МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического анализа ИВКрючкова МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Оренбург ИПК ГОУ ОГУ 0

2 УДК 579 (07) ББК 66 Я7 К85 Рецензент - кандидат физико-математических наук ГА Ивашкина К85 Крючкова, ИВ Математический анализ Третий семестр - Дифференциальные уравнения : методические указания / ИВ Крючкова; Оренбургский госун-т Оренбург: ОГУ, 0-80 с Методические указания содержат необходимый теоретический материал по разделу «Дифференциальные уравнения», входящему в курс математического анализа, с большим количеством примеров, подробное решение типового варианта задач, предлагаемых для самостоятельного решения, а также 0 вариантов типовых задач Методические указания предназначены для студентов инженерных специальностей, обучающихся по программам высшего профессионального образования, и преподавателей, ведущих занятия по данному разделу курса математического анализа УДК 579 (07) ББК 66 (Я7) Крючкова ИВ, 0 ГОУ ОГУ, 0

3 Cодержание Введение4 Простейшие дифференциальные уравнения и методы их интегрирования5 Понятие о дифференциальном уравнении5 Дифференциальные уравнения первого порядка5 Основная теорема существования и единственности решения6 Теорема Коши7 3 Понятие об особых точках и особых решениях дифференциальных уравнений первого порядка9 3 Уравнения с разделяющими переменными 4 Однородные уравнения 5 Линейное уравнение первого порядка4 6 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах5 7 Интегрирование с помощью степенных рядов6 Дифференциальные уравнения второго порядка8 Общие понятия о дифференциальных уравнениях второго порядка8 Теорема существования и единственности решения8 Теорема Коши9 Интегрирование простейших типов уравнений второго порядка методом понижения порядка0 3 Линейные дифференциальные уравнения второго и высших порядков4 3 Общие понятия о линейных дифференциальных уравнениях второго и высших порядков4 3 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка8 33 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка3 34 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами36 34 Однородные уравнения36 34 Случай действительных различных корней характеристического многочлена Случай действительных равных корней характеристического многочлена Случай комплексных корней характеристического многочлена39 34 Неоднородные уравнения40 34 Метод вариации постоянных40 34 Метод подбора частного решения или метод неопределенных коэффициентов4 35 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков45 35 Линейные однородные уравнения высших порядков45 35 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Линейные уравнения с постоянными коэффициентами47 4 Задачи для самостоятельного решения расчетно-графического задания (РГЗ)54 4 Примеры решения задач54 4 Задачи для самостоятельного решения66 Список использованных источников74 3

4 Введение При решении различных задач физики, химии, различных технических наук часто пользуются обыкновенными дифференциальными уравнениями Этим объясняется важное значение изучения дифференциальных уравнений при подготовке будущих инженеров В условиях постоянного сокращения аудиторных часов курса математического анализа, в рамках которого изучаются дифференциальные уравнения на инженерных специальностях, данные методические указания являются актуальными Методические указания содержат необходимый теоретический материал (при достаточном уровне строгости изложения), с большим количеством примеров, подробное решение типового варианта задач, предлагаемых для самостоятельного решения, а также 0 вариантов типовых задач, которые могут быть использованы в качестве домашних заданий, расчетно-графической работы, а также контрольной работы для студентов заочной формы обучения Методические указания предназначены для студентов инженерных специальностей, обучающихся по программам высшего профессионального образования, и преподавателей, ведущих занятия по данному разделу курса математического анализа 4

5 Простейшие дифференциальные уравнения и методы их интегрирования Понятие о дифференциальном уравнении Определение: дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию, ее производные (или дифференциалы) и независимую переменную Наивысший порядок производной (дифференциала) в записи дифференциального уравнения называется порядком этого уравнения Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет в общем случае вид ( n) F (,,,,, ) 0 () или в форме, разрешенной относительно старшей производной: аргумента, ( n) ( n ) f (,,,,, ) () где независимая переменная (аргумент), искомая функция этого,, ( n) ее производные Определение: решением дифференциального уравнения называется всякая функция (), обращающая уравнение в тождество при подстановке в уравнение этой функции и ее производных функция Пример Функция является решением уравнения 0 в области 0, 5 sin является решением уравнения 0 Дифференциальные уравнения первого порядка Рассмотрим дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной, те уравнений вида: f (, ) (3) Рассматривая х и у как координаты точки плоскости хоу, сопоставим каждому решению уφ(х) уравнения (3) кривую на плоскости хоу график этого решения Кривые, являющиеся графиками решений уравнения (3), называются интегральными кривыми этого уравнения Поскольку при этом равен угловому коэффициенту касательной к интегральной кривой в точке М(х;у), то мы приходим к следующему геометрическому истолкованию дифференциального уравнения 5

6 первого порядка: дифференциальное уравнение (3) устанавливает связь между координатами точек интегральных кривых и угловым коэффициентом касательной в этих точках, те определяет в каждой точке плоскости хоу, принадлежащей к области существования функции f(,), направление интегральной кривой, проходящей через эту точку, иными словами, уравнение (3) определяет поле направлений интегральных кривых [] Задача отыскания решения дифференциального уравнения (3), удовлетворяющего начальным условиям 0, при 0, называется задачей Коши Геометрически начальные условия означают указание точки М 0 (х 0 ; у 0 ), через которую должна пройти искомая интегральная кривая Задача Коши истолковывается как задача отыскания среди всех интегральных кривых той кривой, которая проходит через эту точку M 0 (смрисунок ) Рисунок - Геометрическая иллюстрация теоремы Коши 6

7 Основная теорема существования и единственности решения Существование и единственность решения задачи Коши для уравнения определяется следующей теоремой []: Теорема Если функция f (, ) правая часть дифференциального уравнения (3) непрерывна в некоторой замкнутой области D плоскости хоу и удовлетворяет условию Липшица по переменной, то есть существует постоянная K такая, что неравенство f (, ) f (, ) K выполняется для любой пары точек (, ) и, ) ( из области D, то каждой внутренней точке М 0 (х 0 ; у 0 ) области D соответствует, и притом единственное, решение уφ(х) уравнения (3), удовлетворяющее начальным условиям: ϕ ( ) f (, ϕ ( )), ( 0 ) 0 ϕ (4) Условие Липшица выражает ограниченность относительного роста функции по переменной : f (, ) f (, ) K На практике условие Липшица заменяют более удобным требованием ограниченности частной производной по, в этом случае за постоянную K можно принять sup f, потому что по теореме Лагранжа о конечных приращениях f, f, f,η, где η Теорема Коши На практике пользуются частным случаем основной теоремы теоремой Коши Если функция f (,) правая часть дифференциального уравнения (3) непрерывна в некоторой замкнутой области D плоскости хоу и имеет в этой области ограниченную частную производную f,, то каждой внутренней точке М 0 (х 0 ; 7

8 у 0 ) области D соответствует, и притом единственное, решение уφ(х) уравнения (3), удовлетворяющее начальным условиям: ϕ f,ϕ, ϕ 0 0 Геометрически это означает, что через каждую внутреннюю точку области D проходит, и притом единственная, интегральная кривая (смрисунок ) Согласно теореме Коши, интегральные кривые уравнения (3) покрывают область D так, что через каждую внутреннюю точку области D проходит, и притом единственная, интегральная кривая Они образуют семейство кривых, зависящее от одного параметра (однопараметрическое семейство), который изменяется в определенных пределах Пусть Ф(, C) (5) есть уравнение этого семейства Это означает, что любую из этих кривых можно выделить в составе семейства, задав определенное числовое значение С 0 параметра С Возьмем, например, в качестве параметра С начальную ординату у, задаваемую при какой-нибудь начальной абсциссе х 0 в области D Тогда каждому значению у 0, у, у (смрисунок ) начальной ординаты будет соответствовать единственная интегральная кривая семейства (5) и, стало быть, каждая из этих кривых может быть выделена с помощью задания числового значения ординаты в точке с абсциссой хх 0 Каждая функция Ф, C 0, получающаяся из формулы (5) при любом допустимом значении С 0 параметра С, является одной из интегральных кривых семейства (5) Отсюда следует, что функция Ф,C, где С свободно изменяющийся (в определенных пределах) параметр, также есть решение этого уравнения Таким образом, дифференциальное уравнение первого порядка, удовлетворяющее условию теоремы Коши, допускает решение, зависящее от одной произвольной постоянной, или, что тоже, допускает однопараметрическое семейство решений [] 8

9 Определение: общим решением дифференциального уравнения f, в области D, в которой выполнены условия теоремы Коши, называется решение Ф,C этого уравнения, непрерывно зависящее от произвольной постоянной С и такое, что всяким начальным условиям хх 0, уу 0, где точка (х 0 ;у 0 ) принадлежит области D, соответствует удовлетворяющее этим условиям решение Ф, C 0 уравнения f,, получаемое из формулы Ф,C при определенном значении СС 0 Решение уφ(х, С 0 ) называется частным решением уравнения f,, соответствующим заданным начальным условиям хх 0, уу 0 Пример Функция C e является общим решением дифференциального уравнения Из формулы C e можно получить решение любой задачи Коши Пусть, например, надо найти решение, которое при 0 принимает значение 0 : 0 C e 0, отсюда C 0 e 0 Частное решение удовлетворяющее начальным условиям 0 e 0 Определение: изоклинами дифференциального уравнения первого порядка называется геометрическое место точек плоскости хоу, в которых интегральные кривые уравнения имеют одно и то же направление Так, задавая угловой коэффициент интегральных кривых уравнения (3) равенством k, находим по уравнению, что такое направление будут иметь интегральные кривые в точках плоскости, удовлетворяющих уравнению f, k (6) Таким образом, уравнение (6) является уравнением изоклины, соответствующей заданному направлению k, а считая здесь число k произвольной постоянной, приходим к заключению, что это же уравнение определяет семейство изоклин для дифференциального уравнения (6) Пусть теперь на плоскости построена последовательность изоклин, соответствующих значениям kk, k,,k n, (смрисунок ), причем соседние значения k достаточно близки друг к другу 9

10 Выберем на изоклине kk ряд точек и проведем из них отрезки прямых с угловым коэффициентом k до пересечения с изоклиной kk ; из полученных точек пересечения проведем отрезки прямых с угловым коэффициентом kk 3 и тд Рисунок Изображение интегральных кривых при помощи изоклин Отрезки эти образуют ряд ломаных, которые являются приближенным изображением интегральных кривых данного уравнения В самом деле, каждый отрезок любой из ломаных является отрезком касательной к некоторой интегральной кривой уравнения, и поэтому на малом участке аппроксимирует эту кривую 0

11 3 Понятие об особых точках и особых решениях дифференциальных уравнений первого порядка Теорема Коши гарантирует существование единственной интегральной кривой уравнения f,, проходящей через точку М 0 (х 0 ; у 0 ), если в некоторой окрестности этой точки выполнены условия этой теоремы: а) непрерывность f(,); б) существование и ограниченность f, Нарушение хотя бы одного из этих условий может привести к тому, что либо не будет существовать ни одной интегральной кривой уравнения, проходящей через точку М 0 (х 0 ; у 0 ), либо таких кривых будет не одна (в частности, их может быть бесчисленное множество) Если нарушение условий теоремы Коши имеет место в отдельных изолированных точках, то такие точки называют особыми точками дифференциального уравнения Поведение интегральных кривых в окрестности особой точки может быть весьма различным Пример 3 Дифференциальное уравнение 0 имеет общее решение C Точка О(0;0) является особой точкой этого дифференциального уравнения, тк в ней нарушаются условия теоремы Коши Все частные решения проходят через точку О(0;0) Если же нарушение условий теоремы Коши имеет место вдоль целого геометрического места точек, это геометрическое место может само оказаться интегральной кривой данного уравнения; такую интегральную кривую называют особой, а соответствующее ей решение исходного уравнения особым решением Точное определение особого решения следующее: решение дифференциального уравнения первого порядка называется особым, если через каждую точку изображающей его интегральной кривой проходит по крайней мере еще одна интегральная кривая того же уравнения, имеющая в этой точке ту же касательную

12 Замечание: - могут быть особые решения, входящие в состав общего решения; с другой стороны, решение, не получаемое из общего, может и не быть особым Особое решение характеризуется тем, что через каждую точку его графика, помимо его самого, проходят графики еще других решений данного дифференциального уравнения Пример 4 Дифференциальное уравнение имеет общее решение sin C, π C π Кроме того, есть особые решения и, не получаемые из общего ни при каком значении C, они являются особыми решениями 3 Уравнения с разделяющими переменными Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если, разрешив его относительно производной, мы получим для нее выражение, равное произведению функции, зависящей только от аргумента, на функцию, зависящую только от искомой функции: d d f ϕ (7) Функции f() и φ() предполагаются непрерывными при рассматриваемых значениях х и у, причем φ (у) 0 Умножим обе части уравнения (7) на d и разделим на φ (у) Тогда мы получим уравнение с разделенными переменными: d ϕ f d, (8) где в левую часть отнесены члены, зависящие от у и d; в правую члены, зависящие от х и d В левой части уравнения (8) стоит дифференциал функции, зависящей от у, а в правой дифференциал функции от х Из равенства этих дифференциалов заключаем, что сами функции могут отличаться друг от друга лишь произвольным постоянным слагаемым Поэтому, интегрируя равенство (8) (левую часть по у, правую по х) и вводя произвольную постоянную С, получаем общее решение

13 уравнения (7) в виде, не разрешенном относительно у (те в виде общего интеграла): d ϕ f d C (9) Отметим, что уравнение с разделяющимися переменными может быть также задано в виде f ( ) ϕ ( ) f ( ) ϕ ( ) 0, (0) или в виде f ( ) ϕ ( ) d f ( ) ϕ ( ) d 0, () где f (), f (), φ (), φ () непрерывные функции; f () 0 и φ () 0 Общий интеграл уравнения (0) запишется следующим образом: Пример 5 f ( ) ϕ ( ) C ϕ ( ) d d f ( ), уравнение задано лишь при Разделяем переменные и интегрируем: arcsin C Общее решение: sin( C), ϕ ( ) обращается в ноль при ± d d π π C d ; d () C Кроме того, так как, имеется еще два решения, не получаемых из общего: и Это особые решения Возвращаясь к исходному уравнению (7), заметим следующее: деля левую и правую часть на φ(у), мы могли «потерять» некоторые решения исходного уравнения В самом деле, если уравнение φ (у)0 имеет действительные корни у, у,, у k, то функции, определяемые равенствами,,, k, (3) являются решениями уравнениями (7), так как обращают это уравнение в тождество В разобранном выше примере функции х ± ; у ± являются решениями, но эти решения не были потеряны при интегрировании, поскольку содержатся в общем интеграле и получаются из него при С 0 ; 3

14 4 Однородные уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если, разрешив его относительно производной, мы получаем для нее выражение, являющееся функцией только отношения искомой функции к ее аргументу: f, (4) где f непрерывная функция при рассматриваемых значениях х и у; х 0 Уравнение вида (4) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи подстановки u, (5) В самом деле, в силу этой подстановки, u u, а уравнение (4) преобразуется к виду u u f u, или du d f u u, те к уравнению с разделяющимися переменными Найдя его общее решение, и заменив в нем и на, мы найдем общее решение исходного уравнения или Пример 6 Решить уравнение: sin Полагая уих, приходим к уравнению u uu sin u, du d sin u Разделяем переменные: du sin u d Интегрируя, находим ln tg u ln ln C, или u arctgc, откуда, подставляя u, получаем общее решение исходного уравнения: arctgc Однородные уравнения часто задаются в виде M, d N, d0, (6) где М (х, у) и N (, ) однородные функции одного и того же измерения k, те удовлетворяющие следующему условию: M t,t t k M,, N t, t t k N,, (7) 4

15 где t произвольный множитель Пример 7 Проинтегрировать уравнение ( ) d d 0 Это уравнение однородное, поскольку коэффициентами при d и d служат однородные функции второго измерения: х - у и ху Полагаем уих, тогда du d du После подстановки в исходное уравнение, сокращения на х и приведения подобных членов приходим к уравнению Разделяя в нем переменные и интегрируя, находим или ( u ) C ( u ) d udu 0 ln ln( u ) ln C, Наконец, полагая u, получаем общий интеграл исходного уравнения: C 5 Линейное уравнение первого порядка Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно является уравнением первой степени относительной искомой функции и ее производной: (8) P( ) Q( ), где P() и Q() заданные непрерывные функции Рассмотрим метод Бернулли интегрирования линейного уравнения (8) Следуя методу Бернулли, будем искать неизвестную искомую функцию у в виде произведения двух неизвестных функций, полагая в уравнении (8) u v (9) Преобразование () приводит уравнение (8) к виду: u v v u P uv Q 0, v [ u P u] [ v u Q] 0 (0) Интегрируя уравнение с разделяющимися переменными u P( ) u 0, выберем какое-нибудь его частное решение u u () Интегрируя затем другое уравнение с разделяющимися переменными v u ( ) Q( ) 0, найдем его общее 5

16 решение v v (, C), где С произвольная постоянная Мы видим, что при u u( ), v v (, C) уравнение (0) обращается в тождество (при всяком числовом значении С) Следовательно, обращается в тождество и уравнение (8) при u ) v (, ), те u ) v (, ) ( C ( C есть искомое общее решение этого уравнения В качестве примера проинтегрируем линейное уравнение ln Совершая преобразование, приводим это уравнение к виду uv ) u v ln или v( u u) ( u v ln ) 0 Интегрируем уравнение u u 0 и выбираем частное решение u ( u v Интегрируя затем уравнение v ln 0, находим его общее решение C v ln Перемножая и и v, получаем общее решение исходного уравнения: u ln v C В области непрерывности коэффициентов Р(х) и Q() линейного уравнения (8) правая часть этого уравнения удовлетворяет условию теоремы Коши (см п ) В самом деле, если функции Р (х) и Q () непрерывны на некотором отрезке, a b, то в любой замкнутой области D плоскости хоу, проектирующейся на и f P() отрезок [a, b] оси Ох, f (, ) P( ) Q( ) будут непрерывными и ограниченными функциями Значит, в области непрерывности коэффициентов, линейное уравнение не допускает особых решений и поэтому его общее решение содержит все вообще решения этого уравнения 6 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Дифференциальными уравнения в полных дифференциалах называются дифференциальные уравнения вида: P (, ) d Q(, ) d 0, () где P и Q функции с непрерывными частными производными, причем 6

17 P Q Левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции и (х, у) Уравнение () можно записать в виде Общий интеграл уравнения () запишется, очевидно, так: du (, ) 0 () u (, ) C, где С произвольная постоянная Пример 8 Проинтегрировать дифференциальное уравнение ( ) d ( e ) d 0 Здесь P, Q e Функции Р и Q имеют непрерывные частные P Q производные Условие полного дифференциала выполнено Следовательно, мы имеем уравнение в полных дифференциалах u ( ) d ( e 0 0 ) d 3 3 Приравнивая и (х, у) произвольной постоянной, получаем общий интеграл e уравнения: 3 e 3 C 7 Интегрирование с помощью степенных рядов Пусть требуется проинтегрировать дифференциальное уравнение f (, ) с начальными условиями: у у 0 при х х 0 с помощью степенных рядов -й способ Будем искать решение у (х) в виде суммы степенного ряда: ( ) a0 a ( 0) a ( 0) Подставляя в дифференциальное уравнение ряды, изображающие у (х) и его производную у (х), мы получаем тождество, из которого последовательно находим коэффициенты а 0, а, а, ряда Этот способ применяется преимущественно при интегрировании линейных уравнений Пример 9 7

18 Найти частное решение у (х) дифференциального уравнения 3 соответствующее начальным условиям у 5 при х 0 3 Полагаем ( ) a a a a, откуда ( ) a a 3a Подставляя в первый ряд начальные условия, находим а 0 5 Подставив оба ряда в дифференциальное уравнение, приходим к тождеству a a 3a3 5 3a (3a ) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, последовательно находим a 5, a, a3, Следовательно, искомое решение является суммой ряда ( ) й способ Разлагаем искомое решение в ряд Тейлора: ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 3 ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )!! 3! Свободный член ( 0 ) нам известен из начальных условий: 0) ( 0 Значение ) мы получаем, подставив начальные условия в дифференциальное ( 0 уравнение Значение у (х 0 ) найдем, подставив х 0, у (х 0 ), ( 0 ) в результат дифференцирования нашего дифференциального уравнения и тд Пример 0 Найти частное решение у (х) дифференциального уравнения у х у, соответствующее начальным условиям х 0 0, у 0 ( ) ( ) ( ) Полагаем ( ) ( )!! Из начальных условий ( 0 ) 0 Далее из дифференциального уравнения находим ( ) 0 Дифференцируем теперь наше уравнение: 0 Подставляя сюда ( ), ( ), получим ( 0 ) Дифференцируя еще раз и 0, 0 0 3! подставляя в уравнение значения ( ), ( ) и ), найдем 0, 0 0 ( 0 ( 0 ) 8 и тд Подставляя полученные значения ( 0), ( 0), ( 0), в ряд 8

19 Тейлора, получим выражение искомого частного решения в виде суммы ряда: ( )!! 3! 4! 4 9

20 Дифференциальные уравнения второго порядка Общие понятия о дифференциальных уравнениях второго порядка Дифференциальное уравнение второго порядка имеет в общем случае следующий вид: F (,,, ) 0 () или в форме, разрешенной относительно старшей производной: f (,, ) () Начальные условия для дифференциального уравнения второго порядка имеют следующий вид: у у0, 0 при 0 (3) и заключается, следовательно, в указании при некотором (начальном) значении аргумента х начальных значений искомой функции и ее производной (геометрически в задании точки, через которую должна пройти искомая интегральная кривая, и углового коэффициента касательной к ней в этой точке) Задача отыскания решения дифференциального уравнения () или (), удовлетворяющего начальным условиям (3), называется задачей Коши [] Для дифференциальных уравнений второго порядка () имеет место теорема существования и единственности решения [] При ее формулировке будем пользоваться условием Липшица ограниченности роста функции f (,, ) по переменным и :, ) f (,, ) ( ) f (, K, где K - некая постоянная,,, ) и,, ) - произвольные точки ( ( трехмерной замкнутой области D пространства Охуу Теорема существования и единственности решения Если функция f (,, ) - правая часть дифференциального уравнения () непрерывна в некоторой трехмерной замкнутой области D пространства Охуу ее аргумента и удовлетворяет в этой области условию Липшица, то каждой внутренней 0

21 точке P0 ( 0; 0; 0 ) этой области D соответствует, и притом единственное, решение ϕ дифференциального уравнения (), удовлетворяющее начальным условиям (3): ϕ f,ϕ,ϕ ;ϕ 0 0, ϕ 0 0 Также как и в случае уравнений первого порядка, условие Липшица можно заменить условием ограниченности частных производных f и f Те справедлива теорема Коши Теорема Коши Если функция f,, - правая часть дифференциального уравнения () непрерывна в некоторой трехмерной замкнутой области D пространства Охуу ее аргумента и имеет в этой области ограниченные частные производные f и f то каждой внутренней точке P 0 0 ; 0 ; 0 этой области D соответствует, и притом единственное, решение ϕ дифференциального уравнения (), удовлетворяющее начальным условиям (3): ϕ f,ϕ,ϕ ;ϕ 0 0, ϕ 0 0 Определение Общим решением дифференциального уравнения f,, (), соответствующим области D, в которой выполнены условия теоремы Коши, называется решение ϕ, C,C этого уравнения, непрерывно зависящее от двух произвольных постоянных С и С и такое, что всяким начальным условиям 0, 0, 0 (3), где точка 0 ; 0 ; 0 принадлежит области D, соответствует удовлетворяющее этим условиям решение ϕ, C 0, C 0, получаемое из формулы ϕ, C,C при определенных значениях C C 0,C C 0 Решение ϕ, C 0, C 0, называется частным решением уравнения f,,, соответствующим заданным начальным условиям 0, 0, 0

22 Определение Общее решение дифференциального уравнения () в виде, не разрешенном относительно искомой функции (в неявной форме): ψ,,c,c 0, называется общим интегралом этого уравнения Пример Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее начальным условиям:, 5 при 0, зная общее решение C cos C sin Область D существования и единственности (область начальных условий) все пространство Охуу и, следовательно, область G расположения интегральных кривых есть вся плоскость хоу Запишем систему (4): C cos Подставляем в нее начальные условия: 5 C sin C cos 0 C sin 0 C C sin, C cos sin 0 0, C cos и находим числовые значения постоянных C, C 4 Подставляя найденные значения С и С в формулу общего решения, получаем искомое частное решение cos 4 sin Интегрирование простейших типов уравнений второго порядка методом понижения порядка Рассмотрим два простейших типа уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка

23 -й тип Уравнения вида: F (,, ) 0, (5) не содержащие в своей записи символа искомой функции у Введем новую неизвестную функцию p, тогда d p d Уравнение (5) преобразуется тогда в уравнение первого порядка F (, p, p ) 0 (6) Пусть найден общий интеграл этого уравнения Ω (, p, C ) 0 (7) Заменяя в этом соотношении р на у, мы приходим к новому дифференциальному уравнению первого порядка Ω (,, C ) 0 (8) Его общее решение (или общий интеграл) будет искомым общим решением (или общим интегралом) уравнения (5): ϕ, C, C ) (,, C, C ) 0] ( [ ψ (9) Изложенный метод интегрирования уравнения (5) (метод понижения порядка) относится также и к частным случаям этого уравнения: Пример Проинтегрировать уравнение при х0 F (, ) 0, F(, ) 0, F( ) 0 (0) при начальных условиях: у 3, у 0 Полагая p, заменяем данное уравнение уравнением: p p Это линейное уравнение, интегрируя которое, находим его общее решение: p C e Так как требуется найти лишь частное решение исходного уравнения, определяем по начальным условиям постоянную С, полагая 0, 0; Для определения у приходим к уравнению: e, 3

24 откуда находим e C ; в силу начальных условий С Таким образом, окончательно находим e Пример 3 Найти общее решение уравнения ln Полагая p, приходим к уравнению p ln p Это уравнение с разделяющимися переменными, общее решение которого pc ln Таким образом, полагая p, для определения у приходим к уравнению C ln, интегрирование которого дает окончательный ответ: -й тип Уравнения вида: C ln C не содержащие в своей записи символа аргумента х F,, 0, () Применяя подстановку p, производим понижение порядка Выражение для получается с помощью правила дифференцирования сложной функции: при 3 d d dp d dp d d d dp d dp d p Этот метод интегрирования относится и к частному случаю уравнения (): Пример 4 F, 0 () Проинтегрировать уравнение: 3 e при начальных условиях: 0, Полагая p, p dp d, приходим к уравнению: 3p dp d e, общий интеграл которого имеет вид p 3 e C 4

25 Определяем С из начальных условий, полагая в найденном интеграле 0, p ; отсюда С 0 Таким образом, p 3 e, или pe 3 Заменяя р на у, для определения у приходим к уравнению e 3, интегрируя которое, находим C 3e 3 Снова используя начальные условия (у 0 при х -3), находим С 0 Таким образом, искомое решение исходного уравнения: 3e 3 0, 3 ln 3 5

26 3 Линейные дифференциальные уравнения второго и высших порядков 3 Общие понятия о линейных дифференциальных уравнениях второго и высших порядков Линейное дифференциальное уравнение п-го порядка имеет следующий вид: n p n p n p n f, (3) где у искомая функция аргумента х, а p k и f () заданные функции, определенные на некотором отрезке a b и непрерывные на этом отрезке Линейное уравнение (3) называется неоднородным при f () f 0 уравнение называется однородным: 0; при n p n p n p n 0 (3) Для дифференциальных уравнений п-го порядка, разрешенных относительно старшей производной: n f,,,, n, (33) существует теорема о существовании и единственности решения [] Вначале сформулируем условие Липшица ограниченности роста функции f,,,, n по переменным,,, n в некоторой (п)-мерной замкнутой области D пространства,,,, n : - существует постоянная K такая, что неравенство: n f,,,, n f,,,, K n n выполняется для любой пары точек,,,, n и,,,, n из области D Теорема существования и единственности решения Если правая часть дифференциального уравнения (33) является непрерывной функцией в некоторой (п)-мерной замкнутой области D пространства,,,, n и удовлетворяет в этой области условию Липшица то каждой внутренней точке P 0 0 ; 0 ; 0 ;; n 0 этой области D соответствует, и притом единственное, решение ϕ уравнения (33), удовлетворяющее начальным условиям: 6

27 ( ) 0, 0 n,, при, (34) ( n ) 0 Частным случаем этой теоремы является теорема Коши: Если правая часть дифференциального уравнения (33) есть непрерывная функция ее аргументов в некоторой (п)-мерной замкнутой области D ( ) пространства,, n,, и имеет в этой области ограниченные частные n производные f, f,, f ( ), то каждой внутренней точке ( n ) P 0( 0; 0; 0 ;; ) этой области D соответствует, и притом единственное, решение ϕ () уравнения (33), удовлетворяющее начальным условиям (34), те ϕ ( n) ϕ ( ( ) 0 ) f (, ϕ ( ), ϕ ( ),, ϕ ; ϕ ( 0 0 ) 0,, ϕ ( n ) ( n ) ( ( )); ) 0 0 ( n ) 0 0 (35) Можно показать [4], что при изменении начальных условий (34) в пределах области D дифференциальное уравнение (33), удовлетворяющее условию теоремы Коши, имеет бесконечное множество решений, образующих п-параметрическое семейство, те что дифференциальное уравнение п-го порядка (33) допускает решение, зависящее от п произвольных постоянных C, C,, Cn : ϕ (, C, C,, Cn ) (36) Функция φ имеет непрерывные частные производные по х до п-го порядка включительно Такое решение называется общим решением уравнения (33), соответствующим области D существования и единственности значениях Все решения, получающиеся из общего при определенных числовых С постоянных С, С,, C : 0 0 0, С Cn,, называются частными решениями n ϕ (, C, C,, C ), (37) n Если решить линейное дифференциальное уравнение (3) относительно старшей производной: ( n) ( n ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,, n p pn pn f F,, ), то легко заметить, что это уравнение всегда удовлетворяет условию теоремы Коши 7

28 Следовательно, линейное уравнение (3) имеет единственное решение при любых начальных условиях (34), где х 0 принадлежит области непрерывности коэффициентов уравнения, а ( n ) 0, 0,, 0 - произвольные числа Однородное линейное уравнение (3) допускает нулевое решение 0, (38) так как эта функция обращает уравнение (3) в тождество Нулевое решение (38) соответствует нулевым начальным условиям: ( ) ( 0 ) 0, n ( 0) 0,, ( 0) 0, где х 0 любое значение х на отрезке [a, b], а в силу сказанного выше о единственности решения нулевые начальные условия определяют только нулевое решение (38) Введем для сокращения записей так называемый линейный дифференциальный оператор L, применение которого к функции у (х) (называемое «умножением» на эту функцию) дает левую часть линейных дифференциальных уравнений (3) и (3): L d L( ) d n n n d n d n d p( ) d n n d p( ) d p n n p ( ) n d d ( ) d d p n ( ), p n ( ) Дифференциальные уравнения (3) и (3) запишутся теперь так: L ( ) f ( ) и ( ) 0 (39) L (30) Если функция у (х) является частным решением, то мы имеем тождества: L( ) f ( ) или ( ) 0 L (3) Оператор L обладает следующими двумя основными свойствами (свойства линейности): L( u v) L( a u) L( u) a L( u) L( v), Следствием этих двух свойств является свойство линейной комбинации: L( a u akuk ) a L( u) a L( u k k ) (3) Доказательство этих свойств рекомендуем провести самостоятельно, используя известные правила дифференцирования суммы и произведения 8

29 Теорема о частных решениях однородного линейного уравнения Любая линейная комбинация a a k k,, частных решений k линейного однородного дифференциального уравнения (3) также является частным решением этого уравнения Доказательство В силу соотношений (3) имеем: L( ) 0,, L( k ) 0 Тогда по свойству оператора L получим а это означает, что функция L( a ak k ) al( ) ak L( k ) 0 0 a a k k является решением уравнения (3) Теорема (о наложении частных решений неоднородного линейного уравнения) Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения (3) представляет собой сумму двух функций f ( ) f( ) f ( ) и если известны частное решение ( ) уравнения L ( ) f ( ) и частное решение ( ) уравнения L ( ) f ( ), то сумма ) ( ) уравнения (3) Доказательство ( этих частных решений есть частное решение Согласно формулам (3), ( ) f( ) L, ) f ( ) 0, L( Тогда, используя свойство линейности (33) оператора L, имеем L( ) L( ) L( ) f( ) f ( ) f ( ) Теорема (о связи частных решений неоднородного и однородного линейных уравнений) Разность любых двух частных решений q и неоднородного линейного дифференциального уравнения есть частное решение соответствующего (те с той же левой частью) однородного линейного уравнения Доказательство Используя свойство линейности (3) оператора L и формулы (3), имеем L( ) L( ) L( ) f ( ) f ( ) 0 Полученное равенство доказывает теорему 9

30 Линейные дифференциальные уравнения имеют единую, детально разработанную теорию, на основе которой построены методы интегрирования этих уравнений Мы сначала подробно рассмотрим линейные уравнения второго порядка, а затем все полученные результаты распространим на общий случай 3 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий вид: a Функции ( ) b p ( ) p( ) 0, или сокращенно L ( ) 0 (33) p и ( ) p предполагаются непрерывными на некотором отрезке Начальные условия для уравнения (33) записываются так: 0, 0 при 0; 0 [ a, b], (34) где 0 и 0 произвольные числа Каждым начальным условиям (34) соответствует единственное решение уравнения (33) Введем понятие линейной независимости частных решений уравнения (33), необходимое при построении общего решения этого уравнения Определение : два частных решения у и у уравнения (33) называются линейно независимыми, если всякая их линейная комбинация, в которой не все коэффициенты равны нулю, есть решение, отличное от нулевого: α α 0 (35) Если же хотя бы одна такая линейная комбинация является нулевым решением, те если α α 0, (36) то частные решения и называются линейно зависимыми Для выяснения вопроса о линейной зависимости или зависимости частных решений у и у уравнения (33) на отрезке [a, b] удобно пользоваться функциональным определителем Вронского (вронскианом): W, ) W ( ) (37) ( 30

31 Вронскиан обладает следующими замечательными свойствами, благодаря которым он широко используется в теории однородных линейных дифференциальных уравнений Теорема Вронскиан (37) либо не равен нулю ни в одной точке отрезка [a, b], либо тождественно равен нулю на всем этом отрезке Первое имеет место тогда и только тогда, когда частные решения у и у уравнения (33) линейно независимые, а второе тогда и только тогда, когда решения у и у линейно зависимые Пример 3 Известны две пары частных решений дифференциального уравнения 0 (х >0): 3 ln, 5 ln 3 ; ln, ln 3 Выяснить, для каждой пары решений, являются они линейно зависимыми или независимыми Частные решения у и у линейно независимы между собой, так как 3 ln 5 ln 3 W (, ) 3 ни при каком значении х Частные решения у и у - линейно зависимые: 3 0 ln ln W (, ) 3 Введем теперь понятие фундаментальной системы частных решений Определение: Фундаментальной системой частных решений однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка (33) называется любая система двух линейно независимых частных решений этого уравнения 3 0 3

32 Например, функция sin и cos образуют фундаментальную систему для уравнения 0, а функции ( 0) и ln - для уравнения 0 Из изложенного ранее следует, что, во-первых, нулевое решение уравнения (33) не может входить в фундаментальную систему, и что, во-вторых, вронскиан решений, образующих фундаментальную систему, не равен нулю ни при каком значении аргумента [ a, b] Справедлива следующая теорема: Всякое однородное линейное дифференциальное уравнение (33) имеет фундаментальную систему частных решений Теорема (о структуре общего решения) Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения есть линейная комбинация любой фундаментальной системы частных решений этого уравнения, в которой коэффициентами служат произвольные постоянные: Пример 3 Функции и ln C ( ) C ( ) (38) являются частными решениями уравнения ln 0 Эти частные решения линейно независимые, так как 0 0 Следовательно, они образуют фундаментальную систему Тогда C C ln, где С и С произвольные постоянные, есть общее решение этого уравнения Пример 33 Функции sin и cos являются линейно независимыми частными решениями уравнения 0Следовательно, они образуют фундаментальную систему и C sin C cos, где С и С произвольные постоянные, есть общее решение этого уравнения 3

33 Пример 34 - есть общее решение уравнения , так как e 3 5 C e Ce и 5 e - линейно независимые частные решения этого уравнения и, следовательно, образуют фундаментальную систему 33 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий вид: p ) p ( ) f ( ), или сокращенно ( L f (39) Функции p, p, f предполагаются непрерывными на некотором отрезке a b Назовем соответствующим однородным уравнением уравнение, имеющее такую же левую часть: p p 0, или сокращенно L 0 Теорема (о структуре общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения) Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения: Y,C, C C C (30) Здесь - частное решение уравнения (38), Y,C,C - общее решение уравнения (33), и - фундаментальная система решений уравнения (33), C и C - произвольные постоянные Пример 35 Найдем общее решение уравнения 0 Общее решение соответствующего однородного уравнения 0 имеет вид Y A B В качестве одного из частных решений неоднородного уравнения возьмем функцию Следовательно, 8 A B есть искомое общее решение данного неоднородного уравнения 33

34 В случаях, когда правая часть неоднородного уравнения (39) представляет собой алгебраическую сумму функций, можно использовать теорему о наложении частных решений, что обычно позволяет упростить задачу Пример 36 Найдем общее решение уравнения e 4 Ищем общее решение соответствующего однородного уравнения 4 0 Нетрудно убедиться в том, что функции e и ( e ) 4e и ( e ) 4e e являются частными решениями этого уравнения, так как Эти два решения линейно независимые и образуют, следовательно, фундаментальную систему; тогда Y C e C e будет общим решением этого однородного уравнения Для нахождения частного решения неоднородного уравнения, рассмотрим отдельно два вспомогательных уравнения: 4 и решение получаем: e 4 Легко проверить, что первое из них допускает частное 4, а второе 5e Применяя теорему о наложении решений, Это есть искомое общее решение Y C e C e 5e 4 Рассмотрим еще один метод интегрирования неоднородного линейного уравнения (39) при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения (33) (33): Метод Лагранжа вариации постоянных Пусть нам известно общее решение соответствующего однородного уравнения C C, (3) где у, у одна из фундаментальных систем решений этого уравнения, а С и С произвольные постоянные Предположим, что, заменяя в формуле (3) произвольные постоянные С и С функциями ( ) u и u ( ), можно их выбрать такими, чтобы функция (3) u ( ) u( ) 34

35 оказалась решением уравнения (39) Вычислим первую и вторую производные от предполагаемого решения (3), приравняв нулю в выражении первой производной сумму членов, содержащих u ( ) и u ( ) ; это есть произвольное дополнительное требование, которое мы учтем при определении функций u и u : u u ; u u 0 [ u u ] [ u (33) u ] Подставив выражения, и, потребуем, чтобы это уравнение обратилось в тождество: [u u ] [ u u ] p [u u ] p [ u u ] f или [u u ] u [ p p ] u [ p p ] f (34) Выражения во второй и в третьей скобках в последней записи тождества равны нулю, так как у и у - частные решения уравнения (33) Тогда, окончательно тождество (34): u u f Объединяя это требование, налагаемое на функции u и u, с требованием (33), удовлетворяя обоим этим требованиям, приходим к системе уравнений для определения функций u и u : u u 0, u u f { Система (35) однозначно разрешима относительно u и u (35), так как ее определитель является вронскианом фундаментальной системы решений у, у и, следовательно, не равен нулю ни при каких значениях [ a,b] : Δ W, 0 35

36 получим Решая систему, находим u ) ϕ ( ) (, u( ) ϕ ( ) ( ) d Ф ( ) K; u( ) ϕ ( ) d Ф( Интегрируя эти функции, u ( ) ϕ ) K, где K и K - произвольные постоянные Следовательно, доказано существование функций ( ) u и ( ) u таких, что соотношение (3) дает решение неоднородного уравнения (39) Подставляя найденные выражения ( ) u и ( ) неоднородного уравнения (39) в виде где K и K - произвольные постоянные u в формулу (3), получаем решение ( Ф ( ) K) ( Ф( ) K) [ Ф ( ) Ф( ) ] [ K K ] (36) Положим, например, K K 0 Мы получим соответствующее частное решение Ф ( ) Ф( ) этого уравнения При произвольных же значениях K K K и K, есть общее решение соответствующего однородного уравнения (33) Следовательно, правая часть формулы (36) есть сумма частного решения неоднородного уравнения (39) и общего решения соответствующего однородного уравнения (33) По теореме о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения формула (36) определяет, следовательно, общее решение неоднородного уравнения (39) Сформулируем практическое правило интегрирования неоднородных уравнений по методу вариации постоянных Находим общее решение соответствующего однородного уравнения: C Не вводя новых обозначений для C ( ) и C ( ) C систему (35) в виде: C C Решаем эту систему относительно C C 0, f ( ), составляем (37) C и C : ( C ϕ ), C ϕ ( ) Интегрируя полученные выражения, находим: C ( ) ϕ ( ) d K, ϕ Подставляя эти выражения ( ) C ( ) ( ) d K C и ( ) C вместо 36

37 произвольных постоянных C и C в общее решение однородного уравнения (33), получаем искомое общее решение неоднородного уравнения (39) Пример 37 Найти общее решение уравнения ( 0), зная общее решение C Y C соответствующего однородного уравнения Запишем систему: C C C 0, C Решая, найдем C, C 3 Интегрируя полученные выражения, получим C ( ) K, C( ) K, где произвольные постоянные Подставляя эти выражения ( ) C и ( ) K и K - C в формулу общего решения однородного уравнения, получим искомое общее решение неоднородного уравнения: K K K K Замечание: из рассмотренной теории линейных дифференциальных уравнений видно, что успех практического их интегрирования зависит от умения находить линейно независимые между собой частные решения однородных линейных уравнений, так как общее решение однородного уравнения является их линейной комбинацией, а тогда общее решение неоднородного уравнения можно получить методом вариации постоянных или с помощью нахождения одного частного решения этого неоднородного уравнения Однако не существует общего приема для нахождения этих частных решений Приходится ограничиваться поисками, основанными на догадке и сообразительности Дело осложняется дополнительно еще и тем обстоятельством, что многие линейные дифференциальные уравнения (с переменными коэффициентами) вообще не интегрируются в элементарных функциях Одно из исключений составляют линейные однородные дифференциальные уравнения с 37

38 постоянными коэффициентами Эти уравнения всегда интегрируются в элементарных функциях и для них существует простое правило нахождения линейно независимых частных решений 34 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид: a a 0, или сокращенно: L ( ) 0 (38) (однородное уравнение) или a a f ( ), или сокращенно: L ( ) f ( ) (39) где a, a - действительные числа, f () - функция, непрерывная на некотором отрезке a b, d d a a d d L (330) - линейный дифференциальный оператор второго порядка Уравнения (38) и (39) являются частным случаем уравнений (33) и (39), где коэффициенты были переменные Оператор (330) есть частный случай оператора (39) Поэтому все определения, теоремы и методы интегрирования, установленные нами, переносятся и на уравнения (38) и (39) Но эти уравнения обладают и рядом дополнительных (специфических) свойств 34 Однородные уравнения Отметим, прежде всего, одно новое свойство оператора (330), не имевшее места у оператора (30): k k L( e ) e P( k) (33) где k - постоянная величина, P(k) - алгебраический многочлен второй степени с теми же коэффициентами, что и в дифференциальном уравнении (38): 38

39 P ( k) k ak a (33) Многочлен P (k) называется характеристическим многочленом однородного дифференциального уравнения (38) Справедливость равенства (33) доказывается: k k k k k L( e ) ( e ) a ( e ) a e k e k k e ( k ak a) e P( k) k ake k ae С помощью равенства (33) легко доказывается теорема, имеющая решающее значение во всей теории однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами и в практике интегрирования этих уравнений Теорема Если k 0 есть корень характеристического многочлена (330), то функция e k 0 есть частное решение однородного дифференциального уравнения (38) Доказательство По условию теоремы, P k 0 0 Тогда по формуле (33) L e k e k 0 P k 0 e k 0 0 0, те функция e k 0 есть решение уравнения (38) Справедлива и обратная теорема Теорема (обратная) Если функция e k 0 является решением дифференциального уравнения (38), то число k 0 есть корень характеристического многочлена этого уравнения Доказательство По условию, L e k 0 Тогда по формуле (33) e k 0 P k 0 0 Но e k 0 0 Следовательно, P k 0 0 Перейдем теперь непосредственно к построению фундаментальной системы решений и общего решения уравнения (38) с помощью корней характеристического многочлена 34 Случай действительных различных корней характеристического многочлена Пусть k и k - действительные корни многочлена P k и пусть k k Тогда, по теореме, функции e k и e k являются частными решениями уравнения (38) Эти два решения линейно независимые, так как вронскиан W, не равен нулю: 39

40 W, e k k e k e k k e k e k k e k k k k k k 0 (38): Поэтому у и у образуют фундаментальную систему решений уравнения k e, k e Общее решение этого уравнения имеет вид: k k C e C e где C и C - произвольные постоянные Пример 38 Найти общее решение уравнения 7 0 (333), (334) Характеристический многочлен k 7k имеет различные корни 3 k 4 3 Частные решения e и 4 e Искомое общее решение запишется в виде: k, образуют фундаментальную систему 3 4 C e Ce 34 Случай действительных равных корней характеристического многочлена Пусть корни k и k характеристического многочлена P (k) равны между собой Обозначим их общее значение через k Тогда k есть двукратный действительный корень многочлена P (k) k Согласно теореме, функция e является решением уравнения (38) Найдем недостающее второе решение, образующее вместе с у фундаментальную систему: k d k d e e k a d k kd e e e e k e, поскольку коэффициент a характеристического многочлена равен по известному свойству корней квадратного уравнения (теорема Виета) вид: ( k k ) k Таким образом, фундаментальная система решений уравнения (38) имеет и, следовательно, общее решение: k k e, e k k k Ce Ce e ( C C) (335), (336) 40

41 где C и C - произвольные постоянные Пример 39 Найти общее решение уравнения Характеристический многочлен k 6k 9 имеет двукратный корень k 3 Решения 3 e и 3 e образуют фундаментальную систему По формуле (336) искомое 3 общее решение запишется так: e C C ) ( 343 Случай комплексных корней характеристического многочлена Пусть k α β i, k α β i - сопряженные корни многочлена P (k) Согласно теореме, мы имеем два частных решения уравнения (38): ( α β i) α β i ( α β i) α β i e e e и e e e Они образуют фундаментальную систему, так как вронскиан W (, ) не равен нулю: ( α β i) ( α β i) e e α α W (, ) e e ( β i) ( α β i) ( α β i) ( α β i) e ( α β i) e α β i α β i 0, поскольку 0 e α и β 0 Эта фундаментальная система имеет мнимый вид Перейдем к другой фундаментальной системе,, которая будет иметь действительный вид Положим для этого вид: β i β i α e e α e e cos β, β i β i α e e α e e sin β i i (337) Общее решение уравнения (38) получит при этом также действительный где C и C - произвольные постоянные Пример 30 α α α Ce cos β Ce sin β e ( C cos β C sin β ), (338) Найти общее решение уравнения Характеристический многочлен k 4k 9 имеет сопряженные корни ± 5i Фундаментальная система (337) запишется так: e cos5, e sin5 Общее решение, согласно формуле (338), будет иметь следующий вид: e C cos5 C sin 5) ( 4

42 34 Неоднородные уравнения Рассмотрим следующие два метода интегрирования неоднородных уравнений 34 Метод вариации постоянных При любом виде непрерывной функции f () неоднородное уравнение: a a f ( ), (339) как и всякое неоднородное линейное уравнение, допускает интегрирование методом Лагранжа вариации постоянных, если предварительно найдено общее решение соответствующего однородного уравнения (38) Пример 3 Найти общее решение уравнения a a 0 tg Характеристический многочлен k соответствующего однородного уравнения 0 имеет корни i уравнения запишется в виде постоянных Составим систему: ± По формуле (338) общее решение однородного C cos C sin Применим теперь метод вариации cos C sin C 0, sin C cos C tg Из системы находим sin C, C sin cos Интегрируя эти выражения, π 4 получаем C sin ln tg K, C cos K Подставляя выражения C и C в формулу общего решения однородного уравнения, получаем искомое общее решение неоднородного уравнения: где K и K - произвольные постоянные π cos ln tg K cos K sin 4, 4


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Содержание Конев В.В. 1. Рабочая программа (выписка) 2 2. Введение 3 3. Основные понятия 3 3.1. Начальные условия 5 3.2. Составление дифференциальных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Введение. Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении

Введение. Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении ГЛАВА 9 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ СИСТЕМЫ Введение Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении 0 Постановка задачи Математическое описание процессов (физических

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Лекция 5. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ На практике существуют задачи оптимизации, в которых критерий качества зависит от функции, определить которую необходимо

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ''Оренбургский государственный

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Конспект лекций по математике-3

Конспект лекций по математике-3 КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского А.С.Шкуро Конспект лекций по математике-3 для студентов Химического института Учебное пособие Казань

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее