«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»"

Транскрипт

1 Академия труда и социальных отношений Кафедра высшей и прикладной математики Потемкин Александр Владимирович Эйсымонт Инна Михайловна «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для подготовки бакалавров по направлению «Экономика», очная форма обучения Москва г. 1

2 Теория вероятностей и математическая статистика: учебно-методический комплекс. Сост. Потемкин А.В., Эйсымонт И.М..: АТиСО, 2012 В учебно-методическом комплексе приводятся рекомендации по изучению дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», программа дисциплины, план семинарских занятий, методические указания по выполнению контрольных работ, практикум по решению задач, перечень вопросов к экзамену по дисциплине, список основной и дополнительной литературы, самостоятельная работа студентов, методические рекомендации для преподавателей. Учебно-методический комплекс предназначен для подготовки бакалавров по направлению «Экономика» очной формы обучения. Составители: кандидат физико-математических наук, доцент Потемкин А.В., кандидат физико-математических наук, доцент Эйсымонт И.М. Рецензент: кандидат физико-математических наук, профессор Тришин И.М. Утверждено Ученым советом АТиСО 2012 г. Академия труда и социальных отношений, 2012 г. Потемкин А.В., Эйсымонт И.М., 2012 г. 2

3 Оглавление Введение Цели и задачи дисциплины Требования к результатам освоения дисциплины Программа учебной дисциплины Учебно-тематический план дисциплины Содержание дисциплины по темам Методические указания (рекомендации) по изучению дисциплины Примерный план практических занятий Методические указания по выполнению контрольных работ Примерные варианты контрольных работ Перечень вопросов к экзамену по дисциплине Примеры билетов для устного экзамена Примерный вариант задания для письменного экзамена Список основной и дополнительной литературы Основная литература Дополнительная литература Самостоятельная работа студентов Методические рекомендации для преподавателей

4 ВВЕДЕНИЕ Настоящий УМК разработан на основе Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки Экономика (квалификация (степень) "бакалавр") (утв. приказом Министерства образования и науки РФ от 21 декабря 2009 г. N 747) (с изменениями от 31 мая 2011 г.) и рассчитан на подготовку бакалавров в рамках действующих учебных планов Академии. С одной стороны, современную математику можно определить как науку об абстрактных структурах, выражающих глубокие и сложные количественные и качественные отношения объективной реальности. Математизация теории один из самых древних путей синтеза научных знаний, поскольку она обеспечивает на основе абстрактности математических понятий общность научных принципов. Эвристическое взаимодействие качественных и количественных, содержательных и формальных методов исследования составляет основу математизации научного знания. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки студента и элементом общей культуры. С другой стороны, методы математической статистики, о которых пойдет речь в рамках дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», являются необходимым для экономистов инструментом работы с экономической информацией. Учебно-методический комплекс составлен на основе учебников: 1. Геворкян П.С., Потемкин А.В., Эйсымонт И.М. Теория вероятностей и математическая статистика, М.: «Экономика» Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, Возможно использование учебника предыдущих лет издания. 4

5 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ Преподавание дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» строится исходя из необходимого уровня базовой подготовки бакалавров экономики. Цель изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» состоит в освоении студентами основных вероятностных и математикостатистических понятий, формировании и развитии логического и алгоритмического мышления; в творческом овладении основными методами и технологиями решения задач по теории вероятностей и математической статистике; в обучении студентов моделировать, анализировать и решать практические экономические задачи. Основной принцип, лежащий в основе изучения дисциплины, состоит в повышении уровня фундаментальной математической подготовки студентов с усилением ее прикладной экономической направленности. Рассматриваемые в дисциплине вероятностные и математико-статистические методы используются при изучении массовых совокупностей наблюдаемых явлений и обработке их результатов, в выявлении закономерностей случайных явлений. Теория вероятностей и математическая статистика имеет важное методологическое значение в познавательном процессе, в выявлении общей закономерности, служит основной индуктивно-дедуктивного умозаключения. Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» является базовой не только для предметов естественнонаучного цикла, но также для таких курсов как «Исследование операций в экономике», «Эконометрика», «Методы оптимальных решений», «Макроэкономика», «Микроэкономика», «Логистика», «Экономическая статистика», «Финансовая математика» и др. 5

6 2. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих профессиональных компетенций: ОК-1, ОК-6, ОК-12, ОК-13, ПК-1, ПК-4, ПК-5, ПК- 6, ПК-10. В ходе изучения дисциплины ставятся задачи: освоение основ вероятностных и математико-статистических методов исследования и решения математически формализованных задач; выработка умения моделировать реальные экономические процессы; развитие логического и алгоритмического мышления студентов; повышение уровня математической культуры студентов. В результате изучения дисциплины студенты должны: а) знать основы теории вероятностей и математической статистики, используемые в экономических исследованиях; б) уметь применять основные вероятностные и математико-статистические методы решения экономических задач; в) владеть навыками применения современного математико-статистического инструментария для решения экономических задач; методикой построения, анализа и применения статистических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов. 6

7 3. ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Для освоения дисциплины «Тория вероятностей и математическая статистика» учебным планом предусмотрены лекции (36 час.), практические занятия (36 час.), самостоятельная работа студентов (72 час.) и итоговая аттестация (36 час.). Предусмотрены следующие виды контроля знаний студентов: Оперативный контроль. Оперативный контроль проводится с целью определения качества усвоения лекционного и практического материала. Проводится в форме проверки домашних заданий и опроса студентов еженедельно. Для контроля усвоения теоретического материла целесообразно по усмотрению лектора проведение коллоквиума (в середине семестра) в устной или письменной форме. Рубежный контроль. Проводится в форме двух контрольных работ (КР): аудиторной по теории вероятностей (темы 1-7) и домашней по математической статистике (темы 8-11). Итоговый контроль. Для контроля усвоения данной дисциплины учебным планом предусмотрен экзамен в третьем семестре в устной или письменной форме. 7

8 3.1. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ Название темы Теория вероятностей 1 Введение в теорию вероятностей, случайные события Всего часов Лекции Практические занятия Самостоятельна я работа Основные теоремы теории вероятностей Повторные независимые испытания Дискретные случайные величины и их характеристики 5 Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения 6 Закон больших чисел и ЦПТ Двумерные (n-мерные) случайные величины Математическая статистика 8 Выборочный метод. Общие вопросы Оценка доли признака и генеральной средней Элементы теории корреляции Элементы статистической проверки гипотез Всего часов Зачетные единицы Экзамен 8

9 3.2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ПО ТЕМАМ В этой части пособия по каждой теме приводится учебно-программный материал, который должен изучить студент со ссылками на рекомендованный учебник [1]. Раздел I. Теория вероятностей Тема 1. Введение в теорию вероятностей, случайные события (6 час.) Основные понятия теории вероятностей. Классификация событий. Операции над событиями. Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности событий. Понятие об аксиоматическом определении вероятности. Свойства вероятностей событий. Элементы комбинаторики. Непосредственный подсчет вероятностей. ([1], ). Тема 2. Основные теоремы теории вероятностей (10 час.) Теорема сложения вероятностей и ее следствия. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. ([1], ). Тема 3. Повторные независимые испытания (8 час.) Последовательность повторных независимых испытаний. Формула Бернулли. Асимптотические формулы. Формула Пуассона. Локальная теорема Муавра- Лапласа. Функция Гаусса f(x) и ее свойства. Интегральная теорема Муавра-Лапласа и ее следствия. Функция Лапласа Фх ( ) и ее свойства. ([1], ). Тема 4. Дискретные случайные величины и их характеристики (8час.) Понятие случайной величины и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Арифметические операции над случайными величинами. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, их свойства. Функция распределения случайной величины, ее свойства и 9

10 график. Основные законы распределения дискретных случайных величин: биномиальный закон распределения и закон Пуассона; их математические ожидания и дисперсии; практическое значение. Закон распределения частости появления события А в n повторных независимых испытаниях, ее математическое ожидание и дисперсия. ([1], ). Тема 5. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения (10 час.) Определение непрерывной случайной величины. Вероятность отдельно взятого значения непрерывной случайной величины. Плотность вероятности, ее свойства и график. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Основные непрерывные законы распределения: равномерный, показательный и нормальный законы распределения. Практическое значение нормального закона распределения; теоретико-вероятностный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров. Выражение плотности нормального закона распределения через функцию Гаусса. Функция распределения нормально распределенной случайной величины и ее выражение через функцию Лапласа. ([1], ). Тема 6. Закон больших чисел и ЦПТ (4 час.) Лемма Чебышева. Неравенство Чебышев. Сущность закона больших чисел. Теорема Чебышева и ее следствия: а) для случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями; б) для частости события в n повторных независимых испытаниях (теорема Бернулли). Понятие о центральной предельной теореме (теорема Ляпунова). ([1], ). Тема 7. Двумерные (n-мерные) случайные величины (4 час.) Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Условные распределения. Ковариация и коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции. Двумерное нормальное распределение. Условное математическое ожидание и условная дисперсия. ([1], ). 10

11 Раздел II. Математическая статистика Тема 8. Выборочный метод. Общие вопросы (2 час.) Сплошные и выборочные наблюдения. Генеральная и выборочная совокупности. Собственно-случайная выборка с повторным и бесповторным отбором членов. Основные задачи теории выборки. Вариационный ряд как результат первичной обработки результатов опыта (наблюдений). Дискретный и интервальный вариационные ряды. Эмпирические функции распределения и плотности распределения. Полигон частот и гистограмма. Статистические характеристики вариационных рядов. Средняя арифметическая, мода, медиана и дисперсия вариационного ряда. Понятие о точечной оценке параметров генеральной совокупности по выборке. Свойства оценок (несмещенность, состоятельность, эффективность). ([1], ). Тема 9. Оценка доли признака и генеральной средней (8 час.) Выборочная доля и выборочная средняя как оценки генеральных доли и генеральной средней; их несмещенность и состоятельность. Смещенность выборочной дисперсии как оценки генеральной дисперсии. Интервальные оценки параметров. Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности (надежности) оценки. Средняя квадратическая ошибка собственно-случайной выборки при оценке генеральной доли и средней при повторном и бесповторном отборе членов. Формулы расчета доверительной вероятности. Объем выборки. ([1], ). Тема 10. Элементы теории корреляции (8 час.) Функциональная и статистическая зависимости. Корреляционная таблица. Групповые средние. Понятие корреляционной зависимости. Основные задачи теории корреляции: определение формы и оценка тесноты связи. Виды корреляционной связи (парная и множественная, линейная и нелинейная). Линейная корреляция. Уравнения прямых регрессии для парной корреляции. Определение параметров прямых регрессии методом наименьших квадратов. Выборочный коэффициент корреляции, его свойства. ([1], ). 11

12 Тема 11. Элементы статистической проверки гипотез (4 час.) Статистическая гипотеза и статистический критерий. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Принцип практической уверенности. Оценка параметров закона распределения по выборочным данным. Понятие о 2 критериях согласия. χ критерий Пирсона. Оценка достоверности (значимости) коэффициента корреляции. t-критерий Стьюдента. ([1], ) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ (РЕКОМЕНДАЦИИ) ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ Методические указания составлены с ориентацией на учебник [1]. По теме 1 нужно изучить лекции 1, 2, 3 ( 3.1, 3.2) [1]. Изучение этой темы необходимо начинать с таких основных фундаментальных понятий как испытание (опыт, эксперимент) и результат испытания (событие). Следует рассмотреть определение достоверного, невозможного и случайного события. Далее необходимо ввести классификацию случайных событий. Рассмотреть определение равносильных, единственно возможных, равновозможных, совместных и несовместных событий. Определить полную группу событий и дать определения противоположного события и пространства элементарных исходов. Следует четко усвоить основные операции над событиями их сумму и произведение. Если (А + В) событие, состоящее в появлении хотя бы одного из данных событий (т.е. наступления либо события А, либо события В, либо обоих событий вместе), то АВ представляет собой событие, состоящее в совместном появлении двух событий (т.е. наступления и события А, и события В). Изучение операций над событиями целесообразно сопровождать их графической 12

13 интерпретацией с помощью диаграмм Венна. Особое внимание необходимо уделить свойствам этих операций. Вероятность события вводится как численная мера степени объективной возможности наступления события. Рассматриваются несколько способов ее определения. Следует обратить внимание на то, что при классическом определении вероятность события определяется как доля случаев, благоприятствующих данному событию, и оно может быть применено в тех случаях, когда число элементарных исходов конечно и все они равновозможны. При статистическом определении вероятность это доля тех фактически произведенных испытаний, в которых это событие появилось. При этом предполагается, что число испытаний достаточно велико, а события исходы тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий, и обладают устойчивостью относительных частот. Если число исходов бесконечно, то следует использовать геометрическое определение вероятности. Недостатки каждого определения компенсируются строгим ее математическим определением аксиоматическим определением вероятности. Теоретико-множественная трактовка основных понятий и аксиоматическое построение теории вероятностей являются достаточно сложными вопросами и изучаются только на ознакомительном уровне. Для решения задач на непосредственный подсчет вероятностей необходимо овладеть элементами комбинаторики, в первую очередь, определением числа размещений m m A n, числа сочетаний Cn и числа перестановок P n (без повторений). По теме 2 нужно изучить лекцию 3 ( 3.3, 3.4) и лекцию 4 [1]. Основными теоремами данной темы являются теоремы сложения и умножения вероятностей. Следует четко знать, что вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей (т.е. Р( А + В) = Р( А) + Р( В) ), а вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей (т.е. Р( А В) = Р( А) Р( В) ). Завершают тему формулы полной вероятности и Байеса, являющиеся следствием теорем сложения и умножения вероятностей. Эти формулы объединяет 13

14 то, что они применяются в случае, когда данное событие А может произойти только при условии появления одной из гипотез Н 1, Н 2,, Н n, имеющих ненулевые вероятности и образующих полную группу событий. В формуле полной вероятности ищется вероятность события А (безотносительно к рассматриваемой гипотезе), т.е. P( A ). Формула Байеса позволяет произвести количественную переоценку априорных вероятностей гипотез ( ) 12 P H, i =,,...,n, известных до испытания, после того, как событие А произошло, т.е. найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез ( ) i P H. Особое внимание следует уделить задачам по данной теме. Решение каждой из них должно сопровождаться предварительным логическим анализом условия, формулировкой и обозначением искомого события, выявлением его логической связи с другими, более простыми событиями. Этот анализ выявит применимость в данной задаче той или иной формулы или теоремы (теорем сложения и умножения вероятностей, формул полной вероятности, Байеса и т.п.) и позволит обосновать дальнейшие операции, связанные с расчетом вероятностей. По теме 3 нужно изучить лекцию 5 [1]. В этой теме рассматривается схема Бернулли последовательность n повторных независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с постоянной вероятностью Р(А) = р. Результат испытаний появление т раз события А, которое чередуется с появлением противоположного события A в любом порядке (n m) раз. При этом необходимо уметь определять вероятности того, что: а) событие А появится точно т раз (вероятность Р m,n ); б) событие А появится не менее или не более данного числа а раз (вероятности P n (m a) или Р n (m a)); в) число т появлений события А заключено в границах от а до b (включительно), т.е. вероятность Р n (a m b). Целесообразно отдельно рассмотреть понятие частости т/п или относительной частоты появления события А. A i 14

15 При решении задач темы следует уяснить, что нужно понимать под испытанием и событием А. Далее необходимо сформулировать вопрос задачи в виде условий, налагаемых на число т наступлений события или частость т/п. Затем перейти к записи условия задачи в терминах и обозначениях схемы повторных независимых испытаний, к выбору подходящей расчетной формулы и вычислительной схемы. b Расчет вероятностей Pn ( a m b) = Pmn, можно производить по точной формуле Бернулли (если п небольшое число) и по асимптотическим формулам, если п велико. Следует обратить внимание на условия, при которых используются асимптотические формулы: формула Пуассона применяется, если п велико, р мала, так, что λ=np 10; локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа если npq 20. Следует рассмотреть задачи, которые могут быть решены с помощью m= a следствий из интегральной теоремы Муавра-Лапласа. По теме 4 нужно изучить лекции 6-7 [1]. В этой теме рассматривается одно из фундаментальных понятий теории вероятностей понятие случайной величины. Под случайной величиной понимается величина, которая в результате испытания принимает то или иное числовое значение (заранее неизвестное), из некоторого множества своих возможных значений. Более строго, случайная величина есть функция, заданная на множестве элементарных исходов. Наиболее полным описанием случайной величины является ее закон распределения, т.е. всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. При решении задач случайная величина, как и случайное событие, подлежит четкому определению. Следует знать, что событие { ξ = } состоит в том, что случайная величина ξ приняла одно из своих возможных значений x i, и является случайным событием, вероятность которого равна сумме вероятностей тех x i 15

16 элементарных исходов, при наступлении которых значение случайной величины ξ равно x i. В данной теме рассматриваются дискретные случайные величины (ДСВ), характеризуемые конечным или бесконечным, но счетным множеством возможных значений х i и соответствующими им вероятностями р i =Р(ξ=х i ). Большинство задач темы связано с построением для заданной случайной величины закона распределения, чаще всего представленного в виде таблицы. величины; формул; Общая схема решения задач на построение законов распределения включает: 1) введение и четкое описание пространства элементарных исходов случайной 2) описание множества ее возможных значений x 1, x 2,, x i,, x n ; 3) вычисление вероятностей событий { ξ = } с помощью основных теорем и 5) проверка правильности составленного закона распределения с помощью равенства p = 1. n i = 1 i Особое внимание следует обратить на числовые характеристики случайной величины, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, в частности, на математическое ожидание и дисперсию, а также их свойства. По теме 5 нужно изучить лекции 8-10 [1]. Функция распределения случайной величины одно из фундаментальных понятий теории вероятностей, поскольку является универсальным описанием любой случайной величины. Функция распределения F(x) представляет собой вероятность того, что случайная величина ξ примет значение, меньшее х, т.е. F ( x) = P( ξ < x). Необходимо знать свойства функции распределения F(x) и плотности вероятности φ( x ) случайной величины и уметь изображать их графически. Из непрерывных случайных величин особое значение имеет нормальный закон распределения. Необходимо знать теоретико-вероятностный смысл его x i 16

17 параметров, выражение функции распределения F N (x) через функцию Лапласа Ф(х), свойства нормально распределенной случайной величины, правило «трех сигм». Важно четко представлять, что нормальный закон распределения является предельным законом, к которому при некоторых весьма часто встречающихся условиях приводит совокупное действие (сумма) п независимых случайных величин X 1, X 2,, X n при n. По теме 6 нужно изучить лекцию 11 [1]. Данная тема важна для понимания методов математической статистики. Она включает ряд теорем, устанавливающих при определенных условиях устойчивость частости (относительной частоты) и средней арифметической (теоремы Бернулли, Чебышева и др.). При изучении каждой из них важно уяснить условия их применимости. Целесообразно рассмотреть понятие «сходимости по вероятности». При использовании леммы и неравенства Чебышева в процессе решения задач необходимо учитывать, что: 1) приведенные неравенства дают не точное значение соответствующей вероятности, а лишь ее оценку снизу или сверху (например, вероятность не меньше данного числа); 2) неравенство Чебышева оценивает вероятность отклонения случайной величины ξ от ее математического ожидания Mξ = a. По теме 7 нужно изучить лекцию 12 [1]. В этой теме обобщается понятие случайной величины, вводится понятие многомерной (n-мерной) случайной величины, условных распределений и их числовых характеристик. Так как математические ожидания и дисперсии случайных величин ξ и ζ недостаточно полно характеризуют двумерную случайную величину (ξ, ζ), рассматриваются ковариация и коэффициент корреляции случайных величин, которые позволяют выявить степень зависимости между ξ и ζ. Завершается тема понятием двумерного нормального закона распределения. Следует обратить внимание на то, что в случае двумерного нормального закона зависимости условных математических ожиданий M ( ζ ) от х и M ( ξ ) от у, т. е. x y 17

18 нормальные регрессии ζ по ξ и ξ по ζ, всегда линейны, а условные дисперсии D ( ζ ) и D ( ξ ) постоянны и не зависят от значений х и у соответственно. y По теме 8 нужно изучить лекцию 13 [1]. Прежде чем непосредственно изучать выборочный метод, необходимо ознакомиться с простейшей статистической обработкой опытных данных; построением вариационных рядов, вычислением их числовых характеристик. Вариационный ряд является статистическим аналогом (реализацией) распределения признака (случайной величины), а его числовые характеристики средняя арифметическая x и дисперсия s 2 аналогами соответствующих числовых характеристик случайной величины математического ожидания Mξ и дисперсии Dξ. Точно так же понятие частости (относительной частоты) w для вариационного ряда аналогично понятию вероятности p для случайной величины. Необходимо четко знать формулы вычисления числовых характеристик ряда. По теме 9 нужно изучить лекции [1]. Выборочный метод широко применяется на практике. Однако значение этой темы значительно шире, поскольку концепция выборки лежит в основе методологии математической статистики. Соотношение между характеристиками выборочной и генеральной совокупностей есть соотношение между опытными данными (результатами наблюдений) и теоретической моделью. Чтобы по данным выборки иметь возможность судить о генеральной совокупности, она должна быть отобрана случайно. Поэтому выборочные характеристики выборочные средняя x, доля w и дисперсия s 2 величины 2 случайные в отличие от их аналогов в генеральной совокупности x 0, p и σ величин неслучайных. Необходимо знать свойства выборочных оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность. Уметь обосновать несмещенность и состоятельность выборочных средней и доли. При этом следует помнить, что основное требование, предъявляемое к выборочной оценке θ n заключается в том, чтобы ее рассеяние относительно оцениваемого параметра θ, т.е. M ( θ θ ) 2 было n x 18

19 2 2 минимальным. Для несмещенной оценки, для которой M ( θ θ ) = D( θ ) = σ, это требование означает ее эффективность. Но даже «наилучшая» оценка является лишь приближенным значением неизвестного параметра и, будучи величиной случайной, может существенно отличаться от самого параметра. Поэтому наряду с точечной рассматривают интервальную оценку параметра, т.е. такой числовой интервал, который с заданной доверительной вероятностью (надежностью) накрывает неизвестное значение параметра. Программой предусматривается построение доверительного интервала для генеральной средней и генеральной доли собственно-случайных выборок (повторной и бесповторной). Необходимо усвоить три типа задач на выборку, сводящиеся к определению предельной ошибки выборки или границ доверительного интервала, надежности оценки и объема выборки. При решении задач на нахождение объема выборки следует учесть, что это не просто задачи на вычисление неизвестной величины n из формулы, выражающей предельную ошибку выборки через дисперсию признака. Ведь обычно объем выборки надо знать до проведения выборочного наблюдения, но в этом случае 2 неизвестны не только дисперсии признака σ или рq, но даже их оценки. Поэтому 2 вместо неизвестных значений σ или рq берут выборочные характеристики s 2 или w(1 w) предшествующего исследования в аналогичных условиях, т.е. полагают, что σ s, p w. Если никаких сведений о σ или р нет, то в качестве σ или р используют их выборочные оценки по специальной пробной выборке небольшого объема и находят объем основной выборки. При оценке генеральной доли р вместо проведения пробной выборки можно в формулах объема выборки произведение рq=р(1 р) заменить его максимальным значением, равным 0,25. Если по условию задачи объем бесповторной выборки значительно меньше объема генеральной совокупности или генеральная совокупность бесконечна, то расчет необходимых характеристик проводят по формулам для повторной выборки. По теме 10 нужно изучить лекцию 16 [1]. Корреляционный анализ наряду с выборочным методом представляет собой важнейшее прикладное направление математической статистики. Предметом его n n n 19

20 исследования является связь (зависимость) между различными варьирующими признаками (переменными величинами), при которой каждому значению одной переменной соответствует не определенное значение другой (как это имеет место при функциональной зависимости), а распределение другой переменной с определенным условным математическим ожиданием. При изучении темы следует уяснить сущность статистической и ее частного случая корреляционной зависимости. Конечная цель корреляционного анализа получение уравнений прямых регрессий, характеризующих форму зависимости, и вычисление коэффициента корреляции, определяющего тесноту (силу) связи, если она линейная. Расчет производится в два основных этапа. На первом обрабатывают табличные данные для нахождения величин выборочных средних x, y, дисперсий s, s и выборочной ковариации. 2 2 x y µ Второй этап вычисление основных характеристик корреляционной зависимости коэффициентов регрессии b yx, b xy коэффициента корреляции r и оценка их достоверности. При решении задачи на корреляционную зависимость следует учесть, что прямые регрессии должны быть построены на одном чертеже с эмпирическими линиями (ломаными) регрессии, причем они должны образовывать с осью Оx либо только острые, либо только тупые углы и пересекаться в точке ( x, y ). По теме 11 нужно изучить лекцию 17 [1]. Проверка статистических гипотез один из наиболее часто используемых на практике разделов математической статистики. Необходимо усвоить понятия статистическая гипотеза и статистический критерий, ошибки 1-го и 2-го рода, уровень значимости и мощность критерия. Важнейшим вопросом темы является построение теоретического закона распределения (выбор типа закона и оценка его параметров) по опытным данным и оценка его расхождения (согласия) с эмпирическим распределением. Необходимо уяснить суть критериев согласия, позволяющих установить (на данном уровне значимости), объясняются ли расхождение между эмпирическим и теоретическим 20

21 распределениями лишь случайными причинами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно. 2 Необходимо знать критерий согласия χ -Пирсона и t-критерий Стьюдента и схемы их применения. Все расчеты должны вестись с разумной степенью точности, используя правила приближенных вычислений, сохраняя в промежуточных вычислениях на 1-2 десятичных знака больше, чем в окончательном ответе (правило запасной цифры). 21

22 4. ПРИМЕРНЫЙ ПЛАН ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ Занятие 1. Пространство элементарных исходов, операции над событиями 1. Подбросили две монеты. a) Описать пространство элементарных исходов. I O O P P b) Выразить через элементарные исходы следующие события: A 1 «выпали два орла» ( ω 1 ) A 2 «выпал один орел» ( ω, ω ) 1 2 A 3 «выпал хотя бы один орел» A 4 «на первой монете выпал орел» A 5 «не выпало ни одного орла» A 6 «на второй монете не выпал орел» A 7 «выпало не более одного орла» c) Рассмотреть различные пересечения и объединения этих событий. 2. Подбросили три монеты. a) Описать пространство элементарных исходов. b) Привести примеры нескольких полных групп событий. II O P O P c) Привести примеры совместных и несовместных, достоверных и невозможных, противоположных и эквивалентных событий. d) Привести примеры пересечений и объединений событий. 3. В магазине есть 8 телефонов нужной модели, три из них имеют дефекты. Продавец может показать Вам не более трех телефонов. a) Описать пространство элементарных исходов. b) В каких случаях Вы купите телефон? В каких случаях Вы не купите телефон? В каком случае придется посмотреть два телефона? 4. Среди двадцати одинаковых по внешнему виду тетрадей четыре в линейку, а остальные в клетку. Случайным образом выбирают четыре тетради. ω ω ω ω

23 a) Описать пространство элементарных исходов. b) Описать события: все тетради в клетку; хотя бы одна тетрадь в клетку; тетрадей в клетку и в линейку поровну Задачи 1 и 2 схема полного перебора, задача 3 схема «до первого появления», задача 4 выборка. Домашнее задание. Придумать самостоятельно по одному примеру на каждую схему. Для одного из примеров: a) Описать пространство элементарных исходов. b) Привести примеры нескольких полных групп событий. c) Привести примеры совместных и несовместных, достоверных и невозможных, противоположных и эквивалентных событий. d) Привести примеры пересечений и объединений событий. Занятие 2. Классическое определение вероятности. 1. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 кубика одного размера. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь ровно две окрашенные грани. 2. Из 28 костей домино наугад берем одну кость. Какова вероятность того, что: a) взяли дупель, b) на кости есть единица, c) сумма чисел равна 8, d) взяли кость «4:4»? 3. Подбросили три монеты. Найти вероятности следующих событий: A = «первая монета выпала орлом», B = «выпало ровно две решки», C = «выпало не более двух решек». 4. Брошены две игральные кости. Пусть событие A состоит в том, что выпавшая сумма очков нечетна, а событие B в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица. a) Описать пространство элементарных исходов. b) Найти вероятности событий A и B. c) Описать события A B, B A и B, A найти их вероятности. 23

24 5. Даны отрезки длиной 2, 5, 6 и 10 см. Какова вероятность того, что из трех наудачу взятых отрезков можно построить треугольник? Домашнее задание. 1) [2] ) Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на кубиках: а) равна 10; б) больше 10; в) равна 13? 3) Брошены четыре игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков. Занятие 3. Геометрическое определение вероятности 1. (Задача о встрече) Два лица A и B договорились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. С какой вероятностью встретятся A и B, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа? 2. В круг радиуса 120 наудачу бросаются 2 точки. Найти вероятность того, что расстояние от центра круга до ближайшей точки будет не меньше Внутрь квадрата, сторона которого равна 2, наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что точка окажется внутри круга, вписанного в квадрат. Домашнее задание. [2] 1.51, Занятие 4. Классические вероятности. Выборки 1. В ящике 9 белых и 2 черных шара. Найдите вероятность того, что из двух вынутых наудачу шаров один белый, а другой черный. Вынутый шар в урну не возвращается. 2. В группе учатся 9 юношей и 16 девушек. Для дежурства случайным образом отобраны три студента. Найдите вероятность того, что среди дежурных будет хотя бы одна девушка. 3. В магазине есть 8 телефонов нужной модели, три из них имеют дефекты. Какова вероятность того, что Вы купите телефон, если продавец может показать Вам не более трех телефонов? Домашнее задание. [2] 1.40, 1.43, 1.64, 1.69,

25 Занятие 5. Условные вероятности. Формула полной вероятности и формула Байеса 1. Ребенок играет буквами разрезной азбуки. У него по три буквы К и О и по две буквы Л и Б. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд семи букв получится слово КОЛОБОК? 2. События A, B и C независимы; P(A) = 0,2, P(B) = 0,5 и P(C) = 0,7. Найдите вероятность события A+B при условии, что наступило событие B+C. 3. В торговую фирму поступили телевизоры от трех фирм изготовителей в отношении 1:3:6. Телевизоры, поступающие от 1-ой фирмы, требуют ремонта в течениие гарантийного срока в 10% случаев, от 2-ой и 3-ей соответственно 8% и 6% случаев. а) Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока. б) Поступивший в торговую фирму телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. Найти вероятность того, что он поступил от 3-ей фирмы изготовителя. Домашнее задание. [2] 1.72, Занятия 6-7. Повторные независимые испытания 1. Игральную кость подбросили три раза. Какова вероятность того, что при этом шестерка: а) не выпадет ни разу; б) выпадет, по крайней мере, два раза? 2. Вероятность искажения сигнала при передаче по каналу связи равна 0,003. Какова вероятность того, что из 1000 сигналов будут искажены: а) четыре сигнала; б) хотя бы три сигнала. 3. В среднем 10% вкладчиков некоторого отделения Сбербанка пенсионеры. Найти вероятность того, что из 300 вкладчиков этого банка: а) пенсионерами являются 40; б) пенсионеров не более 35 человек. 4. Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,97, можно было утверждать, что доля выпадений шестерки отличается от 1/6 не более, чем на 0,025 (по абсолютной величине)? 25

26 5. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 заключено число появлений шестерки при 270 подбрасываниях игральной кости. Домашнее задание. [2] 2.16, 2.20, 2.27, Занятия 8-9. Дискретные случайные величины 1. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, построить функцию распределения. 2. В партии из 5 деталей 3 бракованные. Для проверки наудачу отобрали три детали. Составить закон распределения числа бракованных деталей среди отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, построить функцию распределения. 3. Абитуриент сдает вступительный экзамен. Вероятность того, что он правильно решит первую задачу, равна 0,7 и уменьшается на 0,1 для каждой следующей задачи. Составить закон распределения числа решенных задач, если в билете всего три задачи. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, построить функцию распределения. 4. Два стрелка сделали по два выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго 0,7. Составить закон распределения общего числа попаданий в мишень. Домашнее задание. [2] 3.41, 3.26, 3.31, Занятие 10. Непрерывные случайные величины 1. Функция распределения имеет вид: 0 2 F ( x) = 3x + 2x 1 при при при x 0, 0 < x < a, x a. Найти: 1) a; 2) ϕ ( x); 3) ξ; 2. Плотность распределения имеет вид: a ϕ ( x) = 0 M 4) D ξ. при x [ 2;7 ], в остальных случаях. 26

27 Найти: 1) a; 2) M ξ; 3) { 1 ξ 5}; Домашнее задание. [2] 3.65, Занятие 11. Нормальный закон распределения P 4) (x). 1. Случайная величина ξ имеет нормальный закон распределения с параметрами a и σ, причем P { ξ > 2 } = 0,5, а P { ξ 3,3} = 0,9032. Найти: 1) ξ; 2. [2] 4.20, M 2) ξ; D 3) P { 1 ξ 4}. Домашнее задание. [2] 4.19, Занятие 12. Закон больших чисел. Лемма и неравенство Чебышева 1. Суточный расход воды в некотором населенном пункте это случайная величина со средним квадратическим отклонением л. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход воды в этом населенном пункте отклонится от своего среднего значения не более чем на 25000л. 2. [2] 6.10, Домашнее задание. [2] 6.11, Занятие 13. Двумерные случайные величины 1. Закон распределения двумерной случайной величины (ξ, ζ) задан таблицей Найти: ζ ξ ,05 0,15 0,25 1 0,25 0,1 0,2 a) Законы распределения одномерных случайных величин ξ и ζ; b) Условные законы распределения случайной величины ξ при условии ζ=1 и случайной величины ζ при условии ξ = 1; c) Ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин ξ и ζ. Домашнее задание. [2] 5.10, Занятие 14. Вариационные ряды и их числовые характеристики [2] 8.11 Домашнее задание. [2] F ξ 27

28 Занятие 15. Интервальные и точечные оценки параметров генеральной совокупности [2] Домашнее задание. Решение задачи 1 контрольной работы 2. Занятия Элементы теории корреляции [2] 12.14, 12.16, Домашнее задание. Решение задачи 3 контрольной работы 2. Занятие 18. Проверка статистических гипотез [2] 10.33, Домашнее задание. Решение задачи 2 контрольной работы 2. 28

29 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ По дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» проводятся две контрольные работы. Первая контрольная работа проводится в аудитории после изучения первого раздела дисциплины теории вероятностей. В контрольную работу включаются задачи тех типов, которые были разобраны на предшествующих практических занятиях. Первую часть следующего за аудиторной контрольной работой занятия необходимо посвятить тщательному ее разбору с акцентом на наиболее типичных ошибках. Вторая контрольная работа является домашней. Прежде всего, это связано с тем, что решение задач по математической статистике требует большого объема вычислений, которые дома можно выполнить с помощью, например, Microsoft Excel. Домашняя контрольная работа оформляется в отдельной тетради или распечатывается и сдается преподавателю на проверку. Преподавателю целесообразно снабдить проверенную работу подробной рецензией (по аналогии с курсовой работой). Контрольные работы являются очень важной формой промежуточной аттестации обучающихся. Полученные результаты, как правило, служат хорошими сигналами для всех заинтересованных в конечном результате сторон ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Аудиторная контрольная работа 1 Аудиторная контрольная работа 1 проводится по материалу первого раздела курса «Теория вероятностей» и охватывает все темы. Рекомендуется следующая структура заданий: Задача 1. Основные теоремы теории вероятностей (тема 2). Задачи на непосредственный подсчет вероятности; на теоремы сложения и умножения вероятностей; формулы полной вероятности и Байеса. 29

30 Задачи 2 и 3. Повторные независимые испытания (тема 3). Задачи на формулу Бернулли, теорему Пуассона, локальную теорему Муавра-Лапласа и интегральную теорему Муавра-Лапласа и ее следствия. Задача 4. Дискретная случайная величина и ее характеристики (тема 4). Задачи на составление законов распределения: схема полного перебора, до первого появления и выборка без возвращения без учета порядка; операции над дискретными случайными величинами; математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины; функция распределения дискретной случайной величины. Задача 5. Непрерывные случайные величины (тема 5).Задачи на нахождение плотности распределения при известной функции распределения и наоборот; математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины; нормальный закон распределения. Задача 6. Двумерные случайные величины (тема 6). Задачи на нахождение одномерных законов распределения по известному двумерному закону; условные распределения, условные математические ожидания; коэффициенты ковариации и корреляции. Темы 1 и 6 представляются в контрольной в интегрированном виде. Например, оценка вероятности отклонения значения случайной величины от ее математического ожидания с помощью неравенства Чебышева может быть включена либо в задачу 4, либо в задачу 5. Вариант аудиторной контрольной работы 1 1. Из 40 вопросов курса высшей математики студент знает 32. На экзамене ему случайным образом предлагаются два вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит правильно: а) хотя бы на один вопрос; б) на оба вопроса? 2. При высаживании рассады помидоров только 80% приживаются. Найти вероятность того, что из 6 высаженных кустов приживутся не менее 5? 30

31 3. Человек, проходящий мимо киоска, покупает газету с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 человек, прошедших мимо киоска в течение часа: а) купят газету 90 человек; б) не купят газету от 300 до 340 человек (включительно). 4. Пульт охраны связан с тремя охраняемыми объектами. Вероятность поступления сигнала с этих объектов составляет соответственно 0,2, 0,3 и 0,6. Составить закон распределения случайной величины: числа объектов, с которых поступит сигнал. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. 5. Плотность вероятности случайной величины ξ имеет вид: Найти: а) параметр b; 0 1 ϕ ( x) = 4 0 при при при x < 1, 1 x b, x > b. б) математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ; в) функцию распределения F(x) и построить ее график. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что случайная величина принимает значения на промежутке [ 1,5; 4,5]. Вычислить эту вероятность с помощью функции распределения. Объяснить различие результатов. 6. Закон распределения двумерной случайной величины (ξ, ζ) задан таблицей Найти: ζ ξ ,4 0,2 1 0,1 0,3 a) законы распределения одномерных случайных величин ξ и ζ; b) условные законы распределения случайной величины ξ при условии ζ=1 и случайной величины ζ при условии ξ= 1; c) ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин ξ и ζ. 31

32 Контрольная работа 2 Контрольная работа 2 является домашней и проводится по материалу второго раздела курса «Математическая статистика». Рекомендуется следующая структура заданий: Задача 1. Выборочный метод (темы 8 и 9). Задачи на оценку генеральной доли или генеральной средней по выборке, построение точечных и интервальных оценок; доверительные вероятности; определение необходимого объема выборки. Задача 2. Проверка гипотезы о виде распределения (тема 11). Задача на использование критерия χ 2 -критерий Пирсона. Задача 3. Элементы теории корреляции (темы 10 и 11). Задача на отыскание прямых линейной парной регрессии и коэффициента корреляции; проверка значимости коэффициента корреляции. Вариант контрольной работы 2 1. Из 1560 сотрудников предприятия по схеме собственно случайной бесповторной выборки отобрано 100 человек для получения статистических данных о пребывании на больничном листе в течение года. Полученные данные представлены в таблице: Количество дней пребывания на больничном листе Менее Более 11 Итого Число сотрудников Найти: а) вероятность того, что среднее число дней пребывания на больничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на 1 день (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля всех сотрудников, пребывающих на больничном листе не более 7 дней; 32

33 в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли, (см. п. б)), можно гарантировать с вероятностью 0, По данным задачи 1, используя χ 2 -критерий Пирсона, на уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х число дней пребывания сотрудников предприятия на больничном листе распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже распределения и соответствующую нормальную кривую. гистограмму эмпирического 3. Распределение 110 образцов полимерных композиционных материалов по содержанию в них нефтешламов Х (%) и водопоглощению Y (%) представлено в таблице: х регрессии; у Итого Итого Необходимо: 1) Вычислить групповые средние x i и y j, построить эмпирические линии 2) Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать содержательную интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α=0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний процент водопоглощения в образцах, содержащих 35 % нефтешламов. 33

34 6. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Классификация случайных событий. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события, непосредственный подсчет вероятности. Примеры. 2. Статистическое определение вероятности события и условия его применимости. Пример. 3. Геометрическое определение вероятности события и условия его применимости. Пример. 4. Понятие об аксиоматическом определении вероятности. 5. Несовместные и совместные события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей (с доказательством). Пример. 6. Полная группа событий. Противоположные события. Соотношение между вероятностями противоположных событий (с выводом). Примеры. 7. Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей (с доказательством). Примеры. 8. Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательствами). Примеры. 9. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (с выводом). Примеры. 10. Локальная теорема Муавра Лапласа, условия ее применимости. Свойства функции Гаусса f(x). Пример. 11. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости. Пример. 12. Интегральная теорема Муавра Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа Ф(х) и ее свойства. Пример. 13. Следствия из интегральной теоремы Муавра Лапласа (с выводом одного из них). Примеры. 14. Понятие случайной величины и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Независимые случайные величины. Примеры. 34

35 15. Математические операции над дискретными случайными величинами и примеры построения законов распределения для kξ, ξ 2, ξ+ζ, ξζ по заданным распределениям независимых случайных величин ξ и ζ. 16. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры. 17. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства (с выводом). Примеры. 18. Математическое ожидание и дисперсия числа и частости наступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом). 19. Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. 20. Закон распределения Пуассона. 21. Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график. 22. Непрерывная случайная величина (НСВ). Вероятность отдельно взятого значения НСВ. Математическое ожидание и дисперсия НСВ. 23. Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график. 24. Определение нормального закона распределения. Теоретиковероятностный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров. 25. Функция распределения нормально распределенной случайной величины и ее выражение через функцию Лапласа. 26. Формулы для определения вероятности: а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал; б) ее отклонения от математического ожидания. Правило трех сигм. 27. Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпунова и ее значение. Пример. 35

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Образовательное учреждение профсоюзов высшего и профессионального образования «Академия труда и социальных отношений» Кафедра высшей и прикладной математики РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г. Тольятти ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Липецкий государственный технический университет» Экономический факультет УТВЕРЖДАЮ Декан ЭФ Московцев В.В. 2011 г. РАБОЧАЯ

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Теория вероятностей и математическая статистика» Шифр дисциплины Для направления 080100

Подробнее

Цели и задачи дисциплины: 2. Место дисциплины в структуре ООП: 3. Требования к результатам освоения дисциплины: ОК-5: ОК-15: ПК-31 ПК-32 знать уметь

Цели и задачи дисциплины: 2. Место дисциплины в структуре ООП: 3. Требования к результатам освоения дисциплины: ОК-5: ОК-15: ПК-31 ПК-32 знать уметь 1. Цели и задачи дисциплины: Целью дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» является успешное освоение студентами материала, закреплѐнного ФГОС высшего профессионального образования

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 1.1. Цели освоения дисциплины: научить студентов языку теории вероятностей и статистики; быть поставщиком понятий и результатов, необходимых в других математических

Подробнее

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики УДК 57. Теория вероятностей: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск, 0. 4 с. (Заочная форма обучения/

Подробнее

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Институт повышения квалификации и переподготовки Факультет переподготовки специалистов образования Кафедра

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Славянский-на-Кубани государственный педагогический институт «Утверждаю»

Подробнее

Объём учебной дисциплины и виды учебной работы. Лекции Практические занятия. Курсовая работа Контрольная работа

Объём учебной дисциплины и виды учебной работы. Лекции Практические занятия. Курсовая работа Контрольная работа Программа учебной дисциплины составлена на основании учебного плана, утверждённого ректором училища «08» июля 011 года и требований Федерального Государственного образовательного стандарта высшего профессионального

Подробнее

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная программа «Теория вероятности и математическая статистика» разработана для специальности 1-21 06 01-01 «Современные иностранные языки» высших учебных заведений. Целью изучения

Подробнее

2. Содержание курса Лекции I семестр. Число часов

2. Содержание курса Лекции I семестр. Число часов 1. Цель и задачи курса Цель курса освоение математического аппарата. Задача курса выработка формального и логического мышления, выработка навыков решения формализованных математических задач.. Содержание

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине ОПД.Ф.9 «Теория вероятности» для специальности «Математика» курс III Экзамен - V семестр семестр

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине ОПД.Ф.9 «Теория вероятности» для специальности «Математика» курс III Экзамен - V семестр семестр МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Математический

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Рабочая учебная программа

Рабочая учебная программа АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ» (АНО ВО «ИЭУ») Кафедра «Гуманитарные, социально-экономические и естественноматематические дисциплины» Рабочая

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ

Подробнее

ОДОБРЕНА предметной (цикловой) комиссией

ОДОБРЕНА предметной (цикловой) комиссией Рабочая программа учебной дисциплины «Теория вероятности и математическая статистика» для специальностей среднего профессионального образования социально-экономического профиля: 080110 Банковское дело.

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ 1. ПАСПОРТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

СОДЕРЖАНИЕ 1. ПАСПОРТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 2 СОДЕРЖАНИЕ 1. ПАСПОРТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 3. УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 4. КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ

Подробнее

Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике

Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет С. Г. Валеев С. В. Куркина Тестовые

Подробнее

НОУВПО ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)»

НОУВПО ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)» НОУВПО ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)» направление подготовки профили квалификация (степень) форма обучения

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский экономико-правовой институт»

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский экономико-правовой институт» Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский экономико-правовой институт» Кафедра естественнонаучных и математических дисциплин РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Подробнее

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Институт управления» Экономический факультет Кафедра информационных технологий и прикладной математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Б.2.1 Математика и статистика. Направление подготовки Реклама и связи с общественностью

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Б.2.1 Математика и статистика. Направление подготовки Реклама и связи с общественностью ГБОУ ВПО «БАШКИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ И УПРАВЛЕНИЯ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН» Кафедра информационных технологий в управлении РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Б.2.1

Подробнее

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Случайные векторы. Закон распределения. Условные распределения случайных величин. Числовые характеристики случайных векторов. Условные математические

Подробнее

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ В.Е.Гмурман РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ М.: Высш. школа, 1979, 400 стр. В пособии приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения

Подробнее

Рабочая программа по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика

Рабочая программа по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Алтайский экономико-юридический институт" кафедра общих математических и естественнонаучных дисциплин УТВЕРЖДАЮ Ректор

Подробнее

УТВЕРЖДАЮ. Рабочая программа дисциплины ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (наименование дисциплины) QD-6.2.2/РПД-80.(81.

УТВЕРЖДАЮ. Рабочая программа дисциплины ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (наименование дисциплины) QD-6.2.2/РПД-80.(81. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования УТВЕРЖДАЮ Декан факультета судостроения и энергетики Притыкин А.И...20 Рабочая программа дисциплины

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. 3 Условия реализации рабочей программы учебной дисциплины Требования к минимальному материально-техническому обеспечению 19

СОДЕРЖАНИЕ. 3 Условия реализации рабочей программы учебной дисциплины Требования к минимальному материально-техническому обеспечению 19 3 СОДЕРЖАНИЕ 1 Паспорт рабочей программы учебной дисциплины 1.1 Область применения программы. 1. Место дисциплины в структуре образовательной программы 1.3 Цели и задачи дисциплины требования к результатам

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально-

способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально- 2 1 Цель и задачи изучения дисциплины Цель: формирование у студентов системы базовых теоретических знаний и практических навыков основ математического аппарата, основных методов количественного измерения

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ УТВЕРЖДАЮ Декан ФПМК Горцев А.М. "28" августа 2014 г. Рабочая программа

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 3-й семестр 2013 2014, спец. ИУ3, ИУ6 Виды аудиторных занятий и самостоятельной работы Сроки проведения или выполнения, недели Трудоемкость, часы Лекции

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА для направления «Экономика» «УТВЕРЖДАЮ» Проректор по учебной работе И.В.Щербакова Программа одобрена на заседании Ученого совета

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная дисциплина «Теория вероятностей математическая статистика» содержат математические основы и математические методы, формирующие у студентов - химиков профессиональную культуру

Подробнее

Рабочая программа учебной дисциплины Б2.04 «Теория вероятностей и математическая статистика»

Рабочая программа учебной дисциплины Б2.04 «Теория вероятностей и математическая статистика» 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФГБОУ ВПО «Брянский государственный технический университет» Факультет информационных технологий Кафедра «Высшая математика» УТВЕРЖДАЮ И. о. ректора И.А. Рудаков 013

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе и экономическому развитию Д.А. Зубцов 29

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий

Подробнее

Рабочая программа дисциплины. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы

Рабочая программа дисциплины. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского Факультет компьютерных наук и информационных технологий УТВЕРЖДАЮ 20 г. Рабочая программа

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербугский

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет имени К.Э. Циолковского

Подробнее

Экономический факультет. ФОНД оценочных средств по дисциплине. Квалификация (степень) выпускника. очной, заочной формы обучения

Экономический факультет. ФОНД оценочных средств по дисциплине. Квалификация (степень) выпускника. очной, заочной формы обучения Частное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский институт защиты предпринимателя» (РИЗП) Экономический факультет Приложение 1 к рабочей программе дисциплины «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

Согласование междисциплинарных связей с обеспечиваемыми дисциплинами

Согласование междисциплинарных связей с обеспечиваемыми дисциплинами Согласование междисциплинарных связей с обеспечиваемыми дисциплинами Наименование дисциплин, определяющих междисциплинарные связи Ф.И.О. ведущих преподавателей Место работы 1. Математический анализ Горбунова

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (230701) «Прикладная информатика (по отраслям)»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (230701) «Прикладная информатика (по отраслям)» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Санкт Петербургский государственный университет телекоммуникаций им.

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов «Страница» с методическими материалами http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Волгоградский филиал РАНХиГС

Подробнее

Часть 2. Элементы математической статистики

Часть 2. Элементы математической статистики Часть 2. Элементы математической статистики Замечательно, что науке, начинавшейся с рассмотрения азартных игр, суждено было стать важнейшим объектом человеческого знания. Лаплас Вероятность это важнейшее

Подробнее

ПРОГРАММА ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДЛЯ СТУДЕНТА ( SYLLABUS) Специальность 5B «Математическое и компьютерное моделирование»

ПРОГРАММА ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДЛЯ СТУДЕНТА ( SYLLABUS) Специальность 5B «Математическое и компьютерное моделирование» Министерство образования и науки Республики Казахстан Карагандинский государственный технический университет «Утверждаю» Председатель Ученого совета, ректор, академик НАН РК Газалиев А.М. 015г. ПРОГРАММА

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ» проект ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА» Рекомендуется для направления подготовки

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Бакалавр. 4 года. Очная

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Бакалавр. 4 года. Очная МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

Учитель: Я говорю лишь то, что вам самим должно быть ведомо. Давай наставления только тому, кто ищет знаний.

Учитель: Я говорю лишь то, что вам самим должно быть ведомо. Давай наставления только тому, кто ищет знаний. Конфуций говорил: Учитель: Я говорю лишь то, что вам самим должно быть ведомо. Давай наставления только тому, кто ищет знаний. http://www-chemo.univer.kharkov.ua/ 1 Случайные величины и их характеристики.

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Филиал в г. Тольятти. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по специальности «Юриспруденция»» Тольятти 2010

МАТЕМАТИКА. Филиал в г. Тольятти. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по специальности «Юриспруденция»» Тольятти 2010 НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г. Тольятти МАТЕМАТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по специальности 0 3 0

Подробнее

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СЕВЕРНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерства

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Теория вероятностей

Подробнее

Программа учебной дисциплины

Программа учебной дисциплины НОУВПО ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ СОЦИАЛЬНОЙ ПСИХОЛОГИИ Программа учебной дисциплины «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» направление подготовки 030300 «Психология» квалификация (степень) форма обучения

Подробнее

ТЕСТ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ (ТТКУ)

ТЕСТ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ (ТТКУ) 34.6 «Информационные системы и ВАРИАНТ 1 1. Среди купленных семи билетов три билета в партер. Наудачу взято 4 билета. Найти вероятность того что среди них будет три билета в партер.. При первичной поломке

Подробнее

КОМПЛЕКСНАЯ ПРОГРАММА РАЗВИТИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТАМБОВСКОЙ ОБЛАСТИ НА ГОДЫ

КОМПЛЕКСНАЯ ПРОГРАММА РАЗВИТИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТАМБОВСКОЙ ОБЛАСТИ НА ГОДЫ КОМПЛЕКСНАЯ ПРОГРАММА РАЗВИТИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТАМБОВСКОЙ ОБЛАСТИ НА 014 016 ГОДЫ Базовая отрасль: «Промышленность» едущие предприятия: ОАО «Завод «Тамбоваппарат» ОАО «Тамбовский завод «Ревтруд»

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербугский

Подробнее

ЕН.02. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЕН.02. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» Институт кибернетики,

Подробнее

ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬ- НЫХ ДАННЫХ НА ЭВМ

ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬ- НЫХ ДАННЫХ НА ЭВМ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬ- НЫХ ДАННЫХ НА ЭВМ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» Кафедра «Математика и моделирование» РАБОЧАЯ

Подробнее

Выборки и их характеристики

Выборки и их характеристики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Аннотация 1.1. ЦЕЛЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. II. Требования к результатам освоения основной образовательной программы

Аннотация 1.1. ЦЕЛЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. II. Требования к результатам освоения основной образовательной программы Аннотация Рабочая программа составлена на основании федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по курсу «Теория вероятностей и математическая по направлению

Подробнее

Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2

Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1. Классическое определение вероятности. Примеры. 2. Формула Байеса. 3. Каков смысл равенств а) А В С=А; б) АUВUС=А? ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 1. Схема с возвращением и без выборок,

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Составитель: доцент Демиденко

Подробнее

Ю. Е. Дудовская, О. В. Якубович, Ю. С. Боярович ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Ю. Е. Дудовская, О. В. Якубович, Ю. С. Боярович ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Ю. Е. Дудовская, О. В. Якубович, Ю. С. Боярович ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ

ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА ФИЛИАЛ В Г. НАХОДКЕ КАФЕДРА ДИЗАЙНА И СЕРВИСА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Прикладная математика

Прикладная математика Министерство образования и науки Российской Федерации Костромской государственный технологический университет Кафедра высшей математики Е.А. Борисова, Т.В. Пыханова Прикладная математика Учебно-методическое

Подробнее

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике Кафедра высшей математики Лекции по теории вероятностей и математической статистике Раздел. Теория вероятностей Предмет теории вероятностей изучение специфических закономерностей в массовых однородных

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Академия труда и социальных отношений Кафедра высшей и прикладной математики Геворкян Павел Самвелович «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для подготовки бакалавров по направлению 080100

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И УКАЗАНИЯ Титульный лист методических рекомендаций и указаний, методических рекомендаций, методических указаний Форма Ф СО ПГУ 7.18.3/40 Министерство образования и науки Республики Казахстан Павлодарский государственный

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Подробнее

ЧАСТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «АКАДЕМИЯ СОЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ»

ЧАСТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «АКАДЕМИЯ СОЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ» ЧАСТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «АКАДЕМИЯ СОЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ» ОДОБРЕНО решением Ученого совета (протокол 9 от 26.05.20) УТВЕРЖДЕНО приказом ректора 08/07 от

Подробнее

Тема 1. Количественные характеристики случайных событий. Тема 2. Количественные характеристики случайной величины

Тема 1. Количественные характеристики случайных событий. Тема 2. Количественные характеристики случайной величины ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТАМ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ В МЕЖСЕССИОННЫЙ ПЕРИОД ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ 030300.62 ПСИХОЛОГИЯ Тема 1. Количественные

Подробнее

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы.

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы. Программа по «Математике» (базовый уровень) РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии Тема 1. Векторы и матрицы. N-мерные векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость

Подробнее

A.В. Браилов С.А. Зададаев П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 1

A.В. Браилов С.А. Зададаев П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 1 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАКАДЕМИЯ). Кафедра «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ»

ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.

Подробнее

Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика» Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный гуманитарный университет»

Подробнее

Квалификация (степень) выпускника бакалавр

Квалификация (степень) выпускника бакалавр ГБОУ ВПО «БАШКИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ И УПРАВЛЕНИЯ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН» Кафедра информационных технологий в управлении РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Б.1.Б.9

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Министерство образования Российской Федерации Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт Сведения об авторе В.П. Лисьев Теория вероятностей

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная академия культуры и искусств» Кафедра информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Факультет

Подробнее

Коломиец Э.И. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Коломиец Э.И. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Разработчик рабочей программы Рахманина Инесса Юрьевна - преподаватель ППК СГТУ имени Гагарина Ю.А.

Разработчик рабочей программы Рахманина Инесса Юрьевна - преподаватель ППК СГТУ имени Гагарина Ю.А. 1 Рабочая программа учебной дисциплины «Математика» разна в соответствии с требованиями ФГОС СПО по специальности 22.02.06 Сварочное производство утверждѐнного приказом Министерства образования и науки

Подробнее

ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ

ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Í. Ø. Êðåìåð ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ УЧЕБНИК И ПРАКТИКУМ ДЛЯ АКАДЕМИЧЕСКОГО БАКАЛАВРИАТА 4-е издание, переработанное

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ. Схема независимых испытаний Бернулли

ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ. Схема независимых испытаний Бернулли ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ Схема независимых испытаний Бернулли До сих пор мы в основном разбирали задачи нахождения вероятности события в единичном испытании, т.е. когда эксперимент производится один раз. Теперь

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» Кафедра прикладной математики 115-2012 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к курсовой работе по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Б.1.Б.4 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Б.1.Б.4 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «БАЙКАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА» УТВЕРЖДАЮ Декан факультета «Экономики предприятия и управления бизнесом» д.э.н.,

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Б1.Б.10 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Б1.Б.10 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Частное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский институт защиты предпринимателя» (РИЗП) Рекомендована кафедрой «Гуманитарных и социальноэкономических дисциплин» протокол 9 от 20.05.2016

Подробнее

Московский институт электроники и математики Департамент прикладной математики

Московский институт электроники и математики Департамент прикладной математики Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" Московский институт электроники

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Теория вероятностей и математическая статистика

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Теория вероятностей и математическая статистика ГОУВПО «Марийский государственный университет» Институт экономики, управления и финансов УТВЕРЖДАЮ Декан факультета/директор института /И.А. Лебедев/ (подпись) (Ф.И.О.) 2011 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Теория

Подробнее

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Тема 5 Перевод осуществлен при поддержке IT Akadeemia Содержание лекции 1 Введение 2 3 4 Следующий пункт 1 Введение 2 3 4 Проблема... Проблема... Проблема... ... и решение: Девочка

Подробнее

7. Предельные теоремы в теории вероятностей Классические предельные теоремы в схеме независимых испытаний (локальная и интегральная). 7.2.

7. Предельные теоремы в теории вероятностей Классические предельные теоремы в схеме независимых испытаний (локальная и интегральная). 7.2. Программа вступительных экзаменов в аспирантуру по направлению 01.06.01 математика и механика специальность 01.01.05 теория вероятностей и математическая статистика Раздел 1. Теория вероятностей. 1. Основные

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 1 Цели и задачи дисциплины: Цель учебного курса теории вероятностей и математической статистики является ввести студента в круг математических знаний, составляющих

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Национальный исследовательский Томский государственный университет Высшая школа бизнеса Отделение финансов, статистики и предпринимательства УТВЕРЖДАЮ

Подробнее