1 Общий обзор теории алгоритмов

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1 Общий обзор теории алгоритмов"

Транскрипт

1 1 Общий обзор теории алгоритмов Уже на самых ранних этапах развития математики (Древний Египет, Вавилон, Греция) в ней стали возникать различные вычислительные процессы чисто механического характера; с их помощью искомые величины ряда задач вычислялись последовательно из данных исходных величин по определенным правилам и инструкциям. Со временем все такие процессы в математике получили название алгоритмов. Вплоть до 1930-х годов это понятие алгоритма в своей основе не менялось, однако оно оставалось интуитивным понятием, имевшим скорее методологическое, а не математическое значение. Сущность его легко уясняется из следующих примеров. В десятичной системе счисления натуральные числа изображаются конечными последовательностями цифр 0, 1,..., 9. Спрашивается, как найти десятичную запись числа, равного сумме, разности, произведению, частному двух чисел, заданных своими десятичными записями? Известные всем из начальной школы процессы, с помощью которых решаются эти задачи, и являются алгоритмами сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел в десятичной системе счисления. Аналогичные алгоритмы известны и для произвольных p-ичных систем счисления. Таким же ярким примером алгоритма может служить и процесс нахождения наибольшего общего делителя двух положительных натуральных чисел, нахождения наибольшей общей меры двух отрезков, наибольшего общего делителя двух многочленов и т.п. Все эти процессы известны сейчас под именем алгоритмов Евклида. Из других алгоритмов укажем еще алгоритмы разложения натурального числа на простые множители, извлечения квадратного корня из натурального числа, процесс решения системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных, и т.д. Отметим теперь несколько общих черт алгоритмов, ясно вырисовывающихся из предыдущих примеров и признающихся характерными для понятия алгоритма: 1. Дискретность алгоритма. Алгоритм это процесс последовательного построения величин, идущий в дискретном времени таким образом, что в начальный момент задается исходная конечная система величин, а в каждый последующий момент времени система величин получается по определенному закону из системы величин, имевшихся в предыдущий момент времени. 1

2 2. Детерминированность алгоритма. Система величин, получаемых в какой-то (не начальный) момент времени, однозначно определяется системой величин, полученных в предшествующие моменты времени. 3. Элементарность шагов алгоритма. Закон получения последующей системы величин из предшествующей должен быть простым и локальным. 4. Направленность алгоритма. Если способ получения последующей величины из какой-нибудь заданной величины не дает результата, то должно быть указано, что надо считать результатом алгоритма. 5. Массовость алгоритма. Начальная система величин может выбираться из некоторого потенциально бесконечного множества. Понятие алгоритма, в какой-то мере определяемое этими пятью требованиями, конечно же не является строгим: в формулировках этих требований встречаются слова способ величина простой локальный точный смысл которых не установлен. В дальнейшем это нестрогое понятие алгоритма будет называться интуитивным понятием алгоритма. Интуитивное понятие алгоритма хоть и не является строгим, но оно настолько ясно, что практически не было серьезных случаев, когда математики разошлись бы во мнениях относительно того, является ли алгоритмом тот или иной конкретно заданный процесс. Поэтому к началу XX века в математике сложилось своеобразное положение с алгоритмическими проблемами. В этих проблемах требовалось найти алгоритм для решения некоторой совокупности родственных задач, в условия которых входит конечная система параметров, могущих принимать обычно произвольные целочисленные значения. Например, требуется найти алгоритм, позволяющий для каждой четверки целых чисел a, b, c, d узнать, существуют или нет целые числа x, y, удовлетворяющие уравнению ax 2 + bxy + cy 2 = d. Был найден процесс, при помощи которого, исходя из заданных чисел, через конечное число шагов можно было на указанный вопрос получить ответ да"или нет". Многие другие алгоритмические проблемы также были решены путем указания конкретных разрешающих процедур. В XX веке положение существенно изменилось. На первый план выдвинулись такие алгоритмические проблемы, существование положительного решения 2

3 которых было сомнительным. Действительно, одно дело доказать существование алгоритма, другое дело доказать отсутствие алгоритма. Первое можно сделать путем фактического описания процесса, решающего задачу; в этом случае достаточно и интуитивного понятия алгоритма, чтобы удостовериться в том, что описанный процесс есть алгоритм. Доказать несуществование алгоритма таким путем невозможно. Для этого надо точно знать, что такое алгоритм. В 1920-х годах задача точного определения понятия алгоритма стала одной из центральных математических проблем. Она была решена в 1936 году, когда практически одновременно и независимо друг от друга были опубликованы работы А.Чёрча (A.Church An unsolvable problem of elementary number theory"), С.К.Клини (S.C.Kleene General recursive functions of natural numbers"), А.М.Тьюринга (A.M.Turing On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem") и Э.Л.Поста (E.L.Post Finite combinatory processes formulation I"). В техническом отношении полученные решения были различными: λ-конверсии Чёрча, рекурсивные функции Эрбрана-Гёделя-Клини и машины Тьюринга внешне не походили друг на друга. Но вскоре была установлена взаимная моделируемость этих понятий, и А.Чёрчем было высказано и обосновано положение о том, что найденное уточнение является адекватным, то есть что оно правильно отражает сущность понятия эффективной вычислимости. Впоследствии это положение было С.К.Клини названо в честь его автора тезисом Чёрча". От этого момента и можно отсчитывать возраст теории алгоритмов как математической дисциплины. Произведенное уточнение дало немедленный эффект: уже в том же 1936 году А.Чёрчем и А.М.Тьюрингом была доказана неразрешимость знаменитой Entscheidungsproblem проблемы разрешимости для классического исчисления предикатов, которую в то время Д.Гильберт считал главной проблемой математической логики. Работы Тьюринга привлекли внимание работавшего в то время в Ленинградском университете Андрея Андреевича Маркова-младшего. В 1939 году разразилась Вторая мировая война. Ученые СССР, Великобритании США, Германии, Италии вносили свой вклад в войну. Были разработаны разные типы электромеханических вычислительных устройств, использовавшихся для централизованного управления артиллерийским огнем на кораблях, для систем противовоздушной обороны. Однако самое известное использование теории алгоритмов в войне связано с проблемами взлома шифров противника. Перед войной ученым Германии удалось разработать для нужд флота электромеханическую шифровальную машину "Энигма". Немецкое командование 3

4 вполне обоснованно считало, что радиограммы, зашифрованные с помощью этого устройства, окажутся не по зубам дешифровщикам противника, работающим с помощью классических ручных методов. Даже в случае попадания "Энигмы"в руки противника успех был бы недолгим регулярная смена исходных положений рабочих роторов машины отбрасывала бы дешифровщиков противника в исходное состояние. Однако это же осознавали и в Великобритании, куда перед войной попал добытый польской разведкой экземпляр "Энигмы". Сразу после начала войны в Блечли-Парке, к югу от Лондона, лучшие математические умы Великобритании были мобилизованы в Правительственную школу шифрования и дешифровки, где в течении шести лет они вели упорную работу по взлому немецких шифров с помощью специальных электромеханических вычислительных устройств. После вступления в войну Соединенных Штатов аналогичный центр был создан и по другую сторону Атлантики, в нем, в частности, работал и Алан Тьюринг. Именно там была создана первая в мире электронно-вычислительная машина. После войны математики вернулись к мирной жизни. В 1945 году С.К.Клини, используя уточненное понятия алгоритма, дал интерпретацию интуиционистской арифметики, чем радикально продвинул разработку основ конструктивной семантики. Внимательно следивший за первыми успехами совсем еще юной теории алгоритмов А.А.Марков немедленно оценил открывшиеся благодаря работе Клини богатые общематематические и логические возможности, и активно занялся разработкой конструктивного подхода к математике. В 1947 году А.А.Марковым и Э.Л.Постом независимо друг от друга была установлена неразрешимость проблемы Туэ проблемы равенства для полугрупп. Тем самым был указан первый пример неразрешимой алгоритмической проблемы собственно математического (а не математикологического) характера. С первых же шагов теории алгоритмов начались исследования, направленные на выяснение степени эффективности ряда фундаментальных понятий и конструкций математического анализа. С течением времени эти исследования привели к созданию так называемого конструктивного математического анализа который в своем построении основывается не на традиционных концепциях теории множеств, а на уточненном понятии алгоритма и на конструктивном понимании математических суждений. С тех пор с понятием алгоритма в математике оказались связанными многие замечательные достижения. Наряду с полученными конкретными результатами (например, в 1955 году П.С.Новиковым была решена классическая проблема тождества теории групп) были выработаны также некоторые 4

5 важные общие представления. В частности, потвержденная Ю.В.Матиясевичем гипотеза М.Девиса о совпадении рекурсивно перечислимых множеств с диофантовыми вскрыла особое положение, которое в математике занимают полиномы, то есть, по существу говоря, первоначальные математические действия. Ну а особенно возросла роль понятия алгоритма в связи с появлением компьютеров и развитием вычислительной математики. 2 Вводные понятия Одним из наиболее важных и основных математических объектов является множество. Теория множеств будет излагаться в курсе математической логики, мы же будем работать лишь с конечными либо счетными наборами объектов, используя, однако, для их записи те же обозначения, что обычно используются для произвольных множеств. Проще всего задать некий набор путем перечисления всех входящих в него объектов. Например, для записи набора, состоящего из четырех букв a, b, c и d, который мы хотим обозначить буквой L, мы будем писать L = {a, b, c, d}. Для того, чтобы указать, что буква b является элементом набора L, используется запись b L; для того, чтобы указать, что буква z не является элементом набора L, используется запись z L. Мы не будем обращать внимание на повторяемость элементов, то есть набор {a, b, b, c} это тот же набор, что и {a, b, c}. Не важен нам также и порядок перечисления элементов, то есть наборы {3, 1, 9}, {9, 3, 1} и {1, 3, 9} мы будем считать одним и тем же набором. Таким образом, два набора элементов равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Особо выделяют набор, не содержащий ни одного элемента; такой набор называется пустым и обозначается. Очевидно, что путем заключения в скобки и перечисления элементов через запятую можно задать не каждый набор ибо существуют и бесконечные наборы элементов. К примеру, бесконечным является множество всех натуральных чисел, традиционно обозначаемое N. Хотя его можно было бы записать как N = {0, 1, 2,...}, используя многоточие и интуицию вместо списка бесконечной длины, однако это не всегда возможно. Альтернативный способ задания набора это ссылка на другие наборы и на свойства, которые должны или не должны иметь его элементы. К примеру, если I = {1, 3, 9} и G = {3, 9}, то G можно описать как набор, состоящий из тех элементов набора I, которые больше 2. Это 5

6 высказывание можно записать так: G = {x x I и x 2}. В общем случае, если набор A уже определен, а P это свойства, которым могут или не могут обладать элементы набора A, то мы можем определить новый набор B = {x x A и x обладает свойством P }. К примеру, множество нечетных натуральных чисел можно было бы задать так: O = {x x N и x не делится на 2}. Множество A называется подмножеством можества B (записывается как A B), если каждый элемент A одновременно является элементом B. Таким образом, O N, так как каждое нечетное натуральное число одновременно является натуральным числом. Заметим, что любое множество является подмножеством самого себя. Если A является подмножеством B, но не совпадает с ним, то мы будем говорить, что A является собственным подмножеством B (записывается как A B). Обратите внимание, что пустое множество является таким образом подмножеством любого множества. Чтобы доказать, что два множества равны, мы должны доказать их взаимное включение: A = B тогда и только тогда, когда A B и B A. Из двух множеств можно образовать третье с помощью различных теоретико-множественных операций, примерно как мы можем получать одни числа из других с помощью арифметических операций. Первой из теоретико-множественных операций является операция объединения: объединением двух множеств является множество, содержащее в качестве элементов объекты, принадлежащие хотя бы одному из двух данных множеств (возможно, обоим сразу). Для обозначения операции объединения используется символ : К примеру, A B = {x x A или x B}. {1, 3, 9} {3, 5, 7} = {1, 3, 5, 7, 9}. Пересечением двух множеств является набор элементов, каждый из которых содержится в обоих исходных множествах одновременно: A B = {x x A и x B}. 6

7 К примеру, {1, 3, 9} {3, 5, 7} = {3}, {1, 3, 9} {a, b, c, d} =. Разностью двух множеств называется множество, состоящее из тех элементов A, которые не являются элементами B: К примеру, A \ B = {x x A и x B}. {1, 3, 9} \ {3, 5, 7} = {1, 9}. Набор всех подмножеств множества A сам образует множество, называемое множеством-степенью A и обозначаемое 2 A. К примеру, подмножествами множества {c, d} являются само множество {c, d}, одноэлементные множества {c} и {d} и пустое множество, поэтому 2 {c,d} = {{c, d}, {c}, {d}, }. Разбиением непустого множества A называется подмножество Π множества 2 A такое, что не является элементом Π, а каждый из элементов A содержится в одном и только одном множестве из Π. Таким образом, Π является разбиением A, если Π является множеством подмножеств A таким, что 1. каждый элемент Π непуст; 2. различные элементы Π не пересекаются; 3. Π = A. К примеру, {{a, b}, {c}, {d}} является разбиением множества {a, b, c, d}, а {{b, c}, {c, d}} нет. Набор из множества четных чисел и множества нечетных чисел является разбиением N. Математика имеет дело с утверждениями об объектах и отношениях между объектами. К примеру, можно сказать, что отношение меньше это отношение между объектами определенного вида а именно числами которое имеет место между 4 и 7 и не имеет места между 4 и 2 или между 4 и 4. Но как мы можем выразить отношения между объектами на единственном математическом языке, который у нас есть к этому моменту на языке множеств? Очень просто: надо думать об отношении 7

8 тоже как о множестве. Элементом отношения является в сущности комбинация объектов, между которыми это отношение выполняется в интуитивном смысле. Таким образом, отношение меньше это множество всех пар чисел таких, что первое число меньше второго. Но как это записать, если мы не различаем порядок элементов внутри набора? Значит, необходимо ввести новый объект упорядоченную пару. Строго формально, упорядоченная пара a, b это набор, состоящий из элементов {a, {a, b}}. Можно доказать, что две упорядоченные пары a, b и c, d равны только в случае, если a = c и b = d. Декартовым произведением множеств A и B (обозначается A B) называется множество всех упорядоченных пар a, b таких, что a A и b B. К примеру, {1, 3, 9} {b, c, d} = { 1, b, 1, c, 1, d, 3, b, 3, c, 3, d, 9, b, 9, c, 9, d }. Бинарным отношением на множествах A и B называется подмножество A B. К примеру, { 1, b, 1, c, 3, d, 9, d } является бинарным отношением на наборах {1, 3, 9} и {b, c, d}, а { i, j i, j N и i < j} это отношение меньше задано оно на N N. Исходя из определения упорядоченной пары, декартова произведения двух множеств, и бинарного отношения, легко дать определения упорядоченной n-ки, декартова произведения n множеств и n-арного отношения. Еще одним фундаментальным математическим понятием является понятие функции. На интуитивном уровне, функция это связывание с объектом одного рода однозначно определяемого объекта другого рода. Используя идею бинарного отношения как множества упорядоченных пар, мы можем дать строгое определение понятию функции. Функция из множества A в множество B это бинарное отношение R на множествах A и B, обладающее следующим специальным свойством: для любого элемента a A найдется в точности одна упорядоченная пара в R с a в качестве первого элемента. Для обозначения функций мы будем использовать такие буквы, как f, g, h; то, что функция f действует из A в B, будем записывать как f : A B, в этом случае A называется областью определения функции f. Если a элемент A, то через f(a) мы будем обозначать тот элемент b из B, для которого a, b f; этот объект f(a) называется образом элемента a. Функция f называется взаимно-однозначной, если для любых двух различных элементов a и a из A f(a) f(a ). Функция f : A B называется отображением 8

9 на", если каждый элемент B является образом какого-либо элемента A. Отображение f : A B называется биекцией, если оно является взаимно-однозначным и отображением на". Обращением бинарного отношения R A B (обозначается R 1 B A) является отношение { b, a a, b R}. Таким образом, обращение функции не обязано быть функцией. Бинарное отношение R A A называется: рефлексивным, если a, a R для каждого элемента a A; симметричным, если из того, что a, b R следует, что b, a R для любых элементов a, b A; антисимметричным, если из того, что a b и a, b R следует, что b, a R для любых элементов a, b A; транзитивным, если из того, что a, b R и b, c R следует, что a, c R для любых элементов a, b, c A. Отношение, которое одновременно является рефлексивным, симметричным и транзитивным, называется отношением эквивалентности. Если изображать отношение эквивалентности графически, то мы увидим, что рисунок распадается на отдельные несвязанные куски. Такие куски называются классами эквивалентности. Класс эквивалентности, содержащий элемент a, мы будем обозначать через [a]. Таким образом, для отношения эквивалентности R [a] R = {b a, b R}. Теорема 1 (о разбиении множества на классы эквивалентности) Пусть R отношение эквивалентности на непустом множестве A. Тогда классы эквивалентности отношения R образуют разбиение A. Доказательство: Пусть Π = {[a] a A}. Нам необходимо показать, что множества, из которых состоит Π, являются непустыми, не пересекаются, и в объединении дают A. Любой класс эквивалентности является непустым, так как по рефлексивности a [a] для любого элемента a A. Чтобы доказать, что эти множества не пересекаются, рассмотрим два разных класса эквивалентности [a] и [b], и предположим, что [a] [b]. Тогда существует элемент c такой, что c [a] и c [b]. Тогда a, c R и c, b R. Так как R транзитивно, то a, b R, а так как R симметрично, то b, a R. Но тогда возьмем любой элемент d [a]. По 9

10 определению, d, a R, а по транзитивности d, b R. Значит, d [b], и, следовательно, [a] [b]. Рассуждая симметрично, получаем, что [b] [a]. Следовательно, [a] = [b]. Значит, любые два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают. Чтобы увидеть, что Π = A, просто заметим, что каждый из элементов a множества A содержится в каком-то множестве из Π а именно в [a] (по рефлексивности). Таким образом, по отношению эквивалентности R мы всегда можем сконструировать соответствующее разбиение Π. Верно и обратное: по любому разбиению мы можем сконструировать соответствующее отношение эквивалентности. Существует естественный изоморфизм между множеством всех эквивалентностей на множестве A, и множеством всех разбиений множества A. Бинарное отношение, которое является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным, называется частичным порядком. Одной из базовых характеристик конечного набора является его размер, то есть количество элементов в нем. Некоторые факты, касающиеся размеров конечных множеств, являются очевидными. К примеру, если A B, то размер A меньше либо равен размеру B; A имеет нулевой размер тогда и только тогда, когда A является пустым множеством. Однако, если мы попытаемся распространить понятие размера на бесконечные множества, то легко наткнуться на проблемы. К примеру, какое множество больше множество всех чисел, делящихся на 17, или множество всех точных квадратов? Можно попробовать давать разные ответы, но практика показала, что самым удачным будет признать, что эти множества имеют одинаковый размер. В математике обычно размер множества называют мощностью. Мы будем называть множества A и B равномощными, если существует биекция f : A B. Так как для каждой биекции существует ей обратная, то отношение равномощности является симметричным. Легко показать, что оно является отношением эквивалентности. Мы будем говорить, что множество A является конечным, если оно попадает в один класс с множеством {1, 2,..., n} для некоторого натурального числа n. (Для n = 0 {1,..., n} образует пустое множество, поэтому является конечным, будучи равномощным само с собой). Если множества A и {1, 2,..., n} одинаковой мощности, то мы будем говорить, что множество A имеет мощность n (записывается как A = n). Таким образом, мощность конечного множества это число элементов в нем. Множество называется 10

11 бесконечным, если оно не является конечным. Однако не все бесконечные множества являются равномощными. Будем называть множество счетным, если оно имеет одинаковую мощность с N. Бесконечное множество, которое не является счетным, называется несчетным. Чтобы показать, что множество A является счетным, нужно построить биекцию между множеством и натуральным рядом. Альтернативный способ заключается в указании способа последовательного перечисления элементов множества A. Теорема 2 (о несчетности множества подмножеств N) Множество 2 N является несчетным. Доказательство: Очевидно, что множество 2 N бесконечно. Предположим, что оно счетно. Тогда существует способ нумерации всех элементов 2 N, то есть 2 N = {R 0, R 1, R 2,...}. Теперь рассмотрим множество D = {n N n R n }. D это множество натуральных чисел, а значит оно появляется где-то в последовательности {R 0, R 1, R 2,...}. Тогда D = R k для некоторого k 0. Но принадлежит ли само число k множеству D? Если да, то получаем, что k R k. Так как D = {n N n R n }, то k D противоречие. Если мы предположим, что k не лежит в D, то получаем, что k R k. Тогда по определению k D опять противоречие. Мы начали с предположения, что множество 2 N является счетным, и пришли к противоречию, значит, наше предположение ошибочно, и это множество является несчетным. Рассмотрим теперь функции из N в N, и попытаемся их как-нибудь упорядочить. Рассмотрим для примера три функции: f(n) = n; g(n) = 10 n 3 ; h(n) = 2 n. Хотя для первой дюжины значений f(n) > g(n) > h(n), интуитивно ясно, что в действительности функции надо было бы расположить в обратном порядке, ибо если мы будем рассматривать достаточно большие числа, то получится, что f(n) < g(n) < h(n). Постараемся расположить функции в порядке их потенциала роста. 11

12 Рассмотрим функцию f : N N. Порядком f, обозначаемым через O(f), будем называть множество всех функций g : N N таких, что найдутся натуральные числа c > 0 и d 0 такие, что для всех n N, g(n) c f(n) + d. Если это неравенство выполняется для всех n, то мы говорим, что g(n) O(f(n)) с константами c и d. Если для двух функций f, g : N N выполнено, что f O(g(n)) и g O(f(n)), то будем это записывать как f g. Легко доказать, что отношение является определенным на функциях отношением эквивалентности. Класс эквивалентности по этому отношению, содержащий функцию f, будем называть мерой роста f. Рассмотрим полином f(n) = 31n n + 3. Докажем, что f(n) O(n 2 ). Для этого заметим, что n 2 n и, следовательно, f(n) 48n 2 + 3, и по определению f(n) O(n 2 ) с константами 48 и 3. Очевидно, что n 2 O(n 2 ) с константами 1 и 0. Следовательно, n 2 31n n + 3, так как эти две функции имеют одинаковую меру роста. Рассмотрим произвольный полином степени q с неотрицательными коэффициентами f(n) = a q n q + a q 1 n q a 1 n + a 0 где a i 0 для всех i и a q > 0. Легко доказать, рассуждая аналогичным образом, что f(n) O(n q ) с константами c = q i=1 a i и d = a 0. Таким образом, все полиномы одной и той же степени имеют одну и ту же меру роста. Рассмотрим два полинома разных степеней будут ли они иметь одну и ту же меру роста? Ответ отрицателен. Так как все полиномы той же самой степени имеют одну и ту же меру роста, то достаточно рассмотреть простейших представителей классов полиномы вида n i и n j где 0 < i < j. Очевидно, что n i O(n j ) с константами 1 и 0. Докажем, что n j O(n i ). Предположим, что n j O(n i ) с константами c и d. Таким образом, для любого n N n j cn i + d. Но отсюда легко прийти к противоречию, взяв n = c + d: c(c + d) i + d < (c + d) i+1 (c + d) j. Подведем итоги: если два полинома f и g имеют одну и ту же степень, то f g. В противном случае, если степень g больше, чем степень f, то f O(g), но g O(f), то есть g имеет более высокую меру роста, чем f. 12

13 Таким образом, мера роста полинома определяется его степенью. Но существуют функции, которые растут еще быстрее, чем любой полином. Простейшим примером является экспоненциальная функция 2 n. Сначала докажем, что для всех n N, n 2 n. Докажем это индукцией по n. Очевидно, что это верно для n = 0. Предположим, что это верно для всех натуральных чисел вплоть по n. Тогда n n n + 2 n = 2 n+1, где первое неравенство выполняется по предположению индукции, а для второго мы используем тот факт, что 1 2 n для всех n. Расширим теперь этот факт на все полиномы. Докажем, что для любого i 1, n i O(2 n ), то есть n i c2 n + d для подходящих констант c и d. Возьмем в качестве констант c = (2i) i и d = (i 2 ) i. Возможны два случая. Если n i 2, то неравенство выполнено, так как n i d. Если n i 2, то неравенство выполнено все равно, так как теперь n i c2 n : Пусть m это частное от деления n на i, то есть такое натуральное число, что im n < im + i. Тогда n i (im + i) i = i i (m + 1) i i i (2 m+1 ) i c2 mi c2 n. Таким образом, мера роста любого полинома не может превосходить меру роста 2 n. Может ли полином иметь ту же самую меру роста, что и 2 n? Если бы это было так, то все полиномы большей степени должны были бы иметь ту же самую меру роста, а мы уже доказали, что полиномы разных степеней имеют разные меры роста. Значит, единственный возможный случай 2 n имеет меру роста большую, чем мера роста любого полинома. Прочие экспоненциальные функции такие как 5 n, n n, n!, 2 n2, 2 2n имеют еще более высокие меры роста. 3 Алфавиты и языки Что такое язык вопрос очень непростой, этому вопросу посвящены серьезные исследования. Языки бывают разными: обычные языки, служащие для общения людей, бюрократические варианты естественных языков, 13

14 профессиональные жаргоны, формальные языки программирования, языки жестов и т.д. и т.п. Мы будем изучать формальные языки. К ним относятся в первую очередь языки, используемые при работе с компьютером (в частности, языки программирования) и языки, используемые в математической логике. Таким образом, мы будем понимать нечто более узкое, но зато поддающееся математическому определению и изучению. Алфавитом мы будем называть конечный (обычно непустой) набор символов. Естественным примером является русский алфавит {а,б,...,я}. Часто встречающимся в теории вычислений является бинарный алфавит {0, 1}. На самом деле, мы можем использовать в качестве алфавита что угодно, с формальной точки зрения алфавит это просто конечное множество произвольной природы. Для простоты мы будем использовать в качестве символов только буквы, цифры, и некоторые другие символы вроде #. Словом данного алфавита называется конечная последовательность символов алфавита. Вместо записи слов в скобках, разделяя символы запятыми, мы просто будем писать символы один за другим. Используя естественный изоморфизм мы будем отождествлять слово из одного символа с самим символом. В слове может не быть символов вообще, такое слово мы будем называть пустым словом и обозначать e. Слова будут обозначаться буквами u, v, x, y, z и греческими буквами. Чтобы избежать недопонимания, мы будем стараться не использовать в обозначениях слов тех символов, что используются в самих словах. Множество всех слов алфавита Σ, включая пустое слово, будет обозначаться Σ. Длиной слова является его длина как последовательности символов. Мы будем обозначать длину слова w через w, таким образом 101 = 3 и e = 0. Слово можно рассматривать как функцию w : {1,..., w } Σ, при этом w(j) при 1 j w это j-й символ слова w. Из двух слов одного и того же алфавита можно получить третье, используя операцию конкатенации. Конкатенация слов x и y, обозначаемая как x y или просто xy, это слово x, за которым вплотную записано слово y; формально w = x y тогда и только тогда, когда w = x + y, w(j) = x(j) для j = 1,..., x и w( x + j) = y(j) для j = 1,..., y. Очевидно, что w e = e w = w для любого слова w. Слово v называется подсловом слова w в том, и только в том случае, если существуют слова x и y такие, что w = xvy. Как x, так и y при этом могут быть пустыми, таким образом любое слово является своим собственным подсловом и e 14

15 является подсловом любого слова. Для любого слова w и любого натурального числа i слово w i определяется следующим образом: w 0 = e w i+1 = w i w для каждого i 0. Обращением слова w, записываемым как w R, будем называть то же самое слово, записанное наоборот. Формальное определение такого: 1)Если w слово нулевой длины, то w R = w = e. 2)Если w слово длины n + 1 > 0, то w = ua для некоторого a Σ, и w R = au R. Любое множество слов алфавита Σ, то есть любое подмножество Σ, мы будем называть языком. Таким образом, Σ, и Σ это языки. Так как язык это просто набор слов, то мы можем задавать конечные языки путем перечисления всех их слов. К примеру, {aba, czr, d, f} это язык над алфавитом {a, b,..., z}. К сожалению, большинство интересных языков являются бесконечными, поэтому перечислить все их слова не представляется возможным. Примерами могут служить такие языки, как {0, 01, 011, 0111,...}, {w {0, 1} w содержит одинаковое число нулей и единиц} и {w Σ w = w R }. Поэтому мы будем описывать бесконечные языки по схеме L = {w Σ w обладает свойством P }, используя общую форму, которая предлагалась для записи бесконечных множеств. Если Σ конечный алфавит, то Σ очевидно бесконечно, но будет ли это множество счетным? Нетрудно убедиться, что будет. Чтобы построить биекцию f : N Σ, зафиксируем на алфавите некий порядок, скажем Σ = {a 1,..., a n }, где все символы a 1,..., a n различны. Слова из Σ можно перенумеровать следующим образом: 1)Для каждого k 0 все слова длины k перечисляются раньше всех строк длины k )Все n k слов длины k перечисляются в лексикографическом порядке. Так как языки это множества, то к ним можно применять теоретикомножественные операции объединения, пересечения и разности. Когда ясно, о каком именно алфавите идет речь, то мы будем писать A дополнение A вместо разности Σ \ A. Кроме того, существуют некоторые операции, которые имеют смысл именно для языков. Первой из них является конкатенация языков. 15

16 Если L 1 и L 2 языки алфавита Σ, то их конкатенация это L = L 1 L 2, или просто L = L 1 L 2, где L = {w Σ w = x y для некоторых x L 1 и y L 2 }. К примеру, если Σ = {0, 1}, L 1 = {w Σ в слове w четное число нулей}, L 2 = {w слово w начинается с 0, а остальные символы 1}, то L 1 L 2 = {w слово w начинается с нечетного числа 0}. Другая операция над языками это навешивание звездочки Клини на язык L, что обозначается как L. L это множество всех слов, получаемых путем конкатенации нуля или более слов из L (конкатенация нуля слов это e, а конкатенация одного слова это само это слово). Таким образом, L = {w Σ w = w 1 w k для некоторого k 0 и w 1,..., w k L}. К примеру, если L = {01, 1, 100}, то L, так как = , а каждое из этих слов входит в L. Обратите внимание, что использование Σ для обозначения всех слов алфавита Σ совпадает с обозначением звездочки Клини над Σ, рассматриваемым как конечный язык. Это неслучайно, если мы положим L = Σ и применим определение, то Σ будет множеством всех слов, представимых в виде w 1 w k для некоторого k 0 и некоторых w 1,..., w k Σ. Так как w i это индивидуальные символы Σ, то Σ будет, как и определялось ранее, множеством всех конечных слов, образованных из символов алфавита Σ. В качестве последнего примера покажем, что если L это {w {0, 1} в слове w разное количество нулей и единииц}, то L = {0, 1}. Чтобы увидеть это, вначале заметим, что для любых языков L 1 и L 2 если L 1 L 2, то L 1 L 2 это следует из определения звездочки Клини. Очевидно, что {0, 1} L, так как и 0, и 1 если их рассматривать как слова имеют неравное количество нулей и единиц. Следовательно, {0, 1} L, но по определению L {0, 1}, значит L = {0, 1}. Будем писать L + для обозначения языка LL. Эквивалентно, L + это язык {w Σ w = w 1 w 2 w k для некоторого k 1 и w 1,..., w k L}. 16

17 4 Конечные представления языков Важной задачей теории вычислимости является представление языков с помощью конечных описаний. Естественно, любой конечный язык можно описать путем перечисления всех слов языка, поэтому интерес представляет лишь рассмотрение бесконечных языков. Давайте поточнее определим, что означает понятие "конечное представление языка". Первое, что нужно указать, что любое такое представление само по себе будет словом, конечной последовательностью символов некоторого алфавита Σ. Во-вторых, мы, естественно, хотим, чтобы различные языки имели различные представления, иначе трудно считать приемлемым сам термин "представление". Однако из этих двух посылок следует, что мы очень ограничены в выборе конечных представлений. Множество Σ слов алфавита Σ счетно, следовательно и число возможных конечных представлений также счетно (это будет верно, даже если мы не будем фиксировать алфавит лишь бы общее число используемых символов было не более чем счетно). С другой стороны, число всех возможных языков над данным алфавитом Σ это 2 Σ более чем счетно. Таким образом, мы не каждый язык можем представить конечным образом. Значит, максимум на что можно надеяться это попытаться найти какие-то конечные представления для наиболее интересных языков. Итак, первый результат: независимо от того, сколь мощные методы мы будем использовать для представления языков, все равно конечными выражениями можно представить не более чем счетное количество языков. Для начала рассмотрим выражения, которые описывают как языки строятся с помощью описанных ранее операций. Пример: Пусть L = {w {0, 1} в слово w единица входит дважды или трижды, причем второе вхождение не следует непосредственно за первым}. Этот язык можно описать используя только одноэлементные множества и символы, и следующим образом: {0} {1} {0} {0} {1} {0} (({1} {0} ) 0). Нетрудно видеть, что это в точности язык L. Для экономии мы можем отбросить фигурные скобки и знаки конкатенации, и записать просто L = (10 0). Выражения подобного рода мы будем называть регулярными выражениями. Более строго, пусть у нас есть алфавит Σ. Тогда 17

18 1) и каждый символ алфавита Σ являются регулярными выражениями. 2)Если α и β регулярные выражения, то (αβ) тоже регулярное выражение. 3)Если α и β регулярные выражения, то (α β) тоже регулярное выражение. 4)Если α регулярное выражение, то α тоже регулярное выражение. 5)Других регулярных выражений нет. Каждый язык, который можно представить регулярным выражением, можно представить бесконечным множеством регулярных выражений. К примеру α и (α ) всегда представляют один и тот же язык; то же самое верно для ((α β) γ) и (α (β γ)). Регулярными языками мы будем называть языки, которые могут быть описаны с помощью регулярных выражений. Лемма 1 Пусть задан алфавит Σ, Z = {{σ} σ Σ} { }, Z замыкание множества Z относительно операций объединения языков, конкатенации языков и навешивания звездочки Клини (то есть любой элемент Z получается из конечного набора элементов Z с помощью применения конечного числа указанных операций). Тогда Z совпадает с классом регулярных языков. Доказательство Обозначим для удобства класс регулярных языков через RL. Нам нужно доказать, что RL = Z. Z RL: Пусть L Z. Тогда существуют символы алфавита σ 1,..., σ n такие, что язык L получается из {σ 1 },..., {σ n } и, возможно, { } с помощью применения конечного числа раз операций объединения языков, конкатенации языков и навешивания звездочки Клини. Докажем индукцией по сложности построения, что в этом случае L RL. Базис индукции: Если L = { } или L = {σ} (где σ символ алфавита Σ), то по определению L регулярный язык. Шаг индукции: Если L = L 1 L 2, язык L 1 описывается регулярным выражением α 1, язык L 2 описывается регулярным выражением α 2, то язык L описывается регулярным выражением (α 1 α 2 ), и, следовательно, L RL. Если L = L 1 L 2, язык L 1 описывается регулярным выражением α 1, язык L 2 описывается регулярным выражением α 2, то язык L описывается регулярным выражением (α 1 α 2 ), и, следовательно, L RL. 18

19 Если L = L, то, по определению звездочки Клини, L это множество всех слов, получаемых путем конкатенации нуля или более слов из L. Пусть язык L описывается регулярным выражением α. Тогда регулярное выражение α описывает язык, где каждое слово является конкатенацией не более чем конечного числа слов из Σ. Получаем, что регулярное выражение α описывает язык L. Мы рассмотрели все возможные варианты. Следовательно, если L Z, то L RL, то есть Z RL. RL Z : Пусть L RL. Тогда L описывается некоторым регулярным выражением γ. Докажем индукцией по сложности γ, что L Z. Базис индукции: Пусть γ символ алфавита Σ. Тогда L = {γ} Z Z. То же самое верно, если γ =. Шаг индукции: Пусть регулярное выражение α описывает язык L 1 Z, регулярное выражение β описывает язык L 2 Z. Тогда регулярное выражение (α β) описывает язык L 1 L 2, который является объединением двух элементов Z и, следовательно, сам принадлежит Z ; регулярное выражение (αβ) описывает язык L 1 L 2, который принадлежит Z по тем же самым соображениям; регулярное выражение α описывает язык, состоящий из слов, образованных путем конкатенации не более чем конечного числа слов L 1, то есть по определению получаем, что α описывает язык L 1, который принадлежит Z. Лемма доказана. Мы уже рассмотрели пример нетривиального языка, описываемого регулярным выражением. К сожалению, с помощью регулярных выражений нельзя описать некоторые языки, которые очень просто описываются другими способами. К примеру, язык {0 n 1 n n 0} НЕ может быть описан регулярным выражением. Таким образом, в общем случае регулярные выражения не могут быть хорошим методом. Чтобы найти общий метод, вернемся к общей схеме L = {w Σ w обладает свойством P }. Но какого вида свойства P нам нужны? Мы ограничимся алгоритмическими свойствами, то есть такими, что существует алгоритм, позволяющий определить, принадлежит ли данное конкретное слово рассматриваемому языку. 19

20 5 Конечные автоматы Чтобы изучать программы и вычислительные машины в их взаимодействии, надо разработать модели вычислений. Самых распространенных моделей три: логические схемы, конечные автоматы и машины с бесконечной памятью. Логическая схема (или комбинационная машина) это соединение логических элементов, каждый из которых реализует некоторую логическую функцию. Можно считать, что начало изучения комбинационной сложности двоичных функций восходит к диссертации Шеннона (1938), в которой он показал важность булевой алгебры для синтеза и анализа релейных переключательных схем. Эту тему вскоре продолжила работа Риордана и Шеннона (1942) о параллельно-последовательных схемах, давшая еще один импульс дальнейшему исследованию переключательных схем. Следующая работа Шеннона (1949) придала изучению переключательных схем самостоятельный характер; она оказалась важной еще и тем, что побудила русских математиков начать работу в этом направлении. Весьма успешно осуществленная ими программа исследований расширила основы этой области знаний, привела к уточнению многих результатов из ранних работ Шеннона и имела своим итогом изучение сложности многих конкретных функций. Как логические схемы, так и конечные автоматы вычисляют функции. Однако, в отличие от логических схем, конечные автоматы обладают памятью, а потому могут использовать свою схемную часть многократно и, следовательно, реализовать функции с использованием логических схем меньшего размера, чем требуется машинам без памяти. Вместе с тем для их работы требуется большее время. Конечный автомат (или последовательностная машина) это математическая модель вычислительных машин с памятью, устройство которой нам известно. Как и реальный компьютер, конечный автомат имеет процессор"фиксированной конечной мощности. В качестве данных на вход он получает некоторое слово, подаваемое на входной ленте. Никаких выходных данных он не производит, лишь сообщает, являются ли входные данные допустимыми. Устройства подобного типа называют распознавателями языков". В отличие от реального компьютера, у конечного автомата ОТСУТСТВУЕТ память вне процессора. Казалось бы: зачем нужен компьютер без памяти? Однако на самом деле память у него есть, просто ее объем фиксируется в момент изготовления и 20

Практические занятия. Построение нормальных алгоритмов и машин Тьюринга.

Практические занятия. Построение нормальных алгоритмов и машин Тьюринга. Раздел 6. Теория алгоритмов. Неформальное понятие алгоритма, его основные черты и свойства. Алфавит, слова, алгоритм в алфавите. Вполне эквивалентные алгоритмы. Определение нормального алгоритма (алгоритма

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 1 ВЕ Алексеев 2014 Глава 1 Множества 11 Понятие множества Под множеством математики понимают соединение каких-либо объектов в одно целое Создатель теории множеств немецкий математик

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет 014 г. Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. Алгебра множеств..1 Понятие множества... 1. Операции над множествами...

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ 1 Понятие множества. Операции над множествами В математике встречаются самые разнообразные множества. Можно говорить о множестве граней многогранника, множестве точек на прямой,

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее

Александр Охотин. 13 сентября 2017 г. 1 Формальные языки и действия над ними 1. 3 Недетерминированные конечные автоматы (NFA) 4

Александр Охотин. 13 сентября 2017 г. 1 Формальные языки и действия над ними 1. 3 Недетерминированные конечные автоматы (NFA) 4 Теоретическая информатика III, осень 2017 г. Лекция 2: Формальные языки и действия над ними. Регулярные выражения. Недетерминированные конечные автоматы (NFA). Преобразование NFA к DFA (преобразование

Подробнее

и q 2 целые числа. Следовательно, a + b = c(q 1 +q 2 ), а a b= c(q 1 q 2

и q 2 целые числа. Следовательно, a + b = c(q 1 +q 2 ), а a b= c(q 1 q 2 Делимость целых чисел. Часть 1. Определение целое число а делится на не равное нулю целое число b, если существует такое число q, что a = bq. В таком случае число a называется делимым, b делителем, а q

Подробнее

Дискретная математика. Домашнее задание 22 (повторение), решения

Дискретная математика. Домашнее задание 22 (повторение), решения Дискретная математика Домашнее задание 22 (повторение), решения 1 Найдите максимальное количество рёбер в таких ориентированных графах на n вершинах, которые не имеют ориентированных циклов Решение Между

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями Сайт автора Его блог Рассылка I. Задачи Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями I.1. Решите уравнение 3 m + 4 n = 5 k в натуральных числах. [Ответ] [Решение] I.2. При каких значениях х оба числа и целые?

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 1 ВЕ Алексеев 2016 Глава 1 Множества 11 Понятие множества Под множеством математики понимают соединение каких-либо объектов в одно целое Создатель теории множеств немецкий математик

Подробнее

Множества и отображения

Множества и отображения Глава 1 Множества и отображения 11 Множества Когда мы даем определение какому-либо понятию, мы связываем его с другими понятиями Те, в свою очередь, мы можем определить через другие понятия и т д Рано

Подробнее

Курс «Алгоритмы и алгоритмические языки» Лекция 1

Курс «Алгоритмы и алгоритмические языки» Лекция 1 Курс «Алгоритмы и алгоритмические языки» Лекция 1 1 Курс «Алгоритмы и алгоритмические языки» Лекторы Гайсарян Сергей Суренович Белеванцев Андрей Андреевич Лекции 2 раза в неделю: среда 8.45, суббота 8.45

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА» Тема работы: «Бинарные отношения» Теоретические сведения

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА» Тема работы: «Бинарные отношения» Теоретические сведения МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА» Тема работы: «Бинарные отношения» Теоретические сведения Что такое прямое произведение A A? Пусть A это множество. (О множестве

Подробнее

Курс «Алгоритмы и алгоритмические языки» Лекция 3

Курс «Алгоритмы и алгоритмические языки» Лекция 3 Курс «Алгоритмы и алгоритмические языки» Лекция 3 1 Диаграммы Тьюринга (ДТ) Моделирование МТ Определение. МТ M моделирует МТ M, если выполнены следующие условия: (1) Данная начальная конфигурация вызывает

Подробнее

Математическая логика

Математическая логика Математическая логика Лектор: Подымов Владислав Васильевич e-mail: valdus@yandex.ru 2017, весенний семестр Лекция 11 Формальная арифметика Явные логические определения Теорема Гёделя о неполноте Аксиомы

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2016)

Введение в математическую логику (oсень 2016) Введение в математическую логику (oсень 2016) В.Б. Шехтман Лекция 7 Языки первого порядка: семантика (продолжение) На прошлой лекции было дано определение значений замкнутых термов в модели (определение

Подробнее

Теория вычислительных процессов и структур. Лекция 4. Неразрешимые свойства стандартных схема

Теория вычислительных процессов и структур. Лекция 4. Неразрешимые свойства стандартных схема Теория вычислительных процессов и структур Лекция 4. Неразрешимые свойства стандартных схема Содержание лекции Предварительные сведения Функция и вычислимая функция Некоторые сведения о машине Тьюринга

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 5 В.Е. Алексеев 2014 Глава 9. Кодирование Кодирование преобразование информации, выполняемое с разнообразными целями: экономное представление (сжатие данных), защита от помех

Подробнее

Лекции по дискретной математике, Пилотный поток,

Лекции по дискретной математике, Пилотный поток, Лекции по дискретной математике, Пилотный поток, 2015-2016 1 Математическая индукция Примеры рассуждений: двухцветная раскраска, наличие треугольника. Равенства: 1 + 2 +... + n = n(n+1) 2, 1 + 2 + 4 +

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

Ф. Г. Кораблёв, В. В. Кораблёва. Дискретная математика: комбинаторика

Ф. Г. Кораблёв, В. В. Кораблёва. Дискретная математика: комбинаторика Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» Ф.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных. Источники и классификация погрешностей результата

Подробнее

Конечные автоматы, регулярные выражения, нерегулярные языки

Конечные автоматы, регулярные выражения, нерегулярные языки Конечные автоматы, регулярные выражения, нерегулярные языки 6.02.2013 1 Конечные автоматы и регулярные языки Языком будем называть множество строк над некоторым алфавитом. Определение 1. Конечный автомат

Подробнее

Александр Охотин. 18 сентября 2017 г. 2 Из автоматов в регулярные выражения 2. 3 Лемма о накачке для регулярных языков 4

Александр Охотин. 18 сентября 2017 г. 2 Из автоматов в регулярные выражения 2. 3 Лемма о накачке для регулярных языков 4 Теоретическая информатика III, осень 2017 г. Лекция 3: Преобразование регулярных выражений в -NFA, преобразование -NFA в NFA, преобразование NFA в регулярные выражения. Лемма о накачке для регулярных языков.

Подробнее

5. Ассоциативность: (A B) C=A (B C) (A B) C=A (B C) 6. Дистрибутивность: A (B C)=(A B) (A C)

5. Ассоциативность: (A B) C=A (B C) (A B) C=A (B C) 6. Дистрибутивность: A (B C)=(A B) (A C) Теория множеств. Множество это первичное неопределяемое понятие математики (как, например, точка в геометрии). Слова «набор», «совокупность», «семейство» употребляют в качестве его синонимов. Пример 1.

Подробнее

МАШИНА ТЬЮРИНГА В ИЗУЧЕНИИ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ Лебедева Н.Ю. Шуйский филиал Ивановского государственного университета

МАШИНА ТЬЮРИНГА В ИЗУЧЕНИИ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ Лебедева Н.Ю. Шуйский филиал Ивановского государственного университета МАШИНА ТЬЮРИНГА В ИЗУЧЕНИИ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ Лебедева Н.Ю. Шуйский филиал Ивановского государственного университета TURING MACHINE IN THE STUDY OF THE THEORY OF ALGORITHMS Lebedeva N. Yu. Shuya branch

Подробнее

Дискретная математика, М.Н. Вялый, В.В. Подольский

Дискретная математика, М.Н. Вялый, В.В. Подольский Дискретная математика, М.Н. Вялый, В.В. Подольский Курс представляет собой интенсивное введение в дискретную математику. Цель курса разобрать основные результаты этой области и показать основные методы,

Подробнее

,

, Занятие 5 Ориентированный граф (или, орграф) G = (V, A) состоит из некоторого непустого множества V вершин и множества A соединяющих эти вершины ориентированных ребер (или, дуг или, стрелок). Мы пишем

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю)

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки 44.03.05

Подробнее

Занятие если A B, то C A C B ; 4. A B B A; 5. (A B) C A (B C);

Занятие если A B, то C A C B ; 4. A B B A; 5. (A B) C A (B C); Занятие 18 Задача 18.1. Пусть множества A и B равномощны. Докажите, что множества A A и B B также равномощны. Решение. Пусть имеется биекция f : A B. Рассмотрим отображение g : A A B B, т. ч. g(a 1, a

Подробнее

Глава I АВТОМАТЫ КАК РАСПОЗНАВАТЕЛИ (АВТОМАТЫ БЕЗ ВЫХОДА) 1. Алфавит, буквы, слова

Глава I АВТОМАТЫ КАК РАСПОЗНАВАТЕЛИ (АВТОМАТЫ БЕЗ ВЫХОДА) 1. Алфавит, буквы, слова ПРЕДИСЛОВИЕ Теория автоматов сравнительно молодая наука. Началом её возникновения считается середина 1950-х годов. В это время в нескольких научных центрах СССР и США велись исследования по созданию математической

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

2.5 Алгебраические структуры

2.5 Алгебраические структуры 5 Алгебраические структуры 6 Определение Бинарная операция на множестве S есть отображение S S в S То есть, является правилом, которое каждой упорядоченной паре элементов из S ставит в соответствие некоторый

Подробнее

Методические указания по дискретной математике. Теория множеств

Методические указания по дискретной математике. Теория множеств Методические указания по дискретной математике Теория множеств 2 Элементы теории множеств Раздел математики, занимающийся множествами называется теорией множеств. Ее основоположником был немецкий математик

Подробнее

РЕГУЛЯРНАЯ ФОРМА СПЕЦИФИКАЦИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ АВТОМАТОВ В ЯЗЫКЕ L А. Н. Чеботарев

РЕГУЛЯРНАЯ ФОРМА СПЕЦИФИКАЦИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ АВТОМАТОВ В ЯЗЫКЕ L А. Н. Чеботарев ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2010 Логическое проектирование дискретных автоматов 4(10) УДК 519.713.1 РЕГУЛЯРНАЯ ФОРМА СПЕЦИФИКАЦИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ АВТОМАТОВ В ЯЗЫКЕ L А. Н. Чеботарев Институт кибернетики

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Отношения и предикаты Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 2-е, испр. и доп.

Подробнее

Лекция 2: Элементарная алгебра графов

Лекция 2: Элементарная алгебра графов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Алгебраическое определение графа В большинстве случаев, определение графа как геометрической

Подробнее

ПОЛУПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

ПОЛУПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 13 ГРУППЫ ИЗ 8 ЭЛЕМЕНТОВ ПОЛУПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУППЫ ИЗ 12 ЭЛЕМЕНТОВ ПОНЯТИЕ КОЛЬЦА 1 ГРУППЫ ИЗ 8 ЭЛЕМЕНТОВ Теорема 1 (классификация групп из 8 элементов). Любая группа из 8 элементов изоморфна

Подробнее

Компьютерная алгебра. (курс лекций) Игорь Алексеевич Малышев

Компьютерная алгебра. (курс лекций) Игорь Алексеевич Малышев Компьютерная алгебра (курс лекций) Игорь Алексеевич Малышев Computer.Algebra@yandex.ru (С) Кафедра «Компьютерные системы и программные технологии», Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

ВВЕДЕНИЕ. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ 5 ВВЕДЕНИЕ. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ Все математические дисциплины можно условно разделить на д и с к р е- т н ы е и н е п р е р ы в н ы е. Дискретная математика это та часть математики, главной особенностью

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ОБЩЕГО ДЕЛИТЕЛЯ. Алгоритм Евклида

ЛЕКЦИЯ 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ОБЩЕГО ДЕЛИТЕЛЯ. Алгоритм Евклида ЛЕКЦИЯ 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ОБЩЕГО ДЕЛИТЕЛЯ Алгоритм Евклида При работе с большими составными числами их разложение на простые множители, как правило, неизвестно. Но для многих прикладных задач теории

Подробнее

О.В. Шефер. Методические указания по выполнению: индивидуальных домашних заданий

О.В. Шефер. Методические указания по выполнению: индивидуальных домашних заданий МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Верхняя оценка сложности параллельного мультиплексора в классе схем из функциональных элементов

Верхняя оценка сложности параллельного мультиплексора в классе схем из функциональных элементов Верхняя оценка сложности параллельного мультиплексора в классе схем из функциональных элементов Основные определения и обозначения Рассматриваются схемы из функциональных элементов в некотором полном базисе.

Подробнее

Введение в теорию моделей (весна 2017)

Введение в теорию моделей (весна 2017) Введение в теорию моделей (весна 2017) В.Б. Шехтман Лекция 1 Языки первого порядка: синтаксис Определение 1 Сигнатурой (первого порядка) называется четверка вида L = (Const L, F n L, P r L, ν), в которой

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ. DJVU-STUDENT.NAROD.RU - информационный сайт для студентов и школьников

ВВЕДЕНИЕ. DJVU-STUDENT.NAROD.RU - информационный сайт для студентов и школьников DJVU-STUDENT.NAROD.RU - информационный сайт для студентов и школьников ВВЕДЕНИЕ Математическая логика это наука о возможностях и методах математических рассуждений. Она восходит к фундаментальной работе

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Теорема Жордана. Глава Теорема Жордана

Теорема Жордана. Глава Теорема Жордана Глава 3 Теорема Жордана План. Замкнутая кривая, незамкнутая кривая, незамкнутая кривая без самопересечений, замкнутая кривая без самопересечений, теорема Жордана о кривой без самопересечений, лежащей на

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Подробнее

ЧТО ТАКОЕ КОРНИ КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА? А. Х. Назиев РГУ имени С. А. Есенина, Рязань, Россия

ЧТО ТАКОЕ КОРНИ КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА? А. Х. Назиев РГУ имени С. А. Есенина, Рязань, Россия ЧТО ТАКОЕ КОРНИ КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА? А. Х. Назиев РГУ имени С. А. Есенина, Рязань, Россия a.naziev@rsu.edu.ru Эта заметка возникла из сопоставления двух решений следующей задачи. [1, задача 6.125] Найдите

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Алгебраические структуры. Определение 2.1. Бинарной операцией на множестве X называется любое фиксированное отображение ϕ : X X X.

Алгебраические структуры. Определение 2.1. Бинарной операцией на множестве X называется любое фиксированное отображение ϕ : X X X. 76 Глава Алгебраические структуры Бинарные операции Определение.. Бинарной операцией на множестве X называется любое фиксированное отображение : X X X. Согласно этому определению, при задании бинарной

Подробнее

АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ И МЕТОДИКА ИХ ИЗУЧЕНИЯ. множестве М понимается отображение ϕ: σ P М, посредством которого каж-

АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ И МЕТОДИКА ИХ ИЗУЧЕНИЯ. множестве М понимается отображение ϕ: σ P М, посредством которого каж- УДК 378.46:5 Б. Н. Дроботун œ ÎÓ рòíëè ÓÒÛ рòú ÂÌÌ È ÛÌË ÂрÒËÚÂÚ ËÏ.. Óр È рó ÛÎ. ÀÓÏÓ, 64, œ ÎÓ р, 40008, Á ıòú Ì -mal: moorg psu@mal.ru АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ И МЕТОДИКА ИХ ИЗУЧЕНИЯ

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Сложение направленных отрезков обладает следующими свойствами. 1. Сумма направленных отрезков не зависит от порядка слагаемых:

Сложение направленных отрезков обладает следующими свойствами. 1. Сумма направленных отрезков не зависит от порядка слагаемых: 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ 11 Определение геометрического вектора Предупреждение Геометрический вектор в высшей математике несколько отличается от геометрического вектора в школьной математике 111 Исходным

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

Лекция: Основные комбинаторные числа. Оценки и асимптотики для комбинаторных чисел.

Лекция: Основные комбинаторные числа. Оценки и асимптотики для комбинаторных чисел. Лекция: Основные комбинаторные числа. Оценки и асимптотики для комбинаторных чисел. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова Лекции на сайте http://mk.cs.msu.su

Подробнее

Вычислимость лекция 10

Вычислимость лекция 10 Вычислимость лекция 10 Лев Дмитриевич Беклемишев http://lpcs.math.msu.su/vml2009 lbekl@yandex.ru 16.04.2009 Машины Тьюринга Опр. Машина Тьюринга задаётся конечными рабочим алфавитом Σ, содержащим символ

Подробнее

Вводный курс математики

Вводный курс математики Высшее профессиональное образование БАКАЛАВРИАТ И. Л. Тимофеева, И. Е. Сергеева, Е. В. Лукьянова Вводный курс математики Под редакцией академика В. Л. Матросова Рекомендовано Учебно-методическим объединением

Подробнее

3. Логика 1-го порядка. Теории и модели 1. Какие из следующих формул общезначимы:

3. Логика 1-го порядка. Теории и модели 1. Какие из следующих формул общезначимы: 1. Логика высказываний Определения. Зафиксируем счётное множество Var = {p 1, p 2, p 3,..., p n,... }, называемое множеством пропозициональных переменных. Иногда для удобства мы будем обозначать пропозициональные

Подробнее

Введение в математическую логику

Введение в математическую логику Введение в математическую логику Лекция 11 В следующем разделе мы будем рассуждать в терминах содержательной теории множеств, а не в терминах формальной теории ZF. Полный порядок (содержательная теория

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

23. Полнота (продолжение)

23. Полнота (продолжение) 23. Полнота (продолжение) Завершим доказательство теоремы 22.5. Именно, покажем, что i(x) плотно в X. Так как пространства, о которых идет речь, метрические, нам достаточно проверить, что всякий элемент

Подробнее

Методическое руководство к лабораторной работе «Линейное диофантово уравнение»

Методическое руководство к лабораторной работе «Линейное диофантово уравнение» Методическое руководство к лабораторной работе «Линейное диофантово уравнение» (Алгебра, 7 кл., глава 4, ЛР-04; компьютерная версия) В работе строится алгоритм нахождения частного решения линейного диофантова

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2016)

Введение в математическую логику (oсень 2016) Введение в математическую логику (oсень 2016) В.Б. Шехтман Лекция 1 Высказывания это предложения естественного языка. Естественные языки предмет изучения других наук: лингвистики и филологии. В математической

Подробнее

Логики с аксиомами для ролей

Логики с аксиомами для ролей Глава 7 Логики с аксиомами для ролей До сих пор мы расширяли ДЛ ALC путем расширения синтаксиса концептов или ролей. Теперь мы рассмотрим расширения другого вида а именно логики, в которых помимо аксиом

Подробнее

Лекция 1. Наивная теория множеств

Лекция 1. Наивная теория множеств Лекция 1. Наивная теория множеств Множество Центральным понятием наивной теории множеств является множество. Множество это набор или совокупность объектов любой природы. Эти объекты называют элементами

Подробнее

Тейлоровские приближения: где искать контрабандистов?

Тейлоровские приближения: где искать контрабандистов? Высшая школа экономики, - учебный год Факультет прикладной политологии Алгебра и анализ И. А. Хованская, И. В. Щуров, Ю. Г. Кудряшов, К. И. Сонин Тейлоровские приближения: где искать контрабандистов? Обсуждая

Подробнее

Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплекс-метод решения задач линейного программирования Симплекс-метод решения задач линейного программирования Основным численным методом решения задач линейного программирования является так называемый симплекс-метод. Термин «симплекс-метод» связан с тем

Подробнее

Тема 1-4: Алгебраические операции

Тема 1-4: Алгебраические операции Тема 1-4: Алгебраические операции А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

E k (n) = E k E k... E

E k (n) = E k E k... E Решение автоматных уравнений в множестве детерминированных функций И. В. Лялин В данной работе рассматривается задача существования детерминированных функций, являющихся решением заданного автоматного

Подробнее

Тема 1. Элементы теории погрешностей

Тема 1. Элементы теории погрешностей - 1 - Тема 1 Элементы теории погрешностей 11 Источники и классификация погрешностей Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, те с некоторой точностью Это может быть обусловлено

Подробнее

Курс «Алгоритмы и алгоритмические языки» Лекция 3

Курс «Алгоритмы и алгоритмические языки» Лекция 3 Курс «Алгоритмы и алгоритмические языки» Лекция 3 1 Машина Тьюринга (МТ) Проблема останова. Существует ли алгоритм, определяющий, произойдет ли когда-либо останов МТ T на входных данных w? (другая формулировка)

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

Интерпретируемость Вычислимость лекция 9

Интерпретируемость Вычислимость лекция 9 Интерпретируемость Вычислимость лекция 9 Лев Дмитриевич Беклемишев http://lpcs.math.msu.su/vml2008 lbekl@yandex.ru 3.04.2008 Интерпретации Опр. Модель (M; Ω) интерпретируема в (N; Σ), если её носитель

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 16 16.1. Спектральный радиус Пусть A унитальная банахова алгебра, a A ее элемент. Определение 16.1. Число r(a) = sup{ λ : λ σ(a)} называется спектральным радиусом

Подробнее

Содержание Содержание Теоретические основы ЦОС Виды сигналов Аналоговые сигналы Дискретные сигналы

Содержание Содержание Теоретические основы ЦОС Виды сигналов Аналоговые сигналы Дискретные сигналы Содержание Содержание.... Теоретические основы ЦОС..... Виды сигналов...... Аналоговые сигналы...... Дискретные сигналы.....3. Цифровые сигналы...3.. Аналоговые сигналы...3... Представление сигнала интегралом

Подробнее

Глава 3 ЛОГИКА И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА

Глава 3 ЛОГИКА И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА Глава 3 ЛОГИКА И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА 3.1. Алгебра логики Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 2 ВЕ Алексеев 2014 Глава 3 Комбинаторика 31 Принципы подсчета Комбинаторика (комбинаторный анализ) раздел дискретной математики, в котором изучаются объекты, составленные из

Подробнее

Задачи по дискретной математике

Задачи по дискретной математике Задачи по дискретной математике Ф.Г. Кораблев 1 Комбинаторика 1.1. Найти число подмножеств X множества {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J}, обладающие следующими свойствами: 1. X = 3 2. X = 5, A X 3. X = 6,

Подробнее

Краткое введение в начала элементарной теории чисел

Краткое введение в начала элементарной теории чисел Краткое введение в начала элементарной теории чисел Денис Кириенко Летняя компьютерная школа, 1 января 2009 года Целочисленное деление Пусть дано два целых числа a и b, b 0. Целочисленным частным от деления

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/10 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 7-1 Дано равенство (x 7)(x 2 28x +...) = (x 11)(x 2 24x +...).

Подробнее

Комплексные числа. Геометрическая интерпретация. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Комплексные числа. Геометрическая интерпретация. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости: Комплексные числа Имеет вид, где и действительные числа, так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью ( ) комплексного числа, число называется мнимой частью ( ) комплексного числа.

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 1. Алгебра высказываний и логика.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 1. Алгебра высказываний и логика. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление 1. Алгебра высказываний и логика. 1.1 Высказывания и логические операции...

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Курс «Алгоритмы и алгоритмические языки» Лекция 2

Курс «Алгоритмы и алгоритмические языки» Лекция 2 Курс «Алгоритмы и алгоритмические языки» Лекция 2 1 Машина Тьюринга (МТ) Нормальные МТ. Любую МТ можно перестроить таким образом, что она будет, вычисляя ту же функцию, удовлетворять следующим двум условиям:

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

В результате освоения дисциплины выпускник должен обладать следующими компетенциями:

В результате освоения дисциплины выпускник должен обладать следующими компетенциями: МАТЕМАТИКА 1. Цель освоения дисциплины Обеспечение будущего учителя начальных классов математической подготовкой, необходимой ему для грамотного, творческого обучения и воспитания младших школьников, для

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Личностные Метапредметные Предметные первоначальные представления об идеях и о методах математики как универсальном языке науки и техники, средстве моделирования явлений и процессов;

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

Язык теории множеств Цермело Френкеля (ZF)

Язык теории множеств Цермело Френкеля (ZF) 1 Язык теории множеств Цермело Френкеля (ZF) Алфавит Переменные (по множествам) : a,b,... Предикатные символы:, = Логические связки:, ª, #,, Кванторы: Á, Ú Скобки: (, ) Формулы Атомарные: x y, x=y (где

Подробнее

ГЛАВА 3 МНОЖЕСТВА. АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ. ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВАХ. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ Аксиомы равенства. Классы равенств

ГЛАВА 3 МНОЖЕСТВА. АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ. ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВАХ. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ Аксиомы равенства. Классы равенств ГЛАВА 3 МНОЖЕСТВА АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВАХ ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ 30 Аксиомы равенства Классы равенств В математических рассуждениях вне зависимости от уровня формализованности наиболее часто

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Срок реализации программы, учебный год 2016/2017 учебный год

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Срок реализации программы, учебный год 2016/2017 учебный год Частное учреждение общеобразовательная организация школа «Мои Горизонты» «Рассмотрено» Руководитель МО /Дрожжина Н.В./ Протокол 1 от «29» августа 2016г. «Согласовано» Заместитель директора по УМР ЧУООШ

Подробнее