2014, 4, c Р.В. МАРКОВ ПИРСОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУКОЛЕЦ С ИНВОЛЮЦИЕЙ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "2014, 4, c Р.В. МАРКОВ ПИРСОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУКОЛЕЦ С ИНВОЛЮЦИЕЙ"

Транскрипт

1 Известия вузов. Математика 2014, 4, c e-mal: Р.В. МАРКОВ ПИРСОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУКОЛЕЦ С ИНВОЛЮЦИЕЙ Аннотация. В статье вводится понятие пирсовского представления полуколец с инволюцией аналог пирсовского представления колец. Строятся максимальный спектр, пирсовская конгруэнция, пирсовский пучок полуколец с инволюцией, пирсовские слои полуколец с инволюцией, доказывается основная теорема об изоморфизме полукольца с инволюцией и полукольца с инволюцией глобальных сечений этого пучка. Ключевые слова: полукольцо, полукольцо с инволюцией, пирсовский пучок, пирсовский слой, функциональное представление полукольца. УДК: В фундаментальной работе Р.С. Пирса [1] построены пучки колец на стоуновском пространстве кольца как на базисном пространстве пирсовские пучки. Любое кольцо изоморфно кольцу сечений своего пирсовского пучка. Эта структура успешно используется для изучения колец с большим количеством центральных идемпотентов, в которых пирсовский пучок нетривиален [2]. Впоследствии структура пирсовского пучка была перенесена на другие объекты, в том числе полумодули [3], полукольца [4], полутела [5]. Данная статья посвящена построению пирсовского пучка полуколец с инволюцией и получению изоморфного представления полукольца с инволюцией сечениями пирсовского пучка. 1. -идемпотенты, кольцо BS Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы: 1) (S, +) коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0, 2) (S, ) полугруппа с нейтральным элементом 1, 3) умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон, 4) 0a =0=a0 для любого a S. Определение 2. Полукольцо S называется полукольцом с инволюцией, если в нем введена унарная операция так, что выполнены следующие условия: 1) (a + b) = a + b, 2) (a ) = a, 3) (ab) = b a для всех a, b S. Поступила

2 ПИРСОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУКОЛЕЦ С ИНВОЛЮЦИЕЙ 19 Для краткости записи обозначим (a ) = a. Определение 3. Мультипликативный идемпотент e полукольца с инволюцией S называется центральным дополняемым симметричным идемпотентом, если 1) e центральный: ( x S)(ex = xe), 2) e дополняемый: ( e S)(e + e =1 ee =0),гдеe дополнение к e, 3) e симметричный: e = e. Центральный дополняемый симметричный идемпотент назовем -идемпотентом. Лемма 1. В полукольце с инволюцией выполняется 1) 0 =0, 2) 1 =1, 3) если e идемпотент, то e также идемпотент. Доказательство. По определениям 2, 3 0=0 =(0+0 ) =0 +0 =0, Утверждение 3) очевидно. 1=1 =(1 1 ) =1 1 =1. Лемма 2. Для любого -идемпотента e из полукольца с инволюцией S дополнение e является -идемпотентом и задается однозначно. Доказательство. Во-первых, e = e (e + e )=e e + e 2 = e 2. Во-вторых, e центральный идемпотент, значит, e xe =0=exe. Поэтому e x = e x(e + e )=e xe + e xe = e xe +0=e xe + exe =(e + e)xe = xe для любого x S. В-третьих, по определению 3 e дополнение к e. Пустьe также дополнение к e. Тогда e = e (e + e )=e e = ee + e e =(e + e )e = e. Осталось показать симметричность e. Используя лемму 1, получаем 1=(e + e ) = e + e = e + e, Следовательно, e = e. 0=(ee ) = e e = e e = ee. Через BS обозначим множество всех -идемпотентов полукольца S. Определим на BS три операции: e f = ef + e f; e, f BS, умножение в S, инволюция в S. Предложение 1. Множество BS,,, является булевым кольцом с инволюцией.

3 20 Р.В. МАРКОВ Доказательство. Элемент ef + e f будет дополнением к элементу e f для e, f BS, поскольку (e f)+(ef + e f )=ef + e f + ef + e f = e(f + f)+e (f + f )=e + e =1, (e f)(ef + e f )=(ef + e f)(ef + e f )=ef f + e ef + ee f + e ff =0. Следовательно, ef + e f BS. Дополнением к ef будет элемент ef + e. Получили, что операции и замкнуты в BS. Покажем замкнутость в BS. Для этого достаточно показать симметричность элементов e f и ef: (e f) = e f + e f = e f, (ef) = f e = fe = ef. Ассоциативность, коммутативность операций и дистрибутивность умножения относительно сложения проверяются тривиально. Нуль полукольца S будет также нулем в BS : 0 e =0 e +1 e = e. Наконец, каждый идемпотент e BS совпадает со своим противоположным элементом: e e =0. 2. Пространство Max BS Пусть Max BS множество всех максимальных идеалов булева кольца BS.Введем топологию на этом множестве, определив открытые множества как D(A) ={M Max BS : A M} для любого идеала A кольца BS. Для любого идемпотента e BS обозначим D(e) =D(eBS )={M Max BS : e/ M}. Предложение 2. Для любого полукольца S множество Max BS всех максимальных идеалов булева кольца BS является нульмерным компактом с базой открыто-замкнутых множеств вида D(e), e BS. Доказательство. Множество D(0) = {M Max BS : M 0} пусто, а Max BS = D(1). Пусть A, B, A идеалы кольца BS.Тогда D(A) D(B) ={M Max BS : A M B M} = {M Max BS : AB M} = D(AB), { D(A )= {M Max BS : A M} = M Max BS : } ( A M = D A ). Введенная топология называется топологией Стоуна Зарисского. Заметим, что для каждых M Max BS и e, e BS в точности только один из e, e лежит в M. Пусть M, N различные максимальные идеалы кольца BS, тогда найдется e BS такой, что e M \ N, e N \ M. Поэтому D(e) и D(e ) содержат N и M соответственно и не пересекаются, так как D(e) D(e )=D(ee )=D(0) =. Следовательно, Max BS хаусдорфово пространство. Семейство подмножеств вида D(e) образует базис пространства Max BS, и множества D(e) открыто-замкнуты. Действительно, для любого идеала A справедливо D(A) = D(e ),

4 ПИРСОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУКОЛЕЦ С ИНВОЛЮЦИЕЙ 21 где e пробегает множество всех элементов идеала A, и D(e) D(e )=D(e e )=D(1) = Max BS, D(e) D(e )=. Следовательно, Max BS нульмерное пространство. Покажем компактность Max BS.Пусть D(A )=MaxBS ( для некоторого произвольного множества идеалов T = {A }.Тогда D(A )=D A и A не принадлежит ни ) одному идеалу из Max BS. Следовательно, 1 A и 1=e 1 e k для некоторых представителей e j конечного множества идеалов A j T. Очевидно, множество {D(A j )} является открытым покрытием Max BS. 3. Конгруэнция Пирса Всюду далее под термином конгруэнция будем подразумевать конгруэнцию полукольца с инволюцией, т. е. отношение эквивалентности, стабильное как относительно операций полукольца, так и относительно инволюции. Определение 4. Семейство конгруэнций ( x ) на полукольце с инволюцией S, индексированное точками x топологического пространства X, называется открытым семейством, если для любых a, b S множество V (a, b) ={x X : a x b} открыто в X. Для любого максимального идеала M Max BS введем отношение эквивалентности δ M на полукольце S a b(δ M ) ae = be для некоторого идемпотента e M. Предложение 3. Пусть M Max BS. Отношение δ M является конгруэнцией на полукольце с инволюцией S. Доказательство. Рефлексивность и симметричность отношения δ M являются прямыми следствиями определения 6. Покажем его транзитивность. Пусть выполняются равенства ae = be и bf = cf для некоторых идемпотентов e, f M. Домножим справа первое равенство на f, второе на e. Тогда с учетом центральности идемпотентов получим ae f = ce f. Непосредственно проверяется, что (e f ) = ef + f M. Пусть для некоторых a, b, a,b S выполняется a b(δ M ) и a b (δ M ). Это означает, что ae = be и a f = b f для некоторых e, f M. Тогдаae f = be f и a e f = b e f, откуда (a + a )e f =(b + b )e f. Аналогично показывается сохранение операции умножения (aa )e f =(bb )e f. Покажем сохранение инволюции. Пусть для некоторых a, b M выполняется a b(δ M ), т. е. ae = be для некоторого e M. Применив инволюцию, получим (ae ) =(be ) e a = e b a e = b e a b (δ M ).

5 22 Р.В. МАРКОВ Определение 5. Конгруэнции вида δ M назовем конгруэнциями Пирса. Предложение 4. Семейство {δ M } всех конгруэнций Пирса на полукольце с инволюцией S, индексированное точками M топологического пространства Max BS, образует открытое семейство. Доказательство. Пусть M V, тогда a b(δ M ) и ae = be для некоторого e M. Если N произвольный максимальный идеал из D(e ),тоa b(δ N ), и поэтому D(e ) V. Поскольку V вместе с произвольной своей точкой M содержит некоторую ее окрестность, то V открыто. 4. Представление Пирса Определение 6. Тройка (P,π,X) называется пучком полуколец с инволюцией, если выполняются следующие условия: (1) X и P топологические пространства, (2) π : P X локальный гомеоморфизм, (3) для каждой точки x X множество P x = π 1 (x) является полукольцом с инволюцией и называется слоем пучка P в точке x, (4) поточечно определенные операции +,, непрерывны, (5) отображения 0 и 1, ставящие каждой точке x X соответственно нуль 0 x и единицу 1 x полукольца P x, непрерывны. Непрерывные функции из X в P, для которых каждая точка базисного пространства отображается в соответствующий слой пучка, носят название глобальных сечений пучка P. Непосредственно из определения следует, что множество всех глобальных сечений пучка полуколец с инволюцией с поточечно определенными операциями является полукольцом с инволюцией. Предложение 5 ([6], [7]). Пусть S полукольцо с инволюцией, X топологическое пространство. Тогда эквивалентны следующие условия: (1) ( x ),x X открытое семейство конгруэнций на S, (2) (P, X) пучок полуколец с инволюцией, где P = {S/ x : x X}. Из предложений 4 и 5 следует, что дизъюнктное объединение P (S) = {S/δ M : M Max BS } над топологическим пространством Max BS является пучком полуколец с инволюцией. Пучок P (S) называется пирсовским пучком полуколец с инволюцией. Для каждого M Max BS полукольцо с инволюцией S/δ M называется пирсовским слоем пучка P (S) в точке M. Определение 7. Полукольцевой гомоморфизм (изоморфизм) ϕ полукольца с инволюцией S называется -гомоморфизмом ( -изоморфизмом), если для каждого a S выполняется ϕ(a )=ϕ(a). Определение 8. Функциональным представлением полукольца с инволюцией S называется полукольцевой -гомоморфизм α : S Γ(P (S),X) полукольца S в полукольцо всех глобальных сечений пучка P (S) над топологическим пространством X.

6 ПИРСОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУКОЛЕЦ С ИНВОЛЮЦИЕЙ 23 Пусть a произвольный элемент полукольца S. Стандартно проверяется, что глобальным сечением пучка P (S) над Max BS является отображение â :MaxBS P (S), заданное равенством â(m) =a M для каждого M Max BS. (Здесь a M класс элемента a в фактор-полукольце S/δ M.) Теорема. Для любого полукольца с инволюцией S отображение α : S Γ(P (S), Max BS ), α(a) =â, является функциональным представлением и -изоморфизмом между S и полукольцом всех глобальных сечений его пирсовского пучка. Доказательство. Легко убедиться, что α -гомоморфизм. По определению 8 α функциональное представление. Пусть a b(δ M ) M Max BS. Покажем, что a = b. Предположим, что идеал T = {e BS : ae = be} собственный, т. е. лежит в некотором N Max BS. Поскольку af = bf для некоторого f N и f T N по определению идеала T,тоf f =1 N. Противоречие означает, что T = BS и 1 T, следовательно, a = b. Пусть σ Γ(P (S), Max BS ) произвольное глобальное сечение. Очевидно, каждый пирсовский слой является фактор-полукольцом с инволюцией исходного полукольца с инволюцией. Следовательно, для каждой точки M Max BS найдется такой элемент r M S, что σ(m) = r M (M) и по общему свойству пучков [8] сечения σ и r M совпадают на некотором открытом U Max BS, а именно, на некотором базисном D(e M ) Max BS,где e M / M. По свойству компактности Max BS (см. предложение 2) найдутся конечное открытое покрытие D(e M )=MaxBS, идемпотенты e 1,...,e k BS и r 1,...,r k S такие, что 1) σ = r на D(e ), 2) e e k =1, причем можно считать, что D(e ) D(e j )= для j, откуда e e j =0. Пусть s = e 1 r 1 + e 2 r e k r k. (1) Если N D(e ),тоe N и e / N. Тогдаŝ(N) =ê s(n)+ê s(n). Поскольку e N, тоê (N) = 0(N) и ŝ(n) =ê s(n). Используя e e j =0и (1), получаем ŝ(n) =ê ŝ(n) =ê r (N), а поскольку e 1(N), то ŝ(n) =ê r (N) = r (N). Отсюдаŝ(N) = r (N) =σ(n) как для каждого N D(e ),таки для каждого M Max BS, значит, ŝ = σ. Литература [1] Perce R.S. Modules over commutatve regular rngs, Mem. Amer. Math. Soc. 70, (1967). [2] Туганбаев А.А. Теория колец. Арифметические модули и кольца. (МЦНМО, М., 2009). [3] Чермных В.В. Пучковые представления полуколец, УМН 48 (5), (1993). [4] Чермных В.В. Функциональные представления полуколец (Изд-во ВятГГУ, Киров, 2010). [5] Вечтомов Е.М. Функциональные представления колец (Изд-во МПГУ, М., 1993). [6] Davey B.A. Sheaf spaces and sheaves of unversal algebras, Math. Z. 134, (1973).

7 24 Р.В. МАРКОВ [7] Чермных В.В. Функциональные представления полуколец, Фундамент. и прикл. матем. 17 (3), (2012). [8] Бредон Г.Э. Теория пучков (Наука, М., 1988). Р.В. Марков аспирант, кафедра алгебры и дискретной математики, Вятский государственный гуманитарный университет, ул. Красноармейская, д. 26, г. Киров, , Россия, e-mal: R.V. Markov Perce sheaf for semrngs wth nvoluton Abstract. We ntroduce the concept of Perce sheaf for semrngs wth nvoluton, an analog of Perce sheaf for rngs. We construct maxmal spectrum, Perce congruence, Perce sheaf of semrngs wth nvoluton, Perce stalk of semrng wth nvoluton. We prove man theorem on the somorphsm of semrng wth nvoluton and semrng wth nvoluton of global sectons of Perce sheaf. Keywords: semrng, semrng wth nvoluton, Perce sheaf, Perce stalk, functonal representaton of a semrng. R.V. Markov Postgraduate, Char of Algebra and Dscrete Mathematcs, Vyatka State Unversty of Humantes, 26 Krasnoarmeskaya str., Krov, Russa, e-mal:

Марков Роман Владимирович ПИРСОВСКИЕ СЛОИ И ЦЕПИ ПОЛУКОЛЕЦ

Марков Роман Владимирович ПИРСОВСКИЕ СЛОИ И ЦЕПИ ПОЛУКОЛЕЦ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» На правах рукописи УДК 512.556 Марков Роман Владимирович

Подробнее

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 14 Выпуск 4 (2013)

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 14 Выпуск 4 (2013) ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 14 Выпуск 4 (2013) УДК512.556 ХОРНОВСКИЕ ФОРМУЛЫ И ПИРСОВСКИЕ ЦЕПИ ПОЛУКОЛЕЦ Р. В. Марков (г. Киров) Аннотация В статье описывается построение пирсовской цепи конгруэнций полукольца

Подробнее

Кольца и пространства максимальных идеалов

Кольца и пространства максимальных идеалов Кольца и пространства максимальных идеалов (курс топологии, лектор И.А. Тайманов) Как оказалось, в ряде важных случаев существует взаимно однозначное соответствие между алгебраическими и топологическими

Подробнее

Элементы общей алгебры. Алгебра, гомомофризм, изоморфизм, полугруппа, группа

Элементы общей алгебры. Алгебра, гомомофризм, изоморфизм, полугруппа, группа Элементы общей алгебры Алгебра, гомомофризм, изоморфизм, полугруппа, группа Алгебраическая операция На множестве А определена алгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым

Подробнее

Булевы алгебры Учебное пособие по спецкурсу 1 к. ф.-м. н. С. Ю. Подзоров НГУ,

Булевы алгебры Учебное пособие по спецкурсу 1 к. ф.-м. н. С. Ю. Подзоров НГУ, Булевы алгебры Учебное пособие по спецкурсу 1 к. ф.-м. н. С. Ю. Подзоров НГУ, 2003 2004. 1 Основные определения. Пусть L = L, частично упорядоченное множество. L называется верхней полурешеткой, если для

Подробнее

Введение. a, b, c Z a b c =a b a c Нет делителей нуля -- a,b Z: a 0, b 0 a b 0

Введение. a, b, c Z a b c =a b a c Нет делителей нуля -- a,b Z: a 0, b 0 a b 0 Введение В начальной школе все мы знакомимся с множеством натуральных, а затем и целых чисел. Там же мы изучаем две базовые операции сложение и умножение, а также обратную операцию к сложению вычитание,

Подробнее

Теория меры, лекция 3: Булевы алгебры

Теория меры, лекция 3: Булевы алгебры Теория меры, лекция 3: Булевы алгебры Миша Вербицкий 28 февраля, 2015 матфак ВШЭ и НМУ 1 Решетки ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть (M, ) частично упорядоченное множество, а S его подмножество. Верхняя грань inf S есть

Подробнее

Тема 1-4: Алгебраические операции

Тема 1-4: Алгебраические операции Тема 1-4: Алгебраические операции А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 14 Одним из важнейших инвариантов линейного оператора является его спектр. Он содержит в себе хоть и не всю информацию об операторе, но весьма существенную

Подробнее

ГЛАВА 4 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ НА МНОЖЕСТВАХ

ГЛАВА 4 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ НА МНОЖЕСТВАХ ГЛАВА 4 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ НА МНОЖЕСТВАХ Групповые по Бурбаки структуры на множествах чаще называют алгебраическими структурами (см например [43]) хотя понятие группа является более широким в сравнении

Подробнее

Топология, лекция 8: Компакты в топологических пространствах

Топология, лекция 8: Компакты в топологических пространствах Топология, лекция 8: Компакты в топологических пространствах Миша Вербицкий 7 июня, 2012 матфак ВШЭ 1 Компакты в хаусдорфовом пространстве. Определение: Топологическое пространство M называется компактным,

Подробнее

Семинар 1. C*-алгебры.

Семинар 1. C*-алгебры. Семинар 1. C*-алгебры. C*-алгебры. Примеры и простейшие свойства Определение 1. Банаховой алгеброй (над полем C) называется банахово пространство над C, являющееся также ассоциативной алгеброй над C, в

Подробнее

Прикладная алгебра. Тема V: Булевы алгебры (продолжение) 1 / 67. Тема V. Булевы алгебры (продолжение)

Прикладная алгебра. Тема V: Булевы алгебры (продолжение) 1 / 67. Тема V. Булевы алгебры (продолжение) Прикладная алгебра. Тема V: Булевы алгебры (продолжение) 1 / 67 Тема V Булевы алгебры (продолжение) Прикладная алгебра. Тема V: Булевы алгебры (продолжение) 2 / 67 Булевы алгебры как решётки. Булевы гомоморфизмы

Подробнее

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства Определение 1. Произвольное множество X с выделенной системой подмножеств τ множества X называется топологическим пространством

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства Глава 9 Линейные пространства 91 Аксиоматическое определение линейного пространства Пусть V непустое множество, F поле V называется линейным (или векторным) пространством над полем F, если I задано правило

Подробнее

Гомоморфизм группы GL 2 (R)

Гомоморфизм группы GL 2 (R) Гомоморфизм группы GL (R А. С. ИСМАГИЛОВА Башкирский государственный педагогический университет e-mail: IsmagilovaAS@rambler.ru УДК 5.743 Ключевые слова: линейные группы, гомоморфизмы, изоморфизмы. Аннотация

Подробнее

Предложение 1. Предложение 2.

Предложение 1. Предложение 2. 2. ПРЯМОЕ ВВЕДЕНИЕ ПОРЯДКА В СИСТЕМЕ ПЕАНО В конце XIX века было завершено построение содержательных аксиоматических теорий двух важнейших областей математики - арифметики и евклидовой геометрии (Гильберт).

Подробнее

Определение 5.1. Кольцом R, +, называется множество R с двумя бинарными операциями + и такими,

Определение 5.1. Кольцом R, +, называется множество R с двумя бинарными операциями + и такими, 5 Конечные поля 5.1 Конечные поля Определение 5.1. Кольцом R, +, называется множество R с двумя бинарными операциями + и такими, что 1) R, + абелева группа; 2) операция ассоциативна, т. е. (a b) c = a

Подробнее

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Приложение 1 ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Для криптографии алгебра является одним из основных инструментов в теоретических исследованиях и практических построениях криптографических преобразований Поэтому в этом

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 15 15.1. Банаховы алгебры На прошлой лекции мы видели, что спектр элемента ассоциативной алгебры может быть любым подмножеством комплексной плоскости. Однако

Подробнее

Тема 1-3: Соответствия и отношения

Тема 1-3: Соответствия и отношения Тема 1-3: Соответствия и отношения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

Функциональные представления полуколец

Функциональные представления полуколец Функциональные представления полуколец В. В. ЧЕРМНЫХ Вятский государственный гуманитарный университет e-mail: vv146@mail.ru УДК 512.55 Ключевые слова: полукольцо, полумодуль, пучок, пучковые представления.

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Математический анализ и топология

Математический анализ и топология Математический анализ и топология Д. Вельтищев ЛЭШ-2006 Предисловие Это краткий конспект курса анализа для ЛЭШ-2006. Он включает в себя основы анализа и топологии, изложенные так, чтобы их можно было перенести

Подробнее

Лекция: Группы. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок. Подгруппы. Теорема Кэли.

Лекция: Группы. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок. Подгруппы. Теорема Кэли. Лекция: Группы. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок. Подгруппы. Теорема Кэли. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по Избранным вопросам дискретной математики. 3-й курс,

Подробнее

9. Кольца и алгебры (продолжение)

9. Кольца и алгебры (продолжение) 9. Кольца и алгебры (продолжение) Напомним определение кольца: R = (R;+, ) где (R;+) абелева группа (в аддитивной записи); (R; ) полугруппа; Выполнены тождества дистрибутивности: a(b+c) = ab+ac, (a+b)c

Подробнее

, то из теоремы 11 и определения компоненты следует, что H

, то из теоремы 11 и определения компоненты следует, что H Лекция 2 Тема: Свойства топологических пространств. Гомеоморфизм. Топологические многообразия. План лекции. Свойства топологических пространств: отделимость, компактность, связность. 2. Непрерывное отображение

Подробнее

Индуцированные структуры на трансверсалях к подгруппе группы и гипергруппы над группой

Индуцированные структуры на трансверсалях к подгруппе группы и гипергруппы над группой Индуцированные структуры на трансверсалях к подгруппе группы и гипергруппы над группой Самвел Г. Далалян Ереванский государственный университет arxiv:1508.00517v2 [math.gr] 10 Aug 2015 Аннотация. На трансверсалях

Подробнее

Алгебраические структуры. Определение 2.1. Бинарной операцией на множестве X называется любое фиксированное отображение ϕ : X X X.

Алгебраические структуры. Определение 2.1. Бинарной операцией на множестве X называется любое фиксированное отображение ϕ : X X X. 76 Глава Алгебраические структуры Бинарные операции Определение.. Бинарной операцией на множестве X называется любое фиксированное отображение : X X X. Согласно этому определению, при задании бинарной

Подробнее

Алгебра, первый курс, четвертый модуль

Алгебра, первый курс, четвертый модуль Алгебра, первый курс, четвертый модуль Е. Ю. Смирнов Аннотация. Записки лекций по алгебре для первого курса факультета математики ВШЭ, весна 2013/14 учебного года 1. Первая лекция, 2 апреля 2014 г. В предыдущей

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ РЕГУЛЯРНЫЕ КОЛЬЦА. II Ю. Л. Ершов

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ РЕГУЛЯРНЫЕ КОЛЬЦА. II Ю. Л. Ершов Сибирский математический журнал Май июнь, 2004. Том 45, 3 УДК 519.4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ РЕГУЛЯРНЫЕ КОЛЬЦА. II Ю. Л. Ершов Аннотация: Известный результат Барриса и Вернера о существовании определяющих последовательностей

Подробнее

(1=n; 1 1=n), и конечного подпокрытия из этого покрытия не выберешь. Приведем теперь позитивный пример.

(1=n; 1 1=n), и конечного подпокрытия из этого покрытия не выберешь. Приведем теперь позитивный пример. 21. Компактность Компактность чрезвычайно важное техническое понятие топологии и анализа. Начнем с определения. Определение 21.1. Топологическое пространство X называется компактным, если оно обладает

Подробнее

2.5 Алгебраические структуры

2.5 Алгебраические структуры 5 Алгебраические структуры 6 Определение Бинарная операция на множестве S есть отображение S S в S То есть, является правилом, которое каждой упорядоченной паре элементов из S ставит в соответствие некоторый

Подробнее

Лекция 1 Топологические пространства 1

Лекция 1 Топологические пространства 1 Лекция 1 Топологические пространства 1 Ключевые слова: топология, открытое множество, топологическое пространство, окрестность, внутренние и внешние точки, замкнутое множество, база топологии, отображения

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. А. Туганбаев, Дистрибутивные кольца, Матем. заметки, 1984, том 35, выпуск 3, 329 332 Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru

Подробнее

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Ткачев С.Б. каф. Математического моделирования МГТУ им. Н.Э. Баумана ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ИУ5 4 семестр, 2015 г. Лекция 10. АЛГЕБРЫ: ПОЛУКОЛЬЦА Определение 10.1. Полукольцо это алгебра с двумя бинарными

Подробнее

Компьютерная алгебра. (курс лекций) Игорь Алексеевич Малышев

Компьютерная алгебра. (курс лекций) Игорь Алексеевич Малышев Компьютерная алгебра (курс лекций) Игорь Алексеевич Малышев Computer.Algebra@yandex.ru (С) Кафедра «Компьютерные системы и программные технологии», Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Подробнее

Теория меры, лекция 4: мера Лебега

Теория меры, лекция 4: мера Лебега Теория меры, лекция 4: мера Лебега Миша Вербицкий 14 марта 2015 НМУ 1 Булевы кольца (повторение) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Булево кольцо есть кольцо, все элементы которого - идемпотенты. ЗАМЕЧАНИЕ: В булевом кольце

Подробнее

Мультипликативные порядки на одночленах

Мультипликативные порядки на одночленах Мультипликативные порядки на одночленах Е. В. ГОРБАТОВ Московский государственный университет им.м.в.ломоносова УДК 512.714+512.536 Ключевые слова: коммутативное кольцо, алгебра полиномов, порядок на одночленах,

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ Е-ЦЕНТРАЛЬНЫЕ m-кольца

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ Е-ЦЕНТРАЛЬНЫЕ m-кольца УДК 51.55 В. М. ШИРЯЕВ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ Е-ЦЕНТРАЛЬНЫЕ m-кольца В данной работе обобщается на m-кольца теорема о разложении (ассоциативного) кольца с единицей и коммутирующими идемпотентами в подпрямое произведение

Подробнее

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа.

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Тема 1 Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Мы будем изучать множества, наделенные функцией расстояния, сопоставляющей каждой неупорядоченной паре точек неотрицательное вещественное

Подробнее

АЛГЕБРА РИТМОВ. Антонио Грамши. 2.2 Бинарные операции над ритмами. Часть Сложение ритмов Совмещение

АЛГЕБРА РИТМОВ. Антонио Грамши. 2.2 Бинарные операции над ритмами. Часть Сложение ритмов Совмещение Антонио Грамши АЛГЕБРА РИТМОВ Часть 2 2.2 Бинарные операции над ритмами Бинарная операция ставит в соответствие любой упорядоченной паре элементов некоторого множества третий элемент этого же множества.

Подробнее

Математические заметки

Математические заметки Математические заметки Том 0 выпуск 0 июнь 1966 УДК 512.643+512.552.2 Автоморфизмы полугруппы неотрицательных обратимых матриц порядка два над частично упорядоченными коммутативными кольцами Е. И. Бунина

Подробнее

Проективные модули над кольцом псевдорациональных чисел

Проективные модули над кольцом псевдорациональных чисел Journal of Siberian Federal University. athematics & Physics 2011, 4(4, 541 550 УДК 512.553+512.541 Проективные модули над кольцом псевдорациональных чисел Егор А. Тимошенко Механико-математический факультет,

Подробнее

22. Связность; полнота

22. Связность; полнота 22. Связность; полнота Эта лекция посвящена двум слабо связанным между собой темам из «абстрактной топологии» (по возможности, с конкретными приложениями). 22.1. Связность Предложение-определение 22.1.

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция 10. Подгруппы, смежные классы, индекс подгруппы в группе. Теорема Лагранжа о порядке конечной группы. Нормальные подгруппы, фактор-группа. Орбита и стабилизатор элемента, теорема о порядке стабилизатора

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

Теорема Жордана. Глава Теорема Жордана

Теорема Жордана. Глава Теорема Жордана Глава 3 Теорема Жордана План. Замкнутая кривая, незамкнутая кривая, незамкнутая кривая без самопересечений, замкнутая кривая без самопересечений, теорема Жордана о кривой без самопересечений, лежащей на

Подробнее

23. Полнота (продолжение)

23. Полнота (продолжение) 23. Полнота (продолжение) Завершим доказательство теоремы 22.5. Именно, покажем, что i(x) плотно в X. Так как пространства, о которых идет речь, метрические, нам достаточно проверить, что всякий элемент

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать.

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать. 9 Так как MUN = MUN, то из включения (*) получаем MUN MUN Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN что и требовалось доказать Имеет место следующая Теорема (Куратовского) Пусть на

Подробнее

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты 97 01 00795 и 96 15 96095.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты 97 01 00795 и 96 15 96095. УДК 52.54 П.А. Крылов, Е.Г. Пахомова, Е.И. Подберезина ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СМЕШАННЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты 97 0 00795 и 96 5 96095. Рассматриваются условия конечности

Подробнее

ТЕОРИЯ ГРУПП Лекционный курс

ТЕОРИЯ ГРУПП Лекционный курс А. В. Овчинников ТЕОРИЯ ГРУПП Лекционный курс москва 2016 Оглавление Лекция 1. Алгебраические системы 4 1. Операции на множестве 4 2. Алгебраические системы и их отображения 11 3. Группы 12 4. Кольца

Подробнее

3 Понятие топологического пространства. Примеры

3 Понятие топологического пространства. Примеры 3 Понятие топологического пространства. Примеры В теории метрических пространств отрытые множества, окрестности предельные точки и другие понятия определяются с использованием понятия метрики. Возможен

Подробнее

9. Связность. и непустое связное множество М, содержащееся в объединении множеств Φ. 1 тогда множество М содержится в каком-нибудь одном множестве Φ 1

9. Связность. и непустое связное множество М, содержащееся в объединении множеств Φ. 1 тогда множество М содержится в каком-нибудь одном множестве Φ 1 40 9. Связность Понятие связности есть математически строгое отражение интуитивного представления о целостности геометрической фигуры. Определение Топологическое пространство Х называется несвязным, если

Подробнее

Векторные расслоения, лекция 1: многообразия и пучки

Векторные расслоения, лекция 1: многообразия и пучки Векторные расслоения, лекция 1: многообразия и пучки Миша Вербицкий 9 сентября, 2013 матфак ВШЭ и НМУ 1 Пучки ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пучок F на топологическом пространстве M это набор векторных пространств F(U),

Подробнее

Е. В. Минакова ЭЛЕМЕНТАРНО ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ КОЛЬЦА ЛИ НИЛЬТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ НАД КОММУТАТИВНЫМИ КОЛЬЦАМИ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Е. В. Минакова ЭЛЕМЕНТАРНО ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ КОЛЬЦА ЛИ НИЛЬТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ НАД КОММУТАТИВНЫМИ КОЛЬЦАМИ КОЭФФИЦИЕНТОВ УДК 512.55 Е. В. Минакова ЭЛЕМЕНТАРНО ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ КОЛЬЦА ЛИ НИЛЬТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ НАД КОММУТАТИВНЫМИ КОЛЬЦАМИ КОЭФФИЦИЕНТОВ Показано, что элементарная эквивалентность колец Ли нильтреугольных матриц

Подробнее

Группы, кольца, поля. Глава Бинарная алгебраическая операция

Группы, кольца, поля. Глава Бинарная алгебраическая операция Глава 4 Группы, кольца, поля 4.1. Бинарная алгебраическая операция Сложение, вычитание, умножение чисел это примеры бинарных операций. Двум числам каждая их этих операций ставит в соответствие третье число.

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. Э. Гутерман, Градуированные локальные кольца, Фундамент. и прикл. матем., 2000, том 6, выпуск 3, 753 756 Использование Общероссийского математического

Подробнее

ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ ДЛЯ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ АБЕЛЕВЫХ n ГРУПП В. В. Мухин, Д. В. Сергеева

ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ ДЛЯ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ АБЕЛЕВЫХ n ГРУПП В. В. Мухин, Д. В. Сергеева Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2008. Том 49, 6 УДК 512.541 ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ ДЛЯ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ АБЕЛЕВЫХ n ГРУПП В. В. Мухин, Д. В. Сергеева Аннотация. Получено обобщение теоремы

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Нормальные подгруппы

Нормальные подгруппы Нормальные подгруппы Рассмотрим теперь следующий важный класс подгрупп ОПРЕДЕЛЕНИЕ Подгруппа H группы G называется нормальной, если для любого x G имет место равенство xh Hx Подчеркнем, что если H является

Подробнее

Лекция 5. Топологические пространства и их свойства

Лекция 5. Топологические пространства и их свойства Лекция 5. Топологические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 3 октября 2011 г. Определение топологического

Подробнее

НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О ТОПОЛОГИИ ЗАРИССКОГО НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ*

НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О ТОПОЛОГИИ ЗАРИССКОГО НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ* МАТЕМАТИКА Вестн Ом ун-та 2012 4 С 2732 УДК 51257+51512 МВ Котов НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О ТОПОЛОГИИ ЗАРИССКОГО НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ* Изучаются взаимосвязи между заданной на топологической алгебраической

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2014 Теоретические основы прикладной дискретной математики 4(26) ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ УДК 512.579 О СИСТЕМАХ ОБРАЗУЮЩИХ ДИАГОНАЛЬНЫХ ПОЛИГОНОВ

Подробнее

Полнота, компактность, внутренние метрики.

Полнота, компактность, внутренние метрики. Тема 2 Полнота, компактность, внутренние метрики. 2.1 Сходимость и полнота Определение 2.1. Последовательность точек x 1, x 2,... метрического пространства (X, d) называется фундаментальной, если для любого

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств 1) Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по каждому из аргументов.

Подробнее

Элементы топологии. 2.1 Топологические пространства и непрерывные отображения

Элементы топологии. 2.1 Топологические пространства и непрерывные отображения Глава 2 Элементы топологии План. Непрерывная функция на прямой, база окрестностей, непрерывное в точке отображение, непрерывное отображение, открытое множество, окрестность точки, топология, топологическое

Подробнее

Поле. Расширения полей

Поле. Расширения полей Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Поле. Расширения полей Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп.

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 21 21.1. Фредгольмовы операторы (продолжение) Теперь, когда в нашем расположении есть теория Рисса Шаудера, мы можем вернуться к изучению фредгольмовых операторов

Подробнее

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 21 сентября 2011 г. Определение метрического пространства

Подробнее

Элементы топологии. Глава Топологические пространства и непрерывные отображения База окрестностей

Элементы топологии. Глава Топологические пространства и непрерывные отображения База окрестностей Глава 2 Элементы топологии План. Непрерывная функция на прямой, база окрестностей, непрерывное в точке отображение, непрерывное отображение, открытое множество, окрестность точки, топология, топологическое

Подробнее

ИНВАРИАНТЫ ОТНОШЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ А. Г. Пинус

ИНВАРИАНТЫ ОТНОШЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ А. Г. Пинус Сибирский математический журнал Март апрель, 2000. Том 41, 2 УДК 519.48 ИНВАРИАНТЫ ОТНОШЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ А. Г. Пинус Аннотация: Описаны теоретико-множественные инварианты отношения рациональной

Подробнее

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 14 Выпуск 3 (2013)

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 14 Выпуск 3 (2013) ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 14 Выпуск 3 (2013) УДК 512.543 НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ КОРНЕВЫМИ КЛАССАМИ ГРУПП ОБОБЩЕННЫХ СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ С НОРМАЛЬНОЙ ОБЪЕДИНЕННОЙ ПОДГРУППОЙ Е. А. Туманова

Подробнее

Расстояние Громова Хаусдорфа. Свойства. Пространство метрических компактов.

Расстояние Громова Хаусдорфа. Свойства. Пространство метрических компактов. Лекция 7 Расстояние Громова Хаусдорфа. Свойства. Пространство метрических компактов. Данный раздел посвящен описанию различных свойств семейств метрических пространств. Особое внимание уделяется семейству

Подробнее

3. Аксиомы счетности и отделимости Аксиомы счётности

3. Аксиомы счетности и отделимости Аксиомы счётности 3 Аксиомы счетности и отделимости Определение топологического пространства является очень общим и под него подходят плохо устроенные пространства, в которых отдельно взятая точка может оказаться незамкнутым

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 ПО КУРСУ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2 образование, специальности ИУ 3, 5, 6

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 ПО КУРСУ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2 образование, специальности ИУ 3, 5, 6 1 ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 ПО КУРСУ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2 образование, специальности ИУ 3, 5, 6 Задача 1 Для заданного теоретико-множественного тождества: а) проиллюстрировать тождество диаграммой Эйлера Венна;

Подробнее

ПОЛУПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

ПОЛУПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 13 ГРУППЫ ИЗ 8 ЭЛЕМЕНТОВ ПОЛУПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУППЫ ИЗ 12 ЭЛЕМЕНТОВ ПОНЯТИЕ КОЛЬЦА 1 ГРУППЫ ИЗ 8 ЭЛЕМЕНТОВ Теорема 1 (классификация групп из 8 элементов). Любая группа из 8 элементов изоморфна

Подробнее

ОБ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ТЕОРИЯХ МЕТАБЕЛЕВЫХ ГРУПП И ВЛОЖЕНИИ ШМЕЛЬКИНА Е. И. Тимошенко

ОБ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ТЕОРИЯХ МЕТАБЕЛЕВЫХ ГРУПП И ВЛОЖЕНИИ ШМЕЛЬКИНА Е. И. Тимошенко Сибирский математический журнал Сентябрь октябрь, 2001. Том 42, 5 УДК 512.5 ОБ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ТЕОРИЯХ МЕТАБЕЛЕВЫХ ГРУПП И ВЛОЖЕНИИ ШМЕЛЬКИНА Е. И. Тимошенко Аннотация: Изучается подгруппа Фиттинга для некоторых

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал М. Г. Ткаченко, О некоторых свойствах свободных топологических групп, Матем. заметки, 1985, том 37, выпуск 1, 110 118 Использование Общероссийского математического

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 5 5.1. Гильбертовы пространства (продолжение) 5.1.1. Унитарные изоморфизмы Обсудим теперь, какие предгильбертовы пространства следует считать «одинаковыми».

Подробнее

Краткое руководство к действию по тензорному анализу.

Краткое руководство к действию по тензорному анализу. Краткое руководство к действию по тензорному анализу. 21 октября 2011 г. Глава 1. Гладкие многообразия и тензорные поля. 1.1. Необходимые сведения из топологии. Определение 1.1. Пусть дано непустое множество

Подробнее

Часть 1. Натуральные числа. Эта часть содержит три очерка, посвященные теории натуральных

Часть 1. Натуральные числа. Эта часть содержит три очерка, посвященные теории натуральных Часть 1 Натуральные числа Эта часть содержит три очерка, посвященные теории натуральных чисел, базирующейся, главным образом, Большое внимание уделено индуктивным процедурам. Число 1. СИСТЕМА ПЕАНО Введение

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ 3 СЕМЕСТР УЧЕБНЫЙ ГОД БУНИНА ЕЛЕНА ИГОРЕВНА. (ПО ЛЕКЦИЯМ ПРОФЕССОРА АЛЕКСАНДРА ВАСИЛЬЕВИЧА МИХАЛЕВА)

ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ 3 СЕМЕСТР УЧЕБНЫЙ ГОД БУНИНА ЕЛЕНА ИГОРЕВНА. (ПО ЛЕКЦИЯМ ПРОФЕССОРА АЛЕКСАНДРА ВАСИЛЬЕВИЧА МИХАЛЕВА) ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ 3 СЕМЕСТР 2012 2013 УЧЕБНЫЙ ГОД БУНИНА ЕЛЕНА ИГОРЕВНА helenbunina@gmail.com (ПО ЛЕКЦИЯМ ПРОФЕССОРА АЛЕКСАНДРА ВАСИЛЬЕВИЧА МИХАЛЕВА) 1 Часть 1 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП ЛЕКЦИЯ 1 ГРУППЫ. ИЗОМОРФИЗМЫ

Подробнее

Промежуточное положение между гомеоморфизмом и ретракцией занимает отображение, называемое деформационной ретракцией.

Промежуточное положение между гомеоморфизмом и ретракцией занимает отображение, называемое деформационной ретракцией. 78 Деформационный ретракт Промежуточное положение между гомеоморфизмом и ретракцией занимает отображение называемое деформационной ретракцией Определение Подпространство А топологического пространства

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 4 4.1. Банаховы пространства Напомним, что последовательность (x n ) в метрическом пространстве (, ρ) называется фундаментальной (или последовательностью Коши),

Подробнее

F 1 (x) := F 2 (x) = (f 1 (x), f 2 (x)) I f (u) :=

F 1 (x) := F 2 (x) = (f 1 (x), f 2 (x)) I f (u) := Владикавказский математический журнал октябрь декабрь, 2006, Том 8, Выпуск 4 УДК 517.98 О СУБДИФФЕРЕНЦИАЛАХ НЕ ВСЮДУ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ВЫПУКЛЫХ ОПЕРАТОРОВ 1 Е. К. Басаева Светлой памяти А. М. Рубинова Рассматриваются

Подробнее

1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1 Метрические пространства 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Пусть X Y {(x, y) x X, y Y } прямое произведение множеств X и Y. Определение. Функция ρ : X X R + называется метрикой в X, если a) ρ(x, y) = ρ(y, x)

Подробнее

ПЕТРОВ АНДРЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ПЕТРОВ АНДРЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ Федеральное госуарственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Вятский государственный гуманитарный университет» На правах рукописи УДК 512.558 ПЕТРОВ АНДРЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

Подробнее

АППРОКСИМАЦИЯ НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

АППРОКСИМАЦИЯ НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. Н. Гумеров АППРОКСИМАЦИЯ НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ - 2008 Печатается по решению Учебно-методической комиссии механико-математического

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Кольца. Теорема о конечном целостном кольце. Кольцо многочленов. Подкольцо. Идеал кольца. Главный идеал кольца. Кольцо главных идеалов. Деление с остатком многочленов над полем. Теорема о кольце

Подробнее

на множестве векторов Понятие линейного пространства

на множестве векторов Понятие линейного пространства Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Векторы. Линейные операции на множестве векторов Понятие линейного пространства Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Глава II. Векторная алгебра. Элементы теории

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

ВЫЧИСЛЕНИЕ СТЕПЕНИ НЕЛИНЕЙНОСТИ ФУНКЦИИ НА ЦИКЛИЧЕСКОЙ ГРУППЕ ПРИМАРНОГО ПОРЯДКА А. В. Черемушкин.

ВЫЧИСЛЕНИЕ СТЕПЕНИ НЕЛИНЕЙНОСТИ ФУНКЦИИ НА ЦИКЛИЧЕСКОЙ ГРУППЕ ПРИМАРНОГО ПОРЯДКА А. В. Черемушкин. ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2014 Теоретические основы прикладной дискретной математики 2(24) УДК 519.719.325 ВЫЧИСЛЕНИЕ СТЕПЕНИ НЕЛИНЕЙНОСТИ ФУНКЦИИ НА ЦИКЛИЧЕСКОЙ ГРУППЕ ПРИМАРНОГО ПОРЯДКА А. В.

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. В. Архангельский, Клеточные структуры и однородность, Матем. заметки, 1985, том 37, выпуск 4, 580 586 Использование Общероссийского математического портала

Подробнее

УДК Л.В. ШАБУНИН О КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ ТОТАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКИХ КВАЗИГРУППАХ

УДК Л.В. ШАБУНИН О КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ ТОТАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКИХ КВАЗИГРУППАХ УДК 516 ЛВ ШАБУНИН О КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ ТОТАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКИХ КВАЗИГРУППАХ Ключевые слова: квазигруппа конечно определенная алгебра граф элементарная теория неразрешимость Доказывается вложимость конечных

Подробнее