РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс"

Транскрипт

1 Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Вариант 1 1 Сравните числа ( ) 1 и ( ) Решите уравнение = log log Решите неравенство Изобразите множество точек плоскости Oy, для которых верно равенство + y = y 5 Найдите количество целочисленных решений уравнения + 1 y + y = 1 + y + z = 15; 6 Решите систему уравнений + y + z = 75 7 Воспользовавшись равенством sin18 = sin 7, найдите sin 6 8 В треугольник со сторонами, и вписали окружность Точки касания окружности со сторонами треугольника соединили, и в полученный треугольник снова вписали окружность Найдите ее радиус 9 Обозначим в правильной треугольной пирамиде угол наклона бокового ребра к плоскости основания α, угол наклона боковой грани к плоскости основания β, плоский угол при вершине γ Известно, что γ= α Найдите α, β, γ 1 Найдите значение параметра а, при котором верно равенство: d= 1 a Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru 1

2 Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Вариант 1 Сравните числа ( ) 1 и ( ) 1 1 Решите уравнение + + 1= log5 log5 Решите неравенство Изобразите множество точек плоскости Oy, для которых верно равенство y + y = 5 Найдите количество целочисленных решений уравнения y y = 1 + y+ z = 18; 6 Решите систему уравнений + y + z = 18 7 Воспользовавшись равенством sin18 = cos16, найдите cos 54 8 В треугольник со сторонами 5, 5 и 4 вписали окружность Точки касания окружности со сторонами треугольника соединили, и в полученный треугольник снова вписали окружность Найдите ее радиус 9 Обозначим в правильной четырехугольной пирамиде угол наклона бокового ребра к плоскости основания α, угол наклона боковой грани к плоскости основания β, плоский угол при вершине γ Известно, что γ= α Найдите α, β, γ 1 Найдите значение параметра а, при котором верно равенство: a 1 1 d= 1 66

3 y = ч Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Ответы к варианту 1 1 Левое число больше правого 1+ 5 (;,5] [; + ) 4 См рис 5 пары решений 6 {(5; 5; 5)} sin 6 = 6 α= arctg, 1 a = π β=, γ= arctg y y =

4 y = ч Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Ответы к варианту 1 Левое число больше 1 5 ( ;,] [5; + ) 4 См рис 5 пары решений 6 {(6; 6; 6)} cos 54 = π 1 9 α= arctg, β=, γ= arctg 4 1 a = 1 y y = 4

5 y = ч Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Решения задач варианта 1 1 Сравните числа Заметим, что ( ) 1 и ( ) < < , поэтому левое число больше правого + 1 Решите уравнение = В зависимости от знака х возможны два случая: =, > ; ( + + 1) =, > ; = =, < ( + 1) =, < + = 1, > ; = 1, < + = 1, < = + = 1, < 1+ 5 Ответ: log log Решите неравенство + 6 Справедливы следующие переходы: ; log log log log log log 1; log 1 1 log 1 < 4 Изобразите множество точек плоскости Oy, для которых верно равенство + y = y y Поскольку сумма модулей двух величин равна модулю их суммы в том и только в том случае, когда они имеют одинаковый знак, y = имеем + y = y + y = + ( y ) ( y ) Тогда в правой полуплоскости оно представляет собой точки, лежащие не ниже, а в левой полуплоскости не выше прямой y = 5 Найдите количество решений уравнения в целых числах + 1 y + y = 1 Поскольку никакой из модулей не может превосходить единицы, можно рассмотреть три случая: 5

6 =, 1 y + y = 1; + 1 y + y = 1 = 1, y + y 1 = 1; = 1, y + y+ 1 = 1 Заданное уравнение имеет пары решений =, 1 y + y = 1; =, y= 1; 1, 1 y y 1 ; = + = =, y= ; = 1, 1 y + y+ 1 = = 1, y= 1 + y + z = 15; 6 Решите систему уравнений + y + z = 75 1 способ Вычтем из второго уравнения первое, предварительно умножив на 1 обе его части Имеем y z y z y z y z = 75 ( 5) + ( 5) + ( 5) = = = = 5 Проверка показывает, что полученные числа являются решениями системы способ Поскольку ( + y + z) = + y + z + ( y + yz + z), используя первое и второе уравнение, получим 5 = 75 + ( y + yz + z) y + yz + z = 75 По неравенству Коши-Буняковского-Шварца ( + y + z )( y + z + ) ( y+ yz + z), в нашем случае мы имеем равенство, что соответствует коллинеарности векторов ( ; y; z ) и ( y; z; ) Тогда = ty, y = tz, z = t, откуда yz = t yz t = 1, что дает = y= z способ Вычитая из квадрата первого уравнения второе, получим ( y z) ( y z ) 5 75 y yz z = + + = Вычтем из удвоенного второго уравнения полученное, имеем ( ) ( ) ( ) + y + z y yz z = y + y z + z = = y = z Тогда из первого уравнения = y= z = 5 Найденные числа решения системы 4 способ Запишем первое уравнение в виде ( 5) + ( y 5) + ( z 5) = и введем новые переменные: 5 = a, y 5 = b, z 5 = c Тогда a b c y z y z + + = ( + + ) = =, откуда a= b= c=, что дает = y = z = 5 5 способ Рассмотрим два вектора: ( ; y; z ) и (1; 1; 1), с длинами 75 и соответственно Первое уравнение системы представляет собой их скалярное произведение: 15 = + y + z = ( ; y; z) (1;1;1) = ( ; y; z) (1;1;1) cos α= 75 cosα= 15cosα, где α угол между ними Поскольку cos α = 1 векторы коллинеарны, откуда = y= z, что и дает ответ 6

7 6 способ Первое уравнение системы задает плоскость, второе сферу радиуса 75 с центром в начале координат Покажем, что плоскость касается сферы Используя формулу для расстояния от точки ( ; y; z ) до плоскости A + By + Cz + D = получим A + By + Cz + D d =, A + B + C d = = = Таким образом, расстояние от центра сферы до заданной плоскости равно радиусу сферы, что соответствует случаю их касания Тогда система имеет единственное решение, которое можно угадать Итак, = y = z = 5 Если решение угадать не удается, поступим формально: требуется определить вектор, с началом в начале координат, конец которого лежит на плоскости + y+ z = 15, коллинеарный вектору нормали к плоскости Тогда искомый вектор имеет координаты k (1;1;1) = ( k; k; k) Поскольку координаты удовлетворяют уравнению плоскости, получаем k + k + k = 15 Отсюда k = 5, и тогда = y= z = 5 7 Воспользовавшись равенством sin18 = sin 7, найдите sin 6 Пусть 6 =α, имеем Тогда sinα= sinα sinα 4sin α= sinαcosα 4sin α= cosα (1 cos α ) = cosα 4cos α cosα 1= cosα= sin 6 = sin α= 1 cos α = 1 = В треугольник со сторонами, и вписали окружность Точки касания окружности со сторонами треугольника соединили, и в полученный треугольник снова вписали окружность Найдите ее радиус Длины всех отрезков обозначены на рисунке Искомый радиус есть S 8 6 r = = = = = p (4 + 4 ) (1 + ) + 1 / 1 8 / Обозначим в правильной треугольной пирамиде угол наклона бокового ребра к плоскости основания α, угол наклона боковой грани к плоскости основания β, плоский угол при вершине γ Известно, что γ= α Найдите α, β, γ Пусть R и r радиусы описанной и вписанной в основание окружностей соответственно Тогда Поскольку R = r и γ= α, имеем R γ r Rtg α= rtgβ и cos = cos α cosβ π β=, откуда α= arctg и γ= arctg, что и дает ответ 7

8 1 Найдите значение параметра а, при котором верно равенство: d= 1 a 1 Отметим, что площадь подграфика на отрезке [; 66] есть =, а площадь, соответствующая отрезку [ ; ], равна Таким образом, площадь, соответствующая отрезку [ a; ] должна равняться 5 Имеем уравнение 1 ( ) a 5 a 1 = = 8

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 10 класс

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 10 класс Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь 1 Сравните числа 1 класс ( 6 5 + 4) 1 и ( 8 + 7 6) 1 Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Вариант 1 + 1 Решите

Подробнее

Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина

Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru Санкт-Петербургский государственный университет, 1987 год факультет прикладной математики процессов управления, математико-механический факультет,

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 8 6 6,5 Решение Используя свойства степени получаем: 8

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет, 1992 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления

Санкт-Петербургский государственный университет, 1992 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru Санкт-Петербургский государственный университет, 99 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет, 1991 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления

Санкт-Петербургский государственный университет, 1991 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Санкт-Петербургский государственный университет, 99 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год демонстрационная версия. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год демонстрационная версия. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmthnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год демонстрационная версия Часть A A Найдите значение выражения 65 + 6 5 5+ 9 5 5+ 9 7 5 65 + 6

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина

Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru Санкт-Петербургский государственный университет, 989 год факультет прикладной математики процессов управления, математико-механический факультет,

Подробнее

d. d. c3?, Материалы математических олимпиад физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

d. d. c3?, Материалы математических олимпиад физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета d d c?, Материалы математических олимпиад физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета c?, d d Материалы математических олимпиад физического факультета Санкт-Петербургского

Подробнее

Примеры решения задач

Примеры решения задач И. В. Яковлев Материалы по математике athus.ru Расстояние от точки до плоскости Если точка не принадлежит плоскости, то расстояние от точки до плоскости это длина перпендикуляра, проведённого из точки

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2002 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2002 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 6 7 4 5 6 5 4 4 6 6 4 4 Решение Пользуясь свойствами арифметического

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет, 1984 год математико-механический факультет. Вариант 1

Санкт-Петербургский государственный университет, 1984 год математико-механический факультет. Вариант 1 Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru Санкт-Петербургский государственный университет, 1984 год математико-механический факультет Вариант 1 1. На промежутке (1; 10] определите

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет, 1993 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления

Санкт-Петербургский государственный университет, 1993 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Санкт-Петербургский государственный университет, 993 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет. Факультет ПМ-ПУ. Олимпиада по математике. 2009г. Вариант 1.

Санкт-Петербургский государственный университет. Факультет ПМ-ПУ. Олимпиада по математике. 2009г. Вариант 1. Олимпиада по математике 009г Вариант 1 1) На координатной плоскости Oxy изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению y + y 1 + x = ) Решите уравнение 4x + 1 = + 3 8x 6 3) Решите

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет, 1988 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления

Санкт-Петербургский государственный университет, 1988 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Санкт-Петербургский государственный университет, 988 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления

Подробнее

C2 Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1. : π 2,, 2π arccos 4. Ответ: 45.

C2 Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1. : π 2,, 2π arccos 4. Ответ: 45. Математика. класс. Вариант Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. C Дано уравнение sinx 4cos x sin x. а) Решите уравнение. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку π ; 3π а) Преобразуем

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет, 1994 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления

Санкт-Петербургский государственный университет, 1994 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru Санкт-Петербургский государственный университет, 994 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура 1. Докажите, для любых неотрицательных чисел, и выполняется неравенство 6+ + 5 5 + 7 +. Решение. Сложив почленно три известных

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы.

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы. Подготовка к С4 Треугольник, основные теоремы. Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем Учебный центр «Азъ»,. Две прямые

Подробнее

π 7π Решение. Рассмотрим треугольную пирамиду MDAC Тогда Ответ: ρ=. выше

π 7π Решение. Рассмотрим треугольную пирамиду MDAC Тогда Ответ: ρ=. выше Математика. класс. Вариант 7 (без производной) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C x x x x а) Решите уравнение sin x + cos sin cos + sin =. 5 б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Решения заданий варианта ЕГЭ 2007 года. Часть 1

Решения заданий варианта ЕГЭ 2007 года. Часть 1 Решения заданий варианта ЕГЭ 007 года Часть Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru A Упростите выражение b b, 0,,6 b 0,, b, b 0,,6 b, 0,, 0,, Решение: b b = b + = b Правильный ответ:

Подробнее

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Векторы в пространстве и метод координат. Задача C Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый классический

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет, 2007 год математико-механический факультет. Вариант 1

Санкт-Петербургский государственный университет, 2007 год математико-механический факультет. Вариант 1 Санкт-Петербургский государственный университет, 007 год математико-механический факультет Вариант Две вершины квадрата лежат на оси абсцисс координатной плоскости Oy, а две другие на графике функции y

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Все прототипы В года

Все прототипы В года 1. Прототип задания B9 ( 245359) Все прототипы В5 2013 года Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого,,. 2. Прототип задания B9 ( 245360) Найдите расстояние

Подробнее

Лекция 4. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:

Лекция 4. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: Лекция МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 1 Понятие комплексного числа Алгебраическая форма комплексного числа Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа 1 Понятие комплексного числа Алгебраическая

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Подготовка к ЦТ по математике (2014/2015 уч. год) Часть А

Подготовка к ЦТ по математике (2014/2015 уч. год) Часть А Бодунова Лариса Николаевна, учитель математики и информатики ГУО «Гомельская Ирининская гимназия» Подготовка к ЦТ по математике (2014/2015 уч. год) Тест 2 Часть А В каждом задании части А только один вариант

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

Решения задач заочного тура 6-й олимпиады Эйлера

Решения задач заочного тура 6-й олимпиады Эйлера Решения задач заочного тура 6-й олимпиады Эйлера I Математический блок Выясните, при каких значениях параметра найдутся вещественные числа x и y, удовлетворяющие уравнению xy + x + y + 7 Ответ: 89 Решение

Подробнее

(2cos 2 x 1) +0,5= cos 2 x

(2cos 2 x 1) +0,5= cos 2 x С1 cos +0,5= cos а) решить уравнение ЕГЭ от 7 ИЮНЯ 01 г. РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ С1-С ПО МАТЕМАТИКЕ б) найти корни на промежутке [ π; π ] Решение. UMS Team, 01, http://www.umsolver.com cos +0,5= cos (cos 1) +0,5=

Подробнее

Материалы вступительных экзаменов по математике

Материалы вступительных экзаменов по математике Д. Д. Гущин Материалы вступительных экзаменов по математике для поступающих на физический факультет СПбГУ 003 Рекомендовано Малым физическим факультетом Санкт Петербургского государственного университета

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Геометрия 9 класс. Тема 1. Метод координат. Основные понятия. а имеет координаты а {3; 2}

Геометрия 9 класс. Тема 1. Метод координат. Основные понятия. а имеет координаты а {3; 2} Геометрия 9 класс Тема Метод координат Основные понятия Векторы i и j называются координатными векторами, если их длины равны единице, вектор i сонаправлен с осью абсцисс, а вектор j сонаправлен с осью

Подробнее

( ) 2. Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

( ) 2. Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Математика класс Вариант 55 57 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение cos x cos x + = б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ π; π] C Математика класс

Подробнее

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Основные понятия 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексным числом называется выражение вида i, где и действительные числа, i мнимая единица, удовлетворяющая условию i 1 Число называется действительной частью комплексного

Подробнее

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ.

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки до начала координат. 3. При каком

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011, ЗАДАЧИ С2 (лекция для учителей в издательстве «Бином» ) Замечания и пожелания направляйте по адресу:

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011, ЗАДАЧИ С2 (лекция для учителей в издательстве «Бином» ) Замечания и пожелания направляйте по адресу: МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0, ЗАДАЧИ С (лекция для учителей в издательстве «Бином» 000) Замечания и пожелания направляйте по адресу: prokof@nderu Различные методы решения задач на определение углов в пространстве

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС. Найти:

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС. Найти: Задача. Даны вершины треугольника АВС. Найти: ) длины сторон, ) уравнения сторон, ) угол при вершине В, ) площадь треугольника АВС, ) центр, радиус и уравнение окружности, описанной около треугольника

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Подробнее

Все прототипы задания В9 (2013)

Все прототипы задания В9 (2013) Все прототипы задания В9 (2013) ( 245359) Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого,,. ( 245360) Найдите расстояние между вершинами и прямоугольного параллелепипеда,

Подробнее

tg MN M 1 = MM 1. M 1 N = 6 5

tg MN M 1 = MM 1. M 1 N = 6 5 Математика. класс. Вариант (без логарифмов) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Решите систему уравнений y + sinx =, (4 sinx )(y + ) =. y = Из второго уравнения получаем, или sinx =. 6

Подробнее

1.1 Определение и основные свойства функций

1.1 Определение и основные свойства функций 1 Функции и графики 1.1 Определение и основные свойства функций Определение 1.1 Будем говорить, что задана однозначная функция y = f() в данной области изменения переменной X = {}, если каждому значению

Подробнее

Выпускной экзамен по алгебре и началам анализа, 1999 год базовые классы. Вариант Решите уравнение 2cos xsin x+ cos2x= 0.

Выпускной экзамен по алгебре и началам анализа, 1999 год базовые классы. Вариант Решите уравнение 2cos xsin x+ cos2x= 0. Выпускной экзамен по алгебре и началам анализа, 1999 год базовые классы Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru Работа 1 1 Решите уравнение 5 6 5 + 5 = 65.. Решите неравенство log

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика

Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика Курс I Семестр Профессия.0.0. Автомеханик. Иррациональные уравнения. х х. х х. х х. х 7 7 х. х х 0. х х. х х. х 8 х. х х. 7 х х. х х

Подробнее

(2n + 1) = (2m) 2

(2n + 1) = (2m) 2 Районная олимпиада по математике г. Хабаровск, 001 год 9 КЛАСС Задача 1. Пусть n (n 3) различных точек расположены на плоскости так, что любые три из них лежат на одной прямой. Доказать, что все они лежат

Подробнее

РАЗБОР ДЕМОНСТРАЦИОННОЙ ВЕРСИИ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ (НОВАЯ МОДЕЛЬ КИМов) Часть B

РАЗБОР ДЕМОНСТРАЦИОННОЙ ВЕРСИИ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ (НОВАЯ МОДЕЛЬ КИМов) Часть B Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathet.spb.ru РАЗБОР ДЕМОНСТРАЦИОННОЙ ВЕРСИИ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ (НОВАЯ МОДЕЛЬ КИМов) Часть B. (Б) * Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической

Подробнее

Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx

Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx Тема. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость... Лекция. Геометрические образы. Способы задания линий... Геометрические образы уравнений и неравенств... Определение геометрического образа при помощи

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Выпускной экзамен по алгебре и началам анализа, 1994 год математические классы. Вариант 1

Выпускной экзамен по алгебре и началам анализа, 1994 год математические классы. Вариант 1 Выпускной экзамен по алгебре и началам анализа, 99 год математические классы Вариант Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Работа Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ Решение многих алгебраических уравнений, неравенств и систем упрощается, если придать входящим в них выражениям геометрический смысл. Например, изобразить

Подробнее

Решение задач заочного тура 2011

Решение задач заочного тура 2011 Решение задач заочного тура 0 I Математический блок Задача Найдите число натуральных корней уравнения Ответ: 00 0 решений Решение задачи Представим число в виде Тогда правая часть данного уравнения равна

Подробнее

Глава 8 ВЫЧИСЛЕНИЯ В СТЕРЕОМЕТРИИ

Глава 8 ВЫЧИСЛЕНИЯ В СТЕРЕОМЕТРИИ Глава 8 ВЫЧИСЛЕНИЯ В СТЕРЕОМЕТРИИ 8.1. РАССТОЯНИЯ И УГЛЫ 8.1.1. Расстояние от точки до плоскости с известным вектором нормали. Уравнение плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Часто встречается задача

Подробнее

Теоретический минимум по вычислительной геометрии

Теоретический минимум по вычислительной геометрии Теоретический минимум по вычислительной геометрии для групп параллели B Летняя компьютерная школа, 2010 г. Содержание 1 Вектора 1 1.1 Скалярное произведение векторов.................................. 2

Подробнее

Данный раздел рассматривает универсальный метод решения задач типа С. Вектор это направленный отрезок. Его длиной считают длину отрезка.

Данный раздел рассматривает универсальный метод решения задач типа С. Вектор это направленный отрезок. Его длиной считают длину отрезка. Тема 57 «Векторы на плоскости и в пространстве» Данный раздел рассматривает универсальный метод решения задач типа С. Вектор это направленный отрезок. Его длиной считают длину отрезка. Если даны две точки

Подробнее

рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. Всего: 196 Прототипы В 6 1 На клетчатой бумаге с клетками размером 5 На клетчатой бумаге с клетками размером 9 Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1 2 На клетчатой бумаге

Подробнее

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C

Подробнее

Централизованное тестирование по геометрии, 2003 год. Часть A

Централизованное тестирование по геометрии, 2003 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru Централизованное тестирование по геометрии, 003 год Часть К каждому заданию части дано несколько ответов, из которых только один верный. Решите

Подробнее

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Задача. Дан треугольник ABC с вершинами A(m ; n ), B(m; -n) и C(-m; n). Найти: a) величину угла A; b) координаты точек пересечения меридиан; c) координаты

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет, 1985 год математико-механический факультет. Вариант 1

Санкт-Петербургский государственный университет, 1985 год математико-механический факультет. Вариант 1 Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru Санкт-Петербургский государственный университет, 1985 год математико-механический факультет Вариант 1 + 1 a 5 1. Для каких действительных

Подробнее

Ответы к заданиям части 1. задания Ответ В В2 12 В3 12 В4 820 В5 3 В6 140 В7 2 В8-0,25 В9 64 В10 0,5 В11 0,3 В12 27,5 В13 10 В14 7

Ответы к заданиям части 1. задания Ответ В В2 12 В3 12 В4 820 В5 3 В6 140 В7 2 В8-0,25 В9 64 В10 0,5 В11 0,3 В12 27,5 В13 10 В14 7 МАТЕМАТИКА, класс.. (0-3 - / 8) Ответы к заданиям части задания Ответ В 9000 В В3 В4 80 В5 3 В6 40 В7 В8-0,5 В9 64 В0 0,5 В 0,3 В 7,5 В3 0 В4 7 Ответы к заданиям части задания Ответ С а) x = πk, k ; б)

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ по математике

Подготовка к ЕГЭ по математике 2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач В5 Наталья и Александр Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой.

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой. РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВАРИАНТА 0 Напомним, что на проверку сдаются решения заданий только из части Решения заданий частей и выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют При выполнении заданий части

Подробнее

Решение. Самая нижняя точка графика соответствует отметке Ответ: 8085.

Решение. Самая нижняя точка графика соответствует отметке Ответ: 8085. 1. В квартире установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). Показания счётчика 1 января составляли 121 куб. м воды, а 1 февраля 131 куб. м. Сколько нужно заплатить за холодную воду за январь,

Подробнее

Пример. Найдите наибольшее значение параметра a, при котором система неравенств. (x a)2 + ( y a) 2 = a2 a 1

Пример. Найдите наибольшее значение параметра a, при котором система неравенств. (x a)2 + ( y a) 2 = a2 a 1 Пример. Найдите наибольшее значение параметра a, при котором система неравенств (x + + 2a)2 + ( y + 1 + a) 2 a2 a 1, x + 2y 2 имеет единственное решение. Первое, на что можно обратить внимание в условии

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Стартовая контрольная работа

Стартовая контрольная работа Стартовая контрольная работа Контрольная работа 1(на 20 мин) 1. Найдите координаты вектора АВ, если А (5; 1; 3), В (2; 2; 4). 2. Даны векторы b (3; 1; 2) и c 2b c (1; 4; 3). Найдите. 3. Изобразите систему

Подробнее

Задания второго отборочного этапа

Задания второго отборочного этапа Задания второго отборочного этапа 11 класс Задача 1. (2 балла) 1. На доске записано шесть натуральных чисел, таких, что для любых двух a и b из них (где b>a), log a b целое число. Какое наименьшее значение

Подробнее

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур 9.03.04 7 класс 7.. Колонна автомобилей движется по шоссе со скоростью 80 км/ч и дистанцией 0 м между автомобилями. Проезжая

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

M середина AD 1, N середина BC 1. Проведем перпендикуляр NH из точки N. C1 Решите уравнение (2sinx 1)( cosx + 1) = 0. Решение:

M середина AD 1, N середина BC 1. Проведем перпендикуляр NH из точки N. C1 Решите уравнение (2sinx 1)( cosx + 1) = 0. Решение: Математика класс Варианты,, 9, (без логарифмов) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Решите уравнение (sinx )( cosx + ) Левая часть уравнения имеет смысл при cosx Выражение cosx + положительно

Подробнее

C1 а) Решите уравнение sin 2 x. cos2 2 cos2x б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку π

C1 а) Решите уравнение sin 2 x. cos2 2 cos2x б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку π Математика класс Вариант Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C а) Решите уравнение sin x x cos cosx б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку π ;π Преобразуем уравнение:

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Пирамида

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Пирамида И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Пирамида Пирамида и призма присутствуют в очень многих задачах по стереометрии (в частности, они фигурируют во всех задачах С2, предлагавшихся на ЕГЭ по математике

Подробнее