Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной
|
|
- Валентина Келлер
- 2 лет назад
- Просмотров:
Транскрипт
1 Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих аргументов. Обозначим y через p, тогда уравнение (1) примет вид: F (x, y, p) = 0. (2) Предположим, что удалось найти все корни уравнения (2) относительно p (их может быть и бесконечно много). Тогда уравнение (1) будет эквивалентно нескольким (по числу найденных корней) уравнениям вида y = f i (x, y) (i = 1, 2,...). (3) Решая эти, уже разрешенные относительно производной, уравнения, применяя рассмотренные ранее методы, можно будет найти решения уравнения (1). Задача Коши для уравнения (1) с начальным условием y(x 0 ) = y 0 имеет единственное решение, если не существует двух интегральных кривых уравнения (1), которые проходили бы через точку (x 0, y 0 ) и имели бы в этой точке общую касательную. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (1) определяет следующая теорема 1 Теорема 1. Пусть в некоторой области, содержащей точку (x 0, y 0, p 0 ), функция F (x, y, p) непрерывна по совокупности переменных x, y и p вместе с частными производными F y, F p, причем F (x 0, y 0, p 0 ) = 0, а F p (x 0, y 0, p 0 ) 0. (4) Тогда на некотором промежутке x x 0 δ существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию y(x 0 ) = y 0, производная которого y (x 0 ) = p 0. 1 Васильева А. Б. и др. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. М.: ФИЗМАТЛИТ, с.
2 2 Пример 1. Решить уравнение y 2 (y + x 2 )y x 2 y = 0. Решение. Преобразуем левую часть уравнения, разложив ее на множители. Будем иметь (y y)(y x 2 ) = 0. Уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений y y = 0 и y x 2 = 0. Интегрируя их, получаем решения y = Ce x и y = 1 3 x3 + C. ( ) Каждая из найденных функций является решением заданного уравнения. Однако возможны еще и так называемые составные решения, которые получаются склейкой найденных функций в тех точках, где совпадают значения функций и их производных. Очевидно, прямая y = 0 является касательной к кривой y = 1 3 x3 в точке (0, 0). А это значит, что существует следующее составное решение { 0, x 0, y = 1 3 x3, x > 0. Легко проверить, что функция { e y = x 1, x 1, 1 3 x , x > 1. также является составным решением. Приведите пример еще какого-нибудь составного решения. Если уравнение F (x, y, p) = 0 невозможно эффективно разрешить относительно p (или даже когда это и возможно, но соответствующие формулы очень громоздки), то в этом случае можно искать решение в параметрической форме. Рассмотрим некоторые частные случаи, иллюстрирующие решение уравнения (1) методом введения параметра.
3 1) Пусть F = F (y, y ) и уравнение разрешимо относительно y, т. е. исходное уравнение приведено к виду y = f(y ). Возьмем в качестве параметра p = y (или p = dy dx ). Выполнив в уравнении замену, получим y = f(p). Возьмем полный дифференциал от обеих частей равенства. В результате получим dy = f (p) dp. Тогда так как dx = dy p, то будем иметь dx = f (p) dp f (p) dp = x = + C. p p Следовательно, получили решение уравнения в параметрической форме: f (p)dp x = + C, y = f(p). p 2) Пусть F = F (x, y ) и уравнение разрешимо относительно x, т. е. исходное уравнение приведено к виду x = ϕ(y ). Возьмем в качестве параметра p = y. Сделав в уравнении замену, получим x = ϕ(p) = dx = ϕ (p) dp. 3 И так как dy = pdx, то dy = pϕ (p) dp = y = pϕ (p) dp + C. Тогда решение в параметрической форме имеет вид x = ϕ(p), y = pϕ (p) dp + C. 3) Рассмотрим уравнение Лагранжа y = ϕ(y )x + ψ(y ). Оно может быть проинтегрировано путем введения параметра p = y. Действительно, y = ϕ(p)x + ψ(p), dy = ϕ (p)x dp + ϕ(p) dx + ψ (p) dp
4 4 Но dy = p dx, и, следовательно, или p dx = ϕ (p)x dp + ϕ(p) dx + ψ (p) dp (p ϕ(p)) dx dp = ϕ (p)x + ψ (p). В результате получили линейное уравнение относительно x и dx dp, которое несложно проинтегрировать методом вариации произвольной постоянной. Интеграл этого уравнения Φ(x, p, C) = 0 совместно с уравнением y = ϕ(p)x + ψ(p) определяет интегральные кривые исходного уравнения. 4) Если в уравнении Лагранжа ϕ(y ) y, то получим уравнение Клеро. Полагая y = p, будем иметь Дифференцируя его, получим откуда y = px + ψ(p). (x + ψ (p)) dp = 0, 1) x + ψ (p) = 0 или 2) dp = 0 p = C. Первый случай дает параметрически заданную кривую x = ψ (p) y = pψ (p) + ψ(p). Второй случай дает семейство решений: y = Cx + ψ(c). Пример 2. Решить уравнение (y ) 3 y 1 x = 0. Решение. Левая часть уравнения явно не содержит y. Разрешив уравнение относительно x и введя параметр p = y, получим x = p 3 p 1 = dx = (3p 2 1) dp.
5 5 Так как dy = p dx, то будем иметь dy = p(3p 2 1) dp = y = p(3p 2 1) dp = 3 4 p4 p2 2 + C. Получили решение уравнения в параметрической форме: x = p 3 p 1, y = 3 4 p4 p2 2 + C. Пример 3. Решить уравнение y = 1 + y 2. Решение. Уравнение явно не содержит x. Полагая p = y, получим y = 1 + p 2 = dy = p 1 + p 2 dp. Так как dy = pdx, то будем иметь pdx = p 1 + p 2 dp. ( ) Очевидно, p = 0 является решением уравнения ( ) и ему соответствует решение y = 1 заданного уравнения. Для p 0, интегрирование уравнения ( ) (после деления его на p) дает x = dp 1 + p 2 = ln p p 2 + C. Тогда решение заданного уравнения можно записать в параметрической форме: x = ln p p 2 + C, y = 1 + p 2. Таким образом, с учетом решения y = 1 получаем ответ. Ответ: y = 1; x = ln p p 2 + C, y = 1 + p 2. Пример 4. Решить уравнение y = xy 2 + y 2, x 1. Решение. Это уравнение Лагранжа. После замены y = p, уравнение примет вид y = xp 2 + p 2. ( )
6 6 Возьмем полный дифференциал от обеих частей равенства. Учитывая, что dy = pdx, получим откуда p dx = p 2 dx + 2xpdp + 2pdp, p(p 1) dx = 2p(x + 1) dp. 1) Если p 0, p 1, то, разделяя переменные, получим dx dp = 2 x + 1 p 1. Интегрируя уравнение, будем иметь Поэтому x = 1 + x + 1 = C2 (p 1) 2. C2 (p 1) 2, y = xp2 + p 2. Исключая параметр p из этих уравнений, получим общее решение заданного уравнения y = (C + x + 1) 2, x > 1. 2) Если p = 0, то из ( ) получаем y = 0. Это решение не получается из общего ни при каком значении C, т. е. оно является особым решением. 3) Если p = 1, то из ( ) получаем y = x + 1. Это решение входит в общее решение при C = 0, т. е. оно является частным решением заданного уравнения. Таким образом, решениями уравнения являются y = (C + x + 1) 2 и y = 0. Пример 5. Решить уравнение y = xy + y y 2. Решение. Данное уравнение является уравнением Клеро. Введем параметр p = y, тогда y = xp + p p 2. ( )
7 7 Дифференцируя его по x, получим p = p + xp + p 2pp или (x + 1 2p)p = 0, (x + 1 2p)dp = 0. 1) Если x + 1 2p = 0, то решение уравнения в параметрической форме x = 2p 1, y = p 2. А если исключить параметр p из уравнений, то y = 1 4 (x + 1)2. 2) Если dp = 0, то p = C и тогда, подставляя это значение в ( ), получим решение y = C(x + 1 C). Таким образом, построили решения y = 1 4 (x + 1)2 и y = C(x + 1 C). Решение y = ϕ(x) уравнения (1) называется особым решением, если через каждую его точку кроме этого решения проходит и другое решение, имеющее в этой точке ту же касательную, что и решение y = ϕ(x), отличное от него в любой окрестности этой точки. Другими словами, особое решение уравнения (1) это такое решение, в точках которого нарушается условие (4). Интегральная кривая, соответствующая особому решению, называется особой интегральной кривой уравнения (1). Рассмотрим два метода поиска особых решений. В основе первого следующая теорема 2.. Теорема 2. Если y = ϕ(x) особое решение уравнения (1), то оно удовлетворяет уравнениям F (x, y, p) = 0 F (x, y, p) = 0. (5) p 2 Карташев А. П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. Учеб. пособие. М., 1980.
8 8 Вообще говоря, уравнения (5) определяют одну или несколько кривых, которые называются p дискриминантными кривыми уравнения (1). Каждое особое решение уравнения (1) является дискриминантной кривой этого уравнения. Однако обратное утверждение неверно: не всякая дискриминантная кривая является особым решением. Для нахождения особых решений нужно найти все дискриминантные кривые уравнения (1), исключив из системы (5) параметр p, и для каждой кривой проверить: 1) является ли она решением уравнения (1); 2) касаются ли ее в каждой точке другие решения. Рассматриваемая кривая будет особым решением, если получены положительные ответы на оба вопроса. Кривые y = y 1 (x) и y = y 2 (x) касаются в точке с абсциссой x 0, если выполнены условия (условия касания) y 1 (x 0 ) = y 2 (x 0 ), y 1(x 0 ) = y 2(x 0 ). (6) Если семейство решений записано в параметрическом виде, то выполнение условий касания проверяется аналогично. При этом надо учесть, что y = p. Пример 6. Найти особые решения уравнение y = xy + y y 2. Решение. Для заданного уравнения имеем F (x, y, p) = (x + 1)p p 2 y. Составим систему уравнений вида (5): { (x + 1)p p 2 y = 0, x + 1 2p = 0, исключая из которой параметр p, найдем дискриминантную кривую y = 1 4 (x + 1)2. ( ) Непосредственной подстановкой в заданное уравнение можно установить, что она является его решением. Проверьте это самостоятельно. Теперь выясним, является ли это решение особым, т. е. касаются ли его в каждой точке другие решения. В примере 5 было построено общее решение y = C(x + 1 C). ( )
9 Проверим, выполняются ли условия касания (6). Для решений ( ) и ( ) они принимают вид 1 4 (x 0 + 1) 2 = C(x C), x = C. Исключая из первого уравнения C, получим равенство 1 4 (x 0 + 1) 2 = 1 4 (x 0 + 1) 2, справедливое для всех x 0. Значит, при каждом x 0 решение ( ) в точке с абсциссой x 0 касается одной из кривых семейства ( ), а именно той кривой, для которой C = x Таким образом, в каждой точке решение ( ) касается другого решения ( ), не совпадающего с ним. Значит, решение ( ) особое. 9 Второй метод поиска особого решения связан с понятием огибающей. Пусть уравнение f(x, y, t) = 0, (7) где t параметр, определяет однопараметрического семейство кривых на плоскости (x, y). Гладкая кривая x = ϕ(t), y = ψ(t) (где ϕ, ψ непрерывны и (ϕ (t)) 2 + (ψ (t)) 2 0 при t 1 < t < t 2 ) называется огибающей однопараметрического семейства кривых (7), если в каждой своей точке (ϕ(t), ψ(t)) она касается кривой семейства, соответствующей значению параметра t, и отлична от нее в любой окрестности этой точки (рис. 1). По причине нарушения условия (4) в точках графика особого решения имеет место касание этого графика с кривыми семейства, изображенное на рис. 1. Особое решение является, таким образом, огибающей семейства интегральных кривых. Имеет место и обратное утверждение: огибающая семейства интегральных кривых является особым решением. Поэтому если известно уравнение Φ(x, y, C) = 0 семейства интегральных кривых, то особое решение можно находить по правилу построения огибающей: найти кривую y = Y c (x) (которую называют C дискриминантной кривой) исключением C из
10 10 Рис. 1. Огибающая семейства кривых уравнений 3 Φ(x, y, C) = 0, Φ(x, y, C) C = 0. (8) Кривая y = Y c (x) заведомо является огибающей, т. е. особым решением, если в ее точках выполнено условие Φ 2 x + Φ 2 y 0. (9) В общем случае, чтобы узнать, является ли дискриминантная кривая огибающей, следует выяснить, касаются ли ее в каждой точке кривые семейства Φ(x, y, C) = 0. Пример 7. Каждая из функций семейства y = C(x + 1 C) является решением уравнения y = xy + y y 2. Найти его особые решения. Решение. Для заданного семейства кривых имеем Φ(x, y, C) = C(x + 1 C) y. Запишем систему уравнений для определения C- дискриминантной кривой вида (8): C(x + 1 C) y = 0, x + 1 2C = 0. Исключив C, получим дискриминантную кривую y = 1 4 (x + 1)2. ( ) 3 Метод нахождения особого решения исключением C из указанных уравнений открыл Лагранж (1774). И тем самым он установил связь метода с теорией огибающих семейства кривых (Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. М.: Изд-во ЛКИ, с.)
11 Она является решением заданного дифференциального уравнения. Так как функция Φ(x, y, C) непрерывно дифференцируема по x и по y и ее частная производная Φ(x,y,C) y = 1 0, то выполнено условие (9), и кривая ( ) является огибающей семейства кривых y = C(x+1 C) (рис. 2), а значит, особым решением дифференциального уравнения. 11 Рис. 2. Огибающая и семейство кривых в примере 7
5. УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения
УРАВНЕНИЯ НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения Уравнениями первого порядка неразрешенными относительно производной называются уравнения вида F ( x ) () Уравнение () можно решать следующими
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.
dz dx получим линейное уравнение, решая которое найдем z и подставив вместо z выражение y -n+1 получим общий интеграл уравнения Бернулли.
Уравнение Бернулли Уравнение вида: n + P( x) y Q( x) y, (3126) называется уравнением Бернулли Решение этого уравнения при n 0 и n 1 (в противном случае получается линейное уравнение) находится следующим
4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.
4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае
Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка
Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения
, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)
II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются
Тема: ДУ: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: ДУ: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными Лектор Рожкова С.В. 2013 г. Теория дифференциальных уравнений
2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.
Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )
Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.
Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :
Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений
Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем
(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные
Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные
Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17
кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные
0, 2. Уравнения 1-порядка (повторение) Заметим, что x y. Преобразуем заданное уравнение следующим
[Ф] Филиппов А.В. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». URL: htt://elibrar.bsu.az/kitablar/846.df [М] Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений
Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.
Методы интегрирования уравнений первого порядка
Методы интегрирования уравнений первого порядка 1. Уравнения в полных дифференциалах Рассмотрим уравнение P (x, y) dx + Q(x, y) = 0. (1) Пусть P, Q непрерывно дифференцируемые функции в области D изменения
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Содержание Конев В.В. 1. Рабочая программа (выписка) 2 2. Введение 3 3. Основные понятия 3 3.1. Начальные условия 5 3.2. Составление дифференциальных
Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)
1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Занятие 13 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13.1 Задача и теорема Коши Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка n, разрешённого относительно старшей
Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.
Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического
Уравнения в частных производных первого порядка
Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных
Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения
Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим
Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16
кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая
1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 1.1. Основные определения Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию y (
22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка
Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную
Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если
Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то
Простейшие задачи вариационного исчисления
Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,
Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Лекция 5. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ На практике существуют задачи оптимизации, в которых критерий качества зависит от функции, определить которую необходимо
ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.
ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В.В.Поддубный ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Введение и основные определения Многие задачи естествознания и техники связаны с решением уравнений, содержащих неизвестные функции некоторых независимых
Первые интегралы систем ОДУ
Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1
10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую
Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2
Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или
Гл. 11. Дифференциальные уравнения.
Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков
Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3
Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического
Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка
Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....
ТЕМА 8. Основные понятия вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами.
ТЕМА 8 Основные понятия вариационного исчисления Задача с закрепленными концами Основные определения и теоремы Если на некотором множестве функций указано правило, которое ставит в соответствие каждой
и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение
Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет
4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид
4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда
Общее решение дифференциального уравнения y = 0 имеет вид
Задача 1.1. Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным краевым условиям (задача Штурма-Лиувилля) Решение: Рассмотрим
1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.
ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,
История. где x 0 некоторое фиксированное значение независимой переменной (фиксированный момент времени), а y 0 и y (i)
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) это дифференциальные уравнения для функции от одной переменной. (Этим оно отличается от уравнения в частных производных, где неизвестная это функция нескольких
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,
Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (
Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности
1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных
Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной
1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия
. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.
В. А. Зайцев, С. Н. Попова, Е. Л. Тонков. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Часть 1
В. А. Зайцев, С. Н. Попова, Е. Л. Тонков ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Часть 1 Ижевск 2010 Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУВПО «Удмуртский государственный университет» В. А. Зайцев,
Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»
типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..
Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования
Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ
Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.
Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений
С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава Глава I Задача Коши для уравнения первого порядка.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава. 8 1.Понятие дифференциального уравнения.математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями.11 3.Решение
И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов
ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА
ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию
ISBN ISBN
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова» Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра физики
5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный
5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа
Системы дифференциальных уравнений
Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В
Дифференциальные уравнения
Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие
Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22
кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные
Гл. I. Основные понятия. Простейшие типы ДУ.
Лекция Гл I Основные понятия Простейшие типы ДУ Введение Термин aequatio differerialis или дифференциальные уравнения был введен Лейбницем (Leibiz) в 676 г для обозначения зависимости между дифференциалами
Уравнения в полных дифференциалах
[Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Понятие производных и дифференциалов высших порядков
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Понятие производных и дифференциалов высших порядков Производная f ( называется производной первого порядка (или
ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения
ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций
Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0
. Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом
Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка
Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными
ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина
Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия
Уравнения в полных дифференциалах
[Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://elibrarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар
20x dx 3y dy = 3x 2 y dy 5xy 2 dx. (20x + 5xy 2 ) dx = (3x 2 y + 3y) dy 5x(4 + y 2 ) dx = 3y(x 2 + 1) dy. P 1 (x)q 1 (y) dx = P 2 (x)q 2 (y) dy.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Чувашский государственный
Дифференциальные уравнения (лекция 4)
Дифференциальные уравнения лекция 4 Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 9. Уравнения в полных дифференциалах Уравнение d + d = 14 называется уравнением
Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких
4. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 4.1 Основные понятия. называется переменная величина, зависящая от функции y ( x)
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Основные понятия Пусть M - некоторое множество функций Функционалом J = J ( y называется переменная величина зависящая от функции y ( если каждой функции y( M по некоторому
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу
Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.
Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной
6.1 Определения, предварительные сведения
6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда
Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием
В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина
Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
ЛЕКЦИЯ 1. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной
ЛЕКЦИЯ. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной. Введение. Задача решения (интегрирования) дифференциальных уравнений это задача, обратная дифференцированию.
Теория поверхностей в дифференциальной геометрии
Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Элементарная поверхность Определение Область на плоскости называется элементарной областью, если она является образом открытого круга при гомеоморфизме,
(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые
Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление
Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)
44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f
4. Функция Грина краевой задачи
Функция Грина краевой задачи 4. Функция Грина краевой задачи I.4.1. Существование функции Грина Опр. 1. 1. Функцией Грина краевой задачи Ly = k)y ) ) q)y = f), 1) Γ y y ) sin α + y) cos α = 0, α 0, π 2,
Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)
Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких
Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8
Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки
Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.
Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА
МАТЭМАТЫКА 9 УДК 579 АВ Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА Рассматривается метод построения общего интеграла специальной формы для нелинейного дифференциального
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Дифференциальные уравнения".