ISSN ГОУ ВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Журнал ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ 1 (66)

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ISSN ГОУ ВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Журнал ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ 1 (66)"

Транскрипт

1 ISSN ГОУ ВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Журнал ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ 1 (66) 2019

2 ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР: В.И. Сторожев ЗАМ. ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА: С.А. Калоеров ОТВЕТСТВЕННЫЙ СЕКРЕТАРЬ: Пачева М.Н. Р Е Д А К Ц И О Н Н А Я К О Л Л Е Г И Я: Анциферов А.В. Белоусов В.В. Болнокин В.Е. Болонов Н.И. Ватульян А.О. Вовк Л.П. Глазунов В.А. Глухов А.А. Гольцев А.С. Горр Г.В. Губанов В.В. Дрибан В.А. Ковалев А.М. Коносевич Б.И. Левин В.М. Мущанов В.Ф. Недопекин Ф.В. Петраков А.А. Судаков С.Н. Улитин Г.М. Шалдырван В.А. Адрес редакции: Донецк, ул. Университетская, 24 ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет» Тел Технический редактор: Пачева М.Н. Утверждено к печати ученым советом ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет» Свидетельство о регистрации: серия ААА 0078 от г. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Донецкий национальный университет», 2019

3 1 (66) / 2019 Основан в 1970г. ЖУРНАЛ Т Е О Р Е Т И Ч Е С К О Й И П Р И К Л А Д НОЙ М Е Х А НИКИ С О Д Е Р Ж А Н И Е Механика жидкости, газа и плазмы Сторожев С.В., Нгуен Куок Ши, Чан Ба Ле Хоанг Учет неопределенности экзогенных параметров при моделировании процессов распада струи жидкости в пневматических распылителях 3 Механика деформируемого твердого тела Вовк Л.П., Кисель Е.С. Моделирование распространения трещины из вершины острого v-образного выреза модели, ослабленной разгружающим отверстием Моисеенко И.А., Моисеенко В.А. Волны деформаций в функциональноградиентных цилиндрах кольцевого сечения Болнокин В.Е., Прийменко С.А., Номбре С.Б., Сторожев С.В. Нечеткомножественная методика учета неопределенности исходных данных в моделях расчетах скоростей ультраакустических волн в пьезоэлектрических материалах... 54

4 ISSN Журнал теоретической и прикладной механики. 1 (66) / МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ, ГАЗА И ПЛАЗМЫ УДК :519.7: c С.В. Сторожев, Нгуен Куок Ши, Чан Ба Ле Хоанг УЧЕТ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ЭКЗОГЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССОВ РАСПАДА СТРУИ ЖИДКОСТИ В ПНЕВМАТИЧЕСКИХ РАСПЫЛИТЕЛЯХ Представлена численно-аналитическая теоретическая методика учета влияния погрешностей разброса в экспериментальных и конструктивных значениях исходных физико-механических и геометрических параметров в модели функционирования пневматического распылителя генератора газожидкостной аэрозольной смеси. Потребность в разработке методики обусловлена задачами обеспечения адекватности результатов предпроектных расчетов рассматриваемых конструкций. Предложенный подход основывается на использовании соотношений ранее разработанного детерминистического варианта рассматриваемой модели с переходом в ее расчетных соотношениях к нечетко-множественным аргументам путем фрагментированного поэтапного применения альфа-уровневой формы эвристического принципа обобщения в сочетании с методами нечетко-интервальной арифметики. Приводится пример применения разработанной расчетной методики. Ключевые слова: газожидкостные аэрозольные смеси, пневматические распылители жидкости, математическая модель функционирования, нечетко-множественное обобщение, учет разбросов экзогенных параметров, методы нечетко-интервальной арифметики, эвристический принцип обобщения. Введение. Одним из эффективных способов создания охлаждающих газожидкостных субстанций, наряду с механизмами распыления в центробежных и центробежно-струйных форсунках, являются процессы распада струи жидкости в пневматических распылителях 1 6]. Важнейшими вопросами математического моделирования этих процессов является нахождение зависимостейскорости движения распыленнойструи от давления и расхода жидкости с различной плотностью. Однако анализ моделей, используемых для конструкторских предпроектных расчетов параметров функционирования пневматических распылителей1 6], приводит к заключению о весьма высокойстепени неопределенности экзогенных параметров моделирования в расчетных алгоритмах, что делает крайне актуальнойразработку модификацийсоответствующих вариантов детерминистических моделей, учитывающих факторы нечеткости на основе применения методов вероятностно-стохастического анализа 7], либо методов теории нечетких множеств 8 19]. 3

5 С.В. Сторожев, Нгуен Куок Ши, Чан Ба Ле Хоанг 1. Детерминистический вариант модели процесса распада струи жидкости в пневматическом распылителе. Представленные на рис. 1 рис. 4 аспекты принципиальнойконструктивнойтехнологическойсхемы функционирования пневматического распылителя иллюстрируют основные элементы рассматриваемого далее варианта детерминистическоймодели. Процесс распада струи, согласно однойиз гипотез моделирования, включает этап формирования пленки жидкости, поступающейиз четырех отверстий малого диаметра Δ 4 в мембране распылителя, в результате ее равномерного растекания по внутреннейцилиндрическойповерхности диаметра Δ 1. Рис. 1. Принципиальная конструктивная технологическая схема пневматического распылителя 6]. Рис. 2. Характеристика процессов, протекающих в конической зоне пневматического распылителя 6]. 4

6 Учет неопределенности экзогенныхпараметров при моделировании распада Рис. 3. Конструктивная схема и параметры распылительной головки пневматической форсунки 6]. Рис. 4. Геометрические характеристики канала распылительной головки пневматической форсунки 6]. На этом этапе формируется цилиндрическийслойжидкости с параметром длины вдоль образующей L 4, внешним диаметром Δ 1 и внутренним диаметром Δ 2 =(Δ 2 1 4Δ2 4 )1/2. (1) При задаваемом параметре Q 0 расхода жидкости на входе в распылитель скорость ее движения V L в пристеночном слое имеет величину V L = Q 0 /(πδ 2 4 ), (2) 5

7 С.В. Сторожев, Нгуен Куок Ши, Чан Ба Ле Хоанг где Δ 4 = ((Δ 2 1 Δ2 2 )/4)1/2. Процесс распада и капельного дробления жидкости пристеночного слоя после его схода с поверхности длины L 4 и последующего смешивания с потоком газа предложено 6, 20 26] моделировать с использованием модифицированного параметра Вебера We 1, определяемого соотношением We 1 =Δ d V 2 g ρ gα 1, (3) в котором Δ d мкм] диаметр капель распадающегося пристеночного слоя; V g м/с] параметр относительнойскорости обтекания капли газом; ρ кг/м 3 ] параметр плотности распыляемойвязкойжидкости; α Н/м 2 ] коэффициент поверхностного натяжения. Для градации процессов каплеобразования при распаде пристеночного потока вводятся характеристики We 1 =5(1+(3/2)L 0,37 ρ ), We 1 =15, We 1 =2L 1/3 ρ, (4) выражающиеся через параметр Лапласа L ρ =Δ d ρ μ 2 α, (5) где μ коэффициент вязкости жидкости. При этом, соответственно альтернативно реализующимся оценкам We 1 <We 1 <We 1, We 1 <We 1 <We 1, We 1 <We 1, (6) выделяют три режима дробления. Представленное в 6] моделирование процессов динамики капельнойсмеси в коническойподобласти пневматическойфорсунки базируется на интерпретации смеси как однородной(однокомпонентной) баротропнойсреды с параметрами плотности ρ c и осевойскорости V c, усредненными по сечениям этой, рассматриваемойкак усеченныйконус с диаметрами основанийδ 2, Δ 5, углом раствора β и высотой h, подобласти. Параметр давления p c в даннойсреде определяется приведенным уравнением состояния p c = ρ c χ c, (7) в котором χ c экспериментально определяемыйфеноменологическийкоэффициент. Параметры плотности ρ 0g искоростиv 0g газа, а также плотности ρ искорости V 0 жидкостнойкомпоненты на входе в коническую подобласть пневматическойфорсунки, определяют характеристики массового R m и объемного R v 6

8 Учет неопределенности экзогенныхпараметров при моделировании распада расходов газокапельнойсмеси, а затем и параметры усредненнойплотности ρ c0 и среднейбарицентрическойскорости V c0 смеси на входе в эту подобласть: R v =(π/4)((δ 2 2 Δ2 1 )V 0g +Δ 2 1 V 0 ), (8) R m =(π/4)((δ 2 2 Δ 2 1)ρ 0g V 0g +Δ 2 1ρ V 0 ), (9) ρ c0 = ((Δ 2 2 Δ 2 1)ρ 0g V 0g +Δ 2 1ρ V 0 )/((Δ 2 2 Δ 2 1)V 0g +Δ 2 1V 0 ), (10) V c0 = ((Δ 2 2 Δ 2 1)ρ 0g V 2 0g +Δ 2 1ρ V 2 0 )/((Δ2 2 Δ 2 1)ρ 0g V 0g +Δ 2 1ρ V 0 ). (11) После прохождения газокапельнойсмесью зоны меньшего сечения коническойподобласти, поток достигает зоны распылительнойголовки и истекает через кольцевое отверстие в нижнейчасти конуса пневматическойфорсунки. Моделируемыми характеристиками на этойфазе процесса работы форсунки являются параметр R k расхода и скорость V k истечения смеси на выходе из кольцевого отверстия, для которых могут быть записаны представления V k = F V (V 0k, Δ 5,S k,l k,β)= =3V 0k Δ 5 L 2 k 4S k(3δ 5 L 2 k +6L3 k cos(β/2) S2 k Δ 5 +2Sk 2 L k cos(β/2))] 1, (12) R k = F R (V 0k, Δ 5,S k,l k,β)= =2πV k Δ 5 S k /2+L k S k cos(β/2) (Δ 5 /2+L k cos(β/2))(s 3 k /(3L2 k ))]. (13) В представлениях (12), (13) S k параметр радиальнойширины кольцевого отверстия распылительнойголовки; L k параметр толщины стенки конструкции распылительнойголовки. Характеристика V 0k является 6] параметром скорости V (h) газокапельного потока при прохождении нижнего сечения с диаметром Δ 5 в конуснойчасти зоны его накапливания, которая может бать определения и использованием эмпирическойинтерполяционнойзависимости V (h), аппроксимирующейотыскиваемое численными методами решение V (z) z 0,h] начальнойзадачи для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения V (z) = (λρ(z)v 2 (z))/(2δ(z)) + (16tg(β/2)C 0 χ c )/(πδ 3 (z)v 2 (z))] ρ(z)v (z) (4C 0 χ c (πδ 2 (z)v 2 (z)) 1 ] 1,V(0) = V c0. (14) В уравнении (14) C 0 = πδ 2 2ρ c0 V c0, (15) Δ(z) =Δ 5 +2(h z)tg(β/2); (16) 7

9 С.В. Сторожев, Нгуен Куок Ши, Чан Ба Ле Хоанг величины ρ c0, V c0 задаются соотношениями (10), (11). 2. Нечетко-множественные оценки в модели распада струи жидкости в пневматическом распылителе. Представленное описание детерминистического варианта модели процесса распада струи жидкости в пневматическом распылителе, описывающей, по существу, характеристики его функционирования, указывает на весьма существенную степень неопределенности преимущественного числа экзогенных параметров данноймодели. Для построения модифицированного варианта модели, учитывающего факторы неопределенности экзогенных параметров на основе информации о характере разбросов в их значениях, зачастую не имеющейкорректнойстатистическойприроды, получаемойна основе экспертных заключенийи оценок, целесообразно применить методологические принципы теории нечетких множеств. Предлагаемая методика получения поэтапно формируемых нечетко-множественных оценок для цикла параметров функционирования распылителя базируется на гипотезе описания обладающих разбросами неопределенных экзогенных геометрических и физико-механических параметров нечетким трапецеидальными интервалами. На начальном этапе анализа нечетко-интервальные представления вводятся для диаметров отверстийв мембране распылителя Δ 4 и диаметра внутренней цилиндрическойповерхности трубки Δ 1 Δ 1 =(Δ 11, Δ 12, Δ 13, Δ 14 ), Δ4 =(Δ 41, Δ 42, Δ 43, Δ 44 ). (17) На этойоснове формируется следующая из соотношения (1) с учетом свойств Δ 2 / Δ 1 > 0, Δ 2 / Δ 4 < 0, (18) нечетко-множественная оценка для внутреннего диаметра Δ 2 цилиндрического растекающегося слоя жидкости вдоль образующейтрубки Δ 2 = Δ 2α, Δ 2α ], α 0,1] (19) Δ 2α =(Δ 2 1α 4Δ 2 4α) 1/2, Δ 2α =(Δ 2 1α 4Δ 2 4α) 1/2, где Δ 1α =(1 α)δ 11 + αδ 12, Δ 1α = αδ 13 +(1 α)δ 14, Δ 4α =(1 α)δ 41 + αδ 42, Δ 4α = αδ 43 +(1 α)δ 44. (20) С введением учитывающего возможные разбросы значенийнечетко-интервального исходного параметра объемного расхода жидкости на входе в распылитель Q 0 =(Q 01,Q 02,Q 03,Q 04 ), (21) и с учетом свойств V L / Q 0 > 0, Δ 2 / Δ 4 < 0, (22) 8

10 Учет неопределенности экзогенныхпараметров при моделировании распада для неопределеннойхарактеристики скорости движения жидкости V L в пристеночном слое следует оценка Ṽ L = V Lα, V Lα ], α 0,1] (23) V Lα = Q 0α /(πδ 2 4α), V Lα = Q 0α /(πδ 2 4α), где Q 0α =(1 α)q 01 + αq 02, Q 0α = αq 03 +(1 α)q 04. (24) Нечетко-множественная модификация соотношения (3) при введении нечетко-множественного эндогенного параметра We 1 и нечетко-интервальных экзогенных параметров Δ d =(Δ d1, Δ d2, Δ d3, Δ d4 ), Ṽ g =(V g1,v g2,v g3,v g4 ), ρ g =(ρ g1,ρ g2,ρ g3,ρ g4 ), ρ =(ρ 1,ρ 2,ρ 3,ρ 4 ), α =(α p1,α p2,α p3,α p4 ), μ =(μ 1,μ 2,μ 3,μ 4 ) и с учетом свойств знакоопределенности производных (25) We 1 / Δ d > 0, We 1 / V g > 0, We 1 / ρ > 0, We 1 / α < 0, (26) записывается в виде где We 1 = α 0,1] We 1α =Δ dα V 2 gαρ gα α 1 α, We 1α, We 1α ], We 1α = Δ dα V 2 gαρ gα α 1 α, Δ dα =(1 α)δ d1 + αδ d2, Δ dα = αδ d3 +(1 α)δ d4 ; V gα =(1 α)v g1 + αv g2, V gα = αv g3 +(1 α)v g4 ; ρ α =(1 α)ρ 1 + αρ 2, ρ α = αρ 3 +(1 α)ρ 4 ; α α =(1 α)α p1 + αα p2, α α = αα p3 +(1 α)α p4. Также определяется нечеткийпараметр Лапласа L p = L pα, L pα ], α 0,1] L ρα =Δ dα ρ α μ 2 α α α, L ρα = Δ dα ρ α μ 2 α α α, находятся нечетко-множественные представления (4) We 1 = We 1 α, We 1 α ], α 0,1] We 1 α =5(1+(3/2)L 0,37 ρα ), We 1 α =5(1+(3/2)L 0,37 ρα ); (27) (28) (29) (30) 9

11 С.В. Сторожев, Нгуен Куок Ши, Чан Ба Ле Хоанг We 1 = α 0,1] We 1 α, We 1 α ], We 1 α =2L 1/3 ρα, We 1 =2L 1/3 ρα ; (31) и ранжирование по формуле (5) трансформируется в процедуру сравнения 27 29] нечетких множеств We 1, We1, We1, либо сопоставления параметров их дефаззификации по методу медиан 8 18]. Нечетко-множественные обобщения соотношений(8) (11) с ведением модифицированнойзаписи выражений(9) (11) R m = R mg + R m, R mg =(π/4)(δ 2 2 Δ 2 1)ρ 0g V 0g, R m =(π/4)δ 2 1ρ V 0 ; ρ c0 = R m /R v ; V c0 =(R mg V 0g + R m V 0 )/R m ; (32) с использованием в рамках выполняющихся с учетом разбросов предположений V 0g >V 0, V 0g ρ 0g <V 0 ρ 0, а также c использованием свойств R v / V 0g < 0, R v / V 0 > 0, R v / Δ 2 > 0, R v / Δ 1 < 0; R m / V 0g < 0, R m / V 0 > 0, R m / Δ 2 > 0, R m / Δ 1 > 0, R m / ρ 0g < 0, R m / ρ 0 > 0, могут быть представлены в форме R v = R vα, R vα ], α 0,1] R vα =(π/4)((δ 2 2α Δ2 1α )V 0gα + Δ 2 1α V 0α), R vα =(π/4)((δ 2 2α Δ2 1α )V 0gα +Δ2 1α V 0α); R m = R mα, R mα ], α 0,1] R mα =(π/4)((δ 2 2α Δ 2 1α)ρ 0gα V 0gα +Δ 2 1αρ α V 0α ), (33) (34) (35) R mα =(π/4)((δ 2 2α Δ 2 1α)ρ 0gα V 0gα + Δ 2 1αρ α V 0α ). В представлениях (34) (35) представлены также ранее не вводившиеся нечетко-интервальные экзогенные параметры 10 Ṽ 0g =(V 0g1,V 0g2,V 0g3,V 0g4 )= = V 0gα, V 0gα ], α 0,1]

12 Учет неопределенности экзогенныхпараметров при моделировании распада V 0gα =(1 α)v 0g1 + αv 0g2, V 0gα = αv 0g3 +(1 α)v 0g4 ; Ṽ 0 =(V 01,V 02,V 03,V 04 )= = V 0α, V 0α ], α 0,1] V 0α =(1 α)v 01 + αv 02, V 0α = αv 03 +(1 α)v 04 ; ρ 0 =(ρ 01,ρ 02,ρ 03,ρ 04 )= = ρ 0α, ρ 0α ] α 0,1] ρ 0α =(1 α)ρ 01 + αρ 02, ρ 0α = αρ 03 +(1 α)ρ 04 ; ρ 0g =(ρ 0g1,ρ 0g2,ρ 0g3,ρ 0g4 )= = ρ 0gα, ρ 0gα ], α 0,1] ρ 0gα =(1 α)ρ 0g1 + αρ 0g2, ρ 0gα = αρ 0g3 +(1 α)ρ 0g4. С расширением степени неопределенности и с применением выражений R m = R mα, R mα ], α 0,1] R mα =(π/4)(δ 2 1αρ α V 0α ), R mα =(π/4)(δ 2 1αρ α V 0α ); R mg = (36) R mgα, R mgα ], α 0,1] R mgα =(π/4)((δ 2 2α Δ2 1α )ρ 0gαV 0gα ), R mgα =(π/4)((δ 2 2α Δ2 1α )ρ 0gα V 0gα); можно также записать представления ρ c0 = R mα /R vα, R mα /R vα ], (37) α 0,1] = α 0,1] Ṽ c0 = (R mgα V 0gα + R mα V 0α )/R mα, (R mgα V 0gα + R mα V 0α )/R mα ]. (38) Параметрические нечетко-множественные описания R k (β), Ṽ k (β) для определяемых соотношениями (12), (13) в детерминистическойверсии рассматриваемоймодели параметров расхода и скорости истечения смеси на выходе из кольцевого отверстия головки форсунки с учетом свойств F R (V 0k, Δ 5,S k,l k,β)/ V 0k > 0, F V (V 0k, Δ 5,S k,l k,β)/ V 0k > 0, (39) 11

13 С.В. Сторожев, Нгуен Куок Ши, Чан Ба Ле Хоанг могут быть получены в виде R k (β) = R kα (β), R kα (β)], Ṽk(β) = V kα (β), V kα (β)], (40) α 0,1] α 0,1] где R kα (β) = R kα (β) = in Δ 5 Δ 5α, Δ 5α ] S k S kα, S kα ] L k L kα, L kα ] sup Δ 5 Δ 5α, Δ 5α ] S k S kα, S kα ] L k L kα, L kα ] F R (V k0α, Δ 5,S k,l k,β)}, F R (V k0α, Δ 5,S k,l k,β)}; (41) V kα (β) = V kα (β) = in Δ 5 Δ 5α, Δ 5α ] S k S kα, S kα ] L k L kα, L kα ] sup Δ 5 Δ 5α, Δ 5α ] S k S kα, S kα ] L k L kα, L kα ] F V (V k0α, Δ 5,S k,l k,β)}, F V (V k0α, Δ 5,S k,l k,β)}, (42) V k0α =(1 α)v k01 + αv k02, V k0α = αv k03 +(1 α)v k04. (43) При этом в рассмотрение вводятся нечетко-интервальные обобщения для экзогенных параметров Ṽ k0 =(V k01,v k02,v k03,v k04 ), Δ5 =(Δ 51, Δ 52, Δ 53, Δ 54 ), S k =(S k1,s k2,s k3,s k4 ), Lk =(L k1,l k2,l k3,l k4 ), (44) где Ṽk0 характеризует разбросы скорости газокапельного потока при прохождении нижнего сечения в конуснойчасти зоны его накапливания; Δ5 характеризует разбросы диаметра нижнего сечения в конуснойчасти зоны накапливания газокапельного потока; S k описывает разбросы радиальнойширины кольцевого отверстия распылительнойголовки; L k характеризует разбросы величины толщины стенки в конструкции распылительнойголовки. В качестве примера реализации описаннойметодики получения нечеткомножественных характеристик для параметров процесса распыления жидкости в пневматическойфорсунке рассматривается следующийвариант задания нечетко-интервальных экзогенных параметров: Δ 1 =(98l, 100l, 102l, 105l ), Δ4 =(8.7l, 8.9l, 9.0l, 9.4l ), Q 0 =(1.3Q, 2.1Q, 2.8Q, 3.8Q ), Δd =(10l, 14l, 16l, 19l ), 12

14 Учет неопределенности экзогенныхпараметров при моделировании распада Ṽ g =(3.0V, 3.8V, 4.2V, 4.9V ), Ṽ =(0.32V, 0.40V, 0.44V, 0.52V ), ρ g =(0.7ρ, 0.9ρ, 1.1ρ, 1.4ρ ), ρ = (780ρ, 800ρ, 840ρ, 920ρ ), L k =(18l, 20l, 22l, 25l ), α =(0.015α, 0.019α, 0.021α, 0.024α ), μ =(0.93μ, 0.98μ, 1.03μ, 1.12μ ), Ṽ k0 =(2.7V, 2.9V, 3.4V, 4.4V ), Δ 5 =(65l, 70l, 72l, 74l ), Sk =(9.6l, 10.0l, 10.4l, 11.0l ), l =10 4 м], Q =10 6 м 3 /c], V =1м/c], ρ =1кг/м 3 ], α =1Па], μ =10 3 Па c]. Результаты расчетов ряда описываемых соотношениями (17) (44) нечеткомножественных эндогенных характеристик исследуемоймодели при указанном варианте задания неопределенных исходных параметров приведены на рисунках Так, на рисунке 5 представлена функция принадлежности для нечетко-множественнойоценки Δ 2 внутреннего диаметра цилиндрического растекающегося слоя жидкости вдоль образующейтрубки в области V 4, а на рисунке 6 функция принадлежности для нечетко-множественнойоценки ṼL скорости ее движения в пристеночном слое. Рис. 5. Функция принадлежности Δ 2 Рис. 6. Функция принадлежности ṼL На рисунках 7 10 соответственно дано описание функцийпринадлежности для нечетко-множественных характеристик величин L p, We1, We1, We1. Рис. 7. Функция принадлежности L p Рис. 8. Функция принадлежности We 1 13

15 С.В. Сторожев, Нгуен Куок Ши, Чан Ба Ле Хоанг Рис. 9. Функция принадлежности We 1 Рис. 10. Функция принадлежности We 1 На рисунке 11 в качестве примера дано описание нечетко-множественной характеристики массового расхода R m. Рисунок 12 иллюстрирует вид функции принадлежности для нечетко-множественнойоценки Ṽk(2π/3). Рис. 11. Функция принадлежности R m Рис. 12. Функция принадлежностиṽ k (2π/3) Наконец, рисунки 13 и 14 описывают параметрические зависимости от угловойкоординаты β для значенийграниц μ =0носителейи границ μ =1областей максимальнойдостоверности нечетко-множественных оценок эндогенных параметров Ṽk(β), R k (β). Как следует из этих распределений, при рассматриваемых значениях заданных с разбросами параметров угловые зависимости характеристик R k (β) незначительны, а изменения характеристик Ṽk(β) свидетельствуют о росте скоростей V k (β) с увеличением данного параметра. Рис. 13. Нечетко-интервальное параметрическое описание возможных значений фазовых скоростей V k (β). 14

16 Учет неопределенности экзогенныхпараметров при моделировании распада Рис. 14. Нечетко-интервальное параметрическое описание возможных значений параметра расхода R k (β). Выводы. Таким образом, итогом представленных исследованийявляется разработка нечетко-множественнойметодики учета разбросов исходных значенийфизико-механических и геометрических параметров в модели функционирования пневматического распылителя, оказывающих влияние на прогнозные результаты предпроектных конструкторских расчетов. Оценки, получаемые в результате применения методики, позволяют установить диапазоны наиболее достоверных отклоненийв значениях анализируемых характеристик скоростей, расходов, а также характеристик процессов каплеобразования при заданных разбросах исходных параметров, а также границы предельных достижимых значенийанализируемых характеристик на минимальном уровне уверенности. 1. Дитякин Ю.Ф. Распыливание жидкостей / Ю.Ф. Дитякин, Л.А. Клячко, Б.В. Новиков, В.И. Ягодкин. М.: Машиностроение, с. 2. Пажи Д. Основы техники распыления жидкости / Д. Пажи, В. Галустов. М.: Химия, с. 3. Соколов Е.Я. Струйные аппараты / Е.Я. Соколов, Н.М. Зингер. Л.: Энергоатомиздат, с. 4. Солдатова М.С. Моделирование процесса распыления жидкости из форсунки / М.С. Солдатова // Решетневские чтения С Софронов B.Л. Расчет струйных аппаратов: Учебное пособие / B.Л. Софронов, И.Ю. Русаков, Т.В. Ощепкова. М: СТИ НИЯУ МИФИ, с. 6. Славкова Л.Г. Математическое моделирование движения потока газа в пневматическом распылителе жидкости / Л.Г. Славкова // Науковий вiсник Луганського нацiонального аграрного унiверситету Вип. 30. С Зайчик Л.И. Статистические модели движения частиц в турбулентной жидкости / Л.И. Зайчик, В.М. Алинченков. М.: ФИЗМАТГИЗ, с. 8. Алтунин А.Е. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях / А.Е. Алтунин, М.В. Семухин. Тюмень: Изд-во Тюменского государственного университета, с. 9. Дилигенский Н.В. Нечеткое моделирование и многокритериальная оптимизация производственных систем в условиях неопределенности: технология, экономика, экология / Н.В. Дилигенский, Л.Г. Дымова, П.В. Севастьянов. М.: «Издательство Машиностроение - 1», с. 10. Ротштейн А.П. Моделирование и оптимизация надежности многомерных алгоритмических процессов / А.П. Ротштейн, С.Д. Штовба, А.Н. Козачко. Винница: УНIВЕРСУМ, с. 11. Kaumann A. Introduction to uzzy arithmetic-theory and applications / A. Kaumann, M. Gupta. New York: Van Nostrand Reinhold, p. 15

17 С.В. Сторожев, Нгуен Куок Ши, Чан Ба Ле Хоанг 12. Anastassiou G.A. Fuzzy Mathematics: Approximation Theory / G.A. Anastassiou. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, p. 13. Kandasamy W.B.V. Special set linear algebra and special set uzzy linear algebra / W.B.V. Kandasamy, F. Smarandache, K.Ilanthenral. Slatina, Judetul Olt, Romania: Editura CuArt, p. 14. Sonbol A.H. TSK Fuzzy Function Approximators: Design and Accuracy Analysis / A.H. Sonbol, M.S. Fadali // IEEE Trans. Syst. Man and Cybern Vol. 42 P Ban A.I. Trapezoidal approximation and Aggregation / A.I. Ban, L.C. Coroianu, P. Grzegorzewski //Fuzzy Sets Syst Vol P Bede B. Mathematics o Fuzzy Sets and Fuzzy Logic / B. Bede. Berlin, Heidelberg: Springer- Verlag, p. 17. Grzegorzewski P. Trapezoidal approximations o uzzy numbers / P. Grzegorzewski, E. Mrґowka //Fuzzy Sets Syst Vol P Hanss M. Applied Fuzzy Arithmetic. An introduction with Engineering Application / M. Hanss. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, p. 19. Бобков В.И. Подход к исследованию теплопроводности нечеткими численными методами в условиях неопределенности теплофизических характеристик / В.И. Бобков, В.В. Борисов, М.И. Дли // Системы управления, связи и безопасности С Ходырев А.И. О распределении капель по размерам в спектре при распыливании жидкости центробежной форсункой / А.И. Ходырев, Д.А. Ходырев, М.Г. Блохина // Труды Российского государственного университета нефти и газа имени И.М. Губкина С Метод исследования структуры факела распыла эжекционной форсунки / В.А. Архипов и др.] // Ползуновский вестник С Freret L. Pulsated ree jets with polydisperse spray injection: experiments and numerical simulations/l.freret,c.lacour,s.chaisemartin,s.ducruix,d.durox,f.laurent,m.massot // Proc. o Combustion Inst Vol. 32. P Fujisawa N. Simultaneous measurement o droplet size and velocity ield by an intererometric imaging technique in spray combustion / N. Fujisawa, A. Hosokawa, S. Tomimatsu // Measurement Science and Technology Vol. 14. P Maeda M. Improvements o the intererometric technique or simultaneous measurement o droplet size and velocity vector ield and its application to a transient spray / M. Maeda, Y. Akasaka, T. Kawaguchi // Experiments in Fluids No. 33. P doi: /s Arkhipov V. Dispersiveness o liquid droplets sprayed with cocurrent gas low / V. Arkhipov, A. Antonnikova, S. Basalayev, I. Zharova, S. Orlov // EPJ Web o Conerences Vol. 110, p. 26. Ortiz C. Acceleration o a liquid drop suddenly exposed to a highspeed airstream / C. Ortiz, D.D. Joseph, G.S. Beavers // International Journal o Multiphase Flow Vol. 30. P Cheng C.H. A new approach or ranking uzzy numbers by distance method / C.H. Cheng // Fuzzy Sets and Systems V. 95. P Thorani Y.L.P. Ordering generalized trapezoidal uzzy numbers / Y.L.P. Thorani, P.P.B. Rao, N.R. Shankar // Int. J. Contemp. Math. Sciences Vol. 7, no. 12. P Wang Y.-M. On the centroids o uzzy numbers / Y.-M. Wang, J.-B. Yang, D.-L. Xu, K.-S. Chin // Fuzzy Sets and Systems Vol P S.V. Storozhev, Nguyen Kuok Shi, Tran Ba Le Hoang Accounting the uncertainty o exogenous parameters in modeling processes o liquid jet decomposition in pneumatic sprayers. A numerical-analytical theoretical technique or taking into account the inluence o scatter errors in 16

18 Учет неопределенности экзогенныхпараметров при моделировании распада the experimental and structural values o the initial physical, mechanical and geometric parameters in the model o unctioning o a pneumatic atomizer-generator to create a gas-liquid aerosol mixtures is presented. The need or the development o the methodology is due to the tasks o ensuring the adequacy o the results o pre-design calculations o the structures under consideration. The proposed approach is based on the use o the relations o the previously developed deterministic version o the model under consideration with the transition in its calculation relations to uzzymultiple arguments by ragmented phased application o the alpha-level orm o the heuristic generalization principle in combination with uzzy-interval arithmetic methods. An example o the application o the developed calculation method is given. Keywords: gas-liquid aerosol mixtures, pneumatic liquid sprayers, mathematical model o unctioning, uzzy-set generalization o model, accounting o scatter errors o exogenous parameters, methods o uzzy-interval arithmetic, heuristic generalization principle. ГОУ ВПО Донбасская национальная академия строительства и архитектуры, Макеевка ФГБОУ ВО Национальный исследовательский университет МЭИ МОН РФ, Москва Получено

19 ISSN Журнал теоретической и прикладной механики. 1 (66) / МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА УДК c Л.П. Вовк, Е.С. Кисель МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТРЕЩИНЫ ИЗ ВЕРШИНЫ ОСТРОГО V-ОБРАЗНОГО ВЫРЕЗА МОДЕЛИ, ОСЛАБЛЕННОЙ РАЗГРУЖАЮЩИМ ОТВЕРСТИЕМ Проведено экспериментальное исследование зарождения и развития трещины в вершине острого V-образного выреза. Рассмотрен нормальный отрыв образца прямоугольного поперечного сечения, ослабленного V-образным вырезом и разгружающим отверстием, т.е. при нагружении по типу отрыва (тип трещины I). Проведено компьютерное моделирование зарождения и развития трещины из вершины V-образного выреза и численные эксперименты по разрушению образцов различной геометрической конфигурации. Получены зависимости механических характеристик от локализации выреза и отверстия, их геометрических параметров и схемы нагружения модели. Методом конечных элементов получены коэффициенты интенсивности напряжений при одноосном растяжении. Предложены практические рекомендации относительно геометрических параметров модели и схемы нагружения. Ключевые слова: трещина, угловой вырез, критерий разрушения, компьютерное моделирование, метод конечных элементов. Введение. В классическоймеханике разрушения силовые и деформационные критерии разрушения ориентированы на их применение к областям, содержащим трещины. Оценке хрупкойпрочности областейс трещинами при нагружениях, соответствующих трем классическим типам трещин, посвящено большое количество работ. Так, в обзорнойстатье 1] рассмотрен ряд проблем, относящихся к построению основ механики разрушения однородных и композитных материалов при сжатии вдоль плоских трещин, расположенных в одной или нескольких параллельных плоскостях. Рассмотрены результаты, полученные в рамках упругих, пластических и вязкоупругих моделейдеформируемых тел. В то же время влияние угловых вырезов на величину разрушающейнагрузки изучено недостаточно. Это объясняется, прежде всего, тем обстоятельством, что все известные критерии разрушения не приспособлены к угловым точкам. Следует отметить, однако, что в инженернойпрактике такого рода проблематика встречается достаточно часто. Подробно данныйвопрос исследовался в 2]. В связи с этим для определения несущейспособности элемента конструкции, а также трещиностойкости материала в конкретных условиях необходимы методы оценки соответствующих характеристик трещиностойкости. Для решения подобных задач механики разрушения оправдано проведение расчётов с применением МКЭ (метода конечных элементов). Однако следует отметить, что 18

20 Моделирование распространения трещины создание КЭ (конечноэлементной) сетки вручную для задач о распространении трещины может занять достаточно много времени, тем самым меньше времени остаётся непосредственно на проведение расчёта, анализ полученных результатов и, в конечном итоге, на принятие мер по замене либо ремонту детали. Ранее в задачах механики разрушения традиционно использовались строго структурированные сетки в окрестности фронта трещины, состоящие из концентрических слоёв гексаэдрических и призматических конечных элементов. Такой подход был обоснован, поскольку обеспечивал возможность разбиения сложной геометрии у фронта трещины в условиях слабо развитых методов автоматического построения сетки, а также гарантировал сходимость расчёта (наличие трещины приводит к появлению сингулярности на фронте) 3]. Однако на реальных деталях со сложными геометрическими формами реализация таких алгоритмов представляла существенные затруднения, тем более что направление развития трещины точно определяется только в процессе расчёта, и далеко не всегда может быть задано заранее. В последнейверсии продукта ANSYS Mechanical 2019 R2 стал доступным метод расчёта параметров механики разрушения для неструктурированных сеток UMM (Unstructured Mesh Method) 3]. Данныйметод расчёта для неструктурированных сеток (UMM) предполагает решение задач механики разрушения на сетках, состоящих из тетраэдрических элементов, т.е. с использованием всех преимуществ современных алгоритмов по построению сеток в объёмах произвольнойгеометрии. 1. Цель работы. Данное исследование является развитием обобщённого подхода 4] к оценке прочности деталейс трещинами путем компьютерного моделирования в конечно-элементном комплексе ANSYS Mechanical 2019 R2. В основе данного подхода лежит оценка возможности применения технологии SMART (Separating, Morphing and Adaptive Remeshing Technology технология разделения, изменения и адаптивного перестроения сетки) для многопараметрического анализа прочности конструкций, ослабленных V-образными вырезами. Целью работы стало получение адекватных результатов компьютерного моделирования и экспериментального исследования зарождения и развития трещины в вершине острого V-образного выреза для модели с разгружающим отверстием при нагружении по типу отрыва, а также анализ и обобщение полученных результатов численного исследования. 2. Постановка задачи и методика эксперимента. Геометрия модели была создана и импортирована из программного модуля ANSYS SpaceClaim Direct Modeler (SCDM), позволяющего выполнять трехмерное геометрическое моделирование, создавать и редактировать параметрические модели на основе подхода, известного как «прямое моделирование» (Direct Modelling). Материал модели оставляем предлагаемым программойпо умолчанию, т.е. сталь (AISI 1020 Steel, cold rolled, материал представлен в библиотеке материалов программного комплекса). Тестовая модель представляет собойтолстую пластину с краевой трещинойи круглым сквозным отверстием. Линейные размеры пластины выбираем следующим образом: по оси X: a = 5,2 e-002 м, по оси Y: b = 2,6 e-002 м, 19

21 Л.П. Вовк, Е.С. Кисель по оси Z: c = 3,0 e-003 м, радиус отверстия r = 2,83 e-003 м, начальная длина трещины составляет l = 1,4 e-002 м (рис. 1а). Рис. 1. а геометрия модели; б уточнение сетки КЭ Технология SMART предполагает использование тетраэдрических конечных элементов сетки. Размер конечных элементов следует уточнить вокруг конца трещины. Для этого используем метод «сферы влияния» (sphere o inluence method), основанныйна изменении размера конечных элементов, полученных при пересечении модели и вспомогательнойсферы. Моделируем сферу на геометрическом ребре, определяющем фронт трещины таким образом, чтобы ее центр оказался серединойвыбранного отрезка, а диаметр превосходил его на величину около 20% и строим сетку конечных элементов. Наблюдаем необходимое сгущение сетки в окрестности фронта трещины (рис. 1б ). Указываем геометрические объекты, определяющие трещину. Это фронт трещины, верхняя и нижняя поверхности трещины. Для фронта трещины определяем локальную систему координат, компоненты которойуказывают направление распространения трещины (Х) и направление раскрытия трещины (Y). В дерево Model добавляем новыйобъект Fracture (разлом, трещина). Так программный комплекс геометрическийv-образныйвырез сможет в перспективе после указания необходимых опцийидентифицировать как трещину. Тип трещины указываем Pre-Meshed Crack. Следует заметить, что инструментарийansys позволяет создавать трещины любого типа на основе подготовленнойгеометрии или сетки КЭ. Фронт трещины и нормаль к плоскости трещины (рис. 2а) определяются в настройках объекта Pre-Meshed Crack. Коэффициент интенсивности напряжений K I вычислялся с помощью инвариантного J-интеграла, которыйизмеряет величину сингулярных напряжений и деформацийоколо вершины трещины (рис. 2б ), где r - произвольныйконтур вокруг вершины трещины, n - единичныйвнешнийвектор, нормальныйк пути; s - расстояние вдоль пути r. Инвариантность является характерным свойством J-интеграла, т.е. он не зависит от контура интегрирования, как для упругих, так и для упругопластических тел, если нагружение последних близко к простому. Для хрупких тел этот критерийразрушения эквивалентен критерию Гриффит- 20

