7. Общий план исследования функции и построение её графика

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "7. Общий план исследования функции и построение её графика"

Транскрипт

1 7 Общий план исследования функции и построение её графика Нижеследующий план-схема исследования функции обобщает результаты, изложенные в предыдущих параграфах Исследование функции по этому плану позволит построить обоснованный математический эскиз графика функции План исследования функции Отыскание области определения данной функции у = f (), установление свойств чѐтности (нечѐтности) и периодичности Отыскание точек пересечения графика функции с осями координат и промежутков знакопостоянства Исследование функции на непрерывность и существование асимптот 4 Отыскание промежутков монотонности и точек экстремума 5 Отыскание промежутков одинаковой направленности выпуклости графика функции и точек перегиба 6 Построение математического эскиза графика функции и отыскание множества еѐ значений ( ) Пример 7 Построить график функции f ( ) ( ) D( f ) (,) (, ) График пересекает оси координат в точках (, 0) и (0, 4), f ( ) 0 при, f ( ) 0 при На D ( f ) функция непрерывна как элементарная, точка разрыва ( ) рода ( ), прямая вертикальная асимптота графика 0 ( ) функции (замечание 6) Вычисляя пределы (6), имеем: ( ) k, ( ) ( ) 4 8 ( ) b Прямая ( ) L : наклонная асимптота графика (теорема 6) / ( ) ( ) ( ) 4 f ( ) ( ), на D ( f ) только две критические ( ) точки:,, f ( ) f () 0 Вместе с точкой они делят ось Ох на 4 промежутка: (, ), (, ), (, ), (, ) Знак f () в каждом из них приведѐн в таблице 7 Характер изменения функции указан Т а б л и ц а 7 стрелками, символ х несуществования, точка f () гладкого максимума, а в точке нет экстремума, ибо f () не меняет f () 7/8 mах 0

2 знака при переходе аргумента х через эту точку 5 ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ), ( ) 4 единственная точка, х Т а б л и ц а 7 подозрительная на перегиб, f ( ) 0 Вместе с точкой она делит ось Ох f () 0 + на три промежутка: (,), (, ), f () 0 (, ) Знак f () в каждом из них приведѐн в таблице 7 В ней дугами указано направление выпуклости графика функции, (, 0) точка перегиба графика 6 Результаты проведѐнных исследований используем для построения графика данной функции Сначала строим асимптоты, точку максимума и точку перегиба, затем строим график функции с учѐтом характера поведения функции на D ( f ) (таблица 7) и направления выпуклости графика (таблица 7) График данной функции приведѐн на рис 7, Е(у)=R Пример 7 Построить график Рис 7 График функции f ( ) функции f ( ) ( ) ln D ( f ) (, ) (, 0) ( 0, ) (, ), f () нечѐтная функция, так как f ( )= f(), еѐ график симметричен относительно начала координат Далее исследование функции и построение графика проведѐм на промежутке ( 0, ), потом, используя симметрию графика, построим его и на промежутке (, 0) График не имеет точек пересечения с осями координат, f ( ) 0 при 0, f ( ) 0 при Данная функция непрерывна как элементарная в любой точке промежутка ( 0, ), кроме точки, где она имеет разрыв Прямая вертикальная асимптота графика функции, поскольку, 0 ln В точке 0 данная функция имеет правосторонний 0 ln устранимый разрыв, так как 0, поэтому через эту точку не 0 ln проходит вертикальная асимптота ( )

3 Вычисляя пределы (6), имеем: 0 k ln ln 0, [ ] В соответствии с ln (ln ) теоремой 6 заключаем, что график функции при не имеет наклонных и горизонтальных асимптот / 4 f ( ) ln, на промежутке ( 0, ) есть только одна ln ln критическая точка: e, f ( e) 0 Вместе с точкой она разбивает его на три промежутка: ( 0, ), (, e ), Т а б л и ц а 7 х 0 е ( e, ) Определив в каждом из них f () 0 + знак f (), результаты сведѐм в f () e таблицу 7 В ней стрелками указан min характер изменения функции на данном промежутке, символ несуществования В точке e функция имеет гладкий минимум / 5 f ( ) ln ln, f ( ) 0 при e, в этой точке график ln ln функции может иметь перегиб Вместе с точкой она разбивает промежуток ( 0, ) на три промежутка: (0, ), (, е ), (е Т а б л и ц а 74, + ) Знак f () в каждом из х e них приведѐн в таблице 74, в ней дугами f () + 0 указан характер направления выпуклости графика функции, ( e, e f () ) точка перегиба e графика 6 Используя результаты выполненных исследований, построим график функции на промежутке (0, + ) Сначала строим асимптоты, точку минимума и точку перегиба, затем график функции с учѐтом характера поведения функции (таблица 7) и направления выпуклости графика (таблица 74) Часть графика данной функции, отвечающую отрицательным значениям х, получим, используя центральную симметрию График функции приведѐн на e e e e e e e Рис 7 График функции f ( ) ln

4 рис 7, Е(у)=R Пример 7 Построить график функции f ( ) ( ) e ( ) D( f ) (, ) (, ), на D ( f ) данная функция непрерывна как элементарная, точка разрыва В примере 6 показано, что прямая L: является вертикальной асимптотой графика данной функции при 0, при этом f () Но L не является асимптотой при 0, так как f ( 0) 0 (пример 6) Получив с помощью формулы (97) главы раздела 4 разложение e ( ) o, имеем: f () = ( ) o х или х f () = ( ) o Поскольку ( ) o 0 х при, х то в соответствии с определением 6 приходим к выводу, что прямая L : наклонная асимптота графика функции при f ( ) e ( ), на D ( f ) есть одна критическая точка:, в которой f ( ) 0 Вместе с точкой х = она делит вещественную ось на три интервала: (,), (, ), (, ) Знак f () в каждом из них приведѐн в таблице х f () В ней стрелками указан характер f () е изменения функции на данном ma промежутке В точке функция имеет гладкий максимум f ( ) e ( ) ( ), на D ( f ) нет точек перегиба, f ( ) 0 при и f ( ) 0 при, следовательно, график функции направлен выпуклостью вверх на промежутке (, ) и выпуклостью вниз на промежутке (, ) 4 График функции, построенный с использованием результатов проведѐнных исследований, приведѐн на рис 7, Е(у)= (, 4] U (0, + ) Т а б л и ц а 75 Рис 7 График функции f ( ) ( ) e ( ) Рис 74 График функции f ( ) ( ) х

5 Пример 74 Построить график функции f ( ) ( ) D ( f ) =R Для координат точек пересечения графика с осями координат имеем соотношения: 0 ; 0 ( ) 0 ( ), отсюда получаем: ( ) 0 Итак, график пересекает оси координат в точках: (0, ) и (,0) Поскольку f ( ) 0 ( ) ( ) 0, то приходим к выводу, что f ( ) 0при, f ( ) 0 при График функции не имеет вертикальных асимптот, поскольку функция непрерывна на R как элементарная Прямая L : 0 горизонтальная асимптота графика функции при (замечание (6)) Действительно, =, так как ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) [ ] 4 4 ( ) ( 4 ) f ( ) (( ) ) (( 4 = ) 4 ( ) ( ) ( ) 4 ), ( ) =0 =0 0 при R, f () при 0, Итак, функция имеет две критические точки: 0,, они Т а б л и ц а 76 х 0 делят ось Ох на три интервала: f () + + (, 0), ( 0,), (, ) Определив в f () каждом из них знак f (), полученные ma min результаты сведѐм в таблицу 76 В ней стрелками указан характер изменения функции на данном промежутке В точке 0 функция имеет острый максимум, а в точке острый минимум ( ) ( ) (( ) ) ( 4 ( ) 4 ) f, 9 9 4( ) 4 f ( ) 0 при ( ) 4 4 0, отсюда имеем: ( ) 4 4 ( ) 4 ( ) Разложив левую часть последнего соотношения на множители по формуле разность квадратов, получим: (( ) )(( ) ) 0 ( )(( ) ) 0 Итак, f ( ) 0 при 0 В Т а б л и ц а 77 точках 0, не х 0 f () f () 0

6 существует f (), так как в них первая производная бесконечна Точки 0,, точки, подозрительные на перегиб Они разбивают ось Ох на четыре интервала: (, 0), ( 0, ), (,), (, ) Определив в каждом из них знак f (), результаты сведѐм в таблицу 77 В ней дугами указан характер направления выпуклости графика функции на данном промежутке, (, 0) точка перегиба графика 5 Используя результаты проведѐнных исследований, строим график функции (рис 74), Е(у)= [ ] Пример 75 Построить график функции f ( ) arcsin D ( f ) =R Данная функция чѐтная ( f ( ) f ( ) ) еѐ график обладает осевой симметрией относительно оси Оу 0 arcsin π, arcsin график пересекает оси координат в точках ( 0, π ) и (, 0) Так как arcsin f ( ) 0 0 0, то приходим к выводу, что f ( ) 0 при, f ( ) 0 при, Функция непрерывна на R как элементарная график функции не имеет вертикальных асимптот Прямая L : π горизонтальная асимптота графика при, ибо arcsin arcsin( ) π (замечание 6) 4 Вопрос о промежутках монотонности и экстремумах данной функции был рассмотрен в примере 4, в таблице 4 приведены результаты этих исследований На интервале (, 0) функция f () возрастает, а на интервале ( 0, ) она убывает В точке 0 функция имеет угловой максимум, f ( 0) π, f ( 0), f ( 0) ( ), 0, 5 f ( ) 0 (пример ( ), 0, 4), отсюда Рис 75 График функции 4 ( ), 0, f ( ) Поскольку f ( ) arcsin 4 ( ), 0 f ( ) 0 при любом 0, то из теоремы 5 заключаем, что при любом 0 график f () направлен выпуклостью вниз 6 При построении графика сначала строим асимптоту L : π, затем точку углового максимума ( 0,π ), указав в неѐ направления односторонних касательных График приведѐн на рис 75, Е ( ) ( π,π ]

7

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции:

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции: ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке Если

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Исследование функций и построение графиков

Исследование функций и построение графиков Исследование функций и построение графиков Теоретический материал Содержание 1) Область определения функции 2) Свойства функции (четность, нечетность, периодичность) 4) Точки пересечения функции с осями

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума).

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума). 6 По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума) Стационарная точка функции f( ), дважды дифференцируемой в Oδ ( ), является

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1 ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) Решение контрольной работы Производная функции и ее применение

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1 ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) Решение контрольной работы Производная функции и ее применение Производная функции Контрольная выполнена на wwwmatburoru Решение контрольной работы Производная функции и ее применение Задача Найти производные функций: sin а e Решение sin sin sin sin e e sin e sin

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых...

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых... Содержание Построение графиков функций............. План исследования функции при построении графика... Основные понятия и этапы исследования функции..... Область определения функции D f и множество значений

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

Исследование функции и построение её графика

Исследование функции и построение её графика Исследование функции и построение её графика Пункты Исследования: 1) Область определения, непрерывность, четность/нечётность, периодичность функции. 2) Асимптоты графика функции. 3) Нули функции, интервалы

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции»

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» ~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» Теорема: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на a,b возрастала (убывала) на a,b необходимо и достаточно, чтобы x a,b выполнялось неравенство f (x) 0 (f (x)

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

МАТЕМАТИКА Элементарные функции и их графики

МАТЕМАТИКА Элементарные функции и их графики Федеральное агентство по образованию ----- САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АИ Сурыгин ЕФ Изотова ОА Новикова ТА Чайкина МАТЕМАТИКА Элементарные функции и их графики Учебное

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Математика (БкПл-100, БкК-100)

Математика (БкПл-100, БкК-100) Математика (БкПл-100, БкК-100) М.П. Харламов 2009/2010 учебный год, 2-й семестр Лекция 5. Исследование функций с помощью производных 1 1. Понятие о производных высших порядков Опр. Пусть дана функция f(x)

Подробнее

Инструкция к практическому занятию: Построение графиков функций.

Инструкция к практическому занятию: Построение графиков функций. Молодечненский государственный политенический колледж Инструкция к практическому занятию: Построение графиков функций Разработчик: И А Кочеткова Цель работы: ) Отработать навыки построения графиков функций

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА класс (профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Балльно - рейтинговая система

Балльно - рейтинговая система 7 «Архитектура» семестр Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, семестр. Направление 7 «Архитертура». Дисциплина - «Математика» Содержание Содержание... Балльно - рейтинговая система... Самостоятельная

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. О.Г. Павловская Е.С. Плюснина МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. О.Г. Павловская Е.С. Плюснина МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Пример решения варианта контрольной работы 1.

Пример решения варианта контрольной работы 1. Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя: ) Если в определителе все элементы какой-либо

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИНДУСТРИИ ТУРИЗМА ИМЕНИ ЮАСЕНКЕВИЧА» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат. Содержание тем учебного курса 1. Функции и их графики (14 часов, из них 1 час контрольная работа) Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных

Подробнее

Дифференциальное исчисление. Часть 2. "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ". Составитель В.П.Белкин

Дифференциальное исчисление. Часть 2. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Составитель В.П.Белкин Дифференциальное исчисление Часть "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ" Составитель ВПБелкин Приращение функции Пусть функция y f () определена в некоторой окрестности точки Изменим это значение аргумента на новое

Подробнее

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной»

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Новосибирский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й А Н А Л И З

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й А Н А Л И З НАРОДНАЯ УКРАИНСКАЯ АКАДЕМИЯ В Г Михайленко, Е В Свищева, А Ю Петрова М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й А Н А Л И З Учебное пособие Издательство НУА НАРОДНАЯ УКРАИНСКАЯ АКАДЕМИЯ Серия «МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ»

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий)

Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Корянов АГ, Надежкина НВ Задания В Исследование функций Математика ЕГЭ 0 (система задач из открытого банка заданий) Задания В Исследование функций Материалы подготовили: Корянов А Г (г Брянск); e-mail:

Подробнее

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Заочная школа МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 10-й класс, задание 5

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Заочная школа МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 10-й класс, задание 5 НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Заочная школа МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 10-й класс, задание 5 Новосибирск 004 Составитель задания: к.ф.-м.н., профессор А. С. Марковичев. Новосибирский

Подробнее

Л.В. Липагина, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» (1 семестр)

Л.В. Липагина, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» (1 семестр) Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика-»

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 4

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 4 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 4 РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ... 8 1. ФУНКЦИЯ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ... 8 1.1.

Подробнее

Инструкция для выполнения домашней контрольной работы 4 по теме «Производная и ее применение»

Инструкция для выполнения домашней контрольной работы 4 по теме «Производная и ее применение» Инструкция для выполнения домашней контрольной работы 4 по теме «Производная и ее применение» 1. Найти скорость и ускорение тела при =1, которое движется по закону Последовательно найдем первую и вторую

Подробнее

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x)

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x) Практикум: «Формула Тейлора» Если функция f () имеет производные до (п +)-го порядка включительно в интервале ( 0, 0 ), 0, то для всех х из этого интервала справедлива формула Тейлора (порядка п) ( ) f

Подробнее

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x)

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) Исследование и построение графиков функций Схема исследования графика функции Найти область определения функции множество значений (по возможности точки разрывов вертикальные асимптоты Прямая 0 называется

Подробнее

Т.Н. Т и т о в а ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ИНЖЕНЕРНОМ ВУЗЕ. М о с к в а 2010 УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Т.Н. Т и т о в а ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ИНЖЕНЕРНОМ ВУЗЕ. М о с к в а 2010 УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Т.Н. Т и т о в а ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ИНЖЕНЕРНОМ ВУЗЕ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ М о с к в а 00 УДК 57(075.8)

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Уравнение касательной Рассмотрим следующую задачу: требуется составить уравнение касательной l, проведенной к графику функции в точке Согласно геометрическому смыслу производной

Подробнее

ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ ВЛ Клюшин, ЮС Коршунов ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ КРАТКИЙ КУРС

Подробнее

Министерство образования и науки Республики Казахстан. Павлодарский государственный педагогический институт. Кафедра «Математический анализ»

Министерство образования и науки Республики Казахстан. Павлодарский государственный педагогический институт. Кафедра «Математический анализ» Министерство образования и науки Республики Казахстан Павлодарский государственный педагогический институт Кафедра «Математический анализ» МН Ильясов Методические указания к выполнению контрольной работы

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ж Н КУЛЬБАКОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ по разделам «ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ» для студентов курса заочного факультета специальности - - «Математика научнопедагогическая

Подробнее

Куценко И.Л., Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Математический анализ»

Куценко И.Л., Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Математический анализ» Куценко И.Л., Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Математический анализ» Часть 1 «Элементы теории множеств. Понятие функции. Теория пределов» 2 Содержание 1. Элементы теории множеств

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Департамент образования города Москвы ГБОУ «Школа 734 «Школа самоопределения» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Департамент образования города Москвы ГБОУ «Школа 734 «Школа самоопределения» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Департамент образования города Москвы ГБОУ «Школа 734 «Школа самоопределения» «Утверждаю» Директор ГБОУ Школы 734 Грицай Ю.В. Утверждено на заседании педагогического совета 12.06.2016 года РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Подробнее

В этом примере мы использовали свойство предела произведения и второй замечательный

В этом примере мы использовали свойство предела произведения и второй замечательный Задание. Вычислить пределы: a) lim 4 b) limctg 0 5 tg 8 4 c) lim 4 Решение: a) lim lim lim lim. 4 4 4 5 5 5 4tg 4tg 4si 5 b) lim 8 8 8 ctg tg lim lim lim 0 0 8 4 0 0 5 tg tg tg si 8 8 8 8 5 5 4si 8 8 8

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ

Подробнее

6 Общая схема исследования функции

6 Общая схема исследования функции 5 6 Общая схема исследования функции Исследование дважды дифференцируемой функции будем проводить по следующей схеме. Находим область определения функции D( f.. Определяем точки разрыва функции.. Находим

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Министерство путей сообщения Российской Федерации Департамент кадров и учебных заведений САМАРСКИЙ ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Кафедра Высшая математика Математический анализ Часть I

Подробнее

Рабочая программа учебного предмета «Алгебра и начала анализа» 11 класс, базовый уровень

Рабочая программа учебного предмета «Алгебра и начала анализа» 11 класс, базовый уровень Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 4 г. Балтийска Рабочая программа учебного предмета «Алгебра и начала анализа» 11 класс, базовый уровень Балтийск

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "дифференциальное исчисление,

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины дифференциальное исчисление, Номер недели РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "дифференциальное исчисление, УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет линейная алгебра и аналитическая геометрия"

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Найти х из уравнений:

Найти х из уравнений: Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Планы практических занятий Матрицы и определители, системы линейных уравнений Матрицы Операции над матрицами Обратная матрица Элементарные

Подробнее

Рабочая программа учебного предмета «Алгебра и начала анализа» 11 класс, профильный уровень

Рабочая программа учебного предмета «Алгебра и начала анализа» 11 класс, профильный уровень Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 4 г. Балтийска Рабочая программа учебного предмета «Алгебра и начала анализа» 11 класс, профильный уровень Балтийск

Подробнее

ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебно-методическое пособие для студентов всех специальностей Рецензент проф ЕА Калашников Редактор

Подробнее

Глава 1. Тригонометрические функции (19 ч) Пар. 1 Тригонометрические функции числового аргумента Пар. 2 Основные свойства функций

Глава 1. Тригонометрические функции (19 ч) Пар. 1 Тригонометрические функции числового аргумента Пар. 2 Основные свойства функций Планирование учебного материала Алгебра и начала математического анализа 10 класс. Учебник Колмогоров А. Н. 2014 год издания. 3 урока в неделю, всего 102 урока урока Содержание учебного материала Сроки

Подробнее

КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА»

КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М.В. Ишханян, А.М. Русинова

Подробнее

Типовые расчеты по высшей математике 1 семестр (2 модуль) Предел и непрерывность функции. Дифференцирование функции одной переменной

Типовые расчеты по высшей математике 1 семестр (2 модуль) Предел и непрерывность функции. Дифференцирование функции одной переменной Типовые расчеты по высшей математике семестр ( модуль) Предел и непрерывность функции. Дифференцирование функции одной переменной Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ БИЛЕТ 1. y =. x 4x. x 8x. Утверждаю Зав. кафедрой БИЛЕТ 2. Математика. 1 3arcsin

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ БИЛЕТ 1. y =. x 4x. x 8x. Утверждаю Зав. кафедрой БИЛЕТ 2. Математика. 1 3arcsin БИЛЕТ _Математика Функция Область определения, множество значений функции Найти область определения функции y = Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: cos lim ) lim ) lim ) lim 9 0 n n

Подробнее

Вариант 1 1. Исходя из определения производной, найти f '(x 0 ) для функций:

Вариант 1 1. Исходя из определения производной, найти f '(x 0 ) для функций: Вариант Исходя из определения производной, найти f '( 0 ) для функций: tg f ( ) = ( ), 0 = + sin, 0 f ( ) = 0 =0 0, = 0, Найти производную функций: y = ln( +) y = sin + ( ) 5 + + + y = e y = 5 y = + 6

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

Глава II. Производная

Глава II. Производная Глава II Производная Производная функции в точке Геометрический и механический смысл производной Рассмотрим сначала два примера ) Пусть материальное тело совершает прямолинейное движение За время t тело

Подробнее

Бесконечно малые величины. Бесконечно большие величины. Математический анализ (лекция 5) / 52

Бесконечно малые величины. Бесконечно большие величины. Математический анализ (лекция 5) / 52 Бесконечно большие величины Математический анализ (лекция 5) 16.03.2013 2 / 52 Определение Функция α(x) называется бесконечно малой величиной при x x 0 (x ), если lim α(x) = 0 ( x x0 ) lim α(x) = 0 x.

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II часть

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II часть Стакун Н.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II часть Пределы, функции, графики. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Учебное пособие для факультета технологии и предпринимательства Москва Введение Настоящее

Подробнее

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ. Учебно-методическое пообие для вузов. Составители: П.С. Украинский, А.И. Шашкин, Э.Л. Шишкина

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ. Учебно-методическое пообие для вузов. Составители: П.С. Украинский, А.И. Шашкин, Э.Л. Шишкина МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ " ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ Учебно-методическое пообие

Подробнее

Функция y= sin x неотрицательна при. а функция y = 1 положительна при. и при x=π n не определена. π Функция y= sin x на промежутке π

Функция y= sin x неотрицательна при. а функция y = 1 положительна при. и при x=π n не определена. π Функция y= sin x на промежутке π МЕТОДИЧЕСКИЙ ИЙ ЛАРЕЦ ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ В ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИОННОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ П Ф Севрюков, г Ставрополь Задания, в которых в той или иной мере при ходилось исследовать функции и строить их графики,

Подробнее

ПРОГРАМММА вступительных испытаний по предмету «Математика»

ПРОГРАМММА вступительных испытаний по предмету «Математика» МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВО «ЧелГУ») УТВЕРЖДАЮ: Председатель приемной комиссии,

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика» ГАПостовалова

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

«Математический анализ»

«Математический анализ» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени НЭ БАУМАНА Билеты для сдачи экзамена по курсу «Математический анализ» МГТУ имени НЭ Баумана МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени

Подробнее

Министерство образования и науки Российской федерации. Капитонова Т.А. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел тригонометрия. Учебно-методическое пособие

Министерство образования и науки Российской федерации. Капитонова Т.А. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел тригонометрия. Учебно-методическое пособие Министерство образования и науки Российской федерации Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского Механико-математический факультет Кафедра математики и методики еѐ преподавания Капитонова

Подробнее

существовании предела монотонной последовательности. Предел последовательности

существовании предела монотонной последовательности. Предел последовательности ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определение вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Базис и координаты.

Подробнее

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

НОВЫЙ ПОДХОД В МЕТОДИКЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ НА УБЫВАНИЕ И ВОЗРАСТАНИЕ

НОВЫЙ ПОДХОД В МЕТОДИКЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ НА УБЫВАНИЕ И ВОЗРАСТАНИЕ ББК 22.161 НОВЫЙ ПОДХОД В МЕТОДИКЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ НА УБЫВАНИЕ И ВОЗРАСТАНИЕ А.Д. Новиков ГОУ ВПО «Армавирский государственный педагогический институт», г. Армавир Ключевые слова и фразы: возрастание

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее