Глава 1 Основы теории множеств

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 1 Основы теории множеств"

Транскрипт

1 Глава 1 Основы теории множеств Множество есть многое, мыслимое нами как единое. Георг Кантор 1. Введение. Первый набросок той теории, которая в будущем получила столь громкое название «теории множеств», принадлежит известному чешскому математику, философу и теологу Бернарду Больцано ( ). В своем труде «Парадоксы бесконечного», первое издание которого увидело свет в 1851 году, он вплотную подошел к теории бесконечных множеств, которая впоследствии и легла в основу современной теории множеств, к изучению которой мы приступаем. Основателем же теории множеств принято считать немецкого математика Георга Кантора ( ), который уже в 70-х годах XIX века разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказаться тем или иным «множеством». При этом общему понятию «множества», которое предлагалось рассматривать в качестве центрального для математики, Кантор давал весьма расплывчатые определения вроде «множество есть многое, мыслимое нами как единое». Это вполне соответствовало его умонастроению. Он подчеркнуто называл свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился гораздо позже), а «учением о множествах». Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится. Известна даже его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а все прочее дело рук человеческих». Категорически отвергли теорию множеств и многие другие авторитетные математики. Однако уже через несколько десятилетий практически вся математика была «переведена» на теоретико-множественный язык. Несмотря на большое число противоречий и парадоксов, так называемая «наивная теория множеств» Кантора остается центральным звеном математики и сегодня. 1

2 2. Что такое множество? Основному понятию теории понятию множества математики, увы, так и не смогли дать строгого определения. А все дело в том, что обычно, чтобы определить какое-либо новое понятие, мы стараемся, прежде всего, указать, частным случаем какого более общего понятия оно является. Для понятия множества же сделать это невозможно, поскольку более общего понятия, чем множество, в математике попросту нет. Мы часто говорим о нескольких вещах, объединенных некоторым общим признаком. К примеру, можно говорить о множестве учеников в классе, множестве планет Солнечной системы, множестве точек данной окружности и даже о множестве всех атомов Вселенной. Таким образом, под множеством можно подразумевать совокупность некоторых объектов, безразлично какой природы, объединенных некоторым признаком или правилом. Оказывается весьма удобно на первых порах представлять себе множества в виде «мешков», в которых «лежат» элементы. Таким образом можно даже решать задачи и доказывать теоремы, заменив впоследствии условное слово «мешок» на вполне четкий термин «множество». Обычно множества обозначаются прописными латинскими буквами (возможно, с индексами): A, B, C12, X145 и т. д. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Элементы принято обозначать строчными латинскими буквами: a, b, c1, x17 и т. п. Для того, чтобы указать, что данное множество A состоит, к примеру, из элементов a, b, c, обычно пишут A a,b,c. Фигурные скобки в такой записи и есть тот самый воображаемый мешок, в который мы «сложили» наши элементы. Для того чтобы показать, что объект a элемент множества A, используют запись: a A и говорят, что «a принадлежит множеству A» или, что то же самое, «множество A содержит элемент a». В противном же случае пишут: a A, имея ввиду, что «a не принадлежит множеству A» или же «множество A не содержит элемент a». К примеру, 7 Z (Z множество целых чисел), а вот 7 3 N (N опять же множество натуральных чисел). Заметьте, что множество это универсальная категория, языком которой можно описать абсолютно все, что нас окружает. Само понятие множества свойственно человеческой природе. И роль математики лишь в том, что она сумела весьма успешно формализовать это понятие. Все дальнейшие 2

3 обозначения и понятия имеют непосредственную связь с нашей жизнью. А определения и записи можно рассматривать как способ формализации. Несмотря на кажущуюся простоту данного нами определения множества, оно оказывается весьма «коварным». Рассмотрим слово М Н О Ж Е С Т В О и, уж простите за очередную тавтологию, множество букв этого слова: М,Н,О,Ж,Е,С,Т,В. В слове «МНОЖЕСТВО» две буквы «О». Почему же тогда мы положили в наш «мешок» лишь одну «О»? Все дело в том, что в русском алфавите одна буква «О», и, независимо от того, где в слове она находится в начале, конце или гденибудь посерединке, ее смысловое значение одно и то же. Мы с вами постепенно пришли к тому, что элементы множества должны между собой как-нибудь различаться. Действительно, с разумной точки зрения человека два предмета, которые нисколько между собой не различаются, считаются одинаковыми. И составлять из них множество бессмысленно. То есть множество не может содержать два абсолютно одинаковых элемента. Иначе говоря, множество однозначно определяется своими элементами. Кроме того, порядок записи элементов множества не имеет никакого значения. Ведь для нас важно содержание «мешка», а не то, в каком порядке мы «вытрясем» из него элементы. Но что же делать, если нам все-таки нужны две буквы «О»? Например, мы составляем все возможные слова из букв слова «МНОЖЕСТВО». Естественно, что если использовать букву «О» два раза, то мы сможем составить гораздо больше слов. В таком случае для нас эти две «О» несут разную смысловую нагрузку: одна из них для нас условно «первая» в будущей записи составленного слова (и ее можно обозначить «О1»), а другая «вторая» («О2»). В таком случае множество букв слова «МНОЖЕСТВО» будет другим: 1 2 М,Н,О,Ж,Е,С,Т,В,О. Теперь мы не поссоримся с русским языком. Букв «О» две, и мы можем составлять слова с двумя буквами «О». С точки зрения теории множеств мы тоже молодцы: двух одинаковых элементов в одном множестве нет. 3

4 3. Способы задания множеств. Оказывается, множества можно задавать несколькими способами. Самым простым из них будет перечисление элементов. Этот способ вполне естественно вытекает из соображений предыдущего параграфа. Действительно, раз каждое множество однозначно задается своими элементами, то, назвав все элементы, мы, тем самым, определим множество. П риме р К примеру, множество всех континентов на Земле можно задать в виде: A = {Евразия, Северная Америка, Южная Америка, Африка, Австралия, Антарктида}. П риме р А вот еще пример множество гласных букв русского алфавита: B = {а, е, и, о, у, э, ю, я}. Весьма объемно получается, не правда ли? А теперь представьте, что во множестве должно быть не 6-8 элементов, а десятки или сотни. Прямо их перечислять занятие весьма унылое. Еще хуже, если элементов вообще бесконечное количество, как атомов в Солнечной системе. Тогда это не просто уныло, а и физически невозможно. В таком случае множество можно задать с помощью характеристического свойства. Характеристическое свойство множества это свойство, которым обладают все его элементы. Если множество A задано характеристическим свойством P, это обозначают следующим образом: A x P x А значит, множество A состоит из таких элементов x, что предикат 1 P(x) истинный. П риме р Запишем множество всех материков Земли, которое мы уже пытались записать в виде перечисления элементов (пример 1.3.1), с помощью характеристического свойства: A = {X X материк}. Здесь характеристическое свойство P, зависящее от X это критерий «материковости» объекта, P(X) = «X материк». Заметьте, насколько короче стала запись того же множества. Более того, теперь мы наконец-то можем записывать и множества, состоящие из бесконечного числа элементов, то есть бесконечные множества 2. 1 Не бойтесь слова «предикат» ;) Предикат лишь понятие, обобщающее уже известное нам понятие высказывания. Неформально говоря, предикат это высказывание, в которое можно подставлять аргументы. Если аргумент один, то предикат выражает свойство аргумента, если больше то отношение между аргументами. К примеру, возьмем высказывания: «Сократ человек» и «Платон человек». Оба эти высказывания выражают свойство «быть человеком». Таким образом, мы можем рассматривать предикат P(X) = «X человек» и говорить, что он истинен для Сократа и Платона. Зачем же используют предикаты? Дело в том, что язык логики высказываний не вполне подходит для выражения логических рассуждений, проводимых людьми. А вот язык логики предикатов гораздо более универсален. 4

5 П риме р Как вы знаете, рациональными называются числа, которые можно представить в виде несократимой обычной дроби, у которой числитель целое число, а знаменатель натуральное. Тогда множество рациональных чисел Q записывают с помощью характеристического свойства так: m Q m Z,n N n. Проще говоря, в такой записи сначала записывают общий вид элемента множества, а затем характеристики, которыми этот элемент должен обладать своеобразный критерий того, что этот объект мы возьмем с собой в «мешок». Еще один способ задания множеств с помощью порождающей процедуры. Порождающая процедура это процедура, которая, будучи запущенной, порождает объекты, являющиеся элементами определяемого множества. То есть с помощью порождающей процедуры мы можем «извлечь» из «мешка» на свет Божий все элементы интересующего нас множества. П риме р Используя этот способ, можно задать последовательность элементов множества формулой, содержащей параметр: C 1 3k,k 0, 1, 2, 3. Записать это же множество несложно и в виде перечисления элементов: C 1, 4, 7, 10. А вот множество чисел Фибоначчи иначе, кроме как порождающей процедурой, задать нельзя: a1 = 1; a2 = 2; an = an 1 + an 2 (n > 2). Запуская порождающую процедуру, начиная с n = 1, мы и получим последовательность чисел Фибоначчи: F 1, 2, 3, 5, 8, 13,.... З а д а ч а Задать в виде перечисления элементов множество M, заданное порождающей процедурой: 1) 5 M; 2) если a M, то 1 a M; 3) если a M, то (1 a) M. Решение. Будем проходить пункты с 1) по 3) в цикле, начиная с первого, каждый раз проверяя, не должны ли появиться новые элементы в связи с набором уже имеющихся. 1) M = {5}; 2) поскольку 5 M, то 1 5 M; теперь 1 M 5, 5 ; 2 Совершенно аналогично конечное множество это множество, содержащее конечное число элементов. 5

6 Итак, 3) поскольку 5 M, то 1 5 = 4 M; теперь 4) поскольку 4 M, то 5) поскольку 1 M, то 4 1 M; теперь 4 1 M 5,, 4 5 ; 1 1 M 5,, 4, 5 4 ; M; теперь 4 6) поскольку 5 4 M, то M; теперь M 5,, 4,,, M 5,, 4,, ; M 5,, 4,,, Заметим, что если в условии задачи в правиле 3) заменить (1 a) на (2 a), то порождаемое множество будет бесконечным. 6

7 4. Парадокс брадобрея. [1] И. В. Ященко. Парадоксы теории множеств. М.: МЦНМО, с.: ил. стр

8 5. Пустое множество. [1] Ященко И. В. Парадоксы теории множеств. М.: МЦНМО, с.: ил. стр. 4 [2] Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. 3-е издание. М.: МЦНМО, с. стр

9 6. Мощность множества. Мощность множества это обобщение понятия количества элементов множества, которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Однако мы не будем углубляться в исследование бесконечных множеств 3, а ограничимся в данном параграфе лишь конечными. Для конечных множеств будем отождествлять понятие мощности множества с количеством его элементов. [1] И. В. Ященко. Парадоксы теории множеств. М.: МЦНМО, с.: ил. стр Сноска про кардинальные числа 9


Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет 014 г. Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. Алгебра множеств..1 Понятие множества... 1. Операции над множествами...

Подробнее

2. Множества. смысле строится именно из него. 1 Хотя оно и пустое, но при формальном построении теории множеств все в некотором

2. Множества. смысле строится именно из него. 1 Хотя оно и пустое, но при формальном построении теории множеств все в некотором 2. Множества Эта и следующая лекция будут посвящены теоретико-множественному языку, которым пользуются все математики. Множество «начальное» математическое понятие, и потому этому понятию невозможно дать

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2018)

Введение в математическую логику (oсень 2018) Введение в математическую логику (oсень 2018) В.Б. Шехтман Лекция 15 Алгоритмы Свойства алгоритмов (вычислительных устройств), неформально. 1. Алгоритмы работают со словами. Слово это конечная последовательность

Подробнее

3. Множества (продолжение)

3. Множества (продолжение) 3. Множества (продолжение) Несчетность множества действительных чисел имеет следующее более или менее конкретное приложение. Определение 3.1. Число R называется алгебраическим, если оно является корнем

Подробнее

Понятие множества. РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ

Понятие множества. РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ Понятие множества. Вопросы для изучения 1. Понятие множества. 2. Отношения между множествами. 3. Диаграммы Эйлера Венна. 4. Операции над множествами. «Множество есть многое, мыслимое нами как единое» основатель

Подробнее

Основы теории множеств

Основы теории множеств Множества Основы теории множеств Понятие множества принадлежит к числу простейших (фундаментальных) математических понятий Оно не определяется Можно сказать, что множество это любая определенная совокупность

Подробнее

Лекция 1. Наивная теория множеств

Лекция 1. Наивная теория множеств Лекция 1. Наивная теория множеств Множество Центральным понятием наивной теории множеств является множество. Множество это набор или совокупность объектов любой природы. Эти объекты называют элементами

Подробнее

Основы теории множеств.

Основы теории множеств. 1 Понятие множества Основы теории множеств. Киселев Александр Сергеевич Аничков лицей, 6 класс, первый год обучения февраль 2013 года 1.1 Множество, элемент, принадлежность Мы не будем определять, что

Подробнее

Глава 1. Множества, бинарные отношения, комбинаторика

Глава 1. Множества, бинарные отношения, комбинаторика Глава 1. Множества, бинарные отношения, комбинаторика 1.1. Множества и бинарные отношения Множество, способы задания множеств. Мощность конечного множества. Подмножество. Операции над множествами: дополнение,

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 2 семестр. Лекция N1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Элементы теории множеств. Понятие множества. Операции над множествами

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 2 семестр. Лекция N1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Элементы теории множеств. Понятие множества. Операции над множествами ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 2 семестр Лекция N1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Элементы теории множеств "Множество есть многое, мыслимое нами как единое" Георг Кантор Понятие множества. Операции над множествами Множество

Подробнее

УРОК 9. Алгебра логики. Теория множеств. Понятие множества и элемента множества.

УРОК 9. Алгебра логики. Теория множеств. Понятие множества и элемента множества. УРОК 9. Алгебра логики. Теория множеств. Понятие множества и элемента множества. В конце XIX века в математической науке возникла необходимость уточнить смысл таких ведущих понятий, как функция, непрерывность

Подробнее

Методические указания по дискретной математике. Теория множеств

Методические указания по дискретной математике. Теория множеств Методические указания по дискретной математике Теория множеств 2 Элементы теории множеств Раздел математики, занимающийся множествами называется теорией множеств. Ее основоположником был немецкий математик

Подробнее

Лекция Раздел 3. Основы логики предикатов. Понятие предиката. Операции над предикатами. Квантор всеобщности и квантор существования.

Лекция Раздел 3. Основы логики предикатов. Понятие предиката. Операции над предикатами. Квантор всеобщности и квантор существования. Лекция Раздел 3. Основы логики предикатов. Понятие предиката. Операции над предикатами. Квантор всеобщности и квантор существования. Термы, элементарные формулы и формулы логики предикатов. Свободные и

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2018)

Введение в математическую логику (oсень 2018) Введение в математическую логику (oсень 2018) В.Б. Шехтман Лекция 14 Полнота исчисления предикатов и ее следствия Мощностью сигнатуры Ω (обозначение: Ω ) назовем мощность 1 множества всех ее символов,

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ 1 Понятие множества. Операции над множествами В математике встречаются самые разнообразные множества. Можно говорить о множестве граней многогранника, множестве точек на прямой,

Подробнее

Лекция 5 Раздел 5. Дедуктивные теории. Понятие об эффективных и полуэффективных процессах (методах). Задание дедуктивных теорий. Свойства дедуктивных

Лекция 5 Раздел 5. Дедуктивные теории. Понятие об эффективных и полуэффективных процессах (методах). Задание дедуктивных теорий. Свойства дедуктивных Лекция 5 Раздел 5. Дедуктивные теории. Понятие об эффективных и полуэффективных процессах (методах). Задание дедуктивных теорий. Свойства дедуктивных теорий: непротиворечивость, полнота, независимость

Подробнее

Всероссийский Институт Научной и Технической Информации. Российской Академии Наук. Давидюк Константин Васильевич.

Всероссийский Институт Научной и Технической Информации. Российской Академии Наук. Давидюк Константин Васильевич. Всероссийский Институт Научной и Технической Информации Российской Академии Наук. Давидюк Константин Васильевич. Универсальная конструкция для построения множества действительных чисел и системы подмножеств

Подробнее

Сократ человек Платон человек

Сократ человек Платон человек 1 8.2. Логика предикатов Не всякие высказывания и не любые рассуждения могут быть описаны на языке логики высказываний. Логика предикатов раздел логики, в котором изучаются общезначимые связи между высказываниями

Подробнее

множество элементами

множество элементами Добрый день! Меня зовут Хан Виктория Дмитриевна. Сегодня я хотела бы поговорить с Вами о множествах. Темой моего выступления являются отношения и операции, производимые над множествами. Цель моего доклада

Подробнее

Глава 3 ЛОГИКА И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА

Глава 3 ЛОГИКА И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА Глава 3 ЛОГИКА И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА 3.1. Алгебра логики Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат

Подробнее

9. Некоторые следствия из свойств полноты

9. Некоторые следствия из свойств полноты 9. Некоторые следствия из свойств полноты Начнем с понятия, которое нам уже знакомо (как минимум в примерах). Речь идет о понятии подпоследовтаельности. Именно, пусть у нас есть последовательность {x n

Подробнее

Математическая логика и теория алгоритмов

Математическая логика и теория алгоритмов Математическая логика и теория алгоритмов Лектор: А. Л. Семенов Лекция 2 Попытка расширить пределы вычислимого Наряду с теми операциями над вычислимыми функциями, которые мы рассматривали, возможны более

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ СОДЕРЖАНИЕ. Лекция 5. Классификация функций 80 Лекция 6. Предел функции.. 98 Лекция 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

ВВЕДЕНИЕ СОДЕРЖАНИЕ. Лекция 5. Классификация функций 80 Лекция 6. Предел функции.. 98 Лекция 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 4 Тема 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Лекция 1 Множества 6 Лекция Числовые множества 14 Лекция 3 Грани числовых множеств 1 Лекция 4 Множество комплексных чисел 7 Тема ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Лекция

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Министерство образования и науки Российской Федерации Омский государственный педагогический университет ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Учебное пособие Омск Изд-во ОмГПУ 2013 1 ББК 22.1 + 32.97 В24

Подробнее

Логика предикатов. Объектные константы. Объектные переменные. Функции

Логика предикатов. Объектные константы. Объектные переменные. Функции Логика предикатов В алгебре логики высказываний собственно высказывания рассматриваются как неразделимые целые и только лишь с точки зрения их истинности или ложности. Структура высказываний или их содержание

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 9 класс СУММИРОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск

Подробнее

S = {1, 1, 1, } (1) N = (N раз). (2)

S = {1, 1, 1, } (1) N = (N раз). (2) 7.5. Новое геометрическое определение числа Что такое число? «Ливийский» период моей жизни, который продолжался с февраля 1995 по август 1997 г., был своеобразным и сознательным «заточением», кода я у

Подробнее

Тема 1-1: Введение. Метод математической индукции. Множества и операции над ними

Тема 1-1: Введение. Метод математической индукции. Множества и операции над ними Тема 1-1: Введение. Метод математической индукции. Множества и операции над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ. 1. Основные понятия

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ. 1. Основные понятия ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 1. Основные понятия Множество основное математическое понятие. К сожалению понятию множества нельзя дать строгого определения. Будем понимать под множеством такой набор, группу, коллекцию

Подробнее

С О Д Е Р Ж А Н И Е ТЕМА I. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА...

С О Д Е Р Ж А Н И Е ТЕМА I. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА... С О Д Е Р Ж А Н И Е ТЕМА I. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ... 2 1. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ПРИМЕРЫ... 2 1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ... 2 1.2. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА... 3 1.3. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ...

Подробнее

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Лекция 3 Алексей Львович Семенов 1 10.08.20181 План Логика высказываний Структуры Логика отношений Что значит определить отношение? Примеры определимости

Подробнее

Язык теории множеств Цермело Френкеля (ZF)

Язык теории множеств Цермело Френкеля (ZF) 1 Язык теории множеств Цермело Френкеля (ZF) Алфавит Переменные (по множествам) : a,b,... Предикатные символы:, = Логические связки:, ª, #,, Кванторы: Á, Ú Скобки: (, ) Формулы Атомарные: x y, x=y (где

Подробнее

Математическая логика

Математическая логика Математическая логика Лектор: Подымов Владислав Васильевич e-mail: valdus@yandex.ru 2017, весенний семестр Лекция 13 Наивная теория множеств Кардинальные числа в наивной теории множеств Выразительные возможности

Подробнее

МНОЖЕСТВО (По материалам Константина Онуфриевича Ананченко)

МНОЖЕСТВО (По материалам Константина Онуфриевича Ананченко) МНОЖЕСТВО (По материалам Константина Онуфриевича Ананченко) Множество и его элементы. Понятие множества является одним из основных в математике. Оно не определяется через другие. Поясним понятие множества

Подробнее

Лекция 2. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ

Лекция 2. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Лекция 2. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Цель лекции: изучить основы теории множеств, необходимые для введения фундаментального понятия "отношение", на котором строится дальнейшее изучение реляционной модели данных.

Подробнее

Основные понятия теории множеств

Основные понятия теории множеств Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основные понятия теории множеств Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е,

Подробнее

{ формальные языки - формальные исчисления - теоремы формального исчисления - выводимость в формальном исчислении - свойства выводимости из посылок -

{ формальные языки - формальные исчисления - теоремы формального исчисления - выводимость в формальном исчислении - свойства выводимости из посылок - { формальные языки - формальные исчисления - теоремы формального исчисления - выводимость в формальном исчислении - свойства выводимости из посылок - формальный язык исчисления высказываний - пропозициональные

Подробнее

Проблема полноты в исчислении высказываний

Проблема полноты в исчислении высказываний Проблема полноты в исчислении высказываний Г.В. Боков В работе проблема полноты систем аксиом в исчислении высказываний рассматривается с позиции оператора замыкания, порожденного правилами вывода. Описываются

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ЛОГИКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ЛЕКЦИЯ 7 ЛОГИКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА ЛЕКЦИЯ 7 ЛОГИКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Введение в логику первого порядка Есть два основных квантора существования ( ) и всеобщности ( ). Помимо кванторов есть также не логические, а математические знаки, связывающие

Подробнее

МНОЖЕСТВО ГЛАВА 1. Задача 1. Пусть A множество делителей числа 6. Определить, принадлежат ли множеству A числа 3 и 4.

МНОЖЕСТВО ГЛАВА 1. Задача 1. Пусть A множество делителей числа 6. Определить, принадлежат ли множеству A числа 3 и 4. ГЛАВА 1 МНОЖЕСТВО Собрание предметов, родственных по некоторому признаку, часто рассматривается как самостоятельный объект. Пример 1. А, Б, В, Г,... это алфавит. Пример 2. 1, 2, 3, 4,... это натуральные

Подробнее

Некоторые примеры эквивалентностей (, обозначают произвольные формулы; ради удобства, крайние скобки часто не пишутся):

Некоторые примеры эквивалентностей (, обозначают произвольные формулы; ради удобства, крайние скобки часто не пишутся): ЛЕКЦИЯ Предмет математической логики Высказывания. Логические связки: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, отрицание. Фиксируем бесконечный список пропозициональных букв (их также называют

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 38.03.01 (080100.62 Экономика. Профиль

Подробнее

Логика и алгоритмы (весна 2018)

Логика и алгоритмы (весна 2018) Логика и алгоритмы (весна 2018) В.Б. Шехтман 20 апреля 2018 г. Лекция 1 Пропозициональные формулы Определение 1 Фиксируем счетное множество пропозициональных переменных P V = {p 1, p 2,...}. Множество

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основные понятия теории множеств Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е,

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Основы математической логики.

Основы математической логики. Основы математической логики. Киселев Александр Сергеевич Аничков лицей, 6 класс, первый год обучения январь-февраль 2012/13 учебный год 1 Высказывания и предикаты 1.1 Высказывания Определение 1.1. Определение:

Подробнее

2009 Философия. Социология. Политология 4(8)

2009 Философия. Социология. Политология 4(8) ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2009 Философия. Социология. Политология 4(8) ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРЕДИКАТОМ? 1 Мне не совсем ясно значение данного вопроса. М-р Нил говорит, что существование

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

18. Отображения, отношения и лемма Цорна

18. Отображения, отношения и лемма Цорна 18. Отображения, отношения и лемма Цорна Вернемся еще раз к теории множеств будем надеяться, что последний раз в курсе анализа. Вы уже знакомы с понятием отображения множеств. Именно, отображение f : X

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

Математическая логика и теория алгоритмов

Математическая логика и теория алгоритмов Математическая логика и теория алгоритмов Лектор: А. Л. Семенов Лекция 2 Оглавление Теория множеств. Продолжение...1 Теория множеств. Пределы расширения...2 Гипотеза Континуума...3 Геометрия. Пятый постулат...4

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 1. Алгебра высказываний и логика.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 1. Алгебра высказываний и логика. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление 1. Алгебра высказываний и логика. 1.1 Высказывания и логические операции...

Подробнее

Лекция 3. Тема. Содержание темы. Основные категории. Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Лекция 3. Тема. Содержание темы. Основные категории. Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Основные категории алгебра

Подробнее

Математическая логика

Математическая логика Математическая логика Лектор: Подымов Владислав Васильевич e-mail: valdus@yandex.ru 2017, весенний семестр Лекция 14 Доопределение теорий Теория множеств Цермело-Френкеля: сигнатура, аксиомы, вопрос непротиворечивости

Подробнее

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Лекция 2 Алексей Львович Семенов 1 10.08.2018 План Аксиомы теории множеств (повторение и продолжение) Трудности с полнотой Логика высказываний. Синтаксис

Подробнее

Практическое занятие 1. Комплексные числа

Практическое занятие 1. Комплексные числа С. А. Лавренченко.lareceko.ru Практическое занятие Комплексные числа (Используется типовые расчеты,.). Операции над комплексными числами Пример.. Вычислить ( )( 4). Решение: Надо раскрыть скобки, заменить

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

Занятие 20. Решение. Для всякого x N имеем

Занятие 20. Решение. Для всякого x N имеем Занятие 20 Задача 20.1. Докажите, что если всюду определенная функция f : N N вычислима и множество A N разрешимо, то прообраз f 1 (A) = {x N f(x) A} множества A разрешим. Решение. Для всякого x N имеем

Подробнее

Конспект урока математики в 6 классе. Лабинцева Елена Николаевна. учитель математики. математика. Понятие множества

Конспект урока математики в 6 классе. Лабинцева Елена Николаевна. учитель математики. математика. Понятие множества Конспект урока математики в 6 классе. ФИО: Должность: Место работы: Предмет: Класс: Тема урока: Базовый учебник Лабинцева Елена Николаевна учитель математики ГБОУ «Адыгейская республиканская гимназия»

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

Системы счисления с иррациональными основаниями и новые свойства натуральных чисел

Системы счисления с иррациональными основаниями и новые свойства натуральных чисел Алексей Стахов Системы счисления с иррациональными основаниями и новые свойства натуральных чисел 1. Введение Публикация книги [1] вызвала довольно бурную и неоднозначную реакцию научного сообщества от

Подробнее

Множества и отображения

Множества и отображения Глава 1 Множества и отображения 11 Множества Когда мы даем определение какому-либо понятию, мы связываем его с другими понятиями Те, в свою очередь, мы можем определить через другие понятия и т д Рано

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий. Направление подготовки 0.03.01

Подробнее

( C x A) x C (1) (соответственно

( C x A) x C (1) (соответственно 1.3. Предел последовательности 3.1. Точные границы. Начнем c анализа точных границ последовательностей. Сначала напомним определение точной границы множества. ТЕОРИЯ Множество A R называют ограниченным

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков.

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков. ЛЕКЦИЯ N Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков Полный дифференциал Частные дифференциалы Частные производные высших порядков Дифференциалы высших порядков 4Производные

Подробнее

11) A A и правило вывода modus ponens A A B

11) A A и правило вывода modus ponens A A B Московский физико-технический институт Факультет инноваций и высоких технологий Математическая логика и теория алгоритмов, осень 2018 Семинар 4: исчисление высказываний, с некоторыми решениями В исчислении

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 ВВЕДЕНИЕ. ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ

ЛЕКЦИЯ 1 ВВЕДЕНИЕ. ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ ЛЕКЦИЯ 1 ВВЕДЕНИЕ. ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ 1. Введение в математическую логику Рекомендуемая литература по данному курсу трилогия Верещагина и Шеня: «Начала теории множеств», «Языки и исчисления», «Вычислимые

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция. Функции натурального аргумента (последовательности). Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Примеры Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Лекция 10 Алексей Львович Семенов 1 1 10.08.2018 План Программа Гильберта Непротиворечивая и полная математика. Логика отношений Исчисление логики отношений

Подробнее

МАТЕМАТИКА для гуманитариев

МАТЕМАТИКА для гуманитариев Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинская государственная академия культуры и искусств» Кафедра информатики С. В. Буцык МАТЕМАТИКА для гуманитариев

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Примеры Лектор - доцент Селезнева

Подробнее

Тема 07. Логарифмы Логарифм. Определение. Простейшие уравнения a 1 эти условия должны всегда выполняться) назы-

Тема 07. Логарифмы Логарифм. Определение. Простейшие уравнения a 1 эти условия должны всегда выполняться) назы- Тема Логарифмы Содержание Логарифм Определение Простейшие уравнения Свойства логарифмов Вычисления Логарифмические уравнения Замена переменных 6 Метод перехода к новому основанию Логарифмирование 8 Системы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6 ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

ЛЕКЦИЯ 6 ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ЛЕКЦИЯ 6 ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 1 Формулировка теоремы Вспомогательные леммы Теорема о полноте исчисления высказываний будет доказана двумя способами Первый способ проще для понимания,

Подробнее

Лекция 3: множества и логика

Лекция 3: множества и логика Лекция 3: множества и логика Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Мы уже использовали понятие множества и в дальнейшем будем его использовать постоянно. Сейчас

Подробнее

Глава3 Рациональные дроби 1

Глава3 Рациональные дроби 1 Глава3 Рациональные дроби Тестовые задания и диктанты Т-0 Составление рационального выражения Т-0 Допустимые значения Т-03 Равенство дробей Т-04 Умножение и деление рациональных дробей Т-05 Приведение

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Последовательности. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения. Общие решения линейных рекуррентных однородных и неоднородных уравнений. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ ÄÈÑÊÐÅÒÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

Подробнее

Основы логики и логические основы компьютера. Логика это наука о формах и способах мышления.

Основы логики и логические основы компьютера. Логика это наука о формах и способах мышления. Основы логики и логические основы компьютера. Формы мышления Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения,

Подробнее

тие множества всех множеств (безотносительно к ступени) является теперь незаконным. Является также незаконным и понятие множества всех нормальных

тие множества всех множеств (безотносительно к ступени) является теперь незаконным. Является также незаконным и понятие множества всех нормальных Логицизм Логицизм в XX в. связан в основном с именем Рассела. Подвергнув критике построения Фреге, Рассел, однако, не отверг его программу в целом. Он полагал, что эта программа, при некоторой реформе

Подробнее

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА понятия, которые можно описать, но нельзя строго определить, так как любая попытка дать строгое определение неизбежно сведётся к замене определяемого понятия ему

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2018)

Введение в математическую логику (oсень 2018) Введение в математическую логику (oсень 2018) В.Б. Шехтман Лекция 11 Исчисление предикатов Исчисление предикатов в сигнатуре Ω это аксиоматическая система гильбертовского типа. Она обозначается через P

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2016)

Введение в математическую логику (oсень 2016) Введение в математическую логику (oсень 2016) В.Б. Шехтман Лекция 1 Высказывания это предложения естественного языка. Естественные языки предмет изучения других наук: лингвистики и филологии. В математической

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни. Задание 4 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни. Задание 4 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание 4

Подробнее

Логика и Алгоритмы. Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2012 г. Л.Д. Беклемишев. 1 Вполне упорядоченные множества и аксиома выбора

Логика и Алгоритмы. Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2012 г. Л.Д. Беклемишев. 1 Вполне упорядоченные множества и аксиома выбора Логика и Алгоритмы Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2012 г. Л.Д. Беклемишев 1 Вполне упорядоченные множества и аксиома выбора 1.1 Упорядоченные множества Строгим частичным порядком на множестве

Подробнее

Методы подсчета комбинаторных объектов

Методы подсчета комбинаторных объектов Методы подсчета комбинаторных объектов Александр Голованов, Артем Жук, Александр Останин Февраль 2015 1 Введение Зачастую в задачах, попадающихся на олимпиадах, надо что-нибудь подсчитать Скажем, число

Подробнее

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения 1 Прикладная математика Лекция 1 Числа. Корни. Степени. Логарифмы Различные виды чисел: натуральные, целые, рациональные, действительные. Действия над числами: сложение, вычитание, умножение, деление.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ИНФОРМАТИКЕ. 1. Математическая логика и информатика

ЛЕКЦИЯ 5 ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ИНФОРМАТИКЕ. 1. Математическая логика и информатика ЛЕКЦИЯ 5 ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ИНФОРМАТИКЕ 1. Математическая логика и информатика 2. Логические выражения и логические операции 3. Построение таблиц истинности и логических функций 4. Законы логики и правила

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2018)

Введение в математическую логику (oсень 2018) Введение в математическую логику (oсень 2018) В.Б. Шехтман Лекция 6 ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ Языки первого порядка: синтаксис Отличия языка 1-го порядка от языка логики высказываний: Вместо пропозициональных

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

Введение в математическую логику. Проф. Алексей Львович Семенов

Введение в математическую логику. Проф. Алексей Львович Семенов Введение в математическую логику Проф. Алексей Львович Семенов 1 Введение Цель ответить на вопросы: Что значит, что математическое утверждение доказуемо? Что значит, что математическая функция вычислима?

Подробнее

Занятие 19. Напомним, что алгоритм A вычисляет (быть может, не всюду определенную) функцию f из N в N, если выполнены условия:

Занятие 19. Напомним, что алгоритм A вычисляет (быть может, не всюду определенную) функцию f из N в N, если выполнены условия: Занятие 19 Напомним, что алгоритм A вычисляет (быть может, не всюду определенную) функцию f из N в N, если выполнены условия: 1. для всех n dom f алгоритм A на входе n завершает свою работу (за конечное

Подробнее

Лекция 13. Вычислимые функции, перечислимые и разрешимые множества 2

Лекция 13. Вычислимые функции, перечислимые и разрешимые множества 2 Лекция 13. Вычислимые функции, перечислимые и разрешимые множества 2 Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) 1 Перечислимые множества в терминах вычислимых функций

Подробнее

1. Зачем нужны пределы

1. Зачем нужны пределы Факультет прикладной политологии, 2011-12 уч. год. Дополнительные главы алгебры и анализа Пределы (22 февраля 2012) И. А. Хованская, И. В. Щуров, Ю. Г. Кудряшов, П. Ф. Соломатин, К. И. Сонин (РЭШ) 1. Зачем

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

Логика и алгоритмы (весна 2018)

Логика и алгоритмы (весна 2018) Логика и алгоритмы (весна 2018) В.Б. Шехтман Лекция 9 Лемма 9.1 (Лемма о свежей константе) Пусть T теория 1го порядка в сигнатуре Ω, c константа, которая не встречается в T. Пусть ϕ(x) формула сигнатуры

Подробнее