22 Моделирование распространения трещины Рис. 2. а структура трещины; б произвольный путь вокруг вершины трещины са, а для квазихрупких критерию Орована-Ирвина, что позволяет в ряде случаев определять границы применимости критериев линейной механики разрушения. Разделение J-интеграла на моды в пакете ANSYS базируется на методе интегрирования по областям, согласно которому контурныйинтеграл преобразуется в интеграл по площади, интегрирование ведется по кольцу элементов, окружающих вершину трещины, напряжения вычисляются внутри элементов в точках гауссовых квадратур. Первыйконтур для области интегрирования J-интеграла оценивается по элементам, которые ассоциированы с узлом вершины или фронта трещины. Второйконтур для области интегрирования J-интеграла оценивается по элементам, которые являются смежными к элементам первого контура. Эта процедура повторяется для всех контуров. Для обеспечения корректных результатов, элементы контура интегрирования не должны выходить за границы модели (за исключением поверхности трещины). В расчете использовались 6 контуров интегрирования. Все значения J-интеграла, а значит и K I (кроме первого) при адекватнойсетке должны будут показать хорошую сходимость, что послужит проверкойдостоверности вычислений4]. Поэтому не целесообразно указывать число контуров интегрирования б ольшим, это лишь увеличит время расчета. Подход механики разрушения позволяет при анализе избежать сингулярности напряженийна конце трещины. Трещина будет распространяться, когда коэффициент интенсивности напряжений K I превышает табличное критическое значение K C 5]. Вычисление значения K I выполняется каждыйраз при продвижении фронта трещины, определяя, таким образом, траекторию развития трещины. В роли такого критерия программныйкомплекс позволяет также выбирать J-интеграл 3]. На рис. 3 меткой А обозначена грань вдоль котороймодель жестко закреплена, а меткойв грань, к которойприложено растягивающее давление. В выводимые результаты включаем: общие перемещения (Total Deormation), эквивалентные напряжения (Equivalent Stress), коэффициент интенсивности напряженийstress-intensity actors, SIFs (K I ), зависимость значенияk I от длины трещины (SIFs (K I ) Probe), а также зависимость величины раскрытия и/или расширения трещины (crack extension Рrobe) от номера итерации. Число итерацийукажем равным 20. Основным параметром, описывающим механизм раз- 21

23 Л.П. Вовк, Е.С. Кисель Рис. 3. Граничные условия и нагрузки рушения и режим раскрытия трещины при растяжении для данноймодели, является (SIFs) (K I ). Есть возможность также включить в запрашиваемые результаты SIFs (K II ), коэффициента интенсивности напряженийпри поперечном сдвиге поверхностей трещины. Эта величина является вторичнойдля данноймодели, однако может стать определяющейдля трещины при возникновении деформации поперечного сдвига (например, при значительнойтолщине пластины и несимметричности граничных условийи нагрузок). 3. Анализ численных результатов. Коэффициент интенсивности напряжений K I. На рис. 4 показаны шесть кривых, которые представляют шесть контуров, указанных в настройках объекта Pre-Meshed Crack для растягивающейнагрузки Р2 =2,e+009 Па. Они могут использоваться для проверки сходимости значения K I. Первая кривая относится к контуру, ближайшему к фронту трещины, остальные соответствуют пяти контурам, удаляющимся от фронта. Кривые быстро сходятся, подтверждая, что сетка модели адекватна. Имеем K I равный2,77е+9 Па мˆ(0,5), что значительно превосходит табличное значение K C 5] для данного материала и типа нагрузки. Выполняем три расчета с разнойисториейнагружения, растягивающейнагрузке, прикладываемойперпендикулярно к верхнейграни последовательно придаем значения P 1 = 4,е+009 Па, P 2 =2,e+009Па,P 3 = 9,e+008 Па. Во всех случаях наблюдаем статическое разрушение модели, проявляющееся в разной степени. Достоверность расчета подтверждается получаемыми значениями K I, превосходящими критическое значение K C 5]. При K I >K C нарушается так называемыйкритерийустойчивости, трещина становится неустойчивойи начинает развитие. Критерийустойчивости проверяется на каждойитерации (шаге расчета), в случае его нарушения, получаем прирост длины трещины. Таким образом, расчет развития трещины можно представить, как суммар- 22

24 Моделирование распространения трещины Рис. 4. Распределение K I вдоль фронта трещины по 6-ти контурам ную последовательность ее раскрытий(приращенийдлины) на указанном числе итераций. Количество итераций (шагов) определяется пользователем и техническими возможностями конкретного компьютера. На рисунках 5, 6, 10 точки графиков соответствуют номерам итераций Величина прикладываемой нагрузки оказывает значительное влияние на результаты расчета. Так, при P 1 = 4,е+009 Па имеем развитие трещины вплоть до ее слияния с разгружающим отверстием на 18-ойитерации. При этом наблюдаем резкийскачок значенийдеформации от 1,77е-02 м до 2,61e- 02 м (рис. 5) и одновременное падение эквивалентных напряжений(рис. 6) от отметки 2,09е+11 Па до 1,12е+11 Па на 18-ойитерации при вхождении в отверстие. Поле напряженийпри этом перераспределяется таким образом, что максимальные значения наблюдаем на внутреннейповерхности отверстия с противоположнойстороны от трещины. Этот эффект связан с деформационнойприродойразвития трещины в окрестности границы отверстия, в соответствии с которойпри подходе фронта трещины к отверстию, напряжения начинают уменьшаться, а при «входе» в отверстие перераспределяться по поверхности отверстия. При меньших величинах нагрузки P 2 =2,e+009 Па и P 3 = 9,e+008 Па наблюдаем равномерныйрост трещины в направлении разгружающего отверстия, причем более значительныйпри P 2 =2,e+009 Па, что хорошо визуализируется на эпюрах (рис.7-9). Изменение SIFS (K I ) вдоль траектории развития трещины. Анализируя изменение SIFS (K I ) модели вдоль растущейтрещины (рис.10), отмечаем рост значенийвдоль всейтраектории развития трещины, пропорционально прикладываемойнагрузке. Лишь на 18-ойитерации при максимальнойнагрузке после пикового значения K I равного 5,67e+09 Па мˆ(0,5), наблюдаем его падение 23

25 Л.П. Вовк, Е.С. Кисель Рис. 5. Изменение общей деформации модели за время разрушения при нагрузках P 1, P 2, P 3 Рис. 6. Изменение эквивалентныхнапряжений модели за время разрушения при нагрузках P 1, P 2, P 3 до нуля. На рис. 10 треугольными маркерами отмечены итерации, на которых начинается перестройка сетки модели, что происходит при перераспределении напряженийв окрестности вершины трещины. Наблюдаем небольшие сингулярности на представленных кривых, которые возникают тем раньше, чем больше вели- 24

26 Моделирование распространения трещины Рис. 7. Эпюра эквивалентныхнапряжений модели, нагрузка P 1 Рис. 8. Эпюра эквивалентныхнапряжений модели, нагрузка P 2 чина прикладываемойнагрузки. Размер разгружающего отверстия. Исследуем влияние размера разгружающего отверстия и его близости к фронту трещины на распространение трещины. Для этого, выполним серию расчетов, когда, не изменяя геометрическое расположение центра отверстия, изменяем его радиус в диапазоне от r 0,83е-3; 2,83е-3]м. При этом разгружающее отверстие, увеличиваясь в объеме и ослабляя общую прочность детали в целом, приближается к фронту трещины. 25

27 Л.П. Вовк, Е.С. Кисель Рис. 9. Эпюра эквивалентныхнапряжений модели, нагрузка P 3 Рис. 10. Изменение K I модели по траекторииразвития трещины при нагрузках P 1, P 2, P 3 На рис. 11 представлена полученная зависимость эквивалентных напряженийот радиуса разгружающего отверстия при нагрузке P 1. Представленные кривые соответствуют итерациям 8..20, т.к. на более ранних итерациях отмечаются очень незначительные изменения эквивалентных напряженийи интереса для исследования они не представляют. Для моделейс r < 2,33е-3 м наблюдалось преждевременное прерывание расчета по причине купирования трещины в области фронта в виде незначительного разлома. Согласно полученным результатам, при r > 2,33е-3 м на всех итерациях на- 26

28 Моделирование распространения трещины Рис. 11. Зависимость эквивалентныхнапряжений от радиусаразгружающего отверстия, на первыхдесяти итерациях, нагрузка P 1 блюдается резкое увеличение концентрации напряжений, которая у вершины разреза приводит к появлению пластического течения, предшествующего образованию новых поверхностей, т.е. зарождению (рис. 12) и развитию трещины. Расстояние от разгружающего отверстия до фронта трещины составляло 30-50% исходнойдлины трещины. При этом на эпюрах не всегда присутствует симметрия линийразлома на переднейи заднейповерхностях модели, что, свидетельствует о возможном влиянии толщины пластины и, как следствие, значения K II, входящего в определяющее выражение для J-интеграла 5]. Этот факт подтверждается данными рис. 13, которыйотражает зависимость K I от радиуса разгружающего отверстия, на итерациях Очевиден резкий скачок значений K I при r>2,33е-3м. Линии, соответствующие итерациям 19, 20 на рис. 13 не изображены, поскольку при r >2,33е-3м происходит разрыв отверстия и падение пикового значения K I. Очевидна значительная роль разгружающего отверстия в вопрорсе купирования развития трещины. На рис. 14 представлена эпюра модели без отверстия. Сравнивая значения максимальных напряженийпри соответствующих нагрузках, на рис. 7 9 и рис. 14 отмечаем, что отверстие оказывает значительное разгружающее воздействие на поле еквивалентных напряжений в области фронта трещины, уменьшая значения максимальных напряженийна 20-30%. При входе трещины в отверстие максимальные напряжения (после их перераспределения) наблюдаются на правом участке границы отверстия. 27

29 Л.П. Вовк, Е.С. Кисель Рис. 12. Зарождение трещины Рис. 13. Зависимость K I от радиуса разгружающего отверстия, на первыхдесяти итерациях, нагрузка P 1 Выводы. Примененная технология SMART конечно-элементного комплекса ANSYS Mechanical является достаточно удобным и точным инструментом изучения процесса трещинообразования в образцах произвольнойгеометрии. На основании проведенных расчетов можно сформулировать следующие выводы: Для рассмотренного образца имеем хорошее согласование с известными табличными величинами. При выполнении условия K I >K C нарушается критерий устойчивости, вследствие чего трещина становится неустойчивойи начинает развитие. Данныйфакт подтверждается соответствующими эпюрами и графиками. При верно подобраннойгеометрии (расстояния от фронта трещины до разгружающего отверстия и его объема) можно достичь эффекта слияния трещины с разгружающим отверстием, т.е. тормозящего эффекта.

30 Моделирование распространения трещины Рис. 14. Эпюра эквивалентныхнапряжений модели, нагрузка P 1 2. Величина прикладываемойнагрузки к исследуемому образцу оказывает существенное влияние на характер разрушения. Исследована зависимость закономерностейраспространения трещины в зависимости от величины прикладываемойнагрузки. 3. Разгружающее отверстие способно понизить значения максимальных напряженийна 20-30% при адекватнойгеометрии и нагрузке модели. Даже при незначительном объеме разгружающего отверстия оно способно остановить развитие трещины в области ее фронта на этапе зарождения. При этом фронт трещины не должен отстоять от разгружающего отверстия более чем на 50% длины исходнойтрещины (выреза). Нелинейные задачи механики разрушения имеют дело с произвольно ориентированными, наклонными, разветвляющимися трещинами, сочетающими в себе сразу несколько типов деформации и, следовательно, для одноймодели иногда невозможно аналитически вывести формулы для расчёта коэффициентов интенсивности, с помощью которых и определяется прочность и предел стойкости конструкции. Поэтому перспективным направлением исследования является изучение влияния на распространение трещины при нагрузке по I типу коэффициента K II, а также влияние смешаннойнагрузки по I и II типам, толщины пластины, наличия и формы конструкционных стопперов. 1. Гузь А.Н. О построении основ механики разрушения материалов при сжатии вдоль трещин (обзор) / А. Н. Гузь // Прикладная механика Т. 50, 1. - С Zhang X. A ictitious crack XFEM with two new solution algorithms or cohesive crack growth modeling in concrete structures / X. Zhang, T.Q. Bui // Engineering Computations V 32. Р ANSYS V19.R2 User s Manual. - USA: Swanson Analysis Systems Inc.,

31 Л.П. Вовк, Е.С. Кисель 4. Вовк Л.П. Определение параметров разрушения пластины с трещиной при наличии концентраторов напряжения в процессе упругопластического деформирования / Л.П. Вовк, Е.С. Кисель // Вестник ДонНТУ С Бигалиева А.З. Расчет на прочность трехмерных объектов проектирования / А.З. Бигалиева, М.М. Коккоз // Современные наукоемкие технологии С Эксплуатационная надежность металлических конструкций и сооружений производственных зданий в экстремальных условиях Севера / В.В. Филиппов и др]; под редакцией чл.-корр. РАН В.В. Филиппова. - М.: Физматлит, с. L.P.Vovk,E.S.Kisel Modeling the distribution o cracks rom top o acute v-cut models, destroyed by the unloading hole. An experimental study o the origin and development o a crack at the apex o a sharp V-shaped notch was carried out. The normal detachment o a sample o rectangular cross section weakened by a V-shaped notch and a discharge opening, i.e. when loading on the type o separation (crack type I). A computer simulation o the nucleation and development o a crack rom the top o a V-shaped notch and numerical experiments on the destruction o samples o various geometrical conigurations have been carried out. The dependences o the mechanical characteristics on the localization o the cutout and the hole, their geometrical parameters and the model loading scheme are obtained. The inite element method is used to derive stress intensity actors or uniaxial tension. Practical recommendations regarding the geometric parameters o the model and the loading scheme are proposed. Keywords: crack, corner cut, racture criterion, computer modelling, inite element method. АДИ ГОУ ВПО Донецкий национальный технический университет, Горловка Получено

32 ISSN Журнал теоретической и прикладной механики. 1 (66) / УДК 539.3:534.1 c И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИЙ В ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНЫХ ЦИЛИНДРАХ КОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЯ Волновое движение описывается на основе полной системы уравнений линейной динамической теории упругости. Модуль сдвига и плотность изотропного материала цилиндра задаются экспоненциально-степенной функцией от радиальной координаты. Базисные решения системы дифференциальных уравнений модели строятся в матричной форме в виде разложений радиальных составляющих решения в равномерно и абсолютно сходящиеся степенные ряды по обобщенной кольцевой координате. Представлены также дисперсионные соотношения, описывающее спектры гармоник нормальных волн для случаев одновременно жестко закрепленных и свободных граничных поверхностей полого цилиндра. Изучены эффекты влияния фактора радиальной неоднородности на топологию дисперсионных спектров, распределение фазовых и групповых скоростей распространяющихся нормальных волн. Ключевые слова: функционально-градиентные материалы, изотропный волновод, нормальные волны, базисные решения, дисперсионные соотношения, фазовая скорость, групповая скорость. 1. Введение. При исследовании задач о распространении нормальных упругих волн вдоль изотропных цилиндров кольцевого сечения вопрос сводится к построению общего решения системы обыкновенных дифференциальных уравненийс переменными коэффициентами. В классическом случае однородного материала волновода эти уравнения разрешимы через цилиндрические функции, что становится невозможным при переходе к рассмотрению нового поколения функционально-градиентных материалов. Одним из подходов, обеспечивающих возможность построения общих аналитических решенийуказанной системы дифференциальных уравнений, является задание специального вида функционального закона радиального изменения физико-механических характеристик материала волновода и привлечение аппарата рядов по обобщенной кольцевойкоординате. Так в осесимметричном случае для экспоненциального закона радиальнойнеоднородности материала волновода построены в аналитическом виде общие решения модели и исследованы эффекты влияния фактора радиальнойнеоднородности трансверсально-изотропных материалов на характеристики дисперсионных спектров и фазовых скоростейбегущих нормальных крутильных волн в полых цилиндрах 1]. В данном исследовании указанная методика распространена на более общийслучайэкспоненциально-степенного закона радиальнойнеоднородности изотропного материала волновода. 2. Постановка задачи. Рассматривается протяженныйволновод, имеющий в поперечном сечении форму концентрического кругового кольца с радиусами R 1 и R 2. Вводится нормирующийпараметр R, на которыйнакладываются огра- 31

33 И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко ничения R 1 R R 2 и R 2 /2 <R. Вводится также безразмерныйпараметр h =max{1 R 1 /R,R 2 /R 1} (0 <h<1). (1) В нормированнойпараметром R безразмернойцилиндрическойсистеме координат Orθz волновод занимает область V V = {r R 1 /R,R 2 /R ]; θ π, π]; z (, )}, V {r 1 h, 1+h]; θ π, π]; z (, )}. Граничная поверхность Γ волновода определяется так: Γ=Γ (1) Γ (2), Γ (j) = {r = R j /R, θ π, π], z (, )} ( j = 1, 2 ). Полагается, что изотропныйматериал волновода является функциональнонеоднородным в радиальных направлениях по таким своим физико-механическим свойствам (ν = const) ρ (r) = ρ exp ( λ,q (r)), G(r) = G exp ( λ,q (r)), λ,q (r) =λ ((r 1) /h) q. (2) Здесь ν коэффициент Пуассона; ρ и G соответственно плотность и нормированныйпараметром C модуль сдвига неоднородного материала; ρ и G соответственно плотность и нормированныйпараметром C модуль сдвига однородного материала. Параметры λ (λ R) и q (q {0} N) в представлениях (2) характеризуют соответственно относительныймаксимальныйуровень и форму локализации в теле волновода радиальнойнеоднородности материала. Пространственная линейная математическая модель динамического напряженно-деформированного состояния упругих тел в системе координат Orθz включает систему дифференциальных уравненийдвижения r σ rr + r 1 θ σ rθ + z σ rz + r 1 (σ rr σ θθ ) ( ρr / 2 ) C 2 t u r =0, r σ rθ + r 1 θ σ θθ + z σ θz +2r 1 σ rθ ( ρr / 2 ) C 2 t u θ =0, r σ rz + r 1 θ σ θz + z σ zz + r 1 σ rz ( ρr / 2 ) C 2 t u z =0; (3) соотношения линейного закона Гука σ rr = G (C 1 ε rr + C 2 (ε θθ + ε zz )), σ θθ = G (C 1 ε θθ + C 2 (ε rr + ε zz )), σ zz = G (C 1 ε zz + C 2 (ε rr + ε θθ )), σ θz = Gε θz, σ rz = Gε rz, σ rθ = Gε rθ ; (4) уравнения связи между компонентами тензора малых деформаций ε nm (n, m = r, θ, z) и отнесенными к нормирующему параметру R компонентами безразмерного вектора динамических упругих волновых перемещений u n (n = r, θ, z) 32

34 Волны деформаций в функционально-градиентныхцилиндрахкольцевого сечения ε rr = r u r, ε θθ = r 1 u r + r 1 θ u θ, ε zz = z u z, ε θz = z u θ + r 1 θ u z, ε rz = z u r + r u z, ε rθ = r 1 θ u r + ( r r 1) u θ. (5) Здесь C 1 =2(1 ν)/(1 2ν), C 2 =2ν/(1 2ν); σ nm (n, m = r, θ, z) отнесенные к нормирующему параметру C безразмерные характеристики напряженнодеформированного состояния; t время; s = / s (s = r, θ, z, t). Представленная модель включает также однородные граничные условия свободной либо жестко закрепленной σ rs (r,θ,z) Γ =0 (s = r, θ, z) (6) u s (r,θ,z) Γ =0 (s = r, θ, z) (7) граничнойповерхности волновода. 3. Система используемых обозначений. Ниже будут использоваться следующие обозначения: i мнимая единица; выделение жирным шрифтом для обозначения матричных и векторных объектов; O и Ô нулевые соответственно квадратная матрица и вектор-столбец; I единичная квадратная матрица; обозначения X] j,p и X] j при j, p N используется для индексного доступа к элементам соответственно матричных и векторных объектов, а при j либо p заданных индексным диапазоном вида n..m или (n 1,n 2,..., n m ) для определения соответственно подматрицы либо подвектора; операция ] для определения матричных и векторных объектов (формально X] X); операция транспонирования X T ; операция комплексного сопряжения X; операция обращения неособеннойквадратнойматрицы X 1 ; X мультипликативная согласованная эвклидова норма 2]. 4. Получение рекуррентных соотношений. Модель (2) (7) применяется для исследования нормальных волн вдоль оси Oz в протяженных полых цилиндрах геометрии V с круговойчастотойω, нормированным параметром R продольным волновым числом k ) ( k C и окружным волновым числом τ (τ Z). В матричнойформе вводятся следующие комплексные представления ( U (r, θ, z, t) =exp δ λ,q (r) iωt+ i kz ) T (τ) 1 (θ) Ũ(τ) (r), (8) где δ (δ R) произвольныйпараметр; T (τ) 1 (θ) диагональная матрица размерности 3 3, отличные от нуля элементы которойравны ] T (τ) 1 (θ) ]1,1 =cos(τθ + β), T (τ) 1 (θ) =sin(τθ + β), 2,2 (9) T (τ) 1 (θ) ]3,3 = i cos (τθ + β) (β {0,π/2}); 33

35 И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко вектор-столбцы U (r, θ, z, t) =u r (r, θ, z, t),u θ (r, θ, z, t),u z (r, θ, z, t)] T, ] Ũ (τ) (r) = ũ r (τ) (r), ũ (τ) T (10) θ (r), ũ z (τ) (r). Параметр β в соотношениях (9) задает тип симметрии волновых движенийотносительно плоскости θ =0.При β =0исследованию подлежат условно симметричные волны со свойствами u r (r, θ,z,t) =u r (r, θ, z, t), u θ (r, θ,z,t) = u θ (r, θ, z, t), u z (r, θ,z,t) =u z (r, θ, z, t), а при β = π/2 условно антисимметричные волны со свойствами u r (r, θ,z,t) = u r (r, θ, z, t), u θ (r, θ,z,t) =u θ (r, θ, z, t), u z (r, θ,z,t) = u z (r, θ, z, t). Представления (8) (10) определяют независимые задачи исследования осесимметричных крутильных (τ = 0,β = π/2) и продольно-сдвиговых (τ = 0, β =0)волн, а также неосесимметричных волн (τ N, β=0). В результате подстановки представлений(8) (10) последовательно в соотношения (4) и (3) получается ( ) S (r, θ, z, t) =exp (1 δ) λ,q (r) iω t + i kz T (τ) 2 (θ) S (τ) (r), (11) где T (τ) 2 (θ) диагональная матрица размерности 6 6, отличные от нуля элементы которойравны T (τ) 2 (θ) ]j,j =cos(τθ + β) ( ) ] j = 1, 3, T (τ) 2 (θ) = i sin (τθ + β), 4,4 (12) T (τ) 2 (θ) ]5,5 = i cos (τθ + β), T (τ) 2 (θ) ]6,6 =sin(τθ + β); вектор-столбцы S (r, θ, z, t) =σ rr (r, θ, z, t),σ θθ (r, θ, z, t),σ zz (r, θ, z, t), σ θz (r, θ, z, t),σ rz (r, θ, z, t),σ rθ (r, θ, z, t)] T, ] S (τ) (r) = σ rr (τ) (r), σ (τ) θθ (r), σ(τ) zz (r), σ (τ) θz (r), σ(τ) rz (r), σ (τ) T rθ (r). (13) 34

36 Волны деформаций в функционально-градиентныхцилиндрахкольцевого сечения Для векторов Ũ(τ) (r) и S (τ) (r) получаются также дифференциальные соотношения связи S (τ) (r) = G 1 (r) Ũ(τ) (r), (14) где 1 (r) матричныйдифференциальныйоператор размерности 6 3, отличные от нуля элементы которого имеют вид ] 1 (r) = C 1D (r)+c 2 r 1, 1,1 ] 1 (r) = C ( 2 D (r)+r 1 ), 3,1 ] 1 (r) ]1,2 = 1 (r) = C 2τr 1, 3,2 ] 1 (r) ]1,3 = 1 (r) = C 2 k, 2,3 ] 1 (r) ]4,2 = 1 (r) = k, 5,1 ] 1 (r) = C 2D (r)+c 1 r 1, 2,1 ] 1 (r) = C 1τr 1, 2,2 ] 1 (r) = C 1 k, 3,3 ] 1 (r) ]4,3 = 1 (r) = 6,1 τr 1, ] 1 (r) ]5,3 = D (r), 1 (r) = D (r) 6,2 r 1. Здесь D (r) =d r δλqh q (r 1) q 1, d r = d/dr. Из дифференциальных уравненийдвижения (3) с учетом соотношений(8) (14) получается однородная система обыкновенных дифференциальных уравненийвторого порядка с переменными коэффициентами относительно компонент вектора U (τ) (r) следующего вида 2 (r) Ũ(τ) (r) =Ô (r (r 0,r 1 )). (15) Здесь используется некоторая область (r 0,r 1 ) изменения переменной r, удовлетворяющая требованиям 0 <r 0 < 1 h<1+h<r 1 < 2. Из выражений(1) следует, что такая область всегда существует. В соотношениях (15) 2 (r) квадратныйматричныйразмерности 3 3 дифференциальныйоператор с элементами ] ( 2 (r) = C 1 (r 2 d 2 r + 1+(1 2δ) λqh q r (r 1) q 1) ) rd r 1 τ 2 + 1,1 +κ 2 r 2 + λqh q r (r 1) q 2 ( δ ( 1 qr (1 δ) λqh q r (r 1) q) C 1 +(r 1) C 2 ), 35

37 И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко ) 2 (r) (C ]1,2 = τ 3 rd r + λqh q r (r 1) q 1 (C 2 δc 3 ) C 4, ] ( ) 2 (r) = kr C 3 rd r + λqh q r (r 1) q 1 (C 2 δc 3 ), 1,3 ) 2 (r) (C ]2,1 = τ 3 rd r + λqh q r (r 1) q 1 (1 δc 3 )+C 4, ( 2 (r) ]2,2 = r2 d 2 r + 1+(1 2δ) λqh q r (r 1) q 1) rd r 1 τ 2 C 1 + +κ 2 r 2 λqh q r (r 1) q 2 ( 1+δ (1 δq) r δ (1 δ) λqh q r (r 1) q), ] 2 (r) ]2,3 = 2 (r) 3 r, 3,2 ] ( ) 2 (r) 3,1 C 3 (1 + rd r )+λqh q r (r 1) q 1 (1 δc 3 ), ( 2 (r) ]3,3 = r2 d 2 r + 1+(1 2δ) λqh q r (r 1) q 1) rd r τ (Ω 2 k ) 2 C 1 r 2 + δλqh q r (r 1) q 2 ( 1 qr (1 δ) λqh q r (r 1) q), /( ) где Ω 2 = ρω 2 R 2 C G, C 3 =1/(1 2ν), C 4 =(3 4ν)/(1 2ν), κ 2 =Ω 2 k 2. С целью построения частных решенийуравнения (15) заменойпеременных r = hx +1, x (x 0,x 1 ) ( h 1 <x 0 < 1, 1 <x 1 <h 1) (16) вводится обобщенная кольцевая координата 3]. Здесь x 0 =(r 0 1) h 1, x 1 = (r 1 1) h 1. В результате замены переменных (16) соотношения (8), (10), (11), (13) (15) преобразуются так: ( U (x, θ, z, t) =exp δλx q iωt+ i kz ) T (τ) 1 (θ) Ũ(τ) (x), ( ) S (x, θ, z, t) =exp (1 δ) λx q iω t + i kz T (τ) 2 (θ) S (17) (τ) (x), где U (x, θ, z, t), S (x, θ, z, t), Ũ(τ) (x), S (τ) (x) вектор-столбцы U (x, θ, z, t) =u r (x, θ, z, t),u θ (x, θ, z, t),u z (x, θ, z, t)] T, S (x, θ, z, t) =σ rr (x, θ, z, t),σ θθ (x, θ, z, t),σ zz (x, θ, z, t), 36

38 Волны деформаций в функционально-градиентныхцилиндрахкольцевого сечения S (τ) (x) = σ θz (x, θ, z, t),σ rz (x, θ, z, t),σ rθ (x, θ, z, t)] T ; Ũ (τ) (x) = σ (τ) rr (x), σ(τ) θθ ũ (τ) r (x), σ(τ) zz (x), ũ (τ) T θ (x), ũ z (x)] (τ), (x), σ(τ) θz ] T (x), σ(τ) rz (x), σ(τ) rθ (x) ; S (τ) (x) = G 3 (x) Ũ(τ) (x), (18) где 3 (x) матричныйдифференциальныйоператор размерности 6 3, отличные от нуля элементы которого имеют вид ] 3 (x) = C 1 D (x)+c 2 (hx +1) 1, 1,1 ] ( ) 3 (x) = C 2 D (x)+(hx +1) 1, 3,1 ] 3 (x) = C 2 D (x)+c 1 (hx +1) 1, 2,1 ] 3 (x) ]1,2 = 3 (x) = C 2τ (hx +1) 1, 3,2 ] 3 (x) ]1,3 = 3 (x) = C 2 k, 2,3 ] 3 (x) = C 1τ (hx +1) 1, 2,2 ] 3 (x) = C 1 k, 3,3 ] 3 (x) ]4,2 = 3 (x) = k, 5,1 ] 3 (x) = D (x), 5,3 ] 3 (x) ]4,3 = 3 (x) = τ (hx 6,1 +1) 1, ] 3 (x) = D (x) (hx +1) 1, 6,2 D (x) =h 1 ( d x δλqx q 1), d x = d/dx; 4 (x) Ũ(τ) (x) =Ô (x (x 0,x 1 )), (19) где 4 (x) матричныйдифференциальныйоператор размерности 3 3 с элементами ] 4 (x) = 1,1 = C 1 ((hx +1) 2 d 2 x + ( h +(1 2δ) λq (hx +1)x q 1) (hx +1)d x h 2) τ 2 h 2 + κ 2 h 2 (hx +1)

39 И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко +λq (hx +1)x q 2 (δ (1 q (hx +1)(1+(1 δ) λx q )) C 1 + hxc 2 ), ] 4 (x) = hτ ( C 3 (hx +1)d x + λq (hx +1)x q 1 ) (C 2 δc 3 ) hc 4, 1,2 ] 4 (x) = h k (hx +1) ( C 2 (hx +1)d x + λq (hx +1)x q 1 (C 2 δc 3 ) ), 1,3 ] 4 (x) = hτ ( C 2 (hx +1)d x + λq (hx +1)x q 1 ) (1 δc 3 )+hc 4, 2,1 = ] 4 (x) = 2,2 ( (hx +1) 2 d 2 x + ( h +(1 2δ) λq (hx +1)x q 1) (hx +1)d x h 2) h 2 τ 2 C 1 + κ 2 h 2 (hx +1) 2 λq (hx +1)x q 2 (δ hx δq (hx +1) δ (1 δ) λq (hx +1)x q ), ] 4 (x) ]2,3 = 4 (x) = 3,2 h2 kτc3 (hx +1), ] 4 (x) = h k (hx +1) ( C 3 (hx +1)d x + hc 3 + λq (hx +1)x q 1 (1 δc 3 ) ), 3,1 ] 4 (x) =(hx 3,3 +1)2 d 2 x + ( h +(1 2δ) λq (hx +1)x q 1) (hx +1)d x h 2 τ 2 + (Ω 2 k ) 2 C 1 h 2 (hx +1) 2 + +δλq (hx +1)x q 2 (1 q (hx +1) (1 δ) λq (hx +1)x q ). Искомые частные решения уравнения (19) строятся в виде степенных рядов по обобщеннойкольцевойкоординате. Водится следующее представление 38 Ũ (τ) (x) = m=0 x m X (τ) m (x x 0,x 1 ]), (20)

40 Волны деформаций в функционально-градиентныхцилиндрахкольцевого сечения где X m (τ) неизвестные векторные коэффициенты. Полагается, что ряд (20) для x x 0,x 1 ] сходится абсолютно и равномерно. С учетом представления (20) уравнение (19) преобразуется в функциональное уравнение m=0 x m 4 j=0 m,j X(τ) m j + X m (τ) = 3 j=0 Ô (m <0), m,5+j X(τ) m q j + (x x 0,x 1 ]), 2 j=0 m,9+j X(τ) m 2q j = Ô (21) из которого получается рекуррентная последовательность алгебраических уравненийдля определения векторных коэффициентов X m (τ) такого вида 4 j=0 m,j X(τ) m j + 3 j=0 X (τ) m = Ô (m <0), 2 m,5+j X(τ) m q j + (m =0, 1,...). j=0 m,9+j X(τ) m 2q j = Ô (22) Отличные от нуля элементы квадратных матричных коэффициентов уравнениях (22) определяются так: m,j в ] m,0 = m (m 1) C 1, 1,1 ] m,1 = h (m 1) (2m 3) C 1, 1,1 ] m,1 = h k (m 1) C 3, 1,3 m,1 ] m,0 ]2,2 = m (m 1), m,0 = m (m 1), 3,3 ] m,1 = hτ (m 1) C 3, 1,2 ] m,1 = hτ (m 1) C 3, 2,1 ] ]2,2 = h (m 1) (2m 3), m,1 = h k (m 1) C 3, 3,1 ] m,1 ]3,3 (( ) = h (m 1) (2m 3), m,2 = 1,1 h2 (m 2) 2 1 C 1 + κ 2 τ 2), ] m,2 = 1,2 h2 τ ((m 2) C 2 C 1 + m 3), ] m,2 = 2,1 h2 τ ((m 2) C 2 + C 1 + m 1), ] m,2 = 2(m 2) 1,3 h2 kc3, 39

41 И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко ] m,2 = ( 2,2 h2 (m 3) (m 1) + κ 2 τ 2 ) C 1, ] m,2 ]2,3 = m,2 = 3,2 h2 kτc3, ] m,2 ] m,3 ]1,1 = m,3 2,2 =2h3 κ 2, ] m,3 = 2,3 h3 kτc3, m,3 ]3,3 ( =2h3 Ω 2 k ) 2 C 1, m,4 ]3,3 ( = h4 Ω 2 k ) 2 C 1, ] m,2 = h2 k (2m 3) C3, 3,1 3,3 = h2 ( (m 2) 2 +Ω 2 k 2 C 1 τ 2), ] m,3 = kh 3 (m 2) C 3, 3,1 ] m,3 = h3 k (m 3) C3, 1,3 ] m,3 = 3,2 h3 kτc3, ] m,4 ]1,1 = m,4 = 2,2 h4 κ 2, ] m,5 = λq (q m δ (1 + q 2m)) C 1, 1,1 ] m,5 ]2,2 = m,5 = λq (q m δ (1 + q 2m)), 3,3 ] m,6 = λqh ((2 (1 + q m) δ (5 + 2q 4m)) C 1 C 2 ), 1,1 ] m,6 = λqh (3 + 2q 2m δ (5 + 2q 4m)), 2,2 ] m,6 = λqh (2 (1 + q m) δ (5 + 2q 4m)), 3,3 ] m,6 = λqτh (C 2 δc 3 ), 1,2 ] m,6 = λq kh (C 2 δc 3 ), 1,3 ] m,7 ] m,7 ] m,7 ] m,7 = 1,2 λqτh2 (C 2 δc 3 ), ] m,6 m,6 = λqτh (1 δc 3), 2,1 ] = λq kh (1 δc 3 ), 3,1 1,1 = λqh2 ((2 + q m δ (4 + q 2m)) C 2 C 2 ), 2,2 = λqh2 (3 + q m δ (4 + q 2m)), 3,3 = λqh2 (2 + q m δ (4 + q 2m)), ] m,7 = 2,1 λqτh2 (1 δc 3 ), 40

42 Волны деформаций в функционально-градиентныхцилиндрахкольцевого сечения ] m,7 = 2λq kh 2 (C 2 δc 3 ), 1,3 ] m,7 =2λq kh 2 (1 δc 3 ), 3,1 ] m,8 = λq kh 3 (C 2 δc 3 ), 1,3 ] m,9 = 1,1 λ2 q 2 δ (δ 1) C 1, ] m,9 = 3,3 λ2 q 2 δ (δ 1), ] m,10 2,2 =2λ2 q 2 hδ (δ 1), ] m,11 = 1,1 λ2 q 2 h 2 δ (δ 1) C 1, ] m,8 = λq kh 3 (1 δc 3 ), 3,1 ] m,9 = 2,2 λ2 q 2 δ (δ 1), ] m,10 1,1 =2λ2 q 2 hδ (δ 1) C 1, ] m,10 3,3 =2λ2 q 2 hδ (δ 1), ] m,11 = 2,2 λ2 q 2 h 2 δ (δ 1), ] m,11 = 3,3 λ2 q 2 h 2 ( ) δ (δ 1) m = 0,. Представления (18) с учетом разложения (20) получают следующийвид S (τ) (x) = m=0 x m H m (τ) (x) X m (τ) (x x 0,x 1 ]). (23) Отличные от нуля элементы матричных размерности 6 3 коэффициентов (x) определяются соотношениями H (τ) m H (τ) m (x) ]1,1 = p 1 (x) C 1 + p 2 (x) C 2, H (τ) m ] H m (τ) (x) = H m (τ) (x) 1,2 ]3,2 = τp 2 (x) C 2, H (τ) m H (τ) m (x) ]4,2 = H (τ) m ] (x) H (τ) m (x) ]2,1 = p 1 (x) C 2 + p 2 (x) C 1, ] (x) =(p 1 (x)+p 2 (x)) C 2, 3,1 = τp 2 (x) C 1, 2,2 ] (x) = k, 5,1 H (τ) m (x) ]5,3 = p 1 (x), ] H m (τ) (x) = 1,3 где p 1 (x) =h 1 ( mx 1 δqλx q 1), p 2 (x) =(hx +1) 1. H (τ) m (x) ]2,3 = kc 2, ] H m (τ) (x) = kc 1, 3,3 ] H m (τ) (x) ]4,3 = H m (τ) (x) = τp 2 (x), 6,1 H m (τ) ]6,2 (x) = p 1 (x)+p 2 (x), 41

43 И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко 5. Базисные решения в случае крутильных волн. При τ =0и β = π/2 представления (17) преобразуются к такому виду u (TW) θ ( (x, z, t) =exp S (TW) (x, z, t) =exp ) δλx q iω t + i kz ( ) (1 δ) λx q iω t + i kz ũ (TW) θ (x), T (TW) 2 S (TW) (x), где T (TW) 2 диагональная матрица размерности ] 2 2, отличные от нуля элементы которойравны T (TW) 2 ]1,1 = i, T (TW) 2 =1; 2,2 S(TW) (x, z, t) и S (TW) (x) вектор-столбцы с элементами S (TW) (x, z, t) =σ θz (x, z, t),σ rθ (x, z, t)] T, S(TW) (x) = σ (TW) θz (24) (x), σ (TW) rθ (x)] T. Тогда уравнение (19) преобразуется к виду ] M (0) 4 (x) 2,2 ũ(tw) θ (x) =0 (x x 0,x 1 ]), (25) а представления (20) и (23) соответственно переписываются так: ũ (TW) θ (x) = S (TW) (x) = m=0 m=0 x m X (TW) m (x x 0,x 1 ]), x m X m (TW) H (TW) m (x) (x x 0,x 1 ]). (26) Здесь H (TW) m (x) = ] T k, p1 (x)+p 2 (x). Рекуррентная последовательность алгебраических уравнений(22) для определения скалярных коэффициентов X (TW) m получает такойвид 4 j=0 Q (TW) m,j X (TW) m j + 3 j=0 X (TW) m =0(m<0), 2 Q (TW) m,5+j X(TW) m q j + Q (TW) m,9+j X(TW) m 2q j =0 (m =0, 1,...), ] где Q (TW) m,j = Q (0) ( ) m,j j = 0, 11; m = 0,. 2,2 При m =0и m =1для любых q {0} N уравнения (27) принимают такой вид 42 j=0 (27) 0 X (TW) 0 =0 (m =0), 0 X (TW) 1 =0 (m =1). (28)

44 Волны деформаций в функционально-градиентныхцилиндрахкольцевого сечения Поскольку Q (TW) m,0 0(m 2), следовательно, из уравнений(27) с учетом соотношений(28) с точностью до произвольного скалярного множителя определя- { ются два набора коэффициентов X (TW,s) m } m=0 ( s = 1, 2 ) X (TW,s) m = X m (TW,1) =0 (m<0), X (TW,1) 0 =1, X (TW,1) 1 =0, X (TW,2) 0 =0, X (TW,2) 1 =1, 4 j=1 A (TW) m,j X (TW,s) m j + 3 j=0 (m =2, 3,...), A (TW) m,5+j X(TW,s) m q j + ( s = 1, 2 ). 2 j=0 A (TW) m,9+j X(TW,s) m 2q j (29) Здесь A (TW) m,j / = Q (TW) m,j Q (TW) m,0 ( j = 1, 11; m = 2, ). (30) Тогда представления (26) с учетом (29) определяют два линейно независимых частных решения уравнения (25) и, соответственно, общее решение уравнения (25) может быть представлено через матричное базисное решение так: ũ (TW) Ũ(TW,B) ] θ (x) = (x) B, (31) 1,1 где B произвольныйвекторныйкоэффициент второго порядка; Ũ (TW,B) (x) матричное размерности 1 2 решение следующего вида Ũ (TW,B) (x) = m=0 x m X (TW,1) m ],X m (TW,2) По аналогии с выражением (31) вводится представление (x x 0,x 1 ]). (32) S (TW) (x) = S (TW,B) (x) B (33) в котором используется полученные с учетом соотношений(26), (32) матричные размерности 2 2 решения следующего вида S (TW,B) (x) = m=0 x m X (TW,1) m H (TW) m (x),x (TW,2) m ] H (TW) m (x) (x x 0,x 1 ]). (34) Для коэффициентов A (TW) m,j (30) получены следующие асимптотические при m оценки A (TW) m,1 +2h m 1 3h, A (TW) m,2 + h 2 m 1 3h 2, 43

45 A (TW) 5,j A (TW) 3,j И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко m 2 2h 3 κ 2, m 1 q λ (2δ 1), A (TW) 4,j A (TW) 6,j m 2 h 4 κ 2 m 1 2qh λ (2δ 1), A (TW) 7,j m 1 qh 2 λ (2δ 1), A (TW) 8,j =0, A (TW) 9,j m 2 λ 2 q 2 δ (δ 1), A (TW) 10,j m 2 2λ 2 q 2 h δ (δ 1), A (TW) 9,j m 2 λ 2 q 2 h 2 δ (δ 1). Следовательно, асимптотическое при m представление для рекуррентных соотношений(29) записывается в виде X m (TW,s) = 2hX (TW,s) m 1 h 2 X (TW,s) m 2, а его характеристическое уравнение ζ 2 +2hζ + h 2 =0 (35) имеет кратныйкорень ζ = h, определяющийдля разложения (26), (32), (34) радиус сходимости h 1 > 1. Таким образом, заложенное в соотношениях ограничение x 0,x 1 ] ( h 1,h 1) обеспечивает справедливость исходного положения об абсолютнойи равномернойсходимости указанных разложенийна отрезке x x 0,x 1 ] 4]. 6. Базисные решения в случае продольно-сдвиговых волн. При τ =0 и β =0представления (17) приобретают такойвид ( ) U (LSW ) (x, z, t) =exp δλx q iω t + i kz ( S (LSW ) (x, z, t) =exp (1 δ) λx q iω t + i kz T (LSW ) 1 ) Ũ (LSW ) (x), T (LSW ) 2 S (LSW ) (x), где U (LSW ) (x, z, t), S (LSW ) (x, z, t), Ũ (LSW ) (x) и S (LSW ) (x) вектор-столбцы с элементами U (LSW ) =u r (x, z, t),u z (x, z, t)] T, S (LSW ) (x, z, t) =σ rr (x, z, t),σ θθ (x, z, t),σ zz (x, z, t),σ rz (x, z, t)] T, Ũ (LSW ) T (x) = ũ r (LSW ) (x), ũ z (x)] (LSW ), S (LSW ) (x) = σ (LSW ) rr (x), σ (LSW ) θθ (x), σ (LSW ) zz (x), σ (LSW ) rz (x)] T ; T (LSW ) 1 и T (LSW ) 2 диагональные матрицы размерности соответственно 2 2 и 4 4, отличные от нуля элементы которых равны (36) 44

46 Волны деформаций в функционально-градиентныхцилиндрахкольцевого сечения T (LSW ) 1 ]1,1 =1, T (LSW ) 1 ] T (LSW ) 2 =1( j = 1, 3 ), j,j Тогда уравнение (19) преобразуется к виду ] 2,2 = i, T (LSW ) 2 ] 4,4 = i. ] M (0) 4 (x) (1,3),(1,3) Ũ(LSW ) (x) =Ô (x x 0,x 1 ]), (37) а представления (20) и (23) соответственно переписываются так: S (LSW ) (x) = Ũ (LSW ) (x) = m=0 m=0 x m X (LSW ) m, x m H (LSW ) m (x) X (LSW ) m (x x 0,x 1 ]). ] Здесь H m (LSW ) (x) = H (0) m (x). Рекуррентная последовательность алгебраических уравнений(22) для определения векторных коэффициентов вто- (1,2,3,5),(1,3) рого порядка X m (LSW ) получает такойвид 4 j=0 Q (LSW ) m,j X (LSW ) m j + X m (LSW ) = 3 j=0 Ô (m <0), Q (LSW ) m,5+j X(LSW ) m q j + 2 (m =0, 1,...). j=0 Q (LSW ) m,9+j X(LSW ) m 2q j = Ô ] Здесь Q (LSW ) m,j = Q (0) ( ) m,j j = 0, 11; m = 0,. (1,3),(1,3) Уравнения (39) при m =0и m =1для любых q {0} N записываются в виде OX (LSW ) ) 0 = Ô (m =0), OX(LSW 1 = Ô (m =1). (40) Уравнения (40) имеют четыре линейно независимых нетривиальных векторных решения, которые могут быть объединены в два матричных решения такого вида X (LSW,1) 0 = I, X (LSW,1) 1 = O, X (LSW,2) 0 = O, X (LSW,2) 1 = I. (41) Представления (41) приведены с точностью до произвольного векторного множителя. Тогда для определения матричных размерности 2 2 коэффициентов X (LSW,s) ( ) ) m s = 1, 2; m 2 с учетом того, что det (Q (LSW ) m,0 0(m 2) получаются явные рекуррентные представления (38) (39) 45

47 И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко = 4 j=1 Здесь A (LSW ) m,j A (LSW ) m,j X (LSW,s) m j + ( = X (LSW,s) m = O ( m<0; s = 1, 2 ), X (LSW,s) m = Q (LSW ) m,0 3 j=0 (m =2, 3,...), A (LSW ) m,5+j X(LSW,s) m q j + 2 ( s = 1, 2 ). j=0 A (LSW ) m,9+j X(LSW,s) m 2q j (42) m,j ) 1 (LSW ) ( ) Q j = 1, 11. Следовательно, общее решение уравнения (37) может быть записано через матричные базисные решения так: Ũ (LSW ) (x) =Ũ(LSW,B) (x) B, ] Ũ (LSW,B) (x) = x m X (LSW,1) m, X (LSW,2) m m=0 (x x 0,x 1 ]). (43) Здесь B произвольныйвекторныйкоэффициент четвертого порядка. На основании представлений(38), (43) получается S (LSW,B) (x) = S (LSW ) (x) = S (LSW,B) (x) B, ] x m H m (LSW ) (x) X (LSW,1) m, X (LSW,2) m m=0 (x x 0,x 1 ]). (44) Для матричных коэффициентов A (LSW ) m,j в рекуррентных соотношениях (42) получены следующие асимптотические при m оценки A (LSW ) m,j Здесь A (LSW ) m,1 +2hI κ 1 /m, κ j /m (j =3, 5, 6, 7), A (LSW ) m,2 + h 2 I κ 2 /m, / κ j m 2 (j =4, 8, 9, 10, 11). A (LSW ) m,j κ 1 = h 18 + k 2 ( C3 2 C ), κ 2 = h k 2 C3 2 κ 3 = h 3 k C 3 C , κ 4 = h 4 C 2 1 ( C ), Ω 2 k 2 2 Ω + 2 k 2 2 C 1, κ 5 = 2q λ (1 2δ), κ 6 =2 2qh λ (1 2δ), κ 7 = 2qh 2 λ (1 2δ), κ 8 = h q 3 kλ C1 2 C 2 δc δc 3 2, κ 9 = 2λ 2 q 2 δ (1 δ), 46

48 Волны деформаций в функционально-градиентныхцилиндрахкольцевого сечения κ 10 =2 2λ 2 q 2 h δ (1 δ), κ 11 = 2λ 2 q 2 h 2 δ (1 δ). Следовательно, асимптотическое при m представление для рекуррентных соотношений(42) принимает вид X (LSW,s) m = 2hX (LSW,s) m 1 h 2 X (LSW,s) m 2.Поскольку характеристическое уравнение для него имеет вид (35), следовательно, как показано в случае крутильных волн, разложения в соотношениях (38), (43), (44) сходятся абсолютно и равномерно для x x 0,x 1 ]. Базисные решения в случае неосесимметричных волн. При τ N и β =0уравнения (22) для любых q {0} N, атакжеm =0и m =1принимают такойвид OX (τ) 0 = Ô (m =0), OX(τ) 1 = Ô (m =1). (45) Уравнения (45) имеют шесть линейно независимых нетривиальных векторных решений, которые после объединения в два матричных решения записываются так: X (τ,1) 0 = I, X (τ,1) 1 = O, X (τ,2) 0 = O, X (τ,2) 1 = I. (46) Матричные размерности 3 3 представления (46) приведены ( ) с точностью до произвольного векторного множителя. Поскольку det m,0 0(m 2), значит, для определения матричных размерности 3 3 коэффициентов X m (τ,s) (s = 1, 2; m 2) из уравнений(22) получаются явные рекуррентные представления X (τ,s) m = 4 j=1 X (τ,s) m = O (m <0), 3 A (τ) m,j X(τ,s) m j + A (τ) m,5+j X(τ,s) m q j + j=0 (m =2, 3,...), 2 A (τ) m,9+j X(τ,s) m 2q j (47) j=0 ( ) s = 1, 2. ( ) Здесь A (τ) m,j = 1 (τ) ( ) m,0 Q m,j j = 1, 11. Тогда для заданного значения параметра τ общее решение уравнения (19) записывается через матричные базисные решения так: Ũ (τ,b) (x) = Ũ (τ) (x) =Ũ(τ,B) (x) B, ] x m X m (τ,1), X(τ,2) m (x x 0,x 1 ]), m=0 (48) где B произвольныйвекторныйкоэффициент шестого порядка. Аналогичные представления получаются с учетом соотношений(23) и для вектора S (τ) (x) S (τ,b) (x) = m=0 S (τ) (x) = S (τ,b) (x) B, ] x m H m (τ) (x) X m (τ,1), X m (τ,2) (x x 0,x 1 ]). (49) 47

49 И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко Для матричных коэффициентов A (τ) m,j в рекуррентных соотношениях (47) получены следующие асимптотические при m оценки A (τ) m,1 +2hI κ1 /m, A (τ) m,2 + h2 I κ 2 /m, A (τ) m,j κ j /m (j =3, 5, 6, 7), A (τ) / m,j κ j m 2 (j =4, 8, 9, 10, 11), где ( κ 1 = h 27 + τ 2 + k 2) ( C3 2 C ), κ 3 = h 3 k C 3 ( κ 2 = h τ 2 +4 k 2) C3 2 C 2 ( C ), (C 1 +1, κ 4 = h ) Ω 2 k 2 2 Ω + 2 k 2 2 C 1, κ 5 = 3q λ (1 2δ), κ 6 =2 3qh λ (1 2δ), κ 7 = 3qh 2 λ (1 2δ), κ 8 = h q 3 kλ C1 2 C 2 δc δc 3 2, κ 9 = 3λ 2 q 2 δ (1 δ), κ 10 =2 3λ 2 q 2 h δ (1 δ), κ 11 = 3λ 2 q 2 h 2 δ (1 δ). Поскольку асимптотическое при m представление для рекуррентных соотношений(47) принимает вид X m (τ,s) = 2hX (τ,s) m 1 h2 X (τ,s) m 2 с характеристическим уравнением (35), следовательно, как показано в случае крутильных волн, разложения в соотношениях (47) (49) сходятся абсолютно и равномерно для x x 0,x 1 ]. 7. Получение дисперсионных соотношений. Рассматриваемая математическая модель волновых процессов в протяженных цилиндрах кольцевого поперечного сечения включают условия свободной(6) либо жестко закрепленной(7) граничнойповерхности. С учетом полученных представленийрешений уравнениймодели через базисные решения указанные однородные граничные условийпорождают трансцендентное уравнение, определяющее дисперсионный спектр целевойзадачи, det (A) =0, а также однородное алгебраическое матричное уравнение AB = Ô для определения векторного коэффициента B в представлении решенийцелевойграничнойзадачи. Для задачи исследования процесса распространения нормальных волн в свободном либо жестко закрепленном протяженном цилиндре геометрии V соответственно получается в случае крутильных волн (τ S(TW,B) =0, β = π/2) ] ( x0 )] 2,(1..2) A = S(TW,B) либо A = ( x1 )] Ũ(TW,B) ( x0 ) Ũ (TW,B) ; ( x 1 ) 2,(1..2) в случае продольно-сдвиговых волн (τ =0, β =0) 48

50 Волны деформаций в функционально-градиентныхцилиндрахкольцевого сечения A = S(LSW,B) ( x0 )] S(LSW,B) (1,4),(1..4) ( x1 )] (1,4),(1..4) (1,5,6),(1..6) ] либо A = Ũ(LSW,B) ( x0 ) Ũ (LSW,B) ; ( x 1 ) в случае неосесимметричных волн (τ N, β =0) S(τ,B) ] ( x0 )] (1,5,6),(1..6) A = S(τ,B) либо A = ( x1 )] Ũ(τ,B) ( x0 ) Ũ (τ,b). ( x 1 ) Здесь x 0 = (1 R 1 /R ) h 1, x 1 =(R 2 /R 1) h 1 (x 0 < 1 x 0 < x 1 1 <x 1 ). 8. Анализ результатов численного эксперимента. В качестве однородного материала для представлений(1) был выбран алюминийс характеристиками G =2.61, ν =0.35, ρ = 2700 кг/м 3, C =10 10 н/м 2. При численном эксперименте значение параметра δ бралось фиксированным δ =1/2. Этот выбор был обусловлен результатами проведенного с высокойточностью вычисленийанализа скорости сходимости разложенийв базисных решениях (32), (34), (43), (44), (48), (49). Расчет фрагментов спектров бегущих нормальных продольно-сдвиговых волн (LSW) и изгибных (τ =1)волн (BW) проводился в диапазонах изменения безразмерных волновых параметров Ω 0; 55] и k 0; 55]. Выполнен анализ ряда эффектов влияния параметров неоднородности на топологическую структуру и свойства действительных ветвей дисперсионных спектров указанных волн в радиально неоднородном (λ, q) (ln (1/2), 6) (Рис. 1-2) и однородном (λ, q) =(0, 0) цилиндрах кольцевого сечения (R 1 =0.75 м, R 2 =1.25 м, R =1м) со свободнойграничнойповерхностью. Рис. 1. Спектр LSW. Рис. 2. Спектр BW. 49

51 И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко В представлении нормализованнойчастоты Ω=ωa/c t и нормализованного волнового числа k = ka используются обозначения для нормирующего параметра размерности длины a = R и скорости эквиволюминальнойволны / c t = C G ρ. Для анализа количественных различийв поведении мод сопоставляемых спектров использовалась функция сравнения ΔΩ (ka) =(ω λ,q (ka) ω 0,0 (ka))a/c t поведения мод с одинаковыми номерами. Ниже представлены результаты сравнительного анализа поведения низших пяти мод спектров LSW (Рис. 3) и BW (Рис. 4) в неоднородном (λ, q) (ln (1/2), 6) и однородном (λ, q) = (0, 0) волноводах. В качестве основных результатов отмечается, что рассмотренныйтип неоднородности практически не сказывается на поведении двух низших мод спектра LSW трех низших мод спектра BW в длинноволновом диапазоне ka 0; 2], в то время как на моды с последующими номерами в соответствующих спектрах влияние существенным образом сказывается на всем исследованном диапазоне варьирования волнового числа. При этом отмеченное влияние проявляется, в первую очередь, в системном увеличении фазовых скоростеймод неоднородного волновода. Рис. 3. Анализ парныхмод спектров LSW. Рис. 4. Анализ парныхмод спектров BW. Представленныйна рис. 2 спектр бегущих изгибных волн в неоднородном полом цилиндре характеризуется, по сравнению со спектром продольно-сдвиговых волн в том же цилиндре, существенным усложнением картины влияния фактора неоднородности на топологическую структуру спектра, обусловленнойбольшим числом узких частотных диапазонов локального сближения и расталкивания смежных мод спектра с выраженнойкартиной«обмена» групповыми скоростями соответствующих этим модам нормальных бегущих волн. Общейтенденцией в распределениях дисперсионных кривых в областях взаимного влияния двух смежных мод является резкое сближение верхнейиз сходящихся кривых после прохождения точки расталкивания с траекториейсоответствующейкривой 50

52 Волны деформаций в функционально-градиентныхцилиндрахкольцевого сечения для однородного цилиндра и противоположныйэффект «отдаления» нижнейиз сходящихся кривых после расталкивания от траектории соответствующеймоды однородного цилиндра. Данныйэффект для мод с номерами в спектре 2 3 и 6 7 соответственно проиллюстрирован на рис. 5. а б Рис. 5. Анализ фрагментов парныхмод спектров BW. В областях взаимного влияния трех смежных мод тенденция меняется на противоположную резкое сближение нижнейиз трех сходящихся кривых после прохождения точки расталкивания с траекториейсоответствующейкривой для однородного цилиндра и эффект «отдаления» верхнейиз трех сходящихся кривых после расталкивания от траектории соответствующеймоды однородного цилиндра. Данныйэффект для мод с номерами в спектре 8 10, 14 15, и соответственно проиллюстрирован на рис. 6. а б в г Рис. 6. Анализ фрагментов парныхмод спектров BW. Распределения нормализованных фазовых скоростейбегущих нормальных продольно-сдвиговых и изгибных волн в неоднородном полом цилиндре представлены соответственно на рис. 7-8, а распределения нормализованных групповых скоростейуказанных волн на рис

53 И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко Рис. 7. Нормализованные фазовые скорости LSW. Рис. 8. Нормализованные фазовые скорости BW. Рис. 9. Нормализованные групповые скорости LSW. Рис. 10. Нормализованные групповые скорости BW. 9. Выводы. Разработана методика построения базисных множеств частных решенийуравненийволнового деформирования изотропных цилиндров кольцевого поперечного сечения с экспоненциально-степеннойрадиальнойнеоднородностью материала для краевых задач о спектрах осесимметричных и неосесимметричных нормальных упругих волн. Разработаны программные приложения для реализации алгоритмов решения рассматриваемого класса задач, с применением которых проведен сравнительныйанализ топологического строения дисперсионных спектров, распределенийфазовых и групповых скоростейбегущих 52

54 Волны деформаций в функционально-градиентныхцилиндрахкольцевого сечения нормальных продольно-сдвиговых и изгибных волн в однородных и радиально неоднородных изотропных протяженных цилиндрах кольцевого поперечного сечения для случая свободнойграничнойповерхности, проанализированы и описаны эффекты влияния на указанные характеристики экспоненциально-степенной радиальнойнеоднородности материала волновода. Полученные результаты перспективны для использования в прикладных исследованиях, связанных с расчетами характеристик волноводных компонентов акустоэлектронных устройств, анализа моделейультраакустическойдиагностики. 1. Моисеенко И.А. Волны кручения вдоль полого экспоненциально-неоднородного трансверсально-изотропного цилиндра с закрепленными границами / И.А. Моисеенко. // Механика твердого тела Вып. 44. С Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М.: Наука, с. 3. Шульга Н.А. Распространение осесимметричных упругих волн в ортотропном полом цилиндре / Н.А. Шульга. // Прикладная механика Т. 10, 9. С Туляков Д.Н. Асимптотики решений рекуррентных соотношений / Д.Н. Туляков. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук. Москва с. I.A. Moiseyenko, V.A. Moiseyenko Deormation waves in unctionally gradient cylinders o annular section. The wave motion is described on the basis o a complete system o linear dynamical equations o elasticity theory. The shear modulus and density o the isotropic material o cylinder are speciied by an exponential-power unction o the radial coordinate. The basic solutions o the system o dierential equations o the model are constructed in matrix orm in the orm o decompositions o the radial components o the solution into uniormly and absolutely converging power series o the generalized annular coordinate. The dispersion relations describing the harmonic spectra o normal waves in the cases o rigidly ixed and ree both boundary suraces o a hollow cylinder, is presented. The eects o the radial inhomogeneity actor on the topology o dispersion spectra, the distribution o phase and group velocities o propagating normal waves are studied. Keywords: FGMs, isotropic waveguide, normal waves, basic solutions, dispersion relations, phase velocity, group velocity. ГОУ ВПО Донецкий национальный университет, Донецк ГОУ ВПО Донбасская национальная академия строительства и архитектуры, Макеевка Получено

55 ISSN Журнал теоретической и прикладной механики. 1 (66) / УДК 521.1:531 c В.Е. Болнокин, С.А. Прийменко, С.Б. Номбре, С.В. Сторожев НЕЧЕТКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ МЕТОДИКА УЧЕТА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ В МОДЕЛЯХ РАСЧЕТАХ СКОРОСТЕЙ УЛЬТРААКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛАХ Представлена численно-аналитическая теоретическая методика учета влияния погрешностей разброса в экспериментальных значениях исходных параметров при исследовании характеристик распространения объемных электроупругих волн в анизотропных пьезокристаллических и пьезокерамических средах на основе моделей, учитывающих связанные деформационные механические и электромагнитные взаимодействия. Анализируемые проблемы связаны с разработкой передовых конструкторских решений при создании компонентов акустоэлектронных устройств и требуют получения в максимальной степени достоверных высокоточных оценок для скоростей и показателей амплитудного затухания волновых информационных сигналов. Разработанный подход базируется на переходе в соотношениях детерминистических моделей распространения электроупругих волн в пьезоэлектрических материалах к нечетко-множественным аргументам путем поэтапного фрагментированного применения методов нечетко-интервальной арифметики и использования альфа-уровневой формы эвристического принципа обобщения. Представлены примеры применения разработанной расчетной методики. Ключевые слова: объемные электроупругие волны, пьезокерамические и пьезокристаллические тела, пьезоэлектрические среды с конечной проводимостью, модели с разбросом экзогенных параметров, нечетко-множественный учет факторов неопределенности, методы нечетко-интервальных вычислений, эвристический принцип обобщения. Введение. Решение актуальных проблем создания новых продвинутых конструкцийакустоэлектронных устройств связано с совершенствованием методов математического моделирования процессов, лежащих в основе их функционирования 1 5]. Прежде всего, представляют интерес данные о скоростях и показателях энергетического рассеяния ультраакустических волновых сигналов, полученные без использования гипотезы о квазистатическом приближении при описании электрического поля в связанных электроупругих волнах. Среди направленийсовершенствования расчетных методов можно также указать на задачу еще более точного и корректного учета факторов неопределенности экзогенных параметров моделирования, в частности, неопределенности, обусловленнойразбросами в экспериментальных и технологических значениях физикомеханических, геометрических и эксплуатационных характеристик. Для учета эффектов влияния таких разбросов, при условии, что исходная информация об ошибках рассеяния экзогенных параметров в моделях конструкторских расчетов акустоэлектронных компонентов из пьезоэлектрических материалов имеет корректныйстатистическийтип, могут быть соответственно применены методы вероятностно-стохастического анализа 6, 7]. При отсутствии в 54

56 Нечетко-множественная методика учета неопределенности исходных данных достаточнойстепени корректных статистических данных о разбросах, которые следует принимать во внимание, описание неопределенных экзогенных параметров и последующее определение эндогенных параметров для моделейрассматриваемого типа может быть реализовано с применением методов теории нечетких множеств. Условием применения этих методов являются менее строгие требования к типу исходнойинформации по сравнению с методами теории вероятностей. Соответственно, целью представляемого в данной работе исследования является разработка теоретическойчисленно-аналитическойнечеткомножественной8 12] методики учета неопределенности исходных данных в передовых технологических моделях конструкторских расчетов акустоэлектронных компонентов из пьезоэлектрических материалов на основе использования расчетных соотношения детерминистических версийрассматриваемых моделейи эвристического принципа обобщения для перехода в этих соотношениях к нечетко-множественным аргументам 13, 14]. 1. Учет параметрической неопределенности в модели распространения электроупругих волн в пьезокристаллах тетрагонального класса с конечной проводимостью. Разрабатывается методика описания процессов распространения связанных стационарных объемных электроупругих волн вдоль оси симметрии пьезокристалла ADP тетрагонального класса 42m с учетом магнитных свойств и электропроводности. В детерминированной версии рассматриваемоймодели учтены эффекты частотного затухания амплитуд и дисперсии волновых движенийв пьезоэлектрических кристаллах с конечной проводимостью. В 2] проанализированы два типа электроупругих волн, используемых в акустоэлектронных компонентах из кристаллов этого класса. Первым типом таких волн являются поперечные волны со связанными компонентами вектора упругих перемещений u 2 (x 1,t) и вектора напряженности сопряженного электрического поля E 3 (x 1,t), для которых ведущие расчетные характеристики прикладного моделирования в виде фазовых скоростей V (j) икоэффициентов амплитудного затухания ϑ (j) имеют вид 2] V (j) =Re k j ] 1 ω, ϑ (j) = Im k j, (1) где k j =(ω/ 2)(ρc 1 + μ 0 ε + μ 0 e 2 c 1 iσμ 0 ω 1 )+ (2) +( 1) j (ρc 1 + μ 0 ε + μ 0 e 2 c 1 iσμ 0 ω 1 ) 2 4ρc 1 (μ 0 ε iσμ 0 ω 1 )] 1/2 ] 1/2, ρ параметр плотности кристалла; σ параметр проводимости пьезоэлектрическойсреды; μ 0 параметр магнитнойпроницаемости пьезоэлектрическойсреды; c = c 66 компонента матрицы адиабатических модулейупругости; e = e 63 компонента матрицы пьезоэлектрических постоянных; ε = ε 33 компонента матрицы диэлектрических проницаемостейпьезокристалла. Вторым типом анализируемых волн являются волны сдвига со связанными компонентами вектора упругих перемещений u 3 (x 1,t) и вектора напряженности сопряженного электрического поля E 2 (x 1,t), для которых соотношения для 55

57 В.Е. Болнокин, С.А. Прийменко, С.Б. Номбре, С.В. Сторожев расчета характеристик фазовых скоростей V (j) и коэффициентов затухания ϑ (j) также имеют вид (1), (2), с заменами параметров c = c 44, e = e 14, ε = ε 11. Критерии точности расчетных соотношенийдля даннойсферы технологического моделирования, как отмечено ранее, требуют учета при реализуемом анализе влияния возможных разбросов в значениях экзогенных физико-механических параметров даже для таких высокостабильных по свойствам сред, как пьезокристаллические материалы 3]. Применение для получение оценок влияния таких разбросов на эндогенные параметры скоростейи показателейэнергетического рассеяния методов нечетко-множественного анализа реализуется и использованием приема расширения областейопределения расчетных соотношений(1), (2) на аргументы нечетко-интервального типа на основе эвристического принципа обобщения. Для применения предлагаемого алгоритма поэтапного фрагментированного нечетко-множественного анализа рассматриваемоймодели на начальнойстадии осуществляется преобразование расчетных соотношений(1), (2), имеющих форму V (j) к модифицированнойверсии = F (j) V (ω, ρ, μ 0,σ,c,e,ε), ϑ (j) = F (j) ϑ (ω, ρ, μ 0,σ,c,e,ε), (3) V (j) = F (j) V (ω, δ 1,δ 2,δ 3,δ 4 )= 2Re(δ 1 + δ 2 + δ 3 iω 1 δ 4 )+ +( 1) j (δ 1 + δ 2 + δ 3 iω 1 δ 4 ) 2 4δ 1 (δ 2 iω 1 δ 4 )] 1/2 ] 1/2 ]] 1, (4) ϑ (j) = F (j) ϑ (ω, δ 1,δ 2,δ 3,δ 4 )=(ω/ 2)Im(δ 1 + δ 2 + δ 3 iω 1 δ 4 )+ +( 1) j (δ 1 + δ 2 + δ 3 iω 1 δ 4 ) 2 4δ 1 (δ 2 iω 1 δ 4 )] 1/2 ] 1/2 ], (5) где δ 1 = ρc 1, δ 2 = μ 0 ε, δ 3 = μ 0 e 2 c 1, δ 4 = μ 0 σ. (6) Далее вводятся нечетко-множественные представления экзогенных параметров ρ, μ 0,σ,c,e,ε виде нормальных трапецеидальных нечетких интервалов 15, 16] ρ =(ρ 1,ρ 2,ρ 3,ρ 4 ), μ 0 =(μ 01,μ 02,μ 03,μ 04 ), σ =(σ 1,σ 2,σ 3,σ 4 ), c =(c 1,c 2,c 3,c 4 ), ẽ =(e 1,e 2,e 3,e 4 ), ε =(ε 1,ε 2,ε 3,ε 4 ), (7) и в соответствии с правилами нечетко-интервальнойарифметики формируются нечетко-интервальные представления величин δ p δ 1 =(ρ 1 c 1 4,ρ 2c 1 3,ρ 3c 1 2,ρ 4c 1 1 ), δ2 =(μ 01 ε 1,μ 02 ε 2,μ 03 ε 3,μ 04 ε 4 ), δ 3 =(μ 01 e 2 1 c 1 4,μ 02e 2 2 c 1 3,μ 03e 2 3 c 1 2,μ 04e 2 4 c 1 1 ), δ 4 =(μ 01 σ 1,μ 02 σ 2,μ 03 σ 3,μ 04 σ 4 ). (8) 56

58 Нечетко-множественная методика учета неопределенности исходных данных Следующийшаг разрабатываемого теоретического алгоритма заключается в переходе в соотношениях (4), (5) к нечетко-интервальным аргументам δ p с применением α уровневойформы эвристического принципа обобщения и на основе введения представлений δ p = α 0,1] δ pα, δ pα ], δ 1α =(1 α)ρ 1 c αρ 2 c 1 3, δ 1α = αρ 3 c 1 2 +(1 α)ρ 4 c 1 1 ; δ 2α =(1 α)μ 01 ε 1 + αμ 02 ε 2, δ 2α = αμ 03 ε 3 +(1 α)μ 04 ε 4 ; δ 3α =(1 α)μ 01 e 2 1 c αμ 02 e 2 2 c 1 3, δ 3α = αμ 03 e 2 3 c 1 2 +(1 α)μ 04 e 2 4 c 1 1 ; δ 4α =(1 α)μ 01 σ 1 + αμ 02 σ 2, δ 4α = αμ 03 σ 3 +(1 α)μ 04 σ 4. (9) При этом параметрические частотные нечетко-множественные представления для эндогенных характеристик Ṽ (j) (j) (ω), ϑ (ω) рассматриваемоймодели принимают вид Ṽ (j) (ω) = α 0,1] V jα (ω), V jα (ω)], ϑ(j) (ω) = V jα (ω) = V jα (ω) = ϑ jα (ω) = ϑ jα (ω) = in δ 1 δ 1α, δ 1α ] δ 2 δ 2α, δ 2α ] δ 3 δ 3α, δ 3α ] δ 4 δ 4α, δ 4α ] sup δ 1 δ 1α, δ 1α ] δ 2 δ 2α, δ 2α ] δ 3 δ 3α, δ 3α ] δ 4 δ 4α, δ 4α ] in δ 1 δ 1α, δ 1α ] δ 2 δ 2α, δ 2α ] δ 3 δ 3α, δ 3α ] δ 4 δ 4α, δ 4α ] sup δ 1 δ 1α, δ 1α ] δ 2 δ 2α, δ 2α ] δ 3 δ 3α, δ 3α ] δ 4 δ 4α, δ 4α ] α 0,1] F (j) V (ω, δ 1,δ 2,δ 3,δ 4 )}, F (j) V (ω, δ 1,δ 2,δ 3,δ 4 )}, F (j) ϑ (ω, δ 1,δ 2,δ 3,δ 4 )}, F (j) ϑ (ω, δ 1,δ 2,δ 3,δ 4 )}. ϑ jα (ω), ϑ jα (ω)], (10) Применение даннойметодики для частного случая поперечных волн со связанными компонентами вектора упругих перемещений u 2 (x 1,t) и вектора напряженности сопряженного электрического поля E 3 (x 1,t) при задании обладающих разбросами значенийэкспериментальных параметров 3, 4] рассматриваемоймо- 57

59 В.Е. Болнокин, С.А. Прийменко, С.Б. Номбре, С.В. Сторожев дели в виде ρ =(1.79ρ, 1.803ρ, 1.805ρ, 1.809ρ ), μ 0 =(1.18μ, 1.24μ, 1.27μ, 1.32μ ), σ =(0.15σ, 0.2σ, 0.22 σ, 0.26σ ), c =(0.582c, 0.59c, 0.596c, 0.599c ), ẽ =(9.44e, 9.52e, 9.57e, 9.64e ), ε =(14.8ε, 15.4ε, 15.6ε, 16.1ε ), ρ =10 3 кг м 3 ], μ =10 6 Гн м 1 ], (11) σ =10 9 ом 1 м 1 ], c =10 10 Па], ε = Ф м 1 ], e =1Кл м] дает нечетко-множественные оценки для эндогенных параметров рассматриваемоймодели, представленные на рис. 1 и рис. 2. Рис. 1. Нечетко-множественное параметрическое описание возможных значений фазовых скоростей V (2) (ω). Рис. 2. Нечетко-множественное параметрическое описание возможных значений параметра затухания ϑ (2) (ω). 58


ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ И ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ В МАШИНОСТРОЕНИИ Е. П. Кочеров

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ И ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ В МАШИНОСТРОЕНИИ Е. П. Кочеров ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ И ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ В МАШИНОСТРОЕНИИ 007 Е. П. Кочеров ОАО «Самарское конструкторское бюро машиностроения» Рассмотрены различные подходы

Подробнее

Автомобильно-дорожный институт ГВУЗ Донецкий национальный технический университет г. Горловка

Автомобильно-дорожный институт ГВУЗ Донецкий национальный технический университет г. Горловка Технічні науки МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ С УЧЁТОМ ЕЁ ТЕРМОУПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК Л.П. Вовк доктор технических наук Е.С. Кисель

Подробнее

ВЕРИФИКАЦИЯ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ANSYS. ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ

ВЕРИФИКАЦИЯ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ANSYS. ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ ВЕРИФИКАЦИЯ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ANSYS. ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ Руководитель: Ю. Д. Байчиков Автор доклада: Е. А. Суренский Введение Вопросы хрупкого разрушения конструкции как при проектировании,

Подробнее

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С КРУГОВЫМИ ВЫРЕЗАМИ БЕЗ РЕБЕР ЖЕСТКОСТИ ПРИ ЕЕ ОСЕВОМ СЖАТИИ

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С КРУГОВЫМИ ВЫРЕЗАМИ БЕЗ РЕБЕР ЖЕСТКОСТИ ПРИ ЕЕ ОСЕВОМ СЖАТИИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С КРУГОВЫМИ ВЫРЕЗАМИ БЕЗ РЕБЕР ЖЕСТКОСТИ ПРИ ЕЕ ОСЕВОМ СЖАТИИ Меньшенин Александр Аркадьевич Ульяновский государственный университет Задача данного

Подробнее

Анализ применимости различных типов КЭ САПР I-DEAS для моделирования судовых конструкций при низкой степени дискретизации

Анализ применимости различных типов КЭ САПР I-DEAS для моделирования судовых конструкций при низкой степени дискретизации Анализ применимости различных типов КЭ САПР I-DEAS для моделирования судовых конструкций при низкой степени дискретизации Нижний Новгород 2008 Содержание Введение 4 1 Исследование влияния типов КЭ, начальных

Подробнее

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет)

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет) ВЕСТНИК ЧГПУ им И Я ЯКОВЛЕВА МЕХАНИКА ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ 7 УДК 5975 Мирсалимов М В ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ (Тульский государственный университет) Рассматривается задача механики

Подробнее

Исследование механических свойств композитов, армированных углеродными нанотрубками

Исследование механических свойств композитов, армированных углеродными нанотрубками УДК 539.3 Исследование механических свойств композитов, армированных углеродными нанотрубками Введение Тарасова Е.С., студент Россия,105005, г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, Кафедра «Прикладная математика»

Подробнее

УДК МЕТОДИКА ОЦЕНКИ НАГРУЖЕННОСТИ КОНСТРУКЦИЙ С ПОВЕРХНОСТНЫМИ ТРЕЩИНАМИ И.А. Разумовский 1), А.С. Чернятин 2)

УДК МЕТОДИКА ОЦЕНКИ НАГРУЖЕННОСТИ КОНСТРУКЦИЙ С ПОВЕРХНОСТНЫМИ ТРЕЩИНАМИ И.А. Разумовский 1), А.С. Чернятин 2) УДК 51-7 МЕТОДИКА ОЦЕНКИ НАГРУЖЕННОСТИ КОНСТРУКЦИЙ С ПОВЕРХНОСТНЫМИ ТРЕЩИНАМИ И.А. Разумовский 1), А.С. Чернятин 2) 1) Институт машиноведения РАН, Россия, Москва 2) МГТУ им. Н.Э. Баумана, Россия, Москва

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ В РАЙОНЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО КОНЦЕНТРАТОРА

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ В РАЙОНЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО КОНЦЕНТРАТОРА УДК 539.3 ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ В РАЙОНЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО КОНЦЕНТРАТОРА А.Н. Бородой, И.А. Волков, Ю.Г. Коротких Тенденция развития конструкций и аппаратов современного машиностроения характеризуется

Подробнее

Радченко А.В. 1, Радченко П.А. 2

Радченко А.В. 1, Радченко П.А. 2 Влияние ориентации механических свойств композиционных материалов на динамическое разрушение преград из них при высокоскоростном нагружении Радченко А.В. 1 Радченко П.А. 2 1 Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

1 + m. 1 m 2, + 2m cos 2ω 2 cos (2θ 2ω) (4) 2m cos 2θ) 3/2 /[(1 + m) 2 (1 m)]. σ c = min

1 + m. 1 m 2, + 2m cos 2ω 2 cos (2θ 2ω) (4) 2m cos 2θ) 3/2 /[(1 + m) 2 (1 m)]. σ c = min ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2000. Т. 41, N- 3 163 УДК 539.4 ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ С. В. Сукнёв Институт физико-технических проблем Севера

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ Чрезвычайно широким является область различных явлений в окружающем нас мире, которые можно достаточно полно качественно и количественно опис

ВВЕДЕНИЕ Чрезвычайно широким является область различных явлений в окружающем нас мире, которые можно достаточно полно качественно и количественно опис Чрезвычайно широким является область различных явлений в окружающем нас мире, которые можно достаточно полно качественно и количественно описать на основе волновых представлений. Поэтому, в настоящее время

Подробнее

КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ ТРУБ С НЕСКВОЗНЫМИ ТРЕЩИНАМИ ООО КМГ

КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ ТРУБ С НЕСКВОЗНЫМИ ТРЕЩИНАМИ ООО КМГ Механика и машиностроение УДК 621.64:539.4 КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ ТРУБ С НЕСКВОЗНЫМИ ТРЕЩИНАМИ 2008 С.Н. Перов 1, Ю.В. Скворцов 1, К.А. Цапурин 2 1 Самарский государственный аэрокосмический

Подробнее

УДК :

УДК : УДК 699.841: 624.078.2 МОДЕЛИРОВАНИЕ ФРИКЦИОННЫХ СОЕДИНЕНИЙ НА ВЫСОКОПРОЧНЫХ БОЛТАХ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ А.С. Широких Уфимский государственный нефтяной технический университет, г.уфа Цель данной

Подробнее

Математическая модель напряженно-деформируемого состояния. состояния манометрической трубчатой пружины с переменной

Математическая модель напряженно-деформируемого состояния. состояния манометрической трубчатой пружины с переменной Математическая модель напряженно-деформируемого состояния... 119 С.П. Пирогов, Н.Н. Устинов piro-gow@yandex.ru, UstinovNikNik@mail.ru УДК 622.691.4 Математическая модель напряженно-деформируемого состояния

Подробнее

Построение матрицы граничной жесткости для плоской задачи теории упругости

Построение матрицы граничной жесткости для плоской задачи теории упругости УДК 539.3 Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 190 195 Механика Построение матрицы граничной жесткости для плоской задачи теории упругости А. А. Маркин,

Подробнее

σ = 1 c f cd при 0 1 c или в обозначениях принятых в [1]: b Rb где

σ = 1 c f cd при 0 1 c или в обозначениях принятых в [1]: b Rb где Численное исследование поведения изгибаемых железобетонных элементов при помощи програного комплекса ANSYS В исследовании рассматривается поведение консольно защемленной железобетонной балки при действии

Подробнее

Расчеты коэффициентов интенсивности напряжений для типовых авиационных конструкций с трещинами

Расчеты коэффициентов интенсивности напряжений для типовых авиационных конструкций с трещинами Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 45 www.mai.ru/science/trudy/ УДК 530.43.620.178.3 Расчеты коэффициентов интенсивности напряжений для типовых авиационных конструкций с трещинами В.В.Сысоева Аннотация

Подробнее

Электронный научно-практический журнал «МОЛОДЕЖНЫЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» ОКТЯБРЬ 2018 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Электронный научно-практический журнал «МОЛОДЕЖНЫЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» ОКТЯБРЬ 2018 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ УДК 004.94: 621.01 ПРОБЛЕМА КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ Зыонг В.Л. ФГБОУ ВО «Иркутский национальный исследовательский технический университет» В работе представлен

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. И. Миронов, А. В. Кузнецов, Р. А. Саврай, Учет аномалии свойств поверхностного слоя металла в расчете долговечности пластины, Матем. моделирование и

Подробнее

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПОЛЕЗНОЙ МОЩНОСТИ МЕХАНИЧЕСКОГО ПЕРЕМЕШИВАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА С.В. Морданов, С.Н. Сыромятников, А.П. Хомяков

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПОЛЕЗНОЙ МОЩНОСТИ МЕХАНИЧЕСКОГО ПЕРЕМЕШИВАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА С.В. Морданов, С.Н. Сыромятников, А.П. Хомяков МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПОЛЕЗНОЙ МОЩНОСТИ МЕХАНИЧЕСКОГО ПЕРЕМЕШИВАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА С.В. Морданов, С.Н. Сыромятников, А.П. Хомяков ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.

Подробнее

Методика изложения основ механики разрушения в курсе сопротивление материалов

Методика изложения основ механики разрушения в курсе сопротивление материалов Методика изложения основ механики разрушения в курсе сопротивление материалов #, февраль 15 Покровский А. М. 1,* УДК: 539.4 1 Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана Реальная прочность материалов, как известно,

Подробнее

УЧЕТ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОНА ПРИ ОЦЕНКЕ ИЗМЕНЕНИЯ ИЗГИБНОЙ ЖЕСТКОСТИ КОНСТРУКЦИЙ СО СМЕШАННЫМ АРМИРОВАНИЕМ

УЧЕТ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОНА ПРИ ОЦЕНКЕ ИЗМЕНЕНИЯ ИЗГИБНОЙ ЖЕСТКОСТИ КОНСТРУКЦИЙ СО СМЕШАННЫМ АРМИРОВАНИЕМ Рис. 3. Графическая интерпретация распределения постоянной составляющей линейного тока вдоль несимметричного однородного участка трехфазной ЛЭП трехпроводного исполнения протяженностью 1000 км УДК 624.012.3

Подробнее

. После нахождения искомых коэффициентов разложения, определяются дополнительные напряжения на всех контурах по формулам:

. После нахождения искомых коэффициентов разложения, определяются дополнительные напряжения на всех контурах по формулам: Л.А. Данилова ( )() известных коэффициентов c ( ) в нулевой итерации которого полагается ( ) C ( ). После нахождения искомых коэффициентов разложения определяются дополнительные напряжения на всех контурах

Подробнее

УДК ПРОЧНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ПОВРЕЖДЕНИЙ

УДК ПРОЧНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ПОВРЕЖДЕНИЙ УДК 539.3 ПРОЧНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ПОВРЕЖДЕНИЙ Воробьев Ю.С., д.т.н., проф, Чернобрывко M.В., к.т.н., Чугай M.А., к.т.н. Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины

Подробнее

VI Международная молодежная научная конференция «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной механики»

VI Международная молодежная научная конференция «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной механики» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ РОССИЙСКИЙ ФОНД ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НИИ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ТОМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Подробнее

Рассмотрим стержень упруго растянутый центрально приложенными сосредоточенными

Рассмотрим стержень упруго растянутый центрально приложенными сосредоточенными Растяжение (сжатие) элементов конструкций. Определение внутренних усилий, напряжений, деформаций (продольных и поперечных). Коэффициент поперечных деформаций (коэффициент Пуассона). Гипотеза Бернулли и

Подробнее

_3ЛК_ПАХТ_ТЕХНОЛОГИ_Ч.1_ГИДРОДИНАМИКА3_КАЛИШУК

_3ЛК_ПАХТ_ТЕХНОЛОГИ_Ч.1_ГИДРОДИНАМИКА3_КАЛИШУК _3ЛК_ПАХТ_ТЕХНОЛОГИ_Ч._ГИДРОДИНАМИКА3_КАЛИШУК ГИДРОДИНАМИКА. Ч.3 3.8 Режимы движения жидкостей. Опыты Рейнольдса Существование двух принципиально различных режимов движения жидкости было экспериментально

Подробнее

Семейство программных комплексов АСТРА-НОВА 2017 (релиз ) Верификационный отчет по новым возможностям

Семейство программных комплексов АСТРА-НОВА 2017 (релиз ) Верификационный отчет по новым возможностям Научно-исследовательский центр СтаДиО Семейство программных комплексов АСТРА-НОВА 2017 (релиз 201611) Верификационный отчет по новым возможностям Том 2. Упругопластические расчеты и практические приложения

Подробнее

МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ОТВОДА МАГИСТРАЛЬНОГО ТРУБОПРОВОДА. к.т.н. Гончаров М.В., к.ф.-м.н. Кончина Л.В., студ. Мирошин М.А.

МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ОТВОДА МАГИСТРАЛЬНОГО ТРУБОПРОВОДА. к.т.н. Гончаров М.В., к.ф.-м.н. Кончина Л.В., студ. Мирошин М.А. УДК 614 МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ОТВОДА МАГИСТРАЛЬНОГО ТРУБОПРОВОДА ктн Гончаров МВ, кф-мн Кончина ЛВ, студ Мирошин МА Филиал ФГБОУ ВО «НИУ «МЭИ» в г Смоленске, Россия Вопрос обеспечения надежной

Подробнее

ЗАВИСИМОСТЬ ОБЪЕМНОЙ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД В ОКРЕСТНОСТИ ПОДЗЕМНОЙ ВЫРАБОТКИ ОТ ЕЁ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ЗАВИСИМОСТЬ ОБЪЕМНОЙ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД В ОКРЕСТНОСТИ ПОДЗЕМНОЙ ВЫРАБОТКИ ОТ ЕЁ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК УДК 539.3 ЗАВИСИМОСТЬ ОБЪЕМНОЙ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД В ОКРЕСТНОСТИ ПОДЗЕМНОЙ ВЫРАБОТКИ ОТ ЕЁ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК д.ф.-м.н. Журавков М.А., д.ф.-м.н. Щербаков С.С., асп. Шемет Л.А.

Подробнее

4, 2008 Технические науки. Машиностроение и машиноведение

4, 2008 Технические науки. Машиностроение и машиноведение 4, 2008 Технические науки. Машиностроение и машиноведение УДК 539.3:534.1 С. В. Шлычков, С. П. Иванов, С. Г. Кузовков, Ю. В. Лоскутов РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ ВЫПУЧИВАНИЯ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ РАДИАЛЬНОМ СЖАТИИ

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ ВЫПУЧИВАНИЯ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ РАДИАЛЬНОМ СЖАТИИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА.. Т. 5, N- 5 5 УДК 59.7 ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ ВЫПУЧИВАНИЯ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ РАДИАЛЬНОМ СЖАТИИ Л. И. Шкутин Институт вычислительного моделирования СО РАН,

Подробнее

Сибирский научно-исследовательский институт авиации им. С. А. Чаплыгина, Новосибирск

Сибирский научно-исследовательский институт авиации им. С. А. Чаплыгина, Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2001. Т. 42, N- 5 193 УДК 539.3 ОБ УРАВНЕНИЯХ КОНЕЧНОГО ИЗГИБА ТОНКОСТЕННЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРУБ С. В. Левяков Сибирский научно-исследовательский институт авиации

Подробнее

Тема 2 Основные понятия. Лекция 2

Тема 2 Основные понятия. Лекция 2 Тема 2 Основные понятия. Лекция 2 2.1 Сопротивление материалов как научная дисциплина. 2.2 Схематизация элементов конструкций и внешних нагрузок. 2.3 Допущения о свойствах материала элементов конструкций.

Подробнее

А.И. Соловьев, канд. физ.-мат. наук КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ДВУМЯ СООСНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ

А.И. Соловьев, канд. физ.-мат. наук КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ДВУМЯ СООСНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ 4 УДК 539.3 А.И. Соловьев, канд. физ.-мат. наук КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ДВУМЯ СООСНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ Имеется лишь небольшое число публикаций,

Подробнее

РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В ОДНОРОДНЫХ ПО СЕЧЕНИЮ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЯХ. Е. В. Баянов, А. И. Гулидов

РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В ОДНОРОДНЫХ ПО СЕЧЕНИЮ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЯХ. Е. В. Баянов, А. И. Гулидов ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 211. Т. 52, N- 5 155 УДК 539.3 РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В ОДНОРОДНЫХ ПО СЕЧЕНИЮ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЯХ Е. В. Баянов, А. И. Гулидов Новосибирский государственный

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ТОЧНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КИРША В РАМКАХ КОНТИНУУМА И ПСЕВДОКОНТИНУУМА КОССЕРА

ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ТОЧНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КИРША В РАМКАХ КОНТИНУУМА И ПСЕВДОКОНТИНУУМА КОССЕРА ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 001. Т., N- 15 УДК 539.3.01 ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ТОЧНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КИРША В РАМКАХ КОНТИНУУМА И ПСЕВДОКОНТИНУУМА КОССЕРА М. А. Кулеш, В. П. Матвеенко,

Подробнее

УПРАВЛЯЮЩИЕ И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОГИБА ДИСКА ПЕРЕКРЫТИЯ В СТРУКТУРЕ КАРКАСНОГО ЗДАНИЯ

УПРАВЛЯЮЩИЕ И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОГИБА ДИСКА ПЕРЕКРЫТИЯ В СТРУКТУРЕ КАРКАСНОГО ЗДАНИЯ УПРАВЛЯЮЩИЕ И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УДК 59.:59.:64. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОГИБА ДИСКА ПЕРЕКРЫТИЯ В СТРУКТУРЕ КАРКАСНОГО ЗДАНИЯ А.В. БЫХОВЦЕВ, В.Е. БЫХОВЦЕВ, К.С. КУРОЧКА Учреждение образования «Гомельский

Подробнее

01;03. PACS: Nm

01;03.   PACS: Nm 12 декабря 01;03 Численное решение задачи о формировании течения в цилиндрической трубе при открытии кольцевой щели С.В. Булович, В.Э. Виколайнен, Р.Л. Петров Санкт-Петербургский государственный политехнический

Подробнее

y 2 x 2 x y ; (3) y + F y = 0. (4) + 2 E y = 0. (5) E y y 2 x = 0, E x x G

y 2 x 2 x y ; (3) y + F y = 0. (4) + 2 E y = 0. (5) E y y 2 x = 0, E x x G ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 200. Т. 42, N- 79 УДК 628.23 РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ЛОПАТКИ КАК ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ ЛИНЕЙНО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ В. И. Соловьев Новосибирский военный институт, 6307

Подробнее

ВЛИЯНИЕ СООТНОШЕНИЯ РАЗМЕРОВ СОЕДИНЯЕМЫХ УЗЛОВ НА ОСТАТОЧНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

ВЛИЯНИЕ СООТНОШЕНИЯ РАЗМЕРОВ СОЕДИНЯЕМЫХ УЗЛОВ НА ОСТАТОЧНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В.В. Квасницкий, Г.В. Ермолаев, В.Ф. Квасницкий, А.В. Лабарткава 85 УДК 6.79 В 57 В.В. Квасницкий, доц., канд. техн. наук НТУУ КПИ, г. Киев Г.В. Ермолаев, доц., канд. техн. наук, проф. НУК; В.Ф. Квасницкий,

Подробнее

СПОСОБЫ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СПОСОБЫ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СПОСОБЫ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Зеленцов Д.Г., Короткая Л.И. ГВУЗ «Украинский государственный химико-технологический университет»,

Подробнее

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТНОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МУЛЬТИРАДИУСНЫМ РОЛИКОМ

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТНОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МУЛЬТИРАДИУСНЫМ РОЛИКОМ УДК 621.787.4 КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТНОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МУЛЬТИРАДИУСНЫМ РОЛИКОМ Митрофанова Кристина Сергеевна, Кузбасский государственный технический университет имени

Подробнее

A. H. ЧИЧКО, БНТУ, B. A. МАТОЧКИН, РУП«БМЗ», Д. м. КУКУЙ, о. и. ЧИЧКО, Ю. в. ЯЦКЕВИЧ, БНТУ, А. В. ДЕМИН, РУН «БМЗ» УДК 519:669.27

A. H. ЧИЧКО, БНТУ, B. A. МАТОЧКИН, РУП«БМЗ», Д. м. КУКУЙ, о. и. ЧИЧКО, Ю. в. ЯЦКЕВИЧ, БНТУ, А. В. ДЕМИН, РУН «БМЗ» УДК 519:669.27 / 1 н и. Я П -------------------------------- The methods of calculation of probability of crosscut cracks in circular ingot, poured at MNLZ, allowing to take into account the peculiarities of plastic

Подробнее

Б.Б. Тогизбаева, З.К. Сансызбаева АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ РУДНОЙ МАССЫ

Б.Б. Тогизбаева, З.К. Сансызбаева АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ РУДНОЙ МАССЫ Б.Б. Тогизбаева, З.К. Сансызбаева АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ РУДНОЙ МАССЫ HE ANALYSIS OF HE ENSELY-SRAINED CONDIION OF ORE MASS Исследование напряженно-деформированного состояния рудной

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ - Российский государственный технологический

Подробнее

Радченко П.А. 1, РадченкоА.В. 2. государственный архитектурно-строительный университет, г. Томск

Радченко П.А. 1, РадченкоА.В. 2. государственный архитектурно-строительный университет, г. Томск Влияние применения различных критериев прочности на поведение анизотропных материалов при динамическом нагружении Радченко П.А. 1 РадченкоА.В. 2 1 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН г.

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал И. Г. Емельянов, А. В. Кузнецов, В. И. Миронов, Об одном подходе определения напряженного состояния и ресурса работы оболочечной конструкции, лежащей на

Подробнее

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения . Метод Эйлера Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения ( ) f (6.) может быть приближенно решена численными методами. Для нахождения частного решения уравнения (6.) на отрезке [ a

Подробнее

Статья/ Физика и математика Физика, механика и астрономия УДК: 539.3

Статья/ Физика и математика Физика, механика и астрономия УДК: 539.3 УДК: 539.3 Статья/ Физика и математика Физика, механика и астрономия Вовк Л.П., Кисель Е.С., Матвеев В.А. ЛОКАЛЬНАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ОСОБЫХ ТОЧКАХ НЕОДНОРОДНОЙ ТЕРМОУПРУГОЙ ОБЛАСТИ Автомобильно-дорожный

Подробнее

Виртуальные испытания изделий М.В. Богомолов

Виртуальные испытания изделий М.В. Богомолов Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 38 www.mai.ru/science/trudy/ УДК 539.3 Виртуальные испытания изделий М.В. Богомолов Аннотация Рассматривается новый для предприятия подход к исследованию вопросов

Подробнее

Процессы сложного деформирования упругопластической стержневой системы

Процессы сложного деформирования упругопластической стержневой системы УДК 539.3 Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 123 131 Механика Процессы сложного деформирования упругопластической стержневой системы О. Е. Энгельман Аннотация.

Подробнее

В. Л. Якушев, Д. Г. Кучерявенко. Расчет сильфонов с учетом геометрической нелинейности

В. Л. Якушев, Д. Г. Кучерявенко. Расчет сильфонов с учетом геометрической нелинейности Стр. 1 из 7 22.09.2010 15:42 В. Л. Якушев, Д. Г. Кучерявенко Расчет сильфонов с учетом геометрической нелинейности Предлагается численный метод и алгоритм расчета сильфонов с косинусоидальной гофрировкой

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал О. Р. Кузнецов, Краевая задача для статического расчета прямых замкнутых призматических оболочек с учетом нелинейных соотношений, Матем. моделирование и

Подробнее

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ РЕЗЬБОВОГО СОЕДИНЕНИЯ

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ РЕЗЬБОВОГО СОЕДИНЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ УДК 539.4.012.3:621 В. А. Языков, 2007 КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ РЕЗЬБОВОГО СОЕДИНЕНИЯ Языков В. А. канд. техн. наук, доц. кафедры «Компьютерное

Подробнее

6 (46), 2011 г. где и - амплитуда и частота колебаний правого конца цепочки; - координаты присоединенных осцилляторов.

6 (46), 2011 г.   где и - амплитуда и частота колебаний правого конца цепочки; - координаты присоединенных осцилляторов. УДК 621.01 К ОПИСАНИЮ ПРОЦЕССОВ ПРОХОЖДЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН ЧЕРЕЗ МАШИННЫЕ КОНСТРУКЦИИ, МОДЕЛИРУЕМЫЕ ПОСРЕДСТВОМ СИЛЬНО НЕЛИНЕЙНЫХ СПЛОШНЫХ СРЕД СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ (часть 1) Виталий Львович Крупенин Учреждение

Подробнее

ПРОГРАММА. по направлению подготовки «Математика и механика» по специальности «Механика деформируемого твердого тела»

ПРОГРАММА. по направлению подготовки «Математика и механика» по специальности «Механика деформируемого твердого тела» Министерство образования и науки Донецкой Народной Республики Донецкий национальный университет ПРОГРАММА вступительного экзамена для поступающих на обучение по программам дополнительного профессионального

Подробнее

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЗОВЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В СРЕДЕ MATHCAD

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЗОВЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В СРЕДЕ MATHCAD МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЗОВЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В СРЕДЕ MATHCAD Смирнов А.П., Пименов А.Ю., Абрамов Д.А. Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики,

Подробнее

Начальник отдела прочности ОАО Специальное конструкторское бюро турбонагнетателей (СКБТ), к.т.н. Потапов С.Д. г. Пенза.

Начальник отдела прочности ОАО Специальное конструкторское бюро турбонагнетателей (СКБТ), к.т.н. Потапов С.Д. г. Пенза. ОСОБЕННОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ, ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ, 8 И 20 УЗЛОВЫХ 3D SOLID ЭЛЕМЕНТОВ С ПОНИЖЕННОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬЮ К ЗАПИРАЮЩЕМУ СДВИГУ. Начальник отдела прочности ОАО Специальное

Подробнее

УДК c Н.С. Бондаренко

УДК c Н.С. Бондаренко ISSN 683-470 Труды ИПММ НАН Украины. 009. Том 8 УДК 53.3 c 009. Н.С. Бондаренко ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ {,0-АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

Подробнее

РАСЧЕТЫ КОНСТРУКЦИЙ В КОМПАС-3D С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРИКЛАД- НОЙ БИБЛИОТЕКИ APM FEM. Автор студент 4 курса гр. М-19 Руселик А.Н.

РАСЧЕТЫ КОНСТРУКЦИЙ В КОМПАС-3D С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРИКЛАД- НОЙ БИБЛИОТЕКИ APM FEM. Автор студент 4 курса гр. М-19 Руселик А.Н. РАСЧЕТЫ КОНСТРУКЦИЙ В КОМПАС-3D С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРИКЛАД- НОЙ БИБЛИОТЕКИ APM FEM Автор студент 4 курса гр. М-19 Руселик А.Н. Научный руководитель ст.преподаватель Голубев А.Н. Учреждение образования «Витебский

Подробнее

7.8. Упругие силы. Закон Гука

7.8. Упругие силы. Закон Гука 78 Упругие силы Закон Гука Все твердые тела в результате внешнего механического воздействия в той или иной мере изменяют свою форму, так как под действием внешних сил в этих телах изменяется расположение

Подробнее

К РЕШЕНИЮ ПЛОСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛА

К РЕШЕНИЮ ПЛОСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛА УДК 539.3 К РЕШЕНИЮ ПЛОСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛА Веремейчик А.И. Гарбачевский В.В. к.т.н. Хвисевич В.М. УО «Брестский государственный технический университет»

Подробнее

Лекция 3. Плоская задача теории упругости.

Лекция 3. Плоская задача теории упругости. Лекция 3 Плоская задача теории упругости. 3.1 Плоское напряженное состояние. 3. Плоская деформация. 3.3 Основные уравнения плоской задачи. 3.4 Использование функции напряжений 3.5 Решение плоской задачи

Подробнее

Задачи к экзамену Задача 1. Задача 2.

Задачи к экзамену Задача 1. Задача 2. Вопросы к экзамену 1. Модель упругого тела, основные гипотезы и допущения. Механика твердого тела, основные разделы. 2. Внешние и внутренние силы, напряжения и деформации. Принцип независимого действия

Подробнее

УДК РАСЧЁТ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ГОФРИРОВАННОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗБЫТОЧНОГО ДАВЛЕНИЯ

УДК РАСЧЁТ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ГОФРИРОВАННОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗБЫТОЧНОГО ДАВЛЕНИЯ УДК 629.762.2 + 539.42 РАСЧЁТ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ГОФРИРОВАННОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗБЫТОЧНОГО ДАВЛЕНИЯ С.В. Махнович, А.М. Овчинников В статье рассмотрен процесс формирования расчётной модели деформирования

Подробнее

РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО МЕТОДУ КВАДРАТУР И. С. Ахмедьянов

РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО МЕТОДУ КВАДРАТУР И. С. Ахмедьянов УДК 59. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО МЕТОДУ КВАДРАТУР 7 И. С. Ахмедьянов Самарский государственный аэрокосмический университет Рассматривается применение

Подробнее

Анализ напряженно-деформированного состояния зубьев цилиндрической зубчатой передачи в области контакта

Анализ напряженно-деформированного состояния зубьев цилиндрической зубчатой передачи в области контакта УДК 6.833.5 САВЕНКОВ В. Н., к.т.н., доцент (ДонНТУ); ТИМОХИН Ю. В., к.т.н., доцент (ДонИЖТ); ТИМОХИНА В. Ю., ассистент (ДонИЖТ). Анализ напряженно-деформированного состояния зубьев цилиндрической зубчатой

Подробнее

Оглавление Введение... 3

Оглавление Введение... 3 Оглавление Введение... 3 Глава 1. Основные предпосылки, понятия и определения, используемые в курсе сопротивления материалов - механике материалов и конструкций... 4 1.1. Модель материала. Основные гипотезы

Подробнее

Расчет оптимальной величины защитного слоя бетона колонн квадратного сечения В.А. Мурадян

Расчет оптимальной величины защитного слоя бетона колонн квадратного сечения В.А. Мурадян Расчет оптимальной величины защитного слоя бетона колонн квадратного сечения В.А. Мурадян Предлагается подход к расчету оптимальных значений защитного слоя бетона продольно армированных колонн, работающих

Подробнее

Рябова О.А., Зингерман К.М. Кафедра вычислительной математики

Рябова О.А., Зингерман К.М. Кафедра вычислительной математики УДК 539.3 НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБРАЗОВАНИЯ ЖЕСТКИХ ВКЛЮЧЕНИЙ В БЕСКОНЕЧНО-ПРОТЯЖЕННОМ УПРУГОМ ТЕЛЕ И МЕТОДЫ ЕЕ ИССЛЕДОВАНИЯ Рябова О.А., Зингерман К.М. Кафедра вычислительной математики Поступила в редакцию

Подробнее

Лекция 11. Полная система уравнений теории упругости. Уравнения равновесия. Соотношения Коши: (2) z yz. Соотношения Закона Гука (3)

Лекция 11. Полная система уравнений теории упругости. Уравнения равновесия. Соотношения Коши: (2) z yz. Соотношения Закона Гука (3) Полная система уравнений теории упругости si F () i Лекция Полная система уравнений теории упругости. Уравнения совместности деформаций. Уравнения Бельтрами. Уравнения Ламе. Плоское напряженное и плоское

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Министерство образования и науки Российской Федерации. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс

Подробнее

Кручение простой вид сопротивления (нагружения), при котором на стержень действуют моменты в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси стержня.

Кручение простой вид сопротивления (нагружения), при котором на стержень действуют моменты в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси стержня. Кручение стержней с круглым поперечным сечением. Внутренние усилия при кручении, напряжения и деформации. Напряженное состояние и разрушение при кручении. Расчет на прочность и жесткость вала круглого

Подробнее

DOI /EESJ201512C06ART02. Yuri L. Rutman, ScD, professor;

DOI /EESJ201512C06ART02. Yuri L. Rutman, ScD, professor; DOI 0.285/EESJ2052C06AR02 Yuri L. Rutman, ScD, professor; Vladimir A. Meleshko, ScD, St.-Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering; Strength Computation of Rod Systems with the

Подробнее

Разработка вычислительных средств геометрического моделирования сложных геометрических объектов на основе функционально-воксельного моделирования

Разработка вычислительных средств геометрического моделирования сложных геометрических объектов на основе функционально-воксельного моделирования Разработка вычислительных средств геометрического моделирования сложных геометрических объектов на основе функционально-воксельного моделирования 48 С.В. Додонов аспирант, dodonov15@yandex.ru МГТУ «СТАНКИН»,

Подробнее

, i, j = 1, 2, 3; (1.1)

, i, j = 1, 2, 3; (1.1) 164 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 21. Т. 42, N- 1 УДК 539.4 НИЖНЯЯ И ВЕРХНЯЯ ОЦЕНКИ ВРЕМЕНИ НАЧАЛА РАЗРУШЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ А. Ф. Никитенко Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева

Подробнее

Модификация метода Годунова решения краевых задач теории оболочек /597785

Модификация метода Годунова решения краевых задач теории оболочек /597785 Модификация метода Годунова решения краевых задач теории оболочек 77-48/597785 # 7, июль Беляев А. В., Виноградов Ю. И. УДК 59.7 Введение Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана belaev@bmstu.ru vno.yur@rambler.ru

Подробнее

АНАЛИЗ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ СВОБОДНО ОПЕРТОЙ УПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

АНАЛИЗ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ СВОБОДНО ОПЕРТОЙ УПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ УДК 539.3 АНАЛИЗ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ СВОБОДНО ОПЕРТОЙ УПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ к.ф.-м.н. 1 Чигарев А.В., асп. 2 Покульницкий А.Р. 1 Белорусский национальный технический университет,

Подробнее

НЕЙРОННЫЕ СЕТИ КАК СРЕДСТВО МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА СКОЛЬЗЯЩЕГО ДОПУСКА

НЕЙРОННЫЕ СЕТИ КАК СРЕДСТВО МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА СКОЛЬЗЯЩЕГО ДОПУСКА УДК 004.94:004.02.26 НЕЙРОННЫЕ СЕТИ КАК СРЕДСТВО МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА СКОЛЬЗЯЩЕГО ДОПУСКА Д.Г. Зеленцов, Л.И. Короткая Предложен новый подход к решению задач оптимизации корродирующих конструкций, основанный

Подробнее

СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ

СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» (часть 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ 2014-2015 уч. год 1. Какие допущения о свойствах материалов приняты в курсе "Сопротивление материалов

Подробнее

КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ПУСТОТ В ГРУНТОВОМ ОСНОВАНИИ НА ОСАДКУ ФУНДАМЕНТА В.Е. Быховцев, С.В. Торгонская

КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ПУСТОТ В ГРУНТОВОМ ОСНОВАНИИ НА ОСАДКУ ФУНДАМЕНТА В.Е. Быховцев, С.В. Торгонская Проблемы физики, математики и техники, 2 (11), 2012 УДК 531:004.925 ИНФОРМАТИКА КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ПУСТОТ В ГРУНТОВОМ ОСНОВАНИИ НА ОСАДКУ ФУНДАМЕНТА В.Е. Быховцев, С.В. Торгонская Гомельский государственный

Подробнее

Взаимодействие ударной волны сдозвуковымнагретымслоем

Взаимодействие ударной волны сдозвуковымнагретымслоем 26 сентября 03 Взаимодействие ударной волны сдозвуковымнагретымслоем В.Н. Зудов Институт теоретической и прикладной механики, Новосибирск E-mail: zudov@itam.nsc.ru Поступило в Редакцию 26 апреля 2010 г.

Подробнее

РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ УДК 539.3 РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Оробей В.Ф., д.т.н., профессор, Корнеева И.Б., к.т.н., доцент, Бондаренко Д.О. Одесская государственная академия строительства

Подробнее

БАЧУРИН Л.Л., БАЧУРИНА Я.П. 1 МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТРЫВНОГО (I) И СМЕШАННОГО (I/II) РЕЖИМОВ РАЗВИТИЯ ТРЕЩИН В КЕРНОВЫХ ОБРАЗЦАХ ГОРНЫХ ПОРОД

БАЧУРИН Л.Л., БАЧУРИНА Я.П. 1 МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТРЫВНОГО (I) И СМЕШАННОГО (I/II) РЕЖИМОВ РАЗВИТИЯ ТРЕЩИН В КЕРНОВЫХ ОБРАЗЦАХ ГОРНЫХ ПОРОД УДК 539.421.5 БАЧУРИН Л.Л., БАЧУРИНА Я.П. 1 МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТРЫВНОГО (I) И СМЕШАННОГО (I/II) РЕЖИМОВ РАЗВИТИЯ ТРЕЩИН В КЕРНОВЫХ ОБРАЗЦАХ ГОРНЫХ ПОРОД Представлено результати моделювання розвитку тріщини

Подробнее

УДК КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ НАНОТРУБОК ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ТИПАХ НАГРУЖЕНИЯ. а) б) Рисунок 1. Нанотрубки. а) однослойная б) пятислойная

УДК КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ НАНОТРУБОК ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ТИПАХ НАГРУЖЕНИЯ. а) б) Рисунок 1. Нанотрубки. а) однослойная б) пятислойная УДК 539.3 КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ НАНОТРУБОК ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ТИПАХ НАГРУЖЕНИЯ д.ф.-м.н. 1 Журавков М.А., к.ф.-м.н. 1 Чумак Н.Г., к.ф.-м.н. 2 Мартыненко И.М. 1 УО «Белорусский государственный

Подробнее

ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ ПРЕГРАДЫ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ АНИЗОТРОПИИ ЕЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ ПРЕГРАДЫ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ АНИЗОТРОПИИ ЕЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ ПРЕГРАДЫ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ АНИЗОТРОПИИ ЕЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ М.Н. Кривошеина ИФПМ СО РАН, г. Томск e-mal: marnа_nkr@mal.ru М.А. Козлова ИФПМ СО РАН, г. Томск e-mal:

Подробнее

К РЕШЕНИЮ ОДНОЙ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ

К РЕШЕНИЮ ОДНОЙ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 27. Т. 48, N- 4 121 УДК 539.375 К РЕШЕНИЮ ОДНОЙ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ М. В. Гаврилкина, В. В. Глаголев, А. А. Маркин Тульский государственный университет,

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Выполнил: студент 3-го курса, гр. АК3-51 Ягубов Роман Борисович Проверил:

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ НАГРУЖЕНИЯ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ НАГРУЖЕНИЯ Глава 4 ОСНОВЫ ТЕОРИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ НАГРУЖЕНИЯ Как уже говорилось выше, железобетон это анизотропный материал сложной структуры, характеризующийся нелинейной

Подробнее

Тема 1. Разрушение с точки зрения термофлуктуационной теории

Тема 1. Разрушение с точки зрения термофлуктуационной теории Цель дисциплины ФОРМИРОВАНИЕ ЗНАНИЙ ПО ПРОБЛЕМАМ МЕХАНИКИ ПРОЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ, ОЗНАКОМЛЕНИЕ С ПРИНЦИПАМИ УПРАВЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЕМ РАЗРУШЕНИЮ С ПОЗИЦИЙ СТРУКТУРНОГО

Подробнее

Лекция 1 Базовые понятия метода конечных элементов (МКЭ) Метод конечных элементов (МКЭ)

Лекция 1 Базовые понятия метода конечных элементов (МКЭ) Метод конечных элементов (МКЭ) Лекция 1 Базовые понятия метода конечных элементов (МКЭ) Метод конечных элементов (МКЭ) Метод конечных элементов (МКЭ) является в настоящее время одним из основных методов решения вариационных задач, в

Подробнее

Конечно-элементная реализация линейных задач механики сетчатых полимеров, взаимодействующих со средой растворителя

Конечно-элементная реализация линейных задач механики сетчатых полимеров, взаимодействующих со средой растворителя УДК 9.8:4.64 Н.К. Салихова, Е.Я. Денисюк Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Россия Конечно-элементная реализация линейных задач механики сетчатых полимеров, взаимодействующих со средой растворителя

Подробнее

УДК ПАРАМЕТРЫ ОБТЕКАНИЯ ПОТОКОМ ПРЕПЯТСТВИЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ СТРУКТУРЫ ТКАНЕВОГО ФИЛЬТРА Э. А. Шаймуллина

УДК ПАРАМЕТРЫ ОБТЕКАНИЯ ПОТОКОМ ПРЕПЯТСТВИЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ СТРУКТУРЫ ТКАНЕВОГО ФИЛЬТРА Э. А. Шаймуллина УДК 519.6+628.512.002 ПАРАМЕТРЫ ОБТЕКАНИЯ ПОТОКОМ ПРЕПЯТСТВИЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ СТРУКТУРЫ ТКАНЕВОГО ФИЛЬТРА Э. А. Шаймуллина Проведены численные исследования модели обтекания потоком структуры тканевого

Подробнее

АНАЛИЗ И ОСОБЕННОСТИ МЕТОДОВ ПРИ РАСЧЕТЕ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК НА ИЗГИБ. Авторы : Косауров А.П., Тимофеев П.В Научный руководитель: доцент Скворцов В.И.

АНАЛИЗ И ОСОБЕННОСТИ МЕТОДОВ ПРИ РАСЧЕТЕ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК НА ИЗГИБ. Авторы : Косауров А.П., Тимофеев П.В Научный руководитель: доцент Скворцов В.И. АНАЛИЗ И ОСОБЕННОСТИ МЕТОДОВ ПРИ РАСЧЕТЕ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК НА ИЗГИБ Авторы : Косауров А.П., Тимофеев П.В Научный руководитель: доцент Скворцов В.И. г. Москва 03 Задачи об изгибе пластин и оболочек играют

Подробнее

ГЛАВА 11. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ. Общие положения

ГЛАВА 11. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ. Общие положения Общие положения Нелинейный процессор предназначен для решения физически и геометрически нелинейных задач, а также задач с наличием конструктивной нелинейности и предварительного напряжения. В линейных

Подробнее

Предмет: Использование суперкомпьютерных вычислений в инженерно-технических расчетах

Предмет: Использование суперкомпьютерных вычислений в инженерно-технических расчетах Предмет: Использование суперкомпьютерных вычислений в инженерно-технических расчетах Метод конечных элементов (МКЭ) Метод конечных элементов (МКЭ) является в настоящее время одним из основных методов решения

Подробнее