РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике"

Транскрипт

1 МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

2 МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Кафедра «Высшая математика» Утверждаю Зав кафедрой профессор МВ Яшина 09 г АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКВА МАДИ 09

3 УДК 575 ББК 6 З678 Зленко, АА З678 Ряды: методические указания к самостоятельной работе по математике / АА Зленко, CА Изотова, ЛА Малышева М: МАДИ, с Методические указания состоят из двух основных тем: ) числовые ряды: положительные и знакопеременные; ) функциональные ряды: степенные ряды, разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена, приложение степенных рядов к приближенным вычислениям Каждая тема содержит теоретическую и практическую часть В теоретической части даны необходимые определения и теоремы Важные теоремы идут с подробными доказательствами Практическая часть содержит решения примеров, нацеленных на понимание теоретического материала, и упражнения для самоподготовки от самых простых задач до среднего уровня сложности Методические указания окажут помощь студентам при изучении темы «Ряды» при подготовке к экзаменам и выполнении контрольных работ Данные методические указания соответствуют программе по математике для студентов инженерно-технических специальностей высших учебных заведений Они предназначены для самостоятельной работы студентов первого и второго курсов, квалификации бакалавриата и специалитета УДК 575 ББК 6 МАДИ, 09

4 ПРЕДИСЛОВИЕ Данные методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов первого и второго курсов, квалификации бакалавриата и специалитета, изучающих высшую математику, а именно, теорию рядов Большой поток информации на данную тему не позволяет студентам достаточно быстро и хорошо сориентироваться в материале, сделать акцент на самом главном Поэтому цель данных методических указаний изложение основного материала, соответствующего электронному учебно-методическому комплексу Они содержат необходимые определения, теоремы по теории числовых, функциональных и степенных рядов, методы исследования сходимости рядов, разложения функций в ряды Маклорена и Тейлора, применения рядов к приближенным вычислениям В каждом разделе приведены примеры с решениями, иллюстрирующими применение теоретических сведений Усвоение этого курса базируется на знании основ математического анализа (пределов, несобственных интегралов) и умении проводить необходимые математические преобразования и вычисления В конце каждого раздела приведены упражнения для закрепления теоретического материала от самых простых задач до среднего уровня сложности Методические указания окажут практическую помощь при выполнении контрольных работ и подготовке к экзаменам Ряды являются мощным средством при исследовании и решении многих математических проблем и задач Курс теории рядов несомненно поможет развитию у студентов логического мышления, что является основой для успешного изучения на старших курсах специальных инженерно-технических дисциплин, овладения принципами математического моделирования и проектирования сложных систем, что будет способствовать студенту стать в дальнейшем высококвалифицированным специалистом

5 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Понятие числового ряда Ряд и его частичные суммы Сходящиеся и расходящиеся ряды Пусть дана бесконечная последовательность чисел: a, a,, a, Числовым рядом называется выражение a + a + + a + = a (), которое получится, если члены данной последовательности соединить формально знаком плюс Числа a, a,, a, называются членами ряда Выражение для -го члена ряда при произвольном называется общим членом ряда Ряд считается заданным, если известно правило, по которому для любого номера можно записать соответствующий член ряда Чаще всего общий член ряда задается формулой вида a = f(), выражающей a через номер Для задания ряда можно использовать рекуррентные соотношения, связывающие последующий член ряда с предыдущими При этом задаются несколько первых членов ряда и формула, по которой находятся следующие члены ряда Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда (): S = a, S = a+ a,, S = a+ a + + a Сумма S первых членов ряда () называется -й частичной суммой ряда Так как число слагаемых в ряде () бесконечно, то можно составить бесконечную последовательность частичных сумм S, S,, S, () Ряд () называется сходящимся, если существует конечный предел S последовательности {S } его частичных сумм: lim S = S Число S в этом случае называется суммой ряда ()

6 Если 5 lim S или не существует, то ряд () называется расходящимся Таким образом, вопрос о сходимости ряда (), по определению, равносилен вопросу о существовании конечного предела у последовательности () его частичных сумм = Пример Дан общий член ряда a = Написать первые четыре члена ряда Решение Если =, то a = ; если =, то a = ; если =, 4 то a = ; если = 4, то a 4 = ; Ряд можно записать в виде Пример Написать первые четыре члена ряда, если a =, a =, 4 а рекуррентная формула имеет вид a = a + a Решение Последовательно находим a = a + a = + =, a4 = a + a = + =, Таким образом, получаем ряд Пример Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии: a+ aq + aq + + aq + = aq ()

7 6 Решение Известно, что сумма первых членов геометрической прогрессии, те -я частичная сумма ряда () при q равна a( q ) S = (4) q Возможны следующие случаи: а) если q <, то a aq a lim q = 0 и lim S = lim =, q q q те ряд сходится и его сумма a S = ; q б) если q >, то lim q = и lim S =, те ряд расходится; в) если q =, то ряд () принимает вид a+ a+ + a+ и его -я частичная сумма равна S = a + a+ + a = a Следовательно, раз lim S = lim a =, те ряд расходится; г) если q =, то ряд () принимает вид a a+ a a+ + ( ) a+, -я частичная сумма (4) которого равна a a( ) 0, если четное, S = = a, если нечетное Следовательно, lim S не существует и, значит, ряд () расходится Таким образом, ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, сходится при q < и расходится при q

8 Пример 4 Исследовать на сходимость ряд = 4 ( + ) ( + ) Решение Так как =, =, =,, 4 4 то S =, ( + ) + = = ( + ) = + = = Отсюда lim S = lim = + Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна Пример 5 Исследовать на сходимость ряд = Решение Так как члены данного ряда убывают > > > > >, то его -я частичная сумма S = > = Поэтому lim S =, те данный ряд расходится

9 8 Ряд Основные свойства сходящихся рядов a + a + + a + = a (5), m+ m+ m+ k m+ полученный из ряда () отбрасыванием его первых m членов, называется m-ым остатком ряда Теорема Если ряд () сходится, то сходится и любой из его остатков (5); обратно, из сходимости остатка (5) вытекает сходимость исходного ряда () Доказательство Зафиксируем m и обозначим k-ую частичную сумму ряда (5) через σ k : σ k = am+ + am+ + + am+ k Очевидно, что Sm+ k= a+ a + + am+ am+ + am+ + + am+ k= Sm+σk, Sm где S m+k и S m соответственно (m + k)-ая и m-ая частичные суммы ряда () Отсюда видно, что при фиксированном m существование или отсутствие предела при k частичной суммы одного ряда влечет за собой существование или отсутствие предела частичной суммы другого ряда Теорема доказана Таким образом, отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоединение в начале его нескольких новых членов не отражается на поведении ряда в смысле его сходимости или расходимости (в принципе можно отбрасывать члены с любыми номерами, лишь бы их было конечное число) Сумму ряда (5), если он сходится, обозначим через r m, те r = a + a + + a + = lim σ σk m m+ m+ m+ k k k Тогда сумму ряда () можно представить в виде S = S m + rm (6) Теорема Если ряд () сходится, то lim r = 0 m m

10 9 Доказательство Пусть ряд () сходится Это значит, что существует конечный предел последовательности его частичных сумм: lim S = S m Поэтому, в силу равенства (6) получаем: lim r = lim ( S S = S S = 0 m Теорема доказана m ) m m m Теорема Если ряд () сходится и его сумма равна S, то ряд ca + ca + + ca + = ca (7), где c произвольное число, также сходится и его сумма равна cs Доказательство Пусть ряд () сходится Это значит, что существует конечный предел последовательности его частичных сумм: lim S = S Обозначим через σ частичную сумму ряда (7) Тогда σ = ca+ ca + + ca = c( a+ a + + a) = cs Отсюда lim σ = lim cs = c lim S = cs Теорема доказана Теорема 4 Если ряд () и ряд b + b + + b + = b (8) сходятся и их суммы соответственно равны S и σ, то ряд ( a± b) + ( a ± b) + + ( a ± b ) + = ( a ± b ) (9) также сходится и его сумма равна S ± σ Доказательство Обозначим через S, σ и τ частичные суммы соответственно рядов (), (8) и (9) Тогда τ = ( a± b) + ( a ± b) + + ( a ± b) = = ( a+ a + + a) ± ( b+ b + + b) = S ±σ Отсюда lim τ = lim( S ±σ ) = lim S ± lim σ = S ±σ Теорема доказана

11 0 Теорема 5 (необходимое условие сходимости ряда) Если ряд () сходится, то его общий член a стремится к нулю при, те lim a = 0 Доказательство Пусть ряд () сходится и lim S = S Тогда и lim S = S, так как при и ( ) Выразим -ый член ряда ( > ) через суммы его и ( ) членов, те a = S S Следовательно, lim a = lim( S S ) = lim S lim S = S S = 0 Теорема доказана Следствие (достаточное условие расходимости ряда) Если lim a 0, то ряд () расходится Замечание В теореме 5 содержится необходимое условие для сходимости ряда При нарушении его ряд расходится Но это условие не является достаточным Из условия lim a = 0 не следует, что ряд сходится Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых lim a = 0 Пример Исследовать на сходимость ряд Решение Ряд

12 расходится, так как lim a = lim = 0, + 4 те не выполняется необходимое условие сходимости ряда Пример Исследовать на сходимость гармонический ряд = (0) Ряд (0) называется гармоническим, так как каждый его член, начиная со второго, представляет собой среднее гармоническое двух соседних членов Число c называется средним гармоническим чисел a и b, если = c + a b Решение Так как lim a = lim = 0, то необходимое условие сходимости ряда выполнено Докажем, что, несмотря на это, гармонический ряд расходится Рассмотрим сумму первых и членов ряда (0): S = + ; S = Тогда те S S = + + > = =, + раз S S > () Предположим, что ряд (0) сходится, тогда lim S = lim S = S Перейдем в неравенстве () к пределу при, получим: S S или 0

13 Получили противоречие, следовательно, предположение о сходимости ряда (0) неверно, те ряд (0) расходится Положительные ряды Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда Положительным рядом называется ряд, все члены которого неотрицательны Пусть дан положительный ряд a + a + + a + = a (), те a 0( =,, ) Тогда, очевидно, что S+ = S + a+ S, =,,, те последовательность частичных сумм положительного ряда S, S,, S, является неубывающей Поэтому вопрос о сходимости положительного ряда сводится к вопросу о существовании конечного предела у неубывающей последовательности чисел Расходимость положительного ряда может означать только то, что lim S = + Теорема 6 Для того чтобы положительный ряд () сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху Доказательство Достаточность Пусть все частичные суммы положительного ряда () ограничены сверху: S M, =,, Тогда по теореме о пределе монотонной последовательности существует конечный предел последовательности {S } частичных сумм ряда (): lim S = S А это, по определению, означает, что ряд () сходится

14 Необходимость Пусть положительный ряд () сходится, те существует конечный предел последовательности его частичных сумм: lim S = S Так как последовательность {S } стремится к пределу S, возрастая, то, очевидно, что S, =,, S Это и означает, что последовательность частичных сумм {S } ограничена сверху Теорема доказана Признаки сравнения Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или расходится и Теорема 7 Пусть даны два положительных ряда: a + a + + a + = a (A) b + b + + b + = b (B) Если, начиная хотя бы с некоторого номера (например, для > N), выполняется неравенство a, b () то из сходимости ряда (B) следует сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (A) следует расходимость ряда (B) Доказательство Так как отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не отражается на поведении ряда в смысле его сходимости или расходимости (теорема ), то можно считать, не нарушая общности, что a b при всех значениях =,, Обозначим через S и σ соответственно -ые частичные суммы рядов (A) и (B) В силу неравенства () S,,, σ = (4)

15 4 Пусть ряд (B) сходится Тогда по теореме 6 (необходимость) его частичные суммы σ ограничены сверху некоторым числом M: σ M, =,, (5) Из неравенств (4) и (5) S M, =,, Значит, согласно теореме 6 (достаточность) ряд (A) сходится Пусть теперь ряд (A) расходится Так как a 0 для любого =,,, то это означает, что lim S = + Тогда, в силу неравенства (), lim =+, σ те ряд (B) расходится Теорема доказана Иногда на практике более удобна следующая теорема, вытекающая из теоремы 7 и Теорема 8 Пусть даны два положительных ряда: a + a + + a + = a (A) b + b + + b + = b (B), причем b 0 для всех =,, Если существует предел a lim = K (0 < K < ), b те K конечное число, то оба ряда ведут себя одинаково, те оба сходятся или оба расходятся Доказательство Пусть ряд (B) сходится и 0 < K < Возьмем любое ε > 0 Тогда по определению предела последовательности для всех > N будет выполняться неравенство a K b <ε

16 5 или a ε < K <ε (6) b Используя правую часть неравенства (6), получаем a K, b < +ε откуда a < ( K +ε ) b (7) Так как ряд (B) сходится, то в силу теоремы будет сходиться и ряд ( K +ε) b, полученный умножением членов ряда (B) на постоянное число K + ε Следовательно, в силу теоремы 7, из неравенства (7) получаем, что ряд (A) сходится Пусть теперь ряд (B) расходится и K > 0 В этом случае обратное отношение b a имеет конечный предел Ряд (A) должен расходиться, так как если бы он сходился, то по доказанной выше первой части теоремы, сходился бы и ряд (B) Теорема доказана Пример Исследовать на сходимость ряд ( ) + Решение Сравним данный ряд со сходящимся рядом (см п, пример 4) ( + ) При любом N имеет место неравенство ( + ) ( + ) Значит, в силу теоремы 7 ряд ( + ) тоже сходится ( ) ( ), + + те

17 6 Пример Исследовать на сходимость ряд Решение Сравним данный ряд со сходящимся рядом (см пример ) ( + ) Так как lim =, ( + ) то согласно теореме 8 и ряд сходится Пример Исследовать на сходимость ряд l Решение Если >, то l >, и, следовательно, при > имеет место неравенство l > Ряд расходится как гармонический ряд, почленно умноженный на, а тогда по теореме 7 расходится и данный ряд Признаки Даламбера и Коши Признаки Даламбера и Коши основаны на сравнении данного ряда с рядом, составленным из элементов геометрической прогрессии, а именно со сходящимся рядом

18 или расходящимся рядом 7 q q q q q =, 0< <, = Теорема 9 (признак Даламбера) Пусть дан положительный ряд a + a + + a + = a (8), причем предположим, что a > 0 для любого N Если существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему a+ lim = D, a то при D < ряд (8) сходится, а при D > ряд (8) расходится Доказательство Так как a+ lim = D, a то по определению предела последовательности для любого ε > 0 существует номер N такой, что для всех > N выполняется неравенство a + D a <ε или a+ D ε< < D+ε (9) a Пусть D < Возьмем ε > 0 настолько малым, чтобы D + ε < Обозначим D + ε = q, q < Тогда из правой части неравенства (9) получаем a+ < q или a+ < q a a Последнее неравенство будет выполняться для всех > N, те для = N +, N +, : a < qa, N+ N+ a qa q a, N+ < N+ < N+

19 8 a, N+ 4 < qan+ < q an+, k a, N+ k< qan+ k < q an+, те члены ряда an+ + an+ + an an+ k + (0) меньше соответствующих членов ряда k qan+ + q an+ + q an+ + + q an+ +, сходящегося при q < Следовательно, в силу теоремы 7 ряд (0) сходится, а значит сходится и данный ряд (8), отличающийся от ряда (0) на первые (N + ) членов (теорема ) Пусть теперь D > Возьмем ε > 0 настолько малым, чтобы D ε > Тогда из левой части неравенства (9) a + D a > ε следует, что a + > a Следовательно, члены ряда возрастают, начиная с номера = N + : a > + a, те общий член ряда (8) a не стремится к нулю при В силу следствия ряд (8) расходится Теорема доказана Замечания Если D =, то признак Даламбера не дает ответа на вопрос о том, сходится ряд (8) или нет Существуют сходящиеся ряды, для которых D = и расходящиеся ряды, для которых D = Если a+ lim =, a то ряд (8) расходится, так как, начиная с некоторого номера,

20 9 a, a + > и, значит, a не стремится к нулю при Признак Даламбера удобно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида! или a Теорема 0 (радикальный признак Коши) Пусть для ряда (8) с положительными членами существует предел корня -ой степени из общего члена lim a = C Тогда при C < ряд (8) сходится, а при C > ряд (8) расходится Доказательство Так как lim a = C, то по определению предела последовательности для любого ε > 0 существует номер N такой, что для всех > N выполняется неравенство a C <ε или C ε< a < C +ε Откуда ( C ε ) < a < ( C +ε ) () Пусть C < Возьмем ε > 0 настолько малым, чтобы C + ε < Обозначим C + ε = q, q < Тогда из правой части неравенства () получаем < q, a те члены данного ряда для всех > N будут меньше соответствующих членов ряда k q+ q + q + + q +, сходящегося при q < Следовательно, в силу теоремы 7 данный ряд сходится Пусть теперь C > Возьмем ε > 0 настолько малым, чтобы C ε > Тогда из левой части неравенства () > ( C ε ) a

21 0 следует, что a >, начиная с номера = N +, те общий член ряда (8) a не стремится к нулю при В силу следствия ряд (8) расходится Теорема доказана Замечания Если C =, то признак Коши не дает ответа на вопрос о том, сходится ряд (8) или нет Существуют сходящиеся ряды, для которых С = и расходящиеся ряды, для которых C = Если lim a =, то ряд (8) расходится, так как a не стремится к нулю при Признак Коши является более сильным, чем признак Даламбера, так как предел lim a может существовать, а предел a lim a + ( ) + нет (например, для ряда + ) Если же предел a lim a существует, то существует и предел lim a, причем оба эти предела оказываются равными Следовательно, если применение одного из признаков Даламбера или Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда (один из пределов, a lim + a или lim a, равен единице), то применение другого признака также бесполезно Несмотря на это, на практике признак Даламбера используется чаще +

22 Пример Исследовать на сходимость ряд Решение Для данного ряда Поэтому получаем a! + ( + ) =, a+ =! ( + )! + a+ ( + )! + a ( )! D = lim = lim = lim = lim + = e > + Следовательно, по признаку Даламбера ряд расходится, так как D = e > Пример Исследовать на сходимость ряд l ( 4) + Решение Общий член ряда a = l ( + 4) Так как в рассматриваемом случае легко найти a, то воспользуемся признаком Коши: C = lim a lim = = lim = 0 l ( + 4) l( + 4) Значит, ряд сходится, так как C = 0 < 4 Интегральный признак сходимости Коши Во многих случаях члены рассматриваемых рядов не только положительны, но и монотонно стремятся к нулю Для таких рядов вопрос о сходимости часто решается путем исследования сходимости соответствующего несобственного интеграла Теорема (интегральный признак Коши) Пусть члены положительного ряда (8) не возрастают, те a a a

23 и пусть f() непрерывная, положительная и невозрастающая функция при такая, что f() = a, f() = a,, f( ) = a, () Тогда: ) если несобственный интеграл + f ( ) d () сходится, то сходится и ряд (8); ) если несобственный интеграл () расходится, то расходится и ряд (8) Доказательство Изобразим члены ряда геометрически (рис ), откладывая по оси абсцисс номера,,,,, +, членов ряда, а по оси ординат соответствующие значения членов ряда a, a, a,, a, a +, Построим на том же чертеже график непрерывной невозрастающей функции y = f(), удовлетворяющей условию () Первый слева из построенных прямоугольников имеет основание, равное единице, и высоту, равную f() = a Следовательно, его площадь равна a Аналогично, площадь второго прямоугольника равна a,, площадь -го прямоугольника равна a Сумма площадей построенных прямоугольников равна сумме S первых членов ряда (8) y a a a a a a y = f() a 0 + Рис

24 С другой стороны, ступенчатая фигура, образованная этими прямоугольниками, заключает в себе область, ограниченную кривой y = f(), прямыми =, = + и y = 0; площадь этой области равна определенному интегралу Очевидно, что S + f( ) d + > f( ) d (4) На рисунке первый слева из построенных прямоугольников имеет высоту, равную a Следовательно, его площадь равна a Площадь второго прямоугольника равна a,, площадь последнего из построенных прямоугольников равна a + Значит, сумма площадей всех построенных прямоугольников равна S + a y a a y = f() a a Рис С другой стороны, ступенчатая фигура, образованная этими прямоугольниками, содержится внутри криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(), прямыми =, = + и y = 0; площадь этой криволинейной трапеции равна определенному интегралу + f( ) d

25 или Очевидно, что 4 + < + S a f( ) d + S < + f( ) d + a (5) Предположим, что интеграл () сходится, те имеет конечное значение Так как + + f( ) d < f( ) d, то из неравенства (5) следует, что S < S < f( ) d + a, + + те частичные суммы S ограничены сверху при любом N При увеличении частичные суммы S возрастают, так как все члены ряда положительны Следовательно, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности существует конечный предел последовательности частичных сумм: lim S = S, а это означает, что ряд (8) сходится Предположим, что интеграл () расходится Это значит, что + f( ) d неограниченно возрастает при возрастании Тогда из неравенства (4) следует, что lim S =, те ряд (8) расходится Теорема доказана Пример Исследовать на сходимость ряд, α > α 0 Решение Заменим в выражении общего члена ряда на Получим функцию

26 5 f( ) = Очевидно, что на промежутке [; +) эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Рассмотрим несобственный интеграл + d α Возможны два случая: а) пусть α=, тогда + b d d b = lim lim l lim l b l ; b b + = = = + + b + б) пусть α, тогда + b b α+ d d α = lim lim lim ( b ) α b + = α = = α b + α + b + α α, α>, +, α < Таким образом, интеграл d α сходится при α > и расходится при α А значит, и ряд α сходится при α > и расходится при α + Пример Исследовать на сходимость ряд 5 ( + ) l ( + ) Решение Заменим в выражении общего члена ряда на Получим функцию 5 f( ) = ( + ) l ( + ) Очевидно, что на промежутке [; +) эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Согласно интегральному признаку Коши, данный ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

27 + 6 d 5 ( + ) l ( + ) Имеем: + b b d d d(l( + )) = lim = lim = ( + ) l ( + ) ( + ) l ( + ) l ( + ) 5 b + 5 b b b l ( + ) lim lim lim b b ( ) b + ( b+ ) = = = = l l l = 0, = l 4 l те несобственный интеграл сходится Следовательно, данный ряд тоже сходится 5 Упражнения Исследовать ряд на сходимость: (5 + ) 4 ( + )( + 4) ( + ) 5 6 ( + 5+ ) ( + ) ( + 4) ( + ) (+ )( + ) ( + 5) ( + ) ( + )( + ) ( + ) ( + ) + + 5

28 ( + ) ( + 5) ( + )( + ) (+ ) ( + ) (5+ ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + 5 ( + ) ( + ) + Исследовать ряд на сходимость: 8 5 ( + ) = ( + ) 5! ( )! + 5 ( + ) +! 5! 8! 5 ( )! 4 + +! 4 + ( ) 4!

29 8 5 ( ) 5 = 6! 0 = 7! 4 5 = + 8 = = 0 = Исследовать ряд на сходимость: ( ) ( )( ) = ( ) 5 = ( ) 5( )( 4) = = ( )( ) ( ) ( 5) = = ( ) ( )( ) = ( ) = ( ) ( )( 7) = ) 7 = ( )(5 ) = ) 8 = ( )( ) 5 ( ) = ( 5) 7 = ( ) = ( 5) = ( )( ) 6 ( ) = ( 5) 4 = ( ) ( )( ) 5 7 = ( 4) 5 = ( ) 7 = =

30 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) 6 4 Исследовать ряд на сходимость: l (l ) (l ) l + l l / (l ) / + (l ) ( + ) (l ) + (l ) (l ) / (l )

31 0 Числовой ряд Знакопеременные ряды Абсолютно сходящиеся ряды a, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным С каждым таким рядом связан ряд с неотрицательными членами, составленный из модулей членов данного ряда, те ряд a Теорема (теорема Коши) Если ряд сходится, то сходится и ряд a (A*) a (A) Доказательство Составим два положительных ряда: a, если a > 0, b, где b = 0, если a 0 (B) и 0, если a 0, c, где c = a, если a < 0 (C) Очевидно, что для любого выполняются равенства b c = a, b + c = a (6) и что для любого 0 b a, 0 c a (7) Тогда из неравенств (7), в силу теоремы 7, из сходимости ряда (A*) следует, что ряды (B) и (C) сходятся Обозначим их суммы соответственно через S и σ и запишем частичную сумму S ряда (A), используя первое из равенств (6), в виде

32 S = a+ a + + a = (8) = ( b+ b + + b) ( c+ c + + c) Переходя в равенстве (8) к пределу при, получим lim S = S σ Следовательно, ряд (A) сходится и его сумма равна S σ Отметим, что из второго равенства (6) следует, что сумма ряда (A*) равна S + σ Теорема доказана Знакопеременный ряд (A) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (A*), составленный из модулей его членов Если же знакопеременный ряд (A) сходится, а ряд (A*), составленный из модулей его членов, расходится, то ряд (A) называется условно сходящимся Замечания ) Для установления абсолютной сходимости ряда (A) к положительному ряду (A*) могут быть применены все признаки сходимости положительных рядов ) В общем случае из расходимости ряда (A*) не следует расходимость ряда (A) Однако, если расходимость ряда (A*) установлена с помощью признаков Даламбера или Коши, то это означает, что общий член ряда a не стремится к нулю, те и a не стремится к нулю, и для ряда (A) нарушается необходимое условие сходимости Таким образом, из расходимости ряда (A*), установленной с помощью признаков Даламбера или Коши, следует расходимость ряда (A) Пример Исследовать на сходимость ряд π ( ) cos ( A): + Решение Ряд π ( ) cos ( A*):, + составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, так как его члены меньше соответствующих членов сходящегося ряда α

33 при α = >, те π ( ) cos < + + Ряд (A*) из модулей сходится Значит, исходный ряд (A) сходится абсолютно Пример Исследовать на сходимость ряд 7 ( ) ( A): Решение Найдем 7 lim a = lim = lim =, те a не стремится к нулю при Но тогда не стремится к нулю и общий член ряда (A) Следовательно, ряд (A) расходится Ряд Знакочередующиеся ряды a (9) называется знакопеременным, если его члены имеют различные знаки Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды Ряд, члены которого поочередно принимают то положительные, то отрицательные значения, называется знакочередующимся и обозначается: или + + a a + a + ( ) a + = ( ) a (0) a + a a + + ( ) a + = ( ) a, где a > 0 для всех N Из определения знакочередующегося ряда следует, что a 0 для всех N

34 Теорема (признак Лейбница) Если члены знакочередующегося ряда (0) по абсолютной величине монотонно убывают a > a > > a >, () и общий член ряда по модулю стремится к нулю lim a = 0, () то ряд (0) сходится, а его сумма S удовлетворяет неравенствам 0 < S < a () Доказательство Рассмотрим сначала частичные суммы ряда (0) с четными номерами и изучим их поведение: S = a a + a a + + a a = 4 = ( a a) + ( a a4) + + ( a a) Выражение в каждой скобке, согласно условию (), положительно Следовательно, сумма S > 0 и возрастает с возрастанием номера Покажем, что возрастающая последовательность частичных сумм с четными номерами ограничена сверху Действительно, S можно записать в виде S = a ( a a) ( a4 a5) ( a a ) a Так как каждое вычитаемое положительно, то, очевидно, S < a Таким образом, последовательность частичных сумм с четными номерами возрастает и ограничена сверху Следовательно, по теореме о пределе монотонной последовательности существует конечный предел lim S = S (4) Кроме того, переходя в неравенстве 0 < S < a к пределу при, получаем 0 < S < a Покажем, что частичные суммы с нечетными номерами при стремятся к тому же пределу S Действительно, S + = S + a+ Переходя в этом равенстве к пределу при и учитывая условие (), получаем, что lim S = lim( S + a ) = lim S + 0 = S (5) + + Из (4) и (5) следует, что lim S = S

35 4 как при четном, так и при нечетном, те ряд (0) сходится Теорема доказана Замечания Монотонное стремление к нулю модуля общего члена знакочередующегося ряда является существенным условием теоремы Лейбница Рисунок иллюстрирует сходимость частичных сумм S ряда (0) к числу S слева при четном и справа при нечетном a 4 a S S 4 S S S 0 a a Рис Из рисунка вытекает еще одна оценка для суммы S сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница: S < S < S, = 0,,, + Следствие Остаток r знакочередующегося ряда (0), удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине Доказательство Если четное, то r = a+ a+ + Так как этот ряд удовлетворяет теореме Лейбница, то согласно неравенству () 0 < r < a + Если нечетное, то r = a + a + +

36 Отсюда 5 r = a a + + +, и согласно неравенству () 0 < r < a + Отсюда Следствие доказано r < 0 и r < a + Пример Исследовать на сходимость ряд Решение Ряд ( ) l ( A): l ( A*):, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, расходится, так как его члены больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, умноженного на, те l, > > Исследуем знакочередующийся ряд (A) на условную сходимость по признаку Лейбница Проверим выполнение условий теоремы Покажем, что члены данного ряда монотонно убывают по абсолютной величине Действительно, рассмотрим вспомогательную функцию l y ( ) =, [; +) и исследуем ее на монотонность Имеем ( ) l l (l ) y ( ) = = = ( ) ( ) ( ) Отсюда видно, что при производная y'() < 0 Следовательно, функция l y ( ) = убывает на промежутке [; +)

37 6 А так как l y ( ) = = a,, то это означает, что члены данного ряда монотонно убывают по абсолютной величине: l l 4 l > > > > 5 7 Кроме того, применяя правило Лопиталя, находим: l lim a = lim = = lim = 0 Итак, по признаку Лейбница знакочередующийся ряд (A) сходится условно Пример Вычислить сумму ряда ( ) = (4 + ) с точностью до 0,00 Решение С помощью признака Лейбница нетрудно убедиться в том, что ряд сходится Составим сумму S его первых членов Чтобы получить сумму ряда с точностью до 0,00 надо все слагаемые брать с точностью до 0,000, чтобы при суммировании не получить погрешность, превышающую 0,00 Получим: ( ) S = 0, ,078 0, , (4 + )5 В силу следствия погрешность r при замене суммы S сходящегося знакочередующегося ряда суммой S его первых членов не будет превосходить первого отброшенного члена: r < a + Так как r < a 4 = 0,0008 < 0,00, то для обеспечения заданной точности необходимо взять = члена ряда, те S S 0, ,078 0,007 = 0,0659 0,066

38 7 Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов Пусть ряд a + a + + a + = a (6) сходится, те последовательность его частичных сумм S, S,, S, (7) имеет конечный предел: lim S = S Объединим члены ряда (6) произвольным образом в группы, не меняя при этом их расположения Получим суммы a + + a, a + + a,, a + + a,, (8) + k + k где { k } некоторая, извлеченная из множества натуральных чисел, частичная возрастающая последовательность номеров Теорема 4 Ряд, составленный из сумм (8) ( a + + a ) + ( a + + a ) + + ( a + + a ) +, (9) + k + k всегда сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд Другими словами: сходящийся ряд обладает сочетательным свойством Доказательство Действительно, последовательность частичных сумм ряда (9) есть не что иное, как частичная последовательность S, S,, S, k для последовательности (7) и, следовательно, сходится к тому же пределу S Теорема доказана Замечание Эта аналогия с конечными суммами нарушается, если попытаться применить сочетательное свойство, так сказать, в обратном порядке Если дан сходящийся ряд (9), члены которого представляют собой суммы конечного числа слагаемых, то, опустив скобки, получим ряд, который может оказаться расходящимся Например, ряд ( ) + ( ) + ( ) + очевидно, сходится, а ряд + + +, полученный из него опусканием скобок, расходится

39 8 Теорема 5 (теорема Дирихле) Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд Другими словами: абсолютно сходящийся ряд обладает переместительным свойством Теорема 6 (теорема Римана) Если ряд сходится условно, то путем перестановки его членов можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, а также расходящийся ряд, те условно сходящийся ряд переместительным свойством не обладает Замечание Различие между абсолютно сходящимися и условно сходящимися рядами заключается в том, что условная сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов ряда и поэтому существенно зависит от того, в каком порядке они следуют друг за другом, а абсолютная сходимость основана на быстроте убывания этих членов и не зависит от их порядка Пример Доказать, что сумма ряда ( ) (40) уменьшится вдвое, если переставить его члены так, чтобы после одного положительного следовали два отрицательных Решение Ряд (40) сходится в силу признака Лейбница Переставим его члены и сгруппируем их следующим образом: Так как =, =,, то получим ряд, = сумма которого вдвое меньше суммы ряда (40) Таким образом, от перестановки членов условно сходящегося ряда (40) его сумма уменьшилась в два раза

40 9 Пример Доказать, что если в ряде ( ) (4) переставить члены таким образом, чтобы за тремя положительными следовал один отрицательный: , (4) то полученный ряд с общим членом a = + +, (4) будет расходиться Решение Так как члены знакочередующегося ряда (4) монотонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, то данный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница В силу того, что + > + > =, из (4) следует, что a > 0 и a > 6 5 Значит, ряд (4) с положительными членами расходится по теореме 7, так как его члены больше членов расходящегося при α= ряда (пункт 4, пример ), умноженного на 6 4 Упражнения 4 7 Исследовать ряд на сходимость: ( ) ( ) 5 ( ) 8 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) 9 + 6

41 0 40 ( ) ( ) l ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 + ( ) 8 9 ( ) l ( ) ( )! 5 00 ( ) 8 ( )! + ( ) ( + ) 4! ( ) ( ) ( + ) 5 ( ) ( )! 7( ) 7 00 l+ ( ) 0 ( ) ( ) 5

42 4 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Основные понятия Область сходимости функционального ряда Ряд u( ) + u( ) + + u( ) +, () членами которого являются функции u (), u (),, u (),, заданные на одном и том же множестве X, называется функциональным Если в выражении () заменить переменную любым числом 0 X, то получим числовой ряд u( 0) + u( 0) + + u( 0) + () Таким образом, каждый функциональный ряд определяет множество числовых рядов, получаемых из него подстановкой вместо переменной ее значений Эти числовые ряды могут сходиться при одних значениях аргумента и расходиться при других значениях Если ряд () сходится, то точка 0 называется точкой сходимости ряда (); если же ряд () расходится, то точка 0 называется точкой расходимости ряда () Множество значений аргумента, при которых функциональный ряд () сходится, называется его областью сходимости Следовательно, каждому значению 0 из области сходимости ряда () соответствует число S( 0 ) сумма данного ряда при = 0 Тем самым в области сходимости ряда определена функция S(), называемая суммой ряда () Пусть S( ) = u( ) + u( ) + + u ( ) -ая частичная сумма, а r( ) = u+ ( ) + u+ ( ) + остаток функционального ряда () Тогда в области сходимости имеем S ( ) = S( ) + r( ), S ( ) = lim S( ), lim r ( ) = 0

43 4 Пример Найти область сходимости ряда ( ) Решение Данный ряд определен при всех, те в промежутке ( ; ) (; +) Вычислим: u + ( ) + + lim = lim = lim = u + ( ) Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится абсолютно, если < Тогда или > >, < Отсюда получаем, что ряд сходится абсолютно при ( ; ) (; +) При (; ) (; ) данный ряд расходится При = и = признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости данного ряда При = получаем ряд =, ( ) который расходится, так как его общий член не стремится к нулю при (следствие ) При = ряд имеет вид ( ) и расходится по достаточному условию расходимости числовых рядов (следствие ) Таким образом, ряд ( ) абсолютно сходится при ( ; ) (; +)

44 4 Пример Найти область сходимости ряда l Решение Данный ряд представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем q = l Так как геометрическая прогрессия сходится лишь при q <, то он сходится, и притом абсолютно, при l <, те при Отсюда < l < e < < e Следовательно, областью сходимости данного ряда является интервал (e ; e) Равномерная сходимость функционального ряда Функциональный ряд () называется равномерно сходящимся на отрезке [a; b], если для любого ε > 0 существует такое натуральное число N = N(ε), не зависящее от, что для всех > N неравенство S ( ) S( ) <ε выполняется для всех [a; b] Теорема (признак Вейерштрасса) Если члены функционального ряда () удовлетворяют на отрезке [a; b] условию u( ) a, =,,,, () где a члены сходящегося положительного ряда a, (4) то ряд () сходится равномерно и абсолютно на отрезке [a; b] Доказательство Возьмем любое ε > 0 Так как ряд (4) сходится, то (теорема ) lim r = 0, где r сумма -го остатка ряда (4) Поэтому существует такое натуральное число N, что при всех > N выполняется неравенство a < ε (5) k= +

45 44 Используя неравенство (), получаем, что при любом натуральном p + p + p u ( ) ak, (6) k k= + k= + откуда при p с учетом (5) следует, что u ( ) a <ε, > N k k k= + k= + Предел при p у левой части неравенства (6) существует в силу теоремы 6 Последнее неравенство доказывает абсолютную сходимость ряда () Тогда r ( ) = u ( ) u ( ) < ε k k k= + k= + для всех > N и для всех [a; b], те ряд u ( ) равномерно сходится на отрезке [a; b] Теорема доказана Замечание При выполнении неравенства () говорят, что ряд () мажорируется рядом (4), или что ряд (4) служит мажорирующим рядом для ряда () Приведем без доказательства некоторые теоремы о свойствах равномерно сходящихся рядов Теорема Если члены равномерно сходящегося на отрезке [a; b] функционального ряда () непрерывны на этом отрезке, то его сумма также непрерывна на отрезке [a; b] Теорема Если члены равномерно сходящегося на отрезке [a; b] функционального ряда () непрерывны на этом отрезке, то ряд () можно на отрезке [a; b] почленно интегрировать Это значит, что если и любые две точки отрезка [a; b], то ( u ( ) + u ( ) + + u ( ) + ) d = = u ( ) d + u ( ) d + + u ( ) d +

46 45 Теорема 4 Пусть функциональный ряд () сходится на отрезке [a; b] и его члены имеют на отрезке [a; b] непрерывные производные u ( ), =,,, Тогда если ряд u ( ) сходится равномерно на отрезке [a; b], то на этом отрезке ( u ( ) + u ( ) + + u ( ) + ) = u ( ) + u ( ) + + u ( ) + Теорема 5 Если все члены равномерно сходящегося на отрезке [a; b] ряда () умножить на ограниченную на этом отрезке функцию ϕ(), то полученный ряд ϕ ( u ) ( ) +ϕ ( u ) ( ) + +ϕ ( u ) ( ) + также будет равномерно сходиться на отрезке [a; b] Пример Исследовать на равномерную сходимость ряд si, ( ; +) Решение Для любого ( ; +) справедливо неравенство si Это значит, что ряд с общим членом a = мажорирует данный функциональный ряд Так как числовой ряд сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем q =, то на основании признака Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на всей числовой прямой Пример Исследовать на равномерную сходимость ряд, [ ;]

47 46 Решение Для всех членов данного ряда при любом [ ; ] выполняется неравенство Так как ряд с положительными членами сходится (α = > ), то данный функциональный ряд равномерно сходится на отрезке [ ; ] Пример Исследовать на равномерную сходимость ряд + Решение Из неравенства следует, что Поэтому + Так как числовой ряд 5, (0; +) 5 ( ) =, (0; + ) 5 5 сходится ( α= > ), то на основании признака Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно для любого (0; +) Степенные ряды Степенной ряд и его область сходимости Функциональный ряд, членами которого являются целые неотрицательные степени независимой переменной или двучлена

48 47 ( 0 ) ( 0 некоторое постоянное число), умноженные на числовые коэффициенты: или c0 c c c c = (7) 0 + ( 0) ( 0) + = 0 0 c c c ( ) c c ( ), (8) называется степенным рядом Здесь c 0, c, c,, c постоянные действительные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; R действительная переменная Ряд (8) легко приводится к виду (7), если 0 = t Поэтому при изучении степенных рядов можно ограничиться степенными рядами вида (7) Ряд (7) всегда сходится, по крайней мере, при = 0 (в этом случае сумма ряда равна c 0 ) Теорема 6 (теорема Абеля) Если степенной ряд (7) сходится при = 0 0, то он абсолютно сходится для всех значений, удовлетворяющих неравенству < 0 ; если же при = степенной ряд (7) расходится, то он расходится и при всех, удовлетворяющих неравенству > Доказательство Пусть при = 0 0 степенной ряд (7) сходится, те сходится числовой ряд c0 + c0 + c0 + + c0 + (9) Следовательно, по необходимому условию сходимости ряда (теорема 5) lim c = 0 Отсюда следует, что члены ряда (9) ограничены, те найдется число M > 0 такое, что для всех выполняется неравенство 0 0 c M, 0,,,

49 48 Возьмем теперь любое значение для которого < 0 Обо- значим = q, 0< q < Тогда имеем следующую оценку общего 0 члена степенного ряда (7) при взятом : = 0 = 0 0 c c c q Mq, где = 0,,, Ряд M + Mq + Mq + + Mq + = Mq 0 (0) сходится как убывающая геометрическая прогрессия Поэтому, в силу неравенства (0), по признаку сравнения рядов (теорема 7) сходится и ряд c0 + c + c + + c + = c 0 для любого, для которого < 0 А это означает, что степенной ряд (7) при взятом значении сходится абсолютно Пусть теперь ряд (7) при = расходится Докажем, что он расходится и при любом, удовлетворяющем неравенству > Действительно, если бы при некотором значении, удовлетворяющем неравенству >, ряд (7) был сходящимся, то по доказанному в первой части он был бы сходящимся и при =, что противоречит условию Теорема доказана Для ряда (7) логически могут представиться три возможности: ) степенной ряд (7) сходится только при = 0; ) степенной ряд (7) сходится на всей числовой оси; ) степенной ряд (7) сходится не только в точке = 0, но и не на всей числовой оси Теорема 7 Если ряд (7) сходится не только в точке = 0, но и не на всей числовой оси, то существует число R > 0 такое, что ряд (7) абсолютно сходится при < R и расходится при > R Это число R > 0 называется радиусом сходимости степенного ряда; интервал ( R; R) интервалом сходимости степенного ряда (рис )

50 R 49 Ряд сходится R Ряд расходится 0 Рис Ряд расходится В частности, если ряд (7) сходится лишь в одной точке = 0, то полагают R = 0 Если же ряд (7) сходится при всех значениях R, то полагают R = + Поведение ряда (7) в точках = ±R может быть разным На концах интервала сходимости, те при = R и при = R, сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно Исследовать степенной ряд на сходимость значит найти его интервал сходимости и выяснить, сходится или расходится ряд в граничных точках интервала сходимости Область сходимости степенного ряда всегда состоит из его интервала сходимости и, быть может, граничных точек этого интервала Для определения радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться формулой c R = lim, c если предел в правой части существует Эта формула легко выводится с помощью признака Даламбера Аналогично, с помощью признака Коши, можно установить формулу R = lim c Но, например, этими формулами нельзя пользоваться в тех случаях, когда бесконечное число коэффициентов степенного ряда равно нулю В частности, приведенные формулы неприменимы, если ряд содержит лишь четные или нечетные степени Если степенной ряд содержит не все степени, те задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости находят без определения радиуса сходимости, а непосредственно применяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей членов данного ряда Этот способ можно применять во всех случаях +

51 50 Замечание Если интервал сходимости ряда (7) симметричен относительно точки = 0, то интервал сходимости ряда (8) характеризуется неравенствами 0 R < < 0 + R и симметричен относительно точки = 0 Пример Найти область сходимости ряда 0! Решение Воспользуемся признаком Даламбера Для данного ряда имеем: + a =, a+ =,! ( + )! + a+! a ( )! + + lim = lim = lim = 0 < для любого ( ; +) Значит, ряд абсолютно сходится при любом ( ; +) Пример Найти область сходимости ряда 0!( 5) Решение Данный ряд расположен по степеням двучлена 5 Значит, он сходится, по крайней мере, при = 5 Для того чтобы выяснить, сходится ли данный ряд еще при каких-нибудь значениях, воспользуемся признаком Даламбера: + a =!( 5), a = ( + )!( 5), + a+ ( + )!( 5) lim = lim = 5 lim( + ) = a!( 5) при всех 5 Следовательно, ряд сходится только в точке = 5 + Пример Найти область сходимости степенного ряда: 0

52 или Решение Здесь Следовательно, a 5 ( ), + + = a + = + + a+ ( + ) ( + ) = = = + a lim lim lim Ряд абсолютно сходится, если < < < Итак, при ( ; ) ряд сходится абсолютно, а при ( ; ) (; +) расходится Значит, ( ; ) интервал сходимости данного ряда Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала, те в точках = и = При = ± степенной ряд принимает вид ( ± ) = ( ) ± 0 0 Оба ряда расходятся, так как не удовлетворяют необходимому условию сходимости (теорема 5) Следовательно, область сходимости данного степенного ряда совпадает с его интервалом сходимости: < < Пример 4 Найти область сходимости степенного ряда Решение Вычислим предел + a+ = = = a + ( ) + + lim lim lim Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится абсолютно при <, что равносильно неравенству < <

53 5 Значит, ( ; ) интервал сходимости данного ряда При > этот ряд расходится Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости При = получаем расходящийся ряд ( α= ) ( ) При = получаем знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница Следовательно, область сходимости степенного ряда определяется двойным неравенством < Пример 5 Найти область сходимости степенного ряда: ( ) Решение Воспользуемся признаком Даламбера: + a+ ( ) lim = lim = lim = a ( ) ( ) + ( + ) Следовательно, ряд сходится абсолютно при <, что равносильно неравенству < < Исследуем сходимость ряда на концах интервала Если =, то получаем ряд, который сходится, так как α = > Если =, то получаем знакочередующийся ряд ( ) Этот ряд сходится (и притом абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных величин его членов Следовательно, областью сходимостью данного ряда является отрезок [; ] Свойства степенных рядов Теорема 8 На любом отрезке [a; b], целиком принадлежащем интервалу сходимости ( R; R), степенной ряд (7) сходится равномерно

54 5 Доказательство Для доказательства рассмотрим сначала отрезок [ rr ; ], где r произвольное действительное число, удовлетворяющее условию 0 < r < R, и докажем, что ряд (7) сходится на этом отрезке равномерно Действительно, для любого [ rr ; ] имеем: c = c c r, = 0,,, Так как r ( R; R), то положительный ряд c r сходится Поэтому на основании признака Вейерштрасса ряд (7) сходится на отрезке [ rr ; ] равномерно Пусть теперь [a; b] отрезок произвольного вида и [a; b] ( R; R) Тогда легко построить такой отрезок [ rr ; ] (r > 0), что [ ab ; ] [ r; r] ( RR ; ) Для этого достаточно положить r = ma{ a ; b } Выполнение неравенств r a; b r очевидно Кроме того r < R По доказанному, ряд (7) сходится на отрезке [ rr ; ] равномерно Следовательно, его сходимость будет равномерной и на отрезке [a; b] Теорема доказана 0 Замечание В частности, если область сходимости степенного ряда (7) замкнутый промежуток [ R; R] (0 < R < +), то на всем этом промежутке ряд сходится равномерно Из теоремы 8 следует, что степенные ряды обладают всеми свойствами равномерно сходящихся рядов Сформулируем эти свойства Теорема 9 Сумма степенного ряда (7) есть функция непрерывная в каждой точке интервала сходимости ряда Замечание Если ряд (7) сходится на каком-либо конце интервала сходимости (0 < R < +), то его сумма на этом конце также будет непрерывна Теорема 0 Степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости

55 54 Это означает, что из справедливости равенства S ( ) = c0 + c + c + c + + c + вытекает справедливость равенства S ( ) = c+ c + c + + c + () при R < < R Теорема Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке, целиком принадлежащем интервалу сходимости ряда Таким образом, если то S ( ) = c, 0 S() t dt = ct dt () a 0a при R < a< < R Ряды () и () имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд (7) Сходимость на концах интервалов сходимости рядов () и () надо исследовать дополнительно Замечания Операцию почленного дифференцирования и интегрирования можно производить над степенными рядами сколько угодно раз Следовательно, сумма степенного ряда внутри его интервала сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией Свойства степенных рядов по степеням остаются справедливыми и для степенных рядов по степеням 0 Пример Найти сумму ряда Решение Данный ряд получен в результате почленного дифференцирования ряда , который представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом b = и знаменателем q = Следовательно, он сходится при

56 55 < Воспользовавшись формулой суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии b S =, q находим =, < Остается продифференцировать полученное равенство: =, < ( ) Пример Найти область сходимости степенного ряда ( ) и его сумму в интервале сходимости Решение Рассмотрим ряд, полученный в результате почленного дифференцирования исходного ряда: 5 ( ) Начиная со второго члена, этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q = Следовательно, он сходится при < и расходится при Таким образом, полученный ряд, а, следовательно, и исходный ряд имеют радиус сходимости R = На концах интервала сходимости при = ± исходный ряд сходится по теореме Лейбница Поэтому его область сходимости отрезок [ ; ] Обозначим через S() сумму исходного ряда Тогда в интервале сходимости по теореме о почленном дифференцировании 5 ( ) = ( ) + = S = = + Отсюда 4 6 S ( ) = ( ) + = 4 6 t = dt l( ) = + + t 4 ( ( ) ) 0


Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Знакочередующийся ряд. Признак сходимости Лейбница. Знакопеременный ряд. Абсолютная и условная сходимости. Общий комплексный ряд. Теорема

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

Теорема 2.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim n a, то при 1. ряд расходится. Пример 14. Исследуем на сходимость ряд

Теорема 2.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim n a, то при 1. ряд расходится. Пример 14. Исследуем на сходимость ряд Теорема.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim a, то при ряд сходится, а при ряд расходится. ( ) Пример 4. Исследуем на сходимость ряд. 4 Первая мысль при рассмотрении данного

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда: Сходимость произвольных рядов. Ниже будут рассматриваться ряды, в которых имеется бесконечное количество положительных членов и бесконечное количество отрицательных членов. Такие ряды называют знакопеременными.

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет.

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет. Московский Государственный Университет им МВЛомоносова Химический факультет Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока Третий семестр Числовые ряды Дифференциальные

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается Глава. РЯДЫ. Понятия верхнего и нижнего пределов последовательности Пусть дана ограниченная числовая последовательность ( ) (все её члены заключены на числовой прямой между числами а и b), т.е. По теореме

Подробнее

1. Числовые ряды. результату одно следующее число, мы будем получать частичные суммы: 1 ; ; ; ;...

1. Числовые ряды. результату одно следующее число, мы будем получать частичные суммы: 1 ; ; ; ;... ЛЕКЦИЯ N25. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости рядов с положительными членами. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов..числовые ряды 2.Основные теоремы....

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд Степенные ряды Определения, теоремы и формулы для решения задач Определение Функциональный ряд ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 называется степенным рядом, числа R,,, называются коэффициентами степенного ряда

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X 4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u ), u ( ), K, u ( ),K ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u ) + u ( ) + K + u ( ) +

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры }

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } {функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } Пусть задана бесконечная последовательность функций, Функциональные

Подробнее

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида:

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: Тема 9 Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: a 1 a2 a3... a... a Если предел последовательности последовательностью частичных сумм ряда. lim S S 1 Необходимое условие сходимости:

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Михаил Александрович Солдатов Светлана Серафимовна Круглова Евгений Валентинович Круглов

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида:

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: Тема 9 Числовые ряды Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: a a2 a3... a... a Если предел последовательности последовательностью частичных сумм ряда. lim S S Необходимое условие

Подробнее

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее