раздел МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОСОБЫХ ТОЧЕК СУММЫ РЯДА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МОНОМОВ НА ГРАНИЦЕ ЕГО ОБЛАСТИ СХОДИМОСТИ О. А.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "раздел МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОСОБЫХ ТОЧЕК СУММЫ РЯДА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МОНОМОВ НА ГРАНИЦЕ ЕГО ОБЛАСТИ СХОДИМОСТИ О. А."

Транскрипт

1 916 УДК , раздел МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОСОБЫХ ТОЧЕК СУММЫ РЯДА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МОНОМОВ НА ГРАНИЦЕ ЕГО ОБЛАСТИ СХОДИМОСТИ О. А. Кривошеева Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 4576 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32. Тел.: +7 (347) В данной работе рассматриваются кратные комплексные последовательности Λ = {λ k, n k } k=1, где натуральное число n k кратность точки (комплексного числа) λ k, и ряды d k,n z n e λ kz экспоненциальных мономов, построенные по этим последовательностям. Исследуется задача распределения особых точек суммы ряда на границе его области сходимости D = D(Λ, d). Прежде всего, рассматриваются различные числовые характеристики последовательности Λ, отражающие геометрию ее распределения по плоскости. По аналогии с известной функцией угловой плотности ω Λ вводится функция ω Λ, которая строится при помощи понятия максимальной плотности последовательности Λ в углах с вершинами в начале координат. Последовательность Λ, для которой функция ω Λ конечна, названа правильной. В работе получены необходимые и достаточные условия, когда последовательность Λ является правильной. Доказывается, что Λ правильная последовательность тогда и только тогда, когда она является частью (с учетом кратностей n k ) правильно распределенной последовательности с угловой плотностью ω Λ ω Λ. Используется также известная характеристика S Λ последовательности Λ (индекс конденсации А. С. Кривошеева), которая схожа по смыслу с индексом конденсации Бернштейна. Эта характеристика отвечает за локальное распределение точек последовательности Λ и означает некоторую их «отделенность» друг от друга (в случае, когда S Λ = ). Последовательность Λ названа сбалансированной, если она правильная и S Λ =. В работе рассматривается случай, когда D выпуклая область. На границе такой области выделяются специальные дуги классов один и два. Любая дуга границы выпуклой области распадается на не более чем четыре дуги указанных классов. Для сбалансированной последовательности Λ получены достаточные условия существования особых точек суммы ряда экспоненциальных мономов на фиксированной дуге класса один или два границы области D = D(Λ, d). Эти условия формулируются в терминах взаимосвязи между простыми геометрическими характеристиками последовательности Λ (функция ω Λ ) и области D (функция длины дуги ω D ). Ключевые слова: угловая плотность, максимальная плотность, правильная последовательность, ряд, экспоненциальный моном. Пусть Λ = {λ k, n k } k=1 кратная последовательность, где λ k C, λ k λ j, k j, λ k+1 λ k, k 1, λ k, k, n k натуральные ч сла. В работе рассматр ваются ряды экспоненц - альных мономов, построенные по последовательност Λ, т.е. ряды в да,n k 1 d k,n z n e λ kz k=1,n=. (1) Изучается задача распределен я особых точек суммы ряда на дугах гран цы его област сход мост. Ранее эта задача зучалась в работах [1] [2]. В н х меется стор ческ й обзор результатов по данной темат ке. Пусть d = {d k,n } k=1,n= последовательность коэфф ц ентов ряда (1). С мволам g Λ,d D(Λ, d) обознач м соответственно сумму этого ряда открытое ядро множества всех точек z C, в которых он сход тся. В общем случае, когда m(λ) = lim n k λ k >, k множество D(Λ, d) может быть невыпуклым ([3]) не является даже связным ([4]). Пусть {ξ j } неубывающая по модулю последовательность, составленная з точек λ k, пр чем каждая λ k встречается в ней ровно n k раз. Есл σ(λ) = lim lnj ξ j >, j то в некоторых точках z D(Λ, d) (а возможно на всем множестве D(Λ, d)) ряд (1), вообще говоря, абсолютно расход тся ([5], гл. II, 1, п.4). С другой стороны, есл m(λ) = σ(λ) =, то по теореме Кош -Адамара для рядов экспоненц альных мономов ([4]) множество D(Λ, d) будет выпуклой областью (возможно пустой), которая оп сывается пр помощ коэфф ц ентов {d k,n }. Более того, пр эт х же услов ях по теореме Абеля [4] для подобных рядов в област D(Λ, d) ряд (1) сход тся абсолютно равномерно на любом компакте. В частност, это означает, что его сумма g Λ,d анал т ческая функц я в D(Λ, d). С мволом A(Λ) обознач м совокупность всех последовательностей коэфф ц ентов d = {d k,n } ряда (1), для которых D(Λ, d), g Λ,d анал т - ческая функц я в D(Λ, d). Пусть d A(Λ). Точка z D(Λ, d) называется особой для g Λ,d, есл не существует функц, анал т ческой в объед нен D(Λ, d) какогол бо круга с центром в z, совпадающей с g Λ,d на множестве D(Λ, d).

2 ISSN Вестн к Башк рского ун верс тета Т Цель работы сследован е проблемы распределен я особых точек суммы ряда (1) на гран це D(Λ, d). Для начала рассмотр м некоторые характер - ст к последовательност Λ. С мволом B(z, r) обознач м открытый круг с центром в точке z рад уса r >. Пусть Λ = {λ k, n k } k=1 n (Λ) макс мальная плотность последовательност Λ, которая определяется по формуле n (Λ) = lim lim n(r, Λ, δ), δ r n(r, Λ) n((1 δ)r, Λ) n(r, Λ, δ) =. δr где n(r, Λ) ч сло точек λ k с учетом х кратностей n k в круге B(, r). Полож м еще n(λ) = lim n(r, Λ) r. r Вел ч на n(λ) называется верхней плотностью последовательност Λ. Рассмотр м теперь более точные характер ст к Λ. Пусть φ 1, φ 2 [,), φ 2 φ 1 (,]. Так е φ 1, φ 2 будем называть допуст мым. Полож м Γ(φ 1, φ 2 ) = {λ = te iφ : φ (φ 1, φ 2 ), t > }. С мволом Λ(φ 1, φ 2 ) обознач м последовательность, состоящую з всех пар {λ k, n k } так х, что λ k Γ(φ 1, φ 2 ). Пусть n(λ) < +. В этом случае определ м множество Φ Λ [,). Ч сло φ (, ) будем сч тать элементом множества Φ Λ тогда только тогда, когда n(λ, φ) = inf n(λ(φ ε, φ + ε)) >. ε> Кроме того, Φ Λ тогда только тогда, когда Φ Λ. Говорят ([6], гл. II, 1), что Λ меет угловую плотность n(λ, φ 1, φ 2 ) < + (пр порядке од н), есл для всех допуст мых φ 1, φ 2 за сключен ем, быть может, счетного множества Φ Λ последовательность Λ(φ 1, φ 2 ) меет плотность n(λ(φ 1, φ 2 )) = lim n(r, Λ(φ 1, φ 2 )) r = r = n(λ, φ 1, φ 2 ). Можно сч тать, что Φ Λ Φ Λ. В случае, когда Λ меет угловую плотность, множество Φ Λ является не более чем счетным. Действ тельно, каждое φ Φ Λ (, ) это точка разрыва монотонной функц N(φ 2 ) = n(λ, φ 1, φ 2 ), где φ (φ 1, φ 2 ). Так м образом, можно дать следующее экв валентное определен е последовательност, меющей угловую плотность. Пусть Λ такая, что Φ Λ не более чем счетное множество. Последовательность Λ меет угловую плотность n(λ, φ 1, φ 2 ) < + (пр порядке од н), есл для всех допуст мых φ 1, φ 2 Φ Λ последовательность Λ(φ 1, φ 2 ) меет плотность. Пусть Σ класс неубывающ х на отрезке [, ] функц й ω, обладающ х свойствам : 1) ω() =, 2) ω непрерывна слева, 3) ω(φ) = ω(φ ) ω( ), φ (,). С мволом Φ(ω) обознач м множество точек разрыва функц ω Σ. Пусть Λ меет угловую плотность. Тогда она ед нственным образом определяет функц ю ω Λ Σ по прав лу: ω Λ (φ 1 ) = lim n(λ, φ φ2 1, φ 2 ), ω Λ (φ) = n(λ, φ 1, φ) + ω Λ (φ 1 ), (2) где φ 1, φ 2 (, )\Φ Λ, φ (φ 1, φ 1 + )\Φ Λ. Точнее говоря, ω Λ, определенная по формулам (2), ед нственным образом продолжается до функц з класса Σ, продолжен е не зав с т от φ 1. Нетрудно замет ть, что Φ Λ = Φ(ω Λ ), n(λ, φ 1, φ 2 ) = ω Λ (φ 2 ) ω Λ (φ 1 ) для любых допуст мых φ 1, φ 2 Φ Λ. Будем говор ть, что Λ меет угловую плотность ω Σ, есл она меет угловую плотность ω Λ = ω. Пусть Λ = {λ k, n k }, φ 1, φ 2 Φ Λ допуст мые значен я T = {ψ 1,, ψ l } разб ен е нтервала (φ 1, φ 2 ), φ 1 = ψ 1 < ψ 2 < < ψ l = φ 2, ψ j Φ Λ, j = 1, l. Полож м l 1 n (Λ, φ 1, φ 2 ) = sup j=1 n (Λ(ψ j, ψ j+1 )), (3) T где супремум берется по всевозможным указанным разб ен ям. Вел ч ну n (Λ, φ 1, φ 2 ) лог чно было бы назвать макс мальной угловой плотностью Λ. Однако, это понят е уже закреплено за схожей (но отл чающейся от n (Λ, φ 1, φ 2 )) вел ч ной, введенной в [7]. Будем говор ть, что Λ правильная последовательность, есл Φ Λ является не более чем счетным множеством, n (Λ, φ 1, φ 2 ) < для всех допуст - мых значен й φ 1, φ 2 Φ Λ. Для такой последовательност полож м ω Λ (φ 1 ) = lim n φ2 (Λ, φ 1, φ 2 ), ω Λ (φ) = n (Λ, φ 1, φ) + ω Λ (φ 1 ), (4) где φ 1, φ 2 (, )\Φ Λ, φ (φ 1, φ 1 + )\Φ Λ. Нетрудно показать, что функц я ω Λ ед нственным образом продолжается до функц з класса Σ, продолжен е не зав с т от φ 1 (, )\Φ Λ. Пр этом Φ Λ = Φ(ω Λ ), для любых допуст мых ψ 1, ψ 2 Φ Λ меет место равенство n (Λ, ψ 1, ψ 2 ) = ω Λ (ψ 2 ) ω Λ (ψ 1 ). (5) Напомн м понят е прав льно распределенного множества ([6], гл. II, 1). Последовательность Λ = {λ k, n k } k=1, меющая угловую плотность, называется прав льно распределенным множеством (с показателем ρ(r) 1 ), есл выполнено услов е Л нделефа, т.е. существует предел ν(λ) = lim N(r, Λ), N(r, Λ) =. r λk <r λ k Для прав льно распределенного множества Λ функц я плотност ω = ω Λ Σ обладает дополн - тельным свойством ([6], гл. II, 3, формула (2.41)): e iφ dω(φ) =. (6) С мволом Σ обознач м подкласс всех функц й ω Σ, удовлетворяющ х (6). Он тесно связан с классом выпуклых компактов. Пусть K выпуклый компакт с опорной функц ей H(φ, K) = sup Re(ze iφ ), φ R. z K Для каждого φ R через L(φ, K) обознач м пересечен е гран цы K опорной прямой l(φ, K) = {z: Re(ze iφ ) = H(φ, K)} Множество L(φ, K) является л бо точкой, которую обознач м z(φ, K), л бо отрезком. С мволом Φ(K) обознач м совокупность φ [,), для n k

3 918 МАТЕМАТИКА МЕХАНИКА которых L(φ, K) отрезок. Множество Φ(K) не более чем счетное. Пусть φ 1, φ 2 Φ(K) допуст - мые значен я s(φ 1, φ 2, K) дл на дуг гран цы K, соед няющей точк z(φ 1, K) z(φ 2, K), дв жен е по которой от z(φ 1, K) к z(φ 2, K) осуществляется в полож тельном направлен (прот в часовой стрелк ). Пусть φ 1, φ 2 (, )\Φ(K), φ (φ 1, φ 1 + )\Φ(K). Полож м ω K (φ) = s(φ 1, φ, K) + ω K (φ 1 ), ω K (φ 1 ) = lim s(φ φ2 1, φ 2, K). Функц я ω K ед нственным образом продолжается до функц з класса Σ, продолжен е не зав с т от φ 1 (, )\Φ(K). Пр этом Φ(K) = Φ(ω K ), для любых допуст мых ψ 1, ψ 2 Φ(K) меет место равенство s(ψ 1, ψ 2, K) = ω K (ψ 2 ) ω K (ψ 1 ). (7) Для каждого сдв га K + z компакта K верно равенство ω K+z = ω K. Пр этом для опорных функц й меем: H(φ, K + z ) H(φ, K) + Re(ze iφ ). Отмет м еще, что ω = ω K удовлетворяет (2) (см., напр мер, [8], замечан е к лемме 2.7). Так м образом, ω K Σ. Обратно, пусть ω Σ. Функц я ω ед нственным образом определяет класс выпуклых компактов K(ω), которые получаются друг з друга пр помощ сдв га: K K(ω) тогда только тогда ω K = ω ([6], гл. I, 16, теорема 24, 19). Пусть Λ прав льная последовательность. Введем еще одну функц ю ω, Λ Σ. Есл ω Λ Σ, то полож м ω, Λ = ω Λ. Предполож м, что e iφ dω Λ (φ) = μ Λ = μ Λ e iφ(λ), φ(λ) [ π,π). Полож м ω Λ (φ) =, φ [, φ(λ) + π], ω Λ (φ) = μ Λ, φ (φ(λ) + π,] (8) продолж м ω до функц з класса Σ. Пусть ω, Λ = ω Λ + ω Λ. Тогда меем: e iφ dω, Λ (φ) = = e iφdω Λ (φ) + e iφ dω Λ (φ) = = μ Λ e i(φ(λ)+π) + μ Λ =. Так м образом, ω, Λ Σ. Пусть Λ = {λ k, n k } k=1 Λ = {ξ l, m l } l=1. Будем говор ть, что Λ является пополнен ем Λ, есл Λ Λ (Λ часть Λ с учетом кратностей), т.е. существует подпоследовательность {ξ lk, m lk } k=1 такая, что ξ lk = λ k m lk n k для всех k 1. Объед нен ем Λ 1 = {λ 1 s, p s } s=1 Λ 2 = {λ 2 j, m j } называется последовательность j=1 Λ = {λ k, n k } k=1 такая, что множество {λ k } k=1 является объед нен ем множеств {λ 1 s } s=1 {λ 2 j }. Пр этом, есл для некоторых номеров j=1 s 1 j точк λ s 2 λ j совпадают, то соответствующ й элемент λ k = λ 1 2 s = λ j последовательност Λ меет кратность n k = p s + m j. Нам понадоб тся понят е м н мальной плотност последовательност Λ: n (Λ) = lim lim n(r, Λ, δ). δ r Теорема 1. Пусть Λ правильная последовательность. Тогда существует ее пополнение Λ, которое является правильно распределенным множеством с угловой плотностью ω, Λ, причем N(r, Λ ), r +. Доказательство. Пусть Λ Z = {ς j, 1} j=1, где {ς j } j=1 последовательность всех комплексных ч - сел, вещественные мн мые част которых являются целым ч слам. Для любых допуст мых значен й φ 1, φ 2 ч сло n(r, Λ Z (φ 1, φ 2 )) оцен вается сн зу вел ч ной c(φ 1, φ 2 )r 2, r > r(φ 1, φ 2 ).Поэтому n (Λ Z (φ 1, φ 2 )) = +. Полож м Λ 2 = Λ Z Λ. Тогда n (Λ 2 (φ 1, φ 2 )) = + (9) для любых допуст мых φ 1, φ 2. Согласно (3), (5), определен ю ω Λ меем: n (Λ(φ 1, φ 2 )) n (Λ, φ 1, φ 2 ) = = ω Λ (φ 2 ) ω Λ (φ 1 ) ω Λ (φ 2 ) ω Λ (φ 2 ) + +ω(φ 2 ) ω(φ 2 ) = ω, Λ (φ 2 ) ω, Λ (φ 1 ). для любых допуст мых φ 1, φ 2 Φ Λ = Φ(ω Λ ) Φ(ω, Λ ). Это вместе с (9) означает, что выполнены все услов я теоремы 2.9 з работы [8]. Тогда согласно ей верно утвержден е настоящей теоремы. Теорема доказана. Далее будут зучены услов я, обеспеч вающ е существован е особой точк суммы g d (z) ряда (1) на ф кс рованной дуге гран цы его област сход мост D(Λ, d). Мы огран ч мся случаем, когда D(Λ, d) является выпуклой областью. Как отмечено в начале работы, этот случай реал зуется, есл выполнены услов я m(λ) = σ(λ) =. Пр эт х услов ях множество D(Λ, d) является спец альной выпуклой областью. В этой связ напомн м следующее звестное определен е. Пусть Ξ замкнутое подмножество ед н чной окружност S(,1). Множество в да D = {z C: Re(ze iφ ) < h(φ), e iφ Ξ} называется Ξ-выпуклым множеством. Есл Ξ конечное множество, л h(φ) полунепрерывная сн зу функц я, то E является открытым множеством, следовательно, выпуклой областью. В случае, когда Ξ совпадает с окружностью S(,1), а h(φ) = H(φ, M) опорная функц я некоторого множества M C, класс Ξ-выпуклых областей совпадает с классом обычных выпуклых областей. Есл Ξ одноточечное множество, то Ξ-выпуклым областям являются полуплоскост. Углы полосы также являются Ξ -выпуклым областям пр Ξ = {e iφ 1, e iφ 2}. Есл Ξ = {e iφ 1, e iφ 2, e iφ 3} точк e iφ 1, e iφ 2, e iφ 3 не лежат в одной (замкнутой) полуплоскост, то класс Ξ-выпуклых областей совпадает с классом треугольн ков с ф кс рованным нормалям к х сторонам. Пусть M C Ξ S(,1). Множество D(M, Ξ) = {z C: Re(ze iφ ) < H(φ, M), e iφ Ξ} называется Ξ-выпуклой оболочкой M. Оно является выпуклой областью, т.к. опорная функц я множества полунепрерывна сн зу. Есл M открытое

4 ISSN Вестн к Башк рского ун верс тета Т множество, то M D(M, Ξ). Ξ-выпуклая оболочка M является, очев дно, Ξ-выпуклым множеством. Пусть Λ = {λ k, n k } k=1. С мволом Ξ(Λ) обознач м множество комплексно сопряженное к множеству предельных точек последовательност {λ k λ k } k=2. Друг м словам, Ξ(Λ) состо т з пределов всех сходящ хся последовательностей в да {λ kj λ kj }. Очев дно, что Ξ(Λ) замкнутое подмножество окружност S(,1). Пусть d = j=1 {d k,n } k=1,n=. Полож м h(φ, d, Λ) = inf lim min ln (1 d k j n n kj 1 j,n ) λ kj, e iφ Ξ(Λ), где нф мум берется по всем подпоследовательностям {λ kj } {λ k } так м, что λ kj λ kj e iφ, когда j (есл d k,n =, то сч таем, что ln(1 d k,n ) = +). Нетрудно показать, что h(φ, d, Λ) полунепрерывнная сн зу функц я. Лемма 1. Пусть Λ = {λ k, n k } k=1 и d = {d k,n } k=1,n=. Предположим, что m(λ) = σ(λ) = и D(Λ, d). Тогда D(Λ, d) Ξ(Λ)-выпуклая область, и верно представление D(Λ, d) = { z: Re(ze iφ ) < h(φ, d, Λ), e iφ }. (1) Ξ(Λ) При этом ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на компактах в области D(Λ, d) и расходится в ее внешности. Доказательство. По теореме Абеля для рядов экспоненц альных мономов ([4], теорема 3.1) пр услов m(λ) = σ(λ) = ряд (1) сход тся абсолютно равномерно на компактах в Ξ(Λ)-выпуклой оболочке множества D(Λ, d). Так как последнее открыто, то D(Λ, d) D(D(Λ, d), Ξ(Λ)). Указанная оболочка также является открытым множеством. Поэтому согласно определен ю D(Λ, d) верно вложен е D(D(Λ, d), Ξ(Λ)) D(Λ, d). Так м образом, D(Λ, d) = D(D(Λ, d), Ξ(Λ)), т.е. D(Λ, d) Ξ(Λ)-выпуклая область. По теореме Кош -Адамара для рядов экспоненц альных мономов ([4], теорема 4.1) пр услов m(λ) = σ(λ) = верно представлен е (1). Пр этом ряд (1) расход тся во внешност област D(Λ, d). Лемма доказана. Пусть D выпуклая область γ(z 1, z 2, D) дуга ее гран цы, соед няющая точк z 1 z 2 z 1, дв жен е по которой от z 1 к z 2 осуществляется в отр цательном направлен. Для удобства в случае областей мы меняем направлен е дв жен я по дуге. Это связано с тем, что согласно лемме 1 область D(Λ, d) сход мост ряда (1) определяется пр помощ комплексного сопряжен я (пр определен функц h(d, φ) спользуются ч сла λ k ). Каждая точка z D пр надлеж т пересечен ю L(ψ, D) гран цы D опорной прямой l(ψ, D) хотя бы для одного ψ. В случае неогран ченной област L(ψ, D) может быть отрезком, лучом л прямой. Совокупность всех ψ, для которых множество L(ψ, D) не является точкой, обозначается Φ(D). Есл ψ Φ(D), то L(ψ, D) одноточечное множество: L(ψ, D) = {z(ψ, D)}. Точк в да z(ψ, D) называются выступающ м. С мволам z + (ψ, D) z (ψ, D) обознач м гран чные точк (есл он есть) прямол нейного участка L(ψ, D) D ( z + (ψ, D) = z (ψ, D) = z(ψ, D), когда ψ Φ(D) ). Дв жен е от точк z + (ψ, D) по участку гран цы L(ψ, D) осуществляется в полож тельном направлен. Точк в да z + (ψ, D) ( z (ψ, D) ) называются крайн м. Пусть z D. Множество всех направлен й e iψ, для которых z L(ψ, D), обознач м Ε(z, D). Оно замкнуто на S(,1) является точкой л дугой. В первом случае z называется гладкой, а во втором угловой точкой област D. Раствор дуг Ε(z, D) строго меньше π (в прот вном случае D не была бы областью). Пусть e (z, D) e + (z, D) гран чные точк дуг Ε(z, D) ( e (z, D) = e + (z, D), есл z гладкая). Пр этом дв жен е от e (z, D) к e + (z, D) по дуге Ε(z, D) осуществляется в отр цательном направлен. С мволом Ε (z, D) обознач м внутренность дуг Ε(z, D). Пусть Ε (D) объед нен е открытых дуг Ε (z, D), взятое по всем угловым точкам z D област D, Ξ(D) = S(,1)\(Ε (D) J(D)), где J(D) множество всех направлен й e iφ, для которых H(φ, D) = +. Направлен я e iφ, составляющ е множество Ε (D) J(D) не являются определяющ м для област D. Нетрудно показать, что для любой выпуклой област D верно представлен е D = {z: Re(ze iφ ) < H(φ, D), e iφ Ξ(D)}. Так м образом, любая выпуклая область D является Ξ(D) -выпуклой областью. Нетрудно показать также, что D будет Ξ-выпуклой областью тогда только тогда, когда Ξ(D) Ξ. Будем говор ть, что γ(z 1, z 2, D) дуга класса один, есл для некоторых ψ 1, ψ 2 верны равенства z 1 = z + (ψ 1, D), z 2 = z (ψ 2, D), угол между векторам e (z 1, D) e + (z 2, D) (отсч тываемый в отр - цательном направлен ) строго меньше π. Пусть γ(z 1, z 2, D) дуга класса од н. Тогда для точек w = z 1, z 2 выполнено хотя бы одно з услов й: а) w угловая точка област D, б) дуга γ(z 1, z 2, D) не содерж т отрезка, од н з концов которого совпадает с w. Верно обратное утвержден е. Будем говор ть, что γ(z 1, z 2, D) дуга класса два, есл она совпадает с отрезком [z 1, z 2 ], соед няющ м точк z 1 z 2. Дуга γ(z 1, z 2, D) будет одновременно дугой класса од н два тогда только тогда, когда z 1, z 2 являются угловым точкам e + (z 1, D) = e (z 2, D). Нетрудно показать, что любая дуга γ = γ(z 1, z 2, D) распадается не более чем на четыре дуг рассмотренных выше классов. Пусть γ = γ(z 1, z 2, D) дуга класса од н ψ 1, ψ 2 допуст мые значен я так е, что e (z 1, D) = e iψ 1 e + (z 2, D) = e iψ 2. Тогда ψ 1 ψ 2 < π. Рассмотр м выпуклую область D(γ), гран ца которой состо т з дуг γ отрезка [z 2, z 1 ]. Она леж т в област D меет с последней общую часть гран цы γ.

5 92 МАТЕМАТИКА МЕХАНИКА Пусть z 1 z 2 = z 1 z 2 e i(ψ 3+π 2 ), где ψ 3 выбрано так, что ψ 3 + π (ψ 2, ψ 1 ). Это можно сделать, т.к. точк z 1 z 2 пр надлежат соответственно опорным прямым l(ψ 1, D) l(ψ 2, D). Пр этом каждая прямая содерж т л шь «свою» точку. С мволом D(z 1, z 2 ) обознач м Ξ-выпуклую оболочку област D(γ), где Ξ = {e iψ 1, e iψ 2, e iψ 3}. Область D(z 1, z 2 ) содерж т D(γ) является треугольн ком. Векторы e iψ 1, e iψ 2, e iψ 3 внешн е нормал к его сторонам. Одна з сторон совпадает с отрезком [z 1, z 2 ]. Выч с- л м дл ны двух друг х сторон. Пусть z верш на треугольн ка отл чная от z 1 z 2. По теореме с нусов меем: z z 2 = z 1 z 2 sin(ψ 1 ψ 3 π) sin(ψ 1 ψ 2 ) = Re((z 1 z 2 )e iψ 1). (11) sin(ψ 1 ψ 2 ) z z 1 = z 1 z 2 sin(ψ 3 + π ψ 2 ) = sin(ψ 1 ψ 2 ) = Re((z 2 z 1 )e iψ 2). (12) sin(ψ 1 ψ 2 ) Вектор z 1 z 2 можно определ ть пр помощ функц ω D дл ны дуг гран цы D. Есл D огран ченная область, то для удобства будем сч - тать, что ω D = ω K, где K замыкан е комплексно сопряженной к D област D. Для неогран ченной област функц ю ω D можно определ ть л шь на отрезке [φ 1, φ 2 ], где огран чена функц я H( φ, D). Его дл на не превосход т π. В этом случае будем сч тать, что ω D на отрезке [φ 1, φ 2 ] совпадает с функц ей ω K, где K замыкан е той част област D, которая леж т в круге с центром в нуле, содержащем множества L(φ, D) для всех φ (φ 1, φ 2 ). Пусть γ = γ(z 1, z 2, D) дуга класса од н, φ 1, φ 2 допуст мые значен я так е, что e (z 1, D) = e iφ 1 e + (z 2, D) = e iφ 2, z 1, z 2 ч сла комплексно сопряженные к z 1, z 2. Вп сывая в дугу γ ломаные, нетрудно показать, что верно равенство z 2 z 1 = φ 2 = e iπ 2 ( e iφ dω D (φ) e iφ 1τ(ω φ D, φ 1 )), (13) 1 где τ(ω, φ) вел ч на (правого) скачка монотонной функц ω в точке φ : τ(ω, φ) = ω(φ + ) ω(φ) (левый скачок для рассматр ваемых нам функц й равен нулю). Пусть Λ = {λ k, n k } k=1, φ 1 [,), φ 2 (φ 1, φ 1 + π), Λ(φ 1, φ 2 ) прав льная последовательность. Рассмотр м класс выпуклых компактов,, K(ω Λ(φ1,φ 2 )). Для каждого K K(ω Λ(φ1,φ 2 )) верно, равенство ω K = ω Λ(φ1,φ 2 ). Пусть μ Λ(φ1,φ 2 ) = μ Λ(φ1,φ 2 ) e iφ(λ(φ 1,φ 2 )) = = e iφ dω Λ(φ1,φ 2 )(φ) = e iφ dω Λ(φ1,φ 2 )(φ) φ 2 = φ 1 + +e iφ 2τ(ω Λ(φ1,φ 2 ), φ 2 ). (14) Тогда φ(λ(φ 1, φ 2 )) [φ 1, φ 2 ]. Поскольку Λ(φ 1, φ 2 ) леж т в угле Γ(φ 1, φ 2 ), то ω Λ(φ1,φ 2 ) постоянна на полу нтервале (φ 2,φ 1 + ]. По определен ю (8) функц я ω Λ(φ1,φ 2 ) постоянна на [φ(λ(φ 1, φ 2 )), φ(λ(φ 1, φ 2 )) + π]. Следовательно, согласно (7) s(ψ 1, ψ 2, K) = ω K (ψ 2 ) ω K (ψ 1 ) =,, = ω Λ(φ1,φ 2 )(ψ 2 ) ω Λ(φ1,φ 2 )(ψ 1 ) =, где φ 2 < ψ 1 < ψ 2 < φ(λ(φ 1, φ 2 )) + π. Поскольку H(φ, K) непрерывная функц я, то это означает, что все прямые l(φ, K), φ [φ 2, φ(λ(φ 1, φ 2 )) + π], проходят через одну угловую точку компакта K, которую обознач м ς 2. Точно также наход м, что все прямые l(φ, K), φ [φ(λ(φ 1, φ 2 )) + π, φ 1 + ] проходят через некоторую угловую точку ς 1 K. Так м образом, ς 1, ς 2 l(φ(λ(φ 1, φ 2 )) + π, K). Поэтому прямол нейный участок гран цы L(φ(Λ(φ 1, φ 2 )) + π, K) компакта K совпадает с отрезком [ς 1, ς 2 ]. Так как ω Λ(φ1,φ 2 ) постоянна в окрест- ност точк φ(λ(φ 1, φ 2 )) + π, то его дл на согласно (7) (8) равна ς 1 ς 2 = lim (ω K (φ(λ(φ 1, φ 2 )) + π + ε) ε ω K (φ(λ(φ 1, φ 2 )) + π ε)) = = lim (φ(λ(φ 1, φ 2 )) + π + ε) (ω Λ(φ1,φ ε 2 ) ω Λ(φ1,φ 2 ) ε (ω Λ(φ1,φ 2 ) = lim (φ(λ(φ 1, φ 2 )) + π ε)) = (φ(λ(φ 1, φ 2 )) + π + ε)) = = lim μ Λ(φ1,φ ε 2 ) = μ Λ(φ1,φ 2 ). (15) Следовательно, ς 2 ς 1 = e iπ 2 μ Λ(φ1,φ 2 ). Пусть K(φ 1, φ 2 ) замыкан е Ξ -выпуклой оболочк K, где Ξ = {e iφ 1, e iφ 2, e iφ 3}, φ 3 = = φ(λ(φ 1, φ 2 )) + π. Компакт K(φ 1, φ 2 ) содерж т K. Есл φ(λ(φ 1, φ 2 )) = φ 1 л φ(λ(φ 1, φ 2 )) = φ 2, то он совпадает с K = [ς 1, ς 2 ] (отрезок [ς 1, ς 2 ] может вырождаться в точку). В прот вном случае K(φ 1, φ 2 ) является треугольн ком. Пр этом e iφ 1, e iφ 2, e iφ 3 внешн е нормал к его сторонам. В случае, когда K = [ς 1, ς 2 ], полож м d 1 Λ (φ 1, φ 2 ) = = d 2 Λ (φ 1, φ 2 ) =. Пусть теперь K(φ 1, φ 2 ) треугольн к. Одна з его сторон совпадает с отрезком [ς 1, ς 2 ]. Прот воположную к ней верш ну обознач м ς. Пересечен я компакта K со сторонам треугольн ка [ς, ς 1 ] [ς, ς 2 ] могут быть л бо точкам (ς 1 ς 2 ) л бо отрезкам. Полож м [ς 1, ς 1 ] = K [ς, ς 1 ] [ς 2, ς 2 ] = = K [ς, ς 2 ]. Как в (15) получаем: ς 1 ς 1 = τ(ω Λ(φ1,φ 2 ), φ 1 ), ς 2 ς 2 = τ(ω Λ(φ1,φ 2 ), φ 2 ). Так м образом, ς 2 ς 1 = ς 2 ς 1 e i(φ 1+π 2, φ 1 ) ) τ(ω Λ(φ1,φ 2 ) e i(φ 2+π 2 ) τ(ω Λ(φ1,φ 2 ), φ 2 ) = e iπ 2 (μ Λ(φ1,φ 2 ) e iφ 1τ(ω Λ(φ1,φ 2 ), φ 1 ) e iφ 2τ(ω Λ(φ1,φ 2 ), φ 2 )). (16) Пусть d 1 Λ (φ 1, φ 2 ) = Re ((ς 2 ς 1 )e iφ 2), d Λ 2 (φ 1, φ 2 ) = Re ((ς 1 ς 2 )e iφ 1). Как в (11), (12) наход м:

6 ISSN Вестн к Башк рского ун верс тета Т ς ς 2 = d Λ 2 (φ 1, φ 2 ) sin(φ 2 φ 1 ), ς ς 1 = d Λ 1 (φ 1,φ 2 ). (17) sin(φ 2 φ 1 ) Для доказательства результата о существован особой точк суммы ряда (1) на дуге област сход мост нам понадобятся некоторые сведен я з теор целых функц й экспоненц ального т па, т.е. целых функц й f(z), которые удовлетворяют неравенству ln f(z) A f + C f z, z C, для некоторых A f, C f >. Инд катором f называется функц я h f (z) = lim ln f(tz) t, z C. t Он является выпуклой полож тельно однородной порядка од н функц ей, сужен е которой на окружность S(,1) совпадает с опорной функц ей некоторого выпуклого компакта K, называемого н- д каторной д аграммой f : h f (e iφ ) = H(φ, K), φ [,] (см., напр., [5], гл. I, 5, теорема 5.4). Компакт, комплексно сопряженный с K, называется сопряженной д аграммой f. Говорят ([6], гл. III), что f меет регулярный рост, есл h f (z) = ln f(tz) t, z C, lim t,t E где E множество нулевой относ тельной меры на луче (, +). Пусть Λ = {λ k, n k } k=1, n(λ) < +, f(λ, Λ) канон ческое про зведен е: f(z, Λ) = (1 z n k n k z ) exp. λ k k=1 Функц я f(z, Λ) меет регулярный рост тогда только тогда ([6], гл. III, 3, теорема 4 гл. II, 1, теорема 2), когда Λ прав льно распределенное множество. Есл K нд каторная д аграмма функц f(λ, Λ), то ([6], гл. II, 1, формула (2.7)) ω Λ = ω K. Пусть D выпуклая область в C, H(D) пространство функц й, анал т ческ х в D с тополог ей равномерной сход мост на компактных подмножествах з D, H (D) пространство, с льно сопряженное к H(D). С мволом P D обознач м пространство целых функц й экспоненц ального т па, сопряженные д аграммы которых лежат в D. Преобразован е Лапласа f(λ) = ν(exp(λz)), ν H (D), устанавл вает зоморф зм л нейных пространств H (D) P D (см., напр., [9], гл. III, 12, теоремы ). Пусть Λ = {λ k, n k } k=1 E(Λ) = {z n n exp(λ k z)} k 1, n=,k=1. По теореме Хана-Банаха с стема E(Λ) не полна в пространстве H(D) тогда только тогда, когда существует ненулевой функц онал ν H (D) который обращается в ноль на элементах с стемы. Так м образом, неполнота E(Λ) равнос льна существован ю функц f P D, которая обращается в ноль в точках λ k с кратностью не меньшей чем n k, k 1. Пусть с стема E(Λ) не полна в пространстве H(D). Тогда в пространстве H (D) существует ([1], гл. IV, 1, п.2) б ортогональная к E(Λ) с - стема функц оналов Υ(Λ, D) = {μ k,n } k=1,n= : μ k,n (z l exp(λ j z)) = 1, есл j = k, l = n λ k μ k,n (z l exp(λ j z)) = в прот вном случае. Предполож м, что ряд (1) сход тся равномерно на компактных подмножествах област D. Тогда, пользуясь непрерывностью л нейностью функц оналов μ k,n, получаем d k,n = μ k,n (g), k 1, n =, n k 1. Так м образом, есл E(Λ) не полна в H(D), то представлен е рядом (1) обладает свойством ед нственност. Пр этом коэфф ц енты d k,n выч сляются пр помощ с стемы Υ(Λ, D). С мволом S Λ будем обозначать ндекс конденсац последовательност Λ, введенный в работе [11]. Свойства этого ндекса пр меры его выч с- лен я меются в работах [1], [12] [13]. Есл Γ угол с верш ной в нуле, то g Λ,d (z, Γ) обозначает част чную сумму ряда (1) по всем точкам λ k Γ. Теорема 2. Пусть Λ = {λ k, n k }, m(λ) = σ(λ) =, d = {d k,n } такова, что D(Λ, d) = D, и γ = γ(z 1, z 2, D) дуга класса один. Предположим, что существуют допустимые φ 1, φ 2, удовлетворяющие условиям: z 1 = z + ( φ 1, D), z 2 = z ( φ 2, D), (18) Λ(φ 1, φ 2 ) сбалансированная последовательность и верно хотя бы одно из неравенств Re ((z 2 z 1 )e iφ 2) > d 1 Λ (φ 1, φ 2 ), Re ((z 1 z 2 )e iφ 1) > d 2 Λ (φ 1, φ 2 ). (19) Тогда функция g Λ,d имеет внутри γ по крайней мере одну особую точку. Доказательство. По лемме 1 функц я g Λ,d является анал т ческой в выпуклой област D, которая определяется равенством (1). Предполож м, что g Λ,d не меет особых точек внутр дуг γ. Тогда функц я g Λ,d является анал т ческой в некоторой област D (не обязательно выпуклой), которая содерж т D внутренность дуг γ. Покажем, что в этом случае ряд (1) сход тся в некоторой област большей чем D. Полож м ψ 1 = φ 1 ψ 2 = φ 2. Пусть D 1 Ξ 1 -выпуклая оболочка област D, где Ξ 1 = S(,1)\ {e iψ : ψ (ψ 2, ψ 1 )}, Γ = C\Γ(φ 1, φ 2 ). По лемме 1 ряд g Λ,d (z, Γ) = λ d k,n z n k Γ,n=,n k 1 exp(λ k z), z D 1, (2) сход тся, а его сумма g Λ,d (z, Γ) анал т ческая функц я в област D 1. Из определен я D 1 следует, что D D 1, каждая z D 1 леж т хотя бы на одной прямой l(ψ, D) с нормальным вектором e iψ S(,1)\{e iσ : σ (ψ 2, ψ 1 )}. Все прямые l(ψ, D), пересекающ е γ, меют нормальные векторы з множества {e iσ : σ [ψ 2, ψ 1 ]}. Поэтому пересечен е D 1 γ леж т на прямых l(ψ 1, D), l(ψ 2, D), которые в с лу (18) не пересекают внутренность дуг γ. Следовательно, область D 1 содерж т эту внутренность. Полож м D = D D 1. Область D содерж т D внутренность дуг γ. Функц я g Λ,d (z, Γ(φ 1, φ 2 )) = g Λ,d (z) g Λ,d (z, Γ) является анал т ческой в D. По лемме 1 меем: g Λ,d (z, Γ(φ 1, φ 2 )) =

7 922 МАТЕМАТИКА МЕХАНИКА = d k,n z n exp(λ k z), λ k Γ(φ 1,φ 2 ),n=,n k 1 z D 2, (21) где D 2 Ξ 2 -выпуклая оболочка област D, Ξ 2 = {e iψ : ψ [ψ 2, ψ 1 ]}, g Λ,d (z, Γ(φ 1, φ 2 )) анал т - ческая функц я в област D 2. Последняя представляет собой угол T = {z: Re(ze iψ 1) < H(ψ 1, D)} {z: Re(ze iψ 2) < H(ψ 2, D)}, который «срезан» около своей верш ны z по дуге γ. Друг м словам, гран ца област D 2 состо т з двух лучей, лежащ х на сторонах угла T, дуг γ, соед няющей эт луч между собой. В с лу (18) внутренность γ содерж тся в угле T, а полу нтервалы [z,z 1 ) [z,z 2 ) лежат на сторонах угла T во внешност област D 2., Рассмотр м класс K(ω Λ(φ1,φ 2 )) выпуклых компактов K замыкан й х оболочек K(φ 1, φ 2 ). Пусть K K(φ 1, φ 2 ) компакты комплексно сопряженные соответственно к K K(φ 1, φ 2 ). Поскольку φ 1 = ψ 1, φ 2 = ψ 2, то существует K, K(ω Λ(φ1,φ 2 )) такой, что компакт K(φ 1, φ 2 ) леж т в замыкан угла T содерж т его верш ну z. Покажем, что K содерж т точк внешност област D 2. Пусть вначале K = [ς 1, ς 2 ], где ς 1, ς 2 точк комплексно сопряженные к определенным выше угловым точкам ς 1, ς 2 компакта K. Тогда K = K(φ 1, φ 2 ) содерж т точку z, которая является внешней для D 2. Пусть теперь K(φ 1, φ 2 ) треугольн к. Две з его сторон лежат на сторонах угла T, а соответствующая м верш на ς совпадает с z. Две друг е верш ны ς 1, ς 2 пр надлежат разным сторонам угла. Пр чем точка ς 1 (ς 2 ) леж т на той же стороне, что z 1 (z 2 ). В с лу (11), (12), (17) (19) выполнено хотя бы одно з неравенств z z 1 > ς ς 1, z z 2 > ς ς 2. Это означает, что верно хотя бы одно з включен й ς 1 [z,z 1 ), ς 2 [z,z 2 ). Так м образом, с учетом сказанного выше наход м, что компакт K содерж т точк внешност област D 2. Рассмотр м K β = K βe iψ, ψ = (ψ 1 + ψ 2 ) 2. Для каждого β > компакт K β леж т в угле T. Пр этом K β D 2 пр достаточно больш х β >. Следовательно, найдется β > такое, что компакт K β касается гран цы D 2 по замкнутому множеству Β, K β \Β D 2. Поскольку K β не меет общ х точек со сторонам угла T, то Β леж т внутр дуг γ. Отмет м еще, что K α D 2 для всех α > β. Функц я g Λ,d (z, Γ(φ 1, φ 2 )) является анал т - ческой в област D D 2, которая содерж т внутренность дуг γ. Поэтому для некоторого ε > эта функц я является анал т ческой в област K β + B(,3ε). Пусть α = β + ε. Тогда меем: K β +B(, ε) K α +B(,2ε) = = D K β + B(,3ε). (22) Компакт K α леж т в област D 2. Поэтому для достаточно малого δ (,2ε) верно вложен е K α + B(, δ)=g D 2. Пусть W замыкан е в пространстве H(G) л нейной оболочк с стемы E(Λ(φ 1, φ 2 )). Пр мен м к подпространству W област G теорему 12.1 з работы [14] о продолжен спектрального с нтеза. Покажем, что выполнены ее услов я. По определен ю W замкнутое нвар - антное (относ тельно д фференц рован я) подпространство в H(G) со спектром Λ(φ 1, φ 2 ), допускающее спектральный с нтез (т.е. E(Λ(φ 1, φ 2 )) полна в W ). Кроме того, W нетр в ально, т.е. с стема E(Λ(φ 1, φ 2 )) не полна в H(G). Действ тельно, по теореме 1 существует прав льно распределенное пополнен е Λ последовательност Λ(φ 1, φ 2 ) с угловой плотностью ω Λ(φ1,φ 2 ). Канон ческое про зве-, ден е f(z, Λ ) является целой функц ей экспоненц ального т па регулярного роста. Его нд каторная д аграмма пр надлеж т классу K(ω Λ(φ1,φ 2 )), а, сопряженная д аграмма является некоторым сдв - гом K α + b компакта K α. Остается замет ть, что сопряженная д аграмма функц e bz f(z, Λ ) совпадает с K α, который леж т в G. Так м образом, все услов я теоремы 12.1 з работы [14] выполнены. Тогда согласно ей верно вложен е W H(D) W, где W замыкан е в пространстве H(D) л нейной оболочк с стемы E(Λ(φ 1, φ 2 )). Пр мен м теперь к W D теорему 3 з работы [15] (кр тер й фундаментального пр н- ц па для нвар антных подпространств). В с лу (9) согласно теореме 2.9 з работы [8] существует прав льно распределенное множество Λ 1 Λ Z с угловой плотностью ω Λ 1(θ) = εθ π. Пр этом ν(λ) =. Из (16) следует, что нд катор (а вместе с н м опорная функц я нд каторной д а- граммы) канон ческого про зведен я f(z, Λ 1 ) ( меющего регулярный рост) тождественно равен 2ε. Рассмотр м функц ю f(z) = e bz f(z, Λ )f(z, Λ 1 ). Она является целой функц ей экспоненц ального т па меет регулярный рост (как про зведен е функц й регулярного роста). По теореме о сложен нд каторов меем ([6], гл. III, 5, теорема 5): h f (e iφ ) = H( φ, K α ) + 2ε = H( φ, D), φ [, ]. Так м образом, с учетом услов я данной теоремы выполнены все услов я утвержден е 3 теоремы 3 з работы [15]. Тогда согласно этой теореме верно ее утвержден е 2, т.е. каждая функц я з W представляется рядом по с стеме E(Λ(φ 1, φ 2 )), который сход тся равномерно на компактах в област D. В частност, для g Λ,d (z, Γ(φ 1, φ 2 )) W H(D) W меем: g Λ,d (z, Γ(φ 1, φ 2 )) = = c k,n z n exp (λ k z) λ k Γ(φ 1,φ 2 ),n=,n k 1, z D. (23) Поскольку с стема E(Λ(φ 1, φ 2 )) не полна в H(G), то она обладает б ортогональной с стемой Υ(Λ(φ 1, φ 2 ), G) H (G). Это означает, что представлен е по с стеме E(Λ(φ 1, φ 2 )) в област G

8 ISSN Вестн к Башк рского ун верс тета Т D 2 D является ед нственным. Друг м словам, коэфф ц енты разложен й з (21) (23) совпадают. Следовательно, представлен е (21) распространяется на область D 2 D. Тогда с учетом (2) получаем: g Λ,d (z) = d k,n z n exp (λ k z), z D 2 D D 1. k=1,n= В с лу (22) область D 2 D D 1 содерж т окрестность множества Β D. Это прот вореч т определен ю D. Так м образом, наше предположен е о том, что g Λ,d не меет особых точек внутр дуг γ, неверно. Теорема доказана. Пр ведем теперь результат, относящ йся к дуге класса два. Теорема 3. Пусть Λ = {λ k, n k }, m(λ) = σ(λ) =, d = {d k,n } такова, что D(Λ, d) = D γ = γ(z 1, z 2, D) L( φ, D) ( φ [ π,π) ), и δ (, π 2) (т.е. γ дуга класса два). Предположим, что Λ(φ δ, φ + δ) сбалансированная последовательность и z 2 z 1 > τ(ω Λ(φ δ,φ+δ), φ). То- гда функция g Λ,d имеет на интервале (z 1, z 2 ) хотя бы одну особую точку. Доказательство. Будем спользовать обозначен я з теоремы 2. Нетрудно замет ть, что вел - ч на τ(ω Λ(φ δ,φ+δ), φ) не зав с т от δ. Поэтому с учетом (14) можно сч тать, что z 2 z 1 > ω Λ(φ1,φ 2 )(φ + δ) ω Λ(φ1,φ 2 )(φ δ) μ Λ(φ1,φ 2 ), (24) где φ 1 = φ δ φ 2 = φ + δ. Как в теореме 2 функц я g d (z, Γ) является анал т ческой в област D 1 верно (2). Так как Ε(z, D) = {e iφ } для любого z (z 1, z 2 ), то з определен я област D 1 следует, что она содерж т D нтервал (z 1, z 2 ). Функц я g d (z, Γ(φ 1, φ 2 )) является анал т ческой в област D 2, гран ца которой содерж т отрезок [z 1, z 2 ]. Следовательно, полуполоса {z: Re ((z z 1 )e iψ ) <, ψ = π 2 φ, φ} {z: Re ((z z 2 )e i( π 2 φ) ) < } ш р ной z 2 z 1 леж т в D 2. Пусть K, K(ω Λ(φ1,φ 2 )) ς 1, ς 2 угловые точк множества K(φ 1, φ 2 ). Как показано пр его определен, опорные прямые l(π 2 φ, K), l( π 2 φ, K) содержат эт точк. Поэтому компакт K леж т в полосе {z: Re ((z ς 1 )e i(π 2 φ) ) } {z: Re ((z ς 2 )e i( π 2 φ) ) } ш р ной ς 2 ς 1 = ς 1 ς 2 ( ς 1, ς 2 комплексно сопряженные к ς 1, ς 2 ). Тогда з (15) (24) следует, что некоторый сдв г компакта K леж т в замыкан D 2 касается гран цы D 2 по замкнутому множеству Β (z 1, z 2 ). Дальнейш е рассужден я проводятся по схеме доказательства теоремы 2. Теорема доказана. ЛИТЕРАТУРА 1. Кр вошеева О. А. Особые точк суммы ряда экспоненц - альных мономов на гран це област сход мост // Алгебра анал з Т С Кр вошеева О. А., Кр вошеев А. С. Особые точк суммы ряда Д р хле на прямой сход мост. Функц. анал з его пр л Т.49, 2. С Лунц. Г. Л. О рядах т па Тейлора-Д р хле. Извест я АН Армянской ССР Т.12., 1. С Кр вошеева О. А. Область сход мост рядов экспоненц - альных мономов. Уф мск й математ ческ й журнал Т С Леонтьев А. Ф. Целые функц. Ряды экспонент. М.: Наука, Лев н Б. Я. Распределен е корней целых функц й. М.: Гостех здат А. А. Кондратюк. Целые функц с конечной макс мальной плотностью нулей I. Сб. «Теор я функц й, функц о- нальный анал з х пр ложен я». Харьков Вып.1. С Абдулнаг мов А. И., Кр вошеев А. С. Прав льно распределенные подмножества в комплексной плоскост. Алгебра анал з Т С Напалков. В. В. Уравнен я свертк в многомерных пространствах. М.: Наука, Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, Кр вошеев А. С. Фундаментальный пр нц п для нвар - антных подпространств в выпуклых областях// Извест я РАН. Сер я математ ческая. 24. Т С Кр вошеев А. С., Кр вошеева О. А. Баз с в нвар антном подпространстве целых функц й. Алгебра анал з Т С Кр вошеева О. А., Кр вошеев А. С., Абдулнаг мов А. И. Целые функц экспоненц ального т па. Ряды Д р хле. Монограф я. Уфа, РИЦ БашГУ, с. 14. Крас чков-терновск й И. Ф. Инвар антные подпространства анал т ческ х функц й. III. О распространен спектрального с нтеза. Матем. сб Т.88 (13), 3. С Кр вошеева О. А., Кр вошеев А. С. Кр тер й выполнен я фундаментального пр нц па для нвар антных подпространств в огран ченных выпуклых областях комплексной плоскост. Функц. анал з его пр л Т.46, 4. С Поступила в редакцию г.

9 924 МАТЕМАТИКА МЕХАНИКА DISTRIBUTION OF SINGULAR POINTS OF THE SUM OF SERIES OF EXPONENTIAL MONOMIALS ON THE BOUNDARY OF ITS CONVERGENCE DOMAIN O. A. Krivosheeva Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 4576 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia. Phone: +7 (347) The author of the article considers multiple complex sequences Λ = {λ k, n k } k=1, where a natural number n k is the multiplicity of points (complex numbers) λ k, and the series of exponential monomials d k,n z n e λ kz constructed by these sequences. The problem of distribution of the singular points of the series on the boundary of its convergence domain D = D(Λ, d) is studied. Various numerical characteristics of the sequence Λ that reflects the geometry of its distribution on the plane are discussed. By analogy with the known function of angular density ω Λ, the function ω Λ is introduced, which is built using the concepts of maximum density of a sequence Λ in the angles with vertices at the origin. The sequence Λ for which the function ω Λ is finite is called regular. In this paper, the necessary and sufficient conditions for sequence Λ to be regular are obtained. It is proved that Λ is the regular sequence then and only then, when it is a part of (including multiplicities n k ) a properly distributed sequence with angular density ω Λ ω Λ. The author also uses a known characteristic S Λ of a sequence Λ (the A. S. Krivosheev s index of condensation), which is similar in meaning with the Bernstein s index of condensation. This characteristic is responsible for the local distribution of points of a sequence Λ defining their separateness from one another (in the case, where S Λ = ). A sequence Λ is called balanced, if it is regular and S Λ =. In this paper, the author considers the case, when D is a convex domain. On the boundary of the domain, special arcs of the classes one and two were allocated. Any arc of the boundary of a convex domain splits into no more than four arcs of the specified classes. For the balanced sequence Λ, sufficient conditions were obtained for the existence of singular points of the series of exponential monomials on a fixed arc (class one or two) of a boundary of the domain D = D(Λ, d). These conditions are formulated in terms of interrelation between simple geometric characteristics of the sequence Λ (the function ω Λ ) and domain D (a function of arc length ω D ). Keywords: angular density, maximal density, regular sequence, series of exponential monomials. Published in Russian. Do not hesitate to contact us at if you need translation of the article. REFERENCES 1. Krivosheeva O. A. Algebra i analiz Vol. 23. No. 2. Pp Krivosheeva O. A., Krivosheev A. S. Funkts. analiz i ego pril Vol. 49, No. 2. Pp Lunts. G. L. O ryadakh tipa Teilora-Dirikhle. Izvestiya AN Armyanskoi SSR Vol. 12., No. 1. Pp Krivosheeva O. A. Ufimskii matematicheskii zhurnal Vol. 3. No. 2. Pp Leont'ev A. F. Tselye funktsii. Ryady eksponent [Integer functions. Exponential series]. Moscow: Nauka, Levin B. Ya. Raspredelenie kornei tselykh funktsii [Distribution of roots of integer functions]. Moscow: Gostekhizdat Kondratyuk. A. A. Teoriya funktsii, funktsional'nyi analiz i ikh prilozheniya. Khar'kov No. 1. Pp Abdulnagimov A. I., Krivosheev A. S. Pravil'no raspredelennye podmnozhestva v kompleksnoi ploskosti. Algebra i analiz Vol. 28. No. 4. Pp Napalkov. V. V. Uravneniya svertki v mnogomernykh prostranstvakh [Convolution equations in multidimensional spaces]. Moscow: Nauka, Leont'ev A. F. Ryady eksponent [Exponential series]. Moscow: Nauka, Krivosheev A. S. Izvestiya RAN. Seriya matematicheskaya. 24. Vol. 68. No. 2. Pp Krivosheev A. S., Krivosheeva O. A. Bazis v invariantnom podprostranstve tselykh funktsii. Algebra i analiz Vol. 27. No. 2. Pp Krivosheeva O. A., Krivosheev A. S., Abdulnagimov A. I. Tselye funktsii eksponentsial'nogo tipa. Ryady Dirikhle. Monografiya [Integer functions of exponential type. Dirichlet series. Monograph]. Ufa, RITs BashGU, Krasichkov-Ternovskii I. F. Matem. sb Vol. 88 (13), No. 3. Pp Krivosheeva O. A., Krivosheev A. S. Funkts. analiz i ego pril Vol. 46, No. 4. Pp Received


Построение специальных целых функций экспоненциального типа

Построение специальных целых функций экспоненциального типа Доклады Башкирского университета. 2016. Том 1. 1 27 Построение специальных целых функций экспоненциального типа О. А. Кривошеева Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан,

Подробнее

10 МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА. УДК СМЕЩЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ А. Ф. Кужаев*, А. И. Рафиков, О. А. Кривошеева , Λ = 1.

10 МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА. УДК СМЕЩЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ А. Ф. Кужаев*, А. И. Рафиков, О. А. Кривошеева , Λ = 1. 0 МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА УДК 5752 СМЕЩЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ А Ф Кужаев*, А И Рафиков, О А Кривошеева Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076

Подробнее

ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. 4 (2013). С. 84-90. УДК 517.5 ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ О.А. КРИВОШЕЕВА Аннотация. В работе изучаются вопросы сходимости

Подробнее

ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МОНОМОВ

ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МОНОМОВ ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. 2 (2011). С. 43-56. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МОНОМОВ О.А. КРИВОШЕЕВА УДК 517.5 Аннотация. В работе изучаются вопросы сходимости рядов

Подробнее

ЗАМКНУТОСТЬ МНОЖЕСТВА СУММ РЯДОВ ДИРИХЛЕ.

ЗАМКНУТОСТЬ МНОЖЕСТВА СУММ РЯДОВ ДИРИХЛЕ. ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 5. 3 (2013). С. 96-120. УДК 517.5 ЗАМКНУТОСТЬ МНОЖЕСТВА СУММ РЯДОВ ДИРИХЛЕ. А.С. КРИВОШЕЕВ, О.А. КРИВОШЕЕВА Аннотация. В работе рассматриваются ряды Дирихле.

Подробнее

ТОЧНОСТЬ ОЦЕНОК ДЛЯ K-ПОРЯДКА РЯДА ДИРИХЛЕ В ПОЛУПОЛОСЕ

ТОЧНОСТЬ ОЦЕНОК ДЛЯ K-ПОРЯДКА РЯДА ДИРИХЛЕ В ПОЛУПОЛОСЕ ISSN 274-863 Уфимский математический журнал. Том 7. 4 (25). С. 5-24. УДК 57.53 ТОЧНОСТЬ ОЦЕНОК ДЛЯ K-ПОРЯДКА РЯДА ДИРИХЛЕ В ПОЛУПОЛОСЕ Н.Н. АИТКУЖИНА, А.М. ГАЙСИН Посвящается памяти профессора Игоря Федоровича

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал О. А. Кривошеева, Базис в инвариантном подпространстве аналитических функций, Уфимск. матем. журн., 2018, том 10, выпуск 2, 57 75 Использование Общероссийского

Подробнее

СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ Siberian Electronic Mathematical Reports

СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ Siberian Electronic Mathematical Reports S e MR ISSN 83-334 СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ Siberian Electronic Mathematical Reorts htt://semr.math.nsc.ru Том 5, стр. 284 29 28 УДК 57.925 DOI.7377/semi.28.5.4 MSC 34A9 О ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЯХ

Подробнее

А.Н. БАХВАЛОВ О ЛОКАЛИЗАЦИИ СРЕДНИХ ЧЕЗАРО РЯДОВ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ Λ-ВАРИАЦИИ

А.Н. БАХВАЛОВ О ЛОКАЛИЗАЦИИ СРЕДНИХ ЧЕЗАРО РЯДОВ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ Λ-ВАРИАЦИИ Известия вузов Математика http://wwwksuru/journals/izv_vuz/ 0, 8, c 9 3 Гос номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 04003 \0078 АН БАХВАЛОВ О ЛОКАЛИЗАЦИИ СРЕДНИХ ЧЕЗАРО РЯДОВ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ Λ-ВАРИАЦИИ

Подробнее

1. Основные сведения ТЕОРЕМА УСРЕДНЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОГРАНИЧЕННЫХ СКОРОСТЕЙ ДЛЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1 УДК c 2013 О.П.

1. Основные сведения ТЕОРЕМА УСРЕДНЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОГРАНИЧЕННЫХ СКОРОСТЕЙ ДЛЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1 УДК c 2013 О.П. УДК 517.928.1 Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 2013. 3(104) 53 ТЕОРЕМА УСРЕДНЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОГРАНИЧЕННЫХ СКОРОСТЕЙ ДЛЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1 c 2013 О.П. Филатов 2 Доказано, что предел

Подробнее

Субгаромонические версии теоремы Валирона о целых функциях

Субгаромонические версии теоремы Валирона о целых функциях Доклады Башкирского университета. 2016. Том 1. 1 22 Субгаромонические версии теоремы Валирона о целых функциях Б. Н. Хабибуллин*, Ф. Б. Хабибуллин Башкирский государственный университет Россия, Республика

Подробнее

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения С А Бутерин обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения МАТЕМАТИКА УДК 517984 ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ВОЛЬТЕРРОВА ОПЕРАТОРА

Подробнее

К ВОПРОСУ О γ ДОСТАТОЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ В. Б. Шерстюков

К ВОПРОСУ О γ ДОСТАТОЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ В. Б. Шерстюков Сибирский математический журнал Июль август, 2000. Том 41, 4 УДК 517.5 К ВОПРОСУ О γ ДОСТАТОЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ В. Б. Шерстюков Аннотация: В индуктивных пределах весовых банаховых пространств функций исследуются

Подробнее

4 Ряды аналитических функций

4 Ряды аналитических функций 4 Ряды аналитических функций 4. Функциональные последовательности Пусть Ω C и f n : Ω C. Последовательность функций {f n } сходится поточечно к функции f : Ω C, если для каждого z Ω lim n f n(z) = f(z).

Подробнее

В УСТОЙЧИВОСТЬ МАКСИМАЛЬНОГО ЧЛЕНА АДАМАРОВСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ДВУХ РЯДОВ ДИРИХЛЕ А. М. Гайсин, Т. И. Белоус

В УСТОЙЧИВОСТЬ МАКСИМАЛЬНОГО ЧЛЕНА АДАМАРОВСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ДВУХ РЯДОВ ДИРИХЛЕ А. М. Гайсин, Т. И. Белоус Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2002. Том 43, 6 УДК 57.53 В УСТОЙЧИВОСТЬ МАКСИМАЛЬНОГО ЧЛЕНА АДАМАРОВСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ДВУХ РЯДОВ ДИРИХЛЕ А. М. Гайсин, Т. И. Белоус Аннотация: Найден критерий

Подробнее

Ряды аналитических функций

Ряды аналитических функций Лекция 6 Ряды аналитических функций 6.1 Функциональные последовательности Пусть D C и f n : D C. Последовательность функций {f n } сходится поточечно (converges pointwise) к функции f : D C если для каждого

Подробнее

Лекция Аналитические функции и их свойства 1 Напоминание

Лекция Аналитические функции и их свойства 1 Напоминание Лекция 3-18. Аналитические функции и их свойства 1 Напоминание Определение 1 Радиусом сходимости степенного ряда an z n (1) называется такое R, что вне круга радиуса R с центром в нуле ряд расходится,

Подробнее

ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ ОДНОЛИСТНЫХ В УГЛОВОЙ ОБЛАСТИ МНОГОЧЛЕНОВ Э. Г. Кирьяцкий

ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ ОДНОЛИСТНЫХ В УГЛОВОЙ ОБЛАСТИ МНОГОЧЛЕНОВ Э. Г. Кирьяцкий Сибирский математический журнал Май июнь, 2009. Том 50, 3 УДК 517.546 ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ ОДНОЛИСТНЫХ В УГЛОВОЙ ОБЛАСТИ МНОГОЧЛЕНОВ Э. Г. Кирьяцкий Аннотация. Изучаются свойства симметрических многочленов

Подробнее

ТЕОРЕМА КОШИ АДАМАРА ДЛЯ РЯДОВ ЭКСПОНЕНТ

ТЕОРЕМА КОШИ АДАМАРА ДЛЯ РЯДОВ ЭКСПОНЕНТ ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 6. 1 (2014). С. 75-83. УДК 517.5 ТЕОРЕМА КОШИ АДАМАРА ДЛЯ РЯДОВ ЭКСПОНЕНТ С.Г. МЕРЗЛЯКОВ Аннотация. В данной статье изучается связь роста коэффициентов

Подробнее

1. Постановка задачи ПРЕДЕЛЫ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ И НЕАВТОНОМНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ УДК О.П. Филатов 1

1. Постановка задачи ПРЕДЕЛЫ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ И НЕАВТОНОМНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ УДК О.П. Филатов 1 Вестник СамГУ. 215. 1(132) 47 УДК 519.63 О.П. Филатов 1 ПРЕДЕЛЫ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ И НЕАВТОНОМНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ Доказана теорема существования предела максимального среднего для почти периодической

Подробнее

Решение задачи Дирихле для вырождающегося В-эллиптического уравнения 2-го рода с параметром методом потенциалов

Решение задачи Дирихле для вырождающегося В-эллиптического уравнения 2-го рода с параметром методом потенциалов УДК 517.946 Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 13. Вып. 1. С. 43 55 Математика Решение задачи Дирихле для вырождающегося В-эллиптического уравнения -го рода с параметром

Подробнее

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РОСТ НА КРИВЫХ РЯДА ДИРИХЛЕ С ПРАВИЛЬНОЙ МАЖОРАНТОЙ НА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТОЧЕК Н. Н. Аиткужина

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РОСТ НА КРИВЫХ РЯДА ДИРИХЛЕ С ПРАВИЛЬНОЙ МАЖОРАНТОЙ НА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТОЧЕК Н. Н. Аиткужина Сибирский математический журнал Март апрель, 202. Том 53, 2 УДК 57.53+57.537.7 АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РОСТ НА КРИВЫХ РЯДА ДИРИХЛЕ С ПРАВИЛЬНОЙ МАЖОРАНТОЙ НА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТОЧЕК Н. Н. Аиткужина Аннотация.

Подробнее

УСЛОВИЯ ПРАВИЛЬНОСТИ КВАЗИНОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ. И.В. Шрагин. 1. Введение. 2. Предварительные сведения

УСЛОВИЯ ПРАВИЛЬНОСТИ КВАЗИНОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ. И.В. Шрагин. 1. Введение. 2. Предварительные сведения УДК 517.51 УСЛОВИЯ ПРАВИЛЬНОСТИ КВАЗИНОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ c И.В. Шрагин Ключевые слова: ограниченное множество; квазинорма; правильное пространство; генфункция; пространство Муселяка Орлича. Рассматриваются

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. А. Могульский, Об одном свойстве преобразования Лежандра, Матем. тр., 2017, том 20, номер 1, 145 157 DOI: https://doi.org/10.17377/mattrudy.2017.20.109

Подробнее

ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ

ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ МАТЕМАТИКА doi: https://doi.org/.547/dopovidi27.3.3 УДК 57.58 В.Н. Левчук Полтавский национальный технический университет им. Юрия Кондратюка О безусловных базисах

Подробнее

О МЕТОДЕ ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СТОКСА Св.А. Гриценко, И.В. Некрасова. 1.

О МЕТОДЕ ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СТОКСА Св.А. Гриценко, И.В. Некрасова. 1. 9 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия Математика. Физика. 00. 7(88). Выпуск 0 УДК 57.958:53.7, 57.958:539.3(4) О МЕТОДЕ ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СТОКСА Св.А. Гриценко,

Подробнее

T : (0, ) End X. Ker T (t) и Im T = t>0. T (t)x x t T (t)x x t

T : (0, ) End X. Ker T (t) и Im T = t>0. T (t)x x t T (t)x x t Владикавказский математический журнал 23, Том 5, Выпуск 4, С. 82 9 УДК 57.9 О ПОЛУГРУППЕ ОПЕРАТОРОВ СИЛЬЧЕНКО А. Г. Чшиев Исследуется класс полугрупп операторов с суммируемой особенностью в нуле и неплотным

Подробнее

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 16 Выпуск 1 (2015)

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 16 Выпуск 1 (2015) ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 16 Выпуск 1 (015) УДК 511.54 ОБОБЩЁННАЯ ТЕРНАРНАЯ ПРОБЛЕМА ЭСТЕРМАНА ДЛЯ НЕЦЕЛЫХ СТЕПЕНЕЙ С ПОЧТИ РАВНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ П. З. Рахмонов (г. Москва) Аннотация Доказана асимптотическая

Подробнее

СИНГУЛЯРНЫЕ МЕРЫ И (1, p) ЕМКОСТЬ В ВЕСОВЫХ КЛАССАХ СОБОЛЕВА А. С. Романов

СИНГУЛЯРНЫЕ МЕРЫ И (1, p) ЕМКОСТЬ В ВЕСОВЫХ КЛАССАХ СОБОЛЕВА А. С. Романов Сибирский математический журнал Март апрель, 2003. Том 44, 2 УДК 57.58. СИНГУЛЯРНЫЕ МЕРЫ И (, p ЕМКОСТЬ В ВЕСОВЫХ КЛАССАХ СОБОЛЕВА А. С. Романов Аннотация: Изучаются условия, при которых вклад сингулярной

Подробнее

О ПОРОЖДАЮЩИХ В ИДЕАЛАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА И ТИПА В ПЛОСКОСТИ А. С. Кривошеев, С. Н. Ганцев

О ПОРОЖДАЮЩИХ В ИДЕАЛАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА И ТИПА В ПЛОСКОСТИ А. С. Кривошеев, С. Н. Ганцев Сибирский математический журнал Сентябрь октябрь, 2002. Том 43, 5 УДК 517.5 О ПОРОЖДАЮЩИХ В ИДЕАЛАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА И ТИПА В ПЛОСКОСТИ А. С. Кривошеев, С. Н. Ганцев Аннотация: Изучаются

Подробнее

К обратной задаче спектрального анализа для одного класса дискретных операторов в гильбертовом пространстве

К обратной задаче спектрального анализа для одного класса дискретных операторов в гильбертовом пространстве Математика и её пpиложения: ЖИМО. 20. Вып. (8). С. 29 38. УДК 57.946 Н. Г. Томин К обратной задаче спектрального анализа для одного класса дискретных операторов в гильбертовом пространстве Ключевые слова:

Подробнее

Семинар 1. C*-алгебры.

Семинар 1. C*-алгебры. Семинар 1. C*-алгебры. C*-алгебры. Примеры и простейшие свойства Определение 1. Банаховой алгеброй (над полем C) называется банахово пространство над C, являющееся также ассоциативной алгеброй над C, в

Подробнее

2. Метрические пространства

2. Метрические пространства 2 2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых

Подробнее

Лекция 8. Банаховы пространства. Дальнейшее развитие теории.

Лекция 8. Банаховы пространства. Дальнейшее развитие теории. Лекция 8. Банаховы пространства. Дальнейшее развитие теории. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 1 ноября 2012 г. Открытые отображения.

Подробнее

Дискретная версия метода Абеля суммируемости рядов и его приложения.

Дискретная версия метода Абеля суммируемости рядов и его приложения. МАТЕМАТИКА УДК 517.53 А. Н. Айрапетян Дискретная версия метода Абеля суммируемости рядов и его приложения. (Представлено академиком В. С. Захаряном 16/I 2006) Ключевые слова: суммируемость по Абелю, гипорболическая

Подробнее

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора.

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Лекция 4 Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве L Число называется собственным значением оператора,

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R 2 1. Необходимость расширения понятия интеграла Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) задана на собственном отрезке [a, b]. Определим

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Е. С. Белкина, Гармонический анализ Данкля и некоторые задачи теории приближений функций. II, Труды ПГУ. Математика, 2006, выпуск 13, 26 37 Использование

Подробнее

Критерий эргодичности для марковских цепей, описывающих эволюцию случайных слов

Критерий эргодичности для марковских цепей, описывающих эволюцию случайных слов УДК 519.217.2 Критерий эргодичности для марковских цепей, описывающих эволюцию случайных слов А. А. Замятин, О. В. Машников Кафедра теории вероятностей, Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова,

Подробнее

СИНГУЛЯРНЫЕ МЕРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. В.А.Романов

СИНГУЛЯРНЫЕ МЕРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. В.А.Романов УДК 519.53 + 517.987 СИНГУЛЯРНЫЕ МЕРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ В.А.Романов Введені поняття сингулярностей к-вимірних класів, що дозволило узагальнити відомий результат про розкладання міри в просторі

Подробнее

О спектральной асимптотике несамосопряженного оператора Штурма Лиувилля с медленно растущим потенциалом

О спектральной асимптотике несамосопряженного оператора Штурма Лиувилля с медленно растущим потенциалом Доклады Башкирского университета. 2016. Том 1. 2 259 О спектральной асимптотике несамосопряженного оператора Штурма Лиувилля с медленно растущим потенциалом Л. Г. Валиуллина, Х. К. Ишкин* Башкирский государственный

Подробнее

Вестник СамГУ Естественнонаучная серия (83) 75 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. c 2011 О.П.

Вестник СамГУ Естественнонаучная серия (83) 75 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. c 2011 О.П. УДК 57.928. Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 20. 2(83) 75 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ c 20 О.П. Филатов Для периодической функции, зависящей от времени и основных

Подробнее

Лекция 2. Теорема Колмогорова о существовании непрерывной модификации

Лекция 2. Теорема Колмогорова о существовании непрерывной модификации Лекция Теорема Колмогорова о существовании непрерывной модификации До сих пор мы ничего не говорили о свойствах траекторий случайного процесса как функций времени Из физических соображений можно, например,

Подробнее

Основные определения, формулы и теоремы

Основные определения, формулы и теоремы Основные определения, формулы и теоремы Ряды 1. Супремум и инфинум. Наименьшее число, ограничивающее сверху некоторое множество чисел называется точной верхней гранью или супремумом этого множества. Двойственным

Подробнее

СХОДИМОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ КАЛИБРОВОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ОТ ЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН К MAX-УСТОЙЧИВЫМ ЗАКОНАМ

СХОДИМОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ КАЛИБРОВОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ОТ ЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН К MAX-УСТОЙЧИВЫМ ЗАКОНАМ Математические структуры и моделирование 2018. 4(48). С. 5 13 УДК 519.214 DOI: 10.25513/2222-8772.2018.4.5-13 СХОДИМОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ КАЛИБРОВОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ОТ ЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН К MAX-УСТОЙЧИВЫМ ЗАКОНАМ

Подробнее

Комплексные поверхности,

Комплексные поверхности, Комплексные поверхности, лекция 10: теорема Хана-Банаха и потоки на многообразиях НМУ/матфак ВШЭ, Москва 16 апреля 2012 1 Пространства Фреше (повторение) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Локально выпуклое топологическое векторное

Подробнее

Лекция 9. Банаховы пространства. Транспонированный оператор и плотные вложения банаховых пространств.

Лекция 9. Банаховы пространства. Транспонированный оператор и плотные вложения банаховых пространств. Лекция 9. Банаховы пространства. Транспонированный оператор и плотные вложения банаховых пространств. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу

Подробнее

1 Линейные ограниченные операторы и функционалы в нормированных пространствах. Тема 1 Линейные ограниченные функционалы

1 Линейные ограниченные операторы и функционалы в нормированных пространствах. Тема 1 Линейные ограниченные функционалы Содержание Введение Линейные ограниченные операторы и функционалы в нормированных пространствах 5 Тема Линейные ограниченные функционалы 5 Тема Спектр линейного непрерывного оператора 6 Тема Компактные

Подробнее

Математический анализ 1-й семестр 1-го курса НМУ учебного года. М. Э. Казарян Программа

Математический анализ 1-й семестр 1-го курса НМУ учебного года. М. Э. Казарян Программа Математический анализ -й семестр -го курса НМУ 205-206 учебного года. М. Э. Казарян Программа. Рациональные и вещественные числа. Рациональное число как класс эквивалентности пар целых чисел. Рациональное

Подробнее

Об обратной задаче Штурма - Лиувилля на конечном интервале

Об обратной задаче Штурма - Лиувилля на конечном интервале МАТЕМАТИКА УДК 57.9 В. А. Яврян Об обратной задаче Штурма - Лиувилля на конечном интервале (Представлено академиком H. У. Apакeляном 25/II 25). В пространстве L 2 (,) рассмотрим краевую задачу где q L

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

О ВЛИЯНИИ АРГУМЕНТОВ КОЭФФИЦИЕНТОВ СТЕПЕННОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ НА РОСТ ЕЕ МАКСИМУМА МОДУЛЯ П. В. Филевич

О ВЛИЯНИИ АРГУМЕНТОВ КОЭФФИЦИЕНТОВ СТЕПЕННОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ НА РОСТ ЕЕ МАКСИМУМА МОДУЛЯ П. В. Филевич Сибирский математический журнал Май июнь, 003. Том 44, 3 УДК 517.53 О ВЛИЯНИИ АРГУМЕНТОВ КОЭФФИЦИЕНТОВ СТЕПЕННОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ НА РОСТ ЕЕ МАКСИМУМА МОДУЛЯ П. В. Филевич Аннотация: Исследован

Подробнее

УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ

УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ 84 Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 23. Специальный выпуск. УДК 517.928 УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ c 23 О.П. Филатов 1 Приводятся условия, которые позволяют приближенно

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭКСПОНЕНТЫ ПО МЕРЕ РАДОНА

ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭКСПОНЕНТЫ ПО МЕРЕ РАДОНА ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. 2 (2011). С. 57-80. УДК 517.442 ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭКСПОНЕНТЫ ПО МЕРЕ РАДОНА С.Г. МЕРЗЛЯКОВ Аннотация. В данной статье изучаются свойства множеств сходимости

Подробнее

Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 16, 2009

Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 16, 2009 Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 16, 2009 УДК 515.12 Е. В. Кашуба К ВОПРОСУ О НАСЛЕДСТВЕННОЙ НОРМАЛЬНОСТИ ПРОСТРАНСТВ ВИДА F(X) В работе [1] в предположении континуум-гипотезы

Подробнее

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Дальневосточный математический журнал. 214. Том 14. 2. C. 231 241 УДК 517.95 MSC21 35J5 c A. A. Илларионов, Л. В. Илларионова 1 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Представлены

Подробнее

ОБОБЩЕННЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Чан Куанг Выонг

ОБОБЩЕННЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Чан Куанг Выонг 24 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2012. 11(130). Вып. 27 УДК 517.9 ОБОБЩЕННЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Чан Куанг Выонг Белгородский государственный университет, ул. Победы 85, Белгород, 308015, Россия,

Подробнее

Теорема Жордана. Несколько лекций из спецкурса проф. Парамонова П.В., мехмат МГУ, осень 2012 г.

Теорема Жордана. Несколько лекций из спецкурса проф. Парамонова П.В., мехмат МГУ, осень 2012 г. Теорема Жордана Несколько лекций из спецкурса проф. Парамонова П.В., мехмат МГУ, осень 2012 г. Следующий фундаментальный топологический факт известен в анализе как теорема о замкнутой жордановой кривой

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА. 1. Введение

Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА. 1. Введение Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА В этой лекции мы рассмотрим такие фундаментальные понятия современного нелинейного функционального анализа, как сильная, слабая и слабая

Подробнее

Признаки устойчивости бифуркационных периодических решений систем с периодическими коэффициентами

Признаки устойчивости бифуркационных периодических решений систем с периодическими коэффициентами Доклады Башкирского университета. 2019. Том 4. 1 24 Признаки устойчивости бифуркационных периодических решений систем с периодическими коэффициентами М. Г. Юмагулов 1, С. А. Муртазина 2 * 1 Башкирский

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 200. 52. С.229 236 Математический анализ УДК 57.58 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОБОБЩЕНИЯ ФУНКЦИИ ТИПА МИТТАГ ЛЕФФЛЕРА НА

Подробнее

Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 4, 1997

Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 4, 1997 Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 4, 1997 УДК 517.54 Я. Годуля, В. В. Cтарков ЛИНЕЙНО-ИНВАРИАНТНЫЕ СЕМЕЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ЛОКАЛЬНО КВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Подробнее

Вестник СамГУ Естественнонаучная серия /1(59). 65 МАТЕМАТИКА КРИТЕРИЙ РАВНОСТЕПЕННОЙ АБСОЛЮТНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ДВУХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ МЕР 1

Вестник СамГУ Естественнонаучная серия /1(59). 65 МАТЕМАТИКА КРИТЕРИЙ РАВНОСТЕПЕННОЙ АБСОЛЮТНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ДВУХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ МЕР 1 Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 2007. 9/1(59). 65 МАТЕМАТИКА УДК 517.518.1, 517.987.1 КРИТЕРИЙ РАВНОСТЕПЕННОЙ АБСОЛЮТНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ДВУХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ МЕР 1 2007 В.А. Алякин, Д.Э. Клепнев

Подробнее

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО- ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Доказательство теоремы Канторовича (теорема 9.1).

Доказательство теоремы Канторовича (теорема 9.1). Тема 11 Доказательство теоремы Канторовича теорема 9.1). Мы разобьем доказательство теоремы 9.1 на несколько шагов. Напомним, что мы уже доказали неравенство см. лемму 9.3. sup Jφ, ψ) inf Kπ), Φ c C b

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Теорема Радона Никодима. 1. Заряды

ЛЕКЦИЯ 4А Теорема Радона Никодима. 1. Заряды ЛЕКЦИЯ 4А Теорема Радона Никодима Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)), где p, q >

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

Лекция 1. Слабая, * слабая и сильная сходимости.

Лекция 1. Слабая, * слабая и сильная сходимости. Лекция 1. Слабая, * слабая и сильная сходимости. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Определения Итак, напомним, что действие линейного функционала

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр 1, часть I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр 1, часть I МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр, часть I Аксиоматический подход к описанию множества действительных чисел.. Сформулировать группу аксиом сложения.

Подробнее

НЕПРЕРЫВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ МЕРЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ИНДУКТИВНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ В.А. Романов

НЕПРЕРЫВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ МЕРЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ИНДУКТИВНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ В.А. Романов УДК 519.53 + 517.987 НЕПРЕРЫВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ МЕРЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ИНДУКТИВНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ В.А. Романов Досліджено структуру неперервних компонентів векторної міри в сепарабельному просторі Фреше відносно

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 24 24.1. Локально выпуклые пространства В процессе изучения функционального анализа вы, вероятно, заметили, что не все естественно возникающие векторные пространства

Подробнее

Известия НАН Армении, Математика, том 52, н. 2, 2017, стр О РЕГУЛЯРНЫХ КАСАТЕЛЬНЫХ КОНУСАХ

Известия НАН Армении, Математика, том 52, н. 2, 2017, стр О РЕГУЛЯРНЫХ КАСАТЕЛЬНЫХ КОНУСАХ Известия НАН Армении, Математика, том 52, н. 2, 2017, стр. 65-77. О РЕГУЛЯРНЫХ КАСАТЕЛЬНЫХ КОНУСАХ Р. А. ХАЧАТРЯН Ереванский государственный университет E-mail: khachatryan.rafik@gmail.com Аннотация. B

Подробнее

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПАВЛОВА-КОРЕВАРА-ДИКСОНА С МАЖОРАНТОЙ ИЗ КЛАССА СХОДИМОСТИ

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПАВЛОВА-КОРЕВАРА-ДИКСОНА С МАЖОРАНТОЙ ИЗ КЛАССА СХОДИМОСТИ ISSN 74-87 Уфимский математический журнал. Том 9. 4 (7). С. -35. УДК 57.53 ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПАВЛОВА-КОРЕВАРА-ДИКСОНА С МАЖОРАНТОЙ ИЗ КЛАССА СХОДИМОСТИ Р.А. ГАЙСИН Посвящается столетию со дня рождения

Подробнее

Лекция 8 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Открытые отображения

Лекция 8 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Открытые отображения Лекция 8 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ПРОДОЛЖЕНИЕ 1. Открытые отображения Пусть (B 1, 1 ) и (B 2, 2 ) банаховы пространства. Определение 1. Отображение T : B 1 B 2 называется открытым, если образ всякого открытого

Подробнее

Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 16, 2009

Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 16, 2009 Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 16, 2009 УДК 517.518 Е. С. Белкина АНАЛОГИ НЕРАВЕНСТВ НИКОЛЬСКОГО СТЕЧКИНА И БОАСА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ДАНКЛЯ На основе гармонического

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9А Банаховы пространства 2. Некоторые следствия из теорем Хана Банаха и Банаха Штейнгауза. 1. Следствие из теоремы Банаха Штейнгауза

ЛЕКЦИЯ 9А Банаховы пространства 2. Некоторые следствия из теорем Хана Банаха и Банаха Штейнгауза. 1. Следствие из теоремы Банаха Штейнгауза ЛЕКЦИЯ 9А Банаховы пространства 2. Некоторые следствия из теорем Хана Банаха и Банаха Штейнгауза 1. Следствие из теоремы Банаха Штейнгауза В лекции была доказана теорема о поточечном пределе ограниченных

Подробнее

Лекция 7. Банаховы пространства

Лекция 7. Банаховы пространства Лекция 7. Банаховы пространства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 17 декабря 2012 г. Определение. Определение 1. Банаховым пространством

Подробнее

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций.

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 27 марта 2012 г. Обозначения Символом α будем

Подробнее

Наилучшее восстановление лапласиана функции иточныенеравенства

Наилучшее восстановление лапласиана функции иточныенеравенства Наилучшее восстановление лапласиана функции иточныенеравенства Е. О. СИВКОВА Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики e-mail: sivkova_elena@inbox.ru УДК

Подробнее

ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ В ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ КОШИ-РИМАНА

ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ В ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ КОШИ-РИМАНА ISSN 274-863 Уфимский математический журнал Том 2 (2) С -8 УДК 575 ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ В ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ КОШИ-РИМАНА АЮ ТИМОФЕЕВ Аннотация Изучаются весовые пространства функций, возникающие

Подробнее

РЕШЕТКИ МНОЖЕСТВ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР ЗАМЫКАНИЯ 1. Горбунов И.А. Тверской государственный университет, г. Тверь

РЕШЕТКИ МНОЖЕСТВ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР ЗАМЫКАНИЯ 1. Горбунов И.А. Тверской государственный университет, г. Тверь УДК 512.5, 510.3 РЕШЕТКИ МНОЖЕСТВ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР ЗАМЫКАНИЯ 1 Горбунов И.А. Тверской государственный университет, г. Тверь Поступила в редакцию 29.06.2017, после переработки 12.09.2017. Как известно,

Подробнее

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ А. Р. ДАНИЛИН, О. О. КОВРИЖНЫХ О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ Рассматривается задача о быстродействии для одной линейной системы с быстрыми и медленными

Подробнее

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры Лекция 0 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ В этой лекции мы изучим банаховы алгебры и рассмотрим спектральную теорию операторов, действующих в банаховом пространстве, которое в данной лекции всюду

Подробнее

Схема исследования устойчивости субгармонических колебаний систем с периодическими коэффициентами в случае сильного резонанса

Схема исследования устойчивости субгармонических колебаний систем с периодическими коэффициентами в случае сильного резонанса Доклады Башкирского университета. 2019. Том 4. 1 6 Схема исследования устойчивости субгармонических колебаний систем с периодическими коэффициентами в случае сильного резонанса М. Г. Юмагулов 1, С. А.

Подробнее

1. Определение триангуляции Делоне

1. Определение триангуляции Делоне УДК 514.174 Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 2010. 4(78). 51 ТРИАНГУЛЯЦИЯ ДЕЛОНЕ МНОГОМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ c 2010 В.А. Клячин, А.А. Широкий 1 В статье вводится понятие триангуляции Делоне для поверхностей

Подробнее

ИНДИКАТОР ДЕЛЬТА-СУБГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В ПОЛУПЛОСКОСТИ

ИНДИКАТОР ДЕЛЬТА-СУБГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В ПОЛУПЛОСКОСТИ ISSN 274-863 Уфимский математический журнал. Том 3. 4 (2). С. 86-94. УДК 57.9 ИНДИКАТОР ДЕЛЬТА-СУБГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В ПОЛУПЛОСКОСТИ К.Г. МАЛЮТИН, Н. САДЫК Аннотация. Дельта-субгармонические функции

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)) *, где

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел множество целых чисел N = {0, 1, 2, 3,..., }, Z = {0, ±1, ±2, ±3,..., } множество рациональных чисел { m }

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РОСТА МЕРОМОРФНЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ А. З. Мохонько, В. Д. Мохонько

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РОСТА МЕРОМОРФНЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ А. З. Мохонько, В. Д. Мохонько Сибирский математический журнал Январь февраль, 2000. Том 41, 1 УДК 517.925.7 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РОСТА МЕРОМОРФНЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ А. З. Мохонько, В. Д. Мохонько

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА n-го ПОРЯДКА С НЕРЕГУЛЯРНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА n-го ПОРЯДКА С НЕРЕГУЛЯРНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ Известия Саратовского университета. 27. Т.7. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2 где gx = f 1 2 + x, x [, 2] 1, Sr f,x частичная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора A для тех характеристичеких

Подробнее

Двойственность по Канторовичу и теорема существования

Двойственность по Канторовичу и теорема существования Тема 9 Двойственность по Канторовичу и теорема существования Двойственность по Канторовичу это далеко идущее обобщение теорем о двойственности из линейного программирования. 9.1 Формулировка теоремы и

Подробнее