1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных"

Транскрипт

1 Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной системы и из уравнений, получающихся дифференцированием уравнений, входящих в систему, исключают все неизвестные функции, кроме одной, для определения которой получают одно дифференциальное уравнение более высокого порядка Интегрируя это уравнение более высокого порядка, находят одну из неизвестных функций, а остальные неизвестные функции, по возможности без интеграции, определяются из исходных уравнений и уравнений, получившихся в результате их дифференцирования Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух уравнений: dx = ax + y + f(t, dt ( dy dt = cx + dy + g(t Здесь a,, c, d постоянные коэффициенты, a f(t и g(t заданные функции; x(t и y(t искомые функции Пусть Выразим из первого уравнения системы ( функцию y: y = ( dx ax f(t (2 dt Подставляя это выражение вместо y, а его производную вместо dy dt во второе уравнение системы (, получим уравнение второго порядка относительно x(t: A d2 x dt 2 + B dx + Cx = P (t (3 dt Покажите, что коэффициенты A, B, C и правая часть P (t уравнения определяются следующими выражениями A =, B = a+d, C = ad c, P (t = f (t df(t+g(t Решив уравнение (3, найдем x = x(t, C, C 2 Подставив найденное выражение для x в (2, найдем y = y(t, C, C 2

2 2 Пример Методом исключения построить решение системы dx dt = y + t, dy dt = x t (4 Решение Из первого уравнения системы выразим y и найдем производную y : y = dx dt t, dy dt = d2 x dt 2 Подставим эти выражения во второе уравнение системы, получим d 2 x dt 2 x = t Это уравнение является линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами Покажите, что оно имеет следующее решение Зная x, найдем y: x = C e t + C 2 e t + t y = dx dt = C e t + C 2 e t t + Таким образом, получили общее решение системы x = C e t + C 2 e t + t, y = C e t + C 2 e t t + Замечание Не всякая система дифференциальных уравнений может быть сведена к одному уравнению более высокого порядка Например, система dx dt = x, dy dt = y не сводится к одному уравнению второго порядка Ее общее решение строится интегрированием каждого уравнения системы независимо от другого (система распадается на два уравнения и имеет вид x = C e t, y = C 2 e t

3 3 2 Системы линейных дифференциальных уравнений Системой линейных дифференциальных уравнений называется система вида x i = n a ik (tx k + f i (t, i =, n, (5 k= где функции a ik (t непрерывны на промежутке T Систему (5 можно записать в векторной форме X = A(tX + F (t, (6 где X(t, и F (t n-мерные вектор-столбцы, а A(t (n n-матрица: x f a a 2 a n X = x 2, F = f 2, A = a 2 a 22 a 2n x n f n a n a n2 a nn Если F, то система (6 называется линейной однородной, иначе линейной неоднородной Определим линейный дифференциальный оператор L равенством L[X] X AX Так как оператор L обладает свойствами: L[cX] = cl[x], где c произвольная постоянная; 2 L[X + X 2 ] = L[X ] + L[X 2 ], то справедливы следующие теоремы Теорема Если X является решением линейной однородной системы X = A(tX, (7 то cx является решением той же системы, где c произвольная постоянная Теорема 2 Сумма X + X 2 двух решений X и X 2 однородной линейной системы уравнений является решением той же системы Следствие Если X, X 2,, X m решения линейной однородной системы (7, а c i, i =, 2,, m, произвольные постоянные, то m линейная комбинация c i X i является решением той же системы i=

4 4 Напомним, что векторы X, X 2,, X n, где x i (t X i = x 2i (t x ni (t называются линейно зависимыми на отрезке [a, ], если существуют постоянные α, α 2,, α n такие, что α X + α 2 X α n X n при t [a, ], причем по крайней мере одно α i Если же тождество справедливо лишь при α = α 2 = = α n =, то векторы называются X, X 2,, X n линейно независимыми Если векторы X, X 2,, X n линейно зависимы, то определитель системы определитель Вронского (вронскиан W (t = x x 2 x n x 2 x 22 x n x n x n2 x nn должен быть равен нулю для всех значений t отрезка [a, ] Теорема 3 Если определитель Вронского W (t решений X, X 2,, X n линейной однородной системы уравнений с непрерывными на отрезке [a, ] коэффициентами a ik (t равен нулю хотя бы в одной точке t = t отрезка [a, ], то решения X, X 2,, X n линейно зависимы на том же отрезке, и, следовательно, на рассматриваемом отрезке W (t Если определитель Вронского W (t решений не равен нулю ни в одной точке отрезка [a, ], тогда эти решения линейно-независимы на [a, ] Замечание Эта теорема не распространяется на произвольные векторы X, X 2,, X n, не являющиеся решениями системы (7 с непрерывными коэффициентами Определение Фундаментальной системой решений X, X 2,, X n уравнения (7 называются любые n линейно независимых его решений Определение 2 Матрица W (t, столбцами которой являются координаты векторов, образующих фундаментальную систему решений, называется фундаментальной матрицей уравнения (7

5 Определитель фундаментальной системы это определитель Вронского системы n линейно-независимых решений уравнения (7, и он отличен от Теорема 4 ([] Линейная однородная система уравнений имеет фундаментальную матрицу По заданной системе n линейно-независимых векторов X (t, X 2 (t,, X n (t можно найти единственную систему (7, для которой эти вектора образуют фундаментальную систему решений Так как фундаментальная матрица уравнения (7 является решением матричного уравнения W (t = A(tW (t, (8 то матрица A(t искомой системы находится следующим образом: A(t = W (tw (t (9 Обратная матрица W (t существует, так как определитель матрицы W (t отличен от Пример 2 Доказать линейную независимость функций ( ( e t e 5t X = e t, X 2 = 3e 5t и найти однородную систему уравнений, для которой эти функции образуют фундаментальную систему решений Решение Составим из функций X, X 2 определитель Вронского W (t = e t e 5t e t 3e 5t = 4e6t, следовательно, функции X, X 2 линейно-независимы для любого t Поскольку они линейно-независимы, то эти функции образуют фундаментальную систему решений некоторой линейной однородной системы дифференциальных уравнений с двумя неизвестными Ее матрицу A(t найдем по формуле (9 Имеем ( W e t 5e (t = 5t e t 5e 5t, 5

6 6 Тогда W (t = 4e 6t ( 3e 5t e 5t e t e t A(t = W (t W (t = = ( 3e t e t 4 e 5t e 5t ( Таким образом, искомая линейная однородная система дифференциальных уравнений имеет вид { x = 2x + y, y = 3x + 4y Теорема 5 ([] Если W (t фундаментальная матрица уравнения (7, то любое его решение X(t представимо в виде X = W (tc, ( где C некоторый постоянный вектор-столбец Таким образом, зная фундаментальную матрицу W (t линейной однородной системы (7, можно построить ее общее решение в виде (, где C произвольный постоянный вектор-столбец Теорема 6 Если X является решением линейной неоднородной системы (6, а X решением соответствующей однородной системы (7, то сумма X + X также будет решением неоднородной системы (6 Теорема 7 Общее решение на отрезке [a, ] неоднородной системы с непрерывными на том же отрезке коэффициентами a ik (t и n правыми частями f i (t равно сумме общего решения c i X i соответствующей однородной системы и частного решения X рассматриваемой неоднородной системы Теорема 8 [принцип суперпозиции] Решением системы линейных уравнений f i (t m L[X] = F i, F i = f 2i (t, i =, 2,, m, i= f ni (t i=

7 является сумма m X i решений X i уравнений i= L[X i ] = F i (i =,, m Если требуется найти решение системы (6, удовлетворяющее условию X(t = X, то говорят, что для системы (6 поставлена начальная задача, или задача Коши Теорема Если функции a ik (t, i, k =,, n, и вектор-функция F (t непрерывны на отрезке [a, ], то решение начальной задачи для системы (6 существует и единственно всюду на [a, ] Если известна фундаментальная матрица однородной системы (7, то построение частного решения неоднородной системы сводится к квадратурам, те к интегрированию известных функций Одним из общих методов построения решения системы (6 на базе фундаментальной матрицы является метод вариации постоянных (метод Лагранжа Пусть известна фундаментальная матрица W (t соответствующей однородной системы (7, а значит известно общее решение однородной системы, определяемое по формуле ( Решение неоднородной системы (6 будем искать в виде X(t = W (tc(t, ( где C(t искомая вектор-функция переменной t Подставляя искомый вид решения в систему (6, получим W C + W C = AW C + F (W AW C + W C = F Так как W удовлетворяет уравнению (8, то W AW = и, следовательно, для функции C(t получим матричное уравнение W (tc (t = F, (2 которое является алгебраической системой относительно координат вектора C (t Решая ее и интегрируя полученные выражения, находим вектор C(t Далее подставляя C(t в искомый вид решения (, получим решение неоднородной системы (6 Пример 3 Найти общее решение неоднородной системы, используя метод вариации: { x = 2x + y + e t, y = 3x + 4y 7

8 8 Решение Фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы { x = 2x + y, y = 3x + 4y образуют, например, вектор-функции (см пример 2 ( e t X = e t ( e 5t, y = 3e 5t Фундаментальная матрица W (t: ( e t e W (t = 5t e t 3e 5t Общее решение неоднородной системы будем искать в виде ( x X = = W (tc(t = y e t 3e 5t C 2 (t ( e t e 5t ( C (t где C (t и C 2 (t находятся из уравнения вида (2: e t 3e 5t C 2(t ( e t e 5t ( C (t ( e t =, Решив его (выполните это самостоятельно, будем иметь: { C = 3 4 e 2t, C 2 = 4 e 6t, { C = 3 8 e 2t + C, C 2 = 24 e 6t + C 2, где C, C 2 произвольные постоянные Тогда общее решение данной системы ( 5 2 X = W (tc(t = e t + C e t + C 2 e 5t 4 e t C e t + 3 C 2 e 5t Конечно, решение заданной системы можно построить методом исключения Выполните это самостоятельно

9 9 3 Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Будем рассматривать систему линейных уравнений (5, в которой коэффициенты a ik, i, k =, 2,, n, постоянные, записав ее в векторном виде: X = AX + F (t, (3 где A постоянная матрица Систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами можно проинтегрировать путем сведения ее к одному уравнению более высокого порядка, которое также будет линейным с постоянными коэффициентами (см пример На практике такой метод удобно применять для систем второго порядка В случае систем большего порядка лучше для построения общего решения уравнения (3 найти прежде всего фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения: X = AX, (4 Очевидно, система (4 имеет решение X Будем искать ненулевое решение системы в виде he λt, где λ неизвестный параметр, а h неизвестный ненулевой постоянный вектор-столбец Подставляя это выражение в (4, получим λhe λt = Ahe λt Таким образом, вектор h должен быть решением алгебраической системы уравнений (A λeh =, (5 которая будет иметь ненулевое решение, если потребовать, чтобы a λ a 2 a n A λe = a 2 a 22 λ a 2n = (6 a n a n2 a nn λ Уравнение n-й степени (6 называется характеристическим уравнением системы (4 Его корни (характеристические числа называются также собственными значениями матрицы A Решение h уравнения (5, соответствующее собственному значению λ, называется собственным вектором Для построения фундаментальной системы решений необходимо знать:

10 все различные корни λ i характеристического уравнения (6, кратность m i этих корней, собственные вектора h i матрицы A, соответствующие λ i Опишем правила построения фундаментальной системы решений Правило Каждому простому корню λ (вещественному или комплексному уравнения (6 отвечает частное решение вида he λt, входящее в фундаментальную систему, где h числовой векторстолбец, являющийся собственным вектором матрицы A, отвечающим простому собственному значению λ Замечание Если коэффициенты a ik системы (4 вещественные, то комплексно-сопряженным собственным значениям λ и λ отвечают комплексно-сопряженные собственные векторы h и h В этом случае корням λ и λ соответствует пара вещественных решений, входящих в фундаментальную систему, определяемая следующим образом X = heλt + he λt 2, X 2 = heλt he λt 2i Правило 2 Если корень λ имеет кратность m > и ему отвечают ровно m собственных векторов матрицы А, то каждый такой корень определяет ровно m решений вида h e λt, h 2 e λt,, h m e λt, входящих в фундаментальную систему Замечание В общем случае количество собственных векторов матрицы A, отвечающих λ, равно n r, где n порядок матрицы A, а r ранг матрицы A λe Правило 3 Если для собственного значения λ кратности m > имеется только l (l < m (т е меньше кратности корня линейно независимых собственных векторов матрицы A, то решения, соответствующие λ, можно искать в виде произведения векторного многочлена степени m l на e λt, т е в виде X = (β + β t + + β m l t m l e λt (7 Чтобы найти векторы β, β,, β m l, надо подставить выражение (7 в систему (4 Приравняв коэффициенты подобных членов в

11 левой и правой частях системы, получим уравнения для нахождения векторов β, β,, β m l При этом останется ровно m независимых коэффициентов (количество, равное кратности корня, через которые линейно выражаются остальные коэффициенты Итак, характеристическое уравнение n-й степени (6 имеет k n различных корней λ i кратностей m i соответственно Каждому корню λ i соответствуют m i линейно независимых частных решений системы (4, построенных по описанным выше правилам Всего таких решений m + m m k = n и их совокупность образуют фундаментальную систему решений однородной системы (4 Построив фундаментальную систему решений X, X 2,, X n, общее решение системы (4 в соответствии с формулой (, в которой W (t = (X, X 2,, X n, является линейной комбинацией X i : X(t = W (tc = где C i произвольные постоянные n C i X i, (8 i= Пример 4 Найти общее решение системы x = 3x + 4y 2z, y = x + z, z = 6x 6y + 5z Решение Для матрицы системы составим характеристическое уравнение 3 λ 4 2 A λe = λ λ = (λ 2(λ2 = Оно имеет три различных корня λ = 2, λ 2 =, λ 3 = Найдем соответствующие им собственные вектора Собственный вектор h = (a; ; c T, отвечающий λ = 2, удовлетворяет системе (A λ E a c = a c = Доказательство линейной независимости построенных таким образом решений см, например, в [],

12 2 5a + 4 2c =, a 2 + c =, 6a 6 + 3c = { a 2 + c =, 2 c = Пусть =, тогда c = 2 и a = Следовательно, λ = 2 отвечает собственный вектор h = (; ; 2 T Значению λ 2 = отвечает вектор h 2 = (; ; T, а λ 3 = вектор h 3 = (; ; T Проверьте это самостоятельно Таким образом, получили следующую фундаментальную систему решений X = h e 2t, X 2 = h 2 e t, X 3 = h 3 e t Тогда в соответствии с формулой (8 общее решение заданной системы имеет вид: x X(t = y = C e 2t + C 2 e t + C 3 e t, z 2 где C, C 2, C 3 произвольные постоянные Ответ: x = C 2 e t + C 3 e t, y = C e 2t + C 2 e t, z = 2C e 2t C 3 e t Пример 5 Найти общее решение системы { x = x 2y, y = x y Решение Составим характеристическое уравнение системы A λe = λ 2 λ = λ2 + =, Его корни λ = ±i Найдем соответствующие им собственные вектора Вектор, соответствующий λ = i, удовлетворяет системе ( ( ( i 2 a =, i { a( i 2 =, a ( + i =, То есть a ( + i = Полагая, например, =, найдем a = + i Тогда ( ( ( + i y = e it cos t sin t cos t + sin t = + i cos t sin t

13 3 Вектор, соответствующий λ = i, удовлетворяет системе ( ( ( + i 2 a =, + i { a( + i 2 =, a (i =, То есть a + (i = Полагая, например, =, найдем a = i Тогда ( ( ( i y 2 = e it cos t sin t cos t sin t = + i cos t sin t Фундаментальную систему вещественных решений данной системы образуют векторы X и X 2, определяемые как линейные комбинации векторов y и y 2 : X = y + y 2 2 X 2 = y y 2 2i Общее решение системы ( ( x cos t sin t X = = C y cos t ( cos t sin t = cos t ( cos t + sin t = sin t, + C 2 ( cos t + sin t sin t Ответ: x = (C + C 2 cos t + (C 2 C sin t, y = C cos t + C 2 sin t Постройте решение заданной системы методом исключения Пример 6 Найти общее решение системы x = 4x y z, y = x + 2y z, z = x y + 2z Решение Найдем собственные значения матрицы системы, составив характеристическое уравнение 4 λ A λe = 2 λ 2 λ = (2 λ(λ 32 =

14 4 Один корень уравнения λ = 2 является простым, другой, λ 2 = 3, имеет кратность m 2 = 2 Найдем собственный вектор h, соответствующий λ = 2, решая уравнение (A λ E a c = 2a c =, a c =, a = 2 a c = { a =, a c = Полагая a =, получим = c = и, следовательно, h = (; ; T Составим уравнение для нахождения собственного вектора, соответствующего λ = 3: (A λ 2 E a c = a c = Полученная система равносильна одному уравнению a c =, для которого можно указать два линейно независимых решения, например, такие a =, =, c = и a =, =, c =, Они определяют два линейно независимых собственных векторастолбца h 2 = (; ; T и h 2 = (; ; T Таким образом, получили следующую фундаментальную систему решений X = h e 2t, X 2 = h 2 e 3t, X 3 = h 3 e 3t Тогда общее решение заданной системы имеет вид: X(t = x y z = C e 2t + C 2 e 3t + C 3 Ответ: x = C e 2t + (C 2 + C 3 e 3t, y = C e 2t + C 2 e 3t, z = C e 2t + C 3 e 3t, e 3t

15 5 Пример 7 Найти общее решение системы x = x + y 2z, y = 4x + y, z = 2x + y z Решение Для матрицы системы составим характеристическое уравнение λ 2 A λe = 4 λ 2 λ = ( λ( + λ2 = Один корень уравнения λ = является простым, другой, λ 2 =, имеет кратность m 2 = 2 Найдем собственный вектор h, соответствующий λ =, решая уравнение (A λ E a c = 2a + 2c =, a =, 2a + 2c = a c = { a =, 2c = Полагая c =, получим = 2 и, следовательно, h = (; 2; T и X = h e t Так как ранг матрицы (A λ 2 E = равен 2, в соответствии с правилом 3 будем искать решение заданной системы в виде a + t a t e t ( a t Подставляя его в заданное уравнение, получим a t 2 a 2 2 t e t = a t + a t 2a t 4a + 4 t + a t 3 a 3 3 t 2a + 2 t + a t a 3 3 t, e t

16 6 Приравнивая коэффициенты в строках при одинаковых степенях t в правой и левой частях уравнения, получим систему уравнений a 2 2a 3 =, =, 4a + 2a 2 2 =, =, 2a + a 2 3 =, = a 2 2a 3 =, =, =, 2a + a 2 3 = Считая коэффициенты a 3 и произвольными, выразим через них все остальные В результате получим: a = a 3, a 2 = + 2a 3, 2 = 2, 3 = Построенное таким образом решение вида ( a 3 + t + 2a 3 2 t e t = a 3 2 a 3 t e t t + 2t t e t определяет еще два линейно независимых частных решения заданной системы: t X 2 (t = 2 e t и X 3 (t = + 2t t e t Тогда общее решение заданной системы имеет вид: x t X(t = y = C 2 e t +C 2 2 e t +C 3 + 2t z t Ответ: x = ( C 2 + C 3 ( t e t, y = 2C e t + (2C 2 + C 3 (2t e t, z = C e t + (C 2 + C 3 t e t e t Так как фундаментальная система решений линейной однородной системы всегда может быть построена (для этого надо найти корни характеристического уравнения, то для интегрирования неоднородной системы, согласно теореме 7, достаточно найти ее частное решение

17 Если в системе (3 F (t произвольная непрерывная векторфункция, то частное решение системы (3 находят, как правило, методом вариации постоянных (метод Лагранжа (см пример 3 Однако для специального вида функции F (t используется также подбор частного решения системы (3 методом неопределенных коэффициентов (метод Эйлера Определение 3 Вектор-квазимногочленом называется векторфункция F (t = e µt P q (t, (9 где µ заданное комплексное число, P q (t вектор-многочлен степени q, коэффициентами которого служат n-мерные векторы Теорема 9 ([2] Если в системе (3 F (t является векторквазимногочленом (9, то для системы (3 всегда существует решение вида X(t = e µt Q q+s (t, (2 где Q q+s (t вектор-многочлен степени (q + s, причем s =, если µ не собственное значение матрицы A, иначе s = m, где m кратность собственного значения µ матрицы A, а коэффициентами Q q+s (t служат n-мерные числовые векторы Замечание Если правая часть системы (3 имеет вид F (t = e αt (P q (t cos βt + Q r (t sin βt, где P q (t, Q r (t вектор-многочлены степени q и r соответственно, коэффициентами которых служат n-мерные числовые векторы, то частное решение системы (3 можно искать в виде: X(t = e αt( B p+s (t cos βt + D p+s (t sin βt Здесь B p+s (t и D p+s (t вектор-многочлены степени p + s (p = max(q, r; s =, если µ = α + βi не является собственным значением матрицы A, иначе s = m, где m кратность собственного значения µ Конкретный вид вектор-многочленов находится методом неопределенных коэффициентов Замечание 2 Если в системе (3 функция F (t представляет собой конечную сумму вектор-квазимногочленов (и/или вектормногочленов, то для получения частного решения (3 используется принцип суперпозиции (теорема 8 7

18 8 Пример 8 Найти решение системы: { x = 3x + 2y + 4e 5t, y = x + 2y Решение Составив характеристическое уравнение ( для матрицы соответствующей однородной системы A =, найдем ее соб ственные значения: λ 2 5λ + 4 = λ =, λ 2 = 4 Им отвечают собственные вектора h = (; T и h 2 = = (2; T Проверьте это самостоятельно Правая часть системы есть вектор-функция F (t = (4e 5t ; T И так как µ = 5 не является собственным значением матрицы A, то частное решение будем искать виде: X(t = ( a e 5t Подставляя искомое решение в заданную систему, будем иметь ( ( ( ( 5a e 5t 3 2 a = e 5t 4e 5t ( ( 5a 3a = 5 a + 2 Решая полученную систему, найдем a = 3 и = Таким образом, заданная система имеет решение ( ( ( X(t = C e t 2 + C 2 e 4t 3 + e 5t Ответ: x = C e t + 2C 2 e 4t + 3e 5t, y = C e t + C 2 e 4t + e 5t Пример 9 Найти частное решение системы: { x = 2x + y + e t, y = 2x + 2t Решение Найдем собственные значения матрицы A = A λe = λ 2 2λ + 2 = λ,2 = ± i ( 2 2 :

19 Представив правую часть системы в виде суммы двух векторфункций: ( ( F (t = F (t + F 2 (t, F (t = e t, F 2 (t =, 2t найдем частные решения двух систем X (t = AX(t + F (t и X (t = AX(t + F 2 (t ( В обозначениях теоремы 9 функции F (t соответствует параметр µ =, а функции F 2 (t параметр µ = Поэтому для первой системы частное решение будем искать в виде для второй X (t = ( a e t, X 2 (t = ( a + t a t Подстановка X (t в первую систему ( дает: ( ( ( ( a e t 2 a = e t + 2 ( ( a 2a + + = 2a e t Полученная система имеет решение a =, = 2 Подставляя X 2 (t во вторую систему (, получим ( ( ( ( 2 a + = t a t 2t ( ( 2a + 2 = t + a t 2 2a 2 t + 2t Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в правой и левой частях матричного уравнения, будем иметь = 2a + a 2, = 2 + 2, 2 = 2a, =

20 2 Полученная система имеет решение a =, a 2 =, =, 2 = 2 Таким образом, построили две вектор-функции e t и X2 (t = X (t = ( 2 ( + t 2t сумма которых, согласно принципу суперпозиции, определяет искомое частное решение ( X(t = X (t + X e 2 (t = t + + t 2e t 2t, Пример Установить вид частного решения системы (не находя коэффициентов: { x = x y + 2 sin t, y = 2x y Решение Для выбора вида ( частного решения найдем собственные значения матрицы A = : 2 A λe = λ 2 + = λ,2 = ±i ( 2 sin t Так как правой части заданной системы F (t = соответствует параметр µ = i, совпадающий с собственным значением λ = i кратности m =, то, согласно замечанию к теореме 9, частное можно искать в виде ( ( a + X(t = t a3 + cos t + 3 t sin t a t a t Пример Установить вид частного решения системы (не находя коэффициентов: { x = 2x y, y = 2y x 5e t sin t

21 Решение Найдем собственные значения матрицы системы A: ( 2 A =, A λe = λ 2 4λ+3 = λ 2 =, λ 2 = 3 ( Так как правой части заданной системы F (t = 5e t соответствует параметр µ = + i, не совпадающий с собственными sin t значениями матрицы A, то устанавливается следующий вид частного решения (( ( X(t = e t a a2 cos t + sin t 2 2 Список использованной литературы Тихонов В Н, Васильева А Б, Свешников А Г Дифференциальные уравнения М: Наука Физматлит, с 2 Романко В К Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления М: Лаборатория Базовых знаний, с


Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E)

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E) В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего своей матрицей в некотором базисе

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая.

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая. sin cos R Z cos ImZ cos sin sin Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид или подробнее sin cos cos sin cos cos cos sin sin

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1)

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1) ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «Линейная алгебра, системы ДУ с устойчивостью» 2 курс, 2 семестр Лекторы: Мельников Ю.Б., Мельникова Н.В. Оглавление 1. Системы линейных дифференциальных уравнений 4 1.1. Определения................................

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Дифференциальные уравнения".

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекция 4 Однородные системы

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Лектор Пахомова ЕГ 0 г 4 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет ОА Кононова НИ Ильинкова НС Романова НК Филиппова Линейные системы дифференциальных уравнений Минск 0 УДК 57955(0758)(076)

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

Системы однородных линейных уравнений

Системы однородных линейных уравнений Системы однородных линейных уравнений А И Буфетов, Н Б Гончарук, Ю С Ильяшенко 10 февраля 2015 г В этом параграфе мы займёмся самым простым типом многомерных дифференциальных уравнений линейными уравнениями

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Лекция 7 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Курс: Дифференциальные уравнения Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru Линейным дифференциальным

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов

ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов Занятие 16 ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов На этом занятии мы будем решать ЛНДУ с постоянными коэффициентами y (n) + a 1 y (n 1) +...+

Подробнее

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия Нормальной линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами порядка n называется система вида n dk akj j k n d j () где a cons kj Вводя

Подробнее

Линейные системы со специальной правой частью

Линейные системы со специальной правой частью Линейные системы со специальной правой частью А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В этой лекции мы рассмотрим неоднородные линейные уравнения, однородная часть которых автономна.

Подробнее

Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом

Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом Занятие 19 Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом 19.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Пусть требуется найти частное решение линейного

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y и её производных y..., y (n) т. е. имеет вид a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), где

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений. Кольцов С.Н.

Системы дифференциальных уравнений. Кольцов С.Н. Системы дифференциальных уравнений. Кольцов С.Н. www.linis.ru Основные понятия и определения. Нормальные системы Определение. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Лекция 6 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Курс: Дифференциальные уравнения Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

4. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 4.1 Основные понятия. называется переменная величина, зависящая от функции y ( x)

4. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 4.1 Основные понятия. называется переменная величина, зависящая от функции y ( x) ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Основные понятия Пусть M - некоторое множество функций Функционалом J = J ( y называется переменная величина зависящая от функции y ( если каждой функции y( M по некоторому

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные ураннения

Обыкновенные дифференциальные ураннения Обыкновенные дифференциальные ураннения Преподаватель: Колотий Александр Дмитриевич Литература: 1 Понтрягин Лев Семенович Обыкновенные дифференциальные уравнения Петровский И Г Лекции по теории обыкновенных

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

z( 2; 1) = = 15

z( 2; 1) = = 15 9 Вариант Типовой расчет по математике Функции многих переменных. Дифференциальные уравнения. модуль Задание 1) В этом задании в каждом варианте даны функции u трёх переменных, y, z и уравнение в частных

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Метод разделения переменных (метод Фурье)

Метод разделения переменных (метод Фурье) Метод разделения переменных (метод Фурье) Общие принципы метода разделения переменных Для простейшего уравнения с частными производными разделение переменных это поиски решений вида только от t. u (x,t

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Линейные неавтономные системы

Линейные неавтономные системы Линейные неавтономные системы А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В предыдущих лекциях исследовались линейные автономные системы. Они допускают точные решения, которые выражаются

Подробнее

Лекция ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 5.1. ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Лекция ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 5.1. ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Лекция. 5. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 5.. ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ 5... Описание сигналов и систем. Описание сигналов. Сигналы

Подробнее

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 41 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

Семинар 5. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ

Семинар 5. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ Семинар 5 ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ Описание сигналов Для описания сигналов используются функции времени Выделяют два специальных сигнала: импульсное воздействие

Подробнее

Локальная теорема Коши Пикара.

Локальная теорема Коши Пикара. Локальная теорема Коши Пикара. Теорема (о существовании и единственности локального решения). Пусть дана задача Коши x = f(t, x) x(t 0 ) = x 0, (1) где правая часть f(t, x) определена и непрерывна в прямоугольнике

Подробнее

30. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости. Смирнов Н.В.

30. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости. Смирнов Н.В. 3. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости Смирнов Н.В. 1. Постановка задачи. [1] Рассмотрим линейную нестационарную систему ẋ = P(t)x + Q(t)u

Подробнее

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А.

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А. Лекция Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Однородная система линейных алгебраических уравнений Пусть дана однородная система линейных уравнений: или в матричной форме: m m n n A

Подробнее

Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Кольцов С.Н.

Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Кольцов С.Н. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Кольцов С.Н. www.linis.ru Метод вариации произвольных постоянных. Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение:

Подробнее