ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА"

Транскрипт

1 ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА Понятие определенного интеграла широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин. Рис. Рис. Площади плоских фигур. Площадь криволинейной трапеции AB, ограниченной графиком непрерывной функции (где ), y f отрезком оси Ох и отрезками прямых х=а и х=, вычисляется по формуле S I, где I f d () Пример : Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой ху=, осью Ох и прямыми х= и х=е (Рис. ) Применяя формулу (), получаем e e I d ln ln e ln ; S кв. ед. Пример : Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у=х, прямыми х =, х = и осью абсцисс (Рис. )

2 Рис. Рис. Применяя формулу (), получаем I d 8 9 ; S кв. ед. Площадь фигуры ABCD, ограниченной графиками непрерывных функций и (где ) и отрезками прямых х=а и х=, вычисляется y f по формуле y f S I, где I f f d () Пример : Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у = 6х х 5 и осью Ох (Рис. 5) Найдем пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения графиков функций у=6х-х -5 и у= (ось Ох). Для этого решим систему Имеем 6х х 5=, х 6х+5=, 9 5 ;, 5, Теперь найдем искомую площадь по формуле (): I d 6 ; 5 d 5 S кв.ед. 5 d 5 5 y 6 y d Рис. 5 Рис. 6 Пример : Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х и у =х (Рис. 6)

3 Найдем пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения графиков функций у=х и у =х. Для этого решим систему y y Имеем (х ) =х, х х =, х(х )=, х =, х = Искомую площадь вычисляем по формуле () при. кв.ед, / :, / / I S d d d I f f Пример : Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами у= х и у = х х (Рис. 7) Найдем пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения графиков функций у=-х и у=х -х. Для этого решим систему y y Имеем х =х х, х х =, х х =,,, 8, Искомую площадь вычисляем по формуле (): Рис. 7 9 кв.ед. 9; 6 8 S d d d d d I Объём тела вращения

4 Объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции AB, ограниченной непрерывной кривой (где ), y f отрезком оси Ох и отрезками прямых х=а и х=, вычисляется по формуле V f d () Пример 5: Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой у =х, прямой х= и осью Ох. Применяя формулу (), находим V d 9 9 ; V 9 куб.ед. Пример 6: Вычислить объём шара радиуса. Шар образован вращением вокруг оси Ох круга, ограниченного окружностью х + у = с центром в начале координат и радиусом. Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, сначала найдем по формуле () половину искомого объема: Пример 7: V V ш ш Следовательно, куб.ед. d V ш куб.ед. d d ; Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры,

5 ограниченной осью Ох и полуволной синусоиды y sin. Применяя формулу (), находим V sin cos d d cos d d cosd sin ; V куб.ед. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции AB, ограниченной непрерывной кривой =f(y) (где ), y отрезком оси Оу и отрезками прямых у=а и у=, вычисляется по формуле V f ydy. () Путь, пройденный точкой. Если точка движется прямолинейно и ее скорость t f есть известная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени t t t, вычисляется по формуле t s f t dt (5) t Пример 8: Тело движется прямолинейно со скоростью, в м/с Вычислить путь, пройденный телом за с. Применяя формулу (5), находим s,t dt t 5 (м) t. Пример 9: Скорость прямолинейно движущегося тела равна t в м/с t. Вычислить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

6 В момент остановки скорость движения тела равна нулю, т.е. t t, t t, t, t. Итак, тело остановится через с. Путь, пройденный телом за это время, вычисляем по формуле (5). s t t dt 6 6 tdt t t t dt Работа силы. Если переменная сила F=F() действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке вычисляется по формуле A Fd (6) Пример : Вычислить работу, которую нужно совершить при сжатии пружины на,8 м, если для её сжатия на см требуется сила Н. Согласно закону Гука, сила F, растягивающая или сжимающая пружину на х метров, равна F = k, где k коэффициент пропорциональности. Из условия следует = k,, т.е. k =, и, следовательно, F = k = х. Искомую работу находим по формуле (6):,8 A d,8,6, (Дж) Пример : Сила 96, Н растягивает пружину на 8 см. Какую работу она производит? По закону Гука, F=k, откуда k= F/х=96,/,8=9 (Н/м). Значит, F = 9 х. Находим искомую работу:,8 9 9d,8 55, 7,7 A (Дж) Пример :

7 Для сжатия пружины на см необходимо совершить работу в 6 Дж. На какую длину можно сжать пружину, совершив работу в Дж? По закону Гука, F = k; тогда Т. к А =6 Дж, то Значит, F=(/9)х.,9k A, k kd,9,,9k Н 9 м =6, откуда k = 6 Далее, имеем A d Но А = Дж, то есть 6 9 Итак, пружину можно сжать на 9 см. =,,,8,, Сила давления жидкости Сила давления р жидкости плотности на вертикальную пластинку, погруженную в жидкость, вычисляется по формуле: P g Sd, (7) где g = 9,8 м/с ускорение свободного падения, S площадь пластинки, а глубина погружения пластинки изменяется от до. Пример : Вычислить силу давления воды на одну из стенок аквариума, имеющего длину см и высоту см. Стенка аквариума имеет форму прямоугольника, поэтому S =, х, где,. Плотность воды равна кг/м. Тогда сила давления воды на стенку аквариума согласно формуле (7) составляет P 9,8,,,d 98, 98,, 58,86 H Пример : Вычислить силу давления бензина на стенки цилиндрического бака высотой м и радиусом основания м.

8 Площадь поверхности стенки цилиндрического бака S, где. Плотность бензина есть 8 кг/м. Тогда сила давления бензина на стенки бака составляет


ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «Определенный и несобственный интегралы и их приложения»

ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «Определенный и несобственный интегралы и их приложения» ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «Определенный и несобственный интегралы и их приложения» 6 d ; d ; + Вариант e d ; e d Найти площадь фигуры, ограниченной линями: y = e ; y = log ; = ; = Найти

Подробнее

Контрольная работа Применение определенного интеграла

Контрольная работа Применение определенного интеграла Контрольная на тему Применение интегралов. Выполнена в www.maburo.ru Контрольная работа Применение определенного интеграла Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y ; y. y квадратичная функция,

Подробнее

Т е м а 5 Определенный интеграл

Т е м а 5 Определенный интеграл 8 Т е м а 5 Определенный интеграл Понятие определенного интеграла используют при решении практических задач, в частности, в задачах по вычислению площадей плоских фигур, расчету работы, производимой переменной

Подробнее

Пример 2 Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной кривой y = e x ( x < 0 ) По формуле (13) получаем π π

Пример 2 Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной кривой y = e x ( x < 0 ) По формуле (13) получаем π π 3 Пример Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной кривой = e ( < ) По формуле (3) получаем π π V = π e d = ( e ) = Пример 3 Вычислить объем тела, образованного вращением

Подробнее

6. Определенный интеграл и его приложение к решению задач

6. Определенный интеграл и его приложение к решению задач 6. Определенный интеграл и его приложение к решению задач Актуальность темы Определенный интеграл применяется для решения таких прикладных задач, как: вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел вращения,

Подробнее

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах Приложения двойных интегралов Рассмотрим частный случай замены переменных часто используемый при вычислении двойного интеграла

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Лекция 7 Несобственные интегралы Несобственными интегралами называются определенные интегралы, для которых не выполнено хотя бы одно из условий существования определенного (собственного) интеграла: )либо

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

Приложения определенного интеграла

Приложения определенного интеграла Практическое занятие Тема 5 Приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур Найти площади плоских фигур ограниченных линиями уравнения которых заданы в прямоугольных декартовых и полярных

Подробнее

Определенный интеграл и его приложения

Определенный интеграл и его приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. класс Математика 6-7 уч.год Тема модуля «ПЕРВООБРАЗНАЯ. ИНТЕГРАЛЫ» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. Учащиеся должны знать/понимать: Понятие первообразной. Какую функцию называют

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

. Предполагается, что эта величина аддитивна, т. е. точкой с [ a,

. Предполагается, что эта величина аддитивна, т. е. точкой с [ a, Лекция 0 Приложения определённого интеграла Приложения определённого интеграла Метод интегральной суммы Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины A (площадь фигуры,

Подробнее

Определённый интеграл и его применение. 11 класс

Определённый интеграл и его применение. 11 класс МАТЕМАТИКА ВСЁ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! Определённый интеграл и его применение класс Цели: 99 образовательная: обобщить и систематизировать теоретические знания учащихся по теме «Определённый интеграл»; обеспечить

Подробнее

4.3 Геометрические приложения определенного интеграла.

4.3 Геометрические приложения определенного интеграла. 4.3 Геометрические приложения определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции yy = ff(xx) (ff(xx) ), прямыми х=а и х=b и отрезком [a;b] оси O (рис. 4.2)

Подробнее

Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.

Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и координатной осью O (заштрихованная область рис.). Пусть,. Площадь фигуры найдем по формуле

Подробнее

Цель работы: научиться вычислять площади криволинейных трапеций и объемы тел вращения. Содержание работы. Основные понятия.

Цель работы: научиться вычислять площади криволинейных трапеций и объемы тел вращения. Содержание работы. Основные понятия. Практическая работа 7 Применение определенных интегралов для вычисления площадей криволинейных трапеций и объемов тел вращения. Цель работы: научиться вычислять площади криволинейных трапеций и объемы

Подробнее

Длина дуги кривой. 1. Определения и формулы для решения задач. Если кривая задана уравнением

Длина дуги кривой. 1. Определения и формулы для решения задач. Если кривая задана уравнением Длина дуги кривой Определения и формулы для решения задач Длина дуги гладкой кривой, содержащейся между двумя точками с абсциссами x и x b, равна b l ( y ) dx Если кривая задана уравнениями x x t и y y()

Подробнее

БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» y 2. * Найти площадь плоской области, ограниченной линиями. (D область, заданная неравенствами ( D)

БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» y 2. * Найти площадь плоской области, ограниченной линиями. (D область, заданная неравенствами ( D) БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» * Изменить порядок интегрирования + d d * Найти площадь плоской области, ограниченной линиями =, =, = * Вычислить ( D) + acctg d, где ) +, + 9,, = (D область,

Подробнее

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур.

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур. . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.. Вычисление площадей плоских фигур. Прямоугольные координаты Как уже было установлено, площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» ВАРИАНТ 1 y = +1, y = 9.. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 4cosϕ, 0 ϕ 4 ρ = y =, y = 0 y =, y = +, = 1, = 4. 4 4 y = от начала координат до точки с

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t,

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t, cos, sin,,, J dd dd d d 5 Вычислить zdd zddz ddz, где внешняя сторона поверхности z, отсекаемая плоскостью z Р е ш е н и е Поверхность представляет собой параболоид, заданный явно уравнением z Поэтому

Подробнее

Контрольная работа по математике за 1 семестр. Вариант 1. lim. x x. x x 3 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ»

Контрольная работа по математике за 1 семестр. Вариант 1. lim. x x. x x 3 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ» Вариант. Вычислить предел ( cos )sin ( e ). Найти асимптоты функции 5 y. Определить глобальные экстремумы, при х[,]. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз 5 5 5. Найти

Подробнее

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy Двойные интегралы Примеры решения задач 1. Свести двойной интеграл f(x, y) dx dy к повторному двумя способами (по формуле (1) и по формуле (2)), если G область, ограниченная кривыми x = 1, y = x 2, y =

Подробнее

. Если промежуток времени ti

. Если промежуток времени ti Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ) Пусть тело движется с переменной скоростью v( t ) Найти путь, пройденный телом за промежуток времени [ ; ] Разобьем отрезок

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет Определенный интеграл Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Подробнее

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4)

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Вычисление площадей плоских фигур Площадь в полярных координатах Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по известным

Подробнее

задана на отрезке [ ab ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками a x0 x

задана на отрезке [ ab ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками a x0 x ГЛАВА ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Свойства определенного интеграла Пусть функция y f ( ) задана на отрезке [ ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками n n Интегральной суммой функции f( )

Подробнее

Задания с развернутым ответом по алгебре. Задание. Запишите развёрнутую запись решения без обоснования и ответ. 1. Найдите значение выражения

Задания с развернутым ответом по алгебре. Задание. Запишите развёрнутую запись решения без обоснования и ответ. 1. Найдите значение выражения Задания с развернутым ответом по алгебре Задание Запишите развёрнутую запись решения без обоснования и ответ Найдите значение выражения 9 7 log log 7 5 log 6 5 log log 7 Найдите значение выражения log

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 15. Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла.

ЛЕКЦИЯ N 15. Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла. ЛЕКЦИЯ N 5 Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла Замена переменной в определенном интеграле Интегрирование по частям в определенном интеграле Интегрирование нечетных

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭ Циолковского Кафедра Высшая математика Определенный интеграл Методические указания к курсовой работе Составители: Горелова РП Кулакова

Подробнее

Интегральное исчисление

Интегральное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела Интегральное исчисление Составила: Миргородская Ирина

Подробнее

Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям); Преподаватель: Шарапова Н.А. Студент должен

Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям); Преподаватель: Шарапова Н.А. Студент должен Министерство труда, занятости и трудовых ресурсов Новосибирской области Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Новосибирской области «Новосибирский радиотехнический колледж»

Подробнее

1. Кратные интегралы

1. Кратные интегралы Пособие предназначено для студентов заочников КГТУ второго года обучения. В пособии в краткой и доступной форме рассмотрены темы: Кратные интегралы, Криволинейные интегралы, Ряды, Теория вероятностей.

Подробнее

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x)

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x) 6 3 Вычисление длины кривой Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат Пусть функция = f определена и непрерывна на отрезке [ ; ] и кривая l график этой функции Требуется найти длину дуги

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов всех специальностей очной формы

Подробнее

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Основной целью данных методических указаний является оказание помощи студентам всех специальностей дневного обучения при изучении

Подробнее

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией.

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией. Лекция: Определенный интеграл. Введение. Рассмотрим график функции y f () непрерывной на отрезке ; и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, y f ( ),,. Эту фигуру будем называть криволинейной

Подробнее

Рабочая тетрадь по математике Тема «Первообразная. Интеграл»

Рабочая тетрадь по математике Тема «Первообразная. Интеграл» ГОУ СПО «Осинниковский политехнический техникум» Рабочая тетрадь по математике Тема «Первообразная Интеграл» Составитель: НовиковаНП, преподаватель ГОУ СПО «Осинниковский политехнический техникум» ГОсинники

Подробнее

6.7. Определенный интеграл и его свойства

6.7. Определенный интеграл и его свойства 7 Определенный интеграл и его свойства Определенный интеграл Пусть функция f ( ) определена на отрезке [,] и пусть i (i,,n )- совокупность точек этого отрезка, таких, что n Назовем эту совокупность точек

Подробнее

Задачи группы 5 (тип 6) 6 баллов Тема 6. на три группы: а) при x x0. Разбейте четыре пары бесконечно малых функций ϕ (x) x. , x.

Задачи группы 5 (тип 6) 6 баллов Тема 6. на три группы: а) при x x0. Разбейте четыре пары бесконечно малых функций ϕ (x) x. , x. Тест модуля Студенты проходят промежуточный тест через Интернет В этот промежуточный тест выносятся следующие задания по темам 7- учебного пособия по математике В данном документе СПЕЦИАЛЬНО не приводятся

Подробнее

КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В. Кафедра высшей математики

КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В. Кафедра высшей математики КРСУ Давидюк ТА Гончарова ИВ Кафедра высшей математики КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ УДК 7 Д Рецензенты: д-р физ-мат наук проф ТМ Иманалиев ст преподаватель НМ Комарцов

Подробнее

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные Глава КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные интегралы по длине) Вычисление криволинейных интегралов первого рода Вычисление криволинейного интеграла

Подробнее

cos xdx ВХОДНОЙ КОНТРОЛЬ Вариант Найти dy, если: а) y =, в) y = tg, 2.Построить область, ограниченную линиями:

cos xdx ВХОДНОЙ КОНТРОЛЬ Вариант Найти dy, если: а) y =, в) y = tg, 2.Построить область, ограниченную линиями: ВХОДНОЙ КОНТРОЛЬ Вариант Найти d, если: а) =, в) = tg, б) = cos7, г) = Построить область, ограниченную линиями: а) = +, =, б) =, = Привести уравнение окружности + 6 = к каноническому виду, построить и

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

Домашний контрольный тест по теме «Производная»

Домашний контрольный тест по теме «Производная» Домашний контрольный тест по теме «Производная» А. Производная элементарной функции А. Вычислите y 7, если y. A) B) C) - D) - E) А. Найдите f, если f A),5 B) - C) - D) E) 5 5 5 5 А. f, f? A) B) C) D) E)

Подробнее

(2 балла) 4. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси OY : 4x 2 + y 2 = 4. ln cos 1 x x 2 dx. (1 балл) 1 x.

(2 балла) 4. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси OY : 4x 2 + y 2 = 4. ln cos 1 x x 2 dx. (1 балл) 1 x. Вариант.. Вычислить меньшую из площадей, содержащуюся между линиями: x + y = 6; x = 6y.. Найти обьем тела, образованного вращением вокруг прямой параллельной оси OX и проходящей через { вершину циклоиды,

Подробнее

Лекция 2.3. Часть 2. Аннотация. Вычисление площади плоской фигуры.

Лекция 2.3. Часть 2. Аннотация. Вычисление площади плоской фигуры. Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль. Определенный интеграл, несобственные интегралы Φ Φ in Рис. 1 Лекция.3 Часть Аннотация Вычисление площади плоской фигуры. Φ e Представим, что в воду попала

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОГЛАВЛЕНИЕ Вычисление двойных и тройных

Подробнее

I. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл: 1. (2 + 2 ) 2.

I. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл: 1. (2 + 2 ) 2. Занятия 1-2. Определенный интеграл и его приложения I. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл: 1. (2 + 2 ) 2. / 3. ( 4. ) 5. 6. 7. 8. Ефимов-Поспелов 7.324-7.352, 7.380-7.385,

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ для проведения практических занятий по учебной дисциплине

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ для проведения практических занятий по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в 6-7 учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

А.Н.Филиппов, Т.С.Филиппова

А.Н.Филиппов, Т.С.Филиппова Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМГУБКИНА»

Подробнее

Лекция 4. Вычисление площадей и объемов

Лекция 4. Вычисление площадей и объемов С.А. Лавренченко www.lweceko.u Лекция 4 Вычисление площадей и объемов На этой лекции мы изучим некоторые геометрические применения определенного интеграла а именно для вычисления площадей плоских фигур

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М.М. СИРОШ

Подробнее

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y=f(x) и касательную в точке P 0 (x 0 ; f(x 0 )). Найдем угловой коэффициент касательной к графику в этой точке. Угол наклона касательной Р 0

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Томский государственный архитектурно-строительный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Томский государственный архитектурно-строительный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Томский государственный архитектурно-строительный университет ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ФИЗИКИ И МЕХАНИКИ Методические указания

Подробнее

Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения

Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения Методические указания для студентов заочного факультета, обучающихся по ускоренной программе в филиалах ИГТА Министерство образования Российской федерации

Подробнее

Кратные интегралы Сведение двойного интеграла к повторному

Кратные интегралы Сведение двойного интеграла к повторному Глава. Кратные интегралы.. Занятие... Сведение двойного интеграла к повторному При вычислении двойных интегралов следует различать два случая. () Первый случай. Область интегрирования ограничена слева

Подробнее

Образец выполнения контрольной работы 4. 1 Решение. Внесём под знак дифференциала функцию, воспользовавшись тем, что

Образец выполнения контрольной работы 4. 1 Решение. Внесём под знак дифференциала функцию, воспользовавшись тем, что Задание Найти неопределённые интегралы Образец выполнения контрольной работы ln ( 8 ) + d 8 d Решение Внесём под знак дифференциала функцию, воспользовавшись тем, что ln( 8 ) 8 C 8 = 8 + (модуль под знаком

Подробнее

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат 99 Глава ГЕМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛЖЕНИЯ ПРЕДЕЛЕННГ ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Составитель:ВПБелкин Лекция Определенный интеграл Вычисление и свойства определенного интеграла Определенным интегралом функции f ( ) по отрезку [, ] называется число, обозначаемое

Подробнее

Примерные экзаменационные задачи по математике. II семестр ИСиА 1, 2 и 9 гр.

Примерные экзаменационные задачи по математике. II семестр ИСиА 1, 2 и 9 гр. часть. Примерные экзаменационные задачи по математике А. Простейшие задания на три балла.. Вычислить интегралы arcsin д) II семестр ИСиА, и 9 гр. и) 6 n к) 5 6 5 ж) 6 г) cos з) z arcsin z. Вычислить производную

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Интегралы". Модуль 2. Определенный

Подробнее

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

Задачи и упражнения для самостоятельной работы Двойные интегралы Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Сведите двойной интеграл f(x, y) dx dy к повторному двумя способами, если: G а) G треугольник с вершинами (1, 1), (4, 1), (4, 4); б)

Подробнее

Методические указания к изучению темы. (для студентов всех специальностей)

Методические указания к изучению темы. (для студентов всех специальностей) Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина А.Н. Филиппов В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Определенный интеграл»

Подробнее

Оглавление. 1. Метод интегральных сумм Примеры решения задач Задачи типового расчета Список литературы... 21

Оглавление. 1. Метод интегральных сумм Примеры решения задач Задачи типового расчета Список литературы... 21 1. Метод интегральных сумм...................... Примеры решения задач....................... 3 3. Задачи типового расчета....................... 17 Список литературы............................ 1 1. Метод

Подробнее

1. Определенный интеграл: основные понятия, свойства, способы вычисления

1. Определенный интеграл: основные понятия, свойства, способы вычисления Определенный интеграл: основные понятия, свойства, способы вычисления К понятию определенного интеграла приводит рассмотрение различных задач геометрии, физики, техники Простейшей из них является задача

Подробнее

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l Практическое занятие Криволинейные интегралы -го и -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла

Подробнее

Задания с развернутым ответом по алгебре. Задание. Запишите развёрнутую запись решения без обоснования и ответ.

Задания с развернутым ответом по алгебре. Задание. Запишите развёрнутую запись решения без обоснования и ответ. Задания с развернутым ответом по алгебре Задание Запишите развёрнутую запись решения без обоснования и ответ Найдите значение выражения: 9log 7 7 log 5 + log 5 6 Найдите значение выражения: log log 7 +

Подробнее

Практическая работа: Решение задач по теме "Геометрический смысл производной. Механический смысл первой и второй производной"

Практическая работа: Решение задач по теме Геометрический смысл производной. Механический смысл первой и второй производной Молодечненский государственный политехнический колледж Практическая работа: Решение задач по теме "Геометрический смысл производной Механический смысл первой и второй производной" Разработчик: И А Кочеткова

Подробнее

Министерство транспорта Российской Федерации. Федеральное государственное бюджетное. образовательное учреждение. высшего образования

Министерство транспорта Российской Федерации. Федеральное государственное бюджетное. образовательное учреждение. высшего образования Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет транспорта (МИИТ)» ИТТСУ Кафедра «Высшая и вычислительная

Подробнее

равная произведению массы этой точки и квадрата расстояния до оси ОХ (оси ОУ,

равная произведению массы этой точки и квадрата расстояния до оси ОХ (оси ОУ, 9 Вычисление статических моментов инерции и координат центра масс Определение Статическим моментом материальной точки А(х;у) в которой сосредоточена масса m относительно оси ОХ (ОУ) называется величина

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Определённый интеграл Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. Национальный

Подробнее

Задачи. Вычислить повторные интегралы: Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле двумя способами:

Задачи. Вычислить повторные интегралы: Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле двумя способами: Задачи Вычислить повторные интегралы: 4. d d + d. d. d d d + + 4. d. d + d 6. d 4 d. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле двумя способами: f(, ) dd двумя способами для указанных областей

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (x 4/3 + y 4/3 ) dl, где кривая L астроида x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Решение. Запишем параметрические

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

2. Криволинейные интегралы. определена на гладкой кривой АВ. Разобьем кривую АВ произвольным образом на элементарные дуги

2. Криволинейные интегралы. определена на гладкой кривой АВ. Разобьем кривую АВ произвольным образом на элементарные дуги . Криволинейные интегралы Пусть вектор-функция F = P(, y) + Q(, y)j определена на гладкой кривой АВ. Разобьем кривую АВ произвольным образом на элементарные дуги A A, A A,..., An B, A = A (,y ), A = A(,y

Подробнее

Государственный университет связи, информатизации и телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан

Государственный университет связи, информатизации и телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан Государственный университет связи, информатизации и телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан Нукусский филиал ташкентского университета информационных технологий САМОМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО

Подробнее

Тема: Применение определенного интеграла.

Тема: Применение определенного интеграла. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Применение определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла Лектор Пахомова Е.Г. 013 г. II Плоская кривая, заданная параметрическими

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный химико-технологический

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

ВАРИАНТ xy = y

ВАРИАНТ xy = y 1. ' = ( + 1) ctg. ( + 1) d + d. ( ) d + d = 0 d + (4 + ) d = 0 5. 4 4 = e 6. ( + 1) + = ( + 1 7. + = ( + ) d d + ВАРИАНТ 11 9. (4 + + ) d+ ( + 6+ ) d= 0 10. d + ( + ) d (1) e 11. = ( 1 1. = ( ) + ( 1.

Подробнее

( x) ( ) Расчетно-графическая работа 4 Интегралы

( x) ( ) Расчетно-графическая работа 4 Интегралы Расчетно-графическая работа Интегралы Задания -8. Найти неопределенные интегралы: Сделать проверку дифференцированием в трех из шести задач. ) Решение. arccos d Применяем метод подстановки: t = arccos,

Подробнее

Вариант 1. 8.Вычислить объем тела, получающегося при вращении параболы

Вариант 1. 8.Вычислить объем тела, получающегося при вращении параболы d d + e d + e d Вариант Найти площадь фигуры ограниченной линями: Найти площадь фигуры в полярной системе координат y e y = = log = r = asinϕ a= cons Найти площадь фигуры ограниченной линями = 9cos 5Найти

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

ИНСТРУКЦИЯ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ 3

ИНСТРУКЦИЯ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ 3 ИНСТРУКЦИЯ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ Для выполнения домашнего задания необходимо пользуясь табл. заполнить первую строку табл. затем выписать соответствующие вашему номеру варианта данные из табл.. Например

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Найти косинус угла между векторами BA и BC, если ( 3; 2;3) ; ; ; ;

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Найти косинус угла между векторами BA и BC, если ( 3; 2;3) ; ; ; ; КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Элементы векторной алгебры аналитической геометрии и линейной алгебры Найти косинус угла между векторами BA и BC если C Сделать чертеж B A Найти косинус угла между векторами AB и AC

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun. 2007

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun. 2007 - - ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun. 7 Методические указания для решения задач Т е м а. Формула Ньютона-Лейбница. Пусть : [; ] R непрерывная функция, первообразная

Подробнее

( ) ( ) xsin ( ) x dx. ln x. dx. cos 2x. ЗАДАЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ (технические факультеты, 2 семестр) Интегралы. Найдите интегралы. 43. dx.

( ) ( ) xsin ( ) x dx. ln x. dx. cos 2x. ЗАДАЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ (технические факультеты, 2 семестр) Интегралы. Найдите интегралы. 43. dx. ЗАДАЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ (тенические факультеты, семестр) 7 Интегралы Найдите интегралы d d sin + d + + d + d + d 7 ( + ) d + + 8 d 9 cos d cos + d cos d + 8 d 9 d d + d 9 + d + 7 tg d 8 cosd cos sin 9 d

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

ТЕМА 9. Задачи с подвижной границей. Условия трансверсальности.

ТЕМА 9. Задачи с подвижной границей. Условия трансверсальности. ТЕМА 9 Задачи с подвижной границей Условия трансверсальности Основные определения и теоремы Рассмотрим функционал V[ ] = F(,, d, заданный на кривых ( ( C [ ab, ], граничные точки которых A (, и B(, в свою

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

Система задач по теме «Уравнение касательной» а) б)

Система задач по теме «Уравнение касательной» а) б) Система задач по теме «Уравнение касательной» Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции y f (), в точках с абсциссами a, b, c а) б) Укажите точки, в которых производная

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 2. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция 2.4

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 2. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция 2.4 Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция.4 Часть Аннотация Вычисление площади поверхности вращения. Представим себе, что на плоскости задана

Подробнее

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС. Найти:

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС. Найти: Задача. Даны вершины треугольника АВС. Найти: ) длины сторон, ) уравнения сторон, ) угол при вершине В, ) площадь треугольника АВС, ) центр, радиус и уравнение окружности, описанной около треугольника

Подробнее