II тур Всероссийской студенческой олимпиады Цетрального и Приволжского федеральных округов по сопротивлению материалов

Транскрипт

1 II тур Всероссийской студенческой олимпиады Цетрального и Приволжского федеральных округов по сопротивлению материалов Задача Для фигуры изображенной на рисунке определить: Центробежный момент инерции относительно осей ( J ) Осевой момент инерции относительно оси ( J ) Задача Для ступенчатого бруса определить как и насколько градусов нужно изменить температуру стержня АС чтобы на участке АВ напряжения стали бы равны нулю Известно: 5 q 0кН м E 0 Па 5 0 l м град Сечение на участке АВ круг d см на участке ВС квадрат со стороной a см Задача Заданы модуль упругости материала E коэффициент Пуассона длина l диаметры D и d При каком отношении моментов M / M углы поворота концевых сечений будут одинаковыми?

2 Задача Балка постоянного поперечного сечения загружена распределенной нагрузкой меняющейся по линейному закону и сосредоточенной силой На каком расстоянии a необходимо расположить опору A чтобы балка обладала бы наибольшей несущей способностью? Задача 5 Определить относительную деформацию и величины ma и ma в точке если E 0 Па 0 5 Задача Колонна изображенная на рисунке нагружена сосредоточенной силой P Определить величину этой силы при условии что нормальные напряжения в точке В равны В 9Па d 0 м Иваново 05

3 Задача Для фигуры изображенной на рисунке определить: Центробежный момент инерции относительно осей ( J ) Осевой момент инерции относительно оси ( J ) Достраиваем фигуру до круга R 5 5a Главные центральные оси круга и являются главными осями заданной фигуры Следовательно центробежный момент инерции заданной фигуры относительно осей и : J 0 (так как оси х и являются главными) Круг имеет множество взаимно перпендикулярных осей симметрии поэтому любые две взаимно перпендикулярные оси проходящие через центр тяжести всего круга являются главными осями исходной фигуры поэтому J 0 Осевой момент инерции фигуры относительно осей являющихся главными центральными осями круга равны половине величины моментов инерции относительно соответствующих главных центральных осей круга Поэтому круга d r 950a J J 8 a 8 8

4 Задача Для ступенчатого бруса определить как и насколько градусов нужно изменить температуру стержня АС чтобы на участке АВ напряжения стали бы равны нулю 5 Известно: q 0кН м E 0 Па 5 0 l м град Сечение на участке АВ круг d см на участке ВС квадрат со стороной a см Применим метод сил Система один раз статически неопределимая Выберем основную систему Тогда эквивалентная система будет иметь вид показанный на рис а Запишем каноническое уравнение 0 ; P t В конечном состоянии системы 0 поэтому уравнение примет вид: 0 P t где P и t - перемещения в направлении для основной системы соответственно при нагружении распределенной нагрузкой и нагреве стержня АС Для их определения строим эпюры нормальных сил при нагружении основной системы единичной силой (рис в) и внешней нагрузкой q (рис б) Находим значение коэффициентов: ql P qll EABC EABC где площадь поперечного сечения на участке ВС 0 0 м A BC a ; t lt ; тогда ql EA BC lt 0 ql t EA l 0 BC нагрев

5 Задача Заданы модуль упругости материала E коэффициент Пуассона длина l диаметры D и d При каком отношении моментов M / M углы поворота концевых сечений будут одинаковыми? l l EJ GJ p На рисунке а) изгиб при изгибе угол поворота концевого сечения l ; EJ на рисунке б) кручение при кручении угол поворота концевого сечения l ; GJ p Осевой момент инерции D d J D d Полярный момент инерции J p J одуль сдвига E G Тогда

6 Задача Балка постоянного поперечного сечения загружена распределенной нагрузкой меняющейся по линейному закону и сосредоточенной силой На каком расстоянии a необходимо расположить опору A чтобы балка обладала бы наибольшей несущей способностью? Наибольшей несущей способностью балка обладает в том случае если ma ma тогда ma ma ma q q a при a ma ma RB l ma l при RB Из уравнения равновесия ma q l a l q l a Тогда qa qa ; a m A 0 R B l qa a P 0 q l a R B l l qa q l a Отсюда a l l

7 Задача 5 Определить относительную деформацию и величины ma и ma в точке если E 0 Па 0 5 Напряжения на площадках частицы: 0Па 0Па 0Па 80Па Относительная деформация cos sin sin где относительные линейные деформации в направлении осей (( 0) 0 0 ) (0 0) 50 ; относительный угол закручивания 000 G E тогда 50 cos 5 50 sin sin аксимальные напряжения в частице ma (или ) ma где - главные напряжения В плоскости 0 ( 0) 0 ( 0) Па ; 5Па ; то есть ma 7Па 7 ( 5) ma Па Па

8 Задача Колонна изображенная на рисунке нагружена сосредоточенной силой P Определить величину этой силы при условии что нормальные напряжения в точке В равны В 9Па d 0 м Колонна испытывает внецентренное сжатие Нормальные напряжения в точке В Р Р P В ; А J где А d ( d) 0 м J J J J ; где J I J II I J d II II d III d d d 8 d 8 d d 8 d d d 05d 8 d J III 005d 8 d 05d 005d 078d 0780 м J Тогда Р 0 Р 005 ( 005) ; Отсюда Р 000кН