2014, 4, c Р.В. МАРКОВ ПИРСОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУКОЛЕЦ С ИНВОЛЮЦИЕЙ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "2014, 4, c Р.В. МАРКОВ ПИРСОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУКОЛЕЦ С ИНВОЛЮЦИЕЙ"

Транскрипт

1 Известия вузов. Математика , 4, c e-mal: Р.В. МАРКОВ ПИРСОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУКОЛЕЦ С ИНВОЛЮЦИЕЙ Аннотация. В статье вводится понятие пирсовского представления полуколец с инволюцией аналог пирсовского представления колец. Строятся максимальный спектр, пирсовская конгруэнция, пирсовский пучок полуколец с инволюцией, пирсовские слои полуколец с инволюцией, доказывается основная теорема об изоморфизме полукольца с инволюцией и полукольца с инволюцией глобальных сечений этого пучка. Ключевые слова: полукольцо, полукольцо с инволюцией, пирсовский пучок, пирсовский слой, функциональное представление полукольца. УДК: В фундаментальной работе Р.С. Пирса [1] построены пучки колец на стоуновском пространстве кольца как на базисном пространстве пирсовские пучки. Любое кольцо изоморфно кольцу сечений своего пирсовского пучка. Эта структура успешно используется для изучения колец с большим количеством центральных идемпотентов, в которых пирсовский пучок нетривиален [2]. Впоследствии структура пирсовского пучка была перенесена на другие объекты, в том числе полумодули [3], полукольца [4], полутела [5]. Данная статья посвящена построению пирсовского пучка полуколец с инволюцией и получению изоморфного представления полукольца с инволюцией сечениями пирсовского пучка. 1. -идемпотенты, кольцо BS Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы: 1) (S, +) коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0, 2) (S, ) полугруппа с нейтральным элементом 1, 3) умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон, 4) 0a =0=a0 для любого a S. Определение 2. Полукольцо S называется полукольцом с инволюцией, если в нем введена унарная операция так, что выполнены следующие условия: 1) (a + b) = a + b, 2) (a ) = a, 3) (ab) = b a для всех a, b S. Поступила

2 ПИРСОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУКОЛЕЦ С ИНВОЛЮЦИЕЙ 19 Для краткости записи обозначим (a ) = a. Определение 3. Мультипликативный идемпотент e полукольца с инволюцией S называется центральным дополняемым симметричным идемпотентом, если 1) e центральный: ( x S)(ex = xe), 2) e дополняемый: ( e S)(e + e =1 ee =0),гдеe дополнение к e, 3) e симметричный: e = e. Центральный дополняемый симметричный идемпотент назовем -идемпотентом. Лемма 1. В полукольце с инволюцией выполняется 1) 0 =0, 2) 1 =1, 3) если e идемпотент, то e также идемпотент. Доказательство. По определениям 2, 3 0=0 =(0+0 ) =0 +0 =0, Утверждение 3) очевидно. 1=1 =(1 1 ) =1 1 =1. Лемма 2. Для любого -идемпотента e из полукольца с инволюцией S дополнение e является -идемпотентом и задается однозначно. Доказательство. Во-первых, e = e (e + e )=e e + e 2 = e 2. Во-вторых, e центральный идемпотент, значит, e xe =0=exe. Поэтому e x = e x(e + e )=e xe + e xe = e xe +0=e xe + exe =(e + e)xe = xe для любого x S. В-третьих, по определению 3 e дополнение к e. Пустьe также дополнение к e. Тогда e = e (e + e )=e e = ee + e e =(e + e )e = e. Осталось показать симметричность e. Используя лемму 1, получаем 1=(e + e ) = e + e = e + e, Следовательно, e = e. 0=(ee ) = e e = e e = ee. Через BS обозначим множество всех -идемпотентов полукольца S. Определим на BS три операции: e f = ef + e f; e, f BS, умножение в S, инволюция в S. Предложение 1. Множество BS,,, является булевым кольцом с инволюцией.

3 20 Р.В. МАРКОВ Доказательство. Элемент ef + e f будет дополнением к элементу e f для e, f BS, поскольку (e f)+(ef + e f )=ef + e f + ef + e f = e(f + f)+e (f + f )=e + e =1, (e f)(ef + e f )=(ef + e f)(ef + e f )=ef f + e ef + ee f + e ff =0. Следовательно, ef + e f BS. Дополнением к ef будет элемент ef + e. Получили, что операции и замкнуты в BS. Покажем замкнутость в BS. Для этого достаточно показать симметричность элементов e f и ef: (e f) = e f + e f = e f, (ef) = f e = fe = ef. Ассоциативность, коммутативность операций и дистрибутивность умножения относительно сложения проверяются тривиально. Нуль полукольца S будет также нулем в BS : 0 e =0 e +1 e = e. Наконец, каждый идемпотент e BS совпадает со своим противоположным элементом: e e =0. 2. Пространство Max BS Пусть Max BS множество всех максимальных идеалов булева кольца BS.Введем топологию на этом множестве, определив открытые множества как D(A) ={M Max BS : A M} для любого идеала A кольца BS. Для любого идемпотента e BS обозначим D(e) =D(eBS )={M Max BS : e/ M}. Предложение 2. Для любого полукольца S множество Max BS всех максимальных идеалов булева кольца BS является нульмерным компактом с базой открыто-замкнутых множеств вида D(e), e BS. Доказательство. Множество D(0) = {M Max BS : M 0} пусто, а Max BS = D(1). Пусть A, B, A идеалы кольца BS.Тогда D(A) D(B) ={M Max BS : A M B M} = {M Max BS : AB M} = D(AB), { D(A )= {M Max BS : A M} = M Max BS : } ( A M = D A ). Введенная топология называется топологией Стоуна Зарисского. Заметим, что для каждых M Max BS и e, e BS в точности только один из e, e лежит в M. Пусть M, N различные максимальные идеалы кольца BS, тогда найдется e BS такой, что e M \ N, e N \ M. Поэтому D(e) и D(e ) содержат N и M соответственно и не пересекаются, так как D(e) D(e )=D(ee )=D(0) =. Следовательно, Max BS хаусдорфово пространство. Семейство подмножеств вида D(e) образует базис пространства Max BS, и множества D(e) открыто-замкнуты. Действительно, для любого идеала A справедливо D(A) = D(e ),

4 ПИРСОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУКОЛЕЦ С ИНВОЛЮЦИЕЙ 21 где e пробегает множество всех элементов идеала A, и D(e) D(e )=D(e e )=D(1) = Max BS, D(e) D(e )=. Следовательно, Max BS нульмерное пространство. Покажем компактность Max BS.Пусть D(A )=MaxBS ( для некоторого произвольного множества идеалов T = {A }.Тогда D(A )=D A и A не принадлежит ни ) одному идеалу из Max BS. Следовательно, 1 A и 1=e 1 e k для некоторых представителей e j конечного множества идеалов A j T. Очевидно, множество {D(A j )} является открытым покрытием Max BS. 3. Конгруэнция Пирса Всюду далее под термином конгруэнция будем подразумевать конгруэнцию полукольца с инволюцией, т. е. отношение эквивалентности, стабильное как относительно операций полукольца, так и относительно инволюции. Определение 4. Семейство конгруэнций ( x ) на полукольце с инволюцией S, индексированное точками x топологического пространства X, называется открытым семейством, если для любых a, b S множество V (a, b) ={x X : a x b} открыто в X. Для любого максимального идеала M Max BS введем отношение эквивалентности δ M на полукольце S a b(δ M ) ae = be для некоторого идемпотента e M. Предложение 3. Пусть M Max BS. Отношение δ M является конгруэнцией на полукольце с инволюцией S. Доказательство. Рефлексивность и симметричность отношения δ M являются прямыми следствиями определения 6. Покажем его транзитивность. Пусть выполняются равенства ae = be и bf = cf для некоторых идемпотентов e, f M. Домножим справа первое равенство на f, второе на e. Тогда с учетом центральности идемпотентов получим ae f = ce f. Непосредственно проверяется, что (e f ) = ef + f M. Пусть для некоторых a, b, a,b S выполняется a b(δ M ) и a b (δ M ). Это означает, что ae = be и a f = b f для некоторых e, f M. Тогдаae f = be f и a e f = b e f, откуда (a + a )e f =(b + b )e f. Аналогично показывается сохранение операции умножения (aa )e f =(bb )e f. Покажем сохранение инволюции. Пусть для некоторых a, b M выполняется a b(δ M ), т. е. ae = be для некоторого e M. Применив инволюцию, получим (ae ) =(be ) e a = e b a e = b e a b (δ M ).

5 22 Р.В. МАРКОВ Определение 5. Конгруэнции вида δ M назовем конгруэнциями Пирса. Предложение 4. Семейство {δ M } всех конгруэнций Пирса на полукольце с инволюцией S, индексированное точками M топологического пространства Max BS, образует открытое семейство. Доказательство. Пусть M V, тогда a b(δ M ) и ae = be для некоторого e M. Если N произвольный максимальный идеал из D(e ),тоa b(δ N ), и поэтому D(e ) V. Поскольку V вместе с произвольной своей точкой M содержит некоторую ее окрестность, то V открыто. 4. Представление Пирса Определение 6. Тройка (P,π,X) называется пучком полуколец с инволюцией, если выполняются следующие условия: (1) X и P топологические пространства, (2) π : P X локальный гомеоморфизм, (3) для каждой точки x X множество P x = π 1 (x) является полукольцом с инволюцией и называется слоем пучка P в точке x, (4) поточечно определенные операции +,, непрерывны, (5) отображения 0 и 1, ставящие каждой точке x X соответственно нуль 0 x и единицу 1 x полукольца P x, непрерывны. Непрерывные функции из X в P, для которых каждая точка базисного пространства отображается в соответствующий слой пучка, носят название глобальных сечений пучка P. Непосредственно из определения следует, что множество всех глобальных сечений пучка полуколец с инволюцией с поточечно определенными операциями является полукольцом с инволюцией. Предложение 5 ([6], [7]). Пусть S полукольцо с инволюцией, X топологическое пространство. Тогда эквивалентны следующие условия: (1) ( x ),x X открытое семейство конгруэнций на S, (2) (P, X) пучок полуколец с инволюцией, где P = {S/ x : x X}. Из предложений 4 и 5 следует, что дизъюнктное объединение P (S) = {S/δ M : M Max BS } над топологическим пространством Max BS является пучком полуколец с инволюцией. Пучок P (S) называется пирсовским пучком полуколец с инволюцией. Для каждого M Max BS полукольцо с инволюцией S/δ M называется пирсовским слоем пучка P (S) в точке M. Определение 7. Полукольцевой гомоморфизм (изоморфизм) ϕ полукольца с инволюцией S называется -гомоморфизмом ( -изоморфизмом), если для каждого a S выполняется ϕ(a )=ϕ(a). Определение 8. Функциональным представлением полукольца с инволюцией S называется полукольцевой -гомоморфизм α : S Γ(P (S),X) полукольца S в полукольцо всех глобальных сечений пучка P (S) над топологическим пространством X.

6 ПИРСОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУКОЛЕЦ С ИНВОЛЮЦИЕЙ 23 Пусть a произвольный элемент полукольца S. Стандартно проверяется, что глобальным сечением пучка P (S) над Max BS является отображение â :MaxBS P (S), заданное равенством â(m) =a M для каждого M Max BS. (Здесь a M класс элемента a в фактор-полукольце S/δ M.) Теорема. Для любого полукольца с инволюцией S отображение α : S Γ(P (S), Max BS ), α(a) =â, является функциональным представлением и -изоморфизмом между S и полукольцом всех глобальных сечений его пирсовского пучка. Доказательство. Легко убедиться, что α -гомоморфизм. По определению 8 α функциональное представление. Пусть a b(δ M ) M Max BS. Покажем, что a = b. Предположим, что идеал T = {e BS : ae = be} собственный, т. е. лежит в некотором N Max BS. Поскольку af = bf для некоторого f N и f T N по определению идеала T,тоf f =1 N. Противоречие означает, что T = BS и 1 T, следовательно, a = b. Пусть σ Γ(P (S), Max BS ) произвольное глобальное сечение. Очевидно, каждый пирсовский слой является фактор-полукольцом с инволюцией исходного полукольца с инволюцией. Следовательно, для каждой точки M Max BS найдется такой элемент r M S, что σ(m) = r M (M) и по общему свойству пучков [8] сечения σ и r M совпадают на некотором открытом U Max BS, а именно, на некотором базисном D(e M ) Max BS,где e M / M. По свойству компактности Max BS (см. предложение 2) найдутся конечное открытое покрытие D(e M )=MaxBS, идемпотенты e 1,...,e k BS и r 1,...,r k S такие, что 1) σ = r на D(e ), 2) e e k =1, причем можно считать, что D(e ) D(e j )= для j, откуда e e j =0. Пусть s = e 1 r 1 + e 2 r e k r k. (1) Если N D(e ),тоe N и e / N. Тогдаŝ(N) =ê s(n)+ê s(n). Поскольку e N, тоê (N) = 0(N) и ŝ(n) =ê s(n). Используя e e j =0и (1), получаем ŝ(n) =ê ŝ(n) =ê r (N), а поскольку e 1(N), то ŝ(n) =ê r (N) = r (N). Отсюдаŝ(N) = r (N) =σ(n) как для каждого N D(e ),таки для каждого M Max BS, значит, ŝ = σ. Литература [1] Perce R.S. Modules over commutatve regular rngs, Mem. Amer. Math. Soc. 70, (1967). [2] Туганбаев А.А. Теория колец. Арифметические модули и кольца. (МЦНМО, М., 2009). [3] Чермных В.В. Пучковые представления полуколец, УМН 48 (5), (1993). [4] Чермных В.В. Функциональные представления полуколец (Изд-во ВятГГУ, Киров, 2010). [5] Вечтомов Е.М. Функциональные представления колец (Изд-во МПГУ, М., 1993). [6] Davey B.A. Sheaf spaces and sheaves of unversal algebras, Math. Z. 134, (1973).

7 24 Р.В. МАРКОВ [7] Чермных В.В. Функциональные представления полуколец, Фундамент. и прикл. матем. 17 (3), (2012). [8] Бредон Г.Э. Теория пучков (Наука, М., 1988). Р.В. Марков аспирант, кафедра алгебры и дискретной математики, Вятский государственный гуманитарный университет, ул. Красноармейская, д. 26, г. Киров, , Россия, e-mal: R.V. Markov Perce sheaf for semrngs wth nvoluton Abstract. We ntroduce the concept of Perce sheaf for semrngs wth nvoluton, an analog of Perce sheaf for rngs. We construct maxmal spectrum, Perce congruence, Perce sheaf of semrngs wth nvoluton, Perce stalk of semrng wth nvoluton. We prove man theorem on the somorphsm of semrng wth nvoluton and semrng wth nvoluton of global sectons of Perce sheaf. Keywords: semrng, semrng wth nvoluton, Perce sheaf, Perce stalk, functonal representaton of a semrng. R.V. Markov Postgraduate, Char of Algebra and Dscrete Mathematcs, Vyatka State Unversty of Humantes, 26 Krasnoarmeskaya str., Krov, Russa, e-mal:

Булевы алгебры Учебное пособие по спецкурсу 1 к. ф.-м. н. С. Ю. Подзоров НГУ,

Булевы алгебры Учебное пособие по спецкурсу 1 к. ф.-м. н. С. Ю. Подзоров НГУ, Булевы алгебры Учебное пособие по спецкурсу 1 к. ф.-м. н. С. Ю. Подзоров НГУ, 2003 2004. 1 Основные определения. Пусть L = L, частично упорядоченное множество. L называется верхней полурешеткой, если для

Подробнее

Тема 1-3: Соответствия и отношения

Тема 1-3: Соответствия и отношения Тема 1-3: Соответствия и отношения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

Лекция: Группы. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок. Подгруппы. Теорема Кэли.

Лекция: Группы. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок. Подгруппы. Теорема Кэли. Лекция: Группы. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок. Подгруппы. Теорема Кэли. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по Избранным вопросам дискретной математики. 3-й курс,

Подробнее

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Приложение 1 ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Для криптографии алгебра является одним из основных инструментов в теоретических исследованиях и практических построениях криптографических преобразований Поэтому в этом

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Предложение 1. Предложение 2.

Предложение 1. Предложение 2. 2. ПРЯМОЕ ВВЕДЕНИЕ ПОРЯДКА В СИСТЕМЕ ПЕАНО В конце XIX века было завершено построение содержательных аксиоматических теорий двух важнейших областей математики - арифметики и евклидовой геометрии (Гильберт).

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Мультипликативные порядки на одночленах

Мультипликативные порядки на одночленах Мультипликативные порядки на одночленах Е. В. ГОРБАТОВ Московский государственный университет им.м.в.ломоносова УДК 512.714+512.536 Ключевые слова: коммутативное кольцо, алгебра полиномов, порядок на одночленах,

Подробнее

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты 97 01 00795 и 96 15 96095.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты 97 01 00795 и 96 15 96095. УДК 52.54 П.А. Крылов, Е.Г. Пахомова, Е.И. Подберезина ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СМЕШАННЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты 97 0 00795 и 96 5 96095. Рассматриваются условия конечности

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция 10. Подгруппы, смежные классы, индекс подгруппы в группе. Теорема Лагранжа о порядке конечной группы. Нормальные подгруппы, фактор-группа. Орбита и стабилизатор элемента, теорема о порядке стабилизатора

Подробнее

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Ткачев С.Б. каф. Математического моделирования МГТУ им. Н.Э. Баумана ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ИУ5 4 семестр, 2015 г. Лекция 10. АЛГЕБРЫ: ПОЛУКОЛЬЦА Определение 10.1. Полукольцо это алгебра с двумя бинарными

Подробнее

ИНВАРИАНТЫ ОТНОШЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ А. Г. Пинус

ИНВАРИАНТЫ ОТНОШЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ А. Г. Пинус Сибирский математический журнал Март апрель, 2000. Том 41, 2 УДК 519.48 ИНВАРИАНТЫ ОТНОШЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ А. Г. Пинус Аннотация: Описаны теоретико-множественные инварианты отношения рациональной

Подробнее

Линейная алгебра и функции многих переменных

Линейная алгебра и функции многих переменных Линейная алгебра и функции многих переменных В. С. Булдырев Б. С. Павлов 9 февраля 22 г. 2 Часть I Линейная алгебра 3 Глава 1 Линейное пространство Эта глава служит введением в теорию линейных пространств.

Подробнее

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать.

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать. 9 Так как MUN = MUN, то из включения (*) получаем MUN MUN Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN что и требовалось доказать Имеет место следующая Теорема (Куратовского) Пусть на

Подробнее

3 Понятие топологического пространства. Примеры

3 Понятие топологического пространства. Примеры 3 Понятие топологического пространства. Примеры В теории метрических пространств отрытые множества, окрестности предельные точки и другие понятия определяются с использованием понятия метрики. Возможен

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины А. В. БУЗЛАНОВ, С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. С. МОНАХОВ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Введение в теорию обобщенных функций

Введение в теорию обобщенных функций Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Лекционные курсы НОЦ Выпуск 5 Издание выходит с 2006 года Ю. Н. Дрожжинов, Б. И. Завьялов Введение в теорию обобщенных функций Москва

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 4 4.1. Банаховы пространства Напомним, что последовательность (x n ) в метрическом пространстве (, ρ) называется фундаментальной (или последовательностью Коши),

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В пособии не излагается теория чисел а дан минимальный инструментарий из этой теории который в дальнейшем потребуется для изучения криптографических систем используемых

Подробнее

Домашнее задание 1. Анастасия Махонина

Домашнее задание 1. Анастасия Махонина Анастасия Махонина Домашнее задание 1 Определение 1. Непустое множество G с заданной на нѐм бинарной операцией *: G G G называется группой (G, *), если выполнены следующие аксиомы: a. ассоциативность:

Подробнее

ВЫСШАЯ АЛГЕБРА Конспект лекций

ВЫСШАЯ АЛГЕБРА Конспект лекций ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ А В Васильев, В Д Мазуров ВЫСШАЯ АЛГЕБРА Конспект лекций Часть I Новосибирск 2010 УДК 512

Подробнее

ÂÛÑØÅÅ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ Ã.Ì. ÀÌÀÒÎÂÀ, Ì. À.ÀÌÀÒÎÂ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Â ÄÂÓÕ ÊÍÈÃÀÕ. Êíèãà 2

ÂÛÑØÅÅ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ Ã.Ì. ÀÌÀÒÎÂÀ, Ì. À.ÀÌÀÒÎÂ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Â ÄÂÓÕ ÊÍÈÃÀÕ. Êíèãà 2 ÂÛÑØÅÅ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ Ã.Ì. ÀÌÀÒÎÂÀ, Ì. À.ÀÌÀÒÎÂ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Â ÄÂÓÕ ÊÍÈÃÀÕ Êíèãà 2 Рекомендовано Учебно-методическим объединением по специальностям педагогического образования в качестве учебного

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ Возьмем натуральное целое число m, которое будем называть модулем. Определение. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если разность (a b) делится на m (m a

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

11. Пределы. C opp Set : C Hom Fun(N ;C )(C; X)

11. Пределы. C opp Set : C Hom Fun(N ;C )(C; X) . Пределы.. Пределы диаграмм. Пусть N малая категория. Будем думать о ней как о «шаблоне» диаграммы, вершинами которой являются объекты Ob N, а стрелками всевозможные морфизмы ( ) MorN. С этой точки зрения

Подробнее

Лекция 22. Линейные отображения.

Лекция 22. Линейные отображения. Лекция 22. Линейные отображения. 1 Определение Созданная нами «вселенная», векторное пространство, оснащено двумя структурами: алгебраической и геометрической. Здесь под геометрической структурой мы понимаем

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПОНЯТИЯ и ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФАКТЫ

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПОНЯТИЯ и ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФАКТЫ Глава 1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПОНЯТИЯ и ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФАКТЫ Пусть E линейное (также говорят векторное) пространство, рассматриваемое над полем R, то есть множество E на котором введены операции сложения

Подробнее

О группах ограниченных подстановок

О группах ограниченных подстановок Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics 200, 3(2), 262 266 УДК 59.45 Николай М. Сучков Надежда Г. Сучкова Институт фундаментальной подготовки, Сибирский федеральный университет, Свободный

Подробнее

Теория решеток для интеллектуального анализа данных

Теория решеток для интеллектуального анализа данных Теория решеток для интеллектуального анализа данных С.О. Кузнецов Тема 2. Порядки и графы ТРИАД 2 p. 1 Квазипорядки Квазипорядок - рефлексивное и транзитивное бинарное отношение. Квазипорядок задает отношение,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

18. Отображения, отношения и лемма Цорна

18. Отображения, отношения и лемма Цорна 18. Отображения, отношения и лемма Цорна Вернемся еще раз к теории множеств будем надеяться, что последний раз в курсе анализа. Вы уже знакомы с понятием отображения множеств. Именно, отображение f : X

Подробнее

НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП ЛЕКЦИЯ 17 ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 1 ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА Предложение 1. В ассоциативной алгебре A с единицей размерности n над полем

Подробнее

КОНЕЧНЫЕ ПЕРЕКРУЧЕННЫЕ ГРУППЫ А. Л. Мыльников

КОНЕЧНЫЕ ПЕРЕКРУЧЕННЫЕ ГРУППЫ А. Л. Мыльников Сибирский математический журнал Март апрель, 2007. Том 48, 2 УДК 512.544 КОНЕЧНЫЕ ПЕРЕКРУЧЕННЫЕ ГРУППЫ А. Л. Мыльников Аннотация: Исследуются конечные перекрученные группы, т. е. группы, в которых любое

Подробнее

ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ ЛОМОНОСОВА ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР ЛЕКТОР ПРОФ ЧИРСКИЙ

Подробнее

1 Некоторые определения и факты из прошлого семестра. 2 Применения теоремы Банаха-Штейнгауза. Принцип открытости отображения

1 Некоторые определения и факты из прошлого семестра. 2 Применения теоремы Банаха-Штейнгауза. Принцип открытости отображения 1 Некоторые определения и факты из прошлого семестра Определение. Пространство Фреше это метризуемое полное локально выпуклое пространство. Теорема 1 (Банах-Штейнгауз). Пусть X, Y пространства Фреше, T

Подробнее

Нильпотентные полугруппы, основа графа Кэли которых является деревом

Нильпотентные полугруппы, основа графа Кэли которых является деревом А.Л. Макарьев Омский государственный педагогический университет Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета» Выпуск 006 www.os.edu Нильпотентные полугруппы,

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Функции конечнозначных логик. Элементарные функции k-значной логики. Способы задания функций k-значной логики: таблицы, формулы, I-я и II-я формы, полиномы. Полнота. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

Практикум по теме 1 "Множества и отношения"

Практикум по теме 1 Множества и отношения Практикум по теме 1 "Множества и отношения" Методические указания по выполнению практикума Целью практикума является более глубокое усвоение темы 1, а также развитие следующих навыков: построение прямого

Подробнее

Программа спецкурса «Алгебра-3» Новосибирский государственный университет Кафедра Алгебры и математической логики

Программа спецкурса «Алгебра-3» Новосибирский государственный университет Кафедра Алгебры и математической логики Программа спецкурса «Алгебра-3» Новосибирский государственный университет Кафедра Алгебры и математической логики д.ф.-м.н. Колесников П. С. 2012 2013 Специальный курс «Алгебра-3» предназначен для студентов

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

А. П. Пожидаев, С. Р. Сверчков, И. П. Шестаков ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ

А. П. Пожидаев, С. Р. Сверчков, И. П. Шестаков ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ А П Пожидаев, С Р Сверчков, И П Шестаков ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Гамильтоновы действия тора и теорема Атьи-Гийемина-Стернберга.

Гамильтоновы действия тора и теорема Атьи-Гийемина-Стернберга. Гамильтоновы действия тора и теорема Атьи-Гийемина-Стернберга. 1. Симплектические многообразия Определение 1. Гладкое многообразие M называется симплектическим многообразием, если на M задана 2-форма ω,

Подробнее

24. p-адические числа

24. p-адические числа 24. p-адические числа На этой лекции мы разберем важные примеры пространств, свойства которых в некотором отношении противоположны свойствам R и прочих связных пространств. Определение 24.1. Топологическое

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ С.Ф.ЛУКОМСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ САРАТОВ 2012 УДК 517 ББК 22.19; Л84 Лукомский С.Ф. Математический анализ. Введение. Дифференциальное исчисление Саратов, 2012,

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

Структура конечных дистрибутивных решёток

Структура конечных дистрибутивных решёток Структура конечных дистрибутивных решёток В. Д. ШМАТКОВ Рязанский государственный радиотехнический университет e-mail: shmatkov-vadim@yandex.ru УДК 512.562 Ключевые слова: конечные дистрибутивные решётки,

Подробнее

Лекция 1: Комплексные числа

Лекция 1: Комплексные числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике -2, 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике -2, 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Схемы из функциональных элементов с задержками (СФЭЗ), автоматность осуществляемых ими отображений. Представление КАВ СФЭЗ. Упрощения КАВ. Отличимость и неотличимость состояний КАВ. Теорема Мура

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Комплексная алгебраическая геометрия, 13-го июня экзамен (12:00)! (праздник)

Комплексная алгебраическая геометрия, 13-го июня экзамен (12:00)! (праздник) Комплексная алгебраическая геометрия, лекция 15: теорема Чжоу НМУ/ВШЭ, Москва 6 июня 2014 13-го июня экзамен (12:00)! (праздник) 1 Комплексно-аналитические множества и их ростки (повторение) ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Частично упорядоченные множества (ЧУМ). Диаграмма ЧУМ. Максимальные, минимальные, наибольший и наименьший элементы. Цепи и антицепи, длина и ширина конечных ЧУМ. Теорема о разбиении ЧУМ на антицепи.

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ С. В. СУДОПЛАТОВ, Е. В. ОВЧИННИКОВА ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА УЧЕБНИК для дистанционного образования

Подробнее

Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 13, 2006

Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 13, 2006 Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 13, 2006 УДК 517.54 Е. Г. Ганенкова ТЕОРЕМА РЕГУЛЯРНОСТИ УБЫВАНИЯ В ЛИНЕЙНО-ИНВАРИАНТНЫХ СЕМЕЙСТВАХ ФУНКЦИЙ В статье доказываются

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Лекция 2. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ

Лекция 2. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Лекция 2. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Цель лекции: изучить основы теории множеств, необходимые для введения фундаментального понятия "отношение", на котором строится дальнейшее изучение реляционной модели данных.

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

Что такое числа. (ассоциативность); (ассоциативность); Пусть вдобавок выполняется свойство дистрибутивности:

Что такое числа. (ассоциативность); (ассоциативность); Пусть вдобавок выполняется свойство дистрибутивности: Что такое числа Дискуссии на интернет-форумах показывают частое непонимание: что есть число Хуже всего помещаются в головах иррациональные и комплексные числа они кажутся «неправильными», что ли Отсутствие

Подробнее

ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР

ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР ЛЕКЦИЯ 2 ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ПОДГРУППЫ ГРУППЫ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР 1 ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ЭЛЕМЕНТОВ ГРУППЫ

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков

Подробнее

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Отношения и предикаты Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР)

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) А.В.СТЕПАНОВ Введение Эти заметки не заменяют курс лекций, но для сильных студентов могут

Подробнее

Квадратные операторные неравенства и дробно-линейные отношения

Квадратные операторные неравенства и дробно-линейные отношения Квадратные операторные неравенства и дробно-линейные отношения М.И. Островский,В.А. Хацкевич и В.С. Шульман 5 июня 2006 г. Аннотация Рассматриваются строение множества решений неравенства вида X AX + B

Подробнее

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова Т В Родина, Е С Трифанова КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I для напр «Прикладная математика и информатика» Учебное пособие под редакцией проф И Ю Попова Санкт Петербург МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Подробнее

Математические заметки

Математические заметки Математические заметки том 4 9 выпуск 4 апрель istefi О ВЕСЕ КОМПАКТНО ПОРОЖДЕННЫХ ГРУПП А. Г. Пискунов Условимся под топологической группой понимать локально компактную группу, а под ее подгруппой замкнутую

Подробнее

базисы в то эти базисы называются гомотетичными. Отношение гомотетичности базисов будем обозначать

базисы в то эти базисы называются гомотетичными. Отношение гомотетичности базисов будем обозначать Лекция 2 Тема: Понятие проективного репера и проективных координат точки Построение точки по ее координатам на модели проективной прямой и плоскости Преобразование проективных координат План лекции 1 Понятие

Подробнее

7. Группы в действии

7. Группы в действии 7. Группы в действии 7.1. Действие группы на множестве. Пусть G группа, а X множество. Обозначим через Aut (X) группу всех взаимно однозначных отображений из X в себя. Определение 7.1 Гомоморфизм G ' Aut

Подробнее

Гомотопические группы конечных пространств

Гомотопические группы конечных пространств Гомотопические группы конечных пространств Новиков Глеб (Россия, Санкт-Петербург) 1. Введение В гмотопической топологии одним из центральных понятий является понятие гомотопической группы пространства.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Опорный конспект лекций

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Опорный конспект лекций Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет математики и информатики ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ

Подробнее

4.2 Отделимость выпуклых множеств

4.2 Отделимость выпуклых множеств 4.2 Отделимость выпуклых множеств При выводе необходимых условий экстремума (принципа Лагранжа) в выпуклых задачах и в задачах с равенствами и неравенствами мы будем использовать свойство отделимости непересекающихся

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Упорядоченные множества

Упорядоченные множества Лекция 10 Упорядоченные множества 10.1 Отношения порядка «Коля бутее, чем Вася, а Вася бутее, чем Таня. Кто бутее всех?» такую задачу предлагал дошкольникам А. К. Звонкин на математическом кружке. 1 И

Подробнее

Лекция 3: множества и логика

Лекция 3: множества и логика Лекция 3: множества и логика Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Мы уже использовали понятие множества и в дальнейшем будем его использовать постоянно. Сейчас

Подробнее

Лекции по группам и алгебрам Ли Инвариантные тензоры на группе Ли.

Лекции по группам и алгебрам Ли Инвариантные тензоры на группе Ли. Лекции по группам и алгебрам Ли 9-1. Инвариантные тензоры на группе Ли. 1. Аннотация. Обсуждаются приложения конструкции разнесения тензоров по группе Ли к теореме Пуанкаре-Биркгофа-Витта и к вычислению

Подробнее

Лекция 4 Операции над нечеткими множествами

Лекция 4 Операции над нечеткими множествами Лекция 4 Операции над нечеткими множествами Прежде чем приступить к рассмотрению операций над нечеткими множествами следует привести некоторые важные соображения, которые необходимо принимать во внимание

Подробнее

m (V ) = dim V = dim U ;

m (V ) = dim V = dim U ; 9. Линейные представления конечных групп Если специально не оговаривается противное, всюду в этой лекции через G обозначается конечная группа, а через k алгебраически замкнутое поле, причём char(k) G.

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

Рациональные функции, допускающие двойные разложения

Рациональные функции, допускающие двойные разложения Труды Московского математического общества Том 73, вып. 2, 2012 г. Рациональные функции, допускающие двойные разложения А. Б. Богатырёв Дж. Ритт [1] исследовал структуру множества комплексных многочленов

Подробнее

Определяемость вполне разложимой блочно жёсткой абелевой группы без кручения её группой автоморфизмов

Определяемость вполне разложимой блочно жёсткой абелевой группы без кручения её группой автоморфизмов Определяемость вполне разложимой блочно жёсткой абелевой группы без кручения её группой автоморфизмов В. К. ВИЛЬДАНОВ Нижегородский государственный педагогический университет имени Козьмы Минина e-mail:

Подробнее

О РАЗЛОЖИМЫХ ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНЫХ ГРУППАХ БЕЗ КРУЧЕНИЯ А. Р. Чехлов

О РАЗЛОЖИМЫХ ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНЫХ ГРУППАХ БЕЗ КРУЧЕНИЯ А. Р. Чехлов Сибирский математический журнал Май июнь, 2001. Том 42, 3 УДК 512.541 О РАЗЛОЖИМЫХ ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНЫХ ГРУППАХ БЕЗ КРУЧЕНИЯ А. Р. Чехлов Аннотация: Установлен ряд свойств вполне транзитивных групп без

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский федеральный университет. А. Р. Данилин. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ для магистров.

Федеральное агентство по образованию Уральский федеральный университет. А. Р. Данилин. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ для магистров. Федеральное агентство по образованию Уральский федеральный университет А. Р. Данилин ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ для магистров Конспект лекций Екатеринбург 2012 УДК 517.98(075.8) Д182 В пособии рассматриваются

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ СИММЕТРИИ МНОГОГРАННИКА ПАРОСОЧЕТАНИЙИ АВТОМОРФИЗМЫ ГРАФА

ЛИНЕЙНЫЕ СИММЕТРИИ МНОГОГРАННИКА ПАРОСОЧЕТАНИЙИ АВТОМОРФИЗМЫ ГРАФА Page 1 of 5 Вестник ОмГУ Выпуск Тематика Литература Вестник Омского университета, 1996, Вып. 1. С. 18-20. Омский государственный университет, 1996 УДК 519.1 ЛИНЕЙНЫЕ СИММЕТРИИ МНОГОГРАННИКА ПАРОСОЧЕТАНИЙИ

Подробнее

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Введение Функция Дирихле не интегрируема

Подробнее

Линейная алгебра и геометрия ПАНОВ Тарас Евгеньевич курс лекций. Механико-математический факультет МГУ

Линейная алгебра и геометрия ПАНОВ Тарас Евгеньевич курс лекций. Механико-математический факультет МГУ Линейная алгебра и геометрия ПАНОВ Тарас Евгеньевич курс лекций Механико-математический факультет МГУ Оглавление Предисловие 3 Глава 1 Линейные пространства 5 11 Линейные пространства и подпространства

Подробнее

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОПЕРАТОРОВ В. Б. Коротков

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОПЕРАТОРОВ В. Б. Коротков Сибирский математический журнал Март апрель, 211. Том 52, 2 УДК 517.983 ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОПЕРАТОРОВ В. Б. Коротков Аннотация. Приводится критерий принадлежности оператора в L p множеству

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Министерство образования и науки Троицкий филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» Кафедра

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я линейная зависимость и независимость векторов

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я линейная зависимость и независимость векторов А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я линейная зависимость и независимость векторов ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной

Подробнее

С.Н. Ильин ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, МНОГОЧЛЕНЫ

С.Н. Ильин ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, МНОГОЧЛЕНЫ С.Н. Ильин ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, МНОГОЧЛЕНЫ Казань 2006 Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина С.Н. Ильин ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ: КОМПЛЕКСНЫЕ

Подробнее

НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ КОММУТАНТА КОНЕЧНОЙ ПЕРЕКРУЧЕННОЙ ГРУППЫ А. Л. Мыльников

НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ КОММУТАНТА КОНЕЧНОЙ ПЕРЕКРУЧЕННОЙ ГРУППЫ А. Л. Мыльников Сибирский математический журнал Сентябрь октябрь, 2006. Том 47, 5 УДК 512.544 НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ КОММУТАНТА КОНЕЧНОЙ ПЕРЕКРУЧЕННОЙ ГРУППЫ А. Л. Мыльников Аннотация: Исследуются конечные группы, в которых

Подробнее

11. Аксиомы отделимости

11. Аксиомы отделимости 48 11 Аксиомы отделимости Понятие топологического пространства было введено в самом общем виде Рассмотрим ограничения, накладываемые на топологические пространства Определение Говорят, что топологическое

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Еще несколько прямых, проходящих через точку Фейербаха. Ивлев Фёдор. СУНЦ МГУ

Еще несколько прямых, проходящих через точку Фейербаха. Ивлев Фёдор. СУНЦ МГУ Еще несколько прямых проходящих через точку Фейербаха. Ивлев Фёдор. СУНЦ МГУ Теорема: Дан треугольник. 1 - точки касания сторон и с вписанной окружностью соответственно. 0 0 - середины сторон. Обозначим

Подробнее

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЙ Труды 45-й Международной молодежной школы-конференции,

Подробнее

(A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \ C).

(A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \ C). Семинары по Дискретной математике Алексей Федосеев Версия 1.0, июнь 2006 г. Этот текст распространяется под лицензией GNU Free Documentation License (FDL) версии 1.2. Подробную информацию об этой лицензии

Подробнее