2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости"

Транскрипт

1 В.В. Жук, А.М. Камачкин Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функции в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцирование сложной функции.. Дифференцируемость функции в точке. Рассмотрим сначала случай двух переменных. Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой окрестности S = S(M 0, δ) точки M 0 = (x 0, y 0 ) и пусть M = (x, y) S, x = x x 0, y = y y 0 и, значит, ρ = ρ(m, M 0 ) = x + y < δ. Положим z = f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ). Определение. Функция z = f(x, y) называется дифференцируемой в точке (x 0, y 0 ), если существуют два числа A и B такие, что при ρ 0 z = A x + B y + α( x, y), () α( x, y) = ε( x, y)ρ, lim ε( x, y) = 0. () ρ 0 В случае дифференцируемости функции f в точке (x 0, y 0 ) линейная функция A x + B y переменных x и y называется дифференциалом функции f в точке (x 0, y 0 ) и обозначается dz. Таким образом, dz = A x + B y. Вместо x и y употребляются так же равнозначные обозначения dx и dy, т.е. пишут Из () следует, что dz = Adx + Bdy. α( x, y) lim = 0. (3) M M 0 ρ Функция α( x, y), обладающая свойством (3) обозначается по аналогии с функциями одной переменной o(ρ) при ρ 0. Используя это обозначение, определение дифференцируемости можно переписать в виде z = A x + B y + o(ρ). (4)

2 Лемма. Условие () эквивалентно условию α( x, y) = ε ( x, y) x + ε ( x, y) y, ρ 0, (5) lim ε = lim ε = 0. ρ 0 ρ 0 Доказательство. Пусть выполнено (), т.е. α = ερ ε 0 при ρ 0. Тогда α = ερ = ε x x + y x + ε y x + y y = ε x + ε y, ε = ε x x + y, ε ε y = x + y. Так как x x,, x + y x + y то ε ε, ε ε и, следовательно, lim ρ 0 ε = lim ρ 0 ε = 0. Тем самым представление (5) получено. Пусть теперь выполнено условие (5), т.е. α = ε x + ε y, ρ 0, ε 0 и ε 0 при ρ 0. Тогда α = ( x x + y ε y x + ) x + y ε + y = ερ, ε = x x + y ε y + x + y ε, и, значит, ε ε + ε. Поэтому ε 0 при ρ 0, т.е. представление () получено. Теорема. Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x 0, y 0 ), то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Так как x ρ и y ρ, то из () и () следует, что lim ρ 0 z = 0, а это и означает непрерывность функции в точке (x 0, y 0 ).

3 Теорема. Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x 0, y 0 ) и dz = A x + B y ее дифференциал в этой точке, то в этой точке у функции f существуют все частные производные и Таким образом, f(x 0, y 0 ) x = A, f(x 0, y 0 ) = B. (6) dz = z z dx + x dy. Доказательство. Согласно определению дифференцируемости z = A x + B y + ε x + ε y, lim ρ 0 ε = lim ρ 0 ε = 0. Полагая y = 0, получим z = f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) =: x z = A x + ε x, lim x 0 ε = 0. Значит x z x = A + ε. (7) Правая часть (7) при x 0 стремится к A, поэтому и левая часть при x 0 имеет тот же предел, а это означает, что в точке (x 0, y 0 ) существует частная производная z/ x = A. Аналогично, полагая x = 0 и переходя к пределу при y 0, получим z/ = B. Отметим, что из непрерывности в данной точке функции n переменных не вытекает существование у нее в этой точке частных производных. Важно заметить, что при n из существования даже всех частных производных в некоторой точке не следует непрерывность в этой точке. Чтобы убедиться в этом рассмотрим функцию f(x, y) равную нулю, если xy = 0 и, если xy 0. Очевидно, f(x, 0) = f(0, y) = 0 и значит f(0, 0) x = f(0, 0) = 0. Однако, эта функция разрывная в точке (0,0), так как, например, ее предел вдоль прямой y = x при (x, y) (0, 0) равен, а f(0, 0) = 0.. Достаточное условие дифференцируемости функции в терминах частных производных. Теорема 3. Пусть функция z = f(x, y) в некоторой окрестности точки (x 0, y 0 ) имеет частные производные z/ x и z/, которые непрерывны в самой точке (x 0, y 0 ). Тогда функция z = f(x, y) дифференцируема в этой точке. 3

4 Доказательство. Пусть S(δ) δ окрестность точки (x 0, y 0 ), в которой определена вместе со своими частными производными f x и f y функция f. Выберем x и y так, чтобы (x 0 + x, y 0 + y) S(δ). Замечая, что z = f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) = = [f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 + y)] + [f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 )], применим к выражениям, стоящим в квадратных скобках и являющимися приращениями функции только по одной переменной, формулу Лагранжа. z = f x(x 0 + θ x, y 0 + y) x + f y(x 0, y 0 + θ y) y, (8) 0 < θ, θ <, причем θ и θ зависят, конечно, от x и y. Если положить f x(x 0 + θ x, y 0 + y) f x(x 0, y 0 ) = ε, f y(x 0, y 0 + θ y) f y(x 0, y 0 ) = ε, (9) то, в силу непрерывности частных производных f x и f y в точке (x 0, y 0 ), имеем Подставляя (9) в (8) получаем lim ε = lim ε = 0. (0) ρ 0 ρ 0 z = f x(x 0, y 0 ) x + f y(x 0, y 0 ) y + ε x + ε y, что в силу выполнения условия (0), и означает дифференцируемость функции f в точке (x 0, y 0 ). Определение. Функция, имеющая в некоторой точке (и соответственно на некотором множестве) непрерывные частные производные, называется непрерывно дифференцируемой в этой точке (соответственно на множестве)..3 Все определения и утверждения пунктов. и. переносятся и на случай функции y = f(x), x = (x,..., x n ), любого числа n переменных, определенной в некоторой окрестности точки x (0). Например, условие дифференцируемости в данной точке x (0) в общем случае выглядит так: y = A x A n x n + o(ρ), ρ 0, () 4

5 ρ = n x i, y = f(x,..., x n ) f(x (0),..., x(0) n ), x i = x i x (0) i (i =, n), i= причем в этом случае A i = f(x(0) ) x i, (i =, n). В случае, когда имеет место () линейная функция f(x) x x f(x) x n x n n переменных x,..., x n (здесь вместо x (0) написано x) называется дифференциалом функции в данной точке x и обозначается df(x): df(x) = f(x) x x f(x) x n x n Переменные x i называются также дифференциалами переменных x i и обозначаются dx i (i =, n). В этих обозначениях дифференциал функции f записывается в виде df(x) = f(x) dx f(x) dx n. x x n Теоремы -3 очевидным образом обобщаются на функции n переменных..4 Дифференцирование сложной функции. Теорема 4. Пусть функции x(t) и y(t) одного переменного t дифференцируемы в точке t 0 и пусть x 0 = x(t 0 ), y 0 = y(t 0 ). Пусть, далее, функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x 0, y 0 ) и в некоторой окрестности точки t 0 имеет смысл суперпозиция f(x(t), y(t)). Тогда функция z = f(x(t), y(t)) имеет в точке t 0 производную dz/dt и в этой точке или, подробнее, dz dt = z dx x dt + z dy dt () df(x(t 0 ), y(t 0 )) dt = f(x 0, y 0 ) x dx(t 0 ) dt + f(x 0, y 0 ) dy(t 0 ). dt Доказательство. В силу дифференцируемости функции z = f(x, y) в точке (x 0, y 0 ) z = f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) 5

6 представимо в виде z = z z x + x y + ε x + y, (3) функция ε = ε( x, y) такова, что lim ρ 0 ε = 0 (ρ = x + y ). Доопределим функцию ε( x, y) в точке (0,0), положив ε(0, 0) = 0. Так доопределенная функция ε( x, y) является непрерывной в точке (0,0). Пусть теперь t - приращение переменной t и x = x(t 0 + t) x(t 0 ), y = y(t 0 + t) y(t 0 ). Разделим обе части равенства (3) на t ( x z t = z x x t + z y t ± ε t ) + ( ) y. (4) t При t 0, в силу непрерывности функций x(t) и y(t) в точке t 0, получим x 0 и y 0, а значит, и lim t 0 ρ = 0. Отсюда по теореме о суперпозиции непрерывных функций Далее, lim t 0 ( x ) + t lim ε( x, y) = 0. t 0 ( ) y = x t (t 0 ) + y (t 0 ). Из всего сказанного следует, что при t 0 правая часть (4) стремится к конечному пределу z dx x dt + z dy dt, а потому и левая часть этой формулы, т.е. z/ t стремится к тому же пределу, а это и означает, что в точке t 0 существует производная dz/dt и выражается формулой (). Замечание. Хотя в окончательную формулу производной сложной функции входят только производные z/ x и z/ функции z = f(x, y), по ходу доказательства существенно использовалось более сильное свойство этой функции, чем существование частных производных, а именно ее дифференцируемость. Следствие. Пусть функции x = x(u, v), y = y(u, v) определены в некоторой окрестности точки (u 0, v 0 ), а функция z = f(x, y) определена в некоторой окрестности точки (x 0, y 0 ), x 0 = x(u 0, v 0 ), y 0 = y(u 0, v 0 ) и в некоторой окрестности точки (u 0, v 0 ) имеет смысл суперпозиция f(x(u, v), y(u, v)). 6

7 Если функция f(x, y) дифференцируема в точке (x 0, y 0 ) и существуют частные производные x/ u и / u в точке (u 0, v 0 ), то в точке (u 0, v 0 ) существует частная производная z/ u сложной функции z = f(x(u, v), y(u, v)), причем z u = z x x u + z u. (5) Доказательство. Фиксируем v = v 0 и рассмотрим сложную функцию z = f(x(u, v 0 ), y(u, v 0 )) одного переменного u. Согласно теореме 4 получаем, что производная z/ u в точке (u 0, v 0 ) существует и выражается формулой (5). Аналогично, если в точке (u 0, v 0 ) существуют частные производные x/ v и / v, то у сложной функции z = f(x(u, v), y(u, v)) существует в точке (u 0, v 0 ) частная производная по v и для нее справедлива формула (x (0) z v = z x x v + z v. Рассмотрим общий n-мерный случай. Пусть в окрестности точки x (0) =,..., x(0) n ) задана функция y = y(x,..., x n ), а на некотором множестве E t R k заданы функции x i = x i (t,..., t k ) (i =, n), такие, что x i (t (0),..., t(0) k ) = x (0) i. Пусть, далее функция y = y(x,..., x n ) дифференцируема в точке x (0) и в точке t (0) = (t (0),..., t(0) k ) существуют частные производные x i/ t j (i =, n, j =, k). Тогда, если в некоторой окрестности точки t (0) имеет смысл сложная функция y(x(t)), то она имеет в точке t (0) частные производные / t j (j =, k), причем t j = n i= x i (j =, k). x i t j 7

6. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл

6. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл 6. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x 0, если ее приращение в этой точке может быть записано как сумма линейной

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

Глава 7. Функции многих переменных

Глава 7. Функции многих переменных Глава 7. Функции многих переменных 7.1. Евклидово пространство R n Начнем с определения n-мерного эвклидова пространства. Определение 7.1. n-мерным эвклидовым пространством R n над полем действительных

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Лекция Последовательности комплексных чисел

Лекция Последовательности комплексных чисел Лекция 2 2.1 Последовательности комплексных чисел Комплексное число a называется пределом последовательности комплексных чисел {z n }, если для любого числа ε > 0 найдется такой номер n 0 n 0 (ε), что

Подробнее

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности. 5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

Подробнее

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +, Лекция 6 ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ В этой лекции мы введём потенциалы простого и двойного слоя, которые уже мы встречали в третьей формуле Грина из предыдущей тематической лекции, и изучим сначала свойства

Подробнее

Лекция 3. Нелинейные операторы.

Лекция 3. Нелинейные операторы. Лекция 3. Нелинейные операторы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 12 сентября 2012 г. Обозначения. Пусть B 1 и B 2 это два банаховых пространства относительно

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

6 Дифференциальные формы

6 Дифференциальные формы 6 Дифференциальные формы Пример Рассмотрим стандартную плоскость R 2 с координатами x и y Дифференциалы dx и dy -формы По определению для любого вектора v, касающегося R 2, dx(v) v x, dy(v) v y, те форма

Подробнее

). Частной производной функции f по переменной x k в точке x. ). Полным дифференциалом функции f

). Частной производной функции f по переменной x k в точке x. ). Полным дифференциалом функции f ГЛАВА 7 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 1 Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных Опр711 Пусть М (, y ), : O(М, ) Рассмотрим функцию 1 = 1 ()=

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Справедливо и обратное утверждение.

Справедливо и обратное утверждение. Понятие комплексного переменного Предел и непрерывность комплексного переменного Пусть дано два множества комплексных чисел D и Δ и каждому числу z D поставлено в соответствие число ω Δ которое обозначается

Подробнее

Раздел 9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Тема 2. Дифференцирование функций нескольких переменных

Раздел 9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Тема 2. Дифференцирование функций нескольких переменных Раздел 9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Тема 2. Дифференцирование функций нескольких переменных Содержание Частные производные функции нескольких переменных 2 Полное приращение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л.Чебышева. Закон больших чисел для последовательности

Подробнее

Лекция 8. Слабая и сильная производные

Лекция 8. Слабая и сильная производные Лекция 8. Слабая и сильная производные Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 9 апреля 2012 г. Определение слабой производной Определение

Подробнее

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВ Абанин, ДА Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Проф др Авыт АСАНОВ Кыргызско-Турецкий Университет «Манас» Классические понятия производной и дифференциала функции изложены во многих работах Например в []

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА

ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА В. Н. Малозёмов mlv@mth.spbu.ru 5 декабря 2013 г. 1. Рассмотрим интегральный функционал вида J(x = F ( tx(tx (t dt. (1 Здесь F(tyz функция трёх переменных

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

Конспект лекций по матанализу 2014 год, 2 курс Лекция 1 (01 сентября 2014)

Конспект лекций по матанализу 2014 год, 2 курс Лекция 1 (01 сентября 2014) Конспект лекций по матанализу 2014 год, 2 курс Лекция 1 (01 сентября 2014) В этом модуле мы будем заниматься функциями многих переменных. В основном, функции все будут гладкими, то есть у них будут существовать

Подробнее

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ:

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Лекция 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. пространство

Лекция 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. пространство Лекция 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. Пространство P Напомним, что топология τ пространства Фреше P, τ) порождена следующим счетным семейством полунорм: def f n p n f) max sup + x 2) n fx)..) n x Определение.

Подробнее

1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций

1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций Лекция 2 ПРОСТРАНСТВО AC И ПРОСТРАНСТВА ГЕЛЬДЕРА. 1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций Определение 1. Будем говорить, что функция f(x) AC[,b], если для любого ε > 0 найдется такое

Подробнее

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ В этой лекции мы напомним определение производной Фреше и получим выражения для производных Фреше некоторых важных функционалов и операторов,

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

Математический анализ-2

Математический анализ-2 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Бакинский филиал ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Э. М. Галеев Математический анализ-2 Баку - 215 Учебное пособие Галеев Э.М. Математический анализ-2. Учебное

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2012-2013 гг. Выпуклые функции. Сопряженные функции. X нормированное пространство (вообще говоря, бесконечномерное),

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ.

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. В.А.Ильин, А.А.Кулешов Рассмотрим на этот раз в открытом с одной стороны

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Москва, 2002 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания

Подробнее

ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ. А. В. Фоминых. 22 октября 2015 г.

ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ. А. В. Фоминых. 22 октября 2015 г. ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ А. В. Фоминых alexfomser@mail.ru октября 15 г. Аннотация. В докладе рассматривается дифференциальное включение с заданными многозначным отображением

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Обозначим через D множество всех бесконечно дифференцируемых финитных функций действительного переменного. Это

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Подробнее

2. Пространства Соболева

2. Пространства Соболева 2. Пространства Соболева В теории дифференциальных уравнений в основном имеют дело с измеримыми функциями. Пусть область в R d. Функция u : R называется измеримой, если она является поточечным пределом

Подробнее

Об асимптотическом разложении интегралов с медленно убывающим ядром. J h J h h, h 0 h 0 k... ; O. (3)

Об асимптотическом разложении интегралов с медленно убывающим ядром. J h J h h, h 0 h 0 k... ; O. (3) АН Тихонов и АА Самарский Об асимптотическом разложении интегралов с медленно убывающим ядром Рассмотрим интеграл вида J[ ; ] d ядро которого () при имеет характер - функции если В работе [] было получено

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы.

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 19 сентября 212 г. Обозначения пусть B это некоторое банахово пространство

Подробнее

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого Боревич АЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебное пособие Санкт-Петербург 5 Оглавление Глава Предел Непрерывность

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Линейные функционалы

Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Линейные функционалы Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Линейные функционалы Напомним некоторые понятия линейной алгебры. Действительно, пусть L это линейное пространство над полем либо вещественных либо комплексных

Подробнее

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры Математический сборник т 7(69) 95 А Н Тихонов О системах дифференциальных уравнений содержащих параметры Рассмотрим систему дифференциальных уравнений n и решение этой системы определяемое условиями Это

Подробнее

cos t = Re(e it ); sin t = Im(e it ): cos x = 1 x2 2! + x 4 4! x 6 7 sin x = x x3 3! + x 5! x n E n) = cos x; n E n) = sin x: cos x = lim

cos t = Re(e it ); sin t = Im(e it ): cos x = 1 x2 2! + x 4 4! x 6 7 sin x = x x3 3! + x 5! x n E n) = cos x; n E n) = sin x: cos x = lim 4. Тригонометрия Теперь все готово для того, чтобы дать строгие определения тригонометрических функций. На первый взгляд они, видимо, покажутся довольно странными; тем не менее мы покажем, что определенные

Подробнее

Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима Семинар 3: производные и условия оптимальности. Решение задач. 24 января 2017 г.

Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима Семинар 3: производные и условия оптимальности. Решение задач. 24 января 2017 г. Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима 207 Семинар 3: производные и условия оптимальности. Решение задач. 24 января 207 г. Теория Для вычисления большинства производных, которые возникают на практике, достаточно

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

Ряды аналитических функций

Ряды аналитических функций Лекция 6 Ряды аналитических функций 6.1 Функциональные последовательности Пусть D C и f n : D C. Последовательность функций {f n } сходится поточечно (converges pointwise) к функции f : D C если для каждого

Подробнее

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Глава 3 ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Лекции 3-4 Интегральное уравнение Фредгольма -го рода как пример некорректно поставленной задачи Эта тема по предмету рассмотрения

Подробнее

Производная и дифференциал. Лекция 4-5

Производная и дифференциал. Лекция 4-5 Производная и дифференциал Лекция 4-5 Приращения функции и аргумента Пусть функция y f ( x) определена в некоторой окрестности U( x) точки x и x U( x) произвольная точка из этой окрестности. Разность x

Подробнее

Гипергеометрические функции

Гипергеометрические функции Гипергеометрические функции 1 Канонический вид уравнения гипергеометрического типа Уравнение гипергеометрического типа σy + τy + λy =, (1.1) где σ(z) полином не старше второй степени, τ(z) полином не старше

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Мы определяли функцию одного вещественного аргумента как отображение f : D R некоторого подмножества D R действительных чисел в действительные числа. Аналогичное определение можно

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Некоторые материалы из лекций по анализу ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ. Содержание

Некоторые материалы из лекций по анализу ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ. Содержание Некоторые материалы из лекций по анализу ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Постановка вопроса Содержание Некоторые напоминания Итерационные методы решения уравнений. Сжимающие отображения. Принцип неподвижной

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса

Подробнее

Содержание. В2-05, В2-12 Весна 2008 Лекции, часть II

Содержание. В2-05, В2-12 Весна 2008 Лекции, часть II В-5, В- Весна 8 Лекции, часть II Содержание. Приложения определенного интеграла.. Вычисление площади плоской фигуры........................... Площадь фигуры в декартовых координатах...................

Подробнее

Уравнения математической физики. Ю. Л. Калиновский

Уравнения математической физики. Ю. Л. Калиновский Уравнения математической физики Ю. Л. Калиновский Классификация дифференциальных уравнений 1 Лекция 1.1 Классификация дифференциальных уравнений Большое число различных физических задач приводит к дифференциальным

Подробнее

Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа

Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа # январь Кандаурова И Е УДК: 57 Россия МГТУ им НЭ Баумана hadaur@gyrplaru Введение Классический курс математического анализа

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ЛЕКЦИЯ 7 Неограниченные линейные операторы Хотя методами главы I нам удалось исследовать многие задачи математической физики, некоторые вполне классические задачи не

Подробнее

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Подробнее

Тематическая лекция 5 ПОЛУЛИНЕЙНОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ. 1. Оператор Немыцкого

Тематическая лекция 5 ПОЛУЛИНЕЙНОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ. 1. Оператор Немыцкого Тематическая лекция 5 ПОЛУЛИНЕЙНОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ В этой лекции мы рассмотрим первый базовый оператор эллиптического типа следующего вида: u + f(x,u), где функция f(x, u) принадлежит к так называемому

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Лектор д.ф.-м.н. В.В.Чепыжов * Факультет математики ВШЭ, 2017 г. 2 семестр Лекция 15 (21 марта 2017) 1. Интеграл Фурье. Основная теорема На прошлых лекциях были установлены условия,

Подробнее

Интегральная форма теоремы Лагранжа и ее применение к определенному интегралу

Интегральная форма теоремы Лагранжа и ее применение к определенному интегралу УДК 5 Мироненко ЛП, Прокопенко НА Донецкий национальный технический университет, кафедра высшей математики им ВВПака Интегральная форма теоремы Лагранжа и ее применение к определенному интегралу Анотація

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. - дифференцируемые функции, то сложная функция y f ( g( тоже дифференцируема, причѐм:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. - дифференцируемые функции, то сложная функция y f ( g( тоже дифференцируема, причѐм: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Дифференцирование сложных и неявных функций Приложения понятия частных производных(производная по направлению, градиент функции) Дифференцирование

Подробнее

1 Комплексные функции

1 Комплексные функции 1 Комплексные функции 1.1 Комплексные числа Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел C = {(x, y) : x, y R}, z = x + iy, где i мнимая единица (i

Подробнее

МЕТОД РИМАНА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СО СТАРШЕЙ ЧАСТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В R n А. Н. Миронов

МЕТОД РИМАНА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СО СТАРШЕЙ ЧАСТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В R n А. Н. Миронов Сибирский математический журнал Май июнь, 2006. Том 47, 3 УДК 517.955 МЕТОД РИМАНА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СО СТАРШЕЙ ЧАСТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В R А. Н. Миронов Аннотация: Предложен вариант метода Римана решения задачи

Подробнее

17. Дополнения. Доказательство. Зададимся числом " > 0. Покажем для начала, что существует такое x 0, что. < " при x > x 0. (17.1)

17. Дополнения. Доказательство. Зададимся числом  > 0. Покажем для начала, что существует такое x 0, что. <  при x > x 0. (17.1) 17. Дополнения На этой сокращенной лекции последней лекции первого семестра мы осветим два вопроса, на которые не хватило времени в прошлый раз. Мы видели, что для раскрытия неопределенности вида 0=0,

Подробнее

15. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора

15. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора 15. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора Начнем эту лекцию с того, что введем два часто используемых в анализе обозначения. Именно: пусть f и g две функции переменной x, обе стремящиеся к

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия

Подробнее

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Лектор Рожкова С.В. 1 г. 18. Формула Тейлора для ФНП Если y = раз дифференцируема в окрестности

Подробнее

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ (V семестр) составитель Д. В. Ховрат ович

Подробнее

Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Следствие неравенства Гельдера

Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Следствие неравенства Гельдера Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ В этой лекции мы продолжим рассмотрение пространств Лебега, начатое в третьей лекции предыдущего семестра. Для более полного понимания следует посмотреть эту лекцию..

Подробнее

5. Еще о пределах; ряды

5. Еще о пределах; ряды 5. Еще о пределах; ряды Докажем сначала предложение, на которое нам не хватило времени на прошлой лекции. Предложение 5.. Для всякого b > 0 имеем lim n (ln n=n b ) = 0. (Переход к произвольному основанию

Подробнее

такова, что: 1)f(, t, y, z) прогрессивно измерима t и для всех (y, z) со значениями в R d 1

такова, что: 1)f(, t, y, z) прогрессивно измерима t и для всех (y, z) со значениями в R d 1 3 2.2.2 Метод сжимаающих отображений Аналогичные рассуждения при определенных условиях справедливы и в общем случае. Приведем условия, при которых существует единственное решение (y(), z()) Y M задачи

Подробнее

1.Дивергенция векторного поля.

1.Дивергенция векторного поля. ЛЕКЦИЯ N Дивергенция векторного поля Циркуляция Ротор отенциальные соленоидальные гармонические поля Операторы Лапласа и Гамильтона Дивергенция векторного поля Соленоидальные поля Циркуляция 4Формула Стокса

Подробнее

10. Еще о рядах; предел функции

10. Еще о рядах; предел функции 10. Еще о рядах; предел функции До сих пор мы знали только один признак сходимости рядов, применимый не только к рядам с положительными членами, признак абсолютной сходимости. Этот признак, однако, далеко

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее