Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс)"

Транскрипт

1 Задача 1 Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс) Найдите все простые числа p и q такие, что выражение целого числа является квадратом 1 Очевидно, что при q = 2 условие выполнено при любом простом p 2 Пусть теперь Тк p простое число, то последнее равенство возможно только при p = 3 Ответ: q = 2, p любое простое число; р = 3, q любое простое число Задача 2 Доказать, что для любого натурального n Заметим, что: Следовательно, Что и требовалось доказать Задача 3 Решить уравнение на отрезке (Функция целая часть числа действительного числа x, те наименьшее целое, не превосходящее x Например, ) 1 Заметим, что любое целое число удовлетворяет решению данного уравнения 2 Пусть теперь Если Следовательно, Осталось рассмотреть два случая: подходит при любом Решение будет существовать при условии Учитывая, получаем Ответ:

2 Задача 4 Задача 5 Нерадивый бухгалтер некоторой фирмы приобрел по дешевке калькулятор неизвестной фирмы «Кася» Придя на работу, он обнаружил, что калькулятор выполняет только одну операцию *: для любых чисел a и b: Как бухгалтеру производить все четыре арифметические операции при помощи этого калькулятора? Необходимо сначала заметить некоторые закономерности при выполнении операции *: 1 (это означает, что деление двух чисел 2 уже можно производить) Следовательно, и умножать два числа можно 3 Вычитание и умножение двух чисел теперь получить легко из следующих нетрудных соображений: В квадрате со стороной a размещено без наложений k правильных треугольников со стороной Доказать, что нельзя разместить более 36 треугольников Доказать, что можно разместить не менее 17 треугольников 1 Докажем, что в квадрате нельзя разместить более 36 треугольников: Вторую оценку проведем по количеству треугольников в квадрате Очевидно, что в ряду помещается треугольников, (функция целая часть числа действительного числа x), а таких рядов может быть (оценка по высоте треугольника) Под Тогда имеем:

3 Задача 6 Дан куб, ребро которого равно m Через диагональ A проведено сечение таким образом, что из всех сечений, содержащих данную диагональ, площадь этого сечения минимальна Построить это сечение и найти его площадь Пусть P точка пересечения сечения с ребром Сечение, содержащее диагональ куба параллелограмм Площадь его равна Введем следующие обозначения: Тогда Теперь можно все стороны треугольника выразить через введенные обозначения: - по теореме Пифагора По формуле Герона найдем площадь - Следовательно, минимум достигается при k = 0,5 (P середина ребра ) Ответ: Задача 7 Решить уравнение Сделаем замену переменной Учитывая область допустимых значений уравнения:, справедлива замена:

4 уравнение: Следовательно, получаем тригонометрическое Учитывая получаем следующие решения для x: О : По реке шириной a сплавляют бревна К реке подведен канал шириной b под прямым углом Какую максимальную длину могут иметь бревна, чтобы пройти в этот канал? (Шириной бревна пренебречь Бревно плывет строго по поверхности) Очевидно, что бревно пройдет в канал, если его можно будет привести в положение как на рис1тогда понятно, что максимальная длина будет достигнута при минимальном Выразим длину бревна, как функцию угла :

5 Найдем производную и точку экстремума: Таким образом, выразив и, получим: Ответ: Задача 9 При каком наименьшем значении параметра a уравнение имеет хотя бы одно решение Очевидно, что при решение есть Следовательно, необходимо искать решение при Введем следующие обозначения: Тогда задача может быть переформулирована следующим образом: при каком наибольшем уравнение имеет решение Можем перейти к равносильной системе: Возможные случаи расположения графиков функций приведены на рисунке (схематично): Нас интересует второй случай В этом случае кривые касаются Следовательно, их значения в точке касания совпадают и обе кривые имеют одну и ту же касательную Пусть точка касания, тогда: Получаем систему:

6 Последнее уравнение раскладывается на множители: (1) Рассмотрим функцию во второй скобке: Следовательно, функция монотонно возрастает и имеет один корень, принадлежащий Учитывая условие, уравнение (1) имеет один корень Ответ: Задача 10 Есть 11 карточек На каждой написано какое-то натуральное число Доказать, что какие бы на них ни были написаны числа, всегда можно выбрать несколько карточек и так расставить перед выбранными числами (+ или -), что полученная алгебраическая сумма (с учетом знаков) будет делиться на Если числа A и B имеют одинаковый остаток от деления на 2014, то их разность делится на 2014 нацело 2 Из двух карточек с числами можно составить 3 различные суммы: ( ) Соответственно из 11 карточек можно составить сумм: Если одна из этих сумм делится на 2014, то задача решена Если ни одна из них не делится на 2014, то при делении могут получиться остатки 1, 2, 3,, 2013 Всего есть 2047 сумм, а различных остатков 2013 Следовательно, хотя бы в двух суммах есть одинаковые остатки Пусть это суммы Если взять числа, образующие первую сумму со знаком «плюс», а числа, образующие вторую сумму со знаком «минус», то комбинация этих чисел (образующих первую и вторую суммы) будет иметь сумму, которая делится на 2014 нацело (см пункт 1) Что и требовалось доказать

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

n n a a Формулы n n n a a b

n n a a Формулы n n n a a b Алгебра Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы ( + = + + Квадрат разности ( - = - + Разность квадратов = ( + ( Куб суммы ( + = + + + Куб разности ( - = - + - Сумма кубов + = ( + ( - + Разность кубов

Подробнее

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ ВВЕДЕНИЕ Программа по математике для поступающих в ГО ВПО «ДонНУЭТ имени Михаила Туган-Барановского» отвечает Программе среднего общего образования по математике для поступающих в высшие учебные заведения

Подробнее

2. Решите неравенство. log ( ) 0

2. Решите неравенство. log ( ) 0 Второй (заключительный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика», весна 017 г Вариант 8 1 Из пункта A в пункт B, расстояние между

Подробнее

ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ПРОГРАММАМ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ в 2018 году

ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ПРОГРАММАМ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ в 2018 году ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ПРОГРАММАМ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ в 2018 году В экзаменационной работе проверяется следующий учебный материал: 1. Математика, 5 6 классы;

Подробнее

2.7. Заключительный тур олимпиады «Росатом», 11 класс (Москва)

2.7. Заключительный тур олимпиады «Росатом», 11 класс (Москва) 7 Заключительный тур олимпиады «Росатом», класс (Москва) Найти наибольшее значение выражения y для ; y, удовлетворяющих уравнению 4 9 y Найти все решения ; y уравнения si ( y ) o s y 0, лежащие на прямой

Подробнее

log ( ) 0 (10 баллов) 6. Найдите множество значений функции f ( x)

log ( ) 0 (10 баллов) 6. Найдите множество значений функции f ( x) Второй (заключительный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика», весна 017 г Вариант 6 1 Из пункта A в пункт B, расстояние между

Подробнее

1. Вопросы программы

1. Вопросы программы 1. Вопросы программы Арифметика, алгебра и начала анали за 1. Натуральные числа и нуль. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. 2. Делимость натуральных чисел. Делители и кратные натурального

Подробнее

1. Вопросы программы

1. Вопросы программы 1. Вопросы программы Арифметика, алгебра и начала анали за 1. Натуральные числа и нуль. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. 2. Делимость натуральных чисел. Делители и кратные натурального

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/10 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 10-1 В компании из 6 человек некоторые компаниями по трое ходили

Подробнее

Порядок проведения экзамена

Порядок проведения экзамена Порядок проведения экзамена Экзамен по математике проводится в устной форме. Содержание вопросов и уровень требований определяется на основе обязательного минимума федерального государственного образовательного

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В ФОРМЕ СОБЕСЕДОВАНИЯ для поступления на обучение

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Пояснительная записка Программа по математике для поступающих в высшие учебные заведения І уровня аккредитации составлена на основании государственной программы по математике, содержит два раздела. В первом

Подробнее

Тема 3. Алгебраические выражения.

Тема 3. Алгебраические выражения. 13.Модуль. Композиция линейной функции и модуля, квадратичной функции и модуля, дробно-линейной функции и модуля. Линейная функция с двумя модулями. Тема 3. Алгебраические выражения. 1. Алгебраические

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/10 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 7-1 Дано равенство (x 7)(x 2 28x +...) = (x 11)(x 2 24x +...).

Подробнее

Межрегиональная научная универсиада по математике (г. Елабуга, 27 января 2012 г.)

Межрегиональная научная универсиада по математике (г. Елабуга, 27 января 2012 г.) Межрегиональная научная универсиада по математике г. Елабуга, 7 января 01 г.) Задачи для 9 класса 1. Доказать, что если α и β острые углы и α < β, то tg α α < tg β β.. Пароход от Казани до Астрахани идёт

Подробнее

Квадратные корни Квадратные корни. Арифметический квадратный корень Уравнение x 2 = a. П.12, 306,309,311,316,317 Функция y = x и ее график

Квадратные корни Квадратные корни. Арифметический квадратный корень Уравнение x 2 = a. П.12, 306,309,311,316,317 Функция y = x и ее график Тематическое планирование по математике (экстернат) в 8 классе Учебник по алгебре: Ю.И. Макарычев и др., Алгебра 8 класс, Просвещение, 2015 г Дидактические материалы: Самостоятельные и контрольные работы.

Подробнее

Программа по математике

Программа по математике Программа по математике На экзамене по математике поступающие должны показать: 1. Четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и геометрии, умение доказывать теоремы и выводить

Подробнее

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями Сайт автора Его блог Рассылка I. Задачи Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями I.1. Решите уравнение 3 m + 4 n = 5 k в натуральных числах. [Ответ] [Решение] I.2. При каких значениях х оба числа и целые?

Подробнее

Функции и их графики Что такое функция п.12, 258, 259,261 Вычисление значений функции по формуле п.13, 267, 269, 271,272, 277

Функции и их графики Что такое функция п.12, 258, 259,261 Вычисление значений функции по формуле п.13, 267, 269, 271,272, 277 Тематическое планирование по математике (экстернат) на 2017-2018 учебный год в 7 классе Учебник: Ю.И. Макарычев и др., Алгебра 7 класс, Просвещение, 2015 г и далее Дидактические материалы: Л.И. Звавич

Подробнее

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ МАТЕМАТИКА Программа «11 класс» 2013-2014 учебный год Часть 1, алгебра и начала анализа Оглавление Глава 1. Содержание курса и контрольных работ...

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Ответ. Вопрос. Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении?

Ответ. Вопрос. Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении? Вопрос Какие числа называют натуральными? Ответ Натуральными называют числа, которые используют при счете Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении? Сформулируйте сочетательный

Подробнее

3. Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов арифметической

3. Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов арифметической Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика», осень 0 г Вариант 5 Партию обуви, купленную за 80 тыс рублей, в первую

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/9 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 9-1 Каждый член партии доверяет пяти однопартийцам, но никакие двое

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/11 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 8-1 Найти все натуральные числа n от 1 до 100 такие, что если перемножить

Подробнее

Всероссийская олимпиада школьников по математике (школьный этап) учебный год. 9 класс

Всероссийская олимпиада школьников по математике (школьный этап) учебный год. 9 класс Муниципальное образование «Гурьевский городской округ» Всероссийская олимпиада школьников по математике (школьный этап) 2016-2017 учебный год 9 класс Максимальное количество баллов 40 Время выполнения

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 8 6 6,5 Решение Используя свойства степени получаем: 8

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Программа вступительного испытания на бакалавриат/специалитет по дисциплине «Математика» в ФГБОУ ВО «СГУ имени Н.Г. Чернышевского»

Программа вступительного испытания на бакалавриат/специалитет по дисциплине «Математика» в ФГБОУ ВО «СГУ имени Н.Г. Чернышевского» Министерство образования и науки Российской Федерации САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО Программа вступительного испытания на бакалавриат/специалитет

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по математике для 8 класса составлена на основе федерального компонента государственного образовательного

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по математике для 8 класса составлена на основе федерального компонента государственного образовательного ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по математике для 8 класса составлена на основе федерального компонента государственного образовательного стандарта основного общего образования по математике (приказ

Подробнее

Программа обсуждена и одобрена на заседании учебно-методического совета Иркутского института (филиала) ВГУЮ (РПА Минюста России).

Программа обсуждена и одобрена на заседании учебно-методического совета Иркутского института (филиала) ВГУЮ (РПА Минюста России). Программа вступительного экзамена по дисциплине «Математика» подготовлена с учетом обязательного минимума содержания среднего (полного) общего образования, установленного приказами Минобразования Российской

Подробнее

ПРОГРАММА вступительного экзамена по математике

ПРОГРАММА вступительного экзамена по математике Министерство образования и науки Луганской Народной Республики Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Луганской Народной Республики «Донбасский государственный

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Данная программа состоит из трех разделов: В первом разделе перечислены основные математические понятия и факты, которыми должен владеть абитуриент. Во втором дан перечень основных

Подробнее

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями)

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями) ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 1/11 учебного года, 11 класс (с решениями) Задача 1 (1 балл) Найти наибольшее число, принадлежащее области определения функции Решение 1 способ Область определения функции задается

Подробнее

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Финальный тур класс

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Финальный тур класс Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика Финальный тур 000 7 класс 7 На контрольной в 7 а было мальчиков на три человека больше, чем девочек По результатам контрольной оказалось, что

Подробнее

Пояснительная записка.

Пояснительная записка. Пояснительная записка. Рабочая программа составлена на основе: - на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования, - примерной программы по математике основного

Подробнее

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума).

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума). 6 По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума) Стационарная точка функции f( ), дважды дифференцируемой в Oδ ( ), является

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

Программа вступительного экзамена по математике при поступлении на обучение на основе общего среднего образования

Программа вступительного экзамена по математике при поступлении на обучение на основе общего среднего образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ЛНР Обособленное структурное подразделение «Перевальский техникум» государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Луганской Народной

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ГС ЛУКЬЯНОВА АИНОВИКОВ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Рязань Министерство

Подробнее

Математика 8 класс. (170 часов)

Математика 8 класс. (170 часов) Математика 8 класс (170 часов) Составлена на основе Программы для общеобразовательных школ, лицеев и гимназий (составители: Г. М. Кузнецова, Н. Г. Миндюк. М.: Дрофа, 2004). СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ Раздел

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по курсу ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА для студентов первого курса

Подробнее

[ ] x 2x. МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» 2 тур, 9 класс, 15 февраля 2015 года ВАРИАНТ 1

[ ] x 2x. МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» 2 тур, 9 класс, 15 февраля 2015 года ВАРИАНТ 1 МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» тур, 9 класс, 15 февраля 015 года ВАРИАНТ 1 1. Десятичная запись натурального числа N содержит 1580 цифр. Среди этих цифр есть тройки, пятёрки

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

y являются длинами сторон некоторого треугольника. Постройте фигуру M и найдите её

y являются длинами сторон некоторого треугольника. Постройте фигуру M и найдите её Первый (заочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по общеобразовательному предмету «Математика», осень 016 г. 9 КЛАСС и 9 1. Вычислите 50 19 7 (15 баллов). Пусть M

Подробнее

Методические указания по Отраслевой олимпиаде школьников «Газпром», профиль математика.

Методические указания по Отраслевой олимпиаде школьников «Газпром», профиль математика. Методические указания по Отраслевой олимпиаде школьников «Газпром», профиль математика Учебное пособие для подготовки к олимпиаде Под редакцией Санкт-Петербургского горного университета МАТЕМАТИКА Очный

Подробнее

Олимпиада «Паруса надежды» Вариант 1.

Олимпиада «Паруса надежды» Вариант 1. Олимпиада «Паруса надежды» Вариант.. Сумма делителей чисел,0 и соответственно равна 8,0,. А тогда сумма делителей числа 6 равна. Следовательно Ответ:.. Сделав замену 98 a, 99 a b 99 98 b. Получим систему,

Подробнее

Мурманская область, Кольский район, с. Минькино

Мурманская область, Кольский район, с. Минькино Приложение к рабочей программе по математике Мурманская область, Кольский район, с. Минькино Государственное областное бюджетное общеобразовательное учреждение «Минькинская коррекционная школа-интернат»

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Пояснительная записка Программа по математике для поступающих в высшие учебные заведения І уровня аккредитации составлена на основании государственной программы по математике, содержит два раздела. В первом

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФГБОУ ВО «Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы»

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФГБОУ ВО «Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы» МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФГБОУ ВО «Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы» Физико-математический факультет Кафедра математики и статистики Программы и требования к вступительным

Подробнее

Тригонометрические уравнения с модулем

Тригонометрические уравнения с модулем И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения с модулем Этот листок посвящён тригонометрическим уравнениям, в которых тригонометрические функции от неизвестной величины содержатся

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

S + 15 k + 1 S k = 2, S k + 1 S + 16

S + 15 k + 1 S k = 2, S k + 1 S + 16 Олимпиада «Курчатов» 2017 по математике 11 класс, 19 марта 2017 г. + Полное решение любой задачи оценивается в 7 баллов. 1. На доске было выписано несколько чисел, их среднее арифметическое было равно

Подробнее

Программа вступительных испытаний по математике Настоящая программа состоит из трех разделов. В первом разделе перечислены основные математические

Программа вступительных испытаний по математике Настоящая программа состоит из трех разделов. В первом разделе перечислены основные математические Программа вступительных испытаний по математике Настоящая программа состоит из трех разделов. В первом разделе перечислены основные математические понятия, которыми должен владеть поступающий как на письменном,

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Рабочая программа по математике 8 класс

Рабочая программа по математике 8 класс Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение Мартыновская средняя общеобразовательная школа Ельцовского района Алтайского края Рабочая программа по математике 8 класс Настоящая программа по алгебре

Подробнее

Зачётная работа.1. Одночлены. Вариант А. 1. Запиши одночлен в стандартном виде, определи коэффициент. 7 xxx; 2abaaa (-3); ayy 7aay; nm

Зачётная работа.1. Одночлены. Вариант А. 1. Запиши одночлен в стандартном виде, определи коэффициент. 7 xxx; 2abaaa (-3); ayy 7aay; nm Зачётная работа. Одночлены Вариант А. Запиши одночлен в стандартном виде, определи коэффициент. mm b - nm. а Выполни действия со степенями : 0 0 m 6 k : k b m 9 б Вместо многоточий впиши недостающие числа...

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Негосударственное образовательное учреждение высшего образования «Кубанский социально-экономический институт (КСЭИ)»

Негосударственное образовательное учреждение высшего образования «Кубанский социально-экономический институт (КСЭИ)» Негосударственное образовательное учреждение высшего образования «Кубанский социально-экономический институт (КСЭИ)» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ для абитуриентов, поступающих в вуз

Подробнее

DF 2 = DM 2 + FM 2 2DM FM cosα = BD 2 + BF 2 2BD BFcos60. выше

DF 2 = DM 2 + FM 2 2DM FM cosα = BD 2 + BF 2 2BD BFcos60. выше Математика. класс. Вариант --5-7 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C (sinx )(cos x+) Решите уравнение =. tgx Левая часть уравнения имеет смысл при tgx >. Приравняем числитель к нулю: (sinx

Подробнее

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1 Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Приложение 26 к приказу 853-1 от 27 сентября 2016 г. МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) в МАИ в 2017 году 1 В первом разделе перечислены основные математические

Подробнее

Олимпиада по математике РАНХиГС (очный этап) Вариант 1. y t a t 5a. Решение:

Олимпиада по математике РАНХиГС (очный этап) Вариант 1. y t a t 5a. Решение: Олимпиада по математике РАНХиГС 013-014 (очный этап) Вариант 1 1 Функция изменяется во времени по формуле y t a t 5a (t 0), где а параметр управления; причем a(1;3) Найти при каком значении параметра управления

Подробнее

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Периодические функции. Гармонический анализ В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которые повторяются через

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

2-я олимпиада Мегаполисов

2-я олимпиада Мегаполисов 2-я олимпиада Мегаполисов День 2 Задача 1. Найдите максимальное натуральное число N, для которого из множества {1, 2, 3,..., 100} можно выбрать N различных чисел так, что ни сумма, ни произведение никаких

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ «УТВЕРЖДАЮ» Руководитель Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки «СОГЛАСОВАНО» Председатель Научнометодического совета ФИПИ по математике Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Подробнее

для учащихся 6-го класса Кроссворд по математике «Царство математики»

для учащихся 6-го класса Кроссворд по математике «Царство математики» МБОУ «Любавинская СОШ» Отчет Неделя математики Учитель Гомзякова Татьяна Геннадьевна В рамках недели математики были проведены следующие мероприятия для учащихся 6-го класса Кроссворд по математике «Царство

Подробнее

Минимаксные задачи в тригонометрии

Минимаксные задачи в тригонометрии И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Минимаксные задачи в тригонометрии В настоящем листке рассматриваются уравнения, для решения которых используются оценки правой и левой частей. Чтобы стало

Подробнее

Преобразования выражений, включающих операцию

Преобразования выражений, включающих операцию Кодификатор элементов содержания по МАТЕМАТИКЕ для составления контрольных измерительных материалов для проведения единого государственного экзамена в 2017 году. Профильный уровень Кодификатор элементов

Подробнее

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой.

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой. РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВАРИАНТА 0 Напомним, что на проверку сдаются решения заданий только из части Решения заданий частей и выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют При выполнении заданий части

Подробнее

Рабочая программа индивидуальных занятий по математике для 12 класса

Рабочая программа индивидуальных занятий по математике для 12 класса Федеральное казенное общеобразовательное учреждение «Вечерняя (сменная) общеобразовательная школа 2 Управления Федеральной службы исполнения наказаний по Белгородской области» СОГЛАСОВАНО Руководитель

Подробнее

раздела Элементы содержания, проверяемые заданиями экзаменационной работы Уравнения и неравенства 6 Уравнения, системы уравнений: 6.1.

раздела Элементы содержания, проверяемые заданиями экзаменационной работы Уравнения и неравенства 6 Уравнения, системы уравнений: 6.1. КОДИФИКАТОР ЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ ЗАДАНИЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫМ ПРОГРАММАМ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ В 2018 ГОДУ Кодификатор элементов

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

Алгебра. Геометрия. Содержание:

Алгебра. Геометрия. Содержание: Код: Содержание: 1. Алгебра 1.1. Числа, корни и степени 1.1.1. Целые числа 1.1.2. Степень с натуральным показателем 1.1.3. Дроби, проценты, рациональные числа 1.1.4. Степень с целым показателем 1.1.5.

Подробнее

ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 5 Итак, уравнение имеет два корня: x=0 и x. Проверкой убеждаемся, что оба корня удовлетворяют данному уравнению. Ответ: УДК 5.(07.07) x=0 и 5 x. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ БЕЗ

Подробнее

Календарно-тематическое планирование. Алгебра 7 класс 3 часа в неделю, 105 часа в год. Освоение предметных знаний

Календарно-тематическое планирование. Алгебра 7 класс 3 часа в неделю, 105 часа в год. Освоение предметных знаний Приложение 1 Календарно-тематическое планирование. Алгебра 7 класс 3 часа в неделю, 105 часа в год. п/п Тема урока Планируемые результаты обучения Дата проведения Освоение предметных знаний 1 Введение

Подробнее

Министерство образования и науки Российской федерации Частное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Камский институт»

Министерство образования и науки Российской федерации Частное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Камский институт» Министерство образования и науки Российской федерации Частное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Камский институт» Приемная комиссия Утверждаю Ректор ЧОУ ВПО «Камский институт»

Подробнее

ПРОГРАММА вступительного экзамена по дисциплине «Математика» для поступающих в Академию гражданской защиты МЧС России

ПРОГРАММА вступительного экзамена по дисциплине «Математика» для поступающих в Академию гражданской защиты МЧС России МЧС РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ВОЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «АКАДЕМИЯ ГРАЖДАНСКОЙ ЗАЩИТЫ МИНИСТЕРСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ

Подробнее

Планиметрия (расширенная)

Планиметрия (расширенная) 1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Тупой угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90 + половина третьего

Подробнее

а) 6 Какую цифру нужно вставить вместо делении на 9 в остатке давало 3? чтобы полученное число при в) 5 б) 3 г) 7 больше числа b. Во сколько раз число

а) 6 Какую цифру нужно вставить вместо делении на 9 в остатке давало 3? чтобы полученное число при в) 5 б) 3 г) 7 больше числа b. Во сколько раз число 4 4 Задача 1 3 5 :1 4 а) 6 б) 3 4 в) 1 6 г) 3 8 Задача Какую цифру нужно вставить вместо делении на 9 в остатке давало 3? в записи354 67 чтобы полученное число при а) б) 3 в) 5 г) 7 Задача 3 Число a на

Подробнее

Тема 1. Элементы теории погрешностей

Тема 1. Элементы теории погрешностей - 1 - Тема 1 Элементы теории погрешностей 11 Источники и классификация погрешностей Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, те с некоторой точностью Это может быть обусловлено

Подробнее

(Новый полный справочник для подготовки к ОГЭ) ISBN (Новый полный справочник для подготовки к ОГЭ)

(Новый полный справочник для подготовки к ОГЭ) ISBN (Новый полный справочник для подготовки к ОГЭ) УДК 373:512 ББК 22.14я721 М52 М52 Мерзляк, А.Г. Математика : Новый полный справочник для подготовки к ОГЭ / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Москва : АСТ, 2017. 447,[1] с.: ил. ISBN 978-5-17-096816-9

Подробнее

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ 5 9 классы МОСКВА «ВАКО» 201 УДК 32.851 ББК 4.262.22 С4 6+ Издание допущено к использованию в образовательном процессе на основании приказа Министерства образования и науки РФ

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1.

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1. 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Известно, что tg + tg = p, ctg + ctg = q. Найдите tg( + ). pq Ответ: tg. q p Из условия p tg q tg tg tg tg p и равенства ctg ctg q, получим, что

Подробнее

Тема 1-4: Алгебраические операции

Тема 1-4: Алгебраические операции Тема 1-4: Алгебраические операции А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Уравнение касательной Рассмотрим следующую задачу: требуется составить уравнение касательной l, проведенной к графику функции в точке Согласно геометрическому смыслу производной

Подробнее

Заключительный этап академического соревнования. Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» в 2015 г.

Заключительный этап академического соревнования. Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» в 2015 г. Заключительный этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» в 05 г Вариант Одновременно из пункта A в пункт B отправляется автомобиль

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее