Материалы Общероссийской электронной научной конференции "Актуальные вопросы современной науки и образования" г. Красноярск, декабрь 2009 г.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Материалы Общероссийской электронной научной конференции "Актуальные вопросы современной науки и образования" г. Красноярск, декабрь 2009 г."

Транскрипт

1 Материалы Общероссийской электронной научной конференции "Актуальные вопросы современной науки и образования" г. Красноярск, декабрь 2009 г. ГРНТИ 27 МАТЕМАТИКА УДК ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА TAYLOR V. 3.0 М.А. Милкова, младший научный сотрудник Центральный экономико-математический институт РАН г. Москва, Россия TAYLOR v. 3.0 программная система, позволяющая с помощью оригинальных рекуррентных алгоритмов получать разложение функций, заданных различными способами, в ряд Тейлора на основе формул дифференциального исчисления, решать некоторые типичные, одномерные и многомерные, а также специальные задачи. Система функционирует в Windows в интерактивном режиме. Ключевые слова: ряды Тейлора, компьютерное дифференцирование, неявная функция, интерактивный режим, DLL-библиотеки Введение TAYLOR - программная система, открывающая точные и простые средства для широкого использования в вычислительной практике методов, связанных с представлением функций рядами Тейлора, методов асимптотических разложений, а также прямых методов высших производных. Ряды Тейлора как удобное и эффективное средство аппроксимации функций, широко применяются в исследовательских и инженерных расчетах во всех областях знаний; знакомство с рядами Тейлора является обязательным элементом математической подготовки студентов всех специальностей. Это дает основание для повсеместного распространения системы в академических и научно-исследовательских институтах, конструкторских бюро и, что не менее важно в ВУЗах. TAYLOR разработан в Центральном экономико-математическом институте РАН. В основе системы лежит компьютерная «Алгебра дифференцирования» (АД) - совокупность специальных рекуррентных алгоритмов, автором которых является д.ф-м.н., проф. В.З. Беленький. Алгоритмы предназначены для вычисления по формулам дифференциального исчисления точного значения производных (произвольных порядков) от функций, заданных формулами любой сложности, начиная от суперпозиции элементарных функций и заканчивая функциями, заданными неявно. Периодически расширяющийся комплекс алгоритмов АД публиковался в форме препринтов [3], [1], а также в журнале «Кибернетика» [4], [5]. В настоящее время система TAYLOR функционирует в Windows. В современных математических пакетах разложение в ряды Тейлора (т.е. вычисление производных данной функции) либо основывается на конечно-разностных методах, дающих лишь приближенные значения и работающих при малых n, либо на методах символьного программирования, выполняющих «дифференцирование» исходной формулы заданной функции. В отличие от этого, АД и основанная на ней система TAYLOR работают непосредственно с исходными формулами функции, никак не преобразуя их. Это дает существенное преимущество в скорости счета и, что самое главное, в отличие от всех других, система TAYLOR позволяет легко работать с функциями, заданными неявным образом; в этом отношении TAYLOR является уникальной системой, не имеющей аналогов. Последняя 3-я версия системы реализована автором статьи в среде Delphi и позволяет пользователю в интерактивном режиме получать коэффициенты разложения в ряд Тейлора функций, заданных различным образом, а также решать некоторые стандартные и специальные задачи. Программа снабжена подробным справочным руководством по каждой из процедур. 3

2 Каталог процедур системы TAYLOR v. 3.0 TAYLOR 3 включает процедуры четырех уровней. Процедуры базового уровня являются фундаментом системы; они получают коэффициенты разложения в ряд Тейлора различных видов функций. Процедуры следующих трех уровней предназначены для решения типовых и специальных задач вычислительной математики. Базовый уровень: получение полиномов Тейлора Процедуры получают коэффициенты c полинома Тейлора функции y = y(x) : k ( ) : = n ( ) k 1 ( k) p x c x x, c = C ( y, x ) : = y ( x ) n k 0 k k 0 0 k = 0 k! Задаются формула функции y(x), точка x 0, а также порядок разложения n. В системе допускается 10 способов задания функции y(x) : 1) Явная функция. Задается явная формула функции y = f (x). 2) Обратная функция. Разложение строится для функции y(x), обратной к заданной функции x = g(y). 3) Параметрическая функция. Функция y(x) определяется соотношениями x = f1( t), y = f 2 ( t).. 4) Блочная явная функция. Функция y(x) задается соотношением = F[ x, u1( x),..., u ( x)}], u ( ),..., ( ) m 3; 1 x um x промежуточные функции (блоки). y m 5) Обратная к блочной функции. Разложение строится для функции y(x), обратной к заданной функции x = G[ y, u1( y),..., um ( y)}], m 3; u1( y),..., um ( y) промежуточные функции (блоки). 6) Неявная функция. Функция y(x) F ( x, y) = F ( x, ) определяется тождеством 0 y0. 7) Сложная неявная функция. Функция y(x) определяется тождеством Ф ( x, y) = Ф( x 0, y0 ), где Ф( x, y) = F[ x, y, u1( x, y),..., um ( x, y)}], m 3; u1( x, y),..., um ( x, y) промежуточные функции. 8) ОДУ первого порядка. Функция y(x) определяется как интегральная кривая обыкновенного дифференциального уравнения y ' y( x ) 0 0. (1) 9) ОДУ m-го порядка. Функция y(x) определяется дифференциальным уравнением высокого порядка ( m) ( m 1) y = G( x, y, y',..., y ) y( x0) = y01 y'( x0 ) = y02... ( m 1) y ( x0) = y0m m 5. (2) 10) Сингулярное ОДУ. Функция y(x) определяется дифференциальным уравнением с нулевым коэффициентом при старшей производной 4

3 ( m) ( m 1) x y ( x) = G[ x, y, y',..., y ] x0 = 0 y( x0 ) = y01 m 4 y' ( x0 ) = y02... ( m 1) y ( x0 ) = y0m. (3) 11) Система ОДУ. Векторная функция Y (x) определяется как интегральная кривая системы дифференциальных уравнений в m-мерном пространстве. Y '( x) = G( x, Y ) m, ( Y, G R ), m 3 Y ( x0 ) = Y0. (4) Процедуры первого уровня Данные процедуры решают некоторые типичные одномерные задачи. 1) Корень явной функции. Процедура находит корень уравнения f ( x) = 0 x в окрестности заданного начального значения 0. 2) Корень блочной функции. Процедура находит корень уравнения заданного в виде явной блочной функции F[ x, u1( x),..., um ( x)] = 0, m 3 в окрестности заданного x начального значения 0. 3) Корень производной. Для заданной функции f (x) процедура находит корень уравнения f ' ( x) = 0 x, находящийся в окрестности заданного приближения 0. 4) Определенный интеграл. Для заданной функции f (x) и пределов интегрирования b Int = f ( x) dx a, b вычисляется значение интеграла a. 5) Решение задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. Для дифференциального уравнения (1) вычисляется значение функции y(x) на правом конце: y(x 1 ). Процедуры второго уровня Данные процедуры решают некоторые типичные многомерные задачи. 1) Решение системы двух уравнений. Для заданных функций F 1 ( x), F 2 ( x) ( x, ) в окрестности начального приближения 0 y0 находится решение системы уравнений F1 ( x, y) = 0 F2 ( x, y) = 0 2) Решение задачи Коши для ОДУ m-го порядка. Для дифференциального уравнения (2) вычисляется значение функции y(x) на правом конце: y(x 1 ). 3) Решение задачи Коши для системы ОДУ. Для системы дифференциальных Y = ( y ( ), ( ),..., ( )) уравнений (4) вычисляется значение вектор-функции 1 x y2 x ym x на правом ( y ( ), ( ),..., ( )), 3 конце: 1 x1 y2 x1 ym x1 m. Специальные задачи Данные процедуры решают некоторые специальные задачи. В версию 3.0 программного продукта TAYLOR включены 2 специальные задачи. 1) Разложение в ряд Тейлора решения уравнения Беллмана 5

4 Рассматривается уравнение Беллмана для одномерной стационарной модели экономической динамики в дискретном времени (см. [6]): V x) max[ U ( c) + β V ( y)], x 0. ( = y= F ( x c) 0 c x Здесь x капитал системы; c потребление, U (c) функция полезности; z = x c инвестиции в производство, F (z) производственная функция, y = F(z) капитал системы через единицу времени; β (0,1) - коэффициент дисконтирования; V (x) функция выигрыша. В регулярной модели переходная функция x y = Y (x) имеет неподвижную точку (единственную и устойчивую) x * = F( z * ), где * z - корень уравнения F ' ( z) = 1/ β. Исходной информацией является информационный паспорт модели { U ( c), F ( z), β}. * Процедура находит неподвижную точку x и коэффициенты разложения функции выигрыша V, переходной функции Y и стратегии потребления - функции C. Более подробно об алгоритме получения разложения решения уравнения Беллмана можно прочесть в [2]. Отметим, что при исследовании различных моделей достаточно часто возникают задачи, связанные с поиском решения в виде разложения в ряд Тейлора функций, заданных неявным образом. Процедура получения разложения решения уравнения Беллмана в окрестности неподвижной точки аналогична процедуре разложения неявной функции, и поэтому может быть реализована именно в системе TAYLOR. 2) Вычисление интеграла от быстро осциллирующей функции Рассматривается задача вычисления интеграла от быстро осциллирующей функции: x0 Int = w f ( x) sin( wx) dx, (5) где f (x) достаточно гладкая функция, экспоненциально убывающая на бесконечности, w >> 1 - частота осцилляций (колебаний); такие интегралы встречаются во многих задачах математической физики. Процедура вычисляет значение интеграла (5). Для вычисления используются формулы асимптотических разложений по параметру w (см. [7]). Работа в системе Система функционирует в интерактивном режиме; в случае возникновения внутри процедуры какой-либо недопустимой ситуации, некорректно введенных входных данных и т.п., пользователю выдается соответствующее сообщение об ошибке. Работа с системой существенно облегчена наличием справочного руководства на русском языке, которое может быть вызвано из окна процедуры нажатием клавиши F1. Стартовое окно системы приведено ниже: 6

5 Рис. 1. Стартовое окно системы После выбора интересующей процедуры пользователь переходит в соответствующее окно, где и приступает к непосредственной работе. Примеры некоторых процедур приведены ниже: Рис. 2. Окно для получения коэффициентов разложения в ряд Тейлора неявной функции 7

6 Рис. 3. Окно для получения разложения решения уравнения Беллмана Принцип работы в системе построен на использовании специально разработанных DLLбиблиотек, что позволяет говорить не только об интерактивной версии TAYLOR, но и о, так называемой, рабочей версии, более широкой по своим возможностям, где пользователь может обращаться к представленным процедурам непосредственно из своей среды путем подключения библиотек. На рынке программного обеспечения в настоящий момент представлено обширное число математических пакетов, занимающихся как аналитическими преобразованиями, так и численными расчетами. Однако все они зачастую громоздки, как правило, дорогостоящи и выпускаются иностранным производителем, что осложняет их использование из-за отсутствия русифицированных версий. Проведение сравнительного анализа системы TAYLOR с современными математическими пакетами, такими как Matlab, Mathematica, Maple, Derive показало её преимущество в скорости счета в несколько десятков раз. Кроме того, ни одна из перечисленных программ не работает с функциями, заданными неявно. Отечественных аналогов также найдено не было. Это означает, что система TAYLOR открывает принципиально новые точные и простые средства для широкого использования в вычислительной практике методов, связанных с представлением функций рядами Тейлора. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 1. Беленький В.З. Базовые алгоритмы алгебры дифференцирования для ЭВМ. М.: ЦЭМИ РАН, с. 2. Борисова М.А. Применение Алгебры дифференцирования к исследованию решения уравнения Беллмана. // Сборник «Анализ и моделирование экономических процессов», вып. 5. М.: ЦЭМИ РАН, Беленький В.З. Базовые алгоритмы алгебры дифференцирования для ЭВМ. М.: ЦЭМИ АН СССР, 1983 г. (препринт) 8

7 4. Беленький В.З. Сообщение о программной системе «Алгебра дифференцирования TAYLOR» // Кибернетика, 1989, N Беленький В.З., Васильева О.А., Кукаркин А.Б. Программный модуль «Алгебра дифференцирования TAYLOR»: результаты численных экспериментов, сообщение о версии 2.1 // Кибернетика и системный анализ, 1997, N3. 6. Беленький В.З. «Оптимизационные модели экономической динамики», М.: Наука, Эрдейи А. Асимптотические разложения, М.: ГИФМЛ, УДК 519.2:51.77 АНАЛИЗ И ТИПОЛОГИЗАЦИЯ АРТЕФАКТОВ АРХЕОЛОГИЧЕСКИХ ПАМЯТНИКОВ Т.В. Пак, кандидат физико-математических наук Я.И. Еремеева, магистрант Дальневосточный государственный университет г. Владивосток, Россия Согласно утвердившейся в археологии точке зрения наиболее информативным источником, несущим сведения о самых различных сторонах материальной и духовной жизни общества, является керамика. Результаты анализа керамики позволяют решить многие проблемы, в том числе этногенеза и хронологии, реконструировать древние представления. Археологами Института истории, археологии и этнографии народов Дальнего Востока ДВО РАН были произведены раскопки и исследованы артефакты с четырех археологических памятников Приморского края: Памятник "Ветка-2" (обозначение сосудов - В_С1, В_С2, ) находится в Ольгинском районе, деревня Ветка. Памятник "Бойсмана-2" (Б_С1, Б_С2, ) находится в Хасанском районе. Памятник "Лузанова Сопка-2" (ЛС_С1, ЛС_С2, ) находится в Хорольском районе. Памятник "Моряк-Рыболов" (МР_С1, МР_С2, ) находится в Ольгинском районе. Возраст этих поселений лет до н.э. [1]. Найденные фрагменты сосудов были изучены, распределены к разным сосудам, в зависимости от толщины стенок и материала, из которого изготовлены сосуды, и зарисованы. Имея данные по керамике с четырех археологических памятников необходимо: Выстроить иерархию признаков. Выделить локальные варианты керамики, характерные для каждого памятника. Сравнить все четыре коллекции памятников для выяснения устойчивых отличий и сходств. Сосуды (22 фрагмента) памятника «Лузанова Сопка-2» были подвергнуты статистической обработке. Сосуды имеют характерные признаки, которые можно разделить на четыре группы: Форма венчика, Наличие валика, Форма среза венчика, Техника орнаментации. Все признаки сосудов представлены графически в следующей таблице. 9

8 Описание керамики Таблица 1 Приз Название Признак Название Признак Название нак 1 Прямой венчик 8 Заостренная кромка 15 Диагональные гребенки 2 Загнутый венчик 3 Валик на сосуде 4 Горизонтальн ая кромка 9 Орнамент по срезу венчика 10 Ромбы в шахматном порядке 16 Лопатки по горизонтали 17 Лопатки в треугольнике 11 Ромбы в ряд 18 Отступающая лопатка 5 Округлая кромка 6 Скошенная внутрь кромка 7 Скошенная наружу кромка 12 Треугольни ки по диагонали 13 Ромбы в треугольник е 14 Вертикальн ые гребенки 19 Овалы в линию 20 Прочерченная линия 21 Прочерченная полукруглая линия Признаки из групп «форма венчика» и «форма среза венчика» присутствуют на сосуде лишь один раз в отличие от признаков групп «наличие валика» и «техника орнаментации». Все признаки сосудов были закодированы: 1 - если признак присутствует на сосуде, и 0 - если отсутствует. Каждому признаку присвоен свой цифровой индекс, что упрощает дальнейшую обработку [2]. Для проведения кластерного анализа были выбраны агломеративные иерархические алгоритмы, так как именно они позволяют получить наиболее полное представление о структуре кластеров в виде дендрограммы. В виду того, что не известны методы и меры, используемые для решения такого рода задач, была проведена кластеризация по всем 7 методам (таблица 2), которые реализованы в программе статистического анализа SPSS [3], для них использовались 27 мер для анализа дихотомических данных. Иерархические методы кластеризации основаны на пересчете расстояний следующего шага кластеризации с использованием старых значений расстояний с предыдущего шага кластеризации с помощью общей формулы [4]: drs = α pd ps + αqdqs + βd pq + γ d ps dqs. Если кластеры p и q объединяются в кластер r и требуется рассчитать расстояние от нового кластера до кластера s, применение того или иного метода зависит от способа определения расстояния между кластерами, эти методы различаются значениями коэффициентовα p, α q, β и γ. В табл. 2 приведены коэффициенты пересчета расстояний между кластерами α p, α q, β и γ. 10

9 Таблица 2 Методы, используемые в SPSS, и их коэффициенты Название метода α p α q β γ Ближайший сосед ~ 1 2 Дальний сосед Кластеринг медианы ~ Связь между группами Связь внутри групп Кластеринг центройда Метод Уорда k r k k k k p p p + kq k p + kq k k k k p p p q p + k q k p + kq k p + kq r + k + k p p + k q k r k r + k + k p p + k q k r k + k 0 0 где k p, k q, k r - количество объектов в кластерах p, q и r, соответственно. Число кластеров определялось по динамике изменения порога расщепления (слияния) кластеров. В программе SPSS по каждому методу выводится таблица агломерации, с помощью которой можно оценить число кластеров. Для этого необходимо проследить динамику увеличения расстояний по шагам кластеризации и определить шаг, на котором отмечается резкое возрастание расстояний. Оптимальному числу кластеров соответствует разность между числом объектов и порядковым номером шага, на котором было обнаружено максимальное расстояние. В результате анализа данных выяснилось, что от выбора метода зависит построение дендрограммы и разделение объектов на кластеры. Таким образом, в большинстве случаев, методы «Связь внутри групп» и «Дальний сосед» делят сосуды на одинаковые по количеству объектов кластеры; методы «Ближайший сосед», «Кластеринг центройда» и «Кластеринг медианы» выделяют одиночные кластеры; «Метод Уорда» объединяет все сосуды в один кластер, либо разделяет их все на единичные кластеры. По сути, этими методами не происходит кластеризация данных. По этой причине, эти методы исключаются из дальнейшего анализа. Результаты кластеризации по методу «Связь внутри групп», когда получилось 2-3 и кластеров, считаются неверными, потому что это означает, что либо все сосуды принадлежат одному кластеру, либо каждый сосуд - это отдельный кластер. Анализ оставшихся мер показывает, что сосуды делятся на 6 кластеров. Сравнение результатов иерархических методов было проведено с результатом метода «Ксредних». До применения метода «К-средних» был проведен факторный анализ, для объединения зависимых признаков к меньшему количеству независимых между собой факторов. Таким образом, 21 признак был объединен в 7 факторов методом «Варимакс»[5]. Матрица вращения состоит из факторных нагрузок. Максимальное абсолютное значение факторной нагрузки указывает на отношение данного признака к фактору. Разделение признаков на факторы изображено в таблице 3. p k r + k q

10 Таблица 3 Объединение признаков исходя из факторного анализа фактора Признаки округлая кромка ( 5), орнамент на кромке ( 9), диагональные гребенки ( 15), 1 лопатки по горизонтали ( 16) 2 ромбы в треугольнике ( 13), прочерченная полукруглая линия ( 21) 3 прямой венчик ( 1), загнутый венчик ( 2), горизонтальная кромка ( 4) скошенная внутрь кромка ( 6), лопатки в треугольнике ( 17), отступающая 4 лопатка ( 18) валик на сосуде ( 3), скошенная наружу кромка ( 7), заостренная кромка ( 8), 5 гребенка вертикальная ( 14) 6 ромбы в шахматном порядке ( 10), треугольники по диагонали ( 12) 7 ромбы в ряд ( 11), овалы в линию ( 19), прочерченная линия ( 20) На рисунке 1 изображен граф связей признаков, построенный по матрице корреляций с вычисленными коэффициентами Пирсона. Двойной линией в графе соединены признаки, имеющие наибольший коэффициент корреляции, одинарной - наименьший, пунктирной линией - с обратной зависимостью. Результат метода «Варимакс» хорошо согласуется с объединением в факторы признаков, изображенных в графе связей. Как видно на графе, группы не пересекаются между собой, что подтверждает их разделение факторным анализом. Затем выполняется метод «К-средних», использующий вместо признаков полученные значения факторов. В этом методе необходимо указывать количество кластеров. Так как иерархические методы показали, что должно быть 6 кластеров, то неиерархическим анализом была произведена кластеризация для такого количества кластеров. В табл. 4 представлены результаты метода «К-средних». Таблица 4 Распределение сосудов по группам методом «К-средних» группы Сосуды по группам ЛС_С7, ЛС_С14, ЛС_С15, ЛС_С18, ЛС_С19, ЛС_С20, ЛС_С21, ЛС_С25, 1 ЛС_С8, ЛС_С9, ЛС_С22, ЛС_С23, ЛС_С26, ЛС_С28 2 ЛС_С6, ЛС_С12, ЛС_С13 3 ЛС_С4, ЛС_С17 4 ЛС_С1 5 ЛС_С2 6 ЛС_С3 12

11 Результат кластеризации иерархическим методом помещен в таблицу 5. Таблица 4 Распределение сосудов по группам методом «Связь между группами» группы Сосуды по группам 1 ЛС_С7, ЛС_С14, ЛС_С15, ЛС_С18, ЛС_С19, ЛС_С20, ЛС_С21, ЛС_С25, ЛС_С13 2 ЛС_С2, ЛС_С8, ЛС_С9, ЛС_С22, ЛС_С23 3 ЛС_С4, ЛС_С17, ЛС_С26, ЛС_С28 4 ЛС_С6, ЛС_С12 5 ЛС_С1 6 ЛС_С3 Окончательным решение задачи кластеризации считаем распределение в таблице 4. Анализируя результаты этого разбиения, можно выделить признаки, присущие каждой группе сосудов. Причем это разделение совпадает с группами признаков, выделенными факторным и корреляционным анализом (рис. 1). Наибольшей по количеству сосудов группе соответствуют признаки, присущие памятнику "Лузанова Сопка-2". В последних трех группах присутствуют признаки, которых нет на остальных сосудах, но на них много признаков из основной (многочисленной) группы, что означает, что не сосуд пришел из другой "культуры", а лишь орнаментальный признак. Также было выявлено, что орнамент на кромке влияет на форму среза венчика, а именно, на сосудах с округлым срезом венчика нет орнамента на кромке. Проанализируем следующий памятник «Ветка-2». Для этого памятника имеются данные по 133 сосудам с 38 признаками. Анализ по определению количества кластеров для памятника «Ветка-2» проводился с помощью пакета SPSS 15.0 (табл. 2) по 5 методам с использованием 27 мер для анализа дихотомических данных. При анализе результатов кластеризации выяснилось, что от количества сосудов не зависит работа методов в построении дендрограммы и разделении объектов на кластеры. Таким образом, также как и для памятника «Лузанова Сопка-2» оптимальным методом определения количества кластеров является метод «Связь между группами», по которому все сосуды делятся на 13 кластеров. Сравнение результатов иерархического метода было проведено с результатом метода «Ксредних». Окончательным решением задачи кластеризации является разбиение, полученное методом «К-средних» с предварительным корреляционным анализом признаков. Наибольшей по количеству сосудов группе соответствуют признаки, присущие памятнику "Ветка-2". В группах 7-12 присутствуют признаки, которых нет на остальных сосудах, но на них много признаков из основной (многочисленной) группы. Чтобы проследить, существовал ли контакт и обмен между разными типами керамики памятников «Ветка-2», «Лузанова Сопка-2», «Бойсмана-2» и «Моряк-Рыболов», был проведен общий анализ артефактов этих памятников. Анализ по определению количества кластеров для памятника «Ветка-2» (104 сосуда) и «Лузанова Сопка-2» (22 сосуда) проводился по 5 методам с использованием 27 мер для 126 сосудов. Наибольшим по количеству сосудов группам (1 и 2 группы) соответствуют признаки, присущие памятникам "Ветка-2" и «Лузанова Сопка-2». Из-за того, что большинство сосудов из памятника «Ветка-2», то признаки сосудов этого памятника подавляют признак «прочерченная линия», характерный для памятника «Лузанова Сопка-2». В группах 7-14 присутствуют признаки, которых нет на остальных сосудах, но на них много признаков из основной (многочисленной) группы. Из-за малого количества данных для памятников «Моряк-Рыболов» (9 сосудов) и «Бойсмана-2» (7 сосудов) - большие расхождения в результатах иерархических и метода «Ксредних». Поэтому дальнейший анализ был проведен для объединения памятников. 13

12 Анализ проводился по 5 методам с использованием 27 мер иерархического анализа для памятников «Ветка-2» (104 сосуда), «Лузанова Сопка-2» (22 сосуда), «Бойсмана-2» (7 сосудов) и «Моряк-Рыболов» (9 сосудов) на данных 142 сосудов. Оптимальным методом определения количества кластеров является метод «Связь между группами». Сравнение результатов иерархических методов было проведено с результатом метода «Ксредних». Так как иерархический метод показал, что должно быть 8-9 кластеров, то неиерархическим анализом была произведена кластеризация для такого количества кластеров. Качество разбиения лучше при 8 кластерах (табл. 6, табл. 7). %и составляет 92\% (табл. 39). Анализируя результаты метода «К-средних», можно выделить признаки, присущие каждой группе сосудов. Наибольшим по количеству сосудов группам (1 и 2) соответствуют признаки, присущие памятникам "Ветка-2", «Лузанова Сопка-2», «Бойсмана-2» и «Моряк-Рыболов». В группах 1-6 в табл. 7 для метода «К-средних» прослеживается связь между четырьмя памятниками по свойственным для них признакам. Керамика памятников «Ветка-2» и «Лузанова Сопка-2» отличаются орнаментальными признаками. При добавлении новых признаков кластеризация меняется. Поэтому следует рассматривать устойчивость разбиения для одного числа признаков. При увеличении количества объектов уменьшается количество групп, полученных кластерным анализом. Поэтому при подсчете совпадений для устойчивости анализа разбиения объединение двух полных групп считается верным. На основании такого допущения, качество разбиения для памятника «Ветка-2» при объединении памятников составляет 86% и 90% соответственно. Качество разбиения для памятника «Лузанова Сопка-2» при объединении памятников составляет 91% и 82% соответственно. Таблица 6 Распределение сосудов по группам для всех четырех памятников методом «Связь между группами» Сосуды по группам В_С5, В_С15, В_С22, В_С45, В_С47, В_С51, В_С61, В_С75, В_С79, В_С80, В_С90, В_С102, В_С116, В_С120, В_С133, В_С141, МР_С2, МР_С8, В_С2, В_С13, В_С18, В_С21, В_С23, В_С24, В_С27, В_С28, В_С38, В_С41, В_С49, В_С82, В_С100, В_С119, В_С145, В_С55, МР_С1, МР_С6, МР_С7, В_С10, В_С112, МР_С3, В_С17, В_С32, В_С26, В_С83 В_С1, В_С3, В_С4, В_С8, В_С11, В_С14, В_С19, В_С20, В_С29, В_С30, В_С33, В_С35, В_С37, В_С46, В_С48, В_С50, В_С56, В_С58, В_С59, В_С62, В_С63, В_С65, В_С69, В_С72, В_С73, В_С76, В_С84, В_С92, В_С98, В_С99, В_С110, В_С114, В_С115, В_С121, В_С122, МР_С4, МР_С5, В_С25, В_С66, ЛС_С6, В_С34, В_С67, В_С43 В_С12, В_С54, В_С142, ЛС_С1, ЛС_С8, ЛС_С13, ЛС_С14, ЛС_С15, ЛС_С18, ЛС_С19, ЛС_С20, ЛС_С21, ЛС_С22, ЛС_С23, ЛС_С25, Б_С3, Б_С4, Б_С5, Б_С6, Б_С7, МР_С9, В_С144, ЛС_С3, БС_С1, ЛС_С2 В_С42, В_С52, В_С64, В_С77, В_С85, В_С86, В_С87, В_С118, В_С139, В_С146, В_С147, ЛС_С26, ЛС_С28, Б_С2, ЛС_С4, ЛС_С9, ЛС_17, В_С57 В_С60, В_С95, В_С136, В_С151, ЛС_С7 В_С31, В_С81, ЛС_С12 В_С6, В_С36 В_С53, В_С89 14

13 Таблица 7 Распределение сосудов по группам для всех четырех памятников методом «Связь между группами» Сосуды по группам В_С1, В_С3, В_С4, В_С5, В_С8, В_С11, В_С14, В_С15, В_С19, В_С20, В_С22, В_С29, В_С30, В_С33, В_С35, В_С37, В_С42, В_С45, В_С46, В_С47, В_С48, В_С50, В_С51, В_С52, В_С53, В_С56, В_С58, В_С59, В_С61, В_С62, В_С63, В_С64, В_С65, В_С69, В_С72, В_С73, В_С75, В_С76, В_С77, В_С79, В_С80, В_С84, В_С85, В_С86, В_С87, В_С89, В_С90, В_С92, В_С98, В_С99, В_С102, В_С110, В_С114, В_С115, В_С116, В_С118, В_С120, В_С121, В_С122, В_С133, В_С136, В_С139, В_С141, В_С144, В_С146, В_С147, В_С151, ЛС_С7, ЛС_С26, ЛС_С28, Б_С2, МР_С2, МР_С4, МР_С5, МР_С8, В_С2, В_С12, В_С13, В_С18, В_С21, В_С23, В_С24, В_С27, В_С28, В_С38, В_С41, В_С49, В_С54, В_С67, В_С82, В_С100, В_С119, В_С142, В_С145, ЛС_С1, ЛС_С4, ЛС_С8, ЛС_С9, ЛС_С13, ЛС_С14, ЛС_С15, ЛС_17, ЛС_С18, ЛС_С19, ЛС_С20, ЛС_С21, ЛС_С22, ЛС_С23, ЛС_С25, Б_С3, Б_С4, Б_С5, Б_С6, Б_С7, МР_С9 В_С6, В_С10, В_С25, В_С31, В_С36, В_С66, В_С81, В_С112, ЛС_С6, ЛС_С12, МР_С3 В_С34, В_С55, В_С57, ЛС_С2, МР_С1, МР_С6, МР_С7 В_С17, В_С32, В_С60, В_С95, БС_С1 В_С83, ЛС_С3 В_С26 В_С43 Наиболее сложной процедурой для археолога является сопоставление (статистическое или интуитивное) двух или нескольких археологических комплексов. При интуитивном сравнении несколько расплывчато формулируется проблема значимости признаков, на основе которых осуществляется сопоставление. При статистическом сравнении учет сходства (или различия) идет, как правило, по всем признакам. В области технологии перспективным и широко употребимым может стать использование кластерных и факторных методов. Результаты, полученные с помощью них, выраженные количественно, в графиках и дендрограммах, являются наглядной демонстрацией различий технологических традиций. В данной работе анализ проводился для установления специфики керамики памятников «Ветка-2», «Лузанова Сопка-2», «Моряк-Рыболов», «Бойсмана-2», во всех случаях факторные и кластерные методы дали хорошие результаты, подтвержденные учеными института истории, археологии и этнографии народов Дальнего Востока. Таким образом, корреляция методов математической статистики и естественных наук в применении к любому массовому материалу является залогом точных и проверяемых выводов, поддающихся исторической интерпретации [2]. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 1. Морева О.Л. Керамика бойсманской культуры (по материалам памятника Бойсмана-2) : Автореф. дис.... канд. ист. наук. Владивосток, Молодин В.И. Самусьская культура в Верхнем Приобье. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, с. 3. Наследов А. SPSS 15 профессиональный статистический анализ данных. - С-П., Барсегян А.А., Куприянов М.С., Степаненко В.В. Технологии анализа данных: Data Mining, Visual Mining, Text Mining, OLAP. - 2-е изд., перераб. и доп. - С-П., Ким Дж.-О. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ. - М.: Финансы и статистика, с.: ил. 15

14 УДК НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА СО СМЕШАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ М.И. Сугаков, аспирант С.Р. Амироков, кандидат физико-математических наук Северо-Кавказский государственный технический университет Ставрополь, Россия На примере краевой задачи гидродинамики со смешанными условиями вдоль одной из границ показано применение приближённого метода средневзвешенного потенциала, проведено сравнение решения с аналитическим и численным. Ключевые слова: уравнение Лапласа, метод средневзвешенного потенциала, метод Хоу, конформное преобразование, эллиптический интеграл При построении аналитического решения задач математической физики с краевыми условиями смешанного типа возникают определённые трудности описания поведения решения в точках разрыва граничных условий. Рассмотрим некоторые приёмы решения задач эллиптического типа на примере двумерной задачи перетекания жидкости через прямоугольную область (рис. 1). Рис. 1. Геометрия задачи Требуется определить величину потока жидкости Q в пласте шириной l ( 0 x l), высотой H ( 0 y H ). Жидкость на высоте H поступает через отверстие шириной l 1 ( 0 x l 1), а выходит через другое отверстие ширины l 2 ( l l2 x l). Стенки пласта считаются непроницаемыми, поток образуется за счёт разности давлений между отверстиями, которые будем полагать постоянными и заранее известными. Для решения задачи введём потенциал ϕ, который связан со скоростью потока соотношениями v = gradϕ, divv = 0, так что ϕ = 0. (1) Таким образом, для отыскания ϕ в области G получается следующая краевая задача: найти решение уравнения Лапласа (1) с граничными условиями ϕ = 0, (2) y OE 16

15 ϕ y BC = 0, (3) ϕ = ϕ = const AB 1, ϕ = ϕ = const CD 2, (4) ϕ ϕ = = 0. (5) y y AO Вдоль стороны AD действуют смешанные граничные условия (3) и (4). Один из способов решения данной задачи, основанный на методе средневзвешенного потенциала (иначе известного как метод Хоу, см. [1, 3]), заключается в следующем. Проведём разделение переменных по методу Фурье и учтём условия (2) и (5). В результате получим общий вид решения + ϕ ( x, y) = C0 Cn cos βnx ch βn y, (6) n= 1 πn где β n = ; C, 1 K l C, 0 произвольные постоянные. Введём обозначение Cn = Q An, где Q величина искомого потока, после чего (6) преобразуется к виду n= 1 ED ϕ ( x, y) = C0 + Q An cos βnx ch βn y. (7) Поток определяется как криволинейный интеграл (например, вдоль какого-либо из отверстий) от нормальной составляющей производной потенциала. В формулу для производной потенциала не войдёт постоянная C 0, поэтому мы имеем право разделить все коэффициенты C n ряда в правой части выражения (6) на Q. Примем значения потенциала ϕ при y = H на отрезках AB и CD в среднем равным заданным величинам ϕ и 1 2 ϕ, которые будем теперь обозначать l1 1 0 * * ϕ 1 и ϕ 2 соответственно 1 * ϕ = ϕ( x, H) dx = ϕ AB 1, (8) l l2 1 * ϕ = ϕ( x, H) dx = ϕ CD 2. (9) l 2 l l2 Подставляя (7) в (8) и (9), получим алгебраическую систему относительно C 0 и Q Q * C0 + S1 = ϕ1, l1 Q * C0 + S2 = ϕ2, l2 (10) где S 1 и S 2 обозначают следующие суммы = 1 S1 An =1 β ch βnh sin β nl1, (11) n n= 1 n n ( 1) S2 = An ch βnh sin β l β n n 2. (12) Чтобы отыскать неизвестные коэффициенты A n, применим упрощающее предположение о том, что значения нормальных скоростей фильтрации вдоль отрезков AB и CD постоянны. Из этого получаем следующее распределение нормальной скорости на границе AD 17

16 ϕ F( x) = y y= H Разложим F (x) в ряд Фурье по системе функций Q, при 0 x l1; l1 = 0, при l1 < x l l2; Q, при l l2 < x l. l2 πnx cos на отрезке [ 0, l ] l ϕ a = + 0 F( x) = an cos β nx, (13) y 2 y= H n= 1 n 2 Q 1 ( 1) a 0 = 0, an = sin β nl1 + sin β nl2. l β n l1 l2 Дифференцирование (7) при y = H даёт формулу ϕ y y= H = Q n= 1 A β n n cos β Сравнивая (13) и (14), и пользуясь линейной независимостью функций A n n 2 1 ( 1) l1 sin β nl2 l2 sin β nl1 =. 2 l β l l sh β H n 1 2 x sh β H. (14) n n n cos β n x, найдём Таким образом, числовые ряды S 1 и S 2 принимают вид 2 1 cth βnh n S1 = ( 1) l1 sin β l2 l2 sin l1 ) sin l 3 n βn βn 1, (15) l n= 1 βn l1l cth βnh n S2 = ( l1 sin β l2 ( 1) l2 sin l1 ) sin l 3 n βn βn 2. (16) l n= 1 βn l1l 2 Нетрудно доказать абсолютную сходимость рядов (15) и (16). Если суммы известны, то величина потока находится по следующей формуле * * ( ϕ2 ϕ1 ) l1l 2 Q =. (17) S l S l 2 1 Для расчёта потока требуется иметь оценку остаточных членов рядов S 1 и S 2. Получить оценку можно воспользовавшись, например, признаком Дирихле сходимости рядов Абелева типа [2]. Оценка остаточных членов обоих рядов оказывается равной 2 4l ( l1 + l2 ) πh 1 r N cth 3 2 l1l 2 l. π N Другой метод построения решения основан на применении конформного преобразования, отображающего область задачи в область, для которой решение известно. В нашем случае удобно воспользоваться решением двумерной задачи об отрезках с заданными потенциалами, лежащих на оси Ox, приведённом в [3]. Опишем алгоритм решения. 1. Отобразим прямоугольную область G (рис. 1) на верхнюю полуплоскость (рис. 2). Данное преобразование осуществляется с помощью эллиптических функций (как частный случай отображения Шварца-Кристоффеля). Ради удобства, передвинем область G и отразим относительно её горизонтальной оси (что не изменит величины искомого потока), как показано на рис

17 Рис. 2. Преобразованная область Рис. 3. Область G, подготовленная для конформного отображения Найдем модуль эллиптического интеграла k 0 через отношение высоты прямоугольника к половине его ширины τ = 2H l (см. [4]) ν q + ν = 0 πτ k 0 = 4, где q = e. (18) 2 ν 1+ 2 q ν = 1 2. Пересчитаем координаты образов точек A, B, C и D по формуле 2z ζ = sn K 0, k0, (19) l в которой z и ζ комплексные координаты точек до и после конформного преобразования, функция sn эллиптический синус Якоби, K 0 = K( k0 ) полный эллиптический интеграл Лежандра первого рода. В случае, приведённом на рис. 3, координаты образов точек будут равны 2l1 l x 1 = sn( K 0, k0 ) = 1, x 2 = sn K 0, k0, l l 2l2 x 3 = sn K 0, k0, x 4 = sn(k 0, k 0 ) = 1. l 3. Найдём приток по следующей формуле (её вывод можно найти в [3, стр ]). K ( k) Q = ϕ1 ϕ2, (20) K( k) ( x3 x2)( x4 x1 ) k =. ( x x )( x x ) 4 Вычисление новых координат по формуле (19) осложняется при τ = 2 H l <1 6, что связано с особенностью эллиптического интеграла limk( x) =. В этом случае следует x 1 19

18 развернуть прямоугольник AO * * ED (рис. 3) так, чтобы сторона AO лежала на оси Ox, а ось * Oy делила сторону AO пополам. При этом ход решения не изменится. Во время расчётов следует иметь в виду, что функции эллиптических интегралов K(k ), работа которых основана на методе арифметико-геометрического среднего, могут давать неправильный результат вычислений в определённом диапазоне параметра. В частности, функции ellipke пакета MATLAB и EllipticK инструмента WolframAlpha основаны на этом алгоритме. Для проверки можно вычислять эллиптический интеграл как сумму ряда (см. [5]). Сравнение вышеизложенных решений, т.е. решения методом средневзвешенного потенциала (СВП) и аналитического, а также решения, получаемого при помощи метода конечных элементов (МКЭ), показало приемлемую точность решения методом СВП при l 1 + l2 < l 2. Величины потока, находимые методом СВП, оказываются ниже вычисленных аналитически, что характерно для данного метода. Величины, получаемые МКЭ, также оказываются ниже точных значений при размерах сетки элементов (в зависимости от размеров области). Рис. 4. Зависимость потока от высоты прямоугольного пласта ϕ = 4 1, ϕ = 1 2, l = 10, l = 2 1, l = 3 2 Рис. 5. Зависимость потока от суммарной длины отверстий ϕ = 4 1, ϕ = 1 2, l = 10, H = 4, l 1 = l2. 20

19 Все решения показывают линейную зависимость потока от разности потенциалов ϕ1 ϕ 2, о чём говорят также формулы (17) и (20). Наблюдается замедление роста потока при увеличении высоты H (рис. 4), при переходе H > l, высота перестаёт оказывать существенное влияние на величину потока. Погрешность метода СВП растёт при увеличении l + (рис. 5). 1 l 2 Рис. 6. Погрешность решения по методу СВП в процентах. ϕ = 4 1, ϕ = 1 2, l = 10, l 1 = l2. Рис. 7. Точность решения МКЭ от числа конечных элементов N В целом, погрешность метода СВП уменьшается при увеличении H и растёт с увеличением l 1 + l2. На рис. 6 показан график зависимости погрешности метода в процентах от высоты прямоугольного пласта и от длины отверстий l 1 = l2. Отклонение результатов СВП от точных не превосходит 10 15% в случае l 1 + l2 < l 2. Метод конечных элементов даёт заниженные значения потока в рассмотренной задаче. Наблюдается рост точности решения с увеличением числа конечных элементов (рис. 7). Решения методом конечных элементов получены с помощью COMSOL 3.4, тип уравнения Laplace`s, настройки стандартные. 21

20 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 1. Фихманас Р.Ф., Фридберг П.Ш. Метод Хоу расчёта ёмкости тел и его связь с вариационными принципами // ЖТФ Т.40. вып.6. С Признак Дирихле [Электронный ресурс] : Википедия Свободная энциклопедия : [сайт]. URL: (дата обращения: ). 3. Иоссель Ю. Я., Кочанов Э. С., Струнский М. Г. Расчет электрической емкости. 2-е изд., перераб. и доп. СПб. : Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, с. 4. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. 4- е изд., перераб. и доп. М. : Наука, с. 5. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г. Б. Двайт; перевод с англ. Н. В. Леви; под ред. К. А. Семендяева. 5-е изд. М. : Наука : Главная редакция физико-математической литературы, с. УДК :512.5 СИСТЕМЫ ШИФРОВАНИЯ ОСНОВАННЫЕ НА ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ РЕШЕТОК В.С. Усатюк, аспирант О.В. Кузьмин, доктор физико-математических наук Братский государственный университет г. Братск, Россия В работе представлен обзор достижений динамично развивающейся отрасли криптографии, а именно шифрования, основанного на задачах теории решеток. Работа содержит необходимые базовые определения, описание основных задач теории решеток, а так же представлены основные преимущества этого класса криптографии - свойство криптостойкости по отношению к квантовым и молекулярным вычислителям и возможность реализации гомоморфного шифрования на основе идеальных решеток. Ключевые слова: решетка, шифрование, хеш-функция, квантовая и молекулярная криптостойкость. Развитие теории распределенных вычислений в сочетании с ростом производительности ЭВМ вызвало необходимость в значительном увеличении криптостойкости хеш-функций, а так же протоколов ассиметричного шифрования (RSA, ECC). Все это привело к увеличению длины ключа (дайджеста хеш-функции), а так же к значительному росту вычислительной сложности шифрования. В свою очередь алгебры, основанные на молекулярных [1, с. 63] и квантовых вычислителях [2, с. 200] позволили реализовать алгоритмы расшифровки сообщений и поиск коллизии за полиномиальное время, для задач NPI conp( = P) класса. В результате возникла необходимость в теоретических исследованиях и практической реализации нового поколения криптографических протоколов и примитивов - основанных на NP-полных задачах, не позволяющих реализовывать обращение таковых задач быстрее, чем с субэкспоненциальной сложностью [3]. Перспективными кандидатами на роль таковых задач, стали задачи теории решеток. Перед тем, как непосредственно перейти к изложению формулировки этих задач, введем необходимый набор определений. n Решетка дискретная аддитивная подгруппа, заданная на множестве R, т. е. решетку L можно представить как множество целочисленных линейно независимых базисных векторов n n n { b 1,..., b n R, L = bi Z = { Bx : x Z } i= 1 n L = a i Z, (рис. 2). i=1 B = } базисов,, (рис. 1). У решетки может быть множество 22

21 Рис. 1. Решетка с базисом { 2 b1, b } B Рис. 2. Решетка с базисом { a1, a2} B На рисунках 3, 4 показаны фундаментальные параллелепипеды образованные базисами. Площади (объемы в многомерном случае) фундаментальных параллелепипедов образованных всевозможными базисами одной решетки L, det(l ) будут равны. Т.е. det L инвариант решетки. Рис. 3, 4. Фундаментальные параллелепипеды, образованные базисами Под кратчайшим вектором решетки будем понимать вектор с координатами λ ( L) = min x y = min x (рис. 5). Тогда многомерным обобщением этого понятия 1 x, y L, x y x L, x 0 будет λi (L) - ограниченное минимальным r, для которого размерность решетки внутри шара радиуса r больше либо равна k (рис. 6). Рис. 5. Кратчайший вектор Рис. 6. Кратчайший базис решетки L в 2 R 23

22 Таким образом, познакомившись с основными определениями теории решеток, перечислим некоторые из задач этой теории активно применяемых в криптографии: 1. По базису решетки, найти кратчайший ненулевой вектор (shortest vector problem, SVP), (рис. 7); 2. По базису решетки, найти ненулевой вектор не превосходящий γ λ i (L) (shortest vector problem, SVP γ ), (рис. 8); Рис. 7. Пример SVP-задачи в 2 R Рис. 8. Пример SVPγ -задачи в 2 R 3. По базису решетки, заданному вектору j, найти ближайший вектор b к вектору j (Closes Vector Problem, CVP), (рис. 9); 4. По базису решетки, заданному вектору j, найти вектор, находящийся на расстоянии l γ (Closes Vector Problem, CVP γ ); i 5. Найти m линейно независимых векторов Bm в решетки, для которых max Bx λ (Shortest Independent Vector Problem, SIVP), (рис. 10) i n Рис. 9. Пример CVP -задачи в 2 R Рис. 10. Пример SIVP -задачи в 2 R i 6. Найти m линейно независимых векторов в базисе решетки Bx m, для которых max Bx γλ (Shortest Independent Vector Problem, SIVP γ ); i n 7. Поиск кратчайшего расстояния между векторами в базисе решетки; по заданному базису ответить на вопрос, не превосходит ли кратчайший вектор норму N (Decisional SVP, GapSVP) ; 8. По базису решетки, заданному вектору j и ε > 0 ответить на вопрос о существовании вектора v в решетке, близкого к вектору j с точностью до ε (Decisional CVP, GAPCVP); 24

23 9. По базису решетки, в котором кратчайший вектор в k-раз меньше другого кратчайшего линейно независимого вектора, найти кратчайший вектор (Unique Shortest Vector Problem, usvp), (рис. 11); 10. Дана решетка с минимальным расстоянием l (необязательно известным), по базису B и вектору j такому, что ρ ( B, j) < γl найти вектор в решетке (Bounded Distance Decoding, BDD), (рис. 12). Рис. 11. Пример usvp-задачи Рис. 12. Пример BDD-задачи Теория решеток считалась завершенной, будучи исследованной Лагранжем, Гауссом, Дирихле и другими выдающимися математиками. Не смотря на тот факт, что до 1996 г. оценки сложности отсутствовали и единственное, что было известно - CVP является NP-полной [4]. В 1996 г. венгерский математик-исследователь IBM Миклос Айтаи в своей работе [5] показал, что [6]: возможно построить одностороннюю функцию на основе SVP-задачи; более поздние исследователи улучшили результат до «односторонней функции с секретом» (trapdoor function, [7]) вариантом односторонней функции, быстро обращаемой (по сравнению со скоростью получения образа функции) при наличии дополнительных сведений; переформулированная в вероятностный вариант задачи о рюкзаке, SVP-задача не имеет вероятностного полиномиального алгоритма решения, т.е. не разрешима за полиномиальное время на молекулярных и квантовых вычислителях; среди всего класса NP-задач, SVP-задача является самой сложной, т.е. является NPполной задачей. Работа Айтая продемонстрировала преимущество протоколов шифрования и криптографических примитивов на основе задач теории решеток перед традиционными системами шифрования, основанными на хеш-функциях содержащих коллизии, задачах факторизации чисел (RSA) и дискретного логарифмирования (ECC) принадлежащих NPIcoNP -классу. На основе задач GapSVP и SIVP Айтаем в 1996 г. [5] были предложены методы реализации свободных от коллизий хеш-функций. Опишем эту хеш-функцию Айтая подробнее, так как остальные алгоритмы шифрования построены по аналогии. n m m Функция Айтая - это функция вида ( x) = Ax modq, где A и x {0,1 }. Например, при q = 10, n = 4, m = 7 : f a Z q 25

24 f a ( x) = Axmodq = 1 mod10 = ( ). Параметры криптографии задаются из следующих соображений: ο (1) n - основной параметр, определяющий защищенность q = n, m = O( nlogn) > n log2 q, последнее обусловлено тем, что при n>>m задача обращения легко разрешима. Для 32 n = 1024, q = 2, m = Т.е. функция Айтая (x) - сжимает m-исходных бит в n log q < m, в данном случае в бит. 2 Покажем связь с теорией решеток: ядром множества f a A является решетка n m Z q m L( A) = { z Z : Az = 0(modq)}. Тогда коллизия хеш-функции ( f ( x) = f ( y), x y) станет вектором вида z = x y { 1,0,1}: Az = Ax Ay = 0modq или же, z i L(A) с нормой z = max z = 1. Т.е. поиск коллизий хеш-функции Айтая f a (x) соответствует решению i i SVP-задачи в решетке L. Коллектив ученых Голдштейн-Голдвассер-Халеви (GGH) в 1997 [8] предложил вариант хеш-функции на основе псевдокуба, построенного на векторах некоторой решетки L. Мисиансио и Рэджев [9], [10, сл ] предложили общий подход к шифрованию, основанный на добавлении шумов в решетку, что позволяет получить решетку, неотличимую от равномерного распределения. Затем, путем разбиения решетки на ячейки, построить отображение, позволяющее реализовать свободную от коллизий хеш-функцию и протокол ассиметричного шифрования. Эта концепция определила современное направление развития криптографии на основе теории решеток. Циклическая решетка решетка вида A = a (1) ( m / n) ( i) n n [ A... A ], A Zq, т.е. решетка, характеризующаяся некоторой постоянной структурой, получаемой в результате перестановки элементов по некоторому правилу, например: ( i ) ( i ) ( i) a 1 an K a ( i ) ( i ) ( i) i = a2 a1 K a A, A A A =. M M O M ( i ) ( i ) ( i) an an 1 K a Крис Пеинкерт и Алон Розен в 2006 г. [11] предложили свой вариант хеш-функции, основанной на круговой общей SIVP-задаче на циклических решетках: заданный вектор n определен целочисленным полиномом P ( a) 0 mod( a 1), необходимо найти множество или подмножество линейно независимых векторов с нормой пропорциональной величине нормы общих векторов полинома и решетки. Хеш-функция Пеинкерта-Розена обладает важными свойствами, которые выделяют ее среди всех остальных функций: линейной зависимостью длины образа хеш-функции от ее прообраза и линейным ростом сложности вычислений по времени. Одновременно с созданием криптографических примитивов были предложены следующие системы ассиметричного шифрования на основе решеток размерности n : 4 система Ajtai-Dwork основанная на usvp-задаче, с публичным ключом длины n ; система Goldreich-Goldwasser-Halevi (GGH) основанная на приближенной CVP- задаче, 2 с публичным ключом длины n ; a 26

25 система NTRU (Draft standard IEEE , [12]) основанная на задаче свертки модулярных решеток (Convolution modular lattice, CML), с публичным ключом длины nlog n, ставшая стандартом шифрования. Опишем алгоритм ассиметричного шифрования, реализующего цифровую подпись со ~ сложностью O ( n 2 ), размерами закрытого, открытого ключа и сертификата O( n) = m log q, основанный на циклических решетках. ( 1) ( m / n) Пусть имеется дайджест хэш-функции A = [ A... A ] со сложностью O (n); ( i) ( i) ( i) ( i) публичный ключ- X = ha ( x) = A x, Y = ha( y) = A y ; закрытый ключ - 1 ( m / n) 1 ( m / n) x = [ x,..., x ], x = [ y,..., y ]. Генерация подписи для n-битов данных m } n {0,1 реализуется при помощи вычисления: ( i) ( i) σ = ( σ1,..., σ m / n ), гдеσ i = x M + y, m1 m1 L m2 m2 m1 L m3 где M =. M M O M mn mn 1 L m1 Проверка подписи будет заключаться в вычислении h A (σ ) = XM + Y. Для широкого класса вероятностных вариантов задач теории решеток, на которых основаны системы Ajtai-Dwork и GGН, был продемонстрирован сильный алгоритм атаки, позволяющий реализовать утечку закрытого ключа [13]. В этой же работе был продемонстрирован метод устранения бреши. На конференции Еврокрипт 2006 [14] была экспериментально продемонстрирована уязвимость шифрования с установленными стандартом параметрами для систем шифрования GGН и NTRU. Была продемонстрирована атака на банковские смарт-карты и системы идентификации личности, защищенные криптографической системой NTRU. Сложность решения задач теории решеток определяется выбором размерности и базиса решетки. Выбор большой размерности решетки увеличивает мощность ключевого пространства, но рост этого параметра затрудняется быстрым ростом объема данных, необходимых для хранения ключей и увеличением времени шифрования/дешифрования. Для каждой из систем о росте времени нужно говорить отдельно, в силу специфических свойств шифрования. Например, публичный ключ 1000-мерной решетки в системе Ajtai-Dwork а займет 84 Гб, в GGH 290 Мб и 50 Мб для NTRU, при этом размер закрытого ключа значительно больше. Выбор базиса обоснован типом задачи, лежащей в основе шифрования. Сравним системы ассиметричного шифрования NTRU, RSA, ECC (таб. 1). Размер ключа шифрования NTRU и рост сложности шифрования/дешифрования с ростом криптостойкости растет медленнее, чем у RSA. Рост сложности шифрования/дешифрования системы NTRU, растет медленнее, чем у криптографии на основе эллиптических кривых ECC. Таблица 1 Сравнение ассиметричных систем шифрования класса NP IcoNP (RSA и ECC) и системы шифрования на основе модулярных решеток NTRU Мощность ключевого Размер открытого ключа в битах Время атаки в пространства в битах NTRU ECC RSA МИПС в год

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА»

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» Программа междисциплинарного экзамена для проведения вступительного испытания в магистратуру Российского университета дружбы народов по направлению «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» специализация «Математическое

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Казанский государственный университет Р.Ф. Марданов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного университета 2007 УДК 517.9

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 007. Т. 48, N- 5 УДК 539.3 ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин,

Подробнее

Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений

Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Математический анализ Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений Новопоселенких

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

С помощью операторов символьного преобразования (используя палитру инструментов Символы).

С помощью операторов символьного преобразования (используя палитру инструментов Символы). Лабораторная работа. Символьные вычисления Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю

Подробнее

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Расчетные задания Варианты

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике Министерство образования и науки, молодежи и спорта Донецкий национальный технический университет Улитин Г.М., Гончаров А.Н. КУРС ЛЕКЦИЙ по высшей математике Учебное пособие Донецк 2011 УДК 51 (075.8)

Подробнее

Методика обучения работе с системами компьютерной математики для естественно научных специальностей

Методика обучения работе с системами компьютерной математики для естественно научных специальностей Труды конференции МОНА-2001 1 Методика обучения работе с системами компьютерной математики для естественно научных специальностей СП Семенов, ВВ Славский На пути внедрения компьютерных технологий в учебный

Подробнее

Программа комплексного экзамена по специальности 6М Математика

Программа комплексного экзамена по специальности 6М Математика Программа комплексного экзамена по специальности 6М060100-Математика Билеты для вступительного экзамена в магистратуру по специальности 6М060100 «Математика» составлены по основным математическим дисциплинам

Подробнее

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim.

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim. Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

Подробнее

квалификации), профильная направленность «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

квалификации), профильная направленность «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» 1. Аннотация Программа вступительных испытаний в аспирантуру по направлению подготовки 09.06.01 «Информатика и вычислительная техника» (уровень подготовки кадров высшей квалификации), профильная направленность

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

ПРОГРАММА вступительного экзамена в аспирантуру по специальности Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

ПРОГРАММА вступительного экзамена в аспирантуру по специальности Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт нефтехимии и катализа Российской академии наук УТВЕРЖДАЮ: ДиректорИнститута нефтехимии и катализа РАН член-корр. РАН У.М. Джемилев (протокол

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Б а й е с о в с к а я к л а с с и ф и к а ц и я

Б а й е с о в с к а я к л а с с и ф и к а ц и я МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА

Подробнее

Программа вступительного экзамена на программы магистратуры по направлению Прикладная математика и информатика

Программа вступительного экзамена на программы магистратуры по направлению Прикладная математика и информатика ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ѕсанктпетербургский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТї Программа вступительного экзамена на программы магистратуры

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 3. Т. 44, N- 4 35 УДК 539.3 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ИЗГИБА АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН В. Н. Максименко, Е. Г. Подружин Новосибирский государственный технический

Подробнее

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj Высшая математика Лекции по курсу Список литературы [] Высшая математика для экономистов Под редакцией НШ Кремера [] СА Минюк, ЕА Ровба Высшая математика [] Сборник задач по высшей математике для экономистов

Подробнее

Рациональные функции, допускающие двойные разложения

Рациональные функции, допускающие двойные разложения Труды Московского математического общества Том 73, вып. 2, 2012 г. Рациональные функции, допускающие двойные разложения А. Б. Богатырёв Дж. Ритт [1] исследовал структуру множества комплексных многочленов

Подробнее

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет . Пояснительная записка.. Требования к студентам Студент должен обладать следующими исходными компетенциями: базовыми положениями математических и естественных наук владеть навыками самостоятельной ы самостоятельно

Подробнее

1. Вопросы, выносимые на экзамен.

1. Вопросы, выносимые на экзамен. 1. Вопросы, выносимые на экзамен. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. 1. Определение группы. Примеры групп. Абелевы группы. Циклическая группа. Левые и правые смежные классы. Фактор-группа. Определение кольца. Примеры колец.

Подробнее

8. Критерии алгоритмов решения ОДУ

8. Критерии алгоритмов решения ОДУ 8. Критерии алгоритмов решения ОДУ 1 8. Критерии алгоритмов решения ОДУ Теперь, когда мы уже чуть больше знаем об алгоритмах решения задач Коши для ОДУ, продолжим разговор об их классификации. Остановимся

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Содержание. Используемые обозначения Числовые множества и операции с числами... 14

Содержание. Используемые обозначения Числовые множества и операции с числами... 14 Содержание Используемые обозначения... 12 1. Числовые множества и операции с числами... 14 1.1. Числовые множества...............................14 1.2. Числовые промежутки...16 1.3. Признаки делимости...17

Подробнее

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы.

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы. Программа по «Математике» (базовый уровень) РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии Тема 1. Векторы и матрицы. N-мерные векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость

Подробнее

Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме

Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Нижегородский Государственный Технический университет имени Р.Е. Алексеева Кафедра ФТОС Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Попов Е.А., Успенская Г.И. Нижний Новгород

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ( СЕМЕСТР) А. А. Пожарский Занятие. Принцип математической индукции. Задачи по []: 0. Задачи по [2]: 27. Занятие 2. Основные понятия комбинаторики: факториал,

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Вопросы для подготовки к зачету по дисциплине «Моделирование систем и процессов»

Вопросы для подготовки к зачету по дисциплине «Моделирование систем и процессов» Вопросы для подготовки к зачету по дисциплине «Моделирование систем и процессов» Специальность 280102 1. Модель и оригинал. 2. Что такое модель? 3. Что такое моделирование? 4. Для чего необходим этап постановки

Подробнее

ПРОГРАММА вступительного экзамена в аспирантуру по кафедре «Автоматизации»

ПРОГРАММА вступительного экзамена в аспирантуру по кафедре «Автоматизации» Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» ПРОГРАММА вступительного экзамена

Подробнее

1. ОБЗОР МЕТОДОВ КОМПЬЮТЕРНОГО АНАЛИЗА СИСТЕМ Сингулярные числа и сингулярные векторы матриц

1. ОБЗОР МЕТОДОВ КОМПЬЮТЕРНОГО АНАЛИЗА СИСТЕМ Сингулярные числа и сингулярные векторы матриц . ОБЗОР МЕТОДОВ КОМПЬЮТЕРНОГО АНАЛИЗА СИСТЕМ.. Сингулярные числа и сингулярные векторы матриц Понятия сингулярных чисел и собственных векторов возникли в матричной алгебре и нашли широкое применение в

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 3: Численное интегрирование (15 слайдов)

ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 3: Численное интегрирование (15 слайдов) ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 3: Численное интегрирование (15 слайдов) Слайд 1: Методы численного интегрирования. Требуется вычислить определенный интеграл: Методы решения такой задачи: 1.

Подробнее

Аннотация рабочей программы дисциплины ЕН.Ф.01 Математика Общая трудоемкость дисциплины 600 часов

Аннотация рабочей программы дисциплины ЕН.Ф.01 Математика Общая трудоемкость дисциплины 600 часов Аннотация рабочей программы дисциплины ЕН.Ф.01 Математика Общая трудоемкость дисциплины 600 часов 1.Цель преподавания учебной дисциплины - Дать представление о математике как особом способе познания мира,

Подробнее

Дифференциальные уравнения: конспект лекций

Дифференциальные уравнения: конспект лекций [DEshrt.te, 09.01.09] Дифференциальные уравнения: конспект лекций В 006 году студент -го курса Д.В. Кальянов набрал в LaTeX'е конспект моих лекций по курсу "Дифференциальные уравнения". Я переписал его

Подробнее

Алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов

Алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов Авдошин С.М., Савельева А.А. Алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов Разработан эффективный алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов [], эквивалентный по сложности

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты:

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: Содержание программы 1. Числа, корни и степени. Числовые последовательности Натуральные числа. Простые

Подробнее

2. Содержание курса Лекции I семестр. Число часов

2. Содержание курса Лекции I семестр. Число часов 1. Цель и задачи курса Цель курса освоение математического аппарата. Задача курса выработка формального и логического мышления, выработка навыков решения формализованных математических задач.. Содержание

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК,2,4- ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Неопределенный интеграл. Первообразная функции. Таблица первообразных.

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.2. Дифференциальное

Подробнее

Рабочая программа учебной дисциплины «Математика»

Рабочая программа учебной дисциплины «Математика» Государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего профессионального образования «Московский городской университет управления Правительства Москвы» Факультет экономики и финансов городской агломерации

Подробнее

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 2 5 УДК 517.91 ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВИДА y = f(x, y) Л. В. Овсянников Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Приложение 2 к приказу 661-1 от 16 ноября 2015 г. МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОГО ЭКЗАМЕНА В МАГИСТРАТУРУ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Б.П.Демидович СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ В сборник (11-е изд. 1995 г.) включено свыше 4000 задач и упражнений по важнейшим разделам математического анализа: введение в анализ:

Подробнее

Бесконечные системы линейных уравнений в случае первой основной граничной задачи для прямоугольной призмы

Бесконечные системы линейных уравнений в случае первой основной граничной задачи для прямоугольной призмы Динамические системы, вып. 28 2010, 89 98 УДК 539.3 Бесконечные системы линейных уравнений в случае первой основной граничной задачи для прямоугольной призмы С. О. Папков Севастопольский национальный технический

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Сибирский математический журнал Январь февраль, 2010. Том 51, 1 УДК 519.233.5+519.654 О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

Программа вступительного экзамена по математике

Программа вступительного экзамена по математике Программа вступительного экзамена по математике Программа составлена на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего и среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования

Подробнее

Комментарии к теме Распределения случайных векторов

Комментарии к теме Распределения случайных векторов Комментарии к теме Распределения случайных векторов Практические занятия по теории вероятностей, 322 гр., СМ В. В. Некруткин, 2012 1 Случайные вектора и их распределения Многие свойства случайных векторов

Подробнее

ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО НАПРАВЛЕНИЮ ( ) ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА (бакалавриат)

ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО НАПРАВЛЕНИЮ ( ) ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА (бакалавриат) Версия документа - 1 стр. 1 из 6 Первый экземпляр КОПИЯ УТВЕРЖДЕНО Ученым Советом математического факультета ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» от 26.03.2015 г., протокол 8 ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО НАПРАВЛЕНИЮ

Подробнее

СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ

СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ 1 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА 5 Т 6, N- 1 УДК 5393 СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ В Н Максименко, Е Г Подружин Новосибирский государственный технический

Подробнее

101,5 101,2 107,5 107,5 107,7 107,9 107,0 101,0 (IPS) 101, ,1 96,5 93,4 91,1 89,3 (IFT) 70,8 31,1 54,3 60,4 40,3 100,9 76,4 96,1 (IDP)

101,5 101,2 107,5 107,5 107,7 107,9 107,0 101,0 (IPS) 101, ,1 96,5 93,4 91,1 89,3 (IFT) 70,8 31,1 54,3 60,4 40,3 100,9 76,4 96,1 (IDP) Попов А. А. Основы проведения факторного анализа социально-экономического развития 81 Канд. техн. наук А. А. Попов ОСНОВЫ ПРОВЕДЕНИЯ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ РЕГИОНА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

Подробнее

Лекция 2. Инварианты плоских кривых

Лекция 2. Инварианты плоских кривых Лекция 2. Инварианты плоских кривых План лекции. Гладкие кривые на плоскости, число вращения, классификация кривых с точностью до гладкой гомотопии, точки самопересечения, число Уитни, теорема Уитни..1

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Факультет радиоэлектроники и информатики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Факультет радиоэлектроники и информатики Министерство образования и науки Российской Федерации РЫБИНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АВИАЦИОННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ П.А. СОЛОВЬЕВА Факультет радиоэлектроники и информатики Кафедра «МПО ЭВС» «УТВЕРЖДАЮ»

Подробнее

К. В. Григорьева. Методические указания Тема 3. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г.

К. В. Григорьева. Методические указания Тема 3. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г. К. В. Григорьева Методические указания Тема. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 7 г. ОГЛАВЛЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.... МЕТОДЫ СПУСКА

Подробнее

Министерство образования и науки РФ Пензенский государственный университет Политехнический институт

Министерство образования и науки РФ Пензенский государственный университет Политехнический институт Министерство образования и науки РФ Пензенский государственный университет Политехнический институт ПРОГРАММА вступительных испытаний в магистратуру на направление подготовки 01.04.02 Прикладная математика

Подробнее

Применение параллельных вычислений в задаче компьютерной томографии

Применение параллельных вычислений в задаче компьютерной томографии Применение параллельных вычислений в задаче компьютерной томографии А.Е. Ковтанюк 1,2, А.А. Хандорин 1 1 Дальневосточный Федеральный Университет, Суханова 8, Владивосток, Россия 2 Институт прикладной математики

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ» проект ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА» Рекомендуется для направления подготовки

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Федеральное Государственное Автономное Образовательное Учреждение Высшего Профессионального Образования «Волгоградский Государственный Университет»

Федеральное Государственное Автономное Образовательное Учреждение Высшего Профессионального Образования «Волгоградский Государственный Университет» Федеральное Государственное Автономное Образовательное Учреждение Высшего Профессионального Образования «Волгоградский Государственный Университет» Кафедра фундаментальной информатики и оптимального управления

Подробнее

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 hp://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.su.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ЯВНЫХ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ЯВНЫХ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ Математические структуры и моделирование 2007, вып. 17, с. 19 25 УДК 517.91 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ЯВНЫХ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ

Подробнее

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты

Подробнее

применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, решать типовые задачи по основным разделам курса, используя

применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, решать типовые задачи по основным разделам курса, используя Аннотация рабочей программы дисциплины направление подготовки: 23.05.05 Системы обеспечения движения поездов направленность: Телекоммуникационные системы и сети железнодорожного транспорта Дисциплина:

Подробнее

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( )

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( ) 6 9 Замена переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Общий случай замены переменной в двойном и тройном интегралах. Якобиан. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

Кафедра высшей математики. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Кафедра высшей математики. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Э.Баумана. Кафедра «Высшая математика» Блюмин А.Г., Федотов А.А., Храпов П.В.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Э.Баумана. Кафедра «Высшая математика» Блюмин А.Г., Федотов А.А., Храпов П.В. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Э.Баумана Кафедра «Высшая математика» Блюмин А.Г., Федотов А.А., Храпов П.В. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ

Подробнее

Образовательное учреждение Московская банковская школа (колледж) Центрального банка Российской Федерации РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Образовательное учреждение Московская банковская школа (колледж) Центрального банка Российской Федерации РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Образовательное учреждение Московская банковская школа (колледж) Центрального банка Российской Федерации РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины «Элементы высшей математики» специальность 080110 Банковское

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» В ГБОУ ВО НГИЭУ (МАГИСТРАТУРА)

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» В ГБОУ ВО НГИЭУ (МАГИСТРАТУРА) Министерство образования Нижегородской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный инженерно-экономический университет» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

15 Степень отображения. Определение Говорят, что на многообразии М n задана ориентация, если оно разбито на области действия локальных координат

15 Степень отображения. Определение Говорят, что на многообразии М n задана ориентация, если оно разбито на области действия локальных координат 87 Теорема Фундаментальная группа окружности S является бесконечной циклической группой с образующей α, где α - гомотопический класс петли l: I S, где l () t = ( os πt,sin π t ), t [ 0 ; ] 5 Степень отображения

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины Математика

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины Математика Департамент внутренней и кадровой политики Белгородской области Областное государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования ГУБКИНСКИЙ ГОРОНО-ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

«Анализ многомерных данных»

«Анализ многомерных данных» Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе и менеджменту качества Е.Н. Живицкая 31.05.2016 Регистрационный УД-2-522/р

Подробнее

СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Методические указания по курсовому проектированию Ульяновск Министерство

Подробнее

3. Применение рядов Фурье для расчета цепей переменного тока

3. Применение рядов Фурье для расчета цепей переменного тока 3. Применение рядов Фурье для расчета цепей переменного тока Представление функций рядами Фурье Рассмотрим произвольную периодическую функцию y(, имеющую период Т (т.е. y(= y(t+т) для любого. Представление

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Аннотация к рабочей программе

Аннотация к рабочей программе Аннотация к рабочей программе 8 класс, алгебра ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по алгебре для основной общеобразовательной школы 8 класса составлена на основе: Федерального компонента государственного

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Математика и теоретическая механика» Методические рекомендации

Подробнее