МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева"

Транскрипт

1 МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, ИХ СВОЙСТВА Определителем второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле: ) Определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали Определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле: Определитель третьего порядка равен алгебраической сумме, состоящей из шести слагаемых, в каждое из которых входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца Со знаком «+» берутся слагаемые, которые являются произведениями элементов, находящихся на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком «-» слагаемые, которые являются произведениями элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали Знаки, с которыми слагаемые входят в формулу, легко запомнить, пользуясь схемой, которая называется «правилом треугольников» или правилом Сарруса: + ) Пример Вычислить определитель:

3 Решение ) ) 9 Рассмотрим определитель n-го порядка: n n n n nn ), ij ) ) - элемент определителя, i, j,n ) ij ij Определителем n -го порядка называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение n элементов определителя, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца Минором M элемента определителя n-го порядка называется определитель n-)-го порядка, полученный вычѐркиванием i-ой строки и j-го столбца Алгебраическим дополнением ij элемента ij называется произведение i j ) на минор этого элемента, те ij i j ) M ) Важное значение для вычисления определителей имеет следующая теорема Теорема Лапласа Определитель равен сумме произведений элементов любой строки столбца) на их алгебраические дополнения Разложение определителя n-го порядка по i -ой строке имеет вид: i i i i in in, i, n Разложение определителя по j -му столбцу: j j j j nj nj,, n ij j Теорема Лапласа позволяет свести вычисление определителя n-го порядка к вычислению определителей n-)-го порядка При этом выбирают для разложения такую строку столбец), в которой наибольшее количество нулевых элементов Пример Вычислить определитель: Решение Разложим определитель по элементам первой строки: )

4 ) ) ) ) ) ) ) Пример Вычислить определитель Решение Разложим определитель по элементам третьей строки: ) ) ) ) ) 6 ) ) Основные свойства определителей При замене строк столбцами определитель не меняется При перестановке двух строк столбцов) определитель меняет знак на противоположный Общий множитель элементов любой строки столбца) можно вынести за знак определителя Если некоторая строка столбец) определителя состоит из нулевых элементов, то определитель равен нулю Определитель, содержащий две пропорциональные строки два пропорциональных столбца), равен нулю 6 Определитель не изменится, если к элементам любой строки столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки столбца), умноженные на любое число Вычисление определителей можно облегчить, если предварительно, используя свойства определителей, преобразовать заданный определитель так, чтобы все его элементы в выбранной строке или столбце, кроме одного, были равны нулю В качестве такого опорного элемента выбирают обычно или, или элемент, являющийся делителем всех элементов выбранной строки или столбца

5 Пример Вычислить определитель Решение Выберем первый столбец, возьмѐм в качестве опорного элемента Преобразуем определитель так, чтобы все остальные элементы первого столбца были равны нулю Для этого элементы третьей строки умножим на - ) и прибавим к соответствующим элементам первой строки, элементы третьей строки умножим на и прибавим к соответствующим элементам второй строки; затем элементы третьей строки умножим на -) и прибавим к соответствующим элементам четвѐртой строки Получим: ) Разложим определитель по элементам первого столбца: ) Заметим, что общим множителем элементов третьей строки является число -), вынесем его за знак определителя: 6 Вынесем общий множитель первого столбца число ) за знак определителя: 9 Полученный определитель третьего порядка вычислим, например, по правилу треугольников: ) 9 ) ) ) 9 ) ) 9 ) 96) 9) 96

6 МАТРИЦЫ Понятие матрицы Операции над матрицами Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов: m m Матрица называется квадратной n-го порядка, если число еѐ строк равно числу столбцов и равно n Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а остальные элементы равны нулю: Произведением матрицы А на действительное число называется матрица B, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число, те b, i, m, j, n) n n mn E ij ij Суммой двух матриц А и В одинаковой размерности m n называется матрица С=+B той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В, те c b, i, m, j, n ) ij ij ij ij Произведением матрицы А размерности m p и матрицы В размерности p n называется матрица С размерности m n, каждый элемент которой c равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В, те cij ib j ib j inbnj, i, m, j, n ) Произведением матриц А и В имеет смысл, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В Произведение матриц некоммутативно, те B B Пример Найти произведение матриц и B, если, B

7 Решение B ) ) ) ) ) ) ) ) Обратная матрица Матрица называется обратной к квадратной матрице А, если их произведение равно единичной матрице, те E Матрица называется присоединённой к матрице А, если она получена из матрицы А путѐм замены еѐ элементов на их алгебраические дополнения с последующим транспонированием n n n n nn ) Теорема Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденная, те Если квадратная матрица имеет обратную, то она единственная Обратную матрицу находят, используя формулу: ) Пример Найти обратную матрицу к матрице А и сделать проверку Решение Найдѐм определитель матрицы А: Следовательно, матрица А имеет обратную Для нахождения обратной матрицы воспользуемся формулой ), где

8 согласно ) Найдѐм алгебраические дополнения элементов матрицы А: ) 6 )) ) 6 ) ) ) ) ) ) ) 6) ) )) ) ) Получим: присоединѐнная матрица, обратная матрица Выполним проверку: 6 6 ) ) ) ) ) 6) 6) ) 6) ) 6) 6) ) 6) )

9 E E Значит, обратная матрица найдена верно Ранг матрицы Минором k-го порядка матрицы А называется определитель, элементами которого являются элементы матрицы, стоящие на пересечении любых еѐ k строк и k столбцов Рангом матрицы А называется наивысший порядок r отличных от нуля миноров матрицы Обозначается r ) r Матрица называется ступенчатой, если все элементы матрицы, стоящие под главной диагональю, равны нулю, а элементы главной диагонали отличны от нуля C r n r n mr mn, ii, i,,, r Теорема Ранг ступенчатой матрицы равен числу еѐ ненулевых строк r C) r Элементарные преобразования матрицы: Перестановка двух строк столбцов) Умножение элементов какой-либо строки столбца) на число, отличное от нуля Сложение элементов какой-либо строки столбца) с соответствующими элементами другой строки столбца), умноженными на некоторое число Отбрасывание нулевой строки столбца) Теорема При элементарных преобразованиях и транспонировании матрицы [замене строк столбцами] ранг матрицы не меняется Значит, ранг матрицы равен рангу ступенчатой матрицы, полученной из данной с помощью элементарных преобразований и транспонирования Пример Найти ранг матрицы

10 Решение Приведем матрицу А к ступенчатому виду Поменяем местами и строки, чтобы первый диагональный элемент был равен Получим нули в первом столбце под первым элементом Для этого элементы -й строки умножим на -) и прибавим к соответствующим элементам -й строки, элементы -й строки умножим на -) и прибавим к элементам -й строки, элементы -й строки умножим на -) и прибавим к элементам -й строки Получим нули во втором столбце под вторым элементом Для этого 9 элементы второй строки умножим на и прибавим к элементам -й строки, элементы -й строки умножим на -) и прибавим к элементам -й строки Отбрасываем нулевую строку и получаем матрицу ступенчатого вида: 9 Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк, те трем Так как при преобразовании матрицы А к ступенчатому виду использовались только элементарные преобразования, то ранг матрицы А равен рангу ступенчатой матрицы r

11 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Матричный метод решения Формулы Крамера Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными: b n n n n nn n n n b b n ) Матрицей системы называется матрица, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных: n n n n nn Определитель матрицы системы называется определителем системы Матрица-столбец неизвестных b Матрица-столбец свободных членов B Систему линейных уравнений можно записать в матричной форме: X B ) Отсюда следует решение системы n линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме: X B, ) если матрица А имеет обратную Пример Решить систему уравнений матричным методом, Решение, X n b b n

12 , B Следовательно, матрица А имеет обратную Воспользуемся результатом примера 6 6 Используя ), получим: 6 X B 6 Следовательно,,, Теорема: Если определителем системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам: j j, j, n, ) где - определитель системы, j - определитель, полученный из определителя путем замены j-го столбца столбцом свободных членов Формулы ) называют формулами Крамера Пример Решить систему уравнений по формулам Крамера, Решение, 6 6 Определитель системы Следовательно, система имеет единственное решение Найдем вспомогательные определители:, X 6

13 ,, 6 По формулам Крамера ) получаем:,, 6 Метод Гаусса Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными: b, m m n Матрица системы m n m n mn n n n b b n mn, m ) Матрица, полученная из матрицы А путем добавления столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы линейных уравнений b m m n n mn b b m

14 Теорема Кронекера Капелли: Система линейных уравнений совместна имеет решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы Теорема: Если ранг матрицы совместной системы линейных уравнений равен числу неизвестных, то система определена имеет единственное решение) Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система не определена имеет бесконечное множество решений) Пусть r - ранг матрицы системы, r - ранг расширенной матрицы системы, тогда исследования системы линейных уравнений можно представить в виде следующей схемы: Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов Составить расширенную матрицу системы Привести ее к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования строк матрицы системы Найти ранг матрицы системы - r и ранг расширенной матрицы системы - r Сделать вывод о совместности системы на основании теоремы Кронекера-Капелли Если система совместна, то, сравнив r и n, установить определенная или неопределенная система уравнений Если система совместна, то перейти от ступенчатой матрицы к системе уравнений Найти решение системы, начиная с последнего уравнения В случае неопределенности системы r n среди неизвестных можно выделить основные и неосновные r неизвестных называется основными базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них те базисный минор) отличен от нуля Остальные n r переменных называются неосновными свободными) Решение системы, в котором все n r неосновных переменных равны нулю, называется базисным Число базисных решений не превышает n! C r n r! n r!

15 Пример Решить систему уравнений методом Гаусса Решение Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду: Поменяем местами второй и третий столбцы, получим: : : 9 9, r r система совместна, r n система определена Вернемся от ступенчатой матрицы к системе уравнений:

16 ;,, 9, ; 6, 9, 9, ; 6, 9 9,,,,, ;,,, Пример Решить систему уравнений методом Гаусса и найти базисные решения 6,, Решение r r система совместна, r=, n r система неопределена Перейдем к системе уравнений: 6, Число основных базисных) неизвестных равно рангу системы r=) Примем за основные и, так как определитель, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, отличен от нуля: Остальные n-r=-= неизвестные являются неосновными свободными) Выразим из последнего уравнения через и и подставим в первое уравнение:

17 6, Из первого уравнения выразим : 6, ; Задавая свободным неизвестным произвольные значения c, c найдем бесконечное множество решений системы: c, c c, c, c Таким образом, получено общее решение системы c ; c c ; c; c Найдем базисные решения системы Рассмотрим следующие группы основных базисных) переменных: и ; и ; и ; и ; и ; и ) Определитель, составленный из коэффициентов при и : Значит, переменные и - базисные Переменные и - свободные Для нахождения базисного решения положим, Получим из системы 6 ; ; ; - базисное решение ) Вычислим определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных и :,

18 Неизвестные и являются базисными Неизвестные и - свободные Положим,, Из системы получим: 6,, ; ; ; ; - базисное решение ) Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных и : и являются базисными неизвестными и - свободные При, : ; 6, 9, 9 ; ; ; - базисное решение ) Вычислим определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных и : и не являются базисными неизвестными ) Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных и : 6 и являются базисными неизвестными и - свободные При, : ; 6,,

19 ; ; ; - базисное решение 6) Вычислим определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных и : и являются базисными неизвестными и - свободные При, : 6, 9, ; ;; 9; - базисное решение

20 n-мерные ВЕКТОРЫ Понятие n-мерного вектора Линейные операции над n- мерными векторами Векторное пространство n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел,,, n i, n ; i i - i-ая координата вектора, R Вектор называется нулевым, если все его координаты равны нулю,,, Два вектора называются равными, если их размерности совпадают и соответствующие координаты равны Суммой n-мерных векторов,, n и b b, b, bn называется n-мерный вектор c c, c,, cn, каждая координата которого равна сумме соответствующих координат векторов и b ci i bi, i, n Произведением n-мерного вектора,, n на действительное число называется n-мерным вектором b b, b, bn, каждая координата которого равна произведению соответствующей координаты вектора на число ci i, i, n Свойства линейных операций над векторами b b b c b c b b 6, Множество всех n-мерных векторов с введенными операциями умножения вектора на число и сложения векторов, удовлетворяющими свойствам n -6, называются векторным пространством R Линейная комбинация векторов Линейной комбинацией векторов,, m называется вектор b, равный сумме произведений векторов и действительных чисел,,, m, те

21 b m m Разложением вектора b по системе векторов, линейная комбинация векторов системы, равная вектору b Пример Найти линейную комбинацию, если ;,, Решение,, m называется Пример Найти разложение вектора b ; ; по системе векторов ; ;, ; ;, ; ; Решение Разложение вектора b по системе векторов,, имеет вид: b Запишем векторы в координатной форме согласно условию задачи: В правой части равенства выполним операции умножения вектора на число и сложения векторов: Из равенства векторов следует равенство соответствующих координат: Решение системы линейных уравнений:,, Таким образом, разложение вектора b по системе векторов,, имеет вид: b

22 Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов Система векторов,,, m называется линейно зависимой, если существует линейная комбинация векторов системы mm, равная нулевому вектору, причем не все коэффициенты линейной комбинации,,, m равны нулю одновременно Система векторов,,, m называется линейно независимой, если их линейная комбинация mm равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда все коэффициенты линейной комбинации,,, m равны нулю Теоремы О линейной зависимости системы векторов) Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему векторов, то она линейно зависима Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы Теорема Признак линейной независимости системы векторов) n Система n векторов пространства R линейно независима тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля Пример Определить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой: ; ;, ; ;, ; ; Решение Систему векторов образуют три вектора пространства R Воспользуемся признаком линейной независимости системы векторов Вычислим определитель, составленный из координат векторов: 6 6 Следовательно, система векторов,, линейно зависима Пример Определить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой: ; ; ;, ; ; ;, ; ; ; Решение

23 Составим линейную комбинацию векторов,, и приравняем ее к нулевому вектору ; ; ; :,,,, Получим однородную систему линейных уравнений Заметим, что она всегда имеет хотя бы одно решение нулевое Выясним, является ли полученная однородная система линейных уравнений определенной или неопределенной Для этого вычислим ранг матрицы системы и сравним его с числом неизвестных r, n Следовательно, система уравнений определена, те имеет единственное нулевое решение Линейная комбинация векторов равна только тогда, когда Значит система векторов линейно независима Пример Определить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой: ; ; ;, ; ; ;, 6; ; ; Решение Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее к : или

24 Отсюда получаем систему уравнений: 6,,, 6 Система линейных уравнений является однородной, следовательно совместна и всегда имеет хотя бы одно решение нулевое Выясним, является ли система уравнений определенной или неопределенной Для этого найдем ранг матрицы системы и сравним его с числом неизвестных , r, n Следовательно, система уравнений неопределенная Значит, имеются и ненулевые решения системы уравнений Существуют,, не все равные нулю одновременно, такие, что линейная комбинация векторов системы,, равна, те Следовательно, система векторов,, линейно зависима Размерность векторного пространства Базис векторного пространства Разложение вектора по базису Размерность векторного пространства равна n векторное пространство называется n-мерным), если существует линейно независимая система n векторов пространства, а любая система, состоящая из n+) векторов, линейно зависима n Базисом n-мерного векторного пространства R называется любая линейно независимая система n векторов векторного пространства Для того, чтобы система векторов являлась базисом, должны выполняться условия:

25 Число векторов системы совпадает с размерностью векторного пространства Система векторов линейно независима Теорема Любой вектор векторного пространства может быть разложен по базису представлен в виде линейной комбинации векторов базиса) Следствие Любая система, состоящая из n+) векторов n-мерного векторного пространства, является линейно зависимой Пример 6 Определить, является ли базисом пространства R система векторов ; ;, ; ;, ; ; Решение Число векторов системы совпадает с размерностью векторного пространства Для того, чтобы определить, является система линейно зависимой или линейно независимой, воспользуемся признаком линейной независимости системы векторов Составим определитель из координат векторов: 9 Следовательно, система векторов,, линейно независима и является базисом, тк оба условия существования базиса выполнены

26 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой ) Используя метод наименьших квадратов, построить линейную эмпирическую зависимость y=+b

27 Вариант для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой ) Используя метод наименьших квадратов, построить линейную эмпирическую зависимость y=+b

28 Вариант для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой ) Используя метод наименьших квадратов, построить линейную эмпирическую зависимость y=+b

29 Вариант для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой ) Используя метод наименьших квадратов, построить линейную эмпирическую зависимость y=+b

30 Вариант для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой ) Используя метод наименьших квадратов, построить линейную эмпирическую зависимость y=+b

31 Вариант 6 для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 6) Используя метод наименьших квадратов, построить линейную эмпирическую зависимость y=+b

32 Вариант для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой ) Используя метод наименьших квадратов, построить линейную эмпирическую зависимость y=+b

33 Вариант для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой ) Используя метод наименьших квадратов, построить линейную эмпирическую зависимость y=+b

34 Вариант 9 для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 9) Используя метод наименьших квадратов, построить линейную эмпирическую зависимость y=+b

35 Вариант для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой ) Используя метод наименьших квадратов, построить линейную эмпирическую зависимость y=+b

36 Рекомендуемая литература Основная литература Высшая математика для экономистов Учебник / под ред Н Ш Кремера М: ЮНИТИ-ДАНА, Высшая математика для экономистов Практикум / под ред Н Ш Кремера М: ЮНИТИ-ДАНА, Линейная алгебра: учебник и практикум / НШ Кремер, МН Фридман; под ред НШ Кремера М: Издательство Юрайт, с Серия: Бакалавр Базовый курс Математический анализ: учебник и практикум / НШ Кремер, БА Путко, ИМ Тришин; под ред НШ Кремера М: Издательство Юрайт, 6 с Серия: Бакалавр Углубленный курс Дополнительная литература Кремер НШ, Путко Б А, Тришин И М Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики Учебно-справочное пособие / под ре Н Ш Кремера М: Юрайт, 6 Солодовников А С, Бабайцев В А, Браилов А В, Шандра И Г Математика в экономике М: Финансы и статистика, ИНФРА-М,, ч, Сборник задач по курсу «Математика в экономике» Под ред В А Бабайцева, В Б Гисина М: Финансы и статистика, ИНФРА-М, Красс М С Математика для экономического бакалавриата М: ИНФРА- М,

37 Образец оформления титульного листа ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Пензенский филиал) Кафедра «Менеджмент, информатика и общегуманитарные науки» Направление «Экономика» КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине «Математика» Вариант Студент Курс группы ПНЗ Личное дело Преподаватель Пенза 9


тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

«Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

«Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Текстильный институт

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П.

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Экономический факультет Л.С. Павлова МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ (отд. «Менеджмент») Москва 05 УДК 5.64 ББК.5.54я7 П Павлова Л.

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Линейная алгебра в примерах и задачах

Линейная алгебра в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова О В Куликова Линейная алгебра в примерах и задачах Сборник

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рязань Министерство образования и науки Российской Федерации Рязанский

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

1. Определители. a11 a12. a21 a22

1. Определители. a11 a12. a21 a22 . Определители. Определитель второго порядка Пусть задана таблица четырех чисел, расположенных в две строки и в два столбца 2 () 2 22 Элементы а, а 2 образуют первую строку, элементы а 2, а 22 образуют

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Как изменится произведение B матриц и B если: а переставить -ю и j -ю строки матрицы? б переставить -й и j -й столбцы матрицы B? в к -й строке матрицы прибавить ее j -ю строку

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ I

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ I Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского АТ Козинова НН Ошарина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЧАСТЬ I Учебное пособие Рекомендовано методической

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие........................................................... 5 1. Элементы линейной алгебры............................................ 6 ИДЗ 1. Определители..............................................

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические

Подробнее