ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК"

Транскрипт

1 Львов Геннадий Иванович ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК Учебник

2 ВВЕДЕНИЕ Основные уравнения теории упругости В теории упругости существуют три группы формул которые образуют основные уравнения теории упругости Г р у п п а с т а т и ч е с к и х у р а в н е н и й В эту группу входят дифференциальные уравнения равновесия: Z Y X (0) и условия на поверхности (граничные условия): m l Z m l Y m l X (0) Г р у п п а г е о м е т р и ч е с к и х у р а в н е н и й В эту группу входят формулы Коши: u v v v u u (0) и уравнения сплошности:

3 (0) Г р у п п а ф и з и ч е с к и х у р а в н е н и й В эту группу входят формулы закона Гука: G E G E G E (05) Имея эти зависимости можно приступить непосредственно к решению задачи теории упругости о напряжениях и деформациях возникающих в упругом изотропном теле под действием внешних сил Перечисленные основные уравнения содержат 5 неизвестных функций: o шесть составляющих напряжений: ; o шесть составляющих деформаций: ; o и три составляющие перемещения: v u Для отыскания этих неизвестных функций мы располагаем 5-ю

4 уравнениями: тремя дифференциальными уравнениями равневесия (0) шестью формулами Коши (0) и шестью формулами закона Гука (05) Таким образом с математической точки зрения задача может быть решена и сводится к интегрированию этих пятнадцати уравнений при удовлетворении условий на поверхности (0) Решение указанных уравнений можно вести различными способами в зависимости от того какие величины приняты за основные неизвестные: Решение в п е р е м е щ е н и я х когда за основные неизвестные приняты три составляющие перемещения: u v Решение в н а п р я ж е н и я х когда за основные неизвестные приняты шесть составляющих напряжений: Решение в с м е ш а н н о й ф о р м е когда за основные неизвестные приняты некоторые из перемещений и некоторые из напряжений

5 ГЛАВА I ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК Основные понятия и гипотезы П л а с т и н к о й называется призматическое или цилиндрическое тело высота которого мала по сравнению с размерами в плане Высота такого тела называется толщиной пластинки и обозначается h Плоскость делящая пластинку пополам по толщине называется с р е д и н н о й п л о с к о с т ь ю При изгибе пластинки срединная плоскость превращается в изогнутую срединную поверхность пластинки Линия пересечения боковой поверхности пластинки со срединной плоскостью называется к о н т у р о м пластинки Для исследования деформаций пластинки прямоугольную систему координат будем располагать так чтобы координатная плоскость хоу совпала со срединной плоскостью пластинки Ось будем направлять вниз При таком выборе системы координат составляющая перемещения в направлении оси будет представлять собой прогиб пластинки Положение начала координат в срединной плоскости будем выбирать в каждом рассматриваемом случае в зависимости от очертания контура пластинки и характера закрепления ее краев Пластинки находят широкое применение в машиностроении и других отраслях современной техники Т о н к и м и называются пластинки имеющие отношение толщины к наименьшему характерному размеру в плане примерно в следующих пределах: h 5 80 и величину ожидаемых прогибов не более / h h Пластинки у которых рассчитываются по теории толстых плит а пластинки имеющие прогибы более h рассчитываются по геометрически нелинейной теории гибких пластинок или мембран Теория тонких пластинок основана на следующих гипотезах предложенных Кирхгофом: Гипотеза прямых нормалей: любой линейный элемент нормальный к срединной плоскости пластинки остается прямолинейным и нормальным к срединной поверхности после деформации и длина его не изменяется Любой линейный элемент нормальный к срединной плоскости направлен вдоль оси и следовательно первая часть гипотезы предполагает что прямые

6 углы между этим элементом и осями х и у остаются прямыми т е сдвиги в указанных плоскостях отсутствуют: 0 (7) 0 Допущение о сохранении длины прямолинейного элемента предполагает что линейная деформация в направлении оси отсутствует: 0 () Гипотеза о нерастяжимости срединной плоскости: в срединной плоскости отсутствуют линейные относительные деформации и деформации сдвига те срединная плоскость является нейтральной Следовательно в срединной плоскости перемещения отсутствуют u 0 0 v0 0 () Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластинки Ввиду малости давления между слоями пластинки параллельными срединной плоскости напряжением по сравнению с напряжениями и можно пренебрегать Перемещения и деформации в пластинке Изучение изгиба пластинки начнем с определения перемещений и деформаций Будем исследовать пластинку несущую поперечную нагрузку те нагрузку нормальную к срединной плоскости пластинки Под действием этой нагрузки пластинка получит перемещения Для их определения обратимся к принятым гипотезам Согласно первой гипотезе линейная деформация в направлении оси равна нулю () Подставляя это условие в третью формулу Коши (0) получаем: 0 откуда следует что прогибы пластинки не зависят от координаты т е =( у) Это означает что все точки пластинки лежащие на одной вертикали получают одинаковые прогибы Следовательно достаточно определить прогибы срединной плоскости пластинки чтобы знать прогибы всех ее точек Рассматривая условия для сдвигов () из формул Коши (0) получаем:

7 v 0 u 0 откуда находим производные от составляющих перемещения и и v по координате : u v Интегрируя эти уравнения по получаем: u f( ) () v f ( ) Для вычисления функций f ( у) и f ( у) появившихся при интегрировании уравнений в частных производных воспользуемся гипотезой о нерастяжимости срединной плоскости Согласно этой гипотезе составляющие перемещения u 0 и v 0 на срединной плоскости при =0 равны нулю Подставляя эти условия в формулы (а) получаем: u f ( ) 0 0 v0 f( ) 0 Тогда формулы (а) примут следующий вид: u () v Таким образом составляющие перемещения точек пластинки в направлениях осей х и у выражены через функцию прогибов срединной плоскости пластинки Составляющие деформации в пластинке отличные от нуля найдем с помощью формул Коши (0) подставляя в них значения составляющих перемещения ():

8 v u v u (5) Здесь составляющие деформации так же как и составляющие перемещения в соотношениях () выражены через одну функцию прогибов срединной плоскости пластинки Напряжения в пластинке Теперь перейдем к исследованию напряжений в пластинке Для вычисления нормальных напряжений и возьмем две первые формулы закона Гука (05) и на основании третьей гипотезы отбросим напряжение по сравнению с напряжениями и Тогда получим: E E откуда с учетом формул (5) находим: E E () Четвертая формула закона Гука (05) после подстановки угловой деформации из формул (5) примет такой вид: E E (б) А касательные напряжения в двух других плоскостях после подстановки составляющих деформации из формул () в формулы закона Гука (05) обратятся в нуль:

9 E 0 E 0 Однако в действительности эти касательные напряжения не равны нулю такой результат получен только вследствие принятых ранее гипотез и противоречит условиям равновесия Для отыскания этих напряжений рассмотрим дифференциальные уравнения равновесия (0) Пренебрегая объемными силами из первого уравнения находим: Подставим сюда напряжения из формул (а) и (б): E E ' После упрощения получаем: E или E Интегрируя по находим: E f (в) Для определения произвольной функции f (х у) имеем следующие граничные условия: на верхней и нижней поверхностях пластинки нет h касательных нагрузок те при должно быть 0 Подставляя эти условия в формулу (в) получаем: 0 Eh f 8 откуда находим искомую функцию: Eh f 8 и вводя ее в формулу (в) получаем:

10 h Eh (г) Решая таким же путем второе уравнение равновесия (0) относительно напряжения находим: h Eh (д) Итак в сечениях пластинки перпендикулярных к ее срединной плоскости возникают согласно формулам (а) (б) (г) и (д) следующие напряжения: h E h E E E E (6) На рис показано распределение этих напряжений по толщине пластинки Напряжения и распределяются по линейному закону обращаясь в нуль в точках срединной плоскости а напряжения и

11 Рис распределяются по параболе достигая в точках срединной плоскости максимального значения Так же распределяются касательные напряжения и при поперечном изгибе балок прямоугольного сечения Остается исследовать нормальные напряжения которыми мы пренебрегли по сравнению с напряжениями и Для их определения возьмем третье уравнение равновесия (0) и считая объемные силы равными нулю найдем: Подставим сюда касательные напряжения и из формул (6) После упрощения получаем: E h Интегрируя по находим: E h f (е) Для определения произвольной функции f ( у) рассмотрим случай загружения пластинки поперечной нагрузкой на верхней грани интенсивностью q (х у) а на нижней интенсивностью q ( у) направленными в сторону положительной оси (рис ) В этом случае имеем следующие граничные условия: h при - должно быть q h а при - должно быть q Рис

12 Подставляя эти условия в формулу (е) получаем: Eh q f q Eh Складывая почленно эти соотношения находим: q q = f () откуда произвольная функция q f ( ) q Следовательно формула (е) примет такой вид: q q E h (7) Напряжения подсчитанные по этой формуле имеют тот же порядок что и интенсивность поперечной нагрузки q и составляют незначительную часть от напряжений и В формулах (6) и (7) все напряжения выражены через одну функцию двух переменных ( у) следовательно функция прогибов играет здесь ту же роль что и функция напряжений в плоской задаче Исследуем какие усилия создаются напряжениями (6) в сечениях пластинки нормальных к ее срединной плоскости На рис изображен элемент пластинки вырезанный такими сечениями Рассмотрим вначале площадку этого элемента с нормалью х На этой площадке действуют составляющие напряжений и f Усилия в пластинке На рис показаны положительные величины этих напряжений т е нормальное напряжение направлено по внешней нормали к сечению а касательные в направлении соответствующих положительных координатных Рис осей так как внешняя нормаль к сечению совпадает с положительным направлением оси х Обозначаем через N погонную т е приходящуюся на единицу ширины

13 сечения нормальную силу в сечении с нормалью х Она равна сумме проекций на ось х равнодействующих напряжений в сечении с нормалью х На ось х проектируется только нормальное напряжение Его равнодействующая на бесконечно малой площадке dd равна d d на единицу ширины сечения приходится сила равная d Суммируя эти бесконечно малые проекции по толщине пластинки получаем выражение для погонной нормальной силы: N h h d Подставим сюда нормальное напряжение интеграла величины не зависящие от координаты : N E из формул (6) и вынесем за знак h d Под знаком входящего сюда интеграла стоит нечетная функция а пределы интегрирования отличаются только знаком Следовательно этот интеграл равен нулю а значит и усилие N =0 т е нормальной силы в этом сечении не возникает Далее подсчитаем изгибающий момент Обозначим через М погонный изгибающий момент в сечении с нормалью х Изгибающий момент в рассматриваемом сечении создается нормальными напряжениями Равнодействующая этих напряжений на площадке толщиной d и шириной равной единице равна d а изгибающий момент d Суммируя моменты от напряжения на всех таких площадках по толщине пластинки получаем выражение для погонного изгибающего момента в сечении с нормалью х: M h h d Подставляя сюда значение нормального напряжения из формул (6) и вынося за знак интеграла величины не зависящие от координаты находим: h

14 M h E h После интегрирования получаем: M D Входящая сюда величина d Eh D (8) называется ц и л и н д р и ч е с к о й ж е с т к о с т ь ю п л а с т и н к и и является физической и геометрической характеристикой пластинки при ее изгибе Погонная поперечная сила в сечении с нормалью х равна: Q h h d Подставим в этот интеграл значение касательного напряжения (6): Q E h h h d из формул После интегрирования находим: Q D Погонную сдвигающую силу S получаем проектируя напряжения в этом сечении на ось у: S h h Подставляя касательное напряжение из формул (6) находим: S =0 т е сдвигающая сила в этом сечении равна нулю Погонный крутящий момент в сечении с нормалью х равен: d

15 M h h d После подстановки касательного напряжения интегрирования находим: из формул (6) и M D () Аналогично найдем усилия действующие в сечении с нормалью у (см рис): погонный изгибающий момент M D погонная поперечная сила Q D и погонный крутящий момент M D (б) Сравнивая формулы (а) и (б) получаем что M = M =H Таким образом в сечениях пластинки перпендикулярных к ее срединной плоскости под действием поперечной нагрузки возникают следующие погонные усилия: изгибающие моменты: M D (9) M D поперечные силы: Q D (0) Q D и крутящий момент

16 H D () Все эти усилия выражены через прогибы срединной плоскости пластинки На рис показаны положительные значения найденных усилий причем положительные направления усилий совпадают с направлением действия соответствующих положительных составляющих напряжений 5 Выражения напряжений через усилия Формулы полученные в предыдущем параграфе позволяют определять моменты и поперечные силы в любой точке срединной плоскости пластинки По их Рис величине можно найти напряжения в любой точке пластинки Действительно сравнивая формулы нормальных напряжений и (6) с формулами изгибающих моментов М и M (9) получаем: M h (а) M h Полученные формулы соответствуют формулам для определения нормальных напряжений при изгибе балки прямоугольного сечения- В них входит момент инерции прямоугольного сечения при ширине сечения равной единице т е h h J И формулы (а) принимают вид известный из курса сопротивления материалов: M M J J h Максимальные нормальные напряжения возникают при : M m W () M m W Здесь

17 J h W h 6 момент сопротивления прямоугольного сечения шириной равной единице Из сравнения формул (6) и () следует: H h h Максимальные касательные напряжения возникают при и равны: 6 m H h Для определения вертикальных касательных напряжений сравниваем формулы (6) и (0) В результате получаем: 6Q h h 6Q h h Аналогичные результаты получены в сопротивлении материалов по формуле Журавского для балки прямоугольного сечения шириной равной единице Максимальные напряжения возникают в точках срединной плоскости при =0 где они равны: Q m h Q m h 6 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки В предыдущих параграфах напряжения и усилия в пластинке выражены через прогибы срединной плоскости пластинки ( у) Следовательно для определения напряжений и усилий необходимо знать функцию прогибов срединной плоскости пластинки Вырежем из срединной плоскости пластинки бесконечно малый элемент dd и покажем действующие на него нагрузки (рис 5) На грани Ос элемента срединной плоскости действует погонная поперечная сила Q При проектировании погонную силу следует умножать на длину d грани на которой она действует

18 На грани а отстоящей от грани Ос на бесконечно малом расстоянии d поперечная сила получает бесконечно малое приращение и равна Q Q d Аналогично на гранях Оа и с Рис 5 элемента срединной плоскости действуют соответственно погонные Q поперечные силы Q и Q d Нормально к срединной плоскости пластинки действует поверхностная нагрузка интенсивностью q Рассматриваемый элемент срединной плоскости находится в равновесии следовательно должны выполняться шесть условий равновесия: три уравнения проекций на координатные оси и три уравнения моментов относительно этих осей Спроектируем все силы изображенные на рис на ось : Q Q Q dd Qd Q d d Qd qdd 0 После упрощения получаем: Q Q q () Уравнение моментов всех сил относительно оси у дает: M H M dd M d H dd Hd Q d Q dd d Qd Q d d Q d d q dd 0 После упрощения получаем:

19 Q H M () Аналогично из уравнения моментов относительно оси х получаем: Q M H (5) Из уравнений-() - (5) исключим поперечные силы В результате получим: q M H M Подставив в полученное уравнение моменты из формул (9) и () найдем: q D откуда после упрощения получим: q D (6) или 0 q D (7) Полученное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки его обычно называют у р а в н е н и е м С о ф и Ж е р м е н Уравнение Софи Жермен должно быть дополнено граничными условиями Условия на контуре пластинки зависят от характера закрепления ее краев Условия на контуре пластинки На контуре пластинки в зависимости от характера закрепления краев могут быть заданы прогибы и углы поворота срединной плоскости изгибающие и крутящие моменты поперечные силы Условия при которых на контуре

20 задаются прогибы или углы поворота срединной плоскости называются г е о м е т р и ч е с к и м и С т а т и ч е с к и м и называются условия при которых на контуре задаются изгибающие моменты или поперечные силы Если же на контуре заданы одновременно и перемещения и усилия условия называются с м е ш а н н ы м и На каждом крае следует задать два граничных условия Сформулируем граничные условия для различных закреплений краев пластинки Для этого рассмотрим прямоугольную пластинку (рис 6) Рис6 З а щ е м л е н н ы й к р а й O В защемлении отсутствуют прогибы и невозможен поворот нормального элемента относительно оси х В связи с этим имеем следующие условия: при у=0 должно быть 0 0 Ш а р н и р н о о п е р т ы е к р а я ОС и АВ На шарнирных краях прогибы и изгибающие моменты равны нулю т е =0 и M =0 Выражая изгибающий момент через прогибы пластинки согласно формулам (9) последнее условие можно представить так: 0 Поэтому граничные условия на шарнирно опертых краях ОС и АВ принимают такой вид: при =0 и = должно 0 0 С в о б о д н ы й к р а й СВ На свободном краю должны обращаться в нуль изгибающий момент M поперечная сила Q и крутящий момент Н т е

21 вместо двух необходимых условий здесь появляются три условия Такое противоречие связано с тем что задача решается приближенно и поэтому всем граничным условиям точно удовлетворить нельзя Однако это противоречие можно устранить объединив два последних условия Покажем что крутящий момент и поперечную силу на контуре пластинки можно заменить одной силой статически им эквивалентной Рассмотрим крутящий момент Н распределенный вдоль грани СВ параллельной оси : (рис 7 ) На длине d действует крутящий момент равный Hd Этот момент можно представить в виде двух вертикальных противоположно направленных сил Н с плечом d (рис 7 б) На соседнем элементе d крутящий момент будет больше на бесконечно малую величину и H равен H dd Его также можно представить в виде двух вертикальных противоположно направленных сил H H d c плечом d Такую замену крутящих моментов вертикальными силами можно осуществить по всей длине грани СВ На границе каждого бесконечно малого участка d за исключением крайних точек С и В будут действовать по две противоположно направленные силы разность между которыми равна H d Рис 7 Следовательно вдоль грани СВ будет действовать вертикальная H распределенная по длине нагрузка интенсивностью (рис 7 в) В точках же С и будут возникать сосредоточенные силы H c и H Полученную вертикальную нагрузку можно объединить с поперечной силой Q и считать что на грани СВ действует приведённая поперечная сила интенсивностью прив H Q Q (8) Аналогично вдоль граней контура пластинки параллельных оси у будет действовать приведенная поперечная сила с интенсивностью прив H Q Q (9) Производные крутящего момента по х и у найдем по формулам ():

22 H H D D Подставляя в формулы (9) и (8) значения поперечных сил (0) и производных крутящего момента (а) получаем: прив Q D (0) прив Q D Таким образом на каждой грани пластинки вместо трех усилий: изгибающего момента крутящего момента и поперечной силы можно рассматривать только два усилия: изгибающий момент и приведенную поперечную силу На рис8 показаны положительные направления этих приведенных поперечных сил на всех гранях прямоугольной пластинки а также сосредоточенных сил возникающих в углах пластинки Рис 8 Следовательно на свободной от закрепления грани вместо трех условий М у =0 Q =0 H=0 можно потребовать удовлетворения лишь двух условий Му=0 и Q прив =0 (б) Конечно при этом граничные условия будут удовлетворяться приближенно Но на основании принципа Сен-Венана такая замена поперечной силы и крутящего момента статически им эквивалентной приведенной поперечной силой вызовет лишь местные напряжения вблизи рассматриваемого края пластинки Внесем в условия (б) выражения изгибающего момента M (9) и прив приведенной поперечной силы Q (0) Тогда на свободной грани СВ при у= должно быть: 0 ()

23 8 Эллиптическая пластинка Рассмотрим задачу об изгибе эллиптической в плане пластинки жестко защемленной по контуру Пластинка нагружена равномерным давлением q=cost Уравнение контура эллиптической пластинки (рис 8) имеет вид 0 () Зададимся функцией прогибов в форме C (б) где С произвольная постоянная Решение в виде (б) удовлетворяет граничным условиям защемленного края Прогиб на контуре обращается в нуль так как в скобках стоит выражение равное нулю для любой точки контура Производные функции прогибов равны: C C Эти производные для любой точки контура также обращаются в нуль Таким образом и прогибы и углы поворота срединной плоскости на контуре пластинки равны нулю

24 Рис9 Для определения С подставим функцию в уравнение Софи Жермен (6): С 8C C q D откуда q C 6 D Так как С является постоянной величиной то и q должно быть постоянным Следовательно функция (б) является решением дифференциального уравнения (6) при поперечной нагрузке q равномерно распределенной по поверхности пластинки Подставим постоянную С из формулы (в) в функцию (б): q 6 () D Итак мы получили функцию прогибов изогнутой срединной поверхности эллиптической в плане пластинки защемленной по контуру и загруженной сплошной равномерно распределенной поперечной нагрузкой q Характер изгиба срединной поверхности пластинки показан на рис 9 Максимальный прогиб возникает в центре пластинки при ==0:

25 6 m D q () Сравнивая формулы (в) и () заключаем что постоянная С равна прогибу в центре пластинки Подсчитаем усилия возникающие в пластинке Подставляя функцию прогибов (б) в формулы (9) находим изгибающие моменты в рассматриваемой пластинке: CD M CD M () Изгибающие моменты в центре пластинки: СD M СD M (г) Изгибающие моменты у краев большой полуоси: CD M CD M (д) а у краев малой полуоси: CD M CD M (е) Подставив функцию прогибов (б) в формулу () получим формулу для

26 вычисления крутящих моментов в пластинке: H 8CD () Полагая здесь х=0 или =0 заключаем что на осях симметрии рассматриваемой пластинки крутящий момент равен нулю Поперечные силы найдем подстановкой в формулы (0) функции прогибов (б): 8CD Q (5) 8CD Q В центре пластинки поперечные силы равны нулю а по краям полуосей 8CD Q 0 Q 0 0 Q 0 0 Q 8CD 0 Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для эллиптической пластинки с отношением полуосей 5 и коэффициентом Пуассона v=0 показаны на рис 9 К р у г л у ю пластинку защемленную по контуру и загруженную равномерно распределенной нагрузкой q можно рассматривать как частный случай эллиптической пластинки при =а Тогда по формуле () получаем максимальный прогиб в центре круглой пластинки: Рис 0 q m (6) 6 D По формулам (г) находим изгибающие моменты в центре пластинки: CD q M 00 M 00 6 Здесь подставлено значение постоянной С которое

27 согласно формуле (в) для круглой пластинки равно: q C 6D По формулам (д) определяем изгибающие моменты в точках контура круглой пластинки в сечении совпадающем с радиусом: q M M 8 и в сечении перпендикулярном радиусу: 0 q M M 0 8 Эпюры изгибающих моментов для круглой пластинки из материала с коэффициентом Пуассона v =0 изображены на рис 0 9 Прямоугольная пластинка Решение Навье Для прямоугольной пластинки решение уравнения Софи Жермен (6) в конечном виде получить не удается приходится его искать в виде бесконечного ряда Рассмотрим прямоугольную пластинку (рис ) шарнирно опертую по контуру и загруженную поперечной нагрузкой интенсивностью q ( у) изменяющейся по любому закону Начало координат расположим в углу пластинки Размер пластинки в направлении оси х равен а а в Рис направлении оси Решение уравнения Софи Жермен (6) будем искать в виде двойного тригонометрического ряда по синусам: m si si () m где m постоянные числа коэффициенты ряда; т и целые положительные числа Ряд (а) можно представить в развернутом виде следующим образом m si si si si si si si si Для шарнирно опертой по контуру пластинки имеем следующие граничные условия: при х=0 и х=а

28 должно быть при =0 и = должно быть 0 и 0 и (б) (в) Убедимся что ряд (а) удовлетворяет этим условиям Действительно на грани пластинки при х=0 si m si 0 0 и следовательно прогиб (0 )=0 На грани = m si si m 0 а значит и прогиб (а )=0 Точно так же обращаются в нуль прогибы на гранях у=0 и у= Таким образом граничные условия (б) и (в) для прогибов выполняются Вторые производные функции прогибов m m m m m m si si m si si В эти производные входят синусы тех же аргументов что и в функцию прогибов (а) Поэтому вторые производные прогибов и обращаются в нуль на всех гранях пластинки при х = 0 х = =0 и = Следовательно граничные условия (б) и (в) для изгибающих моментов также выполняются Определим коэффициенты ряда (а) Для этого подставим функцию прогибов (а) в уравнение Софи Жермен (6) После упрощения получим: m m D m si si q (г) m Чтобы определить коэффициенты ряда входящего в левую часть уравнения (г) необходимо и правую часть этого уравнения разложить в тригонометрический ряд Представляя нагрузку в виде двойного

29 тригонометрического ряда Фурье по синусам на прямоугольной области 0 0 получаем: m q Cm si si (д) m Коэффициенты этого ряда определяются по формуле известной из курса математического анализа: m Cm q si si dd (e) 00 Подставляя ряд (д) в уравнение (г) получаем: D m m m m Cm si si m Два ряда равны между собой если равны между собой соответствующие члены обоих рядов Таким образом m D m C m Подставляя сюда С m из формулы (e) находим коэффициенты ряда (а) в такой форме: m m q si si dd (ж) m 00 D Итак функция (а) является решением поставленной задачи так как она удовлетворяет условиям на контуре пластинки и при выборе коэффициентов ряда в форме (ж) удовлетворяет дифференциальному уравнению изгиба пластинки Дальнейшая конкретизация задачи зависит от вида функции q( у) Рассмотрим некоторые частные случаи Нагрузка равномерно распре деленная по всей поверхности пластинки В этом случае q( у) = q = cost Тогда по формуле (ж) находим: q m m si dsi d (з) m 0 0 D После интегрирования получаем следующее значение коэффициентов ряда (а) при загружении пластинки равномерно распределенной нагрузкой: m si si

30 6q m 6 m D m m 5 ; 5 После подстановки этих коэффициентов в ряд (а) находим выражение функции прогибов: m si si 6q 6 (7) D m m m (m = 5 ; = 5 ) Максимальный прогиб возникающий в центре пластинки при и равен: m si si 6q m 6 D m m m (m= 5 ; =; 5 ) Подставляя сюда значение цилиндрической жесткости из формулы (8) и вынося за скобку а получаем: m si si 9q m 6 Eh m m m (m= 5 ; =; 5 ) Для практического использования получаемых результатов составляют таблицы Большую работу по составлению таблиц для различных случаев загружения и закрепления краев пластинок проделал акад Б Г Галеркин Для табулирования последнюю формулу удобно представить в таком виде: q m Eh где коэффициент

31 si si 9 6 m m m m (m=l 5 ; = 5 ) зависит только от отношения сторон пластинки Входящий сюда ряд очень быстро сходится Так сохраняя четыре члена ряда и принимая v=0 находим для квадратной пластинки ( ) что равно точному значению приводимому в справочной литературе Изгибающие моменты получим подставляя в формулы (9) функцию прогибов (7): si si 6 si si 6 m m m m m m q M m m m m q M (m=l 5 ; =l 5 ) Максимальные изгибающие моменты возникают в центре пластинки при и где они равны:

32 si si 6 m si si 6 m m m m m m m q M m m m m q M (m=l 5 ; =l 5 ) Для составления таблиц изгибающие моменты представляют в таком виде: m m q M q M где коэффициенты β и β являются функциями отношения сторон пластинки Ряды в этих функциях сходятся медленнее чем в функции α Так если подсчитать коэффициент β для квадратной пластинки сохраняя четыре члена ряда получим: в то время как точное значение приводимое в таблицах β = 0079 Следовательно при сохранении четырех членов ряда значение коэффициента β отличается от точного его значения на % Значение поперечных сил найдем подставив функцию прогибов (7) в формулы (0):

33 m cos si 6q Q m m m si cos 6q Q m m m (m=l 5 ; =l 5 ) Максимальные значения поперечные силы получают посередине сторон контура пластинки Так m Q возникает в точках с координатами =0 и = m Q в точках с координатами =0 и = где имеем: si 6q m Q m m m si 6q m Q m m m (m= 5 ; = 5 ) Для табулирования эти функции представляют в таком виде: m Q = γq m Q = γ q где коэффициенты γ и γ являются функциями отношения сторон пластинки Ряды в этих функциях сходятся еще медленнее Рис

34 чем в функциях β и β Так сохраняя как и в предыдущих случаях то же число членов ряда получаем для квадратной пластинки: что отличается от точного значения равного 08 на 6% Сосредоточенная сила в точке с координатами х = х 0 и = 0 (рис) Представим эту сосредоточенную силу в виде распределенной нагрузки на бесконечно малой площадке dd вокруг точки (х 0 у 0 ): P q dd При вычислении двойного интеграла в формуле (ж) следует учесть что он обращается в нуль везде кроме точки (х 0 у 0 ) где он равен: m m q dd P 0 0 si si si si 00 Подставляя это значение в формулу (ж) получаем следующее выражение для коэффициентов ряда (а): m m Psi si m D 0 0 q m si si dd а подставляя это выражение в ряд (а) находим функцию прогибов пластинки: m si 0 si 0 P si si m (8) D m m m Полученный ряд сходится медленнее чем ряд (7) Зная функцию прогибов обычным порядком можно найти изгибающие моменты поперечные силы и крутящие моменты Ряды входящие в эти функции сходятся еще хуже поэтому полученные результаты могут быть рекомендованы только для нахождения прогибов Для вычисления же изгибающих моментов а тем более поперечных сил применять этот метод не рационально 0 Прямоугольная пластинка Решение Леви Решение Навье рассмотренное в предыдущем параграфе пригодно только

35 для прямоугольных пластинок шарнирно опертых по контуру Более общим является решение Мориса Леви Это решение пригодно для прямоугольной пластинки два противоположных края которой шарнирно оперты а два других имеют любое закрепление: защемление шарнирное опирание свободный край У прямоугольной пластинки изображенной на рис шарнирно опертыми являются края ОС и АВ Граничные условия на этих краях имеют следующий вид: при х=0 и х= должно быть =0 и 0 Чтобы выполнить эти условия функцию прогибов можно взять в таком виде: Y si (б) где Y произвольная функция одного аргумента у Так как при х=0 и х=а siα=0 то функция (б) удовлетворяет условиям (а) для прогибов Чтобы проверить условия (а) для изгибающих моментов подсчитаем вторые частные производные функции прогибов (б) по х и у: Рис Y si (в) Y si Эти производные аналогично функции прогибов (б) при х = 0 и х = обращаются в нуль и следовательно условия (а) для изгибающих моментов также выполняются Функция (б) должна удовлетворять уравнению Софи Жермен (6) Подставляя функцию (б) в уравнение (6) получаем: q IV Y Y Y si (г) D Для решения уравнения (г) разложим правую его часть в тригонометрический ряд Фурье по синусам

36 q F si (д) D Коэффициенты ряда Фурье F () являются здесь функцией у Так как разложение производится на отрезке 0 то коэффициенты ряда Фурье F () определяют по известной из курса математического анализа формуле: F q si d (e) D 0 Подставим ряд (д) в уравнение (г): или IV Y Y Y si F si Вынося знак суммирования за скобку получаем: IV Y Y Y F si 0 Это условие выполняется если каждый член ряда равен нулю: Y IV Y Y F IV 0 Y Y F Y (ж) Решение неоднородного дифференциального уравнения четвертого порядка (ж) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения (ж) Однородное уравнение соответствующее неоднородному уравнению (ж) имеет такой вид: Y Y 0 (з) Его решение можно представить так: Y ch ch Csh D sh (и) Обозначив F частное решение уравнения (ж) получим его общее решение в таком виде: Y ch ch Csh D sh F (к) Подставляя функцию Y() в формулу (б) находим: Y IV ch ch C sh D sh F si (л) Эта функция является решением уравнения Софи Жермен (6) для поперечной нагрузки q( у) распределенной по поверхности пластинки по любому закону и удовлетворяет граничным условиям на шарнирно опертых краях ОС и АВ Рассмотрим построение частного решения F Согласно правилу Коши частное решение неоднородного дифференциального уравнения четвертого порядка выражается следующим интегралом:

37 tf t dt F (м) 0 где F () правая часть решаемого уравнения определяемая соотношением (е) а ψ() частное решение соответствующего однородного уравнения удовлетворяющее условиям (н) При решении однородного уравнения (з) согласно формуле (и) были получены четыре независимых частных решения: ch у ch sh у sh Из этих решений только следующая комбинация удовлетворяет условиям (н): ch sh (o) Заменив в функциях (о) и (е) аргументы и подставив эти функции в формулу (м) получим искомое частное решение уравнения (ж): F tch t D 0 sh t q t si ddt 0 Для определения произвольных постоянных В С и D используем граничные условия на краях ОА и ВС Рассмотрим пластинку у которой края ОА и ВС жестко защемлены (см рис ) Граничные условия на этих краях при у=0 и у= должно быть: 0и 0 Подставив в них функцию прогибов (б) получим: Y Y 0 si 0 Y 0 si 0 si 0 Y si 0 Так как эти условия должны выполняться при любых значениях аргумента х то должно быть: Y0 0 Y0 0 (д) Y 0 Y 0 Внося в условия (п) функцию (к) получаем систему уравнений для определения постоянных:

38 ch sh 0 C 0 ch C sh D sh F ch sh C sh ch F 0 D откуда находим следующие значения постоянных: 0 C D ch 0 sh chf shf sh chf shf sh sh shf sh chf sh При других закреплениях краев ОА и ВС получаются другие значения постоянных Ряды в функциях прогибов и в ее производных сходятся значительно быстрее чем тригонометрические ряды в решении Навье поэтому решение М Леви более удобно в практических расчетах даже для прямоугольной пластинки шарнирно опертой по всему контуру Понятие о расчете прямоугольной пластинки и бесконечной полосы на упругом основании Рассмотрим прямоугольную пластинку лежащую на сплошном упругом основании и нагруженную поперечной нагрузкой интенсивностью q( у) Снизу на пластинку будут действовать реактивные давления упругого основания (отпор основания) представляющие собой неизвестную функцию координат р(х у) (рис) Рис Для пластинки принимают гипотезы Кирхгофа Кроме того предполагают

39 что существует непрерывный контакт между пластинкой и основанием силы трения и сцепления между пластинкой и поверхностью упругого основания отсутствуют При этих предположениях уравнение Софи Жермен (7) примет следующий вид: D q p (9) Величина реактивного давления на пластинку зависит от перемещения точек основания В настоящее время существует целый ряд гипотез о связи между реактивным давлением р(ху) и прогибом пластинки ( у) Наиболее простой является гипотеза Винклера о пропорциональности реактивного давления прогибам в соответствующих точках: p k (0) Рис 5 Эта гипотеза получила большое распространение благодаря своей простоте но она имеет ряд серьезных недостатков и не всегда приводит к правильным результатам Подходя к задаче с позиций теории упругости можно рассматривать основание как упругое полупространство а в случае плоской задачи как упругую полуплоскость Для установления зависимости между р(х у) и ( у) воспользуемся решением задачи о действии давления р(х у) на поверхность упругого полупространства Давление непрерывно распределено по загруженной площади F В этом случае вертикальные перемещения точек поверхности упругого полупространства определяются следующей зависимостью: p d d 0 () E 0 F где ξ и η координаты центра бесконечно малой нагруженной площадки dξ dη (рис5); х и координаты точки А в которой определяется перемещение; Е 0 и v 0 упругие характеристики основания Решение задачи об отыскании функции прогибов пластинки ( у) сводится к решению системы двух интегро-дифференциальных уравнений (9) и () с удовлетворением условий на контуре пластинки

40 Дальнейшие вычисления напряжений и деформаций в пластинке производят по формулам (6) и (5) Существенные упрощения могут быть достигнуты если использовать идеи БНЖемочкина [] Рис 6 Ленточный фундамент можно рассматривать как бесконечную полосу на упругом основании Если нагрузка вдоль полосы постоянна то полоса находится в условиях плоской деформации Это означает что достаточно рассмотреть полоску выделенную в поперечном направлении длиной а и шириной равной единице (рис 6) Для такой полоски дифференциальное уравнение прогибов вместо (9) примет такой вид: d EI q p () d Зависимость между реактивным давлением р(х) и прогибами полоски () из формулы () преобразуется к следующей: p d 0 E F () Здесь упругие постоянные 0 E 0 E 0 0 так как рассматривается плоская деформация Идея изложенного метода расчета пластинки и бесконечной полосы на упругом полупространстве принадлежит Г Э Проктору Решения систем уравнений (9) () и () () получены в трудах ряда советских ученых На основании этих решений составлены обширные таблицы для расчета пластинок и балок на упругом основании (см например []) Основные уравнения изгиба круглой пластинки Для решения задачи об изгибе круглой пластинки все уравнения изгиба пластинки выведенные в декартовой системе координат преобразуем к полярной системе координат В полярной системе координат прогиб пластинки и нагрузка будут функциями и θ т е ( θ) и q( θ) Тогда дифференциальное уравнение

41 изогнутой срединной поверхности пластинки (6) получит вид q D () Изгибающие моменты в круглой пластинке будем обозначать: М погонный изгибающий момент в сечении перпендикулярном к радиусувектору в рассматриваемой точке радиальный изгибающий момент; М θ погонный изгибающий момент в сечении совпадающем с радиусом-вектором в рассматриваемой точке тангенциальный изгибающий момент Заменяя в формулах (9) производные функции прогибов по х и у на производные по и θ получим формулы для изгибающих моментов в полярной системе координат: D M D M (5) Таким же образом преобразуем формулу для крутящего момента в декартовой системе координат () к полярной системе координат D H (6) Поперечные силы в круглой пластинке обозначим следующим образом: Q погонная поперечная сила на площадке с нормалью радиальная поперечная сила; Q Θ погонная поперечная сила на площадке совпадающей с радиусом-вектором тангенциальная поперечная сила Заменяя в формулах (0) производные по х и у на производные по и θ получаем выражения поперечных сил в полярной системе координат: D Q D Q () или D Q D Q (7) Обозначим Q прив интенсивность приведенной поперечной силы на гранях

42 контура перпендикулярных к радиусу-вектору а Q прив на гранях совпадающих с радиусом-вектором Тогда из формул (8) и (9) после замены переменных х и у на переменные и θ можно получить приведенную поперечную силу на гранях контура учитывающую наличие крутящего момента: Q Q прив прив H Q H Q Подставляя сюда поперечные силы и крутящий момент из формул (а) и (6) находим: Q Q прив прив D D (8) Формулы () (8) представляют собой основные уравнения изгиба пластинок в полярной системе координат Уравнение () служит для определения функции прогибов срединной плоскости пластинки а остальные для составления граничных условий и определения внутренних усилий Осесимметричные задачи изгиба круглой пластинки Задача об изгибе круглой пластинки будет осесимметричной если нагрузка на пластинку а также условия закрепления ее краев не зависят от полярного угла θ В этом случае и прогибы пластинки не будут зависеть от полярного угла θ а будут функцией лишь одной координаты т е =() Тогда дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности () значительно упрощается: q d d d d d d d d D (9) В задачах где функция прогибов не зависит от угла θ формулы (5) для изгибающих моментов принимают вид d d d d D M d d d d D M (0) а крутящий момент (6) обратится в нуль

43 Поперечные силы (7): d d d Q D d d d () Q 0 а приведенные поперечные силы на контуре (8): прив Q Q прив Q 0 Уравнение (9) можно решить в общем виде Как известно общее решение неоднородного дифференциального уравнения состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения т е () Общее решение однородного уравнения d d d d 0 d d d d соответствующего неоднородному уравнению (9) имеет вид C C l C C l Чтобы получить общий вид частного решения уравнение (9) можно представить в виде d d d d q d d d d D Интегрируя последовательно четыре раза это уравнение найдем общий вид частного решения: q( ) d ddd D (б) 0 Пусть нагрузка равномерно распределена по всей поверхности пластинки т е q() = q = cost В этом случае выражение (б) легко интегрируется и принимает следующий вид: q 6D И общее решение неоднородного дифференциального уравнения (9) для нагрузки равномерно распределенной по поверхности пластинки будет: q C C l C C l () 6D Сплошная шарнирн о опертая по контуру пластинка загруженная равномерно распределенной нагрузкой (рис7)

44 Для определения постоянных интегрирования в решении () имеем следующие граничные условия В центре пластинки при =0 прогиб должен иметь конечное значение Так как l0= - то в решении () следует отбросить члены содержащие множитель l т е положить С =С =0 Тогда решение () примет такой вид: q C C (в) 6D Два условия получим на контуре пластинки при =а где должны обращаться в нуль прогиб и радиальный изгибающий момент M те при =а должно быть d 0 и 0 (г) d Подставляя в условия (г) функцию прогибов (в) получаем: q C C 0 6D откуда q 6D C q C 6D C 0 q D q q C D 6D Подставляя найденные постоянные в решение (в) получаем функцию прогибов для пластинки шарнирно опертой по контуру и загруженной равномерно распределенной нагрузкой: q 5 () 6D Максимальный прогиб возникает в центре пластинки при ==0 где он равен: 5 q m (д) 6D Подставляя функцию прогибов () в формулы (0) получаем изгибающие моменты в пластинке: Рис 7

45 q M 6 () q M 6 Максимальные изгибающие моменты возникают в центре пластинки при =0 и равны q m M m M 6 Изгибающие моменты в точках контура при = равны 0 M q M 8 Эпюры изгибающих моментов для пластинки изготовленной из материала с коэффициентом Пуассона v=0 показаны на рис Сплошная защемленная по контуру пластинка загруженная равномерно распределенной нагрузкой (см рис0) Для определения постоянных С и C имеем следующие граничные условия: на внешнем контуре пластинки должны отсутствовать прогибы и повороты сечений т е при =а d должно быть 0 и 0 d Подставляя в эти условия функцию прогибов (в) получаем: q C C 0 6D откуда находим: q C 6D C 0 q D q C 6D и уравнение изогнутой срединной поверхности круглой пластинки (в) для данного случая принимает такой вид: q (5) 6D Максимальный прогиб в центре пластинки при = 0 равен:

46 q m 6D что совпадает с результатом (6) полученным из решения для эллиптической пластинки Из сравнения этого значения с максимальным прогибом в шарнирно опертой пластинке (д) следует что максимальный прогиб защемленной по контуру пластинки в четыре раза меньше максимального прогиба шарнирно опертой пластинки Подставляя функцию прогибов (5) в формулы (0) получаем изгибающие моменты в пластинке: q M 6 (6) q M 6 Изгибающие моменты в центре пластинки при г=0 равны: q M M 6 а на контуре пластинки при = q M 8 q M 8 Эпюры изгибающих моментов для пластинки изготовленной из материала с коэффициентом Пуассона v=0 показаны на рис0 Максимальный изгибающий момент возникает в точках контура на площадках перпендикулярных к радиусу и на 0% меньше максимального изгибающего момента в шарнирно опертой пластинке Кольцевая пластинка с защемленным наружным краем загруженная равномерно распределенной нагрузкой (рис8) Для определения постоянных в функции () имеем следующие граничные условия: на внешнем защемленном краю при =а d должно быть 0 и 0 d на внутреннем свободном краю при = должно быть d d M D 0 d d Рис 8

47 и 0 d d d d d d D Q Q прив Подставляя в эти граничные условия функцию прогибов () получаем следующую систему уравнений: 0 0 l 6 l 6 0 l 6 0 l l 6 C D q C C C C D q C C C C D q C C C C D q C C C C D q Решая эту систему находим: 8 l l l 6 l l l 5 6 D q C D q C D q C D q С (e) где Если ввести обозначения:

48 k l то уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки () после подстановки в него постоянных (е) примет следующий вид: q k k l 8 l (7) 6D Дальнейшее вычисление усилий и напряжений не представляет затруднений и производится как в предыдущих примерах Неосесимметричный изгиб круглой пластинки Для круглой пластины следует использовать разложение искомых функций в тригонометрические ряды по угловой координате φ Положим k 0 k s cosk si k k В аналогичный ряд разложим нагрузку q q k 0 k s cosk q si k k k k (8) (9) В рядах (8) и (9) функции k и q k соответствуют прогибам и нагрузкам симметричным относительно начального радиуса (φ = 0) а функции k и q k кососимметричным Внутренние силовые факторы также представим в виде тригонометрических рядов причем для моментов M M поперечной силы Q приведенной поперечной силы k Q используем разложения вида * s si k M M cosk M k 0 а для крутящего момента М сил Q и Q разложения вида k k k s cosk M M si k M k 0 k k (50) (5) Подставляя разложение (8) в общие формулы (9) ( -?) (5) (5) находим что коэффициенты с индексом (s) в выражениях для силовых s факторов связаны с k точно такими же формулами как и коэффициенты без индекса с k Поэтому выпишем только эти последние формулы:

49 ; ; ; ; * d d k D Q Q k d d d d d d D Q d d k D M d d k d d D M k d d d d D M k k k k k k k k k k k k k k k k k (5) При подстановке рядов (8) и (9) в уравнение (55) для каждого члена ряда получаем независимое уравнение причем (при одинаковом k) уравнения для k и s k совершенно одинаковы Вычислим cos cos cos k k k k k k k k k Следовательно после подстановки выражений (8) и (9) в уравнение (55) для каждого члена разложения будет получено обыкновенное дифференциальное уравнение D q k k k k k k (5) Уравнение (5) есть уравнение типа Эйлера Решение соответствующего однородного дифференциального уравнения следует искать в форме k k (5) Вычислим k k k k k Повторяя вычисление получим k k k k k k k k Таким образом выражение (5) удовлетворяет однородному уравнению соответствующему (5) при четырех значениях α k : α k =± k; α k = ± k

50 Поэтому общим решением уравнения (5) является выражение k 0 k k k k C C C C (55) k 0 где k частное решение неоднородного уравнения Четыре постоянные входящие в формулу (55) позволяют выполнить граничные условия наложенные на функцию k () Решение (55) непригодно при k = 0 и при k = так как в этих случаях корни α k кратные и решения однородного уравнения в форме (55) становятся линейно зависимыми Общие решения уравнения (5) при k = 0 и k = можно найти учитывая что в этих k случаях оператор сводится к ряду последовательно выполняемых дифференцирований: при k = 0 d ; d при k = d d d d Таким образом при k = 0 дифференциальное уравнение (5) принимает вид d d d d0 q0 d d d d (56) D

51 ГЛАВА II НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ Теория поверхностей представляет собой раздел дифференциальной геометрии в котором изучаются общие свойства поверхностей В настоящей главе приведены лишь те сведения из теории поверхностей которые необходимы для понимания изложенной в последующих главах общей теории оболочек Геометрия пространственной кривой Уравнение пространственной кривой можно задать в параметрической форме выразив координаты точки этой линии (например декартовы) в виде функций параметра α: х = х (α); у = у (α); = (α) () Если рассматривать х у как проекции вектора проведенного из начала координат в рассматриваемую точку линии то три уравнения () можно записать в виде одного векторного =(α) () При изменении значения параметра α точка характеризуемая вектором скользит по рассматриваемой кривой В качестве параметра может быть выбрана произвольная величина; нужно лишь чтобы зависимость координат точки от α была непрерывной и однозначной Для этого достаточно чтобы длина кривой s отмеренная от некоторой точки была непрерывной и монотонной функцией α т е s=s(α) () Дадим параметру α два значения α и α которым соответствуют векторы = (α ); = (α ) Нетрудно видеть (рис ) что разность - = Δ изображается вектором по величине и направлению совпадающим с хордой кривой При уменьшении разности Δ α = α α Рис Рис направление вектора Δ приближается к направлению касательной к кривой в

52 точке М а его длина к длине дуги между точками M и M Таким образом в пределе при Δ α 0 получим d= tds где t единичный вектор направленный по касательной к кривой (см рис ) Следовательно единичный вектор касательной может быть вычислен по формуле d t () ds Если учесть зависимость () то d d d t (5) d ds d где параметр имеющий смысл местного масштаба длины на линии (α); ds (6) d Выражение единичного вектора t в декартовых координатах х у можно получить следующим образом: d d d t i j k i d d d (7) d d j k d d где d d d d d d Рассмотрим разность Δt единичных векторов касательной в соседних точках кривой (рис ) Нетрудно убедиться что при сближении дочек M и М этот вектор оказывается нормальным к кривой и лежащим в плоскости включающей две соседние касательные к кривой (в так называемой соприкасающейся плоскости) При этом длина вектора Δt стремится к величине s t где ρ радиус кривизны кривой При переходе к пределу при Δs 0 получим dt (8) ds или учитывая () d (9) ds

53 где - кривизна кривой; ν - единичный вектор направленный по нормали к кривой и лежащий в соприкасающейся плоскости Вектор ν (вектор главной нормали) направлен в сторону вогнутости кривой Выражение (8) в декартовой системе координат имеет вид dt dt d d i ds d d d d d j d d откуда абсолютное значение кривизны d d d d d d d d Единичный вектор являющийся векторным произведением векторов t и ν направлен по бинормали к кривой Тройка единичных взаимноортогональных векторов t ν (pис ) образует так называемый естественный трехгранник (трехгранник Френе) d d k d d d d d d Предположим что точка Δt в которой связан трехгранник Френе движется вдоль кривой с единичной скоростью ds d d d где τ время Поскольку взаимное расположение векторов t v не изменяется соответствующее движение естественного трехгранника можно рассматривать как движение твердого тела: поступательное перемещение вместе с точкой М и вращение относительно этой точки с угловой скоростью Ω Вектор Ω называется вектором Дарбу Поступательное перемещение естественного трехгранника не меняет величин составляющих его векторов Производная (тк движение происходит с единичной скоростью то производные по времени τ и по дуге s совпадают) каждого вектора жестко связанного c трехгранником равна линейной скорости движения его конца обусловленной вращением трехгранника и определяется векторным произведением Ω на этот вектор В частности производные самих единичных векторов выражаются формулами Pис


Примеры изгиба пластин

Примеры изгиба пластин Примеры изгиба пластин. Цилиндрический изгиб пластины Рассмотрим пластину, бесконечно длинную в направлении оси, загруженную постоянной в направлении этой оси нагрузкой (рис., а). Вдоль оси нагрузка может

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА В ЭНЕРГОМАШИНОСТРОЕНИИ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА В ЭНЕРГОМАШИНОСТРОЕНИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

Л.М. Савельев ТЕОРИЯ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. Методические указания к практическим занятиям

Л.М. Савельев ТЕОРИЯ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. Методические указания к практическим занятиям ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА СП КОРОЛЕВА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

АНАЛИЗ И ОСОБЕННОСТИ МЕТОДОВ ПРИ РАСЧЕТЕ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК НА ИЗГИБ. Авторы : Косауров А.П., Тимофеев П.В Научный руководитель: доцент Скворцов В.И.

АНАЛИЗ И ОСОБЕННОСТИ МЕТОДОВ ПРИ РАСЧЕТЕ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК НА ИЗГИБ. Авторы : Косауров А.П., Тимофеев П.В Научный руководитель: доцент Скворцов В.И. АНАЛИЗ И ОСОБЕННОСТИ МЕТОДОВ ПРИ РАСЧЕТЕ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК НА ИЗГИБ Авторы : Косауров А.П., Тимофеев П.В Научный руководитель: доцент Скворцов В.И. г. Москва 03 Задачи об изгибе пластин и оболочек играют

Подробнее

ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН

ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН ВН ЗАВЬЯЛОВ, ЕА МАРТЫНОВ, ВМ РОМАНОВСКИЙ ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН Учебное пособие Омск Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

Подробнее

Лекция 3. Плоская задача теории упругости.

Лекция 3. Плоская задача теории упругости. Лекция 3 Плоская задача теории упругости. 3.1 Плоское напряженное состояние. 3. Плоская деформация. 3.3 Основные уравнения плоской задачи. 3.4 Использование функции напряжений 3.5 Решение плоской задачи

Подробнее

РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО МЕТОДУ КВАДРАТУР И. С. Ахмедьянов

РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО МЕТОДУ КВАДРАТУР И. С. Ахмедьянов УДК 59. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО МЕТОДУ КВАДРАТУР 7 И. С. Ахмедьянов Самарский государственный аэрокосмический университет Рассматривается применение

Подробнее

главному вектору R, R, R и главному

главному вектору R, R, R и главному Лекция 08 Общий случай сложного сопротивления Косой изгиб Изгиб с растяжением или сжатием Изгиб с кручением Методики определения напряжений и деформаций, использованные при решении частных задач чистого

Подробнее

плоскости, а поперечные сечения поворачиваются. Их центры тяжести получают поступательные перемещения y(x). Искривленная

плоскости, а поперечные сечения поворачиваются. Их центры тяжести получают поступательные перемещения y(x). Искривленная В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 01 1 ЛЕКЦИЯ 16 Деформации при плоском изгибе. Основы расчета на жесткость при плоском изгибе. Дифференциальное уравнение упругой линии Ранее были рассмотрены

Подробнее

Лекция 11. Полная система уравнений теории упругости. Уравнения равновесия. Соотношения Коши: (2) z yz. Соотношения Закона Гука (3)

Лекция 11. Полная система уравнений теории упругости. Уравнения равновесия. Соотношения Коши: (2) z yz. Соотношения Закона Гука (3) Полная система уравнений теории упругости si F () i Лекция Полная система уравнений теории упругости. Уравнения совместности деформаций. Уравнения Бельтрами. Уравнения Ламе. Плоское напряженное и плоское

Подробнее

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Элементарная поверхность Определение Область на плоскости называется элементарной областью, если она является образом открытого круга при гомеоморфизме,

Подробнее

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный.

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный. Лекция 10 Плоский поперечный изгиб балок. Внутренние усилия при изгибе. Дифференциальные зависимости внутренних усилий. Правила проверки эпюр внутренних усилий при изгибе. Нормальные и касательные напряжения

Подробнее

I. Введение. 1. Введение в механику. Разделы теоретической механики. Предмет теоретической механики

I. Введение. 1. Введение в механику. Разделы теоретической механики. Предмет теоретической механики I. Введение. Введение в механику. Разделы теоретической механики. Предмет теоретической механики Современная техника ставит перед инженерами множество задач, решение которых связано с исследованием так

Подробнее

Вопросы по дисциплине "Сопротивление материалов". Поток С-II. Часть 1 ( уч.г.).

Вопросы по дисциплине Сопротивление материалов. Поток С-II. Часть 1 ( уч.г.). Вопросы по дисциплине "Сопротивление материалов". Поток С-II. Часть 1 (2014 2015 уч.г.). ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ с подробным ответом. 1) Закрепление стержня на плоскости и в пространстве. Простейшие стержневые

Подробнее

F 0, то система отсчета, движущаяся поступательно со скоростью (Цсистема)

F 0, то система отсчета, движущаяся поступательно со скоростью (Цсистема) 3 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Уравнения движения твердого тела в произвольной инерциальной системе отсчета имеют вид: () () где m масса тела скорость его центра инерции момент импульса тела внешние силы действующие

Подробнее

Сравнительный анализ решений задачи об изгибе пластины с использованием различных вариантов теории пластин

Сравнительный анализ решений задачи об изгибе пластины с использованием различных вариантов теории пластин #, декабрь 2015 УДК 539.3 Сравнительный анализ решений задачи об изгибе пластины с использованием различных вариантов теории пластин Баксараев Г.Д., студент Россия, 105005, г. Москва, МГТУ им Н.Э. Баумана

Подробнее

n = или k = k n называется единичным вектором

n = или k = k n называется единичным вектором Лекция 5 Тема: Кривизна и кручение кривой Репер Френе План лекции Кривизна кривой Кручение кривой Репер Френе Формулы Френе Натуральные уравнения кривой Кривизна кривой Соприкасающаяся плоскость Пусть

Подробнее

17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ

17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ Лекция 17 Энергетические методы расчета упругих систем. Потенциальная энергия деформации. Обобщенные силы и обобщенные перемещения. Основные энергетические уравнения механики (теорема Кастильяно). Метод

Подробнее

2 Сопровождающий трёхгранник кривой

2 Сопровождающий трёхгранник кривой Сопровождающий трёхгранник кривой Тема 4 Касательная и нормальная плоскости Ранее мы показали, что при данном значении параметра, произвольная функция (), если она существует и не равна нулю, параллельна

Подробнее

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНИКА» ДИНАМИКА

Подробнее

Лекция 10. Касательные напряжения при изгибе

Лекция 10. Касательные напряжения при изгибе Лекция 10. Касательные напряжения при изгибе 1. Формула Журавского для касательных напряжений. 2. Касательные напряжения в тонкостенных сечениях. 3. Центр изгиба. 1 Рассмотрим прямой изгиб балки с выпуклым

Подробнее

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет)

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет) ВЕСТНИК ЧГПУ им И Я ЯКОВЛЕВА МЕХАНИКА ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ 7 УДК 5975 Мирсалимов М В ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ (Тульский государственный университет) Рассматривается задача механики

Подробнее

Хабаровск Издательство ТОГУ

Хабаровск Издательство ТОГУ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет».частные

Подробнее

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 3. Т. 44, N- 4 35 УДК 539.3 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ИЗГИБА АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН В. Н. Максименко, Е. Г. Подружин Новосибирский государственный технический

Подробнее

Вопросы к вступительным экзаменам в аспирантуру по специальности « Строительная механика»

Вопросы к вступительным экзаменам в аспирантуру по специальности « Строительная механика» Вопросы к вступительным экзаменам в аспирантуру по специальности «05.23.17 Строительная механика» СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Основные понятия 1. Задачи сопротивления материалов. Стержень. Основные гипотезы

Подробнее

Кручение простой вид сопротивления (нагружения), при котором на стержень действуют моменты в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси стержня.

Кручение простой вид сопротивления (нагружения), при котором на стержень действуют моменты в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси стержня. Кручение стержней с круглым поперечным сечением. Внутренние усилия при кручении, напряжения и деформации. Напряженное состояние и разрушение при кручении. Расчет на прочность и жесткость вала круглого

Подробнее

РАСЧЕТ ПЛАСТИНКИ НА ИЗГИБ МЕТОДОМ БУБНОВА ГАЛЁРКИНА

РАСЧЕТ ПЛАСТИНКИ НА ИЗГИБ МЕТОДОМ БУБНОВА ГАЛЁРКИНА Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет Расчет пластинки на изгиб методом Бубнова Галеркина: методические указания /Сост ИЮ Смолина, ЛЕ Путеева,

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Методические указания к упражнениям и расчетной

Подробнее

Расчет прямоугольной пластины методом конечных разностей

Расчет прямоугольной пластины методом конечных разностей Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Мосты и транспортные тоннели» А. А. Лахтин Расчет прямоугольной пластины методом конечных

Подробнее

Подставим эти выражения в последние две системы, и после преобразований уравнения несколько упростятся:

Подставим эти выражения в последние две системы, и после преобразований уравнения несколько упростятся: Запишем приращения функций χ ψ вдоль направления, определённого дифференциалами dx и dy: χ χ dx dy = dχ dy ϕ ϕ dx dy = dϕ y Введём новые функции и следующим образом: = χ ϕ, = χ ϕ. Тогда ϕ = ( ), χ = (

Подробнее

5. КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ ИЗГИБА

5. КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ ИЗГИБА Прямой и поперечный изгиб. 5. КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ ИЗГИБА Изгиб стержня вид нагружения, при котором в поперечных сечениях возникают изгибающие моменты и (или) (N = 0, T = 0).. Чистый изгиб. Поперечный изгиб

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С КРУГОВЫМИ ВЫРЕЗАМИ БЕЗ РЕБЕР ЖЕСТКОСТИ ПРИ ЕЕ ОСЕВОМ СЖАТИИ

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С КРУГОВЫМИ ВЫРЕЗАМИ БЕЗ РЕБЕР ЖЕСТКОСТИ ПРИ ЕЕ ОСЕВОМ СЖАТИИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С КРУГОВЫМИ ВЫРЕЗАМИ БЕЗ РЕБЕР ЖЕСТКОСТИ ПРИ ЕЕ ОСЕВОМ СЖАТИИ Меньшенин Александр Аркадьевич Ульяновский государственный университет Задача данного

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра технической механики А.П. ЕВДОКИМОВ

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра технической механики А.П. ЕВДОКИМОВ Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образование учреждение высшего образования «Российский государственный университет нефти и газа (национальный

Подробнее

. В этот же момент начинается разгрузка. Напряжения, деформации и перемещения естественно начнут изменяться, но они должны

. В этот же момент начинается разгрузка. Напряжения, деформации и перемещения естественно начнут изменяться, но они должны Лекция 9. Теорема о разгрузке. Итак, рассмотрен ряд теорий о поведении материала за пределами упругости. Теперь обратимся к другому вопросу: что будет, если начать разгружать образец, который уже находится

Подробнее

Курс лекций на тему: "Сложное сопротивление" В.В Зернов

Курс лекций на тему: Сложное сопротивление В.В Зернов Курс лекций на тему: "Сложное сопротивление" В.В Зернов Лекция на тему: Косой изгиб. При плоском поперечном изгибе балки плоскость действия сил (силовая плоскость) и плоскость прогиба совпадали с одной

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Page 1 of 15 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 170105.65 Взрыватели и системы управления средствами поражения Дисциплина: Механика (Сопротивление материалов)

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Л.4 Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов

Л.4 Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов Л. Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов Под прочностью понимают способность конструкции, ее частей и деталей выдерживать определенную нагрузку без разрушений. Под жесткостью подразумевают

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Момент импульса Лекция 9 ЛЕКЦИЯ 9

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Момент импульса Лекция 9 ЛЕКЦИЯ 9 1 ЛЕКЦИЯ 9 Изотропия пространства. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Связь закона сохранения момента импульса с третьим законом Ньютона. Задача двух тел. Второй закон Кеплера. Движение

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

А. В. Бенин, О. В. Козьминская, Н. И. Невзоров, И. Б. Поварова, И. И. Рыбина. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Задачи и примеры. Учебное пособие

А. В. Бенин, О. В. Козьминская, Н. И. Невзоров, И. Б. Поварова, И. И. Рыбина. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Задачи и примеры. Учебное пособие ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ " (ПГУПС) А.

Подробнее

Приложения поверхностного интеграла 1-го типа

Приложения поверхностного интеграла 1-го типа Глава 6 Приложения поверхностного интеграла 1-го типа 6.1 Необходимые сведения На прошлых занятиях мы уже освоили методы вычисления поверхностных интегралов 1-го типа, оперируя при этом преимущественно

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Изгиб цилиндрической оболочки при поперечном обтекании ее идеальной жидкостью

Изгиб цилиндрической оболочки при поперечном обтекании ее идеальной жидкостью Глава 2 Изгиб цилиндрической оболочки при поперечном обтекании ее идеальной жидкостью 2.1. Постановка задачи об обтекании цилиндрической оболочки Рассмотрим плоскую деформацию неподвижной бесконечной цилиндрической

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра теоретической и прикладной механики ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Тема 5. РАСЧЕТ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРОВ 4.. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Цилиндр

Подробнее

1. ВВЕДЕНИЕ. Физика это наука о наиболее общих свойствах и формах движения материи.

1. ВВЕДЕНИЕ. Физика это наука о наиболее общих свойствах и формах движения материи. 1. ВВЕДЕНИЕ Физика это наука о наиболее общих свойствах и формах движения материи. В механической картине мира под материей понималось вещество, состоящее из частиц, вечных и неизменных. Основные законы,

Подробнее

Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса к расчету полей

Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса к расчету полей Теорема Гаусса Применение теоремы Гаусса к расчету полей Основные формулы Электростатическое поле можно задать, указав для каждой точки величину и направление вектора Совокупность этих векторов образует

Подробнее

Лекция 1.02 Кинематика точки

Лекция 1.02 Кинематика точки Лекция 0 Кинематика точки Кинематика точки Векторный метод определения движения точки Далее всегда будем предполагать что существует неподвижная система отсчета - декартова система координат выбор которой

Подробнее

достаточно близко, то участок BB

достаточно близко, то участок BB Лекция 3 Криволинейное движение. Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения. Движение точки по окружности. Угловое перемещение, векторы угловой скорости и углового ускорения. Связь между векторами

Подробнее

Расчет круглого звена цепи

Расчет круглого звена цепи Расчет круглого звена цепи Дана цепь с круглыми звеньями (Рис. ). Для одного звена необходимо: Построить эпюру изгибающих моментов, найти максимальный момент и опасное сечение; Найти изменение размера

Подробнее

Тема 2 Основные понятия. Лекция 2

Тема 2 Основные понятия. Лекция 2 Тема 2 Основные понятия. Лекция 2 2.1 Сопротивление материалов как научная дисциплина. 2.2 Схематизация элементов конструкций и внешних нагрузок. 2.3 Допущения о свойствах материала элементов конструкций.

Подробнее

О ПЕРЕДАЧЕ ВРАЩЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ ГИБКОГО ВАЛА

О ПЕРЕДАЧЕ ВРАЩЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ ГИБКОГО ВАЛА УДК 539.3 В.В. ЕЛИСЕЕВ, Т.В. ЗИНОВЬЕВА О ПЕРЕДАЧЕ ВРАЩЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ ГИБКОГО ВАЛА Гибкий упругий стержень вставлен в жесткую трубку-оболочку и приводится во вращение от одного конца (рис. ). Трения о

Подробнее

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ):

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Подробнее

3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 3.1. Сопротивление материалов. Задачи и определения. Сопротивление материалов - наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов инженерных конструкций. Первая задача сопротивления

Подробнее

ЦИКЛ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ИЗГИБА ПЛАСТИН

ЦИКЛ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ИЗГИБА ПЛАСТИН КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ И МАТЕМАТИКИ Кафедра теоретической механики А.А. САЧЕНКОВ ЦИКЛ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ИЗГИБА ПЛАСТИН Учебное пособие Казань Цикл лекций посвящен изложению

Подробнее

3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ

3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ 3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ 3.. Напряжения Уровень оценки прочности по нагрузке отличают простота и доступность. Расчеты при этом чаще всего минимальны - требуется определить только саму нагрузку. Для

Подробнее

1.1. Элементы кинематики Механическое движение. Предмет механики.

1.1. Элементы кинематики Механическое движение. Предмет механики. 11 Элементы кинематики 111 Механическое движение Предмет механики 11 Представление о свойствах пространства и времени в классической механике 113 Кинематическое описание движения 114 Скорость и ускорение

Подробнее

КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ

КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 2.1. Понятие механики, модели в механике 2.2. Система отсчета, тело отсчета 2.3. Кинематика материальной точки 2.3.1. Путь, перемещение 2.3.2. Скорость 2.3.3. Проекция

Подробнее

x) dl ACDB. = B A , (5.1) dl tdl. (5.2)

x) dl ACDB. = B A , (5.1) dl tdl. (5.2) 5 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ТЕНЗОРНОМ ПОЛЕ В некоторых приложениях тензорного анализа иногда возникает необходимость в вычислении интегралов тензорных полей по линии, поверхности или по объему В этой главе рассмотрим

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ НЕУПРУГИХ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ НЕУПРУГИХ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2005. Т. 46, N- 2 151 УДК 539.37 НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ НЕУПРУГИХ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК И. Ю. Цвелодуб Институт гидродинамики

Подробнее

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ... 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ... 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ. СОДЕРЖАНИЕ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ... 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗГИБА ПЛАСТИНКИ... 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ... 9 СИММЕТРИЧНЫЙ

Подробнее

А.Ч. МЕТОД «ПЛОЩАДЕЙ» ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ ИЗГИБЕ БАЛОК

А.Ч. МЕТОД «ПЛОЩАДЕЙ» ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ ИЗГИБЕ БАЛОК n c t tg tg, (0) min,96,5,96,5 где c 0, 0088 ; t o градиент снижения температуры ниже o t 80 уровня +0. По результатам измерения твердости контролируемых зон конструкций, используя формулы (6) (7) и (8)

Подробнее

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ (лекции 4-5)

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ (лекции 4-5) ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ (лекции 4-5) ЛЕКЦИЯ 4, (раздел 1) (лек 7 «КЛФ, ч1») Кинематика вращательного движения 1 Поступательное и вращательное движение В предыдущих лекциях мы познакомились с механикой материальной

Подробнее

РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ

РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ УДК -78 РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ В.Ф. УВАКИН, В.Б. ОЛЬКОВА Институт техники, технологии и управления Балаково Полученные ранее нелинейные

Подробнее

Предельная нагрузка для стержневой системы

Предельная нагрузка для стержневой системы Л е к ц и я 18 НЕУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ Ранее, в первом семестре, в основном, использовался метод расчета по допускаемым напряжениям. Прочность изделия считалась обеспеченной, если напряжение в опасной

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ

СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» (часть 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ 2014-2015 уч. год 1. Какие допущения о свойствах материалов приняты в курсе "Сопротивление материалов

Подробнее

r 2 r. E + = 2κ a, E = 2κ a

r 2 r. E + = 2κ a, E = 2κ a 1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 2 Теорема Гаусса 1.1. (1.19 из задачника) Используя теорему Гаусса, найти: а) поле плоскости, заряженной с поверхностной плотностью σ; б) поле плоского конденсатора;

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Тычина К.А. И з г и б.

Тычина К.А. И з г и б. www.tchina.pro Тычина К.А. V И з г и б. Изгибом называется такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях остаётся не равным нулю только внутренний изгибающий момент. Прямым изгибом

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОГЛАВЛЕНИЕ Вычисление двойных и тройных

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

Смирнов В.И., Видюшенков С.А. ИЗГИБ ПЛАСТИНОК

Смирнов В.И., Видюшенков С.А. ИЗГИБ ПЛАСТИНОК ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ

Подробнее

1.5. ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ

1.5. ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ 15 ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ Согласно закону всемирного тяготения, сила с которой материальная точка массой притягивает материальную точку массой, задается следующим выражением:, (1) где и радиус-векторы точек

Подробнее

О ПЕРЕДАЧЕ ВРАЩЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ ГИБКОГО ВАЛА

О ПЕРЕДАЧЕ ВРАЩЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ ГИБКОГО ВАЛА О передаче вращения посредством гибкого вала УДК 539.3 В.В. ЕЛИСЕЕВ, Т.В. ЗИНОВЬЕВА О ПЕРЕДАЧЕ ВРАЩЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ ГИБКОГО ВАЛА Гибкий упругий стержень вставлен в жесткую трубку-оболочку и приводится

Подробнее

90 лет со дня рождения академика А.В. Александрова. Решения задач олимпиады 45 по Сопротивлению материалов 2-й тур 2017 г МИИТ Задача 1

90 лет со дня рождения академика А.В. Александрова. Решения задач олимпиады 45 по Сопротивлению материалов 2-й тур 2017 г МИИТ Задача 1 Задача 1 Рассматривается два загружения плоской рамы, состоящей из стержневых элементов квадратного поперечного сечения При загружении распределенными нагрузками q и 2q в точке к указанного на рисунке

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е Тычина К.А. tychina@mail.ru К р у ч е н и е Крутящим называют момент, вектор которого направлен вдоль оси стержня. Кручением называется такое нагружение стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает

Подробнее

«Вариационные методы в механике деформируемого твёрдого тела» Электронный ресурс

«Вариационные методы в механике деформируемого твёрдого тела» Электронный ресурс МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕ- ДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕ- НИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4 ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ И МОДУЛЯ СДВИГА ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4 ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ И МОДУЛЯ СДВИГА ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4 ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ И МОДУЛЯ СДВИГА ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Цель работы: 1. Изучить динамику и кинематику крутильных колебаний.. Измерить моменты инерции твердых

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 14 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

ЛЕКЦИЯ 14 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА ЛЕКЦИЯ 14 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА 1. Общее уравнение динамики в обобщённых координатах Продолжим изучать общее уравнение динамики и получать с

Подробнее

уравнение изогнутой оси балки и θ tg θ =.

уравнение изогнутой оси балки и θ tg θ =. Лекция 06 Деформации балок при изгибе Теорема Кастильяно При чистом изгибе балки её ось искривляется Перемещение центра тяжести сечения по направлению перпендикулярному к оси балки в её недеформированном

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

5. Динамика вращательного движения твердого тела

5. Динамика вращательного движения твердого тела 5. Динамика вращательного движения твердого тела Твердое тело это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения. При вращательном движении твердого тела все его

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6. Этот факт позволяет ввести единичный вектор нормали к поверхности n, где

ЛЕКЦИЯ 6. Этот факт позволяет ввести единичный вектор нормали к поверхности n, где ЛЕКЦИЯ 6 ВТОРАЯ И ТРЕТЬЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТИ УРАВНЕНИЯ АУССА И КО- ДАЦЦИ КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ ТЕОРЕМА МЕНЬЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ ТЕОРЕМА АУССА БОННЕ 34 ВТОРАЯ И ТРЕТЬЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ С ЖЕСТКИМ ЦЕНТРОМ, НАГРУЖЕННОЙ ДАВЛЕНИЕМ

РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ С ЖЕСТКИМ ЦЕНТРОМ, НАГРУЖЕННОЙ ДАВЛЕНИЕМ УДК -78 В.Ф. Увакин, В.Б. Олькова РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ С ЖЕСТКИМ ЦЕНТРОМ, НАГРУЖЕННОЙ ДАВЛЕНИЕМ Можно показать, что нелинейные дифферениальные

Подробнее

2.4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ. Магнитный поток через некоторую поверхность, (1)

2.4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ. Магнитный поток через некоторую поверхность, (1) 4 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ Магнитный поток через некоторую поверхность () где магнитная индукция на поверхности; единичный вектор нормали к поверхности в данной точке Согласно закону Фарадея при любом

Подробнее

1 Задачи механики. 2 Материальная точка и абсолютно твердое тело. 3 Способы описания движения материальной точки. 4 Тангенциальное, нормальное и

1 Задачи механики. 2 Материальная точка и абсолютно твердое тело. 3 Способы описания движения материальной точки. 4 Тангенциальное, нормальное и 1 Задачи механики. Материальная точка и абсолютно твердое тело. 3 Способы описания движения материальной точки. 4 Тангенциальное, нормальное и полное ускорения. Структура механики Механика Механика Кинематика

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Теоретическая механика наука об общих законах движения и равновесия материальных тел и о возникающих при этом механических взаимодействиях между телами Движение (механическое движение)

Подробнее

РАСЧЕТ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН

РАСЧЕТ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН РАСЧЕТ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН F tcd y x z Q Омск 0 РАСЧЕТ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности ДВС Составитель: А.И. Громовик Омск Издательство СибАДИ

Подробнее