РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ"

Транскрипт

1 РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями аргумента меньшими называется рекуррентным уравнением Примером может служить уравнение вида: F Рекуррентное уравнение имеет порядок если оно позволяет выразить член последовательности F через члены F F Таким образом уравнение имеет порядок а уравнение F 3 6 имеет порядок 3 Если задано рекуррентное уравнение -го порядка то ему удовлетворяет бесконечно много последовательностей Но если первые элементов заданы то все остальные определяются однозначно А именно элемент выражается через элемент F через элементы F и тд Алгоритм решения рекуррентного уравнения приведен на Рис Отметим что уравнение описывает так называемую последовательность чисел Фибоначчи: 3 F 4 3 F 5 5 F F 8 Фактически алгоритм решения сводится к тому что на каждом шаге пользуясь начальными членами и заданным уравнением мы вычисляем очередной член последовательности Действуя таким образом мы рано или поздно получим любой член последовательности Однако при этом нам придется вычислять и все предыдущие члены Во многих случаях удобнее иметь явную формулу для -го члена последовательности Будем говорить что некоторая последовательность является решением рекуррентного уравнения если при подстановке ее в уравнение последнее обращается в тождество Например последовательность 4 8 является одним из решений рекуррентного уравнения 3 Действительно общий член этой последовательности имеет вид Но при любом имеет место тождество Значит 3 Таким образом является решением рекуррентного уравнения Решение рекуррентного уравнения называется общим если оно зависит от произвольных постоянных C C и путем подбора этих постоянных можно получить любое решение данного уравнения Например для уравнения 5 6 общим решением будет F C C 3 3 Легко проверить что последовательность 3 обращает в тождество Поэтому достаточно показать что любое решение можно представить в виде 3 Но любое

2 решение однозначно определяется значениями и Поэтому надо показать что для любых чисел и найдутся такие и C что F C C 3C C 3 C Определитель системы равен При любых и система имеет решение Поэтому 3 действительно является решением F; F; I: FFF; FF; FF; F Рис Алгоритм формирования последовательности чисел Фибоначчи

3 ЛИНЕЙНЫЕ РЕКУРРЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Для решения произвольных рекуррентных уравнений общих правил не существует Однако есть весьма часто встречающийся класс уравнений решаемый единообразным методом Это рекуррентные уравнения вида f 4 где - некоторые числа постоянные коэффициенты а f - некоторая функция от Такие уравнения называются линейными потому что элементы последовательности F связаны линейной зависимостью Если при этом функция f то уравнения такого вида называются однородными или однородными уравнениями с постоянными коэффициентами В противном случае уравнения называются неоднородными ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ РЕКУРРЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Линейные однородные рекуррентные уравнения с постоянными коэффициентами имеют вид F 5 где - некоторые числа Очевидно что последовательность всегда будет решением любого однородного уравнения Такое решение называется тривиальным решением Сначала рассмотрим как решаются такие уравнения при то есть изучим уравнения вида F 6 Решение этих уравнений основывается на следующих двух утверждениях: Если F и F являются решениями рекуррентного уравнения 6 то при любых числах A и B последовательность F AF BF также является решением этого уравнения Действительно по условию F F F F Умножим эти равенства на тождества В результате получим: A и F F B соответственно и сложим полученные [ AF BF ] [ AF BF ] AF BF А это означает что F AF BF является решением уравнения 6 Если число является корнем уравнения

4 то последовательность является решением рекуррентного уравнения F Докажем это утверждение Пусть то и Подставляя эти значения в 6 получаем равенство или Оно справедливо так как по условию При имеем тривиальное решение любая последовательность вида где Заметим что наряду с последовательностью { } также является решением уравнения 6 Для доказательства этого факта достаточно использовать утверждение положив в нем A B Из утверждений и вытекает следующее правило решения линейных однородных рекуррентных уравнений второго порядка Пусть дано рекуррентное уравнение 6 F Составим квадратное уравнение 7 которое называется характеристическим уравнением данного рекуррентного уравнения Если это уравнение имеет два различных корня и то общее решение уравнения 6 имеет вид C C Докажем это утверждение Заметим сначала что согласно утверждению последовательности и являются решениями данного рекуррентного F F уравнения А тогда по утверждению и C C является его решением Надо только показать что любое решение уравнения 6 можно записать в этом виде Но любое решение уравнения второго порядка определяется значениями и Поэтому достаточно показать что система уравнений C C C C имеет решение при любых и Очевидно что этими решениями являются При C F C система всегда имеет решение Рассмотрим пример Как уже было сказано последовательность чисел Фибоначчи 3583 можно получить с помощью рекуррентного уравнения F 8 Для него характеристическое уравнение имеет вид Корнями этого квадратного уравнения являются числа

5 5 5 и Поэтому общее решение уравнения Фибоначчи имеет вид 5 5 C C 9 Начальными условиями являются значения F F В соответствии с этими начальными условиями получаем для и C систему уравнений C C C 5 C C Решая эту систему уравнений находим что C C и поэтому F 5 Таким образом это выражение при всех натуральных значениях принимает целые значения СЛУЧАЙ РАВНЫХ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Рассмотрим случай когда корни характеристического уравнения совпадают: В этом случае выражение C C уже не будет являться общим решением Ведь из-за того что это решение можно записать в виде C C C В результате остается только одна константа C и выбрать ее так чтобы уравнение удовлетворяло двум начальным условиям и вообще говоря невозможно Следовательно необходимо найти какое-нибудь другое решение отличное от Таким решением является В самом деле если квадратное F уравнение имеет два совпадающих корня то по теореме Виета а Поэтому уравнение записывается следующим образом: А тогда рекуррентное уравнение имеет вид Проверим что F тождество F F действительно является его решением Подставляя значения F в уравнение получим очевидное Значит - это решение нашего рекуррентного уравнения Таким образом нам известно уже два решения данного рекуррентного уравнения: и Тогда общее решение можно записать следующим образом: F F C C C C Теперь коэффициенты Cи C можно подобрать так чтобы выполнялись любые два начальные условия для F

6 C C C C Линейные рекуррентные уравнения порядок которых больше двух решаются таким же способом Пусть уравнение имеет вид F Составим характеристическое уравнение Если все корни этого алгебраического уравнения -й степени различны то общее решение уравнения имеет вид F C C C Если же например то этому корню соответствуют решения F F F3 F рекуррентного уравнения В общем решении этому корню соответствует часть C C C Составляя такие выражения для всех корней и складывая их получаем общее решение уравнения s P где - кратность корня s - число различных корней P - полином степени относительно Пример Рассмотрим уравнение F 4 Составим характеристическое уравнение Общее решение рекуррентного уравнения имеет вид C C C C Составляем систему уравнений для нахождения и C : C C C C 4 Решая систему получаем что C и C Таким образом решение рекуррентного уравнения имеет вид

7 ПОИСК КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА При отыскании корней характеристического уравнения довольно часто приходится решать уравнения степени больше Для решения этой задачи можно использовать метод подбора те брать наугад число и проверять является ли оно корнем данного многочлена При этом можно довольно быстро натолкнуться на корень а можно и никогда его не найти Ведь проверить все числа невозможно так как их бесконечно много Другое дело если бы нам удалось сузить область поиска например знать что искомые корни находятся например среди тридцати указанных чисел А для тридцати чисел можно сделать проверку А в связи с этим важным представляется утверждение Теорема Если несократимая дробь / целые числа является корнем многочлена F x с целыми коэффициентами то старший коэффициент этого многочлена делится на а свободный член на В самом деле если x x x x где - целые числа и / является его корнем то F / те / / / Умножим обе части равенства на получим Отсюда следует что Очевидно что целое число делится на Но / - несократимая дробь те числа и взаимно просты а тогда как известно из теории делимости целых чисел числа и тоже взаимно просты Итак делится на и взаимно просто с значит делится на Аналогично доказывается что делится на Доказанная теорема позволяет значительно сузить область поиска рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами Продемонстрируем это на конкретном примере Найдем рациональные корни многочлена 4 3 F x 6x 3x 4x 8x 8 Согласно доказанной теореме рациональные корни этого многочлена находятся среди несократимых дробей вида / где - делитель свободного члена 8 а - делитель старшего коэффициента 6 4 При этом если дробь отрицательная то знак - будем относить к ее числителю Например Значит можно сказать что делитель числа 8 а - положительный делитель числа 6 Так как делители числа 8 это ± 48 а положительными делителями числа 6 будут 36 то рациональные корни рассматриваемого многочлена находятся среди чисел ± / / 3/ 6 / 344 / 388/ 3 Напомним что мы выписали только несократимые дроби Таким образом мы имеем двадцать чисел-«кандидатов» в корни Осталось только проверить каждое из них и отобрать те которые действительно являются корнями Но опять-таки придется сделать довольно много проверок Следующая теорема упрощает эту работу

8 Теорема Если несократимая дробь / является корнем многочлена F x с целыми коэффициентами то F делится на для любого целого числа при условии что Для доказательства этой теоремы разделим F x на x с остатком Получим F x x s x Так как x - многочлен с целыми коэффициентами то таким же является и s x а - целое число Пусть s x b x b x b x b Тогда x x b x b x b x b Положим в этом равенстве x / Учитывая что F / получаем / b b b b Умножим обе части последнего равенства на : b b b b Отсюда следует что целое число делится на Но так как и взаимно просты то и тоже взаимно просты а значит F делится на Теорема доказана Вернемся теперь к нашему примеру и воспользовавшись данной теоремой еще больше сузим круг поиска рациональных корней Применим теорему для значений и те если несократимая дробь является корнем многочлена x то делится на а F делится на Очевидно что в нашем случае F 5 а 5 Заметим что заодно мы исключили из рассмотрения единицу Итак рациональные корни нашего многочлена следует искать среди чисел / / 3 / 6 / / 3 8 8/3 Рассмотрим / / Тогда и F 5 делится на это число Далее 3 и 5 также делится на 3 Значит дробь / остается в числе кандидатов в корни Пусть теперь / / В этом случае 3 и F 5 не делится на -3 Значит дробь / не может быть корнем данного многочлена Выполнив проверку для каждой из выписанных выше дробей получим что искомые корни находятся среди чисел / / 3 4 Таким образом с помощью довольно простого приема удалось значительно сузить область поиска рациональных корней рассматриваемого многочлена Проверив 4 3 оставшиеся кандидаты убедимся что многочлен x 6x 3x 4x 8x 8 имеет два рациональных корня / и / 3 Описанный выше метод позволяет находить лишь рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами Между тем многочлен может иметь и иррациональные корни Так например рассмотренный в примере многочлен имеет еще два корня: ± 5 это корни многочлена x x 4 Заметим что при испытании кандидатов в корни с помощью последней теоремы обычно рассматривают случай ± Другими словами если / - кандидат в корни то проверяют делятся ли и F на и соответственно Но может случиться так что например те единица - корень а тогда делится на любое число и наша проверка теряет смысл В этом случае следует разделить x на x те получить x x s x и производить испытания для многочлена sx При этом не следует забывать что один корень x корень x уже найден

9 В некоторых случаях когда характеристическое уравнение относится к уравнениям специального вида его корни могут быть найдены с помощью подстановки К таким уравнениям относятся например симметрические и возвратные уравнения Симметрическим называется уравнение степени - четное вида x bx cx cx bx 3 Симметрические уравнения являются частным случаем возвратных К возвратным относятся уравнения вида x bx cx / c x / / b x где - некоторый коэффициент Рассмотрим например решение симметрических и возвратных уравнений четвертой степени Пусть дано симметрическое уравнение 4 x 3 bx cx bx Сначала понизим его степень разделив обе части на x Получим уравнение x bx c b / x / x 4 Произведем следующую подстановку: t x / x 5 Тогда учитывая что t x / x выражение 4 можно записать как t bt c 6 Решив уравнение 6 как обычное квадратное уравнение получим два корня t и t Теперь подставляя поочередно корни t и t в уравнение 5 получим два квадратных уравнения x tx x t x 7 Решение уравнений 7 дает нам все четыре корня исходного уравнения 3 Таким образом решение симметрического уравнения четвертой степени сводится к решению трех квадратных уравнений Аналогично решаются и возвратные уравнения Если уравнение четвертой степени можно представить в виде 4 x 3 bx cx bx 8 то его решение может быть получено с помощью подстановки t x / x 9 Также как и в предыдущем случае понизим степень уравнения поделив обе части на x Для получившегося уравнения x bx c b / x / x воспользуемся подстановкой 9 Тогда уравнение можно переписать в виде t bt c Так же как и в предыдущем примере решим уравнение и получим два корня t и t Теперь подставляя поочередно корни t и t в уравнение 9 получим два квадратных уравнения x tx x t x Решив систему уравнений получим четыре корня исходного уравнения 8 Таким образом решение возвратного уравнения четвертой степени также сводится к решению трех квадратных уравнений

10 РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Линейное рекуррентное уравнение называется неоднородным если его можно представить в следующем виде: f 3 где f - некоторая функция от Введем однородное линейное рекуррентное уравнение ОЛРУ соответствующее неоднородному линейному рекуррентному уравнению НЛРУ 3 F 4 а его общее решение обозначим через FO По аналогии с методами решения дифференциальных уравнений вначале пренебрежем начальными условиями и предположим что одно решение уравнения 3 уже найдено Назовем это решение частным и обозначим его через Будем искать общее решение НЛРУ в виде суммы F его частного решения и общего решения соответствующего ему ОЛРУ F 5 3 O Покажем что 5 действительно является решением НЛРУ 3 Подставим 5 в F F F F O O F F F F f O O но это уравнение является тождеством так как FO FO F O F F F F f где первое уравнение в системе есть общее решение ОЛРУ а второе частное решение НЛРУ Пусть НЛРУ имеет вид РЕШЕНИЕ НЛРУ ПРИ ФУНКЦИИ-КОНСТАНТЕ 6 b где b - целое число константа Будем искать частное решение уравнения 6 в виде константы F c 7 то есть c - также целое число Подставим 7 в 6 c c c c b b c 8 Константа будет частным решением уравнения 6 при условии неравенства нулю знаменателя формулы 8 Введем характеристический полином для НЛРУ 6 Если h h то очевидно что уравнение 6 имеет частное решение

11 b F h Обозначим формальную производную характеристического полинома Тогда h h через h 9 h 3 Пусть h но h Будем искать решение 6 в виде F c 3 Подставляя 3 в 6 имеем c c c c b c b c h h b но h а h и b c h Итак если h то уравнение 6 имеет частное решение b F h Обозначим -ю производную h через h По определению будем считать h h Из курса алгебры известно что если число α является -кратным корнем многочлена h то h α Теперь частное решение 6 можно записать в виде b F 3 h где - кратность корня характеристического многочлена h Пример Решить уравнение 5 при F 35 Составляем ОЛРУ F Составляем характеристическое уравнение h 3 Решаем характеристическое уравнение 4 Записываем общее решение ОЛРУ F C C C C 5 Находим частное решение НЛРУ 5 F 5 h так как h 6 Записываем общее решение НЛРУ F F C C 5 7 С учетом начальных условий находим коэффициенты в решении НЛРУ

12 C C 5 C C 5 35 получаем C C 8 Записываем решение НЛРУ F 5 Итак мы получили явную формулу для вычисления -го члена последовательности В заключение вычислим саму последовательность: Будем искать частное решение НЛРУ РЕШЕНИЕ НЛРУ ПРИ ФУНКЦИИ-МНОГОЧЛЕНЕ F b 33 в виде многочлена той же степени что и в правой части F c 34 Подставляя 34 в 33 получим правило вычисления коэффициентов многочлена j c j b 35 j Приравнивая коэффициенты в левой и правой части при членах содержащих получаем Остальные коэффициенты c c b b c при h h находятся аналогично путем приравнивания коэффициентов при в 35 Если является корнем характеристического уравнения h кратности то частное решение НЛРУ следует искать в виде F c РЕШЕНИЕ НЛРУ ПРИ ФУНКЦИИ-ЭКСПОНЕНТЕ Будем искать частное решение НЛРУ F bα 37 в виде 36 Подставляя 38 в 37 имеем То есть F cα cα bα 38

13 bα F h α если α не является корнем характеристического уравнения h Если же α является корнем характеристического уравнения кратности то частное решение 37 следует искать в виде F dα где d - некоторая константа Пример При решении одной задачи теории кодирования установлена рекуррентная зависимость числа умножений M от числа итераций при построении проверочной матрицы кода M M 4 3 при M 7 Запишем ОЛРУ M M Тогда имеем характеристическое уравнение h и общее решение ОЛРУ M C Будем искать частное решение в виде M d e Подставляя его в исходное уравнение имеем e 4 3 Левая часть уравнения не содержит d и следовательно предлагаемое частное решение определено неверно так как корень характеристического уравнения Теперь изменим вид частного решения на M d e Подставляя его в исходное уравнение имеем e 3 d Таким образом M C 3 и учитывая начальные условия C 3 Итак решение исходного уравнения M 3 3 РЕКУРРЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА Рекуррентные уравнения отличные от линейных рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами не имеют общего метода решения Они могут решаться например методом проб и ошибок Рассмотрим нелинейное уравнение F F b при F b 39 Вычислим значение при подстановке в 39 некоторых констант F b b b при ; F F b b b при ;

14 b b b F F при 3 Теперь можно предположить что решением уравнения 39 является 4 og b F где Подставляя 4 в 39 имеем og og og b b b b b b F F og og j j b b Таким образом 4 действительно является решением уравнения 39


М. В. Глебова В. Ф. Тимербулатова ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО АЛГЕБРЕ МНОГОЧЛЕНОВ. Учебно-методическое пособие

М. В. Глебова В. Ф. Тимербулатова ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО АЛГЕБРЕ МНОГОЧЛЕНОВ. Учебно-методическое пособие Пензенский государственный педагогический университет имени В. Г. Белинского М. В. Глебова В. Ф. Тимербулатова ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО АЛГЕБРЕ МНОГОЧЛЕНОВ Учебно-методическое пособие Пенза Печатается по

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Подробнее

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений».

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений». Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1,, a n-1, a n заданные числа, a 0,

Подробнее

Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0,,, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0,,, коэффициентами

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ АГЕНТСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА при КрасГУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение: Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение:, Получены два различных действительных корня Всё, что осталось сделать записать ответ, руководствуясь формулой

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

Горбачев НЕ Многочлены от одной переменной. Решение уравнений n степени.

Горбачев НЕ Многочлены от одной переменной. Решение уравнений n степени. Горбачев НЕ Многочлены от одной переменной Решение уравнений степени Понятие многочлена Арифметические операции над многочленами Опр Многочленом (полиномом) -й степени относительно переменной величины

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Последовательности. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения. Общие решения линейных рекуррентных однородных и неоднородных уравнений. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Примеры Лектор - доцент Селезнева

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 1

Иррациональные уравнения и неравенства 1 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Свойства корней й степени Свойства корней Свойства степеней с рациональным показателем Примеры 5 Свойства корней -й степени Арифметическим корнем й степени

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция. Функции натурального аргумента (последовательности). Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Примеры Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

4 Разложите рациональную дробь на простейшие дроби

4 Разложите рациональную дробь на простейшие дроби Разложите рациональную дробь на простейшие дроби Выполните упражнение согласно выбранным вариантам. Сравните результат с ОТВЕТОМ. Протокол работы поместите в отчет. Рациональная дробь 7 6 67 87 7 ) ( )

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные уравнения. Многочлены

МАТЕМАТИКА. Квадратные уравнения. Многочлены Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные уравнения. Многочлены Задание

Подробнее

Теорема Виета и ее применение

Теорема Виета и ее применение Базылев ДФ Теорема Виета и ее применение Теорема Виета как известно изучается в традиционном курсе школьной математики (как правило для квадратных уравнений) Большая часть задач по этой теме разбивается

Подробнее

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1 Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Подробнее

Многочлены и их корни

Многочлены и их корни Многочлены и их корни 2018 г. Гущина Елена Николаевна Определение: Многочленом степени n n N называется всякое выражение вида: P & z = a & z & + a &+, z &+, + + a, z + a., где a &, a &+,, a,, a. R, a &

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4

Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4 Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4 Содержание 1 Введение 1 2 Уравнения третьей степени 3 3 Уравнения четвертой степени 7 1 Введение В данном манускрипте приводятся формулы для

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Многочлены и их корни

Многочлены и их корни Многочлены и их корни Определение: Многочленом степени n (n N) называется всякое выражение вида: P n (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, где a n, a n 1, a 1, a 0 R, a n старший коэффициент, a

Подробнее

x n однозначно. Задача 1. Выразить симметрический многочлен f через элементарные симметрические многочлены. Решение. Многочлен f x1, x2,

x n однозначно. Задача 1. Выразить симметрический многочлен f через элементарные симметрические многочлены. Решение. Многочлен f x1, x2, ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ По дисциплине: «Алгебра» Специальность: «Математика» заочная форма обучения 6 семестр Составитель: зав кафедрой Трофимук АА Многочлены от нескольких переменных результант алгебраические

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

Основные методы решения тригонометрических уравнений

Основные методы решения тригонометрических уравнений Тишин В И Основные методы решения тригонометрических уравнений г Тишин В И Математика для учителей и учащихся Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем года Тишин В И Основные

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Тема 5 Рациональные системы уравнений

Тема 5 Рациональные системы уравнений Тема 5 Рациональные системы уравнений F ( x, x,..., ) 0, F ( x, x,..., ) 0, Система уравнений вида где... Fk ( x, x,..., ) 0, F i( x, x,..., ), i,..., k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Лекции по Математике Вып ТММ- Ю В Чебраков ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Санкт-Петербург, 00 УДК 5+5 ББК Ч35 Р е ц е н з е н т ы: Доктор физико-математических наук, профессор С-Петерб техн ун-та М А Салль Кандидат

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные уравнения. Многочлены. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратные уравнения. Многочлены. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные уравнения. Многочлены Задание

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E)

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E) В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего своей матрицей в некотором базисе

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва УДК 7.8:[ + 7] ББК 7.6. А Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва А Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 0 класс : углубл. уровень / [М. И. Шабунин,

Подробнее

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями 20. Неприводимые многочлены над основными числовыми полями Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Основная теорема алгебры В

Подробнее

3x x 2 + x = 0.

3x x 2 + x = 0. 4.. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений. В предыдущем пункте метод замены переменной был использован для разложения многочлена на множители. Данный метод широко применяется для

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Решение рекуррентных соотношений.

Решение рекуррентных соотношений. Благовещенский государственный педагогический университет кафедра алгебры, геометрии и МПМ 16 апреля 2011 г. 1 Решение рекуррентных соотношений Определение Рекуррентным соотношением называется соотношение

Подробнее

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ Ю.Л.Калиновский Введение Решение квадратных уравнений Решение квадратных уравнений c помощью разложения на множители. Решение квадратных уравнений c помощью дополнения до полного

Подробнее

x 1 x 2 x 3 x k y 1 y 2 y 3 y k

x 1 x 2 x 3 x k y 1 y 2 y 3 y k ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ Е. С. Тверская МГТУ им. Н.Э. Баумана Москва Методы аппроксимации функции. Постановка задачи приближения функции. Задачи, приводящие к задаче приближения функций. Функция

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Многочлены. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012

Многочлены. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012 Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Многочлены Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп. e-mail: melnikov@k66.ru,

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

+ представляется в виде произведения линейных множителей следующим образом:

+ представляется в виде произведения линейных множителей следующим образом: Лекция. Элементы теории многочленов. Многочлен (некоторые сведения справочного характера) Функция вида: 1 P ( x) a0x a1x... a 1x a = + + + + (1) где натуральное число a i ( i = 01... ) постоянные коэффициенты

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Квадратные уравнения В данной статье мы разберём основные вопросы, связанные с квадратным уравнением: выведем формулу корней, докажем теорему Виета и научимся

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78 Часть I Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 2 / 78 Поля вычетов по модулю

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78 Часть I Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 2 / 78 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

1. Метод итераций. ( x ) x = ϕ. (5.1) Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5.1) с помощью формулы xn

1. Метод итераций. ( x ) x = ϕ. (5.1) Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5.1) с помощью формулы xn Метод итераций Пусть дано уравнение с одной неизвестной ( (5 Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5 с помощью формулы ( называют просто методом итерации При решении таких уравнений возникает

Подробнее

9.1 Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов. τ(x) = Ax + B, (9.3)

9.1 Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов. τ(x) = Ax + B, (9.3) Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов Основные свойства классических ортогональных полиномов 9 Лекция 9.1 Классические ортогональные полиномы 9.1.1 Определение

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Разложите на множители: 3 11 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) b 3 + 1 Найдите числа A, B, C, при которых справедливо

Подробнее