Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые и Функциональные ряды Для студентов II курса всех специальностей МОСКВА 2011

2 I Числовые ряды 1 Основные определения Критерий Коши сходимости ряда необходимый признак сходимости Вычисление суммы сходящегося ряда Пусть {a n } последовательность действительных чисел Напомним что сумму ( p q ) принято обозначать символом a p + a p a q Определение 1 Выражение a 1 + a a n + обозначают символом 1 n a n (1) и называют рядом или бесконечным рядом (чтобы подчеркнуть его отличие от суммы конечного числа слагаемых) а элемент a n называют n-м членом ряда Природа членов ряда может быть очень разной лишь бы для них имела смысл рассматриваемая операция сложения Определение 2 Сумму называют n-й частичной суммой ряда например Частичные суммы ряда S n образуют числовую последовательность Определение 3 Если существует конечный предел последовательности частичных сумм то он называется суммой ряда и числовой ряд при этом называется сходящимся В противном случае те если равен бесконечности или не существует то ряд называется расходящимся Определение 4 Пусть дан ряд 1 n a n Ряд r n a 1 a 2 полученный из исходного отбрасыванием n первых членов называется n -м остатком ряда Можно доказать что если lim r n 0 то ряд сходится (существует конечная сумма S ) и наоборот: остаток r n сходящегося ряда стремится к нулю с увеличением номера n Одной из основных задач при изучении рядов является установление факта расходимости или сходимости ряда и в последнем случае по возможности

3 нахождение его суммы Сформулируем теперь некоторые условия и признаки сходимости числового ряда Критерий Коши сходимости ряда: для сходимости ряда необходимо и достаточно чтобы для любого числа ε > 0 нашелся номер N такой что при любых m n таких что N < n m имеет место оценка a n + + a m < ε В частности при m = n отсюда следует необходимое условие сходимости ряда: для сходимости ряда необходимо чтобы его общий член a n стремился к нулю при n те lim a 0 n Заметим что как мы увидим позднее имеются и расходящиеся ряды у которых также a n 0 так что условие a n 0 не является достаточным условием сходимости ряда Критерий Коши показывает что на сходимость ряда влияет только «хвост» ряда Изменение конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость Пример 1 Исследовать на сходимость ряд Запишем общий член ряда Так как то используя необходимое условие сходимости ряда делаем вывод что ряд расходится Пример 2 Исследовать на сходимость ряд n ( 1) 1 n Общий член ряда: a n ( 1) далее lim a lim( 1) n n не существует Ряд расходится так как не выполнено необходимое условие сходимости Пример 3 Исследовать на сходимость ряд 1 Общий член ряда 1 n стремится к нулю те выполняется необходимое условие сходимости ряда однако для частичной суммы выполняется неравенство следовательно предел S n равен таким образом ряд по определению расходится Рассмотрим теперь некоторые примеры в которых можно найти сумму числового ряда Пример 4 Пусть имеется ряд Имеем найти его сумму Здесь первый член геометрической прогрессии знаменатель Тогда

4 Таким образом этот ряд сходится и его сумма равна Пример 5 Найти сумму ряда Общий член ряда Для того чтобы найти сумму этого ряда представим общий член ряда в виде суммы дробей: Найдем неизвестные коэффициенты отсюда При n = -3 из последнего равенства получаем B = -1 а при n = -2 получаем что A =1 Таким образом Найдем n ую частичную сумму ряда После уничтожения противоположных по знаку слагаемых получим откуда 2 Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами 1 Интегральный признак Коши сходимости ряда с положительными убывающими членами:

5 Пусть дан ряд a n 1 Если a n = f(n) где f(x) положительная и монотонно убывающая функция при x 1 и Пример 6 Выяснить при каких значениях параметра p сходится ряд Дирихле: Так как функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши то исследование сходимости ряда Дирихле сводится к исследованию сходимости интеграла Но поскольку Следовательно ряд Дирихле сходится при p > 1 и расходится при p 1 Ряд Дирихле при p = 1 те ряд называют гармоническим Пример 7 Исследовать на сходимость ряд Запишем общий член ряда: Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши поэтому исследование сходимости ряда можно заменить исследованием сходимости следующего интеграла: Вычислим несобственный

6 интеграл используя метод замены переменной = Согласно интегральному признаку Коши из расходимости интеграла следует расходимость ряда 2 Признак Даламбера сходимости ряда с положительными членами Пусть имеетмя ряд 1 a n Тогда если существует конечный предел = r то при 0 r < 1 ряд сходится при r > 1 расходится а при r = 1 вопрос остается нерешенным и требуется дополнительное исследование Пример 8 Исследовать на сходимость ряд имеем Поэтому Но так как = e то и следовательно ряд сходится по признаку Даламбера Пример 9 Исследовать на сходимость ряд n Имеем тогда an lim a 1 n 2n n 1 4 lim lim n n 2n по признаку Даламбера ряд расходится 2 n 4 n 16 lim lim n n n 16 1 n 1 3

7 3 Признак Коши сходимости ряда Если для ряда (1) то при 0 r < 1 ряд сходится при r > 1 расходится а при r = 1 вопрос остается нерешенным и требуется дополнительное исследование Пример 10 Исследовать на сходимость ряд Имеем по признаку Коши ряд сходится Пример 11 Используя признак Коши исследовать на сходимость ряд Так как то по признаку Коши ряд расходится 4 Признаки сравнения Иногда для того чтобы ответить на вопрос о сходимости достаточно сравнить исходный ряд с рядом для которого поведение в смысле сходимости уже известно Для этого имеются следующие признаки сравнения Первый признак сравнения Пусть -два ряда причем члены первого ряда начиная с некоторого номера не превосходят соответствующих членов второго: (2) (3) тогда из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (2) а из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (3) Пример 12 Рассмотрим ряд (4) так как то поскольку ряд сходится то и ряд (4) сходится по по первой части первого признака сходимости

8 Пример 13 Исследовать на сходимость ряд (5) поскольку а ряд расходится то ряд (5) расходится по второй части первого признака сравнения Второй признак сравнения (предельный) Пусть имеются два ряда (2) и (3) и выполняется расходятся Пример 14 Исследовать на сходимость ряд то ряды (2) и (3) либо оба сходятся либо оба (6) Так как ряд сходится (см пример 6) и поскольку выполняется то ряд (6) также сходится Пример 15 Исследовать на сходимость ряд (7) Поскольку а гармонический ряд расходится то по второму признаку сравнения ряд (7) расходится Заметим что при применении признаков сравнения в качестве одного из рядов выбирают чаще всего бесконечно убывающую геометрическую прогрессию или ряд Дирихле с подходящим p Абсолютная и условная сходимость Знакопеременным рядом называется ряд членами которого являются числа произвольного знака Пусть (8) некоторый знакопеременный ряд Некоторую информацию об этом ряде можно получить рассматривая ряд (9) членами которого являются абсолютные величины (модули ) членов знакопеременного ряда Этот составленный из модулей рад является очевидно рядом с положительными членами и потому его можно изучать на основании приемов изложенных выше Между сходимостью ряда (8) и сходимостью ряда (9) существует известная связь

9 Определение Знакопеременный ряд (а также ряд с комплексными членами) называется абсолютно сходящимся если сходится ряд составленный из модулей его членов Абсолютно сходящиеся ряды во многих отношениях напоминают ряды с положительными членами Определение Знакопеременный ряд (а также ряд с комплексными членами) называется условно сходящимся если он сходится но не сходится абсолютно Теорема Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится Пример 16 Ряд сходится абсолютно потому что сходится ряд Следовательно исходный ряд сходится Определение Знакопеременный ряд называется знакочередующимся если соседние его члены имеют различные знаки Для знакочередующихся рядов имеется достаточно общий признак сходимости Теорема (признак сходимости Лейбница) Если и то знакочередующийся ряд ( 10) сходится Следствие Абсолютная величина n -го остатка ряда (10) не превышает абсолютной величины его n+1 го члена те Пример 17 Рассмотрим ряд Его члены удовлетворяют условиям последней теоремы и поэтому он сходится однако не абсолютно так как ряд составленный из абсолютных величин его членов те гармонический ряд расходится Далее для исходного ряда поэтому для его суммы имеем оценку

10 Функциональные ряды Задание функционального ряда от некоторой переменной x состоит в задании ряда функций от этой переменной являющихся членами функционального ряда Определение Выражение (11) называется функциональным рядом относительно переменной x Придавая переменной x некоторые значения и тд мы будем получать те или иные числовые ряды и тд В зависимости от значения принимаемого переменной x числовой ряд может оказаться сходящимся или расходящимся Определение Совокупность всех значений переменной x для которых ряд (11) сходится называется областью сходимости функционального ряда Если значение переменной x принадлежит области сходимости функционального ряда то можно говорить о сумме этого функционального ряда в точке x = : Таким образом сумма функционального ряда сама является функцией переменной x Подчеркнем что областью задания суммы функционального ряда является область сходимости этого ряда Сумма функционального ряда понимаемая как функция в принципе ничем не отличается от функций получаемых каким-нибудь другим путем В частности можно ставить и решать вопросы о ее непрерывности дифференцируемости интегрируемости и тд Можно интересоваться также тем какие функции можно получать в виде сумм функциональных рядов и как находить ряды у которых суммами были бы заданные функции Пример 18 Ряд при каждом x представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем Условие сходимости этого ряда состоит в том чтобы Таким образом область сходимости ряда состоит из всех тех значений переменной x для которых x < 2 Пример 19 Ряд

11 как было установлено ранее сходится при x > 1 и расходится при x 1 Следовательно область сходимости этого ряда описывается неравенством x > 1 Пример 20 Члены функционального ряда при любом x меньше соответствующих членов ряда Так как последний ряд сходится должен сходится и исходный ряд при любом x Таким образом областью сходимости исходного ряда является множество всех действительных чисел Пример 21 В ряде при любом отношение последующего члена к предыдущему равно и при возрастании n стремится к нулю Следовательно согласно признаку сходимости Даламбера ряд при любом является сходящимся Таким образом область сходимости функционального ряда состоит из всех вещественных чисел Пример 22 Функциональный ряд при любом значении x 0 расходится ( проверяется при помощи признака Даламбера ) Следовательно область сходимости этого ряда исчерпывается числом 0 Пример 23 Рассмотрим ряд Так как sin x 1 члены этого ряда не меньше соответствующих членов гармонического ряда начиная с третьего: который расходится Следовательно исходный ряд не сходится ни при каком

12 значении x Можно сказать что область сходимости этого ряда пуста Определение Последовательность функций называется сходящейся по точечно к функции если при каждом фиксированном числовая последовательность сходится к числу те такое что справедливо неравенство Функция f называется предельной для последовательности Определение Последовательность функций называется равномерно сходящейся к функции на множестве X если такое что и выполняется неравенство В этом случае пишут на X Определение Функциональный ряд (12) где называется сходящимся по точечно на множестве X к своей сумме S(x) если сходится по точечно последовательность его частичных сумм те Определение Функциональный ряд (12) называется равномерно сходящимся к своей сумме S(x) на множестве X если последовательность частичных сумм этого ряда равномерно сходится на X к S(x) Теорема (Мажоритарный признак Вейерштрасса) Если такие что справедливы неравенства и ряд сходится то ряд (12) сходится равномерно на X Ряд называется мажорирующим для ряда (12) Пример 24 Функциональный ряд сходится равномерно для всех вещественных x потому что при всех

13 x и n а ряд как известно сходится Степенные ряды Определение Функциональные ряды вида (13) где z и - комплексные числа называются степенными рядами Числа n = коэффициентами степенного ряда Будем предполагать что коэффициенты ряда и число фиксированы и будем исследовать поведение ряда при различных z Если в ряде сделать замену переменных положив то получим ряд (14) Очевидно что исследование сходимости ряда (13) эквивалентно исследованию сходимости ряда (14) поэтому в дальнейшем будем рассматривать ряды вида (14) употребляя как правило для обозначения переменной букву z а не Теорема (Абель) Если степенной ряд (15) сходится при z = то он сходится и притом абсолютно при любом z у которого Следствие Если степенной ряд расходится при z = то то он расходится и при всяком z у которого Определение Величина R 0 ( R число или символ + ) такая что при всех z у которых z < R ряд (15) сходится а при всех z у которых z > R ряд (15) расходится называется радиусом сходимости степенного ряда Множество точек z у которых z < R называется кругом сходимости ряда (15)

14 Теорема У всякого степенного ряда (15) существует радиус сходимости R В круге сходимости те При любом z у которого z < R ряд сходится абсолютно Таким образом областью сходимости всякого степенного ряда является всегда круг с точностью до множества его граничных точек В граничных же точках круга сходимости ряд может как сходится так и расходится Все сказанное легко переносится и на общие степенные ряды (13) В частности областью сходимости такого ряда всегда является круг вида конечно как и выше с точностью до его граничных точек Этот круг называется кругом сходимости ряда (13) а R - его радиусом сходимости Теорема Радиус сходимости степенного ряда (13) определяется по формуле Коши Адамара или по формуле если этот предел существует хотя бы в несобственном смысле Пример 25 Радиус сходимости R ряда равен нулю те этот ряд сходится только при z = 0 Действительно Пример 26 Геометрическая прогрессия сходится при z <1 и расходится при z 1 Вещественный степенной ряд и его интервал сходимости Если ряд имеет вещественные коэффициенты и переменная x принимает только вещественные значения то теорема Абеля приводит нас к следующему

15 утверждению: Существует такое неотрицательное R что при x > R или при x < - R ряд расходится при - R < x < R - сходится а поведение ряда при x = ± R подлежит дальнейшему анализу Определение Область значений переменной x удовлетворяющих соотношению - R < x < R называется в случае вещественного ряда его интервалом сходимости Число R как и в комплексном случае называется радиусом сходимости Пример 27 Найти область сходимости степенного ряда Имеем Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости Пусть x = 3 Подставим это значение в формулу для исходного ряда Получим ряд Он расходится как обобщенный гармонический p = ½ < 1 Пусть x = -3 тогда получаем числовой ряд Этот ряд сходится по признаку Лейбница Следовательно областью сходимости исходного ряда будет полуинтервал [ -3 1} Степенной ряд вида имеет интервал сходимости симметричный относительно точки x = a который имеет вид где R радиус сходимости ряда Поведение ряда при x = a R и x = a + R подлежит дополнительному исследованию Пример 28 Найти область сходимости степенного ряда Имеем

16 Следовательно интервалом сходимости будет интервал ( ) Выясним поведение ряда на концах интервала сходимости При x = 1 имеем Это сходящийся обобщенный гармонический ряд p = 3 поэтому при x = 1 ряд сходится При x = -1 имеем Этот ряд сходится абсолютно В результате имеем: ряд сходится при x [ ] Теорема ( о непрерывности суммы ряда) В любой замкнутой области лежащей внутри круга сходимости ряда сумма ряда является непрерывной функцией Теорема ( о почленном интегрировании степенного ряда) Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда то последовательность интегралов от частичных сумм ряда сходится к интегралу от суммы ряда Теорема (о почленном дифференцировании степенного ряда) Пусть степенной ряд s(x) = имеет радиус сходимости R Тогда ряд получаемый в результате почленного дифференцирования исходного ряда также имеет радиус сходимости R и выполняется равенство: Замечание Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании степенного ряда устанавливают аналогию между функциональными рядами и суммами конечного числа функций Пример Непрерывность суммы степенного ряда может быть использована для доказательства теоремы о тождестве степенных рядов напоминающей подобную же теорему для многочленов: Теорема Если два степенных ряда и

17 в окрестности точки x = 0 имеют одну и ту же сумму; то эти ряды тождественны те соответственные коэффициенты их попарно равны: Доказательство Полагая x = 0 в тождестве легко убедится что Отбрасывая эти члены в обеих частях тождества (16) и деля оставшееся тождество на x ( в этом случае мы вынуждены считать x 0 ) получим новое тождество которое также имеет место в окрестности точки x = 0 но исключая саму эту точку Не имея права положить здесь x = 0 мы однако можем устремить x к нулю; в пределе пользуясь непрерывностью мы все же получим что Отбрасывая эти члены и снова деля оставшееся тождество на x 0 при x 0 найдем что и т д Следствие Разложение четной (нечетной) функции в степенной ряд вида (16) может содержать лишь четные же (нечетные) степени x Пример 29 Определить интервал сходимости ряда и найти его сумму Имеем Тогда следовательно интервалом сходимости будет являться интервал ( -1; 1 ) Для нахождения суммы S этого ряда вычислим интеграл Имеем = (мы использовали формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии) Для того чтобы найти S достаточно продифференцировать выражение Итак

18 Пример 30 Определить интервал сходимости ряда и найти его сумму Имеем: Следовательно интервалом сходимости будет являться интервал ( -1; 1 ) Легко проверить ( при помощи признака Лейбница) что при x = ± 1 ряд сходится Таким образом ряд сходится на отрезке [ 0 1 ] Для нахождения суммы S ряда найдем сначала Имеем: Здесь мы опять использовали формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии Таким образом проинтегрировав последнее выражение получим: Но так как то окончательно имеем: Ряды Тейлора и Маклорена Определение Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x 0 и имеет в этой точке произведения всех порядков Тогда ряд называется рядом Тейлора функции f в точке x 0 Если x 0 =0 то получаем частный случай ряда Тейлора который иногда называют рядом Маклорена: Представление функции f(x) в виде ряда называется разложением этой функции в ряд Тейлора при x 0 =0 разложение в ряд Маклорена:

19 Замечание Существуют функции бесконечно дифференцируемые но не представимые своим рядом Тейлора Однако если разложение функции в какой-либо степенной ряд вообще возможно то оно является разложением именно в ряд Тейлора Теорема Пусть где стоящий справа ряд сходится на некотором отрезке [a R a + R] к функции f(x) Тогда этот ряд является рядом Тейлора т е Следствие Если имеются два разложения одной и той же функции f(x) в одной и той же области в ряд и в ряд то оба эти ряда являются одним и тем же рядом Тейлора и поэтому совпадают т е Удобный для практических приложений признак разложимости функции f(x) описывается следующей теоремой Теорема Если функция f(x) имеет производные сколь угодно высоких порядков и существует такая постоянная C что при любых x и n то функция f(x) разлагается в ряд Тейлора: при любом a Ряды Тейлора некоторых элементарных функций

20 Вышеуказанные пять разложений основных элементарных функций в ряд Маклорена часто называют стандартными разложениями Для разложения элементарной функции в ряд Тейлора применяют два метода Первый основан на непосредственном разложении функции в ряд Тейлора Вычисляя производные всех порядков функции f(x) в точке x 0 формально составляют ряд Тейлора затем находят его область сходимости и выясняют в каких точках из области сходимости ряд сходится к данной функции Отметим что непосредственное разложение часто приводит к трудновыполнимым громоздким вычислениям Основная трудность получение формулы общего члена ряда Как правило это вообще невозможно В таких случаях ограничиваются вычислением нескольких начальных членов ряда Второй метод базируется на использовании стандартных разложений Пример 31 Разложить в степенной ряд функцию y = ln x При x = 0 функция ln x не определена поэтому ее нельзя разложить по степеням x т е В ряд Маклорена Разложим функцию y = ln x например по степеням x 1 Находим производные: При x = 1 получим Имеем ряд Тейлора для функции ln x : или после сокращений Применяя признак Даламбера и исследуя ряд на концах найдем что он сходится для всех значений x удовлетворяющих неравенствам 0 < x 2 Можно показать что для всех значений x принадлежащих области сходимости n ый остаток ряда стремится к нулю при n Поэтому для 0 < x 2 имеет место следующее разложение: Пример 32 Разложить в степенной ряд функцию Решение Положим x 2 =t Тогда = e t Напишем разложение функции e t применив формулу:

21 Это разложение имеет место для всех значений t В частности при x 2 =t получим разложение справедливое для всех значений x

22


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии Формула общего члена этого ряда a+aq+...+aq n +... (a ). a n = aq n. Вычислим его частичные суммы. Если q =, то

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд.

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд. ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической

Подробнее

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры }

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } {функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } Пусть задана бесконечная последовательность функций, Функциональные

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными {основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами признак Даламбера, признак Коши, интегральный

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд Степенные ряды Определения, теоремы и формулы для решения задач Определение Функциональный ряд ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 называется степенным рядом, числа R,,, называются коэффициентами степенного ряда

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

1. Числовые ряды, основные понятия.

1. Числовые ряды, основные понятия. Числовой ряд. Числовые ряды, основные понятия. () называется сходящимся, если его частичная сумма (2) имеет конечный предел Тогда называется суммой ряда, а разность lim. (3) (4) называют остатком ряда.

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X 4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u ), u ( ), K, u ( ),K ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u ) + u ( ) + K + u ( ) +

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида:

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: Тема 9 Числовые ряды Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: a a2 a3... a... a Если предел последовательности последовательностью частичных сумм ряда. lim S S Необходимое условие

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Михаил Александрович Солдатов Светлана Серафимовна Круглова Евгений Валентинович Круглов

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается Глава. РЯДЫ. Понятия верхнего и нижнего пределов последовательности Пусть дана ограниченная числовая последовательность ( ) (все её члены заключены на числовой прямой между числами а и b), т.е. По теореме

Подробнее

Функциональные комплексные ряды

Функциональные комплексные ряды Тема Функциональные комплексные ряды Определение. Если выполняется сразу k, N, N U k G сходящимся в области G., то ряд называется равномерно Достаточным признаком равномерной сходимости ряда является признак

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее