Трехмерная реконструкция

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Трехмерная реконструкция"

Транскрипт

1 Трехмерная реконструкция по одному изображению Антон Конушин, Вадим Конушин, Ольга Баринова, Александр Велижев Антон Якубенко Курс «Введение в компьютерное зрение» МГУ ВМК, Graphics & Media Lab Весна 2010

2 3D реконструкция по одному изображению 2D 3D

3 Мотивация Непосредственное использование 3D Виртуальные прогулки по фотографиям Навигация Измерения

4 Виртуальные прогулки по фотографиям

5 Мотивация Непосредственное использование 3D Recognition & Reconstruction Использование 3D для помощи алгоритмам распознавания

6 Recognition & Reconstruction Объекты Положение камеры 3D поверхности

7 Мотивация Непосредственное использование 3D Recognition & Reconstruction Прогресс в понимании зрения Стерео требует значительного параллакса для определения глубины не всегда возможно

8 3D реконструкция по одному изображению Нужно построить 3-х мерную модель по одной проекции на плоскость Существует у множество возможных решений В общем виде неразрешимо

9 Реальный мир vs. Абстрактный мир Абстрактный хаотический мир Наш мир упорядоченный и структурированный

10 Трехмерная форма по изображениям Как мы определяем форму объектов? Какими предположениями о структуре мира и моделях его объектов мы пользуемся? Какими подсказками на изображении мы пользуемся?

11 Первая работа Л.Дж. Робертс 1960 г: L. G. Roberts, Machine Perception of Three Dimensional Solids, Ph.D. thesis, MIT Department of Electrical Engineering, 1963.

12 Ранние работы [Guzman 1968] [Ohta & Kanade 1978] Guzman (SEE), 1968 Brooks (ACRONYM), 1979 Hansen & Riseman Marr, 1982 (VISIONS), 1978 Ohta & Kanade, ade, 1978 Barrow & Tenenbaum 1978 Yakimovsky & Feldman, 1973

13 Tour Into the Picture (Horry, SIGGRAPH 1997) Пользователь задает прямоугольником проекцию задней плоскости сцены Пользователь задает одну точку схода

14 TIP: Моделирование объектов Модель сцены Спрайты Выделенные объекты Глубина спрайтов определяется по положению на земле

15 TIP: Реконструкция текстуры Текстура, скрытая дополнительными объектами должна быть реконструирована ру р В простейшем случае с помощью cloning brush

16 TIP: Результат Сцена с другой точки зрения

17 TIP: Измерение на плоскости

18 Пространственные подсказки Прямоугольные вертикальные стены Параллельные прямые Плоскость земли Расположение объекта на земле Как находить и использовать эти подсказки?

19 Точки схода

20 Точки схода Проекция точки в бесконечности Плоскость изображения Точка схода Центр Проекции Плоскость изображения Поверхность земли Точка схода Центр Проекции Линия на поверхности земли

21 Точки схода Точка на изображении, где пересекаются проекции параллельных в пространстве прямых Плоскость изображения Точка схода V Центр Проекции C Линия на поверхности земли Линия на поверхности земли

22 Свойства точек схода Плоскость изображения Точка схода V Центр Проекции C Линия на поверхности земли Линия на поверхности земли Луч из центра проекции C проходящий через точку схода v параллелен линиям Лежат в одной плоскости Не пересекаются с У всех параллельных линий одна и та же точка схода v На изображении может быть сколько угодно точек схода Каждый пиксель может быть точкой схода

23 Вычисление точек схода V D P P t + = 0 P 0 D = / / / Y X Y Y X X Y Y X X t D D t D t P D t P td P td P P P / / 1 Z Z Z Z Z t D t D t P td P Свойства P - точка в бесконечности, v ее проекция Они зависят от направления прямой = ΠP v Они зависят от направления прямой Все параллельные линии P 0 + td, P 1 + td пересекаются в P

24 Вычисление точек схода Поиск прямых отрезков / линий на изображении Группировка линий Вычисление точки схода для группы линий

25 Исчезающая линия (vanishing line) v 1 v 2 Множество точек схода Каждый пучок параллельных прямых на плоскости определяет свою точку схода Совокупность таких точек схода называется исчезающей линией или линией схода Для горизонтальной плоскости - линия горизонта Различные плоскости определяют различные исчезающие линии

26 Вычисление линии горизонта У параллельных линий одна точка схода v 1 v 2 Линии не обязательно должны лежать на плоскости земли

27 Вычисление линии горизонта Точка схода Горизонт Точка схода Каждый пучок горизонтальных параллельных прямых дает точку схода Двух точек схода достаточно для определения линии горизонта

28 Использование расположения на земле Плоскость изображения Центр Проекции Высота Камеры Исходные данные Исходное изображение Поверхность земли Нижняя точка здания Поверхность земли Пересечение луча из ЦП проходящего через выделенную точку здания с плоскостью земли определяет его положение на земле

29 Высота камеры Плоскость изображения Центр Проекции Высота Камеры Поверхность земли Высота камеры задает масштаб реконструируемой сцены Известная высота камеры позволяет вычислять истинные расстояния и размеры объектов Может быть задана как высота человека или штатива

30 Внутренняя калибровка K = f pix 0 f / pix 0 0 c / x 0 cy 1 Внутренняя калибровка! c принципиальная точка Положение задается в пикселях Можно поместить в центр изображения (width/2, height/2) pix размер пикселя Разрешение + размер матрицы f фокусное расстояние EXIF в JPEG v u y c x

31 Single View Metrology (Criminisi et al., ICCV 1999) Измерения между параллельными линиями Измерения между параллельными плоскостями Определение позиции камеры

32 Image-based modeling and photo-editing (Oh et al., SIGGRAPH 2001)

33 Разделение на слои Выделенные вручную слои Текстура в скрытых областях реконструирована с помощью cloning brush

34 Карта глубины Матрица, в каждой ячейке которой записано расстояние от центра проекции до поверхности объекта Описывает только одну д у сторону поверхности модели!

35 Моделирование глубины Слои Карта глубины. Для каждого слоя своя карты глубины и все они позиционируются друг относительно друга

36 Расположение на земле Плоскость земли Соответствующая карта глубины

37 Моделирование основных слоев Нижняя линия слоя на поверхности земли определяет положение и ориентацию слоя

38 Моделирование основных слоев Выделенная пользователем линия Результат

39 Модификация глубины вручную Пользователь вручную специальной кисточкой сдвигает точки ближе/дальше по направлению зрения Есть набор предопределенных форм шар, цилиндр, плоскость и т.д.

40 Моделирование сложных фигур Предположения: объект «выпуклый» Края наиболее удалены Ближе к центру ближе к камере Генерация соответствующей карты глубины

41 Моделирование лица Параметрическая модель лица Ручное сопоставление ключевых точек Расчет параметров, ориентации и положения модели Текстурирование

42 Геометрия сцены Грубая, первоначальная модель Модель после уточнения

43 Результат Финальная модель с другой точки зрения

44 Время моделирования Сегментация сцены на слои Реконструкция невидимых частей текстуры с помощью Cloning Brush 10 часов на примере (52 слоя) Моделирование глубины 3 часа Слишком долго!

45 Google SketchUp

46 Google SketchUp

47 RealViz Vtour (ныне Autodesk ImageModeler)

48 Другие модели обобщенные цилиндры

49 Single View Modeling of Free-Form Scenes (Zhang, CVPR 2001) Задание более сложных ограничений Алгоритм: Поиск модели, удовлетворяющей ограничениям, путем итерационной минимизации функционала Адаптивное разбиение е полигональной о ой сетки

50 Типы ограничений

51 Примеры

52 Примеры

53 Automatic Photo Pop-Up (SIGGRAPH 2005)

54 Схема Auto-Popup Вход Сегментация Стены Модель Земля относительно земли Изображение Стены Обучение Небо

55 Машинное обучение по подсказкам Цвет Текстура Положение Перспективные подсказки

56 Машинное обучение по подсказкам

57 Автоматическая сегментация Патч 50x50 Патч 50x50 Цвет Текстура Перспектива Цвет Текстура Перспектива

58 Автоматическая сегментация Суперпиксели Много оопересегментаций е

59 Результат сегментации Исходное изображение Сегментированное изображение Земля зеленый Стены красный Небо - синий

60 Подсказка: размещение на земле Вычисление границ между «стенами» и «землей» Границы приближаются прямыми линиями Поиск прямых с помощью преобразования Хафа

61 Подсказка: размещение на земле Отдельные сегменты соединяются в ломаные Объединяются отрезки, пересекающиеся под малыми углами Убираются небольшие пересекающиеся ломаные Вычисляется линия горизонта

62 Моделирование «стен» Определение положения и ориентации каждого полигона по нижней ломаной линии Поиск верхней границы «стены» и «неба» «Обрезание» по верхней границе каждого полигона

63 Финальная модель

64 Примеры построенных моделей Входные изображения Автоматическая реконструкция

65 Примеры построенных моделей Входные изображения Автоматическая реконструкция

66 Совместные проекты лаборатории Samsung Advanced Institute of Technology (PIA 2007, ECCV 2008) Построение 3D городской сцены по одному изображению Microsoft Research (ECCV 2010, CVPR 2010) Автоматический поиск точек схода на изображениях

67 Модель объектов Стены плоские и вертикальные Набор вертикальных прямоугольников

68 Использование расположения на земле На изображении выделяется нижняя граница объекта Каждая точка на границе определят точку на плоскости земли Нижняя линия слоя на поверхности земли определяет положение и ориентацию слоя

69 Модель сцены

70 Проект GML + SAIT

71 Проект GML + SAIT

72 Автоматическое определение точек схода

73 Автоматическое определение точек схода

74 Make 3D (ICCV 2007) Цель: восстановление карты глубины Карта глубины приближается сеткой, в узлах которой стоят сегменты изображения Параметры глубины и наклона плоскостей Границы объектов и перегибы Признаки изображения

75 Make 3D (ICCV 2007) Используется глобальная модель Марковское поле Модель настраивается на данных с лазерного сканера

76 Make 3D (ICCV 2007)

77 Make 3D (ICCV 2007)

78 Make 3D (ICCV 2007)

79 Make 3D (ICCV 2007)

80 Make 3D (ICCV 2007)

81 Взаимосвязь с распознаванием

82 Локальный детектор объектов True Detectio n Fl False Detectio ns Misse d True Detection s Misse d Local Detector: [Dalal-Triggs 2005]

83 Взаимосвязи между объектами Hock, Romanski, Galie, & Williams 1978 Biederman s Relations among Objects in a Well-Formed Scene (1981): Поддержка (основание) Размер Позиция Взаимное расположение Вероятность появления

84 Основание

85 Взаимосвязи Объекты Положение камеры 3D поверхности

86 Взаимосвязи Изображение P(поверхности) р P(точка зрения) ) P(объект) P(объект поверхности) P(объект точка зрения)

87 Взаимосвязи Изображение P(поверхности) р P(точка зрения) ) P(объект) P(object поверхности, точка зрения)

88 Перекрытия Изображение Пересегментация е Подсказки перекрытий р Обучение Совместная кластеризация Следующая сегментация P(перекрытия)

89 Перекрытия Изображение Пересегментация е Подсказки перекрытий р Обучение Совместная кластеризация Следующая сегментация P(перекрытия)

90 Замыкая круг Поверхности Глубина, границы Поверхности Перекрытия Размеры объектов Объекты и точка зрения

91 Поверхности Объекты Поверхности Обнаружение объектов Основание Обнаруженные объекты Поверхности Определяет тип поверхности + Обнаруженная машина Неверная разметка машины, как основания Улучшение разметки машины

92 Поверхности Перекрытия Поверхности Границы перекрытий Вероятны перекрытия вдоль границ поверхностей Нужны для оценки глубины Границы перекрытий Поверхности Улучшают сегментацию Помогают определить ориентацию поверхностей + Найденные границы перекрытий Часть поля помечена как вертикальная плоскость Исправление ошибки

93 Объекты Перекрытия Обнаруженные объекты Границы перекрытий Границы внутри объектов вряд ли перекрытия Границы между объектами вероятно перекрытия Границы перекрытий Обнаружение объектов Обнаруженные объекты должны иметь соответствующие границ + Обнаруженная машина Пропущен часть области перекрытия машиной Правильно восстановленное перекрытие машиной

94 Общая схема методов Выбор модели (сильное ограничение) ) Оценка параметров модели Использование подсказок признаки участков изображения Машинное обучение с учителем Интеграция распознавания Учет перекрытий

95 Проблемы Выбор и формализация модели Выбор и формализация подсказок (признаков) р Извлечение признаков Учет взаимосвязи с распознаванием Точность Автоматизация Очистка текстур Восстановление невидимых частей

Нейросетевая модель слежения за несколькими объектами *

Нейросетевая модель слежения за несколькими объектами * Нейросетевая модель слежения за несколькими объектами * Казанович Я.Б. 1, Борисюк Р.М. 1,2 1 Институт математических проблем биологии РАН, Пущино, Московская область, yakov_k@mpb.psn.ru 2 Центр теоретической

Подробнее

СОЗДАНИЕ УПРАВЛЯЮЩИХ ПРОГРАММ С ПОМОЩЬЮ САМ - СИСТЕМ

СОЗДАНИЕ УПРАВЛЯЮЩИХ ПРОГРАММ С ПОМОЩЬЮ САМ - СИСТЕМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Лекции по алгоритмам кластеризации и многомерного шкалирования

Лекции по алгоритмам кластеризации и многомерного шкалирования Лекции по алгоритмам кластеризации и многомерного шкалирования К. В. Воронцов 21 декабря 2007 г. Материал находится в стадии разработки, может содержать ошибки и неточности. Автор будет благодарен за любые

Подробнее

Начало работы в 3ds Max

Начало работы в 3ds Max Глава 2 Начало работы в 3ds Max В этой главе вы познакомитесь с интерфейсом программы 3ds Max, а также научитесь создавать простейшие трехмерные сцены, используя примитивы. Много внимания в этой главе

Подробнее

IBM - зарегистрированная торговая марка International Business Machines Corporation.

IBM - зарегистрированная торговая марка International Business Machines Corporation. Информация, содержащаяся в этом документе, может быть изменена без уведомления и не подразумевает обязательств со стороны ADW Software. Программное обеспечение, разработанное ADW Software и описываемое

Подробнее

ТЕМА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (БАЗОВЫЕ ПРИНЦИПЫ РАБОТЫ) 1.1 Начало работы

ТЕМА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (БАЗОВЫЕ ПРИНЦИПЫ РАБОТЫ) 1.1 Начало работы ТЕМА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (БАЗОВЫЕ ПРИНЦИПЫ РАБОТЫ) 1.1 Начало работы Специализированный пакет ArchiCAD, созданный фирмой Graphisoft, предназначен для проектирования архитектурно-строительных конструкций,

Подробнее

Двухуровневая трассировка лучей и ее применение для интерактивной. визуализации и оптического моделирования

Двухуровневая трассировка лучей и ее применение для интерактивной. визуализации и оптического моделирования Двухуровневая трассировка лучей и ее применение для интерактивной визуализации и оптического моделирования Барладян Б.Х., к.т.н.; Волобой А.Г., к.ф.-м.н.; Галактионов В.А., д.ф.-м.н.; Шапиро Л.З., к.т.н.

Подробнее

ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ C ЧАСТИЧНО ЗАДАННОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ Н.Ю. Таратынова. Введение. f(x) = (c, x) max

ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ C ЧАСТИЧНО ЗАДАННОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ Н.Ю. Таратынова. Введение. f(x) = (c, x) max ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ C ЧАСТИЧНО ЗАДАННОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ Н.Ю. Таратынова Черноморский Филиал Московского Государственного Университета, отделение прикладной математики ул. Гер.Севастополя, 7, г.севастополь,

Подробнее

Академия АйТи Применение ПСПО. Лекции. Часть 4 Страница 1 из 273

Академия АйТи Применение ПСПО. Лекции. Часть 4 Страница 1 из 273 IV. РАБОТА С ОФИСНЫМИ ПРИЛОЖЕНИЯМИ...3 1. ОСНОВЫ РАБОТЫ С ОФИСНЫМ ПАКЕТОМ OPENOFFICE.ORG...3 Описание продукта...3 Справочная система...3 Краткая история OpenOffice.org...3 Новое в последней версии пакета

Подробнее

по информатике ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР КОЛОСОВ М.В. КАФЕДРА ТЭС ПИ СФУ 660074, г. Красноярск, ул. Ак. Киренского, 26

по информатике ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР КОЛОСОВ М.В. КАФЕДРА ТЭС ПИ СФУ 660074, г. Красноярск, ул. Ак. Киренского, 26 0 Лабораторные по информатике работы ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР КОЛОСОВ М.В. КАФЕДРА ТЭС ПИ СФУ 66007, г. Красноярск, ул. Ак. Киренского, 6 СОДЕРЖАНИЕ Лабораторные работы по Основам компьютера и ОС... Лабораторная

Подробнее

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА СЕЙСМИЧЕСКОГО МЕТОДА ОТРАЖЕННЫХ ВОЛН ДЛЯ СРЕД С ПЕРЕМЕННЫМИ СКОРОСТЯМИ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА СЕЙСМИЧЕСКОГО МЕТОДА ОТРАЖЕННЫХ ВОЛН ДЛЯ СРЕД С ПЕРЕМЕННЫМИ СКОРОСТЯМИ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН УДК 550.834.5 В. Б. ПИЙП ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА СЕЙСМИЧЕСКОГО МЕТОДА ОТРАЖЕННЫХ ВОЛН ДЛЯ СРЕД С ПЕРЕМЕННЫМИ СКОРОСТЯМИ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН Для некоторых класс%& скоростных функций известны методы решения следующей

Подробнее

Фильтрация и тематическое моделирование коллекции научных документов

Фильтрация и тематическое моделирование коллекции научных документов Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Факультет управления и прикладной математики Кафедра «Интеллектуальные системы»

Подробнее

Золотой ключик: как стать (или не стать) Буратино

Золотой ключик: как стать (или не стать) Буратино Золотой ключик: как стать (или не стать) Буратино и решить проблему перехода от СК-42 и WGS-84 к СК-63 и местным системам координат Если существует так много систем координат, значит это кому-нибудь нужно?

Подробнее

Глава 1 Начало работы

Глава 1 Начало работы Глава 1 Начало работы Содержание Главы Описание основных принципов работы в NX Описание основных модулей Запуск NX Создание, открытие и сохранение файла Описание основных объектов и терминов Интерфейс

Подробнее

Проекционное черчение. Работа 1 (продолжение)

Проекционное черчение. Работа 1 (продолжение) Указания к выполнению задания Проекционное черчение. Работа 1 (продолжение) по курсу инженерной графики с применением компьютерных технологий Представленные учебно-методические материалы являются частью

Подробнее

Триангуляция Делоне и её применение

Триангуляция Делоне и её применение Томский государственный университет Факультет информатики А.В. Скворцов Триангуляция Делоне и её применение Издательство Томского университета 00 УДК 68.3 ББК.9 C 4 C 4 Скворцов А.В. Триангуляция Делоне

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «НАСТРОЙКА ИНТЕРФЕЙСА 3DS MAX»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «НАСТРОЙКА ИНТЕРФЕЙСА 3DS MAX» ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «НАСТРОЙКА ИНТЕРФЕЙСА 3DS MAX» Основными элементами пользовательского интерфейса системы 3ds Max, помимо традиционного меню Windows-приложений, являются область построений, разделенная

Подробнее

Содержание Введение 4 1.Надежное программное средство как продукт технологии программирования. 5 1.1. Программа как формализованное описание процесса

Содержание Введение 4 1.Надежное программное средство как продукт технологии программирования. 5 1.1. Программа как формализованное описание процесса Содержание Введение 4 1.Надежное программное средство как продукт технологии программирования. 5 1.1. Программа как формализованное описание процесса обработки данных. 5 1.2. Понятие правильной программы.

Подробнее

ПЛАНИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Часть 1

ПЛАНИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТИХООКЕАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Е.А. Любченко, О.А. Чуднова ПЛАНИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ

Подробнее

процесса проектирования.

процесса проектирования. Интегральный процесс проектирования средствами 3D САПР на начальных этапах проекта Обычно процесс проектирования судна разбит на несколько этапов, в большинстве случаев выполняемых разными организациями

Подробнее

ОНТОЛОГИИ КАК СИСТЕМЫ ХРАНЕНИЯ ЗНАНИЙ. Н.С. Константинова, О.А. Митрофанова

ОНТОЛОГИИ КАК СИСТЕМЫ ХРАНЕНИЯ ЗНАНИЙ. Н.С. Константинова, О.А. Митрофанова ОНТОЛОГИИ КАК СИСТЕМЫ ХРАНЕНИЯ ЗНАНИЙ Н.С. Константинова, О.А. Митрофанова Санкт-Петербургский государственный университет, Факультет филологии и искусств, Кафедра математической лингвистики 199034, г.

Подробнее

Лекция 3. 2.6. Работа силы. Кинетическая энергия ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Лекция 3. 2.6. Работа силы. Кинетическая энергия ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ 34 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Лекция 3.6. Работа силы. Кинетическая энергия Наряду с временнóй характеристикой силы ее импульсом, вводят пространственную, называемую работой. Как всякий вектор, сила

Подробнее

Е.В. Касьянова АДАПТИВНАЯ СИСТЕМА ПОДДЕРЖКИ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ ПРОГРАММИРОВАНИЮ

Е.В. Касьянова АДАПТИВНАЯ СИСТЕМА ПОДДЕРЖКИ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ ПРОГРАММИРОВАНИЮ Е.В. Касьянова АДАПТИВНАЯ СИСТЕМА ПОДДЕРЖКИ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ ПРОГРАММИРОВАНИЮ ВВЕДЕНИЕ В не столь далеком прошлом хороший почерк уже являлся гарантией спокойной и обеспеченной жизни до старости.

Подробнее

Формирование сечений и расчет их геометрических характеристик. Руководство пользователя

Формирование сечений и расчет их геометрических характеристик. Руководство пользователя Формирование сечений и расчет их геометрических характеристик Руководство пользователя ББК 32.97 К 26 УДК (539.3+624.014):681.3 К 26 Карпиловський В.С. та ін. Формування перерізів та розрахунок їх геометричних

Подробнее

Глава 4. Задача коммивояжера

Глава 4. Задача коммивояжера Глава 4. Задача коммивояжера В задаче коммивояжера рассматривается городов и матрица попарных расстояний между ними. Требуется найти такой порядок посещения городов, чтобы суммарное пройденное расстояние

Подробнее

Сеточные методы решения краевых задач математической физики

Сеточные методы решения краевых задач математической физики Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ М.Э.Рояк Ю.Г.Соловейчик Э.П.Шурина Сеточные методы решения краевых задач математической

Подробнее

Structure CAD «не только для ОРЛОВ»

Structure CAD «не только для ОРЛОВ» Structure CAD «не только для ОРЛОВ» Начинающий не должен смущаться, если он обнаружит, что у него не хватает предварительных знаний даже для чтения предварительных сведений. П.ХАЛМОШ Графический интерфейс

Подробнее

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ ИЗОЛИНИЙ ПО НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТИ ТОЧЕК В РАМКАХ ГРАФИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ISOGRAPH

ПОСТРОЕНИЕ ИЗОЛИНИЙ ПО НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТИ ТОЧЕК В РАМКАХ ГРАФИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ISOGRAPH ПОСТРОЕНИЕ ИЗОЛИНИЙ ПО НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТИ ТОЧЕК В РАМКАХ ГРАФИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ISOGRAPH В.В. Копейкин, Ю.В. Алферов Гидрометеорологический научно-исследовательский центр Российской Федерации help@tushino.com,

Подробнее

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ В. А. Шарафутдинов Как отмечалось в начале первой главы, на топологическом пространстве возможно рассмотрение непрерывных функций и других понятий, связанных с непрерывностью. В Анализе, наряду с непрерывностью, изучаются производные, дифференциалы и другие понятия, связанные с дифференцируемостью. Гладкое многообразие естественный объект, на котором можно определить подобные понятия. 1. Определение гладкого многообразия Сначала введем вспомогательное понятие топологического многообразия (Предупреждение: не путать его с понятием гладкого многообразия). Топологическое пространство M называется топологическим многообразием размерности n, если (1) M локально гомеоморфно пространству R n, т.е. у каждой точки пространства M имеется окрестность, гомеоморфная некоторому открытому множеству в R n ; (2) M хаусдорфово; (3) M удовлетворяет второй аксиоме счетности, т.е. имеет счетную базу топологии. Дифференцируемая структура на топологическом многообразии вводится путем цепочки определений, вводимых в нескольких следующих абзацах. Пусть M топологическое многообразие размерности n. Картой на M называется пара (U, ϕ), где U открытое множество в M и ϕ : U V R n гомеоморфизм на некоторое открытое множество из R n. Пусть 0 r целое число. Две карты (U 1, ϕ 1 ) и (U 2, ϕ 2 ) на топологическом многообразии M называются C r -согласованными, если ϕ 2 ϕ 1 1 : ϕ 1 (U 1 U 2 ) ϕ 2 (U 1 U 2 ) (1.1) отображение класса C r, т.е. все частные производные порядка r этого отображения существуют и непрерывны. Отметим, что ϕ i (U 1 U 2 ) (i = 1, 2) открытые множества в R n (см. Рисунок 1), так что определено понятие частных производных для отображения между этими множествами. При r = требуется существование и непрерывность всех частных производных. Семейство карт A = {(U α, ϕ α )} α A на топологическом многообразии M называется C r -атласом, если M = α A U α и любые две карты этого семейства C r -согласованы. Два C r -атласа A и A на M называются эквивалентными, если A A тоже C r -атлас. Как легко видеть, это эквивалентно требованию: любая карта из A C r - согласована с любой картой из A. Теперь, наконец, мы можем привести основное Определение 1.1. Дифференцируемой структурой D класса C r на топологическом многообразии M называется класс эквивалентности C r -атласов. Топологическое многообразие вместе с зафиксированной на нем дифференцируемой структурой класса C r называется дифференцируемым многообразием класса C r (или короче C r - многообразием). Дифференцируемое многообразие обозначается (M, D) или просто M, если из контекста ясно, о какой дифференцируемой структуре идет речь. Date: октябрь 2012, Кольцово. 1

Подробнее