УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ"

Транскрипт

1 УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ В. Н. Малозёмов 16 октября 010 г. На современном уровне излагается теория условий оптимальности второго порядка в нелинейном программировании (ср. с [1], с. 4 5). Данный доклад примыкает к докладу [], посвящённому условиям оптимальности первого порядка. 1. Рассмотрим задачу нелинейного программирования f(x) inf, a i (x) 0, i M 1 ; a i (x) = 0, i M ; x U, (1) где U R N открытое множество и f, a i при i M 1 M дважды непрерывно дифференцируемые на U функции. Множество планов задачи (1) обозначим Ω. Зафиксируем x Ω и введём индексные множества M 1 (x ) = { i M 1 a i (x ) = 0 }, I(x ) = M 1 (x ) M. Говорят, что в точке x ограничения задачи (1) регулярны, если градиенты a i(x ) при i I(x ) линейно независимы. Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию «DHA & CAGD»: 1

2 Обозначим M = M 1 M. Говорят, что в точке x выполняются условия Куна Таккера, если существует вектор u = u [M] со свойствами f (x ) = i Mu [i]a i(x ); u [i]a i (x ) = 0, i M 1 ; u [i] 0, i M 1. () (3) (4) С помощью функции Лагранжа (x,u) = f(x) i Mu[i]a i (x) условие () можно переписать в виде x(x,u ) = O. (5) С двойственным векторомu свяжем два индексных множества (см. рис. 1) M 1 + (x ) = {i M 1 (x ) u [i] > 0}, I + (x ) = M 1 + (x ) M. I + (x ) M 1 M + 1 (x ) M M 1 (x ) Рис. 1 I(x ) Отметим, что в силу условия дополнительности (3) и условия неотрицательности (4) u [i] = 0, i M \I + (x ). (6) Рассмотрим систему линейных соотношений a i (x ),g = 0, i I + (x ); a i (x ),g 0, i I(x )\I + (x ). (7) Множество векторов g, удовлетворяющих (7), является конусом в R N. Обозначим его G.

3 3 ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие оптимальности второго порядка). Пусть x Ω точка локального минимума в задаче (1) и ограничения в ней регулярны. Тогда в x выполняются условия Куна Таккера, то есть найдётся вектор u со свойствами () (4). Более того, для всех g G выполняется неравенство xx(x,u )g,g 0. (8) Д о к а з а т е л ь с т в о. Выполнение условий Куна Таккера считаем известным фактом []. Проверим выполнение условий второго порядка (8). Зафиксируем ненулевой вектор g G и введём индексное множество Согласно определениям I g (x ) = {i I(x ) a i(x ),g = 0}. M I + (x ) I g (x ) I(x ) (9) и a i(x ),g > 0, i I(x )\I g (x ). (10) Рассмотрим систему нелинейных уравнений a i (x) = 0, i I g (x ). (11) Согласно (9) точка x удовлетворяет (11), градиенты a i(x ) при i I g (x ) линейно независимы и ненулевой вектор g ортогонален a i(x ) при всех i I g (x ). По основной лемме нелинейного программирования [] существует параметрическая кривая x = x(t), непрерывно дифференцируемая в окрестности точки t = 0, такая, что x(0) = x, x (0) = g, (1) a i ( x(t) ) = 0 при i Ig (x ) и малых t. (13) Покажем, что x(t) Ω при малых t > 0. При i I g (x ) выполняется равенство (13). В частности, оно выполняется при i M. При i I(x )\I g (x ) согласно (1) имеем ( ) ( ) ) a i x(t) = ai x(0) + a i( x(0),x (0) t+o(t) = = a i (x )+ a i(x ),g [ a t+o(t) = t i(x ),g + o(t) t На основании (10) заключаем, что a i ( x(t) ) > 0 при малых t > 0. Остаётся рассмотреть индексы i M \ I(x ), на которых a i (x ) > 0. Очевидно, что и ].

4 4 ( ) на этих индексах будет выполняться неравенство a i x(t) > 0 при малых t. Таким образом, действительно x(t) является планом задачи (1) при малых t > 0. Обратимся к функции Лагранжа. В силу (6), (13) и включения I + (x ) I g (x ) имеем ( ) ( ) ( ) ( ) x(t),u = f x(t) u [i]a i x(t) = f x(t). i I + (x ) К этому нужно добавить, что (x,u ) = f(x ). Воспользуемся тем, чтоx точка локального минимума. При малыхt > 0 получим 0 f ( x(t) ) f(x ) = ( ) x(t),u (x,u ) = = 1 ( )( ) x(x,u ),x(t) x + xx ξ(t),u x(t) x,x(t) x, где ξ(t) [x,x(t)]. Отметим, что точка ξ(t) может не принадлежать Ω. Нам важно, что ξ(t) x при t +0. С учётом (5) перепишем последнее неравенство в эквивалентном виде Согласно (1) xx ( )x(t) x(0) ξ(t),u t x(t) x(0) lim t +0 t, x(t) x(0) 0. (14) t = g. Кроме того, xx( ξ(t),u ) xx(x,u ) при t +0 в силу дважды непрерывной дифференцируемости функции Лагранжа по x. Переходя к пределу в (14) при t +0, получаем (8). Теорема доказана.. Обратимся к достаточным условиям строгого локального минимума. В [] установлены достаточные условия первого порядка: Если в точке x Ω выполнены условия Куна Таккера и G = {O}, то x точка строгого локального минимума в задаче (1). Рассмотрим случай, когда G состоит не только из нулевого вектора. ТЕОРЕМА (достаточные условия оптимальности второго порядка). Пусть в точке x Ω выполнены условия Куна Таккера и для любого ненулевого вектора g из G xx(x,u )g,g > 0. (15) Тогда x точка строгого локального минимума в задаче (1).

5 5 Д о к а з а т е л ь с т в о проведём от противного. Предположим, что x не является точкой строгого локального минимума. В этом случае найдётся последовательность {y k } точек из Ω, отличных от x, со свойствами y k x при k, (16) f(y k ) f(x ) при всех k. (17) Представим y k в виде y k = x +λ k g k, где λ k = y k x и g k = (y k x )/λ k. Очевидно, что g k = 1. Из ограниченной последовательности {g k } можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Сходящуюся подпоследовательность снова обозначим {g k }. Имеем g k g при k. По непрерывности нормы g = 1. Как показано в [], g G. Согласно (15) xx (x,u )g,g > 0. (18) Вместе с тем, в силу (17), (3) и (4) (y k,u ) (x,u ) = f(y k ) f(x ) i M 1 u [i]a i (y k ) 0. i M 1 u [i] ( a i (y k ) a i (x ) ) Воспользуемся формулой Тейлора и тем, что y k x = λ k g k. Получим 0 (y k,u ) (x,u ) = x(x,u ),g k λk xx(x +θ k λ k g k,u )g k,g k λ k, где θ k (0,1). Отсюда и из (5) следует, что xx(x +θ k λ k g k,u )g k,g k 0. Учитывая, что согласно (16) λ k +0 при k и что функция Лагранжа дважды непрерывно дифференцируема по x, в пределе при k приходим к неравенству xx(x,u )g,g 0. Но это противоречит (18). Теорема доказана.

6 6 3. Приведём пример на использование условий оптимальности второго порядка. ПРИМЕР. Рассмотрим задачу нелинейного программирования f(x):=(x 1 +1) +x inf, a(x):=x 1 αx 0, где α R параметр. Рис. поясняет, что единственным решением этой задачи (при α > 0) является точка x = (0,0). Проверим, как в точке x выполняются условия оптимальности. x 1 0 x 1 Рис. Имеем f (x) = (x 1 +,x ), a (x) = (1, αx ); f (x ) = (,0), a (x ) = (1,0); f (x ) = a (x ). Положим u =. Видим, что условия Куна Таккера () (4) выполняются при всех α R. КонусG в данном случае определяется условием a (x ),g = 0 илиg 1 = 0. Таким образом, G состоит из векторов вида (0,g ), где g R. Далее, ( ) ( ) f (x ) =, a (x 0 ) =, 0 α так что xx(x,u ) = f (x ) u a (x ) = ( ) α При g G xx(x,u )g,g = (+4α)g. Условия g G, g O означают, что g 0. Ясно, что при α > 1 и всех ненулевых g из G выполняется неравенство (15). По теореме x точка строгого локального минимума.

7 7 Вместе с тем, при α < 1 неравенство (8) нарушается на любом ненулевом векторе g из G. По теореме 1 x не является даже точкой локального минимума. Рис. 3 поясняет эту ситуацию. x 1 0 x 1 Рис. 3 Остается неопределённым случай α = 1. Рассмотрим его. Перепишем ограничение задачи в эквивалентном виде Для любого плана x имеем x 1 +x 0. f(x) = x 1 +x 1 +1+x x Равенство f(x) = 1 достигается при выполнении условий x 1 +x = 0 и x 1 = 0, т. е. в точке x = (0,0). Таким образом, при α = 1 точка x является единственным решением исходной задачи. ЛИТЕРАТУРА 1. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Пер. с англ. М.: Мир, с.. Малоземов В. Н. Теорема Куна Таккера в дифференциальной форме // Семинар «DHA & CAGD». Избранные доклады. 7 февраля 010 г. (http://dha.spb.ru/reps10.shtml#07)

О СЕДЛОВЫХ ТОЧКАХ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА

О СЕДЛОВЫХ ТОЧКАХ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА О СЕДЛОВЫХ ТОЧКАХ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА Н. И. Наумова nataliai.naumova@mail.ru 25 ноября 2008 г. Данный доклад примыкает к докладу [1]. 1. Рассмотрим задачу математического программирования f(x), g j (x) 0,

Подробнее

ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 10 ноября 2012 г. 1. Рассмотрим линейную дискретную задачу оптимального управления [1, с. 152 157]: s+1 c k,x k + k=1

Подробнее

КОНЕЧНОМЕРНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ

КОНЕЧНОМЕРНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ КОНЕЧНОМЕРНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 11 сентября 2010 г. Текст доклада соответствует лекции, которую автор много лет читал в курсе Экстремальные задачи. 1. В линейном пространстве

Подробнее

НЕРАВЕНСТВА И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. В. Н. Малозёмов. 4 сентября 2014 г.

НЕРАВЕНСТВА И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. В. Н. Малозёмов. 4 сентября 2014 г. НЕРАВЕНСТВА И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 4 сентября 2014 г. Аннотация. Доклад посвящён элементарным методам в экстремальных задачах. 1. Рассмотрим несколько конкретных экстремальных

Подробнее

МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru Е. К. Чернэуцану katerinache@yandex.ru 26 мая 212 г. Памяти Б. Н. Пшеничного (1937 2) Данный доклад является

Подробнее

ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА

ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА В. Н. Малозёмов mlv@mth.spbu.ru 5 декабря 2013 г. 1. Рассмотрим интегральный функционал вида J(x = F ( tx(tx (t dt. (1 Здесь F(tyz функция трёх переменных

Подробнее

О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ А. В. Лазарев lazarev_av@sampo.ru 17 мая 2008 г. 1. Рассмотрим в R n задачу математического программирования f(x) inf, g i (x) 0, i 1:s ;

Подробнее

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 28 февраля 2013 г. В докладе на двух примерах показывается, чем различаются классические и неклассические

Подробнее

ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ ШАПИРО

ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ ШАПИРО ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ ШАПИРО В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru И. С. Стояноска irena.stoyanoska@gmail.com 28 января 2012 г. Данный доклад является продолжением доклада [1]. 1. Напомним определение

Подробнее

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 20 ноября 2010 г. Симплекс-метод решения задач линейного программирования является одним из выдающихся математических достижений 20-го

Подробнее

СХОДИМОСТЬ СХЕМЫ SUBDIVISION

СХОДИМОСТЬ СХЕМЫ SUBDIVISION СХОДИМОСТЬ СХЕМЫ SUBDIVISION Н. В. Чашников nioay.chashniov@gmai.com 3 декабря 011 г. Данный доклад основан на книге [1]. Приведены необходимые и достаточные условия сходимости стационарной схемы subdivision

Подробнее

Лекция 3. Производная по направлению

Лекция 3. Производная по направлению Лекция 3. Производная по направлению Производная по направлению имеет большое значение в теории математического программирования. Напомним, что производная по направлению согласно определению равна: f

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных «Юго-Западный государственный университет» ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных средств МЕТОДЫ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Методические указания по выполнению лабораторной работы

Подробнее

СПЛАЙН-СГЛАЖИВАНИЕ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ДАННЫХ

СПЛАЙН-СГЛАЖИВАНИЕ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ДАННЫХ СПЛАЙН-СГЛАЖИВАНИЕ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ДАННЫХ А. Н. Сабаев 28 ноября 2009 г. 1.Пусть, n, r натуральные числа, причём и n отличны от единицы. Положим N = n и рассмотрим задачу сглаживания дискретных периодических

Подробнее

Нелинейная задача оптимизации.

Нелинейная задача оптимизации. Нелинейная задача оптимизации. Кольцов С.Н 2014 www.linis.ru Задача безусловной оптимизации Задача оптимизации формулируется следующим образом: заданы множество Х (допустимое множество задачи) и функция

Подробнее

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы.

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 19 сентября 212 г. Обозначения пусть B это некоторое банахово пространство

Подробнее

4.2 Отделимость выпуклых множеств

4.2 Отделимость выпуклых множеств 4.2 Отделимость выпуклых множеств При выводе необходимых условий экстремума (принципа Лагранжа) в выпуклых задачах и в задачах с равенствами и неравенствами мы будем использовать свойство отделимости непересекающихся

Подробнее

ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ. А. В. Фоминых. 22 октября 2015 г.

ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ. А. В. Фоминых. 22 октября 2015 г. ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ А. В. Фоминых alexfomser@mail.ru октября 15 г. Аннотация. В докладе рассматривается дифференциальное включение с заданными многозначным отображением

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА

ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА Н. В. Чашников nik239@list.ru 5 декабря 29 г. В [1] было показано, как строить дискретную поверхность Кунса, натянутую на сеть из остовных кривых. Остовные кривые при

Подробнее

Условия сходимости итерационного процесса решения задач параметрического программирования методом гладких штрафных функций

Условия сходимости итерационного процесса решения задач параметрического программирования методом гладких штрафных функций 120 ТРУДЫ МФТИ. 2012. Том 4, 4 УДК 519.85 Д. А. Марковцев Московский физико-технический институт (государственный университет) Условия сходимости итерационного процесса решения задач параметрического программирования

Подробнее

ОБ ОДНОЙ КУБИЧЕСКОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ. 11 февраля 2016 г.

ОБ ОДНОЙ КУБИЧЕСКОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ. 11 февраля 2016 г. ОБ ОДНОЙ КУБИЧЕСКОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ В. Н. Малозёмов mlv@mth.spbu.ru Г. Ш. Тамасян g.tmsyn@spbu.ru 11 февраля 2016 г. 1. Квадратичные вариационные задачи изучены детально [1]. При выполнении усиленного

Подробнее

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x 4.3 Выпуклые задачи 4.3.1 Задачи без ограничений Пусть f : X R выпуклая функция, отображающая нормированное пространство X в расширенную прямую. Выпуклой задачей без ограничений называется следующая экстремальная

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

Условия второго порядка в вариационном исчислении

Условия второго порядка в вариационном исчислении Глава 5 Условия второго порядка в вариационном исчислении В этой главе даны необходимые и достаточные условия экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления и задаче Больца. Это классические условия

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ В этой лекции мы напомним определение производной Фреше и получим выражения для производных Фреше некоторых важных функционалов и операторов,

Подробнее

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости В.В. Жук, А.М. Камачкин Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функции в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцирование сложной

Подробнее

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.. Теорема о промежуточных значениях Теорема. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

ТРИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ДИЗАЙНОВ

ТРИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ДИЗАЙНОВ ТРИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ДИЗАЙНОВ Р. Е. Афонин snedekorr@gail.co А. Б. Певный pevnyi@syktsu.ru 22 мая 200 г. Доказывается эквивалентность трёх определений сферических t-дизайнов. Этот результат был

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 14. Численные методы нелинейного программирования. 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный

ЛЕКЦИЯ 14. Численные методы нелинейного программирования. 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный ЛЕКЦИЯ 14 Численные методы нелинейного программирования 1. Градиентный метод 2. Теоремы сходимости 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный метод) -1- Численные методы НЛП Задача поиска безусловного минимума:

Подробнее

Лекции по методам оптимизации

Лекции по методам оптимизации Стр 2 MFH Corporation Лекции по методам оптимизации А В Плясунов 10 января 2006 г Стр 4 MFH Corporation Оглавление Оглавление 1 Теория экстремальных задач 11 ОПР 11 (Экстремальной (оптимизационной) задачи)

Подробнее

ПОЛИНОМЫ БЕРНУЛЛИ. В. Н. Малозёмов. 14 ноября 2009 г.

ПОЛИНОМЫ БЕРНУЛЛИ. В. Н. Малозёмов. 14 ноября 2009 г. ПОЛИНОМЫ БЕРНУЛЛИ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 14 ноября 9 г. В книге В. И. Крылова [1, глава 1] теория полиномов Бернулли строится на основе производящей функции. В докладе мы достигаем той же цели

Подробнее

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Январь июнь 2006. Серия 2. Том 13, 1. 3 9 УДК 519.853.4 ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В. П.

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

). Частной производной функции f по переменной x k в точке x. ). Полным дифференциалом функции f

). Частной производной функции f по переменной x k в точке x. ). Полным дифференциалом функции f ГЛАВА 7 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 1 Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных Опр711 Пусть М (, y ), : O(М, ) Рассмотрим функцию 1 = 1 ()=

Подробнее

ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Н. В. Чашников nik239@list.ru 13 марта 21 г. Пусть натуральное число, отличное от единицы. Определим периодический B-сплайн первого

Подробнее

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г.

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г. ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ М. В. Долгополик maxim.dolgopolik@gmail.com 10 ноября 2016 г. Аннотация. В докладе обсуждается в некотором смысле оптимальный градиентный метод

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Никифоровская Анна 14 сентября 2017 г. Содержание 1. 1 1.1 4. Экстремум функций.................................. 1 1.2 4. Обратные отображения................................. 3 1.3 6. Условный экстремум..................................

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Проф др Авыт АСАНОВ Кыргызско-Турецкий Университет «Манас» Классические понятия производной и дифференциала функции изложены во многих работах Например в []

Подробнее

Программа курса математического анализа

Программа курса математического анализа Программа курса математического анализа 1-й курс 2-й семестр 2015-2016 уч. года М. Э. Казарян 1. Изображение кривых, заданных параметрически и неявно. Особые и характерные точки. Изображение кривой в окрестности

Подробнее

СУЩЕСТВОВАНИЕ РАВНОУГОЛЬНЫХ ЖЁСТКИХ ФРЕЙМОВ

СУЩЕСТВОВАНИЕ РАВНОУГОЛЬНЫХ ЖЁСТКИХ ФРЕЙМОВ СУЩЕСТВОВАНИЕ РАВНОУГОЛЬНЫХ ЖЁСТКИХ ФРЕЙМОВ В. В. Максименко xupypr@xupypr.com А. Б. Певный pevyi@syktsu.ru 26 марта 2008 г. Доклад представляет собой вариации на темы из [1]. 1. Система векторов {ϕ 1,...,ϕ

Подробнее

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

4.7 Сопряженный конус

4.7 Сопряженный конус 4.7 Сопряженный конус 4.7.1 Определение сопряженного конуса Для наглядности представления будем рассматривать пространство R n. Определение. K конус в R n. Сопряженным конусом называется множество K :=

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова, Некоторые методы минимизации максимума квадратичных функций, Владикавк. матем. журн., 2006, том 8, номер 4, 46 57 Использование Общероссийского

Подробнее

Семинары по линейным классификаторам

Семинары по линейным классификаторам Семинары по линейным классификаторам Евгений Соколов 30 октября 2013 г. 2 Оптимизационные задачи и теорема Куна-Таккера Рассмотрим задачу минимизации f 0 () min R d f i () 0, i = 1,...,m, h i () = 0, i

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ ГЕГЕНБАУЭРА

ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ ГЕГЕНБАУЭРА ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ ГЕГЕНБАУЭРА Н. О. Котелина nad775@yandex.ru 3 ноября 200 г. Выводится формула сложения для полиномов Гегенбауэра из формулы Грина для гармонических функций.. Обозначения

Подробнее

Полнота, компактность, внутренние метрики.

Полнота, компактность, внутренние метрики. Тема 2 Полнота, компактность, внутренние метрики. 2.1 Сходимость и полнота Определение 2.1. Последовательность точек x 1, x 2,... метрического пространства (X, d) называется фундаментальной, если для любого

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

НАХОЖДЕНИЕ КРАЙНИХ ТОЧЕК СУММЫ ДВУХ ПОЛИТОПОВ. Т. А. Ангелов. 5 мая 2016 г.

НАХОЖДЕНИЕ КРАЙНИХ ТОЧЕК СУММЫ ДВУХ ПОЛИТОПОВ. Т. А. Ангелов. 5 мая 2016 г. НАХОЖДЕНИЕ КРАЙНИХ ТОЧЕК СУММЫ ДВУХ ПОЛИТОПОВ Т. А. Ангелов angelov.t@gmail.com 5 мая 20 г. Аннотация. В работе получен критерий крайности точки у множества, образованного в результате сложения двух политопов.

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики Технический университет) Л.А. МАНИТА УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6. Методы решения конечномерных задач оптимизации (Задачи безусловной оптимизации) 1. Метод покоординатного спуска

ЛЕКЦИЯ 6. Методы решения конечномерных задач оптимизации (Задачи безусловной оптимизации) 1. Метод покоординатного спуска ЛЕКЦИЯ 6 1. Метод покоординатного спуска 2. Градиентный метод 3. Метод Ньютона Методы решения конечномерных задач оптимизации (Задачи безусловной оптимизации) -1- Численные методы НЛП Задача поиска безусловного

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

Математический анализ (v2.0)

Математический анализ (v2.0) Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a +... + a

Подробнее

5 Элементы функционального анализа

5 Элементы функционального анализа 5 Элементы функционального анализа 5.1 Линейные, нормированные и банаховы пространства 5.1.1 Определение пространств Непустое множество X элементов x, y, z,... называется линейным (векторным) пространством,

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

ПОЛУГЛАДКИЙ МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ПОДНЯТЫХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ С ИСЧЕЗАЮЩИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ 1)

ПОЛУГЛАДКИЙ МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ПОДНЯТЫХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ С ИСЧЕЗАЮЩИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ 1) ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2011, том 51, 6, с. 983 1006 УДК 519.626 ПОЛУГЛАДКИЙ МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ПОДНЯТЫХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ С ИСЧЕЗАЮЩИМИ

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

ГЛАДКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. Л.Н. Полякова. 9 апреля 2015 г.

ГЛАДКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. Л.Н. Полякова. 9 апреля 2015 г. ГЛАДКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ Л.Н. Полякова lnpol07@mail.ru 9 апреля 015 г. 1. Введение. Некоторые определения и утверждения из выпуклого анализа. Выпуклый анализ является одним из наиболее глубоко

Подробнее

Программа курса математического анализа

Программа курса математического анализа Программа курса математического анализа 1-й курс 2-й семестр 2013-2014 уч. года М. Э. Казарян 1. Изображение кривых, заданных параметрически и неявно. Особые и характерные точки. Изображение кривой в окрестности

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

1 Теоремы Вейерштрасса.

1 Теоремы Вейерштрасса. 1 Теоремы Вейерштрасса. 1.1 Теорема Вейерштрасса в конечномерном пространстве. Задачу минимизации функции Ju) на множестве U пространства M будем записывать в виде Ju) inf, u U M. 1) Искомыми величинами

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

3 Следствия теоремы Коши

3 Следствия теоремы Коши 3 Следствия теоремы Коши Дифференцируемость интегралов типа Коши позволяет получить важное следствие: Теорема 3.1. Дифференцируемая в области Ω C функция f(z) является бесконечно дифференцируемой в каждой

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b Лекция 1 6 Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала [ ] (,, ) V = F x x при условии, что = A, = B Необходимое

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО СФЕРЕ В n-мерном ПРОСТРАНСТВЕ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО СФЕРЕ В n-мерном ПРОСТРАНСТВЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО СФЕРЕ В n-мерном ПРОСТРАНСТВЕ Р. Е. Афонин Snedekorr@gmail.com В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 15 мая 1 г. А. Б. Певный pevnyi@syktsu.ru В докладе представлены базовые сведения для

Подробнее

ВЫРОЖДЕННОСТЬ В ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

ВЫРОЖДЕННОСТЬ В ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ВЫРОЖДЕННОСТЬ В ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И. В. Агафонова ivagafonova@home.eltel.net В А. Даугавет vadaug@yandex.ru 11 декабря 2010 г. Рассматривается задача линейного программирования в канонической

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

ПОСТРОЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ПОСТРОЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ М. И. Григорьев m_grigoriev@list.ru 27 июня 2007 г. 1.ПустьвR 3 задана параметрическая кривая F (u), лежащая в плоскости OXZ: F (u) =(f 0 (u), 0,f 1 (u)), f 0 (u) > 0,

Подробнее

ФРЕЙМ МЕРСЕДЕС-БЕНЦ В n-мерном ПРОСТРАНСТВЕ

ФРЕЙМ МЕРСЕДЕС-БЕНЦ В n-мерном ПРОСТРАНСТВЕ ФРЕЙМ МЕРСЕДЕС-БЕНЦ В -МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ В Н Малозёмов malv@mathspburu А Б Певный pevyi@syktsuru 16 января 007 г В докладе представлен усовершенствованный вариант результатов из [1, ] 1 Напомним [3,

Подробнее

15. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора

15. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора 15. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора Начнем эту лекцию с того, что введем два часто используемых в анализе обозначения. Именно: пусть f и g две функции переменной x, обе стремящиеся к

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

6. Задача Лагранжа 6.1 Постановка задачи

6. Задача Лагранжа 6.1 Постановка задачи 6. Задача Лагранжа 6.1 Постановка задачи B (ξ) min; B i (ξ), i =1,..., m, B i (ξ)=, i =m +1,..., m, (P) ẋ α (t) ϕ(t, x(t)) = t, (1) ξ = (x( ), t, t 1 ), x( ) = (x 1 ( ),..., x n ( )) C 1 (, R n ), заданный

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

Г. Г. Магарил-Ильяев, К. Ю. Осипенко

Г. Г. Магарил-Ильяев, К. Ю. Осипенко УДК 575 О НАИЛУЧШЕМ ВЫБОРЕ ИНФОРМАЦИИ В ЗАДАЧЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПО СПЕКТРУ Г Г Магарил-Ильяев, К Ю Осипенко В работе рассматривается следующая задача Пусть имеется возможность измерить (вообще говоря,

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

3. Непрерывность функции многих переменных

3. Непрерывность функции многих переменных 3 Непрерывность функции многих переменных 31 Непрерывность в точке Локальные свойства Определение 31 Пусть y = f(x), x X R n, f(x) R m, x 0 X Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0, если или O(f(x

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВ Абанин, ДА Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению.

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению. ЛЕКЦИЯ N. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции многих переменных. Условный экстремум.. Скалярное поле. Производная по

Подробнее

АНСАМБЛИ ДИСКРЕТНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

АНСАМБЛИ ДИСКРЕТНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ АНСАМБЛИ ДИСКРЕТНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru С. М. Машарский smash@scientist.com 8 мая 008 г. 1. Конечное множество Q сигналов x из C с одинаковой энергией E(x : x(j A называется

Подробнее