Задачи описания пространства, сопряженного к гильбертовым пространствам с воспроизводящим ядром, и некоторые приложения

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Задачи описания пространства, сопряженного к гильбертовым пространствам с воспроизводящим ядром, и некоторые приложения"

Транскрипт

1 Институт математики с вычислительным центром - обособленное структурное подразделение Федерального государственного бюджетного научного учреждения Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук На правах рукописи Напалков Валерий Валентинович Задачи описания пространства, сопряженного к гильбертовым пространствам с воспроизводящим ядром, и некоторые приложения вещественный, комплексный и функциональный анализ ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Уфа 208

2 Содержание Введение Обзор литературы Глава. Описание сопряженного пространства к радиально весовому пространству Бергмана в терминах преобразования Фурье Лапласа Постановка задачи Вспомогательные леммы и формулировка основной теоремы Доказательство теоремы Контрпример Глава 2. Описание сопряженного пространства к пространству Бергмана в терминах преобразования Гильберта Вспомогательные сведения и постановка задачи Основные результаты Пример из теории однолистных функций Глава 3. Ортоподобные системы разложения Ортоподобные системы разложения в гильбертовых пространствах с воспроизводящим ядром Эквивалентность двух определений ортоподобной системы разложения Ортоподобная система разложения полностью определяет гильбертово пространство с воспроизводящим ядром Глава 4. Ортоподобные системы разложения в весовых про 2

3 странствах Бергмана. Примеры ортоподобных систем разложения Весовые пространства Бергмана Основные результаты Пример Ортоподобные системы разложения в пространстве Баргмана Фока и других гильбертовых пространствах целых функций Пространство Баргмана Фока и операторы умножения Примеры ортоподобных систем разложения Глава 5. Ортоподобные нормированные системы разложения Постановка задачи Формулировка основного результата и вспомогательные утверждения Доказательство теоремы Глава 6. Свойства гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром, в которых есть заданные ортоподобные системы Определения и вспомогательные результаты Условия, при которых два гильбертовых пространства с воспроизводящим ядром совпадают Условия эквивалентности двух гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром Унитарные операторы в гильбертовых пространствах, имеющих ортоподобные системы разложения Литература

4 Введение Актуальность работы. Для решения различных задач в пространствах аналитических функций (вопросы полноты систем аналитических функций, задача разложения функций в ряды экспонент и более общих систем функций, решения некоторых классов функциональных уравнений и др.) используется метод перехода в сопряженное пространство, где двойственная задача чаще решается проще. Чтобы использовать такой метод необходимо найти удачное описание пространства линейных непрерывных функционалов на данном пространстве аналитических функций. Например, задача о полноте, минимальности, и базисности системы экспонент в некотором пространстве функций H, требует решения интерполяционной задачи в некотором гильбертовом пространстве целых функций H *. Для решения этой задачи необходимо найти описание пространства H *. А именно: ) нужно знать запас целых функций, входящих в H *, 2) иметь явные выражения для нормы, задающей топологию H *. Вопросу описания сопряженных пространств к различным пространствам аналитических функций и применению этих описаний посвящены работы многих математиков. Этим занимались Б.Я. Левин, Ю.И. Любарский, Б.А. Державец, В.В. Напалков, О.В. Епифанов, Р.С.Юлмухаметов, G. Köthe, G. Polya,A.P. Calderon, L. Branges, T.G. Gencev, S. Saitoh, B.A.Taylor и другие математики. Одним из важных применений описания сопряженного пространства является задача представления аналитических функций рядами экспонент. Эта задача исследовалась А.Ф. Леонтьевым, Б.Я. Левиным, Ю.Ф. Коробейником, В.К Дзядыком, В.В. Напалковым, А.М. Седлецким, Ю.И. Любарским, Ю. И. Мельником, Р.С. Юлмухаметовым, А.С. Кривошеевым и другими математиками. Отметим, что с этой тематикой тесно связан вопрос о полноте, 4

5 минимальности, и базисности систем экспонент и других систем функций в различных пространствах. Эти вопросами занимались Б.Я. Левин, А. М. Седлецкий, Н.К. Никольский, Б.С. Павлов, С.В. Хрущев, В.П. Хавин, С.В. Кисляков, Н.А. Широков, K. Seip, Ю.И Любарский, Р.С. Юлмухаметов, Б. Н. Хабибуллин, Ю.С. Белов, А.Д. Баранов, А.А. Боричев и другие математики. Анализ исследований по данной проблематике показывает, что указанные выше задачи наиболее сложно решаются в пространствах аналитических функций с жесткой топологией, например, в нормированных, или гильбертовых пространствах. По этой причине, в таких пространствах, указанные выше задачи не изучены так полно, как в пространствах аналитических функций, в которых топология задана счетным набором норм ( мягкая топология), например, пространствах H(G). Сформулируем задачу, изучаемую в диссертации, в общем виде. Пусть X функциональное топологическое пространство аналитических функций в области G C. Термин функциональное означает, что функционал δ z : f f(z), заданный на X, является линейным и непрерывным для любого z G. Через X * обозначим совокупность линейных и непрерывных функционалов над X. Во многих задачах возникает необходимость иметь более полную информацию о X *. Эту информацию можно получить, изучая различные представления X *. Для представления X * можно использовать любую полную систему F = {f α } α A, где A множество индексов. Обозначим через L F следующий оператор: каждому S X * ставится в соответствие функция: S(f α ) : A C. Из полноты системы F и теоремы Банаха следует инъективность отображения L F : X * C A, где C A множество комплекснозначных функций от переменного α A. Для эффективного использования такого представления 5

6 линейных и непрерывных функционалов на X необходимо решить две задачи:. Определить образ IL F. 2. Описать топологию в образе, наведенную сильной топологией сопряженного к X. В качестве примеров можно рассмотреть:. В качестве F возьмем { z ξ, ξ C G}. Как правило полнота этой системы имеет место. В этом случае L F преобразование Коши. Очень просто выясняется, что IL F лежит в H 0 (C G). Более детальные результаты получены в [], [2],[3],[4], [5]. 2. G выпуклая ограниченная область, система F = {exp(λz), λ C} полна в X. L F в этом случае называется преобразованием Фурье-Лапласа функционала из X *. В этом случае IL F H(C). Для пространства X = H(G) эта задача исследовалась Полиа (см., например, [6]). Для пространств аналитических в G функций, имеющих определенный рост вблизи границы см. работы [7],[8],[9]. 3. G = {z C : z < }, F = {z n, n N}. В этом случае IL F пространство последовательностей. Классическая теорема Пэли Винера является примером решения задачи описания сопряженного пространства для пространства L 2 (, ) в терминах преобразования Фурье Лапласа. Эта теорема нашла применение во многих областях математики. Это как вопросы комплексного вещественного и функционального анализа, так и прикладные вопросы математики: теория передачи информации, анализ сигналов, вейвлет анализ. Как показывают исследования, для решения многих задач комлексного анализа (задачи интерполяции, проблемы уравнений свертки и др.), необходимо решить задачу об 6

7 описании сопряженного пространства для других гильбертовых пространств аналитических функций. Цель диссертационной работы. Найти метод решения задачи описания пространства, сопряженного к гильбертову пространству аналитических функций. Решить эту задачу для некоторых конкретных гильбертовых пространств аналитических функций. Найти применение полученных результатов. Научная новизна. В первой главе диссертации приведены результаты из кандидатской диссертации автора Ряды экспонент в пространстве Бергмана, защищенной в 995 году. А именно, разработан общий метод решения задачи об описании сильно сопряженного пространства к радиально весовому пространству Бергмана в терминах преобразования Фурье Лапласа. Получен критерий, когда такое описание возможно, и построен пример радиально весового пространства Бергмана, для которого в пространстве преобразований Фурье Лапласа нельзя ввести эквивалентную интегральную норму. В первой главе докторской диссертации изложено более подробное доказательство этих результатов и приведены пояснительные рисунки. В этом состоит новизна материала первой главы. Включение в текст докторской диссертации результатов из кандидатской диссертации того же автора было необходимо для полноты изложения материала докторской диссертации. Например, результаты первой главы используются в главе 4 раздел 4.6 для построения примера весового пространства Бергмана, в котором не существует определенного класса ортоподобных систем разложения. Также, для полноты изложения материала, в тексте диссертации сделаны ссылки на более ранние работы автора. Поэтому, следуя правилам, автор не выносит на защиту результаты первой главы. Основные результаты диссертации, приведенные в остальных главах, являются новыми, и опубликованы в рецензируемых печатных изданиях 7

8 после защиты кандидатской диссертации. Выносимые на защиту основные положения диссертации состоят в следующем:. Решена задача об образе пространства Бергмана B 2 (G) в плоской области G C при двумерном преобразовании Гильберта. Дан критерий, когда этот образ совпадает с пространством Бергмана B 2 (C G). Для решения этой задачи применены результаты из теории квазиконформных отображений.тем самым, дано еще одно определение квазикруга. 2. Для решения задачи об описании пространства, сопряженного к гильбертову пространству аналитических функций, применена теория систем разложения подобных ортогональным, разработанная Т.П. Лукашенко. Задача об описании сопряженного пространства, сведена к вопросу существования в данном пространстве специальной ортоподобной системы разложения. Метод проиллюстрирован на примере весового пространства Бергмана и преобразования Гильберта. 3. Изучены ортоподобные системы разложения для гильбертова пространства с воспроизводящим ядром. Получена формула, по которой можно выписать воспроизводящее ядро пространства, зная ортоподобную систему разложения. Приведено эквивалентное исходному определение ортоподобной системы для гильбертова пространства с воспроизводящим ядром. 4. Изучена задача об описании пространства, сопряженного к гильбертову пространству с воспроизводящим ядром, в терминах преобразования относительно некоторой специальной системы функций. Получен результат, связывающий эту задачу с теорией ортоподобных систем разложения. 8

9 5. Получен критерий, когда в данном гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром, норма имеет интегральный вид. 6. Изучены нормированные ортоподобные системы в весовых пространствах Бергмана. При определенных условиях найден явный вид интегральной нормы в образе весового пространства Бергмана при двумерном преобразовании Гильберта. 7. Построены примеры ортоподобных систем разложения в различных гильбертовых пространствах аналитических функций. 8. Для определенного класса весовых гильбертовых пространств целых функций изучен вопрос, когда пространство преобразований линейных непрерывных функционалов совпадает с исходным пространством. Тем самым, для весового пространства целых функций, получен аналог известной теоремы Баргмана. Изучены операторы умножения на независимые переменные в весовом гильбертовом пространстве целых функций, заданных на C n, и найден явный вид сопряженных операторов. 9. Получен критерий, когда два гильбертовых пространства с воспроизводящим ядром, состоящие из функций, с одной и той же областью определения, совпадают или эквивалентны. Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы как для решения задач комплексного анализа: интерполяция целых функций, проблемы уравнений свертки, спектрального синтеза, теории квазиконформных отображений, так и в прикладных вопросах: теория передачи информации, анализ сигналов, теория струн. Термин гильбертовы пространства с воспроизводящим ядром эквивалентны означает, что эти пространства состоят из одних и тех же функций, и нормы этих пространств эквивалентны. 9

10 Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах:. Санкт-Петербургский городской семинар по теории операторов и теории функций, ПОМИ РАН, город Санкт-Петербург, руководитель профессор В.П. Хавин и академик РАН С.В. Кисляков. 2. Семинар Отдела математической физики Математического Института РАН им. В.А. Стеклова, город Москва, руководитель академик РАН В.С. Владимиров. 3. Семинар кафедры математического анализа механико математического факультета МГУ, город Москва, руководитель профессор Т.П. Лукашенко. 4. Семинар по теории функций и комплексному анализу, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, город Уфа, руководитель член корр. РАН В.В. Напалков. 5. Городской семинар по теории функций, Башкирский государственный университет, город Уфа, руководитель член корр. РАН В.В. Напалков. 6. Объединенный семинар Отдела теории приближения функций и Отдела аппроксимации и приложений, Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, город Екатеринбург, руководители член корр. РАН Ю.Н. Субботин и профессор Н.И. Черных. 7. Семинар по геометрической теории функций комплексного переменного, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, механико-математический факультет, город Саратов, руководитель профессор Д.В. Прохоров. 0

11 Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:. Международная конференция «Спектральная теория операторов и ее приложения», Уфа, 3-5 июня, 20 г. 2. VI Уфимская международная конференция «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения», Уфа, октября, 20 г. 3. Третья международная конференция «Математическая физика и её приложения», Самара, 27 августа 0 сентября, 202 г. 4. Международная конференция «Динамика, бифуркации и странные аттракторы», Нижний Новгород, 0 05 июля, 203 г. 5. Международная конференция «Комплексный анализ и смежные вопросы», Санкт-Петербург, 4 8 апреля, 204 г. 6. Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения», Самара, 25 августа 0 сентября, 204 г. 7. Уфимская международная математическая конференция, Уфа, сентября, 206 г. 8. Международная конференция по теории функций, г. Уфа,24 27 мая, 207 г. 9. XXVI St.Petersburg Summer Meeting in Mathematical Analysis June 25-30, 207 St. Petersburg, Russia. Публикации. Всего по материалу диссертации автором (некоторые работы с соавторами) опубликовано 9 печатных работ, из них 3 статей в рецензируемых журналах, входящих в Перечень рецензируемых научных изданий

12 ВАК [5, 0 2], статья в рецензируемом журнале, не входящем в Перечень рецензируемых научных изданий ВАК [22], 3 статьи в сборниках трудов конференций [23 25], и 2 тезиса докладов на конференциях [26, 27]. Основные положения диссертации, выносимые на защиту, опубликованы в 0 рецензируемых печатных изданиях, входящих в Перечень рецензируемых научных изданий ВАК [2 2]. Личный вклад автора. Результаты диссертации, выносимые на защиту, получены лично автором. Часть результатов диссертации, выносимых на защиту ([2, 3, 7, 2]), опубликованы в совместных работах. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. В диссертацию включены лишь те результаты, которые получены лично автором. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 6 глав и библиографии. Общий объем диссертации 22 страниц, из них 200 страниц текста, включая 6 рисунков. Библиография включает 85 наименований на 8 страницах. 2

13 Обзор литературы Хорошо известна следующая теорема Пэли Винера, (см., например, [28]) Теорема 0. (Пэли Винер) Целая функция g(z), z C представляется в виде g(z) = (e zx, f(x)) L2 (,) = e izx f(x) dx, () где f(x) некоторая функция из пространства L 2 (, ), тогда и только тогда, когда. g(z) есть целая функция экспоненциального типа 2. g(z) на вещественной оси принадлежит классу L 2 (R), т.е. g(x) 2 dx <. R Теорема 0. дает ответ на вопрос: можно ли описать пространство, сопряженное к пространству L 2 (, ) в терминах преобразования Фурье? А именно, в теореме Пэли Винера найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых целая функция имеет вид (). Теорема Пэли Винера также находит применение в задачах интерполяции целых функций. Например, с ее помощью доказывается следующая известная теорема Котельникова Шеннона (см. [29], также [30]. стр. 47), которая используется в теории передачи информации. Пусть θ > 0 положительное число. Теорема 0.2 (В.А.Котельников) Любая целая функция g(z), удовлетворяющая условиям g(x) 2 dx <, R 3

14 и g(z) Ce θ Imz, z C, где C > 0 постоянная, представляется в виде: g(x) = k= g ( ) k π sinπ(θ x πk)) θ, x R. θ x πk Для изучения различных вопросов, возникающих в комплексном анализе, например, вопросы интерполяции, задачи связанные с уравнениями свертки, необходимо решить задачу об описании сопряженного пространства для различных гильбертовых пространств. Другими словами, нужно получить обобщения теоремы Пэли Винера на другие, отличные от L 2 (, ), гильбертовы пространства. Обобщение теоремы Пэли Винера на случай пространства L 2 (D), где D ограниченная выпуклая область в R n было дано Планшерелем и Пойа в работе [3] (см. также [32], стр ). Пусть D ограниченная выпуклая область в R n, t = (t,..., t n ) D и L 2 (D) пространство, состоящее из функций класса L loc (D), для которых конечна норма f L2 (D) def = f(t) 2 dt /2. Обозначим < t, z > def = D n t k z k, z = x + iy, C n = R n x ir n y k= Следуя Планшерелю и Пойа [3], введем следующую характеристику роста целой функции g(z), z C n по различным направлениям пространства R n y переменных y,..., y n. Пусть α j угол, образованный выбранным направлением с координатной осью Oy j, j = (,..., n). Положим h g (α, x) = lim r {r ln g(x + ir cos α,..., x n + ir cos α n ) }. 4

15 Функцию h g (α) = sup h g (α, x) x R n x мы назовем P -индикатором функции g(z). Легко видеть, что семейство функций принадлежит пространству L 2 (D). {e <t,z>, t D} z C n Теорема 0.3 (Планшерель Пойа, [3]) Целая функция многих комплексных переменных g(z), z = (z,..., z n ) представляется в виде g(z) = (e <t,z>, f(t)) L2 (D) = e <t,z> f(t), dt, где f(t) некоторая функция из пространства L 2 (D), тогда и только тогда, когда. сужение функции g(z), z = x + iy, на вещественное подпространство R n x принадлежит классу L 2 (R n x), т.е. g(x) 2 dx <. D R n x 2. Для любого α = (α,..., α n ) справедливо неравенство H D (α) h f (α), где H D (α) def = sup(α x + + α n x n ) x D опорная функция области D. В работе В. И. Луценко и Р.С. Юлмухаметова [33] теорема Пэли Винера была обобщена на случай весового пространства L 2 (I, W ). Пусть L 2 (I, W ) = f Lloc 2 : f 2 def L 2 (I,W ) = f(t) 2 W (t) dt <, 5 I

16 где I ограниченный интервал вещественной оси и /W (t) измеримая функция на I. Теорема 0.4 (В.И. Луценко, Р.С. Юлмухаметов, [33]) Пусть функция W (t) выпуклая функция, ограничена снизу положительной постоянной и ограничена сверху на каждом компактном подмножестве I. Положим h(x) = sup (xt ln W (t)), t I x R сопряженная по Юнгу к функции ln W (t), и определим ρ h(x) из условия x+ρ h(x) x ρ h(x) h (x) h (t) dt. Тогда в пространстве L(I, W ) можно ввести эквивалентную норму вида g = g(x + iy) 2 e 2 h(x) ρ h(x) d h (x) dy. R R В работе В.И. Луценко [34] получено обобщение этой теоремы на случай пространства L 2 (I, W ), где I неограниченный интервал. В работах T.G. Genchev, [35], и S. Saitoh, [36], [37] получено обобщение теоремы Пэли Винера на случай трубчатых областей в C n. Пусть G область в R n и T G = R n + ig C n трубчатая область над G. Пусть Γ R n открытый выпуклый конус с вершиной в начале координат и Γ * сопряженный конус, определяемый следующим образом: n Γ * = {t R n, t k y k 0, y Γ}. k= Рассмотрим пространство Бергмана B 2 (T G ), состоящее из функций голоморфных в области T G и таких что T G f(z) 2 dv(z) <, 6

17 где v(z) плоская мера Лебега. Пусть W (t, G) def = e 2<t,x> dx В работе [35] доказан следующий результат Теорема 0.5 (T.G. Genchev) Следующие условия эквивалентны:. Функция f принадлежит пространству B 2 (T Γ ). G 2. Существует измеримая на Γ * функция g, удовлетворяющая условию Γ * g(t) 2 W (t, Γ) dt <, такая, что f(z) = Γ * e i<z,t> g(t) dt, z T Γ. S. Saitoh в работaх [36], [37] рассмотрел случай пространства Бергмана в произвольных трубчатых областях в C n и весового преобразования Фурье Лапласа. Приведем его результат. Пусть G область в R n, T G трубчатая область над в C n, и пусть ^D G = {t R n ; W (t, G) < }. Теорема 0.6 (S. Saitoh) Следующие условия эквивалентны.. Функция f представляется в виде: f(z) = g(t)e i<z,t> dt, W (t, G) ^D G z G, (2) где g некоторая функция такая, что g(t) 2 dt <. W (t, G) ^D G 7

18 2. Функция f принадлежит пространству B 2 (T G ), т.е. голоморфна на T G и f 2 B 2 (T G ) = T G f(z) 2 dv(z) <. При этом весовое преобразование Фурье Лапласа (2) устанавливает изометрию между пространством L 2 ( ^D G, /W (t)) = {g : ^D G g(t) 2 W (t, G) и пространством B 2 (T G ). Имеет место равенство f 2 B 2 (T G ) = g(t) 2 (2π) n W (t, G) dt. ^D G dt < } Пусть D область в R n, W (t) положительная выпуклая функция заданная на D. Пространство L 2 (D, W ) состоит из всех функций f L loc (D), для которых норма f L2 (D,W ) def = f(t) 2 W (t) dt D конечна. В работе [38] получен аналог теоремы Пэли Винера на случай весового пространства L 2 (D, W ). Эта теорема является обобщением известной теоремы Планшереля Пойа [3]. Теорема 0.7 (В.И. Луценко, Р.С. Юлмухаметов, [38]) Пусть g(z) def = g(t)e <t,z> W (t) dt. Следующие условия эквивалентны. D. Существует неотрицательная борелевская мера μ на C n такая, что для любых g L 2 (D, W ) выполнено соотношение c g(t) 2 W (t) dt g(z) 2 dμ(z) C g(t) 2 dt, (3) W (t) D C n D 8 /2

19 где c, C > 0 некоторые константы. 2. Существует неотрицательная борелевская мера ν на R n такая, что справедливо соотношение cw (t) R n e 2<t,x> dν(x) CW (t). (4) Константы c, C в соотношениях (3), (4) одинаковы, и dμ(x + iy) = dν(x) dy. Заметим, что если в этой теореме взять n =, D = [, ], W (t) а в качестве меры dν взять дельта функцию δ(0) с единичной массой в нуле, то мы получим классическую теорему Пэли Винера. В работе [39] введены геометрические характеристики для выпуклых функций, и приведены оценки для интегралов. Используя эти результаты, последняя теорема формулируется в другом, "более удобном"для приложений виде. Также были получены аналоги теоремы Пэли Винера для пространств аналитических функций. По видимому, первые такого рода обобщения были рассмотрены Б.Я. Левиным в книге [40] и В.Э. Кацнельсоном в работе [4] Ими была доказана следующая теорема. Пусть G выпуклый многоугольник в комплексной плоскости, и G его граница. Рассмотрим пространство Смирнова E 2 (G), которое есть класс аналитических в G функций, являющихся пределом комплексных полиномов относительно нормы f E2 (G) = f(z) 2 ds(z), E 2 (G) где ds элемент длины дуги границы. Пусть h G (θ) def = sup{re(λe iθ ), λ G}, θ [0, 2π) опорная функция выпуклой области G. 9

20 Теорема 0.8 ([40],[4]) Целая функция g(ξ) представляется в виде g(ξ) = (e ξ z, f(z)) L2 ( G) = e ξ z f(z) ds(z), где f(z) E 2 (G), тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: Пусть θ,..., θ j,..., θ n, j =,..., n есть направления нормалей к сторонам многоугольника G. Тогда для любого j =,..., n справедливо соотношение g(re iθ j ) 2 e 2rh G(θ j ) dr <, j =,..., n. 0 Каждый линейный непрерывный функционал S на E 2 (G) порождается по теореме Рисса Фишера некоторым элементом g E 2 (G) по правилу: G S(f) = (f, g) E2 (G), f E 2 (G). Заметим, что система экспонент {e ξ z, z G} ξ C полна в пространстве E 2 (G) (cм. [42]). Пусть g(ξ) def = (e ξ z, g) E2 (G), ξ C. Для пространства E 2 (G) рассмотрим пространство E 2 (G) = { g : g E 2 (G)}. В пространстве E 2 (G) рассматривается наведенная структура гильбертова пространства ( g, g 2 ) E2 (G) def = (g 2, g ) E2 (G), g, g 2 E 2 (G), g E2 (G) = g E2 (G). (5) Теорему 0.8 можно сформулировать так: 20

21 Теорема 0.9 ([40],[4]) Пусть область G выпуклый многоугольник в C. В пространстве E 2 (G) можно ввести эквивалентную исходной норму вида f n = f(re iθ k ) 2 e 2rh G(θ k) dr, (6) k= 0 т.е. существуют постоянные C, C 2 > 0 такие, что выполнены неравенства: C f E2 (G) f C 2 f E2 (G), f E 2 (G). М.К. Лихт в работе [43] рассмотрел случай, когда область G является кругом. Он доказал теорему Теорема 0.0 ([43]) Пусть область G является кругом. Тогда в пространстве E 2 (G) можно ввести эквивалентную исходной норму вида f 2π = f(re iθ ) 2 e 2rh G(θ) rdrdθ, (7) 0 0 т.е. существуют постоянные C, C 2 > 0 такие, что выполнены неравенства: C f E2 (G) f C 2 f E2 (G), f E 2 (G). Как мы видим, условие (7) существенно отличается от условия (6). Используя модификацию метода М.К. Лихта, В.Э Кацнельсон получил для случая, когда область G круг, равенство Парсеваля. А именно он доказал Теорема 0. ([4]) Пусть область G круг c центром в нуле и радиусом R. Тогда в пространстве E 2 (G) можно ввести норму вида f 2π = f(re iθ ) 2 e 2Rr ρ(r r)drdθ, (8) 0 0 2

22 которая равна исходной: f = f E2 (G). Здесь ρ(r) def = 2r e 2tr 2t + t 2 dt. 0 Ю. И. Любарский в работе [2] получил аналог теоремы Пэли Винера для пространства E 2 (G), где G ограниченная выпуклая область в C, с границей класса C 2, кривизна которой отделена от нуля и бесконечности. Он доказал теорему Теорема 0.2. Пусть G ограниченная выпуклая область в C, с границей класса C 2, кривизна которой отделена от нуля и бесконечности. Тогда в пространстве E 2 (G) можно ввести эквивалентную исходной норму вида f 2π = f(re iθ ) 2 e 2rh G(θ) rdrdθ, (9) 0 0 т.е. существуют постоянные C, C 2 > 0 такие, что выполнены неравенства: C f E2 (G) f C 2 f E2 (G), f E 2 (G). Как видно, в этом случае, эквавалентная интегральная норма (равенство 9) выглядит также, как и в случае круга (равенство 7). В работе [] В.И. Луценко и Р.С. Юлмухаметовым было получено описание пространства, сопряженного к пространству E 2 (G), в случае когда G C произвольная ограниченная выпуклая область. Ключевую роль в доказательстве играет теорема 0.4. Пусть E 2 (G) пространство Смирнова, состоящее из аналитических в области G функций, являющихся пределом комплексных полиномой относительно нормы f E2 (G) = f(z) 2 ds(z), E 2 (G) 22

23 где ds элемент длины дуги границы. Пусть E 2 (G) = { g : g(ξ) = (e ξ z, g(z)) E2 (G), g E 2 (G)}. В пространстве E 2 (G) рассматривается наведенная структура гильбертова пространства (см. 5). Пусть (см.[40]) Δ(θ) def = h (θ) + θ h(φ) dφ, θ [0, 2π). Определим функцию K(λ) def = e λz 2 E 2 (G) = G e 2Re(λz) ds(z), λ C. Теорема 0.3 ([44]) Пусть G произвольная ограниченная выпуклая область на комплексной плоскости. В пространстве E 2 (G) можно ввести эквивалентную интегральную норму вида: f 2π def = f(re iθ ) 2 drdδ(θ), (0) K(re iθ ) 0 0 т.е. существуют постоянные C, C 2 > 0 такие, что выполнены неравенства: C f E2 (G) f C 2 f E2 (G), f E 2 (G). Пусть область G многоугольник, и θ,..., θ n направления нормалей к сторонам многоугольника, тогда функция Δ(θ) имеет скачки в точках θ j, j =,..., n ([40], стр. 25.) В этом случае интеграл в равенстве (0) превращается в сумму интегралов по лучам re iθ j, r > 0 j =,..., n, 23

24 и на этих лучах функция K(r iθ ) асимптотически эквивалентна функции e 2rh(θ). Поэтому в этом случае нормы (0) и (6) эквивалентны. Если выпуклая ограниченная область G имеет границу класса C 2, кривизна которой отделена от нуля и бесконечности, то Δ (θ) C[0, 2π], 0 < Δ (θ) <, и функция K(re iθ ) при r равномерно по θ асимтотически эквивалентна функции e 2rh(θ) / r. Таким образом, в этом случае нормы (0) и (9) эквивалентны. В работе К. П. Исаева и Р.С. Юлмухаметова [44] получен аналогичный результат для пространства Бергмана B 2 (G), G произвольная ограниченная область в комплексной плоскости. Теорема 0.4. Пусть G произвольная ограниченная выпуклая область на комплексной плоскости, и K(λ) = e λz B2 (G) = f(z) 2 dv(z), λ C, G где v(z) плоская мера Лебега. В пространстве B 2 (G) можно ввести эквивалентную интегральную норму вида: f 2π def = f(re iθ ) 2 drdδ(θ), () K(re iθ ) 0 0 т.е. существуют постоянные C, C 2 > 0 такие, что выполнены неравенства: C f B2 (G) f C 2 f B2 (G), f B 2 (G). В литературе также рассматривались обобщения теоремы Пэли Винера для пространств аналитических функций в C n. В.В. Напалковым в работе [45] получен аналог теоремы Пэли Винера для пространства Бергмана B 2 (D n ), 24

25 состоящем из функций голоморфных в единичном шаре D n и суммируемых с квадратом модуля в D n, т.е. f 2 B 2 (D n ) = D n f(z) 2 dv n (z), где dv n (z) мера Лебега в R 2n. B 2 (D n ) есть гильбертово пространство со скалярным произведением (f, g) B2 (D n ) = D n f(z) g(z) dv n (z). Каждому линейному непрерывному функционалу на B 2 (D n ), порождаемому функцией g B 2 (D n ), поставим в соответствие функцию g(ξ) def = (e <ξ,z>, g(z)) B2 (D n ) = g(z)e <z,ξ> dv n (z), D n которая называется преобразованием Фурье Лапласа функционала из B * 2(D n ), порожденного функцией g. Обозначим B 2 (D n ) = { g : g B 2 (D n )}. B 2 (D n ) гильбертово пространство со скалярным произведением: ( f, g) B2 (D n ) def = (g, f) B2 (D n ), f B2 (D n ) = ( f, f) B2 (D n ), f, g B 2(D n ). Через P обозначим пространство, состоящее из целых функций F в C n, для которых конечна норма F P = F (ξ) 2 e 2 ξ ξ dvn (ξ) <. C n Теорема 0.5 ([45]) Пространства B 2 (D n ) и P топологически изоморфны, т.е. в пространстве B 2 (D n ) можно ввести эквивалентную норму вида 25

26 P ; выполнено соотношение c f B2 (D n ) f P C f B2 (D n ), f B 2 (D n ), где c, C > 0 некоторые постоянные. Этот результат был использован для построения продолжения аналитической функции с некоторого многообразия на все пространство C n с определенными оценками на рост [45]. В работе [46] описано сопряженное пространство к пространству Бергмана в поликруге. А именно, пусть U n (R) = (z C n : z k < R k, k =,..., n) поликруг в C n полирадиуса R = (R,..., R n ), и B 2 (U n (R)) пространство Бергмана, состоящее из аналитических в U n (R) функций, для которых. f 2 B 2 (U n (R)) = f(z) 2 dv n (z) <. где v n 2n мерная мера Лебега. U n (R) Система экспонент {exp(< z, ξ >), z U n (R)} ξ C n полна в пространстве B 2 (U n (R)). Рассмотрим преобразование Лапласа функционала из B 2 (U n (R)), порожденного функцией f B 2 (U n (R)): f(ξ) def = (exp(< z, ξ >), f(z)) B2 (U n (R)) Совокупность { f : f B 2 (U n (R))} def = B 2 (U n (R)) образует гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой: f B2 (U n (R)) = ( f, def g) B2 (U n (R)) = (g, f) B2 (U n (R)), ( f, f) B2 (U n (R)), f, g B 2 (U n (R)). 26

27 Обозначим через P U пространство целых функций g в C n для которых конечна норма: ( n g 2 P U = g(ξ) 2 exp 2 ξ j R j ) n ξ j R j /2 dv n (z), (2) C n j= j= т.е. P U = {g : g H(C n ) : g 2 P U < }. (3) Термин "пространство B 2 (U n (R)) эквивалентно пространству P U "означает, что эти пространства состоят из одних и тех же функций и нормы этих пространств эквивалентны, т.е. найдутся положительные постоянные C, C 2 > 0 такие, что C g B2 (U n (R)) f P U C 2 f B2 (U n (R)), f B 2 (U n (R)) = P U. В дальнейшем последнее выражение (а также другие подобные выражения) мы также будем записывать как B2 (U n (R)) P U. Теорема 0.6 ([46]) Пространства B 2 (U n (R)) и P U эквивалентны, т.е. состоят из одних и тех же функций и B2 (U n (R)) P U В работах С.В. Попенова [47], [48] изучалась следующая задача: Пусть v n мера Лебега в R 2n = C n. Пусть функция φ(x) выпуклая функция на луче [0, + ) такая, что φ(x)/x + при x. Рассмотрим пространство A φ (C n ) состоящее из всех целых в C n функций f, для которых C n f(z) 2 e 2φ( z ) dv n (z) <. 27

28 Пространство A φ (C n ) является гильбертовым пространством со скалярным произведением: (f, g) Aφ (C n ) = f(z) g(z)e 2φ( z ) dv n (z). C n Доказывается, что система функций {e <λ,z>, z C n } λ C n, где < λ, z >= λ z + + λ n z n, принадлежит пространству A φ (C n ) и полна в нем. Всякий линейный непрерывный функционал S над пространством A φ (C n ) порождается по теореме Рисса Фишера некоторой функцией f из пространства A φ (C n ): S(g) = (g, f) Aφ (C ), g A n φ (C n ). Каждому линейному непрерывному функционалу над A φ (C n ), порождаемому функцией f A φ (C n ), поставим в соответствие целую в C n функцию f(λ) = (e <λ,z>, f(z)) Aφ (C ), λ C n, n которая называется преобразованием Лапласа функционала, порождаемого функцией f A φ (C n ). Множество всех f, где f A φ (C n ), образует гильбертово пространство A φ со скалярным произведением ( f, g) ind def = (g, f) Aφ (C n ) и нормой f ind = f Aφ (C n ). Исследуется следующая задача: можно найти такую весовую функцию ψ(x), что пространство A φ эквивалентно пространству A ψ. 28

29 В работах [47], [48] приведены необходимые и достаточные условия на функцию φ(x) при которых последняя задача разрешима. Также приводятся примеры функций φ(x), для которых не существует функции ψ(x) такой, что пространство A φ эквивалентно пространству A ψ. В литературе также рассматривалась задача об описании сопряженного пространства в терминах других полных систем функций, отличных от экспонент. В работе [3] рассматривалась задача об описании сильно сопряженного пространства к пространству H(D). Доказано, что пространство H * (D) изоморфно пространству P(C D) локально аналитических в C D функций. Пусть G ограниченная область, граница G, есть липшицева кривая [49]. Пространство Смирнова E 2 (G) определяется как пополнение комплексных полиномов относительно нормы f E2 (G) = G f(z) 2 ds(z), ds(z) элемент длины дуги границы G. Это гильбертово пространство со скалярным произведением (f, g) E2 (G) = G f(z) g(z) ds(z). Система функций { (z ξ) } ξ C G полна в пространстве E 2(G). Через E 2 (G) обозначим пространство функций вида g(ξ) = ( (z ξ) 2, g(z) ) E 2 (G), g E 2(G). Пространство E 2 (G) имеет наведенную структуру гильбертова пространства: ( f, g) E2 (G) = (g, f) E 2 (G), f 2 B G = (f, f) BG С помощью некоторого дробно-линейного преобразования кривую G можно отобразить на неограниченную кривую l. 29

30 Теорема 0.7 (A.P. Calderon) Пусть область G такова, что l можно записать в виде: l = {z(t) C: z(t) = t + iφ(t), t R}. где φ вещественнозначная липшицева функция, т. е. имеет производную φ, принадлежащую классу L, φ = ess sup φ (t). t R Тогда пространство E 2 (G) эквивалентно пространству E 2 (C G), т.е. пространства E 2 (G) и E 2 (C G) состоят из одних и тех же элементов и найдутся постоянные C, C 2 > 0 такие, что C g E2 (G) g E2 (G) C 2 g E2 (G), g E 2 (G). Для гильбертова пространства Бергмана, состоящего из функций аналитических в односвязной жордановой области G в C и (f, g) B2 (G) = f(z) g(z) dv(z). G изучалась задача об описании сопряженного пространства B * 2(G) в терминах преобразования Гильберта. Система функций { (z ξ) 2 } ξ C G полна в пространстве B 2 (G). Рассматривается пространство функций определенных в области C G B 2 (G) = { g : g(ξ) = ( (z ξ) 2, g(z) ) B 2 (G), g B 2(G) } с наведенной структурой гильбертова пространства Рассматривается следующая задача: ( f, g) B2 (G) = (g, f) B 2 (G), f, g B2 (G). Необходимо найти условия на область G при которых справедливо 30

31 Утверждение. Пространство B 2 (G) эквивалентно пространству B 2 (C G), т.е. эти пространства состоят из одних и тех же элементов, и выполняется оценка C f B2 (G) f B2 (C G) C 2 f B2 (G), f B2 (G). (4) В работе [5] доказано, что Утверждение справедливо, если G ограниченная область с границей класса C +0. В работе [50] доказано, что если область G ограниченный квазикруг, то также верно Утверждение. Наконец в работе [3] доказано, что Утверждение имеет место тогда и только тогда, когда область G квазикруг (ограниченный или неограниченный). К задаче описания сопряженного пространства тесно примыкает тема базисов, всплесков, и, также, теория анализа сигналов. Пусть в гильбертовом пространстве H имеется ортонормированный базис {e k } k 0. Каждому линейному непрерывному функционалу на H, который порожден некоторым элементом y H, поставим в соответствие последовательность y k def = (e k, y) H, k =, 2,.... Совокупность {y k } k 0, y H образует пространство последовательностей H, которое само является гильбертовым пространством. Скалярное произведение в H имеет вид: ({x k }, {y k }) H def = (y, x) H, при этом {x k } H = x H. Из известного равенства Парсеваля следует, что {x k } H = + x k 2. (5) 3 k=

32 Элемент x H может быть представлен в виде: x = + k=0 (x, e k ) H e k, при этом норма в пространстве H имеет "интегральный"вид (5). и Пусть функция ψ : R C удовлетворяет условиям: ψ L 2 (R), ψ L2 (R) =, (6) 2π R 0 Здесь ψ означает преобразование Фурье функции ψ. ψ(a) 2 da =: C ψ <. (7) a Любая функция ψ, обладающая условиями (6), (7), называется вейвлетом. Для функций ψ L 2 (R), удовлетворяющих условию tψ L (R), т.е. t ψ(t) dt <, условие (7) эквивалентно следующему: + ψ(t) dt = 0 или ψ(0) = 0. Система функций { ) } ψ ( b a, b R, a R {0} a,b def полна в пространстве L 2 (R) (см. [30], стр.64). Обозначим ψ = ψ( b a ). Каждому линейному непрерывному функционалу на пространстве L 2 (R), порождаемому функцией f L 2 (R), поставим в соответствие функцию: f W (a, b) def = ( ψ a,b, f ) L 2, a R {0}, b R. (R) Совокупность f W, f L 2 (R) образует гильбертово пространство c воспроизводящим ядром L W 2 : (f W, g W ) L W 2 def = (g, f) L2 (R). 32

33 Результат А. Гроссмана и Морле [5] (см. также [52], стр ) можно сформулировать так. Теорема 0.8 ( A. Grossman, J. Morle [5]) Любой элемент f L 2 (R) представляется в виде: f = R R {0} ( f, ψ a,b ) L 2 (R) ψa,b da db C ψ a. 2 Равенство здесь понимается как равенство двух элементов из L 2 (R). Пространство L W 2 является гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром. При этом норма в L W 2 имеет интегральный вид: f W L W 2 = f W (a, b) 2 R R {0} da db C ψ a 2. Таким образом, в теореме 0.8 фактически решается задача описания пространства сопряженного к пространству L 2 (R) в терминах вейвлет преобразования. Нам понадобится понятие ортоподобной системы разложения в гильбертовом пространстве. Эти системы были введены и изучены в работах Т. П. Лукашенко (см. [53], [54]). В этих работах вводится следующее определение ортоподобной системы разложения. Замечание 0.. В определении ортоподобной системы разложения используется понятие интеграла Лебега от функции со значениями в гильбертовом пространстве. Теория таких интегралов изложена в [55]. Чтобы различать случай, когда интеграл понимается как обычный интеграл Лебега, мы вводим следующее обозначение: знак (H) Ω означает интеграл от функции со значениями в гильбертовом пространстве H (см. ниже). Определение. Пусть H гильбертово пространство над полем R или C, а Ω пространство со счетно аддитивной мерой μ. Система элементов 33

34 {e ω } ω Ω называется ортоподобной (подобной ортогональной) системой разложения в H с мерой μ, если любой элемент y H представляется в виде: y = (H) (y, e ω ) H e ω dμ(ω), Ω где интеграл понимается как собственный или несобственный интеграл Лебега от функции со значениями в H, причем в последнем случае есть такое исчерпание {Ω k } k= пространства Ω (все Ω k измеримы по мере μ, Ω k Ω k+ для k N и k= Ω K = Ω, быть может, зависящее от y и называемое подходящим для y, что функция (y, e ω ) H e ω интегрируема по Лебегу на Ω k и y = (H) Ω (y, e ω ) H e ω dμ(ω) = lim k (L) (H) Ω k (y, e ω ) H e ω dμ(ω). Мы рассматриваем счетно конечное пространство Ω с некоторой счетно аддитивной мерой μ ([55], стр. 09 6). Определение 0.. Ортоподобная система система {e ω } ω Ω называется неотрицательной, если Ω пространство со счетно аддитивной неотрицательной мерой μ Определение 0.2. Пространство Ω с мерой μ называется счетно конечным, если Ω представляется в виде счетного объединения подмножеств Ω k Ω: k Ω k = Ω, k =, 2,..., при этом μ(ω k ) < для любого k. Далее мы будем рассматривать только неотрицательные ортоподобные системы со счетно конечным пространством Ω. 34

35 0.. Примеры ортоподобных систем разложения. Любой ортонормированный базис {e k } k= H в произвольном гильбертовом пространстве H является ортоподобной системой разложения; любой элемент y H может быть представлен в виде: y = (y, e k )e k. k= Здесь в качестве Ω можно взять множество N, а в качестве меры μ считающую меру, т.е. мера множества из N есть количество различных натуральных чисел, попавших в это множество. 2. Любой ортогональный базис {e k } k= H в произвольном гильбертовом пространстве H является ортоподобной системой разложения; любой элемент y H может быть представлен в виде: y = (y, e k ) e k k= e k 2. H Здесь в качестве Ω выбирается множество N, а в качестве меры μ считающая мера с весом, т.е. мера некоторого множества A = {a, a 2,..., a k } N. вычисляется по формуле: μ(a) = e ak 2. a k A H 3. Пусть H гильбертово пространство, H подпространство H, а P оператор ортогонального проектирования элементов из H на H. Пусть {e k } k= H ортогональный базис в H. Тогда система элементов {P (e k )} k= H будет ортоподобной системой разложения в H.(см. [53], 35

36 теорема 9). Заметим, что если {e k } k= ортогональный базис в H, то система {P (e k )} k=, вообще говоря, не будет ортогональным базисом в H. 4. Пусть H = L 2 (R). Функция ψ L 2 (R), ψ L2 (R) =. Система вейвлетов Морле ψ a,b (t) = ψ ( ) t b, a R {0}, b R является ортоподобной a a системой разложения в пространстве L 2 (R); любая функция f L 2 (R) может быть представлена в виде: f(x) = (f(τ), ψ a,b (τ)) L2 (R)ψ a,b (x) dbda C ψ a 2, R 0 R где C ψ > 0 некоторая постоянная. В качестве пространства Ω здесь берется множество (R {0}) R с мерой dbda C ψ a 2 (см. [5],[53]). В этой работе мы используем теоремы, доказанные Т.П. Лукашенко в работах [53], [54]. Теорема 0.9 (Аналог равенства Парсеваля) Пусть {e ω } ω Ω H неотрицательная ортоподобная система разложения с мерой μ в H. Тогда для любого элемента y H y 2 H = (y, e ω ) 2 dμ(ω), и для любых двух элементов x, y H имеем (x, y) H = (x, e ω ) (y, e ω ) dμ(ω). Ω Ω Теорема Пусть H сепарабельное гильбертово пространство над полем R или C, пространство Ω со счетно аддитивной мерой μ счетно конечно, {e ω } ω Ω система элементов из H, и для каждого элемента y H выполняется равенство Парсеваля y 2 H = (y, e ω ) H 2 dμ(ω). Ω 36

37 Тогда {e ω } ω Ω ортоподобная система разложения в H. В настоящей главе мы изучаем ортоподобные системы разложения в гильбертовых пространствах с воспроизводящим ядром. Определение 0.3 (см., например, [56]) Пусть H гильбертово пространство над полем C, состоящее из функций, заданных на некотором множестве точек M. H называется гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром, если для любой точки z 0 M функционал δ z0 : H C; δ z0 f f(z 0 ), f H является линейным и непрерывным функционалом над H. По теореме Рисса Фишера линейный и непрерывный функционал над гильбертовым пространством H порождается некоторым элементом из H. Равенство f(ξ) = δ ξ f = (f(z), K H (z, ξ)) H, ξ M (8) определяет воспроизводящее ядро пространства H как функцию K H (z, ξ) от двух переменных z, ξ M. Основные свойства гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром изложены, например, в [56]. Пространство Баргмана Фока есть гильбертово пространство c воспроизводящим ядром (см., например, [57]). Для любого z 0 C n, функционал δ z0 : f f(z 0 ), f F n является линейным непрерывным функционалом над F n. По теореме Рисса Фишера этот функционал порождается некоторым элементом из пространства F n : f(z 0 ) = (f(z), K Fn (z, z 0 )) Fn. 37

38 Таким образом определяется воспроизводящее ядро K Fn (z, ξ), z, ξ C n (см., например, [56]). Известно, что (см. [57]) K Fn (z, w) = e <z,w>, z, w C n. Наиболее важным фактом теории пространств с воспроизводящим ядром является следующая теорема Мура Ароншайна (см., например, [56], [58]). Теорема 0.2. Пусть M произвольное множество точек, и K(z, ξ) : M M C комплекснозначная функция. Для того, чтобы эта функция была воспроизводящим ядром некоторого гильбертова пространства H, состоящего из комплекснозначных функций, заданных на множестве M, необходимо и достаточно, чтобы для любого конечного набора точек z, z 2,..., z n M и для любого конечного набора комплексных чисел c, c 2,..., c n, выполнялось условие: n c l c m K(z l, z m ) 0. l,m= При этом H это единственное пространство с воспроизводящим ядром, имеющее в качестве ядра функцию K(z, ξ). Также нам понадобится Определение 0.4. Воспроизводящее ядро K H (η, z) пространства H(Ω) называется локально ограниченным, если для любой пары {K, K 2 } компактных подмножеств Ω, функция K H (η, z) ограничена на K K 2. Верна следующая теорема из [59]. Теорема Гильбертово пространство с воспроизводящим ядром H(Ω) состоит из аналитических функций в области Ω в том и только в том 38

39 случае, если воспроизводящее ядро K H (η, z) локально ограничено и является аналитической по переменной η Ω и антианалитической по переменной z Ω функцией. Условия при которых гильбертово пространство с воспроизводящим ядром сепарабельно дает следующая теорема Теорема 0.23 ([60] стр. 33) Пусть H гильбертово пространство с воспроизводящим ядром, состоящее из функций заданных на множестве M. Предположим, что существует счетное подмножество M 0 M такое, что для любой g H из условия g M0 = 0 следует g 0. Тогда пространство H сепарабельное. 39

40 Глава Описание сопряженного пространства к радиально весовому пространству Бергмана в терминах преобразования Фурье Лапласа.. Постановка задачи Пусть X - некоторое локально выпуклое пространство функций, аналитических в области D. Через Ω обозначим множество таких λ C, что функция exp(λz) принадлежит пространству X. Каждому линейному непрерывному функционалу S на X поставим в соответствие функцию S(λ) = S z (exp(λz)), λ Ω, которая называется преобразованием Фурье-Лапласа функционала S. Совокупность S, S X *, образует пространство X. Допустим, что система функций от переменной z D {exp(λz), λ Ω} полна в пространстве X. Тогда отображение S S устанавливает (по теореме Банаха) изоморфизм между сильно сопряженным пространством X * и пространством X. Во многих задачах комплексного анализа возникает проблема описания пространства X с наведенной топологией. Описанию линейных непрерывных функционалов над различными пространствами аналитических функций посвящены работы [4], [8], [7], [9] и др. Здесь мы рассмотрим пространство B 2 (D, μ), где D = { z <, z C}, μ - неотрицательная борелевская мера на R, supp μ = [0, ] и 2π dφdμ(r) <. (.)

41 Пространство B 2 (D, μ) состоит из функций, аналитических в D и удовлетворяющих условию 0 2π 0 f(re iφ ) 2 dφ dμ(r) <. Пространство B 2 (D, μ) - гильбертово пространство со скалярным произведением (f, g) = 0 2π 0 f(re iφ )g(re iφ ) dφ dμ(r). В силу условия (.) для любой ограниченной аналитической в D функции h h(z) M <, z D выполнено неравенство 0 2π 0 h(re iφ ) 2 dφ dμ(r) M 0 2π 0 dφdμ(r) <. (.2) Поэтому любая ограниченная аналитическая функция принадлежит пространству B 2 (D, μ). Более того, из неравенства (.2) вытекает следующий факт: если есть последовательность ограниченных аналитических функций h k (z), z D сходящихся равномерно к функции h(z), z D, т.е. то lim max h k (z) h(z) = 0, k z D lim h k(z) h(z) B2 (D,μ) = 0. k Система экспонент {exp(λz), λ C} принадлежит данному пространству как совокупность функций, аналитических и ограниченных в D. Кроме того, она полна в B 2 (D, μ). Действительно, система полиномов полна в B 2 (D, μ) (для f B 2 (D, μ) достаточно рассмотреть частичные суммы ряда Тейлора), поэтому достаточно показать, что любой моном z k, k 0, приближается линейной комбинацией экспонент. Последнее следует из того, что z = d dλ eλz e λz = lim, z D, (.3) λ=0 λ 0 λ 4

42 причем, сходимость в этом равенстве - равномерная на D. Покажем это. Функция g(z, λ) def = z ez λ λ равномерно непрерывна как функция двух переменных z и λ на D D, поскольку это компакт. Выберем произвольное число ε > 0. Тогда существует число δ > 0 такое, что для любых z, z 2, λ D, z z 2 < δ выполняется неравенство z ez λ ( ) z 2 ez2 λ < ε λ λ 2 (.4) Покроем круг D кружками радиуса δ. Поскольку D компакт, то из этого покрытия можно извлечь конечное подпокрытие компакта D кружками R k = {z C: z z k < δ }, k =,..., n. с центрами z k, k =,..., n. В силу (.3) существует число δ > 0 такое, что z k ezk λ λ < ε, λ < δ, k =,..., n. (.5) 2 Возьмем произвольное число z D. Тогда существует существует кружок R k0 радиуса δ в котором содержится z, т.е. z R k0. Применяя соотношения (.4) и (.5), получим, что для λ < δ выполнено неравенство ez λ z λ = ( = ez λ ) z z k0 ez k 0 λ + z k0 ez k 0 λ λ λ λ ez λ z z k0 ez k 0 λ λ λ + z k0 ezk0 λ λ Значит, ε 2 + ε 2 = ε. (.6) e λz z = lim λ 0 λ равномерно по z D. Отсюда, как отмечалось выше, вытекает, что lim λ 0 z eλz e 0 z λ = 0. (.7) B2 (D,μ) 42

43 Таким образом, моном z приближается, по норме пространства B 2 (D, μ), конечной линейной комбинацией экспонент. Аналогично доказывается, что моном z k, k > также приближается конечными линейными комбинациями экспонент (заметим, что z k = z... z). Поэтому система {e λ z } λ C полна k в пространстве B 2 (D, μ). Произвольный линейный непрерывный функционал S на B 2 (D, μ) отождествляется по теореме Рисса Фишера с некоторой f B 2 (D, μ): S(g) = (g, f) = 2π f(re iφ )g(re iφ ) dφ dμ(r) и 0 S(e λz ) = ( e λz, f ) z 0 def = f(λ). Покажем, что f(λ) - целая функция. Действительно, достаточно доказать, что функция f(λ) комплексно дифференцируема в окрестности любой точки λ 0 C, т.е. что существует предел f(λ) f(λ0 ) lim. λ λ 0 λ λ 0 Очевидно, что для λ λ 0 выполнено равенство f(λ) f(λ ( 0 ) e λ z e λ ) 0 z =, f(z) λ λ 0 λ λ 0 B 2 (D,μ) (.8) Функция ze λ 0 z от переменной z D принадлежит пространству B 2 (D, μ) как ограниченная аналитическая в D функция. Можно доказать, что lim e λ z e λ 0 z λ λ 0 ze λ 0 z λ λ 0 = 0. (.9) B2 (D,μ) Доказательство соотношения (.9) почти дословно повторяет рассуждения, которые мы использовали для доказательства свойства (.5). Поэтому для любой точки λ 0 C f(λ) f(λ 0 ) (ze λ0 z, f(z)) B2 (D,μ) λ λ 0 = 43