Нурушева Марина Борисовна старший преподаватель кафедры физики 023 НИЯУ МИФИ

Транскрипт

1 Лекция 4 Основные понятия и принципы молекулярно-кинетической теории. Газовые законы. Термодинамика. Работа газа в циклическом процессе. Тепловые двигатели. Цикл Карно Нурушева Марина Борисовна старший преподаватель кафедры физики 03 НИЯУ МИФИ

2 Количество вещества Количество вещества в молях ν = N/NA = m/м, где N - число молекул, NA = 6,0*0 3 /моль число Авогадро, равно числу атомов, содержащихся в г углерода m масса вещества, М - молярная масса вещества (масса одного моля), измеряется в кг/мол

3 Масса коробки m = г Число шариков (атомов углерода) Молярная масса NA = 6,0*0 3 штук Количество вещества в молях ν = Определить массу коробки с таким же количеством атомов кислорода, молекул воды?

4 Задача Число молекул в баке с водой объемом 90 л при нормальных условиях, равно.? ( М = кг/моль; N А = 6, моль - ; ρ воды =000 кг/м 3 )

5 Задача Число молекул в баке с водой объемом 90 л при нормальных условиях, равно.? ( М = кг/моль; N А = 6, моль - ; ρ воды =000 кг/м 3 ) Решение: ν = 000 m M кг 3 м = Количество вещества ρv M = м 3 3 N N A 6,0 0 кг моль N 3 = моль ρvn M A = = 3 0 7

6 Идеальный Газ (ИГ) ИГ удовлетворяет следующим условиям: )Объем, занимаемый молекулами ИГ, много меньше объема газа (расстояние между молекулами >> размера молекул). )Молекулы взаимодействуют как бильярдные шары: силы притяжения отсутствуют, отталкивание только при контакте. Воздух при комнатной температуре и атмосферном давлении ИГ.

7 Температура Связь температуры и средней кинетической энергии поступательного движения Пусть ИГ состоит из N молекул, E, E, - кинетическая энергия поступательного движения молекул, Средней кинетической энергией поступательного движения молекулы называют величину: <E>= (E + E + )/N. <E>= 3kT/, где k = постоянная Больцмана. Температура подставляется в Кельвинах, T(K)=t( C)+73 температура плавления льда равна 0 C = 73 К.

8 Основное уравнение МКТ P = F / S F = p / t V = S v t S υ F p = mv υ t X n = N / V

9 Основное уравнение МКТ Давление газа обусловлено упругими ударами молекул о стенку. По -ому з-ну Ньютона в импульсной форме: psδt =FΔt=ΔN (mυ) (), где υ средняя скорость в направлении, перпендикулярном стенке (будем считать ее одинаковой для всех молекул), ΔN число молекул, достигших стенки за время Δt. Определим концентрацию молекул как отношение числа молекул к объему, который они занимают: n = N/V.

10 Основное уравнение МКТ За время Δt стенки могут достигнуть молекулы в цилиндре объемом ΔV = SυΔt. Но вклад в давление дадут только те молекулы, что движутся в положительном направлении оси Х. Таких молекул /6 от общего числа, так как есть три оси x,y,z, каждая с положительным и отрицательным направлением, => ΔN = nδv/6 = nsυδt/6. Подставляя в () выражаем давление: p =nmυ /3. Учитывая, что средняя кинетическая энергия поступательного движения <E>= mυ /, получаем основное уравнение МКТ: p = (/3)n<E>.

11 Основное уравнение МКТ

12 Задача Как изменится давление ИГ, если /3 молекул прилипнет к стене? ΔN = nδv/6 = nsvδt/6 N= /3 ΔN, N= /3 ΔN P=P+P, где P= mv/δts* N P=mv/ΔtS* N P=4nmv /8 + nmv /8 = = 5nmv /8,учитывая что 3kT/=mv /, окончательно P= 5nkT/6. Сравним P=nkT P P F F V n = = F = F = = S = N p p = / = / p p S S / t / t v t / V mv mv

13 p = νrt. Уравнение Клапейрона-Менделеева Связь давления, концентрации и температуры ИГ: p = (/3)n<E> = (/3)n(3kT/) = nkt Учитывая, что N = νn A = (M/μ)N A, уравнение p = nkt можно переписать в виде: p = nkt = (N:V)kT = (νn A :V)kT (). Введя универсальную газовую постоянную R = N A k = 8.3 Дж/(моль К), из () получим уравнение Клапейрона-Менделеева: pv = νrt.

14 Уравнение Менделеева - Клапейрона: pv=m/м * RT P давление V объем T температура R= 8,3 Дж/моль*К универсальная (молярная) газовая постоянная.

15 Задача3 Средняя квадратичная скорость молекул газа может быть найдена по формуле.? (р- давление газа; ρ- плотность газа) Решение: Средняя квадратичная v = скорость По уравнению Менделеева- Клапейрона Из него RT = pvm m pv = m M Тогда RT v = 3pVM Mm 3RT = M 3p ρ

16 Закон Дальтона Давление смеси газа равно сумме давлений, создаваемых каждым из газов по отдельности: p = p + p + + pn. английский химик 809 г.

17 Задача4 В некотором объеме долгое время содержится смесь кислорода и гелия равной массы. Найти парциальное давление гелия, если давление в сосуде равно p.

18 Задача4 Решение: Так как газы находятся в сосуде долгое время, их температура одинакова, => по закону Дальтона p = po + phe = νort/v + νhert/v. Молярные массы кислорода 3 г/моль, гелия 4 г/моль, => при равной массе газов νo = νhe/8, => po = phe/8, => phe = 8p/9.

19 Задача5 Имеются сосуда объемами V и 4V. В первом находится кмоль, а во втором 8 кмоль количества вещества того же газа. Если давление в обоих сосудах одинаково, то соотношение температур равно.?

20 Решение: По условию задачи газ один и тот же, значит, М М = М = Массы газа различны, используем дважды уравнение состояния идеального газа PV RT PV = ν RT = ν Разделим первое уравнение на второе PV PV ν RT T Задача5 Vν = ν 8кмоль = => = = Т = Т ν RT T V 4V кмоль V

21 Задача6 В баллоне объемом V находится газ массой m при температуре Т и давлении р. некоторое количество газа выпустили из баллона, после чего оставшаяся масса оказалась равной m, давление р. Температура изменилась на.?

22 Задача 6 Решение: Для решения задачи дважды используем уравнение состояния идеального газа PV RT PV = ν RT = ν Разделим второе выражение на первое, сократим ряд величин и получим выражение p mt = значит T m p T p m T = p m T p = m p = m T T T T p m pm

23 Задача7 В холодное зимнее время хозяева квартиры стали замерзать при температуре в комнате Т = +8 0 С, и включив дополнительный обогреватель, добились повышения температуры на ΔT = 4 0 С. На сколько при этом изменилась масса воздуха в комнате? Площадь комнаты S = 0 м 3, высота потолка h =,5м, атмосферное давление p = 0 5 Па. Воздух в комнате свободно сообщается с атмосферой. Ответ округлите до целого числа граммов.

24 Задача7

25 Уравнение Клапейрона PV/T=const для двух состояний одного газа при m=const P V /T =P V /T Уравнение состояния связывает основные термодинамические параметры, характеризующие состояние газа.

26 Изотермический процесс Изотермический процесс T = const процесс изменения состояния термодинамической системы макроскопических тел при постоянной температуре. Закон Бойля Мариотта PV=const при T=const Формулировка закона: для данной массы газа произведение его давления на объем постоянно при постоянной температуре Для двух состояний газа при m=const P V =P V P /P =V /V

27 Изотермический процесс Изотерма график зависимости давления газа от объема P (V) при постоянной температуре. P(V) = (mrt/m)* /V, где mrt/m коэффициент геперболы В координатах P(T); V(T) P T T V P T V T T <T Чем выше температура, тем выше лежит изотерма

28 Изобарный процесс Изобарный процесс процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении. Закон Гей-Люссака: V/T=const при P=const Формулировка закона: для данной массы газа отношение объема к температуре постоянно при постоянном давлении. Для двух состояний газа, m=const V /T =V /T V /V =T /T

29 График изобарного процесса Изобара график зависимости объема газа от температуры V(T) при постоянном давлении. Зависимость V(T) линейная V P P T P <P Чем больше давление, тем ниже лежит изобара [V <V ] [T <T ], т.к. V=const *Т В области низких температур все изобары идеального газа сходятся в точке T=0 Пунктир означает, что все газы при сильном охлаждении превращаются в жидкости, а к жидкостям уравнение состояния неприменимо.

30 Графики изобарного процесса в других системах координат P=const Изобарное нагревание Изобарное расширение P V T P

31 Изохорный процесс процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объеме. Закон Шарля: P/T=const при V=const Формулировка закона: для данной массы газа отношение давления к температуре постоянно при постоянном объеме.

32 Изохора график зависимости давления газа от температуры при постоянном объеме. Зависимость P(T) линейная График изохорного процесса P V V V <V T В области низших температур все изохоры идеального газа сходятся к точке T=0. Пунктир означает, что все газы при сильном охлаждении превращаются в жидкости, а к жидкостям уравнение состояния неприменимо.

33 Графики изохорного процесса в других координатах Изохорное нагревание V P V T T P T <T Р<Р

34 Основные термины Внутренняя энергия (U) термодинамической системы сумма кинетической энергии хаотического теплового движения микрочастиц (молекул, атомов) и потенциальной энергии взаимодействия этих частиц. Для идеального газа, где между молекулами нет взаимодействия - внутренняя энергия состоит только из кинетической энергии движения. Внутренняя энергия идеального газа зависит от температуры. Для одноатомного газа: 3 m 3 U = RT pv M =

35 Для одного моля газа Основные термины. U m = i RT где i число степеней свободы молекул газа. Внутренняя энергия массы m ИГ m U = i RT = ν i m M RT

36 Газ (Молекула) Основные термины Число степеней свободы число независимых переменных (координат), полностью определяющих положение системы в пространстве. Одно атомный Двух атомный Много атомный Число степеней свободы поступательных вращательных - 3 всего 3 5 6

37 Работа газа Работа газа при расширении объема A = p V

38 Первое начало термодинамики закон сохранения энергии для систем, в которых существенное значение имеют тепловые процессы. 38

39 Задача Газ может быть переведен из состояния в состояние различными способами. Газ совершит максимальную работу при переходе.?

40 Задача Решение: Если график задан в координатах (р;v), то работа может быть определена как площадь фигуры под графиком, значит, выбираем фигуру, у которой самая большая площадь.

41 Первое начало термодинамики Теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение внутренней энергии системы и на совершение системой работы против внешних сил. Q= U + A U = Q A

42 Применение первого начала термодинамики к изопроцессам Изохорный процесс (V=const). В изохорном процессе газ над внешними телами работы не совершает: A= p V = Из первого начала термодинамики Q= U Теплота, сообщаемая газу, идет на увеличения его внутренней энергии: 0 m Q= U = C T V M 4

43 Применение первого начала. термодинамики к изопроцессам Изотермический процесс (Т=const). Если температура газа не изменяется, то внутренняя энергия тоже не изменяется и ΔU = 0. Из первого начала термодинамики следует, что в изотермическом процессе: Q= A Q= U + A Вся теплота, сообщаемая газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил

44 . Применение первого начала термодинамики к изопроцессам Изобарный процесс (Р=const). Работа А, совершаемая идеальным газом в изобарном процессе, A= pv ( V) Для изобарного процесса первое начало термодинамики имеет вид Q = U + A 44

45 Применение первого начала термодинамики к изопроцессам Адиабатный процесс процесс, при котором отсутствует теплообмен между системой и окружающей средой. Из первого начала термодинамики Q= U + A для адиабатного процесса следует, что A = U Внешняя работа совершается за счет уменьшения внутренней энергии системы.

46 Задача На глубине 0 м в стоячей воде пузырек воздуха имеет объем 3 мм 3. Объем этого же пузырька при подъеме его на поверхность воды равен? ( процесс изотермический, атмосферное давление 0 5 Па; ρ воды =000 кг/м 3 ; g = 0 м/с )

47 Решение: Так как процесс изотермический, то Давление на глубине Задача p = V pv 5 p = pатм + ρв gh = = 0 Давление у поверхности воды равно атмосферному, тогда 5 p 0 Па 3 = V = 3мм 6 p 5 0 Па V = мм 3 5 Па

48 Задача 3 Одноатомному идеальному газу передано некоторое количество теплоты Q. При изобарном нагревании этого газа на изменение внутренней энергии пошла часть Q, равная?

49 Задача 3 Решение: При изобарном процессе или Q (т.к. по уравнению Менделеева - Клапейрона можем в работе Q = U + A 3 5 = νr T + νr T = νr T A = P V PV % - х % (или целое) ( доля от целого) = νrt 3 00 х = = 60 5 %

50 Задача 4 При изобарном расширении одноатомный идеальный газ получил 500 кдж теплоты. Объем газа увеличился от м 3 до 3м 3. давление газа 0 5 Па. Внутренняя энергия при этом?

51 способ: По первому закону термодинамики При изобарном процессе Тогда U = = 5 способ: Q ( ) 5 5( ) A 0 = Q = 3 0 p V Дж A = Q = U + 3 = p 0 V 5 ( ) 3 Но можно было вспомнить, что при изобарном процессе Q = 3 νr T + νr T, то есть A = 0, 4Q и U = 0, 6Q тогда U = Задача 4 3 0, Дж = Дж A =

52 Задача 5 Чтобы изобарно увеличить объем 5 моль идеального одноатомного газа в 4 раза ему необходимо передать количество теплоты равное? Решение: Первый закон термодинамики для изобарного процесса имеет вид Q = U + A

53 3 Для одноатомного идеального газа U = νr T A = p V = νr T ( из уравнения состояния идеального газа), тогда 3 5 Q = U + A = νr T + νr T = νr T Находим изменение температуры Т = 4Т 0 Т0 = 3Т Подставляем полученные значения 5 Q = 5 R 3 T = 37, 0 5 RT Можно воспользоваться готовым соотношением Задача 5 0 Q 0 5 = νr( n ) T 0 )

54 Задача 6 В закрытом сосуде при температуре 7 0 С находятся 30 моль одноатомного идеального газа. Если средняя квадратичная скорость его молекул возросла в,5 раза, то газу передано количество теплоты ( R=8,3 Дж/(мольК))?

55 Так как сосуд закрыт, то процесс изохорный, и первый закон термодинамики Q = U имеет вид Газ идеальный одноатомный, значит, 3 3 Q = νr T = νr( n Задача 6 ) T Найдем, во сколько раз изменилась температура 3RT, скорость увеличилась в,5 раз, значит, v = температура увеличилась в,5 M =,5 раз (n=,5) Поэтому, 3 Q = 30 8,3 (,5 ) (7 + 73) = 403Дж 40кДж 0

56 Задача 7 Одноатомный идеальный газ, взятый в количестве моля, нагревают на 0 о С первый раз изобарно, второй раз изохорно. Во сколько раз в первом случае было передано энергии больше чем во втором?

57 При изобарном процессе 5 Q = νr T0 При изохорном процессе 3 Q = νr T0 Изменение температуры в обоих случаях одинаково, поэтому Q Q Задача 7 5 νr T 3 νr T = = 5 3 раз

58 Задача 8 Если при нагревании газа в закрытом сосуде на 40 К его давление возросло в,5 раза, то первоначально газ имел температуру? Решение: Сказано, что газ находится в закрытом сосуде, значит процесс изохорный. Для изохорного процесса p = p T T

59 Задача 8 По условию задачи = T + 40 p =, 5 p T, Подставим значения и решим уравнение p T = T,5 p + 40 T + 40 =,5T 0,5 T = 40 T 40 = = 0,5 80K

60 Применение первого начала термодинамики к изо процессам Адиабатный процесс процесс, при котором отсутствует теплообмен между системой и окружающей средой. Из первого начала термодинамики Q= U + A для адиабатного процесса следует, что A = U Внешняя работа совершается за счет уменьшения внутренней энергии системы.

61 Первое начало термодинамики закон сохранения энергии для систем, в которых существенное значение имеют тепловые процессы. 6

62 Задача Идеальный газ переходит из состояния в состояние в процессе, представленном на диаграмме Р - V. В этом процессе газ получил теплоты?

63 Решение: Из графика видно, что процесс не является изо процессом. По первому закону термодинамики Q = U + A Изменение внутренней энергии U = U U В задаче не указано сколько атомов в молекулах газа, поэтому при необходимости нужно проводить расчеты для различных условий. Начинаем расчеты для одноатомного газа Задача 3 U = νrt

64 По уравнению состояния идеального газа Тогда U = 3 = U U PV = νrt = 3 ( PV (00 00 ) кпа PV Работа равна площади фигуры под графиком ( фигура под графиком - трапеция) А = ( ) кпа м 3 50кДж = Значит, Задача Q = = 600кДж м 3 ) = = 450кДж

65 Тепловые двигатели Тепловой двигатель устройство, преобразующее внутреннюю энергию топлива в механическую энергию. Необходимое условие для циклического получения механической работы в тепловом двигателе наличие нагревателя и холодильника. Для непрерывного совершения механической работы термодинамический цикл должен быть замкнутым.

66 Тепловые двигатели Коэффициент полезного действия любого двигателя (КПД) отношение полезной работы, совершаемой двигателем, к затраченной работе η = A A пол затр КПД теплового двигателя Q Q Q η = = Q Q

67 Количество теплоты, полученное от нагревателя, если совершенная двигателем работа 730 Дж, а КПД равен 0,73, составляет? Решение: Значит, Для теплового двигателя η = Задача Q Q Q = A Q A 730 Дж Q = = = 000 Дж = кдж η 0,73

68 Тепловые двигатели Цикл Карно. Имеет максимальный КПД, т.е. самый эффективный из всех тепловых двигателей. Состоит из изотерм и адиабат. 68

69 Цикл Карно КПД цикла Карно η T T T = = T T 69

70 В идеальной тепловой машине температура нагревателя 50 0 С, а холодильника 0 0 С. Если рабочее тело получит от нагревателя 0 5 кдж теплоты, то совершенная работа равна? Решение: Так как машина идеальная, то КПД может быть определен и через количество теплоты и через температуры η = Задача 3 T T T или η = A Q

71 Значит A = η Q T Задача 3 T = Q T Не забываем перевести температуру в абсолютные значения T =50+73=43К ; T =0+73=93К; ( 93) 43 К 5 3 А = 0 кдж 30 0 кдж = 30МДж 43К

72 Задача 4 В идеальной тепловой машине абсолютная температура нагревателя вдвое больше абсолютной температуры холодильника. Если температуру холодильника уменьшить вдвое, не меняя температуры нагревателя, то КПД машины изменится.? По условию задачи T T = T,0 и T =,, 0

73 Для идеальной тепловой машины T T η = T найдем КПД в обоих случаях T,0 T,0 η = = = 0,5 (50%) T,0 T,0 T,0 3 η = = = 0,75 T 4 (75%),0 Задача 4 КПД изменился на (75-50)% = 5%

74 Цикл Карно КПД тепловых двигателей в процентах Двигатель КПД, % Паровая машина Паровоз 8 Карбюраторный двигатель 0-30 Газовая турбина 36 Паровая турбина Ракетный двигатель на жидком топливе 47 74

75 Рассчитать КПД тепловой машины, работающей по замкнутому циклу, показанному на графике. Рабочее тело - азот. Задача 5

76 Задача 5 Чтобы найти тепло QН, полученное от нагревателя, определить знак тепла на каждом участке по -ому закону термодинамики: : A = 0 (ΔV = 0), ΔU > 0 (ΔT > 0) => Q > 0. 3: A > 0 (ΔV > 0), ΔU > 0 (ΔT > 0) => Q > 0. 34: A = 0 (ΔV = 0), ΔU < 0 (ΔT < 0) => Q < 0. 4: A < 0 (ΔV < 0), ΔU < 0 (ΔT < 0) => Q < 0.

77 Задача 5 КПД тепловой машины: η = A/QН. Работа газа за цикл равна площади заштрихованного прямоугольника: A = 3P0V0. Знак положителен на участках и 3, => QН = Q + Q3. Q = A + ΔU = 0 + (5/)νR(T - T) = (5/)(P0V0 - P0V0) = 5P0V0/; Q3 = A3 + ΔU3 = 6P0V0 + (5/)(8P0V0 - P0V0) = P0V0. η = 3P0V0/3.5P0V0 = 6/47.

78 Задача 6 Холодильник работающий по циклу Карно, поддерживает в камере температуру T к = 60 K, отводя из нее за цикл работы энергию Q к = 400 Дж. Температура радиатора холодильника равна T р = 300 K. Какую среднюю мощность потребляет холодильник, если длительность его цикла равна τ =,5 с?

79 Задача 6 Решение: Если работу, совершенную тепловой машиной за один цикл, обозначить A, Q количество теплоты, полученное от нагревателя, и Q переданное машиной холодильнику так же за цикл, то на основании закона сохранения энергии можно утверждать, что A = Q Q, а КПД машины можно определить из соотношения: η = A/(A + Q ).

80 Задача 6 С другой стороны, согласно второму закону термодинамики (в формулировке Карно) КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, определяется только абсолютными температурами нагревателя T и холодильника T и равно η = (T T )/T.

81 Задача 6 Поскольку цикл Карно является обратимым, то те же соотношения должны быть справедливы и для холодильника, работающего по указанному циклу. Обозначив искомую мощность N и учитывая, что A = Nτ, T = T p, T = T к и Q = Q к, после алгебраических преобразований получим: N = (T р /T к )Q к /τ 4 Вт. Ответ: N 4 Вт.

82