РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ"

Транскрипт

1 РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями аргумента меньшими называется рекуррентным уравнением Примером может служить уравнение вида: F Рекуррентное уравнение имеет порядок если оно позволяет выразить член последовательности F через члены F F Таким образом уравнение имеет порядок а уравнение F 3 6 имеет порядок 3 Если задано рекуррентное уравнение -го порядка то ему удовлетворяет бесконечно много последовательностей Но если первые элементов заданы то все остальные определяются однозначно А именно элемент выражается через элемент F через элементы F и тд Алгоритм решения рекуррентного уравнения приведен на Рис Отметим что уравнение описывает так называемую последовательность чисел Фибоначчи: 3 F 4 3 F 5 5 F F 8 Фактически алгоритм решения сводится к тому что на каждом шаге пользуясь начальными членами и заданным уравнением мы вычисляем очередной член последовательности Действуя таким образом мы рано или поздно получим любой член последовательности Однако при этом нам придется вычислять и все предыдущие члены Во многих случаях удобнее иметь явную формулу для -го члена последовательности Будем говорить что некоторая последовательность является решением рекуррентного уравнения если при подстановке ее в уравнение последнее обращается в тождество Например последовательность 4 8 является одним из решений рекуррентного уравнения 3 Действительно общий член этой последовательности имеет вид Но при любом имеет место тождество Значит 3 Таким образом является решением рекуррентного уравнения Решение рекуррентного уравнения называется общим если оно зависит от произвольных постоянных C C и путем подбора этих постоянных можно получить любое решение данного уравнения Например для уравнения 5 6 общим решением будет F C C 3 3 Легко проверить что последовательность 3 обращает в тождество Поэтому достаточно показать что любое решение можно представить в виде 3 Но любое

2 решение однозначно определяется значениями и Поэтому надо показать что для любых чисел и найдутся такие и C что F C C 3C C 3 C Определитель системы равен При любых и система имеет решение Поэтому 3 действительно является решением F; F; I: FFF; FF; FF; F Рис Алгоритм формирования последовательности чисел Фибоначчи

3 ЛИНЕЙНЫЕ РЕКУРРЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Для решения произвольных рекуррентных уравнений общих правил не существует Однако есть весьма часто встречающийся класс уравнений решаемый единообразным методом Это рекуррентные уравнения вида f 4 где - некоторые числа постоянные коэффициенты а f - некоторая функция от Такие уравнения называются линейными потому что элементы последовательности F связаны линейной зависимостью Если при этом функция f то уравнения такого вида называются однородными или однородными уравнениями с постоянными коэффициентами В противном случае уравнения называются неоднородными ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ РЕКУРРЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Линейные однородные рекуррентные уравнения с постоянными коэффициентами имеют вид F 5 где - некоторые числа Очевидно что последовательность всегда будет решением любого однородного уравнения Такое решение называется тривиальным решением Сначала рассмотрим как решаются такие уравнения при то есть изучим уравнения вида F 6 Решение этих уравнений основывается на следующих двух утверждениях: Если F и F являются решениями рекуррентного уравнения 6 то при любых числах A и B последовательность F AF BF также является решением этого уравнения Действительно по условию F F F F Умножим эти равенства на тождества В результате получим: A и F F B соответственно и сложим полученные [ AF BF ] [ AF BF ] AF BF А это означает что F AF BF является решением уравнения 6 Если число является корнем уравнения

4 то последовательность является решением рекуррентного уравнения F Докажем это утверждение Пусть то и Подставляя эти значения в 6 получаем равенство или Оно справедливо так как по условию При имеем тривиальное решение любая последовательность вида где Заметим что наряду с последовательностью { } также является решением уравнения 6 Для доказательства этого факта достаточно использовать утверждение положив в нем A B Из утверждений и вытекает следующее правило решения линейных однородных рекуррентных уравнений второго порядка Пусть дано рекуррентное уравнение 6 F Составим квадратное уравнение 7 которое называется характеристическим уравнением данного рекуррентного уравнения Если это уравнение имеет два различных корня и то общее решение уравнения 6 имеет вид C C Докажем это утверждение Заметим сначала что согласно утверждению последовательности и являются решениями данного рекуррентного F F уравнения А тогда по утверждению и C C является его решением Надо только показать что любое решение уравнения 6 можно записать в этом виде Но любое решение уравнения второго порядка определяется значениями и Поэтому достаточно показать что система уравнений C C C C имеет решение при любых и Очевидно что этими решениями являются При C F C система всегда имеет решение Рассмотрим пример Как уже было сказано последовательность чисел Фибоначчи 3583 можно получить с помощью рекуррентного уравнения F 8 Для него характеристическое уравнение имеет вид Корнями этого квадратного уравнения являются числа

5 5 5 и Поэтому общее решение уравнения Фибоначчи имеет вид 5 5 C C 9 Начальными условиями являются значения F F В соответствии с этими начальными условиями получаем для и C систему уравнений C C C 5 C C Решая эту систему уравнений находим что C C и поэтому F 5 Таким образом это выражение при всех натуральных значениях принимает целые значения СЛУЧАЙ РАВНЫХ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Рассмотрим случай когда корни характеристического уравнения совпадают: В этом случае выражение C C уже не будет являться общим решением Ведь из-за того что это решение можно записать в виде C C C В результате остается только одна константа C и выбрать ее так чтобы уравнение удовлетворяло двум начальным условиям и вообще говоря невозможно Следовательно необходимо найти какое-нибудь другое решение отличное от Таким решением является В самом деле если квадратное F уравнение имеет два совпадающих корня то по теореме Виета а Поэтому уравнение записывается следующим образом: А тогда рекуррентное уравнение имеет вид Проверим что F тождество F F действительно является его решением Подставляя значения F в уравнение получим очевидное Значит - это решение нашего рекуррентного уравнения Таким образом нам известно уже два решения данного рекуррентного уравнения: и Тогда общее решение можно записать следующим образом: F F C C C C Теперь коэффициенты Cи C можно подобрать так чтобы выполнялись любые два начальные условия для F

6 C C C C Линейные рекуррентные уравнения порядок которых больше двух решаются таким же способом Пусть уравнение имеет вид F Составим характеристическое уравнение Если все корни этого алгебраического уравнения -й степени различны то общее решение уравнения имеет вид F C C C Если же например то этому корню соответствуют решения F F F3 F рекуррентного уравнения В общем решении этому корню соответствует часть C C C Составляя такие выражения для всех корней и складывая их получаем общее решение уравнения s P где - кратность корня s - число различных корней P - полином степени относительно Пример Рассмотрим уравнение F 4 Составим характеристическое уравнение Общее решение рекуррентного уравнения имеет вид C C C C Составляем систему уравнений для нахождения и C : C C C C 4 Решая систему получаем что C и C Таким образом решение рекуррентного уравнения имеет вид

7 ПОИСК КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА При отыскании корней характеристического уравнения довольно часто приходится решать уравнения степени больше Для решения этой задачи можно использовать метод подбора те брать наугад число и проверять является ли оно корнем данного многочлена При этом можно довольно быстро натолкнуться на корень а можно и никогда его не найти Ведь проверить все числа невозможно так как их бесконечно много Другое дело если бы нам удалось сузить область поиска например знать что искомые корни находятся например среди тридцати указанных чисел А для тридцати чисел можно сделать проверку А в связи с этим важным представляется утверждение Теорема Если несократимая дробь / целые числа является корнем многочлена F x с целыми коэффициентами то старший коэффициент этого многочлена делится на а свободный член на В самом деле если x x x x где - целые числа и / является его корнем то F / те / / / Умножим обе части равенства на получим Отсюда следует что Очевидно что целое число делится на Но / - несократимая дробь те числа и взаимно просты а тогда как известно из теории делимости целых чисел числа и тоже взаимно просты Итак делится на и взаимно просто с значит делится на Аналогично доказывается что делится на Доказанная теорема позволяет значительно сузить область поиска рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами Продемонстрируем это на конкретном примере Найдем рациональные корни многочлена 4 3 F x 6x 3x 4x 8x 8 Согласно доказанной теореме рациональные корни этого многочлена находятся среди несократимых дробей вида / где - делитель свободного члена 8 а - делитель старшего коэффициента 6 4 При этом если дробь отрицательная то знак - будем относить к ее числителю Например Значит можно сказать что делитель числа 8 а - положительный делитель числа 6 Так как делители числа 8 это ± 48 а положительными делителями числа 6 будут 36 то рациональные корни рассматриваемого многочлена находятся среди чисел ± / / 3/ 6 / 344 / 388/ 3 Напомним что мы выписали только несократимые дроби Таким образом мы имеем двадцать чисел-«кандидатов» в корни Осталось только проверить каждое из них и отобрать те которые действительно являются корнями Но опять-таки придется сделать довольно много проверок Следующая теорема упрощает эту работу

