ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК"

Транскрипт

1 Львов Геннадий Иванович ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК Учебник

2 ВВЕДЕНИЕ Основные уравнения теории упругости В теории упругости существуют три группы формул которые образуют основные уравнения теории упругости Г р у п п а с т а т и ч е с к и х у р а в н е н и й В эту группу входят дифференциальные уравнения равновесия: Z Y X (0) и условия на поверхности (граничные условия): m l Z m l Y m l X (0) Г р у п п а г е о м е т р и ч е с к и х у р а в н е н и й В эту группу входят формулы Коши: u v v v u u (0) и уравнения сплошности:

3 (0) Г р у п п а ф и з и ч е с к и х у р а в н е н и й В эту группу входят формулы закона Гука: G E G E G E (05) Имея эти зависимости можно приступить непосредственно к решению задачи теории упругости о напряжениях и деформациях возникающих в упругом изотропном теле под действием внешних сил Перечисленные основные уравнения содержат 5 неизвестных функций: o шесть составляющих напряжений: ; o шесть составляющих деформаций: ; o и три составляющие перемещения: v u Для отыскания этих неизвестных функций мы располагаем 5-ю

4 уравнениями: тремя дифференциальными уравнениями равневесия (0) шестью формулами Коши (0) и шестью формулами закона Гука (05) Таким образом с математической точки зрения задача может быть решена и сводится к интегрированию этих пятнадцати уравнений при удовлетворении условий на поверхности (0) Решение указанных уравнений можно вести различными способами в зависимости от того какие величины приняты за основные неизвестные: Решение в п е р е м е щ е н и я х когда за основные неизвестные приняты три составляющие перемещения: u v Решение в н а п р я ж е н и я х когда за основные неизвестные приняты шесть составляющих напряжений: Решение в с м е ш а н н о й ф о р м е когда за основные неизвестные приняты некоторые из перемещений и некоторые из напряжений

5 ГЛАВА I ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК Основные понятия и гипотезы П л а с т и н к о й называется призматическое или цилиндрическое тело высота которого мала по сравнению с размерами в плане Высота такого тела называется толщиной пластинки и обозначается h Плоскость делящая пластинку пополам по толщине называется с р е д и н н о й п л о с к о с т ь ю При изгибе пластинки срединная плоскость превращается в изогнутую срединную поверхность пластинки Линия пересечения боковой поверхности пластинки со срединной плоскостью называется к о н т у р о м пластинки Для исследования деформаций пластинки прямоугольную систему координат будем располагать так чтобы координатная плоскость хоу совпала со срединной плоскостью пластинки Ось будем направлять вниз При таком выборе системы координат составляющая перемещения в направлении оси будет представлять собой прогиб пластинки Положение начала координат в срединной плоскости будем выбирать в каждом рассматриваемом случае в зависимости от очертания контура пластинки и характера закрепления ее краев Пластинки находят широкое применение в машиностроении и других отраслях современной техники Т о н к и м и называются пластинки имеющие отношение толщины к наименьшему характерному размеру в плане примерно в следующих пределах: h 5 80 и величину ожидаемых прогибов не более / h h Пластинки у которых рассчитываются по теории толстых плит а пластинки имеющие прогибы более h рассчитываются по геометрически нелинейной теории гибких пластинок или мембран Теория тонких пластинок основана на следующих гипотезах предложенных Кирхгофом: Гипотеза прямых нормалей: любой линейный элемент нормальный к срединной плоскости пластинки остается прямолинейным и нормальным к срединной поверхности после деформации и длина его не изменяется Любой линейный элемент нормальный к срединной плоскости направлен вдоль оси и следовательно первая часть гипотезы предполагает что прямые

6 углы между этим элементом и осями х и у остаются прямыми т е сдвиги в указанных плоскостях отсутствуют: 0 (7) 0 Допущение о сохранении длины прямолинейного элемента предполагает что линейная деформация в направлении оси отсутствует: 0 () Гипотеза о нерастяжимости срединной плоскости: в срединной плоскости отсутствуют линейные относительные деформации и деформации сдвига те срединная плоскость является нейтральной Следовательно в срединной плоскости перемещения отсутствуют u 0 0 v0 0 () Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластинки Ввиду малости давления между слоями пластинки параллельными срединной плоскости напряжением по сравнению с напряжениями и можно пренебрегать Перемещения и деформации в пластинке Изучение изгиба пластинки начнем с определения перемещений и деформаций Будем исследовать пластинку несущую поперечную нагрузку те нагрузку нормальную к срединной плоскости пластинки Под действием этой нагрузки пластинка получит перемещения Для их определения обратимся к принятым гипотезам Согласно первой гипотезе линейная деформация в направлении оси равна нулю () Подставляя это условие в третью формулу Коши (0) получаем: 0 откуда следует что прогибы пластинки не зависят от координаты т е =( у) Это означает что все точки пластинки лежащие на одной вертикали получают одинаковые прогибы Следовательно достаточно определить прогибы срединной плоскости пластинки чтобы знать прогибы всех ее точек Рассматривая условия для сдвигов () из формул Коши (0) получаем:

7 v 0 u 0 откуда находим производные от составляющих перемещения и и v по координате : u v Интегрируя эти уравнения по получаем: u f( ) () v f ( ) Для вычисления функций f ( у) и f ( у) появившихся при интегрировании уравнений в частных производных воспользуемся гипотезой о нерастяжимости срединной плоскости Согласно этой гипотезе составляющие перемещения u 0 и v 0 на срединной плоскости при =0 равны нулю Подставляя эти условия в формулы (а) получаем: u f ( ) 0 0 v0 f( ) 0 Тогда формулы (а) примут следующий вид: u () v Таким образом составляющие перемещения точек пластинки в направлениях осей х и у выражены через функцию прогибов срединной плоскости пластинки Составляющие деформации в пластинке отличные от нуля найдем с помощью формул Коши (0) подставляя в них значения составляющих перемещения ():

8 v u v u (5) Здесь составляющие деформации так же как и составляющие перемещения в соотношениях () выражены через одну функцию прогибов срединной плоскости пластинки Напряжения в пластинке Теперь перейдем к исследованию напряжений в пластинке Для вычисления нормальных напряжений и возьмем две первые формулы закона Гука (05) и на основании третьей гипотезы отбросим напряжение по сравнению с напряжениями и Тогда получим: E E откуда с учетом формул (5) находим: E E () Четвертая формула закона Гука (05) после подстановки угловой деформации из формул (5) примет такой вид: E E (б) А касательные напряжения в двух других плоскостях после подстановки составляющих деформации из формул () в формулы закона Гука (05) обратятся в нуль:

9 E 0 E 0 Однако в действительности эти касательные напряжения не равны нулю такой результат получен только вследствие принятых ранее гипотез и противоречит условиям равновесия Для отыскания этих напряжений рассмотрим дифференциальные уравнения равновесия (0) Пренебрегая объемными силами из первого уравнения находим: Подставим сюда напряжения из формул (а) и (б): E E ' После упрощения получаем: E или E Интегрируя по находим: E f (в) Для определения произвольной функции f (х у) имеем следующие граничные условия: на верхней и нижней поверхностях пластинки нет h касательных нагрузок те при должно быть 0 Подставляя эти условия в формулу (в) получаем: 0 Eh f 8 откуда находим искомую функцию: Eh f 8 и вводя ее в формулу (в) получаем:

10 h Eh (г) Решая таким же путем второе уравнение равновесия (0) относительно напряжения находим: h Eh (д) Итак в сечениях пластинки перпендикулярных к ее срединной плоскости возникают согласно формулам (а) (б) (г) и (д) следующие напряжения: h E h E E E E (6) На рис показано распределение этих напряжений по толщине пластинки Напряжения и распределяются по линейному закону обращаясь в нуль в точках срединной плоскости а напряжения и

11 Рис распределяются по параболе достигая в точках срединной плоскости максимального значения Так же распределяются касательные напряжения и при поперечном изгибе балок прямоугольного сечения Остается исследовать нормальные напряжения которыми мы пренебрегли по сравнению с напряжениями и Для их определения возьмем третье уравнение равновесия (0) и считая объемные силы равными нулю найдем: Подставим сюда касательные напряжения и из формул (6) После упрощения получаем: E h Интегрируя по находим: E h f (е) Для определения произвольной функции f ( у) рассмотрим случай загружения пластинки поперечной нагрузкой на верхней грани интенсивностью q (х у) а на нижней интенсивностью q ( у) направленными в сторону положительной оси (рис ) В этом случае имеем следующие граничные условия: h при - должно быть q h а при - должно быть q Рис

12 Подставляя эти условия в формулу (е) получаем: Eh q f q Eh Складывая почленно эти соотношения находим: q q = f () откуда произвольная функция q f ( ) q Следовательно формула (е) примет такой вид: q q E h (7) Напряжения подсчитанные по этой формуле имеют тот же порядок что и интенсивность поперечной нагрузки q и составляют незначительную часть от напряжений и В формулах (6) и (7) все напряжения выражены через одну функцию двух переменных ( у) следовательно функция прогибов играет здесь ту же роль что и функция напряжений в плоской задаче Исследуем какие усилия создаются напряжениями (6) в сечениях пластинки нормальных к ее срединной плоскости На рис изображен элемент пластинки вырезанный такими сечениями Рассмотрим вначале площадку этого элемента с нормалью х На этой площадке действуют составляющие напряжений и f Усилия в пластинке На рис показаны положительные величины этих напряжений т е нормальное напряжение направлено по внешней нормали к сечению а касательные в направлении соответствующих положительных координатных Рис осей так как внешняя нормаль к сечению совпадает с положительным направлением оси х Обозначаем через N погонную т е приходящуюся на единицу ширины

13 сечения нормальную силу в сечении с нормалью х Она равна сумме проекций на ось х равнодействующих напряжений в сечении с нормалью х На ось х проектируется только нормальное напряжение Его равнодействующая на бесконечно малой площадке dd равна d d на единицу ширины сечения приходится сила равная d Суммируя эти бесконечно малые проекции по толщине пластинки получаем выражение для погонной нормальной силы: N h h d Подставим сюда нормальное напряжение интеграла величины не зависящие от координаты : N E из формул (6) и вынесем за знак h d Под знаком входящего сюда интеграла стоит нечетная функция а пределы интегрирования отличаются только знаком Следовательно этот интеграл равен нулю а значит и усилие N =0 т е нормальной силы в этом сечении не возникает Далее подсчитаем изгибающий момент Обозначим через М погонный изгибающий момент в сечении с нормалью х Изгибающий момент в рассматриваемом сечении создается нормальными напряжениями Равнодействующая этих напряжений на площадке толщиной d и шириной равной единице равна d а изгибающий момент d Суммируя моменты от напряжения на всех таких площадках по толщине пластинки получаем выражение для погонного изгибающего момента в сечении с нормалью х: M h h d Подставляя сюда значение нормального напряжения из формул (6) и вынося за знак интеграла величины не зависящие от координаты находим: h

14 M h E h После интегрирования получаем: M D Входящая сюда величина d Eh D (8) называется ц и л и н д р и ч е с к о й ж е с т к о с т ь ю п л а с т и н к и и является физической и геометрической характеристикой пластинки при ее изгибе Погонная поперечная сила в сечении с нормалью х равна: Q h h d Подставим в этот интеграл значение касательного напряжения (6): Q E h h h d из формул После интегрирования находим: Q D Погонную сдвигающую силу S получаем проектируя напряжения в этом сечении на ось у: S h h Подставляя касательное напряжение из формул (6) находим: S =0 т е сдвигающая сила в этом сечении равна нулю Погонный крутящий момент в сечении с нормалью х равен: d

15 M h h d После подстановки касательного напряжения интегрирования находим: из формул (6) и M D () Аналогично найдем усилия действующие в сечении с нормалью у (см рис): погонный изгибающий момент M D погонная поперечная сила Q D и погонный крутящий момент M D (б) Сравнивая формулы (а) и (б) получаем что M = M =H Таким образом в сечениях пластинки перпендикулярных к ее срединной плоскости под действием поперечной нагрузки возникают следующие погонные усилия: изгибающие моменты: M D (9) M D поперечные силы: Q D (0) Q D и крутящий момент

16 H D () Все эти усилия выражены через прогибы срединной плоскости пластинки На рис показаны положительные значения найденных усилий причем положительные направления усилий совпадают с направлением действия соответствующих положительных составляющих напряжений 5 Выражения напряжений через усилия Формулы полученные в предыдущем параграфе позволяют определять моменты и поперечные силы в любой точке срединной плоскости пластинки По их Рис величине можно найти напряжения в любой точке пластинки Действительно сравнивая формулы нормальных напряжений и (6) с формулами изгибающих моментов М и M (9) получаем: M h (а) M h Полученные формулы соответствуют формулам для определения нормальных напряжений при изгибе балки прямоугольного сечения- В них входит момент инерции прямоугольного сечения при ширине сечения равной единице т е h h J И формулы (а) принимают вид известный из курса сопротивления материалов: M M J J h Максимальные нормальные напряжения возникают при : M m W () M m W Здесь

17 J h W h 6 момент сопротивления прямоугольного сечения шириной равной единице Из сравнения формул (6) и () следует: H h h Максимальные касательные напряжения возникают при и равны: 6 m H h Для определения вертикальных касательных напряжений сравниваем формулы (6) и (0) В результате получаем: 6Q h h 6Q h h Аналогичные результаты получены в сопротивлении материалов по формуле Журавского для балки прямоугольного сечения шириной равной единице Максимальные напряжения возникают в точках срединной плоскости при =0 где они равны: Q m h Q m h 6 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки В предыдущих параграфах напряжения и усилия в пластинке выражены через прогибы срединной плоскости пластинки ( у) Следовательно для определения напряжений и усилий необходимо знать функцию прогибов срединной плоскости пластинки Вырежем из срединной плоскости пластинки бесконечно малый элемент dd и покажем действующие на него нагрузки (рис 5) На грани Ос элемента срединной плоскости действует погонная поперечная сила Q При проектировании погонную силу следует умножать на длину d грани на которой она действует

18 На грани а отстоящей от грани Ос на бесконечно малом расстоянии d поперечная сила получает бесконечно малое приращение и равна Q Q d Аналогично на гранях Оа и с Рис 5 элемента срединной плоскости действуют соответственно погонные Q поперечные силы Q и Q d Нормально к срединной плоскости пластинки действует поверхностная нагрузка интенсивностью q Рассматриваемый элемент срединной плоскости находится в равновесии следовательно должны выполняться шесть условий равновесия: три уравнения проекций на координатные оси и три уравнения моментов относительно этих осей Спроектируем все силы изображенные на рис на ось : Q Q Q dd Qd Q d d Qd qdd 0 После упрощения получаем: Q Q q () Уравнение моментов всех сил относительно оси у дает: M H M dd M d H dd Hd Q d Q dd d Qd Q d d Q d d q dd 0 После упрощения получаем:

19 Q H M () Аналогично из уравнения моментов относительно оси х получаем: Q M H (5) Из уравнений-() - (5) исключим поперечные силы В результате получим: q M H M Подставив в полученное уравнение моменты из формул (9) и () найдем: q D откуда после упрощения получим: q D (6) или 0 q D (7) Полученное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки его обычно называют у р а в н е н и е м С о ф и Ж е р м е н Уравнение Софи Жермен должно быть дополнено граничными условиями Условия на контуре пластинки зависят от характера закрепления ее краев Условия на контуре пластинки На контуре пластинки в зависимости от характера закрепления краев могут быть заданы прогибы и углы поворота срединной плоскости изгибающие и крутящие моменты поперечные силы Условия при которых на контуре

20 задаются прогибы или углы поворота срединной плоскости называются г е о м е т р и ч е с к и м и С т а т и ч е с к и м и называются условия при которых на контуре задаются изгибающие моменты или поперечные силы Если же на контуре заданы одновременно и перемещения и усилия условия называются с м е ш а н н ы м и На каждом крае следует задать два граничных условия Сформулируем граничные условия для различных закреплений краев пластинки Для этого рассмотрим прямоугольную пластинку (рис 6) Рис6 З а щ е м л е н н ы й к р а й O В защемлении отсутствуют прогибы и невозможен поворот нормального элемента относительно оси х В связи с этим имеем следующие условия: при у=0 должно быть 0 0 Ш а р н и р н о о п е р т ы е к р а я ОС и АВ На шарнирных краях прогибы и изгибающие моменты равны нулю т е =0 и M =0 Выражая изгибающий момент через прогибы пластинки согласно формулам (9) последнее условие можно представить так: 0 Поэтому граничные условия на шарнирно опертых краях ОС и АВ принимают такой вид: при =0 и = должно 0 0 С в о б о д н ы й к р а й СВ На свободном краю должны обращаться в нуль изгибающий момент M поперечная сила Q и крутящий момент Н т е

21 вместо двух необходимых условий здесь появляются три условия Такое противоречие связано с тем что задача решается приближенно и поэтому всем граничным условиям точно удовлетворить нельзя Однако это противоречие можно устранить объединив два последних условия Покажем что крутящий момент и поперечную силу на контуре пластинки можно заменить одной силой статически им эквивалентной Рассмотрим крутящий момент Н распределенный вдоль грани СВ параллельной оси : (рис 7 ) На длине d действует крутящий момент равный Hd Этот момент можно представить в виде двух вертикальных противоположно направленных сил Н с плечом d (рис 7 б) На соседнем элементе d крутящий момент будет больше на бесконечно малую величину и H равен H dd Его также можно представить в виде двух вертикальных противоположно направленных сил H H d c плечом d Такую замену крутящих моментов вертикальными силами можно осуществить по всей длине грани СВ На границе каждого бесконечно малого участка d за исключением крайних точек С и В будут действовать по две противоположно направленные силы разность между которыми равна H d Рис 7 Следовательно вдоль грани СВ будет действовать вертикальная H распределенная по длине нагрузка интенсивностью (рис 7 в) В точках же С и будут возникать сосредоточенные силы H c и H Полученную вертикальную нагрузку можно объединить с поперечной силой Q и считать что на грани СВ действует приведённая поперечная сила интенсивностью прив H Q Q (8) Аналогично вдоль граней контура пластинки параллельных оси у будет действовать приведенная поперечная сила с интенсивностью прив H Q Q (9) Производные крутящего момента по х и у найдем по формулам ():

22 H H D D Подставляя в формулы (9) и (8) значения поперечных сил (0) и производных крутящего момента (а) получаем: прив Q D (0) прив Q D Таким образом на каждой грани пластинки вместо трех усилий: изгибающего момента крутящего момента и поперечной силы можно рассматривать только два усилия: изгибающий момент и приведенную поперечную силу На рис8 показаны положительные направления этих приведенных поперечных сил на всех гранях прямоугольной пластинки а также сосредоточенных сил возникающих в углах пластинки Рис 8 Следовательно на свободной от закрепления грани вместо трех условий М у =0 Q =0 H=0 можно потребовать удовлетворения лишь двух условий Му=0 и Q прив =0 (б) Конечно при этом граничные условия будут удовлетворяться приближенно Но на основании принципа Сен-Венана такая замена поперечной силы и крутящего момента статически им эквивалентной приведенной поперечной силой вызовет лишь местные напряжения вблизи рассматриваемого края пластинки Внесем в условия (б) выражения изгибающего момента M (9) и прив приведенной поперечной силы Q (0) Тогда на свободной грани СВ при у= должно быть: 0 ()

23 8 Эллиптическая пластинка Рассмотрим задачу об изгибе эллиптической в плане пластинки жестко защемленной по контуру Пластинка нагружена равномерным давлением q=cost Уравнение контура эллиптической пластинки (рис 8) имеет вид 0 () Зададимся функцией прогибов в форме C (б) где С произвольная постоянная Решение в виде (б) удовлетворяет граничным условиям защемленного края Прогиб на контуре обращается в нуль так как в скобках стоит выражение равное нулю для любой точки контура Производные функции прогибов равны: C C Эти производные для любой точки контура также обращаются в нуль Таким образом и прогибы и углы поворота срединной плоскости на контуре пластинки равны нулю

24 Рис9 Для определения С подставим функцию в уравнение Софи Жермен (6): С 8C C q D откуда q C 6 D Так как С является постоянной величиной то и q должно быть постоянным Следовательно функция (б) является решением дифференциального уравнения (6) при поперечной нагрузке q равномерно распределенной по поверхности пластинки Подставим постоянную С из формулы (в) в функцию (б): q 6 () D Итак мы получили функцию прогибов изогнутой срединной поверхности эллиптической в плане пластинки защемленной по контуру и загруженной сплошной равномерно распределенной поперечной нагрузкой q Характер изгиба срединной поверхности пластинки показан на рис 9 Максимальный прогиб возникает в центре пластинки при ==0:

25 6 m D q () Сравнивая формулы (в) и () заключаем что постоянная С равна прогибу в центре пластинки Подсчитаем усилия возникающие в пластинке Подставляя функцию прогибов (б) в формулы (9) находим изгибающие моменты в рассматриваемой пластинке: CD M CD M () Изгибающие моменты в центре пластинки: СD M СD M (г) Изгибающие моменты у краев большой полуоси: CD M CD M (д) а у краев малой полуоси: CD M CD M (е) Подставив функцию прогибов (б) в формулу () получим формулу для

26 вычисления крутящих моментов в пластинке: H 8CD () Полагая здесь х=0 или =0 заключаем что на осях симметрии рассматриваемой пластинки крутящий момент равен нулю Поперечные силы найдем подстановкой в формулы (0) функции прогибов (б): 8CD Q (5) 8CD Q В центре пластинки поперечные силы равны нулю а по краям полуосей 8CD Q 0 Q 0 0 Q 0 0 Q 8CD 0 Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для эллиптической пластинки с отношением полуосей 5 и коэффициентом Пуассона v=0 показаны на рис 9 К р у г л у ю пластинку защемленную по контуру и загруженную равномерно распределенной нагрузкой q можно рассматривать как частный случай эллиптической пластинки при =а Тогда по формуле () получаем максимальный прогиб в центре круглой пластинки: Рис 0 q m (6) 6 D По формулам (г) находим изгибающие моменты в центре пластинки: CD q M 00 M 00 6 Здесь подставлено значение постоянной С которое

27 согласно формуле (в) для круглой пластинки равно: q C 6D По формулам (д) определяем изгибающие моменты в точках контура круглой пластинки в сечении совпадающем с радиусом: q M M 8 и в сечении перпендикулярном радиусу: 0 q M M 0 8 Эпюры изгибающих моментов для круглой пластинки из материала с коэффициентом Пуассона v =0 изображены на рис 0 9 Прямоугольная пластинка Решение Навье Для прямоугольной пластинки решение уравнения Софи Жермен (6) в конечном виде получить не удается приходится его искать в виде бесконечного ряда Рассмотрим прямоугольную пластинку (рис ) шарнирно опертую по контуру и загруженную поперечной нагрузкой интенсивностью q ( у) изменяющейся по любому закону Начало координат расположим в углу пластинки Размер пластинки в направлении оси х равен а а в Рис направлении оси Решение уравнения Софи Жермен (6) будем искать в виде двойного тригонометрического ряда по синусам: m si si () m где m постоянные числа коэффициенты ряда; т и целые положительные числа Ряд (а) можно представить в развернутом виде следующим образом m si si si si si si si si Для шарнирно опертой по контуру пластинки имеем следующие граничные условия: при х=0 и х=а

28 должно быть при =0 и = должно быть 0 и 0 и (б) (в) Убедимся что ряд (а) удовлетворяет этим условиям Действительно на грани пластинки при х=0 si m si 0 0 и следовательно прогиб (0 )=0 На грани = m si si m 0 а значит и прогиб (а )=0 Точно так же обращаются в нуль прогибы на гранях у=0 и у= Таким образом граничные условия (б) и (в) для прогибов выполняются Вторые производные функции прогибов m m m m m m si si m si si В эти производные входят синусы тех же аргументов что и в функцию прогибов (а) Поэтому вторые производные прогибов и обращаются в нуль на всех гранях пластинки при х = 0 х = =0 и = Следовательно граничные условия (б) и (в) для изгибающих моментов также выполняются Определим коэффициенты ряда (а) Для этого подставим функцию прогибов (а) в уравнение Софи Жермен (6) После упрощения получим: m m D m si si q (г) m Чтобы определить коэффициенты ряда входящего в левую часть уравнения (г) необходимо и правую часть этого уравнения разложить в тригонометрический ряд Представляя нагрузку в виде двойного

29 тригонометрического ряда Фурье по синусам на прямоугольной области 0 0 получаем: m q Cm si si (д) m Коэффициенты этого ряда определяются по формуле известной из курса математического анализа: m Cm q si si dd (e) 00 Подставляя ряд (д) в уравнение (г) получаем: D m m m m Cm si si m Два ряда равны между собой если равны между собой соответствующие члены обоих рядов Таким образом m D m C m Подставляя сюда С m из формулы (e) находим коэффициенты ряда (а) в такой форме: m m q si si dd (ж) m 00 D Итак функция (а) является решением поставленной задачи так как она удовлетворяет условиям на контуре пластинки и при выборе коэффициентов ряда в форме (ж) удовлетворяет дифференциальному уравнению изгиба пластинки Дальнейшая конкретизация задачи зависит от вида функции q( у) Рассмотрим некоторые частные случаи Нагрузка равномерно распре деленная по всей поверхности пластинки В этом случае q( у) = q = cost Тогда по формуле (ж) находим: q m m si dsi d (з) m 0 0 D После интегрирования получаем следующее значение коэффициентов ряда (а) при загружении пластинки равномерно распределенной нагрузкой: m si si

30 6q m 6 m D m m 5 ; 5 После подстановки этих коэффициентов в ряд (а) находим выражение функции прогибов: m si si 6q 6 (7) D m m m (m = 5 ; = 5 ) Максимальный прогиб возникающий в центре пластинки при и равен: m si si 6q m 6 D m m m (m= 5 ; =; 5 ) Подставляя сюда значение цилиндрической жесткости из формулы (8) и вынося за скобку а получаем: m si si 9q m 6 Eh m m m (m= 5 ; =; 5 ) Для практического использования получаемых результатов составляют таблицы Большую работу по составлению таблиц для различных случаев загружения и закрепления краев пластинок проделал акад Б Г Галеркин Для табулирования последнюю формулу удобно представить в таком виде: q m Eh где коэффициент

31 si si 9 6 m m m m (m=l 5 ; = 5 ) зависит только от отношения сторон пластинки Входящий сюда ряд очень быстро сходится Так сохраняя четыре члена ряда и принимая v=0 находим для квадратной пластинки ( ) что равно точному значению приводимому в справочной литературе Изгибающие моменты получим подставляя в формулы (9) функцию прогибов (7): si si 6 si si 6 m m m m m m q M m m m m q M (m=l 5 ; =l 5 ) Максимальные изгибающие моменты возникают в центре пластинки при и где они равны:

32 si si 6 m si si 6 m m m m m m m q M m m m m q M (m=l 5 ; =l 5 ) Для составления таблиц изгибающие моменты представляют в таком виде: m m q M q M где коэффициенты β и β являются функциями отношения сторон пластинки Ряды в этих функциях сходятся медленнее чем в функции α Так если подсчитать коэффициент β для квадратной пластинки сохраняя четыре члена ряда получим: в то время как точное значение приводимое в таблицах β = 0079 Следовательно при сохранении четырех членов ряда значение коэффициента β отличается от точного его значения на % Значение поперечных сил найдем подставив функцию прогибов (7) в формулы (0):

33 m cos si 6q Q m m m si cos 6q Q m m m (m=l 5 ; =l 5 ) Максимальные значения поперечные силы получают посередине сторон контура пластинки Так m Q возникает в точках с координатами =0 и = m Q в точках с координатами =0 и = где имеем: si 6q m Q m m m si 6q m Q m m m (m= 5 ; = 5 ) Для табулирования эти функции представляют в таком виде: m Q = γq m Q = γ q где коэффициенты γ и γ являются функциями отношения сторон пластинки Ряды в этих функциях сходятся еще медленнее Рис

34 чем в функциях β и β Так сохраняя как и в предыдущих случаях то же число членов ряда получаем для квадратной пластинки: что отличается от точного значения равного 08 на 6% Сосредоточенная сила в точке с координатами х = х 0 и = 0 (рис) Представим эту сосредоточенную силу в виде распределенной нагрузки на бесконечно малой площадке dd вокруг точки (х 0 у 0 ): P q dd При вычислении двойного интеграла в формуле (ж) следует учесть что он обращается в нуль везде кроме точки (х 0 у 0 ) где он равен: m m q dd P 0 0 si si si si 00 Подставляя это значение в формулу (ж) получаем следующее выражение для коэффициентов ряда (а): m m Psi si m D 0 0 q m si si dd а подставляя это выражение в ряд (а) находим функцию прогибов пластинки: m si 0 si 0 P si si m (8) D m m m Полученный ряд сходится медленнее чем ряд (7) Зная функцию прогибов обычным порядком можно найти изгибающие моменты поперечные силы и крутящие моменты Ряды входящие в эти функции сходятся еще хуже поэтому полученные результаты могут быть рекомендованы только для нахождения прогибов Для вычисления же изгибающих моментов а тем более поперечных сил применять этот метод не рационально 0 Прямоугольная пластинка Решение Леви Решение Навье рассмотренное в предыдущем параграфе пригодно только

35 для прямоугольных пластинок шарнирно опертых по контуру Более общим является решение Мориса Леви Это решение пригодно для прямоугольной пластинки два противоположных края которой шарнирно оперты а два других имеют любое закрепление: защемление шарнирное опирание свободный край У прямоугольной пластинки изображенной на рис шарнирно опертыми являются края ОС и АВ Граничные условия на этих краях имеют следующий вид: при х=0 и х= должно быть =0 и 0 Чтобы выполнить эти условия функцию прогибов можно взять в таком виде: Y si (б) где Y произвольная функция одного аргумента у Так как при х=0 и х=а siα=0 то функция (б) удовлетворяет условиям (а) для прогибов Чтобы проверить условия (а) для изгибающих моментов подсчитаем вторые частные производные функции прогибов (б) по х и у: Рис Y si (в) Y si Эти производные аналогично функции прогибов (б) при х = 0 и х = обращаются в нуль и следовательно условия (а) для изгибающих моментов также выполняются Функция (б) должна удовлетворять уравнению Софи Жермен (6) Подставляя функцию (б) в уравнение (6) получаем: q IV Y Y Y si (г) D Для решения уравнения (г) разложим правую его часть в тригонометрический ряд Фурье по синусам

36 q F si (д) D Коэффициенты ряда Фурье F () являются здесь функцией у Так как разложение производится на отрезке 0 то коэффициенты ряда Фурье F () определяют по известной из курса математического анализа формуле: F q si d (e) D 0 Подставим ряд (д) в уравнение (г): или IV Y Y Y si F si Вынося знак суммирования за скобку получаем: IV Y Y Y F si 0 Это условие выполняется если каждый член ряда равен нулю: Y IV Y Y F IV 0 Y Y F Y (ж) Решение неоднородного дифференциального уравнения четвертого порядка (ж) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения (ж) Однородное уравнение соответствующее неоднородному уравнению (ж) имеет такой вид: Y Y 0 (з) Его решение можно представить так: Y ch ch Csh D sh (и) Обозначив F частное решение уравнения (ж) получим его общее решение в таком виде: Y ch ch Csh D sh F (к) Подставляя функцию Y() в формулу (б) находим: Y IV ch ch C sh D sh F si (л) Эта функция является решением уравнения Софи Жермен (6) для поперечной нагрузки q( у) распределенной по поверхности пластинки по любому закону и удовлетворяет граничным условиям на шарнирно опертых краях ОС и АВ Рассмотрим построение частного решения F Согласно правилу Коши частное решение неоднородного дифференциального уравнения четвертого порядка выражается следующим интегралом:

37 tf t dt F (м) 0 где F () правая часть решаемого уравнения определяемая соотношением (е) а ψ() частное решение соответствующего однородного уравнения удовлетворяющее условиям (н) При решении однородного уравнения (з) согласно формуле (и) были получены четыре независимых частных решения: ch у ch sh у sh Из этих решений только следующая комбинация удовлетворяет условиям (н): ch sh (o) Заменив в функциях (о) и (е) аргументы и подставив эти функции в формулу (м) получим искомое частное решение уравнения (ж): F tch t D 0 sh t q t si ddt 0 Для определения произвольных постоянных В С и D используем граничные условия на краях ОА и ВС Рассмотрим пластинку у которой края ОА и ВС жестко защемлены (см рис ) Граничные условия на этих краях при у=0 и у= должно быть: 0и 0 Подставив в них функцию прогибов (б) получим: Y Y 0 si 0 Y 0 si 0 si 0 Y si 0 Так как эти условия должны выполняться при любых значениях аргумента х то должно быть: Y0 0 Y0 0 (д) Y 0 Y 0 Внося в условия (п) функцию (к) получаем систему уравнений для определения постоянных:

38 ch sh 0 C 0 ch C sh D sh F ch sh C sh ch F 0 D откуда находим следующие значения постоянных: 0 C D ch 0 sh chf shf sh chf shf sh sh shf sh chf sh При других закреплениях краев ОА и ВС получаются другие значения постоянных Ряды в функциях прогибов и в ее производных сходятся значительно быстрее чем тригонометрические ряды в решении Навье поэтому решение М Леви более удобно в практических расчетах даже для прямоугольной пластинки шарнирно опертой по всему контуру Понятие о расчете прямоугольной пластинки и бесконечной полосы на упругом основании Рассмотрим прямоугольную пластинку лежащую на сплошном упругом основании и нагруженную поперечной нагрузкой интенсивностью q( у) Снизу на пластинку будут действовать реактивные давления упругого основания (отпор основания) представляющие собой неизвестную функцию координат р(х у) (рис) Рис Для пластинки принимают гипотезы Кирхгофа Кроме того предполагают

39 что существует непрерывный контакт между пластинкой и основанием силы трения и сцепления между пластинкой и поверхностью упругого основания отсутствуют При этих предположениях уравнение Софи Жермен (7) примет следующий вид: D q p (9) Величина реактивного давления на пластинку зависит от перемещения точек основания В настоящее время существует целый ряд гипотез о связи между реактивным давлением р(ху) и прогибом пластинки ( у) Наиболее простой является гипотеза Винклера о пропорциональности реактивного давления прогибам в соответствующих точках: p k (0) Рис 5 Эта гипотеза получила большое распространение благодаря своей простоте но она имеет ряд серьезных недостатков и не всегда приводит к правильным результатам Подходя к задаче с позиций теории упругости можно рассматривать основание как упругое полупространство а в случае плоской задачи как упругую полуплоскость Для установления зависимости между р(х у) и ( у) воспользуемся решением задачи о действии давления р(х у) на поверхность упругого полупространства Давление непрерывно распределено по загруженной площади F В этом случае вертикальные перемещения точек поверхности упругого полупространства определяются следующей зависимостью: p d d 0 () E 0 F где ξ и η координаты центра бесконечно малой нагруженной площадки dξ dη (рис5); х и координаты точки А в которой определяется перемещение; Е 0 и v 0 упругие характеристики основания Решение задачи об отыскании функции прогибов пластинки ( у) сводится к решению системы двух интегро-дифференциальных уравнений (9) и () с удовлетворением условий на контуре пластинки

40 Дальнейшие вычисления напряжений и деформаций в пластинке производят по формулам (6) и (5) Существенные упрощения могут быть достигнуты если использовать идеи БНЖемочкина [] Рис 6 Ленточный фундамент можно рассматривать как бесконечную полосу на упругом основании Если нагрузка вдоль полосы постоянна то полоса находится в условиях плоской деформации Это означает что достаточно рассмотреть полоску выделенную в поперечном направлении длиной а и шириной равной единице (рис 6) Для такой полоски дифференциальное уравнение прогибов вместо (9) примет такой вид: d EI q p () d Зависимость между реактивным давлением р(х) и прогибами полоски () из формулы () преобразуется к следующей: p d 0 E F () Здесь упругие постоянные 0 E 0 E 0 0 так как рассматривается плоская деформация Идея изложенного метода расчета пластинки и бесконечной полосы на упругом полупространстве принадлежит Г Э Проктору Решения систем уравнений (9) () и () () получены в трудах ряда советских ученых На основании этих решений составлены обширные таблицы для расчета пластинок и балок на упругом основании (см например []) Основные уравнения изгиба круглой пластинки Для решения задачи об изгибе круглой пластинки все уравнения изгиба пластинки выведенные в декартовой системе координат преобразуем к полярной системе координат В полярной системе координат прогиб пластинки и нагрузка будут функциями и θ т е ( θ) и q( θ) Тогда дифференциальное уравнение

41 изогнутой срединной поверхности пластинки (6) получит вид q D () Изгибающие моменты в круглой пластинке будем обозначать: М погонный изгибающий момент в сечении перпендикулярном к радиусувектору в рассматриваемой точке радиальный изгибающий момент; М θ погонный изгибающий момент в сечении совпадающем с радиусом-вектором в рассматриваемой точке тангенциальный изгибающий момент Заменяя в формулах (9) производные функции прогибов по х и у на производные по и θ получим формулы для изгибающих моментов в полярной системе координат: D M D M (5) Таким же образом преобразуем формулу для крутящего момента в декартовой системе координат () к полярной системе координат D H (6) Поперечные силы в круглой пластинке обозначим следующим образом: Q погонная поперечная сила на площадке с нормалью радиальная поперечная сила; Q Θ погонная поперечная сила на площадке совпадающей с радиусом-вектором тангенциальная поперечная сила Заменяя в формулах (0) производные по х и у на производные по и θ получаем выражения поперечных сил в полярной системе координат: D Q D Q () или D Q D Q (7) Обозначим Q прив интенсивность приведенной поперечной силы на гранях

42 контура перпендикулярных к радиусу-вектору а Q прив на гранях совпадающих с радиусом-вектором Тогда из формул (8) и (9) после замены переменных х и у на переменные и θ можно получить приведенную поперечную силу на гранях контура учитывающую наличие крутящего момента: Q Q прив прив H Q H Q Подставляя сюда поперечные силы и крутящий момент из формул (а) и (6) находим: Q Q прив прив D D (8) Формулы () (8) представляют собой основные уравнения изгиба пластинок в полярной системе координат Уравнение () служит для определения функции прогибов срединной плоскости пластинки а остальные для составления граничных условий и определения внутренних усилий Осесимметричные задачи изгиба круглой пластинки Задача об изгибе круглой пластинки будет осесимметричной если нагрузка на пластинку а также условия закрепления ее краев не зависят от полярного угла θ В этом случае и прогибы пластинки не будут зависеть от полярного угла θ а будут функцией лишь одной координаты т е =() Тогда дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности () значительно упрощается: q d d d d d d d d D (9) В задачах где функция прогибов не зависит от угла θ формулы (5) для изгибающих моментов принимают вид d d d d D M d d d d D M (0) а крутящий момент (6) обратится в нуль

43 Поперечные силы (7): d d d Q D d d d () Q 0 а приведенные поперечные силы на контуре (8): прив Q Q прив Q 0 Уравнение (9) можно решить в общем виде Как известно общее решение неоднородного дифференциального уравнения состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения т е () Общее решение однородного уравнения d d d d 0 d d d d соответствующего неоднородному уравнению (9) имеет вид C C l C C l Чтобы получить общий вид частного решения уравнение (9) можно представить в виде d d d d q d d d d D Интегрируя последовательно четыре раза это уравнение найдем общий вид частного решения: q( ) d ddd D (б) 0 Пусть нагрузка равномерно распределена по всей поверхности пластинки т е q() = q = cost В этом случае выражение (б) легко интегрируется и принимает следующий вид: q 6D И общее решение неоднородного дифференциального уравнения (9) для нагрузки равномерно распределенной по поверхности пластинки будет: q C C l C C l () 6D Сплошная шарнирн о опертая по контуру пластинка загруженная равномерно распределенной нагрузкой (рис7)

44 Для определения постоянных интегрирования в решении () имеем следующие граничные условия В центре пластинки при =0 прогиб должен иметь конечное значение Так как l0= - то в решении () следует отбросить члены содержащие множитель l т е положить С =С =0 Тогда решение () примет такой вид: q C C (в) 6D Два условия получим на контуре пластинки при =а где должны обращаться в нуль прогиб и радиальный изгибающий момент M те при =а должно быть d 0 и 0 (г) d Подставляя в условия (г) функцию прогибов (в) получаем: q C C 0 6D откуда q 6D C q C 6D C 0 q D q q C D 6D Подставляя найденные постоянные в решение (в) получаем функцию прогибов для пластинки шарнирно опертой по контуру и загруженной равномерно распределенной нагрузкой: q 5 () 6D Максимальный прогиб возникает в центре пластинки при ==0 где он равен: 5 q m (д) 6D Подставляя функцию прогибов () в формулы (0) получаем изгибающие моменты в пластинке: Рис 7

45 q M 6 () q M 6 Максимальные изгибающие моменты возникают в центре пластинки при =0 и равны q m M m M 6 Изгибающие моменты в точках контура при = равны 0 M q M 8 Эпюры изгибающих моментов для пластинки изготовленной из материала с коэффициентом Пуассона v=0 показаны на рис Сплошная защемленная по контуру пластинка загруженная равномерно распределенной нагрузкой (см рис0) Для определения постоянных С и C имеем следующие граничные условия: на внешнем контуре пластинки должны отсутствовать прогибы и повороты сечений т е при =а d должно быть 0 и 0 d Подставляя в эти условия функцию прогибов (в) получаем: q C C 0 6D откуда находим: q C 6D C 0 q D q C 6D и уравнение изогнутой срединной поверхности круглой пластинки (в) для данного случая принимает такой вид: q (5) 6D Максимальный прогиб в центре пластинки при = 0 равен:

46 q m 6D что совпадает с результатом (6) полученным из решения для эллиптической пластинки Из сравнения этого значения с максимальным прогибом в шарнирно опертой пластинке (д) следует что максимальный прогиб защемленной по контуру пластинки в четыре раза меньше максимального прогиба шарнирно опертой пластинки Подставляя функцию прогибов (5) в формулы (0) получаем изгибающие моменты в пластинке: q M 6 (6) q M 6 Изгибающие моменты в центре пластинки при г=0 равны: q M M 6 а на контуре пластинки при = q M 8 q M 8 Эпюры изгибающих моментов для пластинки изготовленной из материала с коэффициентом Пуассона v=0 показаны на рис0 Максимальный изгибающий момент возникает в точках контура на площадках перпендикулярных к радиусу и на 0% меньше максимального изгибающего момента в шарнирно опертой пластинке Кольцевая пластинка с защемленным наружным краем загруженная равномерно распределенной нагрузкой (рис8) Для определения постоянных в функции () имеем следующие граничные условия: на внешнем защемленном краю при =а d должно быть 0 и 0 d на внутреннем свободном краю при = должно быть d d M D 0 d d Рис 8

47 и 0 d d d d d d D Q Q прив Подставляя в эти граничные условия функцию прогибов () получаем следующую систему уравнений: 0 0 l 6 l 6 0 l 6 0 l l 6 C D q C C C C D q C C C C D q C C C C D q C C C C D q Решая эту систему находим: 8 l l l 6 l l l 5 6 D q C D q C D q C D q С (e) где Если ввести обозначения:

48 k l то уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки () после подстановки в него постоянных (е) примет следующий вид: q k k l 8 l (7) 6D Дальнейшее вычисление усилий и напряжений не представляет затруднений и производится как в предыдущих примерах Неосесимметричный изгиб круглой пластинки Для круглой пластины следует использовать разложение искомых функций в тригонометрические ряды по угловой координате φ Положим k 0 k s cosk si k k В аналогичный ряд разложим нагрузку q q k 0 k s cosk q si k k k k (8) (9) В рядах (8) и (9) функции k и q k соответствуют прогибам и нагрузкам симметричным относительно начального радиуса (φ = 0) а функции k и q k кососимметричным Внутренние силовые факторы также представим в виде тригонометрических рядов причем для моментов M M поперечной силы Q приведенной поперечной силы k Q используем разложения вида * s si k M M cosk M k 0 а для крутящего момента М сил Q и Q разложения вида k k k s cosk M M si k M k 0 k k (50) (5) Подставляя разложение (8) в общие формулы (9) ( -?) (5) (5) находим что коэффициенты с индексом (s) в выражениях для силовых s факторов связаны с k точно такими же формулами как и коэффициенты без индекса с k Поэтому выпишем только эти последние формулы:

49 ; ; ; ; * d d k D Q Q k d d d d d d D Q d d k D M d d k d d D M k d d d d D M k k k k k k k k k k k k k k k k k (5) При подстановке рядов (8) и (9) в уравнение (55) для каждого члена ряда получаем независимое уравнение причем (при одинаковом k) уравнения для k и s k совершенно одинаковы Вычислим cos cos cos k k k k k k k k k Следовательно после подстановки выражений (8) и (9) в уравнение (55) для каждого члена разложения будет получено обыкновенное дифференциальное уравнение D q k k k k k k (5) Уравнение (5) есть уравнение типа Эйлера Решение соответствующего однородного дифференциального уравнения следует искать в форме k k (5) Вычислим k k k k k Повторяя вычисление получим k k k k k k k k Таким образом выражение (5) удовлетворяет однородному уравнению соответствующему (5) при четырех значениях α k : α k =± k; α k = ± k

50 Поэтому общим решением уравнения (5) является выражение k 0 k k k k C C C C (55) k 0 где k частное решение неоднородного уравнения Четыре постоянные входящие в формулу (55) позволяют выполнить граничные условия наложенные на функцию k () Решение (55) непригодно при k = 0 и при k = так как в этих случаях корни α k кратные и решения однородного уравнения в форме (55) становятся линейно зависимыми Общие решения уравнения (5) при k = 0 и k = можно найти учитывая что в этих k случаях оператор сводится к ряду последовательно выполняемых дифференцирований: при k = 0 d ; d при k = d d d d Таким образом при k = 0 дифференциальное уравнение (5) принимает вид d d d d0 q0 d d d d (56) D

51 ГЛАВА II НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ Теория поверхностей представляет собой раздел дифференциальной геометрии в котором изучаются общие свойства поверхностей В настоящей главе приведены лишь те сведения из теории поверхностей которые необходимы для понимания изложенной в последующих главах общей теории оболочек Геометрия пространственной кривой Уравнение пространственной кривой можно задать в параметрической форме выразив координаты точки этой линии (например декартовы) в виде функций параметра α: х = х (α); у = у (α); = (α) () Если рассматривать х у как проекции вектора проведенного из начала координат в рассматриваемую точку линии то три уравнения () можно записать в виде одного векторного =(α) () При изменении значения параметра α точка характеризуемая вектором скользит по рассматриваемой кривой В качестве параметра может быть выбрана произвольная величина; нужно лишь чтобы зависимость координат точки от α была непрерывной и однозначной Для этого достаточно чтобы длина кривой s отмеренная от некоторой точки была непрерывной и монотонной функцией α т е s=s(α) () Дадим параметру α два значения α и α которым соответствуют векторы = (α ); = (α ) Нетрудно видеть (рис ) что разность - = Δ изображается вектором по величине и направлению совпадающим с хордой кривой При уменьшении разности Δ α = α α Рис Рис направление вектора Δ приближается к направлению касательной к кривой в

52 точке М а его длина к длине дуги между точками M и M Таким образом в пределе при Δ α 0 получим d= tds где t единичный вектор направленный по касательной к кривой (см рис ) Следовательно единичный вектор касательной может быть вычислен по формуле d t () ds Если учесть зависимость () то d d d t (5) d ds d где параметр имеющий смысл местного масштаба длины на линии (α); ds (6) d Выражение единичного вектора t в декартовых координатах х у можно получить следующим образом: d d d t i j k i d d d (7) d d j k d d где d d d d d d Рассмотрим разность Δt единичных векторов касательной в соседних точках кривой (рис ) Нетрудно убедиться что при сближении дочек M и М этот вектор оказывается нормальным к кривой и лежащим в плоскости включающей две соседние касательные к кривой (в так называемой соприкасающейся плоскости) При этом длина вектора Δt стремится к величине s t где ρ радиус кривизны кривой При переходе к пределу при Δs 0 получим dt (8) ds или учитывая () d (9) ds

53 где - кривизна кривой; ν - единичный вектор направленный по нормали к кривой и лежащий в соприкасающейся плоскости Вектор ν (вектор главной нормали) направлен в сторону вогнутости кривой Выражение (8) в декартовой системе координат имеет вид dt dt d d i ds d d d d d j d d откуда абсолютное значение кривизны d d d d d d d d Единичный вектор являющийся векторным произведением векторов t и ν направлен по бинормали к кривой Тройка единичных взаимноортогональных векторов t ν (pис ) образует так называемый естественный трехгранник (трехгранник Френе) d d k d d d d d d Предположим что точка Δt в которой связан трехгранник Френе движется вдоль кривой с единичной скоростью ds d d d где τ время Поскольку взаимное расположение векторов t v не изменяется соответствующее движение естественного трехгранника можно рассматривать как движение твердого тела: поступательное перемещение вместе с точкой М и вращение относительно этой точки с угловой скоростью Ω Вектор Ω называется вектором Дарбу Поступательное перемещение естественного трехгранника не меняет величин составляющих его векторов Производная (тк движение происходит с единичной скоростью то производные по времени τ и по дуге s совпадают) каждого вектора жестко связанного c трехгранником равна линейной скорости движения его конца обусловленной вращением трехгранника и определяется векторным произведением Ω на этот вектор В частности производные самих единичных векторов выражаются формулами Pис

ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН

ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН ВН ЗАВЬЯЛОВ, ЕА МАРТЫНОВ, ВМ РОМАНОВСКИЙ ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН Учебное пособие Омск Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

Подробнее

РАСЧЕТ ПЛАСТИНКИ НА ИЗГИБ МЕТОДОМ БУБНОВА ГАЛЁРКИНА

РАСЧЕТ ПЛАСТИНКИ НА ИЗГИБ МЕТОДОМ БУБНОВА ГАЛЁРКИНА Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет Расчет пластинки на изгиб методом Бубнова Галеркина: методические указания /Сост ИЮ Смолина, ЛЕ Путеева,

Подробнее

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ... 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ... 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ. СОДЕРЖАНИЕ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ... 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗГИБА ПЛАСТИНКИ... 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ... 9 СИММЕТРИЧНЫЙ

Подробнее

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет)

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет) ВЕСТНИК ЧГПУ им И Я ЯКОВЛЕВА МЕХАНИКА ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ 7 УДК 5975 Мирсалимов М В ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ (Тульский государственный университет) Рассматривается задача механики

Подробнее

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 3. Т. 44, N- 4 35 УДК 539.3 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ИЗГИБА АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН В. Н. Максименко, Е. Г. Подружин Новосибирский государственный технический

Подробнее

Расчет прямоугольной пластины методом конечных разностей

Расчет прямоугольной пластины методом конечных разностей Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Мосты и транспортные тоннели» А. А. Лахтин Расчет прямоугольной пластины методом конечных

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

1. УЧЕБНЫЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ 2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

1. УЧЕБНЫЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ 2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ 3 СОДЕРЖАНИЕ 1. УЧЕБНЫЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ...4 2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ...4 2.1. Цель преподавания дисциплины...4 2.2. Задачи изучения дисциплины...4 2.3. Перечень базовых дисциплин...5 2.4. Перечень дисциплин,

Подробнее

РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ С ЖЕСТКИМ ЦЕНТРОМ, НАГРУЖЕННОЙ ДАВЛЕНИЕМ

РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ С ЖЕСТКИМ ЦЕНТРОМ, НАГРУЖЕННОЙ ДАВЛЕНИЕМ УДК -78 В.Ф. Увакин, В.Б. Олькова РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ С ЖЕСТКИМ ЦЕНТРОМ, НАГРУЖЕННОЙ ДАВЛЕНИЕМ Можно показать, что нелинейные дифферениальные

Подробнее

Не путать прогиб y с координатой y точек сечения балки! Наибольший прогиб балки называется стрелой прогиба (f=y max );

Не путать прогиб y с координатой y точек сечения балки! Наибольший прогиб балки называется стрелой прогиба (f=y max ); Лекция Деформация балок при изгибе Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Метод начальных параметров Универсальное уравнение упругой линии ДЕФОРМАЦИЯ БАЛОК ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ Основные понятия и

Подробнее

СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ

СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ 1 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА 5 Т 6, N- 1 УДК 5393 СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ В Н Максименко, Е Г Подружин Новосибирский государственный технический

Подробнее

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 007. Т. 48, N- 5 УДК 539.3 ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин,

Подробнее

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕУПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКИ, ЧАСТИЧНО ОПЕРТОЙ НА УПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕУПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКИ, ЧАСТИЧНО ОПЕРТОЙ НА УПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ УДК. МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕУПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКИ ЧАСТИЧНО ОПЕРТОЙ НА УПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ д.ф.-м.н. Яровая А. В. асп. Поддубный А. А. УО «Белорусский государственный университет

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

S с плотностью стороннего заряда. По теореме Гаусса

S с плотностью стороннего заряда. По теореме Гаусса 5 Проводники в электрическом поле 5 Проводники Проводниками называются вещества, в которых при включении внешнего поля перемещаются заряды и возникает ток Наиболее хорошими проводниками электричества являются

Подробнее

Введение 1. Вводный раздел 2. Растяжение сжатие 3. Геометрические характеристики поперечных сечений стержня 4. Плоский прямой изгиб

Введение 1. Вводный раздел 2. Растяжение сжатие 3. Геометрические характеристики поперечных сечений стержня 4. Плоский прямой изгиб Введение Настоящая программа базируется на основных разделах следующих дисциплин: Математика; Физика; Теоретическая механика; Сопротивление материалов; Теория упругости и пластичности; Статика, динамика

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

а) Минимальной расстояние между кораблями есть расстояние от точки А до прямой ВС, которое равно

а) Минимальной расстояние между кораблями есть расстояние от точки А до прямой ВС, которое равно 9 класс. 1. Перейдем в систему отсчета, связанную с кораблем А. В этой системе корабль В движется с относительной r r r скоростью Vотн V V1. Модуль этой скорости равен r V vcos α, (1) отн а ее вектор направлен

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ"

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ" ВВЕДЕНИЕ Сопротивление материалов - есть наука о расчете элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. Основными задачами сопротивления

Подробнее

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида: Лекция 9. Вычисление тройного интеграла. Криволинейные системы координат. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в кратных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам

Подробнее

19. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ Основные понятия. Устойчивое и неустойчивое равновесие

19. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ Основные понятия. Устойчивое и неустойчивое равновесие Лекция 19 Понятие об устойчивости систем. Формы и методы определения устойчивости. Задача Эйлера. Условия закрепления концов стержня. Критические напряжения. Расчет на устойчивость. Расчет на устойчивость

Подробнее

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ»

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ» Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ» Контрольные задания по дисциплине «Строительная механика» 1 Оглавление Общие

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

после интегрирования получаем: = 2 pa, то есть формулу Лапласа. Растягивающие напряжение σ , если считать трубу тонкостенной (h<<a), = p.

после интегрирования получаем: = 2 pa, то есть формулу Лапласа. Растягивающие напряжение σ , если считать трубу тонкостенной (h<<a), = p. УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ Рассмотрим круглую трубку длины l, радиуса а, и толщиной h Приложим к ней следующие нагрузки: растягивающую силу Р, крутящий момент М и внутреннее давление р Мысленно вырежем малый

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

Расчет элементов стальных конструкций.

Расчет элементов стальных конструкций. Расчет элементов стальных конструкций. План. 1. Расчет элементов металлических конструкций по предельным состояниям. 2. Нормативные и расчетные сопротивления стали 3. Расчет элементов металлических конструкций

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1.. Кинематика. Кинематика это часть теоретической механики, в которой изучается механическое движение материальных точек и твердых тел. Механическое движение это перемещение

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ФОРМ ИЗГИБА АРОК

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ФОРМ ИЗГИБА АРОК ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2001. Т. 42, N- 4 155 УДК 539.370 ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ФОРМ ИЗГИБА АРОК Л. И. Шкутин Институт вычислительного моделирования СО РАН, 660036 Красноярск

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки Теория напряженного состояния Понятие о тензоре напряжений, главные напряжения Линейное, плоское и объемное напряженное состояние Определение напряжений при линейном и плоском напряженном состоянии Решения

Подробнее

4. Постоянное магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле.

4. Постоянное магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле. 4 Постоянное магнитное поле в вакууме Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле Закон Био-Савара-Лапласа: [ dl, ] db =, 3 4 π где ток, текущий по элементу проводника dl, вектор dl направлен

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СТАТИКА Часть I

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СТАТИКА Часть I Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия Кафедра теоретической механики ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СТАТИКА Часть I Методические указания для решения задач и контрольные

Подробнее

СТАТИКА, КИНЕМАТИКА. Индивидуальные контрольные задания по теоретической механике. Учебно-методическое пособие. Волгодонск 2014

СТАТИКА, КИНЕМАТИКА. Индивидуальные контрольные задания по теоретической механике. Учебно-методическое пособие. Волгодонск 2014 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА План Тригонометрическая форма ряда Фурье Ряд Фурье в комплексной форме Комплексный частотный спектр 3 Мощности в цепях несинусоидального тока Коэффициенты,

Подробнее

ПРОГРАММА вступительных испытаний по дисциплине «Техническая механика»

ПРОГРАММА вступительных испытаний по дисциплине «Техническая механика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет морского и речного

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Томский государственный архитектурно-строительный университет М.О. Моисеенко, О.Н. Попов, Е.В. Евтюшкин, Д.Н. Песцов

Томский государственный архитектурно-строительный университет М.О. Моисеенко, О.Н. Попов, Е.В. Евтюшкин, Д.Н. Песцов Учет взаимосвязи учебного материала предметов теоретической и строительной механики в условиях формирования национальной доктрины инженерного образования Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Геометрические приложения определенного интеграла

Геометрические приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Кривая L на плоскости задается своей параметризацией x = x(t), y = y(t), t [t, T ]. (1) Заметим, что изменяется единственный параметр t. Часто говорят,

Подробнее

Пример 1. Два точечных заряда = 1 нкл и q = 2 нкл находятся на расстоянии d = 10 см друг от

Пример 1. Два точечных заряда = 1 нкл и q = 2 нкл находятся на расстоянии d = 10 см друг от Примеры решения задач к практическому занятию по темам «Электростатика» «Электроемкость Конденсаторы» Приведенные примеры решения задач помогут уяснить физический смысл законов и явлений способствуют закреплению

Подробнее

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет»

Подробнее

Электростатика. Магнитостатика. Электромагнитная индукция. Электрическое поле в проводящей среде.

Электростатика. Магнитостатика. Электромагнитная индукция. Электрическое поле в проводящей среде. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Э.БАУМАНА Л.А.Лунёва, С.Н.Тараненко, В.Г.Голубев, А.В.Козырев, А.В. Купавцев. Электростатика. Магнитостатика. Электромагнитная индукция. Электрическое

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. Примеры решения задач

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. Примеры решения задач Федеральное агентство железнодорожного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

ϕ(r) = Q a + Q 2a a 2

ϕ(r) = Q a + Q 2a a 2 1 Урок 14 Энергия поля, Давление. Силы 1. (Задача.47 Внутри плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием d между ними находится пластинка из стекла, целиком заполняющая пространство между пластинами

Подробнее

Оглавление. 10c. Лекция 9. Определение перемещений при изгибе. Лекция 10. Продольный изгиб прямого стержня. 11с. 99с. Всего

Оглавление. 10c. Лекция 9. Определение перемещений при изгибе. Лекция 10. Продольный изгиб прямого стержня. 11с. 99с. Всего Оглавление Лекция. Введение. Задачи курса. Понятие о расчетной схеме. Лекция. Внутренние силовые факторы. Метод сечений. Напряжения, перемещения и деформации. Лекция. Растяжение. Построение эпюр продольных

Подробнее

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( )

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( ) 6 9 Замена переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Общий случай замены переменной в двойном и тройном интегралах. Якобиан. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет РАБОЧАЯ ПРОГРАММА спецкурса: СОПРОМАТ. ЧАСТЬ 1 Кафедра Газовой и волновой и динамики Лектор - профессор Звягин

Подробнее

y велики; y = p x + 1 Re v t + u v = p y + 1 Re u x + v y = 0 = v y=0 y=0 t=0

y велики; y = p x + 1 Re v t + u v = p y + 1 Re u x + v y = 0 = v y=0 y=0 t=0 Система уравнений пограничного слоя. Знаменательный успех в исследованиях движений жидкости при больших числах Рейнольдса был достигнут в 904 году и связан с именем Л. Прандтля. Прандтль показал как можно

Подробнее

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ТРЁХШАРНИРНЫЕ АРКИ И РАСПОРНЫЕ СИСТЕМЫ

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ТРЁХШАРНИРНЫЕ АРКИ И РАСПОРНЫЕ СИСТЕМЫ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ТРЁХШАРНИРНЫЕ АРКИ И РАСПОРНЫЕ СИСТЕМЫ Общие понятия и определения. Арка - система криволинейных стержней. К статически определимым системам относятся трехшарнирные арки, имеющие

Подробнее

Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Математические модели процесса потери устойчивости динамических систем

Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Математические модели процесса потери устойчивости динамических систем Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Утверждаю: Руководитель ООП: 20 г. Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Математические модели

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КУРСА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» 1.1. Основные определения сопротивления материалов

1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КУРСА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» 1.1. Основные определения сопротивления материалов Введение. Общие понятия и принципы дисциплины «Сопротивление материалов». Реальный объект и расчетная схема. Внешние силовые факторы (классификация). Определение внутренних усилий методом мысленных сечений.

Подробнее

Турнир имени М.В. Ломоносова Заключительный тур 2015 г. ФИЗИКА

Турнир имени М.В. Ломоносова Заключительный тур 2015 г. ФИЗИКА Задача Турнир имени МВ Ломоносова Заключительный тур 5 г ФИЗИКА Небольшой кубик массой m = г надет на прямую горизонтальную спицу, вдоль которой он может перемещаться без трения Спицу закрепляют над горизонтальным

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

7 Координаты центра тяжести

7 Координаты центра тяжести 7 Координаты центра тяжести Используя математический пакет Mm, найти координаты центра тяжести плоской фигуры Результат представить графически Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике Министерство образования и науки, молодежи и спорта Донецкий национальный технический университет Улитин Г.М., Гончаров А.Н. КУРС ЛЕКЦИЙ по высшей математике Учебное пособие Донецк 2011 УДК 51 (075.8)

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА . ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.3. Динамика. Динамика это часть теоретической механики, в которой рассматривается движение материальной точки или тела под действием приложенных сил, а также устанавливается связь

Подробнее

ϕ =, если положить потенциал на

ϕ =, если положить потенциал на . ПОТЕНЦИАЛ. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Потенциал, создаваемый точечным зарядом в точке A, находящейся на, если положить потенциал на бесконечности равным нулю: φ( ). Потенциал, создаваемый в

Подробнее

Содержание. Используемые обозначения Числовые множества и операции с числами... 14

Содержание. Используемые обозначения Числовые множества и операции с числами... 14 Содержание Используемые обозначения... 12 1. Числовые множества и операции с числами... 14 1.1. Числовые множества...............................14 1.2. Числовые промежутки...16 1.3. Признаки делимости...17

Подробнее

Соприкосновение линейчатых развертывающихся поверхностей. А.С. Нитейский, К.Л. Панчук ОмГТУ, каф. ИГ и САПР, г.омск

Соприкосновение линейчатых развертывающихся поверхностей. А.С. Нитейский, К.Л. Панчук ОмГТУ, каф. ИГ и САПР, г.омск Соприкосновение линейчатых развертывающихся поверхностей АС Нитейский, КЛ Панчук ОмГТУ, каф ИГ и САПР, гомск В работах [,] были представлены результаты исследования соприкосновения косых неразвертывающихся)

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Приложение Б (рекомендуемое) Перечень вопросов контроля остаточных знаний по дисциплине «Теория механизмов приборов» ВОПРОСЫ:

Приложение Б (рекомендуемое) Перечень вопросов контроля остаточных знаний по дисциплине «Теория механизмов приборов» ВОПРОСЫ: Приложение Б (рекомендуемое) Перечень вопросов контроля остаточных знаний по дисциплине «Теория механизмов приборов» ВОПРОСЫ: 1. Назначение и основные виды механизмов. 2. Особенности проектирования механизмов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9 9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ 9 9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЛЕКЦИЯ 9 9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Линия пересечения двух поверхностей в общем виде представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на несколько частей. Надо иметь в виду,

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерство образования Российской Федерации САРАПУЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Организация-разработчик: Финансово-технологический колледж ФГБОУ ВПО «Саратовский ГАУ»

Организация-разработчик: Финансово-технологический колледж ФГБОУ ВПО «Саратовский ГАУ» Рабочая программа учебной дисциплины Техническая механика разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта по специальности среднего профессионального образования 70841.51

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , ,

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , , МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ 7, 7, СПБ ГУТ Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика

Подробнее

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения.

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Если тело движется прямолинейно и равномерно, то для определения перемещения тела достаточно знать его скорость и время движения. Но как подойти к

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ» Автономная некоммерческая организация дополнительного образования Учебный Центр при МГТУ им. Н. Э. Баумана «Ориентир» «УТВЕРЖДАЮ» Директор АНО ДО Учебный Центр при МГТУ им. Н.Э.Баумана «Ориентир» ПАНФИЛОВА

Подробнее

Лекция 2. Инварианты плоских кривых

Лекция 2. Инварианты плоских кривых Лекция 2. Инварианты плоских кривых План лекции. Гладкие кривые на плоскости, число вращения, классификация кривых с точностью до гладкой гомотопии, точки самопересечения, число Уитни, теорема Уитни..1

Подробнее

ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА КОЛЕБАНИЯ КОНТАКТНЫХ СЕРДЕЧНИКОВ ГЕРКОНОВ

ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА КОЛЕБАНИЯ КОНТАКТНЫХ СЕРДЕЧНИКОВ ГЕРКОНОВ ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА КОЛЕБАНИЯ КОНТАКТНЫХ СЕРДЕЧНИКОВ ГЕРКОНОВ В.Е. Хроматов, к.т.н., Т.Н. Голубева 5, Россия, г. Москва, ул. Красноказарменная, 4 Московский энергетический институт (Технический

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru. Энергия

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru. Энергия И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Энергия Темы кодификатора ЕГЭ: работа силы, мощность, кинетическая энергия, потенциальная энергия, закон сохранения механической энергии. Мы приступаем к изучению

Подробнее

(1.7) {Γ ζ + [(m2 + 1)(A 2Γ) + m(b + B Γ )]ζ 2 + B m 2 B Γ } m)

(1.7) {Γ ζ + [(m2 + 1)(A 2Γ) + m(b + B Γ )]ζ 2 + B m 2 B Γ } m) 178 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2000. Т. 41, N- 4 УДК 539.3 К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПРОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ В ЛИНЕЙНО-УПРУГОЙ СРЕДЕ И. Ю. Цвелодуб Институт гидродинамики

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Украины Донбасская государственная машиностроительная академия СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по подготовке к практическим занятиям (для студентов всех

Подробнее

3. Магнитное поле Вектор магнитной индукции. Сила Ампера

3. Магнитное поле Вектор магнитной индукции. Сила Ампера 3 Магнитное поле 3 Вектор магнитной индукции Сила Ампера В основе магнитных явлений лежат два экспериментальных факта: ) магнитное поле действует на движущиеся заряды, ) движущиеся заряды создают магнитное

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ТЕОРИЯ КАЧЕНИЯ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ КУЛОНА. Г. П. Черепанов

ТЕОРИЯ КАЧЕНИЯ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ КУЛОНА. Г. П. Черепанов 218 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2014. Т. 55, N- 1 УДК 531.45 ТЕОРИЯ КАЧЕНИЯ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ КУЛОНА Г. П. Черепанов Нью-Йоркская академия наук, Нью-Йорк, США E-mail: genacherepanov@hotmail.com

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Казанский государственный университет Р.Ф. Марданов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного университета 2007 УДК 517.9

Подробнее

применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, решать типовые задачи по основным разделам курса, используя

применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, решать типовые задачи по основным разделам курса, используя Аннотация рабочей программы дисциплины направление подготовки: 23.05.05 Системы обеспечения движения поездов направленность: Телекоммуникационные системы и сети железнодорожного транспорта Дисциплина:

Подробнее

1. Реакция балки на винклеровом основании на действие движущейся нагрузки

1. Реакция балки на винклеровом основании на действие движущейся нагрузки Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics 009, 1), 41-47 УДК 539.3 Динамическая реакция пластины на действие движущейся нагрузки Александр Н.Блинов Институт математики, Сибирский федеральный

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (филиал) ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (филиал) ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (филиал) ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА КАФЕДРА МЕХАНИКИ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКЕ Часть

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

Зависимость скорости от времени

Зависимость скорости от времени И В Яковлев Материалы по физике MathUsru Равноускоренное движение Темы кодификатора ЕГЭ: виды механического движения, скорость, ускорение, уравнения прямолинейного равноускоренного движения, свободное

Подробнее

Коган Е.А., Лопаницын Е.А. РЯДЫ ФУРЬЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Коган Е.А., Лопаницын Е.А. РЯДЫ ФУРЬЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее