Преобразуем уравнение. Обозначим Тогда

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Преобразуем уравнение. Обозначим Тогда"

Транскрипт

1 Задача 1 Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 11 класс) Если двухзначное число разделить на некоторое целое число, то в частном получится 3 и в остатке 8 Если в делимом поменять местами цифры, а делитель оставить прежним, то в частном будет 2, а в остатке 5 Найдите первоначальное значение делимого Пусть число десятков искомого числа - x, а число единиц y Тогда Учитывая имеем Следовательно, искомое число Задача 2 Доказать, что: Заметим, что Что и требовалась доказать Задача 3 Решить уравнение Преобразуем уравнение Обозначим Тогда

2 Учитывая, что, получим: Следовательно уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда все слагаемые равны 0 Получаем Задача 4 Область определения функции f(x) любое действительное число кроме 0 и 1 Для каждого x из области определения имеет место равенство: айдите все такие функции Подставим в исходное равенство вместо величину Получим: Аналогично подставим в это же равенство вместо величину Получим: Таким образом, имеем систему: Решим ее Вычтем из первого уравнения второе, а из второго третье и результаты запишем вместо первого и второго уравнения соответственно

3 Теперь сложим первое и третье уравнения: Задача 5 Выпуклый четырехугольник площади 15 разбит двумя диагоналями на четыре треугольника Площади двух треугольников, прилежащих к противоположным сторонам, равны 2 и 6 Найти площади двух оставшихся треугольников Пусть отрезки диагоналей Тогда Площадь всего четырехугольника 15 и сумма Из системы: получим, что:

4 Задача 6 Из города выезжает команда из 100 автомобилей Один из автомобилей флагманский У каждого автомобиля полный бак бензина На этом бензине автомобиль может проехать 500 км В пути нет заправочных станций, однако автомобили могут по дороге останавливаться и переливать бензин из одной машины в другую Какая стратегия позволит флагманскому автомобилю отъехать от места старта как можно дальше? Доказать, что предложенная стратегия является наилучшей Когда после старта машины проедут 1/100 максимального пути на полном баке (те 5 км), в баках останется 99/100 бака Значит можно перелить оставшееся содержимое бака одной машины в остальные 99 (по 1/100 бака в каждую) При этом эта машина останется с пустым баком, а остальные 99 машин будут опять с полными Теперь проезжаем 1/99 максимального пути, и переливаем 98/99 бака второй машины в другие 98 автомобилей Получаем 98 машин с полным баком после И тд На последней остановке переливаем 1/2 бака из предпоследней машины в последнюю, которая оказывается с полным баком после Почему стратегия оптимальна? Если на n-ом шаге проехать меньше, чем км, то не сможем перелить весь оставшийся бензин, и значит потеряем часть бензина А если проехать больше, то в баках останется меньше, чем, и значит не сможем долить баки машин до полного Задача 7 Известно, что a, b, c - положительные числа, для которых выполнено равенство Найти наименьшее значение выражения Преобразуем выражение Известно, что (среднее арифметическое двух чисел не меньше среднего геометрического этих чисел) Пусть Тогда 2

5 Задача 8 Даны правильная треугольная пирамида с высотой, равной стороне основания a, и правильная четырехугольная пирамида со стороной основания, равной a Наименьшее по площади сечение четырехугольной пирамиды, проходящее через боковое ребро, имеет площадь, совпадающую с площадью наименьшего сечения треугольной пирамиды, проходящего через сторону основания Найти высоту h четырехугольной пирамиды, если Имеем В обоих случаях сечение будет представлять собой треугольник (, основанием которого является одно из ребер соответствующей пирамиды Необходимо, чтобы высота, опущенная на это основание, была минимальной Минимум будет достигаться в случае, когда высота будет равна расстоянию между скрещивающимися прямыми: в случае четырехугольной пирамиды SB и AD, а для треугольной S 1 C 1 и A 1 B 1 Для треугольной пирамиды это отрезок, а для четырехугольной пирамиды отрезок Следовательно, из треугольника S 1 C 1 Н:

6 , А из треугольника SML: Из равенства площадей треугольников, получим, откуда Задача 9 Доказать, что точки экстремума следующих функций: лежат на одной прямой При каких значениях k координаты точек экстремума образуют арифметическую прогрессию? Найдем производную первой функции: Следовательно, точки экстремума данной функции: Тогда уравнение прямой, которой принадлежат эти точки: Найдем производную второй функции: Решим уравнение значения в уравнение прямой: требовалось доказать Подставим полученные, что и Найдем значения k, при которых координаты образуют арифметическую прогрессию Заметим, что неважно по какой переменной будем строить прогрессию, тк экстремумы принадлежат одной прямой Будем строить по переменной x Заметим, что возможны только три случая:

7 а) б) в) Задача 10 Решить неравенство для любого значения параметра a: Очевидно, что данное неравенство имеет смысл только при неравенство равносильно следующей системе: Следовательно,

2. Решите неравенство. log ( ) 0

2. Решите неравенство. log ( ) 0 Второй (заключительный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика», весна 017 г Вариант 8 1 Из пункта A в пункт B, расстояние между

Подробнее

log ( ) 0 (10 баллов) 6. Найдите множество значений функции f ( x)

log ( ) 0 (10 баллов) 6. Найдите множество значений функции f ( x) Второй (заключительный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика», весна 017 г Вариант 6 1 Из пункта A в пункт B, расстояние между

Подробнее

Девятая олимпиада Эйлера для учителей математики

Девятая олимпиада Эйлера для учителей математики Девятая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура 1. Решите относительно x уравнение x( x ab) a b. Решение. Ясно, что x a b корень данного уравнения. Разделив многочлен x abx

Подробнее

. (8 баллов) 3. Какое наименьшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a35 2, a40

. (8 баллов) 3. Какое наименьшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a35 2, a40 Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» осень г Вариант 7 Из пунктов А и В одновременно выехали навстречу друг

Подробнее

10 класс. в целых неотрицательных числах x, y, z.

10 класс. в целых неотрицательных числах x, y, z. 0 Решите уравнение 0 класс x y 9z в целых неотрицательных числах x, y, z Из уравнения видно, что число x делится на : x = x, где x целое неотрицательное число Получаем: 7x = y + 9z, 9x = y + z Из последнего

Подробнее

Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина

Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru Санкт-Петербургский государственный университет, 1987 год факультет прикладной математики процессов управления, математико-механический факультет,

Подробнее

, то Т.к. S 10 = 1 +

, то Т.к. S 10 = 1 + 96. a) а 0; d ; a 99. Т.к. a a + ( )d, то 99 0 +. Тогда 90; a + a 90 0 + 99 S90 90 90 09 90. б) а 00; d ; a 999. Т.к. a a + ( )d, то 999 00 +. Т.е. 900; a + a 900 00 + 999 S900 900 900 099 0 90. 97. )

Подробнее

. (8 баллов) 3. Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a17 52, a30. 13?

. (8 баллов) 3. Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a17 52, a30. 13? Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» осень г Вариант Двое рабочих одновременно приступили к изготовлению одинаковых

Подробнее

11 класс 6 = По известной формуле сумма первых шести членов данной геометрической прогрессии равна

11 класс 6 = По известной формуле сумма первых шести членов данной геометрической прогрессии равна 11 класс 111 Даны арифметическая и геометрическая прогрессии В арифметической прогрессии первый член равен 6, разность равна В геометрической прогрессии первый член равен, знаменатель равен Выяснить, что

Подробнее

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1 Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

Подробнее

Материалы заданий отборочного этапа олимпиады школьников «Ломоносов» по математике за 2013/2014 учебный год

Материалы заданий отборочного этапа олимпиады школьников «Ломоносов» по математике за 2013/2014 учебный год Материалы заданий отборочного этапа олимпиады школьников «Ломоносов» по математике за 03/04 учебный год Тур Участник олимпиады получал две разминочные задачи (каждая оценивалась в балл) и десять задач

Подробнее

Ответы к заданиям части 1. задания Ответ В1 5 В2 3 В3 28 В В5 592 В6 14 В7 2 В8 7 В9 2 В10 0, 4 В11 58 В12 45 В13 14 В14 27

Ответы к заданиям части 1. задания Ответ В1 5 В2 3 В3 28 В В5 592 В6 14 В7 2 В8 7 В9 2 В10 0, 4 В11 58 В12 45 В13 14 В14 27 Ответы к заданиям части 1 задания Ответ В1 5 В В 8 В4 90 В5 59 В6 14 В В8 В9 В10 0, 4 В11 58 В1 45 В1 14 В14 Ответы к заданиям части МАТЕМАТИКА, 11 класс (01 - - 1 / ) задания Ответ С1 π а) x = + πk, k

Подробнее

Решите уравнение. 2cosx 1 = 0 Решение: Левая часть имеет смысл при 2cosx 1 > 0, то есть при. C1 sinx sin2x. Решим уравнение sinx sin2x = 0.

Решите уравнение. 2cosx 1 = 0 Решение: Левая часть имеет смысл при 2cosx 1 > 0, то есть при. C1 sinx sin2x. Решим уравнение sinx sin2x = 0. Математика. класс. Вариант 5-7--5 (без производной) Математика. класс. Вариант 5-7--5 (без производной) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C sinx sinx Решите уравнение. cosx = Левая часть

Подробнее

Решения задач районного тура олимпиады Юношеской Математической Школы 11 класс

Решения задач районного тура олимпиады Юношеской Математической Школы 11 класс Решения задач районного тура олимпиады Юношеской Математической Школы 11 класс Сюжет 1 Задача 1 Вася может придумать такие числа, которые в сумме будут давать 0 (например, сто единиц и 100). Единица является

Подробнее

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями)

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями) ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 1/11 учебного года, 11 класс (с решениями) Задача 1 (1 балл) Найти наибольшее число, принадлежащее области определения функции Решение 1 способ Область определения функции задается

Подробнее

Межрегиональная научная универсиада по математике (г. Елабуга, 27 января 2012 г.)

Межрегиональная научная универсиада по математике (г. Елабуга, 27 января 2012 г.) Межрегиональная научная универсиада по математике г. Елабуга, 7 января 01 г.) Задачи для 9 класса 1. Доказать, что если α и β острые углы и α < β, то tg α α < tg β β.. Пароход от Казани до Астрахани идёт

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. сторона основания равна 11, а боковое ребро AA. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1 B1C 1D 1

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. сторона основания равна 11, а боковое ребро AA. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1 B1C 1D 1 C Математика. класс. Вариант МА-5 (без производной) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение = cos x. 5π б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ; π. а)

Подробнее

n n a a Формулы n n n a a b

n n a a Формулы n n n a a b Алгебра Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы ( + = + + Квадрат разности ( - = - + Разность квадратов = ( + ( Куб суммы ( + = + + + Куб разности ( - = - + - Сумма кубов + = ( + ( - + Разность кубов

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

Олимпиада «Паруса надежды» Вариант 1.

Олимпиада «Паруса надежды» Вариант 1. Олимпиада «Паруса надежды» Вариант.. Сумма делителей чисел,0 и соответственно равна 8,0,. А тогда сумма делителей числа 6 равна. Следовательно Ответ:.. Сделав замену 98 a, 99 a b 99 98 b. Получим систему,

Подробнее

Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными. Добрый день, ребята!

Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными. Добрый день, ребята! Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными Добрый день, ребята! На прошлом уроке мы повторили темы, изученные в 6 классе. Вспомнили, как выполнять действия с обыкновенными и

Подробнее

Заключительный этап академического соревнования. Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» в 2015 г.

Заключительный этап академического соревнования. Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» в 2015 г. Заключительный этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» в 05 г Вариант Одновременно из пункта A в пункт B отправляется автомобиль

Подробнее

Лекция 27 Глава 3. Системы линейных неравенств 3.1. Основные понятия

Лекция 27 Глава 3. Системы линейных неравенств 3.1. Основные понятия Лекция 7 Глава. Системы линейных неравенств.. Основные понятия Системы линейных неравенств применяются для решения различных математических задач. Системой линейных неравенств из с неизвестными система

Подробнее

. (8 баллов) x x x. cos 1 cos 2 2sin

. (8 баллов) x x x. cos 1 cos 2 2sin Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» осень 06 г. Вариант. Из пункта А в пункт В вышел один пешеход и с некоторым

Подробнее

y являются длинами сторон некоторого треугольника. Постройте фигуру M и найдите её

y являются длинами сторон некоторого треугольника. Постройте фигуру M и найдите её Первый (заочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по общеобразовательному предмету «Математика», осень 016 г. 9 КЛАСС и 9 1. Вычислите 50 19 7 (15 баллов). Пусть M

Подробнее

ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ ШКОЛЬНЫЙ ТУР РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ ШКОЛЬНЫЙ ТУР РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 04-05 ШКОЛЬНЫЙ ТУР РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ Время, отводимое на решение задач: 5-8 классы 60 минут 9- классы 90 минут Министерством

Подробнее

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1.

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1. 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Известно, что tg + tg = p, ctg + ctg = q. Найдите tg( + ). pq Ответ: tg. q p Из условия p tg q tg tg tg tg p и равенства ctg ctg q, получим, что

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

х, если известно, что количество

х, если известно, что количество Первый (заочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по общеобразовательному предмету «Математика», осень 2016 г. 8 КЛАСС ( ) 1. Решите неравенство ( х) правых скобок

Подробнее

Минимаксные задачи в тригонометрии

Минимаксные задачи в тригонометрии И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Минимаксные задачи в тригонометрии В настоящем листке рассматриваются уравнения, для решения которых используются оценки правой и левой частей. Чтобы стало

Подробнее

Блок 6. Площади и периметры

Блок 6. Площади и периметры Блок 6. Площади и периметры Задания интернет-карусели 1. Второклассник Виктор в качестве домашнего задания по математике должен был нарисовать прямоугольник. Ему нужно найти число A его периметр (в сантиметрах).

Подробнее

A K B SM высота равнобедренного треугольника SCB.

A K B SM высота равнобедренного треугольника SCB. МАТЕМАТИКА (7 1/8) C1 π а) Решите уравнение cos + x = sin x. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 5π; π. [ ] 3π 19π Ответ: а) x = πn, n ; x =± + πn, n ; б) 5π ; ; π. π а) cos

Подробнее

ID_348 1/9 neznaika.pro

ID_348 1/9 neznaika.pro Вариант 6 Математика Профильный уровень Часть 1 Ответом на задания 1 1 должно быть целое число или десятичная дробь. 1 На день рождения полагается дарить букет из нечётного числа цветов. Астры стоят рублей

Подробнее

Решите уравнение. 2cosx 1 = 0 Решение: Левая часть имеет смысл при 2cosx 1 > 0, то есть при. C1 sinx sin2x. Решим уравнение sinx sin2x = 0.

Решите уравнение. 2cosx 1 = 0 Решение: Левая часть имеет смысл при 2cosx 1 > 0, то есть при. C1 sinx sin2x. Решим уравнение sinx sin2x = 0. Математика. класс. Вариант --9- (без логарифмов) Математика. класс. Вариант --9- (без логарифмов) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C sinx sinx Решите уравнение. cosx = Левая часть имеет

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2003 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2003 год. Часть A Единый государственный экзамен по математике, 00 год Часть A A. Упростите выражение cos α+ sin α cos α. sin α.. tg α. sin α ctg α. Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, получаем: Правильный

Подробнее

1. В прямой треугольной призме стороны основания равны 12 см, 17 см,

1. В прямой треугольной призме стороны основания равны 12 см, 17 см, Тест по теме 62 «Сечения многогранников» 1. В прямой треугольной призме стороны основания равны 12 см, 17 см, 21 см. Высота призмы 18 см. Найти площадь сечения проведенного через боковое ребро и меньшую

Подробнее

S + 15 k + 1 S k = 2, S k + 1 S + 16

S + 15 k + 1 S k = 2, S k + 1 S + 16 Олимпиада «Курчатов» 2017 по математике 11 класс, 19 марта 2017 г. + Полное решение любой задачи оценивается в 7 баллов. 1. На доске было выписано несколько чисел, их среднее арифметическое было равно

Подробнее

Решите систему неравенств. Ответ: 4. x > 1 получаем: , откуда x 4 2 или x x 8x

Решите систему неравенств. Ответ: 4. x > 1 получаем: , откуда x 4 2 или x x 8x МАТЕМАТИКА (5 /8) C 3π а) Решите уравнение cos x = 3sin x. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку π 3; π. [ ] 5π 7π Ответ: а) x = π n, n Z; x = ± + π n, n ; б) 3π ; ; π. 3π а) cos

Подробнее

ЕГЭ по математике. Вариант 18

ЕГЭ по математике. Вариант 18 ЕГЭ по математике. Вариант 18 Вопрос 1 1 Найдите значение выражения (2,8 0,2) 2,5. Вопрос 2 2 8 2 5 2 Найдите значение выражения. 10 2 5 Вопрос 3 3 На благотворительной ярмарке было собрано 12 500 рублей,

Подробнее

Ответ: 4. Следовательно. Ответ: 3

Ответ: 4. Следовательно. Ответ: 3 А Какую теорему знают даже двоечники? Правильно! Теорему Пифагора На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой

Подробнее

DF 2 = DM 2 + FM 2 2DM FM cosα = BD 2 + BF 2 2BD BFcos60. выше

DF 2 = DM 2 + FM 2 2DM FM cosα = BD 2 + BF 2 2BD BFcos60. выше Математика. класс. Вариант --5-7 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C (sinx )(cos x+) Решите уравнение =. tgx Левая часть уравнения имеет смысл при tgx >. Приравняем числитель к нулю: (sinx

Подробнее

àñòü 1 1. Âû èñëèòü: ( Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óìåíüøèòñÿ îáüåì ïèðàìèäû, åñëè óìåíüøèòü ïëîùàäü åå îñíîâàíèÿ íà 20%?

àñòü 1 1. Âû èñëèòü: ( Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óìåíüøèòñÿ îáüåì ïèðàìèäû, åñëè óìåíüøèòü ïëîùàäü åå îñíîâàíèÿ íà 20%? . Âû èñëèòü: ( 9 5 + 7 ) 5 + ( 3 + 7 6 ) 5. àñòü. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óìåíüøèòñÿ îáüåì ïèðàìèäû, åñëè óìåíüøèòü ïëîùàäü åå îñíîâàíèÿ íà %? 5. 3. Îïðåäåëèòü èñëî n ëåíîâ àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè, åñëè

Подробнее

Модуль величины Занятие 1

Модуль величины Занятие 1 2013 Модуль величины Занятие 1 Захаров В.С. Екатеринбург 01.09.2013 Введение. Не секрет, что одной из самых сложных для понимания тем школьного курса математики является «модуль величины» Чтобы лучше освоить

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 8 6 6,5 Решение Используя свойства степени получаем: 8

Подробнее

Сборник олимпиадных задач по математике за уч. год 11 класс

Сборник олимпиадных задач по математике за уч. год 11 класс Сборник олимпиадных задач по математике за 013-016 уч. год Школьный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 013-014 учебный год 1. Постройте график функции : y= +.. В последовательности квадратных

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г. В. Плеханова (технический университет) типовые задания олимпиад 2004 и последующие года

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г. В. Плеханова (технический университет) типовые задания олимпиад 2004 и последующие года типовые задания олимпиад 004 и последующие года Упростите выражение (при p> q) Билет Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru q pq pq q p q p pq+ q + + p+ q p q q p + q Найдите интервалы

Подробнее

ID_348 1/7 neznaika.pro

ID_348 1/7 neznaika.pro Вариант 6 Математика Профильный уровень Часть 1 Ответом на задания 1 12 должно быть целое число или десятичная дробь. 1 На день рождения полагается дарить букет из нечётного числа цветов. Астры стоят 25

Подробнее

ОММО решения для жюри общие критерии

ОММО решения для жюри общие критерии ОММО 01.0.015 решения для жюри общие критерии Общие критерии оценивания По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания): «+» задача решена

Подробнее

«ЦЕНТР РАЗВИТИЯ «ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЙ ДАГЕСТАН»

«ЦЕНТР РАЗВИТИЯ «ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЙ ДАГЕСТАН» «ЦЕНТР РАЗВИТИЯ «ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЙ ДАГЕСТАН» http://www.int-dag.ru E-mail: info@int-dag.ru I открытая республиканская математическая олимпиада школьников (10 класс) Задания финального очного тура, 29.04.2017

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/9 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 9-1 Каждый член партии доверяет пяти однопартийцам, но никакие двое

Подробнее

2.7. Заключительный тур олимпиады «Росатом», 11 класс (Москва)

2.7. Заключительный тур олимпиады «Росатом», 11 класс (Москва) 7 Заключительный тур олимпиады «Росатом», класс (Москва) Найти наибольшее значение выражения y для ; y, удовлетворяющих уравнению 4 9 y Найти все решения ; y уравнения si ( y ) o s y 0, лежащие на прямой

Подробнее

0,3. а) 0,49 б)1,3 в) 0,13 г) 1

0,3. а) 0,49 б)1,3 в) 0,13 г) 1 Задача 1 0,3 5 а) 0,49 б)1,3 в) 0,13 г) 1 Задача Чему равно a 1 a, если 1 a 100? a а) 9998 б) 9999 в) 10000 г) 10001 3 Задача 3 Во сколько раз наименьшее общее кратное чисел 4 и 36 больше их наибольшего

Подробнее

Часть 1. Единый государственный экзамен, 2015 г. Математика, 11 класс Тренировочный вариант 84

Часть 1. Единый государственный экзамен, 2015 г. Математика, 11 класс Тренировочный вариант 84 Ответом к заданиям 1-14 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ 1 справа от номера соответствующего задания,

Подробнее

. Значит, одно из чисел делится на 101. Рассмотрим два случая.. Первый множитель делится ( ) ( ) ( )

. Значит, одно из чисел делится на 101. Рассмотрим два случая.. Первый множитель делится ( ) ( ) ( ) Физтех 0, 0 класс, решения билета Известно, что sin x = cos y sin y, cos x = sin y cos y Найдите sin y 7 Ответ sin y = 0 Решение Возводя оба равенства в квадрат и складывая их почленно, получаем = 0 sin

Подробнее

Вариант 1. x x = 9. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Вариант 1. x x = 9. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Вариант 1 1 81 1. а) Решите уравнение ( ) cos sin = 9. π π;.. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 0, а боковое ребро SA равно 7. Точки M и N середины рёбер SA и SB соответственно.

Подробнее

Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности. Куб 1. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ. 2. 3. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится

Подробнее

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L.

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L. Прямая на плоскости Общее уравнение прямой. Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии. Определение. Уравнение вида F(x,y)=0 (1) называется уравнением линии L

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Уравнение касательной Рассмотрим следующую задачу: требуется составить уравнение касательной l, проведенной к графику функции в точке Согласно геометрическому смыслу производной

Подробнее

Математика 6 класс. Тема 1. Делимость чисел.

Математика 6 класс. Тема 1. Делимость чисел. Математика 6 класс Тема. Делимость чисел. Основные понятия. Делитель натурального числа а натуральное число, на которое а делится без остатка. Например, ; 2; 5; 0 делители числа 0. Число 3 является делителем

Подробнее

Решение. Пусть BD = 2x и BED = α. Тогда AD = 4x и C = 2α. Через вершину C проведём прямую, параллельную DE. C. M 4x

Решение. Пусть BD = 2x и BED = α. Тогда AD = 4x и C = 2α. Через вершину C проведём прямую, параллельную DE. C. M 4x ДЕСЯТАЯ открытая Краевая олимпиада школьников по геометрии им. проф. С.А. Анищенко ОЧНЫЙ ТУР, 11 КЛАСС РЕШЕНИЯ Задача 1. На сторона АВ и ВС треугольника АВС взяты точки и Е соответственно, причем / = E/E

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/10 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 10-1 В компании из 6 человек некоторые компаниями по трое ходили

Подробнее

Задачи в одно действие с целыми числами (формальные) стр

Задачи в одно действие с целыми числами (формальные) стр Задачи в одно действие с целыми числами (формальные) стр. 1 06.09.2012 1) Решить неравенство: x 7 17. 2) Умножить 612 на 100000. 3) Чему равна разность чисел 661 и 752? 4) Сравнить выражения: 54 6 и 7.

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Брянский государственный университет имени академика И.Г.Петровского Брянская корпоративная региональная олимпиада учащейся молодежи

Брянский государственный университет имени академика И.Г.Петровского Брянская корпоративная региональная олимпиада учащейся молодежи Брянский государственный университет имени академика ИГПетровского Брянская корпоративная региональная олимпиада учащейся молодежи Математика Очный тур 016 г 11 класс 1 Найти целые неотрицательные числа

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования. «Гомельский государственный университет. Имени Франциска Скорины»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования. «Гомельский государственный университет. Имени Франциска Скорины» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет Имени Франциска Скорины» ВПЛЕМЕШЕВ, ЮВКОЗЛОВА МАТЕМАТИКА методическое указания по выполнению

Подробнее

Методические указания по Отраслевой олимпиаде школьников «Газпром», профиль математика.

Методические указания по Отраслевой олимпиаде школьников «Газпром», профиль математика. Методические указания по Отраслевой олимпиаде школьников «Газпром», профиль математика Учебное пособие для подготовки к олимпиаде Под редакцией Санкт-Петербургского горного университета МАТЕМАТИКА Очный

Подробнее

Пример решения варианта контрольной работы 1.

Пример решения варианта контрольной работы 1. Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя: ) Если в определителе все элементы какой-либо

Подробнее

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ ВВЕДЕНИЕ Программа по математике для поступающих в ГО ВПО «ДонНУЭТ имени Михаила Туган-Барановского» отвечает Программе среднего общего образования по математике для поступающих в высшие учебные заведения

Подробнее

Международная ЕГЭ-Олимпиада. Математика

Международная ЕГЭ-Олимпиада. Математика Международная ЕГЭ-Олимпиада Математика Задания олимпиады 2015-2016 учебного года 1 Международная ЕГЭ-Олимпиада Математика Международная ЕГЭ-олимпиада Математика проводится Центром «Снейл» с 2010-2011 учебного

Подробнее

Вступительный тест по математике в 10 физ-мат, мат-эк и мат-инф классы СУНЦ УрФУ 2014 год. Решения и ответы. Вариант 1. Часть B

Вступительный тест по математике в 10 физ-мат, мат-эк и мат-инф классы СУНЦ УрФУ 2014 год. Решения и ответы. Вариант 1. Часть B Вступительный тест по математике в 10 физ-мат, мат-эк и мат-инф классы СУНЦ УрФУ 014 год Решения и ответы Вариант 1 Часть B B1. Найдите область определения функции x +1 x 9. Решение: Функция определена,

Подробнее

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2012 года по математике

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2012 года по математике Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Проект Демонстрационный вариант ЕГЭ г. МАТЕМАТИКА, класс. ( - / 9) Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ года

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ РЕАЛЬНОГО ВАРИАНТА ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ РЕАЛЬНОГО ВАРИАНТА ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ РЕАЛЬНОГО ВАРИАНТА ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Часть 1 Модуль «Алгебра» 1 Найдите значение выражения Решение. Умножим и числитель и знаменатель дроби на 10: Ответ: 5. 2 Между какими числами заключено

Подробнее

Олимпиадные задачи муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике ( уч. год), 5 класс 5.1. В примере на сложение

Олимпиадные задачи муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике ( уч. год), 5 класс 5.1. В примере на сложение по математике (2016-2017 уч. год), 5 класс 5.1. В примере на сложение цифры заменили буквами: одинаковые одинаковыми, разные разными. Получилось АБББ + А = ВГГГ. Восстановите пример. 5.2. Две тетради стоят

Подробнее

Резка и шлифовка (руб. за одно стекло) А Б В

Резка и шлифовка (руб. за одно стекло) А Б В Часть Ответом к каждому заданию является конечная десятичная дробь, целое число или последовательность цифр. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы. Шоколадка стоит 5 рублей. В воскресенье

Подробнее

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой.

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой. РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВАРИАНТА 0 Напомним, что на проверку сдаются решения заданий только из части Решения заданий частей и выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют При выполнении заданий части

Подробнее

Диагностическая работа 1 по МАТЕМАТИКЕ

Диагностическая работа 1 по МАТЕМАТИКЕ Диагностическая работа 1 по МАТЕМАТИКЕ 27 сентября 2011 года 11 класс Математика. 11 класс. Вариант 9 (без логарифмов) 2 Часть 1 B1 В летнем лагере 245 детей и 29 воспитателей. В автобус помещается не

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2005 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2005 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 5 год демонстрационная версия Часть A Вычислите 5 8 9 5 6 6 6 Решение Воспользуемся формулой ( a ) = a : Правильный ответ: A Упростите выражение 5b 5b 5 8

Подробнее

Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми И. В. Яковлев Материалы по математике thus.ru Угол между скрещивающимися прямыми Скрещивающиеся прямые не пересекаются. Можно ли в таком случае говорить об угле между ними? Оказывается, можно. Угол между

Подробнее

Дистанционный этап олимпиады Физтех класс. Решения задач

Дистанционный этап олимпиады Физтех класс. Решения задач Дистанционный этап олимпиады Физтех-0 9 класс. Решения задач. Находясь в гостях у Кролика, Винни-Пух за первый час съел 40% всего запаса меда Кролика, а Пятачок и Кролик вместе за это же время съели лишь

Подробнее

b и c b находится в интервале ( 0,9; 0,8). В b Решение. Запишем заданные условия в виде неравенств: 0,9 a b

b и c b находится в интервале ( 0,9; 0,8). В b Решение. Запишем заданные условия в виде неравенств: 0,9 a b 9 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов).. Известно, что значения выражений a и c находится в интервале ( 0,9; 0,8). В каком интервале лежат значения выражения a c? Ответ: в интервале 8 9 ;.

Подробнее

π 7π Решение. Рассмотрим треугольную пирамиду MDAC Тогда Ответ: ρ=. выше

π 7π Решение. Рассмотрим треугольную пирамиду MDAC Тогда Ответ: ρ=. выше Математика. класс. Вариант 7 (без производной) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C x x x x а) Решите уравнение sin x + cos sin cos + sin =. 5 б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

3. Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов арифметической

3. Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов арифметической Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика», осень 0 г Вариант 5 Партию обуви, купленную за 80 тыс рублей, в первую

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/7 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 11-1 В компании из 6 человек некоторые компаниями по трое ходили

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

Вариант Ответ:.

Вариант Ответ:. Вариант 143 Ответом на задания В1 В10 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую

Подробнее

ЕГЭ по математике. Вариант 3

ЕГЭ по математике. Вариант 3 ЕГЭ по математике. Вариант 3 Вопрос 1 Найдите значение выражения (1, 1 2 0,31) 0,3. 1 Вопрос 2 22 7 11 7 Найдите значение выражения. (2 4 ) 2 2 Вопрос 3 20 13 В первой четверти Андрей получил пятерок по

Подробнее

Математика. 11 класс. Вариант МА Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Математика. 11 класс. Вариант МА Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Математика. класс. Вариант МА0609 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение log (sin ) log (sin ) 0. cos б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку π ;π. а)

Подробнее

7 класс Решение г. Задание 4. Задача 1. Решение

7 класс Решение г. Задание 4. Задача 1. Решение 7 класс 060-07 г. Задание 4 Задача Число единиц двузначного числа в раза меньше числа десятков. Если цифры этого числа переставить, то полученное число будет меньше данного на 6. Найдите данное число.

Подробнее

[ ] x 2x. МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» 2 тур, 9 класс, 15 февраля 2015 года ВАРИАНТ 1

[ ] x 2x. МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» 2 тур, 9 класс, 15 февраля 2015 года ВАРИАНТ 1 МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» тур, 9 класс, 15 февраля 015 года ВАРИАНТ 1 1. Десятичная запись натурального числа N содержит 1580 цифр. Среди этих цифр есть тройки, пятёрки

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Программа вступительного испытания на бакалавриат/специалитет по дисциплине «Математика» в ФГБОУ ВО «СГУ имени Н.Г. Чернышевского»

Программа вступительного испытания на бакалавриат/специалитет по дисциплине «Математика» в ФГБОУ ВО «СГУ имени Н.Г. Чернышевского» Министерство образования и науки Российской Федерации САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО Программа вступительного испытания на бакалавриат/специалитет

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

Задачи на производную.

Задачи на производную. Повышение качества преподавания математики в контексте анализа результатов мониторинговых исследований 2016 года и использования в образовательном процессе их результатов По результатам срезов знаний и

Подробнее

а) 6 Какую цифру нужно вставить вместо делении на 9 в остатке давало 3? чтобы полученное число при в) 5 б) 3 г) 7 больше числа b. Во сколько раз число

а) 6 Какую цифру нужно вставить вместо делении на 9 в остатке давало 3? чтобы полученное число при в) 5 б) 3 г) 7 больше числа b. Во сколько раз число 4 4 Задача 1 3 5 :1 4 а) 6 б) 3 4 в) 1 6 г) 3 8 Задача Какую цифру нужно вставить вместо делении на 9 в остатке давало 3? в записи354 67 чтобы полученное число при а) б) 3 в) 5 г) 7 Задача 3 Число a на

Подробнее

Автономная некоммерческая организация высшего образования Российский новый университет (АНО ВО РосНОУ)

Автономная некоммерческая организация высшего образования Российский новый университет (АНО ВО РосНОУ) Автономная некоммерческая организация высшего образования Российский новый университет (АНО ВО РосНОУ) "Утверждаю" ректор АНО ВО РосНОУ В.А. Зернов " " 2016г. Программа вступительного испытания по математике

Подробнее

Ответы (8 класс) v 2 t 2

Ответы (8 класс) v 2 t 2 Ответы (4класс) 1. Поставь между цифрами один или несколько знаков арифметических действий и скобки так, чтобы получились верные равенства. Расставь порядок выполнения действий: а) (7 7+ 7): 7 = 12 е)

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет, 1984 год математико-механический факультет. Вариант 1

Санкт-Петербургский государственный университет, 1984 год математико-механический факультет. Вариант 1 Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru Санкт-Петербургский государственный университет, 1984 год математико-механический факультет Вариант 1 1. На промежутке (1; 10] определите

Подробнее