Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск"

Транскрипт

1 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 3. Т. 44, N УДК ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ИЗГИБА АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН В. Н. Максименко, Е. Г. Подружин Новосибирский государственный технический университет, 639 Новосибирск На основе технической теории изгиба тонких анизотропных пластин (гипотезы Кирхгофа Лява) строятся представления фундаментальных решений для анизотропных, в частности ортотропных, пластин, имеющих каноническую форму (полуплоскость, квадрант, полоса, полуполоса, прямоугольник, неограниченная пластина с эллиптическим отверстием). Ключевые слова: анизотропная пластина, изгиб, сосредоточенная нагрузка, комплексные потенциалы, фундаментальное решение. При решении задач упругого растяжения и изгиба анизотропных пластин важную роль играют фундаментальные решения (решения для сосредоточенных нагрузок и дислокаций), с помощью которых путем интегрирования могут быть получены решения задачи о действии нагрузок, распределенных по линиям или площадкам (областям). При решении задач изгиба анизотропных пластин, имеющих концентраторы напряжений в форме вырезов, отверстий, трещин, знание фундаментальных решений позволяет записывать потенциальные представления на контуре концентраторов напряжений в виде интегралов типа Коши и численно решать краевую задачу. Кроме того, часть краевых условий на контуре пластины может выполняться автоматически, что облегчает численную реализацию. Полученные ниже решения сравниваются с известными решениями для изотропных пластин [].. Рассмотрим однородную пластину из материала с прямолинейной анизотропией (необязательно ортотропного), занимающую область D = { <, y < }. В точке τ с координатами = ξ, y = η приложены сосредоточенные нагрузки: P z сосредоточенная поперечная сила; M, M y сосредоточенные изгибающие моменты. Следуя классической теории изгиба тонких анизотропных пластин [], упругие комплексные потенциалы Лехницкого могут быть представлены в виде Φ ν (z ν ) = Eν(z ν, τ) + Mν (z ν, τ), Eν(z ν, τ) = A ν ln (z ν τ ν ), Mν (z ν, τ) = B ν /(z ν τ ν ), z ν = Re z + µ ν Im z, τ ν = ξ + µ ν η (ν =, ); () ϕ ν (z ν ) = A ν [ln (z ν τ ν ) ](z ν τ ν ) + B ν ln (z ν τ ν ) + D ν, F ν (z ν ) = A ν (z ν τ ν ) [ln (z ν τ ν ) 3/]/ + B ν (z ν τ ν )[ln (z ν τ ν ) ] + D ν z ν + G ν, F ν (z ν ) = Φ ν (z ν ), ϕ ν(z ν ) = Φ ν (z ν ) (ν =, ). Здесь член E ν(z ν, τ) соответствует сосредоточенной силе P z, M ν (z ν, τ) сосредоточенному изгибающему моменту с компонентами M, M y. Слагаемые D ν z ν + G ν в выражении для F ν (z ν ) определяют перемещение пластины как жесткого целого; A ν, B ν неизвестные комплексные константы.

2 36 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 3. Т. 44, N- 4 Функции ϕ ν (z ν ), F ν (z ν ) являются многозначными. При обходе точки τ = ξ + iη по произвольному замкнутому контуру L они получают приращения (поскольку выражаются через многозначную функцию ln (z ν τ ν )), которые имеют вид {ϕ ν (z ν )} L = πi[a ν (z ν τ ν ) + B ν ], {Φ ν (z ν )} = πia ν, {F ν (z ν )} L = πi[a ν (z ν τ ν ) / + B ν (z ν τ ν )], ν =,. Уравнения для определения A ν, B ν получаются из условия однозначности тангенциальных смещений и прогибов (u + iv, w) в пластине, а также из условия равновесия части пластины, ограниченной контуром L: ν= ν= (µ k ν A ν µ k ν Ā ν ) = f k (k =, 4), f = P z, f j = (j =, 4), πid (µ k ν B ν µ k ν B ν ) = d k (k =, 4), d = M y, d 4 = M, d 3 = d =. πid πid Здесь D, D цилиндрические жесткости пластины в направлении осей, y. Угол между главным направлением ортотропии E и осью обозначим через ϕ. При ϕ = для ортотропного материала имеем µ, = ±α + iβ. В этом случае Im A = Im A и для A ν получаются простые выражения A, = µ P z (α iβ)/(6παβd ).. Рассмотрим анизотропную полуплоскость D = {, y < }, жестко защемленную вдоль линии =. Пусть в точке с координатами = ξ, y = η приложена сосредоточенная сила P z. С учетом аналогии между плоской задачей и задачей изгиба пластин [3] выражения для комплексных потенциалов можно записать в следующем виде: Φ ν (z ν ) = E ν(z ν, τ) = A ν ln z ν τ ν µ ν + Āl ν s ν ln s νz ν τ µ + Ān ν m ν ln m νz ν τ µ, l ν = µ 3 ν µ µ ν µ 3 ν, s ν = µ µ ν, n ν = µ 3 ν µ µ ν µ 3 ν, m ν = µ µ ν, ν =,. Первое слагаемое в (3) с точностью до комплексной постоянной соответствует решению для бесконечной пластины при действии сосредоточенной силы. Второе и третье слагаемые функции, регулярные в рассматриваемой области и обеспечивающие выполнение условий жесткого защемления (w = w = ) вдоль линии = за счет надлежащего выбора комплексных постоянных l ν, n ν (в несколько ином виде решение для анизотропной жестко защемленной полуплоскости получено в [4]). Для свободного края = полуплоскости из краевого условия получается система уравнений для определения констант l ν, n ν откуда следует l p s + l p s = p, l s q µ + l s q µ = q µ, n p m + n p m = p, n m q µ + n m q µ = q µ, l ν = q λ p / µ q p λ /µ λ q ν p λ /µ λ q λ p ν /µ ν, () (3) n ν = q λ p / µ q p λ /µ λ q ν p λ /µ λ q λ p ν /µ ν, λ = 3 ν. (4) Для свободно опертого края ( = ) полуплоскости из краевого условия получаем l p s + l p s = p, l s + l s =,

3 В. Н. Максименко, Е. Г. Подружин 37 соответственно n p m + n p m = p, n m + n m =, l ν = µ p λ /µ λ µ λ p / µ µ λ p ν /µ ν µ ν p λ /µ λ, n ν = µ p λ /µ λ µ λ p / µ µ λ p ν /µ ν µ ν p λ /µ λ. Рассмотрим ортотропную (ϕ = ) полуплоскость D = {, y < } со свободно опертым краем =. Приложив к неограниченной пластине две сосредоточенные силы, одинаковые по модулю, но противоположные по направлению, симметрично относительно оси y, используя принцип суперпозиции, можно получить выражение для комплексных потенциалов при изгибе свободно опертой полуплоскости сосредоточенной силой Φ ν (z ν ) = E 3 ν(z ν, τ) = E ν(z ν, τ) E ν(z ν, τ) = A ν ln ((z ν τ ν )/(z ν + τ ν )), τ ν = ξ µ ν η, ν =,. Последняя формула может быть получена из формулы (3) при замене упругих параметров с учетом ортотропии материала. 3. Рассмотрим квадрант (первую четверть комплексной плоскости). Положим ϕ =. Если к полубесконечной ортотропной пластине со свободно опертым краем приложить сосредоточенные силы противоположного знака симметрично относительно оси, то получим решение задачи о действии сосредоточенной силы, приложенной во внутренней точке квадранта, свободно опертого по сторонам =, y = : Φ ν (z ν ) = E 4 ν(z ν, τ) = E ν(z ν, τ) + E ν(z ν, τ) E ν(z ν, τ) E ν(z ν, τ), Φ ν (z ν ) = A ν ln (z ν τ ν )(z ν + τ ν ) (z ν + τ ν )(z ν τ ν ), τ ν = ξ µ ν η, ν =,. Рассмотрим ортотропную полуплоскость D = {, y < }, ϕ =, жестко защемленную вдоль линии =. Если к ортотропной полуплоскости приложить две сосредоточенные силы, одинаковые по величине и противоположные по направлению, симметрично относительно оси, то получим решение задачи изгиба ортотропного квадранта (, y ), жестко защемленного по стороне = и свободно опертого по стороне y =. Комплексные потенциалы запишутся следующим образом: Φ ν (z ν ) = A ν ln z ν τ ν z ν τ ν Φ ν (z ν ) = E 5 ν(z ν, τ) = E ν(z ν, τ) E ν(z ν, τ), + Āl ν s ν ln s νz ν τ s ν z ν τ τν = ξ µ ν η, ν =,. + Ān ν m ν ln m νz ν τ m ν z ν τ, 4. Пусть анизотропная плоскость нагружена периодической системой сосредоточенных сил, расположенных на линии, параллельной оси. В этом случае в выражении () необходимо ln (z ν τ ν ) заменить на ln{sin [ω(z ν τ νk )]}, тогда комплексные потенциалы примут вид Φ ν (z ν ) = E 6 ν(z ν, τ) = A ν ln {sin [ω(z ν τ νk )]}, ω = π/l, τ νk = τ ν + kl (k =, ±, ±,..., ± ). Здесь l период приложения нагрузки. Нагрузим ортотропную плоскость (ϕ = ) двумя периодическими системами сосредоточенных сил (рис. ). Используя принцип суперпозиции, с учетом (5) в задаче изгиба бесконечной полосы (шириной l), нагруженной сосредоточенной силой в произвольной точке, получим выражения для комплексных потенциалов Φ ν (z ν ) = E 7 ν(z ν, τ) = A ν ln {sin [ω(z ν τ νk )]/ sin [ω(z ν t νk )]}, (5)

4 38 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 3. Т. 44, N- 4 y l l n Рис. y l l n Рис. t νk = ξ + µ ν η + l(k + ), τ νk = ξ + µ ν η + kl, (6) ω = π/(l), t νk τ νk = (l ξ) (k =, ±, ±,..., ± ). Следует отметить, что первообразная функции Φ ν (z ν ), так же как функции ϕ ν (z ν ) = F ν(z ν ) в формулах (5), (6), получаются в виде бесконечных рядов [, 5]. 5. Пусть ортотропная полуполоса D = { y <, l}, ϕ = со свободно опертыми кромками нагружена в точке τ = ξ + iη сосредоточенной силой. Соответствующее решение может быть получено суммированием решения для системы, представленной на рис.. Комплексные потенциалы принимают вид ( sin Φ ν (z ν ) = Eν(z 8 [ω(zν τ νk )] sin [ω(z ν t νk ν, τ) = A ν ln )] ) sin [ω(z ν t νk )] sin [ω(z ν τνk )], t νk = ξ + µ ν η + l(k + ), t νk = ξ µ νη + l(k + ), n= τ νk = ξ + µ ν η + kl, τ νk = ξ µ νη + kl, ω = π/(l), t νk τ νk = t νk τ νk = (l ξ) (k =, ±, ±,..., ± ). На основе решения для свободно опертой полуполосы можно получить решение для ортотропной (ϕ = ) пластины прямоугольной формы, свободно опертой по сторонам, для чего в полосе необходимо приложить нагрузку (рис. 3). В этом случае выражения для комплексных потенциалов получаются в виде бесконечного ряда ( sin Φ ν (z ν ) = Eν(z 9 [ω(zν τ νkn )] sin [ω(z ν t νkn ν, τ) = A ν ln )] ) sin [ω(z ν t νkn )] sin [ω(z ν τνkn )], t νkn = ξ + µ ν (η + nl ) + l(k + ), τ νkn = ξ + µ ν (η + nl ) + kl,

5 В. Н. Максименко, Е. Г. Подружин 39 l l P y l l l n l Рис. 3 Рис. 4 t νkn = ξ µ ν(η + nl ) + l(k + ), τ νkn = ξ µ ν(η + nl ) + kl, ω = π/(l), t νkn τ νkn = t νkn τ νkn = (l ξ) (k =, ±, ±,..., ±, n =,,, 3,..., ). Данный ряд сходится достаточно быстро, поэтому для определения статических или кинематических величин достаточно удержать под знаком суммы 3 4 слагаемых. 6. Пусть имеется ортотропная полуполоса D = { y <, l}, ϕ =, свободно опертая по полубесконечным сторонам =, l и жестко защемленная по стороне y = длиной l. Решение задачи о действии сосредоточенной силы в такой пластине может быть получено суммированием решения для системы, представленной на рис. 4. Для верхней полуплоскости y комплексные потенциалы (3) принимают вид Φ ν (z ν ) = A ν ln (z ν τ ν ) + Āl ν ln (z ν τ ) + Ān ν ln (z ν τ ). Решение для верхней полуплоскости, нагруженной периодической системой сосредоточенных сил, записывается следующим образом: Φ ν (z ν ) = E ν (z ν, τ) = A ν ln {sin [ω(z ν τ νk )]} + ω = π/(l), + Āl ν ln {sin [ω(z ν τ k )]} + Ān ν ln {sin [ω(z ν τ k )]}, τ νk = ξ + µ ν η + lk. Комплексные потенциалы для полуполосы (рис. 4) принимают вид Φ ν (z ν ) = E ν (z ν, τ) = E ν (z ν, τ) E ν (z ν, t) = = A ν ln sin [ω(z ν τ νk )] sin [ω(z ν t νk )] + Āl ν ln sin [ω(z ν τ k )] sin [ω(z ν t k )] + Ān ν ln sin [ω(z ν τ k )] sin [ω(z ν t k )], (7) ω = π/(l), τ νk = ξ + µ ν η + lk, t νk = ξ + µ ν η + l(k + ) (k =, ±, ±, ±3,..., ± ).

6 4 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 3. Т. 44, N- 4 L y a t b P z Рис. 5 Используя полученные комплексные потенциалы, по аналогии с защемленной полуплоскостью можно записать фундаментальные решения для ортотропного квадранта со свободной и свободно опертой кромками, а также решение для полуполосы со свободной конечной кромкой и свободно опертыми полубесконечными сторонами. Соотношения для свободно опертой ортотропной полуполосы могут быть получены непосредственно из (7) при замене упругих параметров с учетом ортотропии материала (при соответствующих значениях l ν, n ν ). 7. Полученные выше фундаментальные решения можно использовать для построения комплексных потенциалов (для перечисленных областей) в случае действия сосредоточенной пары сил с единичным моментом M = ep (iψ), приложенным в точке τ = ξ + iη: Φ ν (z ν ) = M k ν (z ν, τ, ψ) = d ds [Ek ν (z ν, τ + s ep (iψ))] s=, ν =,. При этом комплексные константы A ν заменяются на B ν : B ν = A ν H(ψ), H(ψ) = cos ψ + µ ν sin ψ. 8. Пусть бесконечная пластина (анизотропная) имеет эллиптическое отверстие Λ (рис. 5). Начало координат поместим в центр эллипса, а направления осей координат, y совместим с направлениями осей эллипса (a, b полуоси эллипса). Решение задачи о действии сосредоточенной силы в пластине с эллиптическим отверстием с использованием процедуры Грилицкого [6] и с учетом аналогии между плоской задачей и задачей изгиба пластин может быть получено в виде Φ(z ν ) = E ν (z ν, τ) = ω ν(ζ ν ) [A ν Ψ ν (ζ ν ) ln (ζ ν η ν ) + + l ν Ā Ψ ν(ζ ν ) ln (ζ ν η ) + n ν Ā Ψ ν(ζ ν ) ln (ζ ν η ) + Ψ 3 ν(ζ ν, η ν )]. (8) Здесь использованы конформные отображения внешности единичного круга γ = σ = на внешность эллиптических отверстий Λ ν в плоскостях z ν = + µ ν y, Λ (в плоскости z = + iy): z ν = ω ν (ζ ν ) = a iµ νb и обратные функции ζ ν + a + iµ νb ζ ν = ζ ν (z ν ) = z ν z ν (a + µ νb ) a iµ ν b ζ ν, z = ω(ζ) = a + b ζ + a b ζ (9), ζ = ζ(z) = z z a + b, η ν = ζ ν (τ ν ). () a + b Функции Ψ ν (ζ ν ), Ψ i ν(ζ ν ) (i =, ), Ψ 3 ν(ζ ν, η ν ) являются аналитическими вне единичного круга.

7 В. Н. Максименко, Е. Г. Подружин 4 Если к пластине приложен сосредоточенный изгибающий момент, то комплексные потенциалы принимают вид Φ ν (z ν ) = Mν (z ν, τ) = ( Bν l ν B ω ν(ζ + ν ) ζ ν η ν ζ ν (ζ ν η ) + n ) ν B. () ζ ν (ζ ν η ) Краевые условия на контуре отверстия Λ определяются значениями величин l ν, n ν. Для жестко защемленного края отверстия l ν, n ν следует находить из (3), а для свободного края из (4). Комплексные константы B ν определены выше (см. п. 7). Следует отметить, что получить решение данной задачи при заданных на контуре эллиптического отверстия смешанных краевых условиях (w =, M n = ) не удается, поскольку в этом случае нельзя записать краевые условия через функции ϕ ν (z ν ). Это возможно в случае задания кинематических или статических краевых условий []. 9. Решение задачи о действии сосредоточенных нагрузок в пластине с прямолинейным конечным разрезом может быть получено из (8) (), где следует положить b =. В частности, для нагружения сосредоточенным моментом получим Φ(z ν ) = M 3 ν (z ν, τ) = B ν z ν τ ν B ν[i(z ν ) I(τ ν )] z ν a (z ν τ ν ) + + B l ν [I(z ν ) I( τ )] (z ν τ ) I(z) = z a z. + B n ν [I(z ν ) I( τ )], (z ν τ ) Сделаем замену переменных z = z + a, τ = τ + a, тогда из последнего выражения получим решение задачи о действии сосредоточенного момента в пластине с прямолинейным разрезом вдоль отрезка действительной оси < < a. Осуществляя предельный переход при a, найдем решение задачи для пластины с полубесконечным разрезом вдоль действительной оси L = {, y = } при действии сосредоточенного момента: Φ(z ν ) = M 4 ν (z ν, τ) = B ν B ν z ν τ ν zν ( z ν + τ ν ) + + l ν B zν ( z ν + τ ) + n ν B zν ( z ν + τ ).. При решении задач изгиба пластин важную роль играют фундаментальные решения при наличии сосредоточенных дислокаций, являющихся функциями Грина, с помощью которых путем интегрирования могут быть построены потенциальные представления в виде интегралов от скачков смещений, распределенных с неизвестной плотностью, обеспечивающие заданные разрывы смещений вдоль разомкнутых или замкнутых кривых [7]. Для определения плотностей скачков используются условия на дефекте, приводящие к одному интегральному уравнению или к системе интегральных уравнений. Пусть в пластине имеются дислокации, которые можно трактовать как разрывы смещений (прогибов и связанных с ними тангенциальных смещений). В случае, если задается разрыв прогибов w, напряженное состояние в пластине определяется по формулам, соответствующим решению в случае действия сосредоточенной силы P z, однако при определении A ν из первой системы уравнений в () в вектор-столбце правых частей f j (j =, 4) следует положить f = w/(πi), f = f 3 = f 4 =. Если заданы приращения тангенциальных смещений w + iw y, то при определении B ν из () в вектор-столбце правых частей d j следует положить d = w /(πi), d = w y /(πi), d 3 = d 4 =. При этом напряженнодеформированное состояние следует определять по формулам, соответствующим решению в случае действия сосредоточенного изгибающего момента.

8 4 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 3. Т. 44, N- 4 M /P 3 _3 3 y/d Рис. 6 Номер материала E 4, МПа E 4, МПа E /E G 4, МПа M ma /P z 7,6 7,6,44,383 5,384,795 3,863, ,6,4 5,55,7669. Для иллюстрации эффективности предлагаемых потенциальных представлений на рис. 6 показано распределение напряжений M в сечении = полуплоскости (по линии защемления) для различных ортотропных материалов (ϕ = ), характеристики которых приведены в таблице (номера кривых соответствуют номерам материалов). Для всех материалов коэффициент Пуассона ν =,5. С увеличением степени ортотропии E /E максимум напряжений M ma в сечении заделки возрастает (см. таблицу). Вместе с тем наблюдается более быстрое затухание напряжений с удалением от проекции точки приложения силы P z на линию =. В случае ортотропной полуплоскости для вычисления напряжений по линии защемления можно получить следующее выражение: M = µ P z πα ( arctg (y η)(α + β ) ξα ξβ arctg (y η)(α + β ) + ξα ξβ Для изотропного материала (M ma = P z /π) этот результат может быть получен из решения (3) или из последней формулы предельным переходом в параметрах анизотропии (α, β ). ). ЛИТЕРАТУРА. Кончковский З. Плиты. Статические расчеты. М.: Стройиздат, Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехтеоретиздат, Максименко В. Н., Подружин Е. Г. Изгиб анизотропных пластин при наличии трещин сложной формы // Учен. зап. ЦАГИ Т., 3. С Фильштинский Л. А., Любчак В. А. Изгиб полубесконечной анизотропной пластины, ослабленной криволинейными разрезами // Прикл. механика. 98. Т. 8,. С Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 974.

9 В. Н. Максименко, Е. Г. Подружин Грилицкий Д. В. Вылив точки прикладания сили i моменту на розподiл напружень у безмежнiй анiзотропниiй пластинцi з елiптичним отвором // Прикл. механика Т.,. С Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Изд-во АН СССР, 954. Поступила в редакцию 3/IX г., в окончательном варианте 7/I 3 г.

СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ

СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ 1 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА 5 Т 6, N- 1 УДК 5393 СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ В Н Максименко, Е Г Подружин Новосибирский государственный технический

Подробнее

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет)

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет) ВЕСТНИК ЧГПУ им И Я ЯКОВЛЕВА МЕХАНИКА ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ 7 УДК 5975 Мирсалимов М В ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ (Тульский государственный университет) Рассматривается задача механики

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК Львов Геннадий Иванович ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК Учебник ВВЕДЕНИЕ Основные уравнения теории упругости В теории упругости существуют три группы формул которые образуют основные уравнения теории

Подробнее

Введение 1. Вводный раздел 2. Растяжение сжатие 3. Геометрические характеристики поперечных сечений стержня 4. Плоский прямой изгиб

Введение 1. Вводный раздел 2. Растяжение сжатие 3. Геометрические характеристики поперечных сечений стержня 4. Плоский прямой изгиб Введение Настоящая программа базируется на основных разделах следующих дисциплин: Математика; Физика; Теоретическая механика; Сопротивление материалов; Теория упругости и пластичности; Статика, динамика

Подробнее

(1.7) {Γ ζ + [(m2 + 1)(A 2Γ) + m(b + B Γ )]ζ 2 + B m 2 B Γ } m)

(1.7) {Γ ζ + [(m2 + 1)(A 2Γ) + m(b + B Γ )]ζ 2 + B m 2 B Γ } m) 178 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2000. Т. 41, N- 4 УДК 539.3 К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПРОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ В ЛИНЕЙНО-УПРУГОЙ СРЕДЕ И. Ю. Цвелодуб Институт гидродинамики

Подробнее

РАСЧЕТ ПЛАСТИНКИ НА ИЗГИБ МЕТОДОМ БУБНОВА ГАЛЁРКИНА

РАСЧЕТ ПЛАСТИНКИ НА ИЗГИБ МЕТОДОМ БУБНОВА ГАЛЁРКИНА Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет Расчет пластинки на изгиб методом Бубнова Галеркина: методические указания /Сост ИЮ Смолина, ЛЕ Путеева,

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН

ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН ВН ЗАВЬЯЛОВ, ЕА МАРТЫНОВ, ВМ РОМАНОВСКИЙ ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН Учебное пособие Омск Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

ТЕОРИЯ КАЧЕНИЯ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ КУЛОНА. Г. П. Черепанов

ТЕОРИЯ КАЧЕНИЯ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ КУЛОНА. Г. П. Черепанов 218 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2014. Т. 55, N- 1 УДК 531.45 ТЕОРИЯ КАЧЕНИЯ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ КУЛОНА Г. П. Черепанов Нью-Йоркская академия наук, Нью-Йорк, США E-mail: genacherepanov@hotmail.com

Подробнее

1. УЧЕБНЫЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ 2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

1. УЧЕБНЫЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ 2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ 3 СОДЕРЖАНИЕ 1. УЧЕБНЫЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ...4 2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ...4 2.1. Цель преподавания дисциплины...4 2.2. Задачи изучения дисциплины...4 2.3. Перечень базовых дисциплин...5 2.4. Перечень дисциплин,

Подробнее

Расчет прямоугольной пластины методом конечных разностей

Расчет прямоугольной пластины методом конечных разностей Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Мосты и транспортные тоннели» А. А. Лахтин Расчет прямоугольной пластины методом конечных

Подробнее

УПРУГИЙ АНИЗОТРОПНЫЙ МАТЕРИАЛ С ЧИСТО ПРОДОЛЬНЫМИ И ПОПЕРЕЧНЫМИ ВОЛНАМИ

УПРУГИЙ АНИЗОТРОПНЫЙ МАТЕРИАЛ С ЧИСТО ПРОДОЛЬНЫМИ И ПОПЕРЕЧНЫМИ ВОЛНАМИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2003. Т. 44, N- 2 143 УДК 539.3:517.958 УПРУГИЙ АНИЗОТРОПНЫЙ МАТЕРИАЛ С ЧИСТО ПРОДОЛЬНЫМИ И ПОПЕРЕЧНЫМИ ВОЛНАМИ Н. И. Остросаблин Институт гидродинамики им. М.

Подробнее

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 007. Т. 48, N- 5 УДК 539.3 ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин,

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ФОРМ ИЗГИБА АРОК

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ФОРМ ИЗГИБА АРОК ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2001. Т. 42, N- 4 155 УДК 539.370 ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ФОРМ ИЗГИБА АРОК Л. И. Шкутин Институт вычислительного моделирования СО РАН, 660036 Красноярск

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Казанский государственный университет Р.Ф. Марданов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного университета 2007 УДК 517.9

Подробнее

Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Математические модели процесса потери устойчивости динамических систем

Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Математические модели процесса потери устойчивости динамических систем Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Утверждаю: Руководитель ООП: 20 г. Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Математические модели

Подробнее

Не путать прогиб y с координатой y точек сечения балки! Наибольший прогиб балки называется стрелой прогиба (f=y max );

Не путать прогиб y с координатой y точек сечения балки! Наибольший прогиб балки называется стрелой прогиба (f=y max ); Лекция Деформация балок при изгибе Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Метод начальных параметров Универсальное уравнение упругой линии ДЕФОРМАЦИЯ БАЛОК ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ Основные понятия и

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Н. Б. Ильинский, Обратная задача напорной фильтрации для основания с дренажем, Тр. сем. по краев. задачам, 1966, выпуск 3, 47 52 Использование Общероссийского

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Подробнее

РАЗВИТИЕ УСТАЛОСТНЫХ ТРЕЩИН СМЕШАННОГО ТИПА В ОБРАЗЦАХ ИЗ СТАЛИ

РАЗВИТИЕ УСТАЛОСТНЫХ ТРЕЩИН СМЕШАННОГО ТИПА В ОБРАЗЦАХ ИЗ СТАЛИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 1 135 УДК 620.178.6 РАЗВИТИЕ УСТАЛОСТНЫХ ТРЕЩИН СМЕШАННОГО ТИПА В ОБРАЗЦАХ ИЗ СТАЛИ В. М. Тихомиров, П. Г. Суровин Сибирский государственный университет

Подробнее

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет»

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Внецентренное действие продольных сил

Внецентренное действие продольных сил Внецентренное действие продольных сил C C Центральное сжатие (растяжение) Внецентренное сжатие (растяжение) Внецентренное сжатие (растяжение) это случай нагружения, когда линия действия сжимающей (растягивающей

Подробнее

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки Теория напряженного состояния Понятие о тензоре напряжений, главные напряжения Линейное, плоское и объемное напряженное состояние Определение напряжений при линейном и плоском напряженном состоянии Решения

Подробнее

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ»

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ» Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ» Контрольные задания по дисциплине «Строительная механика» 1 Оглавление Общие

Подробнее

Моделирование волн деформаций в физически нелинейной оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость

Моделирование волн деформаций в физически нелинейной оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 69 www.ai./siee/dy/ УДК 5.8:5.56 Моделирование волн деформаций в физически нелинейной оболочке содержащей вязкую несжимаемую жидкость Блинков Ю. А. * Иванов С. В.

Подробнее

РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ С ЖЕСТКИМ ЦЕНТРОМ, НАГРУЖЕННОЙ ДАВЛЕНИЕМ

РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ С ЖЕСТКИМ ЦЕНТРОМ, НАГРУЖЕННОЙ ДАВЛЕНИЕМ УДК -78 В.Ф. Увакин, В.Б. Олькова РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ С ЖЕСТКИМ ЦЕНТРОМ, НАГРУЖЕННОЙ ДАВЛЕНИЕМ Можно показать, что нелинейные дифферениальные

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

19. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ Основные понятия. Устойчивое и неустойчивое равновесие

19. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ Основные понятия. Устойчивое и неустойчивое равновесие Лекция 19 Понятие об устойчивости систем. Формы и методы определения устойчивости. Задача Эйлера. Условия закрепления концов стержня. Критические напряжения. Расчет на устойчивость. Расчет на устойчивость

Подробнее

4. Постоянное магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле.

4. Постоянное магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле. 4 Постоянное магнитное поле в вакууме Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле Закон Био-Савара-Лапласа: [ dl, ] db =, 3 4 π где ток, текущий по элементу проводника dl, вектор dl направлен

Подробнее

1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КУРСА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» 1.1. Основные определения сопротивления материалов

1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КУРСА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» 1.1. Основные определения сопротивления материалов Введение. Общие понятия и принципы дисциплины «Сопротивление материалов». Реальный объект и расчетная схема. Внешние силовые факторы (классификация). Определение внутренних усилий методом мысленных сечений.

Подробнее

Т е м а 5 Определенный интеграл

Т е м а 5 Определенный интеграл 8 Т е м а 5 Определенный интеграл Понятие определенного интеграла используют при решении практических задач, в частности, в задачах по вычислению площадей плоских фигур, расчету работы, производимой переменной

Подробнее

= z k. z(z 1) 1 + (λ k )

= z k. z(z 1) 1 + (λ k ) Владикавказский математический журнал 03, Том 5, Выпуск, С. 3 9 УДК 5 ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ СПРАВЕДЛИВОСТИ ГИПОТЕЗЫ РИМАНА О НУЛЯХ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ Ю. Ф. Коробейник Дорогому Анатолию Георгиевичу в знак искреннего

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет Определенный интеграл Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Подробнее

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ... 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ... 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ. СОДЕРЖАНИЕ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ... 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗГИБА ПЛАСТИНКИ... 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ... 9 СИММЕТРИЧНЫЙ

Подробнее

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2000. Том 4, 6 УДК 57.5 О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Аннотация: Рассматривается

Подробнее

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕУПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКИ, ЧАСТИЧНО ОПЕРТОЙ НА УПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕУПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКИ, ЧАСТИЧНО ОПЕРТОЙ НА УПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ УДК. МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕУПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКИ ЧАСТИЧНО ОПЕРТОЙ НА УПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ д.ф.-м.н. Яровая А. В. асп. Поддубный А. А. УО «Белорусский государственный университет

Подробнее

Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Теория упругости излагается как часть теоретической физики. Наряду с традиционными вопросами рассматриваются

Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Теория упругости излагается как часть теоретической физики. Наряду с традиционными вопросами рассматриваются Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Теория упругости излагается как часть теоретической физики. Наряду с традиционными вопросами рассматриваются макроскопическая теория теплопроводности и вязкости

Подробнее

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя?

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя? Экзаменационные вопросы по ТФКП. Вопрос 1. Элементарные операции с комплексными числами. Элементарные функции комплексной переменной. 1 Операция сложения комплексных чисел. Ее геометрическая интерпретация.

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов всех специальностей очной формы

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

ПРОГРАММА вступительных испытаний по дисциплине «Техническая механика»

ПРОГРАММА вступительных испытаний по дисциплине «Техническая механика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет морского и речного

Подробнее

ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА КОЛЕБАНИЯ КОНТАКТНЫХ СЕРДЕЧНИКОВ ГЕРКОНОВ

ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА КОЛЕБАНИЯ КОНТАКТНЫХ СЕРДЕЧНИКОВ ГЕРКОНОВ ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА КОЛЕБАНИЯ КОНТАКТНЫХ СЕРДЕЧНИКОВ ГЕРКОНОВ В.Е. Хроматов, к.т.н., Т.Н. Голубева 5, Россия, г. Москва, ул. Красноказарменная, 4 Московский энергетический институт (Технический

Подробнее

7 Координаты центра тяжести

7 Координаты центра тяжести 7 Координаты центра тяжести Используя математический пакет Mm, найти координаты центра тяжести плоской фигуры Результат представить графически Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями

Подробнее

Геометрические приложения определенного интеграла

Геометрические приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Кривая L на плоскости задается своей параметризацией x = x(t), y = y(t), t [t, T ]. (1) Заметим, что изменяется единственный параметр t. Часто говорят,

Подробнее

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ. «Расчет статически определимых многопролетной балки, плоской фермы, арки. Метод сил.»

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ. «Расчет статически определимых многопролетной балки, плоской фермы, арки. Метод сил.» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гродненский государственный университет им. Я. Купалы» Факультет строительства и транспорта Кафедра «Строительное производство» ЗАДАНИЕ

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ПОЛИГОНАЛЬНЫХ ПЛАСТИН СО СВОБОДНЫМ ОТВЕРСТИЕМ ПРИ ИХ ДИНАМИЧЕСКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ПОЛИГОНАЛЬНЫХ ПЛАСТИН СО СВОБОДНЫМ ОТВЕРСТИЕМ ПРИ ИХ ДИНАМИЧЕСКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ 174 Труды Нижегородского государственного технического университета им РЕ Алексеева 4(83) УДК 5394+53937 ЮВ Немировский ТП Романова ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ПОЛИГОНАЛЬНЫХ ПЛАСТИН

Подробнее

КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В. Кафедра высшей математики

КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В. Кафедра высшей математики КРСУ Давидюк ТА Гончарова ИВ Кафедра высшей математики КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ УДК 7 Д Рецензенты: д-р физ-мат наук проф ТМ Иманалиев ст преподаватель НМ Комарцов

Подробнее

S с плотностью стороннего заряда. По теореме Гаусса

S с плотностью стороннего заряда. По теореме Гаусса 5 Проводники в электрическом поле 5 Проводники Проводниками называются вещества, в которых при включении внешнего поля перемещаются заряды и возникает ток Наиболее хорошими проводниками электричества являются

Подробнее

В.К. МАНЖОСОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ

В.К. МАНЖОСОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В.К. МАНЖОСОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ УЛЬЯНОВСК 2001 УДК 539.9(076) ББК30.12я7 М23 Манжосов

Подробнее

3. Применение рядов Фурье для расчета цепей переменного тока

3. Применение рядов Фурье для расчета цепей переменного тока 3. Применение рядов Фурье для расчета цепей переменного тока Представление функций рядами Фурье Рассмотрим произвольную периодическую функцию y(, имеющую период Т (т.е. y(= y(t+т) для любого. Представление

Подробнее

Лекция 2. Инварианты плоских кривых

Лекция 2. Инварианты плоских кривых Лекция 2. Инварианты плоских кривых План лекции. Гладкие кривые на плоскости, число вращения, классификация кривых с точностью до гладкой гомотопии, точки самопересечения, число Уитни, теорема Уитни..1

Подробнее

ϕ =, если положить потенциал на

ϕ =, если положить потенциал на . ПОТЕНЦИАЛ. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Потенциал, создаваемый точечным зарядом в точке A, находящейся на, если положить потенциал на бесконечности равным нулю: φ( ). Потенциал, создаваемый в

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный технологический

Подробнее

Глава 7. Определенный интеграл

Глава 7. Определенный интеграл 68 Глава 7 Определенный интеграл 7 Определение и свойства К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи вычисления площадей, объемов, работы, объема производства, денежных потоков и тп

Подробнее

Томский государственный архитектурно-строительный университет М.О. Моисеенко, О.Н. Попов, Е.В. Евтюшкин, Д.Н. Песцов

Томский государственный архитектурно-строительный университет М.О. Моисеенко, О.Н. Попов, Е.В. Евтюшкин, Д.Н. Песцов Учет взаимосвязи учебного материала предметов теоретической и строительной механики в условиях формирования национальной доктрины инженерного образования Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины Цель дисциплины

1. Цели и задачи дисциплины Цель дисциплины 2 1.1. Цель дисциплины 1. Цели и задачи дисциплины Дисциплина «Сопротивление материалов» относится к общетехническому циклу и имеет своей целью усвоение будущими специалистами основ инженерной подготовки

Подробнее

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( )

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( ) 6 9 Замена переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Общий случай замены переменной в двойном и тройном интегралах. Якобиан. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Подробнее

Расчет элементов стальных конструкций.

Расчет элементов стальных конструкций. Расчет элементов стальных конструкций. План. 1. Расчет элементов металлических конструкций по предельным состояниям. 2. Нормативные и расчетные сопротивления стали 3. Расчет элементов металлических конструкций

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина» В.В. Чупин СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Учебное электронное

Подробнее

Оглавление. 10c. Лекция 9. Определение перемещений при изгибе. Лекция 10. Продольный изгиб прямого стержня. 11с. 99с. Всего

Оглавление. 10c. Лекция 9. Определение перемещений при изгибе. Лекция 10. Продольный изгиб прямого стержня. 11с. 99с. Всего Оглавление Лекция. Введение. Задачи курса. Понятие о расчетной схеме. Лекция. Внутренние силовые факторы. Метод сечений. Напряжения, перемещения и деформации. Лекция. Растяжение. Построение эпюр продольных

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ"

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ" ВВЕДЕНИЕ Сопротивление материалов - есть наука о расчете элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. Основными задачами сопротивления

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. Уравнения математической физики «Прикладные математика и физика» базовая часть 4 зач. ед.

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. Уравнения математической физики «Прикладные математика и физика» базовая часть 4 зач. ед. УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе и экономическому развитию Д.А. Зубцов 29 января 2016 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ по дисциплине: по направлению подготовки факультет: кафедра: курс: Уравнения математической

Подробнее

Актуганов Александр Анварович

Актуганов Александр Анварович На правах рукописи Актуганов Александр Анварович РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПОПЕРЕЧНОГО ИЗГИБА ПЛАСТИНОК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 5.3.7 Строительная механика

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Оглавление. 1. Метод интегральных сумм Примеры решения задач Задачи типового расчета Список литературы... 21

Оглавление. 1. Метод интегральных сумм Примеры решения задач Задачи типового расчета Список литературы... 21 1. Метод интегральных сумм...................... Примеры решения задач....................... 3 3. Задачи типового расчета....................... 17 Список литературы............................ 1 1. Метод

Подробнее

Электростатика. Магнитостатика. Электромагнитная индукция. Электрическое поле в проводящей среде.

Электростатика. Магнитостатика. Электромагнитная индукция. Электрическое поле в проводящей среде. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Э.БАУМАНА Л.А.Лунёва, С.Н.Тараненко, В.Г.Голубев, А.В.Козырев, А.В. Купавцев. Электростатика. Магнитостатика. Электромагнитная индукция. Электрическое

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН ПРИ НЕОДНОРОДНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ. Мелешко И.Н., Пронкевич С.А.

ЧИСЛЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН ПРИ НЕОДНОРОДНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ. Мелешко И.Н., Пронкевич С.А. УДК 539.3 ЧИСЛЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН ПРИ НЕОДНОРОДНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ. Мелешко И.Н. Пронкевич С.А. УО «Белорусский национальный технический университет»

Подробнее

МГТУ им. Н.Э.Баумана. В.Г.Голубев, М.А.Яковлев Методические указания к решению задач по курсу общей физики Раздел «Электростатика»

МГТУ им. Н.Э.Баумана. В.Г.Голубев, М.А.Яковлев Методические указания к решению задач по курсу общей физики Раздел «Электростатика» МГТУ им НЭБаумана ВГГолубев, МАЯковлев Методические указания к решению задач по курсу общей физики Раздел «Электростатика» Под редакцией ОС Литвинова Москва, 5 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Основные сведения по

Подробнее

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения.

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Если тело движется прямолинейно и равномерно, то для определения перемещения тела достаточно знать его скорость и время движения. Но как подойти к

Подробнее

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией.

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией. Лекция: Определенный интеграл. Введение. Рассмотрим график функции y f () непрерывной на отрезке ; и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, y f ( ),,. Эту фигуру будем называть криволинейной

Подробнее

после интегрирования получаем: = 2 pa, то есть формулу Лапласа. Растягивающие напряжение σ , если считать трубу тонкостенной (h<<a), = p.

после интегрирования получаем: = 2 pa, то есть формулу Лапласа. Растягивающие напряжение σ , если считать трубу тонкостенной (h<<a), = p. УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ Рассмотрим круглую трубку длины l, радиуса а, и толщиной h Приложим к ней следующие нагрузки: растягивающую силу Р, крутящий момент М и внутреннее давление р Мысленно вырежем малый

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Украины Донбасская государственная машиностроительная академия СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по подготовке к практическим занятиям (для студентов всех

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет РАБОЧАЯ ПРОГРАММА спецкурса: СОПРОМАТ. ЧАСТЬ 1 Кафедра Газовой и волновой и динамики Лектор - профессор Звягин

Подробнее

Лекция 3.1 (часть 1) Колебания и волны.

Лекция 3.1 (часть 1) Колебания и волны. Лекция 3.1 (часть 1) Колебания и волны. План: 1. Общие представления о колебательных и волновых процессах. 2. Гармонические колебания и их характеристики. 3. Сложение колебаний. 4. Механические гармонические

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

для выполнения лабораторной работы 4

для выполнения лабораторной работы 4 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИБЛИЖЕННОЕ

Подробнее

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида: Лекция 9. Вычисление тройного интеграла. Криволинейные системы координат. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в кратных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Л Е МОРОЗОВА, В Б СМИРНОВА ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений

Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Математический анализ Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений Новопоселенких

Подробнее

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim.

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim. Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

Подробнее

К ПОСТАНОВКЕ НЕЛИНЕЙНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ

К ПОСТАНОВКЕ НЕЛИНЕЙНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ 48 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2007. Т. 48, N- 2 УДК 532.5: 533.6 К ПОСТАНОВКЕ НЕЛИНЕЙНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ Д. Н. Горелов Омский филиал Института

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

ϕ(r) = Q a + Q 2a a 2

ϕ(r) = Q a + Q 2a a 2 1 Урок 14 Энергия поля, Давление. Силы 1. (Задача.47 Внутри плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием d между ними находится пластинка из стекла, целиком заполняющая пространство между пластинами

Подробнее

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА В СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ ТРАНСПОРТНЫХ СООРУЖЕНИЙ

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА В СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ ТРАНСПОРТНЫХ СООРУЖЕНИЙ СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА В СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ ТРАНСПОРТНЫХ СООРУЖЕНИЙ Под общей редакцией С.В. Елизарова Монография Москва 2011 1 УДК 624.04 ББК 38.112 С20 Авторы: д-р техн. наук, проф. С.В.

Подробнее

Статика стержневых систем Курс лекций по строительной механике Часть 1. Статически определимые системы

Статика стержневых систем Курс лекций по строительной механике Часть 1. Статически определимые системы Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет» С. А. Маврина Статика стержневых систем Курс

Подробнее

Лекц ия 20 Действие магнитного поля на проводник с током и на движущийся заряд

Лекц ия 20 Действие магнитного поля на проводник с током и на движущийся заряд Лекц ия 0 Действие магнитного поля на проводник с током и на движущийся заряд Вопросы. Сила Ампера. Сила взаимодействия параллельных токов. Контур с током в магнитном поле. Магнитный момент тока. Действие

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет имени НИЛобачевского СЮ Галкина, ОЕ Галкин ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Курс лекций Рекомендовано

Подробнее