РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)"

Транскрипт

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения» ЕЮ Донская, АВ Димов РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ с элементами квантования текста) для студентов направления подготовки «Экономика» очной формы обучения ИРКУТСК

2 УДК ББК 6 Рецензенты: заведующий кафедрой «Финансы и бухгалтерский учет» Иркутского государственного университета путей сообщения, кандидат экономических наук СА Халетская; доцент кафедры естественных дисциплин Международного института экономики и лингвистики Иркутского государственного университета, кандидат педагогических наук ТД Ахмеджанова; доцент кафедры информационных технологий Института математики, экономики и информатики ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный университет» кандидат педагогический наук ЛВ Рожина Донская ЕЮ, Димов АВ Ряды: методическое пособие для самостоятельной работы с элементами квантования текста) / ЕЮ Донская, АВ Димов Иркутск: ИрГУПС, 6 с В пособии изложен основной теоретический материал по теории числовых и степенных рядов, имеется большое количество разобранных примеров решения задач, а также тестовые задания для самоконтроля Пособие предназначено для качественной организации самостоятельной работы студентов направления подготовки 8 «Экономика» очной формы обучения, профили «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Экономика предприятий и организаций», «Налоги и налогообложение» и др Ил: Табл: Библиогр: назв УДК ББК 6 ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный Университет путей сообщения», Донская ЕЮ, Димов АВ

3 Предисловие Раздел «Ряды» является одним из разделов дисциплины «Математический анализ», изучаемой студентами направления подготовки 86 «Экономика» дневной формы обучения Он является обязательным при изучении указанной дисциплины Сокращение аудиторных часов требует добавления к организации работы студентов дополнительных материалов, которые могут помочь усвоению разделов дисциплины «Математический анализ» Одним из таких материалов является данное пособие, предназначенное для более качественной организации самостоятельной работы студентов Методическое пособие «Ряды Методическое пособие с элементами квантования текста» содержит в достаточном объеме теоретический материал, необходимый для успешного освоения указанного раздела дисциплины, большое количество примеров решения типовых задач и тестовые задания Теоретический материал представлен в виде квантованного текста, что призвано помочь студентам лучше усвоить предложенный материал Тестовые задания в конце пособия позволят студентам незамедлительно проверить качество усвоения предложенного материала Раздел «Ряды» является частью дисциплины «Математический анализ», входящей в базовую часть математического цикла Авторы выражают благодарность Власенко ЛН и Ахмеджановой ТД за помощь при подготовке и оформлении пособия

4 Понятие бесконечной последовательности чисел Пусть дана бесконечная последовательность чисел,,,, Последовательность считается заданной, если известен закон, по которому можно найти любой из ее членов при данном Определение числового ряда Числовым рядом или просто рядом) называется выражение вида ) Элементы последовательности,,,, члены ряда; -ый член ряда называется его общим членом Пример нахождения первых членов ряда по заданному общему члену ряда Написать несколько первых членов ряда по данному общему члену: Решение: Пусть, тогда ) ) ; ) пусть ), тогда и т д Получим ряд вида Пример нахождения первых членов ряда по заданному общему члену ряда, в случае, когда общий член ряда содержит факториалы натуральных чисел Написать несколько первых членов ряда по данному общему члену:! )!!! Решение: Пусть, тогда ; пусть, тогда и тд Получим! ряд вида!!!!! 6!! )!!

5 Пример нахождения первых членов ряда по заданному общему члену ряда, если члены ряда имеют чередующиеся знаки Написать несколько первых членов ряда по данному общему члену: ) k Решение: Пусть, тогда ; пусть, тогда k и тд k Получим ряд вида ) k k k k k Пример нахождения простейшей формы общего члена ряда по заданным нескольким первым членам Написать возможную простейшую) формулу общего члена ряда для следующего числового ряда: 6 Решение: Внимательно рассмотрев и проанализировав первые члены ряда, делаем вывод, что в числителях стоят единицы, а в знаменателях находятся произведения натуральных чисел на число три, те общий член этого ряда имеет вид 9 Пример нахождения простейшей формы общего члена ряда по заданным нескольким первым членам, в случае, когда члены ряда содержат квадраты натуральных чисел Написать возможную простейшую) формулу общего члена ряда для следующего числового ряда: 9 Решение: Делаем вывод, что в числителях стоят единицы, а в знаменателях находятся квадраты натуральных чисел, те общий член этого ряда имеет вид 6

6 Пример нахождения простейшей формы общего члена ряда по заданным нескольким первым членам, если члены ряда содержат натуральные числа и квадраты натуральных чисел Написать возможную простейшую) формулу общего члена ряда для следующего числового ряда: 9 6 Решение: Замечаем, что числители являются квадратами натуральных чисел, а в знаменателях стоят натуральные числа, начиная с, те общий член этого ряда имеет вид Пример нахождения простейшей формы общего члена ряда по заданным нескольким первым членам, в случае, когда члены ряда содержат произведения и факториалы натуральных чисел Написать возможную простейшую) формулу общего члена ряда для следующего числового ряда: Решение: Делаем вывод, что начиная со второго члена ряда ), в числителях стоят произведения двух натуральных чисел, одно из которых на единицу меньше числа, а другое на единицу больше ; в знаменателях находятся факториалы натуральных чисел, начиная с, те общий член ряда имеет вид Обозначим: ) )! Понятие суммы числового ряда, определение сходящегося числового ряда S -ая частичная сумма k Если существует конечный предел последовательности частичных сумм S, то он называется суммой ряда В этом случае ряд называют S сходящимся, и пишут S или k S 6

7 Определение расходящегося числового ряда Ряд называется расходящимся, если частности, если S ) Расходящийся ряд суммы не имеет S не существует в S Понятие остатка сходящегося числового ряда Пусть ряд ) имеет сумму S, те S S R, где бесконечный ряд R -ый остаток ряда R получается из ряда ) отбрасыванием первых членов), тогда Остаток ряда это та ошибка, которую мы допустим, приняв в качестве приближенного значения суммы ряда его -ую частичную сумму Примеры сходящихся числовых рядов Бесконечная геометрическая прогрессия a q, a сходится при q ; в этом случае сумма прогрессии!! e!!!! a S q Ряд вида сходится и имеет сумму, равную e, т е Примеры расходящихся числовых рядов Бесконечная геометрическая прогрессия a q, a расходится при q Расходящийся гармонический ряд Ряд вида является расходящимся Здесь S при четном и S при нечетном ; следовательно, S не существует

8 Первое свойство сходящихся числовых рядов Если ряд сходится и число, также сходится и a a S S, то ряд a, где a заданное Если Второе свойство сходящихся числовых рядов S и S те если ряды сходятся и имеют v соответственно суммы S и S ), то ряд сумму S S, те v ) v ) также сходится и имеет v Третье свойство сходящихся числовых рядов Рассмотрим два ряда k k k, ) ) Если сходится ряд ), то сходится и ряд ) Верно и обратное Следовательно, сходимость ряда не нарушается, если в начале ряда приписать к нему или убрать от него конечное число членов Четвертое свойство сходящихся числовых рядов Если ряд ) сходится, то сумма R k k его остатка после k -го члена ряда стремится к нулю при k, те R k k Пример нахождения суммы числового ряда с использованием второго свойства числовых рядов Найти сумму числового ряда Решение: По второму свойству сходящихся числовых рядов, по свойству степени с рациональным показателем имеем k 8

9 9 Рассмотрим отдельно каждый из этих рядов Ряд является бесконечной геометрической прогрессией В общем виде геометрическая прогрессия q a В данном случае, q a Найдем сумму ряда по формуле q a S : Итак, получили, что Аналогично, Здесь, q a Итак, получили, что Следовательно,, S Пример нахождения суммы числового ряда, если общий член ряда является рациональной дробью, разлагаемой на простейшие Найти сумму ряда 9 Решение: Здесь 9 Разложим дробь 9 на простейшие Найдем корни квадратного трехчлена 9 :, , D ) ) ) ) ) ) B B A A B A ) ) B A B B A B A B A B A B A ) ) Получим ряд вида Найдем -ую частичную сумму этого ряда: k k k k k S 8 8 S S, 9 S

10 Пример доказательства расходимости числового ряда Доказать расходимость данного числового ряда Решение: Преобразуем общий член ряда: l l l l ) l Найдем -ую частичную сумму данного ряда: S k l k ) l k k k l l l l l l l ) l ) l l ) l ) l l ) S l ) Найдем предел -ой частичной суммы: S l ) l Так как предел не существует, то ряд является расходящимся и суммы не имеет, что и требовалось доказать Необходимый признак сходимости числового ряда Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при при неограниченном возрастании его номера), те при Ряд Достаточный признак расходимости числового ряда Если, то ряд расходится ряд не может быть сходящимся) Пример расходящегося числового ряда, для которого не выполнен необходимый признак сходимости расходится, тк не стремится к нулю : ) Замечание к необходимому признаку сходимости числового ряда Условие является необходимым для сходимости ряда ), но не достаточным Отсюда следует, что существуют расходящиеся ряды, для которых

11 Первый пример расходящегося числового ряда, для которого выполнен необходимый признак сходимости числового ряда Рассмотрим гармонический ряд, но ряд расходится Докажем это Так как l ), то S l ) l l, те S l l l l l l l l l l l l ) l ) l l ) S l ) Так как l ) см выше пример доказательства расходимости числового ряда), то S ряд является расходящимся Второй пример расходящегося числового ряда, для которого выполнен необходимый признак сходимости числового ряда Рассмотрим ряд, но ряд расходится Докажем это Так как,,,, то S или S Так как S ряд является расходящимся После изучения данного материала предлагается выполнить следующие тесты:

12 Задание Если,,,, числовая k k последовательность, то, называются соответственно, k Необходимым признаком сходимости ряда является Необходимое условие сходимости не выполнено для рядов а) ; б) ; в) ; г) cos Необходимое условие сходимости не выполнено для рядов а) l ; б) ; в) ; г) l k Поставьте любой знак в квадрате против правильного ответа ) рядом, суммой ряда, частичной суммой ряда ) суммой ряда, частичной суммой ряда, рядом ) частичной суммой ряда, суммой ряда, рядом ) частичной суммой ряда, рядом, суммой ряда ) k k ) ) C cost ) ) а), б) и г) ) а) и б) ) б) и г) ) только б) ) только г) ) а), б) и г) ) а) и б) ) а) и г) ) только а) ) только г)

13 Признак сравнения простой) знакоположительных числовых рядов достаточный признак сходимости) Пусть даны два ряда с положительными членами:, v, v и Если v,,, и ряд v сходится, то сходится и ряд Если v,,, и ряд v расходится, то расходится и ряд Предельный признак сравнения знакоположительных числовых рядов достаточный признак сходимости) Пусть исследуется на сходимость ряд и известно поведение ряда v Если существует конечный, отличный от нуля предел, то оба v ряда либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся Если же, то из сходимости ряда v следует сходимость ряда v Табличные ряды, с которыми сравнивают исследуемые на сходимость ряды a q, a бесконечная геометрическая прогрессия; сходится при q ; расходится при q Например, ряды вида ряды вида, q ;, q ;, q, ); 9, q 9);, q сходятся; q расходятся

14 расходящийся гармонический ряд p обобщенный гармонический ряд; сходится при p ; p расходится при Например, ряды вида ряды вида, p ;,, p, p );, p ); p, p ; 6 6 сходятся; расходятся Первый пример использования простого признака сравнения для исследования числового ряда на сходимость Исследовать на сходимость числовой ряд ) Решение: Перед применением простого признака сравнения числовых рядов для исследования их на сходимость следует проверить выполнение необходимого признака сходимости, тк если этот признак не выполняется, то исследуемый ряд является расходящимся и дальнейшего исследования не требуется Если же необходимый признак сходимости выполняется, то ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся И тогда следует применить достаточные признаки сходимости Найдем предел общего члена ряда: ) пример вычисления предела см выше) Так как, то необходимый признак сходимости выполнен, те ряд может сходиться Для исследования применим признак сравнения простой): сравним исходный ряд ) с рядом v ) ; от общего члена ряда отбросили множитель Ряд сходящаяся геометрическая прогрессия, тк q Для общих членов

15 рассматриваемых рядов справедливо следующее неравенство для любого, так как ) ) ) Следовательно, исходный ряд сходится по утверждению простого признака сравнения знакоположительных числовых рядов Второй пример использования простого признака сравнения для исследования числового ряда на сходимость Исследовать на сходимость числовой ряд l Решение: Предел общего члена ряда необходимый признак сходимости выполнен Для исследования ряда на сходимость применим признак сравнения простой): сравним исходный ряд l Так как l l, то l с расходящимся гармоническим рядом v для В силу утверждения простого l признака сравнения данный ряд расходится Третий пример использования простого признака сравнения для исследования числового ряда на сходимость Исследовать на сходимость числовой ряд Решение: Найдем предел общего члена ряда: необходимый признак сходимости выполнен Для исследования ряда на сходимость применим признак сравнения простой): сравним исходный ряд с геометрической прогрессией v которая является сходящимся числовым рядом, так как знаменатель, прогрессии q ; получим, так как исходный ряд сходится

16 Четвертый пример использования простого признака сравнения для исследования числового ряда на сходимость Исследовать на сходимость числовой ряд Решение: Предел необходимый признак сходимости выполнен Для исследования ряда на сходимость применим признак сравнения простой): сравним исходный ряд расходящимся гармоническим рядом, то с v Так как для и, следовательно, нельзя сделать вывод о сходимости или расходимости ряда на основании простого признака сравнения Используем предельный признак сравнения, сравнивая с тем же гармоническим рядом: v ) ) сравниваемые ряды ведут себя одинаково и исходный ряд расходится Пятый пример использования простого признака сравнения для исследования числового ряда на сходимость Исследовать на сходимость числовой ряд Решение: Проверим, что необходимый признак сходимости ряда выполняется Для этого найдем предел, необходимый признак сходимости выполнен Для исследования ряда на сходимость применим признак сравнения простой): сравним исходный ряд с геометрической прогрессией v, которая является сходящимся числовым рядом, так как знаменатель прогрессии q ; получим, так как исходный ряд сходится 6

17 Шестой пример использования простого признака сравнения для исследования числового ряда на сходимость Исследовать на сходимость числовой ряд Решение: Так как, то необходимый признак сходимости ряда выполнен Для исследования ряда на сходимость применим признак сравнения простой): сравним исходный ряд с рядом получится, если в знаменателе Ряд v, который отбросить множитель является сходящимся обобщенным гармоническим рядом, p v здесь на основании простого признака сравнения знакоположительных числовых рядов можно сделать вывод, что исходный ряд сходится Пример ряда, для которого не выполнен необходимый признак сходимости числового ряда Исследовать на сходимость числовой ряд Решение: Найдем предел общего члена ряда: ) не выполнен необходимый признак сходимости числового ряда ряд расходится

18 Первый пример использования предельного признака сравнения для исследования числового ряда на сходимость Исследовать на сходимость числовой ряд l Решение: Перед применением предельного признака сравнения числовых рядов для исследования их на сходимость следует проверить выполнение необходимого признака сходимости, тк если этот признак не выполняется, то исследуемый ряд является расходящимся и дальнейшего исследования не требуется Если же необходимый признак сходимости выполняется, то ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся И тогда следует применить достаточные признаки сходимости Предел общего члена ряда l необходимый признак сходимости выполнен Для исследования ряда на сходимость применим признак сравнения простой): сравним исходный ряд l получим, что с l расходящимся гармоническим рядом l v ;, так как l Следовательно, невозможно сделать вывод о сходимости или расходимости исходного ряда на основании простого признака сравнения Используем предельный признак сравнения, сравнивая с тем же гармоническим рядом: l ) v l v применим правило Лопиталя) Так как, то на основании предельного признака сравнения делаем вывод, что ряды ведут себя одинаково и исходный ряд является расходящимся 8

19 Второй пример использования предельного признака сравнения для исследования числового ряда на сходимость Исследовать на сходимость числовой ряд ) ) Решение: Предел, так как при и Следовательно, необходимый признак сходимости выполнен Для исследования ряда на сходимость применим предельный признак сравнения, сравнивая с расходящимся гармоническим рядом v v : : ) ) ряды ведут себя одинаково и исходный ряд расходится Третий пример использования предельного признака сравнения для исследования числового ряда на сходимость Решение: Предел Исследовать на сходимость числовой ряд ) ) необходимый признак сходимости выполнен Для исследования ряда на сходимость применим предельный признак сравнения: сравним исходный ряд ) с рядом v ) Ряд является сходящимся обобщенным гармоническим рядом, так как p Получим v ) : ) исходный ряд сходится 9

20 Признак Даламбера сходимости знакоположительных числовых рядов достаточный признак сходимости) Рассмотрим ряд, Если существует конечный предел l, то ) при l ряд сходится; ) при l ряд расходится; ) при l ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся требуется дополнительное исследование; можно применить другой признак сходимости) Замечание к признаку Даламбера Если, то знакоположительный числовой ряд является расходящимся, так как для достаточно больших справедливо неравенство Пример использования признака Даламбера для исследования числового ряда на сходимость Исследовать на сходимость числовой ряд Решение: При использовании признака Даламбера можно отдельно не проверять выполнение необходимого признака сходимости ряда, так как если ряд сходится по признаку Даламбера, то необходимый признак сходимости ряда ) выполняется автоматически Итак,, ) Найдем предел ) исходный ряд сходится по признаку Даламбера

21 Первый пример ряда, сходящегося по признаку Даламбера Исследовать на сходимость числовой ряд ) Решение: Здесь ) ) Найдем предел ) ) исходный ряд сходится по признаку Даламбера Второй пример ряда, сходящегося по признаку Даламбера Исследовать на сходимость числовой ряд! Решение: Здесь )!,! Тогда! )! )!! ) исходный ряд сходится по признаку Даламбера Третий пример ряда, сходящегося по признаку Даламбера Исследовать на сходимость числовой ряд e Решение: Здесь ) ) ), e e e e Тогда ) ) e e e e e заданный ряд сходится Четвертый пример ряда, сходящегося по признаку Даламбера Исследовать на сходимость числовой ряд ) Решение: В данном примере ), ) Поэтому ) ) заданный ряд является сходящимся

22 Первый пример ряда, расходящегося по признаку Даламбера Исследовать на сходимость числовой ряд ) Решение: Так как, ), то ) исходный ряд сходится по признаку Даламбера Второй пример ряда, расходящегося по признаку Даламбера Исследовать на сходимость числовой ряд! ) Решение: Здесь )! ), )! Тогда! ) )! ) ) ) ) ) ) e исходный ряд расходится по признаку Даламбера Первый пример расходящегося ряда, для которого справедливо замечание к признаку Даламбера Исследовать на сходимость числовой ряд )! Решение: В данном примере ) )!, )! Предел ) ) ) )! ) )! исходный ряд является расходящимся см замечание к признаку Даламбера)

23 Второй пример расходящегося ряда, для которого справедливо замечание к признаку Даламбера Решение: Здесь Исследовать на сходимость числовой ряд )!,! )! )! Тогда )!! )!! )! )! ) ) ) ) ) исходный ) является расходящимся см замечание к признаку Даламбера) ряд Пример ряда, для которого Исследовать на сходимость числовой ряд e e e!) Решение: В данном примере!, )! Тогда )! e e e e ) )! e e e требуется дополнительное исследование Рассмотрим отношение e e e )! e e )! )! e! e e e )! ) ) e! e e исходный ряд является расходящимся см замечание к признаку Даламбера)

24 Радикальный признак Коши сходимости знакоположительных числовых рядов достаточный признак сходимости) Рассмотрим ряд, Если существует конечный предел ) при l ряд сходится; ) при l ряд расходится; ) при l ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся требуется дополнительное исследование) l, то Замечание к радикальному признаку Коши Если расходящимся, то знакоположительный числовой ряд является Пример использования радикального признака Коши для исследования числового ряда на сходимость Исследовать на сходимость числовой ряд Решение: Так как в данном примере, то предел исходный ряд сходится Пример ряда, сходящегося по радикальному признаку Коши Исследовать на сходимость числовой ряд l ) Решение: В данном случае l ), следовательно является сходящимся l ) l ) данный ряд

25 Пример ряда, расходящегося по радикальному признаку Коши Исследовать на сходимость числовой ряд ) Решение: Так как ) расходящимся, то e ) данный ряд является Пример ряда, для которого справедливо замечание к радикальному признаку Коши Решение: Здесь Исследовать на сходимость числовой ряд Поэтому ряд является расходящимся см замечание к радикальному признаку Коши) Интегральный признак Коши сходимости знакоположительного числового ряда достаточный признак сходимости) Если члены знакоположительного числового ряда можно рассматривать как значения некоторой положительной непрерывной и убывающей в интервале функции y f ) при целых значениях аргумента : f ), f ),, f ),, то справедливы следующие утверждения: ) если несобственный интеграл f ) d сходится существует), то сходится и данный числовой ряд; ) если несобственный интеграл f ) d расходится не существует), то расходится и данный числовой ряд

26 Замечание к интегральному признаку Коши Вместо интеграла f ) d можно брать интеграл f ) d, где k N k k натуральное число), k Отбрасывание k первых членов ряда в ряде не влияет на сходимость расходимость) ряда Пример использования интегрального признака Коши для исследования числового ряда на сходимость Исследовать на сходимость числовой ряд ) l ) Решение: Заменим в заданном выражении общего члена ряда ) l ) номер непрерывной переменной ) получим функцию f ) ) l ), Эта функция удовлетворяет всем условиям интегрального признака Коши, те является непрерывной и убывающей в бесконечном интервале изменения ) Найдем несобственный интеграл от пределом: ) ) l ) f с бесконечным верхним b b d d dl )) ) l ) b ) l ) b l ) b ll )) ll b )) ll ) ll )) ll ) b b l ) ll ) Этот несобственный интеграл расходится Следовательно, согласно интегральному признаку и данный ряд также расходится Первый пример ряда, сходящегося по интегральному признаку Коши Исследовать на сходимость числовой ряд l Решение: Функция f ) является непрерывной и убывающей во l всем бесконечном интервале изменения ) Найдем 6

27 несобственный интеграл от этой функции с бесконечным верхним пределом d b d l ) b b b l b l b l b b l b dl ) l ) l b l l l Этот несобственный интеграл сходится Поэтому согласно интегральному признаку сходимости данный ряд также сходится Второй пример ряда, сходящегося по интегральному признаку Коши Исследовать на сходимость числовой ряд Решение: Функция f ) удовлетворяет всем условиям интегрального признака Коши Найдем d l b b b b d b l d ) b l l b l l l6 b Этот несобственный интеграл сходится Поэтому согласно интегральному признаку сходимости данный ряд также сходится Третий пример ряда, сходящегося по интегральному признаку Коши Решение: Здесь Исследовать на сходимость числовой ряд f ) b l Найдем b l d d b l ) l ) l ) l l d b b b bl l l b b l l l Этот несобственный интеграл сходится Поэтому согласно интегральному признаку сходимости данный ряд также сходится b b

28 Пример ряда, расходящегося по интегральному признаку Коши Решение: Функция признака Коши Найдем l l f ) удовлетворяет всем условиям интегрального Исследовать на сходимость числовой ряд b l b l l l l d l l ) d d b b b b b Так как несобственный интеграл расходится, то и данный ряд также расходится После изучения данного материала предлагается выполнить следующие тесты: b Задание Если для рядов с положительными членами и v выполняется v, то Поставьте любой знак в квадрате против правильного ответа ) из сходимости ряда следует сходимость v ; ) из расходимости ряда следует сходимость v ; ) из сходимости ряда v следует сходимость 8

29 Задание 6 Признак Даламбера сходимости числового ряда с положительными членами заключается в том, что Признак Коши сходимости числового ряда с положительными членами заключается в том, что 8 Интегральный признак Коши сходимости числового ряда с невозрастающими членами заключается в том, что Поставьте любой знак в квадрате против правильного ответа ) l, l ряд расходится, l ряд сходится ) l, l ряд расходится, l ряд сходится ) l, l ряд расходится, l ряд сходится ) l, l ряд сходится, l ряд расходится ) l, l ряд сходится, l ряд расходится ) l, l ряд расходится, l ряд сходится ) если f ) d сходится, то ряд сходится ) если f ) d расходится, то ряд сходится ) если f ) d сходится, то ряд сход ) если f ) d сходится, то ряд расходится 9

30 Задание 9 Для исследования сходимости числового ряда )! следует применить )! Для исследования сходимости числового ряда следует применить Для исследования сходимости числового ряда 8 следует применить Для исследования сходимости числового ряда ) следует применить Какой ряд сходится: а) ; б) Какой ряд сходится: 6 а) ; б) Какой ряд сходится: а) ) ) Поставьте любой знак в квадрате против правильного ответа ) признак Даламбера ) признак Лейбница ) признак Коши ) предельный признак сравнения ) признак Даламбера ) признак Лейбница ) признак Коши ) предельный признак сравнения ) предельный признак сравнения ) признак Даламбера ) признак Лейбница ) необходимое условие ) предельный признак сравнения ) признак Даламбера ) признак Лейбница ) признак Коши ) только б) ) только а) ; б) 6 Какой ряд сходится: а) ; б) ) ) и тот и другой ) ни тот ни другой ) только а) ) только б) ) и тот и другой ) ни тот ни другой ) только б) ) только а) ) и тот и другой ) ни тот ни другой ) только а) ) только б) ) и тот и другой ) ни тот ни другой

31 Задание Из рядов а) ; б) ; в)! сходятся 8 Из рядов а) ; б) ; в) сходятся 9 Из рядов а) ; б) ; в) )! сходятся Из рядов а) ; б)! ; в) сходятся Из рядов а) ; б) ; в) г) сходятся Укажите сходящиеся числовые ряды: а) ; б) ; в) ; г) Укажите сходящиеся числовые ряды: а) ; б) ; в) ; г) 9 Сходящимися среди числовых рядов являются а) ; б) ; в) ; г) ; Поставьте любой знак в квадрате против правильного ответа ) только в) ) только а) и б) ) все расходятся ) только б) ) только б) и в) ) только б) ) только в) ) только б) и в) ) ни один не сходится ) только а) и в) ) только а) и б) ) сходятся все ) только а) и в) ) только б) и в) ) только а) ) только а) ) только в) ) только б) и в) ) ни один не сходится ) ни один не сходится ) только а) и в) ) только а) и б) ) только а) ) только б) ) а), б) и в) ) а) и в) ) а) и г) ) только а) ) а), б) и в) ) а) и г) ) а) и в) ) только а) ) только в) ) а), б) и в) ) а) и г) ) а) и в) ) только а)

32 Числовой ряд Понятие знакопеременного числового ряда называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные те знаки членов ряда распределены произвольно) Достаточный признак сходимости знакопеременных числовых рядов Если знакопеременный ряд ) таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов, ) сходится, то и данный ряд ) также сходится Пример использования достаточного признака сходимости знакопеременных числовых рядов для исследования ряда на сходимость Исследуем сходимость ряда si si si si, 6) где любое число Решение: Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда 6): si si si si Получили знакоположительный числовой ряд Члены этого ряда не больше соответствующих членов ряда si ; si si si ; ; ; ), 8) Ряд 8) является сходящимся обобщенный гармонический ряд; p ) Ряд ) сходится по признаку сравнения простому) Но тогда, в силу достаточного признака сходимости знакопеременных рядов, данный ряд 6) тоже сходится

33 Пример расходящегося знакопеременного числового ряда, для которого выполняется достаточный признак сходимости Достаточный признак сходимости знакопеременных числовых рядов не является необходимым, те знакопеременный ряд сходиться и тогда, когда знакоположительный ряд Например, ряд вида расходится может является сходящимся доказательство этого факта будет приведено ниже при рассмотрении знакочередующихся числовых рядов), а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, те ряд вида это расходящийся гармонический ряд Определение абсолютно сходящегося знакопеременного числового ряда Знакопеременный числовой ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд Определение условно сходящегося знакопеременного числового ряда Если знакопеременный числовой ряд сходится, а ряд расходится, то данный знакопеременный ряд называется условно или неабсолютно) сходящимся Ранее рассмотренный ряд является условно сходящимся Первое свойство абсолютно сходящихся числовых рядов Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов

34 Второе свойство абсолютно сходящихся числовых рядов Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S и S можно почленно складывать вычитать) В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S S или соответственно S S ) Третье свойство абсолютно сходящихся числовых рядов Под произведением двух сходящихся рядов и v v v понимают ряд, составленный из всевозможных попарных произведений членов данных рядов: v v v v ) v v ) Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами S и S есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S S Свойство условно сходящихся числовых рядов Если ряд сходится условно, то, какое бы мы ни задали число A, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности равной A Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что ряд, полученный после перестановки, окажется расходящимся Понятие знакочередующегося числового ряда Рассмотрим ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, те ряды вида ), где,,, положительные числа Не ограничивая общности, возьмем перед всем рядом знак " где для всех N ) ) " :, 9)

35 Признак Лейбница достаточный признак сходимости знакочередующегося числового ряда) Знакочередующийся ряд 9) сходится, если: Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, те ; Общий член ряда стремится к нулю: При этом сумма S ряда 9) не превосходит по абсолютной величине первого члена ряда: S ) Пример исследования ряда на сходимость с помощью признака Лейбница Исследуем на сходимость знакочередующийся ряд этот ряд был рассмотрен нами выше) ) Решение: Так как последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает) и, то ряд сходится по признаку Лейбница Так как ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, а именно, ряд рядом, то ряд является расходящимся гармоническим условно сходящимся ) Первое замечание к признаку Лейбница, по определению, является Признак Лейбница справедлив, если неравенства выполняются, начиная с некоторого номера N Второе замечание к признаку Лейбница Ряды вида 9), для которых выполняются условия признака Лейбница, называются рядами Лейбница

36 Пример исследования знакопеременного числового ряда на абсолютную сходимость Исследовать сходимость следующего числового ряда Решение: Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость Для этого составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: cos cos cos cos cos ; здесь любое число Получили знакоположительный числовой ряд, члены которого не больше соответствующих членов ряда так как cos, N cos Ряд p гармоническим рядом; он сходится, так как Знакоположительный ряд cos является обобщенным сходится по признаку сравнения простому) Следовательно, знакопеременный ряд абсолютно сходящимся cos, является Первый пример исследования знакочередующегося числового ряда на абсолютную и условную сходимости Исследовать сходимость числового ряда ) и установить характер сходимости Решение: Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость Для этого рассмотрим знакоположительный числовой ряд, составленный из ) абсолютных величин членов данного ряда: Этот ряд является обобщенным гармоническим рядом; он расходится, так как p Следовательно, заданный знакочередующийся ряд не является абсолютно сходящимся Используем признак Лейбница Члены данного знакочередующегося ряда ) убывают по абсолютной величине, стремясь к нулю: 6

37 и ) Поэтому ряд сходится по признаку Лейбница По определению условно сходящегося ряда данный ряд сходится условно Второй пример исследования знакочередующегося числового ряда на абсолютную и условную сходимости ) Исследовать сходимость числового ряда и установить ) характер сходимости Решение: Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных ) величин членов исходного ряда Исследуем этот знакоположительный ряд на сходимость при помощи простого признака сравнения он подходит здесь более всего) Сравним ряд со сходящимся обобщенным ) гармоническим рядом, p ) : Получили, что каждый член ряда меньше соответствующего члена сходящегося ряда ) Поэтому, согласно признаку сравнения простому) ряд сходится Следовательно, заданный знакочередующийся ряд сходится абсолютно Первый пример абсолютно сходящегося знакочередующегося числового ряда ) ) ) Исследовать сходимость числового ряда ) и установить характер сходимости Решение: Рассмотрим знакоположительный ряд Исследуем его на сходимость с помощью признака Даламбера:,, то ) )

38 ряд абсолютно сходится по признаку Даламбера, а ряд ) сходится Второй пример абсолютно сходящегося знакочередующегося числового ряда Исследовать сходимость числового ряда и установить характер сходимости Решение: Запишем заданный знакочередующийся ряд в виде: ) Рассмотрим знакоположительный ряд сходимость при помощи радикального признака Коши: т к то Ряд, который исследуем на радикальному признаку Коши, следовательно, ряд абсолютно сходится по Третий пример абсолютно сходящегося знакочередующегося числового ряда Исследовать сходимость числового ряда характер сходимости ), сходится и установить Решение: Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда Полученный знакоположительный ряд исследуем на сходимость Применим признак сравнения простой) Сравним ряд прогрессией, q со сходящейся бесконечной геометрической v : Следовательно, рассматриваемый знакоположительный ряд сходится Тогда знакочередующийся ряд ) сходится абсолютно по определению 8

39 Четвертый пример абсолютно сходящегося знакочередующегося числового ряда ) l Исследовать сходимость числового ряда и установить характер сходимости Решение: Рассмотрим знакоположительный числовой ряд Этот l ряд можно исследовать на сходимость с помощью интегрального признака Коши Здесь d l f ) l b b d l Тогда b l ) l l b l b l b l ) d l ) b b Отсюда следует, что несобственный интеграл bl d l b сходится Следовательно, знакоположительный числовой ряд также l сходится Тогда, по определению, знакочередующийся числовой ряд ) l сходится абсолютно Пятый пример абсолютно сходящегося знакочередующегося числового ряда Исследовать сходимость числового ряда ) и установить! характер сходимости Решение: Соответствующий данному ряду знакоположительный числовой ряд имеет вид Исследуем его на сходимость при помощи признака! Даламбера: так как,! )!, то! )! )! сходится Ряд )! сходится абсолютно ряд 9

40 Первый пример условно сходящегося знакочередующегося числового ряда ) l Исследовать сходимость числового ряда и установить характер сходимости Решение: Рассмотрим знакоположительный числовой ряд l Этот ряд можно исследовать на сходимость с помощью интегрального f ) l b b d d dl ) b ll ) l l l b b b признака Коши Здесь Тогда ll b) ll ) b Те этот несобственный интеграл расходится Следовательно, будет расходиться и ряд Вопрос о сходимости знакочередующегося l ряда остается открытым Применим признак Лейбница ) l l l l Члены знакочередующегося ряда величине, стремясь к нулю: ) убывают по абсолютной и l Поэтому ряд сходится по признаку Лейбница По определению l условно сходящегося ряда данный ряд сходится условно Второй пример условно сходящегося знакочередующегося числового ряда ) Исследовать сходимость числового ряда и ) установить характер сходимости Решение: Знакоположительный ряд исследуем на сходимость ) при помощи предельного признака сравнения Сравним его с расходящимся гармоническим рядом : так как, v, то ) : ) ) v Следовательно, ряд ) ) расходится Применим признак Лейбница

41 Члены знакочередующегося ряда величине, стремясь к нулю: ) ) ) убывают по абсолютной и ) ) ) Поэтому ряд сходится по признаку Лейбница ) По определению условно сходящегося ряда данный ряд сходится условно Пример расходящегося знакочередующегося числового ряда Исследовать сходимость числового ряда ) и установить характер сходимости Решение: Рассмотрим знакоположительный числовой ряд Этот ряд является расходящимся Так как, то для данного ряда не выполняется необходимый признак сходимости знакоположительного числового ряда Следовательно, ряд расходится Вопрос о сходимости знакочередующегося ряда остается открытым Применим признак Лейбница Для данного знакочередующегося ряда ) не выполняется второе условие признака Лейбница: Т е заданный знакочередующийся ряд является расходящимся Вычисление суммы знакочередующегося числового ряда Если мы заменим сумму S данного ряда его - ой частичной суммой S, то допустим ошибку Соотношение ) позволяет получить простую и удобную оценку этой ошибки S Пусть дан сходящийся ряд ) Обозначим: S ) Эту сумму S можно представить в виде S ) ), ), сумма которого равна S, те

42 R при нечетном R при четном,, тогда S S R и S S R R остаток ряда; является суммой знакочередующегося ряда, следовательно, по формуле ) R Вывод: заменяя сумму ряда S его частичной суммой S, получаем ошибку R, абсолютная величина которой меньше абсолютной величины первого из отброшенных членов ряда Первый пример вычисления суммы знакочередующегося числового ряда Вычислить приближенно сумму ряда Лейбница ) с точностью, Решение: Данный ряд является рядом Лейбница, те он сходится Выпишем несколько первых членов ряда Запись прекращается, когда мы получаем член ряда, абсолютное значение которого меньше, ) 9 6 6, ;, ;, ;, ;, 8, Здесь для нахождения суммы ряда S с точностью достаточно взять пять первых членов ряда: S ) При этом мы допускаем ошибку 8 R члена ряда, те, 8,,,,,9 R Она меньше первого отброшенного Второй пример вычисления суммы знакочередующегося числового ряда ) Вычислить приближенно сумму ряда Лейбница с точностью, Решение: Данный ряд является рядом Лейбница, те он сходится Выпишем несколько первых членов ряда Запись прекращается, когда мы получаем член ряда, абсолютное значение которого меньше,

43 ) , ;, ;, ;, ;, , Здесь Для нахождения суммы ряда S с точностью достаточно взять сумму первых четырех членов: При этом мы допускаем ошибку члена ряда, те, 8 ) S, R 6 R Она меньше первого отброшенного После изучения данного материала предлагается выполнить следующие тесты: Задание Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если 6 Знакочередующийся ряд ) сходится признак Лейбница), если ) Поставьте любой знак в квадрате против правильного ответа ) ряд ) ряд ) ряд ) ряд сходится сходится сходится сходится ) и ) и ) и ) и

44 Задание Знакочередующийся ряд ) 8 Знакочередующийся ряд ) )! 9 Знакочередующийся ряд ) Установить соответствие между видами сходимости и знакопеременными рядами: А) ) ; Б) ) ; В) )! а) абсолютно сходится; б) условно сходится; в) расходится Установить соответствие между видами сходимости и знакопеременными рядами: А) ) ; Б) ) ; В) ) )! а) абсолютно сходится; б) условно сходится; в) расходится Поставьте любой знак в квадрате против правильного ответа ) абсолютно сходится ) условно сходится ) расходится ) абсолютно сходится ) условно сходится ) расходится ) абсолютно сходится ) условно сходится ) расходится ) А а; Б б; В в ) А б; Б а; В в ) А в; Б б; В а ) А а; Б в; В б ) А б; Б в; В а ) А а; Б б; В в ) А б; Б а; В в ) А в; Б а; В б ) А а; Б в; В б ) А в; Б б; В а Ряд вида Определение функционального ряда ) ) ) ) ) ) называется функциональным рядом Членами этого ряда являются функции от, определенные на некотором множестве D Функция ) общий член ряда

45 Пример функционального ряда Ряд ) ) ) ) ) функциональный ряд; его общий член имеет вид ) ) Переход от функционального ряда к числовому ряду это ряд При определенном значении аргумента ) ) ) ) ) D получаем числовой Пример перехода от функционального ряда к числовому ряду Рассмотрим функциональный ряд ) ) ) ) ) При получаем числовой расходящийся ряд При получаем числовой сходящийся ряд это бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем q ) Можно сделать вывод: при одних значения аргумента данный функциональный ряд может сходиться, а при других расходиться Понятие точки сходимости расходимости) функционального ряда Если при D числовой ряд ) сходится, то сходимости функционального ряда ) Если же при точка D числовой ряд ) расходится, то точка расходимости функционального ряда )

46 Определение области сходимости функционального ряда Совокупность значений, при которых функции ), ),, ), определены и ряд ) сходится, называют областью сходимости функционального ряда Обозначим: Понятие суммы функционального ряда, определение сходящегося функционального ряда ) ) ) k ) k S ) -ая частичная сумма ряда ) Если существует предел ) S ) S сходится на множестве D к функции ) S ) сумма функционального ряда S, D, то говорят, что ряд ) Первый пример нахождения области сходимости функционального ряда Найти область сходимости функционального ряда Решение: Рассматриваемый нами ряд является обобщенным гармоническим рядом Он сходится при Следовательно, его областью сходимости является интервал ; ) Второй пример нахождения области сходимости функционального ряда Найти область сходимости функционального ряда l Решение: Ряд знаменателем l это бесконечная геометрическая прогрессия со q l Этот ряд сходится при q l l e e e e Следовательно, его областью сходимости является интервал e e ; 6

47 Определение степенного ряда Степенным рядом называется функциональный ряд вида a Постоянные a ) a ) a ) a ), a, a,, a, ) a коэффициенты степенного ряда При имеем степенной ряд вида a a a a a ) Будем рассматривать степенной ряд ), так как ряд ) преобразуется к ряду ) при помощи подстановки Теорема Абеля ) Если ряд a сходится при, то он сходится и при том абсолютно) при всех значениях, удовлетворяющих условию, те в интервале ; ) если ряд a расходится при, то он расходится при всех значениях, удовлетворяющих условию Замечание о сходимости степенных рядов Ряд ) всегда сходится, по крайней мере, при Ряд ) всегда сходится, по крайней мере, при Определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда Из теоремы Абеля следует, что для степенного ряда ) существует число R такое, что при всех, для которых R R R) степенной ряд ) сходится абсолютно При всех, для которых R ряд расходится рис) Число R называется радиусом сходимости степенного ряда ) Интервал R; R) называется интервалом сходимости степенного ряда )

48 рис Радиусом сходимости степенного ряда ) называется число R такое, что при всех, для которых R R ) степенной R ряд ) сходится абсолютно При всех, для которых R ряд расходится рис) Интервал R; R) интервал сходимости ряда ) рис Сходимость степенного ряда на концах интервала сходимости На концах интервала, те при R и при R, сходимость ряда ) исследуется отдельно При этом значения R и R подставляются непосредственно в степенной ряд После этого на сходимость исследуются полученные числовые ряды соответственно, знакоположительный и знакочередующийся) Вывод о виде области сходимости степенного ряда Область сходимости степенного ряда состоит из его интервала сходимости и, быть может, граничных точек интервала сходимости Область сходимости степенного ряда может иметь вид: R; R), или R; R], или [ R; R), или [ R; R] Замечания о радиусе сходимости степенного ряда ) R в общем случае); ряд ) абсолютно сходится в интервале R; R; ряд ) абсолютно сходится в интервале R R ; ) R ; ряд ) сходится в одной точке ; ряд ) сходится в одной точке ) R ; ряды ) и ) абсолютно сходятся во всех точках числовой оси, те при всех значениях ; ) 8

49 Формулы для нахождения радиуса сходимости степенного ряда Радиус абсолютной сходимости для степенных рядов ) и ) можно вычислить по одной из формул: a R, ) a при условии, что пределы существуют Здесь a коэффициенты степенного ряда a и R, ) a Первый пример нахождения радиуса и области сходимости степенного ряда по формуле ) Найти область сходимости степенного ряда Решение: Найдем радиус сходимости данного степенного ряда по формуле ) Так как a R a a ) : ), a ), то Следовательно, ряд сходится при, те при Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости При имеем знакочередующийся числовой ряд ) ) Для этого ряда не выполнены оба условия признака Лейбница Он является расходящимся Следовательно, ряд расходится при При имеем знакоположительный числовой ряд Он расходится, так как для него не выполняется необходимый признак сходимости: Следовательно, ряд расходится при Получили, что областью сходимости заданного степенного ряда является совокупность значений ; ) Можно сказать также, что заданный ряд сходится абсолютно при ; ) 9

50 Второй пример нахождения радиуса и области сходимости степенного ряда по формуле ) Найти область сходимости степенного ряда! Решение: Найдем радиус сходимости данного степенного ряда по формуле )! ) Так как a, a, то R : )! )!! )!! Следовательно, заданный ряд абсолютно сходится во всех точках числовой оси, те при всех значениях ; ) Третий пример нахождения радиуса и области сходимости степенного ряда по формуле ) Найти область сходимости степенного ряда Решение: Здесь a, ) a a Поэтому R a Следовательно, ряд сходится при, те при или Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости При имеем знакочередующийся ряд ) убывают по абсолютной величине, стремясь к нулю: Члены этого ряда Поэтому ряд ) сходится по признаку Лейбница Следовательно, заданный степенной ряд сходится при При получаем знакоположительный числовой ряд и Это p обобщенный гармонический ряд; он расходится, так как Следовательно, заданный степенной ряд расходится при Областью сходимости заданного степенного ряда является множество значений [; )

51 Четвертый пример нахождения радиуса и области сходимости степенного ряда по формуле ) Найти область сходимости степенного ряда ) 6 Решение: Найдем радиус сходимости данного степенного ряда по формуле ) Так как a ) 6, a ) ) 6 ) 6 a ) 6 6 R Следовательно, ряд a ) 6 сходится при 6, те при 6 6 Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости 6) ) При 6 имеем знакочередующийся ряд ) 6 Для исследования его на сходимость применим признак Лейбница Члены знакочередующегося ряда ) убывают по абсолютной величине, стремясь к нулю: и Поэтому ряд ) сходится по признаку Лейбница Следовательно, заданный степенной ряд сходится при 6 При 6 получаем знакоположительный числовой ряд 6 Исследуем его на сходимость при помощи ) 6 предельного признака сравнения Сравним ряд расходящимся гармоническим рядом v ) v :, то с сравниваемые ряды ведут себя одинаково и ряд расходится Следовательно, заданный степенной ряд расходится при 6 В результате исследования получили, что область сходимости заданного степенного ряда есть множество значений [6; 6)

52 Пятый пример нахождения радиуса и области сходимости степенного ряда по формуле ) Найти область сходимости степенного ряда Решение: Здесь a ), a ) ) ) a ) Поэтому R Следовательно, ряд a ) сходится при, те при или Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости ) ) При имеем знакочередующийся ряд ) Члены этого ряда убывают по абсолютной величине, стремясь к нулю: и Поэтому ряд ) сходится по признаку Лейбница Следовательно, заданный степенной ряд сходится при При получаем знакоположительный числовой ряд ) гармоническим рядом с расходящимся v : ) v расходится Сравним ряд сравниваемые ряды ведут себя одинаково и ряд Следовательно, заданный степенной ряд расходится при Областью сходимости заданного степенного ряда является множество значений [; ) Шестой пример нахождения радиуса и области сходимости степенного ряда по формуле ) Найти область сходимости степенного ряда ) ) ) a Решение: Так как a, a, то R a Следовательно, ряд сходится при, те при Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости

53 При имеем знакоположительный числовой ряд ) Это обобщенный гармонический ряд; он расходится, так как p Следовательно, заданный степенной ряд расходится при При имеем знакочередующийся ряд ) убывают по абсолютной величине, стремясь к нулю: Члены этого ряда Поэтому ряд ) сходится по признаку Лейбница Следовательно, заданный степенной ряд сходится при Область сходимости заданного степенного ряда есть множество значений ; ] Седьмой пример нахождения радиуса и области сходимости степенного ряда по формуле ) Найти область сходимости степенного ряда ) Решение: Найдем радиус сходимости данного степенного ряда по формуле ) Так как a, a a, то R Следовательно, a ряд сходится при, те при или Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости ) При имеем знакочередующийся ряд ) Полученный ряд является расходящимся Здесь S при четном и S при нечетном ; следовательно, S не существует При имеем ряд Полученный ряд является расходящимся, так как S Получили, что областью сходимости заданного степенного является интервал и ряда

54 Первый пример нахождения радиуса и области сходимости степенного ряда по формуле ) Найти область сходимости степенного ряда Решение: Найдем радиус сходимости данного степенного ряда по формуле ) Так как a, то R Следовательно, a заданный ряд сходится в одной точке Второй пример нахождения радиуса и области сходимости степенного ряда по формуле ) Найти область сходимости степенного ряда Решение: Найдем радиус сходимости данного степенного ряда по формуле ) Так как a, то R a Следовательно, ряд сходится при, те при Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости При получаем знакочередующийся числовой ряд ) ) выполняется второе условие признака Лейбница: Он расходится, так как для него не Т е данный степенной ряд расходится при e При получаем знакоположительный ряд Этот ряд является расходящимся Для него не выполняется необходимый признак сходимости знакоположительного ряда: e Т е данный степенной ряд расходится при Следовательно, областью сходимости заданного степенного является интервал ряда


Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными {основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами признак Даламбера, признак Коши, интегральный

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

1. Числовые ряды, основные понятия.

1. Числовые ряды, основные понятия. Числовой ряд. Числовые ряды, основные понятия. () называется сходящимся, если его частичная сумма (2) имеет конечный предел Тогда называется суммой ряда, а разность lim. (3) (4) называют остатком ряда.

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается Глава. РЯДЫ. Понятия верхнего и нижнего пределов последовательности Пусть дана ограниченная числовая последовательность ( ) (все её члены заключены на числовой прямой между числами а и b), т.е. По теореме

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда: Сходимость произвольных рядов. Ниже будут рассматриваться ряды, в которых имеется бесконечное количество положительных членов и бесконечное количество отрицательных членов. Такие ряды называют знакопеременными.

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 8, 9 ПО РЯДАМ

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 8, 9 ПО РЯДАМ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 8 9 ПО РЯДАМ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо пользуясь табл заполнить первую строку табл затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл Например Вы

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

n =1,2, K. Ряд называют

n =1,2, K. Ряд называют 2. Признаки сходимости знакоположительных рядов Ряд u называют знакоположительным, если все его члены неотрицательны, т.е. если u 0 для любого,2, K. Ряд называют знакоотрицательным, если все его члены

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1 Разберите предложенные ниже задачи с решениями Найдите принципиальные ошибки Для ошибочно решенных задач объясните, почему используемые методы не работают или работают неправильно, и предложите собственное

Подробнее

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида:

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: Тема 9 Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: a 1 a2 a3... a... a Если предел последовательности последовательностью частичных сумм ряда. lim S S 1 Необходимое условие сходимости:

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

Теорема 2.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim n a, то при 1. ряд расходится. Пример 14. Исследуем на сходимость ряд

Теорема 2.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim n a, то при 1. ряд расходится. Пример 14. Исследуем на сходимость ряд Теорема.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim a, то при ряд сходится, а при ряд расходится. ( ) Пример 4. Исследуем на сходимость ряд. 4 Первая мысль при рассмотрении данного

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры }

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } {функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } Пусть задана бесконечная последовательность функций, Функциональные

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Знакочередующийся ряд. Признак сходимости Лейбница. Знакопеременный ряд. Абсолютная и условная сходимости. Общий комплексный ряд. Теорема

Подробнее

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X 4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u ), u ( ), K, u ( ),K ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u ) + u ( ) + K + u ( ) +

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Т А Матвеева, В Б Светличная, Н Н Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Волгоград 00 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

1. Числовые ряды. результату одно следующее число, мы будем получать частичные суммы: 1 ; ; ; ;...

1. Числовые ряды. результату одно следующее число, мы будем получать частичные суммы: 1 ; ; ; ;... ЛЕКЦИЯ N25. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости рядов с положительными членами. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов..числовые ряды 2.Основные теоремы....

Подробнее

Методические указания

Методические указания Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Методические указания В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко, И.О. Янов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Московский государственный

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по математическому анализу Часть 2 Числовые ряды М. Г. Голузина,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА. Типовой расчет по математическому анализу Контрольные задания по теме Ряды Задание. Найти сумму числового ряда ) ) = + + ( )( 5) + ) ( ) = 5 = Решение ) 5 ( ) + + = = = = + + 5 + + 5 + + 5 + + 5

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Лекция 5. Абсолютная и условная сходимости

Лекция 5. Абсолютная и условная сходимости С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция 5 Абсолютная и условная сходимости. Понятие абсолютной и условной сходимостей Пусть дан ряд (данный ряд). Поставим ему в соответствие ряд, члены которого равны

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы РБ КАРАСЕВА Р Я Д Ы Омск Министерство образования и науки РФ ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)» РБКарасева Р Я Д Ы Учебное пособие Омск СибАДИ УДК ББК К Рецензенты:

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее