Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа"

Транскрипт

1 Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические указания О. Л. Семенова САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 209

2 . Числовые ряды В этом разделе содержатся основные понятия и утверждения, связанные с числовыми рядами, необходимые при исследовании функциональных рядов. Определение. Числовым рядом называется формальная бесконечная сумма a + a 2 + a a +..., обозначаемая a. Определение. Сумма a + a 2 + a a первых членов ряда a называется -й частичной суммой, или частичной суммой порядка этого ряда, и обозначается S, т.е. S = a k. k= Таким образом, каждому ряду a соответствует последовательность {S } его частичных сумм. Обратно, каждой последовательности {A } соответствует ряд a, где a =A, a =A A, N, 2, частичными суммами которого являются члены данной последовательности. Поэтому каждое свойство последовательностей перефразируется в некоторое свойство рядов заменой характеристики членов последовательности соответствующей характеристикой членов ряда. Определение. Ряд a называется сходящимся, если сходится (имеет конечный предел) последовательность {S } его частичных сумм. Ряд a называется расходящимся, если последовательность {S } расходится. этом пишут: Если ряд a сходится, то число S = lim S называется его суммой, при S = a. Критерий Коши сходимости ряда. Ряд a сходится тогда и только тогда, когда для любого положительного числа ε найдется такой номер N = N(ε), +p что неравенство a k < ε справедливо для любой пары натуральных чисел и p k= при условии > N. lim a = 0. Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд 2 a сходится, то

3 Если все члены ряда a неотрицательны, то последовательность {S } его частичных сумм не убывает. Для неубывающей последовательности ее сходимость и ограниченность эквивалентны. Поэтому для рядов с неотрицательными членами и только для них! вместо слов ряд сходится и ряд расходится употребляют соответственно символы: a < + и a = +. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами Теорема сравнения. Пусть даны два ряда удовлетворяющие условиям: A : a и B : b, a 0, b 0, a b N. Тогда из сходимости ряда B следует сходимость ряда A, из расходимости ряда A следует расходимость ряда B. Следствие. Если a 0, b 0 N, и a = O(b ) при, то из сходимости ряда b следует сходимость ряда a. Следствие 2. Если a 0, b 0 N и a b при, то ряды a и b либо оба сходятся, либо оба расходятся. Внимание! Если в ходе анализа ряда a, a 0, получена оценка a b, или a = O(b ),, или a = o(b ),, где ряд b расходится, то такие оценки не дают возможности сказать, сходится или расходится ряд a, т.к. они неинформативны в вопросе о сходимости ряда a. Ряд q сходится при 0 q < и расходится при q. Используя такой ряд, из теоремы сравнения можно вывести следующий признак. Признак Даламбера. Пусть дан ряд с положительными членами a 0 N, тогда: 3 a,

4 a если lim + a если a + a = q <, то ряд сходится; N, в частности, если lim a + a = q >, то ряд расходится. На практике в основном применяется более слабое утверждение: если все члены ряда a a положительны и lim + a = q, то ряд сходится при q < и расходится при q >. Признак Коши (радикальный). Пусть дан ряд с неотрицательными членами a, a 0 N, тогда: если lim a <, то ряд сходится, если lim a >, то ряд расходится. На практике в основном применяется более слабое условие: если все члены ряда a положительны и lim a = q, то ряд сходится при q < и расходится при q >. Для последовательности {a } с положительными членами из существования a предела lim + a следует существование предела lim a и равенство этих двух пределов. Следовательно, если для ряда с положительными членами выполняется одно из двух условий признака Даламбера, то обязательно выполняется и соответствующее условие признака Коши. На практике отношение a + a часто аналитически проще, чем радикал с переменным показателем a, поэтому легче применять признак Даламбера. В то же время область применения признака Коши шире, чем область применения признака Даламбера. В частности, для выполнения каждого из условий признака Даламбера необходима монотонность последовательности {a }, а условия признака Коши не требуют сравнения друг с другом соседних членов последовательности {a }. Признак сравнения. Если для последовательности положительных чисел {a } существуют такие числа p и C > 0, что a C p,, то ряд a сходится при p > и расходится при p. Признак Гаусса. Если для последовательности положительных чисел {a } существуют такие числа µ и ε > 0, что a + = + µ a + O,, +ε то ряд a сходится при µ < и расходится при µ. 4

5 Интегральный признак Коши. Если f : [; + ) R неотрицательная, невозрастающая, непрерывная функция, то ряд + f() и интеграл f(x)dx либо оба сходятся, либо оба расходятся. Если ряд f() (а значит, и интеграл сходится, то для любого натурального N справедлива оценка: + f(x)dx r + f(x)dx, + f(x)dx) где r = k=+ f(k). + ряд a. Признаки сходимости знакопеременных рядов Определение. Ряд a называется абсолютно сходящимся, если сходится Если какой-либо числовой ряд сходится абсолютно, то он сходится. Признак Лейбница. Если последовательность положительных чисел {b } монотонно стремится к нулю, то ряд ( ) b сходится, и его остаток r = ( ) k b k удовлетворяет неравенству r a + для любого N. k=+ Признак Дирихле. Пусть дан ряд a b. Если: ) последовательность частичных сумм {A }, A = a k, ряда a ограничена; 2) последовательность {b } монотонна; 3) последовательность {b } сходится к нулю, то ряд a b сходится. Признак Абеля. Пусть дан ряд a b. Если: ) ряд a сходится; 2) последовательность {b } монотонна; 3) последовательность {b } ограничена, то ряд a b сходится. Хотя в отличие от признака Лейбница в формулировке признаков Дирихле и Абеля формально не указано, что рассматриваемые ряды имеют члены разных 5 k=

6 знаков, но область их применения именно знакопеременные ряды. Действительно, в силу условия монотонности члены последовательности {b } в обоих этих признаках могут без ограничения общности считаться положительными. Если и члены последовательности {a } неотрицательны, то ограниченность последовательности сумм A = k= a k и сходимость ряда a эквивалентны, а так как при этом a b = O(a ),, то сходимость ряда a b следует просто из признака сравнения. Если же в основе сходимости ряда a или ограниченности последовательности A = k= a k лежит интерференция положительных и отрицательных членов последовательности {a }, то именно признаки Абеля и Дирихле позволяют установить сходимость соответствующих рядов. Внимание! Делать вывод о сходимости или расходимости ряда a по пове- дению ряда b, где a b,, можно только для ряда с неотрицательными членами! Пример. Рассмотрим ряд ( ) + +. Ряд ( ) + сходится в силу признака Лейбница, гармонический ряд расходится, следовательно, данный ряд расходится. В то же время ( ) + + ( )+,. Итак, последовательность членов данного расходящегося ряда эквивалентна последовательности членов сходящегося ряда. ряд =2 Пример 2. Исследуем на сходимость ряд Решение. Имеем: cos π2 + = ( ) cos ( ) + l 2 cos π2 + l 2. =2 π 2 π + = ( ) + cos π. Так как + по признаку Лейбница сходится, а последовательность {cos π + } монотонна и ограничена, то исследуемый ряд по признаку Абеля также сходится. Пример 3. Исследовать на сходимость и равномерную сходимость ряд l + ( ) для всех p > 0. p =2 Решение. Пользуясь формулой Тейлора-Маклорена с остатком в форме Пеано, получаем: l + ( ) = ( ) p p 2 + o. 2p 2 2p ( ) Поскольку ряд, согласно признаку Лейбница, сходится при p > 0, а ряд p a, где a = + o 2 2p 2, сходится при p > по признаку сравнения, то 2p 2 данный ряд сходится только при p >. 2 6

7 В силу соотношения l + ( ) при и второго следствия теоремы сравнения данный ряд сходится абсолютно при p >. Следовательно, при p p < p данный ряд сходится условно Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость Определение. Точка x 0 X называется точкой сходимости функциональной последовательности {f (x)}, если эта точка входит в область определения каждой из функций последовательности и числовая последовательность {f (x 0 )} сходится. Совокупность всех точек сходимости последовательности {f (x)} называется множеством сходимости последовательности {f (x)}. Определение. Точка x 0 X называется точкой сходимости функционального ряда u (x), если эта точка входит в область определения каждой из функций последовательности {u (x)} и числовой ряд u (x 0 ) сходится. Совокупность всех точек сходимости ряда u (x) называется множеством сходимости ряда u (x). На множестве сходимости последовательности (ряда) определена функция: f(x) = lim f (x) S(x) = u (x). Пример 4. Последовательность {f (x)}, f (x) = x l имеет своим множеством сходимости множество M = ( ; 0) отрицательную полуось и сходится на M к нулю. Пример 5. Рассмотрим ряд Если x <, то Если x >, то lim lim x = lim + x2 x + x 2. x + x 2 = x <. x = lim + x2 x + x = 2 x <. 7

8 Если x =, то x = + x 2 2. В силу радикального признака Коши и необходимого условия сходимости ряда получаем, что множеством сходимости (абсолютной) данного ряда является множество M = {x, x } числовая ось с выколотыми точками и. Определение. Пусть последовательность {f (x)} сходится на множестве E и f(x) = lim f (x), x E. Последовательность {f (x)} называется равномерно сходящейся на множестве E, если для любого положительного ε можно указать такой номер N, что условие f (x) f(x) < ε выполнено для всех x E и всех > N. Равномерная сходимость последовательности {f (x)} к f(x) на множестве E обозначается: f (x) f(x) на E. Определение. Ряд u (x) называется равномерно сходящимся на множестве E, если последовательность {S (x)} его частичных сумм равномерно сходится на E. Другими словами, ряд u (x) является равномерно сходящимся на множе- стве E, если последовательность его остатков {r (x)}, r (x)= нулю равномерно на E. k=+ Пример 6. Исследуем ряд x 2 на равномерную сходимость: а) на множестве E = ( 2 ; 2 ), б) на множестве E 2 = ( ; ). u k (x), сходится к Заметим, что во всех точках интервала ( ; ) ряд сходится как геометрическая прогрессия и его остаток r k (x) = x 2 равен x2k+2 =k+ x 2. Из того, что для всех x E справедливо неравенство 0 r k (x) 3 4 k и lim k 3 4 = 0, k следует, что данный ряд сходится равномерно на множестве E. Покажем, что последовательность {r k (x)} неравномерно сходится к нулю на множестве E 2, т.е. данный ряд неравномерно сходится на E 2. Для этого нужно указать такое положительное число ε 0, что для любого номера N найдутся натуральное число k N > N и точка x N E 2, для которых r kn (x N ) > ε 0. Действительно, для произвольного N положим: k N = N + и x N = α(n), 0 < α(n) <. 8

9 Тогда, используя неравенство Бернулли получим, что (( + t) > + t N, t > ), r N+ (x N ) = ( α(n))2n+4 x 2 N 2(N + 2)α(N). Отсюда видно, что если α(n) = 4(N+2), то r N+ (x N ) 2 = 2 (т.е. в качестве ε 0 можно взять любое число из интервала 0; 2 ), что и требовалось доказать. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности. Функциональная последовательность {f (x)} равномерно сходится на множестве E тогда и только тогда, когда для любого положительного числа ε найдется такой номер N, что неравенство f (x) f m (x) < ε справедливо для всех точек x множества E и любой пары натуральных чисел и m при условии, m > N. Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Функциональный ряд u (x) равномерно сходится на множестве E тогда и только тогда, когда для любого положительного числа ε найдется такой номер N, что неравенство u k (x) < ε k= +p справедливо для всех точек x множества E и любой пары натуральных чисел и p при условии > N. Необходимое условие равномерной сходимости ряда. Если ряд u (x) равномерно сходится на множестве E, то последовательность {u (x)} сходится к нулю равномерно на множестве E. Внимание! Последнее условие не является достаточным. На практике удобно пользоваться следующим критерием фактически переформулировкой определения равномерной сходимости последовательности. Последовательность {f (x)} равномерно сходится на множестве E к f(x) тогда и только тогда, когда lim f (x) f(x) = 0. sup x E Пример 7. Рассмотрим последовательность {f (x)}, f (x) = x arctg x. 9

10 Если x > 0, то lim f (x) = πx; 2 если x < 0, то lim f (x) = πx; f 2 (0) = 0 для всех. Следовательно, множеством сходимости последовательности {f (x)} является вся числовая ось R и f(x)= lim f (x)= π x. 2 Оценим sup π x x arctg x 2. x R В силу четности функций y = x arctg x, y = π x и неравенств arctg x < π, 2 2 arctg α α получаем: π π 2 x x arctg x = sup x x 0 2 arctg x = sup x R = sup x 0 Из последнего вытекает, что lim (x arcctg x) = sup sup x R {f (x)} равномерно сходится на R к π 2 x. x 0 x arctg x. Пример 8. Рассмотрим последовательность {f (x)}, sup x R f (x) f(x) = 0, и, значит, последовательность f (x) = arctg x. Как в предыдущем примере, получаем, что эта последовательность сходится на всей числовой оси и f(x) = lim arctg x = π sig x. Так как 2 arctg x π π 2 sig x = sup x>0 2 arctg x π 2 arctg = π 2 π 4 = π 4, то последовательность {f (x)} неравномерно сходится к функции π 2 sig x на R. Следующие утверждения немедленно следуют из определения равномерной сходимости.. Если последовательности (ряды) {f (x)} и {g (x)} u (x) и v (x) равномерно сходятся на множестве E, то любая их линейная комбинация {αf (x) + βg (x)} (αu (x) + βv (x)), где α и β постоянные, равномерно сходится на E. 0

11 2. Если последовательность (ряд) сходится равномерно на множестве E, то сходимость будет равномерной и на любом множестве E E. 3. Если последовательность (ряд) равномерно сходится на каждом из множеств E и E 2, то на множестве E = E E 2 эта последовательность (ряд) сходится равномерно. Внимание! Это утверждение не переносится на бесконечное объединение множеств. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Если для функционального ряда u (x) существует сходящийся числовой ряд a такой, что u (x) a для всех x E и N (мажорантный ряд), то ряд u (x) сходится абсолютно и равномерно на множестве E. Область применения признака Вейерштрасса исследование сходимости абсолютно сходящихся, в частности, знакопостоянных рядов. Пример 9. Проверим, что ряд x +3x! равномерно сходится на промежутке [ ; 2]. 2 Первое слагаемое в сумме x + 3x принимает наибольшее значение в точке x = 2, второе в точке x 2 =. Следовательно, для всех x [ ; 2] справедливо 2 2 соотношение 0 x +3x 4 2, и в силу признака Вейерштрасса заключаем, что!! данный ряд сходится равномерно на промежутке [ ; 2]. 2 Внимание! Из соотношения u (x) v (x),, вообще говоря, не следует одновременная равномерная или неравномерная сходимость рядов u (x) и v (x) даже при условии u (x) 0, v (x) 0. Следующий пример иллюстрирует последнее замечание. Пример 0. Рассмотрим ряды x и x (x ), x R. С одной сто- x 3 x,. С другой стороны, неравенство (x ) 3 x (x ) = x 2 x , x R 2 роны, в силу признака Вейерштрасса показывает, что ряд x сходится равномер- (x ) = + что последовательность { x } неравномерно 3 x но на R, а соотношение sup x R 3 сходится к нулю на R, и, следовательно, ряд Пример. Проверим, что ряд x 2 e x равномерно сходится на промежутке [0; ]. x неравномерно сходится на R. 3

12 Решение. Поскольку sup x 2 = и sup e x =, то оценка x [0;] x [0;] sup x 2 e x sup x 2 sup e x = x [0;] x [0;] x [0;] не дает сходящегося мажорантного ряда. Найдем sup x 2 e x. x [0;] Поскольку (x 2 e x ) = x e x (2 x), то sup x 2 e x = x 2 e x x= 2 x [0;] = 2 2 e 2 = 4 e 2, 2 следовательно, 0 x 2 e x 4 e 2 2, x [0; ], и в силу признака Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на отрезке [0; ]. Определение. Последовательность {f (x)} называется равномерно ограниченной на множестве E, если существует такая константа M, что неравенство f (x) M справедливо для всех N и всех x E. Признак Дирихле. Если члены функционального ряда u (x) могут быть представлены в виде где u (x) = a (x) b (x), ) последовательность частичных сумм {A (x)}, A (x) = a k (x) N, k= ряда a (x) равномерно ограничена на множестве E; 2) для каждого x 0 E последовательность {b (x 0 )} монотонна (относительно параметра ); 3) последовательность {b (x)} сходится к нулю равномерно на E, то ряд u (x) = a (x)b (x) сходится равномерно на E. Признак Абеля. Если члены функционального ряда u (x) могут быть представлены в виде u (x) = a (x) b (x), где ) ряд a (x) равномерно сходится на множестве E; 2) для каждого x 0 E последовательность {b (x 0 )} монотонна (относительно параметра ); 3) последовательность {b (x)} равномерно ограничена на E, то ряд u (x) = a (x)b (x) сходится равномерно на E. 2

13 Так же, как и для числовых рядов, область применения признаков Абеля и Дирихле неабсолютно сходящиеся ряды. При исследовании конкретных рядов с помощью этих признаков монотонность последовательности {b (x)} относительно параметра часто не требует особого анализа она очевидна. Но грубой (и частой!) ошибкой является пропуск указания на то, что это условие выполнено. Внимание! Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Дирихле и Абеля достаточные. Для утверждения, что данный ряд сходится неравномерно, обычно опираются или на критерий Коши, или на его следствие необходимый признак равномерной сходимости. Пример 2. Исследуем ряд si x на равномерную сходимость: а) на интервале (ε; 2π ε), 0 < ε < π; б) на интервале (0; 2π). Решение. а) Так как N si x si x, x 2πk, N Z, 2 то для всякого x (ε; 2π ε) справедлива оценка N si x si ε π ε. 2 Последовательность { } монотонно сходится к нулю при. А поскольку эта последовательность числовая, то сходимость равномерна на любом множестве, в том числе и на (ε; 2π ε). Итак, в силу признака Дирихле на интервале (ε; 2π ε) ряд si x сходится равномерно. б) На интервале (0; 2π) приведенное в пункте а) рассуждение уже неприменимо, так как оценка N si x не дает возможности равномерно ограничить последовательность { si x 2 k= si kx} на (0; 2π). Эта оценка дает только возможность утверждать, что для любого фиксированного x (0; 2π) ряд si x сходится, т.е. интервал (0; 2π) входит в множество сходимости рассматриваемого ряда. Пользуясь критерием Коши, покажем, что на (0; 2π) ряд si x сходится неравномерно, т.е. можно указать такое число ε, что для любого номера N найдутся такие значения > N, p N и x (0; 2π), что +p k= si kx k ε. Прежде всего подберем x (0; 2π) так, чтобы на достаточно большом промежутке изменения k: k + p величина si kx была отделена от нуля. Если взять x = π, то для k 5 будет справедливым неравенство si kx 6. Положим 2 ε = 2 и для произвольного номера N положим = N + и p =

14 Тогда следовательно, ряд 5 k= si x si kx k 2 5 k= k > = 2 5, сходится неравномерно на (0; 2π). Внимание! Иногда при применении признака Дирихле из неравенства 0 b (x) β, x E, где {β } монотонная бесконечно малая последовательность, делается совершенно необоснованный вывод о монотонности последовательности {b (x)} относительно. Это является грубой ошибкой. Из критерия Коши выводится следующее утверждение. Пусть члены функционального ряда u (x) непрерывны на замкнутом множестве F и ряд сходится равномерно на множестве внутренних точек множества F. Тогда этот ряд сходится равномерно на F. Это утверждение позволяет в некоторых случаях установить неравномерную сходимость ряда. К примеру, если рассматривается ряд, члены которого непрерывны на замкнутом множестве F, но ряд расходится в некоторой граничной точке множества F, то тогда ряд сходится неравномерно на множестве внутренних точек F. Пример 3. Исследуем ряд а) на луче (ε; + ), ε>0; б) на луче (0; + ). arcctg x : Решение. а) если x (ε; + ), ε > 0, то 0 arcctg x = arctg x 2 x 2 ε, следовательно, по признаку Вейерштрасса ряд arcctg x (ε; + ), ε > 0; б) В силу произвольности числа ε > 0 и неравенства 0 arcctg x 2 ε сходится равномерно на приходим к выводу, что луч (0; + ) входит в множество сходимости ряда arcctg x. Поскольку все члены этого ряда непрерывны на [0; + ) и ряд arcctg 0 = π расходится, заключаем, что на луче (0; + ) 2 ряд arcctg x сходится неравномерно. 4

15 3. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов, связанные с предельным переходом При вычислении повторного предела результат может зависеть от порядка, в котором вычисляются однократные пределы. Так, сумма сходящегося ряда непрерывных функций, вообще говоря, не является непрерывной функцией; от перемены порядка, в котором производятся два действия предельный переход и интегрирование (или предельный переход и дифференцирование), может измениться результат этих действий. Теоремы этого раздела показывают, что, тем не менее, при определенных условиях, одним из которых является равномерная сходимость, значение повторного предела не зависит от порядка переменных, по которым осуществляется предельный переход. Отметим, что все три теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости предела последовательности (суммы ряда) дают только достаточные условия того, что предельная функция (сумма ряда) обладает соответствующими свойствами. Теорема о непрерывности предела последовательности (суммы ряда). Если все члены последовательности (ряда) непрерывны на некотором множестве и последовательность (ряд) сходится равномерно на этом множестве, то предельная функция (сумма ряда) непрерывна на этом множестве. Обращением (с некоторыми дополнительными условиями) теоремы о непрерывности предельной функции (суммы ряда) является теорема Дини. Теорема Дини для последовательностей. Если все функции последовательности {f (x)} непрерывны на компакте K, последовательность монотонна относительно и функция f(x) = lim f (x) определена и непрерывна на K, то f (x) f(x) на K. Теорема Дини для рядов. Если все члены ряда u (x) непрерывны и неотрицательны на компакте K и на этом компакте ряд сходится к непрерывной функции S(x), то u (x) S(x) на K. Пример 4. Определим область существования функции f(x) = u (x), где u (x) = 2 x 2 e 2 x 2, и исследуем ее на непрерывность. Так как для всех N функция u (x) является четной и u (0)=0, а для всех x 0 имеем lim 2 x 2 e 2 x 2 = lim 2 2 x e x 2 =0, то функция f(x) определена на всей числовой прямой R, является четной и f(0) = 0. Так как sup x R u (x) u = e, то на R не выполнено необходимое условие 5

16 равномерной сходимости ряда последовательность {u (x)} неравномерно сходится к нулю на R. Следовательно, ряд u (x) сходится неравномерно на R и его сумма f(x) не обязана быть непрерывной на R. Рассмотрим луч E m =, +, m N. m Так как u (x) = 2 2 x ( 2 x 2 )e 2 x 2, то для > m и x E m справедливо соотношение 0 u (x) u = 2 2 m m 2 e m 2, следовательно, на луче E m ряд u (x) из непрерывных функций сходится равномерно. Отсюда получаем, что функция f(x) непрерывна на каждом луче E m, а значит, на их объединении луче (0; + ) = E m. Проверим, что в точке x 0 = 0 функция f(x) является разрывной. Действительно, в рассматриваемом ряде члены непрерывны и неотрицательны на отрезке [ ; ]. Если бы функция f(x) = m= u (x) была непрерывна на этом отрезке, то ряд сходился бы на нем равномерно. Но отсутствие равномерной сходимости ряда u (x) на промежутке [ ; ] было установлено, а других точек разрыва, кроме x 0 = 0, функция f(x) на [ ; ] не имеет. Теорема о почленном интегрировании последовательности (ряда). Если все члены последовательности {f (x)} (ряда u (x)) интегрируемы в смысле Римана на отрезке [a; b] и последовательность {f (x)} (ряд равномерно на [a; b], то u (x)) сходится ) функция f(x) = lim f (x) (S(x) = u (x)) интегрируема на промежутке [a; b], x x 2) f (t)dt f(t)dt на [a; b] ( x x u k (t)dt S(t)dt на [a; b]) для любого x 0 x 0 k=x 0 x 0 x 0 [a; b], в частности, b b b b f (t)dt f(t)dt u k (t)dt S(t)dt. a a k= a a Теорема о почленном дифференцировании последовательности (ряда). Предположим, что ) все члены последовательности {f (x)} (ряда u (x)) дифференцируемы на [a; b], 6

17 x 0 [a; b]. 2) последовательность {f (x)} (ряд u (x)) сходится равномерно на [a; b], 3) последовательность {f (x)} (ряд u (x)) сходится хотя бы в одной точке Тогда последовательность {f (x)} (ряд u (x)) сходится равномерно на [a; b] к дифференцируемой на [a; b] функции и lim f (x) = lim f (x) u (x) = для всех x [a; b]. u (x) Пример 5. Определить область существования, исследовать на непрерывность и дифференцируемость функцию f(x) = u (x), где u (x) = arctg 2 x 2. 2 Решение. Все функции u (x) непрерывны и дифференцируемы на R. Так как u (x) π для всех x R, то ряд u 2 2 (x) сходится равномерно на R. Следовательно, функция f(x) = u (x) определена и непрерывна на R. Рассмотрим формально продифференцированный ряд : v (x), где v (x) = u (x) = Так как v (0) = 0 для всех N, v ( x) = v (x) и 2x + 4 x 4. v (x) = 2 x + 4 x x 3,, для всех x 0, то ряд v (x) абсолютно сходится на R к нечетной функции v(x). Пусть x >, N. Тогда для k 2 справедливы неравенства: k= kx v k (x) > 2 + 2; + k4 x 4 7; 2 k= = + 7 > 7. Отсюда получаем, что, во-первых, в силу критерия Коши ряд v (x) сходится на [ ; ] неравномерно, во-вторых, v(x) > для всех x > 0 и v(x) < для 7 7 всех x < 0. Итак, на отрезке [ ; ] не выполнены условия теоремы о почленном дифференцировании ряда u (x). 7

18 Возьмем луч E m = m ; +. Для всех x E m справедливо неравенство 0 v (x) = 2x + 4 x = 22 x x 4 2 x m, 2 откуда следует, что ряд v (x) сходится на E m равномерно. Итак, на E m выполнены условия теоремы о почленном дифференцировании ряда, следовательно, функция f(x) = u (x) дифференцируема на E m и f (x) = v (x) для всех x E m. Пользуясь локальностью дифференцирования и равенством (0; + ) = m= E m, получаем, что f(x) дифференцируема и f (x) = v(x) для всех x > 0, а в силу четности f(x) и нечетности v(x) это равенство верно и для x < 0. Теперь можно показать, что f(x) недифференцируема в точке x 0 =0. Действительно, в противном случае f(x) была бы дифференцируема на интервале ( ; ), причем f (x) = v(x) для x 0. Но функция f (x) как точная производная должна обладать свойством Дарбу ее значения должны заполнять промежуток между любыми двумя значениями f (x ) и f (x 2 ), x, x 2 ( ; ), а это условие противоречит полученным выше неравенствам: f (x) = v(x) > 7, 0 < x < ; f (x) = v(x) <, < x < 0. 7 Список литературы. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Т. 2. М. : Высшая школа, c. 2. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т.. М. : Высшая школа, c. 3. Ляшко И. И., Боярчук А. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математический анализ в примерах и задачах. Т.2 Киев: Вища школа, c. 8


Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 8-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Исследовать следующие ряды на равномерную сходимость с помощью определения: Д 767

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по математическому анализу Часть 2 Числовые ряды М. Г. Голузина,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ АДЫГЕЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК ЗАМЯТИН ВН ШАОВА СМ ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие Майкоп УДК 7(78) ББК 6Я7-6 Печатается по решению

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида:

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: Тема 9 Числовые ряды Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: a a2 a3... a... a Если предел последовательности последовательностью частичных сумм ряда. lim S S Необходимое условие

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X 4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u ), u ( ), K, u ( ),K ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u ) + u ( ) + K + u ( ) +

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет.

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет. Московский Государственный Университет им МВЛомоносова Химический факультет Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока Третий семестр Числовые ряды Дифференциальные

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Интегралы, зависящие от параметра

Интегралы, зависящие от параметра ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ТГШЕВЧЕНКО Физико-математический факультет Кафедра математического анализа и приложений Интегралы зависящие от параметра Учебно-методическое пособие г Тирасполь

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

e (x α)2 dx (1) Решение. Заметим, что при фиксированном α R данный интеграл сходится e (x α)2 dx ε

e (x α)2 dx (1) Решение. Заметим, что при фиксированном α R данный интеграл сходится e (x α)2 dx ε МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ориентировочный план семинаров, 4 семестр, 213 1. Интегралы, зависящие от параметра. 1.1. Понятие равномерной интегрируемости параметризованного семейства функций. Критерий Коши Больцано

Подробнее

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1 Разберите предложенные ниже задачи с решениями Найдите принципиальные ошибки Для ошибочно решенных задач объясните, почему используемые методы не работают или работают неправильно, и предложите собственное

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

19-е занятие. Признаки Абеля и Дирихле. Радиус сходимости степенного ряда Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

19-е занятие. Признаки Абеля и Дирихле. Радиус сходимости степенного ряда Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 9-е занятие. Признаки Абеля и Дирихле. Радиус сходимости степенного ряда Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Необх. усл. равномерной сходимости функц. ряда f x): f 0. A Исследовать функ. ряд на сх-ть:

Подробнее

Функциональные последовательности и ряды

Функциональные последовательности и ряды Функциональные последовательности и ряды В пособии рассматриваются понятия функциональной последовательности и функционального ряда. Приведены основные определения и теоретические факты связанные с поточечной,

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!!

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!! ТЕМА РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Выяснить, какие из указанных рядов сходятся, а какие нет А) cos - расходится не выполнено необходимое условие cos, Б) arctg Применим признак Даламбера:! arctg! arctg

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Лекция 7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственного интеграла -го рода. Критерий Коши. Признаки

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа БИЛЕТ 1 «3» Определение первообразной «3» Теорема 11 (об интегрируемости кусочно непрерывной функции) «3» Пример (гармонический ряд расходится) «3» Пример ( 1/n 2 сходится) «3» Теорема 6 (интегральный

Подробнее

Задача Первая теорема сравнения

Задача Первая теорема сравнения Первая теорема сравнения Постановка задачи: Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами где = f(, u (), u 2 (),...) и u (), u 2 (),...- функции с известными наименьшими и наибольшими значениями,

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда: Сходимость произвольных рядов. Ниже будут рассматриваться ряды, в которых имеется бесконечное количество положительных членов и бесконечное количество отрицательных членов. Такие ряды называют знакопеременными.

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

9. Формула Ньютона Лейбница. Формула замены переменной в определённом интеграле и интегрирование по частям. f(t) dt = Φ(x) Φ(a). f(t) dt = Φ(x) + C.

9. Формула Ньютона Лейбница. Формула замены переменной в определённом интеграле и интегрирование по частям. f(t) dt = Φ(x) Φ(a). f(t) dt = Φ(x) + C. ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие является продолжением [7]. Оно создано на базе хорошо известных учебных пособий по математическому анализу [ 6]. В его основу положены лекции В. В. Жука, которые неоднократно читались

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Определенный интеграл Несобственные интегралы

Определенный интеграл Несобственные интегралы Математический анализ Тема: Определенный интеграл Несобственные интегралы Лектор Пахомова Е.Г. 2017 г. ГЛАВА II. Определенный интеграл и его приложения 1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи,

Подробнее

Лекция 1 ( ) Числовые ряды и последовательности

Лекция 1 ( ) Числовые ряды и последовательности Часть I Лекция (4.09.5) Числовые ряды и последовательности Информация о семестре. Темы: (a) Ряды (b) Теория функций комплексных переменных. Литература: (a) Воробъев Н.Н. - Теория рядов (b) Вся высшая математика

Подробнее

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается Глава. РЯДЫ. Понятия верхнего и нижнего пределов последовательности Пусть дана ограниченная числовая последовательность ( ) (все её члены заключены на числовой прямой между числами а и b), т.е. По теореме

Подробнее

«4» Теорема 29 (о замене переменных для интегрируемой функции)

«4» Теорема 29 (о замене переменных для интегрируемой функции) БИЛЕТ 1 «3» Определение первообразной «3» Теорема 12 (об интегрируемости монотонной функции) «3» Теорема 4 (теорема сравнения для рядов) БИЛЕТ 2 «3» Определение обобщенной первообразной «3» Теорема 16

Подробнее

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям)

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т. И. Коршикова,

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекции 9- Признаки сходимости

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция. Определение ряда, свойства, критерий Коши сходимости ряда. Сравнение положительных рядов. Достаточные признаки сходимости Даламбера, Коши, Коши-Адамара, Раабе,

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее