Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание"

Транскрипт

1 Контрольная работа Теория игр Оглавление Задание Задание 9 Задание 3 4 Задание 4 9 Задание 5 3

2 Задание Сельскохозяйственное предприятие планирует посеять на площади 000 га одну или две (в равной пропорции) из трех культур A, A, A 3 Урожайности этих культур при прочих равных условиях зависят главным образом от погоды Состояния погоды можно охарактеризовать четырьмя вариантами: B сухо, B нормально, B 3 умеренно влажно, B 4 влажно Урожайности культур в зависимости от состояний погоды приведены в таблице, где конкретные числовые данные определяются по формулам: Урожайность культуры, ц/га a = + + m = + + = ; 3 9 ( ) 0, 9 ( ) 0, 3 7, 7 a = + + m = + + = ; 3 3,5 ( ) 0, 3,5 ( ) 0, 3, a = + + m = + + = ; 3 34 ( ) 0, ( ) 0, 3 0, 7 A A 5 Состояние погоды B B B 3 B 4 а а 6 а 8 а а а, 5 7, 5 A 3 а 34 9, 5 а 34, 5 а 34, 5 34 Функция цены, тыс руб за ц а ,05 U а ,05 U а ,03 U Потери, % План посева должен обеспечить наибольший доход Количество предложенной к реализации продукции определяется итоговой величиной собранной продукции с учетом потерь в условиях конкретного состояния погоды Предполагаемые потери для каждой культуры (до ее реализации) составляют в зависимости от состояний погоды 4%, %, 5%, 8% соответственно Средняя цена реализации продукции формируется в соответствии с функцией цены для каждой культуры, указанной в таблице, где U количество предложенной продукции

3 Составить таблицу доходов (матрицу полезности) Определить оптимальную стратегию предприятия, доставляющую наилучший план посева в каждом из следующих случаев (характеризуемых различными информационными условиями или поведенческими принципами при выборе решения): а) по статистическим данным известно, что состояния погоды B и B 4 равновозможны, причем каждое из них наступает в (+0,4 =,) раза реже, чем состояние B, и в (+0, =,3) раза реже, чем состояние B 3 ; б) используется критерий Вальда; в) используется критерий минимаксного риска; г) используется критерий Гурвица, причем уровень пессимизма (доверия) в (+0, =,3) два раза выше уровня оптимизма Решение Таблица Урожайность культуры, ц/га Состояние погоды Функция цены, тыс руб за ц B B B 3 B 4 A 7,7,7 9,7 6, ,05 U A 7,, 0,7 4, ,05 U A, 8, 9, 0, ,03 U 3 Потери, % Далее рассчитываем урожай с учетом потерь: Урожай (U) = урожайность * 000 га потери Для культур: Урожай (U) = урожайность культуры * 000 га + урожайность культуры * 000 га потери 3

4 Урожайность культуры, ц/га Состояние погоды В В В 3 В 4 А 7,7,7 9,7 6,7 А 7,, 0,7 4,7 А 3, 8, 9, 0,7 Потери, % Урожай, ц Состояние погоды В В В 3 В 4 А А А А +А А +А 3 А +А А А А А А А 3 Далее для каждой ячейки матрицы рассчитываем цену (по функции спроса) Для культур используем функции Цена, т р Состояние погоды В В В 3 В 4 А 5490,4 565,5 573,55 585,08 А 6654,4 6396, 649, ,8 А ,88 75,9 7475,6 7409,36 А +А А +А 3 А +А , 586,55 586, ,54 А 687, 6698, , ,9 А 5745, 586,55 586, ,54 А 7965, , ,8 7704,68 А 3 687, 6698, , ,9 А 7965, , ,8 7704,68 А 3 4

5 Затем определяем выручку (урожай * цену), делим на , получаем единицу измерения млрд руб Выручка, млрд р Состояние погоды В В В 3 В 4 А 86,58 30,95 05,49 7,69 А 9,99 54,50 3,98 58,67 А 3 8,7,98 30,67 45,88 А +А 44,8 48,38,59 66, А +А 3 06,80 30,45,64,6 А +А 3 56,37 43,87 36,0 05,65 решение Получили матрицу полезности, теперь по ней определяем наилучшее а) по статистическим данным известно, что состояния погоды B и B 4 равновозможны, причем каждое из них наступает в, раза реже, чем состояние B, и в,3 раза реже, чем состояние B 3 ; Находим вероятности: ( ) = ( 4 ) = ( ) =, p ( 3 ) =,3p ( ) ( ) ( ) ( ) p B p B p p B p B p B + p B + p B + p B = 3 4 p +, p +,3p + p = 6,5 p = p = 6,5 Умножаем построчно выигрыши на вероятности и складываем, получаем ожидаемые выигрыши 5

6 Выручка, млрд р Состояние погоды В В В 3 В 4 А 86,58 30,95 05,49 7,69,379 А 9,99 54,50 3,98 58,67,7 А 3 8,7,98 30,67 45,88,777 А +А 44,8 48,38,59 66, 6,065 А +А 3 06,80 30,45,64,6 0,898 А +А 3 56,37 43,87 36,0 05,65,8 Вероят 0, , , ,53846 Ожидаемые выигрыши Максимальная выручка при посадке культур А и А б) используется критерий Вальда; Находим минимальный выигрыш по каждой стратегии, и ищем максимальных из них Выручка, млрд р Состояние погоды В В В 3 В 4 А 86,58 30,95 05,49 7,69 7,688 А 9,99 54,50 3,98 58,67 58,666 А 3 8,7,98 30,67 45,88 8,73 А +А 44,8 48,38,59 66, 66,5 А +А 3 06,80 30,45,64,6 06,797 А +А 3 56,37 43,87 36,0 05,65 56,366 По данному критерию выбираем - посадку культур А и А 3 M 6

7 в) используется критерий минимаксного риска; Находи матрицу рисков (разница между максимальным выигрышем в столбце и текущим выигрышем) Далее применяем критерий минимакса Выручка, млрд р Состояние погоды В В В 3 В 4 Max А 0,00 3,56 30,7 74,9 74,87 А 94,59 0,00 4, 87, 94,590 А 3 68,3 3,5 5,53 0,00 68,308 А +А 4,77 6, 3,6 79,66 79,66 А +А 3 79,78 4,05 4,56 33,6 79,783 А +А 3 30, 0,64 0,00 40,3 30,5 Минимальный риск при посадке культуры А г) используется критерий Гурвица, причем уровень пессимизма (доверия) в (+0,3 =,3) раза выше уровня оптимизма Уровень пессимизма: γ + γ =,3 γ = = 0,565 +,3 Формула выигрыша: минимальный * критерий пессимизма + максимальный * ( - критерий пессимизма) Получаем 7

8 Выручка, млрд р Состояние погоды В В В 3 В 4 А 86,58 30,95 05,49 7,69 7,688 86,580,643 А 9,99 54,50 3,98 58,67 58,666 54,504 00,337 А 3 8,7,98 30,67 45,88 8,73 45,875 73,754 А +А 44,8 48,38,59 66, 66,5 48,385 0,94 А +А 3 06,80 30,45,64,6 06,797 30,45 7,083 А +А 3 56,37 43,87 36,0 05,65 56,366 43,866 94,4 M По данному критерию выбираем - посадку культуры А Max Расчетный Итак, по большинству критериев предпочтительнее - посадка культуры А 8

9 Задание Решить игру двух игроков с платежной матрицей Н методами линейного программирования Проверить существование седловой точки h H = 3 h 4 3 h 33 h4 Решение h = + ( ) ( 5) = 3 m h = 3 + ( ) m = h4 = + ( ) ( 4) = 3 h33 = + ( ) ( 7) = h H = 3 h h = h33 4 В матрице присутствуют отрицательные элементы Для упрощения расчетов добавим к элементам матрицы (3) Такая замена не изменит решения игры, изменится только ее цена Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так: F(x) = x +x +x 3 m 6x +x 3 5x +5x +7x 3 6x +5x +5x 3 x +6x +x 3 Ф(y) = y +y +y 3 +y 4 max 6y +5y +6y 3 +y 4 9

10 5y +5y 3 +6y 4 y +7y +5y 3 +y 4 Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы Для построения первого опорного плана в системе уравнений уже имеются базисные переменные 6x + 5x + 6x 3 + x 4 + x 5 + 0x 6 + 0x 7 = 0x + 5x + 5x 3 + 6x 4 + 0x 5 + x 6 + 0x 7 = x + 7x + 5x 3 + x 4 + 0x 5 + 0x 6 + x 7 = Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x 5, x 6, x 7 Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: (0,0,0,0,,,) Базис B x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x x x F(X0) Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x 4, так как это наибольший коэффициент по модулю Вычислим значения D по строкам как частное от деления: b / a 4 и из них выберем наименьшее: m ( :, : 6, : ) = / 6 Следовательно, -ая строка является ведущей Разрешающий элемент равен (6) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки Базис B x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 m 0

11 x x / 6 x / F(X) Формируем следующую часть симплексной таблицы Вместо переменной x 6 в план войдет переменная x 4 Получаем новую симплекс-таблицу: Базис B x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 5 5 / / 6 5 / / 6 0 x 4 / / 6 5 / 6 0 / 6 0 x 7 / 3 5 / 3 3 / / 3 F(X) / / / / 6 Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x, так как это наибольший коэффициент по модулю Вычислим значения D по строкам как частное от деления: b / a и из них выберем наименьшее: m ( 5 / 6 : 6, -, / 3 : ) = 5 / 36 Следовательно, -ая строка является ведущей Разрешающий элемент равен (6) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки Базис B x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 m x 5 5 / / 6 5 / / / 36 x 4 / / 6 5 / 6 0 / x 7 / 3 5 / 3 3 / / 3 / 3 F(X) / / / / 6 Формируем следующую часть симплексной таблицы Вместо переменной x 5 в план войдет переменная x Получаем новую симплекс-таблицу:

12 Базис B x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 5 / 36 5 / 36 3 / 36 0 / 6 - / 36 0 x 4 / / 6 5 / 6 0 / 6 0 x 7 9 / / 36 7 / / 6 - / 36 F(X) / / 36 5 / 36 0 / 6 5 / 36 0 Индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план Среди значений индексной строки нет отрицательных Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи Окончательный вариант симплекс-таблицы: Базис B x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 5 / 36 5 / 36 3 / 36 0 / 6 - / 36 0 x 4 / / 6 5 / 6 0 / 6 0 x 7 9 / / 36 7 / / 6 - / 36 F(X3) / / / / 36 Оптимальный план: x = 5 / 36, x = 0, x 3 = 0, x 4 = / 6 F(X) = 5 / / 6 = / 36 / 6 Используя последнюю симплекс таблицу найдем, оптимальный план двойственной задачи Оптимальный план двойственной задачи равен: y = / 6 y = 5 / 36 y 3 = 0 Z(Y) = * / 6 +* 5 / 36 +*0 = / 36 Цена игры будет равна g = /F(x), а вероятности применения стратегий игроков: q = g*y ; p = g*x

13 Цена игры: g = : / 36 = 36 / p = 36 / / 6 = 6 / p = 36 / 5 / 36 = 5 / p 3 = 36 / 0 = 0 Оптимальная смешанная стратегия игрока : P = ( 6 / ; 5 / ; 0) q = 36 / 5 / 36 = 5 / q = 36 / 0 = 0 q 3 = 36 / 0 = 0 q 4 = 36 / / 6 = 6 / Оптимальная смешанная стратегия игрока : Q = ( 5 / ; 0; 0; 6 / ) Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (3), то вычтем это число из цены игры 3 3 / - 3 = 3 / Цена игры: v= 3 / 3

14 Задание 3 Два предприятия А и В регулярно поставляют на местный рынок сбыта продукцию двух видов, причем каждое предприятие для очередной поставки может выбрать только один вид продукции Свой выбор предприятия осуществляют независимо друг от друга Предприятие А может поставить N единиц продукции -го вида или N единиц продукции -го вида, а предприятие В М или М единиц продукции соответственно Цены на продукцию (в условных денежных единицах) определяются в зависимости от количества поставленной на рынок продукции и описываются следующими функциями: f (X ) = c k X для продукции -го вида, f (X ) = c k X для продукции -го вида, где X, X количество поставленной на рынок продукции -го или -го вида соответственно Основная цель каждого предприятия получение наибольшего (в данных условиях) дохода Требуется: ) составить таблицу доходов предприятий; ) найти ситуации равновесия (по Нэшу) и соответствующие выигрыши предприятий; 3) привести графическую интерпретацию решения данной игры Конкретные числовые данные определяются по формулам: N = 80 + ( ) + m = 79 ; N = ( ) + m = 399 ; M = 650 N + m = 37 ; M = 70 N + m = 3; c = 50 + ( ) 3 = 4; c = ( ) 5 = 335 ; k = 0, ; k = 0, 3 ; 4

15 Решение Предприятие А может поставить 79 единиц продукции -го вида или 399 единиц продукции -го вида, а предприятие В 37 или 3 единиц продукции соответственно Цены на: f (X ) = 4 0,X для продукции -го вида, f (X ) = 335 0,3X для продукции -го вида, где X, X количество поставленной на рынок продукции -го или -го вида соответственно ) таблица доходов предприятий; Сначала находим наполненность рынка (Х) по каждому виду товара, суммируем поставки Поставки В В А А вид вид вид вид вид вид Затем находим цену на товары А А Цены В В вид 0,8 85, вид ,4 вид 66,6 4 вид 5,3 8,7 Теперь находим доходы каждого предприятия А А Доходы В В предпр 3093, 5670,8 предпр 47, ,8 предпр 85904, предпр 6975,

16 ) ситуации равновесия (по Нэшу) и соответствующие выигрыши предприятий; Положим, оба предприятия поставляют товар А А Доходы В В предпр 3093, 5670,8 предпр 47, ,8 предпр 85904, предпр 6975, му предприятию выгодно изменить поставку на -й товар (85904,7 больше 3093,) А А Доходы В В предпр 3093, 5670,8 предпр 47, ,8 предпр 85904, предпр 6975, му предприятию выгодно изменить поставку на -й товар (76764,8 больше 47,6) А А Доходы В В предпр 3093, 5670,8 предпр 47, ,8 предпр 85904, предпр 6975, 7760 То есть стратегия поставки только первого товара обоими предприятиями не является равновесием Нэша Аналогично анализируем прочие стратегии, и выявляем, что равновесием Нэша является стратегия «оба предприятия поставляют товар» А А Доходы В В предпр 3093, 5670,8 предпр 47, ,8 предпр 85904, предпр 6975,

17 По направлению движения стрелок доходы уменьшаются, в одностороннем порядке ни одно из предприятий не отклонится от данных стратегий 3) графическая интерпретация решения данной игры Составляем условия: C = a - a - a + a = -0503,3 α = a - a = 44488, D = b -b -b +b = -990,4 β = b -b = 837, Система уравнений ( )( α ) ( α ) ( )( β ) ( β ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) p Cq 0 p 0503,3q 44488, 0 p Cq 0 p 0503,3q 44488, 0 q Dp 0 q 990, 4 p 837, 0 q Dp 0 q 990, 4 p 837, 0 p = 0 q p = q 0 p q = q = 0 p q = p 0 q p = 7

18 Равновесная стратегия (;) 8

19 Задание 4 В игре двух игроков с платежной матрицей Н: а) проверить существование седловой точки; б) найти решение игры, используя графическую интерпретацию и выполняя аналитические вычисления h H = 5 h h h h = 3 + ( ) ( ) h3 = 3 + ( ) m h = + ( ) ( m) h 3 = + m Решение 3 h = 3 + ( ) (3 ) = h3 = 3 + ( ) m = 4 h = + ( ) ( m) = 4 h3 = + m = H h h h h = = Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку Игроки B B B 3 B 4 a = m(a ) A A b = max(b ) 9

20 Нижняя цена игры a = max(a ) = -5, Верхняя цена игры b = m(b j ) = Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a b, тогда цена игры находится в пределах -5 y Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы С позиции проигрышей игрока В стратегия B доминирует над стратегией B (все элементы столбца меньше элементов столбца ), следовательно исключаем -й столбец матрицы Вероятность q = 0 С позиции проигрышей игрока В стратегия B 4 доминирует над стратегией B 3 (все элементы столбца 4 меньше элементов столбца 3), следовательно исключаем 3-й столбец матрицы Вероятность q 3 = 0 Переходим к игре 5 H = 5 Решим задачу геометрическим методом: По оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A, правый - стратегии A (x = ) Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S = (p,p ) На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A На линии, параллельной оси ординат, из точки откладываются выигрыши стратегии A 0

21 Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B B и B B, для которых можно записать следующую систему уравнений: y = + (-5 - )p y = -5 + ( - (-5))p Откуда p = / p = / Цена игры, y = -3 / Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений q -5q 4 = y -5q +q 4 = y

22 q +q = или q -5q 4 = -3 / -5q +q 4 = -3 / q +q = Решая эту систему, находим: q = / q 4 = / Поскольку из исходной матрицы были удалены найденные векторы вероятности можно записать в виде: P( /, / ) Q( /,0,0, / ) и столбцы, то Цена игры, y = -3 /

23 Задание 5 Смешанное расширение бескоалиционной игры Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях Свойства и условия существования равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях Пусть: Ι = {,,,} - множество игроков; Χ - множество стратегий -го игрока (,,) = Игроки, независимо друг от друга, выбирают стратегии: I выбрал стратегию x Χ, II выбрал стратегию x Χ, -й выбрал стратегию Возникла ситуация x Χ ( x, x,, x ) Χ = Χ Χ Χ - множество ситуаций x = Каждый из игроков умеет оценивать для него степень важности той или иной ситуации Η ( x) - выигрыш -го игрока в ситуации x Η : Χ R - функция выигрыша -го игрока Составим вектор выигрышей ( x) = ( Η ( x) Η ( x), Η ( x) ) Η,, Η : Χ R - векторная функция выигрышей Определение: Даны I, X, определена вектор-функция выигрышей Η : Χ R Тогда Γ = Ι Χ, Η, - бескоалиционная игра лиц в нормальной форме Пример: 3

24 Η ( x) = Η ( x) Χ - антагонистическая игра = x = Χ = {,,, m} Χ = {,,, m} (, j) Χ Χ aj = Η(, j) b = Η (, j) j Χ, j Χ a A = a m a a m m m - матрица выигрышей I игрока; ( ) Β = - матрица выигрышей II игрока b j Имеем бескоалиционную игру двух лиц (или биматричную игру) Если Β = Α, то это матричная игра Имеем конечную бескоалиционную игру лиц: I {,,, } = {, }- множество стратегии -го игрока X,, m X = X X X - множество ситуации x X - -ая стратегия игрока ( x x x ) X x =,,, H (x) - выигрыш -го игрока в ситуации x ( H ( x),, H ( )) H ( x) = x Γ = I, X, H - конечная бескоалиционная игра = Определение: Cмешанной стратегией -го игрока называется случайная величина со значениями в ξ m Р р () р () р m ) ( X 4

25 Из вероятностей формируем вектор вероятностей: ( p ), p (),, p ( m )) p = ( Каждой ξ ставим в соответствие вероятность: m ξ p R Следовательно множество смешанных стратегий -го игрока можно записать через соответствующие им вероятности X m = p = ( p ( ),, p ( m )): k p ( k) 0, p ( k) = k = Множество смешанных ситуаций: X m m X X R, где m = m = = X Смешанная ситуация p X представляет собой элемент декартова произведения: p = ( p p,, p ) X, Определение: Выигрыш математическое ожидание случайного выигрыша в ситуации p Все игроки выбирают свои стратегии независимо друг от друга Тогда выигрыш -го игрока в ситуации p можно записать H ( p) H ( x, x,, x ) p( x ) p ( x ) p ( x ), = x X x X x X где x = ( x x,, x ) X, игры p x) = p ( x ) p ( x ) p ( x ) - вероятность возникновения ситуации x ( H ( p) = H ( x) p( x) x X Определение: Cмешанным расширением конечной бескоалиционной Γ = I, X, H называется игра = I, X, H Γ, где H ( p) ( H( p),, H ( p) ) = Пример: Игра «Семейный спор» А = ; В = ; { Ф Т} Х = Х, = ξ ξ Р р () р () Р р () р () 5

26 р () = t, р () = t p = ( t, t) 0 t ; р () = u, р () = u p = ( u, u) 0 u ; p = p, p ) ( H ( p) = 4tu + 0 t( u) + 0 ( t) u + ( t)( ) : H u ( p) = tu + 0 t( u) + 0 ( t) u + 4( t)( ) u Определение: Cитуация p * называется ситуацией равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях для игры Γ = I, X, H, если * p является ситуацией равновесия по Нэшу в смешанном расширении этой игры, те игры Γ = I, X, H, те I, p X, H ( p* p ) H ( p*), где * ( p*,, p *,, p *) p =, p p = ( p *,, p,, p *), те выигрыш игрока в смешанных стратегиях не * может быть увеличен, если игрок меняет только свою собственную стратегию Теорема Нэша: Любая конечная бескоалиционная игра имеет ситуацию равновесия в смешанных стратегиях Доказательство: X - множество всех ситуаций в смешанных стратегиях X = { p = ( p,, p ): p X } ; X m = p = k= ( p ( ),, p ( m )): k p ( k) 0 p ( k) = - выпуклый компакт Рис 6

27 X = X X X - выпуклый компакт p) = ( H ( x) p ( x) p ( x) p ( x - функция выигрыша линейна по p (x) x X H ) при остальных фиксированных переменных, следовательно, вогнута по p 3 H ( p) непрерывна по совокупности переменных p,, p По теореме о существовании ситуации равновесия в бескоалиционных играх данная игра Γ имеет ситуацию равновесия Теорема доказана Теорема о переходе к чистым стратегиям: для того чтобы ситуация p * была ситуацией равновесия по Нэшу, в смешанных стратегиях необходимо и достаточно, чтобы Схема доказательства: p x I, x X H ( p* x ) H ( p*) * - ситуация p *, в которой стратегия p * заменена на чистую стратегию x = (0,,,,0) x Необходимость По определению ситуации равновесия по Нэшу: I p X H ( p* x ) H ( p*) Необходимость доказана Достаточность доказать самостоятельно Теорема доказана Теорема о дополняющей нежесткости: Пусть ( p *,, p *,, p *) ситуация равновесия по Нэшу Тогда если p * ( ) > 0, то H ( p* x ) H ( p*) x =, если H ( p* x ) < H ( p*), то * ( x ) = 0 Экономический смысл: p p = - * Если игрок в ситуации равновесия с положительной вероятностью использует стратегию x, то выигрыш этого игрока не изменится при замене стратегии p * на чистую x 7

28 Если выигрыш игрока в ситуации x меньше, чем в ситуации равновесия, то вероятность того, что он будет использовать эту стратегию, равна 0 8


Методы оптимальных решений Контрольная с решением

Методы оптимальных решений Контрольная с решением Методы оптимальных решений Контрольная с решением Задача 1 Составить математическую модель задачи и решить ее двумя способами: симплексметодом и графически. Для полученной задачи составить двойственную,

Подробнее

Задание 1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение

Задание 1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение Сделаем ваши задания на отлично. htts://www.matburo.ru/sub_subect.h?ti Теория игр Матричные игры. Игры с природой Задание Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение ma min a i } min

Подробнее

определяется матрицей A.

определяется матрицей A. Задание.Мебельная фабрика планирует выпуск двух видов продукции А и Б. Спрос на продукцию не определен, однако можно предполагать, что он может принимать одно из трех состояний (I, II и III). В зависимости

Подробнее

Решенная контрольная работа по МОР

Решенная контрольная работа по МОР Решенная контрольная работа по МОР. Построить симплексную таблицу ЗЛП Q = x 3x x 3 max при ограничениях: 3x + x x3 3 x 3x + x3 = x + x + 3x3 x 0; x 0; x 0. Решение Приводим задачу к каноническому виду.

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ 1. ЗАДАНИЕ ЭТАПЫ РАБОТЫ Формирование математической модели задачи Решение прямой задачи симплекс-методом...

СОДЕРЖАНИЕ 1. ЗАДАНИЕ ЭТАПЫ РАБОТЫ Формирование математической модели задачи Решение прямой задачи симплекс-методом... СОДЕРЖАНИЕ. ЗАДАНИЕ.... ЭТАПЫ РАБОТЫ..... Формирование математической модели задачи..... Решение прямой задачи симплекс-методом..... Построение двойственной задачи... 6.4. Решение прямой и двойственной

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР Задачи выбора в условиях неопределенности Имеется набор возможных исходов y Y, из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но с какой именно в момент выбора неизвестно,

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера x x n m x В решении игр используется следующая теорема: если один из игроков применяет свою оптимальную смешанную стратегию

Подробнее

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР.

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Лекции 5-6 КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации

Подробнее

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР В теории игр исследуется процесс принятия решений в конфликтных ситуациях, т. е. в случаях, когда существует несколько сторон с разными интересами. Различают игры

Подробнее

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 1 Аналитический метод Графический метод Аналитический метод решения игры 2х2 2 A 1) оптимальное решение в смешанных стратегиях: S A = p 1, p 2 и S

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 8.0.0

Подробнее

Равновесие Нэша - определения

Равновесие Нэша - определения Равновесие Нэша Самый популярный принцип рационального поведения в теории некооперативных игр рекомендует в качестве рациональных исходов использовать ситуации равновесия Нэша. Они характеризуются тем,

Подробнее

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63)

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63) УДК 0 Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà 00 ¹ (6) ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ РЕШЕНИЙ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ И ПРИНЦИПА ДОМИНИРОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 00 АИ Чегодаев Ключевые слова:

Подробнее

Γ обозначение игры, N = { 1,

Γ обозначение игры, N = { 1, Равновесие по Нэшу. Существование равновесия для конечных игр в нормальной форме.. Понятие игры в нормальной форме... Игры в нормальной форме. Введем понятие игры в нормальной (стратегической) форме. Как

Подробнее

5. Элементы теории матричных игр

5. Элементы теории матричных игр 5 Элементы теории матричных игр a m В теории игр исследуются модели и методы принятия решений в конфликтных ситуациях В рамках теории игр рассматриваются парные игры (с двумя сторонами) или игры многих

Подробнее

Математическое программирование. 1-я задача. Симплекс-метод решения задачи.

Математическое программирование. 1-я задача. Симплекс-метод решения задачи. Математическое программирование. 1) Решить графически следующие задачи линейного программирования. 2) Решить обе задачи перебором базисных решений. 3) Решить первую задачу симплекс методом. 1-я задача:

Подробнее

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д.

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д. цена. Матричные. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова цена. Определение. Матричная игра - это бескоалиционная

Подробнее

Системный анализ Решенная контрольная работа

Системный анализ Решенная контрольная работа Системный анализ Решенная контрольная работа Задача 1 В соответствии с теорией полезности оценить ожидаемую полезность действий Д1 (угадать вазу типа А) или Д2 (угадать вазу типа В) для задачи с вазами

Подробнее

Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа

Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа Задача. Используя теорию игр проанализировать ситуацию и принять решение. Рассмотреть ситуацию, как антогонистическую игру и игру с природой.

Подробнее

Контрольная работа по ММУ. Вариант 1. Задание 1. Решить графическим методом задачу линейного программирования:

Контрольная работа по ММУ. Вариант 1. Задание 1. Решить графическим методом задачу линейного программирования: Контрольная работа по ММУ Вариант Задание Решить графическим методом задачу линейного программирования: а) найти область допустимых значений многоугольник решений); б) найти оптимумы целевой функции. Дано:

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) М.Л. ОВЕРЧУК ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях.

Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях. Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях. 18.09.2014 1 3.1 Нахождение смешанных стратегий в играх 2 2 3.2 Упрощение матричных игр 3.3 Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2xn и mx2 2 Аналитический

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Учебное издание Пивоварова Ирина Викторовна ТЕОРИЯ ИГР Практикум ИВ ПИВОВАРОВА ТЕОРИЯ

Подробнее

Лекция 2. Антагонистические игры.

Лекция 2. Антагонистические игры. Лекция 2. Антагонистические игры. 11.09.2014 1 2.1 Определение антагонистической игры 2.2 Понятие матричной игры 2.3 Выбор оптимальной стратегии в матричной игре 2.4 Ситуация равновесия в матричной игре

Подробнее

Пример из лекции. Торговец на сумму 250 у.е. может закупить зонтики по цене 0,5 у.е. за штуку и солнечные очки по цене 0,2 у.е. за штуку.

Пример из лекции. Торговец на сумму 250 у.е. может закупить зонтики по цене 0,5 у.е. за штуку и солнечные очки по цене 0,2 у.е. за штуку. торговец Пример из лекции Торговец на сумму у.е. может закупить зонтики по цене у.е. за штуку и солнечные очки по цене у.е. за штуку. Он продает зонтики по у.е. за штуку очки по у.е. за штуку. Если идет

Подробнее

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: К теме Теория игр На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют

Подробнее

Решение задачи целочисленного программирования методом Гомори. Решение двойственной задачи

Решение задачи целочисленного программирования методом Гомори. Решение двойственной задачи Решение задачи целочисленного программирования методом Гомори. Решение двойственной задачи ЗАДАНИЕ.. Найти целочисленное решение задачи линейного программирования..составить двойственную задачу и решить

Подробнее

Автор теста: Мухаметжанова Ж.С. Название теста: Моделирование экономических процессов и систем Предназначено для студентов специальности: Учет и

Автор теста: Мухаметжанова Ж.С. Название теста: Моделирование экономических процессов и систем Предназначено для студентов специальности: Учет и Автор теста: Мухаметжанова Ж.С. Название теста: Моделирование экономических процессов и систем Предназначено для студентов специальности: Учет и аудит курс, 3 г.о., ДОТ Семестр: 2 Количество кредитов:

Подробнее

Теория игр Решение контрольной работы

Теория игр Решение контрольной работы Теория игр Решение контрольной работы Задача Решить задачу графическим методом Решение Очевидно, матрица не имеет седловой точки, поэтому будем искать решение в смешанных стратегиях Решим задачу графическим

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки 02.03.01

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ ИГР»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ ИГР» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства»

Подробнее

Задача 1. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4x+3y при следующих ограничениях:

Задача 1. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4x+3y при следующих ограничениях: Задача. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4+y при следующих ограничениях: Решить задачу при дополнительном условии (ДУ): ДУ: Найти минимум целевой функции L=-y при

Подробнее

Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр

Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр ы. е. ах Антагонистические ы. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова ы. Определение ы. е. ах Игра Γ =< I, {X i

Подробнее

Тема 11. Матричные игры

Тема 11. Матричные игры Тема 11. Матричные игры Цель: познакомить читателя с основными понятиями теории матричных игр: принципом максимина и минимакса, ситуациями равновесия, смешанным расширением игры, выяснить взаимосвязь между

Подробнее

Введение в матричные игры

Введение в матричные игры Введение в матричные игры Предметом исследований в теории игр являются модели и методы принятия решений в ситуациях, где участвуют несколько сторон (игроков). Цели игроков различны, часто противоположны.

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант 4 Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Ýêîíîìèêà УДК 5985 ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 00 АИ Чегодаев* Ключевые слова: чистые

Подробнее

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины. Тема СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ Система m линейных уравнений с переменными в общем случае имеет вид: m m m m ) где числа ij i, m, j, ) называются коэффициентами при переменных, i - свободные члены, j -

Подробнее

4 Методы нахождения первоначальной крайней точки

4 Методы нахождения первоначальной крайней точки 4 Методы нахождения первоначальной крайней точки 4. Переход к решению двойственной задачи Рассмотрим метод решения задач линейного программирования путем перехода к двойственной задаче и решения полученной

Подробнее

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки .3. Антагонистические игры. Седловые точки Антагонистическая игра. Она представляет собой частный случай игры в нормальной форме Г, когда имеется два игрока (n = ) и сумма функций выигрыша этих игроков

Подробнее

Двойственность в линейном программировании

Двойственность в линейном программировании Двойственность в линейном программировании Двойственными называются пары следующих задач: z b b, k k,, r r, w, k k, b, r r, Принципы составления двойственных задач: Если исходная задача на максимум, то

Подробнее

Экономико-математические методы и модели.

Экономико-математические методы и модели. ИНСТИТУТ МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Экономико-математические методы и модели. МОСКВА - 00 Практические задания

Подробнее

Теория принятия решений

Теория принятия решений Теория принятия решений Литература О.И. Ларичев «Теория и методы принятия решений» А.И. Орлов «Теория принятия решений» А.Т. Зуб «Принятие управленческих решений» А.Г. Мадера «Моделирование и принятие

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕОРИЯ ИГР ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Линейное программирование

Линейное программирование Линейное программирование Задача 1... 2 Задача 2... 3 Задача 3... 5 Задача 4... 7 Задача 5... 10 Задача 6... 12 Задача 7... 15 Задача 8... 19 Задача 9... 21 Задача 10... 24 Задача 11... 27 Задача 1. Составить

Подробнее

Нахождение решения задачи параметрического программирования.

Нахождение решения задачи параметрического программирования. Нахождение решения задачи параметрического программирования. ешение задачи, целевая функция которой содержит параметр. Продолжим рассмотрение задачи (1)-(3). Считая значение параметра t равным некоторому

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения. Кафедра Математики, физики и информационных технологий. Направление подготовки 8.0.0 Экономика,

Подробнее

Метод сокращения отрицательных компонент при поиске допустимого базисного решения задачи линейного программирования

Метод сокращения отрицательных компонент при поиске допустимого базисного решения задачи линейного программирования Истомин Леонид Александрович Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Уральский государственный экономический университет 62144, РФ, г Екатеринбург, ул 8 Марта/Народной воли,

Подробнее

Графическое решение задачи

Графическое решение задачи Решить задачу линейного программирования, где 3x12x2 8 x14x2 10 x1 0 x 2 0 LX3x14x2 max а) геометрическим способом, б) перебором базисных решений, в) симплекс-методом. Графическое решение задачи L X 3x14

Подробнее

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ГОУВПО «Ростовский государственный университет» ЛИ Сантылова, АБ Зинченко ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ (методические указания для студентов

Подробнее

Данный файл получен на сайте

Данный файл получен на сайте Добавить вопрос МАТЕМАТИКА 1 Суммой (объединением) нескольких событий называется 2 Произведением (пересечением) двух событий А и В называется 3 Сколько существует различных пятизначных номеров, в которых

Подробнее

2.2. Смешанные стратегии

2.2. Смешанные стратегии 1 2.2. Смешанные стратегии Если в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший,

Подробнее

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными».

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Тема 1 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решением системы уравнений с двумя переменными

Подробнее

Краткая теория Пусть требуется найти максимальное значение функции. 1 max (1) при условиях

Краткая теория Пусть требуется найти максимальное значение функции. 1 max (1) при условиях Лабораторная работа Тема: «Симплексный метод» Цель работы: Получить практические навыки решения задач линейного программирования симплексным методом. Предварительная подготовка: спец. дисциплина «Математические

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР К Л Самаров, 009 ООО «Резольвента», 009 ООО «Резольвента»,

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Некоторые специальные экстремальные задачи Дискретная транспортная задача (задача Монжа-Канторовича)

Подробнее

Портфолио arcadynovosyolov: игры и решения

Портфолио arcadynovosyolov: игры и решения Портфолио arcadynovosyolov: игры и решения ОГЛАВЛЕНИЕ Типовые задачи... 2 Игры и решения... 2 Матричные игры... 2 Более сложные задачи... 7 Игры и решения... 7 Парето-оптимальное решение... 7 ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

33. f(x)= 5x1 +2x2 3x3 + 4x4 max х1+ 4х2 5х3 4х4 = -8 2х2 + х3 + 3х4 = 10 хj 0 (j = 1, 2, 3, 4).

33. f(x)= 5x1 +2x2 3x3 + 4x4 max х1+ 4х2 5х3 4х4 = -8 2х2 + х3 + 3х4 = 10 хj 0 (j = 1, 2, 3, 4). 33. f(x)= 5x1 +2x2 3x3 + 4x4 max х1+ 4х2 5х3 4х4 = -8 2х2 + х3 + 3х4 = 10 хj 0 (j = 1, 2, 3, 4). Найти наибольшее значение функции F = 5 x 1 + 2 x 2-3 x 3 + 4 x 4 при следующих ограничениях: x 1 + 4 x

Подробнее

Занятие 4. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

Занятие 4. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. Занятие. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. Найти максимум функции при ограничениях А. СИМПЛЕКС-МЕТОД ДАНЦИГА А. Решение канонической задачи Постановка задачи f ( x) c j x j x ij j bi, i,, m; m j j, x

Подробнее

Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Excel ЗАДАНИЕ. кг сырья первого типа, a

Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Excel ЗАДАНИЕ. кг сырья первого типа, a Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Ecel ЗАДАНИЕ. Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие и Изделие. На изготовление единицы

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» П. С. Гончарь Л. Э. Гончарь Д. С. Завалищин ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

Инвестиционная политика

Инвестиционная политика УДК 336.051 ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ ИНВЕСТОРА НА РОССИЙСКОМ ФОНДОВОМ РЫНКЕ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ИГР Н. А. КЛИТИНА, ассистент кафедры фундаментальной и прикладной математики E-mal: kltnanna@yandex.

Подробнее

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Позиционные игры / 25

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Позиционные игры / 25 Домашнее задание 8. Имеется два игрока, которым нужно разделить 100 долларов. Игрок 1 предлагает сумму x [0, 100] игроку 2. Если игрок 2 соглашается, то он получает x, а игрок 1 получает 1 x. Если он не

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ По выполнению контрольных работ По дисциплине «Теория игр» Для студентов заочного отделения специальности «Прикладная информатика в экономике» Хабаровск Задачи теории игр Если имеется

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Точка пересечения не принадлежит области. Построим область допустимых решений.

Точка пересечения не принадлежит области. Построим область допустимых решений. Задача. Решить графически ma F Находим точки пересечения прямых определяющих неравенства. Отсюда Точка пересечения не принадлежит области. Построим область допустимых решений. Построим вектор направления

Подробнее

Контрольная работа по математическим методам (МАИ) Задание 1. Пусть в производстве товаров участвуют три отрасли, -

Контрольная работа по математическим методам (МАИ) Задание 1. Пусть в производстве товаров участвуют три отрасли, - Контрольная работа по математическим методам (МАИ) Задание 1. Пусть в производстве товаров участвуют три отрасли, - объемы производимой продукции каждой отрасли. Конечный спрос на продукцию -ой отрасли

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 4

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 4 Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Ростовский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет Л.Н.Землянухина, А.Б.Зинченко, Л.И.Сантылова МЕТОДИЧЕСКИЕ

Подробнее

Учебно-методические материалы по дисциплине «Основы математического моделирования социально-экономических процессов» Контрольные вопросы

Учебно-методические материалы по дисциплине «Основы математического моделирования социально-экономических процессов» Контрольные вопросы Учебно-методические материалы по дисциплине «Основы математического моделирования социально-экономических процессов» Контрольные вопросы 1. Понятие математической модели. 2. Понятие критерия оптимальности

Подробнее

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 202 Т. 4 3 С. 475 482 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ УДК: 59.833 Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для

Подробнее

c m,1 c m,2 c m,n x m,1 x m,2 x m,n a m b 1 b 2 b n Рис. 1. Структура транспортной таблицы

c m,1 c m,2 c m,n x m,1 x m,2 x m,n a m b 1 b 2 b n Рис. 1. Структура транспортной таблицы Транспортная задача. 1. Транспортная задача в матричной постановке Транспортная задача формулируется следующим образом. Пусть m поставщиков располагают a i (i = 1, 2,..., m) единицами некоторой продукции,

Подробнее

Метод сокращения отрицательных индексных элементов при поиске начального базисного псевдооптимального решения задачи линейного программирования

Метод сокращения отрицательных индексных элементов при поиске начального базисного псевдооптимального решения задачи линейного программирования Истомин Леонид Александрович Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического обеспечения и администрирования информационных систем Уральский государственный экономический университет

Подробнее

Занятие 6. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. РЕШЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Занятие 6. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. РЕШЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ Занятие 6. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. РЕШЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ Найти максимум функции при ограничениях А. СИМПЛЕКС-МЕТОД ДАНЦИГА А. Решение канонической задачи n = Постановка задачи n f ( x)

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

Программа курса «Экономико математические методы и модели» для подготовки к письменному экзамену 1. 1 Экстремумы функций многих переменных

Программа курса «Экономико математические методы и модели» для подготовки к письменному экзамену 1. 1 Экстремумы функций многих переменных Программа курса «Экономико математические методы и модели» для подготовки к письменному экзамену 1 Факультет МЭО курс: 2 весна 2011 Продолжительность экзамена: 120 мин 1 Экстремумы функций многих переменных

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Системы случайных величин

Системы случайных величин Corght ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Министерство образования и науки Российской Федерации Ивановский государственный химико-технологический университет Системы случайных величин Методические

Подробнее

Часть II Модели оптимального управления в экономике. 7. Теория игр и игровое моделирование в экономике

Часть II Модели оптимального управления в экономике. 7. Теория игр и игровое моделирование в экономике Часть II Модели оптимального управления в экономике К содержанию 7 Теория игр и игровое моделирование в экономике 7 Основные понятия теории игр Теория игр это раздел математики, в котором исследуются математические

Подробнее

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Глава 2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 2.1. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Для решения задач линейного программирования симплексметодом следует выполнить ряд

Подробнее

Вариант 1. Математический факультет ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН уч.г., Вариант 2.

Вариант 1. Математический факультет ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН уч.г., Вариант 2. Вариант 1. 1. Поле комплексных чисел. Его конструкция. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Формула Муавра и формула извлечения корней n ой степени из комплексного числа.

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.

Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Общая математическая формулировка основной задачи линейного программирования: дана система m линейных уравнений с n неизвестными a11x1 a12

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Направление Физико-математическое образование. Профиль Информатика. Ведущий лектор: Сидорова О.А., к.ф.-м.н.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Направление Физико-математическое образование. Профиль Информатика. Ведущий лектор: Сидорова О.А., к.ф.-м.н. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра ИНФОРМАТИКИ И МЕТОДИКИ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ И ФИНАНСАХ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ И ФИНАНСАХ Федеральное агентство по образованию Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Е.В. Кошелев МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ И ФИНАНСАХ Учебное пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее