ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА. В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА. В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников"

Транскрипт

1 ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников

2 2. Основные понятия и теоремы.. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения. Пусть линейный оператор A действует в линейном пространстве R n над числовым полем K. Предположим, что все корни характеристического многочлена принадлежат полю K. Рассмотрим характеристический многочлен оператора где λ i λ j при i j, i,j =, 2,...,p. Здесь f(λ) = (λ λ) m (λ 2 λ) m 2...(λ p λ) mp, m + m m p = n. Число m i называется алгебраической кратностью собственного значения λ i. Максимальное число линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению λ i, называется его геометрической кратностью и обозначается s i. Теорема. s i m i. Если m i = s i, i =, 2,...,p, то количество линейно независимых собственных векторов оператора A равно размерности пространства, и из них можно составить базис в пространстве R n. В этом базисе матрица A оператора A имеет диагональный вид: λ... A = λ λ 2... λ 2... λ p... λ p m строк m 2 строк m p строк каждое собственное значение λ i встречается на диагонали этой матрицы столько раз, какова его алгебраическая кратность. Вне диагонали все элементы матрицы равны нулю. ;.2. Жорданова клетка. Рассмотрим матрицу оператора λ... λ λ... λ λ J k (λ ) =... λ = λ λ... λ λ () размера k k. Ее характеристический многочлен (λ λ) k имеет корень λ кратности k. Таким образом, данная матрица имеет собственное значение λ алгебраической кратности

3 ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА 3 k. Отвечающие ему собственные векторы это ненулевые решения однородной системы линейных уравнений с матрицей B = J k (λ ) λ I = Так как rang B = k, так что размерность собственного подпространства равна, то существует лишь один линейно независимый собственный вектор. Таким образом, при k 2 не существует базиса, состоящего из собственных векторов этого оператора, то есть ни в одном базисе матрица оператора не может иметь диагонального вида. Матрица J k (λ ) называется жордановой клеткой порядка k, соответствующей собственному значению λ..3. Присоединенные векторы. Элемент x называется присоединенным вектором оператора A, отвечающим собственному значению λ, если для некоторого натурального числа m выполняются соотношения (A λi) m x, (A λi) m x =. При этом число m называется высотой присоединенного вектора x. Иными словами, если x присоединенный вектор высоты m, то элемент (A λi) m x является собственным вектором оператора A. Очевидно, собственные векторы это присоединенные векторы высоты (здесь (A λi) = I). Рассмотрим последовательность векторов e,e 2,...,e m, для которых выполнены соотношения (e ): или, эквивалентно, Ae = λe, Ae 2 = λe 2 + e, Ae 3 = λe 3 + e 2,. Ae m = λe m + e m (A λi)e = = (A λi)e =, (A λi)e 2 = e = (A λi) 2 e 2 =, (A λi)e 3 = e 2 = (A λi) 3 e 3 =, (A λi)e m = e m = (A λi) m e m =. Таким образом, цепочка векторов e,e 2,...,e m состоит из собственного вектора e и присоединенных векторов e 2,...,e m (высота присоединенного вектора e k равна k).

4 4 В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников Введем обозначение B = A λi и запишем предыдущие соотношения в виде Be = = Be =, Be 2 = e = B 2 e 2 =, Be 3 = e 2 = B 3 e 3 =, Be m = e m = B m e m =. Теорема. Векторы e,...,e m линейно независимы. Отметим, что в случае, когда количество векторов e,...,e m равно размерности пространства, т.е. m = n, эти векторы образуют базис в R n, а матрица оператора A в этом базисе имеет вид жордановой клетки порядка n с числом λ на диагонали (см. ())..4. Жорданов блок. Жордановым блоком, отвечающим собственному значению λ, называется блочно-диагональная матрица, каждый блок которой представляет собой жорданову клетку вида (): A(λ ) = J i (λ ) J i2 (λ )... J is (λ ) На главной диагонали матрицы расположены s жордановых клеток J i (λ ), J i2 (λ ),..., J is (λ ) порядков i,i 2...,i s, где s геометрическая кратность собственного значения λ. Сумма порядков этих клеток равна алгебраической кратности собственного значения λ, т.е. i + i i s = m. Все элементы матрицы вне жордановых клеток равны нулю. Порядок расположения жордановых клеток в матрице A(λ ) определен неоднозначно. Примеры жордановых блоков. Рассмотрим простой случай, когда характеристический многочлен матрицы имеет вид f(λ) = (λ λ) m и геометрическая кратность собственного значения λ равна s. Пример. Пусть m = 2, s =. Тогда A(λ ) = имеем одну жорданову клетку порядка 2. ( ) λ ; λ Пример 2. Пусть m = 3, s =. Тогда A(λ ) = λ λ ; λ имеем одну жорданову клетку порядка 3.

5 ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА 5 Пример 3. Пусть m = 3, s = 2. Имеем жорданов блок, состоящий из двух жордановых клеток порядков и 2: A(λ ) = λ λ либо A(λ ) = λ λ λ λ Пример 4. Пусть m = 4, s =. В этом случае имеется одна клетка: λ A(λ ) = λ λ λ Пример 5. Пусть m = 4, s = 2. Этой ситуации отвечает жорданов блок, состоящий из двух клеток, но порядки клеток однозначно не определяются: либо имеем две клетки порядка 2 каждая, либо две клетки, одна из которых имеет порядок, а вторая порядок 3: A(λ ) = λ λ λ λ, либо A(λ ) = A(λ ) = λ λ λ λ λ λ λ λ, либо Пример 6. Пусть m = 4, s = 3. Тогда жорданов блок состоит из трех клеток: λ λ A(λ ) = λ λ, либо A(λ ) = λ λ, либо λ λ A(λ ) = λ λ λ λ.5. Теорема о жордановой форме матрицы оператора. Пусть линейный оператор A действует в линейном пространстве над полем комплексных чисел размерности n и его характеристический многочлен имеет вид где λ j λ k при j k, f(λ) = (λ λ) m (λ 2 λ) m 2...(λ p λ) mp, m + m m p = n. Тогда в этом пространстве существует базис, состоящий из собственных и присоединенных векторов оператора A, в котором матрица оператора имеет блочно-диагональную

6 6 В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников форму (она называется жордановой формой) A(λ ) A(λ A = 2 )... A(λ p ) где A(λ j ) жорданов блок, соответствующий собственному значению λ j. Указанный базис называется жордановым. Сформулированная теорема верна и в случае, когда линейный оператор действует в линейном пространстве над произвольным числовым полем K, но все корни характеристического многочлена принадлежат полю K. Рассмотрим примеры. Обозначаем через n размерность пространства, m j и s j алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения λ j соответственно. Пример. Пусть n = 2, λ λ 2. Тогда матрица оператора может быть приведена к диагональному виду: ( ) λ. λ 2 Пример 2. Пусть n = 3 и оператор имеет два различных собственных значения λ (m = 2, s = ) и λ 2 (m 2 = s 2 = ). Тогда матрица оператора может быть приведена к виду A = λ λ λ 2 Пример 3. Пусть n = 4 и оператор имеет два различных собственных значения λ (m = 3, s = ) и λ 2 (m 2 = s 2 = ). Тогда λ A = λ λ λ 2 Пример 4. Пусть n = 4 и оператор имеет два различных собственных значения λ (m = s = 2) и λ 2 (m 2 = s 2 = 2). Тогда λ A = λ λ 2 λ 2 Пример 5. Пусть n = 4 и оператор имеет два различных собственных значения λ (m = 2, s = ) и λ 2 (m 2 = 2, s 2 = ). Тогда λ A = λ λ 2 λ 2,

7 ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА 7 Пример 6. Пусть n = 4иоператор имеетдва различных собственных значения λ (m = 2, s = ) и λ 2 (m 2 = 2, s 2 = 2). Тогда λ A = λ λ 2 λ 2 2. Построение жорданова базиса и жордановой формы матрицы Пусть λ собственное значение оператора, m и s алгебраическая и геометрическая кратности числа λ. Опишем построение линейно независимой совокупности из m собственных и присоединенных векторов, отвечающих данному λ. Этой совокупности векторов в жордановой матрице A будет соответствовать жорданов блок A(λ) (см. ). Обозначим: B = A λi, B k = (A λi) k, N k = ker B k, n k = dimn k, r k = rang B k. Ясно, что n k + r k = n. Для удобства считаем, что B = I, так что r = n, n =. Поскольку rang B k+ rang B k, имеем n k+ n k, так что N N 2 N 3... Теорема. Существует такое натуральное число q, что N N 2 N q = N q+ = N q+2 =..., т.е. все ядра с номером, б ольшим, чем q, совпадают с ядром N q. При этом n = s, n q = m. Построим часть жорданова базиса, соответствующую данному собственному значению λ, следующим образом.. Возводя матрицу B в последовательные натуральные степени, найдем показатель q, начиная с которого ранг степеней матрицы B перестает уменьшаться. 2. Рассмотрим ядра N q и N q. Пусть векторы f,f 2, N q достраивают произвольный базис пространства N q до базиса пространства N q ; их количество равно n q n q. Эти векторы являются присоединенными векторами высоты q, и каждый из них порождает цепочку, состоящую из q векторов, которые войдут в состав жорданова базиса. Каждой такой цепочке будет соответствовать жорданова клетка порядка q; таким образом, в состав жордановой формы матрицы оператора A войдет n q n q жордановых клеток порядка q. 3. Рассмотрим ядра N q и N q 2, а также векторы Bf,Bf 2,...; их количество равно n q n q = (n r q ) (n r q ) = r q r q. К этим векторам добавим векторы g,g 2,... из пространства N q так, чтобы система векторов Bf, Bf 2,..., g, g 2, N q дополняла произвольный базис ядра N q 2 до базиса ядра N q. Векторы g,g 2,... являются присоединенными векторами высоты q, и каждому из них будет соответствовать,

8 8 В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников во-первых, цепочка векторов жорданова базиса, и во-вторых, жорданова клетка порядка q. Количество добавляемых векторов g,g 2,... равно n q n q 2 (n q n q ) = n q + 2n q n q 2 = r q 2r q + r q 2 ; таким же будет количество жордановых клеток порядка q. 4. Рассмотрим ядра N q 2 и N q 3 и векторы B 2 f,b 2 f 2,..., Bg,Bg 2,... К этим векторам (если их не хватает) добавим векторы h,h 2,... из пространства N q 2 так, чтобы совокупность векторов B 2 f, B 2 f 2,..., Bg, Bg 2,..., h, h 2, N q 2 дополняла произвольный базис пространства N q 3 до базиса пространства N q 2. Количество добавляемых векторов h,h 2,... равно n q 2 n q 3 (n q n q 2 ) = n q + 2n q 2 n q 3 = r q 2r q 2 + r q 3 ; таким же будет количество жордановых клеток порядка q 2. Процесс продолжаем аналогично. Наконец, рассмотрим ядро N и векторы B q f, B q f 2,..., B q 2 g, B q 2 g 2,..., N B q 3 h, B q 3. h 2,..., Bv, Bv 2,... Если эта система не образует базис пространства N, то добавим собственные векторы u,u 2,... так, чтобы пополненная система являлась базисом в N. Итак, мы описали процесс построения жорданова базиса и выяснили, что количество жордановых клеток порядка k, входящих в состав жордановой формы матрицы оператора, может быть найдено по формуле t k = n k+ + 2n k n k = r k+ 2r k + r k. Построенную часть жорданова базиса, состоящую из m векторов, соответствующих данному λ (m алгебраическая кратность этого собственного значения), запишем в таблицу («жорданова лестница»): N q f f 2... N q Bf Bf 2... g g 2... N q 2 B 2 f B 2 f 2... Bg Bg 2... h h N B q f B q f 2... B q 2 g B q 2 g... B q 3 h B q 3 h 2... u u 2... Все векторы таблицы линейно независимы, и их число равно m (алгебраической кратности собственного значения λ). Каждому столбцу этой таблицы соответствует одна жорданова клетка, порядок которой равен высоте столбца. Количество столбцов жордановой лестницы, т.е. полное количество жордановых клеток в блоке, соответствующем собственному значению λ, равно геометрической кратности s этого собственного значения. Будем нумеровать векторы построенной части базиса по столбцам жордановой лестницы: внутри каждого столбца снизу вверх, а сами столбцы в произвольном порядке.

9 ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА 9 Например, пусть e,...,e q векторы первого столбца жордановой лестницы. Тогда e = B q f, e 2 = B q 2 f, Be =, Be 2 = e, Ae = λe, Ae 2 = λe 2 + e,. e q = Bf, e q = f,. Be q = e q 2, Be q = e q,. Ae q = λe q + e q 2, Ae q = λe q + e q. Этой группе векторов (собственный вектор e и присоединенные к нему векторы e 2,..., e q ) жорданова базиса соответствуют первые q столбцов матрицы A, которые имеют вид [ ] Jq (λ), где J q (λ) жорданова клетка порядка q с числом λ на главной диагонали. В следующих q столбцах матрицы A, определенных векторами второго столбца жордановой лестницы, расположена жорданова клетка J q (λ) так, что числа λ стоят на главной диагонали матрицы A, а элементы вне клетки равны нулю. Подобным образом для данного λ получаем m столбцов матрицы A. На этих m столбцах находится жорданов блок A(λ). Для других собственных значений эта схема повторяется, в результате чего получим жорданову матрицу A, указанную в, и соответствующий жорданов базис. 3. Примеры решения задач Дана матрица A линейного оператора в некотором базисе. Требуется найти жорданов базис и жорданову форму матрицы оператора в этом жордановом базисе. Рассмотрим примеры решения такой задачи методом построения жорданова базиса, описанным в 2. Пример. Характеристический многочлен A = det(a λi) = (2 λ) 3 имеет корень λ = 2 кратности 3, т.е. m = 3. Матрица B = A λi равна B = Легко проверить, что r = rang B =, n = n r = 3 = 2.

10 В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников Собственные векторы находим, решив однородную систему линейных уравнений BX = O; фундаментальная совокупность решений состоит из двух векторов, например, 2, (2) Количество этих векторов (т.е. геометрическая кратность собственного значения) равно двум, s = 2, так что для построения жорданова базиса требуется еще один присоединенный вектор. Так как B 2 = O, то ядро N 2 оператора B 2 совпадает со всем пространством, т.е. n 2 = 3, и при этом q = 2. Дополним базис ядра N, т.е. набор векторов (2), до базиса ядра N 2, например, вектором Тогда f = N 2, / N. Bf = 2 4 N. 2 Дополним вектор Bf до базиса пространства N вектором Построим жорданову лестницу: g = N. N 2 f N Bf g Жорданов базис: } e = Bf e 2 = f соответствует жорданова клетка порядка 2, e 3 = g соответствует жорданова клетка порядка. При этом Be =, Be 2 = e, Be 3 =, т.е. e собственный вектор, e 2 его присоединенный вектор, e 3 собственный вектор. В жордановом базисе e = 2 4, e 2 =, e 3 = 2

11 матрица оператора A имеет вид Пример 2. ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА A = Характеристический многочлен det(a λi) = A = λ λ λ = ( λ)3 имеет корень λ = кратности 3, т.е. m = 3. Матрица B = A λi равна B = и мы имеем r = 2, n =. Фундаментальная совокупность решений системы BX = O состоит из одного вектора, например, 3 N. Следовательно, геометрическая кратность собственного значения равна единице: s =. Далее, матрица B 2 равна B 2 = ; 3 6 для нее имеем r 2 =, n 2 = 2, и базис ядра N 2 состоит из двух векторов, например, 3, 6. Поскольку B 3 = O, так что r 3 =, n 3 = 3, то ядро N 3 оператора B 2 совпадает со всем пространством, т.е. q = 3. Вектором f = (,, ) T дополним базис ядра N 2 до базиса пространства N 3. Вектор Bf = (, 2, ) T дополняет базис ядра N (т.е. вектор (3,, ) T ) до базиса ядра N 2. Вектор B 2 f = (3,, ) T образует базис пространства N. Жорданова лестница имеет вид

12 2 В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников N 3 f N 2 Bf N B 2 f Жорданов базис: e = B 2 f = 3, e 2 = Bf = 2, e 3 = f =. Здесь e собственный вектор, e 2 и e 3 два его присоединенных вектора. Матрица оператора A имеет вид жордановой клетки A = Пример 3. Характеристический многочлен det(a λi) = A = λ λ λ = ( λ)λ2 имеет два корня: λ = кратности m = 2 и λ 2 = кратности m 2 =. Рассмотрим собственное значение λ =. Матрица B = (A λ I) = (A I) = имеет ранг r = 2, так что n =, а фундаментальная совокупность решений однородной системы BX = O состоит из одного вектора, например, (, 2, 3) T. Следовательно, геометрическая кратность рассматриваемого собственного значения равна s =. Далее, B 2 = , B 3 = B Таким образом, ядра N 2 и N 3 совпадают, так что q = 2. Находим базис ядра N 2, который является фундаментальной совокупностью решений системы B 2 X = O:,. 3 При этом r 2 =, s 2 = n 2 = 2. Дополним базис в N до базиса в N 2 вектором f = (,, ) T. Тогда вектор Bf = (, 2, 3) T уже образует базис в N. Жорданова лестница имеет вид

13 ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА 3 N 2 f N Bf Часть жорданова базиса: e = Bf = 2, e 2 = f =, 3 где e собственный вектор, e 2 его присоединенный вектор. Первый и второй столбцы матрицы оператора A имеют вид Теперь рассмотрим собственное значение λ 2 =. В этом случае матрица B = (A λ 2 I) = (A I) = имеет ранг r = 2, поэтому ее ядро состоит из одного вектора, например, e 3 = (,, ) T, который является собственным вектором. При этом m 2 = s 2 =. Итак, e,e 2,e 3 жорданов базис и A = Пример 4. A = Характеристический многочлен λ det(a λi) = 3 λ 2 λ = λ 3 λ 2 λ 2 λ 2 λ = (2 λ)4 имеет корень λ = 2 кратности 4. т.е. m = 4. Рассмотрим матрицу B = A 2I = ;

14 4 В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников ее ранг равен r = и N = kerb = L Поскольку имеем B 2 =,,, n 2 = 4, N 2 = ker B 2 = R 4., n = 3. Дополним базис пространства N до базиса пространства N 2 ; для этого возьмем какойлибо вектор f N 2, f / N, например, f = (,,, ) T ; он является присоединенным вектором высоты 2. Вектор Bf = (,,, ) T N является присоединенным вектором высоты, т.е. собственным вектором. Для построения базиса требуется еще два вектора g,g 2, которые выбираются из N. Для их правильного выбора проанализируем линейные зависимости между столбцами матрицы (первые три столбца этой матрицы это базис N, последний столбец вектор Bf). Приводя эту матрицу методом Гаусса к упрощенной форме,, видим, что вектор Bf линейно выражается через первые два столбца этой матрицы. Поэтому второй и третий столбцы можно взять в качестве g и g 2 : g =, g 2 = Таким образом, жорданова лестница имеет вид N 2 f N Bf g g 2 Через L{} обозначена линейная оболочка стоящих в фигурных скобках векторов, которые образуют ее базис.

15 Жорданов базис состоит из векторов e = Bf =, e 2 = f = Жорданова форма матрицы оператора: Пример 5. Характеристический многочлен det(a λi) = ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА 5 A = A =, e 3 = g = λ λ 7 2 λ 2 λ, e 4 = g 2 = = (2 λ) 4 имеет корень λ = 2 кратности 4, т.е. m = 4. Рассмотрим матрицу B = A λi, ее последовательные степени и их ядра: B = 7, r = 2, N = L,, n = 2, 2 2 B 2 = 2, r 2 =, N 2 = L,,, n 2 = 3; 2 B 3 =, r 3 =, N 3 = R 4, n 3 = 4. Возьмем какой-либо вектор f N 3, f / N 2, например, f = (,,, ) T. Он является присоединенным вектором высоты 3. Вектор 6 Bf = 7 N 2

16 6 В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников является присоединенным вектором высоты 2, а вектор B 2 f = N присоединенным вектором высоты, т.е. собственным вектором. Таким образом, мы построили три вектора жорданова базиса: e = B 2 f, e 2 = Bf, e 3 = f. Требуется построить еще один вектор; выберем его из пространства N = kerb так, чтобы он был линейно независим с построенными ранее векторами f, Bf, B 2 f, например, Итак, жорданова лестница имеет вид g = 3 2 N 3 N 2 N f Bf B 2 f g Жорданов базис состоит из векторов e = B 2 f =, e 2 = Bf = 6 7, e 3 = f = а матрица оператора в жордановом базисе имеет вид 2 A = Пример 6. Характеристический многочлен det(a λi) = A = λ 4 7 λ λ 4 λ, e 4 = g = = (2 λ) 4 3 2,

17 ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА 7 имеет корень λ = 2 кратности 4, т.е. m = 4. Рассмотрим матрицу B = A λi, ее степени и их ядра: 4 7 B = , r = 2, N = L 2, 2, n = 2, B 2 =, r 2 =, N 2 = R 4, n 2 = 4. Выберем два вектора f,f 2 N 2, f,f 2 / N : f =, f 2 = Они являются присоединенными векторами высоты 2; соответствующие собственные векторы 4 7 Bf = 5 2, Bf 2 = лежат в пространстве N. Жорданова лестница имеет вид N 2 f f 2 N Bf Bf 2 Построенные четыре вектора образуют жорданов базис: 4 e = Bf = 5 2, e 2 = f =, e 3 = Bf 2 = Матрица оператора в жордановом базисе A = , e 4 = f 2 = Пример 7. A =

18 8 В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников Характеристический многочлен det(a λi) = λ λ 4 2 λ 3 λ = (2 λ) 4 имеет корень λ = 2 кратности 4, т.е. m = 4. Рассмотрим матрицу B = A λi, ее последовательные степени и их ядра: 3 2 B = 4 2, r = 3, N = L, n =, B 2 = 2, r 2 = 2, N 2 = L,, n 2 = 2, B 3 =, r 3 =, N 3 = L,,, n 3 = 3, B 4 =, r 4 =, N 4 = R 4, n 4 = 4. Выберем вектор f N 4, f / N 3, например, f = Он является присоединенным вектором высоты 4 и порождает цепочку векторов 2 Bf = 2 N 3, B 2 f = 2 N 2, B 3 f = N ; Bf, B 2 f присоединенные векторы высоты 3 и 2 соответственно, B 3 f собственный вектор. Таким образом, жорданова лестница имеет вид N 4 N 3 N 2 N f Bf B 2 f B 3 f

19 ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА 9 Жорданов базис состоит из векторов e = B 3 f, e 2 = B 2 f, e 3 = Bf, e 4 = f; матрица оператора имеет вид 2 A = Пример 8. A = Характеристический многочлен λ det(a λi) = 5 λ λ 2 = (2 λ) 2 (3 λ) 2 λ имеет два корня: λ = 2 кратности m = 2 и λ 2 = 3 кратности m 2 = 2. Рассмотрим собственное значение λ = 2. Рассмотрим матрицу B = A λ I = A 2I, ее последовательные степени и их ядра 2 : B = B 2 = , r = 2, N = L, r 2 = 2, N 2 = L,, 3 3, n = 2,, n 2 = 2. Таким образом, q =, и мы выбираем два вектора f,f 2 N 2, которые являются собственными векторами: 3 f =, f 2 = Эти векторы образуют часть жорданова базиса, которой отвечают две жордановых клетки порядка каждая: ( ) Для краткости будем обозначать эту матрицу просто через B.

20 2 В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников Теперь рассмотрим собственное значение λ 2 = 3, соответствующую матрицу B 2 = A λ 2 I = A 3I, ее последовательные степени и их ядра 3 : B = , r = 3, N = L, n =, B 2 = , r 2 = 2, N 2 = L 2, 2, n 2 = 2, B 3 = , r 3 = r 2 = 2, n 3 = 2. 2 Таким образом, q = 2. Выберем вектор g N 2, g / N, например, g = 2 ; он является присоединенным вектором высоты 2 и порождает вектор 2 Bg =, который является присоединенным вектором высоты, т.е. собственным вектором. Жорданов базис состоит из векторов 3 2 e = f =, e 2 = f 2 =, e 3 = Bg =, e 4 = g = Матрица оператора в жордановом базисе имеет вид 2 A = Как и ранее, для краткости будем обозначать эту матрицу просто через B.

21 ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА 2 4. Другой способ построения жорданова базиса Можно строить жорданов базис, начиная с собственных векторов, решая систему для нахождения собственных векторов, систему (A λi)x = O (3) (A λi)y = X (4) для нахождения присоединенных векторов высоты и т. д. Трудность заключается в том, что система (4) может оказаться разрешимой не при любом собственном векторе X (если собственное подпространство не одномерно), так что приходится заботиться о надлежащем выборе этого собственного вектора, что приводит к решению систем линейных уравнений с параметром. Эта трудность усугубляется в случае, когда собственному вектору отвечает длинная цепочка присоединенных векторов. Пример. Дана матрица оператора в некотором базисе: A = Характеристическое уравнение det(a λe) = 3 λ 3 λ 3 3 λ = (3 λ)3 = имеет корень λ = 3 кратности m = 3. Система (3) принимает вид x x 2 = 3 x 3 Отсюда x =, а x 2, x 3 произвольны. Значит, собственные векторы имеют вид X = C + C 2, (5) где C и C 2 произвольные числа, не равные нулю одновременно. Линейно независимых собственных векторов два, так что геометрическая кратность данного собственного значения s = 2. Остается найти m s = присоединенный вектор. Он должен удовлетворять уравнению (4). Подставляя в (4) λ = 3 и найденный X из (5), получим систему 3 y y 2 y 3 = C C 2 (6) Эта система совместна, если выполнены условия теоремы Кронекера Капелли: rang = rang C, 3 3 C 2

22 22 В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников откуда C =, C 2. Достаточно найти одно из решений системы (6), например, Y = C 2/3 ; это и будет вектор, присоединенный к собственному вектору C 2 Выберем C 2 = 3. Жорданов базис будет состоять из собственного вектора присоединенного к нему вектора e = e 2 = 3 и еще одного собственного вектора, линейно независимого с e, например, e 3 = В этом базисе матрица оператора имеет жорданову форму ( ) J A e = = 3 3 J 2 3 Жорданова клетка J = ( 3 3 соответствует собственному вектору e и присоединенному к нему вектору e 2, жорданова клетка J 2 = (3) соответствует собственному вектору e 3. Пример 2. Матрица оператора в некотором базисе имеет вид A = Оператор имеет собственное значение λ = алгебраической кратности m = 3 и геометрической кратности s =. Собственные векторы: X = C 2, C., )

23 ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА 23 Остается найти m s = 2 присоединенных к X вектора из условий Система (7) совместна при всех C. Из (7) определяем Y = C/2 C/2 Система (8) также совместна при всех C. Из (8) находим Z = C/4 5C/4 (A λi)y = X, (7) (A λi)z = Y. (8) Выбрав C = 4, построим жорданов базис: e = 8 4, e 2 = 2, e 3 = Жорданова форма матрицы оператора A = состоит из одной жордановой клетки. Пример 3. Матрица оператора в некотором базисе: A = Характеристическое уравнение имеет корни λ = кратности m = 2 и λ 2 = кратности m 2 = 2. Собственному значению λ = отвечают собственные векторы X = C, C, т.е. геометрическая кратность собственного значения λ = равна. Присоединенный к X вектор Y находится из системы которая совместна при всех C. Например, (A λ I)Y = X, Y = C /2 C /2

24 24 В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников Удобно положить C = 2. Корню λ 2 = отвечают собственные векторы X 2 = C 2, C 2, т.е. геометрическая кратность собственного значения λ 2 = равна. Присоединенный к X 2 вектор Y 2 находится из системы совместной при всех C 2. Например, Удобно положить C 2 = 4. Теперь строим жорданов базис: 2 e = X = 2 2, e 2 = Y = 2 (A λ 2 I)Y 2 = X 2, Y 2 = Жорданова форма матрицы оператора: A = C 2 /4, e 3 = X 2 = Пример 4. Матрица оператора в некотором базисе: 3 7 A = , e 4 = Y 2 = Характеристическое уравнение имеет корень λ = кратности m = 4. Собственные векторы имеют вид: 5 X = C 3 + C 2 6, C2 + C2 2, 3 т.е. геометрическая кратность собственного значения s = 2. Остается найти m s = 2 присоединенных векторов. При этом возможны два случая: оба присоединенных вектора

25 ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА 25 относятся к одному и тому же собственному вектору либо разным собственным векторам. Жорданова форма матрицы может иметь один из следующих видов: A = либо A = (9) Будем искать присоединенный вектор Y из уравнения (4). В отличие от системы (6) из примера, для системы (4) в данном примере условие совместности выполнено при всех значениях C и C 2. Это значит, что присоединенные векторы существуют для всех собственных векторов, в частности, для каждого из двух линейно независимых собственных векторов будет существовать присоединенный вектор. Значит, в данном примере реализуется жорданова форма с двумя клетками порядка 2 каждая. Частное решение системы (4) имеет вид Y = C /3 + 7C 2 /6 3C 2 /2 Построим жорданов базис. Положив C = 3, C 2 =, получим собственный вектор 3 e = 9 и присоединенный к нему вектор e 2 = Положив C =, C 2 = 6, получим собственный вектор 3 e 3 = 36 8 и присоединенный к нему вектор e 4 = Векторы e, e 2, e 3, e 4 образуют жорданов базис, в котором матрица оператора A = 7 9

26 26 В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников 5. Задачи для самостоятельного решения Привести матрицу линейного оператора к жордановой форме. Построить канонический базис. Для контроля правильности построения канонического базиса воспользоваться соотношением PA = AP, где A данная матрица, A жорданова форма матрицы, P матрица перехода к каноническому базису

27 ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА Ответы

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 ЛЕКЦИЯ 6. Метод ГАУССА и ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС. В этой лекции мы опишем алгоритм решения систем линейных уравнений, позволяющий найти и двойственный базис для любого базиса пространства F n 2. В Лекциях 7

Подробнее

Тема 2-18: Нормальные операторы

Тема 2-18: Нормальные операторы Тема 2-18: Нормальные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

λ λ λ 2

λ λ λ 2 Вариант 7. Найти ранг матрицы при различных значениях параметра λ λ 4 λ 4 λ. Решить систему линейных уравнений, написать фундаментальную систему решений для соответствующей x x + 6x + 4x 4 = x + x x 7x

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула Важные понятия утверждения формулы и некоторые примеры по высшей алгебре Тема «К о м п л е к с н ы е ч и с л а» Записать заданное комплексное число в алгебраической тригонометрической и показательной форме

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

Задачи общего зачёта по линейной алгебре, I поток

Задачи общего зачёта по линейной алгебре, I поток Задачи общего зачёта по линейной алгебре, I поток 1. Неоднородная система линейных алгебраических уравнений задана расширенной матрицей A. Используя метод Гаусса, выполнить задания: найти фундаментальную

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Тема: Линейные операторы

Тема: Линейные операторы Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Линейные операторы Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1. Определение линейного оператора Пусть L и V линейные пространства над F (где F

Подробнее

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра»

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» 2 Содержание 1. Матрицы и определители 4 1.1. Матрицы и действия над ними 4 1.2. Определители 7 1.3. Обратная матрица 10 1.4.

Подробнее

Аффинное преобразование Аффинным преобразованием аффинного пространства (V, L) в другое аффинное пространство (V, L ) называется пара отображений

Аффинное преобразование Аффинным преобразованием аффинного пространства (V, L) в другое аффинное пространство (V, L ) называется пара отображений 1 ГОУ ВПО РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ КАФЕДРА НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА И ОПТИМИЗАЦИИ ГЛОССАРИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА" для направления подготовки 080100 "Экономика" Алгебраическое дополнение

Подробнее

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Лектор Пахомова ЕГ 0 г 4 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

V i : вычитание из i-й строки удвоенной последней; U i : ещё одно прибавление i-й строки к последней. Теперь ясно, что A = T 1 = T 1

V i : вычитание из i-й строки удвоенной последней; U i : ещё одно прибавление i-й строки к последней. Теперь ясно, что A = T 1 = T 1 Решения задач шестой студенческой олимпиады по алгебре Задача 1 Докажите, что если все элементы действительной квадратной матрицы порядка больше двух отличны от нуля, то их можно умножить на положительные

Подробнее

В курсе линейной алгебры мы уже сталкивались с многочленами от матриц. В различных областях математики встречаются и другие, более сложные функции.

В курсе линейной алгебры мы уже сталкивались с многочленами от матриц. В различных областях математики встречаются и другие, более сложные функции. Функции от матриц Совместный бакалавриат ВШЭ-РЭШ. 2011-2012 учебный год. Общее замечание. В этом листочке мы рассматриваем матицы над полем комплексных чисел, хотя условие задач везде вещественно. Следите

Подробнее

14. Евклидовы пространства

14. Евклидовы пространства 9 4 Евклидовы пространства Большое многообразие фактов которыми так богата геометрия в значительной степени объясняется возможностью измерять длины отрезков и углы между прямыми В абстрактном линейном

Подробнее

Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплекс-метод решения задач линейного программирования Симплекс-метод решения задач линейного программирования Основным численным методом решения задач линейного программирования является так называемый симплекс-метод. Термин «симплекс-метод» связан с тем

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

V и λ R ) выполняются равенства

V и λ R ) выполняются равенства Линейные преобразования Определение линейного преобразования Пусть V линейное пространство Если указано правило по которому каждому вектору x из V ставится в соответствие единственный вектор y из V то

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

5.1 Определение линейного отображения. Образ и ядро

5.1 Определение линейного отображения. Образ и ядро Глава 5 Линейные отображения и преобразования 5.1 Определение линейного отображения. Образ и ядро Рассмотрим два линейных пространства V и W, заданных над одним и тем же полем F. Отображение ϕ : V W называется

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром.

6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром. Лекция 4 6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром. Подытожим результаты полученные в предыдущем параграфе в следующей теореме.

Подробнее

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B,

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B, Лекция 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

Квадратичные формы. Закон

Квадратичные формы. Закон Материалы к установочной лекции Вопрос 10. Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм. 1 Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа. Обозначения.

Подробнее

Линейная алгебра 3 Линейные операторы

Линейная алгебра 3 Линейные операторы Линейная алгебра 3 Линейные операторы 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Линейный оператор (ЛО) это гомоморфизм ЛП, т.е. отображение A : V W,гдеV, W ЛП над одним и тем же ЧП, удовлетворяющее следующему условию: A(αx

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ e 2 ϕe 2 ϕe 1 α O α e 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Учебно-методическое пособие

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет математики,

Подробнее

Лекция 6. Унитарность. Характеры представлений.

Лекция 6. Унитарность. Характеры представлений. МФТИ-НМУ, 2017г. Введение в теорию групп Лекция 6. Унитарность. Характеры представлений. В квантовой механике обычно встречаются унитарные пространства, т.е. пространства, в которых есть (положительно

Подробнее

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ КИ Лившиц ЛЮ Сухотина ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Учебно-методическое пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 6 УДК 7 ББК Л Рецензенты: д-р физ-мат наук профессор

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ 1 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Пусть нам дана еще одна линейная система того же размера a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

31. Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем. Смирнов Н.В.

31. Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем. Смирнов Н.В. 31 Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем Смирнов НВ 1 Постановка задачи Система в отклонениях Задача стабилизации непосредственно вытекает из проблемы устойчивости программных движений

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

12. Линейные операторы на векторных пространствах (продолжение)

12. Линейные операторы на векторных пространствах (продолжение) 12. Линейные операторы на векторных пространствах (продолжение) Единственность жордановой нормальной формы F алгебраически замкнутое поле Теорема 9. τ Пусть A M n (F), A J и A J где J, J жордановы матрицы.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, ТС Соболева, НО Фастовец МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАЗЛО- ЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ В КГИ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАН- НЫХ БАЗИСАХ ТЕОРЕМА О СТРОЕНИИ ЖОРДАНОВА ФОРМА

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАЗЛО- ЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ В КГИ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАН- НЫХ БАЗИСАХ ТЕОРЕМА О СТРОЕНИИ ЖОРДАНОВА ФОРМА ЛЕКЦИЯ 16 ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАЗЛО- ЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ В КГИ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАН- НЫХ БАЗИСАХ ТЕОРЕМА О СТРОЕНИИ ЖОРДАНОВА ФОРМА ПОЛЯ 1 ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ В КГИ На прошлой лекции мы доказали,

Подробнее

Лекция 27 Глава 3. Системы линейных неравенств 3.1. Основные понятия

Лекция 27 Глава 3. Системы линейных неравенств 3.1. Основные понятия Лекция 7 Глава. Системы линейных неравенств.. Основные понятия Системы линейных неравенств применяются для решения различных математических задач. Системой линейных неравенств из с неизвестными система

Подробнее

Мы представим здесь технику использования собственных значений и собственных векторов для нахождения диагональной формы заданной квадратной матрицы.

Мы представим здесь технику использования собственных значений и собственных векторов для нахождения диагональной формы заданной квадратной матрицы. Международный институт экономики и финансов (Государственный университет Высшая Школа Экономики). Лекции по линейной алгебре Владимир Черняк Лекция. Диагонализация. Читать под музыку Statler Brothers Flowers

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методические

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 31

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 31 ГЛАВА. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 3 Следствие. Всякое решение асимптотически устойчивой линейной системы (как однородной, так и неоднородной) асимптотически устойчиво в целом. 3. Устойчивость линейной

Подробнее

О ГРУППОВЫХ СВОЙСТВАХ И ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

О ГРУППОВЫХ СВОЙСТВАХ И ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 64 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2009. Т. 50, N- 3 УДК 57.944+59.46 О ГРУППОВЫХ СВОЙСТВАХ И ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Ю. А. Чиркунов Новосибирский

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

Введение в решение СЛАУ

Введение в решение СЛАУ Введение в решение СЛАУ Нормы векторов и матриц. Число обусловленности матрицы СЛАУ к.ф.-м.н. Уткин Павел Сергеевич 1 e-mal: utkn@cad.org.ru, pavel_utk@mal.ru (926) 2766560 Данная лекция доступна по адресу

Подробнее

Пример решения задачи по теме «Линейные коды» Решение. Линейный несистематический код C над полем Z 3 задан порождающей матрицей:

Пример решения задачи по теме «Линейные коды» Решение. Линейный несистематический код C над полем Z 3 задан порождающей матрицей: Пример решения задачи по теме «Линейные коды» Линейный несистематический код C над полем Z 3 задан порождающей матрицей: G =. Найти его проверочную матрицу H. Определить основные метрические параметры

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

12. Линейные операторы на векторных пространствах

12. Линейные операторы на векторных пространствах 12. Линейные операторы на векторных пространствах Пусть V векторное пространство над полем F, dimv = n. Линейным оператором на V называется линейное отображение из V в V : для всех α,β F, u,v V. ϕ : V

Подробнее

Задачи по линейной алгебре 1

Задачи по линейной алгебре 1 Задачи по линейной алгебре А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов Компиляция: 9 августа г. c А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов. Предварительная версия 4.4 Оглавление Линейные пространства

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

Разложимые формы, решетки, единицы и число классов идеалов.

Разложимые формы, решетки, единицы и число классов идеалов. Разложимые формы, решетки, единицы и число классов идеалов. Задача (Теорема Блихфельда). Пусть k > 0 - натуральное число, X R n, Vol(X) > k. Докажите, что найдется k + различных точек s 0,..., s k X с

Подробнее

MATRICES AND SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS

MATRICES AND SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В. А. БРУСИН Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет MATRICES AND SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS V. A. BRUSIN The paper is a continuation of

Подробнее

12. Целые расширения колец

12. Целые расширения колец 12. Целые расширения колец В этом параграфе слово «кольцо» по умолчанию означает коммутативное кольцо с единицей, а гомоморфизмы колец предполагаются отображающими единицу в единицу. 12.1. Целые элементы.

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ХИМИИ А. А. МИХАЛЕВ, И. Х. САБИТОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Допущено Учебно-методическим объединением по классическому университетскому

Подробнее

Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений Глава 1 Системы линейных уравнений 1.1 Определители второго и третьего порядка Определителем (детерминантом) 2-го порядка называется a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21. Определителем (детерминантом)

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Т В БОРОДИЧ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Подробнее

КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. (задача о подобии) Чуркин В.А. ПРЕДИСЛОВИЕ

КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. (задача о подобии) Чуркин В.А. ПРЕДИСЛОВИЕ КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ задача о подобии Чуркин ВА ПРЕДИСЛОВИЕ Конечномерный линейный оператор однозначно определяется своей матрицей в некотором базисе векторного пространства Таким образом,

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

7. Двойственность. на базисных векторах e суть

7. Двойственность. на базисных векторах e суть 7. Двойственность 7.1. Двойственное пространство. Линейное отображение ξ V k из векторного пространства над полем k в само это поле¹ называется ковектором² на пространстве V. Ковекторы образуют векторное

Подробнее

Комментарии к теме «Марковские цепи с дискретным пространством состояний»

Комментарии к теме «Марковские цепи с дискретным пространством состояний» Комментарии к теме «Марковские цепи с дискретным пространством состояний» Практические занятия по теории вероятностей кафедра статистического моделирования http://statmod.ru, матмех СПбГУ, 2014 г. 1 Определение

Подробнее

Основы тензорной алгебры

Основы тензорной алгебры Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы тензорной алгебры Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

1. При каких значениях ранг матрицы. Решение:

1. При каких значениях ранг матрицы. Решение: . При каких значениях ранг матрицы равен двум? Решение: Ранг матрицы равен порядку базисного минора. Поскольку требуется, чтобы ранг матрицы был равен двум, то базисным должен быть какой-либо минор второго

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекция 4 Однородные системы

Подробнее

1 Элеметарная теория погрешностей. 2

1 Элеметарная теория погрешностей. 2 Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее