Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4
|
|
- Татьяна Глушановская
- 1 лет назад
- Просмотров:
Транскрипт
1 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Аннотация Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства. Характеристический многочлен линейного оператора, его независимость от базиса. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. 1 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора Пусть A - линейный оператор, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L ( A : L L ). Определение Ненулевой вектор x L называется собственным вектором линейного оператора A : L L, если существует такое число λ R, что выполняется равенство: Ax = λx. (1) Число λ называется собственным значением оператора A, соответствующим собственному вектору x. c Емгушева Г.П.,
2 Равенство (1) можно записать в матричном виде AX = λx или (A λe) X = O, (2) где E единичная матрица, A матрица линейного оператора A, X координатный столбец вектора x, O - нулевая матрица-столбец или в координатной форме: (a 11 λ) x 1 + a 12 x a 1n x n = 0; a 21 x 1 + (a 22 λ) x a 2n x n = 0; (3)... a n1 x 1 + a n2 x (a nn λ) x n = 0. В силу того, что собственный вектор по определению ненулевой, для существования ненулевого решения однородной СЛАУ (3) необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, т.е. det (A λe) = 0 или a 11 λ a a 1n a 21 a 22 λ... a 2n = 0. (4) a n1 a n2... a nn λ Определение Левая часть равенства (4) представляет собой многочлен относительно λ степени n, называемый характеристическим многочленом линейного оператора A, а само уравнение (4) называется характеристическим уравнением оператора A. c Емгушева Г.П.,
3 Теорема. Для того чтобы число λ являлось собственным значением оператора A, необходимо и достаточно, чтобы оно было действительным корнем характеристического уравнения (4) оператора A. Свойства собственных векторов и собственных значений 1. Множество всех собственных векторов, отвечающих данному собственному значению, не является линейным подпространством пространства L, так как это множество не содержит нулевой элемент. Добавив к этому множеству нулевой элемент, получим линейное подпространство пространства L, которое называется собственным подпространством линейного оператора. 2. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы. 3. Собственный вектор линейного оператора A может отвечать только одному собственному значению λ. 4. Если x - собственный вектор оператора A, отвечающий собственному значению λ, то для любого числа k 0 вектор kx также является собственным вектором оператора A, отвечающим собственному значению λ. 5. Если x и y - собственные векторы оператора A, отвечающие собственному значению λ, то вектор x + y также является собственным вектором, отвечающим собственному значению λ. Теорема (инвариантность характеристического многочлена относительно выбора базиса) Характеристический многочлен оператора A не зависит от выбора базиса, т.е. A f λe = A e λe. c Емгушева Г.П.,
4 Левую часть равенства (4) можно записать в виде: P (λ) = det (A λe) = n ( 1) n d k λ k. (5) k=0 Коэффициенты d k характеристического многочлена P (λ) также не связаны с базисом, то есть являются инвариантами относительно выбора базиса. Определение Коэффициент d n 1 = a 11 + a a nn (сумма диагональных элементов матрицы A) называется следом линейного оператора A ( или следом матрицы A ). Обозначение: tra или spa. Алгоритм вычисления собственных значений линейного оператора A и получения его собственных векторов: 1. В линейном пространстве L выбрать базис и поставить в соответствие оператору A матрицу A в выбранном базисе. 2. Составить характеристическое уравнение det (A λe) = 0 и найти его действительные корни λ i - собственные значения линейного оператора A. 3. Подставить поочередно каждое найденное собственное значение λ i в однородную систему (3) и найти фундаментальную систему решений (ФСР) для каждой из этих систем. ФСР координатные столбцы собственных векторов линейного оператора A. c Емгушева Г.П.,
5 2 Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Теорема Матрица линейного оператора A : L L в некотором базисе является диагональной тогда и только тогда, когда все векторы этого базиса являются собственными векторами оператора A. Если матрица линейного оператора A : L L в базисе {e} = (e 1,..., e n ) является диагональной, то на ее диагонали расположены собственные значения оператора A, повторяющиеся столько раз, какова их кратность. Следствие 1 (достаточное условие существования базиса из собственных векторов линейного оператора) Если характеристическое уравнение линейного оператора в n- мерном линейном пространстве имеет n попарно различных действительных корней, то существует базис, состоящий из собственных векторов линейного оператора, в котором матрица линейного оператора является диагональной. Если характеристическое уравнение линейного оператора имеет кратные действительные корни, то может не существовать базиса, в котором матрица линейного оператора будет диагональной. Следствие 2 Существует базис, в котором матрица линейного оператора A : L L является диагональной тогда и только тогда, когда сумма размерностей всех собственных подпространств линейного оператора A равна размерности линейного пространства L. c Емгушева Г.П.,
6 Следствие 3 Если все действительные корни характеристического уравнения квадратной матрицы A порядка n попарно различны, то эта матрица подобна диагональной матрице A, т.е. существует невырожденная матрица T 1 порядка n такая, что T 1 AT = A. Процесс замены матрицы A линейного оператора A диагональной матрицей A (подобной A ) называют приведением матрицы A к диагональному виду. Матрицу линейного оператора можно привести к диагональному виду только тогда, когда кратности собственных значений совпадают с количеством фундаментальных решений однородной СЛАУ (3), записанной для каждого собственного значения. c Емгушева Г.П.,
Линейная алгебра. Лекция 1.4
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы
Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.1
Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.1 Аннотация Сопряженные и самосопряженные операторы, их свойства и примеры. Ортогональная матрица и
Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.3
Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.3 Аннотация Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогонального преобразования.
Линейная алгебра. Лекция 2.1
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве.квадратичные
Линейная алгебра. Лекция 2.3
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве.квадратичные
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî
Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.2
Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.2 Аннотация Квадратичные формы. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Квадратичная
Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1
Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Аннотация Вещественное линейное пространство, аксиомы и примеры. Линейно зависимые и
Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.3
Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.3 Аннотация Ортонормированный базис, его свойства и примеры. Процесс ортогонализации Грама
Линейная алгебра. Лекция 2.2
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве.квадратичные
Линейная алгебра. Лекция 1.1
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы
Тема: Линейные операторы
Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Линейные операторы Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1. Определение линейного оператора Пусть L и V линейные пространства над F (где F
ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором
Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2
Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2 Аннотация Линейное подпространство, его свойства и примеры. Линейная оболочка, ее свойства
Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.
Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра
Аналитическая геометрия Модуль Матричная алгебра Векторная алгебра Текст (самостоятельное изучение) Аннотация Однородные СЛАУ их совместность Критерий существования ненулевого решения однородной СЛАУ его
11. Задача о собственных векторах
Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
Свойства собственных векторов линейного оператора.
Свойства собственных векторов линейного оператора. 1. Если λ 1,..., λ k (k n) различные собственные числа оператора ϕ, тогда соответствующие собственные векторы x 1,..., x k линейно независимы. Доказательство:
Линейная алгебра. Лекция 1.2
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы
2. Дать определение линейно зависимой и линейно независимой систе- мы векторов
1Дать определение линейного (векторного) пространства. Множество R элементов x, y, z,... любой природы называется линейным (или векторным) пространством, если выполнены следующие три требования: 1. z=x+y.
Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.
Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого
1 Билинейная и квадратичная формы.
1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.
Тема : Общая теория систем линейных уравнений
Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для
Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра»
Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» 2 Содержание 1. Матрицы и определители 4 1.1. Матрицы и действия над ними 4 1.2. Определители 7 1.3. Обратная матрица 10 1.4.
ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами
ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ 1 Геометрическое строение линейных операторов 11 Введение Мы знаем, что линейное преобразование ϕ : R n R n (линейный оператор) в каноническом базисе E пространства
Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения
Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия
R. Геометрический смысл
Рабочий учебно-тематический план изучения дисциплины «Линейная алгебра» для профиля «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 1 триместр, лектор -- профессор, д.ф.м.н. Тищенко А.В. Наименовани е Содержание
Умножим (2.1) на λ k и вычтем из (2.2):
Билет 1.1. Инвариантные подпространства. Индуцированный оператор Определение 1.1 Линейное подпространство L V линейного пространства называется инвариантным относительно оператора A, если x L Ax L. Теорема
Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3
Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть
Аналитическая геометрия. Лекция 1.3
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция
ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ
ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Дифференциальные уравнения".
Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы
Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ
21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:
. Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое
3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами
2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого
Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач
Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое
^A на плоскости, и { } 1
Линейные операторы в конечномерных пространствах Будем для простоты рассматривать линейные операторы в линейном пространстве, образованном множеством векторов на плоскости (пространство двух измерений
тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.
Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно
АЛГЕБРА модуль 3: Квадратичные и билинейные формы
АЛГЕБРА модуль 3: Квадратичные и билинейные формы 1 Квадратичные формы Мы рассматриваем конечномерные векторные пространства над полем k, где 0. Определение 1.1 Функция f : V k на векторном пространстве
, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула
Важные понятия утверждения формулы и некоторые примеры по высшей алгебре Тема «К о м п л е к с н ы е ч и с л а» Записать заданное комплексное число в алгебраической тригонометрической и показательной форме
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),
Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.
Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.
ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...
Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения
Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы
Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью
13. Билинейные и квадратичные функции
95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление
. Число называется собственным числом (характеристическим числом, собственным значением) матрицы A, соответствующим собственному вектору p.
) Определить собственные значения и собственные векторы матрицы 3-го порядка 6 8 2 5 2 8 3 4 Ненулевой вектор p называется собственным вектором квадратной матрицы A, если линейное преобразование с матрицей
ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.
ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных
Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ
ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ
Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.
Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
Задачи на собственные значения и собственные вектора матриц
Задачи на собственные значения и собственные вектора матриц С.В. Лемешевский (sergey.lemeshevsky@gmail.com) Институт математики НАН Беларуси Nov 13, 2018 Содержание 1 Свойства собственных значений 2 2
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),
Линейные пространства
Линейные пространства Лекция 1-2 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 1-2 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R называется линейным или
Линейные пространства
ГЛАВА V. Линейные пространства Лекция 9 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 9 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R линейное (векторное)
Собственные числа и собственные векторы
Собственные числа и собственные векторы 1 Для понимания этой темы нужно знать тему «Ядро и образ линейного оператора» и уметь вычислять определители Значок будет указывать на утверждения, требующие доказательств
12. Линейные операторы на векторных пространствах
12. Линейные операторы на векторных пространствах Пусть V векторное пространство над полем F, dimv = n. Линейным оператором на V называется линейное отображение из V в V : для всех α,β F, u,v V. ϕ : V
ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.
ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k
Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.
ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам
Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для
Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.
Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы
Учебно-методическое пособие
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ "ОБРАЗОВАНИЕ" Проект «Инновационная образовательная среда в классическом университете» Пилотный проект «Разработка и внедрение
Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса
Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра ВВТиС
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2
Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Лекция 12 Аннотация Вырожденные и невырожденные матрицы Приведение квадратной невырожденной матрицы к единичной с помощью элементарных
Математика (БкПл-100)
Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие
3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Пусть ε первообразный корень нечетной степени n из 1. Доказать, что ε первообразный корень степени 2n из 1. 2. Пусть α первообразный корень степени 2n из 1. Вычислить 1+α+...+α n 1.
МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры
МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для
2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства.
Тема Комплексные числа и многочлены cosϕ + i siϕ Упростить cosψ i siψ ( i 3 ( cosϕ + Вычислить i siϕ ( i( cosϕ i siϕ 3 3 Найти z, если z = ( i 4 Найти комплексные числа, сопряженные своим квадратам 5 Найти
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление
X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E)
В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего своей матрицей в некотором базисе
1. Линейные системы и матрицы
1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.
41. Симметрические операторы
41 Симметрические операторы Линейные операторы, действующие в евклидовых пространствах, обладают дополнительными свойствами по сравнению с линейными операторами в векторных пространствах без скалярного
«Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке, ) является линейным оператором.
«Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке ( x 1, x2, x, x ) строку ( x1 2x2 x x, x1 x2 x, x1 2x2 x 2x,, x x 2x ) является линейным оператором.
1. Векторные пространства и линейные операторы
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между
Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства
Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )
Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,
31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная
Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами
Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Лектор Пахомова ЕГ 0 г 4 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений
Занятие 14 Понятие линейного оператора
Линейная алгебра и аналитическая геометрия Занятие 4 Понятие линейного оператора Преподаватель Пахомова Елена Григорьевна 6 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Определение линейного оператора Пусть L и V линейные пространства
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева
МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева
Решения задач по алгебре за второй семестр
Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,
всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений:
. ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Ранее мы охарактеризовали подпространство конечномерного пространства как линейную оболочку. Но возможны и другие истолкования подпространства. Пусть, e, e2, K, en какой-либо
ПРОГРАММА. Трудоёмкость: Базовая часть 4 зач. ед.; практические занятия 45 часов лабораторные занятия нет. 60 часов. Программу составил
УТВЕРЖДЕНО Проректор по учебной работе и довузовской подготовке А. А. Воронов 09 января 2018 г. ПРОГРАММА по дисциплине: Алгебра и геометрия по направлению подготовки: 01.03.02 «Прикладная математика и
Аналитическая геометрия. Лекция 1.2
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция
Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора
Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы