Казанский федеральный университет. М.С. Малакаев, Е.А. Широкова МАТЕМАТИКА

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Казанский федеральный университет. М.С. Малакаев, Е.А. Широкова МАТЕМАТИКА"

Транскрипт

1 Казанский федеральный университет МС Малакаев, ЕА Широкова МАТЕМАТИКА Казань 00

2 УДК 50 Печатается по решению Редакционно-издательского совета ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» учебно-методической комиссии механико-математического факультета Протокол от 6 ноября 00 г заседания кафедры общей математики Протокол от 8 ноября 00 г Авторы-составители: ст преп МС Малакаев доктор физ мат наук, ЕАШирокова, Научный редактор Рецензент кандидат физмат наук, доц НР Абубакиров Математика: Учебно-методическое пособие / МС Малакаев, ЕА Широкова Казань: Казанский федеральный университет, с Данное пособие, предназначенное для студентов -го курса, обучающихся по специальностям «Философия» и «Религоведение», содержит лекционный материал по курсу «Математика», типовые примеры с решениями, а также задания для самостоятельного решения, снабженные ответами Казанский федеральный университет, 00

3 Для чего гуманитариям изучать математику? Что общего между математикой и философией? Что отражает математическое исследование в рамках общего познания природы? Такие вопросы неизбежно возникают у студентов, чьей основной специальностью является философия или религиоведение В настоящем пособии авторы постарались изложить курс математики с учетом поставленных вопросов Здесь не просто излагаются математические факты и приводятся их математические доказательства Авторы постарались осветить предысторию отдельных математических открытий и логику развития математической мысли Геометрия Евклида и открытие НИЛобачевского Что такое Математика? Ответ на такой вопрос менялся со временем Очевидно, что математика, как и любая наука, возникла из необходимости упорядочить и систематизировать отдельные факты, полученные опытным путем Математику в начале ее становления интересовали, в основном, количественные характеристики Она являлась и до сих пор является основой торговых отношений, строительства, землемерия, астрономии, навигации, Еще в семидесятых годах 9 в ФЭнгельс определял математику как науку, «в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения» Интересно сравнить это определение с определением философа ЛБрунсвига, данным в 9 г, где математика представляется как «ряд дисциплин, основывающихся на частных, точно определенных понятиях, связанных тысячью нитей» Итак, прошло меньше сорока лет, и взгляд философов на математику кардинально изменился Что же произошло такое, что заставило философов под термином «математика» понимать в первую очередь «точно определенное понятие», а не «количество», «пространственная форма» или «формула»? Для ответа на этот вопрос обратимся к истории До 9 века математика считалась незыблемой Она развивалась, появлялись новые разделы, понятия и теории, но основа была постоянной Этой основой являлось гениальное творение Евклида «Начала» (Александрия, 3 в до н э), в котором были собраны все математические знания греков и их предшественников По «Началам» 3

4 Евклида обучались многие поколения математиков: Коперник, Галилей, Паскаль, Ньютон, Ломоносов, Лейбниц, Да и современные школьные учебники по алгебре и геометрии это, в значительной мере, адаптированные для современного читателя и известные древним грекам утверждения и доказательства, являющиеся эталоном простоты и логичности Кроме того, в «Началах» были заложены те идеи, которые были «переоткрыты» и развиты много веков спустя (например, теория иррациональных чисел) «Начала» состоят из 3 книг, содержание которых можно охарактеризовать следующим образом: условия равенства треугольников, соотношения между углами и сторонами, свойство параллельности прямых и его следствия; построение квадрата, равновеликого любому многоугольнику; 3 окружности, их взаимное расположение, углы, вписанные в окружности; 4 многоугольники, вписанные в окружности и описанные вокруг них; 5 теория пропорций; 6 подобные многоугольники; 7, 8, 9 арифметика в геометрической интерпретации; 0 основы теории иррациональных величин;, начала стереометрии; 3 правильные многогранники Изложение в «Началах» является дедуктивным, основанным на силлогизмах При изучении каких-либо объектов сначала дается определение (например, «точка на плоскости это то, что не имеет длины и ширины») Определив объект, Евклид излагает постулаты утверждения, связанные с определенным объектом, не доказуемые в рамках данной теории и принимаемые за истинные Примером постулата может служить знаменитый «Пятый постулат», связанный со свойством параллельности: «всякий раз, как прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше, эти прямые пересекаются с той стороны, с которой эта сумма меньше Вводятся аксиомы, регламентирующие операции с объектами Примером аксиомы может быть следующая: «если и, то A C» Аксиомы имеют более общий характер, чем постулаты, и могут иметь более широкое применение, чем применение для работы с 80 0 A B B C 80 0» определенным объектом После того, как введены определения, постулаты и аксиомы, на их основе формулируется и доказывается предложение Предложение в «Началах» имеет канонический вид, знакомый нам со школы: «дано, требуется доказать» Доказательство проводится строго в рамках предложенных постулатов и аксиом Схема построения «Начал», считавшаяся идеальной, содержала, тем не менее, недостатки, признававшиеся математиками и 4

5 философами В самой основе этой схемы лежат определения, данные с помощью некоторых понятий (например, в определении точки на плоскости, приведенном выше, есть понятия «длина» и «ширина») Но кто определит сами эти понятия, участвующие в определении? И где граница определений? Сами греческие математики, видимо, считали первоначальные понятия интуитивно очевидными Кроме того, вставал вопрос о «существовании» Так, еще Аристотель отмечал, что определение еще не влечет существования определяемого объекта К началу 9 века накопились вопросы к классической математике Она уже не казалась бесспорной Многим казалось, например, что пятый постулат это не постулат, а утверждение, которое может быть доказано на основе остальных постулатов, аксиом и предложений Были попытки таких доказательств, но они не были успешными И появились те, кто смог понять роль этого постулата Это были Карл Фридрих Гаусс (Германия), Николай Иванович Лобачевский (Казань, Россия) и Янош Бойаи ( Венгрия) Именно эти математики считаются авторами неевклидовой геометрии Каждый из них шел своим путем Наш гениальный соотечественник НИЛобачевский (79-856) окончил Казанский университет магистром и был оставлен в университете для преподавания С 83 г он работал в университете в должности адъюнкт-профессора преподавал и занимался научными исследованиями Стремясь к строгому построению начал геометрии, НИЛобачевский так же, как и многие его предшественники, усомнился в том, что пятый постулат в «Началах» действительно является постулатом Отказавшись от пятого постулата, то есть от предположения о том, что через точку вне данной прямой проходит только одна прямая, не пересекающаяся с данной, НИЛобачевский попытался доказать это свойство методом «от противного» То есть, предполагая, что через точку вне данной прямой проходит более одной прямой, не пересекающейся с данной, попытался прийти к противоречию с остальными постулатами, аксиомами и уже доказанными предложениями Ему не удалось найти этого противоречия Напротив, он создал стройную теорию, заменяющую классическую геометрию В этой новой геометрии через точку вне данной прямой проходит бесчисленное множество прямых, не пересекающихся с данной прямой, а сумма углов треугольника меньше Нужно иметь научную смелость, чтобы предложить теорию, полностью противоречащую каноническим представлениям НИЛобачевский не был понят при жизни В 86 году он делает в университете доклад о своих результатах, но не находит понимания

6 Он опубликовал работу с описанием новой геометрии в «Казанском вестнике» в годах Предложенная российской Академии наук, его работа получила отрицательный отзыв профессора Остроградского, более того, в одном из санкт-петербургских журналов она была высмеяна анонимным автором Есть сведения о том, что работа НИЛобачевского оказалась известной Гауссу, который пришел к выводам, подобным выводам НИЛобачевского, и дал высокую оценку его результатам К сожалению, Гаусс нигде не опубликовал своего мнения об исследованиях российского математика Открытие неевклидовой геометрии, тем не менее, постепенно овладело умами математиков и было оценено по достоинству Это открытие привело, в частности, к выводу, что постулаты Евклида являются на самом деле гипотезами, отказ от которых приводит к новым непротиворечивым теориям Уже через несколько лет после смерти НИЛобачевского знаменитый немецкий математик БРиман, развивший многие идеи НИЛобачевского и создавший «эллиптическую геометрию» (в отличие от геометрии Лобачевского, названной «гиперболической»), выступил с лекцией «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», где признавалась правомерность новых геометрий и говорилось: «Остается решить вопрос, в какой мере и до какой степени эти гипотезы подтверждаются опытом» Забегая вперед, следует отметить, что геометрия Лобачевского, действительно, подтвердилась опытом Она применяется в космических расчетах, так как именно гиперболическая геометрия согласуется со специальной теорией относительности Эйнштейна Кроме этого, гиперболическая геометрия применяется при анализе движения элементарных частиц в «пузырьковых камерах» в ускорителях Таким образом, если геометрия обычного мира евклидова геометрия, то в микро- и макромире справедлива геометрия Лобачевского Модели неевклидовых геометрий Как же нам, привыкшим к стандартным формам реального мира и воспитанным на идеях классической геометрии, примириться с идеями неевклидовых геометрий? Для упрощения восприятия новых стандартов были построены модели (или интерпретации) новых геометрий в терминах классической геометрии 6

7 Обратимся к гиперболической геометрии В соответствии с основной гипотезой НИЛобачевского через любую точку вне данной прямой проходят две прямые, параллельные данной прямой, и бесчисленное множество сверхпараллельных Как параллельные, так и сверхпараллельные, не пересекают данную прямую в конечной точке Параллельные прямые являются крайними в пучке, образованном сверхпараллельными прямыми На нашем рисунке данная прямая и две параллельные ей прямые выделены жирным шрифтом Сверхпараллельные находятся между параллельными Утверждая, что параллельные прямые не пересекаются с данной прямой в конечной точке, мы допускаем пересечение в бесконечности Последнее вряд ли упрощает восприятие идеи параллельных в гиперболической геометрии, но позволяет понять модель гиперболической геометрии, построенную математикам Бельтрами и Клейном Согласно этой модели аналогом всей плоскости является круг Граница этого круга является аналогом бесконечности для плоскости Аналогами прямых на плоскости являются хорды, соединяющие граничные точки круга Через любую точку круга, лежащую вне хорды можно провести две и только две хорды, имеющие с данной хордой общие точки на границе круга Эти две хорды и играют роль двух параллельных прямых Лобачевского Пучок хорд, проходящих через ту же точку и расположенных между двух «параллельных» хорд является аналогом пучка сверхпараллельных прямых 7

8 На нашем рисунке аналоги данной прямой и двух прямых, ей параллельных, обозначены жирными линиями, а аналоги сверхпараллельных тонкими линиями Подобную модель можно построить и для эллиптической геометрии Римана Риман также отказывается от постулата Евклида, но заменяет эту гипотезу гипотезой о том, что любая прямая, проходящая через точку вне данной прямой, пересекает эту данную прямую Таким образом, риманова геометрия основывается на предположении, что параллельных прямых вообще не существует И на таком основании Риман также построил непротиворечивую теорию Моделью плоскости в эллиптической геометрии может служить сфера Аналогами прямых на плоскости являются окружности большого диаметра (то есть, диаметра сферы) Действительно, если взять окружность большого диаметра и точку на сфере вне данной окружности большого диаметра, то любая окружность большого диаметра, проведенная через эту точку, пересечет данную окружность Аксиоматический метод в математике Новые идеи, опровергающие интуитивные представления, постепенно увлекли математиков конца 9 в Стало ясно, что практически вся классическая математика построена на интуитивных понятиях Даже действительное число, на применении которого построена вся цивилизация (не говоря уже о математике), также интуитивное понятие Математики увлеклись построением контрпримеров, опровергавших то, что казалось ранее интуитивно очевидным Были построены, например, кривые, не имеющие касательной ни в одной точке, или проходящие через любую точку квадрата Геометрическая интуиция была полностью дискредитирована Необходимо было привести все в строгий порядок и понять, что есть математическая истина и что есть математическое доказательство Многие математики работали над новым построением евклидовой геометрии Большой вклад в эти исследования внес Гильберт, опубликовавший в 899 году свои «Основания геометрии» В этой работе Гильберт не только систематизировал аксиомы, лежащие в основе евклидовой геометрии, но и исследовал возможности отказа от различных аксиом, обсуждая, к каким новым геометриям приведет такой отказ 8

9 Математики пришли к тому, что геометрические аксиомы являются соглашениями и понятие истины в их отношении не имеет смысла Да, возможности практического использования утверждений, доказанных на основе применения введенных аксиом, и экспериментальное их подтверждение очень ценны, но их отсутствие не умаляет математической истинности доказанных положений Классические объекты уже не являются единственными объектами математических исследований Применение моделей и интерпретаций связывает различные разделы математики и делает сам объект не столь существенным Считается, будто сам Гильберт говорил, что если заменить слова «точка», «прямая» и «плоскость» словами «стол», «стул» и «пивная кружка», в геометрии ничего не изменится Конечно, это остроумный анекдот, но он ярко демонстрирует формализацию математических теорий Таким образом, математику можно считать учением об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, изложенных в аксиомах Метод интерпретаций позволил свести вопросы о непротиворечивости одних теорий к непротиворечивости других теорий Так, например, проблема непротиворечивости геометрии сводилась к проблеме непротиворечивости арифметики При таком восприятии математической теории соблазнительной представлялась перспектива решить на пути создания единой теории метаматематики все вопросы обоснования математики Однако этим планам не суждено было сбыться: в 30-х годах 0-го века результаты Геделя продемонстрировали, что доказательство непротиворечивости теории средствами, формализуемыми в ней самой, невозможно Создать метаматематику не удалось, но аксиоматический метод занял центральное место в современной математике Он позволил получить фундаментальные результаты в ряде математических наук Таким образом, аксиоматический метод, истоки которого находятся в работах древних греков, окончательно сформировался в конце 9 начале 0 в и является фундаментом для построения современных математических теорий Развитие компьютерных наук было бы немыслимым без этого метода Основой аксиоматического метода является математическая структура, которая задается на множестве элементов, природа которых не определена Структура задается в виде некоторых отношений, в которых находятся элементы рассматриваемого множества Для этих отношений определяются условия, которым отношения удовлетворяют Эти условия и являются аксиомами 9

10 вводимой структуры Построить аксиоматическую теорию значит, вывести логические следствия непосредственно из аксиом структуры, отказавшись от любых предположений о природе элементов Существуют 3 основных типа простых математических структур: ) алгебраические структуры, когда задаются отношения между элементами, определяющие однозначно третий элемент как функцию двух элементов (например, аксиомы сложения двух чисел), ) структуры, определенные отношением порядка (например, отношение «меньше или равно y»), 3) топологические структуры, определяемые понятиями окрестности, предела, непрерывности Простые структуры являются фундаментом для создания сложных структур, являющихся комбинациями простых структур В рамках настоящего пособия было бы довольно сложно дать аксиоматику евклидовой геометрии, разработанную Гильбертом Мы предлагаем познакомиться с аксиомами действительных чисел Аксиоматика действительных чисел Множеством действительных чисел ( R ) мы назовем множество, для элементов которого ( ) определены две бинарные операции: сложение (+) и умножение ( ), а также отношение порядка ( ), удовлетворяющие следующим аксиомам, y, z, Аксиомы сложения ) справедливо y y ), y, z R справедливо ( y) z ( y z) 3) 0 R(нейтральный элемент сложения) такой, что R справедливо 0 4) R ( ) R такой, что y, R ( ) 0 Аксиомы умножения ) y, R справедливо y y 0

11 ) справедливо ( ) ( ) 3) (нейтральный элемент умножения) такой, что справедливо 4), y, zr R R\{0} R такой, что y z yz R 3 Аксиома сложения и умножения ) справедливо, y, zr ( y) z ( z) ( yz) 4 Аксиомы порядка ) R справедливо ) таких, что, справедливо одно из двух соотношений: или 3) Если выполняются одновременно соотношения и, то справедливо соотношение z 4) Если выполняются одновременно соотношения и, то y y y, R y y y y y z y 5 Аксиомы порядка, связанные с операциями ) Если y, то для справедливо z y z ) Если выполняются одновременно соотношения 0 y z R 0 и 0 y, то 6 Аксиома непрерывности Пусть X и Y подмножества множества R, причем для справедливо Тогда z R такое, что и для y Y yy X y z и для и z y для X Очевидно, что аксиомы сложения и умножения задают алгебраическую структуру, аксиомы порядка задают структуру отношения порядка Последняя аксиома кажется лишней в перечне аксиом Однако именно эта последняя аксиома позволяет ввести иррациональные числа в множество действительных чисел Действительно, первые пять аксиом справедливы и для множества рациональных чисел Q, то есть, чисел, представимых в виде отношения p, где p целое число, а q натуральное число То, q что должны существовать еще какие-то действительные числа, отличные от рациональных, было известно еще Евклиду

12 Приведем доказательство того, что положительное число, квадрат которого равен, не является рациональным Доказательство проведем методом «от противного» q, что Предположим, что существуют такие взаимно простые числа p q Имеем: p p q, то есть, число p a p и является четным Если бы само число было нечетным, то и было бы нечетным, так как согласно соотношению квадрат нечетного числа нечетное число Поскольку p четное, то p l, и значит, или Согласно рассуждениям, аналогичным приведенным по поводу, также четное число, и значит, Следовательно, оба числа являются четными и не могут быть взаимно простыми Таким образом, предположение наше неверно, и число не является рациональным 4l q a q l p p и q p ( ) 4 4 q q m То, что a не является рациональным, еще не обеспечивает существования этого числа в множестве вещественных чисел Докажем с помощью аксиомы непрерывности, что ar Рассмотрим множество, состоящее из положительных действительных чисел таких, что, и множество Y, состоящее из положительных чисел, таких, что Примерами чисел из множества являются и, Примерами чисел из множества являются и,9 Поскольку, то для любых X и любых Таким образом, введенные множества X и удовлетворяют условиям аксиомы непрерывности, и значит, существует число такое, что z y для любых X и любых Предположим, что z X, то есть, Тогда 0 z (так z как, что 5 Y yy X zr y yy X y y ( y )( y ) 0 z z,) Поэтому справедливо соотношение обеспечивает неравенство z z 5 5 y Возьмем теперь число z z Это число больше, чем z, и значит, согласно аксиоме 5 непрерывности не может находиться в множестве X С другой стороны, пользуясь доказанным неравенством и тем, что z, имеем Y

13 z z z 5 z z 4 z z z ( z ) что обеспечивает принадлежность числа z z 5, множеству X Мы пришли к противоречию, и значит, предположение о том, что, то есть,, было неверным Следовательно, Предположим, что, то есть, Имеем (так z как z,9 ) Число z не может принадлежать множеству Y 4 согласно аксиоме непрерывности С другой стороны, z zy z z 0 z z z z z z z z z z z ( z ) 4 4 z z z z z, z X z то есть, z Y согласно определению Это противоречие 4 приводит к тому, что z Y, и значит, Полученные неравенства и обеспечивают равенство Таким образом, число, существующее в соответствии с аксиомой непрерывности, и есть то положительное число, квадрат которого равен Таким образом, аксиома непрерывности задает топологическую структуру, так как благодаря этой аксиоме мы можем иррациональные числа воспринимать в виде пределов последовательностей рациональных чисел Известной еще древним грекам является интерпретация множества R в виде бесконечной прямой, на которую нанесена точка, являющаяся началом отсчета как в положительном, так и в отрицательном направлениях Действительные числа это точки прямой с расстояниями от точки отсчета, равными величинам чисел Такой интерпретацией мы активно пользуемся со школы Другой моделью множества является окружность Характерной особенностью такой интерпретации является то, что аналогом бесконечности является одна из точек окружности Покажем, что между точками бесконечной прямой и конечной окружности существует взаимнооднозначное соответствие, позволяющее заменять одну модель на другую Представим окружность, касающуюся прямой в точку A, которую мы назовем полюсом Другим полюсом (B) назовем точку, диаметрально противоположную A Проводя из B лучи, R 3

14 пересекающие окружность и данную прямую, мы получим взаимнооднозначное соответствие точек окружности и прямой Полюс A будут соответствовать самому себе Полюс B будет соответствовать бесконечности При этом понятия и направление движения к одной и той же точке B, соответствующей бесконечно удаленной точке будут означать только Самым первым подмножеством множества R, освоенным человечеством для счета, является множество натуральных чисел (N) Другим подмножеством R, включающим в себя N, является множество всех целых чисел (Z) Третьим подмножеством, включающим в себя Z, является множество всех рациональных чисел, а с множеством иррациональных чисел, дополняющим множество до множества R, мы познакомились в этом параграфе Q Q Элементы математической логики Логика это наука, изучающая формы и законы мышления Само слово произошло от греческого logos, что означает «слово, понятие, разум» Законы и правила формальной логики необходимо знать для построения правильных рассуждений Согласно основному принципу логики правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него рассуждений Отличительной особенностью правильного вывода является то, что из истинных утверждений всегда получаются истинные заключения Это позволяет из одних истин получать другие с помощью только рассуждений, разума и без обращения к опыту Как самостоятельная наука, логика оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384-3 гг до нэ) Он 4

15 систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться традиционной или аристотелевой логикой Аппарат этой логики оказался настолько мощным, что, например, на его основе известный средневековый философ и богослов Фома Аквинский осуществил обоснование всей христианской теологии Немецкий математик Лейбниц впервые высказал мысль о том, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по определенным правилам, и это позволяет всякие рассуждения заменить вычислением Он писал, что единственное средство улучшения умозаключений состоит в уподоблении их математическим, «чтобы ошибочность их можно было увидеть глазами, и если между людьми возникают разногласия, достаточно было бы сказать «Вычислим!» и станет ясно, кто прав» Это проделал в своей работе «Исследование законов мысли» Джордж Буль, в результате чего логическая теория приняла вид обычной алгебры и получила название алгебры высказываний или булевой алгебры, которую мы и будем изучать Математическая логика разновидность формальной логики, те науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения Как наука математическая логика содержит множество разделов, например, теорию доказательств Мы, в основном, познакомимся с наиболее простым разделом математической логики с логикой высказываний В этом разделе вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний из так называемых элементарных с помощью логических операций или связок Основным понятием этого раздела логики естественно является высказывание Высказыванием называется повествовательное предложение, про которое всегда определенно можно сказать, является оно истинным (И) или ложным (Л) Примеры высказываний: «Дважды два четыре», «Земля вращается вокруг Солнца», «3>5», «0 нечетное число», «На улице идет дождь» Побудительные предложения («Кругом», «Идите к доске»), вопросительные («Сколько времени?») и восклицательные («Ак Барс чемпион!») высказываниями не являются Логические операции на множестве высказываний задаются аксиоматически с применением таблиц истинности, указывающих значение (И или Л) результата операции при задании значений исходных высказываний 5

16 A и читается «не Аксиоматика операций над высказываниями ) Отрицание Логическая операция, соответствующая логической связке «не» называется отрицанием В результате этой операции получается высказывание ложное, если исходное высказывание истинно и истинное, если исходное ложно Она обозначается A» Например, если «математическое утверждение доказано», то высказывание «математическое утверждение не доказано» обозначается A Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности В нашем случае эта таблица имеет вид: А или A это высказывание A И Л А Л И Пример A: «АВС остроугольный», тогда А: «неверно, что АВС остроугольный» или А: «АВС прямоугольный или тупоугольный» Пример показывает, что отрицание не обязательно содержит частицу «не» в явном виде, отрицание может содержаться и в смысловом оттенке фразы ) Конъюнкция Операция конъюнкции применяется к двум высказываниям А и В и соответствует соединению их с помощью союза «и» Она обозначается А & В или А^В или А В (читается: А и В) Например, «Он мой сокурсник и друг» Конъюнкция двух высказываний А и В будет истинной тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания Поэтому таблица истинности для конъюнкции имеет вид A B И И И И Л Л Л И Л Л Л Л A B Предложение «Солнце светит и на улице тепло» представляет собой конъюнкцию двух высказываний Х: «Солнце светит» и У: «На улице тепло» 6

17 3) Дизъюнкция Операция дизъюнкции применяется к двум высказываниям А и В и соответствует соединению их с помощью союза «или» Она обозначается АВ (читается: А или В) Например, «Договор может быть заключен в устной или письменной форме» Дизъюнкция двух высказываний А и В будет ложной тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны Поэтому таблица истинности для конъюнкции имеет вид A B И И И И Л И Л И И Л Л Л A B Заметим, что в обыденной речи союз «или» употребляется в двух смыслах: ) неразделительном, как, например, в предложении «Право бесплатного проезда имеют пенсионеры или ветераны труда» (очевидно, что если человек одновременно пенсионер и ветеран труда, то правом бесплатного проезда он может пользоваться); ) разделительном Например, молодой человек говорит другу: «Вечером я пойду на дискотеку или посижу в библиотеке» Очевидно, он куда-то не пойдет На самом деле это два разных союза У древних римлян в качестве неразделительного «или» использовалось слово «vel», а разделительного слово «aut» Дизъюнкция это неразделительное «или» Рассмотренные три операции называют булевыми 4) Импликация Операция импликации соответствует объединению двух высказываний с помощью союза «если А, то В» Она обозначается А В Например, «Если студент-контрактник в течение -х сессий получал только отличные отметки, то по его ходатайству деканат может перевести его на бюджетную форму обучения» Импликация двух высказываний А и В ложна тогда и только тогда, когда высказывание А истинно, а В ложно Высказывание А 7

18 называется посылкой импликации, а высказывание В следствием Таблица истинности имеет вид А В А В И И И И Л Л Л И И Л Л И Приведем несколько выражений, которые считаются имеющими тот же смысл, что и «если А, то В» (где А и В высказывания): «А влечет В», «А только тогда, когда В», «В при условии А», «А, только если В», «В, если А» Следует уточнить, что логическими операциями никак не учитывается смысл высказываний в них участвующих Высказывания рассматриваются как объекты, обладающие единственным свойством быть истинными или ложными Например: Пусть Х: «Луна сделана из зеленого сыра», а У: «+=5», тогда согласно таблице раз Х ложно, то импликация Х У будет истинна, хотя никакой связи по смыслу между Х и У нет Точно так же, если У это «+=4», то Х У истинно, причем совершенно независимо от того есть ли связь между «Луна состоит из зеленого сыра» и «+=4» Такое уточнение смысла импликации «если Х, то У» не противоречит обыденному смыслу Например обещание «Если мне подарят велосипед, то я дам тебе покататься» воспринимается как ложь только в том случае, если мне подарили велосипед, а покататься на нем я не дал 5) Эквиваленция Эквиваленция обозначается А В (читается: А эквивалентно В или А равносильно В или А тогда и только тогда, когда В) Например, «Четное число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 3» или «Студент допускается к сессии в том и только в том случае, если он сдаст все зачеты» Эквиваленция двух высказываний А и В истинна тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают Поэтому таблица истинности для эквиваленции имеет вид 8

19 А В А В И И И И Л Л Л И Л Л Л И Основные законы логики высказываний Следующие законы являются логическими следствиями введенных булевых операций и доказываются, как теоремы, с применением таблиц истинности Перечислим эти законы Коммутативность конъюнкции: A B B A Коммутативность дизъюнкции: A B B A 3 Ассоциативность конъюнкции: A( BC) ( A B) C 4 Ассоциативность дизъюнкции: A( BC) ( A B) C 5 Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции: A( BC) ( A B) ( AC) 6 Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции: A( BC) ( A B) ( A C) 7 Закон де Моргана относительно конъюнкции: ( ) 8 Закон де Моргана относительно дизъюнкции: ( ) A B A B A B A B 9 Закон поглощения для дизъюнкции: A( A B) A 0 Закон поглощения для конъюнкции: A( A B) A Закон идемпотентности для конъюнкции: A A A Закон идемпотентности для дизъюнкции: AA A 3 Закон противоречия: AA " Л " 9

20 4 Закон исключения третьего: AA" И" 5 Закон двойного отрицания: ( ) A A 6 A" Л" " Л", A" И" A 7 A" Л" A, A" И" " И" Равенства в приведенных законах означает совпадение значений левой и правой частей равенства при любых значениях входящих в выражение высказываний Доказательство каждого закона представляет собой составление таблицы истинности, перебор всевозможных значений входящих в закон высказываний и сравнение значений высказываний левой и правой частей равенства Приведем примеры доказательств законов 5 и 7 Для доказательства закона 5, зададим всевозможные наборы значений для множеств и C (первые три столбца) AB, A( BC) A B ( A B) ( AC) A B C B C A C И И И И И И И И Л И И И Л Л Л Л Л Л И И Л Л Л Л Л Л Л Л Л Л Л Л И Л Л Л Л Л Л Л И И Л И И И Л И Л И Л И Л Л Л Л И Л И И И Л И И Заполним 4-й, 6-й и 7-й столбцы в соответствии с аксиоматически заданными таблицами значений для соответствующих операций После этого заполним 5-й и 8-й столбцы Мы видим, что значения на соответствующих строках совпадают Закон доказан A Аналогичным способом доказывается 7-й закон: A B A B A B A B И И И Л Л Л Л Л И Л И И Л И И Л Л И Л И И Л Л Л И И И И B 0

21 Студенты должны самостоятельно доказать остальные законы Полученные законы мы сможем применять для упрощения сложных высказываний Формулы логики высказываний Пусть А,В,С,,Х,У,Z (прописные латинские буквы) переменные, которыми мы будем обозначать элементарные высказывания Такие переменные называются высказывательными или пропозиционными Рассмотрим: символы логических операций (),,,, и скобки для указывания порядка действий Из перечисленных элементов составляются формулы Чтобы из повествовательного предложения получить формулу нужно ) выделить все элементарные высказывания и логические операции, образующие данное предложение, ) заменить их соответствующими буквами и символами, 3) в соответствии со смыслом предложения расставить скобки, установив порядок действий Примеры Предложение «Сдать зачет по математике можно, зная блестяще теорию или решив все примеры» можно представить так АВ, где А: «Сдать зачет можно, зная блестяще теорию», В: «Сдать зачет можно, решив все примеры» Предложение «Если Сувар или Таиф проиграют, а Феникс выиграет тендер, то Альбатрос упрочит свое положение и мы понесем убытки» представляет собой импликацию А В, где посылка А составлена из трех элементарных высказываний: Р: «Сувар проиграет», Q: «Таиф проиграет», R: «Феникс выиграет», а заключение В есть конъюнкция высказываний: D: «Альбатрос упрочит свое положение» и С: «Мы понесем убытки»с помощью введенных символов первоначальное предложение записывается в виде формулы: F: ((P Q) R) (D C) Если истинностные значения простых переменных P, Q, R, D, C соответственно равны И, Л, Л, И, Л, то истинностное значение сложного высказывания F может быть определено механически, используя таблицы истинности логических операций, следующим образом

22 ((P Q) R) (D C) ((ИЛ ) Л) (И Л) (И Л) Л Л Л Таким образом, при заданном наборе значений простых высказываний, используя аксиоматику логических операций, мы определяем значение высказывания, получаемого с помощью логической формулы Если дано сложное высказывание в виде логической формулы, то часто бывает важно знать, для какого набора значений переменных это сложное высказывание истинно, для какого ложно Тогда, как и при доказательстве законов логики, применяют таблицы истинности, в которых дается перебор всех возможных комбинаций значений простых высказываний, из которых состоит логическая формула, и получение соответствующих значений сложного высказывания И Пример Доказать, что при любых значениях формула ( ) ( ) P Q PQ P и Q справедлива P Q PQ P PQ И И И Л И И И Л Л Л Л И Л И И И И И Л Л И И И И ( P Q) ( PQ) Высказывание, истинное при любых значениях входящих в нее простых высказываний, называется тавтологией В случае, когда логическая формула содержит булевы операции, доказательства тавтологий или упрощение формул проще проводить, не строя таблицы истинности, а применяя доказанные нами основные законы логики высказываний Пример Доказать тавтологию P P ( Q Q)

23 Согласно закону 4 правая часть эквиваленции имеет вид, Применяем вторую часть закона 6, тогда правая часть превращается в Поскольку любое высказывание равносильно самому себе, тавтология доказана P" И" P Пример Упростить высказывание ( ( )) ( ( )) A A B A C A Последовательно применяя законы, имеем: = = = = Таким образом, исходное высказывание тавтология ( A( A B)) ( A( C A)) =( A( A B)) (( AC) ( A A)) (( A A) ( A B)) ( AC) " И" C " И" =( A( A B)) ( AC) =( A( A B)) ( AC) A( AC) =( AA) C Пример Доказать, что справедлива формула ( A B) ( B A) ( A B) ( A B) ( A B) ( B A) (( A B) B) (( A B) A) (( A B) ( B B)) (( A A) ( B A)) (( A B) " И") (" И" ( B A)) ( A B) ( B A) ( A B) ( A B) требовалось доказать Построение противоположного высказывания =, что и Пользуясь законами де Моргана, нетрудно определить правило, по которому строится высказывание, противоположное данному Для построения противоположного высказывания, следует записать высказывание в виде формулы, а затем надчеркнуть эту формулу и упростить полученное высказывание, пользуясь доказанными законами математической логики Очень часто в высказываниях (особенно, математических) присутствуют кванторы общности () или существования () При построении противоположного высказывания данные кванторы взаимно заменяют друг друга Поэтому правило построения высказывания, противоположного высказыванию, содержащему кванторы, такое В исходном высказывании выделяется основная фраза, которая содержится в последней части высказывания При построении противоположного высказывания кванторы взаимно заменяются, а последняя фраза заменяется на противоположную 3

24 Примеры Исходная фраза: «Каждого человека посещает мысль о том, что либо он должен поместить все деньги в банк, либо приобрести акции нефтяных компаний» Запишем с помощью кванторов: «у человека мысль ((деньги положить в банк)(приобрести акции нефтяных компаний))» То, что мы поместили в скобку, и есть основная фраза, содержащаяся в последней части высказывания Фраза, противоположная той, что в скобках, в формальной записи имеет вид: (( деньги, не положенные в банк) (не приобретать акции нефтяных компаний)) Операция дизъюнкции заменена на операцию конъюнкции в соответствии с законом де Моргана Запись высказывания, противоположного исходному, в кванторах имеет вид: «человек, у которого мысль (( деньги, не положенные в банк)(не приобретать акции нефтяных компаний))» После некоторой литературной обработки наше высказывание принимает вид: «Есть люди, твердо уверенные в том, что не все деньги следует доверять банкам и что нельзя покупать акции нефтяных компаний» Аналогичным способом строятся высказывания, противоположные математическим, таким как «Для любого такое, что при любом, обладающем свойством, выполняется неравенство ( )» f 0 существует ( ) 0 Запишем исходное высказывание в кванторах: «такое, что» Противоположное высказывание в кванторах имеет вид «такое, что 0,,( f( ) )» Читается противоположное высказывание так: «существует такое 0, что для любого положительного можно подобрать такое, что, и при этом ( )» 0 ( ) 0,,( f ( ) ) 0 Кстати, исходное высказывание это математическое определение того факта, что функция имеет в точке равный 0 Противоположное высказывание это математическое определение того, что у функции f( ) в точке 0 либо не существует предела, либо есть предел, отличный от нуля f( ) f 0 предел, 4

25 Задания Среди предложений выделите высказывания и определите их истинностные значения: ) Рыбы живут в воде ) Осень хорошее время года 3) Казань столица США 4) Волга впадает в каспийское море 5) Не ходи сюда! 6) + = 4 7) 3 5 = 8 Пусть А: «Сегодня буду писать отчет»; В: «Сегодня буду отдыхать»; С: «На улице идет дождь» Сформулируйте предложения соответствующие формулам: ) А^В, ) С^В, 3) А^В, 4) С^А, 5) А В, 6) С А, 7) С ВА, 8) (В С) ^А 3 Составьте формулы, соответствующие повествовательным предложениям, обозначая буквами элементарные высказывания: ) Идет дождь или кто-то не выключил душ; ) Если вечером будет туман, то я останусь дома или вынужден буду взять такси; 3) Если я устал или голоден, то не могу заниматься; 4) Если Роман проснется и пойдет на лекцию, то он будет доволен, а если не проснется, тоне будет доволен; 5) Хлеба уцелеют тогда и только тогда, когда будут вырыты ирригационные канавы, а если хлеба не уцелеют, то фермеры обанкротятся и оставят свои фермы; 4 Сформулируйте словесно высказывания: ) (А В) С, С (А^В), где А: лето жаркое; В: лето дождливое; С: я поеду в отпуск; ) (А^В) С, (А В) С, где А: фигура ромб; В: фигура прямоугольник; С: фигура параллелограмм; 3) (АВ) С, С (АВ), где А: сегодня светит солнце; В: сегодня сыро; С: я поеду на дачу 5 В следующих высказываниях выделите составляющие их элементарные высказывания, запишите составные высказывания с помощью формул и найдите их значение истинности: ) 5 кратно 3 и кратно 3; ) < 4 < 6 ; 3) 3 = 6 и 35 : 4 = ; 4) 8- простое число и 8 не делится на7; 5) число 3 простое или составное 6 Переменные P, Q, R, S принимают соответственно значения И, Л, Л и И Найдите истинностное значение каждой из следующих формул: ) (P Q) R, ) P (Q R), 3) R (S^P), 4) P (R S), 5) P (R S), 6) P R R ^ S, 7) S P (P S), 8) Q^ S (P S), 9) R^S (P Q S), 0) (P Q) R (S^S) 7 Составьте истинностную таблицу для каждой из следующих формул: ) P (P Q); ) P Q Q P; 3) R (Q ^ P); 5

26 4) (P Q) ( PQ); 5) (P Q ^R)P ^Q); 6) P Q (R Q P ^ R) 8 Докажите с помощью таблиц истинности равносильность формул: ) А (В С) (А^В) С; ) ( А В) ^(А С) А (В^С) 9 В результате тестирования были установлены следующие факты(и): ) если Анохин не увлекается философией, то либо Селянин, либо Венухин ею увлечены, причем не Венухин и Анохин одновременно; ) если Венухин не увлечен философией, то Анохин увлечен ею, Селянин нет; 3) если Анохин философ, то и Венухин философ Выяснить, кто согласно указанным фактам увлекается философией 0 Найти логические значения А и В, при которых выполняются равенства: ) (И А) В=Л; ) А В= А Пусть значение высказывания А В = И, что можно сказать о значении высказывания А ^В АВ? Для каждой формулы определите достаточно ли приведенных данных (они указаны в скобках), чтобы установить истинностное значение формулы Если достаточно, то укажите это значение ) (А В) С, (С=И); ) А ^(В С), ( В С=И); 3) А(В С), (В С=И); 4) (АВ) А ^ В, ((АВ)=И); 5) (А В) (В А), (А В=И); 6) (А ^ В) (АВ), (А=И, В=Л) 3 Проверить, является ли данная логическая формула тавтологией: ) (А В) ВА; ) А В (А ^ В); 3) А (А (В^ А)) 4 Формула G называется логическим следствием из формул F, F,,F, если она истинна всякий раз, когда истинны все формулы F, F,,F Обозначается F, F,,F = G Доказать, что А (В С), ВС =, А Для этого построить таблицы истинности высказываний А (В С), и Аи провести анализ ВС, 5 Проверить имеет или место логическое следование в следующих случаях: 6

27 ) А В (В С),,С А, В = С ; ) В А, В = А; 3) В А,В =А; 4) А ВС, = А 6 Переведите каждое рассуждение в логическую символику и установите, имеет ли место в нем логическое следование: ) Если он принадлежит к нашей компании (К), то он храбр (Х) и на него можно положиться (П) Он не принадлежит нашей компании Значит, он не храбр или же на него нельзя положиться ) В бюджете возникнет дефицит (D), если не повысят пошлины (P) Если в бюджете имеется дефицит, то государственные расходы на общественные нужды сократятся (O) Значит, если повысят пошлины, то государственные расходы на общественные нужды не сократятся 3) Если он автор этого слуха (А), то он глуп (Г) или беспринципен (Б) Он не глуп и не лишен принципов Значит, не он автор этого слуха 4) Если бы он ей не сказал, она ни за что не узнала бы А не спроси она его, он бы и не сказал Но она узнала Значит: Она его спросила 5) Если бы он не пошел в кино, он не получил бы двойки Если бы он подготовил домашнее задание, то он не пошел бы в кино Он получил двойку Значит, он не подготовил домашнее задание 7 Проверить правильность рассуждения средствами логики суждений: «Если бы он не пошел в кино, он не получил бы двойки Если бы он подготовил домашнее задание, то он не пошел бы в кино Он получил двойку Значит, он не подготовил домашнее задание» 8 Проверить правильность рассуждения средствами логики суждений: «Если человек осужден судом, то он лишается избирательных прав Если человек признан невменяемым, то он также лишается избирательных прав Следовательно, если человек обладает избирательным правом, то он здоров и не был осужден судом» 9 Пользуясь правилом построения противоположного высказывания, записать утверждения, противоположные следующим: ) На любом курсе каждого факультета КГУ есть студенты, сдающие все экзамены на «отлично» ) Каждый студент философского факультета КГУ имеет друга, который умеет решать все логические задачи 3) В любом самолете на рейсе Вашингтон-Москва присутствует хотя бы один сотрудник силовых органов, в каждой пуговице одежды которого вмонтирован микрофон 7

28 Ответы ) И; 3) Л; 4) И; 6) И; 7) Л ) Сегодня буду писать отчет или буду отдыхать; ) На улице идет дождь и я буду отдыхать; 3) Сегодня не буду писать отчет и буду отдыхать; 4) На улице идет дождь и сегодня я буду отдыхать; 5) Сегодня буду писать отчет или сегодня я не буду отдыхать, 6) На улице не идет дождь или сегодня я буду писать отчет; 7)Если на улице идет дождь, то я буду отдыхать или писать отчет; 8) Сегодня буду отдыхать в том и только в том случае, если будет дождь и дуду писать отчет 4 Если лето жаркое или дождливое, то я поеду в отпуск Если я поеду в отпуск, то лето жаркое и дождливое; ) Если фигура ромб и прямоугольник, то фигура параллелограмм Если фигура ромб или прямоугольник, то фигура параллелограмм; 3) Если сегодня не светит солнце или сегодня сыро, то я поеду на дачу Если я поеду на дачу, то сегодня светит солнце и сегодня не сыро 5 5 кратно 3, В: кратно 3; А^В =И; ) А: < 4, В: 4 < 6; А^В=И; 3) А: 3 = 6, В: 35 : 4 = ; А^В=Л; 4) А: 8-простое число, В: 8 не делится на 7; А^В=Л; 5) А: число 3 простое, В: число3 составное; А В=И 6 ) И; ) И; 3) И; 4) И; 5)Л; 6) Л; 7) И; 8) И; 9) И; 0) И 7 P Q ) ) 3) 4) И И И И Л И И Л Л И И И Л И И И И И Л Л И И И И P Q R 5) 6) И И И И И И И Л Л И И Л И Л И И Л Л Л Л Л И И И Л Л И Л И И Л Л И И И Л Л Л И И 9 Венухин0 ) А=И, В=Л; ) А=Л, В=И (указание перебрать все возможные значения А и В) Ложь, если А=И, и В=И Истина, если А=Л, а В=И или если А=Л и В=Л ) Да, истина; ) Нет; 3) Да, истина; 4) Да, истина; 5) Нет; 6) Да, ложь 3 ) 8

29 Нет; ) Да; 3) Да 5) Да; ) Нет; 3) Да; 4) Да 6 ) Нет; ) Нет; 3) Нет; 4) Да 7 Следование имеет место Рассуждение правильное 8 Рассуждение правильно Элементы теории множеств Понятие множества или совокупности принадлежит к числу простейших математических понятий Оно не имеет точного определения Любое множество задается своими элементами Примерами являются множество книг в библиотеке или множество студентов, присутствующих на занятии Обычно множество обозначают заглавными латинскими буквами (A), а его элементы строчными латинскими буквами (a) То, что элемент принадлежит множеству, обозначают так: aa Если a не принадлежит A, то этот факт обозначают так: aa Чтобы задать множество, следует или перечислить его элементы, или указать характеристическое свойство его элементов, то есть такое свойство, которым обладают все элементы множества и только они Примеры Множество натуральных чисел можно задать так: N={,, 3,,, +, } Из записи следует, что все натуральные числа, начиная с двойки, получаются прибавлением единицы к предыдущему числу Множество целых чисел можно задать так: Z={0,,,,,,,, } 3 Множество рациональных чисел можно задать так: Q ={ p q pz, qn } Вертикальная черта внутри фигурной скобки означает, что далее идет описание характеристических свойств введенных обозначений Два множества равны тогда и только тогда, когда состоят из одних и тех же элементов Если все элементы множества A содержатся в множестве B, то говорят, что A является подмножеством множества B и обозначают A B В рамках рассматриваемой математической теории вводят два исключительных множества: пустое множество ( ), не содержащее элементов, и универсальное множество или «универсум» (U), содержащее все элементы данной теории 9

30 Аксиоматика операций над множествами Основными операциями над множествами являются следующие Дополнение Для любого множества A U определим дополнение Например, в множестве вещественных чисел дополнением к множеству Q является множество всех иррациональных чисел c A { bu b A} Объединение Для любых двух множеств определим объединение Например, объединением отрезков [,3] и [,7] является отрезок [,7] AB { cu ( c A) ( cb)} A, B U 3 Пересечение Для любых двух множеств пересечение AB { cu ( c A) ( cb)} A, B U определим Например, пересечением отрезков [,3] и [,7] является отрезок [,3] Для иллюстрации операций над множествами вводят диаграммы Эйлера-Венна круги, обозначающие множества Так, введенные нами операции иллюстрируются следующим образом A B A B Подчеркнем, что диаграммы Эйлера-Венна не могут служить доказательствами равенства множеств Кроме введенных нами трех операций над множествами существуют еще операции, которые могут быть представлены как 30

31 комбинация простейших операций Введем операцию вычитания множеств: A\ B { cu ( c A) ( cb} вычитания выглядит так: На диаграмме Эйлера-Венна результат A\ B c A U \ A Докажем, что Для доказательства равенства двух множеств следует убедиться в том, что все элементы первого множества принадлежат второму и все элементы второго множества принадлежат первому A B AB \ c а) Пусть Из определения следует, что справедливо высказывание Из определения дополнения к множеству следует, что Теперь из определения пересечения множеств следует, что То есть, любой элемент c из множества A\ B принадлежит множеству A B B A B 0 \ ( A) ( B) 0 0 ( A) ( B c ) 0 0 AB c б) Пусть 0 A B c Из определения пересечения множеств следует, что Из определения дополнения множества получим В соответствии с определением разности множеств ( A) ( B c ) 0 0 ( A) ( B) 0 0 Следовательно, любой элемент из множества принадлежит множеству A B 0 \ A\ B Доказательство равенства двух множеств закончено 0 AB c Нетрудно заметить, что при доказательстве, связанном с множествами, большую роль играют высказывания, присутствующие в определении высказывания Поскольку эти высказывания содержат 3

32 логические операции, естественно предположить, что законы, справедливые для логических операций, могут быть перенесены на множества Это, действительно, так Основные законы теории множеств Следующие законы являются следствием соответствующих законов логики высказываний Перечислим эти законы Коммутативность пересечения: A B B A Коммутативность объединения: A B B A 3 Ассоциативность пересечения: 4 Ассоциативность объединения: A( BC) ( AB) C A( BC) ( AB) C 5 Дистрибутивность пересечения относительно объединения: A( BC) ( AB) ( AC) 6 Дистрибутивность объединения относительно пересечения: A( BC) ( AB) ( AC) 7 Закон де Моргана относительно пересечения: ( AB) c A c B c 8 Закон де Моргана относительно объединения: ( AB) c A c B c 9 Закон поглощения для объединения: A( AB) A 0 Закон поглощения для пересечения: A( AB) A Закон идемпотентности для пересечения: AA A Закон идемпотентности для объединения: A A A c 3 Закон противоречия: A A 4 Закон исключения третьего: c AA U 5 Закон двойного отрицания: ( ) 6 A, AU A 7 A A, AU U A c c A 3

33 Для доказательства равенств, присутствующих в законах, следует показать, что множества, стоящие по обе стороны знака равенства, состоят из одних и тех же элементов а) Пусть Приведем пример доказательства закона 6 ( A) (( B) ( C)) 0 A( BC) ( 0 A) ( 0 ( BC)) использованные нами импликации основываются на определениях Теперь применим к последнему высказыванию шестой закон логики высказываний Получим A( BC) (( A) ( B)) (( A) ( C)) Все В соответствии с определениями пересечения и объединения множеств имеем Таким образом, A( BC) ( ( AB)) ( ( AC)) (( AB) ( AC)) A( BC) (( AB) ( AC)) 0 0 б) Пусть, что следует из определений пересечения и объединения Теперь согласно шестому закону логики высказываний, и снова из определений объединения множеств и пересечения множеств 0 (( AB) ( AC)) (( AB) ( AC)) (( A) ( B)) (( A) ( C)) ( A) (( B) ( C)) AB AC 0 (( AB) ( AC)) 0 (( ) ( )) Доказательство закончено Студенты должны самостоятельно доказать все равенства, приведенные в законах теории множеств, основываясь на соответствующих равенствах в законах логики высказываний, и убедиться в том, что такие разные разделы математики, как математическая логика и теория множеств, могут иметь сходные свойства с точки зрения действующих там законов Используя законы теории множеств, легко упрощать представление множеств, заданных с помощью последовательности операций 33

34 Пример c c c c A\ ( A\ B) A( A B ) A( A B) ( A A ) ( A B) ( A B) AB Задания Прочтите записи и перечислите элементы каждого из множеств: A = { N, < 5}; D = { Z, 5< }; E = { Z, 3 } Установите, какое из подмножеств А или В является подмножеством другого множества, если: ) А={; ; 3; 0}, В={; 4; 6 ;8}; ) А={; 4; 6; 8; 0}, В множество чисел первого десятка; 3) А множество четных однозначных чисел, В множество однозначных чисел, кратных 4; 4) А множество двузначных натуральных чисел, В множество четных двузначных чисел; 5)А=N, B=R; 6) A=N, B=Z; 7) A=R, B=Z 3 Заданы множества: А={3,5,7,а,с}; В={а,р,с,3,5,6,7}; С={а,3,с,7} Расположите их так, чтобы каждое из них было подмножеством следующего за ним 4 Пусть А множество всех натуральных делителей числа 8; В множество всех натуральных делителей числа 4 Найти: ) множество общих делителей чисел 8 и 4; ) самый большой общий делитель 5 Найдите пересечение и объединение множества А различных букв, входящих в слово педагогика, и множества В различных букв, входящих в слово математика 6 Пусть даны множества А, В, С Найдите А В, А С, В С, АВ, АC, ВС, если: ) А={; 3; 8; 9}, В={6; 8; 0}, C=N; ) A=N, B={-; -; 0; ; }, C={3; 5; 7}; 3) A={3; 4; 5; }, B=N, C={-; 0; ; }; 4) A={; ; ; 6}, B={3; 5}, C=N 7 Заданы множества А={,,3,5,а,с}, В={,,3,р,а}, С={5,с} Какие из приведенных соотношений: ) В А, ) С А, 3) А\В=С, 4) А В=С, 5) А С=С верны? 8 Найти пересечение и объединение множеств:) [3; 4] и [; 6]; ) (-; 3) и (-4; ]; 3) (-; ] и [-; 0); 4) (- ; 3) и (-; ); 5) A=[-; 3], B=(; 5]; 6) A=[-; 4], B=[; ); 7) A=(- ; ), B=[-3; ) (Указание Для решения использовать числовую прямую) 9 Дано: A={; ; 3}, B={; 4}, C=[; 8] Найдите результат следующих операций: 34

35 ) А (ВС); )А(В С); 3)(АВ) С; 4)(А С) (А В) 0 Найдите результаты операций для каждой тройки множеств А, В, С: ) А(В С); ) (А В) С; 3) А (ВС); 4) (А В) С, если а) А=(0;], В=[-; 3], С=(-3; 6); б) А=(-3; 6), В=[0; 4), С=[; 7] Найти разности А\В и В\А множеств А и В, если: ) А={; ; 3; ; 0}, B={5; 6; ; }; ) А множество натуральных делителей числа 8; В множество натуральных делителей числа 4; 3) А множество правильных многоугольников, В множество прямоугольников; 4) A={ R, 6}, B={ R, 3 7}; 5) A={ R, < 4}, B={ R, < 8}; 6) A={ R, 0<<}, B={ R, < 3} Для множеств А, В, С общего положения (те А В С ) на диаграмме Эйлера изобразить множества ) (АС)\В; ) (А\С) В; 3) (А В)\С; 4) (АВ) С 3 На кругах Эйлера показать справедливость основных свойств операций над множествами Для каждого свойства изобразить левую и правую часть равенства и убедится, что они изображаются одинаковыми фигурами на кругах Эйлера 4 Доказать равенство множеств, используя логику высказываний, а затем проверить их с помощью кругов Эйлера ) ; ) ; 3) ; c 4) ( \ ) ( ) ; 5) ( A\ C) B A\( B C) 5 Доказать следующие равенства и проиллюстрировать диаграммами Эйлера ) ) 3) A B A B A A\ ( A\ B) A B, ( A\ B) \ C A\ ( B C), ( A\ B) ( B \ A) ( A B) \ ( A B) c c c 6Упростить ( A B C) ( A B C) B C 7 Доказать следующие равенства ) ) C \ A ( C \ A ), k k k C \ A ( C \ A ) Ответы k k k k k 35

36 А={; ; 3;4}; D={-4;-3;-;-;0; ; } ; E={-3;-;-;0;;} ) В А; ) А В; 3) В А; 4) В А; 5) А В; 6) А В; 7) В А 3 С А В 4 ) А В={; ; 3; 6}; ) d=6 5 А В={а; е; и; к}, АВ ={м; а; т; е; к; п; д; г; о; и} 6 ) А В=, А С=A, В С=B, АВ={; 3; 8; 9;6;8;0}, АC=C, ВС=C; ) А В={;}, А С=C, В С=, АВ={-; -; 0; ; ;3;4; }, АC=A, ВС=={-; -; 0; ; ;3;5;7};3) А В=A, А С=, В С={;}, АВ=N, АC={-; 0; ; ; 3;4;5 }, ВС={-; 0; ; ; 3;4;5 }; 4) А В=, А С=A, В С=B, АВ={3; 5; ; ; ; 6}, АC=C, ВС=C; 7 ); 3); 5) 8 ) [3; 4] и [; 6]; ) (-; ] и (-4; 3); 3) (-; 0) и [-; ]; 5) АВ=[-;5], А В=(;3]; 6) АВ=A, А В=B; 7) АВ=R, А В=[-3;) 9 ) {; 3}; ) {;;3} 0 Для пункта (a) ) А(В С)=[-;3]; ) (А В) С=(0;]; 3) А (ВС)=(0;]; 4) (А В)С=(-3;6) Для пункта (б) ) А(В С) =(-3; 6), ) (А В) С=[;4); 3) А (ВС) =[0;6); 4) (А В) С=[0;7] ) А\В={;;3;4} и В\А={;}; ) А\В={9} и В\А={4;8;}; 3) А\В=A и В\А=B; 4) А\В=[;3) и В\А=(6;7]; 5) А\В=(;] и В\А=(4;8]; 6) А\В=(0;] и В\А=[;3] ) ) 3) 4) 36

37 6 Мощность множества Когда речь идет о конечном множестве, одной из его характеристик является число элементов этого множества Как же с подобной точки зрения характеризовать множества, содержащие бесконечные наборы элементов? Естественным для такой характеристики является сравнение бесконечных множеств между собой или с каким-то бесконечным «эталонным» множеством Множества считаются равномощными, если существует взаимно однозначное соответствие между всеми элементами одного и другого множеств Это означает, что существует закон, в соответствии с которым каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент второго множества, причем разным элементам первого множества соответствуют разные элементы второго множества и все элементы второго множества имеют прообразы в первом множестве Примером задания взаимно однозначного соответствия между множествами точек двух отрезков является гомотетия: 37

38 Таким образом, «количество» точек верхнего и нижнего отрезков вследствие взаимно однозначного соответствия между точками одинаково, хотя один отрезок длиннее другого Все дело в том, что точки, как известно, не имеют длины, и присутствие или отсутствие на отрезке отдельных точек не связано с изменением этой меры отрезка Взаимно однозначное соответствие между множествами на вещественной оси можно задавать с помощью функций Так, функция (что в данном случае равносильно ) задает взаимно y tg arctg y однозначное соответствие между точками интервала (, ) точками всей вещественной оси Таким образом, множество точек любого интервала равно множеству точек всей вещественной прямой В математике очень важным является понятие счетного множества Счетным называется множество, равномощное множеству натуральных чисел Примером счетного множества является множество Z целых чисел Действительно, хотя является подмножеством Z, между точками этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие с помощью следующего правила Присвоим числу 0 номер, числу номер, числу - номер 3, числу номер 4, числу - номер 5 Таким образом, целому положительному числу поставим в соответствие натуральное число ; отрицательному целому числу - поставим в соответствие натуральное число + Взаимно однозначное отображение установлено, следовательно, Z счетно N Множество рациональных чисел также является счетным «Сосчитать» его, то есть, установить взаимно однозначное соответствие с множеством N можно при помощи следующей бесконечной таблицы Q N и 38

39 В верхней строке таблицы стоят целые числа (p), начиная с 0 В левом крайнем столбце натуральные числа (q) На пересечении строки и столбца стоит рациональное число p/q q\p / -/ - 3/ -3/ 3 0 /3 -/3 /3 -/3-4/3 4 0 /4 -/4 / -/ 3/4-3/4 5 0 /5 -/5 /5 -/5 3/5-3/5 4/5 Очевидно, что некоторые числа в таблице повторяются Но для любого рационального числа найдется место в таблице на пересечении столбца, соответствующего числителю, и строки, соответствующей знаменателю Начнем двигаться по таблице с левой верхней позиции по такому пути, чтобы пройти все элементы таблицы Можно, например, двигаться по следующему маршруту При этом попадающиеся по пути рациональные числа последовательно нумеруются и запоминаются, так как номера присваиваются только еще не пронумерованным числам При указанном способе движения числу 0 присваивается номер, числу номер, числу / номер 3, числу /3 номер 4, числу -/3 номер 5, Указанная процедура (бесконечная) обеспечит нумерацию всех рациональных чисел, причем ни одно не будет пронумеровано дважды Взаимно однозначное соответствие установлено Возникает вопрос: можно ли пронумеровать все вещественные числа? Ответ на этот вопрос отрицательный Покажем, что множество точек любого интервала, лежащего на вещественной оси, несчетно 39

40 Поскольку между точками двух интервалов можно установить взаимно однозначное соответствие, докажем несчетность множества точек интервала (0,) Доказательство проведем методом «от противного» Заметим, что в силу взаимно однозначного соответствия любую точку на интервале (0,) можно ассоциировать с десятичной дробью вида 0,, где после нуля и запятой стоит бесконечное множество цифр, принимающих значения от 0 до 9 В случае, когда десятичная дробь конечная, все цифры, начиная с некоторой, будут нулями Предположим, что мы смогли присвоить номера всем точкам интервала или, что то же самое, всем десятичным дробям указанного вида Следовательно, мы можем расположить все такие числа последовательно, в соответствии с нумерацией: ) 0, a, a, a,3 ) 0, a a a,,,3 3) 0, a3, a3,a3,3 ) 0, a a a,,,3 Здесь все 0,,,3,4,5,6,7,8 и 9 a k,, k, N цифры, принимающие значения А теперь построим новую десятичную дробь с нулем в целой части: 0, bb b 3, где {0,,,3,4,5,6,7,8,9} При построении выберем цифру b так, чтобы, цифру b так, чтобы,, b a,, У нас получится новая точка из интервала (0,), не совпадающая ни с одной точкой из пересчитанных, так как соответствующая новой точке десятичная дробь отличается от каждой из пересчитанных десятичных дробей хотя бы одной цифрой после запятой Таким образом, мы пришли к противоречию, предполагая, что можем пересчитать все точки: мы нашли точку из интервала (0,), не совпадающую с пересчитанными точками b a, b j также цифры из множества b a, 40

41 Мощность множества точек интервала (0,), а значит, в силу равномощности, и мощность множества всех вещественных чисел называется континуум В 878 году ГКантор выдвинул гипотезу о том, что любое бесконечное подмножество множества вещественных чисел либо счетно, либо имеет мощность континуум До сих пор эта гипотеза не доказана и не опровергнута Задания Доказать, что объединение двух счетных множеств есть счетное множество Доказать, что множество точек плоскости с рациональными координатами счетно 3 Проверить будут ли счетными множества a) N Z, б) Z R 4 Доказать, что нет рационального числа квадрат которого равен 3; 5 Доказать, что нет рационального числа равного показателю степени, в которую нужно возвести число, чтобы получить число 5 6 Пусть число а число рациональное, а j иррациональное Докажите, что нет рациональных чисел равных: а) а + j; б) квадратному корню из j 7 Может ли быть: а) сумма; б) произведение; в) частное двух иррациональных чисел числом рациональным (привести примеры)? 8 Доказать, что следующие множества равномощны ) Отрезок [-,] и верхняя дуга окружности, построенной на этом отрезке, как на диаметре ) Полуинтервал [0,) и луч [0,+ ) 9 На какое множество отображает заданный отрезок функция ) [-;]; ) [0;]; 3) [-;3]; 4) [3;5]? В каких случаях заданное отображение будет взаимно однозначным соответствием? 4

42 Ответы 7а) да; б) да; в) да 9 ) [0;]; ) [0;]; 3) [0;9]; 4) в случаях ) и 4) взаимно однозначное Функции на множестве натуральных чисел в комбинаторике и метод математической индукции В школьном курсе изучается много функций, задаваемых на вещественной оси или ее подмножествах Подмножества эти являются отрезками, интервалами, полуинтервалами, В настоящем параграфе мы определим те функции, которые можно рассматривать только на множестве N, и найдем их приложения в комбинаторике разделе математики, посвященном решению задач выбора и расположения элементов конечных множеств Основой для всех таких функций можно считать факториал:! 3 Попробуем решить такую задачу: сколькими способами можно рассадить на пронумерованных стульях гостей? На первый стул можно посадить любого из гостей Выбрав одного из них, на второй стул можно усадить уже одного из оставшихся ( ) претендентов Выбрав и этого, на третий стул выбираем одного из ( ) гостей На последний стул претендент будет только один Таким образом, если двигаться от конца процесса, мы получим вариантов 3! Взаимно однозначное отображение конечного упорядоченного множества на себя называется подстановкой элементов множества Каждая последовательность элементов конечного множества с учетом порядка называется перестановкой этих элементов и обозначается P Перестановки не меняют элементов множества или их количества, они меняют порядок элементов Таким образом, число всевозможных перестановок в множестве из элементов P =! Представим теперь, что, как в предыдущей задаче, у нас пронумерованных стульев, но мы рассаживаем на них m претендентов, причем m > Конечно, всех усадить мы не сможем, но хотим выяснить, сколько имеется вариантов рассаживания Рассуждая так же, как в предыдущей задаче, видим, что на -й стул имеется m претендентов, на второй (m ), на 4

43 третий (m ),, на -й стул остается (m + ) претендент Итак, число вариантов равно! ( m m ) ( m ) ( m ) m ( m )! Любой упорядоченный набор различных элементов множества, состоящего из m элементов, называется размещением из m по, число таких размещений обозначается Таким образом, A m = A m m! ( m )! 3 Рассмотрим теперь несколько другую задачу, где мы «раздаем» не сидячие места на пронумерованных стульях (как известно, человек не может сидеть одновременно более чем на одном стуле), а, например, раритетных книг группе страстных библиофилов, состоящей из m человек Сколько вариантов раздачи книг m претендентам? На первую книгу у нас m претендентов, на вторую тоже m претендентов, и так далее Следовательно, мы имеем вариантов распределения книг между претендентами Любой упорядоченный набор элементов множества, состоящего из m элементов, называется размещением с повторением из m по и равен m 4 Вернемся ко второй задаче, где мы рассаживали m человек на стульях, только теперь у нас стулья не пронумерованы, не отличаются друг от друга, и нас не интересует, где кто сидит, а интересует, сидит человек или стоит Значит, число вариантов рассаживания совпадает с числом вариантов отбора из m гостей группы счастливчиков, состоящей из человек, которые смогут сесть на стулья Решение этой задачи можно связать с решением задачи Представим, что мы решили бы задачу таким образом: отбирали бы группы по человек, а затем делали бы внутри группы отобранных для сидения человек всевозможные перестановки, чтобы учесть все варианты рассаживания на пронумерованных стульях Мы должны были бы получить тот же результат: Следовательно, количество вариантов выбора групп по человек из m человек равно A m, деленное на число перестановок в группе из человек, то есть на! A m m 43

44 Любое подмножество из элементов множества, состоящего из m элементов, называется сочетанием из m по, и число сочетаний обозначается В соответствии с рассуждениями при решении задачи, Задания C m Am! C m или C m m!!( m )! Составить различные размещения по два элемента из элементов множества Q={3,4,5} и подсчитать их число Сколькими способами три награды (за, и 3 места) могут быт распределены между 0 участниками соревнований? 3 Сколько имеется пятизначных чисел, все цифры у которых различны? 4 Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (три горизонтальных полосы), если имеется материя 5 различных цветов? 5 Составить различные перестановки из элементов множества Q={5,8,9} и посчитать их число 6 В комнате имеется 7стульев Сколькими способами можно разместить на них 7 гостей? 3 гостя? 7 Студенты сдают 5 экзаменов, в том числе экзамена по математике Сколькими способами можно распределить экзамены так, чтобы экзамены по математике следовали один за другим? Не следовали один за другим? 8 Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове: ) СОЛНЦЕ; ) ТЕАТР; 3) ЛИЛИ; 4) SOS? 9 Составить различные сочетания по два элемента из элементов множества А={3,4,5} и подсчитать их число 44

45 0 Из группы в 0 человек выбирают троих дежурных Сколькими способами это можно сделать? Группа шахматистов сыграла между собой 8 партий Каждые два из них встречались между собой один раз Сколько шахматистов участвовало в соревнованиях? Сколько различных аккордов можно взять на 0 выбранных клавишах рояля, если каждый аккорд может содержать от трех до десяти звуков? 3 Собрание из 80 человек избирает председателя, секретаря и трех членов редакционной комиссии Сколькими способами это можно сделать? 4 Группа туристов из юношей и 7 девушек выбирают по жребию 5 человек для приготовления ужина Сколько существует способов при которых в «пятерку» попадут: ) одни девушки; ) 3 юноши и девушки; 3) юноша и 4 девушки; 4) 5 юношей? 5 В ящике 5 деталей, среди которых 6 бракованных Наудачу выбирается комплект из 5 деталей Сколько всего комплектов, в каждом из которых детали бракованные? 6 Сколькими способами можно составить трехцветный (три вертикальные полосы) полосатый флаг, если имеется материал кранного, желтого, зеленого и черного цветов, причем одна из полос должна быть зеленой? 7 Сколькими способами можно сформировать железнодорожный состав из 9 вагонов так, чтобы -й и 4-й вагоны шли через один? 8 Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0,,,3,4, если: ) цифры не могут повторятся; ) цифры могут повторятся; 3) числа должны быть четными (цифры могут повторятся); 4) числа 45

46 должны делиться на5 (цифры не могут повторяться)? 9 Шесть ящиков различных материалов доставляются на 5 этажей стройки Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких вариантах на пятый этаж будет доставлен какой-либо один и только один материал? 0 Каждому из 8 школьников одного класса предложили в анкете написать имена 3 учеников, с которыми больше всего хотелось бы дружить Определить число различных вариантов заполнения анкет Ответы ; ; 7 8 ) 70; ) 60; 3) 6; 4) C 80! A 3! 75! ) ; ) 460; 3) 40; 4) ) 48; ) 00; 3) 60; 4) ; Метод математической индукции Это метод доказательства утверждений, связанных с натуральными числами и значит, он может применяться в работе со счетными множествами Пусть A() зависящее от N утверждение Если а) A() справедливо; б) из того, что справедливо A() следует справедливость A(+), то A() справедливо при всех N Действительно, раз, согласно а) справедливо A(), то согласно б) справедливо A() Раз справедливо A(), то согласно б) справедливо A(3), Продемонстрируем применение метода математической индукции к доказательству формулы бинома Ньютона: 46

47 ( ) k k C k0, N, где k C число сочетаний из по k, причем C C 0 Пункт а) это проверка справедливости формулы при = Левая часть формулы принимает вид Правая часть формулы k k C совпадает с левой частью k0 Пункт б) сложнее Здесь необходимо в предположении, что при некотором формула верна, доказать ее справедливость при + То есть, из соотношения k k k0 ( ) C ( ) k k C k0 следует вывести формулу Левая часть последнего соотношения получается из левой части предыдущего соотношения умножением на сомножитель В силу справедливости предыдущего ( ) соотношения получим последней сумме индекс меняется от 0 до, то ( ) ( ) C C C k k k k k k k0 k0 k0 k обозначим k меняется от до k и заметим, что раз k k k k k k k k k0 k k k ( ) C C C C В Поэтому получим k В последнем выражении слагаемые и это, соответственно, первый член из первой суммы и последний член из второй суммы Две суммы, стоящие в середине последнего выражения, отличаются обозначением индексов, но имеют одинаковые пределы изменения этих индексов и одинаковые степени Поскольку индексы, принадлежащие различным суммам, независимы друг от друга, обозначим оба индекса одинаковой буквой, например, Тогда мы получим скобках, имеем j j j j ( ) ( C C ) j j!!!( j j) C C j!( j)! ( j )!( j )! j!( j )! ( )! j C j!( j)! Упрощая выражение в j 47

48 Таким образом, j j j j j j0 ( ) C C, то есть необходимая формула получена Поскольку оба пункта доказательства выполнены, формула бинома доказана для всех N Задания Доказать следующие равенства: ), 3 ( ) ) = ( )( ) 6 3)! = ( 4) ( ), ) 6) ( ), ( ) ( ) 3 ( ) Доказать, что при любом натуральном значении число 3 +5 делится на 6 3 Доказать, что при любом натуральном значении число 7 делится на 6 4 Доказать следующие неравенства: ) > +, ( 3), 3 ),( ) 4 5 Доказать следующие неравенства ) ) 3 ( ), 4, 3 ( ) 6 Доказать, что при любом натуральном значении число 3 кратно 6 7 Доказать, что если натуральное число, то делится на 9 8 Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9 9 Можно ли методом математической индукции доказать теорему Пифагора? (Почему?) 48

49 Отношения Мы уже познакомились с отношением порядка вида, задаваемым на R, когда изучали аксиоматику действительных чисел В таком отношении участвуют два элемента множества, поэтому отношение порядка называется бинарным Для того, чтобы дать общее определение отношения, введем сначала новое понятие Декартовым (или прямым) произведением множеств назовем новое множество, элементами которого являются всевозможные пары ( ab, ), где a A и b B A и B AB Например, если множество множество из чисел -, 4 и 7, то множество состоит из 6 элементов: (;-), (;4), (;7), (3;-), (3;4) и (3;7) Множества A и B не обязательно должны быть дискретными Так, декартово произведение двух отрезков действительной оси множество представляет собой прямоугольник в плоскости, проецирующийся на соответствующие отрезки координатных осей Очевидно, что это вся двумерная плоскость, это все трехмерное пространство B RR R A состоит из чисел и 3, а AB [0,] [,6] R R R 3 XOY Бинарным отношением на множестве A называют подмножество множества A A Рассмотрим пример отношения порядка вида, задаваемого на R Роль множества A здесь играет все множество действительных чисел R Что же за подмножество плоскости задает такое отношение? Если первое R в декартовом произведении ассоциировать с осью OX на плоскости, а второе R с осью OY, то подмножество, для которого выполняется соотношение, очевидно, представляет собой объединение части плоскости, лежащей выше биссектрисы -го и 3-го координатных углов, с самой этой биссектрисой Рассмотрим пример отношения, задаваемого на R с помощью множества точек, представляющего собой кривую, лежащую в плоскости R и обладающую тем свойством, что любая прямая, параллельная оси OY, пересекает заданную кривую только в одной точке Это означает, что каждому значению R отвечает единственное значение y R Очевидно, что заданная кривая RR R y 49

50 представляет собой график некоторой функции, заданной на всей действительной оси и имеющей действительные значения Такое отношение называется функциональным y f () По аналогии с бинарными вводятся -арные отношения в множестве A как подмножество множества A A A A Задания Запишите все двузначные числа, цифры десятков которых принадлежат множеству А={5; 6; 7}, а цифры единиц множеству В={; } Напишите все правильные дроби, числители которых выбираются из множества А={5; 6}, а знаменатели из множества В={7; 8; 9} 3 Для множеств А={3; 4} и B={a; b} составьте декартовы произведения АВ и BA 4 Для множеств А={ ; 5} и B={k; l; m} составьте декартовы произведения АВ и BA 5 Найдите множества А и В, если АВ ={(c,a), (c,y), (т,a), (т,y), (o,a), (o,y), (л,а), (л,у)} 6 Найдите декартово произведение множеств АВ и ВА, а также их пересечение, объединение и разности (АВ)\(ВА) и (ВА)\(АВ) изобразите их элементы на координатной плоскости, если: A={3}, B=(; 5); ) A=[ ; ), B=[ ; 3]; 3) A=( 3; ], B=[ ; 4]; 4) A=[ ; ], B=( ; 3); 5) A=Z, B=[; 5] 7 Изобразите на плоскости следующие множества ) ([ ;3] [ ;5]) ([;4] [ 4;4]), ) (( ;0] [ ;]) \ ([ 3;7] [ 5;]) 8 Изобразите подмножество плоскости RR R, для элементов которого (;y) выполняется отношение ) Ответы 5, 5, 6, 6, 7, 7 5/7, 5/8, 5/9, 6/7, 6/8=3/4, 6/9=/33 АВ={(3,a), (3,b), (4,a), (4,b)};BA={(a,3), (a,4), (b,3), (b,4)}4 АВ=={(-,k), (-,l), (-,m), (5,k), (5,l), (5,m)}; BA={(k,-), (l,-), (m,- ), (k,5), (l,5), (m,5)}5 А={c; т; о; л} и B={a; у} 50

51 Комплексные числа При изучении алгебры и начал анализа в средней школе мы сталкивались с рядом запретов Эти запреты были естественными для функций, имеющих значения в множестве вещественных чисел Так, нельзя было извлекать квадратный корень из отрицательного числа, нельзя было рассматривать логарифм отрицательного числа, нельзя было рассматривать арксинус числа, большего по модулю единицы Действительно, в множестве вещественных чисел нет таких, которые удовлетворяли бы, например, уравнениям:, Еще в 6-м столетии математики, наталкиваясь на «невещественные» корни уравнений, не могли их использовать Декарт говорил, что эти числа никак нельзя себе представить, и поэтому назвал их мнимыми В 7 веке некоторые математики уже осмеливались работать с такими числами, представляя, например, корень квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом в виде суммы вещественного числа и мнимого числа, квадрат которого отрицателен Революцией в этой области явилось открытие формулы, называемой формулой Эйлера: i e cosisi, e si 5, (Ф Э) где i то мнимое число, квадрат которого равен Следует признать, что первым эту формулу открыл в 74 году малоизвестный математик РКотес, а Эйлер, не зная об открытии Котеса, привел это соотношение в своем письме ИБернулли несколькими годами позже Но именно Эйлер ввел число, называемое мнимой единицей, и дал убедительное доказательство формулы Кстати, Эйлер впервые исследовал возможность вычисления логарифма отрицательного числа Первым, кто нашел способ геометрического представления i комплексного числа на плоскости, был не математик, а землемер КВессель, напечатавший об этом в 799 г в статье, остававшейся незамеченной в течение столетия Однако, полным исследованием и обоснованием такого представления, а также самим названием комплексных чисел мы обязаны КГауссу, опубликовавшему свой труд в 88 году Итак, комплексные числа это числа, для геометрической интерпретации которых недостаточно одной прямой, а нужна вторая прямая, где можно было бы размещать вторую координату коэффициент при мнимой единице Поскольку элементы, задающиеся парой вещественных координат, проще всего представлять точками 5

52 декартовой плоскости, наилучшей интерпретацией множества комплексных чисел является плоскость Представим себе декартову плоскость, в которой роль оси OX исполняет вещественная прямая, а роль оси OY «мнимая ось», вдоль которой откладывают коэффициент при чисто мнимой единице i Предположим, мы решаем уравнение с отрицательным дискриминантом Применяя формулу для получения корней этого уравнения, мы получим Обозначая, следуя Эйлеру, i, имеем t, i t, 4 t t 5 0 В комплексной плоскости два этих комплексных числа выглядят так: Таким образом, комплексное число z представляет собой сумму z = + i y, где компонента называется вещественной частью z ( = Re z), компонента y называется мнимой частью z (y = Im z) Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них совпадают как действительные, так и мнимые части Два комплексных числа называются взаимно сопряженными, если у них совпадают действительные части, а мнимые части различаются знаками На нашем рисунке мы как раз имеем два взаимно сопряженных комплексных числа Операция комплексного сопряжения означает смену знака у мнимой части и обозначается надчеркиванием Например, 3 i 3 i Введенная нами форма записи комплексного числа в виде линейной комбинации действительной и мнимой частей называется алгебраической формой записи комплексного числа Точка на плоскости необязательно задается с помощью декартовых координат Другим возможным способом задания точки M на плоскости является задание расстояния ( r ) от точки M до фиксированной точки O, называемой полюсом, и угла ( ), называемым аргументом, который вектор OM составляет с фиксированным лучом, исходящим из полюса O и называемым полярной осью Координаты (r, ) называются полярными координатами Традиционно при сравнении декартовых (,y) и 5

53 полярных (r, ) координат полюс O помещают в начало декартовых координат, а за полярную ось берут положительную часть оси OX Легко видеть, что связь между декартовыми и полярными координатами такая: = r cos, y = rsi Если комплексное число задавать полярными координатами, то координата называется модулем комплексного числа, а координата называется аргументом комплексного числа В случае задания комплексного числа с помощью его модуля и аргумента мы получаем тригонометрическую форму записи комплексного числа: Нетрудно заметить, что аргумент комплексного числа по известным значениям его вещественной и мнимой частей определяется неоднозначно с точностью до слагаемого, где k Z r y z r(cosisi ) k Наконец, применяя формулу Эйлера (Ф Э), получим запись комплексного числа в показательной форме: Множество комплексных чисел обозначается С z i re В отличие от действительных чисел, которые мы ввели аксиоматически, при рассмотрении комплексных чисел мы начали с интерпретации Это объясняется тем, что студенты еще мало знакомы с комплексными числами, и формальное определение затруднит восприятие конкретного объекта Аксиоматика комплексных чисел тоже существует, и начинается она, как и в случае действительных чисел, с введения арифметических операций Заметим, что правила действия с комплексными числами не должны противоречить правилам действия с действительными числами, представляющими собой подмножество комплексных чисел, где y = 0 при задании в алгебраической форме; 0 или при задании в тригонометрической или показательной форме Введение арифметических операций для комплексных чисел мы базируем на арифметических операциях для вещественных чисел, входящих в представление комплексного числа 53

54 Для Для 3 Для 4 Для z, zc z, z C z, z C определим определим определим z z ( ) i( y y ) z z ( ) i( y y ) z z y y i( y y ) z, z C z z z y y i( y y ) r e z zz r y, i( ) z 0, = определим i( ) r r e Студенты должны самостоятельно проверить, что в случае, когда комплексные числа совпадают с вещественными, все введенные операции совпадают с операциями над вещественными числами и что свойства коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности введенных арифметических операций переносятся с множества R на множество C Заметим, что в отличие от множества R на множестве C невозможно ввести естественное в геометрическом смысле отношение порядка вида Помимо интерпретации множества C в виде плоскости возможна интерпретация C в виде сферы На рисунке видно, что на плоскость XOY «положена» сфера, с «южным полюсом», совпадающим с точкой начала координат на плоскости «Северный полюс» сферы обозначен точкой A Для того, чтобы получить взаимно однозначное соответствие между точками сферы и плоскости, соединим любую точку плоскости (z) с полюсом A отрезком прямой Та точка сферы, где отрезок «протыкает» сферу ( z ) и является образом точки z на сфере Очевидно, что сама точка A является образом бесконечно удаленной точки плоскости комплексного переменного 54

55 Простейшие функции комплексного переменного Возможность представления комплексного числа в различных формах и формула Эйлера открывают новый взгляд на привычные функции, когда их применяют к комплексным числам Начнем с функции степень комплексное число, заданное в показательной форме: Таким образом, при возведении комплексного числа в степень получим новое комплексное число с модулем, равным модулю исходного числа в -й степени и аргументом, равным аргументу исходного числа, умноженному на (Проверьте, как это возведение в степень комплексного числа согласуется с возведением в степень действительного числа) z re r e i i ( ) z Очевидно, что проще всего возводить в При извлечении корня степени также используем показательную форму записи комплексного числа, но при этом отметим, что уравнение при любой правой части имеет ровно комплексных корней Действительно, если вместо w взять любом целом, то при возведении в степень мы получим тот же результат, так как Поскольку и при любом целом m это одно и то же комплексное число, имеет смысл брать Поэтому при извлечении корня из комплексного числа возьмем его в виде, где Тогда i( k) z re i( k)/ re,, то есть мы, действительно, имеем различных корней, имеющих одинаковый модуль, но разные аргументы Два корня с соседними значениями отличаются друг от друга аргументами, разность между которыми Следовательно, все корни из одного и того же комплексного числа находятся на окружности с центром в нуле радиуса и представляют собой вершины правильного -угольника, вписанного в эту окружность (Сравните правило извлечения квадратного корня из положительного числа с правилом извлечения корня -й степени из комплексного числа) Заметим, что обобщением того свойства, что уравнение w z имеет ровно комплексных корней является знаменитая основная теорема алгебры, в соответствии с которой любое уравнение -й степени вида имеет ровно корней в множестве комплексных чисел, правда в этом случае корни могут быть кратными (совпадать) k0,,, z i re k w i k e z z re k i / we k i( ) k0,,, w a w a w a 0 0 r we k i ( k m)/ we k0,,, / i / k при 55

56 Рассмотрим показательную функцию комплексного аргумента В данном случае имеет смысл использовать алгебраическую форму записи комплексного числа: Имеем Следовательно, мы получили комплексное число с модулем, равным экспоненте вещественной части исходного числа, и с аргументом, равным мнимой части z e z z i y z z iy iy e e e e Логарифмирование комплексного числа дает не просто многозначную, а бесконечно-значную функцию Возьмем представление комплексного числа в показательной форме и прологарифмируем его Получим i i l z l( re ) l r le l r i Теперь вспомним, что аргумент числа определяется неоднозначно с точностью до слагаемого, кратного Таким образом, логарифм комплексного числа равен комплексному числу, действительной частью которого является логарифм модуля исходного числа, а мнимой частью любое число, отличающееся от аргумента исходного числа на величину, кратную Тригонометрические функции комплексного переменного легко построить с помощью формулы Эйлера (Ф Э), если считать, что она верна не только для действительных, но и для любых комплексных Так как, то iz e cos z isi z iz iz e e cos z, e si z iz e i iz Обратные тригонометрические функции комплексного аргумента можно построить при помощи той же формулы Эйлера Обозначим, iw iw e e например, w arcsi z Тогда zsi w Чтобы найти w, мы i должны решить уравнение или Решая соответствующее квадратное уравнение относительно логарифмируя, имеем Учитывая многозначность логарифма, получим многозначность арксинуса, которая была очевидна изначально Задания iw iw e e i z 0 w z z il(i ) e iw iw i ze 0 e iw и Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел: ) Z = 5-3 i и z = - + i ) z = 0, + 4 i и z = i 56

57 Выполнить действия: ) (3 4 i)( 3 i), 68i 3i 3i 3i 3i, ) 3 3 i i i 3 37ii 3) 4) ( i) 43i 6 3Решить на множестве комплексных чисел уравнения: ) х 6х + 34 = 0 ) х + 4х +9 = 0 3) х 4 5х 36 =0 4) х 3 + = 0 5) х 4 6=0Проверить результат подстановкой 4 Доказать равенства: а) ; b) = 5 На комплексной плоскости изобразить числа, найти их модули и аргументы Записать их в тригонометрической и показательных формах: ; 6 На комплексной плоскости изобразить числа z i y ) z 3, ) z i ; 3) z 3i 4; 4) Re z 3; 5) 0 arg z, если ;, 7) 7 Вычислить значения функции 8 Вычислить значения функции Записать их в тригонометрической, показательной, алгебраической формах и изобразить точками на плоскости 9 Решить уравнения на множестве С: ) Изобразить их корни на плоскости 0 Вычислить: ) Ответы: ) 4 - i; 6-4 i; i; -4 i ) -3,8 + i; 4, + 7 i; , 6,6 i; -0,5-0,66 i ) i; 3),3 0,9i; 4) i 57

58 3 ) 3 5i; ) 5i ; 3) 3 и i; 4) - и 5 3 i, 5) и i i 6 i Z 3 cos isi e ; Z 4cos isi 4 e ; i 4 i Z 3 4 сos isi 4 e ; Z4 3 cos isi 3 e ; 4 4 i Z5 5 cos isi 5 e 7 0 i f z e cos isi i 4 4 e e f z i ; f z i ) f z ) Приложение и обобщение комплексных чисел Комплексные числа, как мы знаем, возникают уже при решении простейшего квадратного алгебраического уравнения С их помощью было решено много вопросов, связанных с разрешимостью алгебраических уравнений, сняты запреты на области применения многих функций Кроме того, аналитические функции комплексного переменного, с которыми мы еще встретимся, имеют богатые приложения в физике С их помощью производят расчеты магнитных, электрических полей, проектируют плотины и профили летательных аппаратов Когда мы знаем, что комплексные числа получены с помощью выхода с числовой прямой на комплексную плоскость, возникает соблазн получения дальнейших обобщений понятия числа с применением пространств больших измерений К сожалению, подобные обобщения не приносят тех эффектов, которые принесли комплексные числа, а напротив, вносят осложнения при работе даже с простейшими функциями Единственным относительно удачным обобщением являются кватернионы или гиперкомплексные числа Интерпретация кватерниона точка в четырехмерном пространстве Однако при действии с кватернионами приходится отказываться от коммутативности умножения: при умножении двух кватернионов их нельзя менять местами Для пространств других размерностей не 58

59 удается построить удовлетворительных моделей числа даже при отказе от коммутативности Отображения Однозначным отображением называется закон, по которому каждому элементу некоторого множества ставится в соответствие один вполне определенный элемент другого множества Мы уже познакомились с взаимно однозначным отображением множеств частным случаем однозначного отображения, когда каждому элементу первого множества соответствует единственный элемент второго множества, причем разным элементам первого множества соответствуют разные элементы второго множества Примером однозначного, но не взаимно однозначного отображения является функция, заданная на отрезке [-,] Эта функция отображает каждую точку отрезка [-,] однозначно в точку отрезка [0,] При этом две различные точки отрезка [-,], находящиеся по разные стороны от нуля, на одинаковом расстоянии до него, отображаются в одну и ту же точку отрезка [0,] Действительно,, то есть разным элементам отрезка [-,] соответствует один и тот же элемент отрезка [0,] a ( a) y Примеры неоднозначных отображений мы встречали при изучении функций комплексного переменного: функция имеет ровно значений, а функция l z бесконечное множество значений В том случае, когда функция отображает взаимно однозначно множество на множество, то есть у каждого элемента есть прообраз, такой что, возможно обратное отображение, то есть существует функция такая, что g( f ( )) yy X X y f () Y y f () gy ( ) Пусть функция отображает все точки множества X в точки множества Y Пусть на множестве Y, в свою очередь, действует функция z g( y), отображающая точки множества Y в точки множества Z Тогда функцию z g( f ( )), отображающую множество X в множество Z, называют суперпозицией двух функций y f () z 59

60 Примеры Функция (читается «сигнум») задается на любом подмножестве множества R, не содержащем числа по правилу:, если 0 sg, если 0 y sg значением 0 Таким образом, функция R\{0} на множество {,} 0, и действует Иногда эту функцию доопределяют в точке 0 y sg отображает множество Функция (читается «антье») задается на любом подмножестве R и представляет собой наибольшее из целых чисел, не превышающих числа Например, если равно целой части числа В случае, когда совпадает с целой частью числа только тогда, когда само целое число В противном случае [ ] получается из отбрасыванием дробной части и уменьшением полученного числа на единицу Так, [0,35]=0, [-3,08]=-4 Эта функция дает пример отображения множества R на множество Z Задания y[] 0, [ ] 0, то Установить в каждом случае однозначным, взаимно однозначным или многозначным являются отображения, заданные функцией ) f ( ), R; ) f (), а) [-;]; б) [;3]; 3) f() z, а) zr; б)zc [ ] На какое множество отображает множество R функция «антье») : ) ; 3) Ответы ) взаимно однозначным; ) а) однозначным, но не взаимно однозначным; б) взаимно однозначным; 3) а) взаимно однозначным; б) многозначным ) {-5;-4;-3--}; ) {;;3}; 3) {0;} 60

61 Числовые последовательности Числовой последовательностью мы назовем однозначное отображение множества на подмножество множества Это значит, что каждому натуральному числу ставится в соответствие единственное действительное число Нижний индекс это номер члена последовательности Примерами последовательностей являются последовательности N a ( ), a a, a, ( N) R При сравнении этих последовательностей мы видим, что множество значений первой последовательности состоит из двух точек, множество значений второй последовательности не ограничено сверху, множество значений третьей последовательности содержится на отрезке [0,] Белее того, с ростом числа члены третьей последовательности становятся все ближе и ближе к точке 0 Вот это свойство сколь угодно тесного приближения с ростом номера членов последовательности к какому-то числу называется свойством сходимости числовой последовательности Как же математическим языком определить динамику приближения членов последовательности к числу? Определение Число a называется пределом последовательности (обозначается ), если для любого значения существует a lim a такое натуральное число справедливо: a a N N( ) 0, что для любого номера a N( ) В кванторах это определение записывается так: и означает, что какой бы малой ни была окрестность точки, найдется такой номер, что все члены последовательности с номерами, большими этого номера, попадут в выбранную окрестность 0 N N( ) N: N( )( a a ) Покажем, что lim 0 Зададим произвольно малое и выясним, можно ли найти такой номер, за которым все члены последовательности окажутся ближе к 0, чем выбранное число То есть, можно ли найти натуральное число такое, что при любом N( ) Поскольку N( ), то если выполняется неравенство N( ), значит, будет выполняться и неравенство Поэтому N( ) следует взять таким, что N( ) Существует принцип a N( ) 0 6

62 Архимеда, в соответствии с которым при любом сколь угодно малом со свойством: 0 можно найти натуральное число Значит, при любом N( ) N( ) будет выполняться неравенство N( ) Следовательно, мы доказали в соответствии с определением предела, что lim 0 Из определения предела следуют свойства пределов числовых последовательностей: ) если a lima и b limb, то ) если a lima и 3) если 4) если 5) если 6) если a lima a lima a 0 a c b и и k R b limb a b lim ( a b ), то ka lim( ka ) ; b limb при любых, то ab lim( a b );, причем N, то при любых b 0, то lim( ) a b ; lim a a0 N, причем lim c q (теорема о двух милиционерах); ; a ; b lim a lim b q, то 7) если члены последовательности монотонно возрастают (убывают) с ростом и ограничены сверху (снизу), то такая последовательность сходится Покажем, как доказывается первое свойство Для любого в соответствии с определением предела существует такое, что для любого для N ( ) любого справедливо N ( ) a a справедливо a N ( ) 0 и существует такое N ( ), что b b Найдем новую зависимость N( ) ma{ N( ), N( )} Тогда если N( ), то и одновременно N ( ) Следовательно, при N ( ) одновременно выполняются неравенства и b b, и в соответствии со свойством абсолютной величины выполняется неравенство a a ( a b ) ( ab) ( a a) ( b b) a a b b N ( ) Это означает в соответствии с определением, что a b lim ( a b ) Число e (неперово число) 6

63 Рассмотрим последовательность вида a ( ), N Представим й член последовательности с применением формулы бинома Ньютона в виде ( ) ( )( )! a 3 3! ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 3!! Очевидно, что все слагаемые после числа в последнем выражении положительные, их число равно и при увеличении сами слагаемые будут увеличиваться, а к имеющимся слагаемым будут добавляться новые, то есть растет с ростом Оценим общий член последовательности сверху с применением формулы суммы геометрической прогрессии: a a a 3! 3!! (/ ) 3 / Таким образам, наша последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху Следовательно, в соответствии с седьмым свойством пределов числовых последовательностей существует предел этой последовательности, который принято обозначать e Это число находится между числами и 3 и приблизительно равно,788 Заметим, что еще Архимед в его послании Эратосфену фактически использует предельный переход, вычисляя объем шара как предельный случай суммы объемов бесконечно тонких пирамид с вершинами в центре шара, а также площадь поверхности шара Задания Найти такое N( ), что при любых N( ) Доказать по определению предела последовательности, что: ) ) ; 3) 3 Доказать, что 4 Найти пределы следующих последовательностей 63

64 ) 4) lim lim 5 37,, 3 ) 5) lim lim 5 37, ) 3) lim , 8 7) 8) 9) 0) ), 3) ), 4), 5) 6) lim( ) 8), 9) 0) 34 ( ) Ответы 4 ),5; ) 0; 7) ; 8), Числовые ряды Понятие предела последовательности дает возможность ввести понятие числового ряда бесконечной суммы вида a k k, где общий член последовательности На первый взгляд бесконечное суммирование невозможно уже хотя бы в силу конечности жизни любого, кто занимается суммированием Выход из положения следующий: бесконечная сумма понимается как предел последовательности s конечных Таким образом, суммой ряда a k k ных частных сумм будем называть число s lim a k k a k ak k Ряд называется сходящимся, если для него существует конечная сумма Ряд называется расходящимся, если соответствующий предел не существует или бесконечен s 64

65 Необходимым признаком сходимости числового ряда является условие: lim a 0 то есть существует Доказывается это легко: пусть ряд lim s s При a k k справедливо: сходится, Следовательно, lim s s Поскольку s s a, то из -го и -го свойств пределов последовательностей имеем:, что и требовалось доказать lim a lim( s s ) 0 В качестве примера сосчитаем сумму ряда k ( ) k Имеем согласно формуле суммы геометрической прогрессии k ( ) k ( ) Поскольку ( ) 0 при, получим Заметим, что суммирование числовых рядов требовалось древним математикам, например, для вычисления площадей фигур В фигуру вписывался прямоугольник, в оставшуюся от прямоугольника часть фигуры вписывались другие, более малые прямоугольники, и так до бесконечности Площадь прямоугольника была известна Поэтому площадь исходной фигуры представлялась суммой ряда из площадей вписанных прямоугольников Предел функции в точке Понятие предела последовательности является основой для определения предела функции в точке Вначале введем понятие предельной точки множества Точка a является предельной точкой множества, если в любой окрестности точки a находятся точки множества, отличные от самой точки a Заметим: здесь не утверждается, что a X В качестве примера рассмотрим множество X (0,] Точка 0 является предельной точкой полуинтервала (0,], хотя не принадлежит этому множеству, так как в любой окрестности X X точки 0 находятся положительные числа, например, числа вида, где натуральное число Пусть функция y f () задана на множестве X R и a является предельной точкой множества X Для определения предела функции k ( ) k = 65

66 в точке a существуют два определения Оба они необходимы, так как дополняют друг друга при различных способах доказательств Определение Гейне, если при любой последовательности последовательность y X f ( ) b lim f ( ) a, такой что a lim, мы получим, такую, что b lim y Определение Коши b lim f ( ), если для любого a 0 существует число такое, что для любого числа, удовлетворяющего условию a, выполняется неравенство f ( ) b ( ) 0 X Докажем, что введенные определения равносильны, то есть каждое из них является импликацией второго Покажем, что из утверждения следует утверждение Пусть справедливо и пусть такая последовательность, что Выберем в соответствии a lim X 0 и найдем для него ( ) 0 со вторым определением Теперь из определения предела последовательности следует, что существует такое, что при любом имеем ( ) Но опять же в соответствии со вторым определением при этом должно выполняться неравенство То есть для произвольного 0мы нашли такое натуральное число, что при любых натуральных выполняется неравенство ( ) В соответствии с определением предела последовательности Значит из справедливости f ( ) b N( ) N( ) a f b b lim y N( ( )) N( ) N( ) следует справедливость Покажем, что из утверждения следует утверждение Докажем это методом от противного Предположим, что справедливо, но неверно Построим утверждение, противоположное Запишем утверждение в кванторах: В соответствии с правилом построения противоположного утверждения мы должны предположить, что 0: 0 X, a ( f ( ) b ) То есть, существует такое существует такое значение, что, но при этом f ( ) b Итак, в предположении справедливости в силу произвольности 0 выберем последовательность, при этом для каждого значения существует такое X, что a, но при этом f ( ) b Мы 0, что для любого 0 a 0 0: X, a ( f ( ) b ) X 66

67 видим из неравенства a, что справедливости утверждения должно быть a lim, значит в силу b lim f ( ) f ( ) b, однако это входит в противоречие с тем, что согласно нашему предположению о том, что неверно Раз противоречие установлено, мы показали, что наше предположение о том, что из не следует, ошибочно Равносильность определений доказана Благодаря определению Гейне, опирающемуся на определение предела последовательности, свойства пределов числовых последовательностей переносятся на свойства пределов функций в точке Так, первые 6 свойств можно переписать, заменяя последовательности на функции, а стремление к бесконечности заменяя на стремление к a Свойства пределов функций ) если b lim f ( ) a и c lim g( ) a, то bc lim ( f ( ) g( )) a ; ) если b lim f ( ) a и k R, то kb lim( kf ( )) ; a 3) если b lim f ( ) a и c lim g( ), то bc lim ( f ( ) g( )) ; a a 4) если b lim f ( ) и a c lim g( ) a, причем c 0, то b f ( ) lim( ) c a g( ) ; 5) если при любых точки a, то lim ( ) 0; f( ) 0 f b a, лежащих в некоторой окрестности 6) если f ( ) h( ) g( ) при любых, лежащих в некоторой окрестности точки, причем lim f ( ) lim g ( ) b, то lim h ( ) b a a a (теорема о двух милиционерах) a Пример Покажем, что limcos 0 Применим для этого определение Коши и рассмотрим cos si Сравним площади 67

68 сектора радиуса раствора и вписанного в него равнобедренного треугольника с той же вершиной, представленных на рисунке Площадь треугольника равна si, площадь сектора равна Треугольник вписан в сектор, значит площадь треугольника меньше площади сектора Следовательно, si для любого 0 Отсюда имеем неравенство cos при положительных значениях При отрицательных значениях, очевидно, справедливо то же неравенство в силу четности Пусть теперь стремится к нулю, то есть может принимать сколь угодно малые по абсолютной величине значения Для любого найдем Очевидно, что если, то Следовательно, в соответствии с определением Коши ( ) limcos 0 cos и ( ) 0 cos Первый замечательный предел Докажем, что справедлива формула: si lim 0 заметим, что вследствие нечетности функции si отношение Прежде всего, si при, близком к 0, положительно при любом знаке Достаточно предположить, что приближается к 0, оставаясь положительным В противном случае мы сменим знак, что не повлияет на результат Используем геометрическое доказательство Рассмотрим сектор круга радиуса с углом при вершине, равным BM дуга граничной окружности сектора, A его вершина, AB = AM = BD отрезок касательной к дуге BM в точке B BC перпендикуляр, опущенный из точки B на отрезок AM В силу последовательной вложимости друг в друга треугольника ABM, сектора ABM и треугольника ABD соответствующие соотношения имеют место между площадями этих фигур: 68

69 S S S ABM сектabm ABD Имеем S ABM si, SсектABM, S ABD tg Поэтому получаем неравенство Если мы поделим все части этого неравенства на, то в силу предположения о знаке si si tg знаки неравенства не изменятся Поэтому мы имеем si cos теперь устремим к нулю и применим теорему о двух милиционерах Мы получим lim 0 si получения предела обратной величины: А Осталось применить свойство 4) для si lim 0 Задания: Найти пределы следующих функций ) 5) 8) lim lim , 6 cos 49 lim 7, 8 ) lim 5 34 ( ), 3), 6), 7) ) Ответы lim 0 tg, 3 4) lim 0 cos tg 9) 0), ) ; )7; 3) ; 5) 3; 6)0,5; 7),5; 8) 8; 8 3 Второй замечательный предел и его следствия Докажем, что справедлива формула lim( ) e, Но прежде изменим определение Коши с учетом того, что переменная стремится не к конечному значению a, когда для попадания в окрестность следует выполнить неравенство при достаточно малом 0, а к бесконечности Переменная окажется в окрестности бесконечности, если окажется по модулю больше достаточно большой величины Таким образом, определение Коши в случае будет выглядеть так:, если для любого 0 a b lim f ( ) a существует число M M( ) 0 такое, что для любого числа X, удовлетворяющего условию M, выполняется неравенство f ( ) b 69

70 Пусть 0, то есть Рассмотрим неравенство ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Очевидно, что lim ( ) [ ] [ ] e, так как при (*) величина натуральное число и мы имеем последовательность, участвующую в [ ] определении числа e Аналогично, lim ( ) e [ ] Теперь остается применить неравенство (*) и теорему о двух милиционерах Для случая Тогда y y y y y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y y При доказанную формулу для положительной переменной Доказательство завершено Прологарифмируем обе части второго замечательного предела получим имеем: lim( l( )) 0 сделаем замену y [ ] y Поэтому можно применить уже Если теперь заменить переменной y которая стремится к нулю при стремлении к бесконечности, получим следствие из второго замечательного предела ) l( t) lim t0 t Другим следствие второго замечательного предела является предел, получаемый из предыдущего заменой zl( t) : ) z e lim z0 z z ( ) e Получим Рассмотрим теперь предел ( ) lim 0 Сделаем замену При такой замене 0 тогда и только тогда, когда z 0 z z ( ) e e z / lim lim lim lim 0 z 0 z/ 0 0 z/ e z z z e t, (Во втором выражении равенства числитель и знаменатель умножены на и сделан переход к пределу в соответствии со вторым следствием ) Таким образом, третьим следствием второго замечательного предела является ( ) 3) lim 0 Задания: Найти пределы функций z 70

71 e 0 ) lim( ), ) lim( ), 3)lim, 4)lim( ) 0 0 l( 3 ), 5)lim, 6), 9) lim 0 e si 3, 0 ) l( ) lim l( 3 ) 0 Функция, непрерывная в точке lim f ( ) f ( a ) a y f () Пусть функция задана на множестве X R и a X Если, то говорят, что эта функция непрерывна в точке a Подругому можно записать свойство непрерывности так: Свойство непрерывности функций передается lim f ( ) f (lim ) a a суперпозиции этих функций: если непрерывна в точке, а функция непрерывна в точке, то функция z h( ) g( f ( )) непрерывна в точке a Функция, непрерывная в каждой точке множества X, называется непрерывной на множестве График непрерывной функции представляет собой непрерывную кривую Все известные из школьного математического курса функции непрерывны в областях, где они заданы: многочлены,,,, z g( y) k, k Z, ctg при e X k, k Z y f () l при 0 Пример разрывной функции функция она имеет разрыв в точке Гейне Зададим последовательность b f ( a) si a cos, tg при y sg Доказать, что 0 можно с применением определения y sg ( ) Очевидно, что общий член последовательности стремится к нулю с ростом номера, причем четные члены последовательности положительные числа, нечетные отрицательные Нетрудно заметить, что Поскольку последовательность ( ) не имеет предела, то в соответствии с определением Гейне функция не имеет предела в точке 0, и поэтому не может быть непрерывной в этой точке, как бы мы ее в этой точке ни определяли f( ) ( ) 7

72 Приведенный пример точки разрыва точка разрыва первого рода В соответствии с определением точки разрыва первого рода функция должна иметь пределы при, стремящимся к точке разрыва слева и при, стремящимся к точке разрыва справа, только эти пределы не совпадают В случае функции предел слева в точке разрыва 0 равен -, предел справа равен y sg Точкой разрыва второго рода функции называется такая предельная точка множества X, на котором задана функция, что хотя бы один из пределов (слева или справа) функции в этой точке не существует или бесконечен В качестве примера можно привести функцию В точке функция не определена, но эта точка является предельной для множества определения функции При стремлении к увеличиваясь, стремятся к При стремлении к значения функции, уменьшаясь, стремятся к y tg / f( ) / слева значения функции, постоянно / справа, Функция, непрерывная в каждой точки множества X непрерывной на X, называется Задания Исследовать поведение функций +,, в окрестности точки = и определить характер точки разрыва при х= Определить тип точек разрыва функций, если они существуют: 7

73 ) ; ) ; 3) ; 4) ; 5) Ответы Условие дифференцируемости функции в точке Условию непрерывности функции следующее определение:, где lim f 0 0 f( ) в точке a a можно дать называется приращением аргумента, а называется соответствующим приращением функции В связи с этим возникает вопрос о сравнении малых величин и при стремлении к нулю f f ( ) f ( a) f Обычно малые величины сравнивают, рассматривая их отношение при одновременном стремлении к нулю Так, если lim 0, то считается величиной более высокого порядка малости по сравнению с, если lim k, где k константа, не равная нулю, то величины и одного порядка малости Пример: величина более высокого порядка малости по сравнению с при 0, в то время как при 0 si и величины одного порядка малости Функция f( ) называется дифференцируемой в точке a, если существует такая константа A, что f A при достаточно малых 73

74 значениях сравнению с, где величина более высокого порядка малости по Из определения следует, что функция, дифференцируемая в точке, является непрерывной в этой точке Более того, следует, что величина не может быть величиной большего порядка малости, чем, в противном случае величина бесконечной величиной В случае дифференцируемости функции в точке соответствующая константа производной функции в точке и обозначается Из определения также очевидно, что производная определяется с помощью предельного перехода следующим образом: f f( ) A была бы не константой, а A имеет свое название: она называется f f ( ) f ( a) f( a) lim lim 0 a a a f( a) Примеры получения производных Применяя замечательные пределы и их следствия, получим a a si si a si cos sia lim lim a a a a a si lim a lim cos cos a; a0 a a a a cos cosa si si cosa lim lim a a a a a si lim a limsi si a; a0 a a 3 e e e ( e ) ( e ) ( e ) lim lim e lim e a a a a a a a a a a a a a0 ; 74

75 a a l l a l l( ) l( ) 4 la lim lim a lim a lim a a a a a a a a a0 a a ; a 5 ( ) ( a ) ( ) lim a a lim a a lim a a a a a a a a ( a ) a lim a a a 0 a a Производные и арифметические операции над функциями Из условия дифференцируемости и из свойств пределов функций следуют свойства производных Пусть функции f( ) и дифференцируемы в точке a Тогда функция дифференцируема в точке, причем Пусть функция дифференцируема в точке a, k R Тогда функция дифференцируема в точке, причем ( k f ( )) k f ( ) 3 Пусть функции и дифференцируемы в точке Тогда функция дифференцируема в точке, причем ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) 4 Пусть функции и дифференцируемы в точке, f ( ) g( ) ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) k f () f( ) f ( ) g( ) ga ( ) 0 Тогда функция f( ) f( ) g ( ) f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( ) g ( ) g ( ) g ( ) f( ) g ( ) g ( ) дифференцируема в точке a, причем Покажем, как доказывается свойство 3 Обозначим h( ) f ( ) g( ) Имеем a a a a a 75

76 h f ( ) g( ) f ( a) g( a) ( f ( ) f ( a)) g( ) f ( a) ( g( ) g( a)) f g( ) g f ( a) ( f ( a) ) g( ) ( g( a) ) f ( a) ( f ( a) ) ( g( a) g) ( g( a) ) f ( a), где и величины более высокого порядка малости, чем Раскрывая скобки и собирая коэффициенты при, получим следующее представление: h ( f ( a) g( a) g( a) f ( a)) f ( a) g g( a) g f ( a) ( f ( a) g( a) g( a) f ( a)), где величина более высокого порядка малости, чем В соответствии с условием дифференцируемости и выражением производной свойство 3 доказано Задания Выведите формулы производных для Выведите формулу производной для log a tg, ctg 3 Вычислением найти производные функций: ), ) y=, 3) y=, 4) y= 4 С помощью таблиц и свойств производных найти производные следующих функций ) y = 4) y = , 5) y= 7)у =, ) y =, , 6) y=, Производная суперпозиции Пусть функция дифференцируема в точке Пусть функция z g( y) дифференцируема в точке b Тогда функция z h( ) g( f ( )) дифференцируема в точке a, причем h( a) g( b) f ( a) Докажем это свойство Имеем в соответствии с определением дифференцируемости, где величина более высокого порядка малости, чем y y b f ( ) f ( a) В свою очередь, y f f () a, где величина более высокого порядка малости, чем Следовательно, a, f ( a) b y f () h g( f ( )) g( f ( a)) g( y) g( b) g( b) y 76

77 Легко показать, что величина более высокого порядка малости, чем Таким образом, формула доказана В качестве примера найдем производную функции l h g( b) ( f ( a) ) g( b) f ( a) g( b) g() b Поскольку суперпозиции l l (l ), имеем согласно формуле производной g( f ( )) a, g() b Производная обратной функции Пусть gy ( ) функция, обратная к функции f( ), то есть, Можно показать, что если дифференцируема в точке f( a) 0 f( a), то gy ( ) f( ) дифференцируема в точке b f ( a) При этом Последнюю формулу легко получить из формулы производной суперпозиции, учитывая, что Для переменной точки формула производной обратной функции выглядит так: 3 g( y) f ( g( y)) g( f ( )) Производные обратных тригонометрических функций arcsi cos(arcsi ) arccos si(arccos ) tg (arctg ) arctg cos (arctg ) ; ; 4 arcctg si (arcctg ) ctg (arcctg ) Задания Выведите формулу производной для функции (используйте равенство ) Найти производные функций ) ) ; 3) a e la ; 77

78 5) ; 6) 7) 9) 0) ; ) 3) 5) 3 Вычислить значения производных заданных функций при указанных значениях независимой переменной: ) ) ; 3) 4) ; 5) 4 На какое множество отображает производная функции промежуток [? 5 Функция рассматривается на всей числовой оси На какое множество отображает числовую ось производная данной функции? 6 Найдите пересечение множеств, на которые отображают отрезок [;9] производные функций Ответы ) 3cossi4; ) 3si6; 3) - ; 4) ; 3 0 5) 6) ; 7) ; 8) 3) ; )

79 Физический и геометрический смысл производной Вспомним определение скорости равномерного движения: S V отношение длины пути к времени, затраченному на этот путь t Если движение неравномерное, то приведенная формула будет давать значение средней скорости за данный временной период: V ср S t Если мы хотим узнать скорость в какой-то момент, мы можем воспользоваться предыдущей формулой для средней скорости за временной участок, содержащий интересующий нас момент, но при этом для получения точного результата мы обязаны длину временного участка устремить к нулю Следовательно, S S( t0 t) S( t0) V( t0) lim lim S( t 0 0 0) t t t t Таким образом, скорость это производная пути по времени Рассмотрим график функции, дифференцируемой в точке a Рассмотрим множество прямых, проходящих через точку с декартовыми координатами Уравнение каждой из этих прямых имеет вид Меняя угловой коэффициент, мы меняем прямую Поставим целью среди этого пучка прямых выбрать ту, которая проходит наиболее близко к нашему графику в окрестности точки В силу дифференцируемости при, близких к a Нетрудно видеть, что если мы выберем, то ордината соответствующей прямой будет отличаться от ординаты кривой при, близких к, на величину более высокого порядка малости, чем ( a) Такая прямая называется касательной к кривой Следовательно, угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной к кривой в точке с абсциссой a Это и есть геометрический смысл производной y f () f ( ) f ( a) f ( a) ( a) ( a, f ( a)) y f ( a) k( a) k f ( a) f( a) ( a, f ( a)) y y y y f () f () f () f () a k 79

80 Справедливо еще одно геометрическое свойство кривых, имеющих непрерывно изменяющийся угол наклона касательной внутри отрезка [, ]: существует хотя бы одна точка c внутри отрезка, такая, что производная в этой точке равна угловому коэффициенту хорды, стягивающей концы кривой На рисунке это выглядит так: [ ab, ] ab y f () f() c Аналитически это свойство можно записать в виде равенства: где (0,) f ( b) f ( a) ba Эта формула в несколько ином виде:,, называется формулой конечных приращений f ( b) f ( a) f ( a ( ba)) ( ba) Вновь обратимся к истории Если упомянутое выше суммирование рядов и предельный переход для последовательностей были, фактически, известны еще древним грекам, то приемы, связанные с дифференцированием появились только в семнадцатом веке Впервые Торричелли и Роберваль получили метод построения касательных к некоторым кривым Характерно, что при выводе формул эти ученые пользовались физической интерпретацией производной скоростью изменения расстояний двигающейся вдоль кривой точки В дальнейшем эти методы обобщили Декарт и Ферма Впервые производные появились в работах Ньютона, где они названы «флюксиями» Дифференциал и его приложения Вспомним формулу приращения функции, дифференцируемой в точке :, где порядка малости по сравнению с приращением аргумента ( a) a f ( ) f ( a) f ( a) ( a) величина высшего 80

81 Главная часть приращения функции слагаемое называется дифференциалом функции в точке a и обозначается То есть, Таким образом, Для функции имеем d, поэтому стандартная формула для дифференциала от переменной точки имеет вид df ( a) df ( a) f ( a) f df df ( ) f ( ) d f( ) f () f ( a) ( a) Поскольку при малых приращениях аргумента слагаемое, входящее в выражение приращения функции, еще более малое, при приближенных вычислениях часто заменяют приращение функции ее дифференциалом в соответствующей точке, то есть f ( ) f ( a) f ( a) ( a) df ( a) при малых ( ) a Приведем пример применения дифференциала для приближенных вычислений Вычислим Целого числа, куб которого равен 9, не существует, но существует близкое к 9 число 8, кубический корень которого равен Если в нашем случае, то f( ) /3 3 Согласно формуле замены приращения дифференциалом a ( a) /3 3a f () В нашем случае 9, a 8 Следовательно, Замена приращения функции дифференциалом называют первым приближением Это самое грубое приближение Формула для первого приближения: f ( ) f ( a) f ( a) ( a) Задания: Вычислить значения дифференциала функции при указанных значениях : ) 4 3 f 7 5 7, ) 3) 4) Вычислить приближенное значение выражения: ) 3 8

82 Ответы ) 0,93; )0,95; 3) 4,0 Приложения производной Наиболее значимым является применение производной для нахождения локальных максимумов (минимумов) функции Локальным экстремумом функции, заданной на множестве X, называется такая точка, для которой существует окрестность точки, для всех точек которой, кроме самой, разность сохраняет знак В том случае, если эта разность отрицательна, точка является точкой локального максимума, если разность положительна, точка является точкой локального минимума Справедлива следующая теорема (необходимый признак локального экстремума) Если точка локального экстремума и функция дифференцируема в точке, то Доказать эту 0 ( f ( ) f ( )) 0 f( ) 0 0 X 0 f( ) 0 0 f( ) 0 теорему достаточно просто Рассмотрим отношение 0 0 f ( ) f ( 0) значений, лежащих в окрестности точки Числитель дроби сохраняет знак в окрестности при переходе через значение 0 в соответствии с тем, что точка локального экстремума Знаменатель меняет знак при переходе через значение 0 Следовательно, дробь 0 0 f ( ) f ( 0) для имеет разные знаки по разные стороны от значения Поскольку по условию дифференцируемости пределы этой дроби при стремлении к как слева, так и справа, должны совпадать и равняться, это возможно, только если этот предел равен нулю Таким образом,, что и требовалось доказать 0 f( ) 0 0 f( ) 0 Доказанная нами теорема применима для нахождения наибольших или наименьших значений функции на отрезке Дело в том, что наибольшее и наименьшее значения на отрезке функция принимает либо в точке локального экстремума, либо в конечных точках отрезка Как применяется производная для решения реальных, а не сугубо математических задач, демонстрирует следующий пример 0 8

83 Пример Владелец грузового судна должен перевезти груз по реке из одного порта в другой Расходы этого владельца складываются из расходов на содержание экипажа и из затрат на топливо Выясним, какую скорость движения судна следует выбрать, если увеличение скорости ведет к большим тратам на топливо (расходы на топливо пропорциональны кубу скорости), а уменьшение скорости, а значит, увеличение времени пути приведет к большим тратам на питание команды Обозначим суточные расходы на топливо, а суточные расходы на питание команды Пусть расстояние, которое a S kv 3 должна пройти баржа Тогда время в пути равно S V Следовательно, 3 путевые расходы составляют F( V ) ( k V a) S V Нам нужно найти такое положительное значение V 0, которое обеспечит минимум введенной функции Используя доказанную теорему, приравняем нулю производную введенной функции: a ( k V ) S 0 V Получим точку экстремума V a k 3 0 /( ) То, что мы получили минимум, а не максимум, следует из поведения функции при значениях переменной V, близких к 0 и к бесконечности: функция при таких значениях переменной стремится к положительной бесконечности Следовательно, единственный экстремум этой функции может быть только минимумом Таким образом, оптимальная скорость движения баржи по реке FV ( ) FV ( ) V a k 3 0 /( ) Исследование функций на монотонность также немыслимо без применения производной: у монотонной функции отношение приращения функции к приращению аргумента f ( ) f ( 0) 0 на участке монотонности имеет один и тот же знак при любых Поэтому и предел такого отношения, то есть производная, не может иметь другой знак Следовательно, неубывающая на интервале функция имеет на этом интервале неотрицательную производную, а невозрастающая функция неположительную производную Если же известно, что производная на некотором интервале положительна, то согласно формуле конечных приращений соответствующая функция является на таком интервале строго возрастающей И наоборот, та же формула конечных приращений свидетельствует о том, что если производная на интервале отрицательна, то функция на этом интервале убывает f ( b) f ( a) f ( a ( ba)) ( ba) 83

84 Задания Под каким углом график функции Под какими углами график функции y? y e пересекает прямую пересекает прямую y si? 3 Тело движется прямолинейно по закону Найти скорость тела в момент 4 Тело движется прямолинейно по закону Найти ускорение тела в момент 5 Найти участки монотонности и точки экстремума следующих функций ), ), 3 3) y ( ), 4), 5) y ( 3) y 3 4 ; t 7 t 3 y 3 ( 5) s() t t t 3 s( t) 3t 6t y 4 3 6) ; 7) 6 Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках: ) у х 3 3х + 3х + ; ; ) у = 3х 4 + 4х 3 + ; ; 3) у = cos ;4) у = х + ; а) х 7 Прямоугольный лист жести имеет линейные размеры 5 дм 8 дм В четырех углах вырезают одинаковые квадраты и делают открытую коробку, загибая края под прямым углом Какова наибольшая вместимость коробки? 8 Найти длины сторон прямоугольника с периметром 7 см, имеющего наибольшую площадь 9 При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность? Ответы: e )у наим= 4, у наиб = 4; ) у наим =0, у наиб = 7; 3) у наиб = 3 у наим = 0; 4) а) у наиб = 7; у наим = у наиб = 9 ; у наим =,5 7 8 дм см и 8 см 84

85 Производные и дифференциалы высших порядков Тем, кто умеет находить производные первого порядка от различных функций, легко понять, что такое производная второго порядка, например, от функции Имеем новая функция от, от которой опять можно найти производную по тем же правилам: Таким образом, производная, имеющая обозначение это производная первого порядка от производной -го порядка, которая в свою очередь является производной первого порядка от производной ( ) -го порядка ( ) ( ) ( ) -го порядка функции f( ) ( ) ( ) f ( ) () Нетрудно найти производные функций: -го порядка от простейших ( ) ( ) l a a a ( ) (si ) si( ) ; ( ) (cos ) cos( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; (l ) ( ) ( ) ( )! ; ; Аналогично определяются дифференциалы высших порядков Так, дифференциал второго порядка это дифференциал от дифференциала Поскольку дифференциал от переменной точки это, где бесконечно малое приращение, не зависящее от значения, то df ( ) f ( ) d d d f ( ) d( df ( )) ( df ( )) d ( f ( ) d) d ( f ( )) d f ( ) d Подобным образом получим Заметим, что увеличение порядка дифференциала связано с увеличением степени бесконечно малого сомножителя, и значит, порядок малости величины повышается ( ) ( ) d f f ( ) d Дифференциалы высших порядков играют значительную роль в приближенных вычислениях Напомним, что формула первого приближения имеет вид d 85

86 f ( ) f ( a) f ( a) ( a) f ( a) df ( a) Для более точных вычислений используют приближенную формулу Тейлора, дифференциальное представление которой следующее: 3 f ( ) f ( a) df ( a) d f ( a) d f ( a) d f ( a),! 3! k! где При этом можно оценить и ошибку приближения, так как формула Тейлора с остаточным членом имеет вид k ( k) k d f ( a) f ( a) ( a) 3 f ( ) f ( a) df ( a) d f ( a) d f ( a) d f ( a)! 3!! ( ) f ( a ( a)) ( a), ( )! где (Сравните это выражение с формулой конечных приращений) (0,) Оценка абсолютной величины остаточного члена f ( a ( a)) ( a) ( )! ( ) как раз и дает оценку ошибки при приближенном вычислении по формуле Тейлора Очевидно, что если величина мала, то с ростом ошибка вычисления быстро уменьшается, а значит, повышается точность ( a) Заметим, что значения известных функций, приведенных в таблицах, таких, как таблица Брадиса, а также значения, вычисляемые калькуляторами, получены именно с помощью формулы Тейлора Задания Найти производную второго порядка функции: ) Найти производную третьего порядка функции: ) 3 Найти производную -ого порядка функции: ) ; 3) 4 Применив формулу Тейлора к функции вычислить с точностью до 0,00 значения ) Ответы: ) ) ; 4) ) 86

87 ) 3) 3 )! ) ; 3) 4 ),094; ) 0,869 Степенные ряды Запишем приведенную в предыдущем параграфе формулу Тейлора с остаточным членом в несколько ином виде: 3 f ( ) f ( a) f ( a) ( a) f ( a) ( a) f ( a) ( a)! 3! ( ) ( ) f ( a) ( a) f ( a ( a)) ( a)! ( )! Предположим, что остаточный член f ( a ( a)) ( a) ( )! ( ) стремится к нулю при стремлении к бесконечности для всех значений в окрестности точки : Это возможно, если производные любого порядка функции ограничены в этом ( ) интервале Действительно, величина f ( a ( a)) в этом случае ограничена, а ( a) ( )! 0 a с ростом a r f( ) Обозначим 3 S( ) f ( a) f ( a) ( a) f ( a) ( a) f ( a) ( a)! 3! ( ) f ( a) ( a)! Тогда, где Следовательно, существует предел f ( ) S ( ) R ( ) R( ) 0 lim S ( ) f ( ) при Таким образом, функция f( ) является пределом частных сумм Это значит, что при любом значении из интервала a r соответствующее значение функции f( ) является суммой числового ряда S( ) ( k) f ( a) ( ) k a (значение параметра k0 k! ( k) f ( a) f( a )) При переменных из интервала a r ряд ( ) k a k0 k! является степенным рядом и называется рядом Тейлора Таким k 0 соответствует слагаемому 87

88 образом, внутри интервала ряда Тейлора, и представление k0 a r ( k) f ( a) f ( ) ( a) k! называется разложением функции окрестности точки a функция k f( ) f( ) является суммой в ряд Тейлора в Понятие о функциях нескольких переменных До сих пор мы рассматривали функции, отображающие подмножества R (или C ) в R (или C ), соответственно Такие функции называются функциями вещественной (или комплексной) переменной Пусть теперь подмножество пространства Функция, отображающая X в R, называется функцией переменных График такой функции можно представить только в случае Да и то, изобразить этот график на плоскости можно только в проекциях, поскольку графиком будет не плоская кривая, а поверхность в трехмерном пространстве В качестве примера можно рассмотреть функцию двух переменных, заданную в круге Очевидно, что значения функции неотрицательны и могут обращаться в 0 только в центре круга, где функция задана Чем больше расстояние точки (, ) от центра круга, тем больше значение функции Графиком данной функции является поверхность, называемая параболоидом, и имеющая вид z X y z y z R y 4 Условие дифференцируемости функции переменных Функция переменных z f (,,, ),,,, D R, называется дифференцируемой в точке (,,, ) D, если существуют постоянных A, A,, A, таких, что f A A A, где f f (,,, ) f (,,, ),, k,,,, а величина k k k 88

89 обладает (,,, ) свойством: lim 0 0 f (,,, ) f k Легко видеть, что в случае = условие дифференцируемости совпадает с условием дифференцируемости функции одной переменной Каждая из постоянных Ak, k,,, называется частной производной функции по переменной k в точке f и обозначается или k Нетрудно заметить, что частная производная по фиксированной переменной вычисляется так же, как производная функции одной переменной, если принять остальные переменные за постоянные Задания Найти все производные первого порядка функций нескольких переменных 3 f (, y) 3 y 6y f y y y y (, ) si( ) cos( ) 4, 5 y z f (, y, z) y 3z, Ответы ) f 6 y, f y, ) f ( y )cos( y ) ysi( y y), y y f y y y y f f y y 4) y cos( ) ( )si( ), 3),, 4 y 4 ), Первообразная и неопределенный интеграл Итак, мы умеем находить производные функций одной переменной и представляем область их применения Поставим обратную задачу: зная производную, найти порождающую ее функцию, называемую первообразной Очевидно, что линейное свойство производной наследуется первообразной, то есть, если исходную функцию умножить на константу, то и ее первообразная 89

90 умножится на константу, а первообразная суммы двух функций будет равна сумме первообразных В случае, когда заданная функция имеет вид, найти первообразную нетрудно Это функция продифференцировав первообразную Однако, функция любой постоянной C также первообразная для, что легко проверить, C при Очевидно, что если мы нашли первообразную для заданной функции, то функция при любой постоянной C также первообразная для, так как ( ( ) ) ( ) ( ) Докажем обратное для случая, когда непрерывная функция на интервале функция: любые две первообразные функции могут различаться только постоянным слагаемым Пусть и две различные первообразные функции, то F() f( ) f( ) F () f( ) F( ) F ( ) f ( ) ( ab, ) F() C F C F f f( ) F () f( ) есть, Рассмотрим функцию Согласно предположению в любой точке интервала Следовательно, для любых двух точек внутри интервала (, ) согласно формуле конечных приращений справедливо равенство: Это означает, что для всех точек интервала (, ) То есть, Множество всевозможных первообразных для заданной функции называется неопределенным интегралом от и обозначается, а нахождение неопределенных интегралов называется ( ) ( ) 0 f( ) f ( ) d ab ( ) 0 F ( ) F ( ) C () cost ( ) F ( ) F ( ) f( ) ab ( ab, ) интегрированием Мы уже доказали, что для получения неопределенного интеграла от непрерывной функции достаточно найти одну первообразную и добавить произвольное постоянное слагаемое Таблица основных неопределенных интегралов имеет вид d C, ; d l C; d d arctg C ; arcctg C l C; 90

91 d arcsi C ; arccos C d l C; a a d C, a 0, a ; l a si d cos C; cos d si C; d ctg C; si d tg C cos Студенты должны проверить правильность всех приведенных соотношений, сравнивая соответствующие производные Заметим, что две формы для третьей и пятой первообразных приведенной таблицы не говорят о том, что первообразные могут отличаться не только на постоянное слагаемое Дело в том, что справедливы соотношения и Конечно, приведенный список не исчерпывает все функции, которые можно проинтегрировать Ниже будут приведены некоторые приемы, позволяющие проинтегрировать более сложные функции Сейчас же отметим, что возможность получить первообразную, выражающуюся через элементарные функции, есть не для всякой arcsi arccos / arctg arcctg / исходной непрерывной функции Так, функция si, непрерывная при 0 и непрерывно продолжимая в точку 0 значением, не имеет первообразной, представимой через элементарные функции Подобные функции могут быть проинтегрированы с применением степенных рядов Метод замены переменной в неопределенном интеграле Докажем следующее утверждение: если первообразной для функции является функция F, () то первообразной для f ( a b) f( ) является функция F( a b) a Действительно, поскольку, получим ( F( a b)) F ( a b) a f ( a b) a a F( ) f ( ) 9

92 Подобным образом доказывается следующее утверждение: если первообразной для функции является функция, то первообразной для функции является функция Пример Найти Здесь f( ) ( ) f ( ( )) si e cos d Следовательно, в соответствии с тем, что si si e cos d e C Задания Найти интегралы: ) ) 5) 8) F () F( ( )) ( ) si, ( ) cos e d e C 9) ) Представить выражение в виде дифференциала функции: ) 6) 3 Найти интегралы: ) 6) 7) 0) ) ) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) Ответы 4) ) 5) 7) 8) 9) ) ; 4) ; 6) 3 ) ; ) 3), имеем 9

93 0) 3) ; 4) 5) 6) 7) Метод интегрирования по частям Запишем известное соотношение и проинтегрируем его Очевидно, что первообразной для функции f () является функция f( ) Поэтому получим u( ) v( ) C u( ) v( ) d u( ) v( ) d формула: ( u( ) v( )) u( ) v( ) u( ) v( ) Следовательно, справедлива u( ) v( ) d u( ) v( ) u( ) v( ) d C для интегрирования по частям Пример Найти Обозначим v( ) e, u( ) получим e d Это и есть формула u( ), v( ) e Тогда Применяя формулу интегрирования по частям, e d e e d e ( ) C Задания Найти интегралы: ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) ; 9) 0) ) Ответы: ) 3) 4) 6) 7) ; 0) 93

94 Интеграл Римана Площадь криволинейной трапеции Представим, что мы должны подсчитать площадь земельного участка, изображенного на рисунке Такая фигура, ограниченная с трех сторон отрезками прямых, два из которых перпендикулярны третьему, а четвертая сторона пересекается прямой, перпендикулярной противоположному отрезку, только в одной точке, называется криволинейной трапецией Очевидно, что любая плоская фигура может быть разбита на конечное число криволинейных трапеций Будем считать, что прямолинейные участки сторон нашей криволинейной трапеции так же, как на рисунке, параллельны координатным осям В этом случае можно нижний отрезок считать отрезком оси абсцисс, где, и точки криволинейного участка задать с помощью непрерывной функции y f ( ), [ a, b] a b Для того, чтобы найти площадь криволинейной трапеции, заменим трапецию объединением прямоугольников по следующей схеме Отрезок [ ab, ] разделен на отрезков [ i, i ], i 0,,, где 0 a, b На каждом отрезке выбрана точка i и в этой точке 94

95 восстановлен перпендикуляр (прерывистая линия) до пересечения с кривой Таким образом, вершиной перпендикуляра является точка с координатами На каждом отрезке как на основании построен прямоугольник высотой Очевидно, что чем меньше отрезок, тем меньше площадь прямоугольника отличается от площади криволинейной трапеции с основанием Обозначим длину наибольшего из отрезков называется диаметром разбиения Чем меньше диаметр разбиения, тем ближе сумма площадей построенных прямоугольников к площади исходной криволинейной трапеции с основанием [, ] Итак, за приближенное значение площади исходной y f () [ i, i ] (, f ( )) i i ab ( ) f i [ i, i ] [ i, i ] [ i, i ] криволинейной трапеции возьмем ( f, R, ) f ( i)( i i) Здесь R означает способ выбора точек разбиения, выбор отмеченных точек Введенная сумма называется интегральной суммой Римана Если существует предел, причем этот предел не i lim ( f, R, ) I 0 зависит ни от R, ни от, то функция называется интегрируемой на отрезке, а сам предел называется интегралом Римана по [ ab, ] отрезку и обозначается b a f ( ) d f( ) криволинейной трапеции с основанием y f () i i Этот интеграл и будет равен площади [ ab, ], ограниченной кривой Любая непрерывная на отрезке функция является интегрируемой на этом отрезке Хотя класс интегрируемых по Риману функций значительно шире, чем класс непрерывных функций, мы будем рассматривать только интегралы от непрерывных функций Пока непонятно, почему площадь криволинейной трапеции назвали интегралом так же, как множество первообразных Не видно связи между этими объектами Тем не менее, связь есть Отметим пока очевидные свойства интеграла Римана, следующие из свойств сумм и пределов Линейность Если функции и g ( ) интегрируемы на отрезке [ ab,, ] и произвольные постоянные, то функция интегрируема на отрезке, причем f ( ) g( ) b f( ) ( f ( ) g( )) d f ( ) d g( ) d a b a b a [ ab, ] 95

96 Аддитивность Если функция интегрируема на отрезке,, то интегрируема на отрезках и, [ ab, ] причем c[ a, b] f( ) b c b f ( ) d f ( ) d f ( ) d a a c можно считать соотношение b a f( ) [ ac, ] [ cb, ] Следствием этой формулы f ( ) d f ( ) d a b То есть, замена направления интегрирования приводит к замене знака у интеграла 3 Теорема о среднем Для любой непрерывной на отрезке функции существует такая точка, что b a f( ) f ( ) d f ( ) ( b a) 0 0 [ a, b] [ ab, ] То есть, существует равновеликий криволинейной трапеции прямоугольник на том же основании с высотой, равной значению функции в промежуточной точке Формула Ньютона-Лейбница Предположим, что функция непрерывна на отрезке [ ab, ] Будем рассматривать интегралы от этой функции на отрезках [, ] при всевозможных Очевидно, что результат интегрирования зависит от значения верхнего предела интегрирования Поэтому t[ a, b] t f( ) обозначим I( t) f ( ) d Имеем I( a) 0, I( b) f ( ) d a Рассмотрим tt I( t t) I( t) f ( ) d t b a at В соответствии с теоремой о среднем существует такое значение (0,), что tt f ( ) d f ( t t) t Следовательно, t I( t t) I( t) f ( t t) t 96

97 Переходя в последнем равенстве к пределу при и пользуясь непрерывностью функции в точке, получим Последнее означает, что функция I ( ) является первообразной для функции Следовательно, если любая первообразная функции, то по свойству двух первообразных одной и той же функции Следовательно, ( a) C, так как Ia ( ) 0, и I( t) f ( t) f( ) f( ) b ( b) f ( ) d C a f( ) ( ) I( ) C Значит, b a f ( ) d ( b) ( a) t[ a, b] () t 0 Последняя формула, называемая формулой Ньютона-Лейбница, как раз обеспечивает связь между интегралом Римана (его еще называют определенным интегралом) и первообразными Формулу Ньютона-Лейбница еще записывают в виде b a f ( ) d ( ) где вертикальная черта и индексы обозначают разность значений функций, соответственно, при верхнем и нижнем значениях переменной b a, Задания Вычислить: ) ; 3) ; 6) 8) 9) ; 0) Ответы ) 0; ) 6) 8) 0) 97

98 Приложения интеграла Римана Интеграл Римана по отрезку был нами введен как площадь криволинейной трапеции Понятие площади неотделимо от понятия интеграла С его помощью можно вычислять площади любых плоских областей Существует много других приложений интеграла Римана по отрезку Например, интеграл Римана служит и для определения длины дуги гладкой кривой (то есть кривой, угол наклона касательной к которой изменяется непрерывно при движении точки по кривой) Если кривая, лежащая в плоскости XOY, задана в виде то y f ( ), [ a, b], длина такой кривой определяется по формуле S f ( ) d В случае пространственной кривой, заданной параметрически в виде ( t), y y( t), z z( t), t [ t0, T, для вычисления ее длины применяют формулу T S ( t) y( t) z( t) dt t0 Помимо геометрических приложений интеграл Римана по отрезку имеет богатые физические приложения Например, работа силового поля (электромагнитного поля, поля тяготения) при перемещении материальной точки вдоль пространственной кривой, рассмотренной выше, вычисляется по формуле T A a [ X ( t) ( t) Y( t) y( t) Z( t) z( t)] dt t0 где ( X ( t), Y( t), Z( t )) переменный вектор поля (например, вектор напряжения), действующий в точке кривой, соответствующей значению параметра, a постоянная, связанная со свойствами поля и материальной точки t Задания Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: ) y 4, y 0; ) y l, e, y 0; 3) y, y ; 4) y 4, y 4; 5) Вычислить длину окружности 3Найти длину цепной линии e y e от 0 Ответы ) 3, b a до l7 98

99 Несобственный интеграл по бесконечному промежутку Просматривая математические тексты, нетрудно выражения вида f () d, f ( ) d встретить или f ( ) d С точки зрения введенного нами понятия интеграла Римана по отрезку приведенные интегральные выражения представляются бессмыслицей Действительно, мы не сможем составить ни одной интегральной суммы, так как никогда не кончим разбивать бесконечный промежуток на конечные отрезки и выбирать на них отмеченные точки И тем более, мы не сможем рассматривать последовательности интегральных сумм, соответствующих последовательностям таких разбиений с диаметрами разбиений, стремящимся к нулю Что же понимают под такими интегралами? Приведенные интегралы называются несобственными интегралами по бесконечному промежутку и определяются они при помощи интегралов Римана по конечным отрезкам следующим образом Пусть функция f( ) интегрируема на любом конечном отрезке [, b], b То есть для любого b существует конечный предел lim Ib ( ) b b существует I( b) f ( ) d Если, то такой предел обозначают f ( ) d и говорят, что этот несобственный интеграл сходится Если предел бесконечен или не существует, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится Пример b Ib () Исследуем сходимость интеграла при и I( b) lb при Очевидно, что конечный предел функции Он равен При предел образом, несобственный интеграл d Очевидно, что Устремим теперь b Ib () к существует только при Ib () бесконечен Таким d сходится только при причем d При несобственный интеграл расходится d, 99

100 Задания: Установить сходится ли несобственный интеграл, и если да, то найти его значение ) 4) ; 5) ; 6) 0 d ; 7) Ответы: ) ; ) расходится; 3) расходится; 4) ; 5) 0,5; 6) ; 7) 6 Понятие о кратном интеграле Римана Простейшим обобщением интеграла Римана по отрезку является кратный интеграл, то есть интеграл от функции переменных по области D в Схема построения интеграла Римана такая же, как для функции одной переменной Область D разбивается на множество малых подобластей В каждой из подобластей выбирается точка, в которой вычисляется значение функции Составляется сумма Римана сумма произведений полученных значений функции на меру подобласти Такой мерой является площадь подобласти в случае и объем в случае стягиваются в точки, мы следим за значениями интегральных сумм Римана В случае, когда эти суммы имеют предел, не зависящий ни от способа разбиения области на подобласти, ни от способа выбора точек в подобластях, где вычисляются значения функции в интегральных суммах, такой предел называют интегралом Римана соответствующей кратности по заданной области Вычисляют кратный интеграл Римана, сводя его к последовательности вычислений интегралов Римана по отрезку R 3 Меняя разбиения области так, что подобласти Дифференциальные уравнения Дифференциальным уравнением называют уравнение, содержащее неизвестную функцию и какие-то ее производные Порядок дифференциального уравнения определяется по наибольшему из порядков производных, входящих в уравнение Например, дифференциальное уравнение вида y y y 5 является дифференциальным уравнением 3-го порядка 00

101 Дифференциальные уравнения играют громадную роль в описании физических процессов и геометрических свойств кривых и поверхностей Поэтому решение дифференциальных уравнений так важно Процесс получения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения Пример Используя закон распада радиоактивного вещества, в соответствии с которым скорость распада пропорциональна количеству имеющегося вещества, узнать, через сколько времени после начала реакции распада останется вещества, если за 30 дней распалась половина первоначального вещества % первоначального Составим уравнение Обозначив через количество вещества, не распавшегося к моменту, и вспомнив, что скорость это производная по времени, запишем закон распада: Здесь коэффициент пропорциональности, а знак минус означает, что скорость отрицательна, так как количество нераспавшегося вещества убывает с ростом времени распада Запишем уравнение распада в виде y k y y t e e C e () C k t y 0 и заметим, что 30 k 0,5 y0 y0e t yt () y (l y) y Следовательно, t y 0 y k y (l y) k l y k t C C k 0 y0 e e k, так что интегрируя по переменной, получим сначала, а затем Обозначая исходное количество, получим, то есть, Используем данные о распаде половины исходного вещества за l 30 дней: Отсюда имеем: k Теперь решение 30 уравнения распада принимает вид: Наконец, решим поставленную задачу: найдем то значение времени, при котором останется нераспавшегося вещества Из последнего выражения для решения уравнения получим Отсюда найдем Именно такое количество дней необходимо для распада 99% исходного радиоактивного вещества t 0 0,0 y y t / y( t) y t 0,0 y 0 t 30log Заметим, что решенное нами уравнение y k y являлось дифференциальным уравнением первого порядка 0

102 Простейшим классом дифференциальных уравнений первого порядка являются уравнения с разделяющимися переменными Так называются дифференциальные уравнения вида, и решаются они следующим образом Представляя в виде отношения дифференциалов dy и собирая в левой части уравнения выражения, d содержащие, а в правой выражения, содержащие, получим dy gy ( ) f ( ) d y После интегрирования получим y y f ( ) g( y) dy gy ( ) Остается подсчитать интегралы в обеих частях уравнения Пример Найти решение уравнения ( ), y f g y y интегрирование, получим yy y f ( ) d C Здесь Поэтому, разделяя переменные и применяя ydy d C y Интеграл по переменной является табличным интегралом, а в интеграле по переменной сделаем замену переменной В результате интегрирования найдем решение y e C, где y t C e C Мы видим, что решение дифференциального уравнения первого порядка обязательно содержит произвольную константу Следовательно, для конкретизации решения необходимо наложить дополнительное условие, которое позволило бы так же, как мы это сделали при решении задачи о радиоактивном распаде, определить эту константу Задача о получении решения дифференциального уравнения первого порядка с дополнительным условием называется задачей Коши и имеет единственное решение в некоторой окрестности точки 0, если функции и f y (, y) непрерывны в окрестности точки Для решения дифференциальных уравнений высших порядков также имеет место задача Коши, где дополнительных условий больше, чем для уравнения первого порядка: если уравнение имеет порядок, то мы обязаны задавать значения ( ) y( ), y ( ),, y ( ) y Задания (, y ) f (, y) 0 0 f (, y) y y( ) y 0 0 0

103 Показать, что данная функция является решением данного дифференциального уравнения ) Решить задачу Коши ) 3 Решить дифференциальные уравнения: ) ) 3) 4) 5) 6) 4 Найти частные решения дифференциальных уравнений y y / 0 ) ; 3) Ответы ) 4) ) 3 ) 6) 4 ) ; ) Дифференциальные уравнения в частных производных Такие уравнения являются математическими моделями большинства физических процессов Действительно, описание физического процесса обычно невозможно без таких переменных как время и местоположение материальной точки Так, простейший процесс колебания струны, в неподвижном состоянии занимавшей отрезок горизонтальной оси, описывается уравнением Здесь y(, t ) неизвестная функция, означающая смещение точки с абсциссой перпендикулярно горизонтальной оси к моменту времени t, константа a связана со свойствами материала, из которого сделана струна и с натяжением струны Заметим, что задания значений искомой функции и ее производных в одной точке слишком мало, чтобы получить решение Действительно, рассмотрим в качестве примера уравнение в частных производных y 0, которое можно представить как ( y ) 0 То, что t y tt t a y 03

104 производная от функции по переменной равна нулю, говорит о том, что эта функция от этой переменной не зависит Следовательно, мы имеем, где произвольная функция Теперь проинтегрируем обе части полученного соотношения по При этом постоянная интегрирования, с учетом того, что функция зависит от двух переменных, является произвольной функцией от переменной Таким образом, мы получим решение, t y () ( ) t y(, t) y(, t) ( ) d ( t) включающее в себя две произвольные функции В уже упомянутом случае колебании струны для получения точного решения приходится задавать смещение концов струны за время процесса колебания, а также начальные смещения и скорости всех точек струны Методы решения задач, приводящих к дифференциальным уравнениям в частных производных, достаточно сложны и не могут быть рассмотрены в рамках настоящего пособия Понятие о вариационном исчислении Основы вариационного исчисления были заложены в работах Эйлера в 8-м веке, хотя на необходимость решения задач определения кривых с некоторыми оптимальными свойствами указывал еще Ньютон Математики 7-го века даже соревновались между собой, решая задачу об определении в вертикальной плоскости такой кривой, спускаясь по которой тяжелое тело под действием силы тяжести прошло бы путь между фиксированными точками A и B за наименьшее время (задача о брахистохроне) Решения подобных задач сводились к составлению дифференциальных уравнений, которым должны были удовлетворять функции, описывающие искомые кривые Юный ( год) Эйлер в 78 году по предложению своего учителя ИБернулли решил задачу о геодезических Геодезическими для поверхности называются кривые, лежащие на данной поверхности и обеспечивающие при движении по ним кратчайший путь между двумя точками поверхности (Очевидно, что геодезическими на плоскости являются прямые) Эйлеру удалось найти общее решение задачи А четыре года спустя Эйлер публикует работу, где он обобщает решенную задачу и применяет новый метод для ее решения Этот метод и явился основой нового направления в математике Задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы в некотором множестве функций (просто непрерывных или дифференцируемых до определенного порядка) найти такую функцию, 04

105 которая давала бы экстремум определенного числового выражения, зависящего от самой функции или ее производных Такое числовое выражение называется функционалом Примером функционала является интеграл I( f ) f ( ) d, дающий выражение длины кривой В данном случае очевидно, что при минимум функционала на множестве функций, дифференцируемых всюду на, достигается для функции К сожалению, не существует единого метода решения задач определения экстремумов любых функционалов Эйлер описал множество классов функционалов, для которых его метод успешно работает В 0-м веке в связи с развитием вычислительной техники широкое распространение получил метод сведения задач вариационного исчисления к краевым задачам и решение краевых задач численными методами f () cost a b y [ ab, ] f () I( f) Задачи оптимизации Рассмотрим следующую задачу, называемую задачей коммунальных служб: соответствующей машине следует так проехать, разбрасывая песок, по улицам, примыкающим к гаражу, а затем вернуться в гараж, чтобы путь машины был минимальным Эта и подобные ей задачи выбора оптимального пути решаются с помощью теории графов Графом называют геометрическую фигуру, состоящую из точек и соединяющих их линий Точки называются вершинами графа, линии ребрами На множестве графов вводятся операции объединения, дополнения и удаления ребер Используя такие операции, находят алгоритмы решения задач о нахождении маршрутов в графе, удовлетворяющих определенным условиям Если говорить о приведенной задаче коммунальных служб, то для ее решения следует минимизировать величину, где i e ( i ) ( e ) ( e ) i i b a e i i -е ребро графа (соответствующая улица), длина этой улицы При решении задач теории графов используют некоторые классические приемы, упрощающие решение (алгоритм Флери, алгоритм Краскала), но в основе решения лежит перебор вариантов Теория графов так же, как и математическая логика, относится к дискретной математике число проездов по этой улице, ( e i ) 05

106 Вопросы оптимизации (минимизации или максимизации) очень актуальны при принятии решений во многих областях человеческой жизнедеятельности Так, в параграфе «Приложение производной» мы уже рассматривали задачу выбора оптимальной скорости движения судна и решали ее с использованием производной Раздел математики, занимающийся построением, разработкой и приложением математических моделей принятия оптимальных решений называется «Исследованием операций» Очевидно, что нет единого способа решения всех задач, связанных с оптимизацией и что в таких задачах могут применяться приемы самых различных разделов математики Однако, можно предложить следующий общий подход к решению оптимизационных задач Устанавливается множество допустимых решений, и в этом множестве выбирается элемент, удовлетворяющий условиям оптимальности оптимальное решение задачи Таким образом, первой задачей исследователя является описание множества X и выбор критерия оптимальности Далее оптимальное решение на множестве X ищется либо перебором вариантов (дискретный случай), либо вариационными или дифференциальными методами (непрерывный случай) Часто оптимизация состоит в минимизации (максимизации) некоторой функции, называемой целевой функцией Так, в задаче коммунальных служб целевой функцией является функция ( e ) ( e ), а в задаче выбора оптимальной скорости судна i i i целевой функцией являлась функция, представляющая расходы, связанные с поездкой X Теория игр Этот раздел математики появился в связи с запросами военной стратегии и тактики и является теорией принятия оптимальных решений в условиях конфликтов То есть, в основе теории игр лежит понятие конфликт явление, применительно к которому можно говорить, кто и как в этом явлении участвует, какие у явления могут быть исходы и кто и как в этих исходах заинтересован Таким образом, для игры должны быть ) множество действующих начал (коалиции действия), ) семейство множеств стратегий каждой из коалиций, 3) множество возможных ситуаций, 4) множество заинтересованных начал (коалиции интересов), 06

107 5) семейство бинарных отношений, выражающих предпочтения между ситуациями для коалиций интересов Содержание теории игр состоит в установлении связей между компонентами игры и оптимальными исходами При этом понятие оптимальности необязательно выражается в получении экстремума чего-то, а возможно, в виде устойчивости или симметрии исхода В случае динамической игры когда игроки управляют движением точки в пространстве состояний иногда возможно применение дифференциальных уравнений, имеющих при задании начальных условий единственное решение Раньше теорию игр относили к теории вероятностей, но в последнее время считается, что этот раздел математики примыкает к исследованию операций Помимо военного дела теория игр широко применяется в экономике в борьбе за рынки Основные понятия и теоремы теории вероятностей В теории вероятностей изучаются возможные исходы опыта случайные события, то есть, события, которые могут произойти или не произойти Классический пример опыта бросание монет Например, при одновременном бросании двух монет (опыт) могут произойти следующие события: «выпало два герба», «выпал хотя бы один герб», «выпали две цифры», «монеты упали одинаковыми сторонами», «выпал один герб и одна цифра» Событие называют достоверным (обозначают обязательно происходит в результате опыта Например, в приведенном опыте достоверным является событие: «выпал хотя бы один герб или хотя бы одна цифра» Событие называют невозможным (обозначают ), если оно не может произойти в результате опыта В рассмотренном опыте невозможным является событие: «выпало три герба» Два события называют несовместными, если они не могут одновременно произойти в результате опыта В рассмотренном примере события «выпало два герба» и «монеты упали разными сторонами» являются несовместными Говорят, что событие A благоприятствует событию B (обозначают A B), если из того, что произошло событие A следует, что произошло событие B В случае опыта с бросанием двух монет E ), если оно 07

108 событие «выпало две цифры» благоприятствует событию «выпала хотя бы одна цифра» Множество событий рассматриваемого опыта, одно из которых в результате опыта обязательно происходит, а любые два из которых несовместны, называется множеством исходов опыта (или множеством элементарных событий, или полной группой событий) В случае бросания двух монет множеством исходов являются события: «выпало два герба», «выпали две цифры», «выпал один герб и одна цифра» Заметим, что множество исходов может определяться неоднозначно, ведь множеством исходов того же опыта являются события: «монеты упали одинаковыми сторонами» и «монеты упали разными сторонами» Мы видим, что первое множество исходов содержит два события («выпало два герба», «выпали две цифры»), благоприятствующих событию «монеты упали одинаковыми сторонами» из второго множества исходов А третье событие первого множества исходов («выпал один герб и одна цифра») совпадает со вторым событием второго множества исходов («монеты упали разными сторонами») Очень удобно изображать события так же, как изображают множества Несовместные события изображаются непересекающимися множествами, событие, благоприятствующее другому событию, изображается подмножеством этого другого события Достоверное событие E, которое обязательно происходит в результате опыта, является аналогом универсума, то есть содержит все множества, соответствующие исходам опыта Пустому множеству соответствует невозможное событие Так же, как в случае множеств, для событий вводятся операции объединения ( A B ) событие, состоящее в том, что произошло или событие A, или событие B, и операция пересечения ( A B) событие, состоящее в том, что одновременно произошли события A и событие Операция разности событий A\ B представляет собой событие, состоящее в том, что произошло событие A, но не произошло событие B Аналогично операции дополнения множества вводится понятие B противоположного события: Возможно следующее определение математической вероятности события: это числовая характеристика степени возможности наступления события в определенных, могущих повториться неограниченное число раз условиях Это означает, что A E \ A если вероятность события охарактеризовать числом p, то при проведении опыта раз при достаточно большом данное событие произойдет примерно p раз, причем чем больше, тем ближе 08

109 количество наступлений события к числу p Очевидно, что получить вероятность события можно при достаточно большом числе опытов как отношение m, где m количество наступлений события, количество опытов Из определения очевидно, что вероятность m p не может быть больше и меньше 0 Очевидно также, что вероятность достоверного события равна, а вероятность невозможного события равна 0 Проще всего определять вероятность событий, когда множество исходов опыта представляет собой несколько равновероятных событий Так, в случае бросания неповрежденной монеты множество исходов состоит из двух равновероятных событий: «выпадение герба» и «выпадение цифры» Поскольку «выпадение герба или цифры» это достоверное событие с вероятностью и события несовместны, то при многочисленных бросаниях вследствие симметричности монеты примерно половина исходов даст герб, а другая половина цифру Следовательно, вероятность выпадения герба, как и вероятность выпадения цифры, равна Аналогично определяется вероятность выпадения числа от до 6 при бросании игральной кости: в силу симметричности кости вероятность выпадения всех чисел одинаковая и равна 6 В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число m PA ( ), где число всевозможных исходов, а m число исходов, благоприятствующих событию A Пример Пусть опыт состоит в однократном бросании игральной кости, а событие A выпадение нечетного числа Всего исходов 6 (,, 3, 4, 5, 6), из них 3 благоприятствуют событию 3 образом, PA ( ) 6 Пример Вернемся к нашему опыту бросания двух монет Вычислим вероятности событий, составляющих множество исходов: A «выпало два герба», A «выпал один герб и одна цифра» Если каждое из первых двух событий соответствует одному исходу: одновременное выпадение либо гербов, либо цифр у монет, условно названных первой и второй, то событию A 3 благоприятствуют следующие исходы: «герб на первой монете и цифра на второй» и «цифра на первой монете и герб на второй» Таким A «выпали две цифры», 3 A A (,3,5) Таким 09

110 образом, если сосчитать равновероятные исходы с учетом номера монет, то их 4: ЦЦ, ГГ, ГЦ, ЦГ Следовательно, PA ( 3) 4 P( A) P( A) 4 Большую роль в решении задач об опытах с равновероятными исходами играют комбинаторные функции Пример В ящике лежат 0 одинаковых на ощупь шаров, из них белых и 8 черных Наудачу вынимают шара Какова вероятность того, что оба они белые? Определим число возможных исходов выбора двух шаров из 0 Это C 0 09 Благоприятных исходов C 33 вероятность выбора двух белых шаров равна 0,35 Таким образом, 95 Часто для вычисления вероятностей пользуются теоремой сложения, согласно которой частности, если события несовместны, Следствием теоремы сложения является формула Пример Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку с вероятностью 0,, в восьмерку с вероятностью 0,6 Какова вероятность при одном выстреле выбить не менее восьми очков? Интересующее нас событие является объединением попарно не пересекающихся событий : «выбито 8 очков», «выбито 9 очков» и «выбито 0 очков» Следовательно, в соответствии с теоремой сложения для вычисления требуемой вероятности следует сложить вероятности всех этих событий и получить 0,85 Пример В ящике лежат 8 белых и красных одинаковых на ощупь шаров Какова вероятность, вынимая наугад 3 шара, вынуть хотя бы один белый? В данном случае можно сосчитать вероятности вынуть 3 белых, белых и один красный и белый и красных шара, а затем сложить полученные величины Однако рациональнее сосчитать вероятность противоположного события вероятность вынуть три красных шара Итак, C PA ( ) C A и B Следовательно, P( A B) P( A) P( B) P( A В ) B P( AB) P( A) P( B) P( A) P( A) P( A) P( A) 0,8 Пусть два события независимы, то есть, от того, произойдет или нет одно из них, не зависит наступление второго Для A и B, 0

111 независимых событий определяют вероятность пересечения событий как Пример Два самолета сбрасывают по бомбе на вражеский объект Объект считается уничтоженным, если в него попали две бомбы Какова вероятность уничтожить объект, если вероятность попадания первого самолета 0,8, а второго 0,75? Очевидно, что если летчик не отслеживает попадание в цель товарища и не укрепляет (или ослабляет) тем самым свой моральный дух, попадание бомб из разных самолетов в цель взаимно независимые события Поэтому вероятность одновременного попадания в цель равна 0,80,75 0,6 Пример В условиях предыдущего примера следует подсчитать вероятность попадания в цель хотя бы одного летчика Благоприятными для наступления интересующего нас события являются следующие исходы: «попали оба», «первый попал, второй не попал», «первый не попал, второй попал» Вероятность первого из исходов 0,6, вероятность второго, вероятность третьего Поэтому вероятность попадания хотя бы одного летчика равна 0,95 В соответствии со следствием из теоремы сложения тот же результат мы получим, подсчитав вероятность противоположного события «в цель не попали оба летчика» ( 0,0,5 0,05 ) и вычтя полученный результат из единицы P( AB) P( A) P( B) 0,0,75 0,5 0,80,5 0, В ряде случаев возникает вопрос: что можно сказать о вероятности события A, если известно, что произошло событие Вероятность при этом обозначается и читается «вероятность A при условии B» Если события A и B P( A B) B? несовместны, то P( A B) 0, то есть A невозможное событие при наступлении события Если, наоборот,, то, то есть, при событие A при B A P( A B) B A условии B достоверное событие Для случаев, когда при условии B событие P( A B) условной вероятности, вычисляемой по формуле: P( A B) PB ( ) Рассмотренные нами случай несовместных событий и случай B A согласуются с данной формулой A может как наступить, так и не наступить, вводят понятие В случае равновероятных исходов опыта формула условной k вероятности имеет вид P( A B), где m число исходов, m B

112 благоприятных для события, и из них благоприятствуют событию A Пример Найти вероятность того, что при бросании игрального кубика выпало число 3, если известно, что выпавшее число нечетное Число исходов, благоприятных для выпадения нечетного числа, равно 3 (, 3, 5) Из этих исходов только один благоприятен выпадению числа 3 Следовательно, искомая вероятность равна Проверим, чему равна условная вероятность B k P( A B) 3, если события независимы Согласно определению вероятности пересечения независимых событий A и B P( AB) P( A) P( B) P( A B) P( A) P( B) P( B) Этот результат, несомненно, соответствует интуитивному представлению о том, что если события A и B независимы, то на вероятность наступления события A никак не влияет, произошло событие B или не произошло Условная вероятность используется для вычисления вероятности наступления события при известных вероятностях исходов опыта и условных вероятностях наступления события при каждом исходе Справедлива следующая теорема Пусть множество исходов некоторого опыта (то есть A, A,, Am A A, i j i j, и A A Am E ) Тогда m P( B) P( B Ai) P( Ai) Последняя формула называется формулой полной вероятности Пример По самолету производится три выстрела Вероятность попадания при первом выстреле 0,5, при втором 0,6, при третьем 0,8 При одном попадании самолет будет сбит с вероятностью 0,3, при двух попаданиях с вероятностью 0,6, при трех самолет будет сбит наверняка Какова вероятность того, что самолет будет сбит? Событием B является событие «самолет сбит» Множество исходов при трех выстрелах это события: трех выстрелах», A «одно попадание и два промаха»,, P( B A ) 0,6,, P( B A4 ) 0 Теперь нужно подсчитать P( Ai ), i,,3,4 Используя независимость попаданий, получим PA ( ) 0,50,6 0,8 0,4 Событие A это объединение трех несовместных событий: «попадание при первых двух выстрелах и промах при третьем», «попадание при первом и третьем выстрелах и i A «попадания при всех A «два попадания и один промах», 3 A 4 «три промаха» Имеем P( B A ) 0,3 3 P( B A )

113 промах при втором» и «промах при первом выстреле и попадание при двух следующих» Поэтому Аналогично считается вероятность третьего исхода: Очевидно, что в силу независимости промахов В результате применения формулы полной вероятности получим PA ( ) 0,50,6 0, 0,50,4 0,8 0,50,6 0,8 0,46 PA ( ) 0,50,6 0, 0,50,4 0,8 0,50,4 0, 0,6 3 PA ( ) 0,50,4 0, 0,04 PB ( ) 0,4 0,60,46 0,30,6 00,04 0,594 Представим, что нас интересует не столько событие, происшедшее в результате опыта, а то, при каком исходе из множества всех исходов это событие произошло Назовем при этом множество исходов множеством гипотез Пример Одинаковые детали производятся в трех цехах В первом цехе 50% всех деталей, во втором цехе 30% и в третьем цехе 0% Вероятность выпуска бракованной детали в -м цехе 0,0 во втором и третьем по 0,0 (видимо, там стоят более современные, чем в первом цехе, станки) К работникам ОТК попала бракованная деталь Следует узнать вероятность того, что бракованная деталь из третьего цеха Итак, событием в данном опыте является событие A «появление бракованной детали» Гипотезами здесь являются исходы «деталь произведена в -м цехе», «деталь произведена во -м цехе» и «деталь произведена в 3-м цехе» Обозначим эти гипотезы, соответственно Очевидна вероятность исходов-гипотез по объему поступающей из цехов продукции: Известны также вероятности события A при каждой из гипотез: Как же подсчитать? Ответ на этот вопрос дает теорема Байеса Пусть полная группа событий Тогда P( A H ) 0,0, H, H,, H P( H A) k P( A H ) P( A H ) 0,0 i 3 P( A H ) P( H ) k P( A H ) P( H ) i k i 3 H, H, H 3 P( H ) 0,5, P( H ) 0,3, P( H ) 0, P( H A) Применяя теорему Байеса, решим поставленную в примере задачу: подсчитаем вероятность того, что бракованная деталь из третьего цеха 0,00, 0,00 P( H3 A) 0,33 0,00,5 0,00,3 0,00, 0,05 3 Многие задачи теории вероятностей сводятся к тому, что опыт проводится раз независимым образом, причем наступление события 3

114 A в одном опыте не влияет на наступление того же события в другом опыте Если вероятность наступления события A в одном опыте равна, то чему равна вероятность наступлений этого события m раз при проведенных опытах ( m )? Так как при проведении опытов событие произойдет m раз и не произойдет раз, то если мы зафиксируем, в каких опытах событие произойдет, а в каких нет, из-за независимости наступления или отсутствия события мы должны получить Но поскольку мы не знаем, в каких опытах событие произойдет, а в каких нет, мы должны просуммировать вероятности несовместных событий, отличающихся номерами опытов, в которых событие происходит Число различных вариантов групп опытов с m происшедшими событиями равно Поэтому ответ на поставленный вопрос дает формула Бернулли: Пример Какова вероятность того, что при десяти бросаниях p p m ( p) m ( ) игральной кости два раза выпадет 6? Здесь A ( m) m C C m p m ( p) m p 6 Следовательно, вероятность интересующего нас события, m C ( ) C 5 0, Заметим, что в соответствии с формулой бинома Ньютона сумма вероятностей наступления событий 0,,,, раз при проведении опытов равна Задания В урне содержится 5 белых и 4 черных шара ) Вынимается наудачу один шар Найти вероятность того, что он белый ) Вынимаются наудачу два шара Найти вероятность того, что: а) оба шара белые; б) хотя бы один из них черный В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша Наудачу вынимают 3 карандаша Найти вероятность того, что: а) все они одного цвета; б) все они разных цветов; в) среди них синих и зеленый карандаш 3 Дано 6 карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О Найти вероятность того, что: а) получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбираются три карточки; б) получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой выбираются 6 карточек 4 Брошены две игральные кости Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков не превосходит 7; б) на обеих костях 4

115 выпадает одинаковое число очков; в) произведение выпавших очков делится на 4; г) хотя бы на одной кости выпадет 6 очков 5 Код домофона состоит из 8 цифр, которые могут повторяться Какова вероятность того, что случайно набирая цифры, можно угадать нужный код? 6 Наудачу взятый телефонный номер состоит из 6 цифр Определить вероятность того, все 6 цифр различны 7 Имеется 6 изделий: 4 из них первого сорта и второго Наудачу взяли 3 изделия Найти вероятность того, что среди них только одно первого сорта 8 Среди студентов 7 отличников Из группы отобрано наудачу 5 человек Какова вероятность того, что среди них 3 отличника 9 Среди 0 изделий 3 дефектных Случайно из них отобрано 4 изделия Найти вероятность того, что а) все отобранные годны; б) число годных и дефектных одинаково 0 Каждый из двух стрелков делает по одному выстрелу в мишень Пусть событие А первый стрелок попал в цель, событие В второй стрелок попал в цель Что означают события: а) А В; б) А В; в) А? Из корзины, содержащей красные, желтые и белые розы выбирается один цветок Пусть события А вынута красная роза, В вынута желтая роза, С вынута белая роза Что означают события: а) В С ; б) А В; в) АС; г) А В ; д) АВС ; е)( АВ) С? Три студента независимо друг от друга решают задачу Пусть событие А первый студент решил задачу, событие А второй студент решил задачу, А 3 третий студент решил задачу Выразить через события А i (i=,,3) следующие события: ) А все студенты решили задачу; ) В задачу решил только первый студент; 3) С задачу решил хотя бы один студент; 4) D задачу решил только один студент; 5) Е с задачей не справился ни один студент; 6) F задачу решило не более двух студентов 3 Только один из 9 ключей подходит к данному замку Какова вероятность того, что придется опробовать 5 ключей для открывания замка? 4 При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0,9 Какова вероятность того, что для запуска двигателя придется включать зажигание не более трех раз? 5 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероятности отказа элементов соответственно равны 5

116 0,05 и 0,08 Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент 6 Рабочий обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга Вероятность того, что за смену первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9, второй 0,8, третий 0,75 Найти вероятность того, что за смену: а) только один станок потребует внимания; б) хотя бы один станок потребует внимания; в) только третий станок потребует внимания рабочего 7 Стрелок выстрелил 3 раза по удаляющейся мишени Вероятность попадания в мишень при первом выстреле равна 0,7, а при каждом следующем выстреле она уменьшается на 0, Найти вероятность попадания в мишень: а) хотя бы один раз; б) один раз; в) два раза 8 В задаче известно, что Р(А ) = 0,9, Р(А ) = 0,8, Р(А 3 ) = 0,5 Найти вероятности событий: А, В, С, D, E, F 9 По мишени произведено три выстрела Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7 Найти вероятность попаданий в мишень, где = 0,,, 3 0 Монету бросают 5 раз Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз Два равносильных противника играют в шахматы Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех; б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Отмечено, что в городе N в среднем 0 % заключенных браков в течение года заканчиваются разводом Какова вероятность того, что из 8 случайно отобранных пар в течение года: а) ни одна пара не разведется; б) разведутся пары? 3 Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0, Какое минимальное число испытаний достаточно провести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, событие А наступило хотя бы один раз? 4 В деканат поступили работы студентов по трем предметам в соотношении :3:5 При этом вероятности неудовлетворительной оценки по каждому из этих предметов соответственно равны 0,05; 0,0 и 0,08 Определить вераятность того, что взятая на удачу работа окажется неудовлетворительной 5 В ящике содержится деталей изготовленных на заводе, 0 деталей - на заводе и 8 деталей - на заводе 3 Вероятность того, что деталь, изготовленная на первом заводе отличного качества, равна 0,9 Для деталей, изготовленных на заводах и 3, эти вероятности соответственно равны 06 и 6

117 0,9 найти вероятность того, что извлеченная на удачу деталь окажется отличного качества 6 В группе 5 студентов: 5 «отличников» по математике, 0 «хорошистов», 8 «троечников» и «двоечника» «Отличник решает любую задачу с вероятностью, «хорошист» - с вероятностью 0,9, «троечник» - с вероятностью 0,7, «двоечник с вероятностью 0,5 Наугад вызванный студент решил предложенную задачу Какова вероятность того, что был вызван «хорошист» Ответы: ) 6 ; в) ; ) а) ; г) ; б) 3 8 а) 3 44 ; б) 3 ; в) 3 3 а) 0 ; б) 70 4 а) 7 ; б) ,5 7 0, 8 0,44 9 а) 0,49; б) 0,084 0 а) Хотя бы один попал в цель; б) оба стрелка попали в цель; в) первый стрелок попал, а второй промахнулся а) Вынута желтая или белая роза; б) вынута красная или желтая роза; в) ; г) вынута белая роза; д) вынута роза любого цвета; е) вынута белая роза ) А= А А А 3 ; ) А А А3 А А3 + А + А А А3 А А А3 + + А А А А3 А А3 В А А А3 ; 5) Е = + А А3 А + ; 3) С = А + А + А 3 ; 4) D = А А А А3 А А3 + А А А3 ; 6) F = = А А А3 А А А3 + = А + А + А 3 - А А А 3 = А А А3 3 0,4 0, ,6 6 а) 0,08; б) 0,995;в) 0,05 7 а) 0,94; б) 0,9; в) 0,44 9 0,07; 0,89; 0,44; 0,343 0 а) 3 6 Р () = ; б) 3 6 ; Р 4 () = а) Вероятнее выиграть одну партию из двух, так как 3 8 ; б) вероятнее выиграть не менее двух партий из четырех, так как Р 4 () + Р 4 (3) + Р 4 (4) = (Р 4 (0) + Р 4 ()) = Р 5 (4) + Р 5 (5) = 6 0, ; Р 5 (3) + а) 0,430; б) 0, , ,78 Случайные величины 7

118 Случайной величиной называют функцию, заданную на множестве исходов конкретного опыта Дискретная случайная величина В простейшем случае, когда множество исходов опыта конечно, каждому исходу опыта E k поставлено в соответствие единственное число k, которое и называется значением случайной величины на исходе E k и представляется в виде k ( Ek) Если все значения случайной величины совпадают между собой, то говорят, что случайная величина есть постоянная Случайную величину, принимающую конечное число значений, задают таблицей: Исходы E E E Примером случайной величины можно считать суммарное количество выпавших очков при одновременном бросании двух игральных кубиков Очевидно, что число равновероятных исходов при опыте бросания двух кубиков равно 36 Значения, принимаемое случайной величиной, меняются от до, причем, разным исходам могут соответствовать одинаковые значения Например, значение 4 принимается при трех различных исходах: +3, + и 3+ Со случайными величинами обращаются так же, как с обычными числовыми функциями: можно складывать две случайные величины и (то есть строить новую случайную величину, задавая таблицу с суммами соответствующих значений при всех исходах), умножать случайную величину на число, умножать и делить случайные величины друг на друга Для изучения случайной величины вводят ее числовые характеристики Математическим ожиданием случайной величины в опыте с равновероятными исходами называется число k k M То есть, математическое ожидание это среднее значение случайной величины 8

119 Очевидно следующие из определения свойства математического ожидания: M ( a b ) ( a b ) a b a M b k k k k r M( ) r j j j M В данном выше определении математического ожидания очень существенно то, что исходы равновероятны Представим теперь, что изучаемая нами случайная величина принимает в результате исходов значений где Это означает, что какие-то из значений l a j E,,,, k k j a, j,, l, j l принимаются в результате нескольких равновероятных исходов Объединим те исходы, которые соответствуют значению a в событие A, j,, l Очевидно, что события A, j,, l j j, попарно несовместны Если обозначить через количество равновероятных исходов, соответствующих значению, то мы получим следующее определение математического mj ожидания: А теперь заметим, что pa ( j) Таким a j l j j j M a m образом, мы получили новое определение математического ожидания: пусть полной группой исходов опыта являются события с вероятностями, причем случайная A, A,, Al величина в результате исхода значения a, j,, l, j E k p( A ) p, j,, l j A j различны Тогда j j, E k принимает значение l j j j M a p a j m j и все Таким образом, для вычисления математического ожидания случайной величины недостаточно знать только значения величины при различных исходах, необходимы также вероятности событий, обеспечивающих различные значения случайной величины Поэтому целесообразно задавать таблицу, в которой указываются различные значения случайной величины, а также вероятности соответствующих исходов: P a a p p a l p l Построенная нами таблица называется законом (рядом) распределения дискретной случайной величины Заметим, что сумма вероятностей, находящихся в нижней строке приведенной 9

120 таблицы равна Для наглядности закон распределения задают графически: на оси откладывают всевозможные значения случайной величины, а над каждым значением (вдоль оси ) помещают соответствующую вероятность Соединяя полученные точки отрезками, мы получим многоугольник (полигон) распределения OX OY Пример Стрелок стреляет пять раз по мишени Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле 0,8 Найти закон распределения случайной величины «число попаданий стрелка в результате всех выстрелов» Данная случайная величина принимает 6 значений: 0,,, 3, 4, 5 Подсчитаем вероятность каждого из исходов с применением формулы Бернулли Значение 0 величина примет с вероятностью с вероятностью, значение с вероятностью, значение 3 с вероятностью, значение 4 с вероятностью и значение 5 с вероятностью Построим закон распределения P 0,0003 0,0064 0,05 0,048 0,4096 0,3768 C (0,) (0,8) 0, C (0,) (0,8) 0, C 0, (0,8) 0, C (0,) 0,8 0, , 5 Значение 5 (0,8) 0,3768 Задание Постройте случайной величины многоугольник распределения рассмотренной Найдем математическое ожидание данной величины =4 M =0+0, ,05+3 0, , ,3768 В соответствии с определением независимых событий две дискретные случайные величины и называются независимыми, если при любых i и j выполняется равенство 0

121 P(( a ) ( b )) P( a ) P( b ) i j i j величин характерно свойство Для независимых случайных M( ) M( ) M( ) Если математическое ожидание дает нам значение, вокруг которого разбросаны значения случайной величины, то новая характеристика, называемая дисперсией характеризует степень разброса значений случайной величины Для вычисления дисперсии применяется формула Найдем дисперсию случайной величины из предыдущего примера Случайная величина принимает значения -4, -3, -, -, 0, с вероятностями 0,0003, 0,0064, 0,05, 0,048, 0,4096 и 0,3768, соответственно Следовательно, величина принимает значения 6, 9, 4,, 0 с вероятностями 0,0003, 0,0064, 0,05, 0,5348 и 0,4096, соответственно Поэтому =0,8 Для вычисления дисперсии иногда удобно пользоваться формулой Докажем, что эта формула следует из формулы, определяющей дисперсию Используя ( M) D M( M) M D 60, , ,05 0,5348 D M ( M) определение математического ожидания и то, что l j l l l ( ) ( j ) j j j j j j j j D M M a M p a p M a p l ( M) p j M ( M) j Нетрудно заметить, что D( k ) k D p j, получим Часто при анализе каких-то процессов приходится выяснять, зависимы ли две случайные величины Мы уже знаем, что в случае независимости Но если последнее равенство не выполняется, то можно оценить степень зависимости между случайных величин Для этого служит коэффициент корреляции, M ( ) M ( ) M ( ) вычисляемый по формуле r(, ) Коэффициент D D корреляции обладает свойством r(, ) Очевидно, что коэффициент корреляции двух независимых величин равен нулю Если же две случайные величины связаны линейно, то есть,, то r(, ) Справедливо следующее свойство независимых величин: если величины и независимы, то D( ) D D M( ) M( ) M( ) ab

122 Задания Случайная величина Х задана рядом распределения: i - 3 р i 0,08 0,4 0,3 0, ) Построить многоугольник распределения; ) найти вероятности событий А = (Х<); В = ( Х<3); С = (<Х 3); 3) найти М(Х); 4) найти D(Х) Случайная величина Y задана рядом распределения: у i,,4,7,0,3 р i 0, 0, С 0,3 0, ) Найти значение Р(Y =,7); ) построить многоугольник распределения; 3) найти вероятности Р(Y>,4), P(,4 Y,3); 4) найти М(Y); 5) найти D(Y) 3Закон распределения случайной величины X задан таблицей: i 3 4 р i 0, 0,4 0,3 С Найти: ) С, ) М(Х), 3) D(Х), 4) Р(Х<3) Ответы: ) Р(А) = 0,48, Р(В) = 0,7, Р(С) = 0,5; 3),48; 4),6096 ) 0,3; 3) 0,7 и 0,9; 4),73; 5) 0, 0 3 ) 0,; ),6; 3) 0,84; 4) 0,5 Непрерывная случайная величина В случае, когда значения случайной величины непрерывны, например, заполняют целиком интервал, невозможно задавать случайную величину в виде таблицы с конечным числом исходов Примером непрерывной случайной величины является рост трехлетнего ребенка Опыт состоит в измерении роста ребенка Исход опыта измерение роста конкретного ребенка Очевидно, что нельзя установить конечное число возможных исходов, можно лишь указать диапазон значений роста по результатам многолетних наблюдений Для непрерывной случайной величины вводится функция распределения По аналогии с законом распределения для дискретной

123 величины функция распределения непрерывной случайной величины это вероятность, но не вероятность того, что случайная величина принимает конкретное значение, а вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие данного: Если ввести такую же функцию распределения для дискретной величины, то эта функция окажется ступенчатой Так, в последнем примере со стрелком при F0,0003 при, при, при, при, при, при Поскольку функция распределения является вероятностью, ее значения расположены в диапазоне [0,], при увеличении значений аргумента вероятность уменьшиться не может, так как множество возможных значений случайной величины расширяется Поэтому функция неубывающая, F( ) P( ) F ( ) 0, F ( ) 0 F ( ) 0,673 F () 0, F ( ) 0,0579 P( ) 4 5 () F ( ) 3 lim F ( ) 0, 0 F ( ) 0,67 5 lim F( ) Приведенный пример функции распределения дискретной величины подтверждает эти рассуждения В случае непрерывной случайной величины график функции распределения непрерывная кривая Если функция дифференцируема, то ее производная называется плотностью распределения Вследствие неубывания функции распределения Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что b a p ( ) 0 p( ) d F( b) F( a) P( b) P( a) P( a b) p( ) F( ) F () Следовательно, в соответствии с геометрическим смыслом интеграла, вероятность того, что случайная величина принимает значения на полуинтервале [ ab, ), равна площади криволинейной трапеции с основанием, ограниченной сверху кривой Очевидно, что площадь криволинейной трапеции не изменится, если в ее основании полуинтервал заменить на отрезок [ ab, ] или на интервал То есть, [ ab, ) y p() P( a b) P( a b) P( a b) P( a b) p( ) d b a [ ab, ) ( ab, ) Заметим, что для непрерывной случайной величины, в отличие от дискретной случайной величины, вероятность того, что величина принимает какое-то конкретное значение, равна нулю Действительно, P( 0) lim P( ) lim( F( 0 0 ) F( 0 )) F( ) F( )

124 Очевидно, что F( ) p( t) dt M p ( ) d lim p ( ) d lim ( F ( M ) F ( M )) M M M Математическое ожидание для непрерывной случайной величины с дифференцируемой плотностью распределения определяется как M p( ) d Дисперсия непрерывной случайной величины так же, как и для дискретной случайной величины определяется как и также выражается с помощью интеграла в случае дифференцируемой функции распределения Две непрерывные случайные величины и называются независимыми, если для любой пары промежутков и справедливо: Так же как в случае дискретных величин имеет место соотношение P(( I) ( J)) P( I) P( J) M( M) M( ) M( ) M( ) Задания Задана функция распределения непрерывной случайной величины Х I и J Найти: ) Плотность распределения Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х Найти ) Функцию распределения F(); ) 3 Задана функция Определить:) при каком значении функция будет функцией распределения некоторой случайной величины Х; ) плотность вероятности ; 3) вероятность события D= 4

125 4 Дана плотность распределения вероятностей случайной величины Х: Найти 5 Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины Х с плотностью вероятности Ответы ) ) ) 0,99 3 ); ) ;3) Примеры законов распределения случайных величин ) Равномерное распределение Непрерывное распределение с плотностью, постоянной на некотором участке [ ab, ] и равной нулю всюду кроме этого участка, называется равномерным распределением Из соотношения плотности на участке [ ab:, ] F( ) p( t) dt p( ) d pd b a имеем постоянное значение p В соответствии с формулой b a имеем следующий график функции равномерного 5

126 распределения: Вычислим характеристики равномерного распределения: b b a M d, b a b a a b ( ) ( b a) D d ba a ) Биномиальное распределение Дискретная случайная величина, принимающая только целые неотрицательные значения, не большие числа, с вероятностями, называется распределенной по биномиальному закону Заметим, что приведенная величина фигурировала в формуле Бернулли, которая давала вероятность наступления события в опытах из, если вероятность наступления события в одном опыте равна Характеристики распределения таковы: M p, На двух следующих графиках заданы законы распределения с 40 и с p 0,7, 0, соответственно P( k) C k p k ( p) k k ( ) D p( p) p p 0,5, 6

127 3) Закон Пуассона Этот закон распределения дискретной величины можно считать предельным случаем биномиального распределения Здесь случайная величина может принимать любые неотрицательные значения, не ограниченные сверху каким-либо значением Такое распределение получается в схеме Бернулли при достаточно больших и достаточно малых a p и потому называется законом редких явлений Преобразуем формулу Бернулли и перейдем к пределу при, стремящихся к бесконечности: ( k) k k ( k) ( )( k ) a a C p ( p) k! a k k a ( ) k a a k e k! a k! Таким образом, закон Пуассона имеет вид: k a a P( k) e, k 0,, k! Характеристики этого закона таковы: k0 k k a a M k e a, D a k! 4) Нормальный закон распределения Гаусса Этот закон распределения непрерывной случайной величины очень часто применим, поэтому остановимся на нем подробнее Если для дискретной величины, распределенной по биномиальному закону, построить зависимость вероятности P( k) от значения k, мы заметим, что с ростом k при k p p вероятность монотонно возрастает, а при k p p с ростом k 7

128 вероятность монотонно убывает, достигая наибольшего значения при значениях, близких к математическому ожиданию Это можно проследить на приведенных выше двух графиках законов биномиального распределения Нечто подобное можно наблюдать и при построении подобной зависимости для дискретной величины, распределенной по закону Пуассона Аналогом закона распределения дискретной случайной величины в случае непрерывной случайной величины является плотность распределения Естественно иметь такой закон распределения непрерывной случайной величины, плотность которого достигает наибольшего значения при значениях случайной величины, равных математическому ожиданию этой величины p Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность вероятности равна ( m) p( ) e, 0 График плотности распределения кривая, симметричная относительно точки, монотонно возрастающая от нуля ( ) при mи монотонно убывающая к нулю ( p ( ) 0 p ( ) 0 ) при m m На приведенном ниже рисунке совмещены графики плотностей двух нормальных распределений График I соответствует значениям параметров, а график II значениям параметров m 0, m 0, Коэффициент при экспоненциальной функции подобран таким, чтобы выполнялось условие p( ) d (При вычислении интеграла от плотности используется значение интеграла Эйлера-Пуассона: 8

129 e dt t ) Функция распределения величины, распределенной по нормальному закону, можно задать следующим образом: где функция 0 ( tm) ( m)/ / F( ) e dt e d ( m)/ / / m e d e d ( ), / ( ) e d 0 0 называется функцией Лапласа Функция Лапласа задается таблично, как и многие известные функции (тригонометрические функции, экспоненциальная функция и логарифмическая функция) Это монотонно возрастающая, нечетная функция, ( ) Если случайная величина нормальному закону, то имеет распределение по bm a m P( a b) ( ) ( ) Математическое ожидание этой случайной величины равно M p( ) d m Дисперсия той же величины равна D Замечательным свойством нормального закона является следующее: если независимые случайные величины распределены по нормальному закону, то их сумма также распределена по нормальному закону Задания Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 0 и найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале (; 4) Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение порога восприятия звукового сигнала в серии опытов (в условных единицах), дисперсия Вычислить вероятность того, что в данном испытании порог будет заключен в интервале (30; 80), считая распределение порога нормальным 3 Пусть случайная величина «центрированная», те Известно, что Найти вероятность того, что не превосходит по абсолютной величине значения 5 9

130 4 Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение уровня уверенности, распределенного по нормальному закону, соответственно равны 40 и 0,4 Какие значения данного показателя можно гарантировать с вероятностью 0,8? Ответы 0,84 3 0,686 4 Используя условие найти 4 Закон больших чисел Вероятностные закономерности выявляются при большом числе опытов и называются законом больших чисел Наличие этих закономерностей связано с массовостью явлений, то есть с большим числом опытов или с большим числом случайных воздействий, приводящих к такой случайной величине, которая подчиняется вполне определенному и математически выверенному закону Так, справедлива следующая теорема, называемая теоремой Чебышева Если случайные величины попарно независимы и существует такая константа, то при любом a 0 k k k k,,,, C 0, что lim P ( M a k ) 0 D C, k N То есть, какие бы конкретные значения ни принимали попарно независимые случайные величины, с большой вероятностью за их среднее можно брать среднее их математических ожиданий Другим примером проявления закона больших чисел является центральная предельная теорема: если последовательность попарно независимых случайных величин,,,, удовлетворяет условию 3 M k Mk k lim 0 3/ ( D k ) k, то k k k k lim P a b ( b) ( a) k D M k Заметим, что условие, приведенное в формулировке теоремы означает, что в сумме случайных величин ни одно из слагаемых не k k 30

131 доминирует, то есть вклад каждой из случайных величин не подавляет вкладов других величин Элементы математической статистики В предыдущем параграфе мы имели дело с законами распределения случайных величин как с чем-то заранее известным На практике, когда мы пытаемся систематизировать наблюдения и опытные данные и делать на основании этих наблюдений прогнозы, мы должны получить все характеристики из опытов При этом следует иметь в виду, что всякий эксперимент связан с ошибками измерений и наблюдений, и значит, характеристики, полученные из опытов, являются лишь приближенными величинами Следует убедиться в надежности полученных результатов (то есть знать вероятность того, что результаты измерений имеют заданную точность) Разработка методов регистрации, описания и анализа статистических экспериментальных данных, полученных в результате наблюдения массовых случайных явлений, составляет предмет математической статистики Основными задачами математической статистики являются ) задача определения закона распределения случайной величины по статистическим данным, ) задача выявления достоверности полученных параметров распределения, 3) задача проверки правдоподобия гипотезы о том, что случайная величина подчиняется выбранному закону распределения Для статистического анализа случайной величины мы производим выборку, то есть, измеряем не все значения случайной величины, а только часть случайно полученных значений Тем более, что иногда опыт по измерению значений приводит к уничтожению объекта исследований Так, измерение срока службы электрической лампочки имеет смысл только в том случае, если в итоге опыта лампочка придет в негодность Предположим, что мы проводим анализ данных о росте трехлетних детей При проведении опыта (измерении роста малышей) мы сначала записываем данные последовательно по мере их поступления (рост -го ребенка, рост -го ребенка, ) Следующий этап обработки статистических данных построение статистической функции распределения исследуемой случайной величины Статистической функцией распределения случайной величины называется частота события в 3

132 полученном статистическом материале: Здесь это частота, то есть, отношение числа полученных в результате опыта значений случайной величины, меньших значения, к числу всех полученных значений Мы получим неубывающую ступенчатую функцию, имеющую скачки в точках, соответствующих всем значениям случайной величины, полученным в результате опыта * * F P ( ) ( ) P * При увеличении числа опытов согласно закону больших чисел наша статистическая функция распределения приближается к подлинной функции распределения F () Аналогом закона распределения дискретной величины или плотности распределения непрерывной величины являются полигон частот и гистограмма частот Полигон частот мы получим, если каждому значению исследуемой величины, полученному в результате опыта, поставим в соответствие число наблюдений этого значения Например, рост м мы наблюдали у 7 детей, рост м см у 0 детей, рост м см у 8 детей и тд На графике мы отложим значение значении при 0, Соединив точки графика отрезками прямых, мы получим многоугольник, который и называют полигоном частот В случае, когда по вертикали мы откладываем не число наблюдений данного 00, значение y 0 при значении y 7 при 0, значение y 8 значения, а отношение этого числа к числу всех измерений, мы получим полигон относительных частот В том случае, когда число данных, полученных в результате опыта, очень велико и расположены эти данные близко друг к другу, то есть случайная величина распределена практически непрерывно, прибегают к построению гистограммы В отличие от полигона 3

133 частот при построении гистограммы на оси отмечают не отдельные значения, которые принимает случайная величина, а равные интервалы значений, а над каждым таким интервалом на высоте, равной количеству наблюденных значений случайной величины, попавших в этот интервал, помещают параллельный оси отрезок Аналогом математического ожидания случайной величины при статистической обработке является среднее арифметическое полученных значений, называемое эмпирическим математическим ожиданием или средним по выборке Здесь количество измерений, наблюдаемое значение случайной величины при -м измерении Аналогом дисперсии случайной величины при статистической обработке является эмпирическая k дисперсия, вычисляемая по формуле k s ( ) k Замена в знаменателе неслучайна, но объяснение этого не входит в нашу программу, поэтому ограничимся замечанием, что при больших значениях такая замена несущественна на После определения эмпирических параметров встает вопрос о точности оценок параметров выбранного распределения Предположим, что интересующий нас параметр распределения На основании выборки находится интервал, в котором может находиться параметр и оценивается вероятность Если получена такая оценка P( (, )), то интервал (, ) называется доверительным интервалом для параметра, а число называется надежностью сделанной оценки Если надежность попадания в предложенный интервал достаточно высока (например, больше 95%), за значение берут середину доверительного интервала ( ) Пример Пусть нам нужно найти доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения случайной величины при известной дисперсии В результате опыта мы (, ) P( (, )) 33

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

1 Общий обзор теории алгоритмов

1 Общий обзор теории алгоритмов 1 Общий обзор теории алгоритмов Уже на самых ранних этапах развития математики (Древний Египет, Вавилон, Греция) в ней стали возникать различные вычислительные процессы чисто механического характера; с

Подробнее

Готовимся к Общереспубликанскому тесту: Пособие для абитуриентов. Основной тест. Издание второе, переработанное и дополненное

Готовимся к Общереспубликанскому тесту: Пособие для абитуриентов. Основной тест. Издание второе, переработанное и дополненное Готовимся к Общереспубликанскому тесту: Пособие для абитуриентов Основной тест Издание второе, переработанное и дополненное Бишкек 2004 УДК 378 ББК 74.58 Г74 Авторы разделов: Математика: М. Зельман, Г.

Подробнее

Д. В. АНОСОВ. Отображения окружности, векторные поля и их применения

Д. В. АНОСОВ. Отображения окружности, векторные поля и их применения Д. В. АНОСОВ Отображения окружности, векторные поля и их применения МЦНМО Москва 2003 УДК 515.12 ББК 22.152 А69 Аносов Д. В. А69 Отображения окружности, векторные поля и их применения. М.: МЦНМО, 2003.

Подробнее

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ Курс лекций для организации самостоятельной работы студентов по вопросам частных методик

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ Курс лекций для организации самостоятельной работы студентов по вопросам частных методик МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОСИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный педагогический университет»

Подробнее

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Подробнее

Принятие решений при многих критериях

Принятие решений при многих критериях ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ- ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ В.Д. Ногин Принятие решений при многих критериях Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2007 УДК 658.012.41 В.Д. Ногин.

Подробнее

ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИКУ И НЕЧТО ИЗ НЕЁ

ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИКУ И НЕЧТО ИЗ НЕЁ Библиотека Выпуск 3 Д. В. Аносов ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИКУ И НЕЧТО ИЗ НЕЁ Издание второе, исправленное Издательство Московского центра непрерывного математического образования Москва

Подробнее

Задача С6 на ЕГЭ по математике

Задача С6 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Задача С6 на ЕГЭ по математике 1 Необходимая теория 2 1.1 Числовые множества................................... 2 1.2 Делимость.........................................

Подробнее

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ И ИННОВАЦИОННЫЙ КОМПЛЕКС "НОВЫЕ МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И НАНОТЕХ- НОЛОГИИ"

Подробнее

B15 (высокий уровень, время 10 мин)

B15 (высокий уровень, время 10 мин) B5 высокий уровень, время 0 мин) Тема: Преобразование логических выражений. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике,, ), неудобны,

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

ПЛАНИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Часть 1

ПЛАНИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТИХООКЕАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Е.А. Любченко, О.А. Чуднова ПЛАНИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ

Подробнее

Редакционный совет: В.И Бахмин, Я.М. Бергер, Е.Ю. Гениева, Г.Г. Дилигенский, В.Д. Шадриков

Редакционный совет: В.И Бахмин, Я.М. Бергер, Е.Ю. Гениева, Г.Г. Дилигенский, В.Д. Шадриков 1 Учебная литература по гуманитарным и социальным дисциплинам для высшей школы и средних специальных учебных заведений готовится и издается при содействии Института "Открытое общество" (Фонд Сороса) в

Подробнее

Д. В. Аносов. Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем

Д. В. Аносов. Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем Москва Издательство МЦНМО 2008 УДК 22.161.6 ББК 517.91 А69 А69 Аносов Д. В. Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем М.: МЦНМО, 2008.

Подробнее

Что такое Онтология, для чего она нужна и чем отличается от Метафизики? Всеобщая система Онтологии и Метафизики.

Что такое Онтология, для чего она нужна и чем отличается от Метафизики? Всеобщая система Онтологии и Метафизики. Что такое Онтология, для чего она нужна и чем отличается от Метафизики? Всеобщая система Онтологии и Метафизики. Терехович Владислав Эрикович Кафедра философии науки и техники, Философский факультет, Санкт-Петербургский

Подробнее

И.З. Батыршин ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ

И.З. Батыршин ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ Институт проблем информатики Академии наук Республики Татарстан Казанский государственный технологический университет И.З. Батыршин ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ Казань Отечество 2001

Подробнее

Линейные разностные уравнения и их приложения

Линейные разностные уравнения и их приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет имени

Подробнее

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ В. А. Шарафутдинов Как отмечалось в начале первой главы, на топологическом пространстве возможно рассмотрение непрерывных функций и других понятий, связанных с непрерывностью. В Анализе, наряду с непрерывностью, изучаются производные, дифференциалы и другие понятия, связанные с дифференцируемостью. Гладкое многообразие естественный объект, на котором можно определить подобные понятия. 1. Определение гладкого многообразия Сначала введем вспомогательное понятие топологического многообразия (Предупреждение: не путать его с понятием гладкого многообразия). Топологическое пространство M называется топологическим многообразием размерности n, если (1) M локально гомеоморфно пространству R n, т.е. у каждой точки пространства M имеется окрестность, гомеоморфная некоторому открытому множеству в R n ; (2) M хаусдорфово; (3) M удовлетворяет второй аксиоме счетности, т.е. имеет счетную базу топологии. Дифференцируемая структура на топологическом многообразии вводится путем цепочки определений, вводимых в нескольких следующих абзацах. Пусть M топологическое многообразие размерности n. Картой на M называется пара (U, ϕ), где U открытое множество в M и ϕ : U V R n гомеоморфизм на некоторое открытое множество из R n. Пусть 0 r целое число. Две карты (U 1, ϕ 1 ) и (U 2, ϕ 2 ) на топологическом многообразии M называются C r -согласованными, если ϕ 2 ϕ 1 1 : ϕ 1 (U 1 U 2 ) ϕ 2 (U 1 U 2 ) (1.1) отображение класса C r, т.е. все частные производные порядка r этого отображения существуют и непрерывны. Отметим, что ϕ i (U 1 U 2 ) (i = 1, 2) открытые множества в R n (см. Рисунок 1), так что определено понятие частных производных для отображения между этими множествами. При r = требуется существование и непрерывность всех частных производных. Семейство карт A = {(U α, ϕ α )} α A на топологическом многообразии M называется C r -атласом, если M = α A U α и любые две карты этого семейства C r -согласованы. Два C r -атласа A и A на M называются эквивалентными, если A A тоже C r -атлас. Как легко видеть, это эквивалентно требованию: любая карта из A C r - согласована с любой картой из A. Теперь, наконец, мы можем привести основное Определение 1.1. Дифференцируемой структурой D класса C r на топологическом многообразии M называется класс эквивалентности C r -атласов. Топологическое многообразие вместе с зафиксированной на нем дифференцируемой структурой класса C r называется дифференцируемым многообразием класса C r (или короче C r - многообразием). Дифференцируемое многообразие обозначается (M, D) или просто M, если из контекста ясно, о какой дифференцируемой структуре идет речь. Date: октябрь 2012, Кольцово. 1

Подробнее

Тензорное исчисление для «чайников»

Тензорное исчисление для «чайников» Сергей Гаврилов Тензорное исчисление для «чайников» - Инварианты Понятие тензора Вектор Компоненты вектора4 Матричное представление4 Переход к другим координатам4 Длина вектора в прямоугольных координатах5

Подробнее

КАК РЕШАЮТ НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ

КАК РЕШАЮТ НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ МОСКОВСКИЙ ЦЕНТР НЕПРЕРЫВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи КАК РЕШАЮТ НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ Под редакцией В. О. Бугаенко Издание четвертое, стереотипное Москва Издательство

Подробнее

ВЫПУСКНАЯ АЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА: ПОДГОТОВКА, ОФОРМЛЕНИЕ, ЗАЩИТА

ВЫПУСКНАЯ АЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА: ПОДГОТОВКА, ОФОРМЛЕНИЕ, ЗАЩИТА бм^&/&*/ Е.П. Врублевский, О.Е.Лихачева, Л.Г. В рублевская ВЫПУСКНАЯ АЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА: ПОДГОТОВКА, ОФОРМЛЕНИЕ, ЗАЩИТА «Физкультура и Спорт» ЕМ. Врублевский, О.В. Лихачева, А.Г. Врублевская ВЫПУСКНАЯ

Подробнее

Ю. И. Манин. Математика как. метафора

Ю. И. Манин. Математика как. метафора Ю. И. Манин Математика как метафора Издательство МЦНМО Москва 2008 УДК 51(019) ББК 22.1г M23 M23 Манин Ю. И. Математика как метафора. М.: МЦНМО, 2008. 400 с. ISBN 978-5-94057-287-9 В книге Ю. И. Манина

Подробнее

Цель работы. Содержание работы. 1. Установление наличия корреляционной зависимости между случайными

Цель работы. Содержание работы. 1. Установление наличия корреляционной зависимости между случайными Цель работы Часто на практике необходимо исследовать, как изменение одной переменной величины X влияет на другую величину Y Например, как количество цемента X влияет на прочность бетона Y Такое влияние

Подробнее

Тензорное исчисление для «чайников»

Тензорное исчисление для «чайников» Сергей Гаврилов Тензорное исчисление для «чайников» - Инварианты Введение в тему Начнем с вектора 4 Компоненты вектора 4 Матричное представление 5 Переходим к другим координатам 5 Длина вектора в прямоугольных

Подробнее

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный университет им А М Горького Подготовлено кафедрами общей физики и физики магнитных явлений КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Подробнее

МОЖЕТ ЛИ (ИНДИВИДУАЛЬНАЯ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ БЫТЬ СЛУЧАЙНОЙ? В. А. Успенский, А. Л. Семенов, А. X. Шень

МОЖЕТ ЛИ (ИНДИВИДУАЛЬНАЯ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ БЫТЬ СЛУЧАЙНОЙ? В. А. Успенский, А. Л. Семенов, А. X. Шень 1990 г. январь февраль т. 45, вып. 1 (271) УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК УДК 517.11 МОЖЕТ ЛИ (ИНДИВИДУАЛЬНАЯ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ БЫТЬ СЛУЧАЙНОЙ? В. А. Успенский, А. Л. Семенов, А. X. Шень СОДЕРЖАНИЕ

Подробнее

О ЗНАЧЕНИИ СОЮЗА ЕСЛИ

О ЗНАЧЕНИИ СОЮЗА ЕСЛИ А. В. Гладкий О ЗНАЧЕНИИ СОЮЗА ЕСЛИ В заметке [1] автор высказал мысль, что взаимоотношение естественного языка и языка математической логики следует изучать со стороны первого, а не второго, и что, в

Подробнее

Лекции по комплексному анализу

Лекции по комплексному анализу Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук А. В. Домрин, А. Г. Сергеев Лекции по комплексному анализу Первое полугодие Москва 2004 УДК 517.5 ББК (В)22.16 Д66 Д66 Домрин А. В.,

Подробнее

ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИКУ И НЕЧТО ИЗ НЕЁ

ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИКУ И НЕЧТО ИЗ НЕЁ Библиотека Выпуск 3 Д. В. Аносов ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИКУ И НЕЧТО ИЗ НЕЁ Издание второе, исправленное Издательство Московского центра непрерывного математического образования Москва 2003

Подробнее