Глава 3. Определители

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 3. Определители"

Транскрипт

1 Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором порядке Число назовѐм порядком перестановки Пример Рассмотрим Q Перестановками для элементов из Q будут: P ( ) P () P () и тд Можно показать что число различных перестановок для множества из элементов равно! Определение Числа m и k образуют инверсию (нарушение порядка) в перестановке P если m k и m расположено левее k Определение Число инверсий всех элементов перестановки P назовем числом инверсий перестановки P и обозначим ivp Для подсчета числа инверсий в перестановке необходимо подсчитать для каждого элемента перестановки сколько элементов больших него стоит перед ним (или сколько элементов меньших него стоит за ним) и все эти числа сложить Пример Подсчитать число инверсий в перестановке P () Р е ш е н и е Тройка инверсий не образует четвѐрка тоже единица даѐт три инверсии Следовательно ivp Определение Перестановка называется четной (нечетной) если число инверсий в ней четное (нечетное) Перестановка без инверсий считается четной Свойства перестановок Свойство Если в перестановке поменять местами любые два элемента то ее четность изменится Д о к а з а т е л ь с т в о При перестановке местами соседних элементов число инверсий или на единицу увеличивается если эта пара элементов инверсии не образовывала или на единицу уменьшается если исходная пара элементов инверсию образовывала Те исходное число инверсий меняется на единицу а следовательно меняется и четность перестановки Рассмотрим случай не соседних элементов Пусть перестановка имеет вид P ( i i ik ik im im i) k m Поменяем местами ik и i m Получим перестановку P ( i i im ik ik im i) Для того чтобы

2 из перестановки P получить перестановку P переставим в P элемент i m на место между i и i Для этого нужно сделать m k перестановок После этого переместим элемент k k i k на место m i для чего нужно сделать m k перестановок Так как при перестановке соседних элементов четность меняется то всего перемен четности будет ( m k) те четность перестановки поменяется Свойство Для число четных и нечетных перестановок для множества равно!/ Q Д о к а з а т е л ь с т в о Очевидно что каждой четной перестановке соответствует нечетная перестановка и наоборот Следовательно тех и других одинаковое число А тк всего перестановок! то чѐтных и нечѐтных будет по!/ каждых Пример Подобрать числа i j так чтобы перестановка P( i5 j ) была четной Р е ш е н и е Так как перестановка шестого порядка то i и j могут принимать значения или или 6 В случае i j 6 получаем перестановку P ( 5 6 ) Подсчитаем число инверсий в ней: ivp те имеем нечетную перестановку Остается рассмотреть случай i 6 j Тогда получаем перестановку P (65 ) ivp 6 Число инверсий в P можно было бы не подсчитывать а воспользоваться тем что из нечетности P сразу следует четность перестановки P в соответствии со свойством Пример Какое максимальное число инверсий может быть в перестановке? Р е ш е н и е Ответ на вопрос вытекает из технологии подсчѐта числа перестановок Число инверсий в перестановке будет максимальным если каждый последующий элемент перестановки будет меньше предыдущего т е ivp i ( ) Пример 5 Сколько инверсий образует число в перестановке P ( r r ) Р е ш е н и е Инверсии с единицей образуют только первые r элементов перестановки теivp = r i Подстановки Определение Подстановкой отображение множества Q на себя -ой степени называется взаимно однозначное Всякая подстановка может быть представлена при помощи двух перестановок записанных одна под другой i i i F j j j

3 где j F( i ) i i i j F( i ) F F( i ) F( i) F( i) Подстановка может быть записана неединственным способом Пример 6 Дана подстановка F 5 5 Это означает что двойке соответствует пятерка единице четверка и тд те 5 F( ) F( ) F( ) = F(5) F( ) Но ясно что это же взаимно однозначное соответствие можно получить меняя в нашей подстановке столбцы местами те F Перемену столбцов местами можно в частности произвести так что в верхней строке будет стоять перестановка ( ) а вся подстановка примет вид F k k k k где k F() k F() k F( ) Число всех подстановок -ой степени очевидно равна числу перестановок из элементов те! Определение Подстановка E тождественной подстановкой называется единичной или З а м е ч а н и е Обращаем внимание на то что верхняя и нижняя строки в записи подстановки F играют разные роли и меняя их местами получаем вообще говоря другую подстановку Так подстановки третьей степени и разные тк в первой из них тройке соответствует двойка а во второй тройке соответствует единица Определение Произведением подстановок -ой степени F и F называется подстановка -ой степени которая является результатом последовательного выполнения подстановок F и F (обозначается F F) 5 5 Пример 7 Пусть F F Найти их произведение 5 5 Р е ш е н и е Произведение F F есть G 5 5

4 Действительно ( F F )() F ( F ( F ( F ( F F )() F ( F F )() F ( F ()) F () F )() F ( F ()) F () ()) F (5) ()) F () ( F F )(5) F ( F (5)) F () 5 Умножение подстановок некоммутативно Так если в рассмотренном выше примере вычислить произведение F F то получим F 5 F 5 Еще раз подчеркнем что перемножать можно лишь подстановки одинаковой степени Из определения единичной подстановки следует что F E E F F для любой подстановки F Так как любое взаимно однозначное отображение имеет обратное взаимно однозначное отображение то можно ввести понятие обратной подстановки А именно если i i i j j j F то F j j j i i i те для нахождения обратной подстановки достаточно поменять строки в исходной подстановке Подстановка F и ей обратная F удовлетворяют соотношениям F F F F E P Пусть задана подстановка F где P и P некоторые перестановки P ivp ivp Определение Сигнатурой подстановки F назовем величину h( F) ( ) Свойства сигнатуры Сигнатура подстановки не меняется при перемене местами столбцов подстановки he ( ) h( F) h( F ) h( F F ) h( F ) h( F ) Определение Подстановка F называется четной если h( F) и нечетной если h( F) Для число четных подстановок равно числу нечетных и равно! Пример 8 Определить чѐтность подстановки Р е ш е н и е Число инверсий первой перестановки равно второй 7 Следовательно подстановка чѐтная

5 Обозначим через S множество всех подстановок -ой степени Пусть квадратная матрица -ого порядка Определители Определение Определителем матрицы называется число (обозначается или det ) вычисляемое по формуле h F) F () F () F ( ) FS ( Здесь суммирование ведется по множеству подстановок S те всего здесь! слагаемых Каждое слагаемое представляет собой произведение элементов матрицы взятых по одному из каждого столбца и каждой строки умноженное на (знак определяется значением сигнатуры h( F) Определитель -ого порядка В этом случае ( ) множество S содержит одну подстановку F h( F) Следовательно h( F) F() те определитель матрицы -ого порядка равен элементу этой матрицы Определитель -ого порядка Пусть Множество S состоит из двух подстановок: F F h( F ) h( F ) При этом h( F ) F () F () h( F ) F () F () Нетрудно видеть определитель матрицы второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали Пример 9 Вычислить определитель Р е ш е н и е ( )( ) ( )

6 Определитель -его порядка Пусть Множество S состоит из!=6 подстановок: F F F F F5 F6 Соответственно: h( F ) h( F ) h( F ) h( F) h( F5) h( F6) При этом получим Можно предположить следующее правило для облегчения запоминания этой формулы Со знаком плюс берутся слагаемые состоящие из произведения элементов стоящих на главной диагонали матрицы и из произведений элементов образующих следующие два треугольника и Со знаком минус берутся слагаемые состоящие из произведения элементов стоящих на побочной диагонали матрицы и из произведений элементов образующие два треугольника и Пример Вычислить определитель матрицы 6 5 Р е ш е н и е 65 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 5 ( )

7 Свойства определителей Свойство Определитель матрицы при ее транспонировании не меняется те T Д о к а з а т е л ь с т в о T Пусть Тогда ij ij T h( F) FS FS h( F) F () F () F ( ) F () F () F ( ) Переставим сомножители в каждом слагаемом суммы так чтобы они расположились в порядке возрастания первого индекса Тк числа F( ) F( ) F( ) представляют собой перестановку чисел то действительно найдется такое k что F( k) и следовательно и тд те F () FS FS k F () На первом месте теперь стоит сомножитель на втором h( F) h( F) F F F F F F FS () () ( ) () () ( ) h( F ) F () F ( ) F () Подстановка F вместе с подстановкой F пробегает все множество S те в последней сумме! слагаемых Таким образом суммируются все слагаемые определителя Следовательно T Теперь очевидно что остальные свойства могут формулироваться лишь для строк Свойство Если одна из строк (один из столбцов) определителя состоит из нулей то определитель равен нулю Д о к а з а т е л ь с т в о Рассмотрим случай строк (справедливость для столбцов следует из свойства ) Тк в каждое слагаемое определителя входит элемент из каждой строки то это слагаемое будет содержать в качестве одного из сомножителей нуль Следовательно Свойство Если одну из строк (столбцов) определителя умножить на произвольное число то определитель умножается на это число Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть ij Матрицу B сформируем так: bij ij i k bkj kj Тогда B FS FS h( F) b h( F) F () F () b k F ( k) F ( ) b F ( ) FS h( F) F () k F ( k) F ( ) Свойство Если в определителе поменять местами две строки (столбца) то его знак изменится на противоположный

8 Свойство 5 Если в определителе есть две равные строки то он равен нулю Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть исходная матрица с двумя одинаковыми строками Поменяем их местами Получим матрицу По свойству но с другой стороны тк нулю Следствие Если в определителе есть две пропорциональные строки то он равен Свойство 6 Пусть в определителе элементы i -ой строки являются суммой двух слагаемых ik b i k c i k ( k ) Тогда определитель равен сумме двух определителей у которых все строки кроме i -ой совпадают i -тую строку одного определителя составляют элементы b k а i -тую строку другого элементы c k те b i i ( i) ( i) ( i) ( i) i i i i i i b c b c b c b b b c c c Д о к а з а т е л ь с т в о i i F () F () i F ( i) F ( i) F ( i) F ( ) h( F) ( b c ) FS i F () F () i F ( i) F ( i) F ( ) h( F) b FS i F () F () i F ( i) F ( i) F ( ) h( F) c FS b b b c c c i i i i i i Свойство 7 Если к строке определителя прибавить другую строку умноженную на произвольное число то определитель не изменится Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть в определителе B i -я строка получена прибавлением к i -ой строке определителя j-ой строки умноженной на некоторое число p те Bi i pj а остальные строки определителей B и совпадают B k i По предыдущему свойству определитель B равен сумме определителей: первый совпадает с а у второго k k

9 элементы i -ой и j -ой строк пропорционально Тогда он по следствию свойства 5 равен нулю Следовательно B Свойство 8 Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц те B B Разложение определителя по строке (столбцу) Пусть дана квадратная матрица порядка ij Определение Минором M ij порядка ( ) матрицы соответствующим элементу ij называется определитель матрицы полученный из матрицы вычеркиванием i -ой строки и j -ого столбца число Определение Алгебраическим дополнением элемента ij матрицы называется ij ( ) i j M Пример Рассмотрим матрицу второго порядка Минором этой 5 матрицы соответствующим элементу является число 5 элементу число элементу число элементу число Для матрицы третьего порядка B M M M M M M M M M а соответствующие алгебраические дополнения равны: ( ) M ( ) M ( ) M и тд Лемма Если в матрице одного элемента ij ij все элементы i -ой строки ( j -ого столбца) кроме ij равны нулю то определитель матрицы равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение те ij ij Следствие Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов

10 Д о к а з а т е л ь с т в о Из следствия ясно что определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов Теорема о разложении определителя по строке (столбцу) Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраическое дополнение: k Следствие Сумма произведений элементов дополнения элементов j -ой строки ( i j) равна нулю k ik ik jk ik k i kj kj i -ой строки на алгебраические Д о к а з а т е л ь с т в о Введем матрицу B строки которой кроме j -ой совпадают с соответствующими строками матрицы а j -ая строка матрицы совпадает с i -ой строкой матрицы те в матрице B есть две равные строки Следовательно B С другой стороны b jk Но bjk jk k B b jk B k jk j где B jk алгебраическое дополнение элементов а B jk jk ( j i) Следовательно B bjk Bjk ik jk для i j Что и требовалось доказать k ik jk те 5 Обратимость матриц Определение Присоединенной матрицей матрицы M называется матрица элементами которой являются алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы Пример Для матрицы B из примера построим присоединѐнную матрицу B Р е ш е н и е Матрица алгебраических дополнений матрицы В имеет вид 8 8 5

11 Для получения присоединѐнной матрицы протранспонируем еѐ и получим 8 5 B 8 Теорема Матрица обратима тогда и только тогда когда Н е о б х о д и м о с т ь E E Д о с т а т о ч н о с т ь Введем матрицу B с элементами алгебраические дополнения элементов матрицы T Тогда B b тк j kj ij jk ij ij kj ik j j j i k ij kj i k b ij ji здесь ji Следовательно B единичная матрица А тогда B те обратимая матрица существует и имеет вид: где присоединѐнная матрица матрицы 6 Блочные матрицы Даны четыре матрицы -ого порядка B C D Образуем матрицу порядка b b B b b C D c c d d c c d d Теорема Пусть F блочная матрица вида F C соответствующего порядка Тогда F D O где О нуль-матрица D 7 Схема Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей Теорема Пусть дана СЛАУ b где квадратная матрица -ого порядка Тогда решение системы можно найти по формулам где k определитель матрицы полученной из матрицы заменой k -ого столбца столбцом свободных членов b :

12 b k k k b k k b k k Д о к а з а т е л ь с т в о Выше в разделе «Обратимость матриц» показали что обратная матрица имеет вид: где ij присоединенная матрица для матрицы и ij ji Из уравнения b имеем b или b j jkbk kj bk kj bk j k k Разложим определитель k по k -тому столбцу Получим b те j i ij j j j Пример Решить систему по схеме Крамера: 7 Р е ш е н и е = = = 7 = 7 7 Теорема Система уравнений b определена тогда и только тогда когда Д о к а з а т е л ь с т в о Действительно если система определена те имеет единственное решение то это значит что методом Гаусса еѐ матрица может быть приведена к диагональному виду B с ненулевыми диагональными элементами Так как при таких преобразованиях определитель матрицы либо не меняется либо умножается на число то B Так как B то и И наоборот Если то b единственное решение

13 Следствие Однородная система уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда когда Д о к а з а т е л ь с т в о Для однородной системы определенность означает нулевое решение (оно существует всегда) Следовательно неопределенность решения однородной системы (те наличие еще и ненулевого решения) требует чтобы Обратно если то система не определена те существует несколько решений те кроме нулевого (которое существует всегда) обязательно есть и ненулевое Историческая справка Определители (детерминанты) появились как вычислительное средство Они предшественники современных матриц Источник их появления поиск рациональных приѐмов решения систем линейных алгебраических уравнений Основоположником теории определителей считают французского математика О Коши ( ) Большой вклад в развитие теории определителей внѐс немецкий математик КГЯ Якоби(8 85)

14 Вопросы и задачи для самостоятельной работы Дать определение перестановки Что такое порядок перестановки? Привести примеры перестановок Какого порядка нижеприведенные перестановки: а) : б) 5 ; в) 6 5? Какие из нижеприведенных множеств являются перестановками: а) ; б) 6 5 ; в) 6 5 ; г)? 5 Показать что: ) перестановок второго порядка две; b) перестановок третьего порядка шесть; c) четвертого порядка двадцать четыре 6 Что такое инверсия двух элементов перестановки? Пояснить на конкретном примере 7 Что такое число инверсий перестановки? 8 Чем четная перестановка отличается от нечетной? 9 Перечислить свойства перестановок Определить число инверсий в перестановках: а) 5 ; б) в) 5 k 6 k г) i i i i Сколько инверсий образует число стоящее на i -ом месте в перестановке -го порядка? Определить четность перестановки i i i i Дать определение подстановки Привести примеры подстановок Какие из приведенных отображений являются подстановками: а) 5 б) в) 5 г) 5 д) 6 е) ж) 5 и) 5 к) л)? 5 5 Сколькими способами можно записать подстановку?

15 6 Что такое единичная подстановка? Привести пример единичной подстановки пятого порядка 7 Дать определение обратной подстановки Привести пример обратной подстановки четвѐртого порядка 8 Какие из приведенных в примере подстановок равны? Записать их в каноническом виде 9 Как определяется произведение подстановок? Найти произведения подстановок: а) б) в) г) д) 5 5 е) Дать определение сигнатуры подстановки Вычислить сигнатуры подстановок из примера Перечислить свойства сигнатуры подстановки Дать определение четности нечетности подстановки 5 Определить четность подстановок: а) б) в) Для каких матриц вводится понятие определителя? 7 Привести определение определителя матрицы шестого порядка 8 Какие из приведенных произведений входят в определители соответствующих порядков и если да то с каким знаком: а) 5 ; б) 5 5 ; в) ; г) 55 ; ; д) е)

16 9 С каким знаком входит в определитель -го порядка произведение: а) элементов главной диагонали; б) элементов побочной диагонали? Выписать все слагаемые входящие в определитель четвертого порядка со знаком минус и содержащие множитель Дополнить произведение элементов 5 определителя пятого порядка так чтобы получить член этого определителя входящий в него: а) со знаком плюс; б) со знаком минус Перечислить свойства определителей Вычислить определители второго порядка: а) б) b b b с) Вычислить определители матриц третьего порядка: 5 b а) 6 б) b с) 5 b 5 Дать определение минора ( ) -го порядка матрицы размера 6 Вычислить все миноры третьего порядка для матрицы 7 Дать определение алгебраического дополнения элементов матрицы 8 Вычислить алгебраические дополнения элементов матрицы Выписать все миноры и алгебраические дополнения для матриц: а) б) в)

17 г) 5 6 д) e) Сформулировать теорему разложения определителя по элементам строки (столбца) Пользуясь этим определением вычислить определители: а) б) 6 в) 5 г) д) 5 е) ж) з) 7 Чему равен определитель треугольной матрицы? Вычислить определитель матрицы приводя еѐ к треугольному виду: а) б) 5 в) г) д) е) ж) з) 5 5 и) Пользуясь свойствами определителя вычислить:

18 а) б) в) b b b b b b b b b b b b г) д) е) Вычислить определители -го порядка: а) б) в) г) 9 6 b b b д) е) b b b 6 Дать определение присоединенной матрицы 7 Найти присоединенную матрицу для матриц: а) б) в)

19 г) д) е) Найти обратные матрицы для матриц из примера 9 9 Методом Крамера решить системы уравнений: а) 7 6 б) 5 в) 6 5 г) 7 д) е) ж) 6 з) 5


Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

1. Определители. a11 a12. a21 a22

1. Определители. a11 a12. a21 a22 . Определители. Определитель второго порядка Пусть задана таблица четырех чисел, расположенных в две строки и в два столбца 2 () 2 22 Элементы а, а 2 образуют первую строку, элементы а 2, а 22 образуют

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр. Репин О.Н., под редакцией Зайцева Ю.В. 13 февраля 2006 г.

Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр. Репин О.Н., под редакцией Зайцева Ю.В. 13 февраля 2006 г. Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр Репин ОН, под редакцией Зайцева ЮВ 13 февраля 2006 г 1 Аннотация Данные лекции читались на радиофизическом факультете ННГУ им Лобачевского

Подробнее

Определители. Определители второго порядка и их свойства.

Определители. Определители второго порядка и их свойства. Определители Определители второго порядка и их свойства Рассмотрим матрицу Определение Определителем (или детерминантом) второго порядка, называется число, определяемое по формуле: det Пример Вычислить

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray Лекция 4 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определители порядка > Пусть A K a a a a 2 a 2 2 a 2 A = a a2 a a a a 2 A =, A a 2 2 2 = a a2 = A,A 2,,A,,, A = a a 2 ṇ a Определение Определителем, или детерминантом

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I

Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I План лекции Лекция Определители Определители второго порядка Система линейных уравнений; 2 Определение определителя второго порядка; 3 Запись через определители; 4 Свойства

Подробнее

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца.

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца. ) Матрицы, основные определения ) Элементарная алгебра матриц ) Определители и их свойства 4) Обратные матрицы ) Матрицы, основные определения I Определения Совокупность элементов, расположенных в виде

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Лекция II. II.1. Определитель матрицы. a 1 a 2 b 1 b 2. = a 1b 2 a 2 b 1.

Лекция II. II.1. Определитель матрицы. a 1 a 2 b 1 b 2. = a 1b 2 a 2 b 1. Лекция II II.1. Определитель матрицы С каждой квадратной матрицей A можно связать некоторое число, называемое её определителем или детерминантом (обозначается deta или A ). Определителем (или детерминантом)

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

размером m x n, то обычно используется следующее обозначение : c порядка m является произведением двух b соответственно размеров m x n и m m

размером m x n, то обычно используется следующее обозначение : c порядка m является произведением двух b соответственно размеров m x n и m m Ф О Р М У Л А Б И Н Е К О Ш И Напомним, что если имеется произвольная матрица А = размером x, то обычно используется следующее обозначение : А = () то есть А это минор порядка р данной матрицы, в который

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия I семестр: 3 часа лекций, 2 часа практических занятий, 18 недель 2 лекция лектор Агапова Елена Григорьевна кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Лекция 1. Алгебра матриц.

Лекция 1. Алгебра матриц. Лекция 1. Алгебра матриц. Прямоугольные и квадратные матрицы. Треугольные и диагональные матрицы. Транспонирование матриц. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Основные свойства

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

Алгебра и теория чисел

Алгебра и теория чисел Московский международный институт эконометрики информатики финансов и права Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел Москва УДК ББК А Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел // Московский

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Как изменится произведение B матриц и B если: а переставить -ю и j -ю строки матрицы? б переставить -й и j -й столбцы матрицы B? в к -й строке матрицы прибавить ее j -ю строку

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее

Лекция 1. Работа с матрицами. ( ) Количество строк и столбцов матрицы называется размерностью. ( )

Лекция 1. Работа с матрицами. ( ) Количество строк и столбцов матрицы называется размерностью. ( ) Лекция 1 Работа с матрицами. 1. Основные понятия. Определение. Матрицей размерности чисел, содержащая строк и столбцов. называется таблица пронумерованных Исходя из такого определения матрицы, можно сделать

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ матрица Для любой матрицы ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ a a an a a an am am amn a a am a a am, an an amn получающаяся из матрицы заменой строк соответствующими столбцами, а столбцов соответствующими строками,

Подробнее

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы ЕЛ Первова Оглавление Глава 1 Перестановки и матрицы 5 1 Перестановки и их свойства 5 2 Матрицы и операции над ними 7 3 Определители

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Лекция 2. Операции над матрицами, обратная матрица. Определители.

Лекция 2. Операции над матрицами, обратная матрица. Определители. Лекция 2. Операции над матрицами, обратная матрица. Определители. Литература: 1. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г., Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. Издание 2-е дополненное. М.: Изд-во

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct ББК я К Печатается

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2)

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть ) Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц Пусть квадратная матрица порядка n Матрица, удовлетворяющая

Подробнее

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II 0 План лекции Лекция Определители II 4 Существование и единственность определителя Продолжение 44 Теорема о равенстве deta = deta T Определители специального вида 5 Лемма

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B:

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B: Лекция 3. Обратная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы. Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратных

Подробнее

Тема 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Тема 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Тема. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Обозначается:. m n Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2)

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть ) Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР Занятие 1 Основные алгебраические структуры 11 Является ли операция на множестве A ассоциативной если a A = N x y = x y b A = N x y = НОДx y c A = N x y = 2xy d A = Z x y = x 2 + y 2 e A

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ГН ЕФИМОВ,

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgry 5 setgry Лекция 2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА План лекции Свойство определителей Определение транспонированной матрицы 2 Свойство : A t = A 3 Свойство 2: A, B, C = A, C, B 4 Свойство 3: тоже для перестановки

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 1 (самостоятельное изучение) Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка, его свойства Вычисление определителей 2-ого

Подробнее

1 МАТРИЦЫ. Матрицей размера m n называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.

1 МАТРИЦЫ. Матрицей размера m n называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. МАТРИЦЫ Матрицей размера m n называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки и обозначают большими буквами

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее