Задача 4. Построить бифуркационную диаграмму и типичные фазовые портреты для динамической системы:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Задача 4. Построить бифуркационную диаграмму и типичные фазовые портреты для динамической системы:"

Транскрипт

1 Занятие. Динамические системы с непрерывным временем на прямой. Задача 4. Построить бифуркационную диаграмму и типичные фазовые портреты для динамической системы: d dt Решение уравнения f (, 5 5, R, ( R. ), 4 на плоскости (,) определяет геометрическое место положений равновесия заданной системы при различных значениях параметра. Это прямая l : =0 и парабола l : = ( ). Нетрудно найти вершины параболы точки (, ), (, ), (0, 0), и точки пересечения параболы с осями (, ), (, ), (0, 0) (см. рис. ). Вывод. В зависимости от значения параметра уравнение () имеет следующее количество положений равновесия: < = < < 0 = 0 > 0 5 Прямая l и парабола l разбивают плоскость на четыре области, где сохраняется знак выражения f (, ). Это разбиение показано на 5 рис.. Области, в точках которых выражение f (, ) принимает положительные значения, помечены знаком «+» и выделены цветом; области, в точках которых выражение f (, ) принимает отрицательные значения, помечены знаком. Так как ' ( t) f (,, то в тех областях, где f (,, функция (t) растет, а где f (,, функция (t) убывает. На рис. стрелки указывают направление изменения. Рис. 4 ()

2 В соответствии с установленным направлением участки прямой l и параболы l с неустойчивыми особыми точками заменяем пунктирной линией. В результате получаем бифуркационную диаграмму на рис.. Рис. Рис. Вывод. Значения параметра = и = 0 являются точками бифуркации. При = имеют место локальные бифуркации типа «седло-узел», а при =0 локальная бифуркация типа «вилка». Сечения на бифуркационной диаграмме (рис. ) для различных значений параметра дают типичные фазовые портреты системы (). Задача 8. Выполнить качественное исследование уравнения, описывающего динамику численности популяции: dn N N N N,,,,, const 0 dt. (). Уменьшение размерности области параметров. Результат: с помощью линейного преобразования N, t v уравнение () приводится к виду: где A, B,. Поиск положений равновесия уравнения (). d A B, A, B. () dv

3 Рекомендация: найти неотрицательные корни уравнения f ( ), где f ( ) A B. f ),, A B, ( Результат: ) Уравнение () имеет положения равновесия:,, A,, D ( B B D если D, A B. ) Уравнение () имеет положения равновесия:, B ( A B ) A,. A B) 4AB,,,, A B B D, если (4) A B. ) Уравнение () имеет одно положение равновесия, если D, (5) A B. Условия (), (4), (5) определяют в пространстве значений параметров (A, B) области существования одного, двух и трех положений равновесия, которые обозначим соответственно G, G и G.. Анализ на устойчивость положений равновесия уравнения (). Правила: Если f (*) < 0, то положение равновесия * асимптотически устойчиво. Если f (*) > 0, то положение равновесия * неустойчиво. Если f (*) = 0 и f (*) 0, то положение равновесия * неустойчиво (точнее полуустойчиво). Пусть g ( ) A B, тогда f '( ) g( ) g'( ), f "( ) g'( ) g"( ) и ()

4 g' ( ) B, g"( ). ( ) ( ) Результат: ) Положения равновесия асимптотически устойчиво при любых допустимых значениях параметров A и B. ) Положение равновесия полуустойчиво в области G и неустойчиво в области G. Замечание. Область G : А) Так как корень уравнения B ( A B) + A = 0 g ( ) A B кратности, то g ( ) и g '( ). Следовательно, f ( )=0. Б) f ( )= g ''( ) ( ) 0. Область G : Так как и корни уравнения ( < ) B ( A B) + A = 0 g ( ) A B, то имеем: g ( ), '( ) ( ) '( ) '( ), ( ) f g g g B A B A ( ). и, B B B следовательно, f ( ) > 0. ) Положение равновесия асимптотически устойчиво. Область G: Так как и корни уравнения B ( A B) + A = 0 и <, то A B A ( ). B B B и, следовательно, f ( ) < Фазовые портреты уравнения () ) (A, B)G = 0

5 Интерпретация: при любой начальной численности популяции наблюдается ее вырождение ((t) при t +. ) (A, B)G Интерпретация: если начальная численность меньше, то наблюдается вырождение популяции, если начальная численность больше, то наблюдается стабилизация численности на равновесном уровне. ) (A, B)G = 0 = 0 Интерпретация: если начальная численность меньше, то наблюдается вырождение популяции, если начальная численность больше, то наблюдается стабилизация численности на равновесном уровне. Домашнее задание В первой четверти плоскости (A,B) построить области существования одного (G ), двух (G ) и трех положений равновесия (G ). Построение областей существования трех положений равновесия, двух положений равновесия и одного положения равновесия (параметрический портрет уравнения ()) Результат: Уравнение параболы: ( A A B) 4AB ( A B) D D D ( A B) Три положения равновесия Два положения равновесия Одно положение равновесия B

6 Интегральные кривые уравнения (), соответствующие различным областям параметрического пространства D D D Бифуркации в ДС ()


a.0 1. Построить параметрический портрет и соответствующие фазовые

a.0 1. Построить параметрический портрет и соответствующие фазовые 4.03.07 Занятия 4. Существование и устойчивость положений равновесия линейных динамических (ЛДС) систем на плоскости. Построить параметрический портрет и соответствующие фазовые портреты ЛДС (x, yr, ar):

Подробнее

N N N N , Занятие 20, 21. Дискретные динамические системы на прямой

N N N N , Занятие 20, 21. Дискретные динамические системы на прямой 7..5,..5 Занятие,. Дискретные динамические системы на прямой Задача Провести исследование динамики плотности популяции ( t ), описываемой уравнением: t t,, const. t Существуют ли среди решений уравнения

Подробнее

Лекция 2 Динамические системы (ДС) с параметрами. Бифуркации в ДС. Типы бифуркаций в однопараметрических ДС

Лекция 2 Динамические системы (ДС) с параметрами. Бифуркации в ДС. Типы бифуркаций в однопараметрических ДС Лекция 2 Динамические системы (ДС) с параметрами. Бифуркации в ДС. Типы бифуркаций в однопараметрических ДС 1. Основные понятия Динамические системы, рассматриваемые как модели реальных систем, обычно

Подробнее

Математические методы в экологии: Сборник задач и упражнений / Сост. Е.Е. Семенова, Е.В. Кудрявцева. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2005.

Математические методы в экологии: Сборник задач и упражнений / Сост. Е.Е. Семенова, Е.В. Кудрявцева. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2005. Математические методы в экологии: Сборник задач и упражнений / Сост. Е.Е. Семенова, Е.В. Кудрявцева. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 005..0.09 Занятия 9. Дискретная модель динамики общей численности (плотности)

Подробнее

Динамика численности хищника Y(t) и жертвы X(t) описывается системой:

Динамика численности хищника Y(t) и жертвы X(t) описывается системой: Математические методы в экологии: Сборник задач и упражнений / Сост. Е.Е. Семенова, Е.В. Кудрявцева. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 005..04.09 Занятие 7 Модель «хищник-жертва» Лотки-Вольтерры 86 (построение

Подробнее

Лекция 1 Элементы качественного анализа динамических систем с непрерывным временем на прямой

Лекция 1 Элементы качественного анализа динамических систем с непрерывным временем на прямой Лекция 1 Элементы качественного анализа динамических систем с непрерывным временем на прямой Будем рассматривать автономное дифференциальное уравнение du = f(u), (1) dt которое может быть использовано

Подробнее

Занятие 23, 24. Дискретные динамические системы на плоскости

Занятие 23, 24. Дискретные динамические системы на плоскости ..05 Занятие 3, 4. Дискретные динамические системы на плоскости Рассмотрим динамическую систему, которая описывает динамику сообщества «хищникжертва»: ut ut ( u t ) utvt, () vt utvt. Здесь u t относительная

Подробнее

Простейшие задачи управления динамикой популяций

Простейшие задачи управления динамикой популяций 4 февраля 9 г Практическое занятие Простейшие задачи управления динамикой популяций Задача Пусть свободное развитие популяции описывается моделью Мальтуса N N где N численность или объем биомассы популяции

Подробнее

Срок выполнения 86 численное решение задачи К занятию 2

Срок выполнения 86 численное решение задачи К занятию 2 Математические методы в экологии: Сборник задач и упражнений / Сост. Е.Е. Семенова, Е.В. Кудрявцева. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2005. 2 семестр Занятие. Модель «Хищник-жертва» Лотки-Вольтерры Тема 5.2.

Подробнее

Занятие 7. Устойчивость положений равновесия автономных систем (метод линеаризации Ляпунова, теорема Ляпунова)

Занятие 7. Устойчивость положений равновесия автономных систем (метод линеаризации Ляпунова, теорема Ляпунова) 4.04.7 Занятие 7. Устойчивость положений равновесия автономных систем (метод линеаризации Ляпунова, теорема Ляпунова) x ' ( f ( x, y), f, g C ( ). y'( g( x, y), D Поиск положений равновесия P ( x*, : f

Подробнее

Построение интегральных кривых и фазового портрета автономного уравнения

Построение интегральных кривых и фазового портрета автономного уравнения Построение интегральных кривых и фазового портрета автономного уравнения Имея график гладкой функции f(u), можно схематично построить интегральные кривые уравнения du dt = f(u). (1) Построение опирается

Подробнее

Качественный анализ динамических систем. Построение фазовых портретов ДС

Качественный анализ динамических систем. Построение фазовых портретов ДС Качественный анализ динамических систем Построение фазовых портретов ДС Динамическая система 2 Динамическая система математический объект, соответствующий реальным физическим, химическим, биологическим

Подробнее

Г.Ю.Ризниченко. Колебательные процессы в биологии

Г.Ю.Ризниченко. Колебательные процессы в биологии Г.Ю.Ризниченко Колебательные процессы в биологии Колебательные процессы присутствуют на всех уровнях организации живой материи от макромолекул Структура АТФ-азы До популяций и сообществ Кривые численности

Подробнее

Занятие 9. Предельные циклы

Занятие 9. Предельные циклы 8.04.07 Занятие 9. Предельные циклы На фазовой плоскости периодическим решениям автономной системы f ( ( g( соответствуют замкнутые траектории циклы. Замкнутая изолированная траектория называется предельным

Подробнее

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt Семинар 4 Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в

Подробнее

Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ

Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 5. Понятие устойчивости решения 1. Предварительные замечания

Подробнее

Занятие в компьютерном классе. Колебательные системы. Локальная модель брюсселятора. Построение фазовых портретов при разных значениях параметров.

Занятие в компьютерном классе. Колебательные системы. Локальная модель брюсселятора. Построение фазовых портретов при разных значениях параметров. СЕМИНАР 9 Занятие в компьютерном классе. Колебательные системы. Локальная модель брюсселятора. Построение фазовых портретов при разных значениях параметров. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ Для биологических систем

Подробнее

Особые точки в системах второго и третьего порядков. Критерии устойчивости стационарных состояний линейных и нелинейных систем.

Особые точки в системах второго и третьего порядков. Критерии устойчивости стационарных состояний линейных и нелинейных систем. Особые точки в системах второго и третьего порядков. Критерии устойчивости стационарных состояний линейных и нелинейных систем. План ответа Определение особой точки типа центр. Определение особой точки

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет

Подробнее

Python + Numpy + Matplotlib В интернете

Python + Numpy + Matplotlib В интернете hps://rpl.i/rpls/porlevrgrntrial Phon + Nump + Maplolib В интернете Линейная неконсервативная система с одной степенью свободы. Фазовый портрет линейной неконсервативной системы L d U d L q Пример СК В

Подробнее

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ «ХИЩНИК-ЖЕРТВА» Существование и устойчивость положений равновесия

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ «ХИЩНИК-ЖЕРТВА» Существование и устойчивость положений равновесия ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ «ХИЩНИК-ЖЕРТВА» Существование и устойчивость положений равновесия Математическая модель t,,,... -X( t)-y( t) X( t ) A X( t) e, X( t)-y( t) Y( t ) BY( t) e, () X(t) численность «жертвы»

Подробнее

Дополнительные главы высшей математики ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ по дисциплине «Дополнительные главы высшей математики»

Дополнительные главы высшей математики ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ по дисциплине «Дополнительные главы высшей математики» ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ по дисциплине «Дополнительные главы высшей математики» Экзаменационный билет будет включать три вопроса: детальный вопрос; общий вопрос; задача. Часть 1 экзаменационного билета

Подробнее

Рис. 1: Кривая равновесий.

Рис. 1: Кривая равновесий. Понятие о бифуркации. Бифуркации положений равновесия. Дифференциальные уравнения динамических систем часто зависят не только от фазовых переменных, но и параметров, т.е. имеют следующую структуру: ẋ =

Подробнее

Замкнутая трехуровневая модель системы с обратной связью Рассмотрим динамику компонентов X 1. системы, которая представлена схемой (рис.

Замкнутая трехуровневая модель системы с обратной связью Рассмотрим динамику компонентов X 1. системы, которая представлена схемой (рис. В.В. Киселев, Р.М. Ткаченко Замкнутая трехуровневая модель системы с обратной связью Рассмотрим динамику компонентов X 1, X 2 и X 3 системы, которая представлена схемой (рис.1): Рис. 1 Структура трехуровневой

Подробнее

Борис Павлович Белоусов (19 февраля 1893, Москва 12 июня 1970, Москва) советский химик и биофизик.

Борис Павлович Белоусов (19 февраля 1893, Москва 12 июня 1970, Москва) советский химик и биофизик. 19.11.15 Занятие 16. Базовая модель «брюсселятор» До начала 70-х гг. большинство химиков считало, что химические реакции не могут идти в колебательном режиме. Экспериментальные исследования советских ученых

Подробнее

В общем виде модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений, можно записать как:

В общем виде модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений, можно записать как: Семинар 5 Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Исследование нелинейных систем второго порядка. Модель Лотки. Модель Вольтерры. В общем виде модели, описываемые системами

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ВВЕДЕНИЕ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ВВЕДЕНИЕ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ВВЕДЕНИЕ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов высшей математики Контакты: mail@stepanovd.com

Подробнее

Лекция 13 УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДУ

Лекция 13 УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДУ стр. Лекция 3 УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДУ Если некоторое явление описывается системой ДУ dx dt i = f (t, x, x...x ), i =..nс начальными i n условиями x i (t 0 ) = x i0, i =..n, которые обычно являются

Подробнее

СЕМИНАР 8 (8.1) Здесь переменные x

СЕМИНАР 8 (8.1) Здесь переменные x СЕМИНАР 8 Триггерные системы. Конкуренция. Аналитическое исследование (определение стационарных состояний и их устойчивости) и построение фазовых и кинетических портретов. Одна из важных особенностей биологических

Подробнее

6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами.

6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами. Лекция 6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами. Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными действительными

Подробнее

Д. А. Паршин Физика открытых систем Лекция 2

Д. А. Паршин Физика открытых систем Лекция 2 1 ЛЕКЦИЯ 2 Системы нелинейных дифференциальных уравнений. Пространство состояний или фазовое пространство. Особые точки и их классификация. Условия устойчивости. Узел, фокус, седло, центр, предельный цикл.

Подробнее

Семинар 6 Мультистационарная система Триггерная система Силовой способ переключения триггера ( специфиче- ский Параметрический

Семинар 6 Мультистационарная система Триггерная система Силовой способ переключения триггера ( специфиче- ский Параметрический Семинар 6 Мультистационарные системы. Триггер. Силовое и параметрическое переключение триггера. Конкуренция. Отбор одного из двух равноправных видов. Генетический триггер Жакоба и Моно. Мультистационарная

Подробнее

Тема: Применение определенного интеграла.

Тема: Применение определенного интеграла. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Применение определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла Лектор Пахомова Е.Г. 013 г. II Плоская кривая, заданная параметрическими

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Понятие автоколебаний. Предельные циклы. Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний.

Понятие автоколебаний. Предельные циклы. Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний. Семинар 8 Понятие автоколебаний. Предельные ы. Рождение предельного а. Бифуркация Андронова Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ Рассмотрим систему уравнений общего вида: dx =

Подробнее

1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка

1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка 1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка выше первого и их сведение к системам первого порядка.

Подробнее

РАЗНОСТНОЕ (ДИСКРЕТНОЕ) УРАВНЕНИЕ. Пусть численность некоторого вида в начальный момент времени равна N, по окончании одного периода времени

РАЗНОСТНОЕ (ДИСКРЕТНОЕ) УРАВНЕНИЕ. Пусть численность некоторого вида в начальный момент времени равна N, по окончании одного периода времени Семинар 3 Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями. Решение дискретного уравнения. Неподвижная точка. Устойчивость неподвижной точки. Дискретное логистическое уравнение. Бифуркация

Подробнее

6.Бифуркации. f 1. f 2

6.Бифуркации. f 1. f 2 6.Бифуркации 1 6.Бифуркации Изучая нелинейную динамику, мы с Вами сталкивались со все более сложными численными методами исследования динамических систем. Теперь еще более усложним нашу задачу. Напомним,

Подробнее

Детерминистические модели «хищник-жертва» Демидова А.В.

Детерминистические модели «хищник-жертва» Демидова А.В. Детерминистические модели «хищник-жертва» Демидова А.В. Оглавление Введение Модель Лотки-Вольтерра Модель «хищник-жертва» Колмогорова Модификации модели Лотки-Вольтерра Конкуренция хищника за жертву Насыщение

Подробнее

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его свойства Как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, так аналогичная задача

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 5. ТОЧКИ ПОКОЯ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 5. ТОЧКИ ПОКОЯ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 5. ТОЧКИ ПОКОЯ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов высшей математики

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЕМИНАР 7 Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка. Классическая система В. Вольтерра. Аналитическое исследование (определение стационарных состояний и их устойчивости)

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл I рода

Тема: Криволинейный интеграл I рода Раздел: Математический анализ Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл I рода Лектор Янущик О.В. 01. 9. Криволинейный интеграл I рода по длине дуги 1. Задача приводящая к криволинейному интегралу

Подробнее

Лекция Фазовые потоки на прямой. 2. Бифуркации фазовых потоков на прямой.

Лекция Фазовые потоки на прямой. 2. Бифуркации фазовых потоков на прямой. Лекция 2. 1. Фазовые потоки на прямой. 2. Бифуркации фазовых потоков на прямой. 1. Фазовые потоки на прямой. 1.1 Геометрическое представление решений ОДУ В первой лекции мы говорили о системах вида: &...

Подробнее

Условия существования предельных циклов у динамической системы движения связанных объектов на эллиптической орбите

Условия существования предельных циклов у динамической системы движения связанных объектов на эллиптической орбите Труды МАИ. Выпуск 88 УДК 69.76 www.mai.ru/science/trudy/ Условия существования предельных циклов у динамической системы движения связанных объектов на эллиптической орбите Купреев С.А. Московский авиационный

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Динамические системы и методы математического моделирования. Элементы теории бифуркаций

Динамические системы и методы математического моделирования. Элементы теории бифуркаций Динамические системы и методы математического моделирования Элементы теории бифуркаций Понятие бифуркации Происхождение термина бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) связано с тем фактом, что динамическая

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл II рода

Тема: Криволинейный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Подробнее

dx dt dy dt Получим фазовые траектории, разделив второе уравнение на первое

dx dt dy dt Получим фазовые траектории, разделив второе уравнение на первое Рассмотрим систему двух автономных дифференциальных уравнений dx P( x, y), dt 1 P, Q C dy Q( x, y). dt Получим фазовые траектории, разделив второе уравнение на первое dy Q( x, y). dx P( x, y) Решения этого

Подробнее

1. Стационарные точки, линеаризация и устойчивость. 2. Предельные циклы. 3. Бифуркации фазовых потоков на плоскости.

1. Стационарные точки, линеаризация и устойчивость. 2. Предельные циклы. 3. Бифуркации фазовых потоков на плоскости. Лекция 3. Фазовые потоки на плоскости 1. Стационарные точки, линеаризация и устойчивость. 2. Предельные циклы. 3. Бифуркации фазовых потоков на плоскости. 1. Стационарные точки, линеаризация и устойчивость.

Подробнее

1. Линейные динамические системы

1. Линейные динамические системы . Линейные динамические системы. Понятие динамической системы.. Классификация ДС..3 Задание ДС в виде дифференциальных уравнений..4 Линейные системы первого порядка..5 Линейная консервативная колебательная

Подробнее

6.7. Определенный интеграл и его свойства

6.7. Определенный интеграл и его свойства 7 Определенный интеграл и его свойства Определенный интеграл Пусть функция f ( ) определена на отрезке [,] и пусть i (i,,n )- совокупность точек этого отрезка, таких, что n Назовем эту совокупность точек

Подробнее

( ) Точки покоя этой системы ДУ определяются из системы алгебраических уравнений

( ) Точки покоя этой системы ДУ определяются из системы алгебраических уравнений ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО АВТОНОМНОГО УРАВНЕНИЯ -ГО ПОРЯДКА.. Постановка задачи. Рассмотрим автономное уравнение вида = f. () Как известно, это уравнение эквивалентно следующей нормальной системе

Подробнее

Исследование качения твердых тел с острой кромкой по плоскости

Исследование качения твердых тел с острой кромкой по плоскости Исследование качения твердых тел с острой кромкой по плоскости Е.Н. Пивоварова Аннотация В работе проводится исследование динамики волчков на горизонтальной плоскости, представляющих собой шар, усеченный

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Лестница Ламерея.

Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Лестница Ламерея. СЕМИНАР 3 Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Лестница Ламерея. Модели, основанные на аппарате дифференциальных уравнений, применимы для описания

Подробнее

Лекция 6 Дискретные динамические системы на прямой

Лекция 6 Дискретные динамические системы на прямой Лекция 6 Дискретные динамические системы на прямой Уравнение вида x t+1 = F (x t ) 1. Основные понятия Часто встречаются ситуации, когда достаточно знать состояние системы в заданные дискретные моменты

Подробнее

«ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ»

«ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ» «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ» (часть. лекция 6) Понятие устойчивости. Работа А.М.Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» (проф.в.н.шамберов) Основы современной теории устойчивости были

Подробнее

Задачи с параметрами. (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные. 1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Задачи с параметрами. (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные. 1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами Задачи с параметрами (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные 1 Линейные уравнения и неравенства с параметрами Линейная функция: - уравнение прямой с угловым коэффициентом

Подробнее

5. Автономное ОДУ разрешенное относительно производной уравнение вида

5. Автономное ОДУ разрешенное относительно производной уравнение вида Базовые понятия курса Биоинформатика и математические методы в биологии Составители: А. Нестеренко, Т. Плюснина, А. Дьяконова, П. Фурсова, Г. Ризниченко Кафедра биофизики биологического факультета МГУ

Подробнее

7. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА. y), (7.1)

7. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА. y), (7.1) 7 ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА Автономной системой для функций ( t) ( t) называется система дифференциальных уравнений d d P( ) Q( ) (7) dt dt где правые части не зависят

Подробнее

КРИТИЧЕСКИЕ СЛУЧАИ УСТОЙЧИВОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТРЕХВИДОВОЙ ПОПУЛЯЦИИ

КРИТИЧЕСКИЕ СЛУЧАИ УСТОЙЧИВОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТРЕХВИДОВОЙ ПОПУЛЯЦИИ УДК 517.958:57 П. А. С а д о в с к и й КРИТИЧЕСКИЕ СЛУЧАИ УСТОЙЧИВОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТРЕХВИДОВОЙ ПОПУЛЯЦИИ Исследована устойчивость системы уравнений, описывающих математическую модель Лотки Вольтерра

Подробнее

Анализ устойчивости стационарного состояния системы двух автономных дифференциальных уравнений

Анализ устойчивости стационарного состояния системы двух автономных дифференциальных уравнений Фазовая плоскость Качественное исследование Г.Ю.Ризниченко Анализ устойчивости стационарного состояния системы двух автономных дифференциальных уравнений Траектории системы в пространстве t) Жюль Анри

Подробнее

Анализ устойчивости стационарного состояния системы двух автономных дифференциальных уравнений

Анализ устойчивости стационарного состояния системы двух автономных дифференциальных уравнений Фазовая плоскость Качественное исследование Г.Ю.Ризниченко Анализ устойчивости стационарного состояния системы двух автономных дифференциальных уравнений Траектории системы в пространстве (t) Жюль Анри

Подробнее

Тема: Двойной интеграл (определение, свойства, вычисление)

Тема: Двойной интеграл (определение, свойства, вычисление) Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Двойной интеграл определение свойства вычисление Лектор Рожкова С.В. 03 г. Глава II. Кратные криволинейные и поверхностные интегралы 7. Двойной интеграл.

Подробнее

кривой АВ и обозначим их через выберем произвольно точку М . Составим сумму вида: n =

кривой АВ и обозначим их через выберем произвольно точку М . Составим сумму вида: n = Глава.Криволинейные интегралы 1. Криволинейные интегралы первого рода по длине дуги п. 1. Понятие криволинейного интеграла первого рода Пусть в плоскости хоу задана спрямляемая кривая L без точек самопересечения

Подробнее

Лекция 5. Интегрирование

Лекция 5. Интегрирование С. А. Лавренченко www.lwreceo.r Лекция 5 Интегрирование Перед прослушиванием этой лекции рекомендуется повторить лекции 3 и 4 из модуля «Векторный анализ».. Понятие интеграла Предположим что f функция

Подробнее

МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ

МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс «Модели методы и программные средства» Основная образовательная

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 23. Плавление и кристаллизация. Диаграмма равновесия твердой, жидкой и газообразной фаз. Тройная точка.

ЛЕКЦИЯ 23. Плавление и кристаллизация. Диаграмма равновесия твердой, жидкой и газообразной фаз. Тройная точка. ЛЕКЦИЯ 23 Плавление и кристаллизация. Диаграмма равновесия твердой, жидкой и газообразной фаз. Тройная точка. Если нагревать твердое тело, то при некоторой температуре оно плавится, т.е. переходит в жидкое

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Лекция 6. Развитый хаос в гамильтоновых системах. 1. Стандартное отображение. 2. Островки устойчивости. 3. Диффузия в фазовом пространстве.

Лекция 6. Развитый хаос в гамильтоновых системах. 1. Стандартное отображение. 2. Островки устойчивости. 3. Диффузия в фазовом пространстве. Лекция 6. Развитый хаос в гамильтоновых системах 1. Стандартное отображение. 2. Островки устойчивости. 3. Диффузия в фазовом пространстве. 1. Стандартное отображение 1.1 Ротатор под действием δ-импульсов

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Лекция 5. Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения.

Лекция 5. Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения. Лекция 5 Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения. 1 Замена переменной в определённом интеграле Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке, а функция непрерывно дифференцируема

Подробнее

ГИРОСКОП В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ

ГИРОСКОП В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ Р. П. Кузьмина ГИРОСКОП В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ Москва «Университетская книга» 01 УДК 531.011 ББК.1 К89 Кузьмина Р. П. К89 Гироскоп в кардановом подвесе / Р. П. Кузьмина. Москва : Университетская книга, 01.

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Методическая разработка Составитель: проф АН Саламатин На основе: АФ Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск НИЦ "Регулярная

Подробнее

Существование гомоклинической бабочки в модели устойчивости средней фирмы

Существование гомоклинической бабочки в модели устойчивости средней фирмы Динамические системы, вып. 28 (2010), 63 68 УДК 517.9 Существование гомоклинической бабочки в модели устойчивости средней фирмы Т. А. Гурина, И. А. Дорофеев Московский авиационный институт (технический

Подробнее

Общие сведения 1. Кафедра Естественных наук 2. Направление подготовки Биология 3. Дисциплина (модуль)

Общие сведения 1. Кафедра Естественных наук 2. Направление подготовки Биология 3. Дисциплина (модуль) Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Б1.Б.5 Математическое моделирование процессов Общие сведения 1. Кафедра Естественных наук 2. Направление

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

КАСКАД УДВОЕНИЯ ПЕРИОДОВ

КАСКАД УДВОЕНИЯ ПЕРИОДОВ КАСКАД УДВОЕНИЯ ПЕРИОДОВ Начнем с анализа простых моделей поведения динамических систем. Предположим, что в процессе экологического, экономического или какого-нибудь другого роста некая величина x n популяция

Подробнее

Приложения определенного интеграла

Приложения определенного интеграла Практическое занятие Тема 5 Приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур Найти площади плоских фигур ограниченных линиями уравнения которых заданы в прямоугольных декартовых и полярных

Подробнее

Занятие 6. Непрерывная модель динамики возрастной структуры популяции. Случай стационарной среды

Занятие 6. Непрерывная модель динамики возрастной структуры популяции. Случай стационарной среды Математические методы в экологии: Сборник задач и упражнений / Сост ЕЕ Семенова ЕВ Кудрявцева Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ 25 262219 Занятие 6 Непрерывная модель динамики возрастной структуры популяции

Подробнее

dx dt Теория нелинейных колебаний

dx dt Теория нелинейных колебаний dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 1999 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 http://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.stu.neva.ru Теория нелинейных колебаний УДК

Подробнее

Анализ устойчивости стационарного состояния системы двух автономных дифференциальных уравнений

Анализ устойчивости стационарного состояния системы двух автономных дифференциальных уравнений Фазовая плоскость Качественное исследование Г.Ю.Ризниченко Анализ устойчивости стационарного состояния системы двух автономных дифференциальных уравнений Траектории системы в пространстве (,,t) Жюль Анри

Подробнее

СЕМИНАРЫ 5 И 6 Фазовой плоскостью фазовой траекторией фазового портрета метод изоклин Изоклина

СЕМИНАРЫ 5 И 6 Фазовой плоскостью фазовой траекторией фазового портрета метод изоклин Изоклина СЕМИНАРЫ 5 И 6 Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Изоклины. Построение фазовых портретов. Кинетические кривые. Знакомство с программой TRAX. Фазовой

Подробнее

2. Аттракторы динамических систем

2. Аттракторы динамических систем 2. Аттракторы динамических систем 1 2. Аттракторы динамических систем Посвятим этот раздел анализу поведения динамических систем на больших временах: ẋ i =f i x, t, μ при t. (5) Как мы уже говорили, в

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

Численность популяции не изменяется непрерывно, а представляет собой дискретную величину, что соответствует экспериментальным данным по переписи

Численность популяции не изменяется непрерывно, а представляет собой дискретную величину, что соответствует экспериментальным данным по переписи Численность популяции не изменяется непрерывно, а представляет собой дискретную величину, что соответствует экспериментальным данным по переписи реальных популяций. Если предположить, что численность N

Подробнее

. Предполагается, что эта величина аддитивна, т. е. точкой с [ a,

. Предполагается, что эта величина аддитивна, т. е. точкой с [ a, Лекция 0 Приложения определённого интеграла Приложения определённого интеграла Метод интегральной суммы Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины A (площадь фигуры,

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Лекция 2.3 Устойчивость равновесия и движения системы. При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде ( )

Лекция 2.3 Устойчивость равновесия и движения системы. При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде ( ) Лекция 3 Устойчивость равновесия и движения системы При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде d dt A Y где вектор-столбец квадратная матрица постоянных коэффициентов

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

Динамические системы и методы математического моделирования. Сценарии перехода к хаосу

Динамические системы и методы математического моделирования. Сценарии перехода к хаосу Динамические системы и методы математического моделирования Сценарии перехода к хаосу Теорема Пуанкаре-Бендиксона (N = 2) Пусть R замкнутое ограниченное подмножество плоскости, a x f(x) - непрерывно дифференцируемое

Подробнее

5. Устойчивость аттракторов

5. Устойчивость аттракторов 5. Устойчивость аттракторов 1 5. Устойчивость аттракторов В прошлом разделе мы научились находить неподвижные точки динамических систем. Также мы выяснили, что существует несколько различных типов неподвижных

Подробнее

Теория устойчивости Ляпунова.

Теория устойчивости Ляпунова. Теория устойчивости Ляпунова. Во многих задачах механики и техники бывает важно знать не конкретные значения решения при данном конкретном значении аргумента, а характер поведения решения при изменении

Подробнее