ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Общетеоретических дисциплин» И П ЕГОРОВА С М БОГДАНОВА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие Самара Самарский государственный технический университет 0

2 Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ УДК 579:579:579 Егорова ИП, Богданова СМ Высшая математика Обыкновенные дифференциальные уравнения: учеб пособие / ИП Егорова, СМ Богданова Самара: Самар гос техн ун-т, 0 0 с: ил Учебное пособие «Высшая математика Обыкновенные дифференциальные уравнения» представляет собой учебное пособие по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» для выполнения типового расчета по «Математике» студентами технических специальностей вуза Данное пособие содержит общие теоретические сведения о дифференциальных уравнениях и методы интегрирования отдельных типов уравнений первого и высших порядков, а также систем дифференциальных уравнений Изложение сопровождается многочисленными обстоятельно разобранными примерами Уделено внимание задачам из механики, физики и электротехники, требующих составления и решения дифференциальных уравнений УДК 579:579:579 Р е ц е н з е н т ы : канд физ-мат наук, доцент ВБ Кислинский, канд физ-мат наук, доцент АП Ч у р и к о в И П Егорова, С М Богданова, 0 Самарский государственный технический университет, 0

3 ПРЕДИСЛОВИЕ Материал учебного пособия изложен в соответствии с учебной программой по дисциплине «Математика» и содержит необходимые теоретические и практические сведения, а также методы решения задач индивидуального домашнего задания (ИДЗ) по разделу «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Основные вопросы указанного раздела изложены достаточно полно, особое место отводится решению линейных дифференциальных уравнений и систем, а также их применению в механике и теории электрических цепей Задачи ИДЗ данных методических указаний частично соответствуют учебному пособию ЛАКузнецова «Сборник заданий по высшей математике Типовые расчеты» издательства «Лань», 005г Сборник задач «Высшая математика Обыкновенные дифференциальные уравнения» предназначены для студентов направлений бакалавриата дневной, вечерней и заочной форм обучения

4 ВВЕДЕНИЕ Активная самостоятельная работа студентов залог успешного овладения изучаемым учебным материалом Одной из форм активизации учебного процесса по математике служит система типовых расчетов (ТР) или индивидуальных домашних заданий (ИДЗ) Применение системы ТР рекомендовано действующей программой по математике для направлений бакалавриата Требования к выполнению ТР: Задание получает индивидуально каждый студент Номер варианта студента соответствует его порядковому номеру в журнале преподавателя Типовые задания выполняются на листах формата А, сложенных в прозрачный файл и папку-скоросшиватель Условия заданий переписываются полностью При решении задач делаются ссылки на используемые теоремы и формулы В конце решения записывается ответ или делается вывод Завершающим этапом является защита студентом ТР, во время защиты студент должен отвечать на теоретические вопросы и давать объяснения по решению задач Приступая к решению задач ИДЗ, необходимо повторить следующее: Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши Общее и частное решения Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к ним Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли 5 Уравнения в полных дифференциалах 6 Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом изоклин, методом Эйлера

5 7 Дифференциальные уравнения высших порядков Задача Коши Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши 8 Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка 9 Линейное однородное дифференциальное уравнение Фундаментальная система решений Структура общего решения 0 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение Структура общего решения Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Метод подбора 5

6 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Определение Уравнение F ( ; ; ') 0, () связывающее между собой независимую переменную х, искомую (неизвестную) функцию () и её производную '( ) называется дифференциальным уравнением первого порядка Если уравнение () можно записать в виде ' f ( ; ), то говорят, что оно разрешимо относительно производной Это уравнение иногда записывают в виде d f ( ; ) или более общно, P ( ; ) Q( ; ) d 0 дифференциальная форма Определение Решением (или интегралом) дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция ϕ(), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество График функции ϕ() в этом случае называется интегральной кривой Процесс нахождения решений данного дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения Задача отыскания решения дифференциального уравнения первого порядка (), удовлетворяющего заданному начальному условию ( 0) 0, называется задачей Коши Геометрически это равносильно следующему: требуется найти интегральную кривую уравнения (), проходящую 6

7 через точку M ; ) 0( 0 0 Определение Общим решением уравнения () называется такая функция ϕ( ; C), () где C произвольная постоянная, что: ) при любом конкретном C она является решением этого уравнения; ) для любого допустимого начального условия ( 0) 0 найдется такое значение постоянной C C0, что ϕ ( 0 ; C0) В некоторых случаях общее решение дифференциального уравнения приходится записывать в неявном виде: Φ( ; ; C) 0 Тогда соотношение Φ( ; ; C) 0 называется общим интегралом 7 0 ( 0 этого уравнения Геометрически общее решение (общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости O Определение Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция ϕ ; C ), получаемая из общего решения () при конкретном значении постоянной С С0 Частным интегралом уравнения () называется равенство Φ( ; ; C0 ) 0, получаемое из общего интеграла при фиксированном значении С Теорема (Существования и единственности решения задачи Коши) Если в уравнении ' f ( ; ) функция f ( ; ) и её частная производная f у ( ; ) непрерывны в некоторой области D плоскости O, содержащей точку M ; ), то существует и притом 0( 0 0 единственное решение () этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию ( 0) 0

8 Некоторые дифференциальные уравнения могут иметь такие решения, которые не получаются из общего ни при каких значениях произвольной постоянной Эти решения не являются частными и поэтому называются особыми Особые решения могут иметь только те уравнения, для которых нарушаются условия теоремы существования и единственности решения Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Определение Уравнение вида P ) Q ( ) P ( ) Q ( ) d 0, () ( называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными Уравнение () путем деления на произведение Q ) P ( ) приводится к уравнению с разделенными переменными P ( ) Q ( ) d 0 P ( ) Q ( ) ( (коэффициент при зависит только от, а при d только от ) () Общий интеграл полученного уравнения находится почленным интегрированием: P ( ) Q ( ) d C P ( ) Q ( ) Заметим, что уравнению () могут удовлетворять решения, потерянные при делении на Q ) P ( ), те получаемые из уравнения ( Q ( ) P ( ) 0 Если эти решения не входят в найденный общий интеграл, то они являются особыми решениями уравнения () Описанный прием используется при решении задачи Пример Найти общий интеграл дифференциального уравнения (Ответ представить в виде ψ ( ; ) C ): 0 d d 5 8

9 Решение Сгруппируем слагаемые уравнения относительно дифференциалов, d и вынесем общие множители за скобки: d d 0 5, ( ) d 5( ) Имеем уравнение с разделяющимися переменными; разделим уравнение на ( ) 0, ( ) 0, получим равенство дифференциалов: Интегрируя, находим: d 5 d, 5 ln 5 ln ln C, ln ln ln C, ( ) ( ) 5 5 C Это общий интеграл данного дифференциального уравнения Однородные дифференциальные уравнения Определение Функция f ( ; ) называется однородной функцией n-го измерения, где n целое, если при любом λ имеет место тождество f ( λ ; λ) λ f ( ; ) В частности, функция f ( ; ) однородная нулевого измерения, если: f ( λ ; λ) f ( ; ) Определение Дифференциальное уравнение вида P ( ; ) Q( ; ) d 0, (5) n 9

10 называется однородным, если P ( ; ) и Q ( ; ) однородные функции одного и того же измерения Уравнение (5) может быть приведено к виду ' ϕ (6) Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной, те, ' ', где () новая неизвестная функция (можно также применять подстановку f ) Этим методом решается задача, данного учебного пособия Пример Найти общий интеграл дифференциального уравнения Решение Рассмотрим функцию ( ; ) ϕ Тк f ( ; ) ϕ, то f ( ; ) однородная функция нулевого измерения Тогда исходное дифференциальное уравнение однородное от- носительно и Положим ; Подставим и в исходное уравнение 5 6 ( ) ; 0

11 ( 5 ) ; 5 6 ( 6) ; 5 6 ; 6 d ( ) Получили уравнение с разделяющимися переменными Разделим переменные и проинтегрируем уравнение ( ) d ; d ; d 6 d ; arcg 6 ln ln ln C ; Возвращаясь к переменной, arcg ln ln С ; ( ) arcg lnс arcg найдём общий интеграл ln С ( ) С arcg ln 5 ; Замечание Уравнение вида a b c ' f приводится к a b c

12 однородному с помощью замен удовлетворяют системе уравнений u α ; v β, где числа α и β a α b β c 0, a α b β c 0 Используем замечание при решении задачи Пример Найти общий интеграл дифференциального уравнения Решение Исходное уравнение приводится к однородному, а затем к уравнению с разделяющимися переменными Для этого введём новые переменные u и v вместо и Положим u α, v β тогда du, и уравнение примет вид d dv, dv du dv du ( u α ) ( v β ) v ( β ) u v ( α β ) v β Выберем α и β так, чтобы удовлетворялась система уравнений β 0, β, α β 0, α Получим однородное уравнение dv v du u v dv d Введём новую переменную: v u, а значит u Тогда du du d u u ; du u u ;

13 u u d du u d du d du u u ( ) ; ; d u du Разделим переменные и проинтегрируем du d ; u du d u Разложим на простейшие дроби подынтегральную функцию первого интеграла ( ) ( ) ( ) ( ) Тогда интеграл будет иметь вид ; ( ) ( ) d d C ln ln Следовательно, решением дифференциального уравнения будет общий интеграл: ln ln ln u ln C ; ln ln u ln ( C) ; u C Возвращаясь к прежним переменным и v, получим u

14 Тк v u u v u C u, u, ; окончательно: v, v Общий интеграл ( ) C ( ) v C v u ( ) C Линейные уравнения первого порядка Уравнение Бернулли Определение Дифференциальное уравнение вида ' P( ) Q( ), (7) в котором P (), Q () непрерывные функции (в частности постоянные), называется линейным уравнением первого порядка Рассмотрим два метода интегрирования таких уравнений: метод Бернулли и метод Лагранжа Метод Бернулли Решение уравнения (7) ищется в виде произведения двух функций, те с помощью подстановки u v, где u u() и v v() неизвестные функции от Тогда ' u' v uv' Подставляя и в уравнение (7), получим: u ' v uv' P( ) uv Q( ), u ' v u( v' P( ) v) Q( ) При этом одну из этих функций, например, v (), можно выбрать произвольно (из соображений удобства), тогда вторая определяется из уравнения (7) Собственно решение, а именно нахождение двух неизвестных функций u () и v (), осуществляется разделением одного дифференциального уравнения на два: ) v ' P( ) v 0; ) u ' v Q( ) Из первого дифференциального уравнения находим v (), разделяя переменные:

15 то v P( ) dv dv v P( ) v ; P( ) ; P( ln v ) C, (ввиду свободы выбора функции v (), можно принять C 0) Далее, подставляя найденное v () во второе уравнение, получим: или du Q( ) ; v du Q P( ) ( ) ; u Q( ) C 5 P( ) Общее решение уравнения P ( ) uv ( Q P( ) ( ) C) Рассмотренным методом можно решить задачи 5 данного учебного пособия Пример Найти решение задачи Коши ; ( ) Решение Требуется решить линейное уравнение первого порядка Применим способ подстановки Положим u v, тогда ' u' v uv' и уравнение преобразуется к виду uv u v uv ; v u v u v v Потребуем, чтобы v 0

16 dv v dv Разделяя переменные, получим: ; тогда v Откуда v Подставив v в преобразованное уравнение, будем иметь du u ; ; du ; Так как u C ; u C uv, то общее решение получается в виде C C Начальное условие при позволяет найти C : C C 0 Частное решение уравнения Методом Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной) уравнение (7) интегрируется следующим образом Решают соответствующее уравнение без правой части, те P( ) 0 В этом уравнении переменные разделяются: P( ) ln ln C Таким образом, C P( ) d P( ) и Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную С в полученном решении заменяют функцией C () Решение уравнения (7) ищем в виде P( ) C( ) Находим и подставляем и в уравнение (7), которое примет вид: C ( ) P( ) Q( ), 6

17 Следовательно, Интегрируя, находим: dc Q P( ) ( ) ( ), P ( ) С( ) Q( ) C Подставляя С (), получим общее решение дифференциального уравнения P ( ) ( Q P( ) ) C) (, естественно, та же формула была получена методом Бернулли Замечание Уравнение вида ' P( ) Q( ) также является линейным, только относительно независимой переменной и неизвестной функции ( ) Замечание используем при решении задачи 5 Пример 5 Решить задачу Коши ( sin cos ) 0 d ; ( ) 0 Решение Разделим уравнение на d d sin cos 0 Это линейное дифференциальное уравнение -го порядка относи- ϕ тельно неизвестной функции ( ) Найдём способом вариации произвольной постоянной общее решение линейного уравнения Сначала находим общее решение линейного однородного уравнения 0 d Разделение переменных приводит это уравнение к виду d Откуда ln ln C ; 7

18 ln ; C ; C C C C Будем варьировать C, полагая ( ) C( ) ; при этом C ( ) C( ) ( ) d Выражения и подставим в исходное уравнение; получим d C ( ) C( )( ) C( ) sin cos 0 C ( ) cos sin ; ( ) ( cos sin ) C ; Откуда C( ) ( cos sin )d C ( ) d ( sin ) cos d Первый интеграл в правой части равенства табличный: d C Второй интеграл ( cos sin ) d вычислим с помощью формулы интегрирования по частям: ( cos sin ) d ( cos sin ) d ( cos sin ) ( sin cos ) ( cos sin ) ( sin cos ) d d ; 8

19 ( cos sin ) ( sin cos ) ( cos sin ) d ( cos sin sin cos ) Получили первоначальный интеграл Выразим его из уравнения ( cos sin ) d cos ( cos sin ) d ( sin ) d cos ( cos sin ) cos d ; C ( cos sin ) d cos С cos C C в решение однородного уравнения, Тогда ( ) Подставляя выражение ( ) придём к общему решению исходного уравнения ( cos ) C ; cos C Начальное условие 0 при позволяет найти C : Решение задачи Коши 0 cos 0 C ; C C cos Определение Уравнение вида ' P( ) Q( ), где n R, n 0; n, P (), Q () непрерывные функции, называется уравнением Бернулли Оно приводится к линейному уравнению с помощью подстановки n На практике, уравнение Бернулли можно, не сводя к линейному, проинтегрировать с помощью подстановки n u v, те методом Бернулли или применив метод вариации произвольной постоянной 9

20 Пример 6 Найти решение задачи Коши ; ( ) Решение Решением любого дифференциального уравнения Бернулли при n > 0 является функция 0 Для решения разделим обе части уравнение на Положим ; тогда d d, получим: и уравнение примет вид d ; Это линейное уравнение Решим его методом подстановки: u v ; u v uv u v uv uv ; ( ) u v u( v v) v v 0 u v dv dv ) v ; v v ) u v ; du ; du u ln lnc u ln C Получим общее решение линейного уравнения Заменим : u v lnc 0

21 ln C или ln C Найдём частное решение при начальных условиях ( ) ; ln C ; C ln C Частное решение уравнения Бернулли: ln ( ln ) 5 Уравнения в полных дифференциалах Определение Дифференциальное уравнение P ( ; ) Q( ; ) d 0 (8) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U ( ; ), те U U du ( ; ) d P( ; ) Q( ; ) d (9) Уравнение (8) с учётом (9) можно записать в виде du ( ; ) 0, поэтому его общий интеграл имеет вид U ( ; ) C Для того, чтобы уравнение (8) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие P Q (0) Функция U ( ; ) может быть найдена из системы уравнений U U P( ; ), Q( ; ), либо по формуле U ; ) P( ; ) ( Q( 0 ; ) d, () 0 0

22 где ) ; ( 0 0 некоторая фиксированная точка из области непрерывности функций ), ( ), ; ( Q P и их частных производных Применим это при решении задачи 7 Пример 7 Найти общий интеграл дифференциального уравнения ( ) 0 d d Решение Сгруппируем слагаемые уравнения относительно дифференциалов и d : ( ) ( ) 0 d Проверим, например, что дифференциальное выражение d представляет собой полный дифференциал ( ) du ;, и найдём функцию ( ) U ; В данном случае ( ) ( ) ; ; Q P ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; Q P Следовательно, условие ( ) ( ) Q P ; ; выполнено Найдём функцию ( ) U ;, удовлетворяющую уравнениям: ( ) ; U ; ( ) ; U

23 U Интегрируя первое уравнение, получим: ; ϕ ( ) ( ) ϕ( ) ln U Отсюда ( ; ) ϕ arcg Поскольку ϕ ( ) ϕ ( ) U ( ; ) ( ) ln arcg ϕ( ) ϕ ( ), то ( ) ϕ( ) C ϕ 0 Следовательно, U ( ; ) ln arcg C Перепишем исходное дифференциальное уравнение в виде: ln d arcg 0 Общий интеграл дифференциального уравнения: ln arcg C Замечание Если условие (0) не выполняется для уравнения (8), то в ряде случаев его можно свести к уравнению в полных дифференциалах умножением на некоторую функцию µ ( ; ) µ, называемую «интегрирующим множителем» Интегрирующий множитель легко находится в двух случаях: если µ µ() или µ µ() В первом случае P Q Q µ ( ), причем выражение P Q Q

24 должно зависеть только от ; во втором случае Q P () d µ P, причем подынтегральное выражение должно зависеть только от 6 Поле направлений Изоклины Дифференциальное уравнение первого порядка вида f ; () ( ) позволяет на основании лишь геометрической интерпретации найти его приближённые решения Для этого достаточно построить так называемое поле направлений, которое определяется следующим образом ϕ некоторое решение дифференциального уравне- Пусть ( ) ния () Следовательно, вспоминая геометрический смысл производной функции, можно записать ϕ f ; gα ; () α угол между положительным направле- ( ) ( ) ( ) где ( ; ) arcg( f ( ; ) ) нием оси O и касательной к неизвестной кривой ϕ( ) точке ( ; ϕ( ) ) плоскости O в каждой Тем самым, выбрав на плоскости O некоторую область D, можно «наполнить» её точками целочисленных значений ( ; ), вычислить в каждой из них упомянутый угол и изобразить касательную в виде маленькой стрелки, построив таким образом поле направлений Определение Геометрическое место точек ( ; ) D, в которых C, где C постоянная, называется изоклиной данного дифференциального уравнения В точках изоклины направление поля одинаково, те направления касательных в точках изоклины параллельны Выделение изоклин на поле направлений позволяет «увидеть» кривые, приближённо представляющие решение дифференциального уравнения (интегральные кривые)

25 Придавая параметру C близкие целочисленные значения, можно построить достаточно густую сеть изоклин, а на каждой из них нанести ряд стрелочек, наклонённых под углом α к оси O, для которых g α C, по направлениям этих стрелок провести интегральные кривые Метод изоклин, или геометрический метод решения дифференциальных уравнений, применяется в тех случаях, когда решение уравнения (общее или частное) не выражается через элементарные функции Описанный прием используется при решении задачи 8 Пример 8 Дано дифференциальное уравнение Построить поле направлений Методом изоклин построить приближённо графики интегральных кривых Построить интегральную кривую, проходящую через точку M ( ; ) Сравнить их с точными интегральными кривыми Решение f Имеем f ( ; ) ; ( ; ) Условие теоремы существования и единственности выполняются во всех точках плоскости O Через каждую точку проходит единственная интегральная кривая, и различные интегральные кривые не пересекаются Изоклинами данного уравнения служат прямые C При C 0, g α 0, будем иметь изоклину 0, во всех точках которой направление поля параллельно оси O При C, g α, получим изоклину, во всех точках o которой направление поля образует с осью O угол α 5 При C, gα, во всех точках изоклины, на- o правление поля образует с осью O угол α 5 При C ±, g α ±, изоклины имеют вид ±, во всех точках которых направление поля образует с осью O углы α o ( ± ) 6 arcg ±, и тд 5

26 Рис Поле направлений Рис Изоклины В точке M ( ; ) произвольная постоянная будет равна C 5, изоклина примет вид 5, во всех точках которой направление поля образует с осью O угол α arcg 5 79 Построим теперь интегральные кривые, которые в каждой точке касаются «поля» Точные интегральные кривые имеют вид C M ; : В точке ( ) Рис Семейство интегральных кривых 6

27 7 Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений первого порядка Рассмотрим задачу отыскания приближенного решения дифференциального уравнения первого порядка вида (): d f ( ; ) на отрезке [ a ; b] Запишем данное уравнение сначала в виде d f ( ; ), а затем в виде приближенного соотношения тк f ( ; ), d Разбивая промежуток [ a ; b] на n равных частей b a h (шагов) и обозначая n n, n,, получаем n общую формулу для вычисления любого приближенного значения, те решения, при известном значении [ a; b] : n n f ( n; n) h, n n f ( n; n) h При n имеем 0 f ( 0; 0) h, при n получим f ( ; ) h, и тд Более подробно рассмотрим особенности метода на примере задачи 9 Пример 9 На отрезке [ 0; ] с шагом h 0, методом Эйлера построить решение задачи Коши дифференциального уравнения 5 при начальных условиях ( 0) 0 Решение По приведенным выше формулам имеем: h , ( ) ( ) 0; ( 5 ) 0 ( 5 0, 0) 0, 0, 05; ( ) 0,05 ( 5 0, 0,05) 0, 0, 5 0 h 5 h По результатам вычислений составляем таблицу : ; и тд 7

28 n n n 5 ( ) h n n n Табл 5 n n аналит , 0 0,5 0,05 0,0 0, 0,05 0,85 0,085 0,08 0, 0,5,095 0, 0,7 0, 0,5,67 0,7 0,78 5 0,5 0,7,86 0,9 0,0 6 0,6 0,5,7 0,7 0,56 7 0,7 0,658,59 0,5 0, ,8 0,8,57 0,57 0,88 9 0,9 0,967,599 0,6 0,98 0,7 - -,9 Для сравнения и оценки точности метода Эйлера решим эту же задачу аналитически Запишем уравнение в виде 5, это линейное дифференциальное уравнение, которое решается заменой 5 u v (см п) Общее решение имеет вид C, а частное решение с учетом начальных условий ( 0) 0, запишется так 5 5 В таблице частное аналитическое решение пред- 9 ставлено в последней колонке - аналит Сравним значение на правом конце промежутка [ 0; ]: аналит ( ),9 с приближенным значением ( ) 0, 7 Оценим полученную точность: абс,9,7 0,0, абс 0,005 %,9 отн, абс, отн абсолютная и относительная погрешности приближенного решения, полученного методом Эйлера 8

29 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Основные понятия Определение Уравнение F,,,, () ( ) 0 связывающее между собой независимую переменную х, неизвест- и ную функцию ( ), а также её первые две производные ( ) ( ), называется дифференциальным уравнением второго порядка Если уравнение () можно записать в виде f ; ;, () ( ) то говорят, что оно разрешимо относительно второй производной Мы будем иметь дело только с такими уравнениями Определение Задача отыскания решения уравнения (), 0, удовлетворяющего заданным начальным условием ( ) 0 ( 0 ) 0, где 0, 0, 0 некоторые постоянные, называется задачей Коши Определение Общим решением уравнения () называется функция ϕ ; С; С ), зависящая от двух произвольных посто- ( янных C и C и такая, что: ) она является решением этого уравнения при любых конкретных значениях C и C ; ) при любых допустимых начальных условиях ( 0 ) 0, ( 0 ) 0 можно подобрать, такие значения постоянных 0 0 что функция ϕ( ; C C ) условиям ; 0 C и 0 C, будет удовлетворять этим начальным 0 0 Любая функция ϕ( ; C C ), получаемая из общего решения ; уравнения () при конкретных значениях постоянных C и C, называется частным решением этого уравнения 9

30 Для дифференциального уравнения второго порядка () имеет место теорема существования и единственности решения, аналогичная соответствующей теореме для уравнений первого порядка f ; ; и ее частные производные Теорема Если функция ( ) ( ; ) и f у ( ; ) f у ; ; непрерывны в некоторой области D, содержащей точку с координатами ( х у ) том единственное решение ( ) 0 ; 0; у 0, то существует и при уравнения (), удовлетворяющее начальным условиям ( 0 ) 0 ; ( 0 ) 0 Общий интеграл ( ; ; C ; C) 0 ( ; C C ) Ф или общее решение ϕ ; уравнения () представляют собой семейство кривых, зависящих от двух произвольных постоянных Замечание Аналогичные понятия и определения имеют место для дифференциальных уравнений n-го порядка, которые в общем виде записываются как ( ) n ( ; ; ; ;; ) 0 F Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка является функцией вида ϕ C ; C ;;, ( ) ; содержащей n произвольных постоянных, не зависящих от х Задача нахождения решения дифференциального уравнения n- го порядка сложнее, чем первого Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды дифференциальных уравнений высших порядков C n Дифференциальные уравнения, допускающие непосредственное интегрирование Простейшим типом дифференциального уравнения -го порядка, допускающим понижение порядка, является уравнение вида " f ( ) () Интегрированием обеих частей уравнения () оно приводится к уравнению -го порядка: у ' f ( ) F( ) C 0

31 Повторно интегрируя полученное равенство, находим общее решение исходного уравнения: ( F( ) C) C Изложенный приём используется при решении задачи 9 Пример 9 Найти решение задачи Коши " сos sin ; при ( 0 ), ( 0) Решение Интегрируя приведённое уравнение по х дважды, последовательно имеем ' ( cos sin ) sin cos C ; ( sin cos C) cos sin C C Последнее равенство представляет собой общее решение Учитывая начальные условия, имеем систему уравнений для определения произвольных постоянных: sin 0 cos0 0 C, С, cos0 sin 0 0 C 0 C, С Решая систему, имеем С ; С 0 и частное решение cos sin Замечание Если же дано уравнение n f ( ), то, проинтегрировав его последовательно n раз, найдём общее решение уравнения: n ( ) n ϕ n( ) C C Cn ( n )! ( n )! Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка Дифференциальные уравнения, не содержащие искомой функции у

32 Рассмотрим уравнение " f ( ; ) () Такие уравнения допускают понижение порядка подстановкой: новая неизвестная функция Тогда и, где ( ) уравнение () примет вид ( ) f ;, те, оно стало дифференциальным уравнением первого порядка Решая его (в зависимости от типа), найдём сначала, ( ;C ), те ( ;C ), а затем и общее решение (интеграл) ( ; C ) C Данный прием используется при решении заданий 0 Пример 0 Найти общее решение дифференциального уравнения ( ) Решение Это дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее явно искомой функции Здесь порядок уравнения понижается на единицу подстановкой, отсюда, и уравнение примет вид ( ), те получили линейное уравнение первого порядка Решим его методом подстановки u v : ) ( ) v ( ) ( u v uv ) uv, ( ) u v u( ) v v) ( ) v v 0, dv,, ( ) u v

33 dv, v dv, v ln v ln, v du, ) ( ) du, C C u uv C Получили, что ( ) Таким образом, C C Откуда общее решение Подынтегральное выражение неправильная дробь, выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель: C C С С C C Итак, ( ) arcg ( C ) arcg C Замечание Если задано уравнение вида ( k) F ( ; ; ;; ) 0, ( k ) ( n)

34 которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок можно понизить на k единиц, положив k ( ) ( ) Дифференциальные уравнения, не содержащие независимой переменной х Рассмотрим уравнение " f ( ; ' ) (5) Уравнения такого вида допускают понижение порядка подстановкой ' ( ) (формальное отсутствие аргумента х позволяет считать неизвестную функцию функцией аргумента у ), откуда: " ' ' ' ( ( )) ( ) ( ) Таким образом, уравнение (5) примет вид ' f ( ; ), которое является дифференциальным уравнением первого порядка Интегрируя его тем или иным методом в зависимости от его типа, получим общее решение ( ;C ) d Заменяя функцию ( ) на, получим ( ; C), дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения (5): d C ( ; C) Замечание Также поступаем при решении уравнения F ( ; '; ";; ) 0 Его порядок можно понизить на единицу, положив ( ) ( n), где По правилу дифференцирования сложной функции находим d d d Затем ( d ) ( d ) ( ) у у у уу и тд d Рассмотренный прием используется при решении задачи

35 Пример Найти решение задачи Коши 0 ; ( ) ; ( ) Решение Это дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее явно независимой переменной Порядок уравнения можно по-, отсюда низить подстановкой ( ) ( ) Получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: d 0, d d d d d, C Сделаем обратную подстановку C : ( ) C Это соотношение представляет собой промежуточный интеграл, первоначального уравнения Используя начальное условие ( ) найдем C : Следовательно, ( ) ( ) C C 0 Начальное условие ( ) d ± d ± d ±, ± C даёт 5

36 ( ) С ; ± C С Поэтому частное решение, удовлетворяющее заданной системе начальных условий, имеет вид:, или Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков, Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами Определение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: '' p' q 0 (6) Квадратное уравнение k pk q 0, (7) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (6); для его составления достаточно в уравнении (6) заменить ", ' и соответственно k,k и Для составления общего решения дифференциального уравнения (6) необходимо найти корни k и k соответствующего уравнения (7) и применить следующую теорему Теорема Пусть k и k - корни характеристического уравнения (7) Тогда: 6

37 ) если корни k и k действительные и различные k k p k k D q > 0, то общее решение имеет вид: C C ; ) если корни k и k действительные и равные k k p p D q 0; k k, то общее решение примет вид: k C C ; ) если корни k и k комплексные: p p D q < 0; α ; p β q > 0, то общее решение запи- α шется в виде: ( C β C sin β) k k α βi, k α βi cos Интегрирование ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами Задача нахождения общего решения ЛОДУ n-ого порядка ( n > ) с постоянными коэффициентами: ( n) ( n) ( n) p p p 0, (8) где n p i R, i, n, решается аналогично случаю уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Характеристическим для уравнения (8) является алгебраическое уравнение n-го порядка вида: n n k p k pk pnk pn 0 (9) Уравнение n-ой степени (9) имеет, как известно n-корней (в их числе могут быть и комплексные) Обозначим их соответственно k, k,, k n ) Если корни уравнения (9) действительны и различны, то общее решение уравнения (8) записывается в виде: n k k k n C Cn C 7

38 ) Все корни характеристического уравнения действительные, но среди них есть кратные Тогда каждому простому корню k соответствует одно частное k решение вида, а каждому корню k кратности m > соответствует m частных решений: k k,,,, ) Среди корней уравнения (8) есть комплексно-сопряженные корни Тогда каждой паре α ± βi простых комплексно-сопряженных корней соответствует два частных решения каждой паре α ± βi корней кратности m > соответствует m частных решений вида: k m k α cos β и α sin β, а α α cos β, sin β, α α cos β,, sin β,, m m α α cos β; sin β 5 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков 5 Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами Определение ЛНДУ второго порядка имеют вид: " p' q f ( ) (0) Уравнение " p' q 0, () левая часть, которого совпадает с левой частью ЛНДУ (0), называется соответствующим ему однородным уравнением Теорема (структура общего решения ЛНДУ) Общим решением уравнения (0) является сумма его произвольного частного решения * и общего решения 8

39 C соответствующего однородного уравнения (), те C * Поскольку общее решение ЛОДУ () легко находится (см пункт ), то для нахождения общего решения ЛНДУ (0) оста- * ется найти какое-нибудь частное решение 5 Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Для уравнений с постоянными коэффициентами (0) существует простой способ нахождения так называемый специальный вид : ) f ( ) P ( ), ) n n α f ( ) P ( ), α ) f ( ) ( P ( )cos β Q ( )sin β) n m *, если правая часть f () имеет Суть метода, называемого методом неопределённых коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f () уравнения (0) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределёнными коэффициентами, затем подставляют её в уравнение (0) и из полученного тождества находят значения коэффициентов Случай Пусть правая часть уравнения (0) имеет вид: f ( ) P ( ), где P n ( ) многочлен степени n n Уравнение (0) запишется в виде: " p' q P ( ) В этом случае частное решение * n * ищется в виде: r Q ( ), () где r число, равное кратности корня k 0 характеристического уравнения (), а n n Q ( ) A n n 0 A An многочлен степени n, записанный с неопределёнными коэффициентами A, A,, A n 9

40 Случай Пусть правая часть уравнения (0) имеет вид: n α f ( ) P ( ), где α R, P n ( ) многочлен степени n Уравнение (0) запишется в виде: В этом случае частное решение n α " p' q P ( ) где r число, равное кратности корня уравнения (), а n * r n * ищется в виде: α Q ( ), () k α характеристического Q ( ) A n n 0 A An многочлен степени n, записанный с неопределёнными коэффициентами A, A,, A Случай Пусть правая часть уравнения (0) имеет вид: α f ( ) ( P ( )cos β Q ( )sin β), n m n где P n ( ), ( )- многочлены степени n и m соответственно, α и Q m β - действительные числа Уравнение (0) запишется в виде: α " p' q ( P ( )cos β Q ( )sin β ) В этом случае частное решение нужно искать в виде: * r α ( M l n ( )cosβ N где r число, равное кратности корня l m ( )sinβ), () k α βi характеристического уравнения (), M l () и N l () многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, l наивысшая степень многочленов P n ( ) и Q m ( ) Замечание После постановки функции () в уравнение (0) приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х, в правой и левой частях уравнения Замечание После постановки функции () в уравнение (0) приравнивают многочлены, стоящие перед одноимёнными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения 0

41 Замечание Форма () сохраняется и в случаях, когда P n ( ) 0 или Q m ( ) 0 Замечание Если правая часть уравнения (0) есть сумма функций вида, или, то для нахождения следующую теорему Теорема (о наложении решений) * следует использовать Если * * и частные решения соответственно уравнений: то функция * * * " p' q f( ) " p' q f( ), - частное решение уравнения: p' q f ( ) f ( ) " Замечание 5 Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка n >, решаются аналогично уравнениям второго порядка Этим методом решаются задания,,, 5 Пример Найти общее решение дифференциального уравнения Решение Дано ЛНДУ третьего порядка с постоянными коэффициентами с особой правой частью ) Найдём решение соответствующего однородного уравнения Составляем характеристическое уравнение 5 k k 6k 0; ( k 5k 6) 0 k ; ( k )( k ) 0 Находим его корни: k 0, k, k Общее решение имеет вид C k C C ) Поскольку правая часть неоднородного уравнения представляет собой многочлен второй степени ( ) 6 5 f, то частное

42 решение * следует искать в полной форме многочлена второй степени * r ( A B C) (так как корень характеристического уравнения k 0, то r ) Итак, * A B C; * A B C ; * 6A B ; * 6A Подставим *, *, *, * в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество относительно : 6A 5 8A ( 6A B) 6( A B C) 6 5 ( B 0A) ( 6A 0B 6C) 6 5 Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и в правой части: 0 8A 6; B 0A ; 6A 0B 6C 5 Решим эту систему: A ; B 0 ; C Следовательно, имеем * ) Общее решение исходного уравнения примет вид: ;

43 * C C C Пример Найти общее решение дифференциального уравнения ( 0 ) 6 Решение Дано ЛНДУ третьего порядка с постоянными коэффициентами с особой правой частью ) Найдём решение соответствующего однородного уравнения 6 0 Составляем характеристическое уравнение: k k 6k 0; ( k k 6) 0 k ; ( k )( k ) 0 Находим его корни: k 0, k, k Общее решение имеет вид: C C k ) Определяем форму частного решения * Поскольку правая часть уравнения представляет собой произведение многочлена первой степени на показательную функцию ( ) ( ) 0, то частное решение ищем в виде: r * f ( A B) C (в данном случае α ; так как корень характеристического уравнения k, то r ) * A B Итак, ( ) Найдём производные *, *, * и подставим их в исходное уравнение ( A B) ( A B) ( A ( A B) B) ( A ( A B) B) ( A A B) * * ( A ( 8A B) A B); ;

44 ( A ( 8A B) A B) ( 8A 8A B) ( A 8B) A B * ( 8A ) Будем иметь: 6 ( 8A ( A 8B) A B) A ( 8A B) A ( A B) B 0 ( ) ( ) ( A B) Сократим на Приведя подобные члены и сравнивая неопределённые коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему: 0 8A A A 0; A 8B 8A B 6 ( A B) A B A B 6B 0; 0A 0; A A 0B ; B 0 Следовательно, частное решение примет вид * ) Окончательно, общее решение будет: * C C C Пример Найти общее решение дифференциального уравнения sin 6 Решение Дано ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами с особой правой частью ) Найдём решение соответствующего однородного уравнения 0 Составим характеристическое уравнение k k 0; ( k ) 0 Корни уравнения: k, Общее решение имеет вид: ( ) C C

45 ) Определим форму частного решения Поскольку правая часть уравнения представляет собой произведение показательной функции на тригонометрическую: f ( ) sin 6, то частное решение следует искать в виде: * r ( Acos6 Bsin 6) (в данном случае α, β 6, α i β i6; тк такого корня у характеристического уравнения нет, то r 0) * Итак, * ( Acos6 Bsin 6) * Найдём *, * и подставим их в исходное уравнение ( Acos6 Bsin 6) ( 6Asin 6 6B cos6) (( A 6B) cos6 ( B 6A) sin 6); (( A 6B) cos6 ( B 6A) sin 6) ( 6( A 6B) sin 6 6( B 6A) cos6) (( A B B 6A) cos6b ( B A A 6B) sin 6) (( A B) cos6 ( A B) sin 6B) Исходное уравнение примет вид: (( A B) cos6 ( A B) sin 6B) (( A 6B) cos6 ( B 6A) sin 6) ( Acos6 Bsin 6) sin 6 Сократим на и приведём подобные слагаемые A B A 6B A cos6 ( ( ) ) ( A B ( B 6A) B) sin 6 sin 6 Приравниваем неопределённые коэффициенты у одинаковых тригонометрических функций cos6 A B 8A B A 0; sin 6 A B 8B A B ; Частное решение 6A 0; 6B ; * 0 cos6 sin 6, те 6 A 0 B 6 5

46 * sin 6 6 ) Итак, общее решение неоднородного уравнения: * ( C C) sin 6 6 Пример 5 Найти общее решение дифференциального уравнения cos0 6 0 Решение Дано ЛНДУ третьего порядка с постоянными коэффициентами с особой правой частью ) Найдём решение соответствующего однородного уравнения 00 0 Составляем характеристическое уравнение k 00k 0; ( k 00) 0 k ; ( k 0 )( k 0) 0 k Корни характеристического уравнения: k 0, k 0, k 0 Общее решение имеет вид: 0 0 C C C ) Поскольку правая часть исходного уравнения равна сумме показательной и тригонометрической функций; те f f, ( ) ( ) ( ) f 0 где f ( ), f ( ) 00 cos0 0 ; поэтому частное решение * ищем, пользуясь принципом наложения в виде * *; * (в данном случае α 0 k 0 r ), те * * r A 0 ; тк корень характеристического уравнения 0 A r ( B cos0 C sin0) * (в данном случае α 0, β 0, α iβ 0i ; тк такого корня у характеристического уравнения нет, то r 0), те * B cos0 C sin0

47 Итак, 0 * A B cos0 C sin0 Найдём производные *, *, * и подставим в исходное уравнение * * * A A A 0 0 ( 0 ) 0Bsin0 0C cos0; ( ) 00B cos0 A A ( 0 00) 00B cos0 00C sin0; 0 0 ( 0 ( 0 00) 00) 000Bsin0 ( ) 000Bsin0 000C cos0 A Получим: ( ) 000Bsin0 000C cos0 00C sin0 000C cos ( A( 0 ) 0Bsin0 0C cos0) 0 00 cos0 Приравняем неопределённые коэффициенты при одинаковых тригонометрических и показательной функциях: 0 sin0 cos0 A ( ) 00A( 0) 000B 000B 0; 000C 000C 00 0; A 00A 0; 0 000B 0; B 0 000C 00 C 0 Таким образом, частное решение примет вид * 0 sin0 0 0 ) Следовательно, общее решение исходного уравнения будет * C C C sin

48 5 Метод вариации произвольных постоянных для определения частного решения ЛНДУ Частное решение ЛНДУ (0) * можно найти, если известно общее решение, соответствующего ЛОДУ (), методом вариации произвольных постоянных, который заключается в следующем Пусть C ) C ( ) - общее решение уравнения () ( Заменим в общем решении постоянные C и C неизвестными функциями C ( ) и C ( ), и подберём их так, чтобы функция * C ) ( ) C ( ) ( ) (5) ( была решением уравнения (0) Функции C ( ) и C ( ) находятся из системы дифференциальных уравнений С ( ) C ( ) 0, C ( ) C ( ) f ( ) Рассмотренный метод применяется при решении заданий 6 Пример 6 Найти решение задачи Коши ; cos ( 0 ) ; ( 0 ) 0 Решение Задано линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами ) Найдём решение соответствующего однородного уравнения 0 Составляем характеристическое уравнение k 0; k Корни уравнения k i, k i Общее решение уравнения имеет вид C cos C sin 8

49 ) Частное решение исходного уравнения методом неопределённых коэффициентов искать нельзя (функция f ( ) cos, в отличие от предыдущих задач,,, 5, имеет другую структуру), а поэтому воспользуемся методом вариации произвольных постоянных Будем искать решение уравнения в виде C ( ) cos C( ) sin, C нужно найти из системы уравнений где функции ( ) C и ( ) C ( ) C ( ) 0; C ( ) ( ) C f ( ) ; где cos ; sin Имеем систему C ( ) ( ) cos C sin 0; ( )( ) C sin C ( ) cos cos Для решения системы воспользуемся методом Крамера, где неиз- C C вестные ( ) и ( ) cos sin cos sin sin cos ; 0 sin sin 0 g ; cos cos cos cos 0 cos 0 sin cos cos C ( ) g ; C ( ) g ln cos C; ( ) ( ) C ; C C Общее решение ( cos C ) cos ( C ) sin ln 9

50 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ -ГО И -ГО ПОРЯДКОВ Определение Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, те система вида a a a f( ), a a a f( ), () a a a f( ) где i i ( ), i i, f i ( ) - непрерывные функции аргумента, d a - постоянные коэффициенты, i,, ; j,, называется ij нормальной системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами -го порядка (неоднородной, если хотя бы одна из функций f i ( ) 0 и однородной, если все функции f i ( ) 0 ) Решить эту систему означает найти функции ( ) i i, удовлетворяющие системе () и данным начальным условиям: ( ), ( ), ( ) 0 Для решения нормальной системы линейных дифференциальных уравнений вида () удобно пользоваться методами линейной алгебры, а конкретнее, методом исключения неизвестных Методы решения приведенной системы дифференциальных уравнений рассмотрим на примерах Пример 7 Найти общее решение системы дифференциальных уравнений cos, cos 50

51 Решение В данной системе ; неизвестные функции, а независимая переменная их аргумент Первое уравнение дифференцируем по, после чего вместо подставим выражение из второго уравнения системы ( cos ) sin, sin те cos 7 sin Из этого уравнения и первого уравнения исходной системы составим систему cos, cos 7 sin Из которой, исключим (первое уравнение, умножив на (-) прибавим ко второму): cos sin Полученное ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами решается стандартным способом подбора частного решения (пункт (5)) А именно: ) Найдём решение соответствующего однородного уравнения 0 Корнями характеристического уравнения являются числа k 0, k, следовательно, общее решение имеет вид: C C ) Поскольку правая часть исходного уравнения равна сумме показательной и тригонометрической функций: ( ) f ( ) f ( ), где f ( ), f ( ) cos sin f поэтому частное решение решений в виде * * A, B cos C sin ; получим * * * 5, * ищем, пользуясь принципом наложения * ; где A B cos C sin Найдём производные ( ), ( ) и подставим в ЛНДУ:

52 ( ) A Bsin C cos, ( ) A B cos C sin, A B cos C sin ( A Bsin C cos) cos sin Приравниваем неопределённые коэффициенты при одинаковых функциях, получим: : A, A, cos : C B, B, 7 sin : B C, 5 C 7 * 5 Отсюда cos sin 7 7 * 5 Окончательно, C C cos sin 7 7 Другую функцию () найдём из первого уравнения нормальной системы ( cos ) Учитывая, что C C 5 cos sin C sin получим 5 C sin cos cos 7 7 те C sin cos 7 7 То, общее решение системы имеет вид: C C C, 5 cos sin, 7 7 cos sin cos 5

53 Пример 8 Найти общее решение системы дифференциальных уравнений,, 5 7 Решение В данной системе ; ; неизвестные функции, а независимая переменная их аргумент Дифференцируя первое уравнение системы по : Вместо и подставим их выражения из второго и третьего уравнений системы Получаем 5 7, откуда ( ) ( ) 6 0 Полученное уравнение дифференцируем по ; а вместо и подставим выражения из исходной системы уравнений: 6 0 ( ) ( 5 ) те Составим новую систему, которая состоит из первого уравнения исходной системы и двух уравнений, полученных последовательным дифференцированием:, 6 0, Из этой системы исключим неизвестные и Для этого проще использовать первые два уравнения системы, находим, 6, 5

54 И эти выражения подставим в третье уравнение системы ( ) ( ) После приведения подобных слагаемых получаем ЛОДУ третьего порядка, относительно неизвестной функции ( ) Корнями его характеристического уравнения k 6k k 6 0 являются числа k, k, k, тк 6 k k 5k 6k 6 0, k ( k 6k 5) 6( k ) 0, ( k )( k 5) 6( k ) 0 k, ( )( k 5k 6) 0 k Следовательно, общее решение последнего уравнения имеет вид C C C Теперь надо получить значение для и Это легко сделать, имея в виду систему, содержащую выраженную через, и Поэтому сначала находим C C C, C 9 C C Остаётся сделать соответствующие подстановки: ( ) 0,5( C C 9C C 0,5 8C C C C C ), откуда 0, 5 0,5C C и, Аналогично, ( ) Окончательно, 0,5 6 C C, 5C C C C, 0,5C 0,5C, C,5 C C 5

55 ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) широко применяются в механике, теории устойчивости, физике, электротехнике и практически во всех технических науках, а в последнее время и в науках социального профиля экономике, экологии и пр Решение геометрических и физических задач, требующих составления дифференциальных уравнений, обычно вызывает затруднения: специфика конкретных физических задач требует знания разнообразных законов физики Универсального метода составления дифференциального уравнения, пригодного во всех случаях, указать нельзя, можно лишь дать некоторые общие указания При этом отметим два подхода к составлению ОДУ: ) используется понятие первой производной как углового коэффициента касательной в геометрических задачах, скорости движения в механических задачах, скорости реакций в химических задачах, скорости охлаждения тела и удельной теплоемкости в теплотехнике, скорости изменения силы тока в электротехнике и тд; используется понятие второй производной как ускорения в механических задачах ) используются бесконечно малые приращения исследуемых величин, которые заменяются затем на соответствующие дифференциалы, образуя тем самым необходимое ОДУ Рассмотрим некоторые из этих задач, чтобы показать на примерах, как составляются дифференциальные уравнения Охлаждение тела Согласно закону, установленному Ньютоном, скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды Пусть тело нагрето до температуры Т 0; температуру окружающей среды будем считать постоянной и равной Тс ( Тс < Т0) Найдем зависимость между изменяющейся температурой Т тела и временем охлаждения 55

56 Пусть в момент времени температура тела равна Т Скорость dt изменения температуры, те, по закону Ньютона пропорциональна разности ( T T c ), следовательно, k( T T c ) d d dt Знак минус выбран потому, что с возрастанием температура Т тела уменьшается Коэффициент пропорциональности k зависит как от физических свойств тела, так и от его геометрической формы dt Разделяя переменные, получим kd Отсюда T T те c 56 c c k ln( T T ) k ln C T T C Подставляя начальное условие T 0 T0, найдем C : T0 Tc C, C T 0 T Окончательно закон охлаждения имеет вид c c k ( T T ) T T 0 Задача динамики материальной точки Пусть материальная точка движется прямолинейно под действием некоторой силы, направленной вдоль линии движения точки Согласно второму закону Ньютона произведение массы на ускорение равно действующей d s силе: ma F Так как a, где - время, а s - путь, то при отыскании закона движения мы приходим к дифференциальному d уравне- d s нию второго порядка m F d В обычно встречающихся задачах сила F может зависеть от времени, расстояния s и скорости движения v ds d Равномерно ускоренное движение Пусть сила F постоянна Тогда d d s F m F s C C m c ds F Интегрируя, получим: C и d m

57 Движение точки в среде с сопротивлением Как показывает опыт, всякое тело испытывает при движении в среде сопротивление со стороны этой среды Сила сопротивления возрастает со скоростью тела и зависит как от свойств среды, так и от размеров и формы движущегося тела Если скорость движения невелика и тело имеет малые размеры, то силу сопротивления можно считать пропорциональной скорости v : kv F c Коэффициент пропорциональности k > 0, а знак минус указывает, что сила сопротивления всегда направлена против движения Если скорость движения велика, то сила сопротивления становится пропорциональной квадрату скорости, те F c kv Пример Найти закон прямолинейного движения материальной точки массы m, если известно, что работа действующей на точку силы пропорциональна времени, протекающему от начала движения (коэффициент пропорциональности k) Начальный путь и начальная скорость равны соответственно s 0 и v 0 Из курса механики известно, что в случае прямолинейного перемещения точки, когда направления силы и скорости совпадают, работа A задачи, S S 0 S S F( u) du k 0 F( u) du, где F(s) - действующая на точку сила По условию A k Сравнивая оба выражения для A, находим d ds Дифференцируя по s получаем: F ( s) k, а так как v (скорость движения) и d k ds d, то F ( s) ds ds d v v С другой стороны, из второго закона Ньютона следует, что dv F ( s) m d 57

58 Сравнивая оба выражения для F (s), составляем дифференциаль- dv k ное уравнение: m d v Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяю- mv щимися переменными, следовательно k C потому C Из начального условия v v0 при 0 находим, что k v v0 m 58 0 mv C ds m k Заменяя v и интегрируя, получим s v0 C d k m Из начального условия s s0 при 0 находим, что mv0 s0, и закон движения точки окончательно примет вид: k m k mv0 s v0 s0 k m k Геометрическая задача Найти кривую, у которой наклон в любой точке на две единицы меньше абсциссы точки касания, зная, что кривая проходит через точку А (;0) Примем абсциссу х произвольной точки кривой за аргумент, а ординату у той же точки за функцию, тогда уравнение кривой запишется в виде f () Поскольку угловой коэффициент касательной к этой кривой в любой точке по определению равен производной, те d, а именно он и определяет наклон кривой, то условия зада- d чи позволяют составить соотношение: Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, решая которое (см п), находим общее решение в виде ( х ) у С, и


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий Разделы Интегральное

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ИМЭИ ИГУ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Гражданцева ЕЮ, Дамешек ЛЮ В пособии излагается основной теоретический материал по теме: Неопределенный интеграл Приводятся

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Тема 1 Неопределенный интеграл. 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл

Тема 1 Неопределенный интеграл. 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Тема Неопределенный интеграл Практическое занятие Первообразная и неопределенный интеграл Определение первообразной функции Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Основные свойства неопределенного

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В.В.Поддубный ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Введение и основные определения Многие задачи естествознания и техники связаны с решением уравнений, содержащих неизвестные функции некоторых независимых

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение `` МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ,

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ

Министерство общего и профессионального образования РФ Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет Министерство общего и профессионального образования РФ Назарова Л.И. Дифференциальные

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Содержание Конев В.В. 1. Рабочая программа (выписка) 2 2. Введение 3 3. Основные понятия 3 3.1. Начальные условия 5 3.2. Составление дифференциальных

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее