Материалы Общероссийской электронной научной конференции "Актуальные вопросы современной науки и образования" г. Красноярск, декабрь 2009 г.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Материалы Общероссийской электронной научной конференции "Актуальные вопросы современной науки и образования" г. Красноярск, декабрь 2009 г."

Транскрипт

1 Материалы Общероссийской электронной научной конференции "Актуальные вопросы современной науки и образования" г. Красноярск, декабрь 2009 г. ГРНТИ 27 МАТЕМАТИКА УДК ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА TAYLOR V. 3.0 М.А. Милкова, младший научный сотрудник Центральный экономико-математический институт РАН г. Москва, Россия TAYLOR v. 3.0 программная система, позволяющая с помощью оригинальных рекуррентных алгоритмов получать разложение функций, заданных различными способами, в ряд Тейлора на основе формул дифференциального исчисления, решать некоторые типичные, одномерные и многомерные, а также специальные задачи. Система функционирует в Windows в интерактивном режиме. Ключевые слова: ряды Тейлора, компьютерное дифференцирование, неявная функция, интерактивный режим, DLL-библиотеки Введение TAYLOR - программная система, открывающая точные и простые средства для широкого использования в вычислительной практике методов, связанных с представлением функций рядами Тейлора, методов асимптотических разложений, а также прямых методов высших производных. Ряды Тейлора как удобное и эффективное средство аппроксимации функций, широко применяются в исследовательских и инженерных расчетах во всех областях знаний; знакомство с рядами Тейлора является обязательным элементом математической подготовки студентов всех специальностей. Это дает основание для повсеместного распространения системы в академических и научно-исследовательских институтах, конструкторских бюро и, что не менее важно в ВУЗах. TAYLOR разработан в Центральном экономико-математическом институте РАН. В основе системы лежит компьютерная «Алгебра дифференцирования» (АД) - совокупность специальных рекуррентных алгоритмов, автором которых является д.ф-м.н., проф. В.З. Беленький. Алгоритмы предназначены для вычисления по формулам дифференциального исчисления точного значения производных (произвольных порядков) от функций, заданных формулами любой сложности, начиная от суперпозиции элементарных функций и заканчивая функциями, заданными неявно. Периодически расширяющийся комплекс алгоритмов АД публиковался в форме препринтов [3], [1], а также в журнале «Кибернетика» [4], [5]. В настоящее время система TAYLOR функционирует в Windows. В современных математических пакетах разложение в ряды Тейлора (т.е. вычисление производных данной функции) либо основывается на конечно-разностных методах, дающих лишь приближенные значения и работающих при малых n, либо на методах символьного программирования, выполняющих «дифференцирование» исходной формулы заданной функции. В отличие от этого, АД и основанная на ней система TAYLOR работают непосредственно с исходными формулами функции, никак не преобразуя их. Это дает существенное преимущество в скорости счета и, что самое главное, в отличие от всех других, система TAYLOR позволяет легко работать с функциями, заданными неявным образом; в этом отношении TAYLOR является уникальной системой, не имеющей аналогов. Последняя 3-я версия системы реализована автором статьи в среде Delphi и позволяет пользователю в интерактивном режиме получать коэффициенты разложения в ряд Тейлора функций, заданных различным образом, а также решать некоторые стандартные и специальные задачи. Программа снабжена подробным справочным руководством по каждой из процедур. 3

2 Каталог процедур системы TAYLOR v. 3.0 TAYLOR 3 включает процедуры четырех уровней. Процедуры базового уровня являются фундаментом системы; они получают коэффициенты разложения в ряд Тейлора различных видов функций. Процедуры следующих трех уровней предназначены для решения типовых и специальных задач вычислительной математики. Базовый уровень: получение полиномов Тейлора Процедуры получают коэффициенты c полинома Тейлора функции y = y(x) : k ( ) : = n ( ) k 1 ( k) p x c x x, c = C ( y, x ) : = y ( x ) n k 0 k k 0 0 k = 0 k! Задаются формула функции y(x), точка x 0, а также порядок разложения n. В системе допускается 10 способов задания функции y(x) : 1) Явная функция. Задается явная формула функции y = f (x). 2) Обратная функция. Разложение строится для функции y(x), обратной к заданной функции x = g(y). 3) Параметрическая функция. Функция y(x) определяется соотношениями x = f1( t), y = f 2 ( t).. 4) Блочная явная функция. Функция y(x) задается соотношением = F[ x, u1( x),..., u ( x)}], u ( ),..., ( ) m 3; 1 x um x промежуточные функции (блоки). y m 5) Обратная к блочной функции. Разложение строится для функции y(x), обратной к заданной функции x = G[ y, u1( y),..., um ( y)}], m 3; u1( y),..., um ( y) промежуточные функции (блоки). 6) Неявная функция. Функция y(x) F ( x, y) = F ( x, ) определяется тождеством 0 y0. 7) Сложная неявная функция. Функция y(x) определяется тождеством Ф ( x, y) = Ф( x 0, y0 ), где Ф( x, y) = F[ x, y, u1( x, y),..., um ( x, y)}], m 3; u1( x, y),..., um ( x, y) промежуточные функции. 8) ОДУ первого порядка. Функция y(x) определяется как интегральная кривая обыкновенного дифференциального уравнения y ' y( x ) 0 0. (1) 9) ОДУ m-го порядка. Функция y(x) определяется дифференциальным уравнением высокого порядка ( m) ( m 1) y = G( x, y, y',..., y ) y( x0) = y01 y'( x0 ) = y02... ( m 1) y ( x0) = y0m m 5. (2) 10) Сингулярное ОДУ. Функция y(x) определяется дифференциальным уравнением с нулевым коэффициентом при старшей производной 4

3 ( m) ( m 1) x y ( x) = G[ x, y, y',..., y ] x0 = 0 y( x0 ) = y01 m 4 y' ( x0 ) = y02... ( m 1) y ( x0 ) = y0m. (3) 11) Система ОДУ. Векторная функция Y (x) определяется как интегральная кривая системы дифференциальных уравнений в m-мерном пространстве. Y '( x) = G( x, Y ) m, ( Y, G R ), m 3 Y ( x0 ) = Y0. (4) Процедуры первого уровня Данные процедуры решают некоторые типичные одномерные задачи. 1) Корень явной функции. Процедура находит корень уравнения f ( x) = 0 x в окрестности заданного начального значения 0. 2) Корень блочной функции. Процедура находит корень уравнения заданного в виде явной блочной функции F[ x, u1( x),..., um ( x)] = 0, m 3 в окрестности заданного x начального значения 0. 3) Корень производной. Для заданной функции f (x) процедура находит корень уравнения f ' ( x) = 0 x, находящийся в окрестности заданного приближения 0. 4) Определенный интеграл. Для заданной функции f (x) и пределов интегрирования b Int = f ( x) dx a, b вычисляется значение интеграла a. 5) Решение задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. Для дифференциального уравнения (1) вычисляется значение функции y(x) на правом конце: y(x 1 ). Процедуры второго уровня Данные процедуры решают некоторые типичные многомерные задачи. 1) Решение системы двух уравнений. Для заданных функций F 1 ( x), F 2 ( x) ( x, ) в окрестности начального приближения 0 y0 находится решение системы уравнений F1 ( x, y) = 0 F2 ( x, y) = 0 2) Решение задачи Коши для ОДУ m-го порядка. Для дифференциального уравнения (2) вычисляется значение функции y(x) на правом конце: y(x 1 ). 3) Решение задачи Коши для системы ОДУ. Для системы дифференциальных Y = ( y ( ), ( ),..., ( )) уравнений (4) вычисляется значение вектор-функции 1 x y2 x ym x на правом ( y ( ), ( ),..., ( )), 3 конце: 1 x1 y2 x1 ym x1 m. Специальные задачи Данные процедуры решают некоторые специальные задачи. В версию 3.0 программного продукта TAYLOR включены 2 специальные задачи. 1) Разложение в ряд Тейлора решения уравнения Беллмана 5

if ($this->show_pages_images && $page_num < DocShare_Docs::PAGES_IMAGES_LIMIT) { if (! $this->doc['images_node_id']) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 Рассматривается уравнение Беллмана для одномерной стационарной модели экономической динамики в дискретном времени (см. [6]): V x) max[ U ( c) + β V ( y)], x 0. ( = y= F ( x c) 0 c x Здесь x капитал системы; c потребление, U (c) функция полезности; z = x c инвестиции в производство, F (z) производственная функция, y = F(z) капитал системы через единицу времени; β (0,1) - коэффициент дисконтирования; V (x) функция выигрыша. В регулярной модели переходная функция x y = Y (x) имеет неподвижную точку (единственную и устойчивую) x * = F( z * ), где * z - корень уравнения F ' ( z) = 1/ β. Исходной информацией является информационный паспорт модели { U ( c), F ( z), β}. * Процедура находит неподвижную точку x и коэффициенты разложения функции выигрыша V, переходной функции Y и стратегии потребления - функции C. Более подробно об алгоритме получения разложения решения уравнения Беллмана можно прочесть в [2]. Отметим, что при исследовании различных моделей достаточно часто возникают задачи, связанные с поиском решения в виде разложения в ряд Тейлора функций, заданных неявным образом. Процедура получения разложения решения уравнения Беллмана в окрестности неподвижной точки аналогична процедуре разложения неявной функции, и поэтому может быть реализована именно в системе TAYLOR. 2) Вычисление интеграла от быстро осциллирующей функции Рассматривается задача вычисления интеграла от быстро осциллирующей функции: x0 Int = w f ( x) sin( wx) dx, (5) где f (x) достаточно гладкая функция, экспоненциально убывающая на бесконечности, w >> 1 - частота осцилляций (колебаний); такие интегралы встречаются во многих задачах математической физики. Процедура вычисляет значение интеграла (5). Для вычисления используются формулы асимптотических разложений по параметру w (см. [7]). Работа в системе Система функционирует в интерактивном режиме; в случае возникновения внутри процедуры какой-либо недопустимой ситуации, некорректно введенных входных данных и т.п., пользователю выдается соответствующее сообщение об ошибке. Работа с системой существенно облегчена наличием справочного руководства на русском языке, которое может быть вызвано из окна процедуры нажатием клавиши F1. Стартовое окно системы приведено ниже: 6

5 Рис. 1. Стартовое окно системы После выбора интересующей процедуры пользователь переходит в соответствующее окно, где и приступает к непосредственной работе. Примеры некоторых процедур приведены ниже: Рис. 2. Окно для получения коэффициентов разложения в ряд Тейлора неявной функции 7

6 Рис. 3. Окно для получения разложения решения уравнения Беллмана Принцип работы в системе построен на использовании специально разработанных DLLбиблиотек, что позволяет говорить не только об интерактивной версии TAYLOR, но и о, так называемой, рабочей версии, более широкой по своим возможностям, где пользователь может обращаться к представленным процедурам непосредственно из своей среды путем подключения библиотек. На рынке программного обеспечения в настоящий момент представлено обширное число математических пакетов, занимающихся как аналитическими преобразованиями, так и численными расчетами. Однако все они зачастую громоздки, как правило, дорогостоящи и выпускаются иностранным производителем, что осложняет их использование из-за отсутствия русифицированных версий. Проведение сравнительного анализа системы TAYLOR с современными математическими пакетами, такими как Matlab, Mathematica, Maple, Derive показало её преимущество в скорости счета в несколько десятков раз. Кроме того, ни одна из перечисленных программ не работает с функциями, заданными неявно. Отечественных аналогов также найдено не было. Это означает, что система TAYLOR открывает принципиально новые точные и простые средства для широкого использования в вычислительной практике методов, связанных с представлением функций рядами Тейлора. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 1. Беленький В.З. Базовые алгоритмы алгебры дифференцирования для ЭВМ. М.: ЦЭМИ РАН, с. 2. Борисова М.А. Применение Алгебры дифференцирования к исследованию решения уравнения Беллмана. // Сборник «Анализ и моделирование экономических процессов», вып. 5. М.: ЦЭМИ РАН, Беленький В.З. Базовые алгоритмы алгебры дифференцирования для ЭВМ. М.: ЦЭМИ АН СССР, 1983 г. (препринт) 8

7 4. Беленький В.З. Сообщение о программной системе «Алгебра дифференцирования TAYLOR» // Кибернетика, 1989, N Беленький В.З., Васильева О.А., Кукаркин А.Б. Программный модуль «Алгебра дифференцирования TAYLOR»: результаты численных экспериментов, сообщение о версии 2.1 // Кибернетика и системный анализ, 1997, N3. 6. Беленький В.З. «Оптимизационные модели экономической динамики», М.: Наука, Эрдейи А. Асимптотические разложения, М.: ГИФМЛ, УДК 519.2:51.77 АНАЛИЗ И ТИПОЛОГИЗАЦИЯ АРТЕФАКТОВ АРХЕОЛОГИЧЕСКИХ ПАМЯТНИКОВ Т.В. Пак, кандидат физико-математических наук Я.И. Еремеева, магистрант Дальневосточный государственный университет г. Владивосток, Россия Согласно утвердившейся в археологии точке зрения наиболее информативным источником, несущим сведения о самых различных сторонах материальной и духовной жизни общества, является керамика. Результаты анализа керамики позволяют решить многие проблемы, в том числе этногенеза и хронологии, реконструировать древние представления. Археологами Института истории, археологии и этнографии народов Дальнего Востока ДВО РАН были произведены раскопки и исследованы артефакты с четырех археологических памятников Приморского края: Памятник "Ветка-2" (обозначение сосудов - В_С1, В_С2, ) находится в Ольгинском районе, деревня Ветка. Памятник "Бойсмана-2" (Б_С1, Б_С2, ) находится в Хасанском районе. Памятник "Лузанова Сопка-2" (ЛС_С1, ЛС_С2, ) находится в Хорольском районе. Памятник "Моряк-Рыболов" (МР_С1, МР_С2, ) находится в Ольгинском районе. Возраст этих поселений лет до н.э. [1]. Найденные фрагменты сосудов были изучены, распределены к разным сосудам, в зависимости от толщины стенок и материала, из которого изготовлены сосуды, и зарисованы. Имея данные по керамике с четырех археологических памятников необходимо: Выстроить иерархию признаков. Выделить локальные варианты керамики, характерные для каждого памятника. Сравнить все четыре коллекции памятников для выяснения устойчивых отличий и сходств. Сосуды (22 фрагмента) памятника «Лузанова Сопка-2» были подвергнуты статистической обработке. Сосуды имеют характерные признаки, которые можно разделить на четыре группы: Форма венчика, Наличие валика, Форма среза венчика, Техника орнаментации. Все признаки сосудов представлены графически в следующей таблице. 9

8 Описание керамики Таблица 1 Приз Название Признак Название Признак Название нак 1 Прямой венчик 8 Заостренная кромка 15 Диагональные гребенки 2 Загнутый венчик 3 Валик на сосуде 4 Горизонтальн ая кромка 9 Орнамент по срезу венчика 10 Ромбы в шахматном порядке 16 Лопатки по горизонтали 17 Лопатки в треугольнике 11 Ромбы в ряд 18 Отступающая лопатка 5 Округлая кромка 6 Скошенная внутрь кромка 7 Скошенная наружу кромка 12 Треугольни ки по диагонали 13 Ромбы в треугольник е 14 Вертикальн ые гребенки 19 Овалы в линию 20 Прочерченная линия 21 Прочерченная полукруглая линия Признаки из групп «форма венчика» и «форма среза венчика» присутствуют на сосуде лишь один раз в отличие от признаков групп «наличие валика» и «техника орнаментации». Все признаки сосудов были закодированы: 1 - если признак присутствует на сосуде, и 0 - если отсутствует. Каждому признаку присвоен свой цифровой индекс, что упрощает дальнейшую обработку [2]. Для проведения кластерного анализа были выбраны агломеративные иерархические алгоритмы, так как именно они позволяют получить наиболее полное представление о структуре кластеров в виде дендрограммы. В виду того, что не известны методы и меры, используемые для решения такого рода задач, была проведена кластеризация по всем 7 методам (таблица 2), которые реализованы в программе статистического анализа SPSS [3], для них использовались 27 мер для анализа дихотомических данных. Иерархические методы кластеризации основаны на пересчете расстояний следующего шага кластеризации с использованием старых значений расстояний с предыдущего шага кластеризации с помощью общей формулы [4]: drs = α pd ps + αqdqs + βd pq + γ d ps dqs. Если кластеры p и q объединяются в кластер r и требуется рассчитать расстояние от нового кластера до кластера s, применение того или иного метода зависит от способа определения расстояния между кластерами, эти методы различаются значениями коэффициентовα p, α q, β и γ. В табл. 2 приведены коэффициенты пересчета расстояний между кластерами α p, α q, β и γ. 10

9 Таблица 2 Методы, используемые в SPSS, и их коэффициенты Название метода α p α q β γ Ближайший сосед ~ 1 2 Дальний сосед Кластеринг медианы ~ Связь между группами Связь внутри групп Кластеринг центройда Метод Уорда k r k k k k p p p + kq k p + kq k k k k p p p q p + k q k p + kq k p + kq r + k + k p p + k q k r k r + k + k p p + k q k r k + k 0 0 где k p, k q, k r - количество объектов в кластерах p, q и r, соответственно. Число кластеров определялось по динамике изменения порога расщепления (слияния) кластеров. В программе SPSS по каждому методу выводится таблица агломерации, с помощью которой можно оценить число кластеров. Для этого необходимо проследить динамику увеличения расстояний по шагам кластеризации и определить шаг, на котором отмечается резкое возрастание расстояний. Оптимальному числу кластеров соответствует разность между числом объектов и порядковым номером шага, на котором было обнаружено максимальное расстояние. В результате анализа данных выяснилось, что от выбора метода зависит построение дендрограммы и разделение объектов на кластеры. Таким образом, в большинстве случаев, методы «Связь внутри групп» и «Дальний сосед» делят сосуды на одинаковые по количеству объектов кластеры; методы «Ближайший сосед», «Кластеринг центройда» и «Кластеринг медианы» выделяют одиночные кластеры; «Метод Уорда» объединяет все сосуды в один кластер, либо разделяет их все на единичные кластеры. По сути, этими методами не происходит кластеризация данных. По этой причине, эти методы исключаются из дальнейшего анализа. Результаты кластеризации по методу «Связь внутри групп», когда получилось 2-3 и кластеров, считаются неверными, потому что это означает, что либо все сосуды принадлежат одному кластеру, либо каждый сосуд - это отдельный кластер. Анализ оставшихся мер показывает, что сосуды делятся на 6 кластеров. Сравнение результатов иерархических методов было проведено с результатом метода «Ксредних». До применения метода «К-средних» был проведен факторный анализ, для объединения зависимых признаков к меньшему количеству независимых между собой факторов. Таким образом, 21 признак был объединен в 7 факторов методом «Варимакс»[5]. Матрица вращения состоит из факторных нагрузок. Максимальное абсолютное значение факторной нагрузки указывает на отношение данного признака к фактору. Разделение признаков на факторы изображено в таблице 3. p k r + k q

10 Таблица 3 Объединение признаков исходя из факторного анализа фактора Признаки округлая кромка ( 5), орнамент на кромке ( 9), диагональные гребенки ( 15), 1 лопатки по горизонтали ( 16) 2 ромбы в треугольнике ( 13), прочерченная полукруглая линия ( 21) 3 прямой венчик ( 1), загнутый венчик ( 2), горизонтальная кромка ( 4) скошенная внутрь кромка ( 6), лопатки в треугольнике ( 17), отступающая 4 лопатка ( 18) валик на сосуде ( 3), скошенная наружу кромка ( 7), заостренная кромка ( 8), 5 гребенка вертикальная ( 14) 6 ромбы в шахматном порядке ( 10), треугольники по диагонали ( 12) 7 ромбы в ряд ( 11), овалы в линию ( 19), прочерченная линия ( 20) На рисунке 1 изображен граф связей признаков, построенный по матрице корреляций с вычисленными коэффициентами Пирсона. Двойной линией в графе соединены признаки, имеющие наибольший коэффициент корреляции, одинарной - наименьший, пунктирной линией - с обратной зависимостью. Результат метода «Варимакс» хорошо согласуется с объединением в факторы признаков, изображенных в графе связей. Как видно на графе, группы не пересекаются между собой, что подтверждает их разделение факторным анализом. Затем выполняется метод «К-средних», использующий вместо признаков полученные значения факторов. В этом методе необходимо указывать количество кластеров. Так как иерархические методы показали, что должно быть 6 кластеров, то неиерархическим анализом была произведена кластеризация для такого количества кластеров. В табл. 4 представлены результаты метода «К-средних». Таблица 4 Распределение сосудов по группам методом «К-средних» группы Сосуды по группам ЛС_С7, ЛС_С14, ЛС_С15, ЛС_С18, ЛС_С19, ЛС_С20, ЛС_С21, ЛС_С25, 1 ЛС_С8, ЛС_С9, ЛС_С22, ЛС_С23, ЛС_С26, ЛС_С28 2 ЛС_С6, ЛС_С12, ЛС_С13 3 ЛС_С4, ЛС_С17 4 ЛС_С1 5 ЛС_С2 6 ЛС_С3 12

11 Результат кластеризации иерархическим методом помещен в таблицу 5. Таблица 4 Распределение сосудов по группам методом «Связь между группами» группы Сосуды по группам 1 ЛС_С7, ЛС_С14, ЛС_С15, ЛС_С18, ЛС_С19, ЛС_С20, ЛС_С21, ЛС_С25, ЛС_С13 2 ЛС_С2, ЛС_С8, ЛС_С9, ЛС_С22, ЛС_С23 3 ЛС_С4, ЛС_С17, ЛС_С26, ЛС_С28 4 ЛС_С6, ЛС_С12 5 ЛС_С1 6 ЛС_С3 Окончательным решение задачи кластеризации считаем распределение в таблице 4. Анализируя результаты этого разбиения, можно выделить признаки, присущие каждой группе сосудов. Причем это разделение совпадает с группами признаков, выделенными факторным и корреляционным анализом (рис. 1). Наибольшей по количеству сосудов группе соответствуют признаки, присущие памятнику "Лузанова Сопка-2". В последних трех группах присутствуют признаки, которых нет на остальных сосудах, но на них много признаков из основной (многочисленной) группы, что означает, что не сосуд пришел из другой "культуры", а лишь орнаментальный признак. Также было выявлено, что орнамент на кромке влияет на форму среза венчика, а именно, на сосудах с округлым срезом венчика нет орнамента на кромке. Проанализируем следующий памятник «Ветка-2». Для этого памятника имеются данные по 133 сосудам с 38 признаками. Анализ по определению количества кластеров для памятника «Ветка-2» проводился с помощью пакета SPSS 15.0 (табл. 2) по 5 методам с использованием 27 мер для анализа дихотомических данных. При анализе результатов кластеризации выяснилось, что от количества сосудов не зависит работа методов в построении дендрограммы и разделении объектов на кластеры. Таким образом, также как и для памятника «Лузанова Сопка-2» оптимальным методом определения количества кластеров является метод «Связь между группами», по которому все сосуды делятся на 13 кластеров. Сравнение результатов иерархического метода было проведено с результатом метода «Ксредних». Окончательным решением задачи кластеризации является разбиение, полученное методом «К-средних» с предварительным корреляционным анализом признаков. Наибольшей по количеству сосудов группе соответствуют признаки, присущие памятнику "Ветка-2". В группах 7-12 присутствуют признаки, которых нет на остальных сосудах, но на них много признаков из основной (многочисленной) группы. Чтобы проследить, существовал ли контакт и обмен между разными типами керамики памятников «Ветка-2», «Лузанова Сопка-2», «Бойсмана-2» и «Моряк-Рыболов», был проведен общий анализ артефактов этих памятников. Анализ по определению количества кластеров для памятника «Ветка-2» (104 сосуда) и «Лузанова Сопка-2» (22 сосуда) проводился по 5 методам с использованием 27 мер для 126 сосудов. Наибольшим по количеству сосудов группам (1 и 2 группы) соответствуют признаки, присущие памятникам "Ветка-2" и «Лузанова Сопка-2». Из-за того, что большинство сосудов из памятника «Ветка-2», то признаки сосудов этого памятника подавляют признак «прочерченная линия», характерный для памятника «Лузанова Сопка-2». В группах 7-14 присутствуют признаки, которых нет на остальных сосудах, но на них много признаков из основной (многочисленной) группы. Из-за малого количества данных для памятников «Моряк-Рыболов» (9 сосудов) и «Бойсмана-2» (7 сосудов) - большие расхождения в результатах иерархических и метода «Ксредних». Поэтому дальнейший анализ был проведен для объединения памятников. 13

12 Анализ проводился по 5 методам с использованием 27 мер иерархического анализа для памятников «Ветка-2» (104 сосуда), «Лузанова Сопка-2» (22 сосуда), «Бойсмана-2» (7 сосудов) и «Моряк-Рыболов» (9 сосудов) на данных 142 сосудов. Оптимальным методом определения количества кластеров является метод «Связь между группами». Сравнение результатов иерархических методов было проведено с результатом метода «Ксредних». Так как иерархический метод показал, что должно быть 8-9 кластеров, то неиерархическим анализом была произведена кластеризация для такого количества кластеров. Качество разбиения лучше при 8 кластерах (табл. 6, табл. 7). %и составляет 92\% (табл. 39). Анализируя результаты метода «К-средних», можно выделить признаки, присущие каждой группе сосудов. Наибольшим по количеству сосудов группам (1 и 2) соответствуют признаки, присущие памятникам "Ветка-2", «Лузанова Сопка-2», «Бойсмана-2» и «Моряк-Рыболов». В группах 1-6 в табл. 7 для метода «К-средних» прослеживается связь между четырьмя памятниками по свойственным для них признакам. Керамика памятников «Ветка-2» и «Лузанова Сопка-2» отличаются орнаментальными признаками. При добавлении новых признаков кластеризация меняется. Поэтому следует рассматривать устойчивость разбиения для одного числа признаков. При увеличении количества объектов уменьшается количество групп, полученных кластерным анализом. Поэтому при подсчете совпадений для устойчивости анализа разбиения объединение двух полных групп считается верным. На основании такого допущения, качество разбиения для памятника «Ветка-2» при объединении памятников составляет 86% и 90% соответственно. Качество разбиения для памятника «Лузанова Сопка-2» при объединении памятников составляет 91% и 82% соответственно. Таблица 6 Распределение сосудов по группам для всех четырех памятников методом «Связь между группами» Сосуды по группам В_С5, В_С15, В_С22, В_С45, В_С47, В_С51, В_С61, В_С75, В_С79, В_С80, В_С90, В_С102, В_С116, В_С120, В_С133, В_С141, МР_С2, МР_С8, В_С2, В_С13, В_С18, В_С21, В_С23, В_С24, В_С27, В_С28, В_С38, В_С41, В_С49, В_С82, В_С100, В_С119, В_С145, В_С55, МР_С1, МР_С6, МР_С7, В_С10, В_С112, МР_С3, В_С17, В_С32, В_С26, В_С83 В_С1, В_С3, В_С4, В_С8, В_С11, В_С14, В_С19, В_С20, В_С29, В_С30, В_С33, В_С35, В_С37, В_С46, В_С48, В_С50, В_С56, В_С58, В_С59, В_С62, В_С63, В_С65, В_С69, В_С72, В_С73, В_С76, В_С84, В_С92, В_С98, В_С99, В_С110, В_С114, В_С115, В_С121, В_С122, МР_С4, МР_С5, В_С25, В_С66, ЛС_С6, В_С34, В_С67, В_С43 В_С12, В_С54, В_С142, ЛС_С1, ЛС_С8, ЛС_С13, ЛС_С14, ЛС_С15, ЛС_С18, ЛС_С19, ЛС_С20, ЛС_С21, ЛС_С22, ЛС_С23, ЛС_С25, Б_С3, Б_С4, Б_С5, Б_С6, Б_С7, МР_С9, В_С144, ЛС_С3, БС_С1, ЛС_С2 В_С42, В_С52, В_С64, В_С77, В_С85, В_С86, В_С87, В_С118, В_С139, В_С146, В_С147, ЛС_С26, ЛС_С28, Б_С2, ЛС_С4, ЛС_С9, ЛС_17, В_С57 В_С60, В_С95, В_С136, В_С151, ЛС_С7 В_С31, В_С81, ЛС_С12 В_С6, В_С36 В_С53, В_С89 14

13 Таблица 7 Распределение сосудов по группам для всех четырех памятников методом «Связь между группами» Сосуды по группам В_С1, В_С3, В_С4, В_С5, В_С8, В_С11, В_С14, В_С15, В_С19, В_С20, В_С22, В_С29, В_С30, В_С33, В_С35, В_С37, В_С42, В_С45, В_С46, В_С47, В_С48, В_С50, В_С51, В_С52, В_С53, В_С56, В_С58, В_С59, В_С61, В_С62, В_С63, В_С64, В_С65, В_С69, В_С72, В_С73, В_С75, В_С76, В_С77, В_С79, В_С80, В_С84, В_С85, В_С86, В_С87, В_С89, В_С90, В_С92, В_С98, В_С99, В_С102, В_С110, В_С114, В_С115, В_С116, В_С118, В_С120, В_С121, В_С122, В_С133, В_С136, В_С139, В_С141, В_С144, В_С146, В_С147, В_С151, ЛС_С7, ЛС_С26, ЛС_С28, Б_С2, МР_С2, МР_С4, МР_С5, МР_С8, В_С2, В_С12, В_С13, В_С18, В_С21, В_С23, В_С24, В_С27, В_С28, В_С38, В_С41, В_С49, В_С54, В_С67, В_С82, В_С100, В_С119, В_С142, В_С145, ЛС_С1, ЛС_С4, ЛС_С8, ЛС_С9, ЛС_С13, ЛС_С14, ЛС_С15, ЛС_17, ЛС_С18, ЛС_С19, ЛС_С20, ЛС_С21, ЛС_С22, ЛС_С23, ЛС_С25, Б_С3, Б_С4, Б_С5, Б_С6, Б_С7, МР_С9 В_С6, В_С10, В_С25, В_С31, В_С36, В_С66, В_С81, В_С112, ЛС_С6, ЛС_С12, МР_С3 В_С34, В_С55, В_С57, ЛС_С2, МР_С1, МР_С6, МР_С7 В_С17, В_С32, В_С60, В_С95, БС_С1 В_С83, ЛС_С3 В_С26 В_С43 Наиболее сложной процедурой для археолога является сопоставление (статистическое или интуитивное) двух или нескольких археологических комплексов. При интуитивном сравнении несколько расплывчато формулируется проблема значимости признаков, на основе которых осуществляется сопоставление. При статистическом сравнении учет сходства (или различия) идет, как правило, по всем признакам. В области технологии перспективным и широко употребимым может стать использование кластерных и факторных методов. Результаты, полученные с помощью них, выраженные количественно, в графиках и дендрограммах, являются наглядной демонстрацией различий технологических традиций. В данной работе анализ проводился для установления специфики керамики памятников «Ветка-2», «Лузанова Сопка-2», «Моряк-Рыболов», «Бойсмана-2», во всех случаях факторные и кластерные методы дали хорошие результаты, подтвержденные учеными института истории, археологии и этнографии народов Дальнего Востока. Таким образом, корреляция методов математической статистики и естественных наук в применении к любому массовому материалу является залогом точных и проверяемых выводов, поддающихся исторической интерпретации [2]. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 1. Морева О.Л. Керамика бойсманской культуры (по материалам памятника Бойсмана-2) : Автореф. дис.... канд. ист. наук. Владивосток, Молодин В.И. Самусьская культура в Верхнем Приобье. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, с. 3. Наследов А. SPSS 15 профессиональный статистический анализ данных. - С-П., Барсегян А.А., Куприянов М.С., Степаненко В.В. Технологии анализа данных: Data Mining, Visual Mining, Text Mining, OLAP. - 2-е изд., перераб. и доп. - С-П., Ким Дж.-О. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ. - М.: Финансы и статистика, с.: ил. 15

14 УДК НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА СО СМЕШАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ М.И. Сугаков, аспирант С.Р. Амироков, кандидат физико-математических наук Северо-Кавказский государственный технический университет Ставрополь, Россия На примере краевой задачи гидродинамики со смешанными условиями вдоль одной из границ показано применение приближённого метода средневзвешенного потенциала, проведено сравнение решения с аналитическим и численным. Ключевые слова: уравнение Лапласа, метод средневзвешенного потенциала, метод Хоу, конформное преобразование, эллиптический интеграл При построении аналитического решения задач математической физики с краевыми условиями смешанного типа возникают определённые трудности описания поведения решения в точках разрыва граничных условий. Рассмотрим некоторые приёмы решения задач эллиптического типа на примере двумерной задачи перетекания жидкости через прямоугольную область (рис. 1). Рис. 1. Геометрия задачи Требуется определить величину потока жидкости Q в пласте шириной l ( 0 x l), высотой H ( 0 y H ). Жидкость на высоте H поступает через отверстие шириной l 1 ( 0 x l 1), а выходит через другое отверстие ширины l 2 ( l l2 x l). Стенки пласта считаются непроницаемыми, поток образуется за счёт разности давлений между отверстиями, которые будем полагать постоянными и заранее известными. Для решения задачи введём потенциал ϕ, который связан со скоростью потока соотношениями v = gradϕ, divv = 0, так что ϕ = 0. (1) Таким образом, для отыскания ϕ в области G получается следующая краевая задача: найти решение уравнения Лапласа (1) с граничными условиями ϕ = 0, (2) y OE 16

15 ϕ y BC = 0, (3) ϕ = ϕ = const AB 1, ϕ = ϕ = const CD 2, (4) ϕ ϕ = = 0. (5) y y AO Вдоль стороны AD действуют смешанные граничные условия (3) и (4). Один из способов решения данной задачи, основанный на методе средневзвешенного потенциала (иначе известного как метод Хоу, см. [1, 3]), заключается в следующем. Проведём разделение переменных по методу Фурье и учтём условия (2) и (5). В результате получим общий вид решения + ϕ ( x, y) = C0 Cn cos βnx ch βn y, (6) n= 1 πn где β n = ; C, 1 K l C, 0 произвольные постоянные. Введём обозначение Cn = Q An, где Q величина искомого потока, после чего (6) преобразуется к виду n= 1 ED ϕ ( x, y) = C0 + Q An cos βnx ch βn y. (7) Поток определяется как криволинейный интеграл (например, вдоль какого-либо из отверстий) от нормальной составляющей производной потенциала. В формулу для производной потенциала не войдёт постоянная C 0, поэтому мы имеем право разделить все коэффициенты C n ряда в правой части выражения (6) на Q. Примем значения потенциала ϕ при y = H на отрезках AB и CD в среднем равным заданным величинам ϕ и 1 2 ϕ, которые будем теперь обозначать l1 1 0 * * ϕ 1 и ϕ 2 соответственно 1 * ϕ = ϕ( x, H) dx = ϕ AB 1, (8) l l2 1 * ϕ = ϕ( x, H) dx = ϕ CD 2. (9) l 2 l l2 Подставляя (7) в (8) и (9), получим алгебраическую систему относительно C 0 и Q Q * C0 + S1 = ϕ1, l1 Q * C0 + S2 = ϕ2, l2 (10) где S 1 и S 2 обозначают следующие суммы = 1 S1 An =1 β ch βnh sin β nl1, (11) n n= 1 n n ( 1) S2 = An ch βnh sin β l β n n 2. (12) Чтобы отыскать неизвестные коэффициенты A n, применим упрощающее предположение о том, что значения нормальных скоростей фильтрации вдоль отрезков AB и CD постоянны. Из этого получаем следующее распределение нормальной скорости на границе AD 17

16 ϕ F( x) = y y= H Разложим F (x) в ряд Фурье по системе функций Q, при 0 x l1; l1 = 0, при l1 < x l l2; Q, при l l2 < x l. l2 πnx cos на отрезке [ 0, l ] l ϕ a = + 0 F( x) = an cos β nx, (13) y 2 y= H n= 1 n 2 Q 1 ( 1) a 0 = 0, an = sin β nl1 + sin β nl2. l β n l1 l2 Дифференцирование (7) при y = H даёт формулу ϕ y y= H = Q n= 1 A β n n cos β Сравнивая (13) и (14), и пользуясь линейной независимостью функций A n n 2 1 ( 1) l1 sin β nl2 l2 sin β nl1 =. 2 l β l l sh β H n 1 2 x sh β H. (14) n n n cos β n x, найдём Таким образом, числовые ряды S 1 и S 2 принимают вид 2 1 cth βnh n S1 = ( 1) l1 sin β l2 l2 sin l1 ) sin l 3 n βn βn 1, (15) l n= 1 βn l1l cth βnh n S2 = ( l1 sin β l2 ( 1) l2 sin l1 ) sin l 3 n βn βn 2. (16) l n= 1 βn l1l 2 Нетрудно доказать абсолютную сходимость рядов (15) и (16). Если суммы известны, то величина потока находится по следующей формуле * * ( ϕ2 ϕ1 ) l1l 2 Q =. (17) S l S l 2 1 Для расчёта потока требуется иметь оценку остаточных членов рядов S 1 и S 2. Получить оценку можно воспользовавшись, например, признаком Дирихле сходимости рядов Абелева типа [2]. Оценка остаточных членов обоих рядов оказывается равной 2 4l ( l1 + l2 ) πh 1 r N cth 3 2 l1l 2 l. π N Другой метод построения решения основан на применении конформного преобразования, отображающего область задачи в область, для которой решение известно. В нашем случае удобно воспользоваться решением двумерной задачи об отрезках с заданными потенциалами, лежащих на оси Ox, приведённом в [3]. Опишем алгоритм решения. 1. Отобразим прямоугольную область G (рис. 1) на верхнюю полуплоскость (рис. 2). Данное преобразование осуществляется с помощью эллиптических функций (как частный случай отображения Шварца-Кристоффеля). Ради удобства, передвинем область G и отразим относительно её горизонтальной оси (что не изменит величины искомого потока), как показано на рис

17 Рис. 2. Преобразованная область Рис. 3. Область G, подготовленная для конформного отображения Найдем модуль эллиптического интеграла k 0 через отношение высоты прямоугольника к половине его ширины τ = 2H l (см. [4]) ν q + ν = 0 πτ k 0 = 4, где q = e. (18) 2 ν 1+ 2 q ν = 1 2. Пересчитаем координаты образов точек A, B, C и D по формуле 2z ζ = sn K 0, k0, (19) l в которой z и ζ комплексные координаты точек до и после конформного преобразования, функция sn эллиптический синус Якоби, K 0 = K( k0 ) полный эллиптический интеграл Лежандра первого рода. В случае, приведённом на рис. 3, координаты образов точек будут равны 2l1 l x 1 = sn( K 0, k0 ) = 1, x 2 = sn K 0, k0, l l 2l2 x 3 = sn K 0, k0, x 4 = sn(k 0, k 0 ) = 1. l 3. Найдём приток по следующей формуле (её вывод можно найти в [3, стр ]). K ( k) Q = ϕ1 ϕ2, (20) K( k) ( x3 x2)( x4 x1 ) k =. ( x x )( x x ) 4 Вычисление новых координат по формуле (19) осложняется при τ = 2 H l <1 6, что связано с особенностью эллиптического интеграла limk( x) =. В этом случае следует x 1 19

18 развернуть прямоугольник AO * * ED (рис. 3) так, чтобы сторона AO лежала на оси Ox, а ось * Oy делила сторону AO пополам. При этом ход решения не изменится. Во время расчётов следует иметь в виду, что функции эллиптических интегралов K(k ), работа которых основана на методе арифметико-геометрического среднего, могут давать неправильный результат вычислений в определённом диапазоне параметра. В частности, функции ellipke пакета MATLAB и EllipticK инструмента WolframAlpha основаны на этом алгоритме. Для проверки можно вычислять эллиптический интеграл как сумму ряда (см. [5]). Сравнение вышеизложенных решений, т.е. решения методом средневзвешенного потенциала (СВП) и аналитического, а также решения, получаемого при помощи метода конечных элементов (МКЭ), показало приемлемую точность решения методом СВП при l 1 + l2 < l 2. Величины потока, находимые методом СВП, оказываются ниже вычисленных аналитически, что характерно для данного метода. Величины, получаемые МКЭ, также оказываются ниже точных значений при размерах сетки элементов (в зависимости от размеров области). Рис. 4. Зависимость потока от высоты прямоугольного пласта ϕ = 4 1, ϕ = 1 2, l = 10, l = 2 1, l = 3 2 Рис. 5. Зависимость потока от суммарной длины отверстий ϕ = 4 1, ϕ = 1 2, l = 10, H = 4, l 1 = l2. 20

19 Все решения показывают линейную зависимость потока от разности потенциалов ϕ1 ϕ 2, о чём говорят также формулы (17) и (20). Наблюдается замедление роста потока при увеличении высоты H (рис. 4), при переходе H > l, высота перестаёт оказывать существенное влияние на величину потока. Погрешность метода СВП растёт при увеличении l + (рис. 5). 1 l 2 Рис. 6. Погрешность решения по методу СВП в процентах. ϕ = 4 1, ϕ = 1 2, l = 10, l 1 = l2. Рис. 7. Точность решения МКЭ от числа конечных элементов N В целом, погрешность метода СВП уменьшается при увеличении H и растёт с увеличением l 1 + l2. На рис. 6 показан график зависимости погрешности метода в процентах от высоты прямоугольного пласта и от длины отверстий l 1 = l2. Отклонение результатов СВП от точных не превосходит 10 15% в случае l 1 + l2 < l 2. Метод конечных элементов даёт заниженные значения потока в рассмотренной задаче. Наблюдается рост точности решения с увеличением числа конечных элементов (рис. 7). Решения методом конечных элементов получены с помощью COMSOL 3.4, тип уравнения Laplace`s, настройки стандартные. 21

20 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 1. Фихманас Р.Ф., Фридберг П.Ш. Метод Хоу расчёта ёмкости тел и его связь с вариационными принципами // ЖТФ Т.40. вып.6. С Признак Дирихле [Электронный ресурс] : Википедия Свободная энциклопедия : [сайт]. URL: (дата обращения: ). 3. Иоссель Ю. Я., Кочанов Э. С., Струнский М. Г. Расчет электрической емкости. 2-е изд., перераб. и доп. СПб. : Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, с. 4. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. 4- е изд., перераб. и доп. М. : Наука, с. 5. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г. Б. Двайт; перевод с англ. Н. В. Леви; под ред. К. А. Семендяева. 5-е изд. М. : Наука : Главная редакция физико-математической литературы, с. УДК :512.5 СИСТЕМЫ ШИФРОВАНИЯ ОСНОВАННЫЕ НА ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ РЕШЕТОК В.С. Усатюк, аспирант О.В. Кузьмин, доктор физико-математических наук Братский государственный университет г. Братск, Россия В работе представлен обзор достижений динамично развивающейся отрасли криптографии, а именно шифрования, основанного на задачах теории решеток. Работа содержит необходимые базовые определения, описание основных задач теории решеток, а так же представлены основные преимущества этого класса криптографии - свойство криптостойкости по отношению к квантовым и молекулярным вычислителям и возможность реализации гомоморфного шифрования на основе идеальных решеток. Ключевые слова: решетка, шифрование, хеш-функция, квантовая и молекулярная криптостойкость. Развитие теории распределенных вычислений в сочетании с ростом производительности ЭВМ вызвало необходимость в значительном увеличении криптостойкости хеш-функций, а так же протоколов ассиметричного шифрования (RSA, ECC). Все это привело к увеличению длины ключа (дайджеста хеш-функции), а так же к значительному росту вычислительной сложности шифрования. В свою очередь алгебры, основанные на молекулярных [1, с. 63] и квантовых вычислителях [2, с. 200] позволили реализовать алгоритмы расшифровки сообщений и поиск коллизии за полиномиальное время, для задач NPI conp( = P) класса. В результате возникла необходимость в теоретических исследованиях и практической реализации нового поколения криптографических протоколов и примитивов - основанных на NP-полных задачах, не позволяющих реализовывать обращение таковых задач быстрее, чем с субэкспоненциальной сложностью [3]. Перспективными кандидатами на роль таковых задач, стали задачи теории решеток. Перед тем, как непосредственно перейти к изложению формулировки этих задач, введем необходимый набор определений. n Решетка дискретная аддитивная подгруппа, заданная на множестве R, т. е. решетку L можно представить как множество целочисленных линейно независимых базисных векторов n n n { b 1,..., b n R, L = bi Z = { Bx : x Z } i= 1 n L = a i Z, (рис. 2). i=1 B = } базисов,, (рис. 1). У решетки может быть множество 22

21 Рис. 1. Решетка с базисом { 2 b1, b } B Рис. 2. Решетка с базисом { a1, a2} B На рисунках 3, 4 показаны фундаментальные параллелепипеды образованные базисами. Площади (объемы в многомерном случае) фундаментальных параллелепипедов образованных всевозможными базисами одной решетки L, det(l ) будут равны. Т.е. det L инвариант решетки. Рис. 3, 4. Фундаментальные параллелепипеды, образованные базисами Под кратчайшим вектором решетки будем понимать вектор с координатами λ ( L) = min x y = min x (рис. 5). Тогда многомерным обобщением этого понятия 1 x, y L, x y x L, x 0 будет λi (L) - ограниченное минимальным r, для которого размерность решетки внутри шара радиуса r больше либо равна k (рис. 6). Рис. 5. Кратчайший вектор Рис. 6. Кратчайший базис решетки L в 2 R 23

22 Таким образом, познакомившись с основными определениями теории решеток, перечислим некоторые из задач этой теории активно применяемых в криптографии: 1. По базису решетки, найти кратчайший ненулевой вектор (shortest vector problem, SVP), (рис. 7); 2. По базису решетки, найти ненулевой вектор не превосходящий γ λ i (L) (shortest vector problem, SVP γ ), (рис. 8); Рис. 7. Пример SVP-задачи в 2 R Рис. 8. Пример SVPγ -задачи в 2 R 3. По базису решетки, заданному вектору j, найти ближайший вектор b к вектору j (Closes Vector Problem, CVP), (рис. 9); 4. По базису решетки, заданному вектору j, найти вектор, находящийся на расстоянии l γ (Closes Vector Problem, CVP γ ); i 5. Найти m линейно независимых векторов Bm в решетки, для которых max Bx λ (Shortest Independent Vector Problem, SIVP), (рис. 10) i n Рис. 9. Пример CVP -задачи в 2 R Рис. 10. Пример SIVP -задачи в 2 R i 6. Найти m линейно независимых векторов в базисе решетки Bx m, для которых max Bx γλ (Shortest Independent Vector Problem, SIVP γ ); i n 7. Поиск кратчайшего расстояния между векторами в базисе решетки; по заданному базису ответить на вопрос, не превосходит ли кратчайший вектор норму N (Decisional SVP, GapSVP) ; 8. По базису решетки, заданному вектору j и ε > 0 ответить на вопрос о существовании вектора v в решетке, близкого к вектору j с точностью до ε (Decisional CVP, GAPCVP); 24

23 9. По базису решетки, в котором кратчайший вектор в k-раз меньше другого кратчайшего линейно независимого вектора, найти кратчайший вектор (Unique Shortest Vector Problem, usvp), (рис. 11); 10. Дана решетка с минимальным расстоянием l (необязательно известным), по базису B и вектору j такому, что ρ ( B, j) < γl найти вектор в решетке (Bounded Distance Decoding, BDD), (рис. 12). Рис. 11. Пример usvp-задачи Рис. 12. Пример BDD-задачи Теория решеток считалась завершенной, будучи исследованной Лагранжем, Гауссом, Дирихле и другими выдающимися математиками. Не смотря на тот факт, что до 1996 г. оценки сложности отсутствовали и единственное, что было известно - CVP является NP-полной [4]. В 1996 г. венгерский математик-исследователь IBM Миклос Айтаи в своей работе [5] показал, что [6]: возможно построить одностороннюю функцию на основе SVP-задачи; более поздние исследователи улучшили результат до «односторонней функции с секретом» (trapdoor function, [7]) вариантом односторонней функции, быстро обращаемой (по сравнению со скоростью получения образа функции) при наличии дополнительных сведений; переформулированная в вероятностный вариант задачи о рюкзаке, SVP-задача не имеет вероятностного полиномиального алгоритма решения, т.е. не разрешима за полиномиальное время на молекулярных и квантовых вычислителях; среди всего класса NP-задач, SVP-задача является самой сложной, т.е. является NPполной задачей. Работа Айтая продемонстрировала преимущество протоколов шифрования и криптографических примитивов на основе задач теории решеток перед традиционными системами шифрования, основанными на хеш-функциях содержащих коллизии, задачах факторизации чисел (RSA) и дискретного логарифмирования (ECC) принадлежащих NPIcoNP -классу. На основе задач GapSVP и SIVP Айтаем в 1996 г. [5] были предложены методы реализации свободных от коллизий хеш-функций. Опишем эту хеш-функцию Айтая подробнее, так как остальные алгоритмы шифрования построены по аналогии. n m m Функция Айтая - это функция вида ( x) = Ax modq, где A и x {0,1 }. Например, при q = 10, n = 4, m = 7 : f a Z q 25

24 f a ( x) = Axmodq = 1 mod10 = ( ). Параметры криптографии задаются из следующих соображений: ο (1) n - основной параметр, определяющий защищенность q = n, m = O( nlogn) > n log2 q, последнее обусловлено тем, что при n>>m задача обращения легко разрешима. Для 32 n = 1024, q = 2, m = Т.е. функция Айтая (x) - сжимает m-исходных бит в n log q < m, в данном случае в бит. 2 Покажем связь с теорией решеток: ядром множества f a A является решетка n m Z q m L( A) = { z Z : Az = 0(modq)}. Тогда коллизия хеш-функции ( f ( x) = f ( y), x y) станет вектором вида z = x y { 1,0,1}: Az = Ax Ay = 0modq или же, z i L(A) с нормой z = max z = 1. Т.е. поиск коллизий хеш-функции Айтая f a (x) соответствует решению i i SVP-задачи в решетке L. Коллектив ученых Голдштейн-Голдвассер-Халеви (GGH) в 1997 [8] предложил вариант хеш-функции на основе псевдокуба, построенного на векторах некоторой решетки L. Мисиансио и Рэджев [9], [10, сл ] предложили общий подход к шифрованию, основанный на добавлении шумов в решетку, что позволяет получить решетку, неотличимую от равномерного распределения. Затем, путем разбиения решетки на ячейки, построить отображение, позволяющее реализовать свободную от коллизий хеш-функцию и протокол ассиметричного шифрования. Эта концепция определила современное направление развития криптографии на основе теории решеток. Циклическая решетка решетка вида A = a (1) ( m / n) ( i) n n [ A... A ], A Zq, т.е. решетка, характеризующаяся некоторой постоянной структурой, получаемой в результате перестановки элементов по некоторому правилу, например: ( i ) ( i ) ( i) a 1 an K a ( i ) ( i ) ( i) i = a2 a1 K a A, A A A =. M M O M ( i ) ( i ) ( i) an an 1 K a Крис Пеинкерт и Алон Розен в 2006 г. [11] предложили свой вариант хеш-функции, основанной на круговой общей SIVP-задаче на циклических решетках: заданный вектор n определен целочисленным полиномом P ( a) 0 mod( a 1), необходимо найти множество или подмножество линейно независимых векторов с нормой пропорциональной величине нормы общих векторов полинома и решетки. Хеш-функция Пеинкерта-Розена обладает важными свойствами, которые выделяют ее среди всех остальных функций: линейной зависимостью длины образа хеш-функции от ее прообраза и линейным ростом сложности вычислений по времени. Одновременно с созданием криптографических примитивов были предложены следующие системы ассиметричного шифрования на основе решеток размерности n : 4 система Ajtai-Dwork основанная на usvp-задаче, с публичным ключом длины n ; система Goldreich-Goldwasser-Halevi (GGH) основанная на приближенной CVP- задаче, 2 с публичным ключом длины n ; a 26

25 система NTRU (Draft standard IEEE , [12]) основанная на задаче свертки модулярных решеток (Convolution modular lattice, CML), с публичным ключом длины nlog n, ставшая стандартом шифрования. Опишем алгоритм ассиметричного шифрования, реализующего цифровую подпись со ~ сложностью O ( n 2 ), размерами закрытого, открытого ключа и сертификата O( n) = m log q, основанный на циклических решетках. ( 1) ( m / n) Пусть имеется дайджест хэш-функции A = [ A... A ] со сложностью O (n); ( i) ( i) ( i) ( i) публичный ключ- X = ha ( x) = A x, Y = ha( y) = A y ; закрытый ключ - 1 ( m / n) 1 ( m / n) x = [ x,..., x ], x = [ y,..., y ]. Генерация подписи для n-битов данных m } n {0,1 реализуется при помощи вычисления: ( i) ( i) σ = ( σ1,..., σ m / n ), гдеσ i = x M + y, m1 m1 L m2 m2 m1 L m3 где M =. M M O M mn mn 1 L m1 Проверка подписи будет заключаться в вычислении h A (σ ) = XM + Y. Для широкого класса вероятностных вариантов задач теории решеток, на которых основаны системы Ajtai-Dwork и GGН, был продемонстрирован сильный алгоритм атаки, позволяющий реализовать утечку закрытого ключа [13]. В этой же работе был продемонстрирован метод устранения бреши. На конференции Еврокрипт 2006 [14] была экспериментально продемонстрирована уязвимость шифрования с установленными стандартом параметрами для систем шифрования GGН и NTRU. Была продемонстрирована атака на банковские смарт-карты и системы идентификации личности, защищенные криптографической системой NTRU. Сложность решения задач теории решеток определяется выбором размерности и базиса решетки. Выбор большой размерности решетки увеличивает мощность ключевого пространства, но рост этого параметра затрудняется быстрым ростом объема данных, необходимых для хранения ключей и увеличением времени шифрования/дешифрования. Для каждой из систем о росте времени нужно говорить отдельно, в силу специфических свойств шифрования. Например, публичный ключ 1000-мерной решетки в системе Ajtai-Dwork а займет 84 Гб, в GGH 290 Мб и 50 Мб для NTRU, при этом размер закрытого ключа значительно больше. Выбор базиса обоснован типом задачи, лежащей в основе шифрования. Сравним системы ассиметричного шифрования NTRU, RSA, ECC (таб. 1). Размер ключа шифрования NTRU и рост сложности шифрования/дешифрования с ростом криптостойкости растет медленнее, чем у RSA. Рост сложности шифрования/дешифрования системы NTRU, растет медленнее, чем у криптографии на основе эллиптических кривых ECC. Таблица 1 Сравнение ассиметричных систем шифрования класса NP IcoNP (RSA и ECC) и системы шифрования на основе модулярных решеток NTRU Мощность ключевого Размер открытого ключа в битах Время атаки в пространства в битах NTRU ECC RSA МИПС в год

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

О некоторых примерах для иллюстрации метода Радона

О некоторых примерах для иллюстрации метода Радона О некоторых примерах для иллюстрации метода Радона # 3, сентября 25 Чадов В. Б. УДК 372.85 Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана Введение Многие проблемы естествознания и техники (астрофизики, физики плазмы, сейсмологии,

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Казанский государственный университет Р.Ф. Марданов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного университета 2007 УДК 517.9

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

3. Используемые методы обучения

3. Используемые методы обучения 3.2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ Семестр I Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Практическое занятие 1 1. Цель: Рассмотреть задачи на вычисление определителей второго

Подробнее

Численные методы и математическое моделирование в физике (наименование дисциплины) Направление подготовки физика

Численные методы и математическое моделирование в физике (наименование дисциплины) Направление подготовки физика 1 Аннотация рабочей программы дисциплины Численные методы и математическое моделирование в физике (наименование дисциплины) Направление подготовки 03.03.02 физика Профиль подготовки «Фундаментальная физика»,

Подробнее

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А-1. Тесты текущего контроля СТО БТИ АлтГТУ 15.62.2.0008-2014 Вопросы к модулям (разделам) курса «Вычислительная

Подробнее

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt Семинар 4 Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в

Подробнее

Программа курса математического анализа

Программа курса математического анализа Программа курса математического анализа 1-й курс 2-й семестр 2015-2016 уч. года М. Э. Казарян 1. Изображение кривых, заданных параметрически и неявно. Особые и характерные точки. Изображение кривой в окрестности

Подробнее

Направление физика (510400) бакалавриат. Название и содержание дисциплины в соответствии с ГОС ВПО

Направление физика (510400) бакалавриат. Название и содержание дисциплины в соответствии с ГОС ВПО Направление физика 010700 (510400) бакалавриат ЕН.Ф.03 Название и содержание в соответствии с ГОС ВПО Математический анализ. Предмет математики. Физические явления как источник математических понятий.

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Министерство образования и науки Российской Федерации Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Соловьева Кафедра МПО ЭВС РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УТВЕРЖДАЮ Декан факультета РЭИ

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Выполнил: студент 3-го курса, гр. АК3-51 Ягубов Роман Борисович Проверил:

Подробнее

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений Варианты заданий 0. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений 0.1. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения Lu

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к экзаменам по дисциплине «Математика» I семестр

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к экзаменам по дисциплине «Математика» I семестр 2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к экзаменам по дисциплине «Математика» I Элементы линейной алгебры I семестр 1. Определители. Свойства определителей. 2. Матрицы. Виды

Подробнее

I = b I = f(x) dx I = f(x) dx = f(x) dx I T = 0, 5(f n + f n+1 )h. = h(0, 5f 0 + f 1 + f f N 1 + 0, 5f N ), (2.1) N 1. n=0

I = b I = f(x) dx I = f(x) dx = f(x) dx I T = 0, 5(f n + f n+1 )h. = h(0, 5f 0 + f 1 + f f N 1 + 0, 5f N ), (2.1) N 1. n=0 Глава Вычисление определенных интегралов! " #%$&' %(" # )* +,- "#' dx. В общем виде задача решается путем аппроксимации функции другой функцией, для которой интеграл вычисляется аналитически. При этом

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ 3 А. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ...5

ОГЛАВЛЕНИЕ 3 А. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ...5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие...3 А. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ...5 1. Решение систем линейных уравнений...5 1.1. Линейные уравнения...5 1.2. Системы линейных уравнений...7 1.3. Разрешенные системы линейных

Подробнее

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ доцент Александр Иванович Черных Программа курса лекций (7-й семестр, лекции 36 ч., семинары 36 ч., диф. зач.) 1. Решение уравнений f(x) = 0. Методы деления пополам, простых

Подробнее

«Векторный и Тензорный анализ» по направлению

«Векторный и Тензорный анализ» по направлению Аннотация рабочей программы дисциплины (модуля) «Векторный и Тензорный анализ» по направлению 14.03.02 Ядерные физика и технологии (профиль Радиационная безопасность человека и окружающей среды) 1. Цели

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши

Подробнее

Программа курса математического анализа

Программа курса математического анализа Программа курса математического анализа 1-й курс 2-й семестр 2013-2014 уч. года М. Э. Казарян 1. Изображение кривых, заданных параметрически и неявно. Особые и характерные точки. Изображение кривой в окрестности

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) В заданиях этой контрольной параметры n и m требуется заменить на последнюю и, соответственно, предпоследнюю ненулевую цифру Вашего индивидуального

Подробнее

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» 1 семестр

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» 1 семестр ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» семестр. Разложить вектор X по векторам P, Q, R. Систему решить ) методом Крамера, ) матричным методом,

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2007 Управление, вычислительная техника и информатика 1

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2007 Управление, вычислительная техника и информатика 1 ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 007 Управление, вычислительная техника и информатика 1 УДК 519.865 В.В. Поддубный, О.В. Романович МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ЭЙЛЕРА С УРАВНИВАНИЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

серия САМОУЧИТЕЛЬ серия

серия САМОУЧИТЕЛЬ серия серия САМОУЧИТЕЛЬ серия Наука и Техника Санкт-Петербург 2012 Васильев А. Н. Matlab САМОУЧИТЕЛЬ ПРАКТИЧЕСКИЙ ПОДХОД Наука и Техника Санкт-Петербург 2012 Васильев А. Н. MATLAB. САМОУЧИТЕЛЬ. ПРАКТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.. Решение задачи Коши... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши для одного дифференциального

Подробнее

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию - учебного года для I курса экономического факультета дневного отделения (специальностей «экономика» и «экономическая теория») заочного

Подробнее

СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ

СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ ООП: 120103.65 Космическая геодезия Дисциплина: Математика Время выполнения теста: 80 минут Количество заданий: 45 ТЕМАТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА АПИМ N ДЕ Наименование

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

, vy,0. Условие несжимаемости divv. 0 потенциального течения rotv. Для двумерного течения условие несжимаемости имеет вид 0, что приводит

, vy,0. Условие несжимаемости divv. 0 потенциального течения rotv. Для двумерного течения условие несжимаемости имеет вид 0, что приводит Методы расчета плоских течений Функция тока В плоском течении уменьшается количество переменных, что позволяет в случае потенциального течения существенно упростить решение задач об определении течения

Подробнее

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА»

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» Программа междисциплинарного экзамена для проведения вступительного испытания в магистратуру Российского университета дружбы народов по направлению «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» специализация «Математическое

Подробнее

4. Перечень разделов и (или) тем дисциплины и их дидактическое содержание

4. Перечень разделов и (или) тем дисциплины и их дидактическое содержание 1. Целью изучения дисциплины является: подготовка высокопрофессионального специалиста медицинского кибернетика, владеющего математическими знаниями, умениями и навыками применять математику как инструмент

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ФТК, 2-ой семестр Матрицы и определители. 1. Понятие матрицы. Основные действия с матрицами и их свойства. 2. Пространство квадратных матриц. Обратная матрица и ее свойства.

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость.

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость. Поиск оценки может быть рассмотрен как измерение параметра (предполагается, что он имеет некоторое фиксированное, но неизвестное значение), основанное на ограниченном числе экспериментальных наблюдений.

Подробнее

Математический анализ.

Математический анализ. ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В МАГИСТРАТУРУ. Математический анализ. 1. Производные и дифференциалы функций одной и нескольких переменных. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых

Подробнее

Численный метод решения задачи двумерной стационарной теплопроводности, основанный на статистическом методе

Численный метод решения задачи двумерной стационарной теплопроводности, основанный на статистическом методе УДК 004.94 Численный метод решения задачи двумерной стационарной теплопроводности, основанный на статистическом методе Бурдужа В. В., студент Россия, 105005, г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, кафедра «Программное

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

31. Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем. Смирнов Н.В.

31. Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем. Смирнов Н.В. 31 Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем Смирнов НВ 1 Постановка задачи Система в отклонениях Задача стабилизации непосредственно вытекает из проблемы устойчивости программных движений

Подробнее

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1 Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию Письменный экзамен проводится в течение двух часов. На экзамене каждому студенту

Подробнее

Численное решение задачи Коши для одного дифференциального уравнения

Численное решение задачи Коши для одного дифференциального уравнения Лабораторная работа 7 ( часа) Численное решение задачи Коши для одного дифференциального уравнения Цель работы: получение практических навыков построения алгоритмов численного решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ На сегодняшний день конечно-элементные (КЭ) методы являются неотъемлемой частью инженерного анализа и разработок. КЭ пакеты используются

ВВЕДЕНИЕ На сегодняшний день конечно-элементные (КЭ) методы являются неотъемлемой частью инженерного анализа и разработок. КЭ пакеты используются ВВЕДЕНИЕ На сегодняшний день конечно-элементные (КЭ) методы являются неотъемлемой частью инженерного анализа и разработок. КЭ пакеты используются практически во всех сферах науки, касающихся анализа строительных

Подробнее

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Контрольные вопросы Дайте определение вычислительного эксперимента Нарисуйте схему

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Вопросы вступительного экзамена в магистратуру по специальности «6М Математическое и компьютерное моделирование»

Вопросы вступительного экзамена в магистратуру по специальности «6М Математическое и компьютерное моделирование» Вопросы вступительного экзамена в магистратуру по специальности «6М070500-Математическое и компьютерное моделирование» Математический анализ I, II, III 1. Полнота: существование предела монотонной последовательности.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Матрицы и определители Система линейных алгебраических уравнений Элементы векторной и линейной алгебры

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Матрицы и определители Система линейных алгебраических уравнений Элементы векторной и линейной алгебры ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Матрицы и определители................................... 6 1.1. Матрицы. Действия над матрицами................... 6 1.2.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2 Раздел VI. Глоссарий Матрица. Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов называется матрицей размерности Определитель матрицы. Определителем квадратной

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал С. Д. Алгазин, Дискретизация оператора Лапласа и быстрое решение уравнения Пуассона для внешности тела вращения, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1993,

Подробнее

Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) «Численные методы решения задач математической физики»

Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) «Численные методы решения задач математической физики» Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Утверждаю: Руководитель ООП: 0 г. Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) «Численные методы решения

Подробнее

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ (конспект лекций) Преподаватель: Игнатьев Михаил Юрьевич

ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ (конспект лекций) Преподаватель: Игнатьев Михаил Юрьевич ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ конспект лекций) Преподаватель: Игнатьев Михаил Юрьевич Саратов, 203 205 Уравнения в частных производных Решение одномерного уравнения теплопроводности с постоянными

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость.

Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений

Подробнее

Лектор проф. В. С. Белоносов. 3-й семестр. 1. Теорема о неявных функциях и ее приложения

Лектор проф. В. С. Белоносов. 3-й семестр. 1. Теорема о неявных функциях и ее приложения МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лектор проф. В. С. Белоносов 3-й семестр 1. Теорема о неявных функциях и ее приложения 1.1. Частные производные высоких порядков. Условия равенства смешанных производных. 1.2. Дифференциалы

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток. Методическая разработка по курсу Численные методы

Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток. Методическая разработка по курсу Численные методы Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток Методическая разработка по курсу Численные методы. Постановка задачи Г.К. Измайлов Решить методом сеток смешанную краевую задачу для дифференциального

Подробнее

(n 1) (t)) y(t) = y 2 (t) m (t)) y m (t) u (t) = u (t)u 2 (t) + sin t, u(0) = 1, u (0) = 1, u (0) = 2. y 1 = u, y 2 = u, y 3 = u

(n 1) (t)) y(t) = y 2 (t) m (t)) y m (t) u (t) = u (t)u 2 (t) + sin t, u(0) = 1, u (0) = 1, u (0) = 2. y 1 = u, y 2 = u, y 3 = u Глава 3 Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений!" $# &%' '()* +(, '+ -.' / ' 01!23434 5'6 %7 2098: : 1;= @?BA&C Рассмотрим методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ В МАГИСТРАТУРУ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ В МАГИСТРАТУРУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана» (МГТУ им. Н.Э. Баумана) УТВЕЖДАЮ

Подробнее

Комплект. контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики

Комплект. контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики ГБОУ СПО Прокопьевский политехнический техникум Комплект контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН Элементы высшей математики основной образовательной программы (ОПОП) по направлению подготовки

Подробнее

комплексной переменной.

комплексной переменной. А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ из серии КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Под редакцией А. Н. ТИХОНОВА, В. А. ИЛЬИНА, А. Г. СВЕШНИКОВА ВЫПУСК 4 ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Реализация алгоритма построения статистической модели объекта по методу Брандона. Постановка задачи

Реализация алгоритма построения статистической модели объекта по методу Брандона. Постановка задачи Голубев ВО Литвинова ТЕ Реализация алгоритма построения статистической модели объекта по методу Брандона Постановка задачи Статистические модели создают на основании имеющихся экспериментальных данных

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 007. Т. 48, N- 5 УДК 539.3 ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 КРИПТОГРАФИЯ С ОТКРЫТЫМ КЛЮЧОМ

ЛЕКЦИЯ 5 КРИПТОГРАФИЯ С ОТКРЫТЫМ КЛЮЧОМ ЛЕКЦИЯ 5 КРИПТОГРАФИЯ С ОТКРЫТЫМ КЛЮЧОМ Продемонстрируем, как изложенные выше факты из теории чисел используются в современной криптографии с открытым ключом. Кстати, заметим, что фактически новый подход

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

Комплект контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. Математика

Комплект контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. Математика Бюджетное образовательное учреждение Чувашской Республики среднего профессионального образования «Чебоксарский электромеханический колледж» Министерства образования и молодежной политики Чувашской Республики

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

Численное решение дифференциальных уравнений 1. Задача Коши

Численное решение дифференциальных уравнений 1. Задача Коши Численное решение дифференциальных уравнений - - Численное решение дифференциальных уравнений Задача Коши Значительное число задач вычислительной математики сводится к решению обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

Пример решения варианта контрольной работы 1.

Пример решения варианта контрольной работы 1. Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя: ) Если в определителе все элементы какой-либо

Подробнее

19. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений

19. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений Варианты заданий 9. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений 9.. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения:

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее