УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ"

Транскрипт

1 УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ В. Н. Малозёмов 16 октября 010 г. На современном уровне излагается теория условий оптимальности второго порядка в нелинейном программировании (ср. с [1], с. 4 5). Данный доклад примыкает к докладу [], посвящённому условиям оптимальности первого порядка. 1. Рассмотрим задачу нелинейного программирования f(x) inf, a i (x) 0, i M 1 ; a i (x) = 0, i M ; x U, (1) где U R N открытое множество и f, a i при i M 1 M дважды непрерывно дифференцируемые на U функции. Множество планов задачи (1) обозначим Ω. Зафиксируем x Ω и введём индексные множества M 1 (x ) = { i M 1 a i (x ) = 0 }, I(x ) = M 1 (x ) M. Говорят, что в точке x ограничения задачи (1) регулярны, если градиенты a i(x ) при i I(x ) линейно независимы. Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию «DHA & CAGD»: 1

2 Обозначим M = M 1 M. Говорят, что в точке x выполняются условия Куна Таккера, если существует вектор u = u [M] со свойствами f (x ) = i Mu [i]a i(x ); u [i]a i (x ) = 0, i M 1 ; u [i] 0, i M 1. () (3) (4) С помощью функции Лагранжа (x,u) = f(x) i Mu[i]a i (x) условие () можно переписать в виде x(x,u ) = O. (5) С двойственным векторомu свяжем два индексных множества (см. рис. 1) M 1 + (x ) = {i M 1 (x ) u [i] > 0}, I + (x ) = M 1 + (x ) M. I + (x ) M 1 M + 1 (x ) M M 1 (x ) Рис. 1 I(x ) Отметим, что в силу условия дополнительности (3) и условия неотрицательности (4) u [i] = 0, i M \I + (x ). (6) Рассмотрим систему линейных соотношений a i (x ),g = 0, i I + (x ); a i (x ),g 0, i I(x )\I + (x ). (7) Множество векторов g, удовлетворяющих (7), является конусом в R N. Обозначим его G.

3 3 ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие оптимальности второго порядка). Пусть x Ω точка локального минимума в задаче (1) и ограничения в ней регулярны. Тогда в x выполняются условия Куна Таккера, то есть найдётся вектор u со свойствами () (4). Более того, для всех g G выполняется неравенство xx(x,u )g,g 0. (8) Д о к а з а т е л ь с т в о. Выполнение условий Куна Таккера считаем известным фактом []. Проверим выполнение условий второго порядка (8). Зафиксируем ненулевой вектор g G и введём индексное множество Согласно определениям I g (x ) = {i I(x ) a i(x ),g = 0}. M I + (x ) I g (x ) I(x ) (9) и a i(x ),g > 0, i I(x )\I g (x ). (10) Рассмотрим систему нелинейных уравнений a i (x) = 0, i I g (x ). (11) Согласно (9) точка x удовлетворяет (11), градиенты a i(x ) при i I g (x ) линейно независимы и ненулевой вектор g ортогонален a i(x ) при всех i I g (x ). По основной лемме нелинейного программирования [] существует параметрическая кривая x = x(t), непрерывно дифференцируемая в окрестности точки t = 0, такая, что x(0) = x, x (0) = g, (1) a i ( x(t) ) = 0 при i Ig (x ) и малых t. (13) Покажем, что x(t) Ω при малых t > 0. При i I g (x ) выполняется равенство (13). В частности, оно выполняется при i M. При i I(x )\I g (x ) согласно (1) имеем ( ) ( ) ) a i x(t) = ai x(0) + a i( x(0),x (0) t+o(t) = = a i (x )+ a i(x ),g [ a t+o(t) = t i(x ),g + o(t) t На основании (10) заключаем, что a i ( x(t) ) > 0 при малых t > 0. Остаётся рассмотреть индексы i M \ I(x ), на которых a i (x ) > 0. Очевидно, что и ].

4 4 ( ) на этих индексах будет выполняться неравенство a i x(t) > 0 при малых t. Таким образом, действительно x(t) является планом задачи (1) при малых t > 0. Обратимся к функции Лагранжа. В силу (6), (13) и включения I + (x ) I g (x ) имеем ( ) ( ) ( ) ( ) x(t),u = f x(t) u [i]a i x(t) = f x(t). i I + (x ) К этому нужно добавить, что (x,u ) = f(x ). Воспользуемся тем, чтоx точка локального минимума. При малыхt > 0 получим 0 f ( x(t) ) f(x ) = ( ) x(t),u (x,u ) = = 1 ( )( ) x(x,u ),x(t) x + xx ξ(t),u x(t) x,x(t) x, где ξ(t) [x,x(t)]. Отметим, что точка ξ(t) может не принадлежать Ω. Нам важно, что ξ(t) x при t +0. С учётом (5) перепишем последнее неравенство в эквивалентном виде Согласно (1) xx ( )x(t) x(0) ξ(t),u t x(t) x(0) lim t +0 t, x(t) x(0) 0. (14) t = g. Кроме того, xx( ξ(t),u ) xx(x,u ) при t +0 в силу дважды непрерывной дифференцируемости функции Лагранжа по x. Переходя к пределу в (14) при t +0, получаем (8). Теорема доказана.. Обратимся к достаточным условиям строгого локального минимума. В [] установлены достаточные условия первого порядка: Если в точке x Ω выполнены условия Куна Таккера и G = {O}, то x точка строгого локального минимума в задаче (1). Рассмотрим случай, когда G состоит не только из нулевого вектора. ТЕОРЕМА (достаточные условия оптимальности второго порядка). Пусть в точке x Ω выполнены условия Куна Таккера и для любого ненулевого вектора g из G xx(x,u )g,g > 0. (15) Тогда x точка строгого локального минимума в задаче (1).

5 5 Д о к а з а т е л ь с т в о проведём от противного. Предположим, что x не является точкой строгого локального минимума. В этом случае найдётся последовательность {y k } точек из Ω, отличных от x, со свойствами y k x при k, (16) f(y k ) f(x ) при всех k. (17) Представим y k в виде y k = x +λ k g k, где λ k = y k x и g k = (y k x )/λ k. Очевидно, что g k = 1. Из ограниченной последовательности {g k } можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Сходящуюся подпоследовательность снова обозначим {g k }. Имеем g k g при k. По непрерывности нормы g = 1. Как показано в [], g G. Согласно (15) xx (x,u )g,g > 0. (18) Вместе с тем, в силу (17), (3) и (4) (y k,u ) (x,u ) = f(y k ) f(x ) i M 1 u [i]a i (y k ) 0. i M 1 u [i] ( a i (y k ) a i (x ) ) Воспользуемся формулой Тейлора и тем, что y k x = λ k g k. Получим 0 (y k,u ) (x,u ) = x(x,u ),g k λk xx(x +θ k λ k g k,u )g k,g k λ k, где θ k (0,1). Отсюда и из (5) следует, что xx(x +θ k λ k g k,u )g k,g k 0. Учитывая, что согласно (16) λ k +0 при k и что функция Лагранжа дважды непрерывно дифференцируема по x, в пределе при k приходим к неравенству xx(x,u )g,g 0. Но это противоречит (18). Теорема доказана.

6 6 3. Приведём пример на использование условий оптимальности второго порядка. ПРИМЕР. Рассмотрим задачу нелинейного программирования f(x):=(x 1 +1) +x inf, a(x):=x 1 αx 0, где α R параметр. Рис. поясняет, что единственным решением этой задачи (при α > 0) является точка x = (0,0). Проверим, как в точке x выполняются условия оптимальности. x 1 0 x 1 Рис. Имеем f (x) = (x 1 +,x ), a (x) = (1, αx ); f (x ) = (,0), a (x ) = (1,0); f (x ) = a (x ). Положим u =. Видим, что условия Куна Таккера () (4) выполняются при всех α R. КонусG в данном случае определяется условием a (x ),g = 0 илиg 1 = 0. Таким образом, G состоит из векторов вида (0,g ), где g R. Далее, ( ) ( ) f (x ) =, a (x 0 ) =, 0 α так что xx(x,u ) = f (x ) u a (x ) = ( ) α При g G xx(x,u )g,g = (+4α)g. Условия g G, g O означают, что g 0. Ясно, что при α > 1 и всех ненулевых g из G выполняется неравенство (15). По теореме x точка строгого локального минимума.

7 7 Вместе с тем, при α < 1 неравенство (8) нарушается на любом ненулевом векторе g из G. По теореме 1 x не является даже точкой локального минимума. Рис. 3 поясняет эту ситуацию. x 1 0 x 1 Рис. 3 Остается неопределённым случай α = 1. Рассмотрим его. Перепишем ограничение задачи в эквивалентном виде Для любого плана x имеем x 1 +x 0. f(x) = x 1 +x 1 +1+x x Равенство f(x) = 1 достигается при выполнении условий x 1 +x = 0 и x 1 = 0, т. е. в точке x = (0,0). Таким образом, при α = 1 точка x является единственным решением исходной задачи. ЛИТЕРАТУРА 1. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Пер. с англ. М.: Мир, с.. Малоземов В. Н. Теорема Куна Таккера в дифференциальной форме // Семинар «DHA & CAGD». Избранные доклады. 7 февраля 010 г. (

ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА

ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА В. Н. Малозёмов mlv@mth.spbu.ru 5 декабря 2013 г. 1. Рассмотрим интегральный функционал вида J(x = F ( tx(tx (t dt. (1 Здесь F(tyz функция трёх переменных

Подробнее

МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru Е. К. Чернэуцану katerinache@yandex.ru 26 мая 212 г. Памяти Б. Н. Пшеничного (1937 2) Данный доклад является

Подробнее

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 28 февраля 2013 г. В докладе на двух примерах показывается, чем различаются классические и неклассические

Подробнее

ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ. А. В. Фоминых. 22 октября 2015 г.

ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ. А. В. Фоминых. 22 октября 2015 г. ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ А. В. Фоминых alexfomser@mail.ru октября 15 г. Аннотация. В докладе рассматривается дифференциальное включение с заданными многозначным отображением

Подробнее

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы.

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 19 сентября 212 г. Обозначения пусть B это некоторое банахово пространство

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x 4.3 Выпуклые задачи 4.3.1 Задачи без ограничений Пусть f : X R выпуклая функция, отображающая нормированное пространство X в расширенную прямую. Выпуклой задачей без ограничений называется следующая экстремальная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 14. Численные методы нелинейного программирования. 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный

ЛЕКЦИЯ 14. Численные методы нелинейного программирования. 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный ЛЕКЦИЯ 14 Численные методы нелинейного программирования 1. Градиентный метод 2. Теоремы сходимости 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный метод) -1- Численные методы НЛП Задача поиска безусловного минимума:

Подробнее

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ В этой лекции мы напомним определение производной Фреше и получим выражения для производных Фреше некоторых важных функционалов и операторов,

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Проф др Авыт АСАНОВ Кыргызско-Турецкий Университет «Манас» Классические понятия производной и дифференциала функции изложены во многих работах Например в []

Подробнее

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г.

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г. ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ М. В. Долгополик maxim.dolgopolik@gmail.com 10 ноября 2016 г. Аннотация. В докладе обсуждается в некотором смысле оптимальный градиентный метод

Подробнее

). Частной производной функции f по переменной x k в точке x. ). Полным дифференциалом функции f

). Частной производной функции f по переменной x k в точке x. ). Полным дифференциалом функции f ГЛАВА 7 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 1 Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных Опр711 Пусть М (, y ), : O(М, ) Рассмотрим функцию 1 = 1 ()=

Подробнее

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Январь июнь 2006. Серия 2. Том 13, 1. 3 9 УДК 519.853.4 ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В. П.

Подробнее

4.7 Сопряженный конус

4.7 Сопряженный конус 4.7 Сопряженный конус 4.7.1 Определение сопряженного конуса Для наглядности представления будем рассматривать пространство R n. Определение. K конус в R n. Сопряженным конусом называется множество K :=

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Никифоровская Анна 14 сентября 2017 г. Содержание 1. 1 1.1 4. Экстремум функций.................................. 1 1.2 4. Обратные отображения................................. 3 1.3 6. Условный экстремум..................................

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова, Некоторые методы минимизации максимума квадратичных функций, Владикавк. матем. журн., 2006, том 8, номер 4, 46 57 Использование Общероссийского

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

НАХОЖДЕНИЕ КРАЙНИХ ТОЧЕК СУММЫ ДВУХ ПОЛИТОПОВ. Т. А. Ангелов. 5 мая 2016 г.

НАХОЖДЕНИЕ КРАЙНИХ ТОЧЕК СУММЫ ДВУХ ПОЛИТОПОВ. Т. А. Ангелов. 5 мая 2016 г. НАХОЖДЕНИЕ КРАЙНИХ ТОЧЕК СУММЫ ДВУХ ПОЛИТОПОВ Т. А. Ангелов angelov.t@gmail.com 5 мая 20 г. Аннотация. В работе получен критерий крайности точки у множества, образованного в результате сложения двух политопов.

Подробнее

3 Следствия теоремы Коши

3 Следствия теоремы Коши 3 Следствия теоремы Коши Дифференцируемость интегралов типа Коши позволяет получить важное следствие: Теорема 3.1. Дифференцируемая в области Ω C функция f(z) является бесконечно дифференцируемой в каждой

Подробнее

15. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора

15. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора 15. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора Начнем эту лекцию с того, что введем два часто используемых в анализе обозначения. Именно: пусть f и g две функции переменной x, обе стремящиеся к

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b Лекция 1 6 Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала [ ] (,, ) V = F x x при условии, что = A, = B Необходимое

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения

О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения Доклады Академии наук СССР965 Том 63 3 А Н Тихонов О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений i m; j a ij Подобная система

Подробнее

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВ Абанин, ДА Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств. 2.1 Постановка задачи Пусть

Подробнее

Лекция 11 ЛЕММА ЖИРО

Лекция 11 ЛЕММА ЖИРО Лекция 11 ЛЕММА ЖИРО 0. План лекции 1. Предварительные условия. 2. Теорема типа Жиро. 3. Контрпример к теореме Жиро в случае области с угловой точкой на границе. 4. Принцип максимума модуля. 5. Единственность

Подробнее

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л 1. Функции ограниченной вариации образуют линейное

Подробнее

6. Задача Лагранжа 6.1 Постановка задачи

6. Задача Лагранжа 6.1 Постановка задачи 6. Задача Лагранжа 6.1 Постановка задачи B (ξ) min; B i (ξ), i =1,..., m, B i (ξ)=, i =m +1,..., m, (P) ẋ α (t) ϕ(t, x(t)) = t, (1) ξ = (x( ), t, t 1 ), x( ) = (x 1 ( ),..., x n ( )) C 1 (, R n ), заданный

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА. 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения

Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА. 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения Рассмотрим эллиптическое уравнение с переменными коэффициентами следующего вида: Lu(x) def a ij (x)u xi x j

Подробнее

2. Пространства Соболева

2. Пространства Соболева 2. Пространства Соболева В теории дифференциальных уравнений в основном имеют дело с измеримыми функциями. Пусть область в R d. Функция u : R называется измеримой, если она является поточечным пределом

Подробнее

1 Элеметарная теория погрешностей. 2

1 Элеметарная теория погрешностей. 2 Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. А. В. Фоминых. 12 мая 2016 г.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. А. В. Фоминых. 12 мая 2016 г. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ А. В. Фоминых alexfomster@mail.ru 1 мая 16 г. Аннотация. В докладе рассматривается задача нахождения решения системы дифференциальных

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Лектор Рожкова С.В. 1 г. 18. Формула Тейлора для ФНП Если y = раз дифференцируема в окрестности

Подробнее

17. Дополнения. Доказательство. Зададимся числом " > 0. Покажем для начала, что существует такое x 0, что. < " при x > x 0. (17.1)

17. Дополнения. Доказательство. Зададимся числом  > 0. Покажем для начала, что существует такое x 0, что. <  при x > x 0. (17.1) 17. Дополнения На этой сокращенной лекции последней лекции первого семестра мы осветим два вопроса, на которые не хватило времени в прошлый раз. Мы видели, что для раскрытия неопределенности вида 0=0,

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ЛЕКЦИЯ 7 Неограниченные линейные операторы Хотя методами главы I нам удалось исследовать многие задачи математической физики, некоторые вполне классические задачи не

Подробнее

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Подробнее

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л.Чебышева. Закон больших чисел для последовательности

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

MATHEMATICAL PROGRAMMING. Ç. Ä. ÉéêÖãàä V. A. GORELIK

MATHEMATICAL PROGRAMMING. Ç. Ä. ÉéêÖãàä V. A. GORELIK MATHEMATICAL PROGRAMMING V. A. GORELIK The modern methods of solutions of nonlinear extremum problems with restrictions imposed by equality and inequality are described. ê ÒÒÏ ÚappleË ÚÒfl ÒÓ- appleâïâìì

Подробнее

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры Математический сборник т 7(69) 95 А Н Тихонов О системах дифференциальных уравнений содержащих параметры Рассмотрим систему дифференциальных уравнений n и решение этой системы определяемое условиями Это

Подробнее

Лекция 5. Топологические пространства и их свойства

Лекция 5. Топологические пространства и их свойства Лекция 5. Топологические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 3 октября 2011 г. Определение топологического

Подробнее

Конспект лекций по матанализу 2014 год, 2 курс Лекция 1 (01 сентября 2014)

Конспект лекций по матанализу 2014 год, 2 курс Лекция 1 (01 сентября 2014) Конспект лекций по матанализу 2014 год, 2 курс Лекция 1 (01 сентября 2014) В этом модуле мы будем заниматься функциями многих переменных. В основном, функции все будут гладкими, то есть у них будут существовать

Подробнее

1 Метрические пространства

1 Метрические пространства Содержание Введение Метрические пространства 5 Тема Сходящиеся последовательности в метрических пространствах 5 Тема Топология метрических пространств Тема Полнота метрических пространств 9 Тема Непрерывные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ На прошлой лекции были рассмотрены методы решения нелинейных уравнений Были рассмотрены двухточечные методы, которые используют локализацию корня,

Подробнее

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +, Лекция 6 ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ В этой лекции мы введём потенциалы простого и двойного слоя, которые уже мы встречали в третьей формуле Грина из предыдущей тематической лекции, и изучим сначала свойства

Подробнее

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА В этой лекции мы введём альтернативы Фредгольма и докажем с их помощью существование классических решений задач Дирихле и Неймана в ограниченных и неограниченных

Подробнее

Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ В этой лекции мы рассмотрим некоторые результаты об операторах со слабой особенностью и теорию поверхностей Ляпунова. 0. План лекции. Свойства a), b) и c). 2. Теорема

Подробнее

Семинар 12. Вариационное исчисление

Семинар 12. Вариационное исчисление Семинар 12 Вариационное исчисление О. Если каждой функции (из некоторого нормированного пространства вещественнозначных функций ) поставлено в соответствие некоторое (вещественное) число, то говорят, что

Подробнее

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа БИЛЕТ 1 «3» Определение первообразной «3» Теорема 11 (об интегрируемости кусочно непрерывной функции) «3» Пример (гармонический ряд расходится) «3» Пример ( 1/n 2 сходится) «3» Теорема 6 (интегральный

Подробнее

Об одном подходе к исследованию линейной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений с нагружениями

Об одном подходе к исследованию линейной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений с нагружениями Д.С. Джумабаев, К.И. Усманов Об одном подходе к исследованию линейной... 42 Об одном подходе к исследованию линейной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений с нагружениями Д.С. Джумабаев,

Подробнее

5. Еще о пределах; ряды

5. Еще о пределах; ряды 5. Еще о пределах; ряды Докажем сначала предложение, на которое нам не хватило времени на прошлой лекции. Предложение 5.. Для всякого b > 0 имеем lim n (ln n=n b ) = 0. (Переход к произвольному основанию

Подробнее

1 Комплексные функции

1 Комплексные функции 1 Комплексные функции 1.1 Комплексные числа Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел C = {(x, y) : x, y R}, z = x + iy, где i мнимая единица (i

Подробнее

ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ. В.В. Корнев В.В. Курдюмов В.С. Рыхлов

ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ. В.В. Корнев В.В. Курдюмов В.С. Рыхлов ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В.В. Корнев В.В. Курдюмов В.С. Рыхлов 2 Оглавление Введение 5 1 Нелинейная оптимизация 9 1.1 Постановка задачи оптимизации. Основные понятия и определения................

Подробнее

Некоторые свойства линий с аффинно эквивалентными дугами

Некоторые свойства линий с аффинно эквивалентными дугами УДК 513.83 Некоторые свойства линий с аффинно эквивалентными дугами Поликанова И.В. Алтайский государственный педагогический университет anirix1@yandex.ru Аннотация В статье продолжается изучение линий

Подробнее

Теория потребительского выбора в условиях определенности -4: методы решения задачи потребителя

Теория потребительского выбора в условиях определенности -4: методы решения задачи потребителя Факультет мировой экономики и мировой политики НИУ ВШЭ, 2011-2012 Ю.В. Автономов Теория потребительского выбора в условиях определенности -4: методы решения задачи потребителя Переход к безусловной максимизации

Подробнее

Лекция 3. Нелинейные операторы.

Лекция 3. Нелинейные операторы. Лекция 3. Нелинейные операторы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 12 сентября 2012 г. Обозначения. Пусть B 1 и B 2 это два банаховых пространства относительно

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 12 12.1. Теорема Банаха об открытом отображении Напомним (см. следствие 2.4), что любой открытый линейный оператор T : X Y между нормированными пространствами

Подробнее

Лекция Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса.

Лекция Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса. Лекция 9-10. Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса. Мы докажем теорему существования и единственности обобщенного решения системы уравнений Навье Стокса с

Подробнее

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ 1)

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ 1) ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 3, том 53, 6, с. 867 877 УДК 59.658 ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И

Подробнее

О РЕШЕНИЯХ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА МНОГОМЕРНОЙ ОБОБЩЕННОЙ СИСТЕМЫ КОШИ-РИМАНА

О РЕШЕНИЯХ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА МНОГОМЕРНОЙ ОБОБЩЕННОЙ СИСТЕМЫ КОШИ-РИМАНА ISSN 074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. 3 (015). С. 3-8. О РЕШЕНИЯХ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА МНОГОМЕРНОЙ ОБОБЩЕННОЙ СИСТЕМЫ КОШИ-РИМАНА С. БАЙЗАЕВ УДК 517.9 Аннотация. Для многомерной обобщенной

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР ЯРОСЛАВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Ярославль, 1982, 1-66 П.П. ЗАБРЕЙКО, А.В. ЗАФИЕВСКИЙ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Подробнее

( ) ( ) ( )( ) f x 0 ( ) f ξ 0 и поэтому ( )

( ) ( ) ( )( ) f x 0 ( ) f ξ 0 и поэтому ( ) ГЛАВА 6 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ Теорема Для того, чтобы дифференцируемая на ( ab ; ) функция не убывала (не возрастала) на этом интервале необходимо и

Подробнее

Тематическая лекция 5 ПОЛУЛИНЕЙНОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ. 1. Оператор Немыцкого

Тематическая лекция 5 ПОЛУЛИНЕЙНОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ. 1. Оператор Немыцкого Тематическая лекция 5 ПОЛУЛИНЕЙНОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ В этой лекции мы рассмотрим первый базовый оператор эллиптического типа следующего вида: u + f(x,u), где функция f(x, u) принадлежит к так называемому

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание)

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л1. Функции ограниченной вариации образуют линейное пространство.

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "дифференциальное исчисление,

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины дифференциальное исчисление, Номер недели РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "дифференциальное исчисление, УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет линейная алгебра и аналитическая геометрия"

Подробнее

1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций

1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций Лекция 2 ПРОСТРАНСТВО AC И ПРОСТРАНСТВА ГЕЛЬДЕРА. 1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций Определение 1. Будем говорить, что функция f(x) AC[,b], если для любого ε > 0 найдется такое

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

10. Еще о рядах; предел функции

10. Еще о рядах; предел функции 10. Еще о рядах; предел функции До сих пор мы знали только один признак сходимости рядов, применимый не только к рядам с положительными членами, признак абсолютной сходимости. Этот признак, однако, далеко

Подробнее

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТИПА ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА. Е.А. Барова

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТИПА ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА. Е.А. Барова 517.956 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТИПА ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА Е.А. Барова В статье рассматривается краевая задача типа Трикоми для уравнения смешанного

Подробнее

Лекция 9. Банаховы пространства. Транспонированный оператор и плотные вложения банаховых пространств.

Лекция 9. Банаховы пространства. Транспонированный оператор и плотные вложения банаховых пространств. Лекция 9. Банаховы пространства. Транспонированный оператор и плотные вложения банаховых пространств. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу

Подробнее

Вариационное исчисление

Вариационное исчисление Глава 1 Вариационное исчисление Началу появления вариационного исчисления дала толчок работа И. Бернулли 1696 года Новая задача, к решению которой приглашаются математики, в которой поставлена задача о

Подробнее

Лекция 6. Вариационные методы. Условный экстремум.

Лекция 6. Вариационные методы. Условный экстремум. Лекция 6. Вариационные методы. Условный экстремум. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 30 сентября 2011 г. Введение Довольно часто тот функционал, который непосредственно

Подробнее

Лекция 8. Слабая и сильная производные

Лекция 8. Слабая и сильная производные Лекция 8. Слабая и сильная производные Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 9 апреля 2012 г. Определение слабой производной Определение

Подробнее

РАДИУС НАКРЫТИЯ ОТОБРАЖЕНИЯ И КРАТНОСТЬ НАКРЫТИЯ В. И. Cеменов

РАДИУС НАКРЫТИЯ ОТОБРАЖЕНИЯ И КРАТНОСТЬ НАКРЫТИЯ В. И. Cеменов Сибирский математический журнал Январь февраль, 21. Том 42, 1 УДК 513.77 РАДИУС НАКРЫТИЯ ОТОБРАЖЕНИЯ И КРАТНОСТЬ НАКРЫТИЯ В. И. Cеменов Аннотация: Радиус накрытия отображения рассматривается как инструмент,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ 4 Секция 7 Моделирование и современные компьютерные технологии УДК 57988 АС Миненко Донецкий национальный технический университет Кафедра системного анализа и моделирования МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра нелинейного анализа и аналитической экономики В. И. БАХТИН, И. А. ИВАНИШКО, А. В. ЛЕБЕДЕВ, О. И. ПИНДРИК МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ

Подробнее

МЕТОДЫ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА

МЕТОДЫ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА Занятие 3. МЕТОДЫ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА А. ОГРАНИЧЕНИЯ ТИПА РАВЕНСТВ Постановка задачи Даны дважды непрерывно дифференцируемые целевая функция

Подробнее

Лекция Последовательности комплексных чисел

Лекция Последовательности комплексных чисел Лекция 2 2.1 Последовательности комплексных чисел Комплексное число a называется пределом последовательности комплексных чисел {z n }, если для любого числа ε > 0 найдется такой номер n 0 n 0 (ε), что

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R..

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R.. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 5 Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция Пространство R 6 Лекция Предел и непрерывность функции нескольких переменных 5 Лекция 3 Функции многих переменных

Подробнее