МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рязань

2 Министерство образования и науки Российской Федерации Рязанский государственный радиотехнический университет ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебное пособие (типовой расчёт с методическими указаниями) Рязань

3 УДК Линейная алгебра: учеб пособие (типовой расчёт с методическими указаниями) / ИП Карасёв; Рязан гос радиотехн ун-т Рязань, c Содержит типовые расчеты по линейной алгебре в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования Предназначено для студентов направления «Химическая технология», а также для студентов всех направлений и специальностей, изучающих линейную алгебру Ил 9 Библиогр: назв Определитель, матрица, минор, алгебраическое дополнение, метод Гаусса Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанского государственного радиотехнического университета Рецензент: кафедра высшей математики Рязанского государственного радиотехнического университета (зав кафедрой, доц, канд физ-мат наук КВ Бухенский) Рязанский государственный радиотехнический университет,

4 ЗАДАЧИ НУЛЕВОГО ВАРИАНТА Задание Вычислить определитель -го порядка : ) по правилу треугольников; ) по правилу Саррюса; ) разложением по строке (столбцу) Задание Вычислить определитель Задание Даны две квадратные матрицы и -го порядка, Найти: ) C ; ) показать, что Задание Решить СЛАУ,, а) по правилу Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса; г) методом Гаусса в матричной форме; д) модифицированным методом Жордана Гаусса

5 Задание Решить СЛАУ,,, а) методом Гаусса; б) методом Гаусса в матричной форме; в) модифицированным методом Жордана Гаусса Задание Краткие теоретические сведения Определение Определителем -го порядка, соответствующим квадратной матрице -го порядка называется число, обозначаемое или и равное () Удобней пользоваться формулой (), если применять правило треугольников или правило Саррюса Правила треугольников Определитель -го порядка равен сумме произведений элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали, и минусу произведений элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали (рис )

6 = - Главная диагональ Побочная диагональ Рис Правило Саррюса Образуем матрицу размером, у которой первые три столбца составлены из матрицы, а -й и -й столбцы это первые два столбца матрицы (рис) Рис Затем перемножаем элементы этой матрицы в соответствии со схемой рис для получения слагаемых формулы () Определение Минором M ij элемента ij определителя n-го порядка называется определитель n -го порядка, полученный из определителя n-го порядка вычёркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится элемент ij Определение Алгебраическим дополнением элемента ij определителя n-го порядка называется число, равное минору M ij этого элемента, если сумма индексов i j чётное число, и минору со знаком минус, если i j нечётное число ij

7 Таким образом, для любого элемента имеет место соотношение ij ij i j Mij ij определителя ~ () П р и м е р Вычислить минор M и M и соответствующие им алгебраические дополнения и определителя -го порядка: Решение Миноры M и M соответствуют элементам определителя и : ~ M вычисляем по правилу треугольников ; M по формуле () найдём алгебраическое дополнение этого элемента: ~ M M ; Ответ: M, ; M, Определение Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов -й строки определителя на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения:

8 n n n n nn n n ij ij () Вычисление определителя по формуле () называется разложением определителя n-го порядка по -й строке Определитель n-го порядка можно разложить по любой строке или любому столбцу разложение определителя по i i i i in in n j i-й строке, где i,,, n (кратко записывают i, n ); j j j j, j, n, разложение определителя по j-му столбцу П р и м е р Вычислить определитель Решение nj nj разложим определитель по -й строке M M M определитель -го порядка вычисляется по формуле: Вычислим тот же определитель разложением по -му столбцу: M M M

9 Ответ: Очевидно, что вычисление определителя по -му столбцу произвести быстрее, чем вычисление по -й строке, так как число реальных слагаемых (те слагаемых, отличных от нуля) меньше на единицу Оказывается, что существует свойство определителя (см, например, []: свойство п), позволяющее получать нули в некоторой строке (столбце), не изменяя определителя Свойство Если к элементам некоторой строки (некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на любое число, то определитель не изменится Решим предыдущий пример - = = прменяя свойство, получаем ещё один нуль в -м столбце, кружочек означает - умножение элементов -й строки на, а затем стрелочка показывает, что к элементам -й строки нужно прибавить соответствующие новые чис- ла, разлагаем определитель по элементам M -го столбца Решение первого задания нулевого варианта Вычислить определитель :

10 ) по правилу треугольников: 9 ; 9 ) по правилу Саррюса: - - ) разложением по столбцу (строке): ; разложим определитель по элементам -й - строки M M 9 Задание Вычислить определитель Решение Согласно определению, определитель можно разложить по -й строке Получим пять определителей -го порядка, которые сводятся к определителям -го порядка, и определители -го порядка, в свою очередь, вычисляются через определители -го порядка Очевидно, что процесс вычисления определителей больших размеров получается трудоёмким

11 Следует заметить, что разложение того же определителя по -й строке (или по -му столбцу) будет содержать четыре определителя -го порядка, так как один элемент -й строки (второго столбца) равен нулю Применяя свойство, можно получить четыре нуля в какойто строке (или столбце) и вычислять только один определитель -го порядка Но и его, применяя свойство, можно свести к одному определителю -го порядка, который, в свою очередь, можно привести, используя свойство, к одному определителю -го порядка: b d bc c d Решение примера задания применяем свойство, все преобразования удобнее провести в целых числах Если в определителе имеется элемент, равный, то его можно умножать на подходящие числа такие, чтобы в строке (столбце), содержащей элемент, получить нули Если в строках (столбцах) нет единиц, то, применяя свойство, можно выполнять преобразования в целых числах В данном примере имеются единицы, например, Рядом в -й строке (-м столбце), применяя свойство, можно получить нули Например, умножая элементы -й строки на подходящие числа, получаем нули в -м столбце

12 = разлагаем определитель по -му столбцу M = 9 M M 9 общий множитель во всех элементах строки (столбца) можно вынести за знак определителя (см свойство п пособия [] =

13 9 M 9 9 Ответ: Задание Даны две квадратные матрицы и -го порядка, Найти: ) C, ) показать, что Краткие теоретические сведения Определение Произведением матрицы размером m s на матрицу размером s n называется матрица C размером m n, элементы которой c ij вычисляются по формулам: c ij ib j i b j isbsj ikbkj () s k Формула () показывает, что умножение двух матриц возможно тогда и только тогда, когда число столбцов в первом множителе (матрица ) равно числу строк во втором множителе (это матрица ) Обозначение C Например, для получения c матрицы C находится сумма произведений элементов -й строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы : c b b s b s Аналогично c b b s bs,,

14 c mn b b m n m n ms sn Если же число столбцов матрицы не равно числу строк матрицы, то не существует П р и м е р Найти, если и Решение Число столбцов матрицы равно трём, число строк матрицы тоже равно трём, следовательно, произведение существует: C c ij размером c, c, c, c Таким образом, C Ответ: Найдите, если это возможно Определение Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если её определитель Определение Квадратная матрица называется обратной к матрице, если E, где E единичная квадратная матрица Теорема Если квадратная матрица невырожденная, - то обратная матрица существует и вычисляется по формуле - b

15 где ik ki, () ki алгебраическое дополнение элемента ki - матрицы П р и м е р Найти обратную матрицу для матрицы Решение Найдём определитель M Следовательно, матрица невырожденная и имеет обратную матрицу Построим матрицу ik алгебраических дополнений элементов ik матрицы ~ M, ~ M, ~ M, ~ M, ~ M,

16 ~ M, ~ M, ~ M, ~ M ki ik Транспонируем матрицу ik ~, которая называется присоединённой матрицей Обратная матрица ~ Получим матрицу Проверка

17 E Самостоятельно проверьте, что E Ответ: Решение задания нулевого варианта Показать, что Решение: Найдём C

18 Определитель 9 C M 9 Матрица алгебраических дополнений C C C C C C C ik C C C, ~ C M, ~ C M, ~ C M, ~ C M, ~ C M, ~ C M, ~ C M, ~ C M, ~ C M Присоединённая матрица C ~ C, ki C

19 Найдём Решение и и Определители и : обратные к матрицам M, M Следовательно, матрицы и невырожденные, их обратные матрицы существуют ~, ~ ki присоединённая матрица ~ M, ~ M, ~ M, ~ M, ~ M, ~ M, ~ M, ~ M, ~ M ~ ~

20 ~ Найдём 9, ~ ki присоединённая матрица ~ M ~ M ik для ~ M ~ M ~ M ~ M,, ~ M, ~ M ~ M,,,,, ~, Вычислим произведение : Таким образом, Задание, Решите СЛАУ, а) по правилу Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса; г) методом Гаусса в матричной форме; д) модифицированным методом Жордана Гаусса

21 Краткие теоретические сведения Пусть дана система трёх линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными b, b, () b Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных,,, называется основным определителем системы Найти решение системы а) Решим СЛАУ по правилу Крамера Правило Крамера Если, то система () имеет единственное решение, которое находится по формулам:,,, () где b b b b b, b b, формулы () называются формулами Крамера Решим пример задания нулевого варианта Решение b, = - = + - M, b

22 = =, - - = = - -, = = Найдём решение по формулам (): M M M,, Проверка Подставляем найденные решения, и в данную систему уравнений: верно,, Ответ: T

23 б) Решим СЛАУ с помощью обратной матрицы Краткие теоретические сведения Введём матрицы, тогда система () примет вид: X, b H b, X H () Если невырожденная матрица, то её определитель и имеет обратную матрицу Уравнение () называется матричным уравнением, соответствующим СЛАУ () Из матричного уравнения () найдём столбцевую матрицу неизвестных X Умножим слева уравнение () на обратную матрицу : X H X H, так как E и EX X Можно ли () умножить справа, те X H? Следовательно, X H () Решим систему задания матричным способом Для матри- цы найдём обратную матрицу Определитель 9 b

24 По формуле () X 9 H T Ответ: X в) Решим систему методом Гаусса Краткие теоретические сведения Матрицу размером m n с помощью элементарных преобразований (см [], п) можно привести к ступенчатому виду Определение Рангом матрицы называется наибольший порядок не равного нулю минора матрицы Если матрицу приведём к ступенчатому виду, то число ненулевых строк ступенчатой матрицы S будет равно рангу матрицы : rg rgs Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными: n n b, nn b, m m mnn bm m m n mn X H () n основная матрица системы,

25 m m n mn n b,h расширенная мат- рица, которая получается из матрицы приписыванием столбца H свободных членов Теорема Кроникера Капелли Система () совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы : rg rg b b Выводы: если rg rg n числу неизвестных, то система () имеет единственное решение; если rg rg r n, то система () имеет бесконечно много решений; если rg rg, то система () несовместна (не имеет решений) П р и м е р Найти ранг матрицы Решение С помощью элементарных преобразований матрицу приведём к ступенчатому виду: m

26 =S ступенчатая матрица, её ранг равен числу ненулевых строк Следовательно, rgs rg Решим систему задания методом Гаусса, в основе которого лежит преобразование расширенной матрицы к ступенчатому виду = : - Элементарные преобразования привели расширенную матрицу к ступенчатому виду rg rg числу неизвестных Данная система имеет единственное решение, которое можно найти из равносильной системы,, обратным ходом метода Гаусса Из второго уравнения, из первого уравнения Ответ: T

27 г) Решим СЛАУ методом Гаусса в матричной форме Краткие сведения из теории В работе [] разработана методика преобразования метода Гаусса в матричной форме Для любой матрицы размером m n существует треугольная матрица L, которая приводит матрицу к ступенчатому виду: L S, где S ступенчатая матрица Построение матрицы L для случая m n : L, m m, если i k, где элементы ki ik, если i k, алгебраические дополнения последнего столбца угловых ki миноров i-го порядка матрицы Угловыми минорами матрицы называются миноры, расположенные вдоль главной диагонали,,, mm матрицы Например, для нахождения элементов и найдём алгебраические дополнения -го столбца углового минора -го порядка M : M, M, Для элементов -й строки матрицы L,,, m mm

28 используем -й столбец углового минора и тд M Решим систему задания методом Гаусса в матричной форме Для расширенной матрицы найдём матрицу L (используется матрица ) Построим -ю строку, и, используя -й столбец углового минора M ~ M, ~ M, Построим -ю строку, используя угловой минор M M, M, Матрица L L = :

29 В результате получаем СЛАУ, где S,,, равносильную начальной системе Из второго уравнения ; из первого уравнения Ответ: T д) Решим данную систему модифицированным методом Жордана Гаусса В предыдущем случае «г» получена ступенчатая матрица S Найдём матрицу G такую, что g g g матрица Матрица G g g G S D диагональная Для построения строк матрицы G используем первые столбцы угловых миноров матрицы S, причём размеры угловых миноров уменьшаются сверху вниз Выпишем наибольший угловой минор матрицы S это определитель S матрицы:

30 9 S, и найдём алгебраические дополнения -го столбца S, S, S, которые соответственно образуют элементы -й строки матрицы G : g S M, g S M, g S M Алгебраические дополнения -го столбца углового минора матрицы S являются элементами g и g матрицы G : g S M, g S M Таким образом, G D G S Треугольные матрицы L и G преобразуют матрицу в диагональную D Расширенная матрица, H преобразуется в матрицу

31 G L СЛАУ задания примет простейший вид: Ответ:,, T, Задание,,, Решите СЛАУ, : а) методом Гаусса; б) методом Гаусса в матричной форме; в) модифицированным методом Жордана Гаусса а) Решение системы методом Гаусса Расширенную матрицу приведём к ступенчатому виду: =

32 ,, Получаем систему равносильную исходной Методом обратного хода решим эту систему,, Из -го уравнения ; из -го уравнения ; из -го уравнения ; из -го уравнения Проверка:, : :, верно, Ответ: T

33 б) Решение системы методом Гаусса в матричной форме Для основной матрицы найдём матрицу L -я строка матрицы L известна Для нахождения - й строки используем угловой минор -го порядка M матрицы, в котором найдём алгебраические дополнения элементов - го (последнего) столбца M M, M,, Для нахождения -й строки матрицы L используем угловой минор M матрицы, в котором найдём алгебраические дополнения последнего столбца: M, M, M, Для нахождения -й строки матрицы L используем угловой минор -го порядка матрицы, в котором найдём алгебраические дополнения последнего столбца: M

34 M, M, M, M = Таким образом, матрица L, L

35 - - - = - - : - : Решаем более простую систему, равносильную исходной: Ответ:,,,,,, T в) Решение задания модифицированным матодом Жордана Гаусса В предыдущем пункте «б» найдена матрица L, где S сту- пенчатая матрица для матрицы Найдём матрицу G, которая преобразует матрицу S в диагональную D, а исходное уравнение в уравнение D c Матрица g g g g g G, где элементы -й g g строки соответственно равны алгебраическим дополнениям элементов -го столбца углового минора матрицы S g g

36 M g S M, g S M, g S M, g S M Для построения -й строки матрицы G используем алгебраические дополнения -го столбца углового минора: M в матрице S вычёркиваем -ю строку и -й столбец g S, g S, g S Аналогично построим -ю строку матрицы G, используя угловой минор M : M g S, g S

37 Таким образом, G Найдём L G Итак,,,,,,, Ответ: T ТИПОВОЙ РАСЧЁТ Задание Вычислите определитель -го порядка: ) по правилу треугольников; ) по правилу Саррюса; ) разложением по строке (столбцу)

38

39 9 Задание Применяя свойство п, вычислите определитель: 9

40

41 9

42 9 Задание Даны две квадратные матрицы и -го порядка Найдите: ) C ; ) показать, что,,,,,

43 ,,, 9,,,,,

44 ,,, 9,, 9,,,

45 ,,,,,,, 9,

46 , Задание Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса; г) методом Гаусса в матричной форме; д) модифицированным методом Жордана Гаусса,,,,,,,,,,,,,,,, 9,,,,,,,,

47 9,,,,,,,,,,,, 9,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

48 9,, 9,, Задание Решить СЛАУ: а) методом Гаусса; б) методом Гаусса в матричной форме; в) модифицированным методом Жордана Гаусса,,,,,,,,, 9, 9,,,,,,,,,,,,,,

49 9,,,,,,,,,,,,,,,,,,

50 9,,,,,,,,,,,, 9,,,,,,

51 ,, 9, 9,,,,,,,,,,,,

52 ,,,,,,,,, 9,,,,,,

53 Библиографический список Беклемишев ЛА, Петрович АЮ, Чубаров ИА Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре М: Физматлит, Данго ПЕ, Попов АГ, Кожевникова ТЯ Высшая математика в упражнениях и задачах, т М: Высшая школа, 9 Карасёв ИП Матричная форма метода Гаусса решения СЛАУ Международная научно-обозревательная конференция М: 9 Ильин ВА, Позняк ЭГ Аналитическая геометрия М: Фзматлит, Клетник ДВ Сборник задач по аналитической геометрии М: Наука, 9 Новиков АИ Начала линейной алгебры и аналитическая геометрия М: Физматлит, Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической геометрии М: Наука, 9

54 Линейная алгебра Типовой расчёт Составители: К а р а с ё в Иван Петрович Редактор Корректор Подписано в печать Формат бумаги / Бумага газетная Печать трафаретная Усл печ л, Уч-изд л, Тираж экз Заказ Рязанский государственный радиотехнический университет 9, Рязань, ул Гагарина, 9/ Редакционно-издательский центр


тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц.

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц. Введение Определители являются базовым инструментарием, который применяется в различных приложениях математики. Предмет изучения данной темы изучение понятия определителя, его свойств и способов вычисления,

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Центр Дистанционного

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

1. Линейная алгебра. a21x1 a12 x2 a13 x3 b2

1. Линейная алгебра. a21x1 a12 x2 a13 x3 b2 1. Линейная алгебра 1.1. В 1 представлены задачи на решение линейных алгебраических крамеровских систем с определителем, отличным от нуля, вычисление определителей и действий с матрицами. Линейные алгебраические

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П.

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct ББК я К Печатается

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

1. Определители. a11 a12. a21 a22

1. Определители. a11 a12. a21 a22 . Определители. Определитель второго порядка Пусть задана таблица четырех чисел, расположенных в две строки и в два столбца 2 () 2 22 Элементы а, а 2 образуют первую строку, элементы а 2, а 22 образуют

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 1 (самостоятельное изучение) Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка, его свойства Вычисление определителей 2-ого

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ» Кафедра высшей математики. Линейная алгебрa. Методические указания. для студентов-заочников. экономических специальностей

РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ» Кафедра высшей математики. Линейная алгебрa. Методические указания. для студентов-заочников. экономических специальностей МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц Пусть квадратная матрица порядка n Матрица, удовлетворяющая

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Задания для контрольной работы для студентов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Расчетная работа 2. Краткие теоретические сведения

Расчетная работа 2. Краткие теоретические сведения Расчетная работа Тема: «Нахождение обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы» Цель работы: научиться определять ранг матрицы; отработать навыки вычисления обратной матрицы и решения матричных уравнений.

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Практическая работа 1 Операции над матрицами Цель: закрепить навыки выполнения действий над матрицами

Практическая работа 1 Операции над матрицами Цель: закрепить навыки выполнения действий над матрицами Практическая работа Операции над матрицами Цель: закрепить навыки выполнения действий над матрицами Содержание работы: Основные понятия Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m n чисел

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Т.И. Некипелова ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Рекомендовано Учебно-методическим советом БГУ

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И.

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И. Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов Москва

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.2

Аналитическая геометрия. Лекция 1.2 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

Задания контрольной работы и вопросы к экзамену по Линейной алгебре (I семестр) для студентов групп д111у, д111з направления обучения «Экономика»

Задания контрольной работы и вопросы к экзамену по Линейной алгебре (I семестр) для студентов групп д111у, д111з направления обучения «Экономика» Задания контрольной работы и вопросы к экзамену по Линейной алгебре (I семестр) для студентов групп ду, дз направления обучения «Экономика» Преподаватель: Д.В.Шевченко e-mail: DV@ieml.ru Консультации:

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2 Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Лекция 12 Аннотация Вырожденные и невырожденные матрицы Приведение квадратной невырожденной матрицы к единичной с помощью элементарных

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее