Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных"

Транскрипт

1 - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным числам все дробные числа и нуль а так же рассматривая не только положительные числа но и отрицательные получим рациональные числа Каждое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной или бесконечной периодической десятичной дроби Иррациональными числами называются бесконечные непериодические дроби Действительными или вещественными числами называется совокупность рациональных и иррациональных чисел δ - окрестностью точки называется множество точек задаваемое неравенством < δ или интервалом δ ; δ Определение функции последовательность Возьмем некоторое множество значений переменной величины и обозначим его через D Если каждому значению из множества D по какомунибудь правилу поставлено в соответствие одно или несколько определенных значений другой величины то говорят что величина есть функция величины При этом величина называется аргументом функции а множество D - областью определения функции Функция задается выражением f которое означает что для нахождения значения над необходимо выполнить некоторые действия Функция определенная на множестве натуральных чисел называется числовой последовательностью Элементарные функции Элементарной функцией называется функция которую можно задать одной формулой составленной из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа арифметических действий и конечного числа операций взятия функции от функции Основными элементарными функция ми являются следующие функции: n степенная функция: где n - действительное число; показательная функция: a где a - положительное число и a ; логарифмическая функция: loga где основание логарифма a - положительное число и a ; тригонометрические функции: sin cos tg ctg ; arcsin arccos обратные тригонометрические функции: arctg arcctg

2 - - Четность нечетность и периодичность функции Функция f называется четной если при изменении знака у любого значения аргумента значение функции не изменяется: f f Функция f называется нечетной если при изменении знака у любого значения аргумента изменяется только знак значения функции а абсолютная величина этого значения остается без изменения: f f Функция f называется периодической если существует такое постоянное число T что от прибавления его к любому значению аргумента значение функции не изменяется: f T f Пределы Понятие предела функции Пусть функция f определена в окрестности числа а при a функция f может быть не определена Число А называется пределом функции f при стремящемся к а a если для любого сколь угодно малого числа ε > найдется такое число δ > что для всех удовлетворяющих условию < a < δ выполняется неравенство f A < ε Выражение f A означает что предел функции f при a стремящемся к а равен А Если для любого сколь угодно большого положительного числа М найдется такое число δ > что для всех удовлетворяющих условию < a < δ выполняется неравенство f > M то говорят что функция f является бесконечно большой величиной при стремящемся к а и записывают f Если при этом значения f > то пишут a a f а если f < то пишут f Если α то функция α называется бесконечно малой a величиной при стремящемся к а Эквивалентность бесконечно малых Пусть α и β - бесконечно малые при a α Если то α является бесконечно малой более высокого a β порядка по сравнению с β В этом случае говорят что α есть о малое от β и записывают α oβ α Если k где k - число отличное от нуля то α и β - a β бесконечно малые одного порядка В этом случае говорят что α есть О большое от β и записывают α Оβ a

3 - - α В частном случае если то бесконечно малые α и β a β называют эквивалентными и записывают: α ~ β α β Если то β Следовательно β является a α бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с α β oα При вычислении пределов часто используют эквивалентность следующих бесконечно малых: то sin ~ tg ~ arcsin ~ arctg ~ ~ при Односторонние пределы Если a и при этом < a то говорят что стремится к а слева и записывают a Предел f f a называют левым пределом a функции f Если a и при этом > a то говорят что стремится к а справа и записывают a Предел f f a называют правым пределом a функции f Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами Для существования предела функции f при стремящемся к а необходимо и достаточно чтобы f a f a Теоремы о пределах Если существуют конечные пределы f и g то [ f g ] a a [ f g ] f a a f f a a g g a a g a f g a при g a Первый и второй замечательные пределы sin Первый замечательный предел: Следствия из первого замечательного предела: tg arcsin arctg a

4 - - Второй замечательный предел: e 788K Следствие из второго замечательного предела: e 788K Непрерывность функции Непрерывные и разрывные функции Пусть функция f определена в окрестности числа а Функция f называется непрерывной в точке a если: функция f определена в некоторой окрестности точки a ; f f a a Функция f a; b если она непрерывна в каждой точке этого интервала Если говорят что функция f непрерывна на отрезке [ ; ] то при этом подразумевают что функция f a; b содержащем называется непрерывной на интервале непрерывна на некотором интервале отрезок [ ] Элементарные функции непрерывны в своей области определения точнее на наибольшем открытом множестве содержащемся в области определения Например функция arcsin ; а непрерывна на интервале ; определена на отрезке [ ] Точки разрыва и их классификация Если в какой-либо точке a функция f не определена либо f a f a и или f a f a то точка aназывается точкой разрыва функции а сама функция - разрывной в этой точке Если a - точка разрыва функции f и существуют конечные пределы f f a и f f a то точка aназывается a a точкой разрыва -го рода Точки разрыва -го рода делятся на: точки устранимого разрыва если f a f a ; точки скачка если f a f a Если хотя бы один из односторонних пределов не является конечным то точка a есть точка разрыва -го рода Производная Определение производной Пусть функция f определена на интервале a b Пусть число a b Придадим приращение так чтобы a b Приращение аргумента вызовет приращение функции f f Предел

5 - - если он существует отношения приращения функции к приращению аргумента при называется производной функции f и обозначается f те f f f При этом сама функция f называется дифференцируемой Для обозначения производной также используются следующие символы: d f d Основные правила дифференцирования Пусть С - произвольная постоянная и v v - дифференцируемые функции тогда: ± v ± v ; C C ; v v v ; v v v v C ; n n n ; ; loga ; a e e ; a a a ; sin cos ; cos sin ; Таблица производных tg ; cos ctg ; sin arcsin ; arccos arctg ; arcctg ; Производная параметрически заданной функции t Функция вида: называется параметрически заданной t функцией переменная t - называется параметром Производная функции заданной параметрически находится по следующей d t формуле: d t

6 - - Дифференцирование показательно-степенной функции ϕ Функцию вида [ f ] f > где и основание и показатель изменяются вместе с аргументом называют показательно-степенной функцией Производная показательно-степенной функции вычисляется по ϕ f следующей формуле [ f ] ϕ f ϕ f Общее исследование функции Убывание и возрастание функции Функция f называется возрастающей в интервале a b если для любых двух точек и таких что a < b выполняется неравенство f < f Функция f называется убывающей в интервале a b если для любых двух точек и таких что a < b выполняется неравенство f > f Если для любой точки [ a b] выполняется неравенство f > то функция f возрастает в интервале a b Если для любой точки [ a b] выполняется неравенство f < то функция f убывает в интервале a b Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции Асимптоты функции Прямая L называется асимптотой кривой f если расстояние от некоторой точки кривой M до прямой L стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат те при стремлении хотя бы одной из координат точки М к бесконечности Асимптоты делятся на вертикальные и наклонные Прямая a называется вертикальной асимптотой кривой f если f и или f a a Прямая k b называется наклонной асимптотой кривой f f если существуют конечные пределы: k ; b [ f k] ± ± Если окажется что k то асимптота называется горизонтальной Экстремумы функции Значение функции f называется максимумом функции f если для любой точки из некоторой достаточно малой окрестности точки

7 - 6 - выполняется неравенство f > f Точка называется в этом случае точкой максимума функции f Значение функции f называется минимумом функции f если для любой точки из некоторой достаточно малой окрестности точки выполняется неравенство f < f Точка называется в этом случае точкой минимума функции f Максимум или минимум функции называются экстремумами функции Точка максимума или минимума функции называется точкой экстремума функции Необходимое условие существования экстремума: если дифференцируемая функция f достигает экстремума в точке то ее производная первого порядка в этой точке равна нулю те f Точки в которых производная f или не существует называются критическими точками Достаточное условие существования экстремума: если критическая точка функции и при переходе через нее производная f меняет знак с на «-» то в точка есть точка максимума а значение функции f - максимум функции; если при переходе через точку производная f меняет знак с «-» на то в точка есть точка минимума а значение f - минимум функции; если при переходе через точку производная знака не меняет то экстремума в точке нет а значение f не является экстремумом функции Выпуклость вогнутость и точки перегиба График функции f называется выпуклым в интервале a b если он расположен ниже касательной проведенной в любой точке этого интервала График функции f называется вогнутым в интервале a b если он расположен выше касательной проведенной в любой точке этого интервала Точка графика функции f отделяющая выпуклую часть от вогнутой называется точкой перегиба Если f > в интервале a b то график функции на этом интервале вогнутый Если f < в интервале a b то график функции на этом интервале выпуклый Если f и при переходе через точку вторая производная f меняет знак то точка графика ; f является точкой перегиба При исследовании функции также следует учитывать точки где вторая производная не существует План общего исследования функции Полное исследование функции проводят по следующему плану: Область определения функции Четность нечетность периодичность функции Непрерывность функции 6

8 - 7 - Асимптоты Нули функции и интервалы знакопостоянства 6Интервалы монотонности и экстремумы 7Выпуклость вогнутость точки перегиба 8Построение графика 6 Функции многих переменных ФМП 6 Область определения ФМП Величина называется функцией двух переменных величин и на множестве D если каждой точке этого множества соответствует одно или несколько определенных значений величины Множество точек D называется областью определения функции Область определения функции f может представлять собой: часть плоскости ограниченную замкнутой кривой причем точки этой кривой могут как принадлежать так и не принадлежать области определения; всю плоскость; совокупность нескольких частей плоскости Аналогично определяется функция трех и более переменных 6 Частные производные Пусть f определена на области D Будем считать аргумент постоянным и рассмотрим получающуюся при этом функцию одной переменной Придадим переменной приращение Приращение вызовет приращение функции f f Конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при называется частной производной по -го порядка и обозначается f те f f f Если считать аргумент постоянным и рассматривать функцию f как функцию одной переменной то приращение вызовет приращение функции f f Конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при называется частной производной по -го порядка и обозначается f те f f f Для обозначения частных производных также используют символы: f f Частными производными второго порядка от функции f называются частные производные от ее частных производных первого порядка 7

9 - 8 - f ; f f ; f f если производные непрерывны Аналогично Причем f вычисляются производные более высоких порядков 6 Полный дифференциал Полным приращением функции f в точке M называется величина f f Полным дифференциалом функции f называется величина вычисляемая по формуле: d d d Формула приближенных вычислений: f f 6 Производная сложной функции Пусть задана сложная функция v v v тогда частные производные можно найти по следующим формулам: v v ; v v 6 Производная неявной функции Неявной функцией аргумента называется функция значения которой находятся из уравнения связывающего и не разрешенного относительно те F Производная неявной функции находится по следующей формуле: d F d F Неявной функцией аргументов и называется функция значения которой находятся из уравнения связывающего и не разрешенного относительно те F Производные неявной функции находятся по следующим формулам: F F ; F F 66 Экстремумы ФМП Точка M o называется точкой максимума функции f если для всех точек принадлежащих достаточно малой окрестности точки ; 8

10 - - M o выполняется неравенство f > f Значение функции f в точке максимума называется максимумом функции Точка M o называется точкой минимума функции f если для всех точек принадлежащих достаточно малой окрестности точки M o выполняется неравенство f < f Значение функции f в точке минимума называется минимумом функции Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции а значения функции в этих точках называются экстремумами функции Необходимое условие существования экстремума ФМП: если дифференцируемая функция f достигает экстремума в точке M o то ее частные производные первого порядка в этой точке равны f f нулю те Точки в которых частные производные равны нулю называются стационарными точками Не всякая стационарная точка является точкой экстремума Достаточное условие существования экстремума ФМП: пусть M o - стационарная точка функции f Обозначим: f A ; f B ; C f и составим соотношение AB C Тогда: если > то значение функции f o - есть экстремум причем это максимум если A < и минимум если A > ; если < то значение функции f o экстремумом не является; если то требуется дальнейшее исследование 67 Производная по направлению градиент Градиентом функции f в точке M называется вектор с началом в точке М имеющий своими координатами частные производные функции grad i j Для обозначения градиента часто используют символ Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке Производной функции f в точке M в направлении вектора f M f M s MM называется s MM MM Если функция f дифференцируема то производная в данном направлении вычисляется по формуле cosα sinα где α - угол s между вектором s и осью ОХ

11 - - Пользуясь определением градиента формуле для производной по направлению можно придать вид: s s где вектор s - орт вектора s те производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления Производная s в направлении градиента имеет наибольшее значение равное наиб s 7 Примеры решения задач к разделу Пример Вычислить: Решение: Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при В этом случае говорят что имеет место неопределенность типа Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной в нашем случае на Так как при каждая из дробей Ответ: Пример Вычислить: Решение: Числитель и знаменатель дроби при так же стремятся к нулю В этом случае имеет место неопределенность типа Умножим числитель и знаменатель дроби на / / Знаменатель дроби 6 при следовательно

12 - - Ответ: 6 Пример Вычислить: cos sin Решение: Воспользуемся тригонометрической формулой: cos sin и заменим числитель и знаменатель дроби эквивалентными бесконечно малыми sin ~ и sin ~ cos sin Ответ: Пример Вычислить: sin sin 7 Решение: При выражение возрастает 6 8 а 7 В этом случае имеет место неопределенность типа [ ] использовать второй замечательный предел следствие из него e 788K Так как Учитывая что получаем Ответ: e 7 неограниченно Рекомендуется e 7 788K или при то e 7 см пример окончательно 7 7 e e

13 - - Пример Вычислить: Решение: Так как при выражение имеет место неопределенность типа [ ] Преобразуем функцию так чтобы использовать второй замечательный предел Выделим целую часть из дроби для этого к числителю дроби прибавим и отнимем : тогда Так как при то e Учитывая что окончательно получим: Ответ: e Пример 6 Исследовать функцию e на непрерывность и построить схематически ее график Решение: Данная функция терпит разрыв в точках и т к при этих значениях знаменатель дроби обращается в нуль Исследуем характер разрыва в каждой из этих точек Для этого найдем Для точки : при

14 - - при Так как и то в точке функция имеет разрыв -го рода или скачек Для точки : при при Таким образом для точки и значит и при функция также терпит разрыв -го рода или скачек Для схематического построения графика исследуем поведение функции при ± ± при ± Следовательно при ± график функции находится около прямой Найдем точку пересечения графика с осью ОУ: 6 Ответ: Схематический график функции:

15 - - У 6 О Х Пример 7 Найти производную функции: Решение: Преобразуем квадратный корень в степень: Данная функция сложная используем последовательно формулы: производная степенной функции производная дроби производная логарифма Ответ: Пример 8 Вычислить производную функции: cos Решение: Данная функция относится к виду показательно-степенной функции f ϕ Для нахождения ее производной прологарифмируем данную

16 - - Дифференцируя левую и правую часть этого равенства получаем cos sin ; cos функцию: cos sin cos Заменяя на cos cos sin Ответ: cos cos cos получим Пример Вычислить производную функции заданной неявно sin cos d F Решение: ; d F Ответ: F cos sin F cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin Пример t cost Вычислить производную функции заданной параметрически: t sin t t cost Решение:; t t sint t cost ; t t cost sint ; sin t t cost Ответ: sin t Пример Найти наибольшее и наименьшее значение функции 8 на отрезке [ ; ] Решение: Наибольшее и наименьшее значение на отрезке функция может достигать: на концах отрезка те при или ; в критических точках если они существуют и принадлежат [ ; ] Найдем критические точки Для этого найдем и решим уравнение ; ; ; В данном случае критическая точка [ ; ] и даже совпадает с его левым концом поэтому достаточно найти и выбрать из них наибольшее и наименьшее значение

17 - 6-8 ; 8 Ответ: - наибольшее значение функции; - наименьшее значение функции Пример Провести полное исследование функции и построить ее график Решение: Область определения Исключим точку в которой знаменатель дроби те D ; ; Четность нечетность периодичность функции Так как то и Следовательно данная функция не является ни четной ни нечетной Так как в состав функции не входят периодические функции то также непериодическая Непрерывность Так как заданная функция является элементарной то она непрерывна на своей области определения Единственной точкой в которой функция не существует является точка Исследуем характер разрыва функции в этой точке тк при ; тк при Тк и левый и правый пределы не являются конечными то точка есть точка разрыва -го рода Асимптоты При функция терпит разрыв -го рода значит прямая вертикальная асимптота Найдем наклонные асимптоты k ; ± ± / / b ± ± ± Прямая наклонная асимптота Нули функции и интервалы знакопостоянства Функция обращается в нуль при Разобьем всю числовую прямую на интервалы точками и определим интервалы знакопостоянства функции: 6

18 - 7 - ; ; ; - Функция отрицательна на интервале ; и положительна на интервалах ; ; 6 Интервалы монотонности и экстремумы Найдем критические точки 6 ; 6 6 критические точки Разобьем всю числовую прямую на интервалы точками и 6 6 и определим знак производной на этих интервалах: ; 6-6 6; - ; ; - тразры ва 6 - ma min Функция возрастает в интервалах ; 6 и ; убывает в интервалах 6; и ; 6 -максимум функции - минимум функции 7 Выпуклость вогнутость точки перегиба Найдем точки перегиба: в D следовательно точек перегиба нет Исследуем выпуклость и вогнутость графика слева и справа от точки разрыва Для этого определим интервалы знакопостоянства второй производной ; ; - выпукла вогнута 8 Построение графика 7

19 - 8 - Y - - min X Ma-6- Пример Найти область определения функции: Решение: Данная функция имеет действительные значения когда выполняются > ; > ; одновременно два неравенства: Первое неравенство > задает часть плоскости лежащую выше прямой Второе неравенство задает внутренность круга радиуса единица с центром в начале координат Пересечение этих областей дает искомую часть области см рисунок при этом граница круга входит в область а граница прямой нет что показано пунктирной линией 8

20 - - Y X - - Ответ: D > ; Пример Вычислить частную производную от функции Решение: [ ] ; [ ] Ответ: Пример Найти ; если v v v tg Решение: Функция - сложная тк v v v ; v v; v ; ; cos v ; v tg v v cos ; v v tg

21 - - Ответ: tg tg cos ; tg tg tg Пример 6 Вычислить приближенно tg6 используя формулу приближенных вычислений Решение: Воспользуемся формулой приближенных вычислений f f Составим функцию f tg заменив числовые значения переменными o Полагаем 6 те π o π π ~ тогда f tg 8 f f tg Находим ; cos π Вычислим эти производные при : f π f π Подставим полученные значения в формулу приближенных вычислений: o π tg6 8 o Ответ: tg6 Пример 7 Найти точки экстремума функции: 6 6 Решение: Найдем критические точки функции Для этого сначала найдем частные производные 6 ± Решая систему уравнений 6 находим критические точки P P Выясним достигает ли заданная функция экстремума Находим значения вторых производных в точке P : 6 A 6 ; 6 B ; C

22 - - Вычислим AB C > A 6 > Следовательно в точке P функция имеет минимум: min Аналогично проводятся исследования для точки P : A 6 ; B ; C ; < - экстремума нет Ответ: min Пример 8 Найти наибольшее и наименьшее значение функции 6 в области D : { } Решение: Построим область D : Y X XY D У Х Наибольшее и наименьшее значение функция достигает: в критических точках если они принадлежат области D ; на границах области D ; в точках пересечения границ D Найдем критические точки Для этого сначала находим 6 Координаты критической точки являются решения системы: 6 Точка P критическая Точка P не попадает в область D следовательно значение функции в этой точке нами не рассматривается Исследуем функцию на границах области D Ее границы задаются уравнениями a b c

23 - - a Если то - функция одной переменной Найдем ее критические точки: Получаем критическую точку P не попадающую в область D b Если то - функция одной переменной Найдем ее критические точки: Получаем критическую точку P входящую в область D c Если то и 6 Получаем что 6 - функция одной переменной Найдем ее критические точки: 6 6 Получаем критическую точку P 6 не попадающую в область D Угловые точки области P P 6 P 7 это точки пересечения линий Таким образом получили четыре точки в которых функция может достигать наибольшее и наименьшее значения: P P P6 P7 Вычислим значение функции в этих точках и выберем из них наибольшее и наименьшее: 6 ; ; 8 ; 8 Ответ: Наибольшее значение ; наименьшее значение Пример Найти A и производную по направлению A и направление { } A если заданы: функция s e точка s Решение: Найдя частные производные e e вычислим их A A значения в точке А: e e Следовательно { e e} ei ej A s e e 7e Найдем производную по направлению: s s A 7e Ответ: { e e} s


равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x Вариант 8 Найти область определения функции : y sin Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и sin Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π k+

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно Функция Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. f на интервале b не убывает, если f f ; не возрастает, если f f ; a, монотонно строго возрастает, если f f

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

Вариант 16. ]. При k = 0 получим x [ 0, π ]. При других значениях k неравенства не имеют общих рещений.

Вариант 16. ]. При k = 0 получим x [ 0, π ]. При других значениях k неравенства не имеют общих рещений. Вариант Найти область определения функции : si + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и si Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π (k+ π,

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви Вариант Найти область определения функции Область определения данной функции определяется неравенством > Корнями уравнения являются числа Так как ветви параболы направлены вверх то неравенство > выполняется

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее

Вариант y =. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > 0. Данная функция определена на всей числовой оси, Точки

Вариант y =. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > 0. Данная функция определена на всей числовой оси, Точки Вариант Найти область определения функции : y lg Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > и lg или Достаточно рассмотреть второе неравенство так как первое неравенство перекрывается

Подробнее

Контрольная по высшей математике за 1 курс

Контрольная по высшей математике за 1 курс Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatbror Контрольная по высшей математике за курс Найдите производные от данных функций: а, б tg tg, в arctg, Решение a Тк,, то воспользуемся формулой из таблицы

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x x> Освободимся от знака модуля: при x 0 неравенство x x>

Область определения данной функции определяется неравенством x x> Освободимся от знака модуля: при x 0 неравенство x x> Вариант Найти область определения функции : y / Область определения данной функции определяется неравенством > Освободимся от знака модуля: при неравенство > никогда не выполняется; при < неравенство >

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : y arccos Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя). Контрольная работа 2 (КР-2) Тема 3. Пределы и производные функций Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : arcsi Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или Из

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции:

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции: ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке Если

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВ Богатова, КВ Бухенский, ИП Карасев, ГС Лукьянова ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD Практикум Рязань Предисловие Общий

Подробнее

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u ; ) (сигнум u). показательные функции

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u ; ) (сигнум u). показательные функции ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. сos) степенные функции. ) a. b. ) c. ) e. ) ) показательные функции. a ) a l a a. e ) e логарифмические функции 4. loga ) l a 4a. l ) a l l a l b l a l a ) b тригонометрические функции

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО ОВ Сильванович, ГВ Тимофеева ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (МОДУЛЬ ) ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. О.Г. Павловская Е.С. Плюснина МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. О.Г. Павловская Е.С. Плюснина МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u. 1, u < 0; функция знак u (сигнум u).

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u. 1, u < 0; функция знак u (сигнум u). ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. сos ) степенные. ). ) b. ) c. ) e. ) ) показательные. ) l. e ) e логарифмические. log ) l. l ) l l l b l l ) b тригонометрические. si ) cos 6. cos) si 7. g ) cos 8. cg ) si обратные

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

{ интервалы монотонного возрастания и убывания функции - выпуклость функции на промежутке - точки перегиба - асимптоты - построение графика функции }

{ интервалы монотонного возрастания и убывания функции - выпуклость функции на промежутке - точки перегиба - асимптоты - построение графика функции } { интервалы монотонного возрастания и убывания функции - выпуклость функции на промежутке - точки перегиба - асимптоты - построение графика функции } Интервалы монотонного возрастания и убывания функции

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной»

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Новосибирский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский

Подробнее

Исследование функций с помощью производной.

Исследование функций с помощью производной. ... Исследование функций с помощью производной. Возрастание и убывание функций. Теорема. ) Если функция f) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке

Подробнее

Тема 1. Предел и непрерывность функции

Тема 1. Предел и непрерывность функции Уметь: Тема 1. Предел и непрерывность функции Вычислять пределы функций и числовых последовательностей, используя различные приемы, в том числе, замечательные пределы, проводить сравнение бесконечно малых

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

присутствие функций арксинуса вида arcsin f x

присутствие функций арксинуса вида arcsin f x Практическая работа Полное исследование функции и построение графика Цель: закрепить навыки исследования функций и построения графиков Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть Функции нескольких переменных Методические указания

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Величина называется функцией переменных величин n если каждой точке М n принадлежащей некоторому множеству X поставлено

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Построение графиков функций с помощью производной

Построение графиков функций с помощью производной Построение графиков функций с помощью производной Способ построения графика функции по точкам несовершенен. Даже вычисление ординат большого числа точек может не дать точное представление о графике, а,

Подробнее

Исследование функций и построение графиков

Исследование функций и построение графиков Исследование функций и построение графиков Теоретический материал Содержание 1) Область определения функции 2) Свойства функции (четность, нечетность, периодичность) 4) Точки пересечения функции с осями

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 011/01 учебный год Тема. Пределы, непрерывность, производные 1 Тема: Предел функции 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр.

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты индивидуальных заданий

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену Содержание

Материалы для подготовки к экзамену Содержание Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство». Дисциплина - «Математика-» Материалы для подготовки к экзамену Содержание Материалы для подготовки к экзамену... Содержание...

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Исследование поведения функции с помощью производных

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Исследование поведения функции с помощью производных ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Исследование поведения функции с помощью производных Интервалы монотонности. Экстремумы Определение. Промежутки, на которых функция f (x) возрастает (убывает),

Подробнее

1.Областью определения функции является интервал x ( ;0) 3.Рассмотрим поведение функции в окрестностях точек разрыва. Точка x 0

1.Областью определения функции является интервал x ( ;0) 3.Рассмотрим поведение функции в окрестностях точек разрыва. Точка x 0 Построить график функции y Областью определения функции является интервал ( ;0) (0; ) Функция y является четной, тк y( ) y( ), а ( ) график функции симметричен относительно оси OY 3Рассмотрим поведение

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает.

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает. Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f ( на промежутке ( a ; b, то на этом промежутке функция f ( возрастает Если f ( на промежутке

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН-11, Э4, Э9, Э7, АК1, АК2, АК3, АК4 Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ):

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

Подробнее

Глава 4 Элементарные функции и их графики.

Глава 4 Элементарные функции и их графики. Глава Элементарные функции и их графики Построение графиков функции с помощью геометрических преобразований Построить график функции y f () по известному графику y f () При одном и том же значении ординаты

Подробнее

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума).

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума). 6 По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума) Стационарная точка функции f( ), дважды дифференцируемой в Oδ ( ), является

Подробнее

РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ. Предисловие

РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ. Предисловие Предисловие В настоящее время образовательный процесс в вузах ориентирован на активное, управляемое самообучение каждого студента, учитывающее его потенциал и уровень базовой подготовки Такой путь развития

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2.

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2. ЗАДАЧА Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д) х + х х + + 6х а) lim ; б) lim ; х х + х х х ( + х ) + х в) lim ; х х + Решение

Подробнее