НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Методические указания к выполнению практических работ по дисциплине «Математика» для студентов бакалавриата очной формы обучения направления подготовки Строительство НИУ МГСУ, 0 Москва 0

2 УДК ББК.6 Н С о с т а в и т е л ь Г.Е. Полехина Н Неопределенный интеграл [Электронный ресурс] : методические указания к выполнению практических работ по дисциплине «Математика» для студентов бакалавриата очной формы обучения направления подготовки Строительство / М-во образования и науки Рос. Федерации, Нац. исследоват. Моск. гос. строит. ун-т, каф. прикладной механики и математики ; сост. Г.Е. Полехина. Электрон. дан. и прогр. (, Мб). Москва : НИУ МГСУ, 0. Учебное сетевое электронное издание Режим доступа: &PDBN=IBIS Загл. с титул. экрана. Изложены теоретические сведения, которые необходимы для последующего решения задач, приводятся решения «типовых» задач, предлагаются задачи для самостоятельного решения. Для студентов бакалавриата очной формы обучения направления подготовки Строительство. Учебное сетевое электронное издание НИУ МГСУ, 0

3 Отв. за выпуск кафедра прикладной механики и математики Подписано к использованию.0.0 г. Уч.-изд. л.,9. Объем данных, Мб Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет» (НИУ МГСУ). 97, Москва, Ярославское ш., 6. Издательство МИСИ МГСУ. Тел. (9) 87-9-, вн. -7, (99) , (99)

4 Введение Данные методические указания ставят своей целью оказать существенную помощь студенту в овладении техникой интегрирования. Рекомендации состоят из 8 параграфов. В них излагаются методы решения типовых задач интегрального исчисления, приводятся подробные решения примеров и пояснения к этим решениям. В конце параграфа предлагаются упражнения для самостоятельной работы.. Понятие неопределенного интеграла и его свойства. f называется Первообразной функцией для функции такая функция F, производная которой равна данной функции, то есть F f. Теорема. Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на промежутке, отличаются друг от друга в этом промежутке на постоянное слагаемое. Доказательство. В самом деле, пусть f () - некоторая функция, определенная на промежутке [a;b],и F ( ), F ( ) ее первообразные, т.е. F ( ) f ( ), F ( ) f ( ). Отсюда F ( ) F ( ). Но если две функции имеют одинаковые производные, то эти функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Следовательно, F ( ) F ( ) C, где C - постоянная величина, что и требовалось доказать. F является Основное свойство первообразных: если первообразной функции f на некотором промежутке, то все

5 первообразные функции f имеют вид F С, где С постоянная. Неопределенным интегралом от непрерывной функции f называется множество всех ее первообразных. Неопределенный интеграл функции f d и, исходя из определения. f обозначается f d F C В этом равенстве. f называют подынтегральной функцией, выражение f d - подынтегральным выражением, переменную х переменной интегрирования, а слагаемое С постоянной интегрирования. Свойства неопределенного интеграла.. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: f d f d f d f, d.. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: C d.. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: cf d c f d c const. Для доказательства данного равенства найдем производные от левой и правой частей: ( cf ( ) d) cf ( ),( c f ( ) d) c( f ( ) d) cf ( ). Производные от правой и левой частей равны, следовательно разность двух любых функций,стоящих слева и справа,есть постоянная. В этом смысле и следует понимать данное равенство.

6 . Неопределенный интеграл от алгебраической суммы непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенны интегралов от слагаемых: f f fd fd f d fd. При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь в виду следующие правила.. Если f ( ) d F( ) C, то f ( a) d F( a) C. a. Если f ( ) d F( ) C, то f ( b) d F( b) C.. Если f ( ) d F( ) C, то f ( a b) d F( a b) C. a. Таблица основных интегралов.. d C. 0 d C.. d d C. d. e d e C.. d ln. C. 0 6

7 a 6. a d C. ln a 7. cos d sin C. 8. sin d cos C. d 9. d tg C. cos cos d 0. d ctg C. sin sin d d arcsin C arccos. d arcsin C arccos C. a a a d. arctg C arcctg C. d. ln C. d. arctg C. a a a d a 6. ln C. a a a 7. d ln a a C.. 8. tgd ln cos C. 9. ctgd ln sin C. d 0. ln tg C. sin C. 7

8 d. ln tg C. cos. Интегрирование разложением. Метод разложения основан на свойстве неопределенного f f f, то интеграла. Если f f d f d f d f. d Пример. Найти интеграл d. Решение. Применяя формулу для случая. В соответствии с этой формулой получаем d C C. Пример. Найти интеграл d. Решение. Разделив почленно числитель на знаменатель, пользуясь свойствами и и формулами,, находим d d d d d C C. Пример. Найти интеграл d. Решение. Раскроем скобки. 8

9 d d d d d d d C C C C. Пример. Найти интеграл ctg d. Решение. cos sin sin ctg. sin sin sin sin sin d ctg d d d ctg C sin sin d Пример. Найти интеграл. sin cos Решение. d sin d sin cos sin cos sin sin cos d d sin cos sin cos cos d cos d d cos sin tg ctg C. 9 Задачи. Найти неопределенные интегралы.. х d х х. d

10 d. х. d e. e d х cos 6. d cos sin 7. d х х 8. d 9. d х х 0. sin cos d. sin d sin 8 0х. d. d. d х. d 0

11 6. a a d х ctg 7. d cos х 8. d х 9. d 0. d. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента функции. Рассмотрим простейшие преобразования дифференциала:. d d b, где b постоянная величина.. d da, где постоянная a 0. a. d da b, где постоянная a 0. a d d. d d b. sin d d cos. cos d d sin. d d В общем случае

12 Пример. Найти неопределенный интеграл d х. Решение. На основании преобразования дифференциала имеем d d. d d х d х C C 6. Пример. Найти интеграл d Решение. Согласно преобразованию, d d. C d d d C C C. Пример. Найти интеграл d. Решение. Согласно преобразованию, d d. C d d d ln.

13 Пример. Найти интеграл d. Решение. e d e d e d e C. Пример. Найти интеграл cos d. Решение cos d cos d cos d sin C. e d Пример 6. Найти интеграл. sin Решение. d d d ctg C sin sin sin. Задачи. Найти неопределенные интегралы.. cos d. e d. e e d. d d. d 6. cos

14 7. d 8. 6d 9. sin( a b) d 0. d 7 d. 0 cos. d sin. sin cos d cos d. sin. cos d sin cos 6. e sin d 7. e d 8. d 9. d 0. sin cos d sin d. cos d. ln. cos sin d

15 sin d. cos. sin cos d 6. e d d ln d 9. e e d 0. d.интегрирование по частям. Если u и v дифференцируемые функции от х, то из формулы для дифференциала произведения двух функций duv udv vdu, откуда udv d( uv) vdu. Интегрируя обе части последнего равенства, получим: d uv) uv udv ( vdu, или udv vdu. () Это и есть формула интегрирования по частям. Укажем некоторые часто встречающиеся интегралы, которые вычисляются методом интегрирования по частям.. Интегралы вида k Pe d ; Psin kd ; Pcos kd, где P - многочлен, k - некоторое число. За u принимают u P P, т. е.

16 где. Интегралы вида d P ln ; P arcsin d ; P arctgd ; P arccos d ; P arcctgd, P - многочлен. Во всех этих случаях за u принимают функцию, являющуюся множителем при. Интегралы вида P. e a cos bd ; e a sin bd, где а и в числа, находятся двукратным интегрированием по частям. Пример. Найти х sin d. Решение. Обозначим: u х ; dv sin d Для применения формулы () необходимо знать ещё du и v. Дифференцируя равенство u х, получаем dх du. Интегрируем dv sin d, v cos. Подставляя значения u, v, du, dv в формулу (), находим х sin d cos sin C. cos cos d cos cos d Пример. Найти х ln d Решение. Полагая v. По формуле () находим u ln х, dv d, получаем du dх ; 6

17 х ln d ln d ln d ln 7 C ln C. Пример. Найти e sin d Решение. Положим u e, dv sin d, отсюда du e d, v cos. Тогда e sin d e cos cos e d e cos cos e d. () К интегралу в правой части снова применяем формулу интегрирования по частям. Положим u e, dv cos d, отсюда du e d, v sin. Тогда e cos d e sin sin e d. Подставляем найденное выражение в равенство (), получаем e sin d e sin d e cos e e sin d e sin e cos sin следовательно, e sin d e sin e cos C. Задачи. Найти неопределенные интегралы:. ln d. e. e d. sin d e cos e sin sin e d;

18 . cos d.. ln d.. arctgd. ln d arcsin d. 8. ln d. 9. d. sin arcsin d 0... e d.. ln d.. arctgd.. e cos d.. e d. 6.Интегрирование методoм замены переменной. Пункт. Пусть требуется вычислить интеграл f d, где f - непрерывная функция. Введем вместо х новую переменную z, положив х z, где z - функция, имеющая непрерывную производную z, причем такая, для которой существует обратная функция z. Тогда для вычисления 8

19 f d достаточно вычислить f z zdz f d f z zdz; z. Функцию z и затем переменную z,заменить через. Справедливо равенство () выбирают так, чтобы новая подынтегральная функция была «более простой» для интегрирования. Пример. Найти e d. Решение. Полагая х z, находим dх zdz. Тогда по формуле () z e e z z d zdz e dz e C e C. z Пример. Найти d. Решение. Чтобы избавиться от корня, положим t. Возводя в квадрат это равенство, найдем х; t, t, откуда d tdt. Подставляя полученные равенства в подынтегральное выражение, находим d t t tdt t t dt t t dt t dt t t dt t C C Пункт. При интегрировании иррациональных функций используют замену переменных, которые позволяют свести интегрирование иррациональных функций к интегрированию рациональных функций. Так, для нахождения интегралов вида k R,,..., d, 9

20 где R рациональная функция относительно х и различных дробных степеней х, используется замена переменной вида р t (в качестве р берется наименьший общий знаменатель всех показателей степени х). Пример. Вычислить интеграл Решение. Применяем подстановку, t. Следовательно, t 6 t 6 t t 6t 6 d 6 t, то d 6t dt t t dt t, d dt 6 6 t t t t dt t dt 6t dt 6 6 6arctgt C 6 t t 6 t 6arctgt C 6arctg C. Пункт. Интеграл от простейшей квадратичной d иррациональности с помощью дополнения a b c квадратного трехчлена a b c до полного квадрата d сводится к одному из двух интегралов. a d Пример.. 6 Решение. 0

21 ln 6 C d d Пример.. d Решение... arcsin arcsin C C d d Пункт. Интеграл вида d c b a B A Вычисляется с помощью следующих преобразований Применив к первому из полученных интегралов подстановку. ) ( ) ( ) ( c b a d a Ab B d c b a b a a A d c b a a Ab B b a a A d c b a B A

22 a b c t,(a b) d dt, получим ( a b) d dt t C a b c C. a b c t Второй же интеграл был рассмотрен в пункте. Пример. ( d 0 d 7 ( ) 6 ) ( 0) d 0 0 7ln d 0 ( ) 6 C Пункт. 0 7ln 0 C. Рассмотрим интегралы ) R (, a ) d ; ) R(, a ) d; ) R(, a ) d. Эти интегралы находятся с помощью следующих подстановок: asin t для интеграла ) типа, atgt для интеграла ) типа a для интеграла ) типа. cos t Пример. d

23 Вычислим интеграл с помощью подстановки sint, d cos tdt, t arcsin d sin sin t ctgt t C ctg (arcsin Задачи.. d d. d.. d d. 6. d d 7. e 8. d e d 9. t cos tdt ) ctg arcsin C. tdt sin t dt

24 d d d d d d d d 6 d 9 9. d. 7. Интегрирование рациональных дробей. P Пункт. Рассмотрим интеграл a b c d, где P - целый многочлен и а, в, с постоянные а 0. Если дробь неправильная, то делим P на a b c, получаем в

25 частном некоторый многочлен а и в остатке линейный двучлен n m, отсюда c b a n m a c b a P. Пример. C arctg d d. 6 C arctg Пример.. ln C d Пример d d d. 8 ln 6 ln C C Пример. Найти интеграл: d. Решение. d d.

26 6 Полагаем t, отсюда t и dt d. Следовательно, t t d t dt t tdt dt t t d ln ln C t arctg t t dt. C arctg Пример. Найти интеграл d. Решение. Произведя деление на, имеем, отсюда. C arctg d d d d d Замечание. Если квадратный трехчлен c b a имеет действительные и различные корни и, то для вычисления интеграла можно воспользоваться разложением подынтегральной функции на простейшие дроби:, B A c b a n m ()

27 где А и В неопределенные коэффициенты. Числа А и В находятся путем приведения равенства () к целому виду и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного равенства. Пример 6. Найти интеграл d. 6 Решение. Приравнивая знаменатель к нулю, получаем уравнение 6 0 ; находим его корни: и 6. A B A 6 B Отсюда, освобождаясь от знаменателя и учитывая, что 6 6, получим A 6 B, или A B 6A B. Приравнивая друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях в правой и в левой частях последнего равенства, A B будем иметь. Следовательно, A, B. 6A B 7 7 Получаем d d d ln ln 6 C Задачи. d. d. 9 d. 7

28 . d d. d 6. 6 d 7. d 8. d d. d 7. d. d. d. d 0 Если знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида a и p q, то правильная дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом: 8

29 9 q p N M a A a A a A q p a P q p N M q p N M Пример 7. Найти интеграл d 9. Решение.. 9 C B A Приводя дроби в правой части к общему знаменателю, получаем. 9 C B A Сравниваем числители. 9 C B A Раскрывая скобки в правой части и группируя члены, находим. 6 9 C B A C B A C B A Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства, получим три уравнения для определения неизвестных коэффициентов A, B, C : C B A C B A C B A Решая эту систему, находим: A, B, C. Следовательно, 9 и поэтому d d 9

30 0. ln ln ln C d d d Задачи. Найти интегралы:. d. d. d. d. d 6. d 7 7. d 8. d 6 9. d d 8. Интегрирование тригонометрических функций.

31 . Интегралы вида sin a cos bd, sin a sin bd, cos a cos bd находятся с помощью тригонометрических формул: sin a sin b cos a b cosa b; cos a cos b cos a b cosa b; sin a cos b sin a b sina b.. Интегралы вида n m J n, m sin cos d, где n и m - четные числа, находятся с помощью формул: cos cos sin ; cos ; sin cos sin. Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то интеграл находим непосредственно, отделяя от нечетной степени один множитель и вводя новую переменную. В частности, если m k, n k то J n, m sin cos d sin n cos k cos d sin n k sin dsin.. Интегралы вида R sin,cos d, где R рациональная функция от sin и cos, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с t помощью подстановки tg t, при этом sin, t t dt cos, d. t t

32 Доказательство. Имеем: sin sin sin cos cos cos tg cos tg tg, t т.е. sin. t Далее, tg cos cos sin cos ( tg ), tg т.е. t cos. t Наконец, из равенства arctgt имеем: dt dt. t Таким образом, t t dt R(sin,cos ) d R(, ). t t t Подынтегральная функция рациональна относительно t. d Пример. Найти интеграл. cos Решение. Полагаем t tg. Тогда

33 d cos ln tg tg ( t C. dt t )( t ) dt t ln t t C, то целесообразно применить подстановку tg t, при этом t dt sin, cos, arctgt, d. t t t Если R sin, cos Rsin, cos t R(sin,cos ) d R(, ) dt. t t t d Пример. Найти интеграл. cos Решение. d dt dt t arctg C cos ( t )( ) t t tg arctg C. Пример. Найти интеграл sin cos d. Решение. sin cos d sin sin cos d cos cos sin d cos cos d cos

34 cos d cos cos d cos cos cos C. Пример. Найти интеграл sin sin d. Решение. sin sin d cos cos 6d cos d cos 6d cos d cos 6d 6 6 sin 8 sin 6 C. Задачи. Найти интегралы:. sin d.. sin cos d.. sin cos d. cos. d. sin. cos d. 6. sin d. sin 7.. d cos 8. sin sin d. 9. cos cosd. 0. sin cos d.. cos d.

35 . sin cos d. х. ( х ) d х. ( cos 0 d cos ). ( ) d. ( ) d. d e sin sin 6. d sin d 7. e d 8. e 9. tg ( ) d d 0. ( ) d. 9. sin( ) d Вариант.

36 e d. e d. ln tgd. cos 6. e d 7. ( ) sin d 8. e d 9. arctgd 0. sin 7d d.. d 9 6. d ( )( )( ). cos d 8. d ( ) ( ) 6. d d 7. ( ) 6

37 8. d 9. d ( )( ) sin 0. d cos d.. ( ). cos d. d. d. d. d e 6. cos d cos sin d 7. cos d 8. Вариант. 7

38 d 0. d 9. tg d. sin. cos ad. sin cos d ln. d. d 9 d 6. cos cos d sin d 9. arcctgd 0. sin d. d. d. 0 d. cos d 8

39 7. d ( )( ) 6. d 7. d 8. d 9. d ( ) sin 0. d cos ( ) d.. Вариант.. ( sin ) d. ( ln ) d. ( ) d. ( ) d. d 9

40 cos cos 6. cos d 7. e d 8. ln 9. e d 0. sin( ) d d. ( ) d. tg d. cos cos d. sin. tg ( ) d 6 d 6. sin ( ) 7. ( ) e d 8. cos d 9. arctgd 0. cos d. d d 0

41 . d 9. 0 d ( )( ). sin 6d. d ( ) ( ) 6. d d 7. d d ( ) ( ) cos 0. d sin. d. Вариант. e. e d. sin d cos

42 . d 6. d. cos d sin sin 6. sin d 7. arctg 8. d d 9. 9 d 0. cos. d ln. d cos. e sin d d. ctg ed. tg d cos d d

43 8. sin d ln 9. d 0. cos d. d. d 6 0. d. sin d 8. d ( )( ) 6. d d 7. ( ) ( ) d d ( ) cos 0. d sin d.. ( )

44 0,. cos d. e d. d. d e. d cos 6. sin cos d cos sin d 7. cos 8. d d sin d. tg d k. d d. e tg cos sin d. cos Вариант.

45 . d arctg e d 6. e 7. sin d 8. cos d 9. ln d 0. sin d d.. d. d sin. d cos. d ( )( ) 6. d d 7. ( ) 8. d 9. cos 7d

46 8 0. d ( ) ( ) d... (sin d cos ). ( ) d. ( ) d. ( ) d e e. d sin sin 6. d sin d 7. d 8. ( ) arctg 9. tg ( ) d 0. cos d. d Вариант 6. 6

47 . d ( ). ( a b) d. ctg d. sin e cos d ln 6. d 7. ( ) e d 8. sin d 9. ln d 0. cos 7d d.. d 0. d ( ). sin d. d ( )( ) 6. d d 7. 7

48 8. d 7 cos 9. d sin 6 0. d ( ) ( ) d.. 9 Вариант 7.. d. cos d cos. d. d e e. d sin 6. d sin 7. d 8. tg 7d 8

49 d 9. cos d 0. 0,0. d. sin ad. ctg d. cos sin d ln. d cos 6. d sin 7. cos d 8. d 9. ln d 0. cos d. d. d. d. sin d 0. d ( )( ) 9

50 d 6. d 7. ( ) ( ) d 8. cos 9. d sin 9 0. d ( ) d.. ( ) Вариант 8.. (sin d sin ). ( ) d 0.. ( ) d. ( ) d. d cos e cos 6. d cos d 7. ( ln ) 0

51 8. e d 9. d 0. ctg ( ) d. cos( ) d 6. tg d. d tg d. cos d. ( ) 6. d 6 7. ( ) sin d 8. e d 9. ln d 0. cos d. d 9. d. 8 d ( )( )

52 . sin d. d ( )( ) 6. d 7. d 8. d cos 9. d sin 6 0. d ( ). d. Вариант 9.. d cos 0, 0, 0, d.. d. d

53 sin cos cos. d cos d 6. arctg 7. cos d 8. d d 9. sin d tg e d. e e d. ctg d d. d. cos tg d 6. ln 7. sin d 8. cos d 9. arctgd 0. cos d. d

54 . d. 0 d cos. d sin 6. d ( 6) d d 8. 9d 9. sin d 0. d ( ). d. Вариант 0. e. d. sin d sin

55 . d. d e. d cos 6. d cos d 7. sin ctg 8. cos d 9. d d 0. d.. ctg d k sinln. d tg. d cos e d. e 6. tg d 7. 6 d

56 8. sin d ln 9. d 0. cos d. d. d d. sin d. d ( )( ) 6. d ( ) d 7. ( ) ( ) d 8. 7 cos 9. d sin 0. d ( ). d. ( ) 6

57 . ( ) d. (cos ) d sin. ( ) d. d e. d cos 6. d cos e d 7. e 8. sin d 9. tg 7d d 0. d. a. b d. tg d cos Вариант. 7

58 e. d e d. ln e arctg 6. d sin d e d 9. ln d 0. cos d. d. d. d. sin d. d ( ) 6. d 6 d 7. ( ) 8. d 8

59 cos 9. d 6 sin 0. d ( ). ( ) d.. ( sin ) d. ( ) d cos. d. d sin. d cos 6. d cos sin d 7. 7 cos d tg d d 0. sin 9 Вариант.

60 . ctg d. a d. sin ln. d. d 9 6. d cos 7. d d 8. cos d ln 9. d 0. sin d. d. d. 7 7 d. cos d 6. d ( 6) 60

61 d 6. d d 7. 6 ( ) d 8. sin 9. d 6 cos 6 0. d ( ). d. ( ) Вариант.. e ( d ). ( cos ) d cos. ( ) d. d cos. d e 6. cos sin cos d cos 6

62 d 7. e d 8. ln d tg d d. 7. ctg d. sin d b tg d. cos cos d. sin d ln d 9. arccos d 0. sin d d. sin d 6

63 . d. d. cos d. d ( ) 6. d 7. d d 8. sin 9. d cos 0 0. d ( ). d. e. ( sin ) d. ( ) d sin. ( ) d 6 Вариант.

64 . d cos. d cos sin cos 6. d cos d 7. arcsin 8. d d 9. cos d 0.. tg d. cos ed... ln d d 6 sin d cos 6. d cos d ln d 6

65 9. arctgd 0. sin d d.. d. 0 d 6. cos 6d. d ( ) 6. d d 7. ( ) 8. ( ) d sin 9. d 6 cos 0. d ( ). d. cos. ( ) d Вариант.

66 . ( ) d sin. d. d sin. d cos cos 6. d cos d 7. sin ctg d d sin d d.. tg d k d. e tg cos sin d. cos arctg. d 66

67 6. e e d ln d 9. arccos d 0. sin d cos d. d. d. 8 0 d. cos 7d. d ( ) d 6. ( ) 7. d 8. d sin 9. d cos 0. d ( ) 67

68 . d. ( ). ( ) d sin. ( cos ) d. ( ) d. ( ) d sin. d cos e cos 6. d cos 7. d 8. d 7 d 9. cos d 0. 0,0. d. ctg d Вариант 6. 68

69 69 ln. d cos d. sin e d. e d 6. tg sin d ln d 9. arcsin d 0. sin d. d. d. d sin. d cos 6. ( ) ( ) 6 6. d d 7. ( )

70 d 8. ( ) 9. cos d 8 0. d ( ). d. ( ) Вариант 7.. ( e ) d cos. (cos e ) d. ( ) d. d 7 cos e. d sin sin 6. d sin d 7. d 8. sin ctg 70

71 9. d 0. cos d d.. ctg d. e a d 7 sin. cos d. tg d 6. d ln ln d 9. arctgd 0. sin d e d. d. d. d sin. d cos

72 . ( )( ) 6. d 7. d 8. d 9. cos d d ( 6). d.. ( sin ) d cos. ( 0,) d. d. ( ) d cos. d Вариант 8. 7

73 esin sin 6. sin 7. d ln 8. e d 9. d d 0.. tg d 6. a b d. cos d d. ctg tg d. 7 cos sin d 6. cos 7. cos d ln 8. d 9. arccos d 0. cos d. d 7 d

74 . d. 7 d cos. d 6 sin 8. d ( ) d 6. d 7. 6 ( ) 6 8. d 9. sin d 8 0. d ( 6). d. Вариант 9.. ( cos ) d e. ( ) d sin. d 7

75 . ( ) d cos. d sin e sin 6. d sin d 7. arccos 8. ctg d 9. d 0. tg d d.. sin ed. 7 d sin d. cos. d cos tg d cos d 8. ln d 9. arcsin d 7

76 0. cos d. d. d 7. 7 d. sin d. d ( )( ) d 6. ( ) d 7. ( ) d 8. ( ) cos 9. d 6 sin 6 0. d ( 6). d.. (sin Вариант 0. ) d 76

77 . ( cos ln d cos ). ( ) d. ( ) d. d sin sin 6. d sin d 7. sin ctg 8. ctg d d d d.. cos d k d. 8 d. cos tg 77

78 e arctg. d 6. e tge d e d 0 8. ln d arctgd 0. cos 8d. d 8. d. 0 8 d. sin d. d ( ) d 6. d ( ) d cos 9. d sin 78

79 d ( 7). d.. e ( e d ). ( ) d sin. d. ( ) d Вариант. e. d cos sin cos 6. d cos d 7. e d 8. e 9. sin d 0. 7d 79

80 d. sin d.. tg d d. e tg cos d. 9 6 e d 6. e 7. cos d 8. ln d 9. arccos d 0. cos d. d. d. d. cos d 6. d ( 6) d 6. 80

81 d 7. d 8. ( ) sin 9. d 8 cos 0. d ( ). d. 7 Вариант.. (cos ) d e. ( ) d cos. d. d e. d e 6. cos cos sin d cos 8

82 cos d 7. 7 sin 8. d d cos d d. sin. ctg ad d. tg. d ln. d 9 d d 8. ln d 9. arcsin d 0. cos d. d 8

83 . d. 6 0 d. cos d. d ( )( ) d 6. d 7. ( ) 8. d ( ) sin 9. d cos 0. d ( ). d. Вариант. e. ( ) d sin. ( sin ) d 8

84 . ( ) d cos. d e. sin sin sin d d ln 8. ctg d d 9. d tg d c. e a d d. tg d. cos cos d. sin 6. d 9 d 8

85 cos d 8. ln d arccos d 0. cos 6d. d. d. 8 d cos. d 8 sin. d ( ) 6. d 7 d 7. ( ) 8. d 9. sin d 0 0. d ( ). 9 d. 8

86 . ( cos ) d. ( ) d cos. d 0. d sin sin. d sin d 6. arcsin 7. d 8. tg d d d. d a b d. 6. d ln Вариант. 86

87 d. sin d. ctg 6. d 7. e d 8. ln d 9. arctgd 0. cos d. d. d. 6 d. sin 6d 7. d ( )( ) d 6. d 7. ( ) d 8. 87

88 cos 9. d 8 sin 0. d ( 7). d. 7. (7 ) d sin. ( cos ) d. ( ) d Вариант.. d sin sin sin. d sin d 6. cos tg 7. d d tg d 0. ctg d 88

89 k. sin d d. e ctg sin sin d. cos arctg. d e. d e 6. cos d sin d 8. e d arccos d 0. sin d. d. d 6 9. d. cos d. d ( ) d 6. 89

90 7. d d 8. ( 9 ) sin 9. d 6 cos 6 0. d ( ). d. 90


. 4 Основные методы интегрирования

. 4 Основные методы интегрирования 5. 4 Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведение подынтегрального выражения к табличной форме и использование свойств неопределенного

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Лемма Функция F( называется первообразной для функции f( на промежутке X, если F ( = f( X Функция,

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ИМЭИ ИГУ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Гражданцева ЕЮ, Дамешек ЛЮ В пособии излагается основной теоретический материал по теме: Неопределенный интеграл Приводятся

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Подробнее

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Занимаясь дифференцированием функций, мы по данной функции находили ее производную Сейчас перейдем к обратной задаче: найти функцию, зная

Подробнее

"В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие"

В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие "В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие" -площади плоских фигур и поверхности; -объема и массы тела; -статистическиих моментов и моментов инерции плоской фигуры, материальной

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Неопределенный интеграл» (для студентов

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Тема 1 Неопределенный интеграл. 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл

Тема 1 Неопределенный интеграл. 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Тема Неопределенный интеграл Практическое занятие Первообразная и неопределенный интеграл Определение первообразной функции Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Основные свойства неопределенного

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке X, если F / () = f() X.

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА Неопределённый интеграл Учебное пособие Санкт-Петербург 007 УДК

Подробнее

«Неопределенный интеграл»

«Неопределенный интеграл» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МАХАЧКАЛИНСКИЙ ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧЕРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕСИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОГО АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

9. Неопределенный интеграл.

9. Неопределенный интеграл. 9. Неопределенный интеграл. Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке (b), если для всех (b) выполняется равенство F() = f(). Например, для функции первообразной будет функция

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 1

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 1 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов

Подробнее

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ(

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ( Лекция.. Интегральное исчисление Неопределенный интеграл Определение Функция F) называется первообразной для функции f) на отрезке [;], если для всех [;] выполнено равенство F)f) Примеры f ) F ) Замечание

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Методические

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ О.И. Судавная, С.В.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» А А АТВИНОВСКИЙ И В ПАРУКЕВИЧ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики Телкова СА ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ ВОРОНЕЖ - 9 УДК 7 Т 8 Рецензенты: Профессор кафедры алгебры и топологических

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

Глава 1. Неопределенный интеграл.

Глава 1. Неопределенный интеграл. Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Изучая дифференциальное исчисление, мы, в частности, рассматривали следующую задачу: на интервале числовой оси задана функция, надо

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Методические

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» УТВЕРЖДАЮ Декан ЕНМФ Ю.И. Тюрин 006г. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ

Подробнее

Простейшие неопределенные интегралы

Простейшие неопределенные интегралы Простейшие неопределенные интегралы Примеры решения задач Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

Подробнее

8. Первообразная и неопределенный интеграл

8. Первообразная и неопределенный интеграл ТЕОРИЯ 8. Первообразная и неопределенный интеграл Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F() называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ ПРЕДИСЛОВИЕ

РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ ПРЕДИСЛОВИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ Математика как учебная дисциплина прочно заняла место в учебны плана нематематически специальностей высши учебны заведений Для специалиста нематематического профиля важно понимать роль и место

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

на промежутке X, если для всех x из промежутка X имеет место равенство . Отметим, что функции 2 ; 3 ; 7 и т.д. также являются

на промежутке X, если для всех x из промежутка X имеет место равенство . Отметим, что функции 2 ; 3 ; 7 и т.д. также являются ГЛАВА НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Понятия первообразной и неопределённого интеграла П Понятие первообразной Основной задачей дифференциального исчисления является задача нахождения производной данной функции

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f ( x ) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f ( x ) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление . НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. Понятие неопределенного интеграла В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f ( ) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает

Подробнее

называется первообразной для функции f (x) X, если для всех x из промежутка X имеет место равенство является функция f (x), так как x ;

называется первообразной для функции f (x) X, если для всех x из промежутка X имеет место равенство является функция f (x), так как x ; ГЛАВА 5 НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Понятия первообразной и неопределённого интеграла П Понятие первообразной Основной задачей дифференциального исчисления является задача нахождения производной данной функции

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ -------------------------------------------------------------------------------------------------

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Интегрирование тригонометрических выражений. cos. 2cos 2x. sin 2x

ЛЕКЦИЯ N Интегрирование тригонометрических выражений. cos. 2cos 2x. sin 2x ЛЕКЦИЯ N. Интегрирование тригонометрических функций и иррациональных выражений.. Интегрирование тригонометрических выражений.....интегрирование иррациональностей..... Интегрирование тригонометрических

Подробнее

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА Неопределённый интеграл Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ

ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическая физика и вычислительная математика» ИВ Дубограй, ЕВ Коломейкина, СИ Шишкина

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Методические

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Л.А.

Федеральное агентство по образованию. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Л.А. Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Л.А.Сайкова НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Интегрирование простейших рациональных дробей. q R, называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.

Интегрирование простейших рациональных дробей. q R, называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов. Правильные рациональные дроби вида где Интегрирование простейших рациональных дробей. A a I A, k a kn, k II M N, p q0 pq III M N, p q0, k pq kn, k IV A, M, N, a, p, q R, называются простейшими рациональными

Подробнее

Лекция Неопределенный интеграл

Лекция Неопределенный интеграл Лекция..3. Неопределенный интеграл Аннотация: Неопределенный интеграл определяется как множество первообразных функций подынтегральной функции. Рассматриваются свойства неопределенного интеграла, приводится

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Ж Н КУЛЬБАКОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ Практическое пособие

Подробнее

О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского»

О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского» ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ: «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Практическая работа 9

Практическая работа 9 Практическая работа 9 Тема: «Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле» Цель занятия: освоение знаний формул и методов интегрирования функций, умений вычислять неопределённые

Подробнее

Методы интегрирования

Методы интегрирования Методы интегрирования Методы интегрирования. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе. Понятия о рациональных функциях и их свойствах. Интегрирование простейших рациональных дробей. Теорема

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана ЕБ Павельева НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Методические указания к решению задач по курсу «Интегралы и дифференциальные уравнения» УДК 57

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования.

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования. ЛЕКЦИЯ. Методы интегрирования..интегрирование по частям..рациональные дроби. Разложение правильной дроби на простейшие...интегрирование рациональных дробей..интегрирование по частям. Пусть u и v две непрерывные

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

Интегрирование функций одной переменной

Интегрирование функций одной переменной Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГГ Литова, ДЮ Ханукаева Интегрирование функций одной переменной Методическое пособие для самостоятельной работы

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Интегральное исчисление

Интегральное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела Интегральное исчисление Составила: Миргородская Ирина

Подробнее

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Основной целью данных методических указаний является оказание помощи студентам всех специальностей дневного обучения при изучении

Подробнее

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x)

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x) Приложение Определение производной Пусть и значения аргумента, а f ) и f ) - ( ( соответствующие значения функции f () Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке,

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Министерство образования и науки Украины Национальный горный университет. Библиотека иностранного студента

Министерство образования и науки Украины Национальный горный университет. Библиотека иностранного студента Министерство образования и науки Украины Национальный горный университет Библиотека иностранного студента АМ Мильцын ВИ Павлищев ЛИ Бойко ВП Орел МАТЕМАТИКА Часть 7 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (в примерах

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий Разделы Интегральное

Подробнее

Непосредственное интегрирование.

Непосредственное интегрирование. Непосредственное интегрирование. Метод интегрирования, при котором интеграл путём тождественных преобразований подинтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределённого интеграла приводится

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Неопределенный интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл. Как по данной функции fх найти такую функцию Fх, производная которой равна данной функции. Опр. Функция Fх называется первообразной от

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса

Подробнее

Разложение рациональных дробей на простейшие. Лекция 2

Разложение рациональных дробей на простейшие. Лекция 2 Разложение рациональных дробей на простейшие Лекция 1 n n1 Пусть Pn ( z) anz an 1z a0, an 0 многочлен степени n с комплексными в общем случае коэффициентами. Теорема 1. Всякий многочлен степени n можно

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Интегрирование рациональных функций (продолжение)

Интегрирование рациональных функций (продолжение) Занятие 4 Интегрирование рациональных функций (продолжение) Рациональной функцией (или, по-просту, дробью) называется отношение двух многочленов, то есть функция вида R() = f() g() = a 0 m + a m +...+

Подробнее

В.Д. Кулиев, Е.В. Макаров, В.М. Сафрай ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ,

В.Д. Кулиев, Е.В. Макаров, В.М. Сафрай ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, ВД Кулиев ЕВ Макаров ВМ Сафрай ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Методические указания и контрольные задания для студентов курса технических специальностей Предисловие Настоящее пособие предназначено

Подробнее

Интегралы. Часть 1. Основные приёмы интегрирования.

Интегралы. Часть 1. Основные приёмы интегрирования. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А. И. ЕФИМОВ В. А. ЗНАМЕНСКИЙ Интегралы. Часть. Основные приёмы интегрирования. Учебное

Подробнее

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Тема Определенный интеграл Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задача о вычислении площади криволинейной трапеции В системе координат Оху дана криволинейная трапеция,

Подробнее

Тема: Интегрирование рациональных дробей

Тема: Интегрирование рациональных дробей Математический анализ Раздел: Неопределенный интеграл Тема: Интегрирование рациональных дробей Лектор Пахомова Е.Г. 0 г. 5. Интегрирование рациональных дробей ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональной дробью называется

Подробнее

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования.

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования. Тема 0 Неопределенный интеграл Основные свойства Таблица неопределенных интегралов Метод непосредственного интегрирования Неопределенный интеграл На занятии по заданной функции y f по известным формулам

Подробнее

dx sin m x cos n x dx bx+c

dx sin m x cos n x dx bx+c Руководство по высшей математике для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов. 2 семестр. В.С.Куликов, И.А.Джваршейшвили, М.А.Климова Оглавление I Неопределенный интеграл 9 Непосредственное

Подробнее

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЯ И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х И Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й

ИНТЕГРИРОВАНИЯ И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х И Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ» Кафедра математики и информатики

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

Лекция 22 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (5)

Лекция 22 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (5) Лекция ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (5) Интегрирование некоторых иррациональных функций Квадратичные иррациональности Интеграл вида Выделение полного квадрата

Подробнее