8 Теорема Если несократимая дробь / является корнем многочлена F x с целыми коэффициентами то F делится на для любого целого числа при условии что Для доказательства этой теоремы разделим F x на x с остатком Получим F x x s x Так как x - многочлен с целыми коэффициентами то таким же является и s x а - целое число Пусть s x b x b x b x b Тогда x x b x b x b x b Положим в этом равенстве x / Учитывая что F / получаем / b b b b Умножим обе части последнего равенства на : b b b b Отсюда следует что целое число делится на Но так как и взаимно просты то и тоже взаимно просты а значит F делится на Теорема доказана Вернемся теперь к нашему примеру и воспользовавшись данной теоремой еще больше сузим круг поиска рациональных корней Применим теорему для значений и те если несократимая дробь является корнем многочлена x то делится на а F делится на Очевидно что в нашем случае F 5 а 5 Заметим что заодно мы исключили из рассмотрения единицу Итак рациональные корни нашего многочлена следует искать среди чисел / / 3 / 6 / / 3 8 8/3 Рассмотрим / / Тогда и F 5 делится на это число Далее 3 и 5 также делится на 3 Значит дробь / остается в числе кандидатов в корни Пусть теперь / / В этом случае 3 и F 5 не делится на -3 Значит дробь / не может быть корнем данного многочлена Выполнив проверку для каждой из выписанных выше дробей получим что искомые корни находятся среди чисел / / 3 4 Таким образом с помощью довольно простого приема удалось значительно сузить область поиска рациональных корней рассматриваемого многочлена Проверив 4 3 оставшиеся кандидаты убедимся что многочлен x 6x 3x 4x 8x 8 имеет два рациональных корня / и / 3 Описанный выше метод позволяет находить лишь рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами Между тем многочлен может иметь и иррациональные корни Так например рассмотренный в примере многочлен имеет еще два корня: ± 5 это корни многочлена x x 4 Заметим что при испытании кандидатов в корни с помощью последней теоремы обычно рассматривают случай ± Другими словами если / - кандидат в корни то проверяют делятся ли и F на и соответственно Но может случиться так что например те единица - корень а тогда делится на любое число и наша проверка теряет смысл В этом случае следует разделить x на x те получить x x s x и производить испытания для многочлена sx При этом не следует забывать что один корень x корень x уже найден

9 В некоторых случаях когда характеристическое уравнение относится к уравнениям специального вида его корни могут быть найдены с помощью подстановки К таким уравнениям относятся например симметрические и возвратные уравнения Симметрическим называется уравнение степени - четное вида x bx cx cx bx 3 Симметрические уравнения являются частным случаем возвратных К возвратным относятся уравнения вида x bx cx / c x / / b x где - некоторый коэффициент Рассмотрим например решение симметрических и возвратных уравнений четвертой степени Пусть дано симметрическое уравнение 4 x 3 bx cx bx Сначала понизим его степень разделив обе части на x Получим уравнение x bx c b / x / x 4 Произведем следующую подстановку: t x / x 5 Тогда учитывая что t x / x выражение 4 можно записать как t bt c 6 Решив уравнение 6 как обычное квадратное уравнение получим два корня t и t Теперь подставляя поочередно корни t и t в уравнение 5 получим два квадратных уравнения x tx x t x 7 Решение уравнений 7 дает нам все четыре корня исходного уравнения 3 Таким образом решение симметрического уравнения четвертой степени сводится к решению трех квадратных уравнений Аналогично решаются и возвратные уравнения Если уравнение четвертой степени можно представить в виде 4 x 3 bx cx bx 8 то его решение может быть получено с помощью подстановки t x / x 9 Также как и в предыдущем случае понизим степень уравнения поделив обе части на x Для получившегося уравнения x bx c b / x / x воспользуемся подстановкой 9 Тогда уравнение можно переписать в виде t bt c Так же как и в предыдущем примере решим уравнение и получим два корня t и t Теперь подставляя поочередно корни t и t в уравнение 9 получим два квадратных уравнения x tx x t x Решив систему уравнений получим четыре корня исходного уравнения 8 Таким образом решение возвратного уравнения четвертой степени также сводится к решению трех квадратных уравнений

10 РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Линейное рекуррентное уравнение называется неоднородным если его можно представить в следующем виде: f 3 где f - некоторая функция от Введем однородное линейное рекуррентное уравнение ОЛРУ соответствующее неоднородному линейному рекуррентному уравнению НЛРУ 3 F 4 а его общее решение обозначим через FO По аналогии с методами решения дифференциальных уравнений вначале пренебрежем начальными условиями и предположим что одно решение уравнения 3 уже найдено Назовем это решение частным и обозначим его через Будем искать общее решение НЛРУ в виде суммы F его частного решения и общего решения соответствующего ему ОЛРУ F 5 3 O Покажем что 5 действительно является решением НЛРУ 3 Подставим 5 в F F F F O O F F F F f O O но это уравнение является тождеством так как FO FO F O F F F F f где первое уравнение в системе есть общее решение ОЛРУ а второе частное решение НЛРУ Пусть НЛРУ имеет вид РЕШЕНИЕ НЛРУ ПРИ ФУНКЦИИ-КОНСТАНТЕ 6 b где b - целое число константа Будем искать частное решение уравнения 6 в виде константы F c 7 то есть c - также целое число Подставим 7 в 6 c c c c b b c 8 Константа будет частным решением уравнения 6 при условии неравенства нулю знаменателя формулы 8 Введем характеристический полином для НЛРУ 6 Если h h то очевидно что уравнение 6 имеет частное решение

11 b F h Обозначим формальную производную характеристического полинома Тогда h h через h 9 h 3 Пусть h но h Будем искать решение 6 в виде F c 3 Подставляя 3 в 6 имеем c c c c b c b c h h b но h а h и b c h Итак если h то уравнение 6 имеет частное решение b F h Обозначим -ю производную h через h По определению будем считать h h Из курса алгебры известно что если число α является -кратным корнем многочлена h то h α Теперь частное решение 6 можно записать в виде b F 3 h где - кратность корня характеристического многочлена h Пример Решить уравнение 5 при F 35 Составляем ОЛРУ F Составляем характеристическое уравнение h 3 Решаем характеристическое уравнение 4 Записываем общее решение ОЛРУ F C C C C 5 Находим частное решение НЛРУ 5 F 5 h так как h 6 Записываем общее решение НЛРУ F F C C 5 7 С учетом начальных условий находим коэффициенты в решении НЛРУ

12 C C 5 C C 5 35 получаем C C 8 Записываем решение НЛРУ F 5 Итак мы получили явную формулу для вычисления -го члена последовательности В заключение вычислим саму последовательность: Будем искать частное решение НЛРУ РЕШЕНИЕ НЛРУ ПРИ ФУНКЦИИ-МНОГОЧЛЕНЕ F b 33 в виде многочлена той же степени что и в правой части F c 34 Подставляя 34 в 33 получим правило вычисления коэффициентов многочлена j c j b 35 j Приравнивая коэффициенты в левой и правой части при членах содержащих получаем Остальные коэффициенты c c b b c при h h находятся аналогично путем приравнивания коэффициентов при в 35 Если является корнем характеристического уравнения h кратности то частное решение НЛРУ следует искать в виде F c РЕШЕНИЕ НЛРУ ПРИ ФУНКЦИИ-ЭКСПОНЕНТЕ Будем искать частное решение НЛРУ F bα 37 в виде 36 Подставляя 38 в 37 имеем То есть F cα cα bα 38

13 bα F h α если α не является корнем характеристического уравнения h Если же α является корнем характеристического уравнения кратности то частное решение 37 следует искать в виде F dα где d - некоторая константа Пример При решении одной задачи теории кодирования установлена рекуррентная зависимость числа умножений M от числа итераций при построении проверочной матрицы кода M M 4 3 при M 7 Запишем ОЛРУ M M Тогда имеем характеристическое уравнение h и общее решение ОЛРУ M C Будем искать частное решение в виде M d e Подставляя его в исходное уравнение имеем e 4 3 Левая часть уравнения не содержит d и следовательно предлагаемое частное решение определено неверно так как корень характеристического уравнения Теперь изменим вид частного решения на M d e Подставляя его в исходное уравнение имеем e 3 d Таким образом M C 3 и учитывая начальные условия C 3 Итак решение исходного уравнения M 3 3 РЕКУРРЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА Рекуррентные уравнения отличные от линейных рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами не имеют общего метода решения Они могут решаться например методом проб и ошибок Рассмотрим нелинейное уравнение F F b при F b 39 Вычислим значение при подстановке в 39 некоторых констант F b b b при ; F F b b b при ;

14 b b b F F при 3 Теперь можно предположить что решением уравнения 39 является 4 og b F где Подставляя 4 в 39 имеем og og og b b b b b b F F og og j j b b Таким образом 4 действительно является решением уравнения 39

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений».

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений». Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1,, a n-1, a n заданные числа, a 0,

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ 5 9 классы МОСКВА «ВАКО» 201 УДК 32.851 ББК 4.262.22 С4 6+ Издание допущено к использованию в образовательном процессе на основании приказа Министерства образования и науки РФ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78 Часть I Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 2 / 78 Поля вычетов по модулю

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78 Часть I Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 2 / 78 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

+ представляется в виде произведения линейных множителей следующим образом:

+ представляется в виде произведения линейных множителей следующим образом: Лекция. Элементы теории многочленов. Многочлен (некоторые сведения справочного характера) Функция вида: 1 P ( x) a0x a1x... a 1x a = + + + + (1) где натуральное число a i ( i = 01... ) постоянные коэффициенты

Подробнее

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО- ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Интегрирование рациональных функций (продолжение)

Интегрирование рациональных функций (продолжение) Занятие 4 Интегрирование рациональных функций (продолжение) Рациональной функцией (или, по-просту, дробью) называется отношение двух многочленов, то есть функция вида R() = f() g() = a 0 m + a m +...+

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

Теоремы «пифагоровых троек»

Теоремы «пифагоровых троек» Теоремы «пифагоровых троек» Мурсеев Михаил Петрович Существует различные методы определения вариантов «пифагоровых треугольников» Иногда их называют «пифагоровы тройки» или «египетские треугольники» К

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями Сайт автора Его блог Рассылка I. Задачи Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями I.1. Решите уравнение 3 m + 4 n = 5 k в натуральных числах. [Ответ] [Решение] I.2. При каких значениях х оба числа и целые?

Подробнее

Научно-исследовательская работа. Тема работы

Научно-исследовательская работа. Тема работы Научно-исследовательская работа Тема работы «Разложение многочлена пятой степени на квадратичные множители с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа» Выполнил: Шабуневич Эдуард Олегович учащийся

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ГС ЛУКЬЯНОВА АИНОВИКОВ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Рязань Министерство

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Алгебраические многочлены.

Алгебраические многочлены. Алгебраические многочлены. 1 Алгебраические многочлены степени n над полем K Определение 1.1 Многочленом степени n, n N {0}, от переменной z над числовым полем K называется выражение вида: fz = a n z n

Подробнее

V i : вычитание из i-й строки удвоенной последней; U i : ещё одно прибавление i-й строки к последней. Теперь ясно, что A = T 1 = T 1

V i : вычитание из i-й строки удвоенной последней; U i : ещё одно прибавление i-й строки к последней. Теперь ясно, что A = T 1 = T 1 Решения задач шестой студенческой олимпиады по алгебре Задача 1 Докажите, что если все элементы действительной квадратной матрицы порядка больше двух отличны от нуля, то их можно умножить на положительные

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром

Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики Фалилеева М.В. Первые шаги в решении уравнений и

Подробнее

8 класс Алгебра. Тема "Рациональные дроби"

8 класс Алгебра. Тема Рациональные дроби 8 класс Алгебра Тема "Рациональные дроби" 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Понятие алгебраической дроби знакомо вам из курса алгебры 7-го класса, где мы довольно много внимания уделили сокращению алгебраических дробей.

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

УДК Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка

УДК Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка 1 УДК 517 96 1. Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка Чочиев Тимофей Захарович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Южный Математический

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Лекция 6 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Курс: Дифференциальные уравнения Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по курсу ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА для студентов первого курса

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ 1 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Пусть нам дана еще одна линейная система того же размера a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

Тема: Интегрирование рациональных дробей

Тема: Интегрирование рациональных дробей Математический анализ Раздел: Неопределенный интеграл Тема: Интегрирование рациональных дробей Лектор Пахомова Е.Г. 0 г. 5. Интегрирование рациональных дробей ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональной дробью называется

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Метод разделения переменных (метод Фурье)

Метод разделения переменных (метод Фурье) Метод разделения переменных (метод Фурье) Общие принципы метода разделения переменных Для простейшего уравнения с частными производными разделение переменных это поиски решений вида только от t. u (x,t

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

О РЕШЕНИИ В НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ УРАВНЕНИЙ ВИДА

О РЕШЕНИИ В НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ УРАВНЕНИЙ ВИДА О РЕШЕНИИ В НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ УРАВНЕНИЙ ВИДА В диофантовом анализе уравнения вида относятся к трудно разрешимым. В настоящее время неизвестен общий метод полного решения даже простейших уравнений этого

Подробнее

Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными. Добрый день, ребята!

Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными. Добрый день, ребята! Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными Добрый день, ребята! На прошлом уроке мы повторили темы, изученные в 6 классе. Вспомнили, как выполнять действия с обыкновенными и

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

a 1 + a цепная дробь длины 1, a 0 + a цепная дробь длины =

a 1 + a цепная дробь длины 1, a 0 + a цепная дробь длины = Цепные дроби Конечные цепные дроби Определение Выражение вида a 0 + a + a + + a m где a 0 Z a a m N a m N/{} называется цепной дробью а m - длиной цепной дроби a 0 a a m будем называть коэффициентами цепной

Подробнее

1 Элеметарная теория погрешностей. 2

1 Элеметарная теория погрешностей. 2 Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................

Подробнее

Поле. Расширения полей

Поле. Расширения полей Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Поле. Расширения полей Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп.

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Глава 7. Понятие об асимптотических методах

Глава 7. Понятие об асимптотических методах Глава 7 Понятие об асимптотических методах Лекция Регулярно и сингулярно возмущенные задачи При построении математических моделей физических объектов, характеризующихся различными масштабами по пространству,

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-NetR Общероссийский математический портал В Ф Бутузов Н Т Левашова А А Мельникова Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малого параметра

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

Глава3 Рациональные дроби 1

Глава3 Рациональные дроби 1 Глава3 Рациональные дроби Тестовые задания и диктанты Т-0 Составление рационального выражения Т-0 Допустимые значения Т-03 Равенство дробей Т-04 Умножение и деление рациональных дробей Т-05 Приведение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее

В курсе линейной алгебры мы уже сталкивались с многочленами от матриц. В различных областях математики встречаются и другие, более сложные функции.

В курсе линейной алгебры мы уже сталкивались с многочленами от матриц. В различных областях математики встречаются и другие, более сложные функции. Функции от матриц Совместный бакалавриат ВШЭ-РЭШ. 2011-2012 учебный год. Общее замечание. В этом листочке мы рассматриваем матицы над полем комплексных чисел, хотя условие задач везде вещественно. Следите

Подробнее

А. А. КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

А. А. КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА А А КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ПСКОВ ББК 57 К45 Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского совета ПГПИ им СМ Кирова Рецензент: Медведева ИН, кандидат физ мат наук, доцент

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования.

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования. ЛЕКЦИЯ. Методы интегрирования..интегрирование по частям..рациональные дроби. Разложение правильной дроби на простейшие...интегрирование рациональных дробей..интегрирование по частям. Пусть u и v две непрерывные

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x)

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) Исследование и построение графиков функций Схема исследования графика функции Найти область определения функции множество значений (по возможности точки разрывов вертикальные асимптоты Прямая 0 называется

Подробнее

РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского НП Семерикова АА Дубков АА Харчева РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

9.1, 9.3 класс Модуль 5 «Последовательности. Степени и корни» В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

9.1, 9.3 класс Модуль 5 «Последовательности. Степени и корни» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 9., 9. класс Модуль 5 «Последовательности. Степени и корни» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. Последовательности Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей:

Подробнее

Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом

Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом Занятие 19 Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом 19.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Пусть требуется найти частное решение линейного

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Обратная матрица Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 9 класс СУММИРОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск

Подробнее

... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n.

... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n. 5. КРАМЕРОВСКИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В этом параграфе будем рассматривать системы линейных уравнений, у которых количество неизвестных равно числу уравнений. В самом общем виде эта система может

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Программа по математике

Программа по математике Программа по математике На экзамене по математике поступающие должны показать: 1. Четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и геометрии, умение доказывать теоремы и выводить

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики и кибернетики Кафедра теории вероятностей и математической статистики ПРЕДЕЛЫ Методическое

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ по математике

Подготовка к ЕГЭ по математике 2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач В15 Александр и Наталья Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Подробнее