Задачи с зачётов по теории вероятностей

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Задачи с зачётов по теории вероятностей"

Транскрипт

1 Задачи с зачётов по теории вероятностей Преподаватель Александр Евгеньевич Кондратенко 4 семестр, архив за 4 8 г Издание -е, исправленное и дополненное Предисловие ко второму изданию В прошлом семестре (весна 8 я был в группе, в которой теорию вероятностей преподавал А.Е.Кондратенко и мне и моим товарищам очень помогли задачи, выложенные у вас на сайте. Походив на зачеты, мы поняли, что в них надо многое исправить. И тут мы, главным образом я, жутко ступили. Надо было выслать вам несколько новых задач и замечания, или хотя бы попросить исходники, чтобы их исправить. Но мы решили полностью перенабрать эти 6 задач (из которых, как оказалось, можно было выкинуть. Как бы то ни было, сейчас у меня наконец дошли руки до того, чтобы причесать и доделать наше художество. Мы добавили несколько новых задач и написали решения там, где их знали. Андрей Размещено на сайте Предисловие к первому изданию Решения: Д. Вельтищев, М. Вельтищев, А. Климаков В. Клепцын, Ю. Кудряшов, В. Степанов, Т. Архангельский Посвящается всем, безвременно погибшим на зачётах от теории вероятностей Свёрстано Д. Вельтищевым, Ю. Кудряшовым или Т. Архангельским с вероятностью 3 Задача. Есть палок, каждую из которых разломали на части. После этого получившиеся части соединили в пары произвольным образом. Какова вероятность того, что получились в точности исходные палки? Решение. Точно исходные палки получатся в единственном из всех случаев сборки. Посчитаем количество вариантов собрать пар из частей. Представим, что мы положили части в определенном порядке и потом соединяем и, 3 и 4 и так далее. Тогда способов разложить части будет (! Нам неважно, в каком порядке будут лежать части «внутри палки» палка получится одинаковая. То есть из одного упорядоченного разложения просто перекладывая части «внутри палки» мы можем получить эквивалентных сборок. Поэтому делим на. Кроме того, нас не интересует, в каком порядке будут в итоге лежать получившиеся палки. Способов их переложить!. Значит, искомая вероятность! (! Задача. У страховой компании 4 клиентов, вероятность смерти каждого равна 6 3, страховой взнос у.е., выплата в случае смерти - 3 $. Найти вероятность того, что доход компании превысит 4 4 и вероятность разорения.

2 Решение. Подробно рассмотрим случай небывалого дохода, разорение - аналогично. Годовой доход равен 4, значит, должно произойти не более 8 смертей. Применим теорему Муавра- Лапласа: P ( a µ p b b e t dt. pq π Подгоним под формулу: µ 8 µ.6.6(.6 a 8.6.6(.6 = b. В нашем случае a =, поэтому искомая вероятность равна P(µ 8 = π b e t dt = + b π e t dt = + Φ (b. Задача 3. Вероятность попадания одной пули в бочку с бензином равна p. При одном попадании бочка взрывается с вероятностью p, при двух и более - взрывается наверняка. Найти вероятность того, что бочка рванет при выстрелах. Решение. Рассмотрим три случая: не попали ни разу, одно попадание и больше двух попаданий. Обозначим эти события A, A и A соответственно. Обозначим событие A - бочка взорвалась. Тогда P(A = P(A A P(A + P(A A P(A + P(A A P(A. Имеем P(A = ( p, P(A = C p( p, P(A = P(A P(A. Из условия P(A A =, P(A A = p, P(A A = Подставляем, P(A = pp ( p + p( p ( p = +( p (p(p ( p = + ( p (p(p ( p Задача 4. Завод выпускает изделия с вероятностью брака.4. Первый контролер находит брак из брака с вероятностью.9, второй Найти вероятность, с которой признанное годным изделие будет бракованным Решение. Пусть события A - деталь изготовлена с браком, P(A =.4, A - без брака, P(A =.96, B - деталь признана годной. Тогда искомая вероятность P(A B = P(B A P(A P(B A P(A + P(B A P(A =.4 P(B A.4 P(B A +.96 = 48 так как P(B A =.8+. =.5 λ λk Задача 5. Вероятность прихода в бюро k человек равна e. Вероятность получения отказа k! p. Найти вероятность ровно m отказов. Решение. Введем дополнительное обозначение: η - количество деталей. P(ξ = m = P(ξ = m, (η = m + (η = s + + = k=m e λλk k! pm q k m C m k = k=m P(ξ = m η = kp(η = k = k=m e λλk k! pm q k m k! m!(k m! = e λpm m! k=m λ k (k m! qk m =

3 e λ λ mpm m! k=m λ k m (k m! qk m = e λ e λ( ppm λ m m! = e pλ(pλm. m! Задача 6. На отрезок [, L] бросают три точки. Найти вероятность того, что третья окажется между первыми двумя Решение. По сути требуется найти объем множества {(x, y, z (x < z < y (y < z < x}. Так как все множества вида {(x, y, z (x < y < z} (x, y, z идут в определенном порядке получаются друг из друга движениями, не пересекаются и в сумме покрывают весь куб кроме множества нулевой меры, а всего их 6, то объем каждого из них /6. Значит, объем нашего множества /3. Задача 7. Найти мат.ожидание и дисперсию случайной величины: { 4x x p(x = α 3 π e α, x > ;, x. Ответ: Mξ = α, π Mξ = 3 8 α Задача 8. На отрезок бросаются две точки. Найти мат. ожидание и дисперсию расстояния между ними. Решение. Мат. ожидание: M ξ η = x y dxdy = ( (y xdxdy = y dxdy x y xy xy xy xdxdy = 3 Дисперсия: D ξ η = M(ξ η 9 = = x y (x y dxdy 9 = ( 3 y + y dy 9 = = 8 Задача 9. Найти мат. ожидание и дисперсию величины ξ с плотностью p(x = α Решение. Плотность симметрична относительно точки x = a, поэтому Mξ = a. Найдем дисперсию: Dξ = α (x a e x a α dx = α x e x αdx = α3 α 3 α x e x dx = x e x dx = α x a e α x e x dx = α Γ(3 = α

4 Задача. Найти мат. ожидание и дисперсию гипергеометрического распределения. Решение. Гипергеометрическое распределение задается p m = Cm M C m N M C N Его смысл: в урне находится N шаров, из них M белых. Из урны достают без возвращения шаров, выписана вероятность того, что m из них будут белыми. Решаем через индикаторы: наша с.в. - количество вынутых белых шаров ξ = I I, где I i - с.в. равная, если i-тый вытащенный шар белый, иначе. Индикаторы зависимы, P(I i = = M N, P(I i I j = = M(M N(N при i j. MI i = MI i = M N. Поэтому Mξ = MI i = M N i= Mξ = M(I I = MI MI + MI i I j = ij = Mξ +! M (!! N M N = M N ( ( (M N + Отсюда Dξ = Mξ M ξ =... = M(N (N M N (N Задача. Найти мат. ожидание и дисперсию числа смен успеха на неуспех и неуспеха на успех в схеме Бернулли. Решение. Решим задачу для смен успеха на неуспех. Вероятность смены успеха на неуспех при переходе с i-той позиции на j-тую равна pq. Следовательно, мат. ожидание числа смен успеха на неуспех при этом переходе равно pq. Но мат. ожидание суммы равно сумме мат. ожиданий. Следовательно, Mξ = ( pq. Дисперсию сами. Задача. Пусть ξ, ξ - случайные пуассоновские величины с параметрами λ и λ соответственно, причём λ λ. Доказать, что t > выполняется P(ξ t P(ξ t. Решение. Заметим, что [t] P(ξ t = P(ξ = k = k= Найдём производную этой вероятности по λ: [t] k= λ k k! = e λ Q [t] (λ P λ (ξ λ t = (e λ Q [t] (λ λ = e λ Q [t] (λ + e λ Q [t] (λ = e λ (Q [t] (λ Q [t] (λ = e λλ[t] [t]! < Из чего следует утверждение задачи. Задача 3. Даны ξ, ξ - независимые, имеют геометрическое распределение. Найти вероятность того, что ξ = k при условии что ξ + ξ = Решение. По определению, P(A B = P(AB P(B Найдем вероятность того, что ξ = k и ξ + ξ = : P(ξ = k, ξ + ξ = = P(ξ = k, ξ = k = p q k p q k 4

5 Теперь найдем вероятность того, что ξ + ξ = : P(ξ + ξ = = P(ξ = k, ξ + ξ = = k= p qp k q k q + q + = p p q q k= Осталось поделить одно на другое. Задача 4. Пусть ξ - геометрически распределенная случайная величина. Найти распределение величины η = ξ +( ξ. Решение. Заметим, что η = ξ, если ξ принимает четное значение и η = в противном случае. Значит, P(η = = P(ξ = k + = pq k+ = pq, P(η = k + =, P(η = k = pq k q k= k= Задача 5. ξ, η - независимые случайные величины с распределением N(,. Найти распределение (или плотность величины χ = ξ + η Решение. Найдем функцию распределения. F χ (t = при t, так как χ. При t > : F χ (t = P(χ t = x +y t p ξ,η (x, ydxdy = Перейдем к полярным координатам, получим: F χ (t = π π dϕ t e r rdr = t x +y t e r r d = p ξ (xp η (ydxdy = π t/ x +y t e u du = e u t/ = e t e x +y dxdy Плотность будет p χ (t = { e t, t, t < ξ η Задача 6. Пусть ξ, η - нормальные распределения с параметрами (, Найти распределение Решение. Зная, что p ξ (x = p η (x = π e x, найдем распределение F ξ (t = η y x t e x +y π dxdy = tg ϕt e r ( π π r dr dϕ = + arctg t π e u du = + arctg t π Получили распределение Коши. Задача 7. Даны ξ, η - независимые нормально распределенные величины с параметрами (,. Найти F ξ η,ξ +η Задача 8. Пусть η - распределение Коши, ξ = bη + a, где b. Найти p(x ξ Задача 9. Выполняется ли ЗБЧ для такой последовательности случайных величин: P(ξ = = P(ξ = = +, P(ξ = =? Решение. Да, так как дисперсии D ξ = Mξ = ограничены в совокупности. Задача. Пусть Mξ =. Доказать, что M ξ (Dξ + 5

6 Решение. Mξ =, значит, Dξ = Mξ. Надо доказать, что M ξ M(ξ +, то есть M(ξ ξ + - правда, так как мат. ожидание неотрицательной величины неотрицательно. Задача. Дана {ξ } i= - последовательность независимых случайных величин, Mξ i =, Dξ i < K i N Доказать, что A = M ξ i ограничены в совокупности. Решение. Обозначим η = ξ +...+ξ Dξ +...+Dξ K i= Так как Mη =, то M η Dη+. Кроме того, Dη = = K. Значит, A = M η K+ Задача. Пусть ξ,...,ξ - независимые одинаково распределенные случайные величины, η = ξ ξ. При этом Mξ i = и Dξ i. Также дано, что lim P(η > =. Найти Dξ 3 i и доказать, что a, b < lim P(η [a, b] = Решение. Обозначим σ = Dξ i. Применим ЦПТ: = lim P(η 3 > = lim P( η σ > = lim η P( σ σ < = σ /σ /σ e t dt = = e t dt = Φ (/σ. ( Таким образом, Dξ i = σ = Применим ЦПТ: Φ (/6. Посмотрим на второе утверждение: a η b a P( σ η σ b σ a σ η σ b/(σ a/(σ b σ e t dt,. Задача 3. Дана производящая функция Φ. Найти характеристическую. Решение. По определению, Задача 4. Доказать, что f(t = Me itξ = P(ξ = ke itk = k= p (xdx = π f(t dt ( e it k = Φ(e it Решение. Рассмотрим независимые случайные величины ξ, ξ с плотностью p. Тогда характеристическая функция их разности будет в точности f ξ ξ (t = f ξ (t. По формуле свёртки p ξ ξ (x = p(t xp(tdt, так как p ξ (x = p ξ ( x Запишем формулу обращения: p ξ ξ (x = π k= e itx f(t dt. Приравниваем правые части из обоих формул, подставляем x =, получаем требуемое утверждение. 6

7 Задача 5. Пусть (ξ ξ P. Доказать, что ξ P ξ Решение. Докажем, что ξ P ξ. Действительно, P( ξ ξ > ε = P((ξ ξ > ε при. Теперь докажем, что из ξ P ξ следует ξ P ξ : P( ξ ξ > ε = P( ξ ξ > ε, ξ > C + P( ξ ξ > ε, ξ C, ξ C+ P( ξ ξ > ε, ξ C, ξ > C P( ξ > C + P( ξ ξ > ε C + P( ξ ξ > Сначала выберем C так, чтобы первое слагаемое стало маленьким. Потом выберем N так, что при > N второе и третье слагаемое тоже стали малы. Задача 6. Пусть b > a >, Φ - производящая функция. Доказать, что Решение. По определению, z b a z u a Φ(ududz = k= M (ξ + a(ξ + b = z b a z p k z b a z z z b a u a p k u k dudz = k= u k+a dudz = k= k= u a Φ(ududz p k p k b a zk+a z dz = k+a z b+k k+a dz = k= p k (k+a(k+b = M (k+a(k+b Задача 7. Пусть ξ i - независимые одинаково распределенные случайные величины, Mξ i = a, Dξ i = σ. Доказать, что последовательность ξ +...+ξ сходится и найти к чему. ξ +...+ξ a Решение. Эта последовательность сходится к Действительно, a +σ Mξ i = M ξ i + Dξ i = a + σ. Еще заметим, что ξ ξ ξ ξ = ξ ξ. ξ ξ Но первая из дробей, согласно ЗБЧ, сходится к a, а последовательность, обратная второй - к a +σ. Осталось доказать, что предел частного есть частное пределов для сходимости по вероятности. Задача 8. Пусть ξ i - н.о.р.с.в., у которых Mξ i =, Dξ i =. Доказать, что величина η = (ξ +...+ξ асимптотически нормально распределенная ξ +...+ξ Решение. Заметим, что по ЦПТ ξ +...+ξ сходится к нормальному распределению, а ξ +...+ξ по ЗБЧ сходится к своему мат. ожиданию, в нашем случае к. Теперь надо правильно сказать, что частное последовательностей сходится к частному пределов. Задача 9. Доказать, что ξ - геометрически распределенная случайная величина тогда и только тогда когда P(ξ = + k ξ k = P(ξ =. Верен и более общий факт, который, кстати, и доказывается более изящно. Именно, если ξ i P ξ, a f непрерывна, то f(ξ i P f(ξ. Доказательство смотри М.И.Дьяченко, П.Л.Ульянов. Мера и интеграл, стр

8 Решение. Посчитаем для геометрического распределения P(ξ = + k ξ k: P(ξ = + k ξ k = P(ξ = + k, ξ k P(ξ k Если ξ геометрически распределена, то P(ξ = k = ( qq k, отсюда P(ξ k = i=k P(ξ = i = ( qq k ( + q + q +... = ( q qk q = qk Числитель: P(ξ = + k, ξ k = P(ξ = + k, + k k = P(ξ = + k, = P(ξ = + k = ( qq +k Значит, P(ξ = + k ξ k = ( qq+k q k = ( qq = P(ξ = Заметим, что для < числитель будет, как и P(ξ =. В одну сторону доказали. Теперь докажем, что это свойство и число p = q = P(ξ = однозначно Задает распределение ξ. Действительно, при < числитель нулевой, значит, P(ξ < =. Подставляя = в свойство, получим: значит, p = P(ξ = = P(ξ = k ξ k = P(ξ = k, ξ k P(ξ k P(ξ = k = p P(ξ k = p( P(ξ < k = P(ξ = k P(ξ k Зная, что P(ξ < =, P(ξ = = p и подставляя в это соотношение k =,,... можно найти все вероятности, то есть распределение определено однозначно. Одно такое мы знаем - геометрическое, значит, это оно и есть. Задача 3. Найти свёртку двух нормальных распределений с параметрами (a, σ и (a, σ Решение. Нормальное распределение с произвольными параметрами η N(a, σ может быть представлено в виде η = σξ + a, ξ N(,. Характеристическая функция нормального распределения f ξ (t = e t. Кроме того, f bξ+a = e ita f ξ (bt Значит, f η = f σξ+a = e ita e σ t. Нашли характеристическую функцию нормального распределения с параметрами (a, σ. Теперь задача. Пусть ξ N(a, σ, ξ N(a, σ. Тогда f ξ +ξ (t = f ξ (tf ξ (t = e ita e σ t e ita e σ t = e it(a +a e (σ +σ t Значит, ξ + ξ N(a + a, σ + σ Задача 3. Найти свёртку двух равномерно распределённых на отрезках [A, B] и [C, D] случайных величин. Решение. Надо найти распределение суммы. Другими словами, надо найти, какую часть площади прямоугольника с углами (A, C и (B, D лежит в полуплоскости x + y α. Из геометрии очевидно, что при α < A + C эта площадь равна нулю, при α (A + C, A + D происходит квадратичный рост, при α (A+D, C +B - линейный рост, при α (C +B, B +D - опять квадратичный 8

9 рост, а при α > B + D доля площади равна единице. Таким образом, плотность сначала равна нулю, потом линейно растёт, потом константа, потом линейно убывает, потом опять ноль. Задача 3. Являются ли si x, cos x и cos x характеристическими функциями? Решение. si x не является, так как si =. cosx выражается через e ix и e ix через формулы Эйлера: { e ix = cosx + i si x e ix = cosx i si x То есть, cos t = /(e it + e it, что соответствует характеристической функции дискретного распределения ξ : P(ξ = = P(ξ = = / cosx в окрестности нуля совпадает с просто косинусом и имеет в нуле вторую производную, а значит, если это характеристическая функция какой-то случайной величины, то у этой с.в. должен быть момент второго порядка, но если есть момент k-того порядка, то у характеристической функции всюду существует k-тая производная, но у cosx нет производных в точках π + π. Противоречие. Задача 33. Является ли функция { t f(t =, t ;,иначе. характеристической, если да, то для какого распределения? Решение. Не является, так как имеет вторую производную в нуле, но не имеет производной в точках ± Задача 34. Является ли e t4 характеристической функцией? Решение. Не является. Кратко - по теореме Марцинкевича (если х.ф. представляется в виде экспонента в степени многочлен, то такой многочлен не может быть степени больше. Строго: При разложении в ряд e t4 первый член, содержащий t будет иметь степень 4. Это значит, что в нуле у нашей функции первая и вторая (и третья производные равны. Но мы знаем, что f (k ( = i k α k, то есть, у нашей предполагаемой с.в. первый и второй моменты нулевые. Это значит, что мат. ожидание Mξ = α и дисперсия Dξ = α α равны. Значит, P(ξ = cost =, но у константы х.ф. eitc, противоречие. Задача 35. Пусть a k =, будет ли a k cos kt характеристической функцией? k= Решение. Рассмотрим ξ: Тогда f ξ = k= a k e itk +e itk = k= k= ( a a a... a a... a k cos kt. Задача 36. Пусть f(t - характеристическая функция. Является ли Re f(t характеристической функцией (а если да, то какого распределения? Ответ: Да, является. (Указание: Re f(t = f(t+f( t. Задача 37. Найти распределение суммы пуассоновских случайных величин через производящие функции 9

10 Решение. Производящая функция для пуассоновского распределения с параметром λ: ξ Π(λ, Φ ξ (x = k= e λxk λ k k! = e λ (λx k k! k= = e λ e λx = e λ(x Таким образом, если ξ Π(λ, ξ Π(λ, то Φ ξ +ξ (x = Φ ξ (xφ ξ (x = e λ (x e λ (x = e (x (λ +λ = Φ Π(λ +λ То есть Π(λ + Π(λ Π(λ + λ Задача 38. Пусть ξ P. Доказать, что ξ, такого, что ξ независимо с любым ξ, выполнено ξξ P. Решение. Пусть ε >, тогда P( ξ ξ ε = P( ξ ε P( ξ > +P( εp( ξ = = P( ξ ξ ε P( ξ < C + P( ξ C ε P( ξ C. Тогда δ > C > : P( ξ C ε ξ тогда N > : > N выполнено P( ξ ε C P( ξ < C < δ = δ. Значит, ξ Задача 39. Пусть ξ d ξ, верно ли, что ξ ξ d? Ответ: Не верно. Задача 4. Пусть xi - н.о.р.с.в., η = ξ +...+ξ и p ξ = cos x Задача 4. Пусть xi - н.о.р.с.в. Доказать, что k : M Задача 4. Доказать формулу Байеса. ξ d πx (? ξ +...+ξ k ξ +...+ξ = k P( ξ C < δ = δ, P. Задача 43. Доказать интегральную теорему Муавра-Лапласа (без использования ЦПТ. Задача 44. Доказать эквивалентность сходимости ξ d i ξ и сходимости их производящих функций. Задача 45. Доказать ЗБЧ (в простой форме. Задача 46. Доказать ЦПТ (в простой форме. Решения смотри учебник Севастьянова. Задача 47. Доказать,что мощность σ-алгебры не может равняться 3. Решение. У всякой конечной σ-алгебры есть порождающее множество,т.е. множество таких элементов a i, что ω из σ-алгебры пересечение a i и ω равно либо a i, либо, и при этом a i = Ω. Такое множество можно построить: взять элемент A из σ-алгебры, потом взять B и, если A и B пересекаются, то оставить вместо них A \ B, B \ A и A B. Затем берём элемент C и продолжаем данную процедуру. Она оборвётся на некотором шаге в силу конечности алгебры. В итоге получится порождающее множество мощности. Но тогда можно установить биекцию между - битными словами и элементами σ-алгебры по следующему принципу: на i-ая буква есть, если a i ω, и в противном случае. Так как таких слов, то и мощность σ-алгебры есть. Задача 48. Доказать,что мощность σ-алгебры не может быть счётной. Решение. Пусть σ-алгебра счётна, тогда можно построить счётную последовательность непустых непересекающихся её элементов таким образом: возьмём A Ω за первый элемент и Ā за второй. Очевидно, что они не пересекаются, и хотя бы один из них можно опять поделить (иначе σ- алгебра была бы конечной. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока не получим ℵ непустых непересекающихся элементов. Но любое счётное объединение элементов из неё будет принадлежать σ-алгебре а если брать объединения различных элементов, то получать будем так же разные. Т.о. в σ-алгебре присутствуют как минимум ℵ = c элементов. Задача 49. ξ >, Mξ. Доказать,что MξM. ξ

11 Решение. Нужно доказать, что MξM.Посмотрим на это выражение, как на дискриминант некоторого квадратного ξ уравнения: D Mξx x + 4 M ( ξ M ξ (4x ξ 4xξ + M (xξ + ξ, что верно при любых x, так как это математическое ожидание неотрицательной функции. Задача 5. ξ i последовательность независимых неотрицательных целочисленных одинаково распределённых случайных величин, ν независимая с ними неотрицательная целочисленная случайная величина. Найти Φ ξ +...+ξ ν. Решение. Φ ξ +...+ξ ν = Mx ξ +...+ξ ν = x k P(ξ ξ ν = k = x k P(ξ ξ m = k ν = m = m= k= k= k= m= x k P(ξ ξ m = kp(ν = m = (Φ ξ (x m P(ν = m = Φ ν (Φ ξ (x m= Задача 5. Доказать, что если ξ и η независимы, то ρ (коэффициент корреляции равен нулю, но обратное не всегда верно. Решение. Если ξ и η независимы, то cov(ξ, η = Mξη MξMη =,а значит и ρ=. Рассмотрим величину ξ, принимающие значения, π и π с равными вероятностями, и величины si ξ и cosξ. = P(cosξ =, si ξ = P(cosξ = P(siξ = =, значит величины зависимы.при 9 этом cov(cosξ, siξ = M cosξ si ξ M cos ξm si ξ = M si ξ =. Задача 5. Доказать, что ρ(ξ, η = η = aξ + b. Решение. То, что ρ(ξ, η следует из неравенства Коши-Буняковского M ξη Mξ Mη. Вспомним, как мы его доказывали: M(ξ + λη неотрицательно как мат. ожидание неотрицательной случайной величины, притом равенство нулю достигается тогда, когда эта случайная величина с вероятностью является константой. С другой стороны, M(ξ + λη = Mξ + λmξη + λ Mη Это означает, что дискриминант квадратного уравнения на λ меньше либо равен нулю, что и даёт нам неравенство Коши-Буняковского. Пусть он равен нулю (как раз в этом случае ρ(ξ, η =, это значит, что существует такое λ, что M(ξ + λη =, откуда заключаем, что с вероятностью выполнено ξ = λη Задача 53. Про производящую функцию Φ ξ (x известно, что Φ ξ ( =. Найти распределение ξ. Решение. Φ ξ ( = Φ ξ ( lim = lim Φ ξ ( =, значит p =.Выпишем два равенства: k= k= kp k = p + p + 4 p +... = kp k = p + 4 p + 6 p +... = 4 Домножим второе равенство на и вычтем из первого, помня, что p = : p +... = Все p i и коэффициенты перед ними неотрицательны, значит все p i, кроме p, равны. Отсюда p =.

12 Задача 54. Является ли функция Φ(x = e ch x производящей, и если да, то какого распределения? e + Решение. Нужно проверить, чтобы в точке x = функция равнялась единице и чтобы все её производные в нуле были неотрицательны. Первое условие выполнено. Φ + (x = e sh x, e + Φ (x = Φ(x. В нуле чётные производные равны e, а нечётные равны. Таким образом, e + p + =, p = e (e + (!. Задача 55. Верно ли, что сходимость почти всюду равносильна сходимости по вероятности? Решение. Из сходимости почти всюду следует сходимость по вероятности, обратное неверно. Задача 56. Известно, что ξ P ξ, ξ P η. Доказать, что P(ξ = η =. Задача 57. Известно, что ξ P,η P η. Доказать, что ξ η P. Задача 58. Пусть ξ i - независимые одинаково распределённые случайные величины, с характеристической функцией { t, t < ; f ξi (t =, t. найти ξ +...+ξ d? Решение. Обозначим η = ξ +...+ξ отсюда получаем:. Найдём f η (t: f η (t = (f ξ (t = (f ξ ( t = ( t lim f η (t = e t Задача 59. Про события A и B известно, что P(A = P(B =. Доказать, что P(AB = P(Ā B Решение. Напомню обозначения для событий-множеств: A B = A + B, A B = AB. Теперь, имея на руках тождество P(A + B = P(A + P(B P(AB и правило де Моргана A + B = Ā B, подгоним искомое равенство: ( P(AB = P(A + P(B P(A + B = P A + B = P(Ā B = ( P(Ā B = P(Ā B. Задача 6. Известно, что ξ d ξ. Верно ли: а i Mξ i Mξ б Mξ Mξ i, начиная с некоторого номера в Mξ i, Mξ Mξ i Mξ

13 Решение. Ничего не верно. Приводим контрпримеры: а Возьмем η - последовательность Коши, а { η, η [, ] ξ = иначе Вроде это называется обрезкой. Получаем ξ d i η = ξ. Из-за того, что плотность у распределения Коши симметрична относительно, а интеграл по конечной области можно взять, то i Mξ i =, но, как мы знаем, Mξ б Опять с Коши. Возьмем {, η [, ] ξ = η иначе Тогда предельная последовательность будет всюду и мат. ожидание у нее, но у любой ξ i мат. ожидания нет, так как у нее остались от Коши «хвосты» на бесконечности, которые, домноженные на x, дают расходящийся интеграл. в Было на лекции скорее всего. Возьмем дискретную с.в.: ξ ( Она опять же стремится к константе с мат. ожиданием. Но Mξ = + = Задача 6. Найти коэффициент корреляции между числом выпадения единиц и числом выпадения шестёрок при бросании кубика раз Решение. Рассмотрим случайные величины ξ i =числу выпадения грани i. Очевидно, что они распределены одинаковы и по сути нет разницы между ξ и ξ 6. Так же ясно,что при бросании кубика раз выпадет граней (-константа. Таким образом получаем: = D( = D(ξ + + ξ 6 = Dξ + + Dξ 6 + cov(ξ i, ξ j = 6Dξ + C6 cov(ξ, ξ 6, i<j6 отсюда следует,что ρ(ξ, ξ 6 = cov(ξ,ξ 6 Dξ Dξ6 = cov(ξ,ξ 6 Dξ =. 5 Задача 6. Доказать, что если ξ, η имеют совместное нормальное распределение (вектор (ξ, η T нормально распределен и их ковариация равна нулю, то ξ и η независимы. Задача 63. Двумерная случайная величина (ξ, η равномерно распределена на прямоугольнике. Что можно сказать о зависимости ξ и η? Ответ: Независимы. Задача 64. Двумерная случайная величина (ξ, η равномерно распределена на круге. Что можно сказать о зависимости ξ и η? Ответ: Зависимы. 3

ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. 1. Неравенства Чебышева

ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. 1. Неравенства Чебышева ГЛАВА 4 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ Неравенства Чебышева Доказательство теоремы Чебышева основывается на неравенстве Чебышева Докажем это неравенство Неравенство Чебышева Вероятность того что отклонение (СВ) ξ

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1 ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1 1. Доказать лемму о баллотировке. Комментарий. Важно показать, что выбор вероятностного пространства (в виде функций, описывающих исходы) позволяет легко применить

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Числовые характеристики нормального распределения

Числовые характеристики нормального распределения Числовые характеристики нормального распределения X Если случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами a и, то математическое ожидание совпадает с параметром, дисперсия с M X a, D

Подробнее

Ряды Тейлора и Лорана

Ряды Тейлора и Лорана Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости

Подробнее

Комментарии к теме «Характеристические функции»

Комментарии к теме «Характеристические функции» Комментарии к теме «Характеристические функции» Практические занятия по теории вероятностей, 322 гр., СМ, 2013 г. В. В. Некруткин 1 Определение и основные свойства Сначала сделаем следующее замечание.

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

Глава 3. Случайные величины (продолжение).

Глава 3. Случайные величины (продолжение). Глава 3 Случайные величины (продолжение) Основные распределения случайных величин Основные распределения дискретных случайных величин Биномиальный закон распределения Ряд распределения Функция распределения

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

Доказать, что для и для любой случайной величины с конечным математическим ожиданием.

Доказать, что для и для любой случайной величины с конечным математическим ожиданием. Стр 1 из 12 Задача 1 Доказать, что для и для любой случайной величины с конечным математическим ожиданием из учебника: Королев ВЮ «Теория вероятностей и математическая статистика»(стр 43) Докажем, что

Подробнее

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» /009г ИУ-5,7 курс, 4 семестр 1. Случайные события. Операции над событиями. Определения случайного

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

1. A2. a A a A3.длялюбойсчетнойпоследовательностиa n. P A H k. позволяет найти

1. A2. a A a A3.длялюбойсчетнойпоследовательностиa n. P A H k. позволяет найти Теория вероятностей Учебно-методическое пособие для сдачи зачета по курсу 3 семестра. Данное пособие представляет собой план ответа для зачета у Матвеева В.Ф. (201,202 группы). Приведены в сжатой форме

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2016 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. Основы теории множеств, аксиоматические свойства вероятности и следствия из них. 1. Записать свойства ассоциативности

Подробнее

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовые характеристики дискретных случайных величин 1 Числовые характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание Expected Value (i.e. Mean) - характеризует среднее весовое значение случайной величины с учётом вероятности появлений значений

Подробнее

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13 ЧАСТЬ 7 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 3 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: доказать неравенство Чебышева; сформулировать и доказать закон больших чисел и

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

2. Метрические пространства

2. Метрические пространства 2 2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых

Подробнее

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме.

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

Подробнее

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики УДК 57. Теория вероятностей: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск, 0. 4 с. (Заочная форма обучения/

Подробнее

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение ГЛАВА СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Биномиальное распределение Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли Определение Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами

Подробнее

Лекция 7 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. . Производящей функцией для случайной величины X называется функция вида

Лекция 7 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. . Производящей функцией для случайной величины X называется функция вида Лекция 7 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить производящую функцию и вычислить параметры биномиального, пуассоновского, геометрического и гипергеометрического распределений;

Подробнее

Задачи по курсу Теория вероятностей

Задачи по курсу Теория вероятностей Задачи по курсу Теория вероятностей лектор к.ф.-м.н. Родионов И.В. осень 2015 г. 1. Системы множеств. Классическое вероятностное пространство. 1 Из n-элементного подмножества случайным образом выбирается

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНТЕРНЕТ-ЭКЗАМЕН В СФЕРЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНТЕРНЕТ-ЭКЗАМЕН В СФЕРЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНТЕРНЕТ-ЭКЗАМЕН В СФЕРЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ Издательство Казанского государственного университета 8 УДК 785: Х65 Печатается по решению

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

A.В. Браилов П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 3

A.В. Браилов П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 3 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» ФИНАКАДЕМИЯ Кафедра «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

Контрольная работа 1.

Контрольная работа 1. Контрольная работа...4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку. 4 y y y y y y 4 y y y 4 4 Это уравнение Бернулли. Сделаем замену: y y y 4 4 4 z y ; z y y Тогда

Подробнее

Контрольная работа 1. Вариант 1.

Контрольная работа 1. Вариант 1. Контрольная работа 1. Вариант 1. 1. Пусть ξ 1 и ξ 2 независимые бернуллиевские случайные величины, принимающие значение 1 с вероятностью p > 0 и значение 0 c вероятностью 1 p. Пусть новая случайная величина

Подробнее

Функции многих переменных

Функции многих переменных Функции многих переменных Задача 7 Найти все производные второго порядка функции f ( x, y) : f ( x, y) y x Искомые производные: Задача 9 Найти полный дифференциал и градиент функции А: 3 4 f ( x, y) ln

Подробнее

Примеры распределений дискретных случайных величин

Примеры распределений дискретных случайных величин Примеры распределений дискретных случайных величин 1 Биномиальное распределение = μ ( ) Рассмотрим случайную величину равную числу появлений события A в серии n независимых испытаний. Распределение вероятностей

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Математический анализ (v2.0)

Математический анализ (v2.0) Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a +... + a

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции.

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции. Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Интеграл Лебега, конечно, строиться не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки (, µ,µ ) мы будем

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра теории вероятностей и математической статистики ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Методические указания и упражнения

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург,

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

16. Формула Тейлора (продолжение)

16. Формула Тейлора (продолжение) 6. Формула Тейлора (продолжение Докажем единственность представления из теоремы 5.7. Предложение 6.. Пусть f : (p; q R функция класса C n, и пусть a (p; q. Предположим, что f(x = c 0 + c (x a + : : : +

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1 Многомерная случайная величина X = (X 1,X 2,,X n ) это совокупность случайных величин X i (i =1,2,,n), заданных на одном и том же вероятностном пространстве Ω. Закон распределения

Подробнее

n ) 1 n 1 n P-lim j=1 n n lim D( 1 2 n ξ j ) = 1 1 k n

n ) 1 n 1 n P-lim j=1 n n lim D( 1 2 n ξ j ) = 1 1 k n Колодий А.М., Колодий Н.А. Лекции по теории вероятностей для студентов специальности «Математическое обе6спечение и администрирование информационных систем» 4. Предельные теоремы 4.. Закон больших чисел.

Подробнее

22. Связность; полнота

22. Связность; полнота 22. Связность; полнота Эта лекция посвящена двум слабо связанным между собой темам из «абстрактной топологии» (по возможности, с конкретными приложениями). 22.1. Связность Предложение-определение 22.1.

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Комментарии к теме Распределения случайных векторов

Комментарии к теме Распределения случайных векторов Комментарии к теме Распределения случайных векторов Практические занятия по теории вероятностей, 322 гр., СМ В. В. Некруткин, 2012 1 Случайные вектора и их распределения Многие свойства случайных векторов

Подробнее

Тогда найдем вероятность того, что исправных линий будет не меньше двух (хотя бы две), по формуле:

Тогда найдем вероятность того, что исправных линий будет не меньше двух (хотя бы две), по формуле: Контрольная работа по курсу Теория вероятностей Вариант Задача (текст ): вероятность появления поломок на каждой из k соединительных линий равна p.. Какова вероятность того, что хотя бы две линии исправны?

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

ТЕОРЕМА I. Если функция f измерима на E, а функция g борелевская, то композиция g f является измеримой на Е функцией.

ТЕОРЕМА I. Если функция f измерима на E, а функция g борелевская, то композиция g f является измеримой на Е функцией. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть -аддитивная мера, определенная на -алгебре подмножеств множества X. Мы будем предполагать, что мера является

Подробнее

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция.

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция. Оглавление ГЛАВА 3 продолжение. Функции случайных величин. Характеристическая функция... Функция одного случайного аргумента.... Основные числовые характеристики функции случайного аргумента.... Плотность

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Введение в теорию вероятностей

Введение в теорию вероятностей Введение в теорию вероятностей Лектор Артем Павлович Ковалевский 1. Дискретная вероятностная модель. Предмет теории вероятностей. Определение дискретной вероятностной модели. Классическое определение вероятности.

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ 1. Простейшие свойства метрических пространств Свойство 1. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств 1) Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по каждому из аргументов.

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения 53 Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины. 4.. Равномерный закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на промежутке

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R 2 1. Необходимость расширения понятия интеграла Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) задана на собственном отрезке [a, b]. Определим

Подробнее

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Разложите на множители: 3 11 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) b 3 + 1 Найдите числа A, B, C, при которых справедливо

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Теория меры, лекция 4: мера Лебега

Теория меры, лекция 4: мера Лебега Теория меры, лекция 4: мера Лебега Миша Вербицкий 14 марта 2015 НМУ 1 Булевы кольца (повторение) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Булево кольцо есть кольцо, все элементы которого - идемпотенты. ЗАМЕЧАНИЕ: В булевом кольце

Подробнее

СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина

СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина УДК 57. Теория вероятностей и математическая статистика: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск,

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

Схема независимых испытаний. Повторные испытания Бернулли

Схема независимых испытаний. Повторные испытания Бернулли Схема независимых испытаний Повторные испытания Бернулли 1 Схема независимых испытаний Предположим, что производятся независимые испытания, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью

Подробнее

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 8-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Исследовать следующие ряды на равномерную сходимость с помощью определения: Д 767

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2 ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по совокупности аргументов.

Подробнее

Подставим эти выражения в последние две системы, и после преобразований уравнения несколько упростятся:

Подставим эти выражения в последние две системы, и после преобразований уравнения несколько упростятся: Запишем приращения функций χ ψ вдоль направления, определённого дифференциалами dx и dy: χ χ dx dy = dχ dy ϕ ϕ dx dy = dϕ y Введём новые функции и следующим образом: = χ ϕ, = χ ϕ. Тогда ϕ = ( ), χ = (

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

cos t = Re(e it ); sin t = Im(e it ): cos x = 1 x2 2! + x 4 4! x 6 7 sin x = x x3 3! + x 5! x n E n) = cos x; n E n) = sin x: cos x = lim

cos t = Re(e it ); sin t = Im(e it ): cos x = 1 x2 2! + x 4 4! x 6 7 sin x = x x3 3! + x 5! x n E n) = cos x; n E n) = sin x: cos x = lim 4. Тригонометрия Теперь все готово для того, чтобы дать строгие определения тригонометрических функций. На первый взгляд они, видимо, покажутся довольно странными; тем не менее мы покажем, что определенные

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

2. СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ ПО ПРЯМОЙ

2. СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ ПО ПРЯМОЙ . СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ ПО ПРЯМОЙ Рассмотрим простейшую математическую модель случайного блуждания. Пусть точечная частица может совершать только один тип движений: в дискретные моменты времени t 0, t 1,...

Подробнее

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти радиус сходимости степенного ряда, используя признак Даламбера: ( 89 ( ) n n (n!) ) p (n + )! n= Ряд Тейлора f(x)

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Пример решения варианта контрольной работы 1.

Пример решения варианта контрольной работы 1. Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя: ) Если в определителе все элементы какой-либо

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)) *, где

Подробнее

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л.Чебышева. Закон больших чисел для последовательности

Подробнее

Теоретические вопросы.

Теоретические вопросы. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра высшей математики. Дисциплина Математика Специальность 160505. Курс 2. Осенний семестр 2012 года Теоретические вопросы. РАЗДЕЛ

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее