МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 1 ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. для студентов заочного отделения экономических специальностей

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 1 ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. для студентов заочного отделения экономических специальностей"

Транскрипт

1 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ для студентов заочного отделения экономических специальностей М и н с к 0 0 8

2 УДК 5985 (0758) ББК 887я7 М 5 Составитель ЛД Матвеева Рецензенты: ВВ Карпук, НА Шавель Настоящее издание включает в себя программы и контрольные задания по темам «Элементы линейной алгебры», «Векторная алгебра и аналитическая геометрия», «Введение в математический анализ Дифференциальное исчисление функции одной переменной» и «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных» Каждое задание состоит из 0 контрольных вариантов Все темы содержат основные теоретические сведения и примеры решения типовых задач Издание содержит список экзаменационных вопросов и рекомендуемой литературы Методические указания предназначены для студентов экономических специальностей заочного отделения БНТУ Они могут быть также полезны преподавателям, ведущим практические занятия по данному курсу БНТУ, 008

3 Тема ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы Сложение матриц; умножение матрицы на число; произведение матриц Обратная матрица Определители n-го порядка и их свойства Методы вычисления определителей Обратная матрица Ранг матрицы 5 Решение невырожденных систем линейных уравнений 6 Теорема Кронекера Капелли Решение произвольных линейных систем Решение невырожденных систем линейных уравнений Пусть задана система линейных уравнений a a a nn b, a a ann b, am am amnn bm, () где aij, bi R заданные числа, j неизвестные, i m, j n Решением системы () называется такое множество значений неизвестных c, c,, n cn, при которых каждое уравнение обращается в тождество Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая решений несовместной Матрицы a a a a a a A a a a n n m m mn и a a a n b a a an b A am am amn b m называются матрицей системы и расширенной матрицей системы соответственно Рассмотрим случай, когда число уравнений m системы совпадает с числом неизвестных n (m = n) Тогда матрица системы А является квадратной матрицей порядка n Система n уравнений с n неизвестными называется невырожденной, если определитель матрицы системы А отличен от нуля (det A 0 )

4 Обозначим det A a a a n a a a n a a a n n nn Невырожденная система имеет единственное решение Существует два метода решения таких систем Правило Крамера Если определитель Δ отличен от нуля, то решение системы находится по формулам n,,,, () n где j ( j, n) определитель, полученный из определителя Δ заменой j го столбца столбцом свободных членов Матричный метод Введем матрицу столбец свободных членов b b системы B и матрицу-столбец неизвестных X b n n Тогда систему n уравнений с n неизвестными можно записать в виде AX B () Эта форма записи системы называется матричной Матрицей A, обратной к матрице А размера n n, называется такая матрица, для которой справедливо равенство A A A A E, где Е единичная матрица n-го порядка Матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной Для того чтобы данная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной Рассмотрим уравнение () Пусть А невырожденная матрица Тогда решение системы можно найти по формуле X A B ()

5 Пример Проверить невырожденность системы линейных уравнений 5, и решить ее: а) по формулам Крамера; б) матричным 7, методом Решение Запишем матрицу системы A 5 Проверим невырожденность системы Для этого вычисляем определитель Δ матрицы А: det A 5 0 Так как 0, то система невырождена Решаем ее а) по формулам Крамера Вычисляем определители: ; 5 ; 5 6 По формулам () находим решение системы: 6,, Делаем проверку: 7; 5 ; б) матричным методом Находим обратную матрицу где c A A det A, c A союзная матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов a ij матрицы А A A A c A A A A, A ( ) i j ij Mij, A A A где M определитель, полученный из определителя Δ вычеркиванием i-й ij строки и j-го столбца Имеем: 5 5 A, A 6, A 7, A ij

6 A 0, A, A, A, A 8, A 5 5 Тогда получаем 0 0 A По формуле () находим решение: 0 7 X A B 7 Ответ:,, Решение произвольных систем линейных уравнений Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений () Элементарными преобразованиями матрицы называются: а) перестановка местами любых двух строк; б) умножение строки на некоторое число 0 ; в) прибавление к одной строке матрицы любой другой строки, умноженной на некоторое число; г) удаление нулевой строки Решение системы методом Жордана Гаусса основано на следующем утверждении: элементарные преобразования расширенной матрицы системы не изменяют множества решений системы Суть метода заключается в том, чтобы при помощи элементарных преобразований привести расширенную матрицу к наиболее простому виду С помощью операции в) можно исключить какое-либо неизвестное из всех уравнений, кроме одного Переменная называется базисной в i м уравнении, если a ij, a 0 при s i, s,,, m sj j 5

7 Матрица системы с помощью элементарных преобразований приводится к так называемому базисному виду, если в каждом уравнении системы есть базисная переменная Если матрица системы приведена к базисному виду, то переменные, не являющиеся базисными, называются свободными Решение системы, полученное после приравнивания нулю всех свободных переменных, называется базисным Опишем одну итерацию метода Жордана Гаусса В первой строке расширенной матрицы находим ненулевой элемент a Если таковых нет, то в случае b 0 вычеркиваем данную нулевую j 0 строку; если b 0, то система несовместна Элемент a j называют ведущим элементом Если a, то делим первую строку расширенной матрицы на этот элемент j j a Ко всем строкам, кроме первой, прибавляем первую строку, умноженную на ( aij ), где i номер изменяемой строки После этой операции коэффициент при j в первом уравнении будет равен единице, а во всех остальных уравнениях нулю Следовательно, переменная j станет базисной Описанную итерацию проводим для остальных строк расширенной матрицы, пока не получим m базисных неизвестных ( в каждом уравнении по одной базисной переменной) После этого находим общее решение и базисное (приравнивая свободные неизвестные нулю) Пример Решить систему линейных уравнений методом Жордана Гаусса Найти общее и базисное решения Решение Вычисления будем производить в таблице В исходной части таблицы записываем расширенную матрицу системы b

8 В первой строке выберем элемент a ведущим Выделим ведущий элемент рамкой Изменяем вторую, третью и четвертую строки: ко второй строке по элементам прибавляем первую строку, умноженную на (-), к третьей первую строку, умноженную на (-), и к четвертой первую строку, умноженную на (-) В результате получим таблицу, в которой переменная стала базисной b Выбираем элемент a ведущим С помощью элементарных преобразований получаем таблицу, в которой переменная стала базисной b Выбираем, например, элемент a ведущим и делим на него элементы третьей строки Получаем таблицу b Теперь делаем нули в остальных строках четвертого столбца Получаем таблицу, в которой переменная стала базисной 7 b

9 Удаляем вторую нулевую строку, получаем таблицу b Поскольку каждое уравнение теперь содержит по одной базисной переменной, то оставшаяся небазисная переменная является свободной Полагаем c Из последней строки таблицы получаем Из второй строки следует 7, откуда находим 7 или 7 c Из первой строки следует, откуда получаем или c Выписываем общее решение: c; ; c; 7 c, c R Найдем базисное решение Положим c 0 Тогда имеем,, 0, 7 Сделаем проверку, подставляя найденное решение в исходную систему 0 7 ; 0 5 ( 7) ; 5 0 ( 7) 7; ( 7) Ответ Общее решение: c; ; c; 7 c, c R, базисное решение:,, 0, 7 Задание Проверить невырожденность системы линейных уравнений и решить ее: а) по формулам Крамера; б) матричным методом z, z 6, 5z z 0, z, z z 6, z, 7 z 6 z 0, z, z 5 z 6, z, z 0 6 5z, 5 z, 5z 0 7 5z 6, 5z 0, z 7 8 5z, z, z 0, 9 z, z 0 8

10 0 6, z 5, z z, z 7, z z, 5 8 z 7, z 9 6 z, z 5, 5z z 8, z, z 5 z 0, z, z 8 z 0, 7 z 6, z, 5 z, z 5z 0, 8 5 z 6, 6z 9 z, z 0, z 5 0 z 8, z, 5 z z 7, z 9, z z, z 7, z z, z 0, z0 z, 5z, z 5 5z, 5 z, 5z z 6, z, z 6 7 z 0, z 6, z 8 z 8, 5 z 5, z 9 z 7, 5z, 5z 0 0 6z, 5z 0, 5 z 6 Задание Решить систему линейных уравнений методом Жордана Гаусса Найти общее и базисное решения 5,,, 5, 5,, 6 6 9

11 5,, 5, 6 6, 6,, 8 5, 5, 8, 6 6 6, 6, 5, 5 6, 7, 6 8 7, 5 5, 7 8 5, 0, 5 5, 5 5 9, 0, 5, 0,, 5, 5, 0,, 5,,, 5 6,, 5,, 6 8 7, 5 6, , 5, 5, ,, 6 6, 5 5 0

12 7 6,, 5 7, 8 8 7,, 6, 9, 5,, 0,, 5, 6 6,,, 5 5, 7,, 5 5, 0, 5 8, 5 5,, 5 6 5, 5 5 8,, 5 0, ,, 5, 7, 0,, 5 8, 5, 8 5 5, , 5 5,, ,, 0, 5

13 Тема ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Векторы на плоскости и в пространстве Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на скаляр Проекция вектора на ось Система декартовых прямоугольных координат в пространстве Проекции вектора на оси координат Направляющие косинусы вектора Длина и координаты вектора Действия над векторами в координатной форме Скалярное произведение векторов Его свойства и приложение Векторное произведение двух векторов Его свойства и приложение Условие компланарности трех векторов 5 Смешанное произведение трех векторов Его свойства и приложение 6 Различные уравнения плоскости Уравнения прямой на плоскости и в пространстве 7 Взаимное расположение плоскостей и прямых Угол между плоскостями Угол между прямыми Угол между прямой и плоскостью 8 Расстояние от точки до прямой и плоскости 9 Кривые второго порядка Эллипс, гипербола, парабола Вывод канонических уравнений 0 Канонические уравнения поверхностей второго порядка Исследование формы поверхности методом сечений Векторное пространство Линейная зависимость и независимость системы векторов Базис векторного пространства Векторы Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: a b a b cos Если векторы a и b заданы своими координатами a a, a, az,, z a b a b a b a b b b b b, то z z Угол между векторами a и b определяется по формуле, cos ab a b a b az bz a b a a a b b b z z () Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор, обозначаемый символом a, b и удовлетворяющий следующим условиям:

14 а) a, b a b sin, б) a, b a, b, в) векторы a, b, ab, образуют правую тройку векторов Модуль векторного произведения ab, равен площади S параллелограмма, построенного на векторах a и b : S a, b () В координатной форме векторное произведение ab, формуле i j k a az a a a a z a, b a a az i j k b b z b b b z b b b b z находится по Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число, равное скалярному произведению вектора ab, на вектор c Обозначается смешанное произведение ab c В векторной форме смешанное произведение a, b, c находят по формуле a a a z a b c b b b z c c c z Модуль смешанного произведения ab c равен объему V параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c : V a b c () Плоскость и прямая в пространстве Нормальным вектором плоскости называется всякий (отличный от нуля) вектор, перпендикулярный к этой плоскости Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M0( 0, 0, z 0) и имеющее нормальный вектор n A, B, C, в декартовых координатах имеет вид:

15 A B Cz z где D A B Cz или A B Cz D 0, () Уравнение () называют общим уравнением плоскости Если все коэффициенты уравнения () отличны от нуля, то его можно преобразовать к виду z, (5) a b c D D D где a, b, c величины отрезков, отсекаемых на координатных осях Уравнение (5) называется уравнением плоскости в отрезках A B C Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M(,, z ), M(,, z ), M(,, z ), имеет вид z z z z 0 (6) z z Направляющим вектором прямой называется вектор, лежащий на прямой или параллельный ей Пусть s m, n, p направляющий вектор прямой, точка M0( 0, 0, z 0) принадлежит прямой Тогда уравнения прямой вида 0 0 z z0 (7) m n p называют каноническими уравнениями прямой в пространстве Пусть даны две точки M(,, z ) и M(,, z ), лежащие на прямой Уравнения вида z z z z (8) называют уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки 0 0 z z0 Угол между прямой и плоскостью m n p A B Cz D 0 определяется по формуле

16 sin Am Bn Cp A B C m n p (9) Пример Даны координаты вершин пирамиды A ; ; 5, ; 6; A, A, ; ;0 A 5; ; Требуется найти: а) длину ребра AA ; б) угол между ребрами AA и AA ; в) площадь грани A A A ; г) объем пирамиды; д) уравнение прямой AA ; е) уравнение плоскости A A A ; ж) угол между ребром AA и гранью A A A ; и) уравнение высоты, опущенной из вершины A на грань A A A Решение а) Длину ребра AA определяем по формуле где A A z, A A ; ; z,,, z z z В нашем случае AA Тогда 5; ; AA б) Угол между ребрами AA и AA находим как угол между векторами A A A A AA и AA по формуле (): cos A A A A находим Имеем AA 5; ;, AA ; 6; 6 Тогда 5 ( 6) ( ) ( 6) 0 cos 5 ( 6) в) Площадь грани A A A вычисляем как площадь треугольника, построенного на векторах AA, AA (формула ()): SA A A A A, A A Имеем AA 5; ;, AA 6; 8; 5, i j k A A, A A i j k i j 5 k S 5 69 ед 5

17 г) Объем пирамиды найдем по формуле (): V A A A A A A 6 5 Имеем A A A A A A Отсюда V (ед ) д) Уравнения прямой AA найдем по формуле (8): 5 5 z 5 или z е) Уравнение плоскости A A A определяем по формуле (6): z или z Отсюда 5 z 5 0, z 5 0, 6 5z 60 0, 5z 0 0 ж) Угол между ребром AA и гранью A A A находим как угол между прямой AA и плоскостью A A A по формуле (9) В нашем случае s A A ;; 5 ; 6; 6, n Тогда sin з) Уравнение высоты, опущенной из вершины A на грань A A A, определяем как уравнение прямой, проходящей через A 5; ; перпендикулярно плоскости A A A Уравнение плоскости A A A : 6

18 Тогда имеем ; ; 5 5z 0 0 получаем 5 z 5 s По формуле (7) Задание Даны координаты A (,, z ), A (,, z ), A (,, z ), A (,, z ) вершин пирамиды Найти: ) длину ребра AA ; ) угол между ребрами AA и AA ; ) угол между ребром AA и гранью A A A ; ) площадь грани A A A ; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины A на грань A A A ; 7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из вершины A на грань A A A и вершину A пирамиды; 8) расстояние от вершины A до плоскости A 7; ;, A 5; ;, A ; ; 5, A ; 5; A ; ;, A ; ;, A ; ; 0, A ; 5; 5 A ; ;, A ; ;, A ; ; 7, A ; ; A A A A 5 A 5; ; 0, A 7; 0;, A ; ;, A 5; 5; 6 A ; ;, A ; 0;, A 0; 0;, A 5; ; 7 A 0; ;, A ; 0; 5, A ; ;, A ; ; 8 A ; ;, A ; ;, A ; 0; 5, A ; ; 0 9 A ; ;, A ; ;, A 0; ;, A 5; ; 0 A ; ; 0, A 0; 7;, A ; 0; 5, A ; ; 5 A ; ;, A 0; ;, A ; ;, A 5; ; A ; ;, A ; ;, A 7; ;, A ; ; A ; ;, A ; ; 0, A ; 0; 5, A 5; ; A ; ;, A 5; ; 0, A ; ;, A ; ; 5 A ; ;, A ; 0;, A ; ;, A 5; ; 6 A ; 0;, A ; ;, A ; ;, A 0; ; 5 7 A ; ;, A ; ;, A 0; ;, A 5; ; 8 A ; ;, A ; ;, A 7; 0;, A ; ; 0 9 A ; ; 9, A 6; 9; 0, A ; 7;, A 8; 5; 7 0 A ; 5;, A 5; 8;, A ; 9; 7, A 6; ; A ; ;, A 7; 6;, A ; 9;, A ; 6; 8 A 0; 7;, A ; ;, A ; 6;, A 6; 9; A 5; 5;, A ; 8;, A ; 5; 8, A 5; 8; A 6; ;, A ; 6; 8, A ; 5; 0, A ; ; 8 ; ;, ; ;, ; ;, ; ; 7

19 5 A A A A 6 A 0; 0;, A 9; ;, A 5; 7;, A ; 6; 7 A ; ;, A 7; 6; 0, A ; ; 0, A ; ; 0 8 A A A A 9 A ; ;, A ; ;, A ; 0;, A ; ; 5 0 A ; 5;, A 0; 7;, A ; ;, A ; ; 7; 0;, 9; ;, ; 5; 0, ; 0; 0; 0;, ; ; 5, ; ;, 0; 6; Тема ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие числовой последовательности и ее предела Предел функции в точке Основные теоремы о пределе суммы, произведения и частного Замечательные пределы Непрерывность функции в точке Точки разрыва и их классификация 5 Понятие производной, ее геометрический смысл 6 Производная суммы, произведения, частного 7 Дифференциал и его геометрический смысл 8 Производная функции, заданной неявно и параметрически 9 Производные и дифференциалы высших порядков 0 Возрастание и убывание графика функции Экстремум Выпуклость и вогнутость функции Точки перегиба Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Предел функции Основные способы вычисления пределов Число А называют пределом функции f () при a (или в точке а), если для любого числа 0 существует такое число ( ) 0, что при всех х, удовлетворяющих условию 0 a, выполняется неравенство f ( ) A Обозначают предел f ( ) A a Если функции f( ) и g ( ) имеют пределы в точке a, то: ( f ( ) g( )) f ( ) g( ), a a a ( f ( ) g( )) f ( ) g( ), a a a 8

20 a f ( ) g( ) f ( ) a, g( ) a g( ) 0 a Функция f () называется бесконечно малой в точке a, если ее предел в этой точке равен нулю: f ( ) 0 9 a Функция f () называется бесконечно большой в точке a, если для любого числа M 0 существует такое число ( M ) 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 a, выполняется неравенство f ( ) M При этом записывают ( ) a При нахождении предела f ( ) a g ( ) в случае, когда f( ) и g ( ) являются бесконечно малыми (бесконечно большими) функциями в точке a, говорят, что отношение f ( ) g( ) при a представляет собой неопределенность вида Аналогично вводятся неопределенности вида, 0,, 0,, которые встречаются при нахождении соответственно пределов ( f ( ) g( )), ( f ( ) g( )) и g( ) ( f ( )) Отыскание предела в a a a таких случаях называют раскрытием неопределенности При решении задач используют: а) первый замечательный предел: или sin ( ) ; ( ) 0 ( ) б) второй замечательный предел: ( ) 0 ( ( )) ( ) e ; e в) некоторые важные пределы: ( a ) ln( ( )) ln a,, ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) e ( ( )), p ( ) ( ) 0 ( ) p

21 г) эквивалентность бесконечно малых функций Пусть ( ) и ( ) бесконечно малые функции в точке a ( ) Если, то ( ) и ( ) называются эквивалентными a ( ) бесконечно малыми функциями, что обозначается так: ( ) ( ) Т е о р е м а Предел отношения двух бесконечно малых функций при a не изменится, если каждую из них или только одну заменить другой эквивалентной бесконечно малой функцией При замене бесконечно малой функции эквивалентной используют таблицу эквивалентных бесконечно малых функций при a : sin ( ) ( ) ; arcsin ( ) ( ) ; tg (х) ( ) ; arctg () ( ) ; 5 ln( ( )) ( ) ; 6 e ( ) 0 Рассмотрим основные методы раскрытия неопределенностей, Пример Вычислить 6 8 Решение Имеем неопределенность Преобразуем выражение под знаком предела: Пример Вычислить 0 Пример Вычислить 6 Решение Имеем неопределенность 0 0 Выделим в числителе и в знаменателе одинаковый множитель Для этого разложим числитель и знаменатель на сомножители Имеем: 0 ( )( ) 6 0 ( ) ( ) ( )( ) 0 ( ) 0

22 Пример Вычислить 0 5 Решение Имеем неопределенность 0 0 Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение : sin( ) Пример 5 Вычислить 0 Решение Имеем неопределенность 0 Используем первый sin( ) замечательный передел В нашем случае,( ) 0 Следовательно, получаем sin( ) ( )( ) arctg( 5) Пример 6 Вычислить 5 0 Решение Имеем неопределенность 0 0 Заменим бесконечно малую функцию arctg( 5) при 5 эквивалентной бесконечно малой функцией () 5 Получаем arctg( 5) 0 5 arctg( 5) ( 5) Неопределенности вида и 0 преобразуются к неопределенности вида 0 0 Пример 7 Вычислить Решение Имеем неопределенность вида Приведем две дроби к общему знаменателю: 0 0 ( )( )

23 Пример 8 Вычислить tg Решение Имеем неопределенность вида 0 Преобразуем выражение: 0 0 tg (0 ) ctg 0 0 tg = tg Для раскрытия неопределенности вида применяют второй замечательный предел Пусть f ( ), а g( ) Тогда имеем a a a g( ) f ( ) ( ) ( f ( ) ) a f ( ) ( f ( ) ) g( ) ( f ( ) ) g( ) a e Приходим к неопределенности вида Пример 9 Вычислить 0 ( ) e ( ) () ( ) e e Пример 0 Вычислить 5 ( ) e e e Производной функции f () в точке 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

24 f ( 0 ) f ( 0) f ( 0 ) 0 Операция нахождения производной называется дифференцированием Если функции u u() и v v() и имеют производные в некоторой точке х, то основные правила дифференцирования выражаются формулами: ( cu) c u u u ; ( c const) ; c c ( u v) u v ; ( u v) uv v u u v vu u ;, v 0 v v Таблица основных производных a a a u u u u u u ( R) ln u u e e u lnu u u 5 (sin u) cosu u cos u sinu u 6 7 (tg u) u cos u 9 (arcsin u) u u (arctg u) u u u sin u 0 (arccos u) u u arcctg u u u 8 ctg u Правило дифференцирования сложной функции Если f (u) и u g() дифференцируемые функции своих аргументов, то производная функции от функции (или сложной функции) f ( ( )) существует и равна произведению производной данной функции у по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента и по независимой переменной х: u u Пример Найти производную функции sin Это сложная степенная функция, аргумент которой является сложной тригонометрической функцией

25 Первый промежуточный аргумент u u sin Так как u u sin z, второй, z z u sin z cos z cos, z, то sin sin cos sin cos Дифференцирование неявных функций Пусть функция ( ) задана уравнением F(, ) 0 В этом случае говорят, что функция у задана неявно Производная ( ) может быть найдена из уравнения F 0, где F F(, ) рассматривается как сложная функция от переменной х Пример Найти производную функции 0, заданной неявно Дифференцируем это равенство по х, считая, что у функция от х: 6 0 Отсюда 6 Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть функция ( ) задана параметрически: ( t), ( t), t T Пусть t () и t () - дифференцируемые функции и ( t) 0 Тогда имеем: t () Пример Найти производную функции Решение Находим t по формуле () получаем t sin t sint cost sin t cost, cos t sint sint cost cost t t sint Тогда t

26 Дифференцирование степенно-показательной функции ( ) Пусть u( ) v, где u ( ) 0, u ( ) и v ( ) дифференцируемые функции по х Производная степенно-показательной функции находится с помощью предварительного логарифмирования Пример Найти производную функции (arcctg ) Логарифмируем данное равенство по основанию e : ln ln(arcctg ) Дифференцируя обе части последнего равенства по х как сложную функцию получаем: ln(arcctg ) arcctg Откуда находим ln(arcctg ), arcctg ( ) или (arcctg ) ln(arcctg ) arcctg ( ) Производные высших порядков Производной второго порядка функции f () называется производная от ее производной f ( ) (которую называют первой производной) Рассмотрим функцию ( ) заданную параметрически: t ( t), ( t), t T Имеем Тогда по формуле () получаем t ( ) t t () a( t sin t); Пример 5 Найти, если a( cos t) Решение Находим t a( cos t), t a sin t По формуле () получаем 5

27 Находим t asint sint a( cos t) cost t sint cos t( cos t) sint sint cos t (cos t sin t) ( ) t cos t ( cos t) ( cos t) cost (cost) cost По формуле () получаем ( ) t cos t a( cos t) a( cos t) t Исследование функций и построение графиков Если для двух любых значений аргумента и ( ), взятых из области определения функции, из неравенства следует, что а) f ( ) f ( ), то функция называется возрастающей; б) f ( ) f ( ), то функция называется неубывающей; в) f ( ) f ( ), то функция называется убывающей; г) f ( ) f ( ), то функция называется невозрастающей Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции называются монотонными Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными Признак монотонности и строгой монотонности функции Функция f( ), дифференцируемая на ( a; b ), возрастает (убывает) на ( a; b ) тогда и только тогда, когда f ( ) 0 ( f ( ) 0) ( a; b ) ; если при этом не существует интервала ( ; ) ( a; b ), такого, что f ( ) 0 ( ; ), то f( ) строго возрастает (убывает) на ( a; b ) Значение f( 0) называется локальным максимумом (минимумом) функции f( ), если существует такая окрестность точки 0, что ( 0 ; 0 ) и 0 выполняется неравенство f ( ) f ( 0) ( f ( ) f ( 0) ) Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум Необходимое условие экстремума: если функция f( ) в точке 0 имеет локальный экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует 6

28 Внутренние точки множества D( f ), в которых f( ) непрерывна, а ее производная f ( ) равна нулю или не существует, называются критическими точками функции f( ) Первое достаточное условие локального экстремума Если функция f( ) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки 0, кроме, может быть самой точки 0, а f ( ) 0 ( f ( ) 0) при 0 0, и f ( ) 0 ( f ( ) 0) при 0 0, то в точке 0 функция имеет локальный максимум (минимум) Второе достаточное условие локального экстремума Если в критической точке 0 функция f( ) дважды дифференцируема и f ( 0) 0 ( f ( 0) 0), то в этой точке функция f( ) имеет локальный максимум (минимум) График дифференцируемой функции f ( ) называется выпуклым (вогнутым) на ( a; b ), если он на этом интервале расположен ниже (выше) касательной, проведенной в любой его точке M ( ; f ( )), где ( a; b ) Если функция f( ) в интервале ( a; b ) дважды дифференцируема и f ( ) 0 ( f ( ) 0) ( a ; b), то график функции в этом интервале выпуклый ( вогнутый) Точка M 0 графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую (вогнутую) часть от вогнутой (выпуклой), называется точкой перегиба Достаточное условие существования точки перегиба Если вторая производная f ( ) функции f( ) в точке 0 равна нулю или не существует и меняет знак при переходе через эту точку, то M0( 0 ; f ( 0)) точка перегиба графика функции f ( ) Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка этой кривой при неограниченном удалении от начала координат Различают вертикальные и невертикальные асимптоты Прямая a называется вертикальной асимптотой графика функции, если хотя бы один из односторонних пределов функции f ( ) в точке а равен бесконечности: f( ) или f( ) a0 a0 Прямая k b ( k 0) называется наклонной асимптотой графика функции f ( ) при ( ), если функцию f( ) можно представить в виде f ( ) k b ( ), где ( ) бесконечно малая функция при ( ) f( ) Если существуют пределы: k, ( f ( ) k) b, ( ) ( ) то уравнение k b определяет наклонную асимптоту Если k 0, то b горизонтальная асимптота 7

29 Построение графика функции Исследование функции и построение ее графика можно проводить по следующей схеме: Найти область определения функции Исследовать функцию на четность (нечетность) и периодичность Найти точки пересечения графика с осями координат Найти точки разрыва функции и асимптоты кривой Определить интервалы монотонности и локальные экстремумы функции 5 Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции 6 Построить график функции Пример 6 Исследовать функцию f( ) и построить ее график Решение Находим область определения D ( ) ( ;) (; ) Поскольку f ( ) f ( ), f ( T) f ( ), то функция не является четной, нечетной и периодической Находим точки пересечения с осями координат: а) так как 0, то график функции не пересекает ось O ; б) при 0 график функции пересекает ось Оу в точке 0 Функция не определена в точке Поскольку f( ) 0, 0, то точка разрыва второго рода Так как, то прямая есть вертикальная асимптота Далее находим f ( ) k, ( ) b ( k) Следовательно, прямая есть наклонная асимптота ( ) Вычислим ( ) ( ) Первая производная не существует в точке, которая не принадлежит области определения D ( ) и, следовательно, не является критической точкой 8

30 При 0 получаем 0 или, Точки и являются критическими (стационарными) точками Определим интервалы монотонности из неравенств 0 и 0 D( ) : 0 ( ) 0 ( ) при ; ; ; при ; Следовательно, функция возрастает при ; ; и убывает при ; В точке функция имеет максимум ma = 0,8 В точке функция имеет минимум min =,8 5 Находим ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции из неравенств 0, 0, D( ) Имеем 0 при (; ), 0 при ( ; ) Следовательно, кривая выпукла на ( ; ) и вогнута на (; ) Так как не принадлежит области определения функции и 0, D( ), то точек перегиба нет Результаты исследования функции f ( ) заносим в таблицу ( ; ) ( ;) (; ) ( ; ) + 0 не 0 + сущ не сущ - 0,8 ma не сущ,8 min 9

31 6 Исходя из результатов таблицы строим график данной функции Y - 0 X Задание Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя Бернулли ( ) а) (, б) cos5, в) ) а) ( ), б) cos0, в) (0 ) а) tg sin8, б), в) 0 ( ) 5 8 а) cos, б), в) 0 ( ) 5 а) ( ), б) , в) sin 0

32 6 а) 8 ( ), б) 0 arctg0, в) cos5 0 7 ( 5 ) 7 а) 8 sin, б), в) (ln( ) ln ) 6 8 а) sin( ), б), в) а) 9, б) 0 sin7, в) а) 0 sin5, б), в) 0 а) 7 5 ( ), б) sin 0 5 ( cos8 ), в) (cos ) 0 а), б) 8 arcsin0 0, в) ( sin5 ) 0 а) , б) arctg5 0 9, в) ( tg ) 0 а) 9( 9) ( ), б) cos cos, в) (ln(5 ) ln( )) 0 cos 5 а) ( 9 9), б), в) 5 (cos6 ) 0 0 arcsin8 6 а) 7, б) 8, в) ln( 6 ) 0 7 а) 5 0, б) 0 cos, в) tg8 0 ( tg )

33 8 а) 7 5 6, б) 0 cos cos 5 tg, в) 7 9 а) 0 9 cos cos, б), в) 0 cos6 ( 0 tg ) 0 а) , б) 0 cos8 sin5, в) а) 6, б) 9, в) 0 sin ( ) 0 cos ( sin ) а) а) ( ), б) sin, e в) 8 e, б), tg7 в) ln( 8 ) l ln 0 0 а) 5 а) 56 8, б) sin, в) cos, б) arcsin, в) 0 arcsin5 (cos ) а) 0 6, б) cos5, в) ( ) 5 7 а) ( ), б) cos sin, в) cos ln( ) 0 8 а) 5 5, б) sin, в) sin а), б) tg6 cos, в) ( 5) 0 а) 6 7 5, б) tg ctg 0, в) ( )(ln( ) ln )

34 Задание 5 Найти производные d d sin 5 а) lncos( 5), б) sin e, в) (arcsin ), г) 5 а) arccos, б) e, в) ln5 5 (arccos ), г) ln e arctg, б), в) 5 а) lne e ctg (tg ), г) ln 5 а) arcsin, б) e, в) arcctg arccos, г) tg 55 а) г) arctg e, б) arctg e sin5 ln, в) (sin0 ), e 56 а) lnln, б) sin, в) arcsin5, г) cos 57 а) ln, б) г) ln sin0, в) ln0 cos cossin5, 58 а) e arcsin, б) e г) arccos tg,, в) arctg ln 59 а) cos г) arcctg 50 а) arctg e sin, б) 5 e, б) lnsin cos sin,, в) ctg, в) arcsin5, г) e

35 5 а) ln arctg, б) e log, в) e, г) ln 5 а) arctgln, б) г) arcsin cos, в) e arccos5, 5 а) ln sin, б) ctg, в) ln cos, г) arcsin 5 а) sin ln arccos, б), в) arcctg, г) e 5 cos tg cos 55 а), б) e sin 0 г), в) sin0 ln, 5 56 а) arcsin 8, б) г) ln ln 8, в) arcsin, 57 а) ln e, б) sin 0 г) 58 а) ctg, б) г) 0 sin cos, в) arctg,, в), arccos 59 а) ln 0, б), в) 5 г) sin cos 0 arccos7, 50 а) e cos, б) arccos г) e sin, в) arctg sin,

36 , б) cos 5 а) tg г) sin 0, в), 5 а) cos 5 e, б) sin, в) e, г) e e 5 а) sin 5, б) arctg, в) cos5, г) tg 5 а) ln cos e, б) г) e cos sin, в) ctg, 55 а), б), в) tg tg tg 0 arctg, г) 56 а) cos e, б) sin tg, в) cos sin, г) tg e sin 57 а) arcsin, б) cos cos г) 7 0, в) 7, 58 а) cosln sinln, б) г) ln arcsin cos sin, в) e sin e cos 0, 59 а) sin, б) arctg tg 0 г) tg, в) ctg0, 50 а) e 5 ln, б), в) cos5 e tg, г) e 5

37 для параметри- Задание 6 Найти производные второго порядка ческой функции, 6 sint cos t lnsin t, 6 cost e t cos t, 6 t sin t e 6 e t, t, 65 sint ctg t 66 t e e t, 67 t e, t 68 t, t t arctg t, 69 t t sin t, 60 cos t t, t 6 t t arcsin t, 6 t t e, 6 ln5 t arcctg t, 6 5 t ln0 t, 65 t tg t, 66 cos t t e, 67 arcsin t t cos, 68 t sin t arcsin t, 69 arccos t t sin t, 60 cos t cos t, 6 sin t arcsin t, 66 t, t t 6 t 5t t sin t, 6 sin t ln t, 67 t ln tg t, 6 ctg t ln t, 65 t t 68 arcsin, arccos t 69 t e, arctgt t, 60 arctg t 6

38 Задание 7 Исследовать функцию f и построить ее график 7 ln e e 77 8 e ln ln 7 7 ln 75 e ln 7 ln 7 e 75 ln e 78 ln Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Понятие функции нескольких переменных Область определения Частное и полное приращение Предел функции нескольких переменных Непрерывность Частные производные функции нескольких переменных Геометриический смысл частных производных функции нескольких переменных 7

39 Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных 5 Дифференцирование сложной функции и неявно заданной функции Полный дифференциал 6 Производная по направлению Градиент функции нескольких переменных Свойства градиента 7 Частные производные и дифференциалы высших порядков Формула Тейлора 8 Экстремум функции нескольких переменных Необходимые и достаточные условия существования экстремума 9 Условный экстремум функции нескольких переменных Метод множителей Лагранжа 0 Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в области Понятие функции нескольких переменных и ее предела m Пусть D множество точек X (,,, m) пространства E Если каждой точке X по определенному закону f ставится в соответствие некоторое число z, то говорят, что на множестве D определена функция m переменных z f (,,, m); z f ( ) При этом,,, m называются независимыми переменными или аргументами Множество D точек X, для которых существует z, называют областью определения функции и обозначают D( f ), а множество значений z обозначают E( f ) z f (, ) функция двух переменных Пусть функция z f (,,, m ) определена на множестве D Число b называют пределом функции z f ( X ) в точке A( a, a,, a m), если для любого числа 0 существует такое число ( ) 0, что для всех точек X D, удовлетворяющих условию 0 ( X, A), выполняется неравенство f ( X ) b Обозначение: f ( X ) b или XA f (,,, ) b a a a m m m Частным приращением по переменной k ( k, m) функции z f (,,, m ) в точке X D называется разность 8

40 z f (,,,,, ) f (,,, k,, m), k k m k где k приращение переменной k z Если существует k, то он называется частной производной k 0 k z функции z по переменной k в точке Х и обозначается (или k z, f (,,, ) ) m k k При нахождении частной производной по одной из переменных пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все остальные переменные постоянными Пример Найти частные производные функции z ln sin Решение Имеем z const cos ctg, sin z const cos ctg ( ) sin ctg Рассмотрим функцию трех переменных u u(,, z) на множестве D Полным дифференциалом функции и в точке M (,, z ) называется главная часть полного приращения функции u A B C z o( ) o( ) o( z), линейная относительно приращений переменных, и z ( А, В, С постоянные числа ) Полный дифференциал находят по формуле u u u du d d dz, () z где d, d, dz z Производной по направлению вектора s ( s, s, s ) функции u u(,, z) в точке M (,, z) D называется предел z 9

41 u u( ts, ts, z tsz), если этот предел существует s t00 t Обозначим через cos, cos, cos направляющие косинусы вектора s Тогда u u u u cos cos cos () s z Градиентом функции u u(,, z) в точке M (,, z ) называется вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных u u u производных,, в этой точке: z u u u gradu i j k () z u u При этом: ) Пр grad u, ) ma grad s u s s z Пример Дана функция u, точка Me (,, ), вектор s (0; ; ) Найти: а) полный дифференциал du, б) производную по направ- u лению вектора s, в) градиент функции gradu в точке M s Решение Найдем частные производные функции u u(,, z) : u const z z const z const u z z const ln z const u z ln z const u M Вычислим значения производных в точке M : ( ) u ( ) ( ) e e ln e ( ) 5 e e u z ( ) e ln e M e M, а Находим полный дифференциал функции в точке M по формуле (): u u u du d d dz d d dz M 5 z e e e M M M 0

42 б Найдем направляющие косинусы вектора s Имеем s 0 5, s 0 s zs cos 0, cos, cos s 5 s 5 s 5 По формуле () вычисляем производную u s M 0 e e 5 e 5 5e 5 в Вычисляем градиент функции в точке M по формуле (): gradu i j k M 5 e e e Частные производные и дифференциал высших порядков Пусть функция z f (, ) определена и непрерывна вместе со своими первыми частными производными в некоторой точке P(, ) D( f ) Частные производные по переменным, от производных первого порядка называются частными производными второго порядка и обозначаются, z z z z, z z z z, Производные z, z Если смешанные производные называются смешанными производными z, z непрерывны, z z справедливо равенство Полным дифференциалом второго порядка функции z f (, ) называется дифференциал от ее полного дифференциала, который обозначается z z z z z d z d dz d d d d dd d то

43 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция z f, z f, имеет в точке P0 0, 0 D равный 0, 0 всех отличных от P 0 точек, неравенство f, f 0, 0 f, f 0, 0 Необходимые условия экстремума Если функция,, определена в области D Функция локальный максимум (минимум), f, если существует такая окрестность этой точки, что для P из этой окрестности имеет место f в точке P0 0 0 имеет локальный экстремум, то в этой точке обе частные производные, если они существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в этой точке не существует P, точка экстремума дифференцируемой функции Если z f,, то f f, 0,, 0 () Из этой системы уравнений находят стационарные точки Сформулируем достаточные условия существования экстремума A f,, B f,, C f, P, Пусть , где стационарная точка дважды дифференцируемой функции z f, ) если B AC 0, то f, имеет в точке, Тогда: P0 0 0 локальный экстремум (при A 0 локальный максимум, при A 0 минимум); ) если B AC 0 P, нет;, экстремума в точке ) если B AC 0, функция может иметь, а может и не иметь локальный экстремум Пример Найти локальные экстремумы функции z Решение Областью определения данной функции является вся плоскость Находим частные производные первого порядка и составляем систему уравнений (): z z 0, 0 Решая эту систему, получим две стационарные точки P 0;0 и P ; 6 6 z z Находим частные производные второго порядка: ; ; z Вычисляем их значения в точках P и P

44 В точке 0;0 Следовательно, точка P : A, B, C 0 Тогда имеем AC B 0 P 0;0 не является точкой экстремума В точке P ; :,, 6 6 A B C Тогда AC B 0 Так как A 0, то точка P ; точка локального минимума 6 6 Вычисляем zmin zp 08 Задание 8 Дана функция u u,, z, точка,, Найти в точке М: а) дифференциал du ; б) производную вектора s ; в) градиент gradu z 8 u cos, s i j k, M 0; ; 5 z 8 u ln z, s i j k, M ; ; 8 u arcsin z, s i j k, M ; ; z 8 u, s i j k, M ; 5; M z и вектор s u s по направлению 85 u ctg z, s 5 i j k, M ; ; 0,, ; ; z 86 u e s i j k M z 87 u z, s i 5 j k, M ; ; 88 u ln z, s i j k, M ; ; z 89 u arccos, s i j k, M ; 5;

45 u ctg z, s i j k, M ; ; 80 z 8 u e, s i 7 j 6 k, M 0; ; 8 u arctg z, s i 0 j k, M 5; ; 8 u z ln, s i 6 j k, M ; ;, 5, ; 5; 0 z 8 u s i j k M z 85 u cos, s i 8 j k, M ; ; z z 86 u z, s i j k, M ; ; 0 87 u arctg 5 z, s i j k, M ; ; u sin z, s 5 i j k, M ; ; u ln5 z, s i j k, M ; ; z 80 u 9, s i j k, M ; ; z,, ; ; z 5 8 u z s i j k M 8 u sin z e, s i j k, M ; ; e 8 u arccos, s 5 i j k, M 0; ; z

46 u e sin z, s i j k, M ; ; z 8 85 u arctg z, s 5 i j k, M ; ; 86 u z z, s i 8 j 5 k, M ; ; z 87 u z ln, s i j k, M ; ; z 88 u arctg e, s i j k, M ; ; z 89 u e cos, s i j 5 k, M ; ; z 80 u ln arctg, s 5i j k, M ; ; Задание 9 Найти локальные экстремумы функции z f, 9 z 9 z 5 9 z 9 z 6 95 z 96 z z 5 8 z 5 99 z z 9 z 9 z 9 z 6 95 z ln z 96 z 97 z 98 z 8 99 z 90 z 5 9 z 5

47 9 z 9 z 9 z 95 z 5 96 z 97 z z z 5 z 6

48 ЛИТЕРАТУРА Карасев, АИ Курс высшей математики для экономических вузов: учебное пособие для студентов экономических специальностей: в ч/ АИ Карасев, ЗМ Аксютина, ТИ Савельева/ М: Высшая школа, 98 Ч, Пискунов, НС Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов: учебное пособие для студентов вузов: в ч / НС Пискунов М: Наука, 985 Ч, Герасимович, АИ Математический анализ: в ч/ АИ Герасимович, НА Рысюк/ Минск: Вышэйшая школа, 989 Ч, Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / РФ Апатенок и др/ Минск: Вышэйшая школа, Сборник задач по линейной алгебре (РФ Апатенок и др/ Минск: Вышэйшая школа, Гусак, АА Задачи и упражнения по высшей математике: в ч /АА Гусак Минск: Вышэйшая школа, 988 7

49 СОДЕРЖАНИЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Решение невырожденных систем линейных уравнений Решение произвольных систем линейных уравнений 5 Задание 8 Задание 9 Тема ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Векторы Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Плоскость и прямая в пространстве Задание 7 Тема ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 8 Предел функции Основные способы вычисления пределов 8 Производные высших порядков 5 Исследование функций и построение графиков 6 Задание 0 Задание 5 Задание 6 6 Задание 7 7 Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 7 Понятие функции нескольких переменных и ее предела 8 Частные производные и дифференциал высших порядков Экстремум функции нескольких переменных Задание 8 Задание 9 5 ЛИТЕРАТУРА 7 8

50 Учебное издание МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ для студентов заочного отделения экономических специальностей Составитель: МАТВЕЕВА Людмила Дмитриевна Редактор ТН Микулик Подписано в печать 0008 Формат Бумага офсетная Отпечатано на ризографе Гарнитура Таймс Усл печ л 5,8 Уч-изд л,7 Тираж 00 Заказ 56 Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет ЛИ 00/067 от 0000 Проспект Независимости, 65, 00, Минск 9


Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством Определители Определитель второго порядка задается равенством Определитель третьего порядка задается равенством Свойства определителей Определитель равен нулю если он содержит две одинаковые или пропорциональные

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию - учебного года для I курса экономического факультета дневного отделения (специальностей «экономика» и «экономическая теория») заочного

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 016 016 Кафедра высшей

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3»

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3» Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по курсу «Математика. -й семестр» для

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

Производная и правила дифференцирования 1. Пусть функция y = f x

Производная и правила дифференцирования 1. Пусть функция y = f x Производная и правила дифференцирования Пусть функция y = f получила приращение y f 0 f 0 соответствующее приращению аргумента 0 Определение Если существует предел отношения приращения функции y к вызвавшему

Подробнее

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.Г.ШУХОВА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.Г.ШУХОВА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 Поток: ТВГТ -I ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1Определители -го и -го порядка Правила вычисления Общий алгоритм исследования графика функций с помощью производных Нахождение наибольшего и наименьшего значений

Подробнее

Вопросы и задания для студентов 1-го курса специальности «Издательское дело» в зимнюю экзаменационную сессию.

Вопросы и задания для студентов 1-го курса специальности «Издательское дело» в зимнюю экзаменационную сессию. Вопросы и задания для студентов -го курса специальности «Издательское дело» в зимнюю экзаменационную сессию Теоретические вопросы Функции Способы задания функций Классификация функций Основные элементарные

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Ю. Г. ГАЛИЧ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ 1

Ю. Г. ГАЛИЧ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ 1 Ю Г ГАЛИЧ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ОМСК 06 Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Омский государственный университет путей сообщения Ю Г Галич МАТЕМАТИКА

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию Письменный экзамен проводится в течение двух часов. На экзамене каждому студенту

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Курганский государственный университет» Кафедра «Прикладная математика

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты индивидуальных заданий

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Найти х из уравнений:

Найти х из уравнений: Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Планы практических занятий Матрицы и определители, системы линейных уравнений Матрицы Операции над матрицами Обратная матрица Элементарные

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

«Строительство» 1 семестр

«Строительство» 1 семестр Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление 270800 «Строительство» Дисциплина - «Математика-1». Содержание Содержание... 1 Лекции... 1 Практические занятия... 4 Практические занятия

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

и плоскостью, проходящей через точки K(0; 0; 1), L(2; 4; 6), M(2; 2; 3). 4. Дана функция Вычислить ее производную 20-го порядка в точке x = 0.

и плоскостью, проходящей через точки K(0; 0; 1), L(2; 4; 6), M(2; 2; 3). 4. Дана функция Вычислить ее производную 20-го порядка в точке x = 0. Билет Матрицы, действия над ними Числовая последовательность, свойства бесконечно малых последовательностей Вычислить расстояние от точки M( ; ; ) до плоскости, проходящей через точки A( ; ; 0), B( ; ;

Подробнее

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x Вариант 8 Найти область определения функции : y sin Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и sin Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π k+

Подробнее

ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Т.А. Капитонова ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» для студентов, обучающихся по специальности 64 Таможенное дело очной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное

Подробнее

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Величина называется функцией переменных величин n если каждой точке М n принадлежащей некоторому множеству X поставлено

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену Содержание

Материалы для подготовки к экзамену Содержание Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство». Дисциплина - «Математика-» Материалы для подготовки к экзамену Содержание Материалы для подготовки к экзамену... Содержание...

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. Введем понятие определителя. Пусть дана таблица из чисел (матрица):

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. Введем понятие определителя. Пусть дана таблица из чисел (матрица): ВВЕДЕНИЕ Методическое пособие предназначенное для оказания помощи студентам-заочникам при выполнении контрольных работ по дисциплине "Высшая математика" содержит шесть тем материала контрольных работ студентов

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Московский государственный технический университет «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Проф, дф-мн Кадымов ВА Доц, кф-мн Соловьев ГХ Тесты по контролю промежуточных

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Методические указания к самостоятельной подготовке за первый семестр по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 018 018

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические рекомендации

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

Подробнее

ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ, 1 СЕМЕСТР

ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ, 1 СЕМЕСТР ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты заданий к контрольной

Подробнее

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ):

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие......................................... 3 Глава1 Элементы линейной алгебры............................ 5 1.1. Матрицы и определители........................... 5 1.2. Линейные пространства............................

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВ Богатова, КВ Бухенский, ИП Карасев, ГС Лукьянова ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD Практикум Рязань Предисловие Общий

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Элементы линейной алгебры, аналитическая геометрия, теория пределов, дифференциальное исчисление функции одной переменной

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Элементы линейной алгебры, аналитическая геометрия, теория пределов, дифференциальное исчисление функции одной переменной ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Расчётно-графические задания и методические указания к ним для студентов заочного обучения всех специальностей по темам: Элементы линейной алгебры, аналитическая геометрия, теория пределов,

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО ОВ Сильванович, ГВ Тимофеева ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (МОДУЛЬ ) ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Подробнее

Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов вузов, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Первая часть содержит

Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов вузов, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Первая часть содержит Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов вузов, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Первая часть содержит необходимый материал по 9-ти разделам курса высшей математики,

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2]

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2] Дана матрица Контрольная работа A 0 T= Задание [, стр ] Определите ее размерность Выпишите характеристики этой матрицы: прямоугольная, квадратная, симметричная, единичная, нулевая, треугольная, диагональная,

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Линейная алгебра. Аналитическая

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие........................................................... 5 1. Элементы линейной алгебры............................................ 6 ИДЗ 1. Определители..............................................

Подробнее

МАТЕМАТИКА Контрольные работы для студентов заочного обучения 1 семестр

МАТЕМАТИКА Контрольные работы для студентов заочного обучения 1 семестр М.М. Белоусова, К.С. Поторочина МАТЕМАТИКА Контрольные работы для студентов заочного обучения семестр Екатеринбург 07 ФГАОУ ВО «Уральский Федеральный Университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

Введение. 1 Область определения. Изображение функций двух переменных при помощи линий уровня

Введение. 1 Область определения. Изображение функций двух переменных при помощи линий уровня Введение Методические указания посвящены вопросам изучения и практического применения теории функции двух переменных Каждый параграф соответствует одному практическому занятию по данной теме Цель указаний

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Методические указания и контрольные задания по высшей математике

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра высшей математики УТВЕРЖДАЮ

Подробнее

В. Я. АРТЮХОВ, Л. В. АВИЛОВА, Ю. Г. ГАЛИЧ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ 1

В. Я. АРТЮХОВ, Л. В. АВИЛОВА, Ю. Г. ГАЛИЧ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ 1 В Я АРТЮХОВ, Л В АВИЛОВА, Ю Г ГАЛИЧ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ОМСК 00 Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Омский государственный университет путей

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГ ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГ ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГ ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Заочные подготовительные курсы ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Заочные подготовительные курсы ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Заочные подготовительные курсы ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и контрольные задания Волгоград Составитель

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

существовании предела монотонной последовательности. Предел последовательности

существовании предела монотонной последовательности. Предел последовательности ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определение вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Базис и координаты.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее