РОССИЙСКИЙ ФОНД ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ООО «ИНЖЕНЕРНЫЙ ЦЕНТР МР»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "РОССИЙСКИЙ ФОНД ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ООО «ИНЖЕНЕРНЫЙ ЦЕНТР МР»"

Транскрипт

1 РОССИЙСКИЙ ФОНД ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ООО «ИНЖЕНЕРНЫЙ ЦЕНТР МР» НАУКА - ФУНДАМЕНТ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ РОССИИ Сборник статей III Всероссийского семинара Часть 1 Казанский университет 2012

2 УДК 001 ББК 72 Н 34 Составители: В.Д. Скирда, Г.И. Васильев, Н.Е. Журавлева Сборник издан при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований проект офи_г Сборник напечатан с оригиналов, подготовленных авторами Н 34 Наука фундамент решения технологических проблем развития России: сб. статей. Ч. 1. Казань: Казанский университет, с. ISBN (ч. 1) ISBN Сборник статей составлен по материалам III Всероссийского семинара «Наука фундамент решения технологических проблем развития России». Данные статьи полно отражают тематику семинара и написаны авторами, выступавшими с докладами на семинаре. Для специалистов, работающих в области физики, химии, биологии, медицины других отраслей знания. УДК 001 ББК 72 Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2011 Колл. авторов, 2011 Подписано в печать г. Тираж 100 экз. Заказ 398. Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Отпечатано в типографии ЗАО «Издательский Дом «Казанская недвижимость» г. Казань, ул. Сибирский тракт, д. 34, тел.: 8(843) ,

3 УДК 541.8: МОЛЕКУЛЯРНАЯ ДИНАМИКА НА ПЕРСОНАЛЬНОМ КОМПЬЮТЕРЕ: УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Пестряев Е.М. Уфимский государственный нефтяной технический университет , Уфа, ул. Космонавтов, 1. Каф. физики Методическое пособие предназначено для студентов, аспирантов и научных работников, знакомых с азами программирования и желающих начать работу по молекулярнодинамическому моделированию структуры вещества и процессов переноса в нём. Основная цель пособия - не описание теоретических основ метода, которые изложены в десятках книг и обзоров, доступных как в печатном виде, так и в Интернете, а систематическое элементарное описание основных уравнений и алгоритмов на языке С++, необходимых для функционирования программы молекулярной динамики и достижения ей максимальной производительности на повсеместно распространенных современных персональных компьютерах. Последовательное изучение и собственная реализация представленных алгоритмов, использующих все аппаратные ресурсы персональных компьютеров, позволяет моделировать структуру простых веществ и физическую кинетику в любом их агрегатном состоянии: твердом, жидком и газообразном, включая расплавы и растворы полимеров, а также гетерогенные среды. Ключевые слова: молекулярная динамика, численное интегрирование уравнения движения, радиальная функция распределения, среднеквадратичное смещение, самодиффузия, автокорреляционная функция, огрубленная модель полимерной цепи, сравнение компиляторов C++, параллельные алгоритмы, SSE, CUDA, GPU, графический процессор. 3

4 СОДЕРЖАНИЕ. СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И СИМВОЛОВ 6 1 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБОСНОВАНИЕ И ВОЗМОЖНОСТИ МОЛЕКУЛЯРНО-ДИНАМИЧЕСКОГО МЕТОДА ПОТЕНЦИАЛЫ И СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В МОДЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ СИЛОВОЕ ПОЛЕ МОЛЕКУЛЫ АДСОРБЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТЕРМОСТАТИРОВАНИЕ МОДЕЛИРУЕМОЙ СИСТЕМЫ РАДИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТИЦ КОЭФФИЦИЕНТ САМОДИФФУЗИИ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ЧТО ДЕЛАТЬ С ДИСКРЕТНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ? 29 2 ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ПРОГРАММЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ГЕНЕРАЦИЯ СИСТЕМЫ И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НА С СОХРАНЕНИЕ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОНФИГУРАЦИИ СИСТЕМЫ БИБЛИОТЕКИ С++ И ОБЪЯВЛЕНИЕ ВСЕХ ФУНКЦИЙ ОСНОВНАЯ ФУНКЦИЯ С ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ И ЛОКАЛЬНАЯ РАВНОВЕСНОСТЬ МОДЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ РАВНОВЕСНОСТЬ ПОЛИМЕРНОГО РАСПЛАВА И АЛГОРИТМ РАСЧЕТА КСД ЗАКОНЫ МЭРФИ И ОТЛАДКА ПРОГРАММЫ 52 3 ВЕКТОРИЗАЦИЯ РАСЧЕТА КВАЗИУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЧТО ТАКОЕ ВЕКТОРНЫЕ РЕГИСТРЫ АЛГОРИТМ НА С АССЕМБЛЕРНАЯ ФУНКЦИЯ ЗАКЛЮЧЕНИЕ О ВЕКТОРИЗАЦИИ КВАЗИУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВЕКТОРИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА РАСЧЕТА АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ФУНКЦИЯ НА С++ 60

5 4.2. АССЕМБЛЕРНАЯ SSE - ФУНКЦИЯ ЗАКЛЮЧЕНИЕ О ВЕКТОРИЗАЦИИ АКФ 63 5 ВЕКТОРИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА РАСЧЕТА РАССТОЯНИЙ И СИЛ ВЫБОР ИСХОДНОГО АЛГОРИТМА ДЛЯ ВЕКТОРИЗАЦИИ ИСХОДНЫЙ АЛГОРИТМ НА С АССЕМБЛЕРНАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ SSE-РЕГИСТРОВ ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ОБРЫВА ЦИКЛА ПОСЛЕ ВЕКТОРИЗАЦИИ ЗАКЛЮЧЕНИЕ О ВЕКТОРИЗАЦИИ АЛГОРИТМА РАСЧЕТА РАССТОЯНИЙ 73 6 ПАРАЛЛЕЛЬНО ВЕКТОРНЫЙ АЛГОРИТМ РАСЧЕТА РАССТОЯНИЙ И СИЛ ЧТО ТАКОЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ? РАЗБИЕНИЕ СИСТЕМЫ НА ПОТОКИ ДЛЯ РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЯ РАСЧЕТОВ ПОДГОТОВКА ДАННЫХ ДЛЯ ПЕРЕДАЧИ В ПОТОКИ СОЗДАНИЕ ПОТОКОВ И ПЕРЕДАЧА ДАННЫХ В НИХ ФУНКЦИЯ ПОТОКА ВЕКТОРИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ПОТОКА СРАВНИТЕЛЬНОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНО-ВЕКТОРНОГО АЛГОРИТМА ЗАКЛЮЧЕНИЕ О РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИИ НА ЯДРА ЦП 81 7 ТЕСТИРОВАНИЕ МНОГОЯДЕРНЫХ ГРАФИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОРОВ ОСНОВНЫЕ ОТЛИЧИЯ ГРАФИЧЕСКИХ И ЦЕНТРАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОРОВ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБОРУДОВАНИЯ И ТЕСТОВОГО АЛГОРИТМА ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ЗАКЛЮЧЕНИЕ ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ГРАФИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОРОВ 86 8 СРАВНЕНИЕ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ НЕКОТОРЫХ КОМПИЛЯТОРОВ С НЕОБХОДИМОСТЬ ВЫБОРА ХАРАКТЕРИСТИКА АППАРАТНОГО И ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ПЕРВЫЙ ТЕСТ - РАСЧЕТ МЕЖЧАСТИЧНЫХ РАССТОЯНИЙ ВТОРОЙ ТЕСТ - РАБОТА С БОЛЬШИМИ МАССИВАМИ ЗАКЛЮЧЕНИЕ О КОМПИЛЯТОРАХ 93 ЛИТЕРАТУРА 94 5

6 Список сокращений и символов ( по смысловым группам ) Символ или Расшифровка аббревиатура ` АКФ КСД МД ПГУ ПЛД РФР CKC СМД ЧЭ Цепь Фазовая траектория ГП ЦП FLOPS FENE CUDA SIMD SIMT SSE σ ε А ε W ρ τ 0 = 1 τ N Lx, Ly, Lz xh, yh, zh n Na Nch 6 Автокорреляционная функция Коэффициент самодиффузии Молекулярная динамика Периодические граничные условия Потенциал Леннард-Джонса Радиальная функция распределения частиц Среднеквадратичное смещение Сфера молекулярного действия Численный эксперимент Огрубленная модельная полимерная молекула Совокупность координат и скоростей всех частиц системы в последовательные дискретные моменты модельного времени Графический процессор или многоядерная видеокарта, обычно производства NVIDIA Corporation Центральный процессор, в настоящее время многоядерный и с векторными регистрами у каждого ядра Floating point Operations per Second количество арифметических операций в секунду, производимых над числами в формате с плавающей точкой Finitly Extencible Non-Elastic potential потенциал, моделирующий валентную связь в составе цепи и не требующий извлечения квадратного корня, в отличие от квазиупругого Computer Unified Device Architecture унифицированная для расчетов архитектура многоядерного графического процессора Single Instruction Multiple Data одна команда для обработки четырех однородных данных, например, компонентов четырехмерного вектора Single Instruction Multiple Thread одна команда для обработки множественных данных в потоках; принцип работы ГП Stream SIMD Extension - технология обработки данных в специальных регистрах ЦП, второе название векторные регистры, в отличие от обычных регистров ЦП Ван-дер-ваальсов диаметр частицы Глубина потенциальной ямы адсорбционного взаимодействия частиц Потенциальная энергия взаимодействия частицы с твердофазной стенкой Плотность системы количество частиц на единицу объемаы Единица модельного времени, безразмерная Время корреляции какого-либо типа молекулярного движения Число частиц вдоль одной из осей модельной системы определяет исходный размер базовой ячейки вдоль одной из осей координат Размеры базовой ячейки вдоль осей декартовых координат Половина размера базовой ячейки вдоль осей координат для генерации виртуальных частиц Полное число частиц в модельной системе Число атомов или мономеров, то есть валентно несвязанных частиц, в модельном полимерном растворе, в тексте программы Число цепей в системе, в тексте программы

7 nch r r ij r С Число частиц в одной цепи, в тексте программы Радиус-вектор частицы Расстояние между центрами i-той и j-той частиц Радиус обрезания парного межчастичного взаимодействия определяет радиус СМД в моделировании x, у, z Декартовы координаты частицы компоненты радиус-вектора V, Vx, Vy, Vz Скорость частицы и её компоненты вдоль осей координат a, ax, ay, az Ускорение частицы и его компоненты вдоль осей координат f, fx, fy, fz Вектор силы и его компоненты вдоль осей координат m t Δ t, dt, dt1, dt2 C(t), C(k) D D R Pk f α r α R EE R G v k B T W Wa Wk Wp Wo nvt npt nvw Масса частицы, обычно равна единице Текущее модельное время Шаг численного интегрирования уравнений движения и его дискретная версия в тексте программы, включая части этого шага АКФ в зависимости от времени и ее дискретная версия на k том шаге фазовой траектории Коэффициент трансляционной самодиффузии Коэффициент вращательной самодиффузии Коэффициент упаковки Компонента вектора силы вдоль оси координат = X, Y, Z в дискретных уравнениях для унификации суммирования по осям координат Компонента радиус-вектора вдоль оси координат = X, Y, Z в дискретных уравнениях для унификации суммирования по осям координат Межконцевое расстояние цепи Радиус инерции цепи Объем базовой ячейки Постоянная Больцмана Температура модельной системы, безразмерная в единицах глубины потенциальной ямы ПЛД Энергия в тексте программы, т.к. компилятор принимает только англоязычные символы и не принимает греческие Энергия адсорбции в тексте программы Кинетическая энергия в тексте программы аналог температуры Потенциальная энергия в тексте программы Заданная кинетическая энергия моделирования в тексте программы Канонический ансамбль с постоянным числом частиц, объемом и кинетической энергией температурой Канонический ансамбль с постоянным числом частиц, давлением и температурой Микроканонический ансамбль с постоянным числом частиц, объемом и полной энергией // коммент. Комментарий до конца строки в тексте программы на языке С++ /*комм.*/ Комментарий в части строки в тексте программы на языке С++ 7

8 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1.1. Обоснование и возможности молекулярнодинамического метода Сразу на заре возникновения компьютеров возник интерес к моделированию процессов движения молекул на новом качественном уровне на основе старого принципа детерминизма Лапласа: можно описать движение системы из сколь угодно большого числа частиц, если для каждой из них записать уравнения движения ньютоновской механики, начальные и граничные условия, а затем решить полученную систему уравнений движения. Возможность классического описания движения таких квантовомеханических объектов как молекулы является следствием того факта, что энергия трансляционного движения молекул в макроскопическом объеме практически не квантуется. Это является следствием решения стационарного уравнения Шредингера для волновой функции Ψ частицы со значениями энергии W в бесконечно глубокой потенциальной яме при поступательном движении [1]: 8 2 d Ψ 2m + W Ψ = dx h ΔW n = Wn+ 1 Wn ( n 2 2 h = 8ml 2 h h + 2n + 1 n ) = (2n + 1) n 2 8ml 4ml (1.1) Если взять массу m кг (масса молекулы), размер потенциальной ямы l 10 см (молекулы газа или жидкости в сосуде), получим расстояния между соседними энергетическими уровнями в зависимости от их номера n: ΔW n эв. Столь густо расположенные энергетические уровни будут практически восприниматься как сплошной спектр энергии. Так что хотя квантование энергии в принципе будет иметь место, но на характере движения молекул сказываться не будет. Даже если молекула находится внутри поры размером l 10 9 м, расстояние между соседними энергетическими уровнями будет ΔW 10 4 n эв, то есть все еще существенно меньше, чем средняя энергия теплового движения при комнатной температуре 0.05 эв. Более подробный теоретический анализ приведенных соображений содержится в работах [2, 3, 4]. Кроме приближенной применимости классических законов для описания движения необходимо еще упомянуть влияние накопления ошибки при численном решении дифференциальных уравнений движения частиц на большом интервале времени. С теоретической точки зрения здесь, на первый взгляд, возникает непреодолимая трудность, состоящая в том, что ошибка численного решения эквивалентна смене начальных условий решения дифференциальных уравнений в небольших пределах или, другими словами, переброс системы на другую фазовую траекторию. В данном случае проблема разрешается тем, что переброс происходит между различными микросостояниями системы, относящи-

9 мися к одному и тому же макросостоянию. Коррекция энергии системы, проводимая периодически в ходе численного решения уравнений движения частиц, принудительно возвращает систему на начальную макротраекторию, которая, таким образом, является суперпозицией фазовых траекторий всех микрочастиц системы, отвечающих данному ее термодинамическому состоянию. Наглядно это можно представить, как и следует из определения микросостояния [1], что неразличимые частицы системы как бы обмениваются своими фазовыми траекториями, лежащими в широкой полосе, отвечающей данной фазовой макротраектории. Таковы принципы численного эксперимента (ЧЭ), впервые примененные на практике в пионерских работах по молекулярной динамике (МД) [5, 6, 7, 8, 9]. Самое интересное, что эти работы до сих пор не утратили своей актуальности, поскольку в них со множеством деталей исследовались локальные свойства жидкостей, которые можно моделировать с помощью малого числа частиц - 108, движение которых можно было описать на первых электронновычислительных машинах, ставших прообразом сосвременных персональных компьтеров. С тех пор ЧЭ шагнул очень далеко вперед, а накопленный опыт обобщен во множестве монографий [10, 11, 12, 13, 14, 15] и учебников [16, 17, 18], теоретически обоснованно излагающие детали множества алгоритмов МД, но редко сами алгоритмы, кроме последнего учебника [17, 18]. Он предназначен именно для практического освоения основ МД, но применительно к одному единственному процессору или, в современной терминологии, ядру. Это делает процесс изучения простым и понятным, но не позволяет использовать существенно возросшие ресурсы современных компьютеров, связанные не только с возросшими количественным характеристиками, но и с принципиальным изменением их архитектуры. В соответствии с этим первой целью данного пособия является элементарное систематическое изложение принципов создания собственной программы МД, работающей вначале на одном ядре центрального процессора, с последующей постепенной векторизацией и распараллеливанием наиболее трудоемких алгоритмов, что позволяет использовать все ресурсы современных персональных компьютеров. Например, алгоритм расчета межчастичных расстояний и сил в процессе интегрирования уравнений движения на 99 % определяет производительность всей программы МД, работающей с числом частиц более десяти тысяч. Современные персональные компьютеры, имеющие тактовые частоты несколько гигагерц, позволяют за реальное время решить систему уравнений движения для нескольких тысяч частиц. Дополнение этих уравнений периодическими граничными условиями приближает систему к реальной, то есть многократно увеличивает в ней число частиц, чтобы для нее соблюдалось второе начало термодинамики. К сожалению, любое посильное компьютеру число частиц все равно бесконечно мало по сравнению с реальным, имеющим порядок числа Авогадро моль 1. 9

10 Даже при реально используемом числе частиц n = количество расчетов, необходимое для генерации одного шага фазовой траектории огромно, поскольку при расчетах сил межчастичного взаимодействия необходимо учесть взаимодействие каждой частицы с каждой из оставшихся в системе, то есть количество взаимодействий равно n (n 1)/2, да еще умноженное на количество типов взаимодействий. Другими словами трудоемкость этого алгоритма квадратична по числу частиц в системе, тогда как большинство других алгоритмов линейно по числу частиц. Несмотря на это, МД является весьма привлекательным способом изучения свойств вещества вследствие суммированных в нижеследующем списке возможностей: в отличие от натурных экспериментов МД на одном и том же компьютере позволяет изучать различные свойства вещества, обусловленные коллективным поведением молекул, для исследования которых в натурных экспериментах потребовалось бы множество специализированных установок; в отличие от моделей и теорий, которые обычно отбрасывают множество факторов вследствие невозможности их одновременного аналитического описания, МД позволяет получить результаты на основе любого количества заложенных в модель взаимодействий, лишь бы это позволили аппаратные и временные ресурсы, то есть ЧЭ заполняет разрыв между теорией и реальным экспериментом; в отличие от натурных экспериментов в ЧЭ точно известно строение исследуемой системы, поскольку он начинается с ее конструирования; в отличие от натурных экспериментов ЧЭ позволяет произвольно варьировать практически любые характеристики молекулярных систем в диапазонах, недоступных натурным экспериментам; расширение диапазона варьирования какого-либо параметра обычно используется для акцентирования его воздействия на систему; уникальное свойство ЧЭ - визуализация молекулярного движения и структуры моделируемой системы. Несмотря на все достоинства, МД нельзя противопоставлять натурным экспериментам, а необходимо использовать для более глубокого проникновения в понимание взаимосвязи физических величин, характеризующих молекулы исследуемой системы и обуславливаемые ими макроскопические свойства. В качестве расширенной иллюстрации перечисленных возможностей МД можно рекомендовать доступные через Интернет обзорные статьи и методические пособия [19]. Такие публикации с завидным постоянством появляются последние пятнадцать лет применительно как к научным аспектам применения МД [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29], так и к инженерным [30, 31, 32], каждый раз начиная с основ МД и прослеживая ее развитие до описываемого момента времени. Вторая цель настоящего пособия в том, чтобы показать, что в настоящее время возможности персональных компьютеров позволяют проводить ЧЭ с помощью МД и получать при этом результаты, которые еще десять лет назад мог- 10

11 ли быть получены лишь с помощью суперкомпьютеров. То есть исследователь при минимальных затратах может получить в свое распоряжение еще один весьма полезный универсальный инструмент оценки результатов будущих экспериментов, а если пойдет дальше, то и способ проверки их результатов, включая такие тяжелые для моделирования системы, как полимерные растворы и расплавы [33, 34, 35]. Ниже рассматриваются потенциалы и силы взаимодействия, позволяющие моделировать широкий спектр веществ, молекулы которых характеризуются отсутствием каких-либо электростатических взаимодействий. Введение в модель дальнодействующих электростатических взаимодействий требует специальных алгоритмов их расчета, уровень формализации и сложности которых выходит за рамки настоящего пособия [10, 12, 13], но ничто не мешает написать и добавить такие алгоритмы впоследствии в уже отлаженную программу моделирования образец алгоритма аккумулирования различных типов взаимодействия приводится Потенциалы и силы взаимодействия в модельной системе Для моделирования движения простейших сферических бесструктурных частиц в трехмерном каноническом ансамбле обычно задается их взаимодействие между собой отталкивательной частью потенциала Леннард-Джонса [10, 26], который хорошо воспроизводит взаимодействия между реальными неполярными молекулами [36]: 12 6 σ σ 4 ε + ε, <, 1 6 ε ( ) r ij rc P rij = = EQ = 2 σ r r r ij rij C (1.2) 0, rij rc, Здесь ε P зависящая от расстояния r ij между центрами частиц потенциальная энергия двухчастичного взаимодействия; ε глубина потенциальной ямы, когда расстояние равно равновесному r EQ ; σ единица длины и эффективный ван-дер-ваальсов диаметр взаимодействующих частиц массой m; r C радиус обрезания, являющийся аналогом радиуса молекулярного действия в реальном веществе. Третье константное слагаемое просто сдвигает всю кривую взаимодействия вверх на глубину потенциальной ямы, то есть делает его неотрицательным во всей области определения, а значит и несвязывающим. Последнее соотношение называется также Weeks-Chandler-Anderson - потенциал [37] - эти авторы установили, что структура и динамика конденсированного состояния вещества обусловлена именно отталкиванием составляющих его частиц, а притяжение определяет, в основном, термодинамические свойства. Обрезанная форма потенциала (1.2) не содержит энергии и силы притяжения, а минимальная величина энергии межчастичного взаимодействия равна нулю за счет появления третьего слагаемого. Чтобы вернуть модельной системе термодинамические свойства, для ис- 11

12 следования, например ассоциации, надо в формуле (1.2) опустить третье константное слагаемое, а радиус обрезания увеличить до размеров системы. При рассмотрении взаимодействия сферических частиц разного вида, отличающихся энергией взаимодействия и ван-дер-ваальсовыми диаметрами, перекрестные величины определяются правилом Бертло - Лоренца [13]: 12 ε = ε ε σ = 0.5 ( σ + ) (1.3) ; 12 1 σ 2 Если среднеарифметическое соотношение для межцентровых расстояний частиц обосновано геометрическими соображениями, то среднегеометрическое значение для глубины взаимной потенциальной ямы никак не обосновано и является, всего лишь, общепринятым правилом, не характеризующим никак внутреннюю структуру частиц. Использование системы, представляющей смесь двух типов даже сферических частиц, различающихся по массе, диаметру или энергии взаимодействия, существенно увеличивает набор варьируемых параметров. Это позволяет рассматривать такие свойства растворов как ассоциация, расслоение, селективная адсорбция, зависимость коэффициентов переноса от концентрации частиц разного вида [38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46], зависимость размера полимерного клубка от качества растворителя [47] и т.п. Стандартный выбор величин m = ε = σ = 1 определяет остальные единицы измерения модели, включая единицу времени m τ 0 = σ = 1 ε (1.4) Все масштабы времени в системе измеряются единицах τ 0, масштабы расстояний в единицах σ. Все частицы первоначально помещаются в узлы гексагональной кристаллической решетки [48] в пределах базовой ячейки, которая представляет собой параллелепипед с разными размерами вдоль осей декартовых координат, определяющих ее объем v: v = L ρ X L Y L Z = N 3 N n 6 = = = PK v v π, 3 3 π σ 1 6 P * K ρ = ρ σ 3 (1.5) (1.5а) Здесь N количество частиц вдоль каждой из сторон этого параллелепипеда, задающее число частиц в системе n = N 3. Этот объем заполнен частицами лишь частично, что определяется коэффициентом упаковки P K (pack coefficient). Последний является основным внешним параметром состояния системы и определяется как доля объема системы, занятая частицами, выбирается в большинстве случаев равным Соответствующая ему приведенная количественная плотность ρ, то есть число частиц, приходящихся на единицу объема модельной системы, 0.96.

13 Если ван-дер-ваальсов диаметр частиц отличается от елиницы, то для сравнения с другими системами удобнее использовать так называемую приведенную плотность ρ*, которая уменьшается с уменьшением диаметра, то есть точнее характеризует заполненность модельной системы. Эта величина более информативна при проведении термодинамических исследований модели, где используются приведенные уравнения состояния, а в динамических исследованиях удобнее использовать коэффициент упаковки, в который уже входит диаметр частиц. Коэффициент упаковки варьируется изменением размера базовой ячейки при неизменном числе частиц в ней. Указанная величина 0.50 близка к границе газообразного состояния вещества, но наверняка принадлежит конденсированной фазе [48, 49, 50,] и позволяет достичь максимальной производительности алгоритма расчета межчастичных расстояний, как будет показано ниже. Добиваясь еще большей производительности, многие исследователи еще больше удаляются от реальной плотности вещества, задавая в ЧЭ величину, соответствующую тройной точке леннард-джонсовской жидкости 0.85 [50]. Задание базовой ячейки в форме параллелепипеда позволяет изучать анизотропные системы, если это необходимо, а если нет то все три размера просто уравниваются. Последнее не влияет на быстродействие алгоритма, но делает его универсальным, если минимальный из трех размеров системы уже достиг некоторой минимальной величины 20-кратного ван-дер-ваальсова диаметра частицы, после которой не проявляются гидродинамические эффекты, вносимые периодическими граничными условиями (ПГУ), и называемые эффектами конечного размера системы [51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58]. Однако надо отметить, что максимально возможное для расчета количества частиц в модельной системе не догма оно определяется масштабом тех молекулярных процессов, которые необходимо смоделировать. Очевидно, что если исследуются крупномасштабные процессы порядка размера полимерной цепи, то система должна быть в несколько раз больше размеров этой цепи. Но если моделируются локальные процессы перестройки клетки в жидкости или энергетические взаимодействия в ней, то количество частиц в модельной системе должно быть лишь в несколько раз больше, чем их количество в сфере молекулярного действия. Это показано в ряде статей [59, 60, 61, 62] по моделированию так называемого ландшафта потенциальной энергии частиц путем построения зависимостей целевой функции от количества частиц в системе, начиная с 65! Исследование целевой физической характеристики от количества частиц в системе полезно проводить во всех случаях перед началом длительного ЧЭ, чтобы попытаться минимизировать его время или не потратить его зря, проводя ЧЭ с недостаточными размерами системы. К базовой ячейке применяются стандартные ПГУ [13, 14, 16, 17], позволяющие избежать влияния поверхностных эффектов. Реализация как стандартных ПГУ, так и модифицированных для длинной цепи [63], схематично представлена на рис Если на очередном шаге интегрирования координата x некоторой части- 13

14 цы А становится больше L x, то она уменьшается на величину L x, трансформируя А в А. Если она становится меньше нуля, то, наоборот увеличивается на L x. Такой кратный ребру ячейки сдвиг координат означает, что если частица выходит из ячейки с одной стороны, то одновременно тождественная ей входит с противоположной. Эта процедура позволяет сохранять неизменными количество частиц в системе и коэффициент упаковки. Кроме ПГУ краевые эффекты устраняются также введением виртуальных частиц за границами моделируемого параллелепипеда (рис. 1.1). Возникают виртуальные частицы так. Если расстояние между частицами M и A вдоль любой из осей координат превышает половину длины ребра параллелепипеда вдоль этой оси, Δ x > 0.5 L x, то координата частицы А трансформируется в (L x x) с изменением знака силового взаимодействия этих частиц. При этом возникшая виртуальная частица А оказывается в сфере молекулярного действия частицы М, но с другой стороны вдоль оси X. Эта процедура дополняет сферу молекулярного действия M, если она обрезаются границами моделируемой области. Кроме того, виртуальная частица своим силовым полем готовит место для трансляции той частицы, образом которой она является. Модификация ПГУ для длинной цепи состоит в том, что изменение координаты частицы цепи В может потребоваться дважды, прежде чем она в виде виртуальной частицы В попадет в объем базовой ячейки [63]. A' r c M L x A B'' L x L x B M 1 B' C m Рис Трансляция одиночной сферической частицы из точки А в А' и трансляция кинетической единицы цепи из точки В в точки В' и В. Прямоугольник слева, изображенный сплошной линией, представляет базовую ячейку, пунктирные прямоугольники две соседние виртуальные ячейки, в которых не может быть отдельных частиц и центров масс цепей. Кроме коэффициента упаковки, внешним параметром модели является также полная безразмерная энергия системы. Она характеризуется средней полной энергией одной частицы ε 1, состоящей из ее кинетической ε K и потенциальной ε P энергий межчастичного взаимодействия, а также энергии деформации межчастичных (валентных) связей ε B, если таковые присутствуют: 14

15 ε = ε + ε + ε 1 K P B (1.6) Кинетическая энергия задается произвольно, а величина потенциальной энергии однозначно определяется соотношением между кинетической энергией межчастичного валентного и невалентного взаимодействий в системе и коэффициентом упаковки. В дальнейшем будем нормированную на ε безразмерную кинетическую энергию считать мерой температуры системы, полагая, что ε K = 1.5, и опуская для краткости дополнительную характеристику T = 1. Это значение, как и коэффициент упаковки, позволяет считать модельную систему жидкостью, исходя из элементарных представлений молекулярно-кинетической теории. А именно, в жидкости величины кинетической и потенциальной энергий молекул близки друг к другу. В газе кинетическая энергия существенно больше потенциальной, а в твердом теле наоборот [64]. Теперь обратимся к энергии валентных взаимодействий. Введение в систему валентных связей позволяет моделировать так называемую огрубленную полимерную цепь, в которой каждая валентная связь между соседними частицами отождествляется с сегментом Куна и модель передает динамические свойства цепи, начиная с сегментального масштаба и кончая масштабом межконцевого вектора цепи [26]. Полимерные цепи в этом случае состоят из n Ch частиц, соединенных связями, создающими упругий потенциал при отклонении длины связи r ij от ее равновесного значения l O, чтобы обеспечить взаимную непересекаемость цепей или другими словами исключенный объем: ε B( rij ) = ( K 2) ( rij lo ), σ lo 2 σ (1.7) Здесь K константа упругости, величина которой ограничена снизу, чтобы обеспечить непересекаемость цепей при различных температурах. Потенциал устойчив при всех температурах, но, во-первых, требует извлечения квадратного корня в цикле для нахождения текущей длины связи, во-вторых, в системе появляются высокочастотные колебания с периодом, меньшим τ 0, что может привести к уменьшению шага интегрирования уравнений движения: τ B = 2 π m K < τ 0 = 1 (1.7а) В-третьих, понижение температуры полимерного раствора или расплава приводит к кристаллизации системы, если равновесное расстояние совпадает с ван-дер-ваальсовым диаметром мономеров. Если необходимо предотвратить кристаллизацию, то есть получить аморфную систему при низких температурах надо выбрать для l O нижний предел в формуле (1.7), что не позволит мономерам цепи как растворе, так и в расплаве упаковаться в кристаллическую решетку [64]. Чтобы избежать все три перечисленных недостатка был предложен конечно-растяжимый нелинейно-упругий потенциал (Finitely Extensible Non-Elastic FENE), который не создает высокочастотных колебаний связанных частиц и в 15

16 то же время позволяет моделировать непересекающиеся цепи [26, 65]: r r 0 ij ε B ( r) = 15 ε ln 1, r0 = 1. 5 σ (1.8) σ r0 Однако, надо помнить, что он не препятствует перекрыванию частиц, которые связывает, то есть между связанными частицами должно оставаться и невалентное взаимодействие, иначе они сольются. В итоге, на i-тую частицу, в том числе в составе цепи, будет действовать со стороны всех оставшихся частиц системы результирующая невалентная сила [15]: 7 6 f n ε n Pij ε σ σ Pi = = 24 2 = j j i rij j i rij r 1 1, σ ij (1.9) Количество членов этой суммы при реализации алгоритма сокращается вдвое путем учета третьего закона Ньютона: если вычислена сила действия i- той частицы на j-тую, то обратное действие надо сразу учесть с противоположным знаком. На частицу в составе цепи, если она не концевая, со стороны двух связанных соседей действует сила деформации, описываемая упругим (1.10) или FENE-потенциалом (1.11), соответственно: f Bi = j= i 1, i+ 1 ε r Bij ij = K ( r ij j= i 1, i+ 1 l O ), 0.96 σ l O σ (1.10) i+ 1 ε i+ 1 ε 2 Bij 30 rij f Bi = = 2 rij 1, r0 = 1.5 σ (1.11) j= i 1 rij σ j= i 1 r0 Для двух концевых частиц в цепи, естественно, надо считать только одно валентное взаимодействие. Кроме этого, необходимо помнить, что все рассмотренные силы направлены по линии, соединяющей взаимодействующие частицы, и при рассмотрении в декартовой системе координат должны быть разложены на компоненты вдоль трех осей координат. В общем виде проецирование на декартову ось α = X, Y, Z реализуется формулой: r α ij α ij = fij (1.12) rij f Это выражение оставляет в уравнениях (1.9) и (1.11) только четные степени межчастичного расстояния, то есть позволяет обходиться без многократного извлечения квадратного корня в циклах расчета расстояний, что существенно увеличивает производительность алгоритма для потенциалов с такой зависимостью от расстояния.

17 1.3. Силовое поле молекулы Рассмотренные валентные силы являются простым примером, позволяющим перейти от низкомолекулярных модельных систем к высокомолекулярным, введя в них произвольную концентрацию свободносочлененных цепей, которые адекватно описывают свойства реальных полимерных цепей, начиная с масштаба куновского сегмента и выше [15, 28, 66]. Отладив алгоритм вычисления вышеописанных валентных сил, можно на их основе написать алгоритмы расчета сил, определяющих плоский валентный угол θ, то есть угол между соседними связями, отклонение от равновесного значения θ 0 которого также определяется гармоническим потенциалом [19, 66]: 2 ε P ( θ ) = ( Kθ 2) ( θ θ0) (1.13) Константа упругости деформации валентного угла K θ подбирается под каждую реальную молекулу. В ходе численного моделирования коротких углеводородных и циклических молекул выяснилось, что невозможно адекватно описать все их свойства без торсионной энергии, возникающей при вращении на угол φ от равновесного положения вокруг валентных связей без деформации валентного угла [66, 67]: [ 1 cos( )] ε P ( φ) = εφ k φ (1.14) Здесь ε φ и k соответственно, высота торсионного потенциального барьера и его кратность, связанная с симметрией вращающейся группы. Плоский валентный угол определяет жесткость цепи, и таким образом, позволяет исследовать процессы переноса или размеры клубка в зависимости от жесткости. Угол вращения задает конформационный набор цепи, то есть тоже расширяет набор варьируемых параметров. При этом характер заданного потенциала вращения моделирует количество и размер боковых заместителей цепи, что позволяет детальнее описать поведение реальных молекул. Замыкание цепей, обладающих всеми этими характеристиками, позволяет исследовать циклические молекулы, которые весьма распространены в биологических системах. Кроме замыкания цепи, к ее мономерам можно добавить разветвления, наличие которых определяется списком валентных взаимодействий каждого мономера. Такая модернизация взаимодействий позволит моделировать сравнительно новый класс полимерных молекул дендримеров. Эти дополнительные валентные взаимодействия двадцать тридцать лет назад считались прерогативой молекулярной механики, в которой исследовались конформации одиночных изолированных коротких цепных или циклических молекул [67, 68], что до сих пор считается весьма информативным исследовательским инструментом, позволяющим получить информацию, иногда в тысячу раз быстрее, чем квантовохимический расчет [12]. Поэтому за многие годы существования молекулярной механики в ней разработано множество типов валентных и невалентных взаимодействий, сово- 17

18 купность которых для каждой конкретной модели называется силовым полем. В настоящее время производительность персональных компьютеров возросла настолько, что все методики, наработанные в молекулярной механике для изолированных молекул, могут быть использованы для моделирования конденсированных сред, состоящих из этих молекул. Как уже говорилось, уровень трудоемкости и сложности алгоритмов, реализующих какое-то силовое поле, такой же, как и для упругого взаимодействия, то есть вопрос их использования ограничен только потребностями исследователя и его уровнем овладения предлагаемыми здесь алгоритмами. В качестве примеров МД расчетов молекул с внутренней структурой можно порекомендовать [69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76], а количество работ, посвященных исследованию молекул воды с силовыми полями, которые разрабатывались именно для нее, просто не поддается учету, и многие из них могут быть найдены по списку литературы какой-либо недавней работы [77] Адсорбционное взаимодействие Адсорбция малых и цепных молекул на поверхности твердого тела, или просто ограничение объема для движения молекул непроницаемой поверхностью различной формы является, с одной стороны, распространенной в микромире ситуацией, а с другой стороны, достаточно подробно теоретически проработано, например, для полимерных цепей [78, 79, 80, 81]. С точки зрения МД такие объекты также весьма удобны для исследования, поскольку устраняют ПГУ вдоль одной оси координат при исследовании адсорбции и - вдоль всех трех осей при исследовании подвижности в замкнутом объеме [77, 82, 83, 84, 85]. Последнее обстоятельство сразу повышает статистику ЧЭ, так как в этом случае частицы не могут покинуть пределы базовой ячейки. Поверхность вводится в систему путем интегрирования потенциала Леннард-Джонса по плоскости или по объему полупространства, в которых расположены неподвижные частицы твердого тела. При этом коэффициенты при разных степенях получающегося при интегрировании полинома, зависят от предположенной кристаллической или аморфной структуры твердого тела. Однако, решающую роль играют степени полинома, равные в любом случае 10 и 4 именно они определяют закономерность спада получившегося ван-дерваальсова потенциального поля, зависящего теперь только от одной координаты, перпендикулярной поверхности. Если две поверхности, параллельные плоскости XY, образованы частицами, центры которых лежат в плоскостях z = 0 и z = L Z, то результирующее потенциальное поле в объеме базовой ячейки удобно описывать следующим обобщенным выражением [77, 86, 87, 88, 89, 90]: 18

19 10 4 σ σ 4 εw ε ε + W, A0( z) = z z 0, 10 σ σ 4 εw ε AZ ( z) = LZ z LZ z 0, 4 + ε W, L L Z Z z < z C z z C z < z z z C C,, z C = σ (1.15) Здесь ε A0 и ε AZ потенциальная энергия взаимодействия с двумя адсорбирующими или инертными стенками; ε W глубина потенциальной ямы взаимодействия со стенкой, когда расстояние равно равновесному - в данном случае σ, поэтому координата обрезания z C также равна ван-дер-ваальсовому диаметру частиц. Использование полной формы выражения (1.15) вкупе с координатой обрезания дает две инертные стенки, ограничивающие базовую ячейку перпендикулярно оси Z, вдоль осей X и Y по-прежнему сохраняются ПГУ. Если опустить в обоих выражениях третье константное слагаемое и сделать z C = L Z, то получатся две адсорбирующие стенки в тех же положениях. Только надо помнить, что адсорбирующий эффект начинает проявляться, когда ε W становится больше ε K, лучше в несколько раз. В этом случае взаимодействие со стенками становится термодинамически более выгодным, чем между частицами жидкости, и ближайшие из них начинают адсорбироваться на стенках. Количество устойчиво адсорбированных монослоев при этом тем больше, чем больше энергия адсорбции по сравнению с энергией теплового движения [87]. При генерации системы с адсорбционным потенциалом необходимо учесть, что поверхности, определяемые формулой (1.15) вносят в систему то количество частиц, из которых они состоят, то есть для сохранения такого же коэффициента упаковки, как и для свободной жидкости, размер системы L Z необходимо увеличить сразу при генерации системы Численное решение уравнений движения Последовательность моделирования следующая. В базовую ячейку помещают частицы с заданным коэффициентом упаковки, определяя их начальные координаты согласно, например, гексагональной упаковке и скорости согласно распределению Максвелла для желаемой температуры. Эти значения координат и скоростей образуют начальные условия для решения дифференциальных уравнений движения каждой частицы [15]: 2 d ri ( t) mi = fi ( ri 1, ri 2,.. rin ), i = 1, 2,.. n (1.16) 2 dt 19

20 20 n [ f ( r ) + f ( r )] f ( v ) f i ( r) = Pi ij Bi ij + i j= 1 Ti i (1.17) В уравнениях подчеркнуто, что уже обсужденные валентные и невалентные силы зависят от времени только через расстояния между частицами r ij. К ним добавляется еще одна сила, f Ti, зависящая от скорости v i частицы по отношению к средней заданной тепловой скорости форму зависимости обсудим чуть позже. Эта сила реализует связь системы с некоторым внешним термостатом бесконечно большой теплоемкости. Основанием для ее добавления является, во-первых, тепловой контакт любого реального образца с внешней средой в ходе его термостатирования; во-вторых, необходимость коррекции ошибок численного интегрирования уравнений движения, обусловленных конечностью шага по времени Δ t. Для увеличения производительности программы шаг должен быть как можно больше, и, в то же время, существенно меньше, чем характерный масштаб времени системы τ 0 = 1 - обычно удается использовать Δ t = 0.01 τ 0. Шаг интегрирования теоретически зависит от порядка используемого численного алгоритма [91, 92], но как было установлено в ходе множества ЧЭ наиболее подходящим, простым, наглядным и поэтому наиболее распространенным является алгоритм Верле в скоростной форме [10, 13, 16], описываемый ниже. Кроме перечисленных достоинств, он еще удовлетворяет обращению времени, что необходимо для реализации в моделировании физических законов сохранения и должно выполняться для всех используемых алгоритмов, если не преследуется какая-то специфическая цель моделирования. Если в некоторый момент времени t заданы координаты и скорости всех n частиц, то радиус-вектор r i и скорость V i i-той частицы с массой m i в момент времени (t + Δ t) вычисляются с помощью ньютоновских уравнений движения в координатной форме, то есть, спроецированные на оси координат XYZ, описываемые индексом α: f ( ) 2 α i t Δt rα i( t + Δt) = rα i ( t) + Vα i( t) Δt + (1.18) m 2 i Δt fα i ( t) Δt Vα i t + = Vα i ( t) + (1.19) 2 m 2 i ( ) Δt fα i ( t + Δt) Δt Vα i t + Δt = Vα i t + + (1.20) 2 m 2 Причем в формулах (1.18) и (1.19) стоит сила в момент t, а в (1.20) - в момент (t + Δ t). Это означает, что при переходе от вычисления (1.19) к вычислению (1.20) необходимо еще раз вычислить силы по формуле (1.17). Другими словами, изменение скорости определяется силой, усредненной по начальному i

21 и конечному значениям одного шага интегрирования. Это одна из характерных особенностей алгоритма Верле, делающая его устойчивым и в то же время несамостартующим, то есть до совершения первого шага (1.18) необходимо вычислить силы по уравнению (1.17). Совокупность расчетов по формулам (1.17) (1.20) дает один шаг интегрирования уравнений движения в разностной форме. Далее требуется многократно, раз, повторить этот шаг, чтобы получить пространственное смещение частиц или время развития системы, удовлетворяющее поставленной в моделировании задаче. При этом реальное компьютерное время, затрачиваемое на ЧЭ, составляет от нескольких минут до нескольких тысяч часов в зависимости от статистики и необходимого количества параметров системы, а модельное время наблюдения может быть всего лишь несколько наносекунд. Поскольку некоторые частицы в своем движении пересекают границы базовой ячейки, то на каждом шаге интегрирования для каждой из них производится проверка пересечения и реализация ПГУ. В итоге такого численного интегрирования, естественно покоординатного, получается дискретная совокупность координат r i (t) и скоростей V i (t) всех частиц в последовательные дискретные моменты времени, называемая фазовой траекторией. Различные характеристики системы получаются как средние по времени вдоль фазовой траектории. Поскольку не всегда удобно вести обработку параллельно с генерацией, то при генерации траектория записывается на жесткий диск компьютера с заданной дискретностью, кратной длине шага и для многих целей существенно большей него. Кратность определяется тем набором физических величин, которые по завершении будут вычисляться. При этом интервал записи (в шагах интегрирования) нельзя делать меньше, чем половина периода осцилляций, которыми могут быть модулированы искомые физические величины, как гласит теорема Котельникова о выборках в противном случае информация об этих осцилляциях будет потеряна. В любом случае объем файла с фазовой траекторией может оказаться порядка сотни гигабайт, для чего нужно иметь зарезервированное место на жестком диске Термостатирование моделируемой системы Число частиц моделируемой системы n и ее объем v чаще всего неизменны в процессе генерации фазовой траектории. Кроме того, при решении уравнений движения производится дополнительная принудительная коррекция какой-либо физической величины, являющейся согласно постановке задачи интегралом движения. Если постоянной поддерживается полная энергия системы W, то она называется микроканоническим или nvw ансамблем. Если постоянна температура системы T, то есть средняя кинетическая энергия частиц, то она называется каноническим или nvt ансамблем [13, 14, 16]. В этих двух случаях уравнения движения имеют простой физический смысл уравнений Ньютона и кинематических уравнений. Реже для приближения свойств системы к реальным производится моде- 21

22 лирование с постоянным давлением P и температурой, а система называется каноническим npt ансамблем. В этом случае приходится дополнять уравнения движения частиц уравнениями изменения объема системы, физический смысл которых отсутствует, но которые призваны описать термическое расширение системы для уравнивания давления в ней с давлением внешней среды. В данном пособии рассмотрим лишь nvt ансамбль, как самый простой и физически понятный. На основе отлаженных для него алгоритмов затем, в случае необходимости, можно написать алгоритмы и для всех остальных более сложных ансамблей. Для сохранения постоянной температуры системы на каждом шаге интегрирования вычисляется мгновенная средняя кинетическая энергия одной частицы, которая согласно принципу равнораспределения энергии по степеням свободы с точностью до постоянного сомножителя равна безразмерной абсолютной температуре: [ V ( t) + V ( t) + V ( t) ] = k T n 1 ε K ( t) = mi xi yi zi B (1.21) 2 n 2 i В формуле в явном виде записаны компоненты скорости частиц. Эта энергия, также один раз на каждом шаге добавляется или убавляется за счет введенной выше термостатирующей силы, согласно наиболее популярному алгоритму Nose-Hoover [10, 13]: f Ti ε K 0 ( t) = ( χ mi ) 1 Vα i ( t) ε K ( t) (1.22) Здесь ε K0 кинетическая энергия, соответствующая заданной температуре, χ коэффициент пропорциональности, который стараются сделать как можно меньше, обычно порядка , чтобы как можно меньше возмущать детерминированное начальными условиями движение. Практически этот коэффициент можно сделать равным нулю при уменьшении шага интегрирования, но тогда производительность алгоритма, соответственно, упадет. Поэтому его постепенно увеличивают от нулевого значения вместе с увеличением шага интегрирования, следя за тем, чтобы целевые динамические характеристики системы не менялись. Останавливаются при этом условии на величинах Δ t и χ, обеспечивающих максимально производительность и неограниченно долгую устойчивую работу алгоритма. Как видно из (1.22), термостатирующая сила практически представляет собой знакопеременную жидкоподобную силу сопротивления, которая уменьшает скорость частиц, если она завышена, и увеличивает ее, если она занижена. При этом пропорциональность силы скорости частицы сохраняет максвелловское распределение скоростей, а не просто нивелирует скорости всех частиц к средней тепловой. Масса частицы в данном случае играет лишь формальную роль согласования размерностей и в тексте алгоритма может быть включена в χ при подборе ее величины, что указывается объединением этих характеристик

23 в скобках, лучше с учетом принадлежности частицы к какой-то группе в негомогенной системе. Дополнительно для сохранения постоянной температуры системы, можно периодически через несколько сотен или тысяч шагов интегрирования перемасштабировать скорости всех частиц для точного принудительного восстановления ее полной кинетической энергии, опять же с сохранением максвелловского распределения скоростей: V ε K t) = Vα i ( t) (1.23) ε ( t) 0 α i ( K С той же периодичностью необходимо повторять процедуру восстановления неподвижности центра масс моделируемой системы частиц, которая нарушается как конечностью шага интегрирования, так и термостатированием. Для этого из скорости каждой частицы, естественно покоординатно, вычитается скорость центра масс системы на данном шаге: n n V α i ( t) = Vα i ( t) mv i α i ( t) mi (1.24) i i Если ошибка не накапливается, то вычитаемое всегда будет мало. Периодичность этой процедуры также подбирается эмпирически. В завершение раздела следует упомянуть, что все константные выражения и связанные с ними арифметические операции выносятся за пределы любого цикла и считаются только один раз на данном шаге, как например χ, или один раз при запуске программы, как например масса системы, фигурирующая в знаменателе (1.24). В гомогенной системе, состоящей из частиц одинаковой единичной массы, ее символ вообще не будет фигурировать в уравнениях движения, а во всех уравнениях символ массы стоит для сохранения, во-первых, их физического смысла, во-вторых, общности алгоритмов, которые могут быть использованы для моделирования систем с частицами разного вида Радиальная функция распределения частиц Количественное описание структуры жидкостей и аморфных тел производится радиальной функцией распределения частиц F(r), как одинаковых, так и различных, которая определяется как средняя количественная плотность частиц в тонком сферическом слое на заданном расстоянии от рассматриваемой частицы, нормированная на среднюю плотность частиц в системе [93, 94, 95, 96]: F( r) = 4 π r 1 n k n 1 n H( rij ) 2 Δr n LX LY LZ i= 1 j i (1.25) 1, H( rij ) = 0, r r r ij ij < r, < r + Δr r ij r + Δr (1.25a) 23

24 Алгоритм записан с помощью функции Хэвисайда H(r ij ), которая принимает единичное значение, если ее аргумент «истина», и нулевое во всех остальных. Алгоритм сканирует пространство около всех n частиц системы для обнаружения частиц заданного типа. В гомогенной системе все частицы одинаковы и k = n. Обратная величина в круглых скобках в явном виде вводит в знаменатель количественную плотность системы. Интеграл функции распределения в пределах радиуса первой координационной сферы, умноженный на плотность, дает число частиц в этой сфере или координационное число. Оно, в свою очередь, определяет возникновение клеточного эффекта [97, 98, 99, 100, 101] и его динамику, что описывается с помощью клеточной автокорреляционной функции (АКФ) [102, 103] или времени жизни частиц в первой координационной сфере [104, 105, 106, 107, 108]. Последняя характеристика уже напрямую связана с основными характеристиками явлений переноса в современных теориях диффузии [109, 110], количественно описывающих способность частицы поменять свое ближайшее окружение, что и выливается в ее диффузионную подвижность. Соотношение между вращательной диффузией и временем жизни молекулы в клетке определяет кинетику многих химических реакций [111, 112]. Клеточный эффект играет важную роль не только в низкомолекулярных веществах, но и накладывает существенный отпечаток на поведение кинетических единиц полимерной цепи, что в итоге определяет результирующую диффузионную подвижность всей цепи [113, 114, 115, 116, 117, 118]. Самое удивительное, что клеточный эффект оказался характерен даже для макроскопических объектов - при течении сыпучего вещества из множества маленьких шариков [119]. Если в модель заложено кроме отталкивательного взаимодействия еще и притяжение, в том числе, специфическое, а не только ван-дер-ваальсово, то количество частиц окружения определяет термодинамические свойства системы. Таким образом, микроскопическая характеристика, радиальная функция распределения позволяет вычислить как кинетические, так и термодинамические свойства вещества [11, 12, 14, 94, 95]. В эксперименте она может быть определена с помощью рентгенографии, электронографии или нейтронографии. В данном рассмотрении можно задать, например, взаимное распределение частиц одной и той же цепи или, наоборот, разных цепей. Если рассматривается распределение частиц без учета принадлежности к цепи, то получается сумма двух предыдущих распределений и т.д. В газах и жидкостях как общая, так и парциальные радиальные функции распределения на расстоянии нескольких ван-дер-ваальсовых диаметров частиц выходят на горизонтальную асимптоту, которая имеет единичную величину для общей функции и меньшую для парциальных. В газах, жидкостях и твердых телах радиальная функция выглядит совершенно по-разному, так как количественно характеризует ближний и дальний порядок в расположении как одинаковых, так и различных частиц. То есть форма этой функции является первым признаком, по которому моделируемую 24

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика: Статистическая термодинамика Лекция 13 ЛЕКЦИЯ 13

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика: Статистическая термодинамика Лекция 13 ЛЕКЦИЯ 13 ЛЕКЦИЯ 13 Столкновения молекул. Длина свободного пробега. Время свободного пробега. Случайные блуждания. Диффузия. Уравнение непрерывности и закон Фика. Уравнение диффузии. Столкновения молекул До сих

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Казанский государственный университет Р.Ф. Марданов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного университета 2007 УДК 517.9

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Лекция 3. 2.6. Работа силы. Кинетическая энергия ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Лекция 3. 2.6. Работа силы. Кинетическая энергия ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ 34 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Лекция 3.6. Работа силы. Кинетическая энергия Наряду с временнóй характеристикой силы ее импульсом, вводят пространственную, называемую работой. Как всякий вектор, сила

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Томский политехнический университет Кафедра теоретической и экспериментальной физики

Министерство образования Российской Федерации Томский политехнический университет Кафедра теоретической и экспериментальной физики Министерство образования Российской Федерации Томский политехнический университет Кафедра теоретической и экспериментальной физики «УТВЕРЖДАЮ» Декан ЕНМФ И.П. Чернов «14» мая 00 г. ИЗУЧЕНИЕ БРОУНОВСКОГО

Подробнее

Лекция 8. Уравнение состояния идеального газа и основное уравнение МКТ [1] гл.8, 41-43

Лекция 8. Уравнение состояния идеального газа и основное уравнение МКТ [1] гл.8, 41-43 48 Лекция 8. Уравнение состояния идеального газа и основное уравнение МКТ [] гл.8, 4-4 План лекции. Основные положения и основные понятия МКТ.. Уравнение состояния идеального газа. Опытные газовые законы..

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации. Уральский государственный технический университет - УПИ

Министерство образования Российской Федерации. Уральский государственный технический университет - УПИ Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет - УПИ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА СТАТИСТИКА МАКСВЕЛЛА-БОЛЬЦМАНА для студентов всех форм

Подробнее

Е. стр.175-177, стр.187-193.

Е. стр.175-177, стр.187-193. Лекция 6 Равновесная и неравновесная феноменологическая термодинамика. Основные результаты. Статистическая термодинамика. Е. стр.75-77, стр.87-9. Необходимо связать понятия феноменологической термодинамики

Подробнее

Генкин Б.И. Элементы содержания, проверяемые на ЕГЭ по физике. Пособие для повторения учебного материала. Санкт-Петербург:

Генкин Б.И. Элементы содержания, проверяемые на ЕГЭ по физике. Пособие для повторения учебного материала. Санкт-Петербург: Генкин Б.И. Элементы содержания, проверяемые на ЕГЭ по физике. Пособие для повторения учебного материала. Санкт-Петербург: http://audto-um.u, 013 3.1 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 3.1.1 Электризация тел Электрический

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА

ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА План лекции: 1. Техническая термодинамика (основные положения и определения) 2. Внутренние параметры состояния (давление, температура, плотность). Понятие о термодинамическом

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1.. Кинематика. Кинематика это часть теоретической механики, в которой изучается механическое движение материальных точек и твердых тел. Механическое движение это перемещение

Подробнее

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 41 ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ СТИЛТЬЕСА Для спектральных разложений случайных функций пользуется интеграл Стилтьеса Поэтому приведем определение и некоторые свойства

Подробнее

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет)

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет) ВЕСТНИК ЧГПУ им И Я ЯКОВЛЕВА МЕХАНИКА ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ 7 УДК 5975 Мирсалимов М В ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ (Тульский государственный университет) Рассматривается задача механики

Подробнее

Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА План Тригонометрическая форма ряда Фурье Ряд Фурье в комплексной форме Комплексный частотный спектр 3 Мощности в цепях несинусоидального тока Коэффициенты,

Подробнее

Теория ошибок и обработка результатов эксперимента

Теория ошибок и обработка результатов эксперимента Теория ошибок и обработка результатов эксперимента Содержание 1. Классификация и типы ошибок. 2. Прямые и косвенные измерения. 3. Случайные измерения и ошибки. 3.1. Понятие вероятности случайной величины.

Подробнее

ϕ =, если положить потенциал на

ϕ =, если положить потенциал на . ПОТЕНЦИАЛ. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Потенциал, создаваемый точечным зарядом в точке A, находящейся на, если положить потенциал на бесконечности равным нулю: φ( ). Потенциал, создаваемый в

Подробнее

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА . ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.3. Динамика. Динамика это часть теоретической механики, в которой рассматривается движение материальной точки или тела под действием приложенных сил, а также устанавливается связь

Подробнее

Ф. А. Мурзин, О. Н. Половинко, И. В. Лобив РАСПОЗНАВАНИЕ ТЕКСТУР ПО ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ЗАКОНОМЕРНОСТЯМ *

Ф. А. Мурзин, О. Н. Половинко, И. В. Лобив РАСПОЗНАВАНИЕ ТЕКСТУР ПО ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ЗАКОНОМЕРНОСТЯМ * Ф. А. Мурзин, О. Н. Половинко, И. В. Лобив РАСПОЗНАВАНИЕ ТЕКСТУР ПО ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ЗАКОНОМЕРНОСТЯМ * ВВЕДЕНИЕ Статистический и структурный подходы к описанию текстур и оптические методы реализации этих

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

4. Постоянное магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле.

4. Постоянное магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле. 4 Постоянное магнитное поле в вакууме Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле Закон Био-Савара-Лапласа: [ dl, ] db =, 3 4 π где ток, текущий по элементу проводника dl, вектор dl направлен

Подробнее

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 007. Т. 48, N- 5 УДК 539.3 ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин,

Подробнее

Б.М.Яворский, А.А.Пинский ОСНОВЫ ФИЗИКИ. Т.1 Введение новых программ по физике для средней школы, организация факультативных курсов физики, наличие

Б.М.Яворский, А.А.Пинский ОСНОВЫ ФИЗИКИ. Т.1 Введение новых программ по физике для средней школы, организация факультативных курсов физики, наличие Б.М.Яворский, А.А.Пинский ОСНОВЫ ФИЗИКИ. Т.1 Введение новых программ по физике для средней школы, организация факультативных курсов физики, наличие физико-математических школ с расширенной программой вызвали

Подробнее

ВОЗМОЖНОСТЬ ИДЕНТИФИКАЦИИ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ЖИДКОСТЕЙ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ С КРУТИЛЬНЫМ ВИСКОЗИМЕТРОМ

ВОЗМОЖНОСТЬ ИДЕНТИФИКАЦИИ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ЖИДКОСТЕЙ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ С КРУТИЛЬНЫМ ВИСКОЗИМЕТРОМ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2006. Т. 47, N- 6 59 УДК 532.5 ВОЗМОЖНОСТЬ ИДЕНТИФИКАЦИИ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ЖИДКОСТЕЙ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ С КРУТИЛЬНЫМ ВИСКОЗИМЕТРОМ А. Е. Коренченко, О. А.

Подробнее

3 Магнетизм. Основные формулы и определения

3 Магнетизм. Основные формулы и определения 3 Магнетизм Основные формулы и определения Вокруг проводника с током существует магнитное поле, направление которого определяется правилом правого винта (или буравчика). Согласно этому правилу, нужно мысленно

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Мехатроника» Г. В. Васильева ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Екатеринбург Издательство УрГУПС 2014

Подробнее

4 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПРИ НАЛИЧИИ ПРОВОДНИКОВ

4 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПРИ НАЛИЧИИ ПРОВОДНИКОВ 4 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПРИ НАЛИЧИИ ПРОВОДНИКОВ Проводники электричества это вещества, содержащие свободные заряжённые частицы. В проводящих телах электрические заряды могут свободно перемещаться в пространстве.

Подробнее

Лекция 6. Уравнение состояния реальных газов, жидкостей и твердых тел. Статистическая термодинамика реальных газов.

Лекция 6. Уравнение состояния реальных газов, жидкостей и твердых тел. Статистическая термодинамика реальных газов. Лекция 6. Уравнение состояния реальных газов, жидкостей и твердых тел. Статистическая термодинамика реальных газов. 1.1. Уравнение состояния реальных газов Если известны термическое и калорическое уравнения

Подробнее

Описание симметрии кристаллических структур. Часть 2

Описание симметрии кристаллических структур. Часть 2 Описание симметрии кристаллических структур Часть 2 Краткое содержание предыдущей лекции Ввели понятия симметрии, операции симметрии, элемента симметрии, группы симметрии, подгруппы и надгруппы; Матричные,

Подробнее

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЖИГАНИЯ ГАЗОВ В ПУЗЫРЯХ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЖИГАНИЯ ГАЗОВ В ПУЗЫРЯХ XXVII сессия Российского акустического общества посвященная памяти ученых-акустиков ФГУП «Крыловский государственный научный центр» А. В. Смольякова и В. И. Попкова Санкт-Петербург16-18 апреля 014 г. Д.В.

Подробнее

Московская олимпиада по физике, 2015/2016, нулевой тур, заочное задание (ноябрь), 11-й класс. Автор: Бычков А.И.

Московская олимпиада по физике, 2015/2016, нулевой тур, заочное задание (ноябрь), 11-й класс. Автор: Бычков А.И. Московская олимпиада по физике, 205/206, нулевой тур, заочное задание (ноябрь), -й класс Автор: Бычков А.И. Заочное задание (ноябрь) состоит из пяти задач. За решение каждой задачи участник получает до

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

ПОДГОТОВКА К ЕГЭ по ФИЗИКЕ

ПОДГОТОВКА К ЕГЭ по ФИЗИКЕ Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» ПОДГОТОВКА К ЕГЭ по ФИЗИКЕ Преподаватель: кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики, Грушин Виталий Викторович Напряжённость и

Подробнее

Темная энергия и квантовый туннельный эффект вакуума через поле Хиггса.

Темная энергия и квантовый туннельный эффект вакуума через поле Хиггса. Темная энергия и квантовый туннельный эффект вакуума через поле Хиггса. Куюков Виталий П. Россия, Сибирский Федеральный Университет Email: vitalik.kayukov@mail.ru В данной статье рассматривается плотность

Подробнее

Кафедра вычислительной физики ОЦЕНОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ОСТАТОЧНЫХ ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ

Кафедра вычислительной физики ОЦЕНОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ОСТАТОЧНЫХ ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет» Кафедра вычислительной физики ОЦЕНОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Подробнее

Исследование влияния отверстий на эффективность экранирования корпуса с помощью МКЭ

Исследование влияния отверстий на эффективность экранирования корпуса с помощью МКЭ Исследование влияния отверстий на эффективность экранирования корпуса с помощью МКЭ Кечиев Л.Н., Сафонов А.А. Любой корпус электронной аппаратуры практически всегда содержит одну или несколько неоднородностей,

Подробнее

ЭЛЕКТРОСТАТИКА 1. Два рода электрических зарядов, их свойства. Способы зарядки тел. Наименьший неделимый электрический заряд. Единица электрического заряда. Закон сохранения электрических зарядов. Электростатика.

Подробнее

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Д.А. Зубцов. 3 июня 2014 г. П Р О Г Р А М М А

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Д.А. Зубцов. 3 июня 2014 г. П Р О Г Р А М М А УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Д.А. Зубцов П Р О Г Р А М М А 3 июня 2014 г. по дисциплине: Теоретическая механика по направлению подготовки 010900 «Прикладные математика и физика» факультет: ФОПФ

Подробнее

Взаимодействия между разными аминокислотными остатками

Взаимодействия между разными аминокислотными остатками Взаимодействия между разными аминокислотными остатками Введение В предыдущей лекции мы рассматривали взаимодействия между атомами в пределах одного аминокислотного остатка. Эти взаимодействия приводят

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ по образовательной программе высшего образования программе подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре ФГБОУ ВО «Орловский государственный университет имени

Подробнее

Правительство Российской Федерации. Факультет БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ Отделение ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ. Программа дисциплины Физика

Правительство Российской Федерации. Факультет БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ Отделение ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ. Программа дисциплины Физика Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Подробнее

КАРТА СХЕМА ПРОРАБОТКИ ТЕМЫ ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ

КАРТА СХЕМА ПРОРАБОТКИ ТЕМЫ ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ КАРТА СХЕМА ПРОРАБОТКИ ТЕМЫ ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ Общая характеристика идеального газа : молекулярно кинетический и термодинамический подходы. Определение идеального газа. Параметры состояния. Основные

Подробнее

Определение отклика на сейсмическое воздействие в ANSYS

Определение отклика на сейсмическое воздействие в ANSYS Определение отклика на сейсмическое воздействие в ANSYS 1. Аннотация В данной работе был определен отклик цилиндрической обечайки (далее объект) на сейсмическое воздействие различными методами. 2. Описание

Подробнее

Программа дисциплины ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Программа дисциплины ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"

Подробнее

Решение задачи рассеяния на протяженных цилиндрических телах различного сечения

Решение задачи рассеяния на протяженных цилиндрических телах различного сечения Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 68 www.a.ru/scece/rudy/ УДК 537.87+6.37 Решение задачи рассеяния на протяженных цилиндрических телах различного сечения Гиголо А. И. * Кузнецов Г. Ю. ** Московский

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ

СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ 1 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА 5 Т 6, N- 1 УДК 5393 СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ В Н Максименко, Е Г Подружин Новосибирский государственный технический

Подробнее

МЕХАНИЧЕСКАЯ КОНЦЕПЦИЯ КАК РЕЗУЛЬТАТ ИНТЕГРАЦИИ ПОНИМАНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ДОСТИЖЕНИЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ МЕХАНИКИ С ВЫХОДОМ НА МЕТАТЕОРЕТИЧЕСКИЙ УРОВЕНЬ

МЕХАНИЧЕСКАЯ КОНЦЕПЦИЯ КАК РЕЗУЛЬТАТ ИНТЕГРАЦИИ ПОНИМАНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ДОСТИЖЕНИЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ МЕХАНИКИ С ВЫХОДОМ НА МЕТАТЕОРЕТИЧЕСКИЙ УРОВЕНЬ МЕХАНИЧЕСКАЯ КОНЦЕПЦИЯ КАК РЕЗУЛЬТАТ ИНТЕГРАЦИИ ПОНИМАНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ДОСТИЖЕНИЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ МЕХАНИКИ С ВЫХОДОМ НА МЕТАТЕОРЕТИЧЕСКИЙ УРОВЕНЬ. ЧАСТЬ 2 Цюпка В. П. Федеральное государственное автономное

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru. Энергия

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru. Энергия И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Энергия Темы кодификатора ЕГЭ: работа силы, мощность, кинетическая энергия, потенциальная энергия, закон сохранения механической энергии. Мы приступаем к изучению

Подробнее

Выдержки из книги Горбатого И.Н. «Механика» 3.2. Работа. Мощность. Кинетическая энергия. r r N =

Выдержки из книги Горбатого И.Н. «Механика» 3.2. Работа. Мощность. Кинетическая энергия. r r N = Выдержки из книги Горбатого ИН «Механика» 3 Работа Мощность Кинетическая энергия Рассмотрим частицу которая под действием постоянной силы F r совершает перемещение l r Работой силы F r на перемещении l

Подробнее

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ ЧЕРЕЗ КАПИЛЛЯР ДЛЯ ТРЕХКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ ЧЕРЕЗ КАПИЛЛЯР ДЛЯ ТРЕХКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43 N- 3 59 УДК 532.6 ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ ЧЕРЕЗ КАПИЛЛЯР ДЛЯ ТРЕХКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ О. Е. Александров Уральский государственный технический

Подробнее

1. Основные характеристики детерминированных сигналов

1. Основные характеристики детерминированных сигналов 1. Основные характеристики детерминированных сигналов В технике под термином «сигнал» подразумевают величину, каким-либо образом отражающую состояние физической системы. В радиотехнике сигналом называют

Подробнее

Комментарии к теме Распределения случайных векторов

Комментарии к теме Распределения случайных векторов Комментарии к теме Распределения случайных векторов Практические занятия по теории вероятностей, 322 гр., СМ В. В. Некруткин, 2012 1 Случайные вектора и их распределения Многие свойства случайных векторов

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

а) Минимальной расстояние между кораблями есть расстояние от точки А до прямой ВС, которое равно

а) Минимальной расстояние между кораблями есть расстояние от точки А до прямой ВС, которое равно 9 класс. 1. Перейдем в систему отсчета, связанную с кораблем А. В этой системе корабль В движется с относительной r r r скоростью Vотн V V1. Модуль этой скорости равен r V vcos α, (1) отн а ее вектор направлен

Подробнее

МЕТОД КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

МЕТОД КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ МЕТОД КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ Зубко Иван Юрьевич доцент кафедры «Математическое моделирование систем и процессов» 1 Одним из простых, но эффективных с вычислительной точки зрения

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ВОЗДУХА ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ВОЗДУХА ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ Министерство образования и науки Российской Федерации ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ВОЗДУХА ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ Методические указания Иркутск 24 Печатается по решению

Подробнее

Рабочая программа Заочной математической школы. 11 класс. Продвинутая группа. Занятие 1. Текстовые задачи и задачи на целые решения.

Рабочая программа Заочной математической школы. 11 класс. Продвинутая группа. Занятие 1. Текстовые задачи и задачи на целые решения. Рабочая программа Заочной математической школы 11 класс. Продвинутая группа Занятие 1. Текстовые задачи и задачи на целые решения. 1. Постулат Оккама. Принцип минимальности при составлении систем уравнений

Подробнее

НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РОСТА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ

НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РОСТА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ Семинар Непрерывные и дискретные модели роста популяций, описываемые одним уравнением. Модель Мальтуса. Непрерывная модель логистического роста. Модель с нижней критической границей численности популяции.

Подробнее

ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 3: Численное интегрирование (15 слайдов)

ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 3: Численное интегрирование (15 слайдов) ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 3: Численное интегрирование (15 слайдов) Слайд 1: Методы численного интегрирования. Требуется вычислить определенный интеграл: Методы решения такой задачи: 1.

Подробнее

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 3. Т. 44, N- 4 35 УДК 539.3 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ИЗГИБА АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН В. Н. Максименко, Е. Г. Подружин Новосибирский государственный технический

Подробнее

Бесконечные системы линейных уравнений в случае первой основной граничной задачи для прямоугольной призмы

Бесконечные системы линейных уравнений в случае первой основной граничной задачи для прямоугольной призмы Динамические системы, вып. 28 2010, 89 98 УДК 539.3 Бесконечные системы линейных уравнений в случае первой основной граничной задачи для прямоугольной призмы С. О. Папков Севастопольский национальный технический

Подробнее

Перевод на «язык равенств и неравенств»

Перевод на «язык равенств и неравенств» Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Перевод на «язык равенств и неравенств» Раздел электронного пособия «Элементарная математика» e-mail:

Подробнее

Вопросы для подготовки к зачету по дисциплине «Моделирование систем и процессов»

Вопросы для подготовки к зачету по дисциплине «Моделирование систем и процессов» Вопросы для подготовки к зачету по дисциплине «Моделирование систем и процессов» Специальность 280102 1. Модель и оригинал. 2. Что такое модель? 3. Что такое моделирование? 4. Для чего необходим этап постановки

Подробнее

В международных символах сочетание теоремы 2 обозначается n, где n порядок четной

В международных символах сочетание теоремы 2 обозначается n, где n порядок четной Лекция 3. 1. Теоремы о сочетании операций симметрии 2. Кристаллографические категории 3. Классы симметрии 4. Символы кристаллов гексагональной и тригональной сингоний 5. Закон зон 1. В симметричных многогранниках

Подробнее

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки Теория напряженного состояния Понятие о тензоре напряжений, главные напряжения Линейное, плоское и объемное напряженное состояние Определение напряжений при линейном и плоском напряженном состоянии Решения

Подробнее

Лабораторная работа 11н. Скатывание тела с наклонной плоскости

Лабораторная работа 11н. Скатывание тела с наклонной плоскости Лабораторная работа 11н Скатывание тела с наклонной плоскости Цель работы: Проверка выполнимости основного уравнения динамики вращательного движения (уравнения моментов) и закона сохранения механической

Подробнее

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА Глава 3 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА 3 Число и вектор Фробениуса Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли

Подробнее

Термодинамика необратимых процессов. Что мы уже знаем о равновесных и неравновесных состояниях, равновесных и неравновесных процессах?

Термодинамика необратимых процессов. Что мы уже знаем о равновесных и неравновесных состояниях, равновесных и неравновесных процессах? Лекция 5 Е. стр. 308-33, стр.39-35 Термодинамика необратимых процессов. Что мы уже знаем о равновесных и неравновесных состояниях, равновесных и неравновесных процессах? Равновесие. Состояние равновесия

Подробнее

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электростатика Лекция 22 ЛЕКЦИЯ 22

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электростатика Лекция 22 ЛЕКЦИЯ 22 ЛЕКЦИЯ Электростатическая энергия зарядов. Мультипольное разложение. Электрический диполь. Энергия системы зарядов во внешнем поле. Силы, действующие на диполь в электрическом поле. Взаимодействие двух

Подробнее

Лабораторная работа N2 «Температурная зависимость электропроводности

Лабораторная работа N2 «Температурная зависимость электропроводности Лабораторная работа «Температурная зависимость электропроводности полупроводников» Цель работы:. Экспериментально определить температурную зависимость электропроводности германия.. По данным эксперимента

Подробнее

«ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА»

«ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Занятие 1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 1 Математическое моделирование. Основные понятия и определения

Занятие 1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 1 Математическое моделирование. Основные понятия и определения Занятие 1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 1 Математическое моделирование. Основные понятия и определения Процессы химической технологии это сложные физико-химические системы. Участвующие

Подробнее

Химическая реакция и химическое равновесие с точки зрения термодинамики. (2)

Химическая реакция и химическое равновесие с точки зрения термодинамики. (2) . Лекция 1 Основной закон химической кинетики. Е. стр.7-22. Р. стр. 9-19, 23-26, 44-48. Э.-К. стр. 48-57, 70-73 Химическая реакция и химическое равновесие с точки зрения термодинамики. Скоростью химической

Подробнее

Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме

Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Нижегородский Государственный Технический университет имени Р.Е. Алексеева Кафедра ФТОС Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Попов Е.А., Успенская Г.И. Нижний Новгород

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

КЛЕТОЧНЫЙ АСИНХРОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ НА ГПУ

КЛЕТОЧНЫЙ АСИНХРОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ НА ГПУ КЛЕТОЧНЫЙ АСИНХРОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ НА ГПУ А.П. Карпенко, М.П. Погосский Введение. Численное решение краевых задач для уравнений в частных производных (ДУЧП)

Подробнее

ШИРОКОПОЛОСНОЕ СОГЛАСОВАНИЕ НАГРУЗОК ВТОРОГО КЛАССА C ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОДИФИЦИРОВАННЫХ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА

ШИРОКОПОЛОСНОЕ СОГЛАСОВАНИЕ НАГРУЗОК ВТОРОГО КЛАССА C ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОДИФИЦИРОВАННЫХ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА УДК 61.396.96 ШИРОКОПОЛОСНОЕ СОГЛАСОВАНИЕ НАГРУЗОК ВТОРОГО КЛАССА C ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОДИФИЦИРОВАННЫХ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА А.А. Свириденко Данная статья предназначена для инженеров радиотехнического

Подробнее

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ Арифметика понимать особенности десятичной системы счисления; использовать понятия, связанные с делимостью натуральных чисел; выражать

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

1 Другие примеры приведены в Приложении 3 на CD.

1 Другие примеры приведены в Приложении 3 на CD. Информационные технологии и учебно-исследовательская деятельность школьников 1 Александр Викторович Ляпцев, д-р ф.-м. наук, профессор, зав. кафедрой методики обучения физике РГПУ им. А.И. Герцена, Людмила

Подробнее

3. Магнитное поле Вектор магнитной индукции. Сила Ампера

3. Магнитное поле Вектор магнитной индукции. Сила Ампера 3 Магнитное поле 3 Вектор магнитной индукции Сила Ампера В основе магнитных явлений лежат два экспериментальных факта: ) магнитное поле действует на движущиеся заряды, ) движущиеся заряды создают магнитное

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Методические указания к выполнению курсовой работы

Методические указания к выполнению курсовой работы Методические указания к выполнению курсовой работы "СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ" для студентов специальности 655Д «Роботы и робототехнические системы» Кафедра математики г Описание работы Курсовой проект предполагает

Подробнее

Лекция 1 Доцент Ильич Г.К. ( кафедра мед. и биол. физики ) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Лекция 1 Доцент Ильич Г.К. ( кафедра мед. и биол. физики ) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Лекция 1 Доцент Ильич Г.К. ( кафедра мед. и биол. физики ) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 1. Производная функции Количественное описание сложных изменяющихся процессов жизнедеятельности с помощью элементарной

Подробнее

S с плотностью стороннего заряда. По теореме Гаусса

S с плотностью стороннего заряда. По теореме Гаусса 5 Проводники в электрическом поле 5 Проводники Проводниками называются вещества, в которых при включении внешнего поля перемещаются заряды и возникает ток Наиболее хорошими проводниками электричества являются

Подробнее

Оглавление. 1. Метод интегральных сумм Примеры решения задач Задачи типового расчета Список литературы... 21

Оглавление. 1. Метод интегральных сумм Примеры решения задач Задачи типового расчета Список литературы... 21 1. Метод интегральных сумм...................... Примеры решения задач....................... 3 3. Задачи типового расчета....................... 17 Список литературы............................ 1 1. Метод

Подробнее

МОДЕЛИРОВАНИЕ АНИЗОТРОПНОГО ШУМА НА ВЕКТОРНО-СКАЛЯРНЫХ ПРИЕМНИКАХ

МОДЕЛИРОВАНИЕ АНИЗОТРОПНОГО ШУМА НА ВЕКТОРНО-СКАЛЯРНЫХ ПРИЕМНИКАХ ИНЖЕНЕРНЫЙ ВЕСТНИК ДОНА, 2, 2007, стр. 148 153 МОДЕЛИРОВАНИЕ АНИЗОТРОПНОГО ШУМА НА ВЕКТОРНО-СКАЛЯРНЫХ ПРИЕМНИКАХ 2007 г. О.Е. Шимко, рук. Г.М. Глебова В настоящее время в гидрофизике для оценки параметров

Подробнее

Лекция 13. Электронная корреляция.

Лекция 13. Электронная корреляция. Лекция 3. Электронная корреляция. 3.. Источники погрешности ССП МО ЛКАО расчетов. Целью квантовохимических расчетов является адекватное описание реальных химических систем: точный теоретический расчет

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

(8.1) ( ) dx t dt (8.2) = a u t x t. du t x t u u u u dt t x dt t x (8.3)

(8.1) ( ) dx t dt (8.2) = a u t x t. du t x t u u u u dt t x dt t x (8.3) 8. Граничные условия Задание граничных условий для уравнений Навье-Стокса представляет собой отнюдь не тривиальную задачу. Даже более того. С теоретической точки зрения это наиболее сложная часть рассматриваемой

Подробнее

К. В. Григорьева. Методические указания Тема 3. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г.

К. В. Григорьева. Методические указания Тема 3. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г. К. В. Григорьева Методические указания Тема. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 7 г. ОГЛАВЛЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.... МЕТОДЫ СПУСКА

Подробнее

Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений

Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Математический анализ Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений Новопоселенких

Подробнее