РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс"

Транскрипт

1 Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Вариант 1 1 Сравните числа ( ) 1 и ( ) Решите уравнение = log log Решите неравенство Изобразите множество точек плоскости Oy, для которых верно равенство + y = y 5 Найдите количество целочисленных решений уравнения + 1 y + y = 1 + y + z = 15; 6 Решите систему уравнений + y + z = 75 7 Воспользовавшись равенством sin18 = sin 7, найдите sin 6 8 В треугольник со сторонами, и вписали окружность Точки касания окружности со сторонами треугольника соединили, и в полученный треугольник снова вписали окружность Найдите ее радиус 9 Обозначим в правильной треугольной пирамиде угол наклона бокового ребра к плоскости основания α, угол наклона боковой грани к плоскости основания β, плоский угол при вершине γ Известно, что γ= α Найдите α, β, γ 1 Найдите значение параметра а, при котором верно равенство: d= 1 a Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru 1

2 Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Вариант 1 Сравните числа ( ) 1 и ( ) 1 1 Решите уравнение + + 1= log5 log5 Решите неравенство Изобразите множество точек плоскости Oy, для которых верно равенство y + y = 5 Найдите количество целочисленных решений уравнения y y = 1 + y+ z = 18; 6 Решите систему уравнений + y + z = 18 7 Воспользовавшись равенством sin18 = cos16, найдите cos 54 8 В треугольник со сторонами 5, 5 и 4 вписали окружность Точки касания окружности со сторонами треугольника соединили, и в полученный треугольник снова вписали окружность Найдите ее радиус 9 Обозначим в правильной четырехугольной пирамиде угол наклона бокового ребра к плоскости основания α, угол наклона боковой грани к плоскости основания β, плоский угол при вершине γ Известно, что γ= α Найдите α, β, γ 1 Найдите значение параметра а, при котором верно равенство: a 1 1 d= 1 66

3 y = ч Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Ответы к варианту 1 1 Левое число больше правого 1+ 5 (;,5] [; + ) 4 См рис 5 пары решений 6 {(5; 5; 5)} sin 6 = 6 α= arctg, 1 a = π β=, γ= arctg y y =

4 y = ч Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Ответы к варианту 1 Левое число больше 1 5 ( ;,] [5; + ) 4 См рис 5 пары решений 6 {(6; 6; 6)} cos 54 = π 1 9 α= arctg, β=, γ= arctg 4 1 a = 1 y y = 4

5 y = ч Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Решения задач варианта 1 1 Сравните числа Заметим, что ( ) 1 и ( ) < < , поэтому левое число больше правого + 1 Решите уравнение = В зависимости от знака х возможны два случая: =, > ; ( + + 1) =, > ; = =, < ( + 1) =, < + = 1, > ; = 1, < + = 1, < = + = 1, < 1+ 5 Ответ: log log Решите неравенство + 6 Справедливы следующие переходы: ; log log log log log log 1; log 1 1 log 1 < 4 Изобразите множество точек плоскости Oy, для которых верно равенство + y = y y Поскольку сумма модулей двух величин равна модулю их суммы в том и только в том случае, когда они имеют одинаковый знак, y = имеем + y = y + y = + ( y ) ( y ) Тогда в правой полуплоскости оно представляет собой точки, лежащие не ниже, а в левой полуплоскости не выше прямой y = 5 Найдите количество решений уравнения в целых числах + 1 y + y = 1 Поскольку никакой из модулей не может превосходить единицы, можно рассмотреть три случая: 5

6 =, 1 y + y = 1; + 1 y + y = 1 = 1, y + y 1 = 1; = 1, y + y+ 1 = 1 Заданное уравнение имеет пары решений =, 1 y + y = 1; =, y= 1; 1, 1 y y 1 ; = + = =, y= ; = 1, 1 y + y+ 1 = = 1, y= 1 + y + z = 15; 6 Решите систему уравнений + y + z = 75 1 способ Вычтем из второго уравнения первое, предварительно умножив на 1 обе его части Имеем y z y z y z y z = 75 ( 5) + ( 5) + ( 5) = = = = 5 Проверка показывает, что полученные числа являются решениями системы способ Поскольку ( + y + z) = + y + z + ( y + yz + z), используя первое и второе уравнение, получим 5 = 75 + ( y + yz + z) y + yz + z = 75 По неравенству Коши-Буняковского-Шварца ( + y + z )( y + z + ) ( y+ yz + z), в нашем случае мы имеем равенство, что соответствует коллинеарности векторов ( ; y; z ) и ( y; z; ) Тогда = ty, y = tz, z = t, откуда yz = t yz t = 1, что дает = y= z способ Вычитая из квадрата первого уравнения второе, получим ( y z) ( y z ) 5 75 y yz z = + + = Вычтем из удвоенного второго уравнения полученное, имеем ( ) ( ) ( ) + y + z y yz z = y + y z + z = = y = z Тогда из первого уравнения = y= z = 5 Найденные числа решения системы 4 способ Запишем первое уравнение в виде ( 5) + ( y 5) + ( z 5) = и введем новые переменные: 5 = a, y 5 = b, z 5 = c Тогда a b c y z y z + + = ( + + ) = =, откуда a= b= c=, что дает = y = z = 5 5 способ Рассмотрим два вектора: ( ; y; z ) и (1; 1; 1), с длинами 75 и соответственно Первое уравнение системы представляет собой их скалярное произведение: 15 = + y + z = ( ; y; z) (1;1;1) = ( ; y; z) (1;1;1) cos α= 75 cosα= 15cosα, где α угол между ними Поскольку cos α = 1 векторы коллинеарны, откуда = y= z, что и дает ответ 6

7 6 способ Первое уравнение системы задает плоскость, второе сферу радиуса 75 с центром в начале координат Покажем, что плоскость касается сферы Используя формулу для расстояния от точки ( ; y; z ) до плоскости A + By + Cz + D = получим A + By + Cz + D d =, A + B + C d = = = Таким образом, расстояние от центра сферы до заданной плоскости равно радиусу сферы, что соответствует случаю их касания Тогда система имеет единственное решение, которое можно угадать Итак, = y = z = 5 Если решение угадать не удается, поступим формально: требуется определить вектор, с началом в начале координат, конец которого лежит на плоскости + y+ z = 15, коллинеарный вектору нормали к плоскости Тогда искомый вектор имеет координаты k (1;1;1) = ( k; k; k) Поскольку координаты удовлетворяют уравнению плоскости, получаем k + k + k = 15 Отсюда k = 5, и тогда = y= z = 5 7 Воспользовавшись равенством sin18 = sin 7, найдите sin 6 Пусть 6 =α, имеем Тогда sinα= sinα sinα 4sin α= sinαcosα 4sin α= cosα (1 cos α ) = cosα 4cos α cosα 1= cosα= sin 6 = sin α= 1 cos α = 1 = В треугольник со сторонами, и вписали окружность Точки касания окружности со сторонами треугольника соединили, и в полученный треугольник снова вписали окружность Найдите ее радиус Длины всех отрезков обозначены на рисунке Искомый радиус есть S 8 6 r = = = = = p (4 + 4 ) (1 + ) + 1 / 1 8 / Обозначим в правильной треугольной пирамиде угол наклона бокового ребра к плоскости основания α, угол наклона боковой грани к плоскости основания β, плоский угол при вершине γ Известно, что γ= α Найдите α, β, γ Пусть R и r радиусы описанной и вписанной в основание окружностей соответственно Тогда Поскольку R = r и γ= α, имеем R γ r Rtg α= rtgβ и cos = cos α cosβ π β=, откуда α= arctg и γ= arctg, что и дает ответ 7

8 1 Найдите значение параметра а, при котором верно равенство: d= 1 a 1 Отметим, что площадь подграфика на отрезке [; 66] есть =, а площадь, соответствующая отрезку [ ; ], равна Таким образом, площадь, соответствующая отрезку [ a; ] должна равняться 5 Имеем уравнение 1 ( ) a 5 a 1 = = 8

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 8 6 6,5 Решение Используя свойства степени получаем: 8

Подробнее

Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина

Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru Санкт-Петербургский государственный университет, 1987 год факультет прикладной математики процессов управления, математико-механический факультет,

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет, 1992 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления

Санкт-Петербургский государственный университет, 1992 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru Санкт-Петербургский государственный университет, 99 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет, 1984 год математико-механический факультет. Вариант 1

Санкт-Петербургский государственный университет, 1984 год математико-механический факультет. Вариант 1 Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru Санкт-Петербургский государственный университет, 1984 год математико-механический факультет Вариант 1 1. На промежутке (1; 10] определите

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

π 7π Решение. Рассмотрим треугольную пирамиду MDAC Тогда Ответ: ρ=. выше

π 7π Решение. Рассмотрим треугольную пирамиду MDAC Тогда Ответ: ρ=. выше Математика. класс. Вариант 7 (без производной) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C x x x x а) Решите уравнение sin x + cos sin cos + sin =. 5 б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ по математике

Подготовка к ЕГЭ по математике 2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач В5 Наталья и Александр Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru

Подробнее

Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика

Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика Курс I Семестр Профессия.0.0. Автомеханик. Иррациональные уравнения. х х. х х. х х. х 7 7 х. х х 0. х х. х х. х 8 х. х х. 7 х х. х х

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Решение. Самая нижняя точка графика соответствует отметке Ответ: 8085.

Решение. Самая нижняя точка графика соответствует отметке Ответ: 8085. 1. В квартире установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). Показания счётчика 1 января составляли 121 куб. м воды, а 1 февраля 131 куб. м. Сколько нужно заплатить за холодную воду за январь,

Подробнее

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой.

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой. РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВАРИАНТА 0 Напомним, что на проверку сдаются решения заданий только из части Решения заданий частей и выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют При выполнении заданий части

Подробнее

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Задача. Дан треугольник ABC с вершинами A(m ; n ), B(m; -n) и C(-m; n). Найти: a) величину угла A; b) координаты точек пересечения меридиан; c) координаты

Подробнее

y0) до прямой ( ) ( ) перпендикулярен прямой ( ; ) перпендикулярен прямой ( ) (рис. 1) (24) декабрь 2012 МЕТОДИЧЕСКИЙ ИЙ ЛАРЕЦ

y0) до прямой ( ) ( ) перпендикулярен прямой ( ; ) перпендикулярен прямой ( ) (рис. 1) (24) декабрь 2012 МЕТОДИЧЕСКИЙ ИЙ ЛАРЕЦ МЕТОДИЧЕСКИЙ ИЙ ЛАРЕЦ Применение формулы расстояния от точки до прямой при решении задач с параметрами А Н Смоляков, г Ставрополь При решении некоторых задач уровня С Единого государственного экзамена

Подробнее

Кратные интегралы. Содержание. 1 Понятие кратного интеграла 1

Кратные интегралы. Содержание. 1 Понятие кратного интеграла 1 Содержание Кратные интегралы Понятие кратного интеграла Двойные интегралы. Области на плоскости................. Повторный интеграл................ 3.3 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.......................

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Задания второго отборочного этапа

Задания второго отборочного этапа Задания второго отборочного этапа 11 класс Задача 1. (2 балла) 1. На доске записано шесть натуральных чисел, таких, что для любых двух a и b из них (где b>a), log a b целое число. Какое наименьшее значение

Подробнее

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1 Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

Подробнее

РГР по высшей математике Алгебра

РГР по высшей математике Алгебра РГР по высшей математике Алгебра Задача Даны координаты трех точек A, B и C Проверьте, что эти точки не лежат на одной прямой и найдите: А) уравнение прямой AB ; Б) уравнение высоты CK треугольника ABC

Подробнее

. Значит, одно из чисел делится на 101. Рассмотрим два случая.. Первый множитель делится ( ) ( ) ( )

. Значит, одно из чисел делится на 101. Рассмотрим два случая.. Первый множитель делится ( ) ( ) ( ) Физтех 0, 0 класс, решения билета Известно, что sin x = cos y sin y, cos x = sin y cos y Найдите sin y 7 Ответ sin y = 0 Решение Возводя оба равенства в квадрат и складывая их почленно, получаем = 0 sin

Подробнее

Количество набранных баллов

Количество набранных баллов Варианты заданий для проведения государственной итоговой аттестации по математике в 11 классах Задания для проведения государственной итоговой аттестации по математике в 11 классах академического уровня

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В 11 КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В 11 КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ) Задачи типа 4 (приложение производной): На прямой y найдите точку, через которую проходят две перпендикулярные касательные к графику функции

Подробнее

y являются длинами сторон некоторого треугольника. Постройте фигуру M и найдите её

y являются длинами сторон некоторого треугольника. Постройте фигуру M и найдите её Первый (заочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по общеобразовательному предмету «Математика», осень 016 г. 9 КЛАСС и 9 1. Вычислите 50 19 7 (15 баллов). Пусть M

Подробнее

Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( 2 ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски)

Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( 2 ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски) Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски) п/п Содержание материала Четырехугольники Колво часов сроки приме чание

Подробнее

Ответы к заданиям части 1. задания Ответ В1 5 В2 3 В3 28 В В5 592 В6 14 В7 2 В8 7 В9 2 В10 0, 4 В11 58 В12 45 В13 14 В14 27

Ответы к заданиям части 1. задания Ответ В1 5 В2 3 В3 28 В В5 592 В6 14 В7 2 В8 7 В9 2 В10 0, 4 В11 58 В12 45 В13 14 В14 27 Ответы к заданиям части 1 задания Ответ В1 5 В В 8 В4 90 В5 59 В6 14 В В8 В9 В10 0, 4 В11 58 В1 45 В1 14 В14 Ответы к заданиям части МАТЕМАТИКА, 11 класс (01 - - 1 / ) задания Ответ С1 π а) x = + πk, k

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

ПРОБНЫЙ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ. ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ. Инструкция по выполнению работы

ПРОБНЫЙ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ. ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ. Инструкция по выполнению работы http://решуегэ.рф/methodist ПРОБНЫЙ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ. ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ Инструкция по выполнению работы Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. На выполнение экзаменационной

Подробнее

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции Вебинар 7 (6-7) Тема: Параметры ЕГЭ Профиль Задание 8 Найдите все значения параметра, при каждом из которых множество значений функции 5 5 5 содержит отрезок Найдите все значения параметра, для каждого

Подробнее

. (8 баллов) x x x. cos 1 cos 2 2sin

. (8 баллов) x x x. cos 1 cos 2 2sin Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» осень 06 г. Вариант. Из пункта А в пункт В вышел один пешеход и с некоторым

Подробнее

Олимпиада «Паруса надежды» Вариант 1.

Олимпиада «Паруса надежды» Вариант 1. Олимпиада «Паруса надежды» Вариант.. Сумма делителей чисел,0 и соответственно равна 8,0,. А тогда сумма делителей числа 6 равна. Следовательно Ответ:.. Сделав замену 98 a, 99 a b 99 98 b. Получим систему,

Подробнее

Глава 3. Параметрические уравнения поверхностей. Оглавление

Глава 3. Параметрические уравнения поверхностей. Оглавление Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет г. Аналитические методы геометрического моделирования Глава. Параметрические уравнения поверхностей Оглавление. Поверхности

Подробнее

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями)

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями) ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 1/11 учебного года, 11 класс (с решениями) Задача 1 (1 балл) Найти наибольшее число, принадлежащее области определения функции Решение 1 способ Область определения функции задается

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

МЕЖДУНАРОДНАЯ ДИСТАНЦИОННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА «ТРЕТЬЕ ТЫСЯЧЕЛЕТИЕ» 2004 год

МЕЖДУНАРОДНАЯ ДИСТАНЦИОННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА «ТРЕТЬЕ ТЫСЯЧЕЛЕТИЕ» 2004 год Задачи для 5 класса Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru 1. Известно, что в пьяном виде маляр работает вдвое медленнее, чем в трезвом. В первую неделю он покрасил на 300 метров

Подробнее

а) 6 Какую цифру нужно вставить вместо делении на 9 в остатке давало 3? чтобы полученное число при в) 5 б) 3 г) 7 больше числа b. Во сколько раз число

а) 6 Какую цифру нужно вставить вместо делении на 9 в остатке давало 3? чтобы полученное число при в) 5 б) 3 г) 7 больше числа b. Во сколько раз число 4 4 Задача 1 3 5 :1 4 а) 6 б) 3 4 в) 1 6 г) 3 8 Задача Какую цифру нужно вставить вместо делении на 9 в остатке давало 3? в записи354 67 чтобы полученное число при а) б) 3 в) 5 г) 7 Задача 3 Число a на

Подробнее

Часть Получили табличные значения синуса; на круге это 4 точки, попарно диаметрально противоположные. 3, откуда 4. sin 2 x

Часть Получили табличные значения синуса; на круге это 4 точки, попарно диаметрально противоположные. 3, откуда 4. sin 2 x Часть С а Решите уравнение cos + sin = б Укажите все корни этого уравнения принадлежащие ; Уравнение стандартное Применив формулу cos = sin и преобразовав получим уравнение sin откуда sin Получили табличные

Подробнее

три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения.

три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения. три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения. 17. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см², а высота

Подробнее

ВАРИАНТ 1 Задания первой группы. (Задания 1, 2 оцениваются в 7 баллов, задания 3-9 в 8 баллов).

ВАРИАНТ 1 Задания первой группы. (Задания 1, 2 оцениваются в 7 баллов, задания 3-9 в 8 баллов). ОБРАЗЦЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих на базе полного среднего образования (11 классов) Инструкция по выполнению 1. Экзаменационная работа по математике состоит из 12 заданий, которые

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

àñòü 1 1. Âû èñëèòü: ( Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óìåíüøèòñÿ îáüåì ïèðàìèäû, åñëè óìåíüøèòü ïëîùàäü åå îñíîâàíèÿ íà 20%?

àñòü 1 1. Âû èñëèòü: ( Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óìåíüøèòñÿ îáüåì ïèðàìèäû, åñëè óìåíüøèòü ïëîùàäü åå îñíîâàíèÿ íà 20%? . Âû èñëèòü: ( 9 5 + 7 ) 5 + ( 3 + 7 6 ) 5. àñòü. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óìåíüøèòñÿ îáüåì ïèðàìèäû, åñëè óìåíüøèòü ïëîùàäü åå îñíîâàíèÿ íà %? 5. 3. Îïðåäåëèòü èñëî n ëåíîâ àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè, åñëè

Подробнее

, то Т.к. S 10 = 1 +

, то Т.к. S 10 = 1 + 96. a) а 0; d ; a 99. Т.к. a a + ( )d, то 99 0 +. Тогда 90; a + a 90 0 + 99 S90 90 90 09 90. б) а 00; d ; a 999. Т.к. a a + ( )d, то 999 00 +. Т.е. 900; a + a 900 00 + 999 S900 900 900 099 0 90. 97. )

Подробнее

КСР 4. Задание 1. Задание 1.1. Запишите по правилам алгоритмического языка выражения: варианта 1. b c a. cos. bcos ( x ) x a x a 14

КСР 4. Задание 1. Задание 1.1. Запишите по правилам алгоритмического языка выражения: варианта 1. b c a. cos. bcos ( x ) x a x a 14 КСР Задание Задание Запишите по правилам алгоритмического языка выражения: 9 cos c c tg cos l cos cos l l Задание Запишите в обычной математической форме арифметические выражения: *rctg-rctg/; lgu*/+sqrtv+z;

Подробнее

. (8 баллов) 3. Какое наименьшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a35 2, a40

. (8 баллов) 3. Какое наименьшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a35 2, a40 Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» осень г Вариант 7 Из пунктов А и В одновременно выехали навстречу друг

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2012 года по математике

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2012 года по математике Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Проект Демонстрационный вариант ЕГЭ г. МАТЕМАТИКА, класс. ( - / 9) Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ года

Подробнее

10 класс. в целых неотрицательных числах x, y, z.

10 класс. в целых неотрицательных числах x, y, z. 0 Решите уравнение 0 класс x y 9z в целых неотрицательных числах x, y, z Из уравнения видно, что число x делится на : x = x, где x целое неотрицательное число Получаем: 7x = y + 9z, 9x = y + z Из последнего

Подробнее

Материалы заданий отборочного этапа олимпиады школьников «Ломоносов» по математике за 2013/2014 учебный год

Материалы заданий отборочного этапа олимпиады школьников «Ломоносов» по математике за 2013/2014 учебный год Материалы заданий отборочного этапа олимпиады школьников «Ломоносов» по математике за 03/04 учебный год Тур Участник олимпиады получал две разминочные задачи (каждая оценивалась в балл) и десять задач

Подробнее

3. Сфера и многоугольники. В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задается уравнением

3. Сфера и многоугольники. В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задается уравнением . Сфера и многоугольники В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задается уравнением ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) =. 0 0 0 R Задача. SABCD правильная четырехугольная

Подробнее

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 3 ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 3 ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Для выполнения домашнего задания необходимо пользуясь табл заполнить первую строку табл затем выписать соответствующие вашему

Подробнее

Задания Открытой олимпиады школьников по математике ( 54 Перечня олимпиад школьников, 2015/2016 уч. год) Оглавление

Задания Открытой олимпиады школьников по математике ( 54 Перечня олимпиад школьников, 2015/2016 уч. год) Оглавление Задания Открытой олимпиады школьников по математике ( 54 Перечня олимпиад школьников, 2015/2016 уч. год) Оглавление I. Задания заключительного этапа олимпиады для 11 класса... 2 II. Задания 1 тура отборочного

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/10 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 10-1 В компании из 6 человек некоторые компаниями по трое ходили

Подробнее

DF 2 = DM 2 + FM 2 2DM FM cosα = BD 2 + BF 2 2BD BFcos60. выше

DF 2 = DM 2 + FM 2 2DM FM cosα = BD 2 + BF 2 2BD BFcos60. выше Математика. класс. Вариант --5-7 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C (sinx )(cos x+) Решите уравнение =. tgx Левая часть уравнения имеет смысл при tgx >. Приравняем числитель к нулю: (sinx

Подробнее

Комплексные числа (факультативный курс для школьников классов)

Комплексные числа (факультативный курс для школьников классов) Лекции Комплексные числа (факультативный курс для школьников 10 11 классов) НОВОПАВЛОВСКАЯ СОШ Г. НОВОПАВЛОВСК СТАВРОПОЛЬСКИЙ КРАЙ 01 Лийка Владимир Владимирович Лекция 1. Комплексные числа и их геометрическая

Подробнее

ID_345 1/8 neznaika.pro

ID_345 1/8 neznaika.pro Вариант 3 Математика Профильный уровень Часть 1 Ответом на задания 1 1 должно быть целое число или десятичная дробь. 1 В пачке 500 листов бумаги формата А. За неделю расходуется 3350 листов. Какое наименьшее

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Уравнение плоскости. Шульц Денис Сергеевич

Уравнение плоскости. Шульц Денис Сергеевич Уравнение плоскости. Шульц Денис Сергеевич План занятия. Общее уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Расстояние от точки до плоскости Типовые задачи Общее уравнение плоскости. Ax+By+Cz+D=0

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2003 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2003 год. Часть A Единый государственный экзамен по математике, 00 год Часть A A. Упростите выражение cos α+ sin α cos α. sin α.. tg α. sin α ctg α. Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, получаем: Правильный

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Пояснения к демонстрационному варианту

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Пояснения к демонстрационному варианту Демонстрационный вариант ЕГЭ 009 г. МАТЕМАТИКА, класс. (009 - ) П Проект Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Пояснения к демонстрационному варианту При ознакомлении с Демонстрационным вариантом

Подробнее

Вычисление потока векторного поля через поверхность. Формула Остроградского-Гаусса

Вычисление потока векторного поля через поверхность. Формула Остроградского-Гаусса ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ 8-9 Вычисление потока векторного поля через поверхность Формула Остроградского-Гаусса Потоком вектора a через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 .5 setgray.5 setgray1 1 Консультация 3 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСА ЗАДАЧА 1. Даны полярные координаты точек A 8, 2π/3 и B6, π/3. Вычислить полярные координаты середины отрезка AB. Рис. 1.

Подробнее

Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми И. В. Яковлев Материалы по математике thus.ru Угол между скрещивающимися прямыми Скрещивающиеся прямые не пересекаются. Можно ли в таком случае говорить об угле между ними? Оказывается, можно. Угол между

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

log ( ) 0 (10 баллов) 6. Найдите множество значений функции f ( x)

log ( ) 0 (10 баллов) 6. Найдите множество значений функции f ( x) Второй (заключительный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика», весна 017 г Вариант 6 1 Из пункта A в пункт B, расстояние между

Подробнее

Заключительный этап академического соревнования. Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» в 2015 г.

Заключительный этап академического соревнования. Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» в 2015 г. Заключительный этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» в 05 г Вариант Одновременно из пункта A в пункт B отправляется автомобиль

Подробнее

г. Классная работа.

г. Классная работа. 5.0. 014 г. Классная работа. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Опыт вступительных экзаменов в вузы показывает, что решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения

Подробнее

Диагностическая работа по МАТЕМАТИКЕ Москва, 2007 г.

Диагностическая работа по МАТЕМАТИКЕ Москва, 2007 г. Диагностическая работа по МАТЕМАТИКЕ Москва, 2007 г Школа Класс Фамилия Имя Отчество Вариант 1 Диагностическая работа 2 (Без производной) Вариант 1 1 Инструкция по выполнению работы На выполнение диагностической

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г. В. Плеханова (технический университет) типовые задания олимпиад 2004 и последующие года

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г. В. Плеханова (технический университет) типовые задания олимпиад 2004 и последующие года типовые задания олимпиад 004 и последующие года Упростите выражение (при p> q) Билет Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru q pq pq q p q p pq+ q + + p+ q p q q p + q Найдите интервалы

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич План занятия. Содержание раздела «Аналитическая геометрия» Уравнение прямой на плоскости: с угловым коэффициентом общее

Подробнее

задания Ответ B1 4 B B3-24 B4 0,8 B B6 15 B7 847 B8 0,25 B9 2 B B11-1 B12 12 Ответы к заданиям с кратким ответом

задания Ответ B1 4 B B3-24 B4 0,8 B B6 15 B7 847 B8 0,25 B9 2 B B11-1 B12 12 Ответы к заданиям с кратким ответом Математика. класс. Вариант Ответы к заданиям с кратким ответом B B B3 - B,8 B B6 B7 87 B8, B9 B 6 B - B МИОО, 9 г. Математика. класс. Вариант Ответы к заданиям с кратким ответом B B - B3 B B 69 B6 B7 B8

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2005 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2005 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 5 год демонстрационная версия Часть A Вычислите 5 8 9 5 6 6 6 Решение Воспользуемся формулой ( a ) = a : Правильный ответ: A Упростите выражение 5b 5b 5 8

Подробнее

Материалы заданий отборочного этапа олимпиады школьников «Ломоносов» по математике за 2013/2014 учебный год

Материалы заданий отборочного этапа олимпиады школьников «Ломоносов» по математике за 2013/2014 учебный год Материалы заданий отборочного этапа олимпиады школьников «Ломоносов» по математике за 01/014 учебный год Тур 1 Участник олимпиады получал две разминочные задачи (каждая оценивалась в 1 балл) и десять задач

Подробнее

Лекция 27 Глава 3. Системы линейных неравенств 3.1. Основные понятия

Лекция 27 Глава 3. Системы линейных неравенств 3.1. Основные понятия Лекция 7 Глава. Системы линейных неравенств.. Основные понятия Системы линейных неравенств применяются для решения различных математических задач. Системой линейных неравенств из с неизвестными система

Подробнее

Физтех 2015,11 класс, решения билета 11

Физтех 2015,11 класс, решения билета 11 Решите уравнение Ответ, 8 log 7 ( 8 ) 8 Физтех 0, класс, решения билета 7 log Решение Логарифмируя по основанию, получаем log ( 8) log log 8, что равносильно следующему: log + log 7 log log log + 0, откуда

Подробнее

раздела Элементы содержания, проверяемые заданиями экзаменационной работы Уравнения и неравенства 6 Уравнения, системы уравнений: 6.1.

раздела Элементы содержания, проверяемые заданиями экзаменационной работы Уравнения и неравенства 6 Уравнения, системы уравнений: 6.1. КОДИФИКАТОР ЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ ЗАДАНИЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫМ ПРОГРАММАМ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ В 2018 ГОДУ Кодификатор элементов

Подробнее

ur uuur 2) для любой точки A из T и любого вектора p V существует единственная точка B в T, такая, что AB=

ur uuur 2) для любой точки A из T и любого вектора p V существует единственная точка B в T, такая, что AB= Глава 1 ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ n R. 1.1. Точечные пространства Ранее было рассмотрено арифметическое пространство строк В математике конечный упорядоченный набор координат может интерпретироваться не только

Подробнее

Тригонометрические уравнения с модулем

Тригонометрические уравнения с модулем И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения с модулем Этот листок посвящён тригонометрическим уравнениям, в которых тригонометрические функции от неизвестной величины содержатся

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина

Подробнее

РЕШЕНИЯ. Вариант 17 (Решения тестовых заданий) Ответ: 3) 3 4. Красных роз юноша купил штуки. Осталось

РЕШЕНИЯ. Вариант 17 (Решения тестовых заданий) Ответ: 3) 3 4. Красных роз юноша купил штуки. Осталось РЕШЕНИЯ Вариант 7 (Решения тестовых заданий) На 6 м расход краски составит 6 0 6 (кг) Следовательно, останется 6 576 (кг) Ответ: ) 576 кг ( ) ( ) ( 6) : ( ) 8 6 Ответ: ) 6 При условии y 0 (модуль есть

Подробнее