ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов Минск 4

2 Лекция Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя Сравнение функций по скорости роста Формулы Маклорена и Тейлора Ряды Маклорена для элементарных функций Теорема Ферма (о равенстве нулю производной Пусть функция f( : дифференцируема на интервале (;b, достигает экстремума в точке (;b. Тогда производная в этой точке f (. Пусть функция f( дифференцируема на интервале ( b ; и в точке принимает наибольшее значение при ( b ;. По определению производной f ( lim будет ли справа или слева. Но при f( f(, причем предел не зависит от того, f( f(, откуда > f( f( следует, что f (. При < имеем, следовательно, f (. По условию функция f( дифференцируема в точке, следовательно, ее предел при не должен зависеть от выбора направления приближения аргумента х к точке, т.е. M f( f( f( f( lim lim f ( f ( Получаем, или f ( f. Аналогично ( рассматривается другой случай. Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: в точке наибольшего или наименьшего значения касательная к графику функции параллельна оси абсцисс. Рис.. f ( b

3 Лекция Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. Теорема Ролля. (о производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения. Пусть функция f( непрерывна на отрезке [;b]; дифференцируема на интервале ( b ; ; на концах отрезка [;b] принимает равные значения: f( f( b. Тогда на интервале ( b ; найдется по крайней мере одна точка, в которой f (. Функция у f( непрерывна на отрезке [ b ; ]. В силу второй теоремы Вейерштрасса она на этом отрезке принимает наименьшее и наибольшее значения. Пусть это будут значения m и M. Могут представиться два случая: M m. В этом случае m f( m, функция у f( является постоянной на отрезке [ b ; ]. Поэтому f '( во всем интервале ( b ;, теорема верна. M> m. Тогда для функции у f( даже в том крайнем случае, когда, например, наибольшее значение функции принимается на конце отрезка f( f( b M, наименьшее значение будет приниматься уже внутри отрезка. Следовательно, найдется точка ( b ;, в которой f( m. Но тогда по теореме Ферма f (. Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс. Если f( f( b, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной. Теорема Лагранжа (о конечных приращениях. Пусть функция f( : непрерывна на отрезке [;b]; дифференцируема на интервале ( b ;. Тогда на интервале ( b ; найдется по крайней мере одна точка такая, что f( b f( f ( b Введем вспомогательную функцию L ( на отрезке [ b ; ], определив ее так: f( b f( L ( f( f( (. b

4 Лекция Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. Эта функция на [ b ; ] удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на [ b ; ], поскольку непрерывны все слагаемые L; ( на ( b ; функция L ( имеет производную; L ( Lb (. Из теоремы Ролля следует, что существует точка ( b ;, в которой (. Следовательно, L f L Отсюда f ( f( b f( ( ( -. b f( b f(, ( b ;. b Геометрический смысл теоремы Лагранжа. f( b f( Отношение есть угловой b коэффициент хорды АВ, а f ( есть угловой коэффициент касательной к кривой у f( в точке с абсциссой (рис.. Утверждение теоремы Лагранжа сводится к следующему: на кривой у f( точка M( ; f( такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде AB. Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может быть переписана в виде: f( b f( f ( ( b. Теорема Коши (об отношении приращений двух функций. Если функции f( и g ( непрерывны на отрезке [ b ; ]; дифференцируемы на интервале ( b ; ; производная g ( на интервале ( b ;. Тогда на интервале ( b ; найдется по крайней мере одна f( b f( f ( точка такая, что. gb ( g ( g ( Из условия теоремы следует, что g (. Это означает, что разность gb ( g (. Действительно, если бы gb ( g (, то функция g(, являясь непрерывной и дифференцируемой, удовлетворяла бы условиям

5 Лекция Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. 4 теоремы Ролля и в таком случае g ( была бы равна нулю по крайней мере в одной точке интервала ( b ;, что противоречит условию. Введем вспомогательную функцию f( b f( K ( f( f( ( g ( g (. gb ( g ( Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: K( непрерывна на отрезке [;b], так как непрерывны функции у f( и g( ; функция K( имеет производную всюду в интервале ( b ;, поскольку каждое слагаемое в правой части функции K( имеет производную на этом интервале; K ( Kb (, в чем убеждаемся непосредственной проверкой. Из теоремы Ролля делаем вывод о существовании точки, что K (. f( b f( Поэтому K ( f ( g (. gb ( g ( f ( f( b f( Отсюда следует. g ( gb ( g ( Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши: достаточно в теореме Коши взять g (. Теорема (правило Лопиталя (нахождения предела отношения функций через предел отношения их производных. Пусть функции f( и g ( дифференцируемы в окрестности точки, кроме, быть может, самой точки ; g ( и g ( в этой окрестности; lim f(, lim g ( ; f ( 4 существует lim (конечный или бесконечный g ( Тогда существует lim f( ( (, причем lim f lim f. g ( g ( g ( В теореме ничего не сказано о значениях f( и g ( в точке х а. Положим f( g (. Так как теперь lim f( f( и lim g ( g (, то функции f( и g ( будут непрерывны в точке а. Поэтому на отрезке [, ; ] где х - какая угодно точка окрестности точки а,

6 Лекция Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. 5 функции f( и g ( удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. Следовательно, между а и х найдется по крайней мере одна точка такая, что f( f( f( f (. g ( g ( g ( g ( х Величина зависит от х, причем при точка также будет стремиться к а (см. рис.. Поэтому f ( f ( lim lim g ( g ( Из последних двух соотношений следует, что и f ( f ( lim lim. g ( g ( ( ( lim f lim f. g ( g ( Последнее равенство выражает правило Лопиталя, по которому вычисление предела отношения двух функций может быть заменено при выполнении условий теоремы вычислением предела отношения производных этих функций. Это один из наиболее мощных методов нахождения пределов. Замечание. Правило Лопиталя распространяется на случай неопределенности типа при, поскольку можно доказать теорему Лопиталя при условии lim f( lim g ( Рис. Пример. Найти l lim. ctg Решение: l si si lim lim lim lim si ctg. Замечание. Правило Лопиталя распространяется на случай. Чтобы убедиться в этом, достаточно сделать замену и воспользоваться t результатом теоремы. l Пример. Найти lim. l Решение: lim lim lim.

7 Лекция Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. 6 Замечание. Иногда приходится применять правило Лопиталя последовательно несколько раз (делать несколько шагов, если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы на каждом шаге должны оставаться справедливыми. e Пример. Найти lim. 5 Решение: e e e e lim lim lim lim e e lim lim Замечание 4. Хотя правило Лопиталя работает только с неопределенностями и, неопределенности других типов могут быть раскрыты с помощью этого правила, если путем преобразований удастся привести изучаемую неопределенность к типу или. Пример 4. Найти lim si. Решение: si cos lim si [ ] lim lim lim cos Сравнение функций по скорости роста Рассмотрим некоторые функции, возрастающие при. Составим из них ряд log, > ; k, k > ;, > ;! ; и докажем, что чем правее в ряду находится функция, тем быстрее она растет. Найдем пределы отношения во всех парах рядом стоящих функций при. правило l log l lim lim lim k k Лопиталя, k k k следовательно, функция k, k >, растет быстрее при, чем log, >.

8 Лекция Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. 7 k правило k k lim lim Лопиталя. l Для любого k >, в том числе и сколь угодно большого, справедливо неравенство -< k, где натуральное число. Применив правило Лопиталя раз, получим kk (...( k lim k l, где величина k >. Числитель дроби постоянное число, знаменатель неограниченно возрастает, предел этой дроби равен нулю. Итак, функция k, > растет быстрее при, чем, k >. Найдем lim. Аналогично случаю для любого > верно! неравенство <. Запишем дробь следующим образом <,!! где произведение последних правильных ( дробей заменено на наибольшую из них в степени. Тогда lim lim lim, так как <.!!! С другой стороны, отношение не может быть отрицательным. Итак, предел! рассматриваемого отношения функций ограничен сверху нулем и не может быть меньше нуля. Поэтому lim.!! 4 lim lim... lim lim... lim. Первый из этих пределов lim. Величина всех остальных пределов заключена между нулем и единицей. Следовательно, произведение этих! пределов есть нуль. Итак, lim. Функция самая быстрорастущая из перечисленных функций при. Формулы Маклорена и Тейлора Эти формулы являются одними из основных формул математического анализа и имеют многочисленные приложения. Рассмотрим многочлен -й степени P(....

9 Лекция Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. 8 Его можно представить в виде суммы степеней переменной х, взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его раз по х, найдем значения многочлена и его производных в точке, выразим из каждого полученного выражения коэффициенты,,..., разместив результаты в трех столбцах соответственно: P(... P( P( P (... P ( P (! P(... ( P ( P (! P(... ( ( P ( P (!.... Вернемся к нашему многочлену, подставив вместо его коэффициентов,,... выражения из -го столбца. Получим P ( P ( P ( P ( P ( P(....!!!! Р х степени. Рассуждая Это формула Маклорена для многочлена ( аналогичным образом, можно разложить многочлен Р( х по степеням разности ( х а, где а любое число. Будем иметь P ( P ( P ( P( P( ( (... (.!!! Р х, или Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена ( разложением многочлена Р( х по степеням ( х а. Пусть теперь в окрестности точки х задана функция у f(, не являющаяся многочленом, но имеющая в этой окрестности производные до - го порядка включительно. Вычислим величины ( ( ( f(, f (, f (,..., f ( и зададим функцию f ( f ( f ( f ( Q ( f(....!!!! есть многочлен степени. Он называется приближающим многочленом Q ( для функции у f(. Если бы исходная функция у f( являлась многочленом степени, то выполнялось бы тождество f( Q ( для всех значений х из рассматриваемой окрестности. Поскольку это не так, положим f( Q ( R (, (

10 Лекция Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. 9 где R ( называется остаточным членом. В курсе математического анализа доказывается, что R( o (. Тогда формула разложения функции f( в ряд по степеням х принимает вид: f ( f ( f ( f ( f( f(... o (!!!! Эту формулу называют формулой Маклорена разложения функции f( по степеням х с остаточным членом в форме Пеано. Для остаточного члена получены выражения, позволяющие дать оценку его величине. Данная формула показывает, что, заменив f( в окрестности точки х приближающим многочленом -й степени, мы совершим ошибку, которая при является бесконечно малой более высокого порядка, чем. Проводя аналогичные рассуждения при разложении функции f( в окрестности точки, получим формулу Тейлора f ( f ( f( f( (... ( o((.!! Отсюда вывод: поведение любой раз дифференцируемой функции в окрестности точки (в частности, можно описать многочленом достаточно точно, а при со сколь угодно высокой степенью точности. Разложение в ряд Маклорена элементарных функций Хотя формула Маклорена есть частный случай формулы Тейлора, в наших приложениях именно формула Маклорена будет определяющей. Формула Тейлора может быть приведена к формуле Маклорена подстановкой -. Разложим в ряд Маклорена элементарные функции:, α e ; si ; cos ; l(, > -; (, > -. С этой целью составим таблицу производных этих функций и значений производных в точке. ( ( f( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( e e e e l( - ( (!

11 Лекция Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. Подставляя в формулу Маклорена значения производных, взятые из четных столбцов таблицы, получим разложения в ряд для каждой функции ( e o (.!!! ( ( si o ( o (.!!! 4!! 4 ( ( cos o ( o (!! 4! 5!! 4! ( l( o (. ( α α αα ( ( o (!! Замечание. Анализируя ряд разложения функции, легко заметить закономерности образования ряда и выписать следующие члены разложения. Пример 5. Разложить по формуле Маклорена функцию si. Решение. 5 7 k k si... (...! 5! 7! (k! На рисунке изображен жирной линией график функции Y si, тонкими линиями его приближение одним членом ряда Маклорена Y, приближение четырьмя отличными от 5 7 нуля членами ряда Y! 5! 7! и, наконец, приближение семью членами ряда Y ! 5! 7! 9!!! Y 4 Y Y 4 Y Замечание. Эти формулы дают возможность производить разложения в ряд некоторых функций без использования общей схемы с нахождением производных высокого порядка.

12 Лекция Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. Пример 6. Разложить по формуле Маклорена функцию Решение. Разложим функцию Воспользуемся разложением функции ряда величину х на х : e в окрестности e 4 до (( o. 4 х до (( o. e в ряд, заменив в правой части этого ( ( ( 4 e e o (!!! e o ( e e e e o ( ( ( Замечание. Ранее мы установили асимптотические формулы для некоторых элементарных функций, например, si o (. Мы пользовались ими при вычислении простейших пределов. Для нахождения некоторых более сложных пределов такого асимптотического приближения может оказаться недостаточно и следует брать следующие члены разложения. si Пример 7. Найти предел lim. Решение. Если ограничиться разложением si o (, то в пределе получается выражение: si ( o ( o ( o( lim lim lim lim. Чему равен такой предел, сказать невозможно. Неизвестно, какая бесконечно малая функция скрывается под о (. Поэтому правильное решение выглядит так: 4 o ( o ( si!! lim lim lim. 6 Замечание 4. Если в разложении для функции ( α положить α, где - натуральное число, то все члены этой формулы начиная с (-го исчезают, и формула Маклорена превращается в известную формулу бинома Ньютона ( (...,!! т.е. бином Ньютона является частным случаем разложения функции ( α в ряд Маклорена.

13 Лекция Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. Вопросы для повторения. Сформулировать и доказать теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.. В чем геометрический смысл теоремы Ролля?. Привести геометрический смысл теоремы Лагранжа. 4. Как в смысле общности соотносятся между собой теоремы Роля, Лагранжа и Коши? 5. Сформулировать и доказать правило Лопиталя при. 6. Можно ли распространить правило Лопиталя на случай? Как это обосновать? 7. На какие типы неопределенностей распространяется правило Лопиталя? 8. Провести сравнение степенной, показательной и логарифмической функций по скорости роста при. 9. Назвать наиболее медленно растущую функцию из известных вам и наиболее быстро растущую при.. Привести разложение многочлена -й степени в ряд, используя формулу Маклорена.. Привести в общем виде формулы Тейлора и Маклорена разложения функции в степенной ряд.. Получить разложение в ряд Маклорена функций e, si, cos, l(, ( α.. Как соотносятся между собой асимптотические формулы и формула Маклорена разложения функции в степенной ряд?

14 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. Условия возрастания и убывания функции Понятие экстремума Необходимое условие экстремума Первое достаточное условие экстремума Схема исследования функции на экстремум Второе достаточное условие экстремума Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке Выпуклость функции. Точки перегиба Схема исследования функции на выпуклость Асимптоты графика функции Исследование функций и построение их графиков Приложение. Эластичность функции Условия возрастания и убывания функции Изучим условия возрастания (не убывания и убывания (не возрастания функций. Напомним, что функция f( называется возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е. из неравенства > следует неравенство f( > f(. Функция называется убывающей на промежутке, если из > следует f( < f(. Функция f( называется неубывающей на промежутке, если из неравенства > следует неравенство f( f(, и невозрастающей, если из условия > следует f( f(. Теорема. (условия возрастания (убывания монотонной функции. Если f ( > на промежутке X, то функция f( возрастает на этом промежутке, если f ( < на промежутке X, то функция f( убывает на этом промежутке. Для функции f( выполняются условия теоремы Лагранжа на отрезке [ ; ] X, поэтому существует точка ( ;, в которой f( f( f ( (. Анализируем это равенство: если f ( >, то из неравенства > следует неравенство f( > f( и обратно. Если же f ( <, то из > следует неравенство f( < f(.

15 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 4 Замечание. Обратное утверждение звучит несколько иначе. Если функция возрастает на промежутке, то f ( или не существует. Пример. Функция возрастает на всей числовой оси, соответственно f ( >, но в точке производная f (.,, Пример. Функция не имеет производной в точке х, < (левая и правая производная различны, однако она возрастает при всех значениях х, в том числе и в точке х. Замечание. Опираясь на более «мягкие» условия, можно сформулировать прямую теорему: если производная функции, непрерывной на промежутке, неотрицательна, то функция на этом промежутке не убывает. Тогда прямая и обратная теоремы на формализованном языке звучат так: для того, чтобы непрерывная на промежутке функция f( была неубывающей на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы f (. Понятие экстремума Определение. Точка называется точкой локального максимума функции f(, если существует такая окрестность точки, что для всех х из этой окрестности f( f(. Определение. Точка называется точкой локального минимума функции f(, если существует такая окрестность точки, что для всех х из этой окрестности f( f(. Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Максимум и минимум функции называются ее локальными экстремумами (etremum крайний. Определение. Точка называется точкой строгого локального максимума (минимума функции f(, если для всех х из окрестности точки верно строгое неравенство f( < f( (соответственно f( > f(. Замечание. В приведенном определении локального экстремума мы не предполагаем непрерывности функции в точке.,, Пример. Функция разрывна в точке х, но имеет в этой, точке максимум, поскольку существует окрестность точки х, в которой f( < f(.

16 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 5 Наибольшее (наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом. Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка. Необходимое условие экстремума Теорема. (о необходимом условии экстремума. Если функция f( имеет экстремум в точке, то ее производная f ( в этой точке либо равна нулю, либо не существует. Если в точке функция имеет экстремум и дифференцируема, то в некоторой окрестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма, следовательно, производная функции в этой точке равна нулю. Но функция f( может иметь экстремум и не быть дифференцируемой в этой точке. Достаточно указать пример. Примером может служить функция, которая имеет минимум в точке, однако не дифференцируема в этой точке. Замечание. Геометрическую иллюстрацию теоремы дает Рис.. Функция f(, график которой представлен на этом f ( рисунке, имеет экстремумы в точках,, 4, при этом в точке производная не существует, в точке она равна нулю, в точке 4 обращается в бесконечность. В точках, 5 функция экстремума не имеет, причем в точке производная обращается в 4 5 бесконечность, в точке 5 производная равна Рис. нулю. Замечание. Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. Они определяются из уравнения f ( (стационарные точки или f (. Замечание. Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум. Пример 4. Рассмотрим функцию. Критической для этой функции является точка х, что следует из уравнения f (. Однако эта функция при всех х является возрастающей и экстремума не имеет.

17 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 6 Теорема. (о достаточных условиях экстремума. Пусть для f( выполнены следующие условия: f( непрерывна в окрестности точки ; f ( или f ( в точке ; f ( при переходе через точку меняет свой знак. Тогда в точке функция f( имеет экстремум: минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус. Если производная f ( при переходе через точку не меняет своего знака, экстремума в точке нет. Условия теоремы можно свести в следующую таблицу Знак производной Экстремум - Минимум - Максимум - - Нет Нет Так как по условию f ( < при <, то на левом относительно точки интервале функция f( убывает. Так как f ( > при >, то на правом относительно точки интервале функция f( возрастает. Следовательно, f( есть наименьшее значение функции f( в окрестности точки, а это означает, что f( есть локальный минимум функции f(. Если при переходе с левого интервала на правый функция продолжает убывать, то в точке не будет достигаться минимальное значение функции (экстремума нет. Аналогично доказывается существование максимума. На рис. -h представлены возможные случаи наличия или отсутствия экстремума непрерывной функции, производная которой в критической точке равна нулю или обращается в бесконечность. у у у у у а х у в х у с х у d х e х х f Рис. g х h х

18 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 7 Замечание. Если условие непрерывности функции в самой точке не выполнено, то вопрос о наличии экстремума остается открытым. Пример 5. Рассмотрим разрывную в точке функцию -,, f( (рис.. Производная этой функции меняет знак при, > переходе через точку, однако функция в точке экстремума не имеет. Пример 6. Пусть дана функция,, f( (рис.4. Как видно из рисунка, f(, имеет локальный максимум в точке, однако функция имеет разрыв в точке. Замечание. Если функция имеет в точке экстремум, например, минимум, то необязательно слева от точки функция монотонно убывает, а справа от монотонно возрастает. у Рис. у Рис. 4 х х Пример 7. Пусть дана функция у cos,, f( (рис. 5., Можно показать, что в точке х данная функция непрерывна и имеет минимум. Производная функции Рис. 5 f ( - cos si в любой окрестности точки х меняет знак бесконечно много раз. Поэтому функция f( не является монотонно убывающей или возрастающей ни слева, ни справа от точки х. х Схема исследования функции на экстремум: найти производную f ( ; найти критические точки, т.е. такие значения х, в которых f ( или f ( ; исследовать знак производной слева и справа от каждой критической

19 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 8 точки. Если при переходе через критическую точку производная f ( меняет свой знак с плюса на минус, то в точке функция f( имеет максимум, если знак f ( меняется с минуса на плюс, то в точке функция f( имеет минимум Если при переходе х через критическую точку знак f ( не меняется, то в точке функция f( не имеет ни максимума, ни минимума; 4 найти значения функции в экстремальных точках. Теорема 4. ( -ое достаточное условие экстремума. Пусть для функции f( выполнены следующие условия:. f( непрерывна в окрестности точки,. f ( в точке. f ( в точке. Тогда, в точке достигается экстремум, причем: если f ( >, то в точке функция f( имеет минимум, если f ( <, то при функция f( имеет максимум. f ( f ( По определению -й производной f ( lim. f ( Но по условию f (. Поэтому f ( lim. Если f ( >, то дробь f ( > в некоторой окрестности точки. При < дробь положительна, если f ( <. При > дробь положительна, при условии f ( >. Следовательно, f ( при переходе через точку меняет знак, поэтому есть экстремум. Знак производной меняется с минуса на плюс, значит, это минимум. Аналогично доказывается случай f ( <. Пример 8. Исследовать на экстремум функцию. Находим производную. Находим критические точки, для чего приравниваем к нулю производную:, -. Изучаем знак производной слева и справа от этой точки (рис. 6. Поскольку знак производной меняется с минуса на плюс, в точке х достигается минимум. Находим величину минимума: mi (. Пример 9. Исследовать на экстремум функцию Находим производную.. f ( - - Рис. 6 х

20 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 9 Критической точкой является, т.к. в этой точке f (. Исследуем знак у' слева и справа от точки. Очевидно, f ( <, если <, и f ( >, если >. Таким образом, точка есть точка минимума данной функции. (. 4 mi Пример. Исследовать на экстремум функцию - e. Находим первую производную: -e -. Приравнивая производную нулю, находим единственную критическую точку. Далее находим вторую производную: - e 4e. Ее значение в точке равно -. 4 Делаем вывод о наличии максимума функции и вычисляем: m (. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке Если функция f( определена и непрерывна на отрезке [ аb, ; ] то, согласно -й теореме Вейерштрасса, она на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения. Если свое наибольшее значение М функция f( принимает во внутренней точке отрезка [ аb, ; ] то M f( будет локальным максимумом функции f(, т. к. в этом случае существует окрестность точки такая, что значения f( для всех точек х из этой окрестности будут не больше f(. Однако свое наибольшее значение М функция f( может принимать и на концах отрезка [ аb. ; ] Поэтому, чтобы найти наибольшее значение М непрерывной на отрезке [ аb ; ] функции f(, надо найти все максимумы функции в интервале ( аb ; и значения f( на концах отрезка [ аb ; ] и выбрать среди них наибольшее число. Вместо исследования на максимум можно ограничиться нахождением значений функции в критических точках. Наименьшим значением m непрерывной на отрезке [ аb ; ] функции f( будет наименьшее число среди всех минимумов функции f( в интервале ( b ; и значений f( и f( b.

21 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. Выпуклость функции. Точки перегиба Определение. График функции f(, дифференцируемой на интервале ( аb, ; имеет на этом интервале выпуклость, направленную вверх (вниз, если график этой функции в пределах интервала (а;b лежит не выше (не ниже любой своей касательной (рис. 7. Теорема 5. (об условиях выпуклости вверх или вниз. Пусть функция f( определена на интервале ( b ; и имеет непрерывную, не равную нулю в точке ( b ; вторую производную. Тогда, если f ( > всюду на интервале ( b ;, то функция имеет выпуклость вниз на этом интервале, если f ( <, то функция выпукла вверх. l f ( М окрестности точки : Рис. 8 х Пусть в точке (, ( M f (рис. 8 прямая l касается кривой f(. Обозначим через переменную ординату точки прямой l. Тогда уравнение прямой l, касательной к кривой f(, имеет вид: f( f ( (. Функцию f( разложим в ряд Тейлора в ( f ( f ( f( f( ( ( o (!! Возьмем произвольное значение х из окрестности точки и найдем разность - f ( - f( f( (!. Заменим функцию f( рядом Тейлора. Получим: ( f ( f ( - f( ( ( o ( -!! f ( f( (! После раскрытия скобок будем иметь ( Рис. 7 f ( - ( o (.! В полученном выражении первое слагаемое в правой части определяет величину b f ( х

22 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. и знак разности -, второе слагаемое является бесконечно малой величиной. Из равенства следует, что знак разности - совпадает со знаком f (. Поэтому, если f ( >, то -> для всех точек, достаточно близких к точке. Точки кривой расположены выше своей касательной и, в соответствии с определением, кривая выпукла вниз. Если f ( <, то - <. Точки кривой расположены ниже своей касательной и кривая выпукла вверх. Определение. Точкой перегиба графика функции f( M, f(, разделяющая называется точка ( промежутки выпуклости вверх и вниз. Иными словами, точка M(, f( - точка перегиба кривой, если в этой точке кривая переходит с одной стороны касательной на другую, меняя направление выпуклости (рис. 9. Теорема 6. (о необходимом условии точки перегиба. Если M(, f( есть точка перегиба дважды дифференцируемой функции f(, то f ( или f (. Теорема 7. (о достаточном условии точки перегиба. Если вторая производная f ( дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет знак, причем f (, то точка M, f( есть точка перегиба кривой f(. ( f ( M Рис..9 ( f (, х Схема исследования функции на выпуклость Найти вторую производную функции; найти точки, в которых вторая производная равна нулю или обращается в бесконечность; исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба; 4 найти значения функции в точках перегиба. Пример. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции. Находим вторую производную: 6, 6 6. Находим точку, где вторая производная равна нулю: при х. f ( - Рис. х

23 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. Исследуем знак второй производной слева и справа от найденной точки. Для этого рисуем числовую ось и указываем на ней знаки второй производной (рис.. Делаем заключение об интервале выпуклости вверх слева от точки х и интервале выпуклости вниз справа от этой точки. Делаем вывод о наличии перегиба в точке (;. Асимптоты графика функции Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции f(, если хотя бы одно из предельных значений lim f( или lim f( равно или. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции f(, если хотя бы одно из предельных значений lim f( или lim f( равно b. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую. Прямая k b называется наклонной асимптотой графика функции f(, если ( f k b lim (, т.е. когда функция при представима в виде f ( k b α(, где lim α(. Существование асимптоты k b у кривой f( при означает, что при функция ведет себя «почти как линейная», т. е. отличается от линейной функции k b бесконечно мало (рис.. Наклонная асимптота может быть как правой, так и левой. Теорема 8. (об условиях существования наклонной асимптоты Если для функции f( существуют пределы f( lim k и lim ( f ( k b, то функция имеет наклонную асимптоту k b при. f( Из существования первого предела следует, что k β (, где β ( - бесконечно малая функция. Тогда f ( k β (. Отнимем от обеих у f ( Рис. k b х

24 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. частей величину k и найдем предел при, ( Из lim ( ( lim f ( k lim β (. f k b следует lim β ( b. Поэтому β( b α(, где α ( - бесконечно малая функция. Следовательно, f ( k β( k b α(. Пример. Найти асимптоты графика функции ( -. f( Решение. Найдем последовательно пределы lim и lim ( f ( k. Второй предел находится при условии, что первый из них конечен. f( ( - Тогда lim lim lim. Если >, то модуль раскрываем со знаком плюс, и получаем k lim lim. Если <, то lim k lim. Найдем величину второго предела, домножив числитель и знаменатель (который равен единице на сопряженное выражение: ( lim ( lim ( lim ( ( f k ( lim lim Таким образом, правая наклонная асимптота имеет вид -. Аналогично рассматривается случай -. ( lim ( lim ( lim ( ( f k ( lim lim Тогда получим левую наклонную асимптоту -. График исходной функции со своими асимптотами представлен на рис..

25 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 4 Значительно короче можно решить пример, используя «о»-малое. ( -. Поскольку, заменим скобку асимптотическим равенством. Получим х o o(. - Рис. Пусть. Тогда o( o(. Пусть. Тогда o( o(. Как известно, о ( есть бесконечно малая величина. Правая - и левая наклонные асимптоты получены. Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке. Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции. Замечание. Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при k. Замечание. Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается lim f(, то функция может иметь наклонную асимптоту. Замечание 4. Кривая f( может пересекать свою асимптоту, причем многократно. Исследование функций и построение их графиков у При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Построение сразу по точкам, за исключением элементарных случаев, может привести к потере на графике важных свойств функции. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика представлена ниже.. Область определения D ( и область допустимых значений E( функции.. Симметрия и периодичность.. Точки разрыва и промежутки непрерывности функции. 4. Нули функции и промежутки постоянного знака.

26 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П Экстремумы и промежутки монотонности. 6. Точки перегиба и промежутки выпуклости. 7. Асимптоты. Замечание. Схема представлена как примерная. Пункты исследования можно опускать, если они дают банальную информацию, или переставлять, если обнаруживаются интересные особенности поведения графика. Однако без нахождения разрывов, экстремумов, асимптот и исследования на выпуклость часто невозможно получить график, правильно отражающий поведение функции. Замечание. Для уточнения графика можно найти некоторые дополнительные точки, но иногда удается обойтись и без них. Замечание. Рекомендуется строить график одновременно с исследованием функции, нанося на координатную плоскость информацию по завершении каждого пункта исследования. Пример. Провести полное исследование функции и построить график.. Областью определения является вся числовая ось.. Функция четная: f(- f(, так что ее график симметричен относительно оси ординат. Из четности функции следует, что достаточно построить ее график в правой полуплоскости, а затем отразить его в левую полуплоскость.. Точек разрыва нет, функция непрерывная на всей числовой оси. 4. При х имеем у. Функция положительна при всех, так что график функции лежит в верхней полуплоскости. 5.. Функция возрастает при х < и ( убывает при х >. Точка х критическая. При переходе х через точку х производная у' ( х меняет знак с плюса на минус (рис.. Следовательно, точка х точка максимума, у ( Вторая производная ( обращается в нуль в точках ±. Исследуем точку. При > имеем у" >, т.е. кривая выпукла ( ( m Рис. - перегиб - Рис. 4 х х

27 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 6 вниз; при < получаем у"< (кривая выпукла вверх (рис.4. Следовательно, - точка перегиба 7. lim. График имеет точки максимум горизонтальную асимптоту у, перегиба у наклонных асимптот нет. горизонтальная Строим график в правой асимптота у полуплоскости и симметрично отражаем х его в левую полуплоскость. График функции изображен на рис. 5. Рис. 5 Пример 4. Провести полное исследование функции ( ( и построить график.. Область определения функции х, т.е. D ( (, (;. Так как при х< <, а при > >, и lim (, lim (, то множество значений функции ( ( ;. Функция у( х не является периодической. Она ни четная, ни нечетная, Е у. т.е. ее график не обладает симметрией. (Этот очевидный для данной функции пункт можно было опустить.. В точке х функция имеет разрыв второго рода, т.к. lim (, lim (. 4. Точки пересечения с осями координат: х, у, и х, у. Промежутки Рис. 6 постоянного знака представлены на рис Найдем интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции. Для этого вычислим первую производную: ( ( ( ( ( ( 5 4. ( ( Отсюда получим а у > при < и > 5, следовательно, на этих промежутках функция возрастает, а при х (,5 у < и функция убывает. (рис. 7. ( - ( - - Рис. 7 mi 5 х х

28 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 7 б у при х5 и в точке (5; 7/ функция имеет локальный минимум. Точка х тоже является критической точкой у (, но локального экстремума функции в этой точке нет. 6. Найдем интервалы выпуклости функции. Для этого вычислим вторую 4( производную: у. Тогда у < при 4 ( перегиб ( х < и функция выпукла вверх, а на промежутках - < < и > у > и функция выпукла вниз. - х Рис. 8. Точка (, - точка перегиба графика функции (рис Прямая х будет вертикальной асимптотой графика функции. Наклонными асимптотами графика функции будут прямые, заданные уравнением уkb, где коэффициенты k и b определяются равенствами f( k lim, b lim ( f ( k. ± ± Поскольку ( k lim, ± ( ( b lim 5, ± ( то единственной наклонной асимптотой будет прямая у5. точка минимума точка перегиба 5 у - Рис. 9а наклонная асимптота х вертикальная асимптота Рис. 9б График данной функции, построенный по результатам исследования, представлен на рис. 9а. На другом рисунке (рис. 9б представлен график этой же функции, рассчитанный и построенный компьютерной программой «Mthemtic 5.».

29 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 8 В экономических исследованиях часто используется понятие эластичности функциии. Определение. Эластичностью функции E ( называется предел отношения относительного приращения функции f( к относительному приращению аргумента х при : E ( lim lim. Если эластичность функции представить в виде % E( lim, % то легко увидеть, что эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция f( при изменении независимой переменной х на %. Пользуясь понятием дифференциала, эластичность можно представить иначе: d d d(l E (. d d d(l Геометрическая интерпретация Эластичность функции f( можно найти из графика этой функции. По определению эластичности E( tgα, где α - угол наклона касательной к функции f( в точке С (, (рис.. Из треугольника ACD : CD si( π α siα. AC AC Из треугольника BCL: LC cos( π α cos α BC BC В L f ( C(, Откуда, BC AC siα cos α f ( E( D π α Рис.. A α

30 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 9 т.е. эластичность убывающей функции равна отношению расстояний по касательной от точки С с координатами (, до ее пересечения с осями ординат и абсцисс, взятому со знаком минус. Таким образом, если аккуратно построить график функции f( и провести касательную к кривой в исследуемой точке С (,, можно приблизительно определить величину эластичности функции в этой точке. Свойства эластичности функции Пусть функция f( имеет конечную или бесконечную производную на промежутке. Вспомним, что производная есть отношение дифференциалов d. d. Эластичность есть безразмерная величина E ( E( b. d( b d Доказательство очевидно: E( b b d( d.. Эластичности взаимно обратных функций есть взаимно обратные величины E ( E (. d E ( d d E (. d. Эластичность произведения функций u u ( и v v ( равна сумме их эластичностей E ( uv E ( u E ( v. При доказательстве свойства воспользуемся следующим свойством дифференциала d( uv v du u dv. Тогда d( uv vdu udv du dv E( uv E( u E( v. uv d uv d u d v d 4. Эластичность отношения функций u u ( и v v ( равна разности их эластичностей u E E( u E( v. v Доказательство аналогично: u d u v vdu udv du dv E( E ( ( u E v. v u d u v d u d v d v v

31 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 5. Эластичность суммы функций u u ( и v v ( равна сумме их эластичностей, взятых с соответствующими весами: u v E( u v E( u E( v. u v u v Доказательство d( u v du u dv v E ( u v u v d u v d u u v d v u du v dv u v E( u E( v u v u d u v v d u v u v Эластичность элементарных функций Вычислим эластичности некоторых функций.. Степенная функция α. Ее эластичность:. Показательная функция α α α d( α d E ( α. α α d d. d( l d E ( l. d d. Логарифмическая функция l. d(l E(l. l d l 4. Линейная функция b. ( ( d b E b b d b. Функция в зависимости от величины своей эластичности может быть совершенно эластичная эластичная неэластичная совершенно неэластичная E ( < E ( < < E ( < E ( Эластичность функций применяется, например, при анализе спроса и потребления, в процессе анализа проектных рисков в ходе исследования изменений критериев оценки проектной эффективности в зависимости от изменений факторов риска.

32 БГЭУ Лекция Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. Так, эластичность спроса Q по цене P P dq E P( Q Q dp показывает величину относительного изменения спроса на какой-либо товар при изменении цены этого товара. Она характеризует «чувствительность» потребителей к изменению цен на продукцию. Вопросы для повторения. Сформулировать и доказать теорему о производной монотонной функции.. Сформулировать определение локального максимума и минимума функции.. Сформулировать и доказать теорему о необходимом условии экстремума. 4. Сформулировать и доказать теорему о первом достаточном условии экстремума. 5. Сформулировать и доказать теорему о втором достаточном условии экстремума. 6. Привести схему исследования функции на экстремум. 7. Сформулировать определение наибольшего и наименьшего значения функции. 8. Сформулировать определение выпуклости функции. 9. Сформулировать и доказать теорему об условиях направленности выпуклости функции вверх или вниз.. Дать определение точки перегиба и сформулировать необходимое и достаточное условия существования точки перегиба.. Привести определения вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот графика функции.. Привести схему полного исследования функции с целью построения ее графика.. Сформулировать определение эластичности функции, дать геометрическую интерпретацию. 4. Перечислить и доказать свойства эластичности функции.

33 Лекция Функции многих переменных проф. Дымков М. П. Предел и непрерывность функций многих переменных Дифференцируемость функции многих переменных Экстремум функции многих переменных Метод наименьших квадратов 4.. Предел и непрерывность функций многих переменных На случай функций нескольких переменных можно распространить многие понятия и утверждения, установленные выше для функций одной переменной Понятие функции многих переменных. Определение 4.. Если каждой точке M (,,..., некоторой области D из пространства R соответствует вполне определенное число z R, то говорят, что задана функция переменных z f,... ( z f (. ( M Множество D называется областью определения функции и обозначается D ( f. Обычно под областью определения аналитически заданной функции подразумевается ее естественная область определения. Множество E( f { z R z f ( M, M D( f } называется областью значений функции f. Если, то функция z f (M переходит в функцию двух независимых переменных z f (,, где (, D R.

34 Лекция Функции многих переменных проф. Дымков М. П Геометрическая иллюстрация функции двух переменных. Определение 4.. Пусть на множестве D задана функция двух переменных z f (,. Множество точек P{ (,, f (,, (, D} называется графиком функции z f (,. С геометрической точки зрения данное множество представляет собой некоторую поверхность в пространстве R. Пример 4.. Найти область определения и область значений функции z и изобразить ее график. Решение. Естественная область определения функции задается неравенством или и представляет собой внутренность круга радиуса с центром в начале координат. Поскольку,, то множество значений E ( f [,]. Графиком этой функции является верхняя половина сферы, заданной уравнением z, причем центр сферы (,, находится в начале координат, а радиус ее равен. В некоторых случаях наглядное представление о функции двух переменных может дать картина ее линий уровня.

35 Лекция Функции многих переменных проф. Дымков М. П. Определение 4.. Линией уровня функции z f (, называется множество точек (, плоскости, удовлетворяющих равенству f (, C, где C постоянная, т.е. такая линия плоскости, в точках которой функция принимает одно и то же значение z C. Пусть, например, f (, есть производственная функция, зависящая от двух факторов и. Линии уровня задаются уравнением f (, C, где C постоянная. Эти линии в экономической литературе называют изоквантами (кривые постоянного выпуска. Таким образом, изокванта это геометрическое место точек (, из R, которым соответствует один и тот же уровень продукции. Иногда эти линии называют кривыми взаимозаменяемости ресурсов. Линию уровня можно построить, спроектировав на плоскость множество точек пространства R, лежащих в пересечении поверхности z f (, и плоскости z C. Придавая постоянной C различные значения, C, C h, C h,.., получим ряд линий уровня, которые дают наглядное представление о поведении рассматриваемой функции. Там, где линии расположены гуще, поверхность, изображающая функцию, будет круче (это означает, что функция изменяется быстрее, а там, где линии реже, функция изменяется медленнее.

36 Лекция Функции многих переменных проф. Дымков М. П Предел функции двух переменных в точке. Определение 4.4. Говорят, что последовательность точек M (,, M (,,, M (,, плоскости сходится к точке M,, если расстояние ( M ( ( d M стремится к нулю когда. Пусть функция z f (, определена в некоторой окрестности точки M, за исключением быть может самой точки M. Определение 4.5. Число A называется пределом функции f (, в точке M, если для любой последовательности точек M, M,... M,..., сходящейся к точке M, соответствующая последовательность значений функции f ( M, f ( M, f ( M,, сходится к числу А : A lim f ( M. M M Важно, что предел функции существует, если он не зависит от пути устремления точек M, M,... M,..., к точке M. Пример 4.. Показать, что функция z не имеет предела в точке M (,. Решение. Выберем последовательность точек M (,, M (,,., M (,,, такую, что lim,. Тогда lim lim M M. Выбирая затем последовательность N (,, N (,,., N (,,, так что lim, получим, что lim lim. N M

37 Лекция Функции многих переменных проф. Дымков М. П. 5 Поскольку пределы последовательностей различны, то данная функция не имеет предела в точке M (,. Определение 4.5 предела функции z f (, эквивалентно определению предела на языке «ε δ»: Определение 4.6. Число A называется пределом функции z f (, в точке M, если для любого числа ε> можно указать число δ>, такое, что для всех точек M (,, удовлетворяющих неравенству d ( M, M < δ, M M, выполняется неравенство f ( M A < ε. Теорема 4. (арифметические операции над пределами. Если функции f (M и g (M имеют пределы в точке M : lim f ( M A, lim g( M B, то и функции f ( M ± g( M, M M M M f ( M f ( M g( M, имеют пределы в точке M, причем g( M lim f ( M ± g( M A ± B ; lim ( f ( M g( M A B; M M M M f ( M A lim, B. M M g( M B Теорема 4. (ограниченность функций, имеющих предел. Если функция z f (M имеет в точке M конечный предел, то существует окрестность точки M, в которой функция ограничена. Теорема 4.. Если функция z f (M имеет в точке M предел lim f ( M A и A > ( A <, то существует M M окрестность точки M такая, что для всех точек M (, этой окрестности выполняется неравенство f ( M > ( f ( M <. Упр.* Понятие повторных пределов

38 Лекция Функции многих переменных проф. Дымков М. П Непрерывность функции двух переменных. Определение 4.7. Функция z f (, называется непрерывной в точке M, если она определена в самой (, точке M и некоторой ее окрестности и выполняется равенство lim f ( M f ( M, т.е. предел функции в точке M M равен значению функции в этой точке. Теорема 4.4. Сумма, разность и произведение непрерывных функций в точке M есть непрерывная функция в точке M ; частное непрерывных функций есть непрерывная функция, при условии, что знаменатель в точке M не обращается в нуль. Определение 4.8. Функция z f (, называется непрерывной в области R, если она непрерывна в каждой точке этой области. Теорема 4.5 (Вейерштрасса. Если функция z f (M непрерывна на ограниченной замкнутой области D, то она ограничена на этой области ( f ( M < K и достигает в некоторых точках M (, и M (, своих наибольшего и наименьшего значений: f ( M m f ( M и f ( M mi f ( M. M D Замечание. Можно говорить о непрерывности f (, по каждой переменной и по совокупности двух переменных. Взаимотношение этих понятий сложное. Например, может быть непрерывность по каждой переменной в отдельности, а по совокупности переменных нет. M D Пример. f /(,, если, если (

39 Лекция Функции многих переменных проф. Дымков М. П Дифференцируемость функции многих переменных Частные производные. Пусть функция z f (, определена в области D R и точка M (, D. Определение 4.9. Частным приращением функции z по переменной в точке M называется разность z f (, f (, (4. Определение 4.. Частной производной функции z f (, по переменной в точке M (, называется предел (если он существует отношения частного приращения функции z по к вызвавшему его приращению независимой переменной, когда : f (, z Ä (4. Частная производная по в точке M (, обозначается любым из следующих способов : z, f (,, M z, f,., ( Аналогично определяется частная производная функции z f (, по переменной : f (, lim z, Ä где z f (, f (,. (4.

40 Лекция Функции многих переменных проф. Дымков М. П. 8 В пространстве XYZ условие описывает плоскость P, перпендикулярную оси OY и пересекающую эту ось в точке. Плоскость P пересекается с графиком функции z f(,, вдоль некоторой линии L, как показано на рисунке. Тангенс угла между плоскостью XOY и касательной к линии L в точке с координатами, равен частной производной по функции z f(, в этой точке. В этом состоит геометрический смысл частной производной. Пример 4.. Вычислить по определению частные производные функции z в точке M (,. Решение. Имеем f (,, f (, f (, ; f (, f (, ( ( 4 ( ; z f (, f (, 4 ( Тогда, согласно (4., имеем: z 4 ( lim lim ( 4 4. Ä Ä M 4 ( Аналогично вычисляем z f ( f (, f (, (, ( ( 5 (. Тогда, согласно (4., имеем: z( M z 5 ( lim lim lim ( 5 5. Ä Ä Ä

41 Лекция Функции многих переменных проф. Дымков М. П. 9 Для нахождения частных производных функции z f (, следует запомнить правило: при вычислении частной производной по считаем постоянной и пользуемся правилом дифференцирования функции одной независимой переменной; при вычислении частной производной по считаем постоянной и пользуемся этими же правилами дифференцирования (производная постоянной равна нулю; постоянный множитель выносится за знак производной и т.д.. z z Пример 4.4. Вычислить частные производные и в произвольной точке M (, для функции z( M f (, и затем найти их значения z( M и, если M (,. Решение. Имеем : z (, cost ( ( ( (., cost, cost, cost z Тогда (, 4. Далее: z (, cost (, cost (, cost z (, cost 4. Значит, (, 4 5.

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики».

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики». МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ДОНСКОЙ БАНКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Методические

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

7. Общий план исследования функции и построение её графика

7. Общий план исследования функции и построение её графика 7 Общий план исследования функции и построение её графика Нижеследующий план-схема исследования функции обобщает результаты, изложенные в предыдущих параграфах Исследование функции по этому плану позволит

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр (типовые задания С5) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей

Подробнее

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам и по математическому анализу (для студентов I курса математического факультета заочного отделения ) Витебск

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел множество целых чисел N = {0, 1, 2, 3,..., }, Z = {0, ±1, ±2, ±3,..., } множество рациональных чисел { m }

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерство образования Российской Федерации САРАПУЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ» Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математический анализ» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов бакалавров

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 11. Асимптоты. Общий план исследования функции

С.А. Лавренченко. Лекция 11. Асимптоты. Общий план исследования функции 1 С.А. Лавренченко Лекция 11 Асимптоты. Общий план исследования функции 1. Горизонтальные асимптоты Определение 1.1. Прямая или. зывается горизонтальной асимптотой, если Пример 1.2. Нетрудно йти, что.

Подробнее

Задачи по высшей математике для биологов

Задачи по высшей математике для биологов МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бобров А.Н. Радославова Т.В. Задачи по высшей математике для биологов МОСКВА 03 УДК

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу В.Ф. Бутузов Лекции по математическому анализу Часть I Москва 2012 Б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I. Учебное пособие содержит первую часть курса лекций по математическому

Подробнее

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj Высшая математика Лекции по курсу Список литературы [] Высшая математика для экономистов Под редакцией НШ Кремера [] СА Минюк, ЕА Ровба Высшая математика [] Сборник задач по высшей математике для экономистов

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Клюшина Л.В. зав. отделом практического обучения ГАОУ СПО АО АМК

Клюшина Л.В. зав. отделом практического обучения ГАОУ СПО АО АМК Министерство здравоохранения и социального развития Архангельской области Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования Архангельской области «Архангельский

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова

Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова ЕГЭ Математика Задача B8 Содержание (виды заданий В8) 1 2 3 4 5 Найдите значение производной функции в точке х 0

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

Аннотация рабочей программы дисциплины Б1.Б.4 Математика

Аннотация рабочей программы дисциплины Б1.Б.4 Математика Аннотация рабочей программы дисциплины Б1.Б.4 Математика Цели освоения дисциплины Место дисциплины в учебном плане и трудоемкость в зачетных единицах Формируемые компетенции Знания, умения и навыки, формируемые

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Республики Беларусь "Высший государственный колледж связи" Кафедра Математики и физики КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Минск 5 г РАЗДЕЛ 4 Функции нескольких переменных

Подробнее

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя СА Лавренченко 1 wwwlawrencenkoru Лекция 14 Неопределенности и правило Лопиталя Правило Лопитáля применяется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей типа или Раскрытие неопределенности

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева ПРЕДЕЛЫ Пособие для студентов, обучающихся по специальности

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) ЛН Романова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Курс лекций Омск Издательство СибАДИ ЛН РОМАНОВА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ( СЕМЕСТР) А. А. Пожарский Занятие. Принцип математической индукции. Задачи по []: 0. Задачи по [2]: 27. Занятие 2. Основные понятия комбинаторики: факториал,

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт Кафедра высшей математики РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Методические указания и оптимальные

Подробнее

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim.

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim. Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

Ю.Ж. Пчелкина. Курс лекций по математическому анализу

Ю.Ж. Пчелкина. Курс лекций по математическому анализу МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I Т В Родина, Е С Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I для напр «Прикладная математика и информатика» Учебное пособие под редакцией проф И Ю Попова Санкт Петербург 0 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011 Chir of Mth. Anlysis, SPb. Stte University. A.V.Poteun, Исследование сходимости несобственных интегралов Методические указания для решения задач А. В. Потепун Как известно (см. [], глава III, 7), если

Подробнее

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы.

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы. Программа по «Математике» (базовый уровень) РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии Тема 1. Векторы и матрицы. N-мерные векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.2. Дифференциальное

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ» Автономная некоммерческая организация дополнительного образования Учебный Центр при МГТУ им. Н. Э. Баумана «Ориентир» «УТВЕРЖДАЮ» Директор АНО ДО Учебный Центр при МГТУ им. Н.Э.Баумана «Ориентир» ПАНФИЛОВА

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты:

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: Содержание программы 1. Числа, корни и степени. Числовые последовательности Натуральные числа. Простые

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Рассмотрим задачу на нахождение условного экстремума для случае функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть имеется

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие Летняя школа специализированного учебно-научного центра Методическое пособие Екатеринбург 2014 ЛЕТНЯЯ ШКОЛА (2014г) П р о г р а м м а Алгебра 1. Метод интервалов на прямой. 2. Метод областей на плоскости.

Подробнее

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная программа по дисциплине «Математический анализ» разработана для специальности «Прикладная информатика» шифр 1-31 03 07-03 высших учебных заведений. Целью изучения дисциплины

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Ларин Александр Александрович Курс высшей математики. Часть 2.

Ларин Александр Александрович Курс высшей математики. Часть 2. Содержание: Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой. Односторонние производные функции

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Интеграл Римана Лекция k1-s1-21. Определенный интеграл... 17

Интеграл Римана Лекция k1-s1-21. Определенный интеграл... 17 Физический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yande.ru Московский государственный университет Физический факультет Кафедра математики План лекций по курсу «Математический анализ» Версия

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

Тема 37 «Пределы функций»

Тема 37 «Пределы функций» Тема 37 «Пределы функций» «Математический анализ» - серьезный раздел высшей математики. «Анализируют» здесь довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения

Подробнее

Сазонов Д.О. Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы»

Сазонов Д.О.   Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы» Кафедра информатики и методики преподавания математики ВГПУ Сазонов Д.О. E-mail: imul@vspu.ac.ru Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы»..

Подробнее

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Российский государственный педагогический университет им АИ Герцена МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие Под редакцией доктора педагогических наук Хамова

Подробнее

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка СОДЕРЖАНИЕ Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла Свойства неопределённого интеграла Таблица основных неопределённых

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

3568 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

3568 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ 568 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Методические указания

Подробнее

Программа вступительного экзамена по математике

Программа вступительного экзамена по математике Программа вступительного экзамена по математике Программа составлена на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего и среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Академия труда и социальных отношений Кафедра высшей и прикладной математики Геворкян Павел Самвелович «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для подготовки бакалавров по направлению 080100

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

= 1. ) = 1. dy dx. y lim. (1)

= 1. ) = 1. dy dx. y lim. (1) 563 Упражнения 1. Суммарная величина описывается функцией f(х) а + bх + сх 2, а > 0, b > 0, с > 0. Найдите явные выражения для f ( ) и f ( ), участки возрастания и убывания средней величины и положение

Подробнее

Практикум по дифференциальному исчислению

Практикум по дифференциальному исчислению Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников А.Л. Магазинников Практикум по дифференциальному исчислению Учебное пособие

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА 10 класс (профильный уровень)

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА 10 класс (профильный уровень) РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА 0 класс (профильный уровень) п/п РАЗДЕЛ / ТЕМА Колво час. Планируемые результаты Примечание ПОВТОРЕНИЕ КУРСА 9 КЛАССА 4 Упрощение рациональных выражений Решение

Подробнее

вид 1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... ).

вид 1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... ). Казанское математическое общество В.Б. Живетин Вводные лекции по курсу Высшая математика Г Р А Ф Казань 998 3 УДК 57 ББК.6 Ж 66 Вводные лекции по курсу Высшая математика /В.Б.Живетин; Казанское математическое

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММАМ БАКАЛАВРИАТА И ПРОГРАММАМ СПЕЦИАЛИТЕТА

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММАМ БАКАЛАВРИАТА И ПРОГРАММАМ СПЕЦИАЛИТЕТА Минобрнауки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее