Задачи с зачётов по теории вероятностей

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Задачи с зачётов по теории вероятностей"

Транскрипт

1 Задачи с зачётов по теории вероятностей Преподаватель Александр Евгеньевич Кондратенко 4 семестр, архив за 4 8 г Издание -е, исправленное и дополненное Предисловие ко второму изданию В прошлом семестре (весна 8 я был в группе, в которой теорию вероятностей преподавал А.Е.Кондратенко и мне и моим товарищам очень помогли задачи, выложенные у вас на сайте. Походив на зачеты, мы поняли, что в них надо многое исправить. И тут мы, главным образом я, жутко ступили. Надо было выслать вам несколько новых задач и замечания, или хотя бы попросить исходники, чтобы их исправить. Но мы решили полностью перенабрать эти 6 задач (из которых, как оказалось, можно было выкинуть. Как бы то ни было, сейчас у меня наконец дошли руки до того, чтобы причесать и доделать наше художество. Мы добавили несколько новых задач и написали решения там, где их знали. Андрей Размещено на сайте Предисловие к первому изданию Решения: Д. Вельтищев, М. Вельтищев, А. Климаков В. Клепцын, Ю. Кудряшов, В. Степанов, Т. Архангельский Посвящается всем, безвременно погибшим на зачётах от теории вероятностей Свёрстано Д. Вельтищевым, Ю. Кудряшовым или Т. Архангельским с вероятностью 3 Задача. Есть палок, каждую из которых разломали на части. После этого получившиеся части соединили в пары произвольным образом. Какова вероятность того, что получились в точности исходные палки? Решение. Точно исходные палки получатся в единственном из всех случаев сборки. Посчитаем количество вариантов собрать пар из частей. Представим, что мы положили части в определенном порядке и потом соединяем и, 3 и 4 и так далее. Тогда способов разложить части будет (! Нам неважно, в каком порядке будут лежать части «внутри палки» палка получится одинаковая. То есть из одного упорядоченного разложения просто перекладывая части «внутри палки» мы можем получить эквивалентных сборок. Поэтому делим на. Кроме того, нас не интересует, в каком порядке будут в итоге лежать получившиеся палки. Способов их переложить!. Значит, искомая вероятность! (! Задача. У страховой компании 4 клиентов, вероятность смерти каждого равна 6 3, страховой взнос у.е., выплата в случае смерти - 3 $. Найти вероятность того, что доход компании превысит 4 4 и вероятность разорения.

2 Решение. Подробно рассмотрим случай небывалого дохода, разорение - аналогично. Годовой доход равен 4, значит, должно произойти не более 8 смертей. Применим теорему Муавра- Лапласа: P ( a µ p b b e t dt. pq π Подгоним под формулу: µ 8 µ.6.6(.6 a 8.6.6(.6 = b. В нашем случае a =, поэтому искомая вероятность равна P(µ 8 = π b e t dt = + b π e t dt = + Φ (b. Задача 3. Вероятность попадания одной пули в бочку с бензином равна p. При одном попадании бочка взрывается с вероятностью p, при двух и более - взрывается наверняка. Найти вероятность того, что бочка рванет при выстрелах. Решение. Рассмотрим три случая: не попали ни разу, одно попадание и больше двух попаданий. Обозначим эти события A, A и A соответственно. Обозначим событие A - бочка взорвалась. Тогда P(A = P(A A P(A + P(A A P(A + P(A A P(A. Имеем P(A = ( p, P(A = C p( p, P(A = P(A P(A. Из условия P(A A =, P(A A = p, P(A A = Подставляем, P(A = pp ( p + p( p ( p = +( p (p(p ( p = + ( p (p(p ( p Задача 4. Завод выпускает изделия с вероятностью брака.4. Первый контролер находит брак из брака с вероятностью.9, второй Найти вероятность, с которой признанное годным изделие будет бракованным Решение. Пусть события A - деталь изготовлена с браком, P(A =.4, A - без брака, P(A =.96, B - деталь признана годной. Тогда искомая вероятность P(A B = P(B A P(A P(B A P(A + P(B A P(A =.4 P(B A.4 P(B A +.96 = 48 так как P(B A =.8+. =.5 λ λk Задача 5. Вероятность прихода в бюро k человек равна e. Вероятность получения отказа k! p. Найти вероятность ровно m отказов. Решение. Введем дополнительное обозначение: η - количество деталей. P(ξ = m = P(ξ = m, (η = m + (η = s + + = k=m e λλk k! pm q k m C m k = k=m P(ξ = m η = kp(η = k = k=m e λλk k! pm q k m k! m!(k m! = e λpm m! k=m λ k (k m! qk m =

3 e λ λ mpm m! k=m λ k m (k m! qk m = e λ e λ( ppm λ m m! = e pλ(pλm. m! Задача 6. На отрезок [, L] бросают три точки. Найти вероятность того, что третья окажется между первыми двумя Решение. По сути требуется найти объем множества {(x, y, z (x < z < y (y < z < x}. Так как все множества вида {(x, y, z (x < y < z} (x, y, z идут в определенном порядке получаются друг из друга движениями, не пересекаются и в сумме покрывают весь куб кроме множества нулевой меры, а всего их 6, то объем каждого из них /6. Значит, объем нашего множества /3. Задача 7. Найти мат.ожидание и дисперсию случайной величины: { 4x x p(x = α 3 π e α, x > ;, x. Ответ: Mξ = α, π Mξ = 3 8 α Задача 8. На отрезок бросаются две точки. Найти мат. ожидание и дисперсию расстояния между ними. Решение. Мат. ожидание: M ξ η = x y dxdy = ( (y xdxdy = y dxdy x y xy xy xy xdxdy = 3 Дисперсия: D ξ η = M(ξ η 9 = = x y (x y dxdy 9 = ( 3 y + y dy 9 = = 8 Задача 9. Найти мат. ожидание и дисперсию величины ξ с плотностью p(x = α Решение. Плотность симметрична относительно точки x = a, поэтому Mξ = a. Найдем дисперсию: Dξ = α (x a e x a α dx = α x e x αdx = α3 α 3 α x e x dx = x e x dx = α x a e α x e x dx = α Γ(3 = α

4 Задача. Найти мат. ожидание и дисперсию гипергеометрического распределения. Решение. Гипергеометрическое распределение задается p m = Cm M C m N M C N Его смысл: в урне находится N шаров, из них M белых. Из урны достают без возвращения шаров, выписана вероятность того, что m из них будут белыми. Решаем через индикаторы: наша с.в. - количество вынутых белых шаров ξ = I I, где I i - с.в. равная, если i-тый вытащенный шар белый, иначе. Индикаторы зависимы, P(I i = = M N, P(I i I j = = M(M N(N при i j. MI i = MI i = M N. Поэтому Mξ = MI i = M N i= Mξ = M(I I = MI MI + MI i I j = ij = Mξ +! M (!! N M N = M N ( ( (M N + Отсюда Dξ = Mξ M ξ =... = M(N (N M N (N Задача. Найти мат. ожидание и дисперсию числа смен успеха на неуспех и неуспеха на успех в схеме Бернулли. Решение. Решим задачу для смен успеха на неуспех. Вероятность смены успеха на неуспех при переходе с i-той позиции на j-тую равна pq. Следовательно, мат. ожидание числа смен успеха на неуспех при этом переходе равно pq. Но мат. ожидание суммы равно сумме мат. ожиданий. Следовательно, Mξ = ( pq. Дисперсию сами. Задача. Пусть ξ, ξ - случайные пуассоновские величины с параметрами λ и λ соответственно, причём λ λ. Доказать, что t > выполняется P(ξ t P(ξ t. Решение. Заметим, что [t] P(ξ t = P(ξ = k = k= Найдём производную этой вероятности по λ: [t] k= λ k k! = e λ Q [t] (λ P λ (ξ λ t = (e λ Q [t] (λ λ = e λ Q [t] (λ + e λ Q [t] (λ = e λ (Q [t] (λ Q [t] (λ = e λλ[t] [t]! < Из чего следует утверждение задачи. Задача 3. Даны ξ, ξ - независимые, имеют геометрическое распределение. Найти вероятность того, что ξ = k при условии что ξ + ξ = Решение. По определению, P(A B = P(AB P(B Найдем вероятность того, что ξ = k и ξ + ξ = : P(ξ = k, ξ + ξ = = P(ξ = k, ξ = k = p q k p q k 4

5 Теперь найдем вероятность того, что ξ + ξ = : P(ξ + ξ = = P(ξ = k, ξ + ξ = = k= p qp k q k q + q + = p p q q k= Осталось поделить одно на другое. Задача 4. Пусть ξ - геометрически распределенная случайная величина. Найти распределение величины η = ξ +( ξ. Решение. Заметим, что η = ξ, если ξ принимает четное значение и η = в противном случае. Значит, P(η = = P(ξ = k + = pq k+ = pq, P(η = k + =, P(η = k = pq k q k= k= Задача 5. ξ, η - независимые случайные величины с распределением N(,. Найти распределение (или плотность величины χ = ξ + η Решение. Найдем функцию распределения. F χ (t = при t, так как χ. При t > : F χ (t = P(χ t = x +y t p ξ,η (x, ydxdy = Перейдем к полярным координатам, получим: F χ (t = π π dϕ t e r rdr = t x +y t e r r d = p ξ (xp η (ydxdy = π t/ x +y t e u du = e u t/ = e t e x +y dxdy Плотность будет p χ (t = { e t, t, t < ξ η Задача 6. Пусть ξ, η - нормальные распределения с параметрами (, Найти распределение Решение. Зная, что p ξ (x = p η (x = π e x, найдем распределение F ξ (t = η y x t e x +y π dxdy = tg ϕt e r ( π π r dr dϕ = + arctg t π e u du = + arctg t π Получили распределение Коши. Задача 7. Даны ξ, η - независимые нормально распределенные величины с параметрами (,. Найти F ξ η,ξ +η Задача 8. Пусть η - распределение Коши, ξ = bη + a, где b. Найти p(x ξ Задача 9. Выполняется ли ЗБЧ для такой последовательности случайных величин: P(ξ = = P(ξ = = +, P(ξ = =? Решение. Да, так как дисперсии D ξ = Mξ = ограничены в совокупности. Задача. Пусть Mξ =. Доказать, что M ξ (Dξ + 5

6 Решение. Mξ =, значит, Dξ = Mξ. Надо доказать, что M ξ M(ξ +, то есть M(ξ ξ + - правда, так как мат. ожидание неотрицательной величины неотрицательно. Задача. Дана {ξ } i= - последовательность независимых случайных величин, Mξ i =, Dξ i < K i N Доказать, что A = M ξ i ограничены в совокупности. Решение. Обозначим η = ξ +...+ξ Dξ +...+Dξ K i= Так как Mη =, то M η Dη+. Кроме того, Dη = = K. Значит, A = M η K+ Задача. Пусть ξ,...,ξ - независимые одинаково распределенные случайные величины, η = ξ ξ. При этом Mξ i = и Dξ i. Также дано, что lim P(η > =. Найти Dξ 3 i и доказать, что a, b < lim P(η [a, b] = Решение. Обозначим σ = Dξ i. Применим ЦПТ: = lim P(η 3 > = lim P( η σ > = lim η P( σ σ < = σ /σ /σ e t dt = = e t dt = Φ (/σ. ( Таким образом, Dξ i = σ = Применим ЦПТ: Φ (/6. Посмотрим на второе утверждение: a η b a P( σ η σ b σ a σ η σ b/(σ a/(σ b σ e t dt,. Задача 3. Дана производящая функция Φ. Найти характеристическую. Решение. По определению, Задача 4. Доказать, что f(t = Me itξ = P(ξ = ke itk = k= p (xdx = π f(t dt ( e it k = Φ(e it Решение. Рассмотрим независимые случайные величины ξ, ξ с плотностью p. Тогда характеристическая функция их разности будет в точности f ξ ξ (t = f ξ (t. По формуле свёртки p ξ ξ (x = p(t xp(tdt, так как p ξ (x = p ξ ( x Запишем формулу обращения: p ξ ξ (x = π k= e itx f(t dt. Приравниваем правые части из обоих формул, подставляем x =, получаем требуемое утверждение. 6

7 Задача 5. Пусть (ξ ξ P. Доказать, что ξ P ξ Решение. Докажем, что ξ P ξ. Действительно, P( ξ ξ > ε = P((ξ ξ > ε при. Теперь докажем, что из ξ P ξ следует ξ P ξ : P( ξ ξ > ε = P( ξ ξ > ε, ξ > C + P( ξ ξ > ε, ξ C, ξ C+ P( ξ ξ > ε, ξ C, ξ > C P( ξ > C + P( ξ ξ > ε C + P( ξ ξ > Сначала выберем C так, чтобы первое слагаемое стало маленьким. Потом выберем N так, что при > N второе и третье слагаемое тоже стали малы. Задача 6. Пусть b > a >, Φ - производящая функция. Доказать, что Решение. По определению, z b a z u a Φ(ududz = k= M (ξ + a(ξ + b = z b a z p k z b a z z z b a u a p k u k dudz = k= u k+a dudz = k= k= u a Φ(ududz p k p k b a zk+a z dz = k+a z b+k k+a dz = k= p k (k+a(k+b = M (k+a(k+b Задача 7. Пусть ξ i - независимые одинаково распределенные случайные величины, Mξ i = a, Dξ i = σ. Доказать, что последовательность ξ +...+ξ сходится и найти к чему. ξ +...+ξ a Решение. Эта последовательность сходится к Действительно, a +σ Mξ i = M ξ i + Dξ i = a + σ. Еще заметим, что ξ ξ ξ ξ = ξ ξ. ξ ξ Но первая из дробей, согласно ЗБЧ, сходится к a, а последовательность, обратная второй - к a +σ. Осталось доказать, что предел частного есть частное пределов для сходимости по вероятности. Задача 8. Пусть ξ i - н.о.р.с.в., у которых Mξ i =, Dξ i =. Доказать, что величина η = (ξ +...+ξ асимптотически нормально распределенная ξ +...+ξ Решение. Заметим, что по ЦПТ ξ +...+ξ сходится к нормальному распределению, а ξ +...+ξ по ЗБЧ сходится к своему мат. ожиданию, в нашем случае к. Теперь надо правильно сказать, что частное последовательностей сходится к частному пределов. Задача 9. Доказать, что ξ - геометрически распределенная случайная величина тогда и только тогда когда P(ξ = + k ξ k = P(ξ =. Верен и более общий факт, который, кстати, и доказывается более изящно. Именно, если ξ i P ξ, a f непрерывна, то f(ξ i P f(ξ. Доказательство смотри М.И.Дьяченко, П.Л.Ульянов. Мера и интеграл, стр

8 Решение. Посчитаем для геометрического распределения P(ξ = + k ξ k: P(ξ = + k ξ k = P(ξ = + k, ξ k P(ξ k Если ξ геометрически распределена, то P(ξ = k = ( qq k, отсюда P(ξ k = i=k P(ξ = i = ( qq k ( + q + q +... = ( q qk q = qk Числитель: P(ξ = + k, ξ k = P(ξ = + k, + k k = P(ξ = + k, = P(ξ = + k = ( qq +k Значит, P(ξ = + k ξ k = ( qq+k q k = ( qq = P(ξ = Заметим, что для < числитель будет, как и P(ξ =. В одну сторону доказали. Теперь докажем, что это свойство и число p = q = P(ξ = однозначно Задает распределение ξ. Действительно, при < числитель нулевой, значит, P(ξ < =. Подставляя = в свойство, получим: значит, p = P(ξ = = P(ξ = k ξ k = P(ξ = k, ξ k P(ξ k P(ξ = k = p P(ξ k = p( P(ξ < k = P(ξ = k P(ξ k Зная, что P(ξ < =, P(ξ = = p и подставляя в это соотношение k =,,... можно найти все вероятности, то есть распределение определено однозначно. Одно такое мы знаем - геометрическое, значит, это оно и есть. Задача 3. Найти свёртку двух нормальных распределений с параметрами (a, σ и (a, σ Решение. Нормальное распределение с произвольными параметрами η N(a, σ может быть представлено в виде η = σξ + a, ξ N(,. Характеристическая функция нормального распределения f ξ (t = e t. Кроме того, f bξ+a = e ita f ξ (bt Значит, f η = f σξ+a = e ita e σ t. Нашли характеристическую функцию нормального распределения с параметрами (a, σ. Теперь задача. Пусть ξ N(a, σ, ξ N(a, σ. Тогда f ξ +ξ (t = f ξ (tf ξ (t = e ita e σ t e ita e σ t = e it(a +a e (σ +σ t Значит, ξ + ξ N(a + a, σ + σ Задача 3. Найти свёртку двух равномерно распределённых на отрезках [A, B] и [C, D] случайных величин. Решение. Надо найти распределение суммы. Другими словами, надо найти, какую часть площади прямоугольника с углами (A, C и (B, D лежит в полуплоскости x + y α. Из геометрии очевидно, что при α < A + C эта площадь равна нулю, при α (A + C, A + D происходит квадратичный рост, при α (A+D, C +B - линейный рост, при α (C +B, B +D - опять квадратичный 8

9 рост, а при α > B + D доля площади равна единице. Таким образом, плотность сначала равна нулю, потом линейно растёт, потом константа, потом линейно убывает, потом опять ноль. Задача 3. Являются ли si x, cos x и cos x характеристическими функциями? Решение. si x не является, так как si =. cosx выражается через e ix и e ix через формулы Эйлера: { e ix = cosx + i si x e ix = cosx i si x То есть, cos t = /(e it + e it, что соответствует характеристической функции дискретного распределения ξ : P(ξ = = P(ξ = = / cosx в окрестности нуля совпадает с просто косинусом и имеет в нуле вторую производную, а значит, если это характеристическая функция какой-то случайной величины, то у этой с.в. должен быть момент второго порядка, но если есть момент k-того порядка, то у характеристической функции всюду существует k-тая производная, но у cosx нет производных в точках π + π. Противоречие. Задача 33. Является ли функция { t f(t =, t ;,иначе. характеристической, если да, то для какого распределения? Решение. Не является, так как имеет вторую производную в нуле, но не имеет производной в точках ± Задача 34. Является ли e t4 характеристической функцией? Решение. Не является. Кратко - по теореме Марцинкевича (если х.ф. представляется в виде экспонента в степени многочлен, то такой многочлен не может быть степени больше. Строго: При разложении в ряд e t4 первый член, содержащий t будет иметь степень 4. Это значит, что в нуле у нашей функции первая и вторая (и третья производные равны. Но мы знаем, что f (k ( = i k α k, то есть, у нашей предполагаемой с.в. первый и второй моменты нулевые. Это значит, что мат. ожидание Mξ = α и дисперсия Dξ = α α равны. Значит, P(ξ = cost =, но у константы х.ф. eitc, противоречие. Задача 35. Пусть a k =, будет ли a k cos kt характеристической функцией? k= Решение. Рассмотрим ξ: Тогда f ξ = k= a k e itk +e itk = k= k= ( a a a... a a... a k cos kt. Задача 36. Пусть f(t - характеристическая функция. Является ли Re f(t характеристической функцией (а если да, то какого распределения? Ответ: Да, является. (Указание: Re f(t = f(t+f( t. Задача 37. Найти распределение суммы пуассоновских случайных величин через производящие функции 9

10 Решение. Производящая функция для пуассоновского распределения с параметром λ: ξ Π(λ, Φ ξ (x = k= e λxk λ k k! = e λ (λx k k! k= = e λ e λx = e λ(x Таким образом, если ξ Π(λ, ξ Π(λ, то Φ ξ +ξ (x = Φ ξ (xφ ξ (x = e λ (x e λ (x = e (x (λ +λ = Φ Π(λ +λ То есть Π(λ + Π(λ Π(λ + λ Задача 38. Пусть ξ P. Доказать, что ξ, такого, что ξ независимо с любым ξ, выполнено ξξ P. Решение. Пусть ε >, тогда P( ξ ξ ε = P( ξ ε P( ξ > +P( εp( ξ = = P( ξ ξ ε P( ξ < C + P( ξ C ε P( ξ C. Тогда δ > C > : P( ξ C ε ξ тогда N > : > N выполнено P( ξ ε C P( ξ < C < δ = δ. Значит, ξ Задача 39. Пусть ξ d ξ, верно ли, что ξ ξ d? Ответ: Не верно. Задача 4. Пусть xi - н.о.р.с.в., η = ξ +...+ξ и p ξ = cos x Задача 4. Пусть xi - н.о.р.с.в. Доказать, что k : M Задача 4. Доказать формулу Байеса. ξ d πx (? ξ +...+ξ k ξ +...+ξ = k P( ξ C < δ = δ, P. Задача 43. Доказать интегральную теорему Муавра-Лапласа (без использования ЦПТ. Задача 44. Доказать эквивалентность сходимости ξ d i ξ и сходимости их производящих функций. Задача 45. Доказать ЗБЧ (в простой форме. Задача 46. Доказать ЦПТ (в простой форме. Решения смотри учебник Севастьянова. Задача 47. Доказать,что мощность σ-алгебры не может равняться 3. Решение. У всякой конечной σ-алгебры есть порождающее множество,т.е. множество таких элементов a i, что ω из σ-алгебры пересечение a i и ω равно либо a i, либо, и при этом a i = Ω. Такое множество можно построить: взять элемент A из σ-алгебры, потом взять B и, если A и B пересекаются, то оставить вместо них A \ B, B \ A и A B. Затем берём элемент C и продолжаем данную процедуру. Она оборвётся на некотором шаге в силу конечности алгебры. В итоге получится порождающее множество мощности. Но тогда можно установить биекцию между - битными словами и элементами σ-алгебры по следующему принципу: на i-ая буква есть, если a i ω, и в противном случае. Так как таких слов, то и мощность σ-алгебры есть. Задача 48. Доказать,что мощность σ-алгебры не может быть счётной. Решение. Пусть σ-алгебра счётна, тогда можно построить счётную последовательность непустых непересекающихся её элементов таким образом: возьмём A Ω за первый элемент и Ā за второй. Очевидно, что они не пересекаются, и хотя бы один из них можно опять поделить (иначе σ- алгебра была бы конечной. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока не получим ℵ непустых непересекающихся элементов. Но любое счётное объединение элементов из неё будет принадлежать σ-алгебре а если брать объединения различных элементов, то получать будем так же разные. Т.о. в σ-алгебре присутствуют как минимум ℵ = c элементов. Задача 49. ξ >, Mξ. Доказать,что MξM. ξ

11 Решение. Нужно доказать, что MξM.Посмотрим на это выражение, как на дискриминант некоторого квадратного ξ уравнения: D Mξx x + 4 M ( ξ M ξ (4x ξ 4xξ + M (xξ + ξ, что верно при любых x, так как это математическое ожидание неотрицательной функции. Задача 5. ξ i последовательность независимых неотрицательных целочисленных одинаково распределённых случайных величин, ν независимая с ними неотрицательная целочисленная случайная величина. Найти Φ ξ +...+ξ ν. Решение. Φ ξ +...+ξ ν = Mx ξ +...+ξ ν = x k P(ξ ξ ν = k = x k P(ξ ξ m = k ν = m = m= k= k= k= m= x k P(ξ ξ m = kp(ν = m = (Φ ξ (x m P(ν = m = Φ ν (Φ ξ (x m= Задача 5. Доказать, что если ξ и η независимы, то ρ (коэффициент корреляции равен нулю, но обратное не всегда верно. Решение. Если ξ и η независимы, то cov(ξ, η = Mξη MξMη =,а значит и ρ=. Рассмотрим величину ξ, принимающие значения, π и π с равными вероятностями, и величины si ξ и cosξ. = P(cosξ =, si ξ = P(cosξ = P(siξ = =, значит величины зависимы.при 9 этом cov(cosξ, siξ = M cosξ si ξ M cos ξm si ξ = M si ξ =. Задача 5. Доказать, что ρ(ξ, η = η = aξ + b. Решение. То, что ρ(ξ, η следует из неравенства Коши-Буняковского M ξη Mξ Mη. Вспомним, как мы его доказывали: M(ξ + λη неотрицательно как мат. ожидание неотрицательной случайной величины, притом равенство нулю достигается тогда, когда эта случайная величина с вероятностью является константой. С другой стороны, M(ξ + λη = Mξ + λmξη + λ Mη Это означает, что дискриминант квадратного уравнения на λ меньше либо равен нулю, что и даёт нам неравенство Коши-Буняковского. Пусть он равен нулю (как раз в этом случае ρ(ξ, η =, это значит, что существует такое λ, что M(ξ + λη =, откуда заключаем, что с вероятностью выполнено ξ = λη Задача 53. Про производящую функцию Φ ξ (x известно, что Φ ξ ( =. Найти распределение ξ. Решение. Φ ξ ( = Φ ξ ( lim = lim Φ ξ ( =, значит p =.Выпишем два равенства: k= k= kp k = p + p + 4 p +... = kp k = p + 4 p + 6 p +... = 4 Домножим второе равенство на и вычтем из первого, помня, что p = : p +... = Все p i и коэффициенты перед ними неотрицательны, значит все p i, кроме p, равны. Отсюда p =.

12 Задача 54. Является ли функция Φ(x = e ch x производящей, и если да, то какого распределения? e + Решение. Нужно проверить, чтобы в точке x = функция равнялась единице и чтобы все её производные в нуле были неотрицательны. Первое условие выполнено. Φ + (x = e sh x, e + Φ (x = Φ(x. В нуле чётные производные равны e, а нечётные равны. Таким образом, e + p + =, p = e (e + (!. Задача 55. Верно ли, что сходимость почти всюду равносильна сходимости по вероятности? Решение. Из сходимости почти всюду следует сходимость по вероятности, обратное неверно. Задача 56. Известно, что ξ P ξ, ξ P η. Доказать, что P(ξ = η =. Задача 57. Известно, что ξ P,η P η. Доказать, что ξ η P. Задача 58. Пусть ξ i - независимые одинаково распределённые случайные величины, с характеристической функцией { t, t < ; f ξi (t =, t. найти ξ +...+ξ d? Решение. Обозначим η = ξ +...+ξ отсюда получаем:. Найдём f η (t: f η (t = (f ξ (t = (f ξ ( t = ( t lim f η (t = e t Задача 59. Про события A и B известно, что P(A = P(B =. Доказать, что P(AB = P(Ā B Решение. Напомню обозначения для событий-множеств: A B = A + B, A B = AB. Теперь, имея на руках тождество P(A + B = P(A + P(B P(AB и правило де Моргана A + B = Ā B, подгоним искомое равенство: ( P(AB = P(A + P(B P(A + B = P A + B = P(Ā B = ( P(Ā B = P(Ā B. Задача 6. Известно, что ξ d ξ. Верно ли: а i Mξ i Mξ б Mξ Mξ i, начиная с некоторого номера в Mξ i, Mξ Mξ i Mξ

13 Решение. Ничего не верно. Приводим контрпримеры: а Возьмем η - последовательность Коши, а { η, η [, ] ξ = иначе Вроде это называется обрезкой. Получаем ξ d i η = ξ. Из-за того, что плотность у распределения Коши симметрична относительно, а интеграл по конечной области можно взять, то i Mξ i =, но, как мы знаем, Mξ б Опять с Коши. Возьмем {, η [, ] ξ = η иначе Тогда предельная последовательность будет всюду и мат. ожидание у нее, но у любой ξ i мат. ожидания нет, так как у нее остались от Коши «хвосты» на бесконечности, которые, домноженные на x, дают расходящийся интеграл. в Было на лекции скорее всего. Возьмем дискретную с.в.: ξ ( Она опять же стремится к константе с мат. ожиданием. Но Mξ = + = Задача 6. Найти коэффициент корреляции между числом выпадения единиц и числом выпадения шестёрок при бросании кубика раз Решение. Рассмотрим случайные величины ξ i =числу выпадения грани i. Очевидно, что они распределены одинаковы и по сути нет разницы между ξ и ξ 6. Так же ясно,что при бросании кубика раз выпадет граней (-константа. Таким образом получаем: = D( = D(ξ + + ξ 6 = Dξ + + Dξ 6 + cov(ξ i, ξ j = 6Dξ + C6 cov(ξ, ξ 6, i<j6 отсюда следует,что ρ(ξ, ξ 6 = cov(ξ,ξ 6 Dξ Dξ6 = cov(ξ,ξ 6 Dξ =. 5 Задача 6. Доказать, что если ξ, η имеют совместное нормальное распределение (вектор (ξ, η T нормально распределен и их ковариация равна нулю, то ξ и η независимы. Задача 63. Двумерная случайная величина (ξ, η равномерно распределена на прямоугольнике. Что можно сказать о зависимости ξ и η? Ответ: Независимы. Задача 64. Двумерная случайная величина (ξ, η равномерно распределена на круге. Что можно сказать о зависимости ξ и η? Ответ: Зависимы. 3

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1 ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1 1. Доказать лемму о баллотировке. Комментарий. Важно показать, что выбор вероятностного пространства (в виде функций, описывающих исходы) позволяет легко применить

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Числовые характеристики нормального распределения

Числовые характеристики нормального распределения Числовые характеристики нормального распределения X Если случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами a и, то математическое ожидание совпадает с параметром, дисперсия с M X a, D

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовые характеристики дискретных случайных величин 1 Числовые характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание Expected Value (i.e. Mean) - характеризует среднее весовое значение случайной величины с учётом вероятности появлений значений

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Задачи по курсу Теория вероятностей

Задачи по курсу Теория вероятностей Задачи по курсу Теория вероятностей лектор к.ф.-м.н. Родионов И.В. осень 2015 г. 1. Системы множеств. Классическое вероятностное пространство. 1 Из n-элементного подмножества случайным образом выбирается

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме.

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

Подробнее

Функции многих переменных

Функции многих переменных Функции многих переменных Задача 7 Найти все производные второго порядка функции f ( x, y) : f ( x, y) y x Искомые производные: Задача 9 Найти полный дифференциал и градиент функции А: 3 4 f ( x, y) ln

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург,

Подробнее

2. СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ ПО ПРЯМОЙ

2. СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ ПО ПРЯМОЙ . СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ ПО ПРЯМОЙ Рассмотрим простейшую математическую модель случайного блуждания. Пусть точечная частица может совершать только один тип движений: в дискретные моменты времени t 0, t 1,...

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1 Многомерная случайная величина X = (X 1,X 2,,X n ) это совокупность случайных величин X i (i =1,2,,n), заданных на одном и том же вероятностном пространстве Ω. Закон распределения

Подробнее

Подставим эти выражения в последние две системы, и после преобразований уравнения несколько упростятся:

Подставим эти выражения в последние две системы, и после преобразований уравнения несколько упростятся: Запишем приращения функций χ ψ вдоль направления, определённого дифференциалами dx и dy: χ χ dx dy = dχ dy ϕ ϕ dx dy = dϕ y Введём новые функции и следующим образом: = χ ϕ, = χ ϕ. Тогда ϕ = ( ), χ = (

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Введение в теорию вероятностей

Введение в теорию вероятностей Введение в теорию вероятностей Лектор Артем Павлович Ковалевский 1. Дискретная вероятностная модель. Предмет теории вероятностей. Определение дискретной вероятностной модели. Классическое определение вероятности.

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция.

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция. Оглавление ГЛАВА 3 продолжение. Функции случайных величин. Характеристическая функция... Функция одного случайного аргумента.... Основные числовые характеристики функции случайного аргумента.... Плотность

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2 ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по совокупности аргументов.

Подробнее

Пример решения варианта контрольной работы 1.

Пример решения варианта контрольной работы 1. Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя: ) Если в определителе все элементы какой-либо

Подробнее

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 8-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Исследовать следующие ряды на равномерную сходимость с помощью определения: Д 767

Подробнее

cos t = Re(e it ); sin t = Im(e it ): cos x = 1 x2 2! + x 4 4! x 6 7 sin x = x x3 3! + x 5! x n E n) = cos x; n E n) = sin x: cos x = lim

cos t = Re(e it ); sin t = Im(e it ): cos x = 1 x2 2! + x 4 4! x 6 7 sin x = x x3 3! + x 5! x n E n) = cos x; n E n) = sin x: cos x = lim 4. Тригонометрия Теперь все готово для того, чтобы дать строгие определения тригонометрических функций. На первый взгляд они, видимо, покажутся довольно странными; тем не менее мы покажем, что определенные

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л.Чебышева. Закон больших чисел для последовательности

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1.

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1. 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Известно, что tg + tg = p, ctg + ctg = q. Найдите tg( + ). pq Ответ: tg. q p Из условия p tg q tg tg tg tg p и равенства ctg ctg q, получим, что

Подробнее

Девятая олимпиада Эйлера для учителей математики

Девятая олимпиада Эйлера для учителей математики Девятая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура 1. Решите относительно x уравнение x( x ab) a b. Решение. Ясно, что x a b корень данного уравнения. Разделив многочлен x abx

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

Гипергеометрические функции

Гипергеометрические функции Гипергеометрические функции 1 Канонический вид уравнения гипергеометрического типа Уравнение гипергеометрического типа σy + τy + λy =, (1.1) где σ(z) полином не старше второй степени, τ(z) полином не старше

Подробнее

Заказать любой вариант данной работы на

Заказать любой вариант данной работы на Заказать любой вариант данной работы на http://sos6ru Контрольная работа Задача Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле Сделать чертеж области интегрирования d f (, d d f (, d d f (, d d f

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции.

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции. ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции..окрестность бесконечно удаленной точки.....разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.... 3.Поведение

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ЛЕКЦИЯ 7 Неограниченные линейные операторы Хотя методами главы I нам удалось исследовать многие задачи математической физики, некоторые вполне классические задачи не

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Лекция 8. Слабая и сильная производные

Лекция 8. Слабая и сильная производные Лекция 8. Слабая и сильная производные Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 9 апреля 2012 г. Определение слабой производной Определение

Подробнее

Лекция 4 25 февраля 2009

Лекция 4 25 февраля 2009 Действительный анализ. Лекция 4. 25 февраля 2009 1 Действительный анализ. IV семестр. 2009 год. Лектор Скворцов В. А. Об ошибках писать на july.tih@gmail.com Лекция 4 25 февраля 2009 Лебег определял класс

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет 014 г. Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. Алгебра множеств..1 Понятие множества... 1. Операции над множествами...

Подробнее

1 Экспонента линейного оператора.

1 Экспонента линейного оператора. 134 1. ЭКСПОНЕНТА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. 1 Экспонента линейного оператора. 1.1 Напоминание: геометрическая формулировка основной задачи ОДУ. Напомним, что векторное поле это отображение, которое каждой точке

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Ряды Лорана. n=1. c n (z z 0 ) n сходится в круге с центром в точке. n=0

Ряды Лорана. n=1. c n (z z 0 ) n сходится в круге с центром в точке. n=0 Ряды Лорана Более общим типом степенных рядов являются ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные степени z z 0. Как и ряды Тейлора, они играют важную роль в теории аналитических функций.

Подробнее

Семинар Лекция 5 ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. 1. Примеры и контрпримеры

Семинар Лекция 5 ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. 1. Примеры и контрпримеры Семинар Лекция 5 ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 1. Примеры и контрпримеры Мы начнём с рассмотрения примеров, демонстрирующих необходимость осторожного использования интуиции при решении вопросов, связанных

Подробнее

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа.

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Тема 1 Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Мы будем изучать множества, наделенные функцией расстояния, сопоставляющей каждой неупорядоченной паре точек неотрицательное вещественное

Подробнее

Теория Меры 3: Интегрирование

Теория Меры 3: Интегрирование Теория Меры 3: Интегрирование 3.1. Измеримые функции Определение 3.1. Пусть дано пространство M с заданной на нем σ-алгеброй U. Мы говорим, что подмножество M измеримо, если оно лежит в U. Пусть топологическое

Подробнее

Е. В. Морозова. Теория вероятностей

Е. В. Морозова. Теория вероятностей Е. В. Морозова Теория вероятностей 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекции 9- Признаки сходимости

Подробнее

23. Полнота (продолжение)

23. Полнота (продолжение) 23. Полнота (продолжение) Завершим доказательство теоремы 22.5. Именно, покажем, что i(x) плотно в X. Так как пространства, о которых идет речь, метрические, нам достаточно проверить, что всякий элемент

Подробнее

2. СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ ПО ПРЯМОЙ

2. СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ ПО ПРЯМОЙ . СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ ПО ПРЯМОЙ Рассмотрим простейшую математическую модель случайного блуждания. Пусть точечная частица может совершать только один тип движений: в дискретные моменты времени t 1, t,...

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

ВОСЬМАЯ "КОЛМОГОРОВСКАЯ СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ" Решения задач

ВОСЬМАЯ КОЛМОГОРОВСКАЯ СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Решения задач ВОСЬМАЯ "КОЛМОГОРОВСКАЯ СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ" Решения задач Задача 1. Пусть случайная величина X имеет конечную дисперсию и не равна тождественно нулю. Доказать, что PX ) DXEX

Подробнее

Программа и задачи для курса Теории вероятностей

Программа и задачи для курса Теории вероятностей Программа и задачи для курса Теории вероятностей лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Осень 2012 Программа 1. Вероятностное пространство (Ω, F, P). Аксиомы Колмогорова. Теорема о непрерывности в нуле вероятностной

Подробнее

Лекция апреля 2009

Лекция апреля 2009 Действительный анализ. Лекция 11. 22 апреля 2009 1 Действительный анализ. IV семестр. 2009 год. Лектор Скворцов В. А. Об ошибках писать на july.tikh@gmil.com Лекция 11 22 апреля 2009 Задача 1. Привести

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

Контрольная работа по предмету Теория вероятностей

Контрольная работа по предмету Теория вероятностей Контрольная работа по предмету Теория вероятностей Вариант Выполнил студент групы Преподаватель - 9 План:. Имеется пять отрезков, длины которых равны соответственно, 3, 5, 7 и 9 единицам. Определить вероятность

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Теория Меры 3: Интегрирование

Теория Меры 3: Интегрирование Теория Меры 3: Интегрирование 3.1. Измеримые функции Определение 3.1. Пусть дано пространство M с заданной на нем σ-алгеброй U. Мы говорим, что подмножество M измеримо, если оно лежит в U. Пусть топологическое

Подробнее

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1 ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ. Теория вероятностей изучает явления: сложные Б) детерминированные В) случайные Г) простые. Количественная мера объективной возможности это : опыт Б) вероятность В) событие Г) явление

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

5. Еще о пределах; ряды

5. Еще о пределах; ряды 5. Еще о пределах; ряды Докажем сначала предложение, на которое нам не хватило времени на прошлой лекции. Предложение 5.. Для всякого b > 0 имеем lim n (ln n=n b ) = 0. (Переход к произвольному основанию

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд.

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд. ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической

Подробнее

Олимпиада для студентов и выпускников вузов 2014 г.

Олимпиада для студентов и выпускников вузов 2014 г. Олимпиада для студентов и выпускников вузов 014 г. Направление «Математические методы анализа экономики» Профили: Математические методы анализа экономики Экономика Статистический анализ экономических и

Подробнее

+ z n 1. Получено рекуррентное соотношение: Применяя это соотношение, найдем

+ z n 1. Получено рекуррентное соотношение: Применяя это соотношение, найдем Региональная олимпиада по математике для студентов технических специальностей вузов Декабрь 205 г., СибГАУ Задания для второго и старших курсов с решениями. Пусть E единичная матрица порядка n, а I квадратная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Теорема Жордана. Глава Теорема Жордана

Теорема Жордана. Глава Теорема Жордана Глава 3 Теорема Жордана План. Замкнутая кривая, незамкнутая кривая, незамкнутая кривая без самопересечений, замкнутая кривая без самопересечений, теорема Жордана о кривой без самопересечений, лежащей на

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства Примеры и контрпримеры

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства Примеры и контрпримеры ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства 1 1. Примеры и контрпримеры Мы начнём с рассмотрения примеров, демонстрирующих необходимость осторожного использования интуиции при решении вопросов, связанных с метрическими

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

Подробнее

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D 4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных

Подробнее

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Закономерности в поведении случайных величин тем заметнее, чем больше число испытаний, опытов или наблюдений Закон больших

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Подробнее

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ. Лекция 4

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ. Лекция 4 ЧАСТЬ 3 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ Лекция 4 НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ МУАВРА ЛАПЛАСА И ПУАССОНА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие независимого испытания и

Подробнее

Семинар Лекция 2 СВОЙСТВА ИЗМЕРИМЫХ МНОЖЕСТВ. 1. Тождества теории множеств (продолжение)

Семинар Лекция 2 СВОЙСТВА ИЗМЕРИМЫХ МНОЖЕСТВ. 1. Тождества теории множеств (продолжение) Семинар Лекция 2 СВОЙСТВА ИЗМЕРИМЫХ МНОЖЕСТВ 1. Тождества теории множеств (продолжение) Обсудим ещё некоторые утверждения теории множеств. Пусть A P, B P. Тогда Также нам понадобится, что A \ B = A (P

Подробнее

Интеграл Лебега. Тема Соглашения и обозначения. 5.2 Формализация суммирования

Интеграл Лебега. Тема Соглашения и обозначения. 5.2 Формализация суммирования Тема 5 Интеграл Лебега. Напомним, что такое интеграл Лебега и обсудим основные его свойства. Нам понадобятся следующие естественные соглашения, одно из которых мы уже использовали. 5.1 Соглашения и обозначения

Подробнее

Вариант 1. = игра справедлива; Ответ: а) при условии p 1 = q1. б) при условии p 1 = q1. = игра является несправедливой.

Вариант 1. = игра справедлива; Ответ: а) при условии p 1 = q1. б) при условии p 1 = q1. = игра является несправедливой. Вариант Ректор Томского политехнического университета R и проректор по науке Q играют в известную игру, которая состоит в следующем Оба одновременно поднимают один или два пальца Если общее число поднятых

Подробнее

Ф. Г. Кораблёв, В. В. Кораблёва. Дискретная математика: комбинаторика

Ф. Г. Кораблёв, В. В. Кораблёва. Дискретная математика: комбинаторика Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» Ф.

Подробнее

GRAPHIC SYMMETRIES OF FUNCTIONS AND THE ELEMENTARY EQUATIONS

GRAPHIC SYMMETRIES OF FUNCTIONS AND THE ELEMENTARY EQUATIONS СИММЕТРИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И. И. ЧУЧАЕВ Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева, Саранск GRAPHIC SYMMETRIES OF FUNCTIONS AND THE ELEMENTARY EQUATIONS I. I. CHUCHAEV

Подробнее