происходит при его появлении. Пример. Датчик случайных чисел генерирует два натуральных числа в пределах первого десятка. Найдите вероятности следующих событий: а сумма сгенерированных чисел не превосходит 7; б их произведение не превосходит 7; в произведение чисел делится на 7. Решение. Первое число датчик может сгенерировать 0 способами. С каждым способом генерирования первого числа имеется 0 способов генерирования второго числа. Значит, общее число случаев: n

5 а Введем событие: сумма чисел не превосходит 7. Событию благоприятствует случай: ; ; 3; 4; ; ; ; ; 3; 4; ; 3 ; 3 ; 3 3; 3 4; 4 ; 4 ; 4 3; ; ;. Значит, по формуле. 00 0,. б Введем событие: произведение чисел не превосходит 7. Событию благоприятствует случаев: ; ; 3; 4; ; ; 7; ; ; 3; 3 ; 3 ; 4 ; ; ; 7. По формуле. 00 0,. в Введем событие: C произведение чисел делится на 7. Событию C благоприятствует случаи вида: 7 m и m 7, где m принимает любые значения от до 0. Причем число 77 нужно учесть раз. Значит, событию C благоприятствует 0 9 случаев. По формуле. находим C , 9. Ответ: 0,; 0,; 0,9... Указания к задачам, 3 Во многих задачах вычисление классической вероятности ведется на основе формул комбинаторики. Вспомним основные понятия комбинаторики. Имеется конечное множество X, состоящее из элементов произвольной природы: x, x,..., x. Из этого множества выбирается элементов и из них строится группа: x, x,..., x. Если учитывается порядок расположения i i i элементов внутри группы т.е. группы, составленные из одних и тех же элементов, считаются разными, если в них разный порядок расположения элементов, то такая группа называется размещением. Если же порядок расположения элементов внутри группы не учитывается, то такая группа называется сочетанием. Размещение, составленное сразу из всех элементов множества X, называется перестановкой. Число размещений, сочетаний C находятся по формулам:,!,, перестановок C!!!..! При вычислении вероятностей часто используется следующее правило произведения. Если группа элементов разбита на части, и одну часть группы можно образовать n способами, а вторую часть группы n способами, то всю группу можно образовать n n n способами. Аналогично, если группа разбита на s частей, то ее можно образовать n n n... ns способами.

6 Пример. В коробке лежат 0 красных, 8 синих, 7 зеленых и желтых карандашей. Наугад берется 9 карандашей. Какова вероятность того, что среди взятых карандашей будет: 3 красных, 3 синих, зеленых и желтый? Решение. Найдем общее число случаев. В коробке лежат 30 карандашей. Вытащить 9 карандашей означает составить группу из 9 карандашей, если всего их 30, причем порядок извлечения карандашей безразличен. Значит, речь 9 идет о сочетаниях по 9 элементам из 30. Число таких сочетаний равно C 30, и по формуле. общее число случаев равно n C30,430. 9! Найдем число случаев, благоприятствующих событию. Случай благоприятствует событию, если из 0 красных будет извлечено 3 карандаша, из 8 синих 3 карандаша, из 7 зеленых карандаша, из желтых карандаш, причем порядок извлечения безразличен. Согласно правилу произведения число исходов, благоприятствующих событию, равно 3 3 k C0 C8 C7 C 7,0 0. По формуле. найдем вероятность события: p k n 7,0 0,430 0, Ответ: 0,049. Пример 3. В учебной группе, состоящей из 7 юношей и 3 девушек, разыгрывается билетов на концерт. Какова вероятность того, что билеты на концерт выиграют 4 юноши и девушки? Решение. Общее число случаев это количество способов составить группу из человек, выигравших билеты на концерт. Поскольку порядок расположения «счастливцев» внутри группы не важен, речь идет о сочетаниях по элементам из 0. Значит, общее число случаев n C 0. Случай благоприятствует событию, если из 7 юношей 4 выиграют это 4 возможно C 7 способами, а из 3 девушек выиграют это возможно C 3 способами. Тогда по правилу произведения число благоприятствующих 4 случаев k C 7 C. Вероятность события находим по формуле.: Ответ: 0,. 3 4 k C7 C3 p 0,. n C 0.3. Указания к задаче 4 В этом пункте рассматривается решение задачи, в которой необходимо подсчитать количество размещений элементов с повторением, т. е. количество упорядоченных групп, в которых любой элемент может повторяться сколь угодно раз. Число размещений с повторениями находится по формуле

7 7,.3 где общее количество элементов, количество элементов в том числе и одинаковых, входящих в группу. Пример 4. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три пассажира. Каждый из них с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий: а все пассажиры выйдут на четвертом этаже; б все пассажиры выйдут на одном и том же этаже; в все пассажиры выйдут на разных этажах; г по крайней мере, двое выйдут на одном этаже. Решение. Построим цифровую модель нашей задачи. Каждому исходу случаю поставим в соответствие трехзначное число, первая, вторая и третья цифры которого соответствуют номеру этажа, на котором выходит первый, второй и третий пассажир соответственно. Тогда общее число случаев равно количеству трехзначных чисел, построенных из цифр:, 3, 4,,, 7. Согласно формуле.3 общее число случаев будет равно n 3. а Введем событие: все пассажиры выйдут на четвертом этаже. Этому событию благоприятствует только один случай в цифровой модели только одно число 444. Значит, k, и по формуле. k n 0,004. б Введем событие: все пассажиры выйдут на одном и том же этаже. Цифровой моделью такого события будет составление трехзначного числа из одинаковых цифр. Таких чисел будет, значит, k, и по формуле. k n 0,08. в Введем событие: C все пассажиры выйдут на разных этажах. Цифровой моделью такого события будет составление трехзначного числа из разных цифр. Количество таких чисел равно числу размещений из элементов 3 по 3. Значит, k 4 0, и по формуле. получим k n 0 0,. г Введем событие: D по крайней мере, двое выйдут на одном этаже. Это событие противоположно событию C все пассажиры выйдут на разных этажах. Значит, D C 0, 0, 44. Ответ: 0,004; 0,08; 0,; 0,44.. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ Существует круг задач, решение которых основано на геометрической интерпретации вероятности. Итак, на прямой выберем отрезок E и внутри него отрезок или совокупность отрезков см. рис... Внутрь отрезка E бросается точка. Вероятность ее попадания на отрезок или совокупность отрезков находится по формуле

8 8 p l l Е,. в которой l и l E длины и E соответственно. Вероятность события, найденная по формуле., называется геометрической вероятностью на прямой. Аналогично, если точка «бросается» внутрь квадрата или круга E см. рис.., то вероятность ее попадания в область, лежащую внутри E, находится по формуле p S /S E,. где S и S E площади и E соответственно. E E Рис.. Рис.... Указания к задаче Пример. На прямолинейном участке газопровода длиной 80 км произошел разрыв. Какова вероятность того, что разрыв удален от обоих концов участка на расстояние, большее 30 км? Решение. Участок газопровода MN разобьем точками R, T на три части так, чтобы точки R и T отстояли от концов отрезка MN на 30 км см. рис..3. Тогда разрыв газопровода должен M произойти на участке RT, длина которого равна: R T N l RT Рис..3 Значит, вероятность события равна p lrt / lmn ,. Ответ: 0,... Указания к задачам, 7 Пример. Вася и Миша договорились о встрече в библиотеке между 9 и 0 часами. Вася будет ждать Мишу 0 минут, а Миша Васю минут. Найдите вероятности следующих событий: а встреча состоится; б встреча не состоится.

9 9 Решение. Пусть x и y моменты времени в часах прихода Васи и Миши соответственно. Согласно условию задачи x, y [9,0]. Встреча состоится, если выполнено одно из условий: x y x или y x y. Причем второе 4 условие можно заменить равносильным: x y x. 4 Построим геометрическую модель задачи. Выберем 9 часов за начало отсчета. Приход приятелей на встречу моделируем точкой x, y, которую бросаем внутрь квадрата, изображенного на рис. 4. Встреча состоится, если точка x, y попадет в полосу D, ограниченную снизу прямой y x, сверху 4 прямой y x см. рис..4. Площадь всего квадрата равна S Площадь полосы D находим как разность площадей квадрата и треугольников D и D. Находим площадь треугольника D : 9 S , 8. Аналогично площадь треугольника D равна S 7 0, 347. Следовательно, площадь полосы D будет равна S D 0,8 0,347 0,37, и по формуле. вероятность встречи будет равна p SD S 0,37 0, y D y x 9 9 D Рис..4 Встреча не состоится, если точка x, y попадет или в треугольник D, или в треугольник D. Суммарная площадь треугольников равна 0,8, следовательно, согласно формуле. вероятность того, что встреча не состоится, равна 0,3. Ответ: 0,37; 0,3. Пример 7. Стрелок стреляет по круговой мишени, состоящей из центрального круга и трех концентрических колец см. рис.., и попадает в нее. Какова вероятность того, что он попал в первое или третье кольцо, если радиусы окружностей колец относятся как ::3:4? На рис.. эти кольца закрашены. D 0 x y x 4

10 0 Решение. Пусть r радиус первой меньшей окружности, тогда радиусы следующих окружностей равны соответственно r, 3r, 4r. Площадь всей круговой мишени равна S0 4r r. Площадь первого кольца равна r r 3r. Площадь третьего кольца равна 4r 3r 7r. Значит, суммарная площадь колец равна S 3r 7r 0r. По формуле. искомая вероятность равна S 0r p 0,. S 0 r Ответ: 0,. Рис.. 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Для вычисления вероятностей сложных событий используются следующие теоремы теории вероятностей. Если события и несовместны т.е. не могут произойти одновременно, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т. е.. 3. Если же события и совместны, то. 3. Если события и независимы т.е. вероятность одного из событий не зависит от появления или непоявления другого, то вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей, т. е Если же события и зависимы, то вероятность их произведения находится по формуле / /, 3.4 в которой / и / условные вероятности событий и соответственно. При этом под условной вероятностью / понимают вероятность события, вычисленную при условии, что событие уже произошло. Аналогично понимается вероятность /. Формулы легко обобщаются на случай n событий,,..., n. Так, если события,,..., n попарно несовместны т.е. любые два события из группы не могут происходить одновременно, то... n... n. 3. Если события,,..., n независимы в совокупности т.е. появление одного события не зависит от появления или непоявления остальных, то

11 ... n... n. 3. Если же события не являются независимыми в совокупности, то вместо формулы 3. используется формула... n / 3 /... /.... n 3.. Указания к задачам 8, 9, 0 При отыскании вероятности сложного события наиболее типична следующая схема: событие, вероятность которого надо найти, представляется в виде суммы попарно несовместных событий. Далее используется формула 3. или 3., в результате чего отыскание вероятности сводится к нахождению суммы вероятностей отдельных слагаемых. Затем каждое слагаемое представляется в виде произведений независимых событий, и используется одна из формул 3.3 или 3.. Замечание. Следует помнить, что при отыскании вероятности появления хотя бы одного события обычно переходят к противоположному событию: не появилось ни одно событие и используют формулу, где событие, состоящее в том, что появилось хотя бы одно событие из некоторой группы событий,,..., n, и событие, состоящее в том, что не появилось ни одного события из этой группы. Пример 8. В одной учебной группе 8 юношей и девушек, в другой группе юношей и 0 девушек. Для участия в конференции каждая группа делегирует своего представителя. Найдите вероятности следующих событий: а делегированы две девушки; б делегированы юноша и девушка; в делегирована хотя бы одна девушка. Решение. Введем в рассмотрение события: первая группа делегирует девушку на конференцию, вторая группа делегирует девушку на конференцию. Находим вероятности этих событий: 0 0,, 0, а Введем событие: делегированы две девушки. Тогда, и по формуле 3.3 0, 0,4 0, 4. б Введем событие: делегированы юноша и девушка. Это событие можно представить так:. Применяя к событию сначала формулу 3., затем 3.3, получим. n

12 Находим вероятности противоположных событий: 0, 0,4, 0,4 0, и подставляем их в предыдущую формулу. В итоге получим 0,4 0,4 0, 0, 0,. в Введем событие: C делегирована хотя бы одна девушка. Согласно сделанному ранее замечанию, в подобном случае следует переходить к противоположному событию: C ни одна девушка не делегирована т. е. делегированы два юноши. Находим: C, C 0,4 0, 0,4. Значит, C C 0,4 0, 7. Ответ: 0,4; 0,; 0,7. Пример 9. Артем и Денис поочередно бросают баскетбольный мяч в корзину. Артем сделал 3 броска, а Денис броска. Определить вероятность того, что мяч ни разу не побывал в корзине, если вероятность попадания в корзину у Артема составляет 0,, а у Дениса 0,3. Решение. Введем события: k Артем попал в корзину при k -м броске k,,3, k Денис попал в корзину при k -м броске k,, C мяч ни разу не побывал в корзине. Ясно, что C 3. Тогда C 3. Но 3 0, 0,7, 0,3 0, 8. 3 Значит, C 0,7 0,8 0, 9. Ответ: 0,9. Пример 0. Вася и Миша поочередно бросают кубик. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет очков. Первый бросок делает Вася, второй Миша, затем снова Вася и так далее. Найдите вероятности следующих событий: а Вася выиграет до третьего броска; б Вася выиграет не позднее третьего броска; в Миша выиграет до третьего броска; г Миша выиграет не позднее третьего броска. Решение. Введем события: k Вася выбросил очков при k -м броске, k Миша выбросил очков при k -м броске. Вероятности событий k, k равны, вероятности противоположных событий k, k равны. а Пусть событие C Вася выиграет до третьего броска. Тогда имеем C, и по формулам 3., 3.3 C 0,8. б Пусть событие D Вася выиграет не позднее третьего броска. Тогда D C, и по формулам 3., 3.3 D C 3

13 3 3 3 C 0,3 0,8. в Пусть событие F Миша выиграет до третьего броска. Тогда F, и по формулам 3., 3.3 C 0,4. г Пусть событие G Миша выиграет не позднее третьего броска. Тогда 3 3 F G, и по формулам 3., 3.3 F G F 0,30 0,4. Ответ: 0,8; 0,3; 0,4; 0, Указания к задаче В том случае, когда события n,...,, не являются попарно несовместными, вместо формул 3., 3. используется формула n n k k k k Пример. На 9 карточках написаны цифры:,,, 9. После перемешивания карточки выкладываются слева направо, образуя 9-значное число. Найти вероятности следующих событий: а в числе на каждой позиции стоит цифра, совпадающая с номером позиции; б в числе хотя бы на одной позиции стоит цифра, совпадающая с номером позиции; в в числе ни на одной позиции не стоит цифра, совпадающая с номером позиции. Решение. а Введем событие: в числе на каждой позиции стоит цифра, совпадающая с номером позиции. Событию благоприятствует один случай: 34789, общее число случаев равно числу перестановок из 9 цифр, т. е.! 9. Значит, 0,8 /9!. б Введем события: в числе хотя бы на одной позиции стоит цифра, совпадающая с номером позиции,,,...,9 в числе на -й позиции стоит цифра, совпадающая с номером позиции. Ясно, что 9, и по формуле k k k k. 3.8

14 4 В этой формуле событие... k означает, что в числе цифры,,..., k стоят соответственно на -й, -й,, k -й позициях, а остальные цифры на остальных, каких угодно, позициях. Найдем вероятность события... k. Поскольку k позиций в числе зафиксированы, остается 9 k свободных позиций, на которые можно поставить «свободные» цифры 9 k! способами. Общее число способов построения 9-значного числа равно 9.! Значит, все вероятности... k во внутренней сумме равны: 9 k!, и внутренняя сумма в 9! формуле 3.8 преобразуется так: 9 k!.... k ! k... k 9 Количество единиц в оставшейся сумме равно количеству способов построения из 9 цифр упорядоченной системы индексов,,..., k с дополнительным 9 k 9! условием:... k. Таких способов будет. Значит, k! 9 k! k! 9 k! 9! k 9! 9 k! k! k.! k Подставив вычисленное значение суммы в формулу 3.8, получим 9 k... 0, 0,7 0,04 0,008 0, 7. k k!! 3! 9! в Введем событие: C в числе ни на одной позиции не стоит цифра, совпадающая с номером позиции. Так как C, то C 0, 7 0,33. Ответ:,8 0 ; 0,7; 0, ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА Допустим, производится эксперимент опыт, об условиях которого можно сделать n взаимно исключающих друг друга предположений гипотез: H, H,..., H n. Каждая гипотеза является некоторым событием; все они попарно несовместны и образуют полную группу т.е. в результате эксперимента может реализоваться ровно одна из гипотез. Вероятности гипотез должны быть предварительно найдены; пусть они равны H, H,..., H n. Далее рассматривается некоторое событие, вероятность которого нужно определить. Для этого сначала находят его условные вероятности / H, / H,..., / H n. Затем вероятность события находят по следующей формуле полной вероятности

15 H /. 4. n i i H i Вероятности гипотез H i, i,,..., n, вычисляются до проведения эксперимента. В зависимости от появления или непоявления в результате эксперимента события эти вероятности могут быть уточнены. Условные вероятности гипотез H k / могут быть найдены с помощью формулы Байеса или Бейеса H k H k H k, n H H k,,..., n. 4. i i 4.. Указания к задачам, 3, 4 Для решения задач, 3, 4 используется формула полной вероятности 4.. Пример. В сборочный цех поступают детали с трех поточных линий. Производительности этих линий относятся как :3:. Вероятность брака для первой линии составляет 0,0; для второй линии 0,0; для третьей линии 0,03. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь бракована. Решение. Введем событие: взятая деталь бракована. Введем систему гипотез: H k k,,3 деталь изготовлена на k -й поточной линии. Найдем вероятности гипотез. 3 H 0,; H 0,3; H3 0, Согласно условию задачи условные вероятности события равны: / H 0,0; / H 0,0; / H 0,03. Применим формулу полной вероятности 4.. H / H H / H H3 / H3 0, 0,0 0,3 0,0 0, 0,03 0,07. Ответ: 0,07. Пример 3. В первой коробке содержится 0 карандашей, из них цветных, во второй коробке 8 карандашей, из них цветных. Из первой коробки во вторую переложено карандаша, а затем из второй коробки наугад берется карандаш. Какова вероятность того, что он цветной? Решение. Введем событие: из второй коробки взят цветной карандаш. Введем систему гипотез: H k k 0,, из первой коробки во вторую переложено k цветных карандашей. Найдем вероятности гипотез. C4 C4 C C H0 0,03; H 0,337; H 0,3. C C C 0 0 i 0

16 Найдем условные вероятности события. Так как при выполнении гипотезы H 0 во второй коробке окажется цветных карандашей, при выполнении гипотезы H 7, а при выполнении гипотезы H 8 цветных карандашей, то 7 8 H 0 0,, H 0, 7 0, H 0, Далее воспользуемся формулой полной вероятности 4.. 0,03 0, 0,337 0,7 0,3 0,8 0,7. Ответ: 0,7. Пример 4. В ящике новых и 4 игранных теннисных мяча. Для игры из ящика наугад берется мяча, которые после игры кладутся обратно. На следующую игру снова берутся два мяча. Найти вероятность того, что они будут новыми. Решение. Введем событие: на вторую игру взяты два новых мяча. Введем систему гипотез: H k k 0,, на первую игру взято k новых мяча. Найдем вероятности гипотез. C4 C4 C C H 0 0,33; H 0,33; H 0,333. C0 C0 C0 Найдем условные вероятности события. Перед второй игрой при выполнении гипотезы H 0 в ящике будет новых мячей, при выполнении гипотезы H новых мячей, при выполнении гипотезы H 4 новых мяча. Значит, C C C4 H 0 0,333; H 0,; H 0,33. C0 C0 C0 По формуле полной вероятности 4. 0,33 0,333 0,33 0, 0,333 0,33 0,. Ответ: 0,. 4.. Указания к задаче Для решения задачи следует использовать формулу Байеса 4.. Пример. В сборочный цех поступают детали с трех поточных линий. Производительности этих линий относятся как :3:. Вероятность брака для первой линии составляет 0,0; для второй линии 0,0; для третьей линии 0,03. Наугад взятая для сборки деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на второй поточной линии. Решение. Введем событие: взятая деталь бракована. Введем систему гипотез: H k k,,3 деталь изготовлена на k - й поточной линии. Найдем вероятности гипотез.

17 7 3 H 0,; H 0,3; H3 0, Согласно условию задачи условные вероятности события равны / H 0,0; / H 0,0; / H 0,03. Условную вероятность второй гипотезы найдем по формуле Байеса 4.. H H 0,3 0,0 H 0,3. n 0, 0,0 0,3 0,0 0, 0,03 H Ответ: 0,3. i i H i. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Опыты называются независимыми, если вероятность результата каждого опыта не зависит от того, какие результаты имели предшествующие опыты. Если производится n независимых опытов в одинаковых условиях, причем в каждом из них событие появляется с одинаковой вероятностью p, то такую схему опытов называют биномиальной схемой Бернулли. При этом вероятность появления в n опытах события ровно k раз находится по следующей формуле Бернулли: k k nk n k Cn p p, k 0,,..., n.. Число k k0, при котором вероятность n k принимает наибольшее значение, называется наивероятнейшим числом появления события в схеме Бернулли. Наивероятнейшее число k 0 определяется из двойного неравенства n p k0 n p.. Если же результатом каждого опыта является не два события,, а несколько:,,..., s, которые попарно несовместны и образуют полную группу, то вместо биномиальной схемы Бернулли получим полиномиальную схему. Если при этом в каждом опыте событие,,..., s может появиться с вероятностью p, то вероятность того, что в n опытах событие появится k раз, событие k раз,..., событие s ks раз, находится по формуле n! k k k s n k, k,..., ks p p... ps..3 k! k!... k! Если в биномиальной схеме независимых опытов число опытов n велико n 00, пользоваться формулой Бернулли. не рекомендуется, так как в этом случае требуются значительные по объему вычисления. При больших значениях n вместо формулы Бернулли используются приближенные формулы Пуассона и Муавра-Лапласа. n

18 8 Так, если вероятность p появления события в каждом опыте мала p 0, 0, то обычно используется формула Пуассона k n k e, k 0,,,...,.4 k! где np параметр Пуассона. При этом считается, что 0!. Если же вероятности p и q p не очень малы p, q 0,0, то используется локальная формула Муавра-Лапласа k np n k, k 0,,,...,. npq npq 0,x где x e. Вероятность того, что в n опытах событие появится не менее k раз и не более k раз, можно найти по формуле k k k k k, n n k k в которой n k находится по формулам.4 или.. Однако, в случае, когда p, q 0,0, для отыскания этой вероятности удобнее использовать интегральную формулу Муавра-Лапласа k np k np n k k k,. npq npq x t в которой x e 0, dt. 0 Функция x называется функцией Лапласа, в каждом руководстве по теории вероятностей имеется таблица ее значений. Следует помнить, что функция x нечетна, и x 0, при x. Поэтому в большинстве таких таблиц значения функции x приведены только для значений аргумента x [0;]... Указания к задачам, 7, 8 Для решения задачи используется формула., задачи 7 формула., задачи 8 формула.3. Пример. Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока дважды не выпадет 3 очка. Какова вероятность того, что кость придется подбрасывать раз?

19 9 Решение. Вероятность выпадения трех очков при каждом подбрасывании p, вероятность противоположного события q. Интересующее нас событие произойдет, если одновременно произойдут два события: при первых пяти бросаниях 3 очка выпадет один раз и на шестом бросании снова выпадет 3 очка. Вероятность первого события находим по формуле. при n, k, p : C 0, 40. Вероятность второго события равна. Значит, искомая вероятность равна 0,40 0, 07. Ответ: 0,07. Пример 7. Вероятность выигрыша на один билет новогодней лотереи составляет 0,7. Некто купил билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность. Решение. Наивероятнейшее число выигравших билетов находим по формуле. при n, p 0, 7; получаем неравенство 3 0,7 k 0 3 0, 7, из которого находим k 0 9. Соответствующую вероятность найдем по формуле. при n, k 9, p 0, 7 и получим C 0,7 0,3 0, 4. Ответ: 9; 0,4. Пример 8. В цех по ремонту радиоаппаратуры поступают конденсаторы с трех заводов в отношении :3:. Мастер для ремонта прибора взял наугад конденсаторов. Какова вероятность того, что взят конденсатор первого завода, конденсатора второго завода, 3 конденсатора третьего завода? Решение. Вероятности взять конденсаторы первого, второго, третьего заводов равны соответственно: p 0,; 3 0,3; p p3 0, Затем используем формулу.3, в которой полагаем n ; k ; k ; k 3 3; p 0,; p 0,3; p3 0,. Получаем! 3 p,,3 0, 0,3 0, 0,4.!!3! Ответ: 0,4... Указания к задачам 9, 0 Задача 9 решается с помощью формулы Пуассона.4. Задача 0 решается с помощью интегральной формулы Муавра-Лапласа. Пример 9. Вероятность набора абонентом телефонного номера с ошибкой равна 0,00. Определить вероятность того, что среди 00 произведенных вызовов телефонных номера были набраны с ошибкой.

20 0 Решение. Согласно условию n 00, p 0, 00. Так как p мало, для вычисления вероятности используем формулу Пуассона.4. Находим np 00 0,00 0,. Следовательно, искомая вероятность равна Ответ: 0,07. 0, 0, 00 e 0,07.! Пример 0. Лабораторным путем установлена всхожесть зерен в 80 %. Чему равна вероятность того, что среди 400 отобранных зерен прорастет: а не более 300 зерен; б от 300 до 330 зерен; в не менее 330 зерен. Решение. а Введем событие: прорастет не более 300 зерен. Для нахождения вероятности события применим интегральную формулу Муавра- Лапласа., в которой положим p 80% 0,8, q 0,8 0,, k 0, k 300. Получим , , k ,8 0, 400 0,8 0,, 40 0,4938 0, 0,00. б Введем событие: прорастет от 300 до 330 зерен. Применив интегральную формулу Муавра-Лапласа., получим , , k ,8 0, 400 0,8 0,,, 0,3944 0,4938 0,888. в Введем событие: C прорастет не менее 330 зерен. Применив интегральную формулу Муавра-Лапласа., получим , ,8 C k ,8 0, 400 0,8 0, 0, 0, 0,3944 0,0. Ответ: 0,00; 0,888; 0,0.. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Величина называется случайной, если ее значение можно определить только после опыта эксперимента. Закон распределения случайной величины это любое правило таблица, функция и т. п., позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной. Наиболее общей формой закона распределения, является функция распределения F x.

21 Функцией распределения F x случайной величины называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем заданное x, т. е. F x x. Если функция распределения F x дифференцируема, то ее производная F x называется плотностью распределения случайной величины и обозначается через p x. Помимо дифференциальной связи: p x F' x между функцией и плотностью распределения существует следующая интегральная связь: x F x p t dt.. Отметим два важных свойства плотности распределения. Справедлива формула p x dx.. Вероятность попадания случайной величины в интервал a, b может быть найдена по формуле p x dx..3 Заметим, что в левой части формулы.3 могут стоять как строгие, так и ослабленные неравенства, например,, и т. п. К важнейшим числовым характеристикам случайной величины относятся, прежде всего, математическое ожидание M и дисперсия D, которые при известной плотности распределения p x находятся по формулам M xp x dx,.4 x m D p x dx,. где m M другое обозначение математического ожидания. Зачастую для вычисления дисперсии вместо формулы. используется формула D M m,. в которой математическое ожидание M находится по формуле M x p x dx..7

22 .. Указания к задаче При решении задачи следует использовать формулы.-.4 и.,.7. Пример. Случайная величина задана своей плотностью распределения 0, если x 0, p x x, если 0 x, 0, если x. Найти параметр, математическое ожидание M, дисперсию D, функцию распределения случайной величины, вероятность выполнения неравенства,. Решение. Для определения параметра используем формулу.. Из формулы. следует уравнение xdx, которое после вычисления 0 интеграла преобразуется к виду:. Значит, 0,. Математическое ожидание случайной величины находим по формуле.4. 3 x M 0, 0, 0, 8 4 x xdx, Для отыскания дисперсии предварительно находим M по формуле.7. x M x 0,xdx 0, 0, 4, а затем по формуле. находим D 0,. Для отыскания функции распределения воспользуемся формулой.. x Пусть сначала x 0. Тогда по формуле. F x 0dt 0. Пусть далее 0 x. Теперь по формуле. 0 x t x F x 0dt 0,tdt 0, 0,x. 0 0 Пусть, наконец, x. Теперь по формуле. 0 x t F x 0dt 0,tdt 0dt 0,. 0 0 Вероятность выполнения неравенства, находим по формуле.3, получаем

23 3,, x,, 0,xdx 0, 0, 0,3. Ответ: 0,; M,33; D 0,; F x 0 при x 0, F x 0,x при 0 x, F x при x ;, 0,3... Указания к задаче Решение задачи ведется по тем же формулам..4,.,.7. Кроме того, используется формула Пуассона e t dt a, если 0..8 x x Пример. Случайная величина задана своей плотностью распределения p x e. Найти параметр, математическое ожидание M, дисперсию D, функцию распределения F x случайной величины, вероятность выполнения неравенства:. Решение. Для определения параметра используем формулу.. x x Из формулы. следует уравнение e dx, из которого находим x x e dx..9 В подынтегральном выражении, в показателе выделим полный квадрат: x x x и сделаем в интеграле замену переменной: x t. При этом интеграл преобразуется к виду e x x dx e x dx e e t dt e Заметим, что последний интеграл вычислен с помощью формулы.8. Теперь из формулы.9 получим e. Значит, плотность распределения будет иметь вид: p x e x x. Математическое ожидание случайной величины находим по формуле.4. M x x x x e dx xe dx.. В интеграле сделаем замену переменной: x t, получим M t t t t e dt te dt e dt.

24 4 Первый интеграл в скобках равен 0, потому что подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричны. Второй интеграл в скобках равен в силу формулы.8. Значит, M. Для отыскания дисперсии предварительно найдем по формуле.7 величину M. M x x x x e dx x e dx. В интеграле сделаем замену переменной: x t, получим t t t t M t e dt t e dt te dt e dt..0 Второй интеграл в.0 равен 0, потому что подынтегральная функция нечетна. Третий интеграл равен в силу формулы.8. Первый интеграл проинтегрируем по частям. t e t dt dv te u t, t dt, du dt v 0,e t 0,te t 0, С помощью правила Лопиталя доказывается, что 0,te 0. Поэтому с учетом формулы.8 получаем t e t dt 0, e t dt 0, Значит, из формулы.0 следует M 0,, t e t dt.. Теперь по формуле. находим D, 0,. Для отыскания функции распределения воспользуемся формулой.. F x x e t t dt x e t В последнем интеграле сделаем замену переменной t ; при этом dt d, нижний предел не изменится, а верхний будет равен x. В итоге функция распределения преобразуется к виду x 0 x 0, 0, 0, F x e d e d e d.. dt. В представлении. первый интеграл в силу формулы.8 равен 0, 0, e d 0, ; 0

25 0,t второй интеграл равен x, где x e dt функция 0 Лапласа. В итоге функция распределения примет окончательный вид: F x 0, x.. Если случайная величина непрерывна т. е. непрерывна ее функция распределения F x, то вероятность попадания в интервал, можно найти по формуле F F..3 В нашем случае вероятность выполнения неравенства, с учетом формулы. будет равна 0, 0, 0, 0 0,7 0,. Ответ: e, M, D 0,, F x 0, x, p 0,. Замечание. В процессе решения задачи было показано, что исследуемая случайная величина имеет нормальный закон распределения см. вид p x с математическим ожиданием a и средним квадратическим отклонением. Поэтому вместо формулы.3 можно использовать формулу a a. x БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК. Чудесенко, В. Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. Типовые расчеты : учебное пособие / В. Ф. Чудесенко. СПб. : Лань, с.. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие для вузов / В. Е. Гмурман. М. : Высш. образов., с. 3. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учебное пособие для вузов / В. Е. Гмурман. М. : Высш. образов., с. 4. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов / Н. Ш. Кремер. М. : ЮНИТИ, 007. с.. Королев, В. Ю. С. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для студентов вузов, обучающихся на экономических и инженерных специальностях / В. Ю. Королев М. : Проспект, с.. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций: учебное пособие / под ред. А. А. Свешникова СПб. : Лань, с.

26 7. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами : учебное пособие для втузов / под ред. А. И. Кибзуна М. : ФИЗМАТЛИТ, с. 8. Фадеева Л. Н. Математика для экономистов. Теория вероятностей и математическая статистика: курс лекций: учебное пособие для вузов / Л. Н. Фадеева. М. : ЭКСМО, с. ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица значений функции x x x x x x x x x 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,0 0,0 0,07 0,08 0,09 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0, 0, 0,7 0,8 0,9 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0, 0, 0,7 0,8 0,9 0,0000 0,0040 0,0080 0,00 0,00 0,099 0,039 0,079 0,039 0,039 0,0398 0,0438 0,0478 0,07 0,07 0,09 0,03 0,07 0,074 0,073 0,30 0,3 0,3 0,33 0,34 0,3 0,3 0,37 0,38 0,39 0,40 0,4 0,4 0,43 0,44 0,4 0,4 0,47 0,48 0,49 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0, 0, 0.7 0,8 0,9 0,79 0,7 0, 0,93 0,33 0,38 0,40 0,443 0,480 0,7 0,4 0,9 0,8 0,4 0,700 0,73 0, ,844 0,879 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0, 0, 0,7 0,8 0,9 0,70 0,7 0,7 0,73 0,74 0,7 0,7 0,77 0,78 0,79 0,80 0,8 0,8 0,83 0,84 0,8 0,8 0,87 0,88 0,89 0,7 0,9 0,34 0,37 0,389 0,4 0,44 0,48 0,7 0,49 0,80 0, 0,4 0,73 0,703 0,734 0,74 0,794 0,83 0,8 0,90 0,9 0,9 0,93 0,94 0,9 0,9 0,97 0,98 0,99,00,0,0,03,04,0,0,07,08,09,0,,,3,4,,,7 0,8,9 0,39 0,38 0,3 0,338 0,34 0,389 0,33 0,3340 0,33 0,3389 0,343 0,3438 0,34 0,348 0,308 0,33 0,34 0,377 0,399 0,3 0,0793 0,083 0,087 0,090 0,0948 0,0987 0,0 0,04 0,03 0,4 0,9 0,90 0,98 0,09 0,04 0,088 0,3 0,7 0,90 0,4 0,88 0,90 0,939 0,97 0,99 0,303 0,30 0,3078 0,30 0,333 0,343 0,3 0,38 0,3708 0,379 0,3749 0,3770 0,3790 0,380 0,3830

27 7 Продолжение таблицы x x x x x x x x,0,,,3,4,,,7,8,9,30,3,3,33,34,3,3,37,38,39,40,4,4,43,44,4,4,47,48,49 0,3849 0,389 0,3883 0,3907 0,39 0,3944 0,39 0,3980 0,3997 0,40 0,403 0,4049 0,40 0,408 0,4099 0,4 0,43 0,447 0,4 0,477 0,49 0,407 0,4 0,43 0,4 0,4 0,479 0,49 0,430 0,439,0,,,3,4,,,7,8,9,0,,4,,8,70,7,74,7,78,80,8,84,8,88,90,9,94,9,98 0,433 0,434 0,437 0,4370 0,438 0,4394 0,440 0,448 0,449 0,444 0,44 0,4474 0,449 0,4 0,43 0,44 0,473 0,49 0,408 0,4 0,44 0,4 0,47 0,48 0,499 0,473 0,47 0,4738 0,470 0,47,00,0,04,0,08,0,,4,,8.0.,4,,8,30,3,34,3, ,44,4,48,0,,4,,8 0,477 0,4783 0,4793 0,4803 0,48 0,48 0,4830 0,4838 0,484 0,484 0,48 0,488 0,487 0,488 0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 0,4909 0,493 0,498 0,49 0,497 0,493 0,4934 0,4938 0,494 0,494 0,4948 0,49,0,,4,,8,70,7,74,7,78,80,8,84,8,88,90,9,94,9,98 3,00 3,0 3,40 3,0 3,80 4,00 4,0,00 0,493 0,49 0,499 0,49 0,493 0,49 0,497 0,499 0,497 0,4973 0,4974 0,497 0,4977 0,4979 0,4980 0,498 0,498 0,4984 0,498 0,498 0,498 0,4993 0,499 0, , , , ,0000

28 Учебное электронное издание ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Методические указания к типовому расчету, часть Составители: Крашенинникова Лидия Александровна Маценко Петр Константинович Селиванов Владимир Владимирович Редактор М. В. Теленкова Объем данных 0, Мб. ЭИ 4. Печатное издание Подписано в печать..03. Формат 084/. Усл. печ. л.,3. Тираж 0 экз. Заказ 03. Ульяновский государственный технический университет 4307, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 3. ИПК «Венец» УлГТУ, 4307, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 3. Тел.:

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики УДК 57. Теория вероятностей: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск, 0. 4 с. (Заочная форма обучения/

Подробнее

Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике

Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет С. Г. Валеев С. В. Куркина Тестовые

Подробнее

ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ. Схема независимых испытаний Бернулли

ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ. Схема независимых испытаний Бернулли ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ Схема независимых испытаний Бернулли До сих пор мы в основном разбирали задачи нахождения вероятности события в единичном испытании, т.е. когда эксперимент производится один раз. Теперь

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине ОПД.Ф.9 «Теория вероятности» для специальности «Математика» курс III Экзамен - V семестр семестр

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине ОПД.Ф.9 «Теория вероятности» для специальности «Математика» курс III Экзамен - V семестр семестр МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Математический

Подробнее

A.В. Браилов С.А. Зададаев П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 1

A.В. Браилов С.А. Зададаев П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 1 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАКАДЕМИЯ). Кафедра «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная дисциплина «Теория вероятностей математическая статистика» содержат математические основы и математические методы, формирующие у студентов - химиков профессиональную культуру

Подробнее

А. А. Ивашко Теория вероятностей и математическая статистика

А. А. Ивашко Теория вероятностей и математическая статистика Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А. А. Ивашко Теория

Подробнее

ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ГОРОДСКОГО ХОЗЯЙСТВА ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (Для студентов заочной формы

Подробнее

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Методические указания

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Случайные векторы. Закон распределения. Условные распределения случайных величин. Числовые характеристики случайных векторов. Условные математические

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов «Страница» с методическими материалами http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Волгоградский филиал РАНХиГС

Подробнее

Рецензент Кандидат технических наук, доцент Е.В. Журавлева

Рецензент Кандидат технических наук, доцент Е.В. Журавлева УДК 510 (083) Составители: Н.К. Зарубина, Н.Б. Федорова Рецензент Кандидат технических наук, доцент Е.В. Журавлева Расчет вероятностей случайных событий: методические указания по выполнению лабораторной

Подробнее

Основы теории вероятностей Лекция 2

Основы теории вероятностей Лекция 2 Основы теории вероятностей Лекция 2 Содержание 1. Условная вероятность 2. Вероятность произведения событий 3. Вероятность суммы событий 4. Формула полной вероятности Зависимые и независимые события Определение

Подробнее

2. Содержание курса Лекции I семестр. Число часов

2. Содержание курса Лекции I семестр. Число часов 1. Цель и задачи курса Цель курса освоение математического аппарата. Задача курса выработка формального и логического мышления, выработка навыков решения формализованных математических задач.. Содержание

Подробнее

I. Определение вероятности и основные правила ее вычисления 1.1 Вероятностный эксперимент. Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента

I. Определение вероятности и основные правила ее вычисления 1.1 Вероятностный эксперимент. Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента I Определение вероятности и основные правила ее вычисления Вероятностный эксперимент Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента зависят в той или иной степени от комплекса условий, при которых

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная академия культуры и искусств» Кафедра информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра высшей математики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.

Подробнее

Выборки и их характеристики

Выборки и их характеристики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе и экономическому развитию Д.А. Зубцов 29

Подробнее

ТЕСТ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ (ТТКУ)

ТЕСТ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ (ТТКУ) 34.6 «Информационные системы и ВАРИАНТ 1 1. Среди купленных семи билетов три билета в партер. Наудачу взято 4 билета. Найти вероятность того что среди них будет три билета в партер.. При первичной поломке

Подробнее

Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика» Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

Ю. Е. Дудовская, О. В. Якубович, Ю. С. Боярович ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Ю. Е. Дудовская, О. В. Якубович, Ю. С. Боярович ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Ю. Е. Дудовская, О. В. Якубович, Ю. С. Боярович ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г. Тольятти ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ В.Е.Гмурман РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ М.: Высш. школа, 1979, 400 стр. В пособии приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения

Подробнее

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике Кафедра высшей математики Лекции по теории вероятностей и математической статистике Раздел. Теория вероятностей Предмет теории вероятностей изучение специфических закономерностей в массовых однородных

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Асимптотическая формула Пуассона.

Асимптотическая формула Пуассона. Асимптотическая формула Пуассона. ) Вероятность рождения белого тигра равна.. Найти вероятность того что среди рождённых тигрят окажется от до белых тигрят. Обозначим события: A - среди рождённых тигрят

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

Подробнее

Госкомсвязи РФ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А.БОНЧ-БРУЕВИЧА ФАКУЛЬТЕТ ВЕЧЕРНЕГО И ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

Госкомсвязи РФ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А.БОНЧ-БРУЕВИЧА ФАКУЛЬТЕТ ВЕЧЕРНЕГО И ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ Госкомсвязи РФ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А.БОНЧ-БРУЕВИЧА ФАКУЛЬТЕТ ВЕЧЕРНЕГО И ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ

Подробнее

Комплект методических указаний по выполнению практических работ по дисциплине ЕН.02 Теория вероятности и математической статистики

Комплект методических указаний по выполнению практических работ по дисциплине ЕН.02 Теория вероятности и математической статистики Областное государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Иркутский авиационный техникум» УТВЕРЖДАЮ Директор ОГБОУ СПО «ИАТ» В.Г. Семенов Комплект методических

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А.И. Луценко ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ для студентов курса специальности «экономическая

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Е. В. Морозова, С. В. Мягкова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Часть I ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

Подробнее

Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2

Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1. Классическое определение вероятности. Примеры. 2. Формула Байеса. 3. Каков смысл равенств а) А В С=А; б) АUВUС=А? ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 1. Схема с возвращением и без выборок,

Подробнее

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 А.В. Иванов,

Подробнее

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Тема 5 Перевод осуществлен при поддержке IT Akadeemia Содержание лекции 1 Введение 2 3 4 Следующий пункт 1 Введение 2 3 4 Проблема... Проблема... Проблема... ... и решение: Девочка

Подробнее

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Институт повышения квалификации и переподготовки Факультет переподготовки специалистов образования Кафедра

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Министерство образования Российской Федерации Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт Сведения об авторе В.П. Лисьев Теория вероятностей

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Липецкий государственный технический университет» Экономический факультет УТВЕРЖДАЮ Декан ЭФ Московцев В.В. 2011 г. РАБОЧАЯ

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Цели и задачи дисциплины: 2. Место дисциплины в структуре ООП: 3. Требования к результатам освоения дисциплины: ОК-5: ОК-15: ПК-31 ПК-32 знать уметь

Цели и задачи дисциплины: 2. Место дисциплины в структуре ООП: 3. Требования к результатам освоения дисциплины: ОК-5: ОК-15: ПК-31 ПК-32 знать уметь 1. Цели и задачи дисциплины: Целью дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» является успешное освоение студентами материала, закреплѐнного ФГОС высшего профессионального образования

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский гуманитарно-экономический институт Воронежский филиал С.И. Моисеев Теория вероятностей и математическая статистика Методические указания

Подробнее

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Институт управления» Экономический факультет Кафедра информационных технологий и прикладной математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Подробнее

{ξ < 1} независимыми в совокупности.

{ξ < 1} независимыми в совокупности. 1. Электричка состоит из 12 вагонов. Каждый из 7 пассажиров наудачу выбирает любой вагон. Найти вероятности следующих событий: A = {все пассажиры сели в первые три вагона}; B = {все пассажиры сели в разные

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО. Л. Е.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО. Л. Е. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО Л Е Бритвина ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебно-методическое пособие Великий Новгород

Подробнее

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙCТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра технической механики и материаловедения ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Теория вероятностей

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Кафедра «Высшая математика» Случайные величины СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Кафедра «Высшая математика» Случайные величины СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 19.3.2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Вариант 1 1. Дана непрерывная случайная величина Х: 0, х 0 F(х) = сх 3,0 < х 0,5 1, х > 0,5 Найти: а) коэффициент «с»; б) функцию плотности вероятности f(x); в) параметры распределения;

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 Пусть проводится конечное число n последовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие A может либо наступить (такую ситуацию назовём успехом) либо не

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Минобрнауки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина» (ФГБОУ ВО «СГУ им. Питирима Сорокина»)

Подробнее

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 1.1. Цели освоения дисциплины: научить студентов языку теории вероятностей и статистики; быть поставщиком понятий и результатов, необходимых в других математических

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложения Список литературы

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложения Список литературы ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.......................................... 5 Глава 1 Задачи Всероссийских олимпиад......................... 7 1.1. Олимпиадные задачи 1999 года.................... 7 1.2. Олимпиадные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности Классическое определение вероятности 1. Брошены 3 монеты. Найти вероятность того, что 1) A 1-я упала "гербом"вверх, 2) B выпало ровно 2 герба, 3) C выпало не больше 2 гербов. Ответ: P (A) = 1/2, P (B)

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составитель: О.А. Сергеева

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составитель: О.А. Сергеева Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет Кафедра теории вероятностей и математической статистики Н. И. Чернова Теория вероятностей

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И УКАЗАНИЯ Титульный лист методических рекомендаций и указаний, методических рекомендаций, методических указаний Форма Ф СО ПГУ 7.18.3/40 Министерство образования и науки Республики Казахстан Павлодарский государственный

Подробнее

Контрольная работа 1.

Контрольная работа 1. Контрольная работа...4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку. 4 y y y y y y 4 y y y 4 4 Это уравнение Бернулли. Сделаем замену: y y y 4 4 4 z y ; z y y Тогда

Подробнее

Практическое занятие 9. Несобственные интегралы

Практическое занятие 9. Несобственные интегралы СА Лавренченко wwwlwrncnkoru Практическое занятие 9 Несобственные интегралы Типовые расчеты, Несобственные интегралы -го рода Несобственный интеграл -го рода обозначается и определяется следующим образом:

Подробнее

Задание 1 (Китаева А.В.)

Задание 1 (Китаева А.В.) Задание 1 (Китаева А.В.) 1. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?.

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная программа «Теория вероятности и математическая статистика» разработана для специальности 1-21 06 01-01 «Современные иностранные языки» высших учебных заведений. Целью изучения

Подробнее

ОДОБРЕНА предметной (цикловой) комиссией

ОДОБРЕНА предметной (цикловой) комиссией Рабочая программа учебной дисциплины «Теория вероятности и математическая статистика» для специальностей среднего профессионального образования социально-экономического профиля: 080110 Банковское дело.

Подробнее

Учитель: Я говорю лишь то, что вам самим должно быть ведомо. Давай наставления только тому, кто ищет знаний.

Учитель: Я говорю лишь то, что вам самим должно быть ведомо. Давай наставления только тому, кто ищет знаний. Конфуций говорил: Учитель: Я говорю лишь то, что вам самим должно быть ведомо. Давай наставления только тому, кто ищет знаний. http://www-chemo.univer.kharkov.ua/ 1 Случайные величины и их характеристики.

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Тема 49 «Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона». Основные формулы комбинаторики.

Тема 49 «Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона». Основные формулы комбинаторики. Тема 49 «Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона». Основные формулы комбинаторики. Без повторений С повторениями A = n! n k! A = n Порядок важен P = A = n! P = A = n Pk, k,, k = (k + k + + k )! k! k! k!

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности. Формула полной вероятности. ) Качество изготовляемых деталей проверяется двумя контролёрами. Вероятность попадания детали к первому контролёру равна 0 ко второму 04. Вероятность считать деталь качественной

Подробнее

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Академия труда и социальных отношений Кафедра высшей и прикладной математики Потемкин Александр Владимирович Эйсымонт Инна Михайловна «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

Объём учебной дисциплины и виды учебной работы. Лекции Практические занятия. Курсовая работа Контрольная работа

Объём учебной дисциплины и виды учебной работы. Лекции Практические занятия. Курсовая работа Контрольная работа Программа учебной дисциплины составлена на основании учебного плана, утверждённого ректором училища «08» июля 011 года и требований Федерального Государственного образовательного стандарта высшего профессионального

Подробнее

НОУВПО ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)»

НОУВПО ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)» НОУВПО ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)» направление подготовки профили квалификация (степень) форма обучения

Подробнее

ОБЩИЙ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ОБЩИЙ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского» ОБЩИЙ КУРС ВЫСШЕЙ

Подробнее

Теория вероятностей. Примеры решений типовых задач и задания для студентов

Теория вероятностей. Примеры решений типовых задач и задания для студентов CoolReferat.com Кремер Н.Ш. Теория вероятностей Примеры решений типовых задач и задания для студентов В главе рассматриваются: ГЛАВА Основные понятия и теоремы теории вероятностей классификация событий;

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский технологический

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной математики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины Математика

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины Математика Департамент внутренней и кадровой политики Белгородской области Областное государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования ГУБКИНСКИЙ ГОРОНО-ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Теория вероятностей СГУПС. Учебное пособие для студентов факультета бизнес-информатики. Составил доцент С.А.Аракчеев

Теория вероятностей СГУПС. Учебное пособие для студентов факультета бизнес-информатики. Составил доцент С.А.Аракчеев СГУПС Теория вероятностей Учебное пособие для студентов факультета бизнес-информатики Составил доцент С.А.Аракчеев Новосибирск 00 Часть I. Случайные события Введение Теория вероятностей изучает закономерности

Подробнее

Интегрирование. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его применение.

Интегрирование. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его применение. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

* **е-mail:

*  **е-mail: Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 7 www.mai.ru/science/trudy/ УДК 59.4.00:5,643,5 Физическая модель и закон распределения отказов элементов и систем электроники Авакян А.А.*, Курганов А.В.** Научно-исследовательский

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» Кафедра прикладной математики 115-2012 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к курсовой работе по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА Одесская национальная академия связи им. А.С.Попова Кафедра высшей математики Ю.И. Бурименко, О.В. Синявский ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Славянский-на-Кубани государственный педагогический институт «Утверждаю»

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. 3 Условия реализации рабочей программы учебной дисциплины Требования к минимальному материально-техническому обеспечению 19

СОДЕРЖАНИЕ. 3 Условия реализации рабочей программы учебной дисциплины Требования к минимальному материально-техническому обеспечению 19 3 СОДЕРЖАНИЕ 1 Паспорт рабочей программы учебной дисциплины 1.1 Область применения программы. 1. Место дисциплины в структуре образовательной программы 1.3 Цели и задачи дисциплины требования к результатам

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный технический университет МАМИ Кафедра Прикладная и вычислительная математика Е.А. Коган ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Подробнее

Кафедра высшей математики. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Кафедра высшей математики. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ

ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 3-й семестр 2013 2014, спец. ИУ3, ИУ6 Виды аудиторных занятий и самостоятельной работы Сроки проведения или выполнения, недели Трудоемкость, часы Лекции

Подробнее