Задача 4. Построить бифуркационную диаграмму и типичные фазовые портреты для динамической системы:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Задача 4. Построить бифуркационную диаграмму и типичные фазовые портреты для динамической системы:"

Транскрипт

1 Занятие. Динамические системы с непрерывным временем на прямой. Задача 4. Построить бифуркационную диаграмму и типичные фазовые портреты для динамической системы: d dt Решение уравнения f (, 5 5, R, ( R. ), 4 на плоскости (,) определяет геометрическое место положений равновесия заданной системы при различных значениях параметра. Это прямая l : =0 и парабола l : = ( ). Нетрудно найти вершины параболы точки (, ), (, ), (0, 0), и точки пересечения параболы с осями (, ), (, ), (0, 0) (см. рис. ). Вывод. В зависимости от значения параметра уравнение () имеет следующее количество положений равновесия: < = < < 0 = 0 > 0 5 Прямая l и парабола l разбивают плоскость на четыре области, где сохраняется знак выражения f (, ). Это разбиение показано на 5 рис.. Области, в точках которых выражение f (, ) принимает положительные значения, помечены знаком «+» и выделены цветом; области, в точках которых выражение f (, ) принимает отрицательные значения, помечены знаком. Так как ' ( t) f (,, то в тех областях, где f (,, функция (t) растет, а где f (,, функция (t) убывает. На рис. стрелки указывают направление изменения. Рис. 4 ()

2 В соответствии с установленным направлением участки прямой l и параболы l с неустойчивыми особыми точками заменяем пунктирной линией. В результате получаем бифуркационную диаграмму на рис.. Рис. Рис. Вывод. Значения параметра = и = 0 являются точками бифуркации. При = имеют место локальные бифуркации типа «седло-узел», а при =0 локальная бифуркация типа «вилка». Сечения на бифуркационной диаграмме (рис. ) для различных значений параметра дают типичные фазовые портреты системы (). Задача 8. Выполнить качественное исследование уравнения, описывающего динамику численности популяции: dn N N N N,,,,, const 0 dt. (). Уменьшение размерности области параметров. Результат: с помощью линейного преобразования N, t v уравнение () приводится к виду: где A, B,. Поиск положений равновесия уравнения (). d A B, A, B. () dv

3 Рекомендация: найти неотрицательные корни уравнения f ( ), где f ( ) A B. f ),, A B, ( Результат: ) Уравнение () имеет положения равновесия:,, A,, D ( B B D если D, A B. ) Уравнение () имеет положения равновесия:, B ( A B ) A,. A B) 4AB,,,, A B B D, если (4) A B. ) Уравнение () имеет одно положение равновесия, если D, (5) A B. Условия (), (4), (5) определяют в пространстве значений параметров (A, B) области существования одного, двух и трех положений равновесия, которые обозначим соответственно G, G и G.. Анализ на устойчивость положений равновесия уравнения (). Правила: Если f (*) < 0, то положение равновесия * асимптотически устойчиво. Если f (*) > 0, то положение равновесия * неустойчиво. Если f (*) = 0 и f (*) 0, то положение равновесия * неустойчиво (точнее полуустойчиво). Пусть g ( ) A B, тогда f '( ) g( ) g'( ), f "( ) g'( ) g"( ) и ()

4 g' ( ) B, g"( ). ( ) ( ) Результат: ) Положения равновесия асимптотически устойчиво при любых допустимых значениях параметров A и B. ) Положение равновесия полуустойчиво в области G и неустойчиво в области G. Замечание. Область G : А) Так как корень уравнения B ( A B) + A = 0 g ( ) A B кратности, то g ( ) и g '( ). Следовательно, f ( )=0. Б) f ( )= g ''( ) ( ) 0. Область G : Так как и корни уравнения ( < ) B ( A B) + A = 0 g ( ) A B, то имеем: g ( ), '( ) ( ) '( ) '( ), ( ) f g g g B A B A ( ). и, B B B следовательно, f ( ) > 0. ) Положение равновесия асимптотически устойчиво. Область G: Так как и корни уравнения B ( A B) + A = 0 и <, то A B A ( ). B B B и, следовательно, f ( ) < Фазовые портреты уравнения () ) (A, B)G = 0

5 Интерпретация: при любой начальной численности популяции наблюдается ее вырождение ((t) при t +. ) (A, B)G Интерпретация: если начальная численность меньше, то наблюдается вырождение популяции, если начальная численность больше, то наблюдается стабилизация численности на равновесном уровне. ) (A, B)G = 0 = 0 Интерпретация: если начальная численность меньше, то наблюдается вырождение популяции, если начальная численность больше, то наблюдается стабилизация численности на равновесном уровне. Домашнее задание В первой четверти плоскости (A,B) построить области существования одного (G ), двух (G ) и трех положений равновесия (G ). Построение областей существования трех положений равновесия, двух положений равновесия и одного положения равновесия (параметрический портрет уравнения ()) Результат: Уравнение параболы: ( A A B) 4AB ( A B) D D D ( A B) Три положения равновесия Два положения равновесия Одно положение равновесия B

6 Интегральные кривые уравнения (), соответствующие различным областям параметрического пространства D D D Бифуркации в ДС ()