2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости"

Транскрипт

1 В.В. Жук, А.М. Камачкин Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функции в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцирование сложной функции.. Дифференцируемость функции в точке. Рассмотрим сначала случай двух переменных. Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой окрестности S = S(M 0, δ) точки M 0 = (x 0, y 0 ) и пусть M = (x, y) S, x = x x 0, y = y y 0 и, значит, ρ = ρ(m, M 0 ) = x + y < δ. Положим z = f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ). Определение. Функция z = f(x, y) называется дифференцируемой в точке (x 0, y 0 ), если существуют два числа A и B такие, что при ρ 0 z = A x + B y + α( x, y), () α( x, y) = ε( x, y)ρ, lim ε( x, y) = 0. () ρ 0 В случае дифференцируемости функции f в точке (x 0, y 0 ) линейная функция A x + B y переменных x и y называется дифференциалом функции f в точке (x 0, y 0 ) и обозначается dz. Таким образом, dz = A x + B y. Вместо x и y употребляются так же равнозначные обозначения dx и dy, т.е. пишут Из () следует, что dz = Adx + Bdy. α( x, y) lim = 0. (3) M M 0 ρ Функция α( x, y), обладающая свойством (3) обозначается по аналогии с функциями одной переменной o(ρ) при ρ 0. Используя это обозначение, определение дифференцируемости можно переписать в виде z = A x + B y + o(ρ). (4)

2 Лемма. Условие () эквивалентно условию α( x, y) = ε ( x, y) x + ε ( x, y) y, ρ 0, (5) lim ε = lim ε = 0. ρ 0 ρ 0 Доказательство. Пусть выполнено (), т.е. α = ερ ε 0 при ρ 0. Тогда α = ερ = ε x x + y x + ε y x + y y = ε x + ε y, ε = ε x x + y, ε ε y = x + y. Так как x x,, x + y x + y то ε ε, ε ε и, следовательно, lim ρ 0 ε = lim ρ 0 ε = 0. Тем самым представление (5) получено. Пусть теперь выполнено условие (5), т.е. α = ε x + ε y, ρ 0, ε 0 и ε 0 при ρ 0. Тогда α = ( x x + y ε y x + ) x + y ε + y = ερ, ε = x x + y ε y + x + y ε, и, значит, ε ε + ε. Поэтому ε 0 при ρ 0, т.е. представление () получено. Теорема. Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x 0, y 0 ), то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Так как x ρ и y ρ, то из () и () следует, что lim ρ 0 z = 0, а это и означает непрерывность функции в точке (x 0, y 0 ).

3 Теорема. Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x 0, y 0 ) и dz = A x + B y ее дифференциал в этой точке, то в этой точке у функции f существуют все частные производные и Таким образом, f(x 0, y 0 ) x = A, f(x 0, y 0 ) = B. (6) dz = z z dx + x dy. Доказательство. Согласно определению дифференцируемости z = A x + B y + ε x + ε y, lim ρ 0 ε = lim ρ 0 ε = 0. Полагая y = 0, получим z = f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) =: x z = A x + ε x, lim x 0 ε = 0. Значит x z x = A + ε. (7) Правая часть (7) при x 0 стремится к A, поэтому и левая часть при x 0 имеет тот же предел, а это означает, что в точке (x 0, y 0 ) существует частная производная z/ x = A. Аналогично, полагая x = 0 и переходя к пределу при y 0, получим z/ = B. Отметим, что из непрерывности в данной точке функции n переменных не вытекает существование у нее в этой точке частных производных. Важно заметить, что при n из существования даже всех частных производных в некоторой точке не следует непрерывность в этой точке. Чтобы убедиться в этом рассмотрим функцию f(x, y) равную нулю, если xy = 0 и, если xy 0. Очевидно, f(x, 0) = f(0, y) = 0 и значит f(0, 0) x = f(0, 0) = 0. Однако, эта функция разрывная в точке (0,0), так как, например, ее предел вдоль прямой y = x при (x, y) (0, 0) равен, а f(0, 0) = 0.. Достаточное условие дифференцируемости функции в терминах частных производных. Теорема 3. Пусть функция z = f(x, y) в некоторой окрестности точки (x 0, y 0 ) имеет частные производные z/ x и z/, которые непрерывны в самой точке (x 0, y 0 ). Тогда функция z = f(x, y) дифференцируема в этой точке. 3

4 Доказательство. Пусть S(δ) δ окрестность точки (x 0, y 0 ), в которой определена вместе со своими частными производными f x и f y функция f. Выберем x и y так, чтобы (x 0 + x, y 0 + y) S(δ). Замечая, что z = f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) = = [f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 + y)] + [f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 )], применим к выражениям, стоящим в квадратных скобках и являющимися приращениями функции только по одной переменной, формулу Лагранжа. z = f x(x 0 + θ x, y 0 + y) x + f y(x 0, y 0 + θ y) y, (8) 0 < θ, θ <, причем θ и θ зависят, конечно, от x и y. Если положить f x(x 0 + θ x, y 0 + y) f x(x 0, y 0 ) = ε, f y(x 0, y 0 + θ y) f y(x 0, y 0 ) = ε, (9) то, в силу непрерывности частных производных f x и f y в точке (x 0, y 0 ), имеем Подставляя (9) в (8) получаем lim ε = lim ε = 0. (0) ρ 0 ρ 0 z = f x(x 0, y 0 ) x + f y(x 0, y 0 ) y + ε x + ε y, что в силу выполнения условия (0), и означает дифференцируемость функции f в точке (x 0, y 0 ). Определение. Функция, имеющая в некоторой точке (и соответственно на некотором множестве) непрерывные частные производные, называется непрерывно дифференцируемой в этой точке (соответственно на множестве)..3 Все определения и утверждения пунктов. и. переносятся и на случай функции y = f(x), x = (x,..., x n ), любого числа n переменных, определенной в некоторой окрестности точки x (0). Например, условие дифференцируемости в данной точке x (0) в общем случае выглядит так: y = A x A n x n + o(ρ), ρ 0, () 4

5 ρ = n x i, y = f(x,..., x n ) f(x (0),..., x(0) n ), x i = x i x (0) i (i =, n), i= причем в этом случае A i = f(x(0) ) x i, (i =, n). В случае, когда имеет место () линейная функция f(x) x x f(x) x n x n n переменных x,..., x n (здесь вместо x (0) написано x) называется дифференциалом функции в данной точке x и обозначается df(x): df(x) = f(x) x x f(x) x n x n Переменные x i называются также дифференциалами переменных x i и обозначаются dx i (i =, n). В этих обозначениях дифференциал функции f записывается в виде df(x) = f(x) dx f(x) dx n. x x n Теоремы -3 очевидным образом обобщаются на функции n переменных..4 Дифференцирование сложной функции. Теорема 4. Пусть функции x(t) и y(t) одного переменного t дифференцируемы в точке t 0 и пусть x 0 = x(t 0 ), y 0 = y(t 0 ). Пусть, далее, функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x 0, y 0 ) и в некоторой окрестности точки t 0 имеет смысл суперпозиция f(x(t), y(t)). Тогда функция z = f(x(t), y(t)) имеет в точке t 0 производную dz/dt и в этой точке или, подробнее, dz dt = z dx x dt + z dy dt () df(x(t 0 ), y(t 0 )) dt = f(x 0, y 0 ) x dx(t 0 ) dt + f(x 0, y 0 ) dy(t 0 ). dt Доказательство. В силу дифференцируемости функции z = f(x, y) в точке (x 0, y 0 ) z = f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) 5

6 представимо в виде z = z z x + x y + ε x + y, (3) функция ε = ε( x, y) такова, что lim ρ 0 ε = 0 (ρ = x + y ). Доопределим функцию ε( x, y) в точке (0,0), положив ε(0, 0) = 0. Так доопределенная функция ε( x, y) является непрерывной в точке (0,0). Пусть теперь t - приращение переменной t и x = x(t 0 + t) x(t 0 ), y = y(t 0 + t) y(t 0 ). Разделим обе части равенства (3) на t ( x z t = z x x t + z y t ± ε t ) + ( ) y. (4) t При t 0, в силу непрерывности функций x(t) и y(t) в точке t 0, получим x 0 и y 0, а значит, и lim t 0 ρ = 0. Отсюда по теореме о суперпозиции непрерывных функций Далее, lim t 0 ( x ) + t lim ε( x, y) = 0. t 0 ( ) y = x t (t 0 ) + y (t 0 ). Из всего сказанного следует, что при t 0 правая часть (4) стремится к конечному пределу z dx x dt + z dy dt, а потому и левая часть этой формулы, т.е. z/ t стремится к тому же пределу, а это и означает, что в точке t 0 существует производная dz/dt и выражается формулой (). Замечание. Хотя в окончательную формулу производной сложной функции входят только производные z/ x и z/ функции z = f(x, y), по ходу доказательства существенно использовалось более сильное свойство этой функции, чем существование частных производных, а именно ее дифференцируемость. Следствие. Пусть функции x = x(u, v), y = y(u, v) определены в некоторой окрестности точки (u 0, v 0 ), а функция z = f(x, y) определена в некоторой окрестности точки (x 0, y 0 ), x 0 = x(u 0, v 0 ), y 0 = y(u 0, v 0 ) и в некоторой окрестности точки (u 0, v 0 ) имеет смысл суперпозиция f(x(u, v), y(u, v)). 6

7 Если функция f(x, y) дифференцируема в точке (x 0, y 0 ) и существуют частные производные x/ u и / u в точке (u 0, v 0 ), то в точке (u 0, v 0 ) существует частная производная z/ u сложной функции z = f(x(u, v), y(u, v)), причем z u = z x x u + z u. (5) Доказательство. Фиксируем v = v 0 и рассмотрим сложную функцию z = f(x(u, v 0 ), y(u, v 0 )) одного переменного u. Согласно теореме 4 получаем, что производная z/ u в точке (u 0, v 0 ) существует и выражается формулой (5). Аналогично, если в точке (u 0, v 0 ) существуют частные производные x/ v и / v, то у сложной функции z = f(x(u, v), y(u, v)) существует в точке (u 0, v 0 ) частная производная по v и для нее справедлива формула (x (0) z v = z x x v + z v. Рассмотрим общий n-мерный случай. Пусть в окрестности точки x (0) =,..., x(0) n ) задана функция y = y(x,..., x n ), а на некотором множестве E t R k заданы функции x i = x i (t,..., t k ) (i =, n), такие, что x i (t (0),..., t(0) k ) = x (0) i. Пусть, далее функция y = y(x,..., x n ) дифференцируема в точке x (0) и в точке t (0) = (t (0),..., t(0) k ) существуют частные производные x i/ t j (i =, n, j =, k). Тогда, если в некоторой окрестности точки t (0) имеет смысл сложная функция y(x(t)), то она имеет в точке t (0) частные производные / t j (j =, k), причем t j = n i= x i (j =, k). x i t j 7

6. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл

6. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл 6. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x 0, если ее приращение в этой точке может быть записано как сумма линейной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

Семинар 5. Частные производные

Семинар 5. Частные производные Семинар 5 Частные производные О. Пусть M 0 (x 1,, x m ) внутренняя точка D(f). Частной производной (ч.п.) функции f(x 1,, x m ) по переменной x k в точке M 0 называется предел f xk (M 0 ) = f (M x 0 )

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы 1. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы 1. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы 1 Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных α β Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

, где Δx 1 =x 1 -x 1 (0). Аналогично определяются частные производные (первого порядка) . Употребляются и другие значения для частных

, где Δx 1 =x 1 -x 1 (0). Аналогично определяются частные производные (первого порядка) . Употребляются и другие значения для частных 1. Частные производные в точке. Дифференцируемость в точке. Определение. Дифференциал. Будем рассматривать функции, определенные на множествах R, значения которых являются вещественными числами. Пусть

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2).

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2). Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Непрерывность функции Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой окрестности этой точки Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x, если существует

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Понятие производных и дифференциалов высших порядков

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Понятие производных и дифференциалов высших порядков ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Понятие производных и дифференциалов высших порядков Производная f ( называется производной первого порядка (или

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

Глава 7. Функции многих переменных

Глава 7. Функции многих переменных Глава 7. Функции многих переменных 7.1. Евклидово пространство R n Начнем с определения n-мерного эвклидова пространства. Определение 7.1. n-мерным эвклидовым пространством R n над полем действительных

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

Подробнее

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности. 5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков.

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков. ЛЕКЦИЯ N Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков Полный дифференциал Частные дифференциалы Частные производные высших порядков Дифференциалы высших порядков 4Производные

Подробнее

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков 1 Лекция 7 Производные и дифференциалы высших порядков Аннотация: Вводится понятие дифференцируемой функции, дается геометрическая интерпретация первого дифференциала и доказывается его инвариантность

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

Лекция 3. Нелинейные операторы.

Лекция 3. Нелинейные операторы. Лекция 3. Нелинейные операторы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 12 сентября 2012 г. Обозначения. Пусть B 1 и B 2 это два банаховых пространства относительно

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Лекция Последовательности комплексных чисел

Лекция Последовательности комплексных чисел Лекция 2 2.1 Последовательности комплексных чисел Комплексное число a называется пределом последовательности комплексных чисел {z n }, если для любого числа ε > 0 найдется такой номер n 0 n 0 (ε), что

Подробнее

6 Дифференциальные формы

6 Дифференциальные формы 6 Дифференциальные формы Пример Рассмотрим стандартную плоскость R 2 с координатами x и y Дифференциалы dx и dy -формы По определению для любого вектора v, касающегося R 2, dx(v) v x, dy(v) v y, те форма

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Программа курса математического анализа

Программа курса математического анализа Программа курса математического анализа 1-й курс 2-й семестр 2015-2016 уч. года М. Э. Казарян 1. Изображение кривых, заданных параметрически и неявно. Особые и характерные точки. Изображение кривой в окрестности

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Производная функции. Правила дифференцирования

Производная функции. Правила дифференцирования Производная функции. Правила дифференцирования Примеры решения задач 1. Пользуясь определением производной, найти производную функции y = х 3 в точке х = 1. Решение. Находим приращение функции y = х 3

Подробнее

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +, Лекция 6 ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ В этой лекции мы введём потенциалы простого и двойного слоя, которые уже мы встречали в третьей формуле Грина из предыдущей тематической лекции, и изучим сначала свойства

Подробнее

ε > 0 N N n, m N d(x n, x m ) < ε,

ε > 0 N N n, m N d(x n, x m ) < ε, 4. Основные факты дифференциального исчисления функций многих переменных 4.5. Теорема об обратной функции. Теорема об обратной функции одна из фундаментальных теорем дифференциального исчисления функций

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее

Программа курса математического анализа

Программа курса математического анализа Программа курса математического анализа 1-й курс 2-й семестр 2013-2014 уч. года М. Э. Казарян 1. Изображение кривых, заданных параметрически и неявно. Особые и характерные точки. Изображение кривой в окрестности

Подробнее

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n.

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n. Занятие 4 Вычисление производных-1 4.1 Определение производной Производной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента

Подробнее

Математическое моделирование в задачах нефтегазовой отрасли. Методы математической физики

Математическое моделирование в задачах нефтегазовой отрасли. Методы математической физики Математическое моделирование в задачах нефтегазовой отрасли. Методы математической физики Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных Николай Андрианов n_andrianov@hotmail.com Кафедра

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x)

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 18. Дифференциал функции в точке. Производная сложной и обратной функции.

ЛЕКЦИЯ 18. Дифференциал функции в точке. Производная сложной и обратной функции. ЛЕКЦИЯ 8 Дифференциал функции в точке Производная сложной и обратной функции Дифференциал функции в точке Пусть функция f () определена в некоторой окрестности точки Если приращение функции f () можно

Подробнее

Справедливо и обратное утверждение.

Справедливо и обратное утверждение. Понятие комплексного переменного Предел и непрерывность комплексного переменного Пусть дано два множества комплексных чисел D и Δ и каждому числу z D поставлено в соответствие число ω Δ которое обозначается

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

{ теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем -

{ теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем - { теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем - теорема Коши - формула конечных приращений - правило Лопиталя

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

5 Элементы функционального анализа

5 Элементы функционального анализа 5 Элементы функционального анализа 5.1 Линейные, нормированные и банаховы пространства 5.1.1 Определение пространств Непустое множество X элементов x, y, z,... называется линейным (векторным) пространством,

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

4 Определенный интеграл Римана. Определение,

4 Определенный интеграл Римана. Определение, 4 Определенный интеграл Римана. Определение, обобщенная теорема о среднем значении, интеграл с переменным верхним пределом, формула замены переменной, интегрирование по частям, некоторые неравенства. 4.1

Подробнее

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Рассмотрим задачу на нахождение условного экстремума для случае функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть имеется

Подробнее

Раздел 9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Тема 2. Дифференцирование функций нескольких переменных

Раздел 9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Тема 2. Дифференцирование функций нескольких переменных Раздел 9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Тема 2. Дифференцирование функций нескольких переменных Содержание Частные производные функции нескольких переменных 2 Полное приращение

Подробнее

). Частной производной функции f по переменной x k в точке x. ). Полным дифференциалом функции f

). Частной производной функции f по переменной x k в точке x. ). Полным дифференциалом функции f ГЛАВА 7 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 1 Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных Опр711 Пусть М (, y ), : O(М, ) Рассмотрим функцию 1 = 1 ()=

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

f(x 1,..., x k + h,..., x n ) f(x 1,..., x k,..., x n ),

f(x 1,..., x k + h,..., x n ) f(x 1,..., x k,..., x n ), 13. Дифференцирование функций многих переменных 13.1. Одним из самых распространенных средств локального изучения функций многих переменных является характеристика ее поведения вдоль координатных прямых

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

4. Непрерывность функции 1. Основные определения

4. Непрерывность функции 1. Основные определения 4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x если справедливо равенство f ( x). (1)

Подробнее

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ 1. Слабая производная Определение 1. Функция v(x) L p loc () называется слабой производной x α функции u(x) L p loc () и пишем v(x) = α u(x), если для всякой функции

Подробнее

Математический анализ (v2.0)

Математический анализ (v2.0) Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a +... + a

Подробнее

С. Р. Насыров ПРОИЗВОДНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Казань 2013

С. Р. Насыров ПРОИЗВОДНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Казань 2013 . С. Р. Насыров ПРОИЗВОДНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Казань 2013 УДК 517.1 Печатается по решению Учебно-методической комиссии Института математики и механики им. Н. И. Лобачевского КФУ Научный редактор

Подробнее

Геометрические приложения определенного интеграла

Геометрические приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Кривая L на плоскости задается своей параметризацией x = x(t), y = y(t), t [t, T ]. (1) Заметим, что изменяется единственный параметр t. Часто говорят,

Подробнее

7. Производная. = lim., f

7. Производная. = lim., f 7. Производная 7.1. Рассмотрим интервал (a, b) R, функцию f, заданную на (a, b), и точку x (a, b). Если существует предел f(x + h) f(x) lim h 0 h f(y) f(x) = lim, y x y x его называют производной функции

Подробнее

Лекция 8. Слабая и сильная производные

Лекция 8. Слабая и сильная производные Лекция 8. Слабая и сильная производные Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 9 апреля 2012 г. Определение слабой производной Определение

Подробнее

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВ Абанин, ДА Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 12. Обратные функции

С.А. Лавренченко. Лекция 12. Обратные функции 1 СА Лавренченко Лекция 12 Обратные функции 1 Понятие обратной функции Определение 11 Функция называется взаимно-однозначной, если она не принимает никакое значение более одного раза, те из следует при

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

Лекция 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. пространство

Лекция 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. пространство Лекция 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. Пространство P Напомним, что топология τ пространства Фреше P, τ) порождена следующим счетным семейством полунорм: def f n p n f) max sup + x 2) n fx)..) n x Определение.

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область ~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3 Функция двух переменных, область определения, способы задания и геометрический смысл. Определение: z f, называется функцией двух переменных,, если каждой паре значений,

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ:

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций.

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 27 марта 2012 г. Обозначения Символом α будем

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 212-213 гг. Геометрические и функциональные неравенства Геометрические неравенства выражают количественные

Подробнее

Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера

Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера 37, 438, I, II, 385, 439, 445, 37, III, IV, 37, 446.. 37 Найти общее решение уравнения u tt a u xx..) Шаг. Находим замену переменных Способ через

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу Ю.А. Чаповский Лекции по математическому анализу (краткий конспект) Группа: КА 44 II курс, семестр III Киев 2015 c Ю.А. Чаповский Оглавление 10 Дифференциальное исчисление функций многих переменных 3 10.1

Подробнее

Лекция 3. Рис. 1. , где функция f имеет непрерывные первые частные производные. Пусть, далее, P x, y, ) точка на S.

Лекция 3. Рис. 1. , где функция f имеет непрерывные первые частные производные. Пусть, далее, P x, y, ) точка на S. СА Лавренченко wwwlawrencenkoru Лекция 3 Касательные плоскости и дифференциалы Касательные плоскости Рис Пусть поверхность S задана уравнением z f где функция f имеет непрерывные первые частные производные

Подробнее

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП Функции нескольких переменных 11. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = { 1 n i X i R } U R. Функция

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Конспект лекций по матанализу 2014 год, 2 курс Лекция 1 (01 сентября 2014)

Конспект лекций по матанализу 2014 год, 2 курс Лекция 1 (01 сентября 2014) Конспект лекций по матанализу 2014 год, 2 курс Лекция 1 (01 сентября 2014) В этом модуле мы будем заниматься функциями многих переменных. В основном, функции все будут гладкими, то есть у них будут существовать

Подробнее

Криволинейные интегралы. Криволинейный интеграл первого рода

Криволинейные интегралы. Криволинейный интеграл первого рода Криволинейные интегралы Криволинейный интеграл первого рода 1 z f ( x, y) Если функция непрерывна вдоль гладкой кривой, заданной параметрически : x x(t), y y(t), t, то криволинейный интеграл первого рода

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

Лекция 4. Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование

Лекция 4. Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование СА Лавренченко wwwlawrencenkoru Лекция 4 Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование Вспомним правило дифференцирования для функций одной переменной также называемое цепным правилом (см

Подробнее

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ Лекция 1 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ 1 Понятие векторной функции Годограф Предел и непрерывность векторной функции Производная и дифференциал векторной функции 4 Геометрический и физический смысл производной векторфункции

Подробнее

Лекция Неопределенный интеграл

Лекция Неопределенный интеграл Лекция..3. Неопределенный интеграл Аннотация: Неопределенный интеграл определяется как множество первообразных функций подынтегральной функции. Рассматриваются свойства неопределенного интеграла, приводится

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА

ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА В. Н. Малозёмов mlv@mth.spbu.ru 5 декабря 2013 г. 1. Рассмотрим интегральный функционал вида J(x = F ( tx(tx (t dt. (1 Здесь F(tyz функция трёх переменных

Подробнее