Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс)"

Транскрипт

1 Задача 1 Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс) Найдите все простые числа p и q такие, что выражение целого числа является квадратом 1 Очевидно, что при q = 2 условие выполнено при любом простом p 2 Пусть теперь Тк p простое число, то последнее равенство возможно только при p = 3 Ответ: q = 2, p любое простое число; р = 3, q любое простое число Задача 2 Доказать, что для любого натурального n Заметим, что: Следовательно, Что и требовалось доказать Задача 3 Решить уравнение на отрезке (Функция целая часть числа действительного числа x, те наименьшее целое, не превосходящее x Например, ) 1 Заметим, что любое целое число удовлетворяет решению данного уравнения 2 Пусть теперь Если Следовательно, Осталось рассмотреть два случая: подходит при любом Решение будет существовать при условии Учитывая, получаем Ответ:

2 Задача 4 Задача 5 Нерадивый бухгалтер некоторой фирмы приобрел по дешевке калькулятор неизвестной фирмы «Кася» Придя на работу, он обнаружил, что калькулятор выполняет только одну операцию *: для любых чисел a и b: Как бухгалтеру производить все четыре арифметические операции при помощи этого калькулятора? Необходимо сначала заметить некоторые закономерности при выполнении операции *: 1 (это означает, что деление двух чисел 2 уже можно производить) Следовательно, и умножать два числа можно 3 Вычитание и умножение двух чисел теперь получить легко из следующих нетрудных соображений: В квадрате со стороной a размещено без наложений k правильных треугольников со стороной Доказать, что нельзя разместить более 36 треугольников Доказать, что можно разместить не менее 17 треугольников 1 Докажем, что в квадрате нельзя разместить более 36 треугольников: Вторую оценку проведем по количеству треугольников в квадрате Очевидно, что в ряду помещается треугольников, (функция целая часть числа действительного числа x), а таких рядов может быть (оценка по высоте треугольника) Под Тогда имеем:

3 Задача 6 Дан куб, ребро которого равно m Через диагональ A проведено сечение таким образом, что из всех сечений, содержащих данную диагональ, площадь этого сечения минимальна Построить это сечение и найти его площадь Пусть P точка пересечения сечения с ребром Сечение, содержащее диагональ куба параллелограмм Площадь его равна Введем следующие обозначения: Тогда Теперь можно все стороны треугольника выразить через введенные обозначения: - по теореме Пифагора По формуле Герона найдем площадь - Следовательно, минимум достигается при k = 0,5 (P середина ребра ) Ответ: Задача 7 Решить уравнение Сделаем замену переменной Учитывая область допустимых значений уравнения:, справедлива замена:

4 уравнение: Следовательно, получаем тригонометрическое Учитывая получаем следующие решения для x: О : По реке шириной a сплавляют бревна К реке подведен канал шириной b под прямым углом Какую максимальную длину могут иметь бревна, чтобы пройти в этот канал? (Шириной бревна пренебречь Бревно плывет строго по поверхности) Очевидно, что бревно пройдет в канал, если его можно будет привести в положение как на рис1тогда понятно, что максимальная длина будет достигнута при минимальном Выразим длину бревна, как функцию угла :

5 Найдем производную и точку экстремума: Таким образом, выразив и, получим: Ответ: Задача 9 При каком наименьшем значении параметра a уравнение имеет хотя бы одно решение Очевидно, что при решение есть Следовательно, необходимо искать решение при Введем следующие обозначения: Тогда задача может быть переформулирована следующим образом: при каком наибольшем уравнение имеет решение Можем перейти к равносильной системе: Возможные случаи расположения графиков функций приведены на рисунке (схематично): Нас интересует второй случай В этом случае кривые касаются Следовательно, их значения в точке касания совпадают и обе кривые имеют одну и ту же касательную Пусть точка касания, тогда: Получаем систему:

6 Последнее уравнение раскладывается на множители: (1) Рассмотрим функцию во второй скобке: Следовательно, функция монотонно возрастает и имеет один корень, принадлежащий Учитывая условие, уравнение (1) имеет один корень Ответ: Задача 10 Есть 11 карточек На каждой написано какое-то натуральное число Доказать, что какие бы на них ни были написаны числа, всегда можно выбрать несколько карточек и так расставить перед выбранными числами (+ или -), что полученная алгебраическая сумма (с учетом знаков) будет делиться на Если числа A и B имеют одинаковый остаток от деления на 2014, то их разность делится на 2014 нацело 2 Из двух карточек с числами можно составить 3 различные суммы: ( ) Соответственно из 11 карточек можно составить сумм: Если одна из этих сумм делится на 2014, то задача решена Если ни одна из них не делится на 2014, то при делении могут получиться остатки 1, 2, 3,, 2013 Всего есть 2047 сумм, а различных остатков 2013 Следовательно, хотя бы в двух суммах есть одинаковые остатки Пусть это суммы Если взять числа, образующие первую сумму со знаком «плюс», а числа, образующие вторую сумму со знаком «минус», то комбинация этих чисел (образующих первую и вторую суммы) будет иметь сумму, которая делится на 2014 нацело (см пункт 1) Что и требовалось доказать


Преобразуем уравнение. Обозначим Тогда

Преобразуем уравнение. Обозначим Тогда Задача 1 Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 11 класс) Если двухзначное число разделить на некоторое целое число, то в частном получится 3 и в остатке 8 Если в делимом

Подробнее

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур 4.0.0 ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ 8 9 класс 8-9.. Какое число больше: 0 0 0 0 или 0 0 0 0? Ответ. Первое число больше второго. Решение. Обозначим

Подробнее

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э П О М А Т Е М А Т И К Е

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э П О М А Т Е М А Т И К Е Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э - 2001 П О М А Т Е М А Т И К Е Часть 1 А1. Найдите значение выражения. 1. 15 2. 10 3. 5 4. Решение. Ответ: 1. А2. Упростите выражение. 1.

Подробнее

РАЗДЕЛ 14. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

РАЗДЕЛ 14. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ РАЗДЕЛ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Комментарий Задачи с параметрами традиционно являются сложными заданиями в структуре ЕГЭ, требующими от абитуриента не только владения всеми методами и приемам решения различных

Подробнее

Районная олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. n 3. 3x x (3x 2 + 1) + 3x , + 1, b = a = 3x 2 1

Районная олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. n 3. 3x x (3x 2 + 1) + 3x , + 1, b = a = 3x 2 1 Районная олимпиада по математике г. Хабаровск, 997 год 9 КЛАСС Задача. При каких целых n дробь 5n n целое число? Решение. Заметим, что 5n n = 5 + n. Поэтому это число целое только в случаях n =, 6, 4,,,,,,,

Подробнее

Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности. Задача 4

Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности. Задача 4 Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности Задача 1 Решить уравнение: (x+3) 63 + (x+3) 62 (x-1) + (x+3) 61 (x-1) 2 + + (x-1) 63 = 0 Ответ: -1 Задача 2 Сумма

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

Решения задач студенческой олимпиады по математике БГЭУ 2016

Решения задач студенческой олимпиады по математике БГЭУ 2016 Решения задач студенческой олимпиады по математике БГЭУ 6 Вычислить определитель n -го порядка, все элементы главной диагонали которого равны, а все остальные элементы равны Решение Такой определитель

Подробнее

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82.

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82. Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год Задача 1. Найти решения уравнения 9 КЛАСС (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) Решение. После замены переменной x = y 1 уравнение (1) можно записать в виде

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0,,, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0,,, коэффициентами

Подробнее

МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» 9 класс, 1 тур учебного года.

МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» 9 класс, 1 тур учебного года. МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» 9 класс, 1 тур 014-015 учебного года. 1. Библиотекарь физико-математического лицея заметила, что если количество учебников геометрии в школьной

Подробнее

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы.

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы. Подготовка к С4 Треугольник, основные теоремы. Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем Учебный центр «Азъ»,. Две прямые

Подробнее

Тематическое планирование 7 класс (алгебра 105 часов, 3 часа в неделю; геометрия 2 часа в неделю)

Тематическое планирование 7 класс (алгебра 105 часов, 3 часа в неделю; геометрия 2 часа в неделю) Тематическое планирование 7 класс (алгебра 105 часов, 3 часа в неделю; геометрия 2 часа в неделю) Наименование темы Количество часов Примерные сроки изучения Повторение курса математики 5-6 классов (3

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

Правильные ответы помечены символом.

Правильные ответы помечены символом. Заочный тур олимпиады по прикладной математике и информатике факультета вычмслительной математики и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова для школьников 12 апреля 2014 года Ответы и решения задач Правильные

Подробнее

Программа вступительного испытания по математике

Программа вступительного испытания по математике Государственное образовательное учреждение высшего образования «КОМИ РЕСПУБЛИКАНСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ И УПРАВЛЕНИЯ» (ГОУ ВО КРАГСиУ) «КАНМУ СЛУЖБАӦ ДА ВЕСЬКӦДЛЫНЫ ВЕЛӦДАН КОМИ РЕСПУБЛИКАСА

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1 Для каждого из всевозможных различных наборов коэффициентов d,, d, d 0;1 рассмотрим сумму вида S d.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1 Для каждого из всевозможных различных наборов коэффициентов d,, d, d 0;1 рассмотрим сумму вида S d. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача Для каждого из всевозможных различных наборов коэффициентов d,, d, d 0; рассмотрим сумму вида S d. a d a Таких наборов (а i значит и сумм) 048 штук. Поэтому по крайней мере две суммы,

Подробнее

Программа вступительного испытания по математике на базе основного общего образования

Программа вступительного испытания по математике на базе основного общего образования Программа вступительного испытания по математике на базе основного общего образования На экзамене поступающий должен показать: а) чѐткое знание основных математических определений и теорем, предусмотренных

Подробнее

3. Какое наименьшее значение может принять сумма S n первых n членов арифметической прогрессии, у которой сумма S3 141 и сумма S35 35?

3. Какое наименьшее значение может принять сумма S n первых n членов арифметической прогрессии, у которой сумма S3 141 и сумма S35 35? Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика», осень 0 г Вариант 6 Из пункта А в пункт В вышел пешеход Когда он прошёл

Подробнее

2.7. Заключительный тур олимпиады «Росатом», 11 класс (Москва)

2.7. Заключительный тур олимпиады «Росатом», 11 класс (Москва) 7 Заключительный тур олимпиады «Росатом», класс (Москва) Найти наибольшее значение выражения y для ; y, удовлетворяющих уравнению 4 9 y Найти все решения ; y уравнения si ( y ) o s y 0, лежащие на прямой

Подробнее

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin Так как то правильный ответ Система требует выполнения двух и более условий причем мы ищем те значения неизвестной величины которые удовлетворяют сразу всем условиям Изобразим решение каждого из неравенств

Подробнее

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Первый тур. Вариант

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Первый тур. Вариант Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Первый тур. Вариант.0.0. В каждой параллели предлагалось 5 задач, максимальная оценка каждой задачи 0 баллов 9 класс. К числу 0 припишите

Подробнее

Основная и средняя (полная) школа

Основная и средняя (полная) школа Кодификатор элементов содержания, проверяемых заданиями диагностической работы для проведения мониторинга образовательных достижений обучающихся образовательных учреждений по МАТЕМАТИКЕ Основная и средняя

Подробнее

3 9 6 Решениями исходного уравнения могут быть пересечения серий.. Действительно, Равенство невозможно, поскольку справа целое число.

3 9 6 Решениями исходного уравнения могут быть пересечения серий.. Действительно, Равенство невозможно, поскольку справа целое число. Задания очного отборочного тура Отраслевой физико-математической олимпиады школьников «Росатом» Математика, класс, комплект 2 20 г Вариант Максимальный балл за каждую задачу 2 балла Найти все x, удовлетворяющие

Подробнее

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений Тождественные преобразования алгебраических выражений Алгебраические выражения выражения, содержащие числа и буквы, связанные алгебраическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

n n a a Формулы n n n a a b

n n a a Формулы n n n a a b Алгебра Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы ( + = + + Квадрат разности ( - = - + Разность квадратов = ( + ( Куб суммы ( + = + + + Куб разности ( - = - + - Сумма кубов + = ( + ( - + Разность кубов

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Основные методы решения тригонометрических уравнений

Основные методы решения тригонометрических уравнений Тишин В И Основные методы решения тригонометрических уравнений г Тишин В И Математика для учителей и учащихся Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем года Тишин В И Основные

Подробнее

8 класс Решения гг. Задание 4. Задача 1. Решение

8 класс Решения гг. Задание 4. Задача 1. Решение 8 класс Решения 017-018 гг. Задание Задача 1 Найти сумму кубов корней уравнения ( х х 7) ( х х ) 0. Для решения уравнения воспользуемся методом замены переменной. Обозначим у = х + х 7, тогда х + х = (х

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

1. Для проверки корректности номера пластиковой карты, представляющего собой. B x x x 3x x x 7 x x x x x,

1. Для проверки корректности номера пластиковой карты, представляющего собой. B x x x 3x x x 7 x x x x x, класс XXV МЕЖРЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ И КРИПТОГРАФИИ (сайт олимпиады www.cryptolymp.ru)..0 вариант. Для проверки корректности номера пластиковой карты, представляющего собой набор

Подробнее

Программы испытаний по математике

Программы испытаний по математике Программы испытаний по математике 1. Основные математические понятия и факты Арифметика, алгебра и начала анализа Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель,

Подробнее

Многочлены Многочленом с одной переменной старшим коэффициентом значением многочлена корнем

Многочлены Многочленом с одной переменной старшим коэффициентом значением многочлена корнем Многочлены Многочленом с одной переменной х степени n называют выражение вида, где - любые числа, называемые коэффициентами многочлена, причем называют старшим коэффициентом многочлена Если вместо переменной

Подробнее

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ ВВЕДЕНИЕ Программа по математике для поступающих в ГО ВПО «ДонНУЭТ имени Михаила Туган-Барановского» отвечает Программе среднего общего образования по математике для поступающих в высшие учебные заведения

Подробнее

Всероссийская олимпиада школьников «Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!»

Всероссийская олимпиада школьников «Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!» Всероссийская олимпиада школьников «Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!» ЗАДАНИЯ, РЕШЕНИЯ, КРИТЕРИИ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ (ОЧНЫЙ) ЭТАП Математика 0 класс, 206/207 учебный год Задание. (0 баллов) Сколько

Подробнее

Системы уравнений. Общий вид системы двух уравнений с двумя переменными:

Системы уравнений. Общий вид системы двух уравнений с двумя переменными: Системы уравнений Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными f(x, y)=0 и g(x, y)=0, где f(x, y), g(x, y) некоторые выражения с переменными х и у. Если ставится задача найти все общие решения данных

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы 1 СА Лавренченко Лекция 9 Экстремумы 1 Определения и примеры Определение 11 Говорят, что функция имеет (или достигает) абсолютный максимум в точке, если для всех из области определения Значение называется

Подробнее

Справочный материал «Математика 5 класс»

Справочный материал «Математика 5 класс» Справочный материал «Математика 5 класс» Натуральные числа Числа, которыми пользуются при счёте, называют натуральными. Обозначают их латинской буквой Ν. Число 0 не является натуральным! Способ записи

Подробнее

Горбачев НЕ Многочлены от одной переменной. Решение уравнений n степени.

Горбачев НЕ Многочлены от одной переменной. Решение уравнений n степени. Горбачев НЕ Многочлены от одной переменной Решение уравнений степени Понятие многочлена Арифметические операции над многочленами Опр Многочленом (полиномом) -й степени относительно переменной величины

Подробнее

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур 9.03.015 Задания с решениями 7 класс 7.1. Перед соревнованиями по бегу Петя планировал бежать всю дистанцию с постоянной скоростью

Подробнее

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1 Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Подробнее

Вариант 1. Первая часть А Б В Г А Б В Г А Б В Г. Найдите допустимые значения переменной, входящей в выра жение А Б В Г

Вариант 1. Первая часть А Б В Г А Б В Г А Б В Г. Найдите допустимые значения переменной, входящей в выра жение А Б В Г Вариант Найдите от числа. 9 Укажите число, которое делится нацело на 9. 9 9 9 Представьте выражение ( a ) в виде степени с основанием a. a 0 a a a x + Найдите допустимые значения переменной, входящей в

Подробнее

Блиц-опрос для использования на уроке и во внеурочных занятиях. Блиц опрос 5 класс

Блиц-опрос для использования на уроке и во внеурочных занятиях. Блиц опрос 5 класс Блиц-опрос для использования на уроке и во внеурочных занятиях. Вопросы задаются в течение 1 минуты. Блиц опрос 5 класс 1. Результат умножения называется 2. Наименьшее натуральное число 3. Знаменатель

Подробнее

Программа вступительных испытаний по дисциплине «Математика» для граждан, поступающих на базе основного общего образования

Программа вступительных испытаний по дисциплине «Математика» для граждан, поступающих на базе основного общего образования Программа вступительных испытаний по дисциплине «Математика» для граждан, поступающих на базе основного общего образования Перечень тем, включенных во вступительные испытания по математике, составлен на

Подробнее

ПРОГРАММА. вступительных экзаменов в форме собеседования. по математике

ПРОГРАММА. вступительных экзаменов в форме собеседования. по математике Министерство образования и науки Донецкой Народной Республики ГОУВПО «Донецкий национальный технический университет» ПРОГРАММА вступительных экзаменов в форме собеседования по математике для поступления

Подробнее

2. Решите неравенство. log ( ) 0

2. Решите неравенство. log ( ) 0 Второй (заключительный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика», весна 017 г Вариант 8 1 Из пункта A в пункт B, расстояние между

Подробнее

0 имеет три различных корня на отрезке 2;1

0 имеет три различных корня на отрезке 2;1 Отборочный тур Отраслевой физико-математической олимпиады школьников «Росатом» Олимпиада им ИВКурчатова Математика 11 класс (1-15 учебный год) Задания 6 3 1 В выражении 1 x 3 1 x раскрыли все скобки и

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Основные математические понятия и факты

МАТЕМАТИКА. Основные математические понятия и факты Программа вступительного испытания по общеобразовательному предмету «Математика», входящего в перечень вступительных испытаний по основной образовательной программе высшего образования. Программа составлена

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ Построение циркулем и линейкой занимает важное место в школьном курсе геометрии. Среди задач на построение отметим

ПОСТРОЕНИЕ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ Построение циркулем и линейкой занимает важное место в школьном курсе геометрии. Среди задач на построение отметим ПОСТРОЕНИЕ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ Построение циркулем и линейкой занимает важное место в школьном курсе геометрии. Среди задач на построение отметим следующие: а) деление отрезка пополам и построение серединного

Подробнее

7 класс Ответ. указательный.

7 класс Ответ. указательный. 7 класс. Ответ. Одна красная бабочка. Первое решение. Устроим перебор пар бабочек так, чтобы одна бабочка была красной (упомянутой в условии), а другая как придется. Из условия следует, что все бабочки,

Подробнее

1. Вопросы программы

1. Вопросы программы 1. Вопросы программы Арифметика, алгебра и начала анали за 1. Натуральные числа и нуль. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. 2. Делимость натуральных чисел. Делители и кратные натурального

Подробнее

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ по математике 8 класс

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ по математике 8 класс КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ по математике 8 класс урока Тема урока 1 Повторение. Действия с обыкновенными и десятичными дробями. Колво часов Элементы содержания Тема 1. Рациональные дроби и их

Подробнее

log ( ) 0 (10 баллов) 6. Найдите множество значений функции f ( x)

log ( ) 0 (10 баллов) 6. Найдите множество значений функции f ( x) Второй (заключительный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика», весна 017 г Вариант 6 1 Из пункта A в пункт B, расстояние между

Подробнее

Ягубов.РФ. неравенства классы. Начало см. в 1,2/2015

Ягубов.РФ. неравенства классы. Начало см. в 1,2/2015 С. шестаков, isser@ynde.ru, г. Москва 9 классы. Начало см. в,/05 Решаем неравенства п о в ы ш е н и е к в а л и ф и к а ц и и / л е к т о р и й.. Метод введения новой переменной Метод введения новой переменной

Подробнее

Типовой вариант академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по общеобразовательному предмету «Математика»

Типовой вариант академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по общеобразовательному предмету «Математика» «УТВЕРЖДАЮ» Ректор МГТУ им НЭ Баумана АА Александров 16 г Типовой вариант академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по общеобразовательному предмету «Математика» 1 Из пункта A в

Подробнее

Вебинар с преподават елем. Теоретическ ие и практически е занятия через портал «Уникум» 1. Структура курса. Электрон ный тест

Вебинар с преподават елем. Теоретическ ие и практически е занятия через портал «Уникум» 1. Структура курса. Электрон ный тест Название темы Всего часов самост оятель ной работы Теоретическ ие и практически е занятия через портал «Уникум». Структура курса. Особенности ГИА по математике. Десятичная система счисления. Римская нумерация

Подробнее

1. Вопросы программы

1. Вопросы программы 1. Вопросы программы Арифметика, алгебра и начала анали за 1. Натуральные числа и нуль. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. 2. Делимость натуральных чисел. Делители и кратные натурального

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка 2 Пояснительная записка Программа разработана на основе обязательного минимума содержания среднего (полного) общего образования по математике. На испытании по математике поступающий должен показать: а)

Подробнее

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература: 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ В ФОРМЕ СОБЕСЕДОВАНИЯ И В ФОРМЕ ПИСЬМЕННОГО

Подробнее

Решения задач заочного тура второй олимпиады Эйлера

Решения задач заочного тура второй олимпиады Эйлера Решения задач заочного тура второй олимпиады Эйлера Коэффициенты квадратного уравнения + + 6c = a c + + = удовлетворяют условию ; a Докажите что это уравнение имеет корень на промежутке ( ) Решение Предположим

Подробнее

ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ПРОГРАММАМ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ в 2018 году

ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ПРОГРАММАМ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ в 2018 году ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ПРОГРАММАМ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ в 2018 году В экзаменационной работе проверяется следующий учебный материал: 1. Математика, 5 6 классы;

Подробнее

Квадратные корни Квадратные корни. Арифметический квадратный корень Уравнение x 2 = a. П.12, 306,309,311,316,317 Функция y = x и ее график

Квадратные корни Квадратные корни. Арифметический квадратный корень Уравнение x 2 = a. П.12, 306,309,311,316,317 Функция y = x и ее график Тематическое планирование по математике (экстернат) в 8 классе Учебник по алгебре: Ю.И. Макарычев и др., Алгебра 8 класс, Просвещение, 2015 г Дидактические материалы: Самостоятельные и контрольные работы.

Подробнее

8 КЛАСС. 1. Докажите, что для любого натурального числаn можно выбрать такое натуральное число а, чтобы число a(n+ 1) ( + n+1) нацело делилось на.

8 КЛАСС. 1. Докажите, что для любого натурального числаn можно выбрать такое натуральное число а, чтобы число a(n+ 1) ( + n+1) нацело делилось на. 8 КЛАСС 1. Докажите, что для любого натурального числаn можно выбрать такое натуральное число а, чтобы число a(n+ 1) ( + n+1) нацело делилось на. 2. В городской олимпиаде по математике участвовали два

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Решения заданий второго заочного тура олимпиады «Абитуриент »

Решения заданий второго заочного тура олимпиады «Абитуриент » Решения заданий второго заочного тура олимпиады «Абитуриент - 06» Вычислите 5, Решение Разделим обе части равенства 5 на Это возможно, тк если 0, то 0, те 0, что противоречит условию Имеем: 5 0 Значит,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В ФОРМЕ СОБЕСЕДОВАНИЯ для поступления на обучение

Подробнее

y являются длинами сторон некоторого треугольника. Постройте фигуру M и найдите её

y являются длинами сторон некоторого треугольника. Постройте фигуру M и найдите её Первый (заочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по общеобразовательному предмету «Математика», осень 016 г. 9 КЛАСС и 9 1. Вычислите 50 19 7 (15 баллов). Пусть M

Подробнее

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура 1. Докажите, для любых неотрицательных чисел, и выполняется неравенство 6+ + 5 5 + 7 +. Решение. Сложив почленно три известных

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/9 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 9-1 Каждый член партии доверяет пяти однопартийцам, но никакие двое

Подробнее

a v 5 1 (час). Итак, время обратного пути a 3 v Решения задач муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике уч.

a v 5 1 (час). Итак, время обратного пути a 3 v Решения задач муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике уч. Решения задач муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике 07-8 уч года 7 класс 7 Угол, образованный биссектрисой угла АВС с его сторонами, в 6 раз меньше угла, смежного к углу

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Пояснительная записка Программа по математике для поступающих в высшие учебные заведения І уровня аккредитации составлена на основании государственной программы по математике, содержит два раздела. В первом

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/11 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 8-1 Найти все натуральные числа n от 1 до 100 такие, что если перемножить

Подробнее

Порядок проведения экзамена

Порядок проведения экзамена Порядок проведения экзамена Экзамен по математике проводится в устной форме. Содержание вопросов и уровень требований определяется на основе обязательного минимума федерального государственного образовательного

Подробнее

Программа по математике для поступающих в ИГХТУ

Программа по математике для поступающих в ИГХТУ Программа по математике для поступающих в ИГХТУ Настоящая программа состоит из трѐх разделов. В первом разделе перечислены основные математические понятия, которыми должен владеть поступающий. Второй раздел

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (МОСКОВСКИЙ ПОЛИТЕХ)

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ, ПРОВОДИМЫХ УНИВЕРСИТЕТОМ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ, ПРОВОДИМЫХ УНИВЕРСИТЕТОМ САМОСТОЯТЕЛЬНО Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского»

Подробнее

Всероссийская олимпиада школьников по математике, муниципальный этап, 2016 г, 10 класс

Всероссийская олимпиада школьников по математике, муниципальный этап, 2016 г, 10 класс Всероссийская олимпиада школьников по математике, муниципальный этап, 2016 г, 10 класс 1. Назовём натуральное двузначное число интересным, если оно делится без остатка на произведение своих цифр. Найдите

Подробнее

Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей

Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружности Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности Часть плоскости, лежащая

Подробнее

Всероссийская олимпиада школьников по математике, муниципальный этап, 2016 г, 11 класс. 1. Угол x удовлетворяет равенству Вычислите. Ответ: 6.

Всероссийская олимпиада школьников по математике, муниципальный этап, 2016 г, 11 класс. 1. Угол x удовлетворяет равенству Вычислите. Ответ: 6. Всероссийская олимпиада школьников по математике, муниципальный этап, 2016 г, 11 класс 1. Угол x удовлетворяет равенству Вычислите. Ответ: 6. Решение. 1-й способ.. 2-й способ.,,. Тогда Обоснованно получен

Подробнее

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 2002 год 9 КЛАСС

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 2002 год 9 КЛАСС Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 00 год 9 КЛАСС Задача 1. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на отрезки, разность которых равна одному из катетов треугольника.

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ 1

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ 1 ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ 1 ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ На экзамене по математике поступающий должен показать: а) четкое знание определений и теорем, предусмотренных программой; б) умение точно и сжато выражать математическую

Подробнее

П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ

П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ На экзамене по математике поступающий должен показать: - четкое знание математических

Подробнее

Математика. Собрание заданий (09 апреля 2013).

Математика. Собрание заданий (09 апреля 2013). Математика Собрание заданий (09 апреля 013) Задачи с параметром-1 Задача 1 (006 г, Тихов МС, Авдонин АА) Найти все значения параметра a, при каждом из которых система 3 x + ( a 4) x + (5 3 a) x + a 0 (1)

Подробнее

Сайт олимпиады 11 класс. Вариант 1

Сайт олимпиады  11 класс. Вариант 1 .0.06 Сайт олимпиады http://v-olymp.ru класс Вариант. Найдите какое-нибудь натуральное число, сумма всех делителей которого (включая и само это число) равна 06. Решение: Сумма делителей числа n p p p равна

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/10 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 10-1 В компании из 6 человек некоторые компаниями по трое ходили

Подробнее

Ответы. Ответ: ), ),, )

Ответы. Ответ: ), ),, ) Ответы 1. Решите систему уравнений { Второе уравнение умножаем на и прибавляем к первому:. Замечаем, что. Откуда, полагая, что, получим и. 1), то есть. Из первого уравнения, находим, что и. Откуда, то

Подробнее

Районная олимпиада по математике учебный год. Условия задач

Районная олимпиада по математике учебный год. Условия задач 9 класс Районная олимпиада Районная олимпиада по математике 2015 2016 учебный год Условия задач 8 класс Задача 1. Найдите наименьшее натуральное n, обладающее следующим свойством: все цифры в десятичной

Подробнее

Межрегиональная научная универсиада по математике (г. Елабуга, 27 января 2012 г.)

Межрегиональная научная универсиада по математике (г. Елабуга, 27 января 2012 г.) Межрегиональная научная универсиада по математике г. Елабуга, 7 января 01 г.) Задачи для 9 класса 1. Доказать, что если α и β острые углы и α < β, то tg α α < tg β β.. Пароход от Казани до Астрахани идёт

Подробнее

Задания для самостоятельного решения. 5. Напишите уравнение касательной к графику функции f ( x) x 3 1в точках с абсциссами x 0 =-1 и x 0 =2

Задания для самостоятельного решения. 5. Напишите уравнение касательной к графику функции f ( x) x 3 1в точках с абсциссами x 0 =-1 и x 0 =2 Задания для самостоятельного решения. Найдите область определения функции 6x. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через точку М (;) графика функции. Найдите тангенс угла

Подробнее