УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет)"

Транскрипт

1 ВЕСТНИК ЧГПУ им И Я ЯКОВЛЕВА МЕХАНИКА ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ 7 УДК 5975 Мирсалимов М В ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ (Тульский государственный университет) Рассматривается задача механики разрушения для полос (балок) когда полоса изгибается в ее плоскости заданной системой внешних нагрузок (постоянными изгибающими моментами равномерно распределенным давлением и т п) Толщина полосы считается переменной Процессы разрушения реальных материалов имеют сложный характер и протекают для различных материалов по-разному Это зависит от особенностей структуры материала его химического состава вида напряжения и других факторов В настоящее время известны различные механизмы зарождения трещин [8] Балки переменной толщины широко используются в технике и строительстве Для практики исследование вопросов разрушение полос (балок) переменной толщины имеет важное значение Рассмотрим однородную изотропную полосу (балку) переменной толщины Обозначим через с и h соответственно ширину и толщину полосы Выбор системы декартовых координат и обозначения поясняются на рис Декартовы координаты в срединной плоскости полосы являются плоскостью симметрии Полоса переменной толщины находится в обобщенном плоском напряженном состоянии По мере нагружения полосы силовой нагрузкой будут возникать зоны предразрушения которые моделируем как области ослабленных межчастичных связей материала Будем полосу (балку) переменной толщины моделировать реальным хрупким телом В процессе деформации в некоторых точках балки могут появляться зоны в которых закон Гука не выполняется т е в этих зонах напряжения превосходят предел упругости Так как указанные зоны (прослойки перенапряженного материала) малы по сравнению с остальной упругой частью полосы их можно мысленно удалить заменив разрезами поверхности которых взаимодействуют между собой по некоторому закону соответствующему действию удаленного материала где материал балки деформируется за пределом упругости Учет этих эффектов в задачах механики разрушения машин и конструкций представляет важную но весьма трудную задачу Из опыта хорошо известна общая тенденция к формированию пластических областей на ранних стадиях развития в виде узких слоев скольжения занимающих незначительный объем тела по сравнению с его упругой зоной [ 4 7 8] Считается что толщина полосы (балки) h(ху) удовлетворяет условиям < h h( ) h где h и h соответственно наименьшее и наибольшее значения толщины полосы Функция толщины может быть представлена в виде

2 Здесь принято что h ( h + h ) ; [ + εh ( )] h( ) h () h h h + h h некоторая известная безразмерная непрерывная функция ( ( ) ) ε ; ( ) h Пусть на рассматриваемую полосу действуют внешние нагрузки (изгибающие моменты равномерно распределенное по длине полосы давление или сосредоточенные силы) расположенные в срединной плоскости полосы Грани полосы параллельные плоскости ху приняты свободными от внешних напряжений В изучаемом случае возникновение трещины представляет собой процесс перехода области предразрушения в область разорванных связей между поверхностями материала При этом размер зоны предразрушения заранее неизвестен и должен быть определен в процессе решения задачи Зона предразрушения ориентирована в направлении максимальных растягивающих напряжений Ось х системы координат ху совмещаем с линией зоны предразрушения ( a ) Считается что в зоне предразрушения имеет место пластическое течение при постоянном напряжении Задача заключается в определении напряженно-деформированного состояния полосы (балки) а также в определении предельной нагрузки по достижении которой произойдет появление трещины Запишем общие уравнения статического деформирования полосы: уравнения равновесия + ; + () закон Гука Eh u υ Eh υ u + v ; v Eh u υ + v ; v + () + v Здесь соответственно нормальные и сдвигающие усилия приходящиеся на единицу длины; u υ смещения; Е модуль упругости Юнга v коэффициент Пуассона материала пластины Граничное условие в зоне предразрушения будет σ σ ; τ при a (4) где σ предел текучести материала полосы на растяжение Решение системы уравнений статического деформирования пластины () () ищем в виде разложений по малому параметру () () () () () () + ε +K ; + ε + K ; + ε + K ; (5) u u + ε u +K; υ υ + ευ + K; a a + ε a + K; + ε + K Формулы () (5) подставляем в уравнения () и () и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра ε В полученных уравнениях уравнения нулевого приближения совпадают с уравнениями классической плоской задачи теории упругости а уравнения первого приближения представляют собой уравнения классической плоской задачи теории упругости с объемной силой определяемой согласно [5]: () h () h () h () h Χ + ; Υ + (6) 6

3 Аналогично определяются составляющие Χ Υ объемной силы для второго и последующих приближений Граничные условия задачи принимают соответственно вид: для нулевого приближения () () i s ; при у a ; (7) для первого приближения с a а) q ) L a с L L c) a с d Рис Расчетная схема задачи 6

4 * * i h ( s ; при у a ) (8) где s h σ s Здесь при выводе уравнений первого приближения были приняты следующие обозначения * * * () () ; () () ; () () ; () () h( ) ; (9) () () h( ) ; () () h ( ) Вначале рассмотрим решение для нулевого приближения Как известно [6] компоненты тензора напряжений и компоненты u υ вектора смещений в условиях плоской задачи теории упругости выражаются через две аналитические функции Φ ( и Ω ( Напряженно-деформированное состояние в окрестности зоны предразрушения определяем приближенно в том смысле [6] что будем удовлетворять граничным условиям задачи на контуре зоны предразрушения (условиям (7) (8)) и требовать чтобы на значительном расстоянии от полосы предразрушения напряженное состояние в полосе совпадало с напряженным состоянием определяемым функциями lim Φ( Φ ( z A z + A z + A z + A ; () z lim Ω( Ω z ) B z + B z + B z + B Эти функции в зависимости от значений коэффициентов A j и B j (j ) определяют напряженное состояние в полосе (балке) без зоны предразрушения Например полагая в формулах () A ; A ; A ; A ; () B ; B ; B ; B где I момент инерции площади сечения полосы можно убедиться что в этом случае функции Φ ( z ) и Ω дают решение задачи о чистом изгибе моментами М бесконечной полосы (балки) без полосы предразрушения (см рис случай а)) Аналогично на основании формул () () + [ Φ( + Φ( ]; ( z + i) () h () () i Φ + Ω + ( z Φ h найдем что при q A ; A ; q c A L + ; 8I 5 7q B ; B ; q c B L ; 8I 5 (см рис случай б)) qc A ; () I qc B I 6

5 j Функции Φ ( z ) и Ω дают решение задачи об изгибе балки длиной L без полосы предразрушения когда балка нагружена равномерным давлением интенсивности q При этом принято что балка свободно расположена на двух опорах а опорные реакции определяются как касательные усилия приложенные к торцам балки Можно показать также на основании формул () () и () что если A ; iq Q(L d) A ; A ; 8I A ; (4) B ; 5iQ B 8I ; Q(L d) iqс B 4 I ; B I (обозначения указаны на рис ) то функции Φ ( z ) и Ψ дают решение задачи об изгибе жестко защемленной консольной балки без полосы предразрушения под действием постоянной поперечной силы Q приложенной на ее свободном конце Наличие в балке полосы предразрушения приведет к возмущению поля упругих напряжений в окрестности зоны предразрушения Вдали от зоны предразрушения напряженно-деформированное состояние в балке для указанных нагрузок определяется формулами () () если значения коэффициентов A и B (j ) определены равенствами () () (4) Следуя НИ Мусхелишвили [6] краевую задачу (7) сведем к задаче линейного со- () () z Ω z пряжения граничных условий функций Φ ( ) и ( ) () () + () () [ Φ () t + Ω () t ] + Φ () t + Ω () t f () () + () () Φ () t Ω () t Φ t Ω t [ ] [ ] [ () ()] где a t ; t аффикс точек контура зоны предразрушения (t ); f σ Решив эту задачу (5) находим () ( z a )( z ) f Φ + ( z a)( z ) Pn + πi ( t a )( t )( t a [ Φ Ω ( )] j (5) + z ; (6) () ( z a)( z ) f Ω + ( z a)( z ) Pn πi ( t a )( t )( t a [ Φ Ω ( )] z где функции Φ ( ) и Ω ( ) определяются равенствами () а полином P (z n ) имеет вид z z n n Pn Dn z + Dn z + + D ; (7) интегралы в (6) элементарно находятся Степень полинома (7) и его коэффициенты D D D n определяются из условия поведения функций Φ ( и Ω ( окрестности точки Φ z () и z Функции ( ) () Ω аналитичны в области вне зоны предразрушения и при больших значениях z имеют вид 6

6 ) ( z ) Φ +Ο ; ( ) Ω +Ο ( ) Φ ( Ω z (8) z z Следовательно для определения коэффициентов D D D n и величин a не- () Φ z представленную в (6) разложить в ряд по степеням z в ок- обходимо функцию ( ) рестности точки z и сопоставить это разложение с выражением (8) Учитывая предыдущие соотношения и осуществляя необходимые вычисления для определения искомых коэффициентов D D D n и величин a находим следующую систему уравнений D + ( A B ) A (9) D ( a + ) D + ( A B ) A D ( a + ) D ( a ) D + ( A B ) A 8 C ( a + ) D ( a ) D + ( A B ) A ( a + ) C C ( a ) D 8 D n n σ Здесь С ; С ( a + ) σ 4 При чистом изгибе моментами М полосы с зоной предразрушения в нулевом приближении имеем A ; A ; A ; A ; B ; B ; B ; B Из системы (9) находим D ; D ; D I () σ ( a + ) D ; ( a + ) σ ( a ) D 8 Последние два уравнения служат для определения размера зоны предразрушения Аналогично рассматриваются и другие случаи изгиба полосы (балки) с зоной предразрушения При изгибе равномерным давлением интенсивности q в нулевом приближении имеем () Из системы (9) получаем q q D D ( a + ) D q 7c q c ( ) ( ) D + a D a D L L + 8 8I 5 8I 5 σ qc qc ( a + ) D ( a ) D I I 64

7 σ ( a + ) ( a ) D 8 Решая ее находим q D 6I ; ( ) q D a + () 6I q q q c ( ) ( ) D a a L 4 6I 8 6I 5 σ ( a + ) D ( a ) D σ ( a + ) ( a ) D 8 Последние два уравнения как и в предыдущем случае служат для определения размеров зоны предразрушения При изгибе консольной балки в нулевом приближении имеем (4) Из системы с учетом (9) получаем D ; iq D 4 I ; ( ) iq Q D a ( L d ) + () I σ iqc ( a + ) D ( a ) D + σ ( a + ) ( a ) D 8 И в этом случае последние два уравнения служат для определения размеров зоны предразрушения Перейдем к решению задачи в первом приближении При наличии объемных сил решение представляется в виде суммы: * () () * () () * () () + ; + ; + () где () () объемной силы (6); () частное решение уравнения плоской теории упругости при наличии () () () общее решение уравнений плоской теории упругости при отсутствии объемных сил Согласно методу АГ Угодчикова [9] в первом приближении для усилий имеем следующие общие представления * * + () F 4Re Φ ; (4) h ( + к) z * * * + i () () zφ + Ψ + ( к F Q ) h ( + к) z где к ( v) ( + ) ; v коэффициент Пуассона материала полосы v () () В эти соотношения входят две аналитические функции Φ и Ψ комплексной переменной z + i и две функции F ( z z ) и Q ( z представляющие собой любые частные решения уравнений 65

8 F Q F ; F z z z h () () h () () F Χ + iυ ( + i ) + i ( i ) () () Для определения комплексных потенциалов Φ и Ω получаем задачу линейного сопряжения () () + () () [ Φ ( ) + Ω ( ) ] + [ Φ ( ) + Ω ( ) ] f( t) () () + () () [ Φ ( ) Ω ( ) ] [ Φ ( ) Ω ( ) ] 66 (5) ; (6) (7) где a аффикс точек контура зоны предразрушения в первом приближении f h σ + f ( ) при a (8) F F Q f ( ) Re к + к z + к при (9) ( ) z z () () Так как при больших z функция Φ ( z ) Ω то общее решение краевой задачи (7) будет () () Φ ( z ) Ω Общее решение краевой задачи (6) исчезающее на бесконечности и ограниченное на концах a и будет Φ () Ω () ( z a )( z ) πi a f ( t a )( t ) ( t () Размеры зоны предразрушения в первом приближении определяются из условия разрешимости краевой задачи (6): f ( t a )( t ) a t f ; () ( t a )( t ) a Как и в нулевом приближении решение в первом приближении получено в замкнутом виде Для определения распределения напряжений и размеров зон предразрушения необходимо задать закон изменения толщины в полосе Функцию h ( ) разложим в ряд Тейлора в начале координат и в этом разложении ограничимся двумя членами разложения т е * * [ + ( a )] h ( ) h ε + () * * где h толщина полосы в начале координат a и некоторые коэффициенты Тогда выражения для составляющих объемной силы в первом приближении примут вид: * () * () * () * () Χ a + ; Υ a + () С помощью формул () () + 4ReΦ h () находятся компоненты напряжений () i () () () ; Φ + Ω + ( z Φ h () () () () Затем по формулам () определяем функцию F Χ + iυ

9 С помощью интегрирования уравнений (5) имеем: z z z z F ( z dz F( z z ) dz ; Q ( z dz F( z z ) dz По найденным функциям F ( z и Q ( z согласно (9) находим функцию f () Затем по полученным формулам () () находим решение в первом приближении Окончательно получаем () () () () () () + ε ; + ε ; + ε υ υ + ευ ; u u + εu ; a a + εa ; + ε Для определения предельного состояния полосы (балки) при котором происходит появление трещины используем критерий критического раскрытия берегов полосы предразрушения Согласно этому критерию зарождение трещины произойдет как только ее раскрытие достигнет предельного (для данного материала при заданных условиях) значения δ с : υ * δ с (4) Здесь υ * расстояние между противоположными берегами зоны предразрушения Используя решения упругопластической задачи вычислим смещения υ на пластической линии скольжения (при a ) [ σ + f ] + к * F ( t ) υ 4 ; (5) πµ Χ a [ f h σ ] + к F ( t ) υ (6) 4πµ Χ a Здесь t) Φ + Ω ( t ) + ( t t ) ( ) *( t f Φ ; Χ t) ( t)( t ) ; Χ t) ( t)( t ) ; ( a ( a Χ Χ ( ) F ( t ) Χ ( ) + Χ ln ; Χ + Χ ( ) Χ Χ ( ) F ( t ) Χ ( ) + Χ ln Χ + Χ ( ) Для определения критических внешних нагрузок вызывающих появление трещины в полосе (балке) получаем следующее уравнение: 4 πe [ σ + f* ] F ( t ) 4ε [ f h σ s ] + a Χ πe a F ( t ) δ c (7) Χ Очевидно что разрыв межчастичных связей материала будет происходить в средней части зоны предразрушения Уравнение (7) дает возможность (при заданных характеристиках материала) найти критическую внешнюю нагрузку при которой происходит зарождение трещины в полосе (балке) переменной толщины Преобразуем уравнение (7) к виду удобному для численного решения Переходя к безразмерным переменным в интегралах и заменяя интегралы квадратурными формулами типа Гаусса по чебышевским узлам уравнение (7) приведем к следующему виду E 4ε [ σ + f ( tm )] F ( tm ) + [ f ( tm ) h ( tm ) σ s ] F ( tm ) δ c 4 m * (8) E m 67

10 Здесь a ; + a a + a a tm + τ m ; tm + τ m ; m τ m cos π (m ) Преобразуем также систему уравнений () служащую для определения неизвестных параметров a и : π π f ( t m ) ; tmf ( t m ) m m (9) Система уравнений (9) (последние два уравнения служащие для определения параметров a и ) (9) и (8) при выбранном значении х (х ) и известном законе изменения толщины полосы (балки) решается численно методом итераций На рис представлен график зависимости длины полосы предразрушения от безразмерной нагрузки σ σ для балки при чистом изгибе с толщиной изменяющейся по закону () В расчетах было принято v ; М На рис приводится зависимость безразмерной предельной нагрузки h c Eσ δ от относительной толщины полосы h h полученная в результате совместного решения уравнений (9) (9) и (8) при тех же значениях свободных параметров c ( a) c d h h 5 σ σ h h 6 h h 75 5 Рис Зависимости длины полосы предразрушения от безразмерной нагрузки для балки при чистом изгибе σ σ 68

11 6 h с Eσ δ c Рис Зависимость безразмерной предельной нагрузки от относительно толщины полосы h h ЛИТЕРАТУРА h h Витвицкий П М Пластические деформации в окрестности трещины и критерии разрушения: Обзор / П М Витвицкий В В Панасюк С Я Ярема // Проблемы прочности 97 С 9 Ивлев Д Д Механика пластических сред / Д Д Ивлев М : Физматлит Т 448 с Ишлинский А Ю Математическая теория пластичности / А Ю Ишлинский Д Д Ивлев М : Физматлит 74 с 4 Мирсалимов В М Неодномерные упругопластические задачи / В М Мирсалимов М : Наука с 5 Мирсалимов В М Разрушение пластин переменной толщины / В М Мирсалимов // ФХММ 996 Т C Мусхелишвили Н И Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н И Мусхелишвили М : Наука с 7 Надаи А Пластичность и разрушение твердых тел / А Надаи М : Мир 969 Т 864 с 8 Панасюк В В Механика квазихрупкого разрушения материалов / В В Панасюк Киев : Наукова думка с 9 Угодчиков А Г К решению плоской задачи теории упругости при произвольных объемных силах / А Г Угодчиков // Прикладная механика 967 Т 7 69

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 3. Т. 44, N- 4 35 УДК 539.3 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ИЗГИБА АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН В. Н. Максименко, Е. Г. Подружин Новосибирский государственный технический

Подробнее

СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ

СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ 1 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА 5 Т 6, N- 1 УДК 5393 СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ В Н Максименко, Е Г Подружин Новосибирский государственный технический

Подробнее

(1.7) {Γ ζ + [(m2 + 1)(A 2Γ) + m(b + B Γ )]ζ 2 + B m 2 B Γ } m)

(1.7) {Γ ζ + [(m2 + 1)(A 2Γ) + m(b + B Γ )]ζ 2 + B m 2 B Γ } m) 178 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2000. Т. 41, N- 4 УДК 539.3 К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПРОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ В ЛИНЕЙНО-УПРУГОЙ СРЕДЕ И. Ю. Цвелодуб Институт гидродинамики

Подробнее

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕУПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКИ, ЧАСТИЧНО ОПЕРТОЙ НА УПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕУПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКИ, ЧАСТИЧНО ОПЕРТОЙ НА УПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ УДК. МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕУПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКИ ЧАСТИЧНО ОПЕРТОЙ НА УПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ д.ф.-м.н. Яровая А. В. асп. Поддубный А. А. УО «Белорусский государственный университет

Подробнее

Введение 1. Вводный раздел 2. Растяжение сжатие 3. Геометрические характеристики поперечных сечений стержня 4. Плоский прямой изгиб

Введение 1. Вводный раздел 2. Растяжение сжатие 3. Геометрические характеристики поперечных сечений стержня 4. Плоский прямой изгиб Введение Настоящая программа базируется на основных разделах следующих дисциплин: Математика; Физика; Теоретическая механика; Сопротивление материалов; Теория упругости и пластичности; Статика, динамика

Подробнее

19. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ Основные понятия. Устойчивое и неустойчивое равновесие

19. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ Основные понятия. Устойчивое и неустойчивое равновесие Лекция 19 Понятие об устойчивости систем. Формы и методы определения устойчивости. Задача Эйлера. Условия закрепления концов стержня. Критические напряжения. Расчет на устойчивость. Расчет на устойчивость

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ"

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ" ВВЕДЕНИЕ Сопротивление материалов - есть наука о расчете элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. Основными задачами сопротивления

Подробнее

Лекция 6. Нагрузки, напряжения и деформации. Механические свойства.

Лекция 6. Нагрузки, напряжения и деформации. Механические свойства. Лекция 6 http://www.supermetalloved.narod.ru Нагрузки, напряжения и деформации. Механические свойства. 1. Физическая природа деформации металлов. 2. Природа пластической деформации. 3. Дислокационный механизм

Подробнее

1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КУРСА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» 1.1. Основные определения сопротивления материалов

1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КУРСА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» 1.1. Основные определения сопротивления материалов Введение. Общие понятия и принципы дисциплины «Сопротивление материалов». Реальный объект и расчетная схема. Внешние силовые факторы (классификация). Определение внутренних усилий методом мысленных сечений.

Подробнее

ПРОГРАММА вступительных испытаний по дисциплине «Техническая механика»

ПРОГРАММА вступительных испытаний по дисциплине «Техническая механика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет морского и речного

Подробнее

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки Теория напряженного состояния Понятие о тензоре напряжений, главные напряжения Линейное, плоское и объемное напряженное состояние Определение напряжений при линейном и плоском напряженном состоянии Решения

Подробнее

РАСЧЕТ ПЛАСТИНКИ НА ИЗГИБ МЕТОДОМ БУБНОВА ГАЛЁРКИНА

РАСЧЕТ ПЛАСТИНКИ НА ИЗГИБ МЕТОДОМ БУБНОВА ГАЛЁРКИНА Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет Расчет пластинки на изгиб методом Бубнова Галеркина: методические указания /Сост ИЮ Смолина, ЛЕ Путеева,

Подробнее

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 007. Т. 48, N- 5 УДК 539.3 ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин,

Подробнее

Расчет элементов стальных конструкций.

Расчет элементов стальных конструкций. Расчет элементов стальных конструкций. План. 1. Расчет элементов металлических конструкций по предельным состояниям. 2. Нормативные и расчетные сопротивления стали 3. Расчет элементов металлических конструкций

Подробнее

1. УЧЕБНЫЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ 2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

1. УЧЕБНЫЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ 2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ 3 СОДЕРЖАНИЕ 1. УЧЕБНЫЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ...4 2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ...4 2.1. Цель преподавания дисциплины...4 2.2. Задачи изучения дисциплины...4 2.3. Перечень базовых дисциплин...5 2.4. Перечень дисциплин,

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК Львов Геннадий Иванович ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК Учебник ВВЕДЕНИЕ Основные уравнения теории упругости В теории упругости существуют три группы формул которые образуют основные уравнения теории

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет РАБОЧАЯ ПРОГРАММА спецкурса: СОПРОМАТ. ЧАСТЬ 1 Кафедра Газовой и волновой и динамики Лектор - профессор Звягин

Подробнее

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет»

Подробнее

ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН

ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН ВН ЗАВЬЯЛОВ, ЕА МАРТЫНОВ, ВМ РОМАНОВСКИЙ ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН Учебное пособие Омск Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

Подробнее

Задание по расчетно-графической работе 4 Определение напряжений в балках при изгибе. Расчет на прочность. Задача 1

Задание по расчетно-графической работе 4 Определение напряжений в балках при изгибе. Расчет на прочность. Задача 1 Задание по расчетно-графической работе 4 Определение напряжений в балках при изгибе. Расчет на прочность. Задача 1 Произвести расчет прокатной двутавровой балки на прочность по методу предельных состояний,

Подробнее

после интегрирования получаем: = 2 pa, то есть формулу Лапласа. Растягивающие напряжение σ , если считать трубу тонкостенной (h<<a), = p.

после интегрирования получаем: = 2 pa, то есть формулу Лапласа. Растягивающие напряжение σ , если считать трубу тонкостенной (h<<a), = p. УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ Рассмотрим круглую трубку длины l, радиуса а, и толщиной h Приложим к ней следующие нагрузки: растягивающую силу Р, крутящий момент М и внутреннее давление р Мысленно вырежем малый

Подробнее

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ... 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ... 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ. СОДЕРЖАНИЕ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ... 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗГИБА ПЛАСТИНКИ... 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ... 9 СИММЕТРИЧНЫЙ

Подробнее

Расчет прямоугольной пластины методом конечных разностей

Расчет прямоугольной пластины методом конечных разностей Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Мосты и транспортные тоннели» А. А. Лахтин Расчет прямоугольной пластины методом конечных

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Казанский государственный университет Р.Ф. Марданов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного университета 2007 УДК 517.9

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ФОРМ ИЗГИБА АРОК

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ФОРМ ИЗГИБА АРОК ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2001. Т. 42, N- 4 155 УДК 539.370 ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ФОРМ ИЗГИБА АРОК Л. И. Шкутин Институт вычислительного моделирования СО РАН, 660036 Красноярск

Подробнее

Бесконечные системы линейных уравнений в случае первой основной граничной задачи для прямоугольной призмы

Бесконечные системы линейных уравнений в случае первой основной граничной задачи для прямоугольной призмы Динамические системы, вып. 28 2010, 89 98 УДК 539.3 Бесконечные системы линейных уравнений в случае первой основной граничной задачи для прямоугольной призмы С. О. Папков Севастопольский национальный технический

Подробнее

k 0, - условие текучести Мизеса (2) 1 1

k 0, - условие текучести Мизеса (2) 1 1 Применение параллельных алгоритмов для решения системы линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей итерационными методами на кластерной системе Демешко И.П. Акимова Е.Н. Коновалов А.В. 1. Введение

Подробнее

РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ С ЖЕСТКИМ ЦЕНТРОМ, НАГРУЖЕННОЙ ДАВЛЕНИЕМ

РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ С ЖЕСТКИМ ЦЕНТРОМ, НАГРУЖЕННОЙ ДАВЛЕНИЕМ УДК -78 В.Ф. Увакин, В.Б. Олькова РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ С ЖЕСТКИМ ЦЕНТРОМ, НАГРУЖЕННОЙ ДАВЛЕНИЕМ Можно показать, что нелинейные дифферениальные

Подробнее

Организация-разработчик: Финансово-технологический колледж ФГБОУ ВПО «Саратовский ГАУ»

Организация-разработчик: Финансово-технологический колледж ФГБОУ ВПО «Саратовский ГАУ» Рабочая программа учебной дисциплины Техническая механика разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта по специальности среднего профессионального образования 70841.51

Подробнее

ТЕОРИЯ КАЧЕНИЯ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ КУЛОНА. Г. П. Черепанов

ТЕОРИЯ КАЧЕНИЯ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ КУЛОНА. Г. П. Черепанов 218 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2014. Т. 55, N- 1 УДК 531.45 ТЕОРИЯ КАЧЕНИЯ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ КУЛОНА Г. П. Черепанов Нью-Йоркская академия наук, Нью-Йорк, США E-mail: genacherepanov@hotmail.com

Подробнее

Не путать прогиб y с координатой y точек сечения балки! Наибольший прогиб балки называется стрелой прогиба (f=y max );

Не путать прогиб y с координатой y точек сечения балки! Наибольший прогиб балки называется стрелой прогиба (f=y max ); Лекция Деформация балок при изгибе Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Метод начальных параметров Универсальное уравнение упругой линии ДЕФОРМАЦИЯ БАЛОК ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ Основные понятия и

Подробнее

Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Теория упругости излагается как часть теоретической физики. Наряду с традиционными вопросами рассматриваются

Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Теория упругости излагается как часть теоретической физики. Наряду с традиционными вопросами рассматриваются Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Теория упругости излагается как часть теоретической физики. Наряду с традиционными вопросами рассматриваются макроскопическая теория теплопроводности и вязкости

Подробнее

ϕ =, если положить потенциал на

ϕ =, если положить потенциал на . ПОТЕНЦИАЛ. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Потенциал, создаваемый точечным зарядом в точке A, находящейся на, если положить потенциал на бесконечности равным нулю: φ( ). Потенциал, создаваемый в

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по сопротивлению материалов

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по сопротивлению материалов .. Э. А. Буланов РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по сопротивлению материалов 5-е издание (электронное) Москва БИНОМ. Лаборатория знаний 2015 УДК 539.3/.6 ББК 30.121 Б90 Б90 Буланов Э. А. Решение задач по сопротивлению материалов

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Подробнее

= ε i j (t). Как отмечалось выше, напря- = u

= ε i j (t). Как отмечалось выше, напря- = u Лекция 6 Итак, нам известно, что в упругом теле напряжения и деформации связаны законом Гука. Далее мы установили критерий пластичности. Попытаемся выяснить теперь, как связаны деформации и напряжения

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины Цель дисциплины

1. Цели и задачи дисциплины Цель дисциплины 2 1.1. Цель дисциплины 1. Цели и задачи дисциплины Дисциплина «Сопротивление материалов» относится к общетехническому циклу и имеет своей целью усвоение будущими специалистами основ инженерной подготовки

Подробнее

Внецентренное действие продольных сил

Внецентренное действие продольных сил Внецентренное действие продольных сил C C Центральное сжатие (растяжение) Внецентренное сжатие (растяжение) Внецентренное сжатие (растяжение) это случай нагружения, когда линия действия сжимающей (растягивающей

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины ОП.05. ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА для специальности: «Техническое регулирование и управление качеством»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины ОП.05. ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА для специальности: «Техническое регулирование и управление качеством» Департамент образования и науки Кемеровской области государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Кемеровский коммунально-строительный техникум» имени В.И. Заузелкова

Подробнее

Лекция 01. Предмет сопротивления материалов. Понятия о деформациях и напряжении. Закон Гука Диаграмма растяжения Сопротивление материалов наука,

Лекция 01. Предмет сопротивления материалов. Понятия о деформациях и напряжении. Закон Гука Диаграмма растяжения Сопротивление материалов наука, Лекция 01. Предмет сопротивления материалов. Понятия о деформациях и напряжении. Закон Гука Диаграмма растяжения Сопротивление материалов наука, изучающая состояние различных элементов неподвижной или

Подробнее

В.К. МАНЖОСОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ

В.К. МАНЖОСОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В.К. МАНЖОСОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ УЛЬЯНОВСК 2001 УДК 539.9(076) ББК30.12я7 М23 Манжосов

Подробнее

Оглавление. 10c. Лекция 9. Определение перемещений при изгибе. Лекция 10. Продольный изгиб прямого стержня. 11с. 99с. Всего

Оглавление. 10c. Лекция 9. Определение перемещений при изгибе. Лекция 10. Продольный изгиб прямого стержня. 11с. 99с. Всего Оглавление Лекция. Введение. Задачи курса. Понятие о расчетной схеме. Лекция. Внутренние силовые факторы. Метод сечений. Напряжения, перемещения и деформации. Лекция. Растяжение. Построение эпюр продольных

Подробнее

РАЗВИТИЕ УСТАЛОСТНЫХ ТРЕЩИН СМЕШАННОГО ТИПА В ОБРАЗЦАХ ИЗ СТАЛИ

РАЗВИТИЕ УСТАЛОСТНЫХ ТРЕЩИН СМЕШАННОГО ТИПА В ОБРАЗЦАХ ИЗ СТАЛИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 1 135 УДК 620.178.6 РАЗВИТИЕ УСТАЛОСТНЫХ ТРЕЩИН СМЕШАННОГО ТИПА В ОБРАЗЦАХ ИЗ СТАЛИ В. М. Тихомиров, П. Г. Суровин Сибирский государственный университет

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. Примеры решения задач

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. Примеры решения задач Федеральное агентство железнодорожного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ

Подробнее

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ»

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ» Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ» Контрольные задания по дисциплине «Строительная механика» 1 Оглавление Общие

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный технологический

Подробнее

Моделирование волн деформаций в физически нелинейной оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость

Моделирование волн деформаций в физически нелинейной оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 69 www.ai./siee/dy/ УДК 5.8:5.56 Моделирование волн деформаций в физически нелинейной оболочке содержащей вязкую несжимаемую жидкость Блинков Ю. А. * Иванов С. В.

Подробнее

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов Сибирский Федеральный Университет Сопротивление материалов Методические указания к контрольным работам Красноярск СФУ ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ При изучении курса «Сопротивление материалов» студенты знакомятся с

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

0(z z c ) 2 /2 +..., также для удобства разделим уравнение Орра-Зоммерфельда на u 0: d 4 w 2. d (z z dz 2 α2 u 0. ((z z c ) + u 0

0(z z c ) 2 /2 +..., также для удобства разделим уравнение Орра-Зоммерфельда на u 0: d 4 w 2. d (z z dz 2 α2 u 0. ((z z c ) + u 0 На прошлой лекции было показано, что при больших R два решения уравнения Орра-Зоммерфельда близки к решениям уравнения Рэлея, два других являются ВКБ-решениями. С последними имеются две проблемы. Во-первых,

Подробнее

а) Минимальной расстояние между кораблями есть расстояние от точки А до прямой ВС, которое равно

а) Минимальной расстояние между кораблями есть расстояние от точки А до прямой ВС, которое равно 9 класс. 1. Перейдем в систему отсчета, связанную с кораблем А. В этой системе корабль В движется с относительной r r r скоростью Vотн V V1. Модуль этой скорости равен r V vcos α, (1) отн а ее вектор направлен

Подробнее

ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА КОЛЕБАНИЯ КОНТАКТНЫХ СЕРДЕЧНИКОВ ГЕРКОНОВ

ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА КОЛЕБАНИЯ КОНТАКТНЫХ СЕРДЕЧНИКОВ ГЕРКОНОВ ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА КОЛЕБАНИЯ КОНТАКТНЫХ СЕРДЕЧНИКОВ ГЕРКОНОВ В.Е. Хроматов, к.т.н., Т.Н. Голубева 5, Россия, г. Москва, ул. Красноказарменная, 4 Московский энергетический институт (Технический

Подробнее

ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 3: Численное интегрирование (15 слайдов)

ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 3: Численное интегрирование (15 слайдов) ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 3: Численное интегрирование (15 слайдов) Слайд 1: Методы численного интегрирования. Требуется вычислить определенный интеграл: Методы решения такой задачи: 1.

Подробнее

М.Г. Баширов Уфимский государственный нефтяной технический университет филиал в г. Салавате, Россия

М.Г. Баширов Уфимский государственный нефтяной технический университет филиал в г. Салавате, Россия УДК 6.79.4:669.5 М.Г. Баширов Уфимский государственный нефтяной технический университет филиал в г. Салавате, Россия ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ И МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МЕТАЛЛОВ В НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОМ

Подробнее

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Подробнее

Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Математические модели процесса потери устойчивости динамических систем

Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Математические модели процесса потери устойчивости динамических систем Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Утверждаю: Руководитель ООП: 20 г. Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Математические модели

Подробнее

Прямой поперечный изгиб Расчёты на прочность

Прямой поперечный изгиб Расчёты на прочность МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Прямой поперечный изгиб

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ РЫЛЬСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.... Введение..... Задачи и методы сопротивления материалов..... Реальный объект и расчетная схема..... Внешние и внутренние силы. Метод сечений..... Напряжения....5.

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ПОЛИГОНАЛЬНЫХ ПЛАСТИН СО СВОБОДНЫМ ОТВЕРСТИЕМ ПРИ ИХ ДИНАМИЧЕСКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ПОЛИГОНАЛЬНЫХ ПЛАСТИН СО СВОБОДНЫМ ОТВЕРСТИЕМ ПРИ ИХ ДИНАМИЧЕСКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ 174 Труды Нижегородского государственного технического университета им РЕ Алексеева 4(83) УДК 5394+53937 ЮВ Немировский ТП Романова ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ПОЛИГОНАЛЬНЫХ ПЛАСТИН

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Украины Донбасская государственная машиностроительная академия СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по подготовке к практическим занятиям (для студентов всех

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине «Сопротивление материалов» Часть I

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине «Сопротивление материалов» Часть I ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Тольяттинский государственный университет Кафедра «Материаловедение и механика материалов» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине «Сопротивление материалов» Часть I Методическое

Подробнее

Лабораторная работа 104 Деформация твердого тела. Определение модуля Юнга

Лабораторная работа 104 Деформация твердого тела. Определение модуля Юнга Лабораторная работа 14 Деформация твердого тела. Определение модуля Юнга Приборы и принадлежности: исследуемая проволока, набор грузов, два микроскопа Теоретические сведения Изменение формы твердого тела

Подробнее

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ТРЁХШАРНИРНЫЕ АРКИ И РАСПОРНЫЕ СИСТЕМЫ

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ТРЁХШАРНИРНЫЕ АРКИ И РАСПОРНЫЕ СИСТЕМЫ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ТРЁХШАРНИРНЫЕ АРКИ И РАСПОРНЫЕ СИСТЕМЫ Общие понятия и определения. Арка - система криволинейных стержней. К статически определимым системам относятся трехшарнирные арки, имеющие

Подробнее

3. Расчет элементов ДК цельного сечения

3. Расчет элементов ДК цельного сечения ЛЕКЦИЯ 3 Деревянные конструкции должны рассчитываться по методу предельных состояний. Предельными являются такие состояния конструкций, при которых они перестают удовлетворять требованиям эксплуатации.

Подробнее

1. Реакция балки на винклеровом основании на действие движущейся нагрузки

1. Реакция балки на винклеровом основании на действие движущейся нагрузки Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics 009, 1), 41-47 УДК 539.3 Динамическая реакция пластины на действие движущейся нагрузки Александр Н.Блинов Институт математики, Сибирский федеральный

Подробнее

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ. «Расчет статически определимых многопролетной балки, плоской фермы, арки. Метод сил.»

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ. «Расчет статически определимых многопролетной балки, плоской фермы, арки. Метод сил.» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гродненский государственный университет им. Я. Купалы» Факультет строительства и транспорта Кафедра «Строительное производство» ЗАДАНИЕ

Подробнее

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по дисциплине ОП.02. Техническая механика, часть 1 «Статика»

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по дисциплине ОП.02. Техническая механика, часть 1 «Статика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В.И. ВЕРНАДСКОГО» (ФГАОУ

Подробнее

Т е м а 5 Определенный интеграл

Т е м а 5 Определенный интеграл 8 Т е м а 5 Определенный интеграл Понятие определенного интеграла используют при решении практических задач, в частности, в задачах по вычислению площадей плоских фигур, расчету работы, производимой переменной

Подробнее

Сопротивление материалов на базе Mathcad. СПб.: БХВ-Петербург, с.: ил. ISBN Группа подготовки издания:

Сопротивление материалов на базе Mathcad. СПб.: БХВ-Петербург, с.: ил. ISBN Группа подготовки издания: Å. Ã. Ìàêàðîâ Рекомендовано учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по группе направлений

Подробнее

ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ С ДИСЛОКАЦИЯМИ

ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ С ДИСЛОКАЦИЯМИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 4 131 УДК 539.3 ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ С ДИСЛОКАЦИЯМИ С. П. Киселев Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, 630090 Новосибирск

Подробнее

Механика деформируемого твердого тела. (теория пластичности)

Механика деформируемого твердого тела. (теория пластичности) НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механика деформируемого твердого тела. (теория пластичности) материалы к лекциям для студентов 4-го курса ММФ (2-й поток) лектор: профессор Ю.М. Волчков НОВОСИБИРСК

Подробнее

S с плотностью стороннего заряда. По теореме Гаусса

S с плотностью стороннего заряда. По теореме Гаусса 5 Проводники в электрическом поле 5 Проводники Проводниками называются вещества, в которых при включении внешнего поля перемещаются заряды и возникает ток Наиболее хорошими проводниками электричества являются

Подробнее

ГОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет»

ГОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет» ГОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет» Конкурс: «Обеспечение промышленной и экологической безопасности на взрывопожароопасных и химически опасных производственных объектах»

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации ФГАОУ ВПО «УрФУ имени первого Президента России Б.Н.Ельцина» И. И. Еремеева, Р. И. Никулина, А. А. Поляков Д. Е. Черногубов, В. В. Чупин СОПРОТИВЛЕНИЕ

Подробнее

В. И. ВОДОПЬЯНОВ, А. Н. САВКИН О. В. КОНДРАТЬЕВ КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ

В. И. ВОДОПЬЯНОВ, А. Н. САВКИН О. В. КОНДРАТЬЕВ КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ В. И. ВОДОПЬЯНОВ, А. Н. САВКИН О. В. КОНДРАТЬЕВ КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина» В.В. Чупин СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Учебное электронное

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Томский государственный архитектурно-строительный университет М.О. Моисеенко, О.Н. Попов, Е.В. Евтюшкин, Д.Н. Песцов

Томский государственный архитектурно-строительный университет М.О. Моисеенко, О.Н. Попов, Е.В. Евтюшкин, Д.Н. Песцов Учет взаимосвязи учебного материала предметов теоретической и строительной механики в условиях формирования национальной доктрины инженерного образования Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ПРОГРАММА-МИНИМУМ кандидатского экзамена по специальности 05.23.17 «Строительная механика» по техническим наукам Программа-минимум содержит 8 стр.

Подробнее

4. Постоянное магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле.

4. Постоянное магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле. 4 Постоянное магнитное поле в вакууме Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле Закон Био-Савара-Лапласа: [ dl, ] db =, 3 4 π где ток, текущий по элементу проводника dl, вектор dl направлен

Подробнее

Рабочая программа ОПД.В.02 «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» Вид учебной работы Очная форма обучения Заочная форма обучения

Рабочая программа ОПД.В.02 «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» Вид учебной работы Очная форма обучения Заочная форма обучения МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

У ч е б н о е п о с о б и е

У ч е б н о е п о с о б и е Министерство образования и науки Российской Федерации Ивановский государственный химико-технологический университет А.Э. Козловский Р А С Ч Ё Т Э Л Е М Е Н Т О В К О Н С Т Р У К Ц И Й Н А Р А С Т Я Ж Е

Подробнее

ϕ(r) = Q a + Q 2a a 2

ϕ(r) = Q a + Q 2a a 2 1 Урок 14 Энергия поля, Давление. Силы 1. (Задача.47 Внутри плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием d между ними находится пластинка из стекла, целиком заполняющая пространство между пластинами

Подробнее

Пример 1. Два точечных заряда = 1 нкл и q = 2 нкл находятся на расстоянии d = 10 см друг от

Пример 1. Два точечных заряда = 1 нкл и q = 2 нкл находятся на расстоянии d = 10 см друг от Примеры решения задач к практическому занятию по темам «Электростатика» «Электроемкость Конденсаторы» Приведенные примеры решения задач помогут уяснить физический смысл законов и явлений способствуют закреплению

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ОМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРЯМОГО МНОГОПРОВОЛОЧНОГО ПРОВОДНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ОМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРЯМОГО МНОГОПРОВОЛОЧНОГО ПРОВОДНИКА Параметры динамики наружной освещенности являются исходными данными для оценки светового режима в помещении частоты включений и интервалов между ними и разработки автоматических устройств Айзенберг ЮБ

Подробнее

УПРУГИЙ АНИЗОТРОПНЫЙ МАТЕРИАЛ С ЧИСТО ПРОДОЛЬНЫМИ И ПОПЕРЕЧНЫМИ ВОЛНАМИ

УПРУГИЙ АНИЗОТРОПНЫЙ МАТЕРИАЛ С ЧИСТО ПРОДОЛЬНЫМИ И ПОПЕРЕЧНЫМИ ВОЛНАМИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2003. Т. 44, N- 2 143 УДК 539.3:517.958 УПРУГИЙ АНИЗОТРОПНЫЙ МАТЕРИАЛ С ЧИСТО ПРОДОЛЬНЫМИ И ПОПЕРЕЧНЫМИ ВОЛНАМИ Н. И. Остросаблин Институт гидродинамики им. М.

Подробнее

ЭВОЛЮЦИЯ ПОЛЯ ТЕЧЕНИЯ ОКОЛО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА И СФЕРЫ ПРИ МГНОВЕННОМ СТАРТЕ СО СВЕРХЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ

ЭВОЛЮЦИЯ ПОЛЯ ТЕЧЕНИЯ ОКОЛО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА И СФЕРЫ ПРИ МГНОВЕННОМ СТАРТЕ СО СВЕРХЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ 44 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 3 УДК 533.6.011.8 ЭВОЛЮЦИЯ ПОЛЯ ТЕЧЕНИЯ ОКОЛО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА И СФЕРЫ ПРИ МГНОВЕННОМ СТАРТЕ СО СВЕРХЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ В. А. Башкин, И. В.

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее