21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами"

Транскрипт

1 По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы В предыдущем параграфе мы использовали линейный дифференциальный оператор для компактной формы записи системы дифференциальных уравнений и доказательства некоторых теорем Для дальнейшей работы нам необходимо вспомнить ряд понятий связанных с линейными операторами А именно нам понадобятся понятия собственного вектора и собственного значения оператора конечномерных пространств ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть ϕ оператор пространства L Если для некоторого ненулевого вектора L и числа имеем ϕ ( то число называется собственным значением оператора ϕ а вектор называется собственным вектором оператора ϕ относящимся к собственному значению Укажем свойства которыми обладают собственные векторы Каждый собственный вектор оператора ϕ относится к единственному собственному значению Если и собственные векторы оператора ϕ относящиеся к одному и тому же собственному значению то их линейная комбинация собственный вектор оператора ϕ относящийся к тому же собственному значению Из второго свойства следует: а каждому собственному значению соответствует бесчисленное множество собственных векторов; б если к множеству всех собственных векторов оператора ϕ относящихся к одному и тому же собственному значению присоединить нулевой вектор (нулевой вектор по определению не является собственным то получим подпространство пространства L Это подпространство называется собственным подпространством оператора ϕ и обозначается L 6

2 Собственные векторы k оператора ϕ относящиеся к различным собственным значениям k линейно независимы Из свойства следует что линейный оператор действующий в - мерном линейном пространстве L не может иметь более собственных значений Кроме того в пространстве может существовать базис хотя бы часть которого собственные векторы Процесс поиска собственных значений и собственных векторов оператора конечномерного пространства на практике сводится к решению алгебраических уравнений и систем Действительно предположим что матрица оператора ϕ в базисе X матрица-столбец координат вектора в том же базисе Тогда векторное равенство ϕ ( равносильно матричному равенству X X или ( X O ( Но матричное уравнение ( X O представляет собой матричную запись системы линейных однородных уравнений с неизвестными Так как собственные векторы ненулевые то система ( должна иметь нетривиальные решения Это будет иметь место если rag( или что то же t( Матрица называется характеристической матрицей оператора ϕ (матрицы а ее определитель t( являющийся многочленом относительно характеристическим многочленом оператора ϕ (матрицы Найдя корни характеристического многочлена мы определим собственные значения Подставив конкретное собственное значение в ( и решив получившуюся систему мы найдем относящиеся к нему собственные векторы ПРИМЕР Найти собственные векторы и собственные значения оператора имеющего в некотором базисе матрицу РЕШЕНИЕ Запишем характеристическую матрицу и найдем характеристический многочлен:

3 8 9 ( ( Корни характеристического многочлена (собственные значения: 6 Для каждого из найденных собственных значений запишем систему линейных однородных уравнений O X ( и найдем ее фундаментальную систему решений Это будут координаты базисных векторов собственного подпространства L а Для 6 имеем: X 6 ( O Ранг матрицы системы равен в качестве базисного минора можно выбрать например минор 8 Тогда переменные будут зависимыми а свободной Отбрасываем третье уравнение системы и находим общее решение: ; 8 ; 8 8 Δ 9 8 Δ 9 Δ ; Δ Δ Δ Δ 8

4 Фундаментальная система решений состоит из одного решения Чтобы ее записать придадим свободной переменной любое отличное от нуля значение Например полагаем Тогда из общего решения находим Итак получили: X решение фундаментальной системы Следовательно базисом собственного подпространства L 6 является вектор c {;;} б Для имеем: L 6 { c R} ( X O 9 9 Матрица системы имеет три пропорциональные строки и следовательно ее ранг равен Выбирая в качестве зависимой переменной получаем что ее общее решение имеет вид: Находим фундаментальную систему решений: ; Итак получили: X X решения фундаментальной системы Следовательно базисом собственного подпространства L являются векторы c { ;;} и c { ;;} L { c R} c 9

5 В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего своей матрицей в некотором базисе Использование такой терминологии удобно в задачах в которых на каком-то этапе решения возникает система линейных однородных уравнений ( X O В этом случае любое решение системы ( X O обычно называют собственным вектором матрицы а ее фундаментальную систему решений линейно независимыми собственными векторами матрицы Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Метод Эйлера Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений вида aj j b ( ( ( j где коэффициенты a j постоянные Такие системы называют системами дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и именно они имеют наибольшее практическое применение Систему ( можно решить методом исключения При этом получится линейное уравнение порядка с постоянными коэффициентами Мы умеем интегрировать такие дифференциальные уравнения Проблема лишь в том что процесс получения дифференциального уравнения порядка довольно трудоемкий и требует аккуратности Другой способ найти общее решение соответствующей однородной системы а затем найти общее решение неоднородной системы методом вариации постоянных Этот путь как правило менее трудоемкий так как оказалось что фундаментальная система решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами связана с собственными векторами ее матрицы Именно установление этой связи и является целью нашего дальнейшего изложения Нахождение фундаментальной системы решений с использованием собственных векторов матрицы называется методом Эйлера Итак рассмотрим линейную однородную систему с постоянными коэффициентами: aj j ( ( j Вид уравнений системы ( наводит на мысль что решения следует искать прежде всего среди таких функций производные которых «похожи» на сами функции Среди элементарных функций таким свойст-

6 вом обладает показательная функция Поэтому частные решения будем искать в виде ( где неизвестные действительные числа которые нужно выбрать так чтобы функции ( удовлетворяли системе ( Запишем систему ( в матричном виде: ( где a a a a a a ( aj a a a По предположению где Подставим и в ( и получим ( или O ( O (6 Матричное уравнение (6 представляет собой матричную запись системы линейных однородных уравнений с неизвестными Чтобы такая система имела нетривиальные решения необходимо чтобы t( Но это означает что должно является действительным характеристическим корнем (т е собственным значением матрицы а ее собственным вектором относящимся к Матрица имеет характеристических корней но среди них могут быть комплексные и кратные Рассмотрим ситуации которые в связи с этим могут возникнуть

7 I Характеристические корни матрицы действительны и различны В этом случае для каждого характеристического корня ( найдем собственный вектор ( j и запишем решения : Рассмотрим определитель Вронского этих решений Имеем: ] [ W Действительно так как все собственные векторы относятся к различным собственным значениям то они линейно независимы т е O только при условии что Это означает что система имеет единственное (тривиальное решение и следовательно ее определитель Так как ] [ W то решения линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений Общее решение системы в этом случае имеет вид или подробнее

8 ПРИМЕР Найти общее решение системы: РЕШЕНИЕ Данная система линейная однородная с постоянными коэффициентами Следовательно ее общее решение может быть найдено методом Эйлера Матрица системы: Запишем ее характеристическую матрицу и найдем характеристический многочлен: Найдем характеристические корни: Характеристические корни являются собственными значениями матрицы Найдем ее собственные векторы относящиеся к каждому из собственных значений а Для имеем: X ( O или общее решение системы Фундаментальная система решений состоит из одного решения Полагаем и находим это решение:

9 Итак получили что собственный вектор матрицы относящийся к собственному значению Следовательно решение системы дифференциальных уравнений: б Для имеем: X ( O или общее решение системы Фундаментальная система решений состоит из одного решения Полагаем и находим это решение: Так как собственный вектор матрицы относящийся к собственному значению то решение системы дифференциальных уравнений: Найденные таким образом решения и образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид или подробнее II Характеристические корни матрицы различны но среди них есть комплексные Так как характеристический многочлен матрицы имеет действительные коэффициенты то комплексные корни будут появляться сопряженными парами Пусть например характеристическими корнями являются числа

10 Рассмотрим две системы линейных однородных уравнений с неизвестными: ( X O и ( X O В алгебре доказано что если для них выбрать одни и те же переменные свободными и придать им сопряженные значения то для зависимых переменных тоже получаться сопряженные значения Пусть решение системы X O Тогда ( j ( j ( решение системы X O Рассмотрим матрицыстолбцы Z Z ( ( ( (cos s (cos s В силу выбора и эти матрицы-столбцы Z и Z будут удовлетворять матричному уравнению Полагаем далее ( Z ( Z Z Z Непосредственной проверкой легко убедиться что и состоят из действительных функций и тоже удовлетворяют матричному уравнению Более того можно доказать что и линейно независимы и следовательно могут быть включены в фундаментальную систему решений Замечание На практике матрицу-столбец Z не записывают так как Z Действительно Z Z (cos s (cos s (cos s Z Z Z R Z ( Z Z ImZ Следовательно ( ПРИМЕР Найти общее решение системы

11 РЕШЕНИЕ Так как данная система линейная однородная с постоянными коэффициентами то ее общее решение может быть найдено методом Эйлера Матрица системы: Запишем ее характеристическую матрицу и найдем характеристический многочлен: ] [( ( Найдем характеристические корни: ] [( ( ± Действительный корень является собственным значением матрицы Найдем собственный вектор матрицы относящийся к этому собственному значению Имеем: X ( O или Ранг матрицы системы равен в качестве базисного минора можно выбрать например минор Тогда переменные будут зависимыми а свободной Общее решение при этом будет иметь вид: Фундаментальная система решений состоит из одного решения Полагаем и находим его: 6

12 Итак получили что собственный вектор матрицы относящийся к собственному значению Следовательно решение системы дифференциальных уравнений: Возьмем один из комплексных корней например и найдем фундаментальную систему решений системы O X ( Имеем: X ( O ( ( ( или Ранг матрицы системы равен в качестве базисного минора можно выбрать например минор Тогда переменные будут зависимыми а свободной Общее решение при этом будет иметь вид: Фундаментальная система решений состоит из одного решения Полагаем и находим его: Тогда s (cos ( Z s s cos cos cos s s cos s cos cos s Z Откуда находим

13 s cos R Z cos ImZ cos s s Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид s cos cos s cos s или подробнее s cos cos s cos s III Характеристические корни матрицы действительны но среди них есть кратные Пусть действительный характеристический корень матрицы кратности l r rag( Возможны два случая r l В этом случае фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений ( X O состоит из l решений Следовательно существуют l линейно независимых собственных векторов l матрицы относящихся к собственному значению Тогда решения системы дифференциальных уравнений l l линейно независимы и входят в фундаментальную систему решений этой системы r l (точнее r < l случай r > l вообще невозможен из алгебраических соображений Тогда фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений ( X O состоит из k < l решений С их помощью мы сможем получить k линейно независимых решений системы дифференциальных уравнений В такой ситуации существует два возможных способа найти все решения 8

14 Первый способ искать l решений вида l a a a l l a a a l l a a a l где коэффициенты многочленов a находят подставляя в исходную систему j ПРИМЕР Найти общее решение системы РЕШЕНИЕ Так как система линейная однородная с постоянными коэффициентами то ее общее решение может быть найдено методом Эйлера Матрица системы: Запишем ее характеристическую матрицу и найдем характеристический многочлен: Найдем характеристические корни: Итак имеем характеристический корень кратности l При этом r rag( (т к Следовательно r и r < l Будем искать решения системы в виде a b c т е полагаем ( a b ( c Тогда ( a b b ( c Подставим в исходную систему и получим: (a b b (c ( a b c ( a b c 9

15 или после сокращения на : a b b a b c c a b c ; ( a b c ( b ( a c ( b Приравнивая коэффициенты при равных степенях получим: a b c a c b b Или после преобразований: a b c b Ранг матрицы системы равен в качестве базисного минора можно выбрать например минор Тогда переменные a b будут зависимыми c и свободными Общее решение при этом будет иметь вид: a c b Находим фундаментальную систему решений: c a b ; c a b Первое из решений фундаментальной системы ( a b c дает для системы дифференциальных уравнений решение второе решение из фундаментальной системы ( a b c дает решение Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид: 6

16 Как показывает рассмотренный пример чтобы найти решения для системы дифференциальных уравнений второго порядка нам пришлось решать алгебраическую систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными А если порядок исходной системы будет то алгебраическая система будет содержать в лучшем случае шесть уравнений и шесть неизвестных (а в худшем девять уравнений и неизвестных И хотя мы в каждом случае точно знаем количество свободных переменных (их количество совпадает с кратностью корня задача получается трудоемкая Второй способ решения найти k линейно независимых решений системы дифференциальных уравнений а недостающие l k решений искать в виде k ( k k k k k k k k k k k и тд Здесь j числовые матрицы-столбцы определяемые так чтобы были решениями системы дифференциальных уравнений На первый взгляд кажется что этот способ такой же трудоемкий как и предыдущий Но на самом деле это не так Рассмотрим его применительно к системам дифференциальных уравнений -го порядка т е к системам вида ( где ( a j матрица третьего порядка a j R Число характеристических корней матрицы совпадает с ее порядком следовательно если матрица имеет кратный характеристический корень то его кратность l равна двум или трем Рассмотрим каждый из этих случаев а Пусть l r В этом случае матрица имеет один линейно независимый собственный вектор относящийся к собственному значению и следовательно решение системы ( Еще одно решение системы дифференциальных уравнений будем искать в виде ( ( Тогда 6

17 и подставляя и в ( получаем: ( ( После преобразований будем иметь: Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях находим: O или ( O (8 ( Первое уравнение системы (8 означает что собственный вектор матрицы относящийся к собственному значению и следовательно можем полагать Тогда второе уравнение системы (8 перепишется в виде: ( т е в качестве можно взять любое решение системы линейных уравнений ( X Таким образом если l и r то рассматриваемая система ( имеет решения и (9 ( где собственный вектор матрицы относящийся к собственному значению ; любое решение системы линейных уравнений ( X Найденные таким образом решения и входят в фундаментальную систему решений так как они линейно независимы Действительно рассматривая O получаем ( O O O По определению собственного вектора O Тогда из этой системы находим А это означает что и линейно независимы Замечание При получении формул (9 нигде не использовался тот факт что система дифференциальных уравнений третьего порядка Следовательно они останутся справедливыми и для линейной однородной системы порядка 6

18 ПРИМЕР Найти общее решение системы РЕШЕНИЕ Так как система линейная однородная с постоянными коэффициентами то ее общее решение может быть найдено методом Эйлера Матрица системы: Ее характеристическая матрица: Тогда Итак имеем характеристический корень кратности r rag( (т к Следовательно l При этом r и для нахождения решений можно воспользоваться формулами (9 Найдем собственный вектор матрицы относящийся к собственному значению Имеем: ( X O или общее решение системы Фундаментальная система решений состоит из одного решения Полагаем и находим это решение: Итак получили что собственный вектор матрицы относящийся к собственному значению Следовательно решение системы дифференциальных уравнений: 6

19 Второе решение системы дифференциальных уравнений найдем в виде ( где любое решение системы линейных уравнений ( X Имеем: ( X или общее решение системы Полагаем и находим частное решение: Подставляем и в и получаем: Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему и следовательно общее решение системы имеет вид: б Пусть l r В этом случае матрица имеет один линейно независимый собственный вектор относящийся к собственному значению и следовательно решение системы ( Необходимо найти еще два решения Второе решение системы дифференциальных уравнений будем искать в виде ( Условия которым при этом будут удовлетворять и были нами уже получены ранее А именно будет собственным вектором матрицы относящимся к собственному значению и следовательно можно считать ; любое решение системы линейных уравнений ( X Третье решение системы запишем в виде 6

20 Тогда и подставляя и в ( получаем: После преобразований будем иметь: ( ( Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях находим: ; O ( O ( ( ( Первое уравнение системы ( означает что собственный вектор матрицы относящийся к собственному значению и следовательно можем полагать Тогда второе уравнение системы ( перепишется в виде: ( т е в качестве можно взять любое решение системы линейных уравнений ( X Так как тоже является решением этой системы то можем полагать С учетом этого третье уравнение системы ( перепишется в виде: ( т е в качестве можно взять любое решение системы линейных уравнений ( X ; 6

21 Таким образом если l и r то рассматриваемая система ( имеет решения ( ( где собственный вектор матрицы относящийся к собственному значению ; любое решение системы линейных уравнений ( X ; любое решение системы линейных уравнений ( X При этом легко доказать что найденные таким образом решения будут линейно независимыми Замечание При получении формул ( нигде не использовался тот факт что система дифференциальных уравнений третьего порядка Следовательно они останутся справедливыми и для линейной однородной системы порядка ПРИМЕР 6 Найти общее решение системы 6 8 РЕШЕНИЕ Система является линейной однородной с постоянными коэффициентами Следовательно ее общее решение может быть найдено методом Эйлера Матрица системы: 6 8 Ее характеристическая матрица: 6 8 Тогда ( Итак имеем характеристический корень кратности l При этом 66

22 8 6 ( rag r Следовательно r и для нахождения решений можно воспользоваться формулами ( Найдем собственный вектор матрицы относящийся к собственному значению Имеем: X ( O или Как уже указывали выше ранг матрицы системы равен и в качестве базисного минора можно выбрать например минор Тогда переменные будут зависимыми а свободной Отбрасываем третье уравнение системы и находим общее решение: ; ; общее решение Фундаментальная система решений состоит из одного решения Полагаем и находим это решение: Итак получили что собственный вектор матрицы относящийся к собственному значению Следовательно решение системы дифференциальных уравнений: 6

23 Второе решение системы дифференциальных уравнений будем искать в виде ( где любое решение системы линейных уравнений Имеем: X ( X ( или Выбирая переменные зависимыми а свободной получаем общее решение Полагаем и находим частное решение: Подставляем и в и получаем: Третье решение системы дифференциальных уравнений найдем в виде где любое решение системы линейных уравнений X ( Имеем: X ( или Выбирая переменные зависимыми а свободной получаем общее решение 68

24 Полагаем и находим частное решение: Подставляем и в и получаем: Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему и следовательно общее решение системы имеет вид: или более подробно ( ( ( ( в Пусть l r В этом случае матрица имеет два линейно независимых собственных вектора и относящихся к собственному значению и следовательно решения системы ( Необходимо найти еще одно решение Третье решение системы дифференциальных уравнений будем искать в виде ( 69

25 Условия которым при этом будут удовлетворять и нами получены ранее А именно будет собственным вектором матрицы относящимся к собственному значению ; любое решение системы линейных уравнений ( X В нашем случае размерность собственного подпространства матрицы для собственного значения равна двум а в качестве его базиса выбраны и Следовательно где некоторые числа одновременно не равные нулю которые следует выбрать так чтобы система линейных уравнений ( X была совместна Замечание Если то O и следовательно не будет собственным вектором Таким образом если l и r то рассматриваемая система ( имеет решения ( ( где линейно независимые собственные векторы матрицы относящиеся к собственному значению ; числа одновременно не равные нулю которые выбираются так чтобы система линейных уравнений ( X была совместна; любое решение системы уравнений ( X При этом легко доказать что найденные таким образом решения будут линейно независимыми Замечание Формулы ( останутся справедливыми и для линейной однородной системы порядка так как при их получении не использовался тот факт что система дифференциальных уравнений третьего порядка ПРИМЕР Найти общее решение системы РЕШЕНИЕ Так как система линейная однородная с постоянными коэффициентами то ее общее решение может быть найдено методом Эйлера

26 Матрица системы: Ее характеристическая матрица: Тогда ( ( ( Итак имеем характеристический корень кратности При этом l ( rag r Следовательно r и для нахождения решений можно воспользоваться формулами ( Найдем собственные векторы матрицы относящиеся к собственному значению Имеем: X ( O или Выбрав в качестве зависимой переменной а свободными получаем общее решение: Находим фундаментальную систему решений: ;

27 Итак получили что линейно независимые собственные векторы матрицы относящиеся к собственному значению Следовательно решения системы дифференциальных уравнений: Третье решение системы уравнений найдем в виде ( где числа одновременно не равные нулю которые выбираются так чтобы система линейных уравнений X ( была совместна; любое решение системы уравнений X ( Исследуем на совместность систему линейных уравнений X ( Имеем: X ( ; или Система будет совместна при и R Пусть и Тогда ( и система для нахождения имеет вид Выбрав в качестве зависимой переменной а свободными получаем общее решение: Полагаем и находим частное решение:

28 Подставляем и в и получаем: Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему и следовательно общее решение системы имеет вид: или более подробно ( ПРИМЕР 8 Найти общее решение системы где РЕШЕНИЕ Так как система линейная однородная с постоянными коэффициентами то ее общее решение может быть найдено методом Эйлера Матрица системы: Ее характеристическая матрица: Тогда (

29 Итак имеем характеристический корень кратности При этом l ( rag r Следовательно r и для нахождения решений можно воспользоваться формулами ( Найдем собственный вектор матрицы относящийся к собственному значению Имеем: X ( O или Как уже указывали выше ранг матрицы системы равен и в качестве базисного минора можно выбрать например минор Тогда переменная будет зависимой а свободными Отбрасываем первое и третье уравнение системы и находим общее решение: общее решение Фундаментальная система решений состоит из двух решений Полагая и находим их: Итак получили что и собственные векторы матрицы относящиеся к собственному значению Следовательно решение системы дифференциальных уравнений: и

30 Третье решение системы уравнений найдем в виде ( где числа одновременно не равные нулю которые выбираются так чтобы система линейных уравнений X ( была совместна; любое решение системы уравнений X ( Исследуем на совместность систему линейных уравнений X ( Имеем: X ( ; Умножим вторую строку на и и прибавим к первой и третьей строке соответственно В результате получим систему линейных уравнений: Система будет совместна при где любое действительное число Пусть Тогда и система для нахождения имеет вид { Выбрав в качестве зависимой переменной а свободными получаем общее решение:

31 Полагаем и находим частное решение: Подставляем и в и получаем: Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему и следовательно общее решение системы имеет вид: или более подробно ( Итак мы рассмотрели метод Эйлера в трех случаях: характеристические корни матрицы действительны и различны; характеристические корни матрицы различны но среди них есть комплексные; характеристические корни матрицы действительны но среди них есть кратные Не рассмотренным остался случай когда среди характеристических корней матрицы есть кратные комплексные корни В этой ситуации алгебраические трудности метода Эйлера возрастают настолько что лучше использовать другие методы интегрирования 6


X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E)

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E) В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего своей матрицей в некотором базисе

Подробнее

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая.

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая. sin cos R Z cos ImZ cos sin sin Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид или подробнее sin cos cos sin cos cos cos sin sin

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Лектор Пахомова ЕГ 0 г 4 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

«Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке, ) является линейным оператором.

«Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке, ) является линейным оператором. «Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке ( x 1, x2, x, x ) строку ( x1 2x2 x x, x1 x2 x, x1 2x2 x 2x,, x x 2x ) является линейным оператором.

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия Нормальной линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами порядка n называется система вида n dk akj j k n d j () где a cons kj Вводя

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекция 4 Однородные системы

Подробнее

Тема: Линейные операторы

Тема: Линейные операторы Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Линейные операторы Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1. Определение линейного оператора Пусть L и V линейные пространства над F (где F

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

Теория систем линейных уравнений

Теория систем линейных уравнений Глава Теория систем линейных уравнений Ранг матрицы Пусть A F m n Рассмотрим столбцы a,,a n матрицы A = (a,,a n ) как векторы пространства F m, а строки ã,,ã m как векторы пространства F n Базу (соответственно

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А.

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А. Лекция Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Однородная система линейных алгебраических уравнений Пусть дана однородная система линейных уравнений: или в матричной форме: m m n n A

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль Матричная алгебра Векторная алгебра Текст (самостоятельное изучение) Аннотация Однородные СЛАУ их совместность Критерий существования ненулевого решения однородной СЛАУ его

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x Лекция V V Системы линейных уравнений a x +a ++a n b a x +a ++a n b a m x +a m ++a mn b m () Запишем систему m линейных уравнений с n неизвестными в несколько необычном виде: a a a m x + a a a m ++ a n

Подробнее

Собственные числа и собственные векторы

Собственные числа и собственные векторы Собственные числа и собственные векторы 1 Для понимания этой темы нужно знать тему «Ядро и образ линейного оператора» и уметь вычислять определители Значок будет указывать на утверждения, требующие доказательств

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

^A на плоскости, и { } 1

^A на плоскости, и { } 1 Линейные операторы в конечномерных пространствах Будем для простоты рассматривать линейные операторы в линейном пространстве, образованном множеством векторов на плоскости (пространство двух измерений

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы. ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ Ранг матрицы Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы Указать базисные строки и базисные столбцы 0 0 а) ; б) 0 0 ; в) 0 0 ; г) 0 0 0 ; 0 0 0 д) 0 0 ; е) 3 3 ; ж) 0 0

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Системы однородных линейных уравнений

Системы однородных линейных уравнений Системы однородных линейных уравнений А И Буфетов, Н Б Гончарук, Ю С Ильяшенко 10 февраля 2015 г В этом параграфе мы займёмся самым простым типом многомерных дифференциальных уравнений линейными уравнениями

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант 4 Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва ОВ

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1)

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1) ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «Линейная алгебра, системы ДУ с устойчивостью» 2 курс, 2 семестр Лекторы: Мельников Ю.Б., Мельникова Н.В. Оглавление 1. Системы линейных дифференциальных уравнений 4 1.1. Определения................................

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Аннотация Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства.

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Как изменится произведение B матриц и B если: а переставить -ю и j -ю строки матрицы? б переставить -й и j -й столбцы матрицы B? в к -й строке матрицы прибавить ее j -ю строку

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Домашнее Задание 5. Дмитрий Сорокин. 19 Апреля 2012

Домашнее Задание 5. Дмитрий Сорокин. 19 Апреля 2012 Домашнее Задание Дмитрий Сорокин 9 Апреля 22 Задача Рассмотрим подпространство L R 7, являющееся линейной оболочкой векторов v (3, 3,,, 2,, ) v 2 (3, 2, 3, 3, 2,, 2) v 3 ( 3,,, 6, 2, 2, ) v (9,, 3,, 6,,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Ax = y. A(x 1 x 2 ) = 0, x 1 x 2 Ker(A).

Ax = y. A(x 1 x 2 ) = 0, x 1 x 2 Ker(A). ГЛАВА 10. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 1. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ Одна из основных задач линейной алгебры задача решения линейного уравнения Ax = y. Здесь A : X n Y m есть линейный оператор, y заданный

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

Контрольная по алгебре с решением

Контрольная по алгебре с решением Контрольная по алгебре с решением Линейная алгебра 1-10 Каждый вариант этого раздела содержит четыре пункта, задания к которым соответствуют номеру пункта 1 Вычислить определитель 4-го порядка двумя способами:

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.4

Линейная алгебра. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений:

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений: . ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Ранее мы охарактеризовали подпространство конечномерного пространства как линейную оболочку. Но возможны и другие истолкования подпространства. Пусть, e, e2, K, en какой-либо

Подробнее

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1, 2,..., n, и

Подробнее