Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:"

Транскрипт

1 Лекция 9. Вычисление тройного интеграла. Криволинейные системы координат. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в кратных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле. Процедура вычисления тройного интеграла аналогична соответствующей операции для двойного интеграла. Для ее описания введем понятие правильной трехмерной области: Определение 9.. Трехмерная область ограниченная замкнутой поверхностью называется правильной если: любая прямая параллельная оси О и проведенная через внутреннюю точку области пересекает в двух точках; вся область проектируется на плоскость Оху в правильную двумерную область ; любая часть области отсеченная от нее плоскостью параллельной какой-либо из координатных плоскостей обладает свойствами и. ψ χ O a b φ φ Рис.. Рассмотрим правильную область ограниченную снизу и сверху поверхностями χ и ψ и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область внутри которой х изменяется в пределах от а до b ограниченную кривыми φ и φ рис.. Зададим в области непрерывную функцию. Определение 9.. Назовем трехкратным интегралом от функции по области выражение вида: b ψ I. 9. a χ Трехкратный интеграл обладает теми же свойствами что и двукратный. Перечислим их без доказательства так как они доказываются аналогично случаю двукратного интеграла.. Если область разбить на две области и плоскостью параллельной какойлибо из координатных плоскостей то трехкратный интеграл по области равен сумме трехкратных интегралов по областям и.. Если т и М соответственно наименьшее и наибольшее значения функции в области то верно неравенство. m I M где объем данной области а I трехкратный интеграл от функции по области. F ceate wth Fet pfacto tal eso

2 . Трехкратный интеграл I от непрерывной функции по области равен произведению его объема на значение функции в некоторой точке Р области : b ψ I. 9. a χ Вычисление тройного интеграла. Теорема 9.. Тройной интеграл от функции по правильной области равен трехкратному интегралу по той же области: b ψ. 9. a χ Доказательство. Разобьем область плоскостями параллельными координатным плоскостям на п правильных областей.... Тогда из свойства следует что I I I... I где I - трехкратный интеграл от функции по области. Используя формулу 9. предыдущее равенство можно переписать в виде: I.... Из условия непрерывности функции следует что предел интегральной суммы стоящей в правой части этого равенства существует и равен тройному интегралу. Тогда переходя к пределу при получим: I что и требовалось доказать. Замечание. Аналогично случаю двойного интеграла можно доказать что изменение порядка интегрирования не меняет значения трехкратного интеграла. Пример. Вычислим интеграл где треугольная пирамида с вершинами в точках и. Ее проекцией на плоскость Оху является треугольник с вершинами и. Снизу область ограничена плоскостью а сверху плоскостью. Перейдем к трехкратному интегралу:. Множители не зависящие от переменной интегрирования можно вынести за знак соответствующего интеграла: F ceate wth Fet pfacto tal eso

3 Криволинейные системы координат в трехмерном пространстве.. Цилиндрическая система координат. Цилиндрические координаты точки Рφ это полярные координаты φ проекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки рис.. φ φθ θ O φ O φ Рис. Рис. Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом: cosφ sφ Сферическая система координат. В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой расстоянием от точки до начала декартовой системы координат или полюса сферической системы φ полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху и θ углом между положительной полуосью оси О и отрезком O рис.. При этом < π θ π. Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым: sθ cosφ sθ sφ cosθ. 9.5 Якобиан и его геометрический смысл. Рассмотрим общий случай замены переменных в двойном интеграле. Пусть в плоскости Оху дана область ограниченная линией. Предположим что х и у являются однозначными и непрерывно дифференцируемыми функциями новых переменных и : φ ψ. 9.6 Рассмотрим прямоугольную систему координат О точка Р которой соответствует точке Рх у из области. Все такие точки образуют в плоскости О область ограниченную линией. Можно сказать что формулы 9.6 устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей и. При этом линиям cost и cost в плоскости О будут соответствовать некоторые линии в плоскости Оху. Δ Δ Δ F ceate wth Fet pfacto tal eso 4

4 5 O Δ O Рис. 4. Рассмотрим в плоскости О прямоугольную площадку Δ ограниченную прямыми cost Δ cost cost и Δ cost. Ей будет соответствовать криволинейная площадка Δ в плоскости Оху рис.4. Площади рассматриваемых площадок тоже будем обозначать Δ и Δ. При этом Δ Δ Δ. Найдем площадь Δ. Обозначим вершины этого криволинейного четырехугольника Р Р Р Р 4 где φ ψ ; φδ ψδ ; φδ Δ ψδ Δ; φ Δ 4 ψ Δ. Заменим малые приращения Δ и Δ соответствующими дифференциалами. Тогда. 4 4 ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ При этом четырехугольник Р Р Р Р 4 можно считать параллелограммом и определить его площадь по формуле из аналитической геометрии: ψ ψ ψ. I ψ ψ ψ ψ 9.7 Определение 9.. Определитель I ψ ψ называется функциональным определителем или якобианом функций φх у и ψх у. Переходя к пределу при ma в равенстве 9.7 получим геометрический смысл якобиана: I lm 9.8 то есть модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно малых площадок Δ и Δ. Замечание. Аналогичным образом можно определить понятие якобиана и его геометрический смысл для п-мерного пространства: если φ φ φ то F ceate wth Fet pfacto tal eso

5 I При этом модуль якобиана дает предел отношения «объемов» малых областей пространств х х х п и. 9.8 Замена переменных в кратных интегралах. Исследуем общий случай замены переменных на примере двойного интеграла. Пусть в области задана непрерывная функция каждому значению которой соответствует то же самое значение функции F в области где F φ ψ. 9.9 Рассмотрим интегральную сумму F F I где интегральная сумма справа берется по области. Переходя к пределу при ma получим формулу преобразования координат в двойном интеграле: F I. 9. Аналогичным образом можно вывести подобную формулу для тройного интеграла: w ψ w χ w I w 9. где φ w ψ w χ w w ψ ψ ψ I 9. w χ χ χ w а область пространства О отображается в область пространства Ow. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле. Найдем используя формулы и 9. якобианы перехода от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим: для цилиндрических координат cos s I s cos 9. для сферических координат sθ cos sθ s I sθ s sθ cos cosθ s sθ. 9.4 cosθ cosθ cos sθ F ceate wth Fet pfacto tal eso 6

6 7 Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так: 9.5 s θ θ θ θ θ θ θ θ θ F F где смысл обозначений понятен из предыдущего текста. Примеры.. Вычислим интеграл от функции по области ограниченной поверхностями ² ² π π π π. Пусть подынтегральная функция а область интегрирования шар радиуса R с центром в начале координат. Тогда R R R R π π π π π π θ θ θ 4 cos s. F ceate wth Fet pfacto tal eso

7 Лекция. Криволинейные интегралы первого и второго рода их свойства и вычисление. Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую и функцию определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δs длиной Δs и выберем на каждой из частей точку M. Составим интегральную сумму M s. Назовем λ длину наибольшего отрезка кривой. Определение.. Если существует конечный предел интегральной суммы M s не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки ни от выбора точек M то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой и обозначается M s s λ lm M s.. Например если функция M задает плотность в точке М то интеграл. равен массе рассматриваемой кривой. Свойства криволинейного интеграла -го рода.. Если функция непрерывна на кривой то интеграл M s существует.. Криволинейный интеграл -го рода не зависит от направления движения по кривой то есть от того какую из точек ограничивающих кривую считать начальной а какую конечной. Если назвать эти точки А и В то M s M s.. Справедливость этих свойств следует из определения криволинейного интеграла -го рода. Способ вычисления криволинейного интеграла -го рода. Выберем на кривой направление от начальной точки А и отметим что положение точки М на кривой определяется длиной дуги АМ s. Тогда кривую можно задать параметрически: s s s где s. Функция становится при этом сложной функцией одной переменной s: s s s. Тогда интегральная сумма M s s s s s где s - координата точки M является обычной интегральной суммой для определенного интеграла s s s s. Следовательно M s s s s s.. Если же кривая задана в параметрической форме: φt ψt χt t t T F ceate wth Fet pfacto tal eso 8

8 то применяя в интеграле. формулу замены переменной и учитывая что дифференциал дуги s получим: t ψ t χ t t M s t ψ t χ t t ψ t χ T t t t..4 Таким образом вычисление криволинейного интеграла -го рода сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой. Пример. cost Вычислить s где : s t t π. Применяя формулу.4 получим: t π π π s cost s t t 4s t 4cos t t 5 tcos t 5 t cos t π π cos tt 5 π 5 s t 5π. Криволинейный интеграл второго рода. Вновь рассмотрим кривую в каждой точке которой задана функция M и зададим разбиение кривой на отрезки. Выберем на каждом отрезке точку M и умножим значение функции в этой точке не на длину -го отрезка как в случае криволинейного интеграла -го рода а на проекцию этого отрезка скажем на ось Ох то есть на разность - Δ. Составим из полученных произведений интегральную сумму M. Определение.. Если существует конечный предел при λ интегральной суммы M не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек M то от называется криволинейным интегралом второго рода от функции M по кривой и обозначается M lm λ M..5 Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы -го рода вида. Определение.. Если вдоль кривой определены функции M QM Q RM R и существуют интегралы Q R то и их сумму называют криволинейным интегралом второго рода общего вида и полагают F ceate wth Fet pfacto tal eso 9

9 Q R Q R..6 Замечание. Если считать что сила F { Q R} действует на точку движущуюся по кривой АВ то работа этой силы может быть представлена как Q R F то есть криволинейным интегралом -го рода. Свойства криволинейного интеграла -го рода.. Если функции M QM RM непрерывны на кривой АВ то интеграл.6 существует справедливость этого утверждения следует из определения... При изменении направления кривой то есть перемены местами начальной и конечной ее точек криволинейный интеграл -го рода меняет знак: M M..7 Действительно при этом изменяется знак Δ в интегральной сумме. Способ вычисления криволинейного интеграла -го рода. Теорема.. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями φt ψt χt α t β где φ ψ χ непрерывно дифференцируемые функции и на ней задана непрерывная функция. Тогда интеграл.5 существует и имеет место равенство t ψ t χ t β α t t..8 Доказательство. Запишем Δ - φt φt - и преобразуем последнюю разность по формуле Лагранжа: φt φt - φ τ Δt где τ некоторое значение t заключенное между t - и t. Выберем точку М так чтобы ее координаты соответствовали значению параметра равному τ : M φτ ψτ χτ. Подставив эти значения в формулу.5 получим: M lm λ τ ψ τ χ τ τ t. Справа получен предел интегральной суммы для функции φtψtχtφ t на отрезке [α β] равный определенному интегралу от этой функции: t ψ t χ t что и требовалось доказать. β α t t Следствие. Аналогичные соотношения можно получить для криволинейных интегралов вида откуда следует что Q R t ψ t χ t t Q t ψ t χ t ψ t R t ψ t χ t χ t t..9 β α F ceate wth Fet pfacto tal eso 4

10 Пример. Вычислим интеграл где отрезок прямой от точки А- до точки В -. Запишем уравнение этой прямой в параметрическом виде: t t t. t Следовательно φ t - ψ t - χ t. Тогда t t t t t t 5 4 5t 5t t 5 t t 7t t 5t. 4 4 F ceate wth Fet pfacto tal eso 4

11 Лекция. Скалярное и векторное поле. Циркуляция векторного поля вдоль кривой. Формула Грина. Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины то говорят что задано поле этой величины соответственно скалярное или векторное. Примерами скалярных полей являются поле температур или поле электрического потенциала примерами векторных полей поле сил или поле скоростей. Рассмотрим некоторые характеристики скалярных и векторных полей. Определение.. Если в некоторой области задано скалярное поле U то поверхность определяемая уравнением U C. называется поверхностью уровня. В двумерном случае линия уровня задается уравнением U C.. Определение.. Если в некоторой области задано векторное поле { } то кривая направление которой в каждой ее точке М совпадает с направлением вектора А в этой точке называется векторной линией. Она задается уравнениями.. Поверхность составленная из векторных линий называется векторной поверхностью. Если векторная поверхность образована векторными линиями проходящими через каждую точку некоторой замкнутой кривой то она называется векторной трубкой. Определение.. Пусть задано скалярное поле U. Вектор U U U g gau. называется градиентом величины U в соответствующей точке см. лекцию 4 за -й семестр. Замечание. Таким образом скалярное поле U порождает векторное поле градиента gau. Определение.4. Пусть дано векторное поле { }. Интеграл 4.4 называется линейным интегралом от вектора А вдоль кривой. Если кривая замкнута то этот интеграл называют циркуляцией вектора А вдоль кривой. Здесь - скалярное произведение векторов А и { }. Замечание. Иногда криволинейный интеграл -го рода по замкнутому контуру обозначают Q R. Пример. Вычислить циркуляцию векторного поля А { } вдоль контура : ² ² 9 направление обхода контура от точки к точке. F ceate wth Fet pfacto tal eso

12 Зададим контур параметрически: cos t s t t π. Тогда cost s t cost s t cost cost s t t π π s t t 7 cos t cost 9 π. Формула Грина. Установим связь между двойным интегралом по некоторой плоской области и криволинейным интегралом по границе этой области. Пусть в плоскости Оху дана ограниченная замкнутым контуром правильная область. Кривые ограничивающие эту область снизу и сверху заданы уравнениями и a b рис.. M N Q O a b Рис.. Зададим в области непрерывные функции и Q имеющие непрерывные частные производные и рассмотрим интеграл. Переходя к двукратному интегралу получим: b b b..5 a a a Так как у у х параметрическое выражение кривой МN то b a MN где справа стоит криволинейный интеграл по кривой MN. Аналогично получаем что b. a MQN NQM Подставим полученные результаты в формулу.5:.6 MN NQM так как контур представляет собой объединение кривых MN и NQM. Q Так же можно получить что Q..7 Вычтем из равенства.6 равенство.7: Q Q. При этом обход контура происходит по часовой стрелке. Изменим направление обхода. Тогда предыдущее равенство примет вид: F ceate wth Fet pfacto tal eso 4

13 Q Q..8 Эта формула задающая связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом -го рода называется формулой Грина. Замечание. Если в криволинейном интеграле по замкнутому контуру не указано направление обхода то предполагается что он производится против часовой стрелки. Замечание. Если рассматривать в плоскости Оху векторное поле { Q} то в правой части формулы.8 стоит его циркуляция по контуру. Пример. Вычислим циркуляцию векторного поля { s х e у } по контуру ² ². Q Применим формулу Грина учитывая что : s e. Область при этом круг единичного радиуса с центром в начале координат. Перейдем к полярным координатам: π π π. F ceate wth Fet pfacto tal eso 44

14 Лекция. Площадь поверхности. Поверхностный интеграл первого рода его свойства геометрический и физический смысл. Вычисление поверхностного интеграла первого рода. Если при определении длины кривой она задавалась как предел вписанной в данную кривую ломаной при стремлении к нулю длины наибольшего ее отрезка то попытка распространить это определение на площадь криволинейной поверхности может привести к противоречию пример Шварца: можно рассмотреть последовательность вписанных в цилиндр многогранников у которых наибольшее расстояние между точками какой-либо грани стремится к нулю а площадь стремится к бесконечности. Поэтому определим площадь поверхности иным способом. Рассмотрим незамкнутую поверхность ограниченную контуром и разобьем ее какими-либо кривыми на части. Выберем в каждой части точку M и спроектируем эту часть на касательную плоскость к поверхности проходящую через эту точку. Получим в проекции плоскую фигуру с площадью T. Назовем наибольшее расстояние между двумя точками любой части поверхности. Определение.. Назовем площадью поверхности предел суммы площадей T при : lm T.. Поверхностный интеграл первого рода. Рассмотрим некоторую поверхность ограниченную контуром и разобьем ее на части п при этом площадь каждой части тоже обозначим п. Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции. Выберем в каждой части точку M и составим интегральную сумму σ M.. Определение.. Если существует конечный предел при интегральной суммы. не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек M то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции M по поверхности и обозначается M lm M.. Замечание. Поверхностный интеграл -го рода обладает обычными свойствами интегралов линейность суммирование интегралов от данной функции по отдельным частям рассматриваемой поверхности и т.д.. Геометрический и физический смысл поверхностного интеграла -го рода. Если подынтегральная функция M то из определения. следует что равен площади рассматриваемой поверхности. Если же считать что M задает плотность в точке М поверхности то масса этой поверхности равна M M..4 F ceate wth Fet pfacto tal eso 45

15 Вычисление поверхностного интеграла -го рода. Ограничимся случаем когда поверхность задается явным образом то есть уравнением вида φ. При этом из определения площади поверхности следует что σ где Δσ площадь проекции на плоскость Оху а γ угол между осью cosγ O и нормалью к поверхности в точке M. Известно что cosγ где координаты точки M. Cледовательно σ. Подставляя это выражение в формулу. получим что σ где суммирование справа проводится по области Ω плоскости Оху являющейся проекцией на эту плоскость поверхности рис.. : φ O Δσ Ω Рис.. При этом в правой части получена интегральная сумма для функции двух переменных по плоской области которая в пределе при дает двойной интеграл. Таким образом получена Ω формула позволяющая свести вычисление поверхностного интеграла -го рода к вычислению двойного интеграла: Ω..5 Замечание. Уточним еще раз что в левой части формулы.5 стоит поверхностный интеграл а в правой двойной. Пример. Вычислим где часть плоскости х 4у 5 6 расположенная в первом октанте. Преобразуем это уравнение к виду откуда F ceate wth Fet pfacto tal eso 46

16 4. Проекцией плоскости на плоскость Оху является треугольник с вершинами в точках и 9. Тогда из формулы.5 полу- 5 чим: Ω F ceate wth Fet pfacto tal eso 47

17 Лекция. Ориентация поверхности. Поток векторного поля. Поверхностный интеграл второго рода его свойства физический смысл и вычисление. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода. Определим понятие стороны поверхности. Выберем на гладкой поверхности замкнутой или ограниченной гладким контуром точку М и проведем в ней нормаль к поверхности выбрав для нее определенное направление одно из двух возможных. Проведем по поверхности замкнутый контур начинающийся и заканчивающийся в точке М. Рассмотрим точку М обходящую этот контур и в каждом из ее положений проведем нормаль того направления в которое непрерывно переходит нормаль из предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль вернется в точке М в первоначальное положение при любом выборе точки М на поверхности поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали после обхода хотя бы одной точки изменится на противоположное поверхность называется односторонней примером односторонней поверхности служит лист Мебиуса. Из вышесказанного следует что выбор направления нормали в одной точке однозначно определяет направление нормали во всех точках поверхности. Определение.. Совокупность всех точек поверхности с одинаковым направлением нормали называется стороной поверхности. Ориентация поверхности. Рассмотрим незамкнутую гладкую двустороннюю поверхность ограниченную контуром и выберем одну сторону этой поверхности. Определение.. Назовем положительным направление обхода контура при котором движение по контуру происходит против часовой стрелки относительно наблюдателя находящегося в конечной точке нормали к какой-либо точке поверхности соответствующей выбранной стороне поверхности. Обратное направление обхода контура назовем отрицательным. Поток векторного поля. Рассмотрим векторное поле АМ определенное в пространственной области G ориентированную гладкую поверхность G и поле единичных нормалей пм на выбранной стороне поверхности. Определение.. Поверхностный интеграл -го рода. где скалярное произведение соответствующих векторов а А п проекция вектора А на направление нормали называется потоком векторного поля АМ через выбранную сторону поверхности. Замечание. Если выбрать другую сторону поверхности то нормаль а следовательно и поток изменят знак. Замечание. Если вектор А задает скорость течения жидкости в данной точке то интеграл. определяет количество жидкости протекающей в единицу времени через поверхность в положительном направлении отсюда общий термин «поток». F ceate wth Fet pfacto tal eso 48

18 Поверхностный интеграл второго рода. Введем определение поверхностного интеграла -го рода по аналогии с соответствующим криволинейным интегралом. Рассмотрим гладкую двустороннюю поверхность заданную уравнением в каждой точке которой определена функция M и выберем какую-либо из ее сторон или что то же самое определенную ориентацию. Разобьем поверхность на части п выберем в каждой части точку M и умножим M на площадь проекции части на плоскость Оху. При этом будем считать проекция части верхней по отношению к плоскости Оху стороны рассматриваемой поверхности имеет знак а нижней знак «-». Составим сумму σ M.. Определение.4. Если существует конечный предел суммы. при не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней то он называется поверхностным интегралом второго рода от функции M по выбранной стороне поверхности и обозначается M.. Замечание. В этой символической записи не содержится указания на то какая сторона поверхности выбрана поэтому это требуется оговаривать отдельно. Подобным образом можно проектировать части поверхности на координатные плоскости О и О при условии что уравнение поверхности можно представить в виде или. Получим два других поверхностных интеграла -го рода: и..4 Рассмотрев сумму интегралов вида. и.4 по одной и той же поверхности соответственно от функций Q R получим поверхностный интеграл второго рода общего вида: Q R..5 Отметим основное свойство поверхностного интеграла -го рода: При замене рассматриваемой стороны поверхности на противоположную поверхностный интеграл -го рода меняет знак: Q R Q R..6 Справедливость этого утверждения следует из определения.4. Вычисление поверхностного интеграла -го рода. Если задать единичный вектор выбранной нормали к поверхности в виде п {cos α cos β cos γ} где α β γ углы образованные нормалью с осями координат то cosγ выбор знака зависит от направления нормали. Тогда ± из.. следует что F ceate wth Fet pfacto tal eso 49

19 M cosγ ± ± ±..7 Здесь проекция поверхности на плоскость Оху а выражение для взято из формулы.5. Таким образом вычисление поверхностного интеграла -го рода сводится к вычислению обычного двойного интеграла по области от функции в которую вместо координаты подставлено ее выражение из уравнения поверхности. Обобщая эти рассуждения получим что Q R ± ± ± Q ± R.8 где и - проекции поверхности на соответствующие координатные плоскости. Пример. Вычислить поверхностный интеграл -го рода где нижняя сторона части конуса при. Применим формулу.7 учитывая что выбрана нижняя сторона поверхности и что проекцией части конуса на плоскость Оху является круг : π π. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода. Учитывая что проекции элемента поверхности на координатные плоскости имеют вид cosγ cosβ cosα из.5 получим: Q R cos.9 R α Q cos β cosγ где векторное поле { R Q } а - векторное поле единичных нормалей заданного направления в каждой точке поверхности. Следовательно поверхностный интеграл -го рода.5 равен поверхностному интегралу -го рода.9. Эта формула предоставляет еще одну возможность вычисления поверхностного интеграла -го рода. Заметим что при смене стороны поверхности меняют знак направляющие косинусы нормали и соответственно интеграл в правой части равенства.9 который сам по себе как поверхностный интеграл -го рода от выбора стороны поверхности не зависит. Пример. Рассмотрим интеграл где внешняя сторона верхней половины сферы ² ² ² R². Так как радиус сферы проведенный в любую ее точку можно считать нормалью к сфере в этой точке единичный вектор нормали F ceate wth Fet pfacto tal eso 5

20 можно задать в виде п { }. Тогда используя формулу.9 получаем что R R R требуется вычислить поверхностный интеграл -го рода R R π R s cos R R R. Область круг с центром в начале координат радиуса R. Физический смысл поверхностного интеграла -го рода. Сравнив формулы.9 и. увидим что поверхностный интеграл -го рода представляет собой поток векторного поля { Q R} через выбранную сторону поверхности. При этом из формулы.9 следует что поток можно задать и в виде поверхностного интеграла -го рода вида.5. F ceate wth Fet pfacto tal eso 5

21 Лекция 4. Геометрические и механические приложения кратных криволинейных и поверхностных интегралов.. Площадь плоской области. Двойной интеграл. Из формулы 7. следует что при предел интегральной суммы равен площади области интегрирования то есть. Объем цилиндроида.. 4. Рассмотрим тело ограниченное частью поверхности ограниченной контуром проекцией этой поверхности на плоскость Оху и отрезками параллельными оси О и соединяющими каждую точку контура с соответствующей точкой плоскости Оху. Такое тело будем называть цилиндроидом. Тогда из формул 7. и 7. получим что объем этого тела равен двойному интегралу от функции по области :. 4. цил. Площадь криволинейной поверхности. Вычислим площадь части криволинейной поверхности заданной уравнением ограниченной контуром. Вспомним еще раз см. лекцию что площадь элемента поверхности Δ равна ξ η ξ η cosγ где Δ проекция Δ на плоскость Оху γ угол между осью О и нормалью к Δ в некоторой ее точке M ξ η. Составив интегральную сумму ξ η ξ η и устремив ее к пределу при получим формулу для площади поверхности:. 4. Момент инерции плоской фигуры. при 4. Вспомним определение момента инерции а материальной точки М с массой т относительно точки О: I m² расстояние от М до О; б системы материальных точек m m m относительно точки О: I m. Определим теперь момент инерции относительно точки О материальной плоской фигуры. F ceate wth Fet pfacto tal eso 5

22 у η Δ O ξ Рис.. Найдем момент инерции фигуры рис. относительно начала координат считая что плотность в каждой точке равна. Разобьем область на части Δ и выберем в каждой части точку ξ η. Назовем элементарным моментом инерции площадки Δ выражение вида ΔI ξ ² η ²Δ и составим интегральную сумму ξ η 4.4 для функции ² ² по области. Определение 4.. Предел интегральной суммы 4.4 при называется моментом инерции фигуры относительно начала координат: I lm ξ η. Определение 4.. Интегралы I 4.5 I 4.6 называются моментами инерции фигуры относительно осей Ох и Оу. Замечание. Если поверхностная плотность не равна а является некоторой функцией γ γх у то момент инерции фигуры относительно начала координат вычисляется по формуле I γ Координаты центра масс плоской фигуры. Как известно координаты центра масс системы материальных точек с массами т т т п определяются по формулам m m c c. m m Если разбить плоскую фигуру с поверхностной плотностью равной на части то масса каждой части будет равна ее площади. Будем считать теперь что вся масса элементарной площадки Δ сосредоточена в какой-либо ее точке ξ η. Тогда фигуру можно рассматривать как систему материальных точек центр масс которой определяется равенствами c ξ c η Переходя к пределу при получим точные формулы для координат центра масс плоской фигуры:. F ceate wth Fet pfacto tal eso 5

23 c c. 4.8 В случае переменной поверхностной плотности γ γ х у эти формулы примут вид γ γ c γ c γ Тройной интеграл Объем тела. Из определения 7. следует что при тройной интеграл по некоторой замкнутой области равен объему тела :. 4.. Масса тела. Если γ γ функция задающая плотность вещества из которого состоит тело то масса тела выражается формулой M γ. 4.. Момент инерции тела. Используя формулы для моментов инерции точки М массы т относительно координатных осей: I m I m I m и проводя те же рассуждения что и при определении моментов плоской фигуры можно задать моменты инерции тела относительно координатных осей в виде: I γ I γ 4. I γ где γ х плотность вещества. 4. Координаты центра масс тела. Формулы для координат центра масс тела тоже задаются аналогично случаю плоской фигуры: γ c c γ γ γ 4. F ceate wth Fet pfacto tal eso 54

24 c γ γ. Криволинейный интеграл -го рода.. Длина кривой. Если подынтегральная функция то из определения криволинейного интеграла -го рода получаем что в этом случае он равен длине кривой по которой ведется интегрирование: l s. 4.4 l. Масса кривой. Считая что подынтегральная функция γ определяет плотность каждой точки кривой найдем массу кривой по формуле M γ s. 4.5 l. Моменты кривой l найдем рассуждая так же как в случае плоской области: M γ s M γ s l l - статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу; I s l - момент инерции пространственной кривой относительно начала координат; I s I s I s l l l - моменты инерции кривой относительно координатных осей. 4.Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам γ s γ s γ s c l M c l M Криволинейный интеграл -го рода. c l M. 4.9 Если считать что сила F { Q R} действует на точку движущуюся по кривой АВ то работа этой силы может быть представлена как Q R F 4. то есть криволинейным интегралом -го рода см. лекцию. Поверхностный интеграл -го рода.. Площадь криволинейной поверхности уравнение которой можно найти в виде: Ω Ω проекция на плоскость Оху.. Масса поверхности 4. F ceate wth Fet pfacto tal eso 55

25 . Моменты: M M γ. 4. γ M γ M γ статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей O O O; I γ I γ I γ моменты инерции поверхности относительно координатных осей; I γ I γ I γ моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей; I γ момент инерции поверхности относительно начала координат. 4. Координаты центра масс поверхности: M M M c c c. 4.7 M M M Поверхностный интеграл -го рода. Напомним что поверхностный интеграл второго рода от некоторой векторной функции представляет собой поток соответствующего векторного поля через выбранную сторону поверхности интегрирования см. лекцию. Замечание. Так как формулы задающие значения геометрических и физических величин с помощью интегралов выводятся с помощью одних и тех же приемов для интегралов всех- рассматриваемых типов подробный их вывод дается только в начале лекции. При желании можно провести аналогичные рассуждения для тройных криволинейных и поверхностных интегралов и получить все формулы приводимые в лекции без подробного вывода. Замечание. В лекции не рассматриваются примеры использования полученных формул так как после подстановки в них конкретных функций задача сводится к технике интегрирования которая рассматривалась в предыдущих лекциях. F ceate wth Fet pfacto tal eso 56

26 Лекция 5. Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля ее свойства инвариантное определение и физический смысл. Формула Стокса. Ротор векторного поля его свойства инвариантное определение и физический смысл. Формула Гаусса-Остроградского. Зададим в пространстве замкнутую трехмерную область ограниченную поверхностью и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область. O Рис.. Будем считать что поверхность можно разбить на три части: заданную уравнением и цилиндрическую поверхность с образующей параллельной оси O рис.. Зададим в каждой точке области и поверхности непрерывные функции Q и R и вычислим интеграл R R I R R. Зададим ориентацию поверхности выбрав направление внешней нормали тогда на cos < на cos > a на cos. Двойные интегралы стоящие в правой части предыдущего равенства равны соответствующим поверхностным интегралам: R R cos R R cos. Знак «-» во втором интеграле появляется за счет того элементы площади поверхности и области связаны соотношением Δ-cos. Следовательно исходный интеграл можно представить в виде: I R cos R cos R cos R cos R cos Окончательный результат можно записать так: R R cos. 57 R cos. F ceate wth Fet pfacto tal eso

27 Таким же образом можно получить соотношения Q cos Q cos. Складывая эти три равенства получаем формулу Гаусса-Остроградского: Q R cos Q cos R cos. 5. Воспользовавшись формулой.9 задающей связь между поверхностными интегралами -го и -го рода можно записать формулу Гаусса-Остроградского в ином виде: Q R Q R 5. где запись означает что интеграл стоящий справа вычисляется по внешней стороне поверхности. Дивергенция векторного поля. Продолжим изучение характеристик векторных полей. Определение 5.. Дивергенцией векторного поля { } где функции от называется. 5. Замечание. Из определения видно что дивергенция является скалярной функцией. Замечание. Слово «дивергенция» означает «расходимость» так как дивергенция характеризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке. Рассмотрим формулу Гаусса-Остроградского с учетом определений потока и дивергенции векторного поля. Тогда в левой части формулы 5. стоит тройной интеграл по объему от дивергенции векторного поля { Q R} а в правой поток этого вектора через ограничивающую тело поверхность :. 5.4 Докажем что величина дивергенции в данной точке не зависит от выбора системы координат. Рассмотрим некоторую точку М которую окружает трехмерная область ограниченная поверхностью. Разделим обе части формулы 5.4 на и перейдем к пределу при стягивании тела к точке М. Получим: lm. 5.5 M Это равенство можно считать инвариантным определением дивергенции то есть определением не зависящим от выбора координатной системы. Формула Стокса. Рассмотрим поверхность такую что любая прямая параллельная оси О пересекает ее в одной точке. Обозначим границу поверхности λ и выберем в качестве положительного направления нормали такое при котором она образует с положительным направлением оси О острый угол. Если уравнение поверхности имеет вид то направляющие косинусы нормали задаются формулами F ceate wth Fet pfacto tal eso 58

28 59 cos cos cos. Рассмотрим некоторую трехмерную область в которой целиком лежит поверхность и зададим в этой области функцию непрерывную вместе с частными производными первого порядка. Вычислим криволинейный интеграл -го рода по кривой λ: λ. σ λ O Рис.. Уравнение линии λ имеет вид где х у координаты точек линии являющейся проекцией λ на плоскость Оху рис.. Поэтому используя формулу.8 получаем: λ. Обозначим Q и применим к интегралу стоящему в правой части предыдущего равенства формулу Грина: где область ограничена линией. Преобразуем левое подынтегральное выражение используя формулу производной сложной функции: и подставим его в предыдущее равенство:. Тогда λ. Теперь применим к интегралам стоящим справа формулу.7 и перейдем к поверхностным интегралам -го рода по поверхности σ: σ σ cos F ceate wth Fet pfacto tal eso

29 6 σ σ σ σ cos cos так как cos cos. Следовательно окончательный результат преобразований выглядит так: λ σ σ cos cos. При этом направление обхода контура λ выбирается соответствующим положительному направлению нормали рис.. Задавая в области непрерывно дифференцируемые функции Q и R можно получить для них аналогичные соотношения: λ Q σ σ Q Q cos cos λ R σ σ R R cos cos. Складывая левые и правые части полученных равенств получим формулу Стокса устанавливающую связь между поверхностным интегралом -го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом -го рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориентации поверхности: λ σ σ Q R Q R R Q cos cos cos. cos cos cos σ σ R Q 5.6 Последняя запись позволяет лучше запомнить подынтегральное выражение в правой части формулы Стокса которое можно получить раскрывая определитель по первой строке и учитывая что во второй его строке стоят операторы частного дифференцирования по соответствующим переменным применяемые к функциям стоящим в третьей строке. Используя связь между поверхностными интегралами -го и -го рода формула.9 можно записать формулу Стокса в ином виде: λ σ Q R Q R R Q. 5.7 Ротор векторного поля. Определение 5.. Ротором или вектором вихря векторного поля { } где функции от называется вектор определяемый следующим образом: ot ; ;. 5.8 Замечание. Ротор характеризует завихренность поля А в данной точке то есть наличие вращательных движений так как его модуль равен удвоенной угловой скорости в этой точке. F ceate wth Fet pfacto tal eso

30 Замечание. Формула Стокса в векторной формулировке имеет вид: ot σ 5.9 λ то есть циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора этого вектора через поверхность натянутую на данный контур. σ Замечание. Можно дать другое инвариантное определение ротора. Для этого рассмотрим произвольное направление п исходящее из данной точки М и окружим эту точку плоской площадкой σ перпендикулярной к п и ограниченной контуром λ. Применяя формулу Стокса получим: λ ot σ. λ λ σ Разделив обе части этого равенства на σ и стягивая площадку σ к данной точке найдем в пределе что λ λ λ ot lm. σ M σ Тем самым можно определить проекцию ротора на любую ось то есть вектор ot не зависит от выбора координатной системы. F ceate wth Fet pfacto tal eso 6

31 6 Лекция 6. Оператор Гамильтона его использование и свойства. Потенциальные векторные поля условие потенциальности. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Соленоидальные и гармонические векторные поля. Оператор Гамильтона. Вспомним определение градиента скалярной функции : ga. k j k j Определим оператор стоящий в скобках в правой части этого равенства так: Определение 6.. Оператор k j 6. называется оператором Гамильтона или набла-оператором и обозначается символом s «набла». При применении оператора Гамильтона удобно рассматривать его как «символический вектор» и использовать различные операции над векторами. Например: если умножить «вектор» sна скалярную функцию и то получим градиент этой функции: s ga ; 6. составив скалярное произведение s на вектор { } получим дивергенцию вектора : s ; 6. перемножим теперь векторы s и А векторным образом. Результатом будет ротор вектора А: s А ; ot k j k j рассмотрим скалярное произведение векторов s и s ga : s s ga. Определение 6.. Оператор Δ s s s² 6.5 называется оператором Лапласа и обозначается символом Δ «дельта». Определение 6.. Уравнение 6.6 называется уравнением Лапласа а функция удовлетворяющая ему гармонической функцией. F ceate wth Fet pfacto tal eso

32 Замечание. Отметим еще раз результатом применения к скалярной функции и оператора Гамильтона является вектор а оператора Лапласа скаляр. Потенциальные векторные поля. Определение 6.4. Векторное поле { } называется потенциальным если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции : ga j k. 6.7 При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля. Примерами потенциальных полей являются поле тяготения точечной массы т помещенной в начале координат электрическое поле точечного заряда е находящегося в начале координат и другие. Выясним при каких условиях векторное поле является потенциальным. Так как из 6.7 следует что то так как смешанная производная второго порядка не зависит от порядка дифференцирования. Из этих равенств легко получаем что ot условие потенциальности векторного поля. Определение 6.5. Векторное поле { } для которого ot называется безвихревым. Из предыдущих рассуждений следует что любое потенциальное поле является безвихревым. Можно доказать и обратное то есть то что любое безвихревое поле есть поле потенциальное. Условия независимости криволинейного интеграла -го рода от пути интегрирования. Рассмотрим криволинейный интеграл -го рода Q MN Q где кривая соединяющая точки M и N. Пусть функции и Q имеют непрерывные частные производные в некоторой области в которой целиком лежит кривая. Определим условия при которых рассматриваемый криволинейный интеграл зависит не от формы кривой а только от расположения точек M и N. Проведем две произвольные кривые MN и MQN лежащие в области и соединяющие точки M и N рис.. Q М N Рис.. Предположим что Q Q то есть Q Q MN MQN MN MQN F ceate wth Fet pfacto tal eso 6

33 Тогда Q Q Q MN NQM где замкнутый контур составленный из кривых MN и NQM следовательно его можно считать произвольным. Таким образом условие независимости криволинейного интеграла -го рода от пути интегрирования равносильно условию что такой интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю. Теорема 6.. Пусть во всех точках некоторой области непрерывны функции и Q Q и их частные производные и. Тогда для того чтобы для любого замкнутого контура лежащего в области выполнялось условие Q Q необходимо и достаточно чтобы во всех точках области. Доказательство. Q Достаточность: пусть условие выполнено. Рассмотрим произвольный замкнутый контур в области ограничивающий область и напишем для него формулу Грина: Q Q. Итак достаточность доказана. Необходимость: предположим что условие Q выполнено в каждой точке Q области но найдется хотя бы одна точка этой области в которой -. Пусть Q например в точке - >. Так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция она будет положительна и больше некоторого δ > в некоторой малой области содержащей точку Р. Следовательно Q > δ δ >. Q Отсюда по формуле Грина получаем что Q > где - контур ограничивающий область. Этот результат противоречит условию Q Q. Следовательно во всех точках области что и требовалось доказать. Замечание. Аналогичным образом для трехмерного пространства можно доказать что необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла Q R MN от пути интегрирования являются: R Q R Q. 6.9 F ceate wth Fet pfacto tal eso 64

34 65 Замечание. При выполнении условий 6.9 выражение Q R является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования так как. MN MN M N R Q При этом функцию и можно найти по формуле C R Q 6. где точка из области a C произвольная постоянная. Действительно легко убедиться что частные производные функции и заданной формулой 6. равны Q и R. Пример. Вычислить криволинейный интеграл -го рода 4 по произвольной кривой соединяющей точки и 4. Убедимся что выполнены условия 6.9:. Следовательно функция и существует. Найдем ее по формуле 6. положив. Тогда C C. Таким образом функция и определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Примем С тогда. Следовательно Соленоидальные и гармонические векторные поля. Определение 6.6. Векторное поле { } называется соленоидальным в области если в каждой точке этой области. 6. Замечание. Так как дивергенция характеризует плотность источников поля А то в области где поле соленоидально нет источников этого поля. Примером соленоидального поля может служить поле точечного заряда е во всех точках кроме точки где расположен заряд. Условием соленоидальности поля является требование что вектор А является ротором некоторого вектора В: ot. Докажем это. Действительно если то. F ceate wth Fet pfacto tal eso

35 Определение 6.7. Скалярное поле задаваемое функцией называется гармоническим в некоторой области если функция и в этой области удовлетворяет уравнению Лапласа: Δ и. Примеры: линейная функция потенциал электрического поля точечного заряда или поля тяготения точечной массы. F ceate wth Fet pfacto tal eso 66

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( )

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( ) 6 9 Замена переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Общий случай замены переменной в двойном и тройном интегралах. Якобиан. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

Содержание. Используемые обозначения Числовые множества и операции с числами... 14

Содержание. Используемые обозначения Числовые множества и операции с числами... 14 Содержание Используемые обозначения... 12 1. Числовые множества и операции с числами... 14 1.1. Числовые множества...............................14 1.2. Числовые промежутки...16 1.3. Признаки делимости...17

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Республики Беларусь "Высший государственный колледж связи" Кафедра Математики и физики КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Минск 5 г РАЗДЕЛ 4 Функции нескольких переменных

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

Лекция 2. Инварианты плоских кривых

Лекция 2. Инварианты плоских кривых Лекция 2. Инварианты плоских кривых План лекции. Гладкие кривые на плоскости, число вращения, классификация кривых с точностью до гладкой гомотопии, точки самопересечения, число Уитни, теорема Уитни..1

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

С.М.Никольский КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТОМ 2 Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов.

С.М.Никольский КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТОМ 2 Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов. С.М.Никольский КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТОМ 2 Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов. Написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Репозиторий БНТУ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФИГУРЕ ОТ СКАЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Репозиторий БНТУ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФИГУРЕ ОТ СКАЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФИГУРЕ ОТ СКАЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ Методические указания Минск

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ Введение.. 3 1. Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики

СОДЕРЖАНИЕ Введение.. 3 1. Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики СОДЕРЖАНИЕ Введение Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики Изучение теоретического материала Решение задач Самопроверка 5 5 Консультации 5 6 Контрольные работы 6 7

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Геометрические приложения определенного интеграла

Геометрические приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Кривая L на плоскости задается своей параметризацией x = x(t), y = y(t), t [t, T ]. (1) Заметим, что изменяется единственный параметр t. Часто говорят,

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике Министерство образования и науки, молодежи и спорта Донецкий национальный технический университет Улитин Г.М., Гончаров А.Н. КУРС ЛЕКЦИЙ по высшей математике Учебное пособие Донецк 2011 УДК 51 (075.8)

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

Работа силы Ампера. Сила Ампера. проводящий ползунок AC, которому

Работа силы Ампера. Сила Ампера. проводящий ползунок AC, которому Работа силы Ампера Напомню, что сила Ампера, действующая на элемент линейного тока, дается формулой (1) Посмотрим на рисунок По двум неподвижным горизонтальным проводникам (рельсам) может свободно перемещаться

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Подробнее

4. Постоянное магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле.

4. Постоянное магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле. 4 Постоянное магнитное поле в вакууме Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле Закон Био-Савара-Лапласа: [ dl, ] db =, 3 4 π где ток, текущий по элементу проводника dl, вектор dl направлен

Подробнее

Электростатика. Магнитостатика. Электромагнитная индукция. Электрическое поле в проводящей среде.

Электростатика. Магнитостатика. Электромагнитная индукция. Электрическое поле в проводящей среде. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Э.БАУМАНА Л.А.Лунёва, С.Н.Тараненко, В.Г.Голубев, А.В.Козырев, А.В. Купавцев. Электростатика. Магнитостатика. Электромагнитная индукция. Электрическое

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

8. Определенный интеграл

8. Определенный интеграл 8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения.

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Если тело движется прямолинейно и равномерно, то для определения перемещения тела достаточно знать его скорость и время движения. Но как подойти к

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский национальный технический университет. Кафедра высшей математики 1 МАТЕМАТИКА

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский национальный технический университет. Кафедра высшей математики 1 МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Белорусский национальный технический университет Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Контрольная работа для студентов инженерно-технических специальностей

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Векторы в пространстве и метод координат. Задача C Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый классический

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

вид 1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... ).

вид 1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... ). Казанское математическое общество В.Б. Живетин Вводные лекции по курсу Высшая математика Г Р А Ф Казань 998 3 УДК 57 ББК.6 Ж 66 Вводные лекции по курсу Высшая математика /В.Б.Живетин; Казанское математическое

Подробнее

Цель дисциплины. Задачи изучения дисциплины

Цель дисциплины. Задачи изучения дисциплины Цель дисциплины Цели и задачи дисциплины Дисциплина «Математический анализ» относится к циклу общих математических и естественнонаучных дисциплин и имеет своей целью овладение студентами необходимым математическим

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция 3. 2.6. Работа силы. Кинетическая энергия ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Лекция 3. 2.6. Работа силы. Кинетическая энергия ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ 34 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Лекция 3.6. Работа силы. Кинетическая энергия Наряду с временнóй характеристикой силы ее импульсом, вводят пространственную, называемую работой. Как всякий вектор, сила

Подробнее

Глава 2. Определенный интеграл.

Глава 2. Определенный интеграл. Глава. Определенный интеграл... Понятие определенного интеграла. В первой главе мы изучали неопределенный интеграл, представляющий собой множество первообразных заданной функции. Теперь настала пора познакомиться

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim.

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim. Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет имени НИЛобачевского СЮ Галкина, ОЕ Галкин ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Курс лекций Рекомендовано

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) ЛН Романова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Курс лекций Омск Издательство СибАДИ ЛН РОМАНОВА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты:

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: Содержание программы 1. Числа, корни и степени. Числовые последовательности Натуральные числа. Простые

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

S с плотностью стороннего заряда. По теореме Гаусса

S с плотностью стороннего заряда. По теореме Гаусса 5 Проводники в электрическом поле 5 Проводники Проводниками называются вещества, в которых при включении внешнего поля перемещаются заряды и возникает ток Наиболее хорошими проводниками электричества являются

Подробнее

Рабочая программа Заочной математической школы. 11 класс. Продвинутая группа. Занятие 1. Текстовые задачи и задачи на целые решения.

Рабочая программа Заочной математической школы. 11 класс. Продвинутая группа. Занятие 1. Текстовые задачи и задачи на целые решения. Рабочая программа Заочной математической школы 11 класс. Продвинутая группа Занятие 1. Текстовые задачи и задачи на целые решения. 1. Постулат Оккама. Принцип минимальности при составлении систем уравнений

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Л Е МОРОЗОВА, В Б СМИРНОВА ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

Экзамен. Магнитный диполь. Момент сил, действующих на виток с током в однородном магнитном поле.

Экзамен. Магнитный диполь. Момент сил, действующих на виток с током в однородном магнитном поле. Экзамен Магнитный диполь Момент сил, действующих на виток с током в однородном магнитном поле I m S определение магнитного дипольного момента тока I в контуре, ограничивающем площадку S Направление дипольного

Подробнее

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ»

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

1.Свойства определенного интеграла. 1.Если подынтегральная функция равна единице, то

1.Свойства определенного интеграла. 1.Если подынтегральная функция равна единице, то ЛЕКЦИЯ N4. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о среднем..свойства определенного интеграла.....теорема о среднем значении.....производная интеграла по переменной верхней

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Вариант 1 1 Сравните числа ( 6 5 + 4) 1 и ( 8 + 7 6) 1 + 1 Решите уравнение + + + 1= log log Решите неравенство + 6 4 Изобразите

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

Программа вступительного экзамена по математике

Программа вступительного экзамена по математике Программа вступительного экзамена по математике Программа составлена на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего и среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов всех специальностей очной формы

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

ϕ(r) = Q a + Q 2a a 2

ϕ(r) = Q a + Q 2a a 2 1 Урок 14 Энергия поля, Давление. Силы 1. (Задача.47 Внутри плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием d между ними находится пластинка из стекла, целиком заполняющая пространство между пластинами

Подробнее

НГАВТ - Стр 1 из 57. Е.С. Мироненко ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

НГАВТ - Стр 1 из 57. Е.С. Мироненко ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА НГАВТ - Стр из 7 ЕС Мироненко ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерных специальностей высших учебных заведений МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 998 НГАВТ -

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММАМ БАКАЛАВРИАТА И ПРОГРАММАМ СПЕЦИАЛИТЕТА

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММАМ БАКАЛАВРИАТА И ПРОГРАММАМ СПЕЦИАЛИТЕТА Минобрнауки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ

Подробнее

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электростатика Лекция 22 ЛЕКЦИЯ 22

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электростатика Лекция 22 ЛЕКЦИЯ 22 ЛЕКЦИЯ Электростатическая энергия зарядов. Мультипольное разложение. Электрический диполь. Энергия системы зарядов во внешнем поле. Силы, действующие на диполь в электрическом поле. Взаимодействие двух

Подробнее

Программа курса математики для двухгодичного потока СУНЦ НГУ. Лекции. I семестр

Программа курса математики для двухгодичного потока СУНЦ НГУ. Лекции. I семестр Программа курса математики для двухгодичного потока СУНЦ НГУ 2004-2006 уч. гг. Лектор: к.ф.-м.н. А. В. Васильев Лекции I семестр 1. Метод математической индукции (2 часа). Описание метода. Примеры применения:

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Комментарии к теме Распределения случайных векторов

Комментарии к теме Распределения случайных векторов Комментарии к теме Распределения случайных векторов Практические занятия по теории вероятностей, 322 гр., СМ В. В. Некруткин, 2012 1 Случайные вектора и их распределения Многие свойства случайных векторов

Подробнее

Типовой расчет по математике

Типовой расчет по математике Типовой расчет по математике Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы Теория поля 5 модуль Учебно методическое пособие roa a = α i + β j γ k a S T a ds div ddydz n R y z ddy (,, ) = S T Санкт Петербург

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией.

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией. Лекция: Определенный интеграл. Введение. Рассмотрим график функции y f () непрерывной на отрезке ; и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, y f ( ),,. Эту фигуру будем называть криволинейной

Подробнее

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ООО «Резольвента» www.resolventa.ru resolventa@list.ru (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9 9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ 9 9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЛЕКЦИЯ 9 9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Линия пересечения двух поверхностей в общем виде представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на несколько частей. Надо иметь в виду,

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ» Автономная некоммерческая организация дополнительного образования Учебный Центр при МГТУ им. Н. Э. Баумана «Ориентир» «УТВЕРЖДАЮ» Директор АНО ДО Учебный Центр при МГТУ им. Н.Э.Баумана «Ориентир» ПАНФИЛОВА

Подробнее

Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.1. ПЛОЩАДИ

Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.1. ПЛОЩАДИ Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.. ПЛОЩАДИ 5... Понятие площади. Площади подобных фигур. Площадь треугольника (выражение через основание и высоту и формула Герона) и трапеции. Важным геометрическим

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ

УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ 9 Компьютерная оптика том УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ АВ Устинов Учреждение Российской академии наук Институт систем обработки изображений РАН Аннотация В данной статье описан метод усреднения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

ОБ УГЛАХ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ И НЕМНОГО О ПРОЧИХ УГЛАХ

ОБ УГЛАХ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ И НЕМНОГО О ПРОЧИХ УГЛАХ АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ 9 ВИРыжик ОБ УГЛАХ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ И НЕМНОГО О ПРОЧИХ УГЛАХ Окончание Начало см в 3 за 2008 г Задачи на вычисление угла между скрещивающимися прямыми Ясно, что установление

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Рассмотрим задачу на нахождение условного экстремума для случае функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть имеется

Подробнее

3. Магнитное поле Вектор магнитной индукции. Сила Ампера

3. Магнитное поле Вектор магнитной индукции. Сила Ампера 3 Магнитное поле 3 Вектор магнитной индукции Сила Ампера В основе магнитных явлений лежат два экспериментальных факта: ) магнитное поле действует на движущиеся заряды, ) движущиеся заряды создают магнитное

Подробнее

ϕ =, если положить потенциал на

ϕ =, если положить потенциал на . ПОТЕНЦИАЛ. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Потенциал, создаваемый точечным зарядом в точке A, находящейся на, если положить потенциал на бесконечности равным нулю: φ( ). Потенциал, создаваемый в

Подробнее